Congruências

Sumario

CONGRUENCIAS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colegio Pedro II

26 de novembro de 2016

Aritmetica dos Restos Aplicacoes Congruencia e Numeros Binomiais O Calendario

Sumario

1 Aritmetica dos Restos

2 Aplicacoes

3 Congruencia e Numeros Binomiais

4 O Calendario


Outline


2 Aplicacoes


4 O Calendario


Aritmetica dos Restos

Gauss (1801): Disquisitiones ArithmeticaeTrata-se da realizacao de uma aritmetica com os restos da divisaoeuclidiana por um numero fixado

Definicao: Seja m um numero natural. Diremos que dois numerosinteiros a e b sao congruentes modulo m se os restos de sua divisaoeuclidiana por m sao iguais. Quando os inteiros a e b saocongruentes modulo m, escreve-se

a ≡ b mod m

Quando a relacao a ≡ b mod m for falsa, diremos que a e b nao saocongruentes, ou que sao incongruentes, modulo m. Escreveremosnesse caso a 6≡ b mod m



. a ≡ b mod 1, quaisquer que sejam a,b ∈ Z: por issoconsideraremos sempre m > 1

A congruencia, modulo um inteiro fixado e uma relacao deequivalencia

Proposicao 9.1: Seja m ∈ N. Para todos a,b, c ∈ Z tem-se que

(i) a ≡ a mod m

(i) se a ≡ b mod m, entao b ≡ a mod m

(iii) se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m, entao a ≡ c mod m

Proposicao 9.2: Suponha que a,b,m ∈ Z, com m > 1. Tem-se quea ≡ b mod m se, e somente se, m | b − a



Note que todo numero inteiro e congruente modulo m ao seuresto pela divisao euclidiana por m e, portanto, e congruentemodulo m a um dos numeros 0,1, ...,m − 1. Alem disso, doisdesses numeros distintos nao sao congruentes modulo m.Portanto, para achar o resto da divisao de um numero a por m,basta achar o numero natural r dentre os numeros 0, ...,m − 1que seja congruente a a modulo m

Definicao: Chamaremos de sistema completo de resıduosmodulo m a todo conjunto de numeros inteiros cujos restospela divisao por m sao os numeros 0,1, ...,m − 1, semrepeticoes e numa ordem qualquer

. Um sistema completo de resıduos modulo m possui melementos



. Se a1, ..., am sao m numeros inteiros, dois a dois nao congruentes modulom, entao eles formam um sistema completo de resıdulos modulo m

. Em particular, um conjunto formado por m inteiros consecutivos e umsistema completo de resıduos modulo m

. Seja R um sistema completo de resıduos modulo m, entao a divisaoeuclidiana por m pode ser generalizada como segue:

Para todo a ∈ Z existem inteiros q e r univocamente determinados tais quea = mq + r , com r ∈ RNessa situacao dizemos tratar-se da divisao com resto em RA divisao euclidiana corresponde ao caso em que R = {0, 1, ...,m − 1}

. Se tomarmos R ={

r ∈ Z;−m2 ≤ r < m

2

}, que e um conjunto de m inteiros

consecutivos, a divisao correspondente sera chamada de divisao com menorresto



A nocao de congruencia e uma relacao de equivalenciacompatıvel com as operacoes de adicao e multiplicacao nosinteiros

Proposicao 9.3: Sejam a,b, c,d ,m ∈ Z, com m > 1

(i) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, entaoa + c ≡ b + d mod m

(ii) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, entao ac ≡ bd mod m

Corolario 9.4: Para todos n ∈ N, a,b ∈ Z, se a ≡ b mod m,entao tem-se que an ≡ bn mod m



O Pequeno Teorema de Fermat: Se p e um numero primo ea ∈ Z, entao

ap ≡ a mod p

Alem disso, se p - a, entao ap−1 ≡ 1 mod p

Exemplo 9.5: Sejam p um numero primo e a,b ∈ Z. Tem-seque (a± b)p ≡ ap ± bb mod p

Exemplo 9.6: Se a1, ...,ar ∈ Z e p e primo, entao(a1 + ...+ ar )

p ≡ ap1 + ...+ ap

r mod p

Exemplo 9.7: Sejam a,b ∈ Z e p um numero primo. Vamosmostrar que ap ≡ bp mod p ⇒ ap ≡ bp mod p2



Proposicao 9.8: Sejam a,b, c,m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que

a + c ≡ b + c mod m⇔ a ≡ b mod m

A proposicao acima nos diz que, para as congruencias, vale ocancelamento com relacao a adicao. Entretanto, nao vale, emgeral, o cancelamento para a multiplicacao

Exemplo 9.9: Como 6.9− 6.5 = 24 e 8 | 24, temos que6.9 ≡ 6.5 mod 8, e, no entanto, 9 6≡ 5 mod 8



A seguir um resultado relacionado ao cancelamento multiplicativo

Proposicao 9.10: Sejam a,b, c,m ∈ Z. Temos que

ac ≡ bc mod m⇔ a ≡ b modm

(c,m)

Corolario 9.11: Sejam a,b, c,m ∈ Z, com m > 1 e (c,m) = 1.Temos que

ac ≡ bc mod m⇔ a ≡ b mod m

Proposicao 9.12: Sejam a, k ,m ∈ Z, com m > 1 e (k ,m) = 1. Sea1, ...,am e um sistema completo de resıduos modulo m, entaoa + ka1, ...,a + kam tambem e um sistema completo de resıduosmodulo m



Proposicao 9.13: Sejam a,b ∈ Z e m,n,m1, ...,mr inteirosmaiores do que 1. Temos que

i) se a ≡ b mod m e n | m, entao a ≡ b mod nii) a ≡ b mod mi , ∀i = 1, ..., r ⇔ a ≡ b mod [m1, ...,mr ]

iii) se a ≡ b mod m, entao (a,m) = (b,m)

Exemplo 9.14: Vamos achar o menor multiplo positivo de 7que deixa resto 1 quando dividido por 2,3,4,5 e 6



Exemplo 9.15: Vamos achar o resto da divisao de 23728 por 13

Exemplo 9.16: Vamos mostrar que 45 | 133n + 173n para todonumero natural ımpar n

Exemplo 9.17: Vamos determinar o algarismo das unidadesde 777


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2 Aplicacoes


4 O Calendario


Aplicacoes

Exemplo 9.18: Vamos mostrar que o numero de MersenneM83 = 283 − 1 nao e primo, apesar de 83 ser primo

Exemplo 9.19: Vamos provar nesse exemplo o resultado de Eulerque afirma que o quinto numero de Fermat F5 = 225

+ 1 nao e primo

Exemplo 9.20: Criterios de divisibilidade por 2,5 e 10

Exemplo 9.21: Criterios de divisibilidade por 3 e 9

A regra dos noves fora: Para verificar se um dado numero e divisıvelpor 3 ou por 9, somam-se os seus algarismos, desprezando-se, aoefetuar a soma, cada parcela igual a 9. Se o resultado final for zero,entao o numero e divisıvel por 9. Se o resultado for um doalgarismos 0,3 ou 6 entao o numero e divisıvel por 3


Aplicacoes

Exemplo 9.22: Criterio de divisibilidade por 11

Exemplo 9.23: Prova dos nove

Exemplo 9.24 (Pietro Antonio Cataldi - 1588): Todo numeroda forma an = 22n(22n+1 − 1), onde n ∈ N, na suarepresentacao decimal, ou termina em 28 ou termina em a6,onde a e um algarismo ımpar. Em particular, todo numeroperfeito termina de um desses modos


Aplicacoes

Exemplo 9.25: Vamos mostrar que dado um numero naturalm ∈ N, existe um numero de Fibonacci un tal que m | un

. Existem infinitos numeros de Fibonacci divisıveis por m

. Dado um numero primo p qualquer, existe um numero deFibonacci divisıvel por p, ou seja, nas decomposicoes dosnumeros de Fibonacci em fatores primos aparecem todos osnumeros primos


Aplicacoes

Exemplo 9.26: Seja m um numero natural. Definamos

Dm = {n ∈ N;m | un}

Do exemplo anterior, sabemos que Dm 6= ∅.Seja m0 o menor elemento de Dm. Vamos mostrar que

Dm = m0N = {m0x ; x ∈ N}

. Para achar os numeros de Fibonacci divisıveis por umnumero natural m, basta achar o primeiro deles um0 e tomartodos os un para os quais n ∈ m0N


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2 Aplicacoes


4 O Calendario


Congruencia e Numeros Binomiais

Lema 9.27: Sejam p,m ∈ N, com p primo

(i) Tem-se que (pm)! = pmMm!, onde M ∈ N eM ≡ [(p − 1)!]m mod p(ii) Ep((mp)!) = m + Ep(m!)

Lema 9.28: Sejam a,p ∈ N, com p primo e r um numero inteirotal que 0 ≤ r < p. Entao

(i) Ep((pa + r)!) = Ep((pa)!)(ii) Ep((pa− r)!) = Ep((pa)!)− [1 + Ep(a)]



Lema 9.29: Sejam m,n,p ∈ N, com p primo e n ≤ m e sejamα, β ∈ N ∪ {0}, com α, β < p. Tem-se que:

(i)(

mpnp

)=

(mn

)mod p

(ii)(

mp + αnp + β

)=

(mn

)(αβ

)mod p

Teorema 9.30 (E. Lucas): Seja p um numero primo e sejamm = m0 + m1p + m2p2 + ... e n = n0 + n1p + n2p2 + ... dois numerosnaturais representados relativamente a base p. Tem-se que(

mn

)=

(m0n0

)(m1n1

)(m2n2

)... mod p



Lema 9.31: Sejam p um numero primo e α, β ∈ N, com α ≥ β.

Entao pα−β e a maior potencia de p que divide(

pα

pβ

)

Teorema 9.32: Seja n ∈ N tal que(

ni

)≡ 0 mod n, para

todo i tal que 0 < i < n, entao n e primo

. Mais um teste pouco eficiente de primalidade


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2 Aplicacoes


4 O Calendario


O Calendario

. A formula que estabeleceremos tera validade a partir do anode 1601. O mes de fevereiro estara no fim da contagem dos meses, ouseja, o mes 1 de um ano sera marco, seguido de abril, etc, atechegar aos meses 11 e 12 que sao janeiro e fevereiro (do anoseguinte). Uma data (d,m,A) sera constituıda por tres numeros, onde drepresenta o dia, m o mes, com a convencao acima(marco = 1), e A um ano posterior a 1600, ou seja, A ≥ 1601. Os dias da semana serao enumerados como: domingo (1),segunda (2), terca (3), etc, e sabado (7)


O Calendario

. Para determinar o dia da semana s(d ,m,A) da data (d ,m,A)procederemos por partes. Determinaremos inicialmente uma formula para s(1,1,A), odia da semana do primeiro dia do mes 1 (marco) do ano A,posteriormente, acharemos uma formula s(1,m,A), o dia dasemana do primeiro dia do mes m do ano A e finalmente aformula para s(d ,m,A)


O Calendario

Proposicao 9.33: Seja A > 1600. Entao no intervalo (1600,A]

i) o numero de anos multiplos de 4 e[A4

]−[1600

4

]=[A

4

]− 400

ii) o numero de anos centenarios que nao sao bissextos e[ A100

]−[ A

400

]− 12

iii) o numero de anos bissextos e

b =[A

4

]−[ A

100

]+[ A

400

]− 388


O Calendario

Proposicao 9.34: Tem-se que

S(1,1,A) = 4 + A +[A

4

]−[ A

100

]+[ A

400

]mod 7

Proposicao 9.35: Tem-se que

S(1,m,A) = 2 +[13m − 1

5

]+ A +

[A4

]−[ A

100

]+[ A

400

]mod 7

ZellerProposicao 9.35: Tem-se a formula

S(d ,m,A) = d +1+[13m − 1

5

]+A+

[A4

]−[ A

100

]+[ A

400

]mod 7

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