Conex~oes em Fibrados150.164.25.15/~rodney/notas_de_aula/variedades...e Conex~oes em Fibrados e dos...

Conexoes em Fibrados

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula das disciplinas Variedades Diferenciaveis, Topologia Diferencial, Geometria Riemanniana,

e Conexoes em Fibrados e dos seminarios Aspectos Topologicos, Geometricos e Fısicos da Teoria de Yang-Mills

do Programa de Pos-Graduacao em Matematica.

7 de abril de 2020

1E-mail: [email protected]; homepage: http://www.mat.ufmg.br/~rodney.

mailto:[email protected]

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Sumario

Capa 1

Sumario 7

0 Superfıcies Regulares 80.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.3 Superfıcies Parametrizadas sao Localmente Superfıcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 120.4 Mudancas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.5 Aplicacoes Diferenciaveis entre Superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.6 Espaco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.7 Derivada de uma Aplicacao Diferenciavel entre Superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 Variedades Diferenciaveis 171.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Definicao da Topologia de uma Variedade atraves de um Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Variedades com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Aplicacoes Diferenciaveis 292.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Construcao de Aplicacoes Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Particoes da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Funcoes Bump e Extensoes Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Vetores Tangentes 393.1 Vetores Tangentes a Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Vetores Tangentes como Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Diferencial de uma Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Diferencial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Aplicacoes do Funtor Derivada 524.1 Difeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Imersoes e Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Formas Locais das Imersoes e Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1 Forma Padrao dos Lineomorfisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1


4.3.2 Forma Local das Imersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.3 Forma Local das Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.4 Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Mergulhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Caracterizacoes e Propriedades de Imersoes e Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5.1 Imersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.2 Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7 Teorema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7.1 Conjuntos de Medida Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7.2 Teorema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8 Teorema de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Campos Vetoriais 645.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2 Pushforward e Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Fluxos de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.6 Campos Vetoriais Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7 Campos Vetoriais que Comutam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.8 Referenciais Locais e Referenciais Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Campos Tensoriais 846.1 Vetores Contravariantes e Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.1 Significado Real do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Convencao da Soma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3 Vetores e Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3.2 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.3 O Espaco Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4 Vetores e Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.2 Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.5 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5.2 Homomorfismos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.5.3 Produto Tensorial e Algebra Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.5.4 Mudanca de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5.5 Traco de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.6 Tensores em Espacos Vetoriais Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6.1 Operacao de Subir ou Descer um Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6.2 Produto Interno de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.7 Produto Tensorial de Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.8 Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.9 Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.9.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.9.2 Pullback de Campos Tensoriais Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.10 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


6.10.1 Calculo da Derivada de Lie de Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.10.2 Campos Tensoriais Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7 Conexoes e Derivada Covariante 1197.1 Conexao e Derivada Covariante de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.1.1 Derivada Covariante ao longo de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.1.2 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.1.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.1.4 Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.1.5 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2 Conexao nos Fibrados Tensoriais e Derivada Covariante de Campos Tensoriais . . . . . . . . 1287.3 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.4 Formas de Conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8 Variedades Metricas 1418.1 Metricas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.3 Referenciais Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4 Operacao de Subir ou Descer um Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.5 Conexoes Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.5.1 Conexao Compatıvel com a Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.5.2 Conexao Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.5.3 Sımbolos de Christoffel da Conexao Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9 Formas Diferenciais 1709.1 Tensores Covariantes Simetricos e Alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.2 Simetrizacao e Alternacao de Tensores Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3 Produto Simetrico e Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.3.1 Produto Simetrico e Algebra Tensorial Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.3.2 Produto Exterior e Algebra Tensorial Alternada (Algebra Exterior) . . . . . . . . . . . 179

9.4 Bases e Propriedades da Algebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.4.1 Formas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.4.2 Bases Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829.4.3 Propriedades do Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.4.4 Interpretacao Geometrica do Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.5 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.6 Pullback de Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.7 Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.7.1 Definicao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.7.2 Definicao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.8 Produto Interior e Derivada Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.9 Relacao entre Derivadas Exterior, Interior e de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.10 Conexao e Curvatura na Linguagem de Formas – O Metodo do Referencial Movel . . . . . . . 201

9.10.1 A 1-forma Conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.10.2 Mudanca de Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.10.3 As 2-formas Torsao e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204


10 Variedades Orientaveis 20510.1 Orientabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.2 Superfıcies Orientaveis e Campos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.3 Forma de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.4 Orientacao Induzida no Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.5 Forma de Volume Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21410.6 Operador Estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.6.1 Produto Interno de Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710.6.2 Estrela de Hodge de Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22010.6.3 Codiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.7 Gradiente, Divergente e Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22410.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

11 Integracao em Variedades Orientaveis 22611.1 Integral de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22611.2 Integracao de Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.2.1 Integral de n-Formas no Espaco Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22811.2.2 Integral de n-Formas em Variedades n-dimensionais Orientaveis . . . . . . . . . . . . 230

11.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.3.1 Interpretacao Geometrica da Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

12 Cohomologia de de Rham 23612.1 Formas Fechadas e Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23612.2 Cohomologia de de Rham de uma Variedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23712.2.2 A Cohomologia de de Rham e uma Algebra Graduada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.3 Invariancia por Difeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24112.4 Invariancia por Homotopia e Homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12.4.1 Invariancia por Homotopia de Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24412.4.2 Invariancia por Homotopia em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24512.4.3 Aplicacao no Calculo de Cohomologias e Lema de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . 248

12.5 Sequencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.5.1 Lema do Zig-Zag para Complexos em Cocadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.5.2 Sequencia de Mayer-Vietoris de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25212.5.3 Aplicacao no Calculo de Cohomologias e Caracterıstica de Euler . . . . . . . . . . . . 256

12.6 Teorema de Kunneth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112.7 Cohomologia de de Rham com Suporte Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.8 Dualidade de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

13 Grupos de Lie 27113.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27113.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27413.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28013.4 Acoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

13.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.5 Representacoes de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

13.5.1 Representacoes Irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28713.6 Representacoes Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28913.7 SU(2) e um recobrimento duplo de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29013.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292


14 Algebras de Lie 29414.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414.2 Algebras de Lie de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29614.3 A Algebra de Lie do Grupo Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.4 A Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29914.5 Representacoes de Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30114.6 A Representacao Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30214.7 Representacoes de U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

14.7.1 O Operador de Carga em Fısica Quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30414.8 Metricas em Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30414.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

15 Recobrimentos e Acoes de Grupos 30615.1 Espacos Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

15.1.1 Acoes Proprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30715.1.2 Teorema da Variedade Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

15.2 Aplicacoes de Recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30815.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

16 Fibrados Vetoriais 31116.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31216.2 Condicao de Cociclo e Operacoes com Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31616.3 Secoes Locais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32016.4 Homomorfismos entre Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32416.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

17 Conexoes em Fibrados Vetoriais 32617.1 Definicao 1: Conexao de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32617.2 Definicao 2: Conexao de Koszul em Termos de Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . 327

17.2.1 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32817.2.2 Conexao em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

17.3 O Tensor Diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33417.4 Conexoes Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

17.4.1 Conexao no Fibrado Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33517.4.2 A Conexao Dual no Fibrado Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33617.4.3 Conexao no Fibrado Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33617.4.4 Conexao no Fibrado Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

17.5 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33817.5.1 Derivada covariante ao longo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33817.5.2 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33917.5.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

18 Curvatura em Fibrados Vetoriais 34418.1 Curvatura de uma conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

18.1.1 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34618.2 Tensores e Formas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34718.3 Produto Exterior de Formas Vetoriais com valores em uma Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 35018.4 Formas com valores em um Fibrado Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

18.4.1 Produto Exterior entre uma Forma Diferencial e uma E -Forma . . . . . . . . . . . . . 35218.4.2 Produto Exterior entre Formas com valores em Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

18.5 Derivada Exterior Covariante de E -Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35318.5.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353


18.5.2 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35418.6 Curvatura como Derivada Exterior Covariante Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

18.6.1 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35618.6.2 Equivalencia das Duas Nocoes de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

18.7 Curvatura como uma 2-forma tomando valores em Hom(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36118.7.1 A Derivada Exterior Covariante e a Identidade de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . 364

18.8 Duas Algebras Exteriores em Hom(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36518.8.1 Derivada Exterior Covariante em funcao dos Produtos Exteriores . . . . . . . . . . . . 368

18.9 Curvatura e Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

19 Conexoes de Yang-Mills 37219.1 Fibrados Metricos e Conexoes Compatıveis com uma Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

19.1.1 Conexoes Compatıveis com a Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37419.1.2 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37419.1.3 Produto Interno e Estrela de Hodge de E -Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37519.1.4 O Codiferencial Covariante de E -formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

19.2 G-Conexoes em G-Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37719.2.1 Campos de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

19.3 Grupo de Transformacoes de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37919.4 Teoria de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

19.4.1 O Funcional de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38119.4.2 Conexoes de Yang-Mills e as Equacoes de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

20 Fibrados Diferenciaveis e Fibrados Principais 38420.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38420.2 G-Fibrados ou Fibrados com Grupo Estrutural G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38620.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38820.4 Morfismos de Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38820.5 Secoes Locais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38920.6 Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39020.7 Isomorfismos de Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39220.8 Gauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

21 Conexoes e Curvatura em Fibrados Principais 39321.1 A Interpretacao Geometrica da Conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39321.2 Fibrado Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

21.2.1 Subfibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39521.2.2 O Fibrado Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

21.3 Campos Vetoriais Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39721.4 Conexao de Ehresmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40121.5 Derivada Exterior Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40421.6 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

21.6.1 Equacao de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40521.6.2 Identidade de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

21.7 Gauges Locais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40721.7.1 Forma de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40721.7.2 Gauges Locais e Globais de um Fibrado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40921.7.3 Transformacoes de Gauge Fısicas e Conexoes Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40921.7.4 Transformacoes de Gauge Fısicas e Curvaturas Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

21.8 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415


22 Fibrados de Referenciais e Fibrados Associados 41722.1 Fibrados de Referenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41722.2 Fibrados Associados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41922.3 Fibrados Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

23 Teorias de Gauge 42223.1 Teorias de Gauge Classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42223.2 Eletromagnetismo no Vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

23.2.1 Teoria de Yang-Mills no Espaco de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42523.2.2 Classificacao dos Fibrados Principais do Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . 42823.2.3 Teoria de Yang-Mills em um Espacotempo Lorentziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

23.3 Eletromagnetismo para Partıculas com Spin Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42923.4 Eletromagnetismo para Partıculas com Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43023.5 Teoria de Yang-Mills-Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

Referencias Bibliograficas 431

Capıtulo 0

Superfıcies Regulares

Ver como a extensao do calculo diferenciavel e feita de abertos de RN para superfıcies n-dimensionais emRN ajuda a entender e motivar os conceitos necessarios para definir variedades diferenciaveis e estender ocalculo diferencial para elas.

Neste capıtulo, quando dissermos que algum objeto ou funcao e diferenciavel, queremos dizer Ck-diferenciavel, k > 1; da mesma forma, difeomorfismos serao Ck-difeomorfismos. Vizinhancas serao sempresubconjuntos abertos do espaco topologico em que elas estao contidas, com subconjuntos de RN assumidosdotados da topologia induzida.

0.1 Definicao

0.1 Definicao. Uma superfıcie parametrizada de dimensao n imersa em RN e uma aplicacao diferenciavelφ : U ⊂ Rn −→ RN , U aberto, tal que a derivada dφp : Rn −→ RN e injetiva para todo p ∈ U .

Em particular, n 6 N . Em geral tambem nos referimos a imagem φ (U) como sendo uma superfıcie para-metrizada. φ ser diferenciavel e equivalente a podermos escrever

φ(x1, . . . , xn

)=(φ1(x1, . . . , xn

), . . . , φN

(x1, . . . , xn

))com as funcoes coordenadas φ1, . . . , φN : U −→ R diferenciaveis. A condicao da derivada dφp : Rn −→ RNser injetiva e equivalente a exigir que a matriz jacobiana (que denotaremos tambem por dφp, identificandolineomorfismos e matrizes)

dφp =

∂φ1

∂x1(p) · · · ∂φ1

∂xn(p)

......

∂φN

∂x1(p) · · · ∂φN

∂xn(p)

tenha posto maximo, isto e, igual a n. Em outras palavras, os vetores

∂φ

∂x1(p) = dφp (e1) =

(∂φ1

∂x1(p) , . . . ,

∂φN

∂x1(p)

),

...

∂φ

∂xn(p) = dφp (en) =

(∂φ1

∂xn(p) , . . . ,

∂φN

∂xn(p)

),

8


sao LI; aqui, e1, . . . , en denotam os vetores da base padrao de Rn. Ela e a condicao de regularidade queconfere “suavidade” a superfıcie: o vetor

∂φ

∂xi(p) =

(∂φ1

∂xi(p) , . . . ,

∂φN

∂xi(p)

)e exatamente o vetor tangente a curva coordenada

t −→ φ(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xn

)no ponto p.

Uma nocao mais restrita que a de superfıcie parametrizada, mas que e a que mais nos interessa nestelivro, e a de superfıcie regular :

0.2 Definicao. Uma superfıcie regular de dimensao n mergulhada em RN e um subconjunto M ⊂ RN talque para todo p ∈M existe uma vizinhanca V de p em M , um aberto U ⊂ Rn e uma aplicacao diferenciavelϕ : U −→ V tal que

(i) ϕ e um homeomorfismo;(ii) a derivada dϕx : Rn −→ RN e injetiva para todo x ∈ U .Cada aplicacao ϕ e chamada uma parametrizacao local ou sistema de coordenadas local da vizi-

nhanca coordenada V e(x1, . . . , xn

)∈ U sao as coordenadas locais de V .

Um conjunto de parametrizacoes cujas imagens cobrem M e chamado um atlas.RN e chamado o espaco ambiente da superfıcie M .

Uma superfıcie regular n-dimensional e portanto um subespaco de RN que e localmente homeomorfo a Rn.Diferentemente de uma superfıcie parametrizada, que pode ter autointersecoes, o requerimento que ϕ sejaum homeomorfismo impede a ocorrencia de autointersecoes em superfıcies regulares.

0.2 Exemplos

0.3 Exemplo (Plano n-dimensional). ϕ : Rn −→ RN definida por

ϕ(x1, . . . , xn

)= p0 + x1v1 + . . .+ xnvn

e uma parametrizacao de um plano de dimensao n se os vetores v1, . . . , vn ∈ RN forem LI. As curvascoordenadas sao as retas paralelas aos vetores vi. O plano ϕ (Rn) e uma superfıcie regular com um atlas quetem ϕ como a sua unica parametrizacao local, que neste caso e uma parametrizacao global.

0.4 Exemplo (Graficos de Funcoes). Se f : U ⊂ Rn −→ R e diferenciavel, entao ϕ : U −→ Rn+1 definidapor

ϕ (x) = (x, f (x)) =(x1, . . . , xn, f (x)

)e uma superfıcie parametrizada n-dimensional em Rn+1 (tambem chamada uma superfıcie de codimensao1 ou simplesmente uma hiperfıcie), pois

∂ϕ

∂x1(u, v) =

(1, . . . , 0,

∂f

∂x1(x)

),

...

∂ϕ

∂xn(u, v) =

(0, . . . , 1,

∂f

∂xn(x)

),

sao LI. O grafico de f , graf f = ϕ (U), e uma superfıcie regular com um atlas que tem ϕ como a sua unicaparametrizacao global; a inversa de ϕ e simplesmente a projecao nas n primeiras coordenadas.


Mais geralmente, se f : U ⊂ Rn −→ Rk e uma funcao vetorial, entao ϕ : U −→ Rn+k definida por

ϕ (x) = (x, f (x)) =(x1, . . . , xk, f1 (x) , . . . , f l (x)

)e uma parametrizacao global para a superfıcie regular graf f = ϕ (U) de dimensao n em RN , N = n+ k.

0.5 Exemplo (Esfera). Considere a esfera unitaria centrada na origem

Sn =x ∈ Rn+1 :

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= 1.

A esfera e uma superfıcie regular mas nao e uma superfıcie parametrizada, isto e, nao existe uma unicaparametrizacao global que cubra a esfera toda, pois ela e compacta. A seguir consideraremos dois atlasdiferentes para a esfera.

(1) Atlas de graficos de hemisferios:Para cada i = 1, . . . , n+ 1, considere os dois hemisferios

U+i =

(x1, . . . , xn+1

)∈ Sn : xi > 0

,

U−i =(x1, . . . , xn+1

)∈ Sn : xi < 0

.

SeDn =

(x1, . . . , xn

)∈ Rn :

(x1)2

+ . . .+ (xn)2< 1

denota o disco unitario n-dimensional, as aplicacoes ϕ±i : Dn −→ U±i definidas por

(ϕ±i) (x1, . . . , xn

)=

x1, . . . , xi,±

1−n+1∑j=1j 6=i

(xj)2

1/2

, xi+1, . . . , xn

,

sao parametrizacoes. De fato, elas sao graficos de classe C∞ (porque ‖x‖ < 1); explicitamente, suas inversassao as projecoes (

ϕ±i)−1 (

x1, . . . , xn+1)

=(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1

).

restritas aos hemisferios correspondentes, de modo que elas sao homeomorfismos. Observe que este atlastem 2 (n+ 1) cartas, sua cardinalidade aumentando com a dimensao da esfera.

(2) Atlas de projecoes estereograficas:Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, 1), qualquer reta ` passando por N que

nao seja tangente a esfera intercepta a esfera em um unico ponto p e o hiperplano xn+1 = 0 em um unicoponto

x =(x1, . . . , xn, 0

).

Identificando este hiperplano com Rn atraves da identificacao natural(x1, . . . , xn, 0

)↔(x1, . . . , xn

)=: x

podemos obter uma parametrizacao ϕN : Rn −→ Sn\ N da seguinte maneira: descrevendo a reta ` pelaequacao parametrica

N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, 1− t

),

ela intercepta a esfera quando ∥∥(tx1, . . . , txn, 1− t)∥∥ = 1,

isto et2 ‖x‖2 + (1− t)2

= 1⇒ t2 (‖x‖+ 1)− 2t = 0.


Esta equacao tem duas solucoes: t = 0, correspondente ao polo norte, e

t =2

1 + ‖x‖2,

correspondente ao ponto p. Logo,

ϕN (x) =

(2x1

1 + ‖x‖2, . . . ,

2xn

1 + ‖x‖2,‖x‖2 − 1

1 + ‖x‖2

)

=1

1 + ‖x‖2(

2x, ‖x‖2 − 1),

que e uma aplicacao suave (isto e, de classe C∞). Sua derivada e injetiva, pois as primeiras n colunas de

d (ϕN )x =1(

1 + ‖x‖2)2

2(

1 + ‖x‖2)− 4

(x1)2 −4x2x1 . . . −4xnx1 ∗

−4x1x2 2(

1 + ‖x‖2)− 4

(x2)2

. . . −4xnx2 ∗−4x1x3 −4x2x3 . . . −4xnx3 ∗

......

. . ....

...

−4x1xn −4x2x4 . . . 2(

1 + ‖x‖2)− 4 (xn)

2 ∗

=2

1 + ‖x‖2[I | 0]− 4(

1 + ‖x‖2)2

(x1)2

x2x1 . . . xnx1 ∗x1x2

(x2)2

. . . xnx2 ∗...

.... . .

......

x1xn x2x4 . . . 4 (xn)2 ∗

sao LI (exercıcio).

Para provar que ela e um homeomorfismo, obtemos a sua inversa: a reta ` tambem pode ser descrita pelaequacao parametrica

N + t (p−N) =(tx1, . . . , txn, 1 + t

(xn+1 − 1

))e intercepta o hiperplano xn+1 = 0 exatamente quando

t =1

1− xn+1,

de modo que a inversa ϕ−1N : Sn\ N −→ Rn e dada por

ϕN (p) =

(x1

1− xn+1, . . . ,

xn

1− xn+1

)=

x

1− xn+1.

Esta aplicacao e claramente contınua, ja que xn+1 < 1.De maneira completamente analoga, fazendo a projecao estereografica a partir do polo sul S = −N ,

obtemos uma segunda parametrizacao ϕS : Rn −→ Sn\ S dada por

ϕS (y) =

(2y1

1 + ‖y‖2, . . . ,

2yn

1 + ‖y‖2,

1− ‖y‖2

1 + ‖y‖2

)

=1

1 + ‖y‖2(

2y, 1− ‖y‖2),

cuja inversa e

ϕ−1S (y) =

(y1

1 + yn+1, . . . ,

yn

1 + yn+1

)=

y

1 + yn+1.

Como Sn = Sn\ N ∪ Sn\ S, estas duas parametrizacoes constituem um atlas para a esfera.


0.3 Superfıcies Parametrizadas sao Localmente Superfıcies Regu-lares

0.6 Lema (Teorema da Funcao Inversa). Seja F : U ⊂ Rn −→ RN diferenciavel, U aberto.Se dFx0 : Rn −→ RN e um isomorfismo para algum x0 ∈ U , entao existem abertos V ⊂ U contendo x0 e

W ⊂ RN contendo F (x0) tais que F |V : V −→W e um difeomorfismo.

F : V −→ W ser um difeomorfismo significa dizer que F e um homeomorfismo e ambas F, F−1 sao diferen-ciais. O Teorema da Funcao Inversa diz que se a derivada de uma aplicacao e um isomorfismo em um certoponto, entao a aplicacao e um difeomorfismo na vizinhanca daquele ponto; em particular, se isso ocorre paratodo ponto em U , entao F e um difeomorfismo local.

0.7 Proposicao. Seja φ : U ⊂ Rn −→ RN uma superfıcie parametrizada.Para todo x0 ∈ U existe um aberto U0 ⊂ U contendo x0 tal que φ|U0

e injetiva.Mais que isso, φ (U0) e uma superfıcie regular.

Prova: Escrevaφ(x1, . . . , xn

)=(φ1(x1, . . . , xn

), . . . , φN

(x1, . . . , xn

)).

Como a matriz jacobiana dφx0 tem posto n, podemos assumir sem perda de generalidade que o menor

∂(φ1, . . . , φn

)∂ (x1, . . . , xn)

(x0) = det

∂φ1

∂x1(x0) · · · ∂φ1

∂xn(x0)

......

∂φn

∂x1(x0) · · · ∂φn

∂xn(x0)

6= 0

(caso contrario, trocamos as coordenadas de lugar na definicao da funcao φ a seguir).

Estenda φ a uma aplicacao φ : U × RN−n −→ RN definindo

φ(x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xN

)=(φ1, . . . , φn, φn+1 + xn+1, . . . , φN + xN

).

Como

det dφx0= det

∂φ1

∂x1(x0) · · · ∂φ1

∂xn(x0) 0 · · · 0

......

......

∂φn

∂x1(x0) · · · ∂φn

∂xn(x0) 0 · · · 0

∂φn+1

∂x1(x0) · · · ∂φn+1

∂xn(x0) 1 · · · 0

......

......

∂φN

∂x1(x0) · · · ∂φN

∂xn(x0) 0 · · · 1

= det

∂(φ1, . . . , φn

)∂ (x1, . . . , xn)

(x0) 6= 0,

segue do Teorema da Funcao Inversa que φ e um difeomorfismo em uma vizinhanca possivelmente menorU0 ⊂ U . A aplicacao φ e uma deformacao difeomorfa do cilindro U0 × RN−n, com a restricao a fatia U × 0sendo exatamente φ (tomando xn+1 = . . . = xN = 0 e identificando U × 0 com U). Em particular, segue queφ (U0) e homeomorfo a U0. Este resultado mostra que superfıcies parametrizadas sao localmente superfıcies regulares; elas nao saoglobalmente, pois podem ocorrer autointersecoes.


0.4 Mudancas de Coordenadas

Para fazer calculo diferencial em superfıcies, precisaremos definir quais as funcoes podem ser diferenciadas(ter suas derivadas definidas), isto e, as aplicacoes diferenciaveis. Para que a definicao que usaremos naodependa da escolha de um sistema de coordenadas, precisamos mostrar que mudancas de coordenadas saodifeomorfismos.

0.8 Lema (Regra da Cadeia). Sejam

F : U ⊂ Rm −→ Rn,G : V ⊂ Rn −→ Rp,

aplicacoes diferenciaveis com F (U) ⊂ V .A composta G F e diferenciavel e

d (G F )p = dGF (p) dFp.

0.9 Proposicao. Sejam M ⊂ RN uma superfıcie regular e p ∈M . Sejam

ϕ1 : U1 ⊂ Rn −→ V1 ⊂M,

ϕ2 : U2 ⊂ Rn −→ V2 ⊂M

dois sistemas de coordenadas locais para p.A mudanca de coordenadas

ϕ−12 ϕ1 : ϕ−1

1 (V1 ∩ V2) −→ ϕ−12 (V1 ∩ V2)

e um difeomorfismo.

Prova: ϕ−12 ϕ1 e um homeomorfismo porque e a composta de homeomorfismos. Escreva

ϕ2

(x1, . . . , xn

)=(ϕ1

2

(x1, . . . , xn

), . . . , ϕN2

(x1, . . . , xn

)).

Como dϕ2 e injetiva em todo ponto, podemos assumir como na demonstracao da Proposicao 0.7 que

∂(ϕ1

2, . . . , ϕn2

)∂ (x1, . . . , xn)

6= 0.

Como la, estendemos ϕ2 a uma aplicacao diferenciavel ϕ2 : U × RN−n −→ RN definindo

ϕ2

(x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xN

)=(ϕ1

2, . . . , ϕn2 , ϕ

n+12 + xn+1, . . . , ϕN2 + xN

),

e como

det dϕ2 = det∂(ϕ1

2, . . . , ϕn2

)∂ (x1, . . . , xn)

6= 0

segue do Teorema da Funcao Inversa que ϕ2 e um difeomorfismo. Em particular ϕ−12 e uma aplicacao

diferenciavel. Pela Regra da Cadeia,ϕ−1

2 ϕ1 = ϕ−12 ϕ1

e diferenciavel. Por simetria de argumento

ϕ−11 ϕ2 =

(ϕ−1

2 ϕ1

)−1

tambem e diferenciavel. Portanto, ϕ−12 ϕ1 e um difeomorfismo.


0.5 Aplicacoes Diferenciaveis entre Superfıcies

0.10 Definicao. Sejam Mm ⊂ RK , Nn ⊂ RL superfıcies regulares.Dizemos que uma aplicacao F : M −→ N e diferenciavel em um ponto p ∈ M se para algumas

parametrizacoes

ϕ : U ⊂ Rm −→ V,

ψ : W ⊂ Rn −→ Z,

de uma vizinhanca coordenada V de p e de uma vizinhanca coordenada Z de F (p) a composta

ψ−1 F ϕ : U ⊂ Rm −→W ⊂ Rn

e diferenciavel em ϕ−11 (p).

Dizemos que F e diferenciavel se F e diferenciavel em todo ponto.Dizemos que F e um difeomorfismo se F e um homeomorfismo e F, F−1 sao diferenciaveis.

Segue da Proposicao 0.9 que a diferenciabilidade de uma funcao f : M −→ N em um ponto da superfıcie Mindepende da parametrizacao escolhida: se

ϕ1 : U1 ⊂ Rm −→ V1 ⊂M,

ϕ2 : U2 ⊂ Rm −→ V2 ⊂M,

sao duas parametrizacoes para vizinhancas de p e

ψ1 : W1 ⊂ Rn −→ Z1 ⊂ N,ψ2 : W2 ⊂ Rn −→ Z2 ⊂ N,

sao duas parametrizacoes para vizinhancas de F (p), entao ψ−11 f ϕ1 e diferenciavel em ϕ−1

1 (p) se e somentese ψ−1

2 f ϕ2 e diferenciavel em ϕ−12 (p), pois

ψ−11 f ϕ1 =

(ψ−1

1 ψ2

)(ψ−1

2 f ϕ2

)(ϕ−1

2 ϕ1

),

ψ−12 f ϕ2 =

(ψ−1

2 ψ1

)(ψ−1

1 f ϕ1

)(ϕ−1

1 ϕ2

),

e ϕ−12 ϕ1, ϕ

−11 ϕ2, ψ

−11 ψ2, ψ

−12 ψ1 sao todos difeomorfismos.

0.11 Proposicao. Toda parametrizacao local e um difeomorfismo.

Prova: Se ϕ : U −→ V e uma parametrizacao local para uma superfıcie regular M , entao sua inversa ϕ−1

e trivialmente diferenciavel porqueid ϕ−1 ϕ = id

e diferenciavel.

0.12 Exemplo. A restricao de uma funcao diferenciavel em RN a uma superfıcie M ⊂ RN e uma funcaodiferenciavel.

0.13 Proposicao (Regra da Cadeia para Superfıcies). Sejam M,N,P superfıcies regulares e

F : M −→ N,

G : N −→ P,

aplicacoes diferenciaveis com F (M) ⊂ N . Entao a composta G F e diferenciavel.

Prova: Consequencia da definicao e da regra da cadeia em RN .


0.6 Espaco Tangente

Da mesma forma que a derivada dFp de uma aplicacao diferenciavel F : U ⊂ Rn −→ RN , p ∈ U , levavetores de Rn em vetores de RN , a derivada de uma aplicacao diferenciavel entre superfıcies levara vetoresem vetores; no caso de superfıcies, os unicos vetores intrınsecos a elas sao os vetores tangentes. No que sesegue denotaremos por I qualquer intervalo aberto.

0.14 Definicao. Seja M ⊂ RN uma superfıcie regular e p ∈M .Dizemos que um vetor v ∈ RN e um vetor tangente a M em p se existe uma curva diferenciavel

α : I −→M tal que para algum t0 ∈ I temos

α (t0) = p,

α′ (t0) = v.

0.15 Proposicao. Seja Mn ⊂ RN uma superfıcie regular e p ∈M .Se ϕ : U −→ V e uma parametrizacao local para p, entao o conjunto dos vetores tangentes a superfıcie

em p e dϕp (Rn).Em particular, o conjunto dos vetores tangentes a superfıcie em um ponto e um subespaco vetorial de RN

de dimensao n, chamado o espaco tangente a M em p e denotado por TMp.

Prova: Se v = dϕpw, considere a curva (segmento de reta) β : I −→ U definida por

β (t) = p+ tw,

onde I 3 0 e suficientemente pequeno para que tenhamos β (I) ⊂ U . Se α = ϕβ, entao pela regra da cadeia

α′ (0) = dϕβ(0)β′ (0) = dϕpw = v.

Reciprocamente, seja α : I −→ M ⊂ RN uma curva diferenciavel com α (t0) = ϕ (p) e α′ (t0) = v.Considere β = ϕ−1 α. Pela Proposicao 0.11, β e uma curva diferenciavel. Temos

α = ϕ (ϕ−1 α

)= ϕ β

de modo que, pela regra da cadeia,v = α′ (t0) = dϕpβ

′ (t0) .

Podemos definir de maneira analoga o conceito de espaco tangente para superfıcies parametrizadas (consi-derando apenas curvas diferenciaveis que estao na imagem da parametrizacao), mas em pontos de autoin-tersecoes podera haver mais que um espaco tangente.

0.7 Derivada de uma Aplicacao Diferenciavel entre Superfıcies

De posse do conceito de espaco tangente, podemos agora definir a derivada de uma aplicacao diferenciavelentre superfıcies regulares.

0.16 Definicao. Sejam M,N superfıcies regulares e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.Dado p ∈M , definimos o operador linear derivada

dFp : TMp −→ TNF (p)

da seguinte forma: dado v ∈ TMp, se α : I −→M e uma curva suave tal que α (t0) = p e α′ (t0) = v , entao

dFp (v) = (F α)′(t0) .


0.17 Proposicao. A derivada esta bem definida e e linear.

Prova: Para provar que dFp esta bem definida, devemos mostrar que a definicao de dFp (v) independe dacurva α escolhida. Sejam

ϕ : U ⊂ Rn −→ V ⊂M,

ψ : W ⊂ Rm −→ Z ⊂ N

parametrizacoes de vizinhancas coordenadas V de p e Z de F (p) respectivamente, de modo que

ψ−1 F ϕ : U ⊂ Rn −→ Z ⊂ Rm

e uma aplicacao diferenciavel. Como vimos na demonstracao da Proposicao 0.15, o vetor

w =(ϕ−1 α

)′(t0)

e caracterizado porv = dϕϕ−1(p)w

e independe da curva α. Considerando o isomorfismo linear L : Rn −→ TMp definido por

L = dϕϕ−1(p),

ou seja, L e a restricao de dϕϕ−1(p) ao seu conjunto imagem, podemos escrever

w = L−1v.

Temos(F α) (t) = ψ

(ψ−1 F ϕ

)(ϕ−1 α

)(t) ,

Pela regra da cadeia,

(F α)′(t) = dψψ−1[F (α(t))]d

(ψ−1 F ϕ

)ϕ−1[α(t)]

(ϕ−1 α

)′(t) ,

logo

dFp (v) = (F α)′(t0)

= dψψ−1[F (p)]d(ψ−1 F ϕ

)ϕ−1[p]

(ϕ−1

1 α)′

(t0)

= dψψ−1[F (p)]d(ψ−1 F ϕ

)ϕ−1[p]

w

= dψψ−1[F (p)]d(ψ−1 F ϕ

)ϕ−1[p]

L−1v.

A expressao final mostra ao mesmo tempo que dFp (v) independe da curva α e que

dFp = d (ϕ2)ϕ−12 [F (p)] d

(ϕ−1

2 F ϕ1

)ϕ−1

1 [p] L−1

e linear, pois e a composta de aplicacoes lineares. Podemos agora estender os resultados do calculo diferencial em RN ao calculo diferencial em superfıcies.

A demonstracao dos resultados a seguir fica como exercıcio.

0.18 Proposicao (Regra da Cadeia para Derivadas em Superfıcies). Sejam M,N,P superfıciesregulares e

F : M −→ N,

G : N −→ P,

aplicacoes diferenciaveis com F (U) ⊂ V . Entao

d (G F )p = dGF (p) dFp.

0.19 Proposicao (Teorema da Funcao Inversa para Superfıcies). Sejam M,N superfıcies regularese F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.

Se dFp e um isomorfismo, entao F e um difeomorfismo local em p.

Capıtulo 1

Variedades Diferenciaveis

1.1 Definicao

1.1 Definicao. SejaM um espaco topologico. Um Ck-atlas (ou sistema de coordenadas Ck) de dimensaon para M e uma colecao

Φ = (ϕα, Uα)α∈A

de homeomorfismos

ϕα : Uα −→ Vα = ϕα (Uα)

de um aberto Uα ⊂M sobre um aberto Vα ⊂ Rn, satisfazendo as seguintes condicoes:(i) Os abertos Uα cobrem M , isto e, ⋃

α∈A

Uα = M.

(ii) Para todos ındices α, β tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅, as mudancas de coordenadas (ou funcoes detransicao)

ϕβα = ϕβ ϕ−1α : ϕα (Uαβ) −→ ϕβ (Uαβ) ,

ϕαβ = ϕα ϕ−1β : ϕβ (Uαβ) −→ ϕα (Uαβ) ,

sao difeomorfismos Ck (ou Ck-compatıveis).Cada homeomorfismo ϕα e chamado uma carta ou um sistema de coordenadas locais para a vizi-

nhanca coordenada Uα.Se

ϕα (p) =(x1 (p) , . . . , xn (p)

),

entao x1, . . . , xn sao chamadas as coordenadas locais de p na carta ϕα.Dado um Ck-atlas Φ = (ϕα, Uα)α∈A, dizemos que uma carta ϕ : U −→ V e Ck-compatıvel com Φ se

para todo α ∈ A tal que U ∩ Uα 6= ∅ temos que ϕ ϕ−1α e ϕα ϕ−1 sao difeomorfismos Ck. Dois atlas sao

Ck-compatıveis se todas as cartas de um sao Ck-compatıveis com todas as cartas do outro.Um Ck-atlas Φ e maximal se ele contem todas as cartas que sao Ck-compatıveis com ele.Uma estrutura Ck-diferenciavel para M e um Ck-atlas maximal, k > 1.Uma variedade Ck-diferenciavel de dimensao n e um espaco topologico de Hausdorff com base enu-

meravel munido de uma estrutura Ck-diferenciavel, k > 1.Se k = 0, dizemos que M e uma variedade topologica.

17


Uma variedade diferenciavel e portanto uma variedade topologica em que as mudancas de coordenadas(funcoes de transicao) de um sistema de coordenadas local para outro sao difeomorfismos. A ideia de seconsiderar atlas maximais vem da seguinte observacao: podemos garantir que uma funcao definida em umavariedade diferenciavel e diferenciavel (a definicao sera vista no proximo capıtulo) com relacao a dois atlasdiferentes se eles sao compatıveis; portanto, neste sentido, atlas compatıveis definem a mesma estruturadiferenciavel (por outro lado, e claro que existem funcoes que sao diferenciaveis em relacao a quaisquer atlas,compatıveis ou nao, tais como as funcoes constantes). Como a relacao de compatibilidade e uma relacaode equivalencia entre atlas, a nocao de estrutura diferenciavel tambem pode ser definida em termos de umaclasse de equivalencia de atlas.

Existem variedades topologicas compactas que nao possuem nenhuma estrutura diferenciavel (veja areferencia citada no Exemplo 3.2.7 em [Conlon]). Por outro lado, se uma variedade topologica possui umaestrutura diferenciavel, ela possui uma quantidade nao enumeravel de estruturas diferenciaveis distintas (veja[Lee 1], p. 30, Problema 1.6).

Por outro lado, todo atlas diferenciavel esta contido em um unico atlas maximal, como provado a seguir.Isso permite em muitos casos definir variedades diferenciaveis atraves de um atlas contendo um numero finitode cartas, ja que este determina a estrutura diferenciavel (o unico atlas maximal que contem este atlas), sema necessidade de exibir explicitamente toda a estrutura diferenciavel, isto e, todas as cartas que constituemum atlas maximal, que em geral e uma colecao enorme, nao enumeravel, de cartas.

1.2 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel.Todo atlas de M esta contido em um unico atlas maximal.

Prova: Seja Φ = (ϕα, Uα)α∈A um atlas Ck para M . Considere a colecao

EstrDifΦ =

(ϕ,U) : ϕ e uma carta Ck-compatıvel com toda carta de Φ.


Afirmamos que EstrDifΦ e um atlas maximal para M contendo Φ (a estrutura diferenciavel determinadapor Φ)

Primeiro provamos que EstrDifΦ e um atlas. Sejam (ϕ,U) , (ψ, V ) ∈ EstrDifΦ tais que U ∩ V 6= ∅. Paraprovar que

ψ ϕ−1 : ϕ (U ∩ V ) −→ ψ (U ∩ V )

e Ck, basta provar isso em cada vizinhanca de um ponto x = ϕ (p) ∈ ϕ (U ∩ V ). Seja (ϕα, Uα) ∈ Φ tal quep ∈ Uα. Como (ϕ,U) , (ψ, V ) sao compatıveis com (ϕα, Uα) segue que

ϕα ϕ−1 : ϕ (U ∩ V ∩ Uα) −→ ϕα (U ∩ V ∩ Uα) ,

ψ ϕ−1α : ϕα (U ∩ V ∩ Uα) −→ ψ (U ∩ V ∩ Uα) ,

sao Ck, logo pela regra da cadeia

ψ ϕ−1 : ϕ (U ∩ V ∩ Uα) −→ ψ (U ∩ V ∩ Uα)

e Ck na vizinhanca ϕ (U ∩ V ∩ Uα) de x.Para ver que EstrDifΦ e um atlas maximal, note que se ϕ e uma carta Ck-compatıvel com toda carta de

EstrDifΦ, em particular ϕ e uma carta Ck-compatıvel com toda carta de Φ, ja que Φ ⊂ EstrDifΦ, logo ϕ ∈EstrDifΦ.

Suponha que Ψ e outro atlas maximal contendo Φ. Entao toda carta de Ψ e compatıvel com toda cartade Φ, logo Ψ ⊂ EstrDifΦ. Como Ψ e maximal, EstrDifΦ ⊂ Ψ.

Observe que a relacao de compatibilidade nao e uma relacao de equivalencia entre cartas, pois ela nao etransitiva: se (ϕ1, U1) e compatıvel com (ϕ2, U2) e (ϕ2, U2) e compatıvel com (ϕ3, U3), nao e necessariamenteverdade que (ϕ1, U1) e compatıvel com (ϕ3, U3), pois embora a mudanca de coordenadas

ϕ3 ϕ−11 =

(ϕ3 ϕ−1

2

)(ϕ2 ϕ−1

1

)seja Ck em U123 = U1 ∩ U2 ∩ U3, ela nao e necessariamente Ck em U13 = U1 ∩ U3. Por outro lado, se duascartas sao compatıveis com um atlas, entao elas sao compatıveis uma com a outra (Exercıcio 1.16).

Pode-se provar que toda variedade C1-diferenciavel possui uma estrutura C∞-diferenciavel , chamadauma estrutura diferenciavel suave, portanto em muitas situacoes em que se requer funcoes com alto grau dediferenciabilidade (por exemplo, em geometria diferencial) trabalha-se apenas com variedades suaves.

Surpreendentemente, a condicao de ser de Hausdorff (que assegura, entre outras coisas, que conjuntosfinitos de pontos sao fechados e que limites de sequencias convergentes sao unicos) nao e consequencia daexistencia de uma estrutura diferenciavel: pontos distintos que estao em uma mesma vizinhanca coordenadaobviamente podem ser separados por abertos, mas isso pode nao ser possıvel para pontos tais que naoexiste nenhuma vizinhanca coordenada no atlas maximal que os contenha (veja Exercıcio 1.17). A condicaode possuir uma base enumeravel garante a existencia de particoes da unidade, como veremos no proximocapıtulo, que sao importantes para provar a existencia de varias funcoes e estruturas matematicas de interesse.Por outro lado, dado um conjunto X, uma estrutura diferenciavel sobre X sempre determina uma topologiapara X (veja Teorema 1.10).

Observe que por definicao toda variedade diferenciavel e localmente compacta e localmente conexa porcaminhos e que uma variedade diferenciavel e conexa se e somente se ela e conexa por caminhos (Exercıcio1.19). Alem disso, toda variedade diferenciavel e paracompacta, isto e, toda cobertura de uma variedadediferenciavel por abertos admite uma subcobertura localmente finita; mais que isso, esta subcobertura podeser tomada enumeravel (veja [Lee 1], p. 9, Teorema 1.15).

Quando nos referirmos a uma variedade diferenciavel, assumiremos que ela esta munida de uma estruturadiferenciavel. Denotaremos as vezes uma variedade diferenciavel M de dimensao n por Mn quando fornecessario especificar a dimensao da variedade.


1.2 Exemplos

1.3 Exemplo (Esferas Sn). A esfera unitaria

Sn =(x1, . . . , xn+1

)∈ Rn+1 :

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= 1

com a topologia induzida de Rn+1 (sendo portanto um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel)e uma variedade suave com uma estrutura diferenciavel que pode ser introduzida atraves de qualquer umdos seguintes atlas (todos eles sao compatıveis, gerando o mesmo atlas maximal; Exercıcio 1.21):

A) Atlas de graficos de hemisferios:Para cada i = 1, . . . , n+ 1, considere os dois hemisferios

U+i =

(x1, . . . , xn+1

)∈ Sn : xi > 0

,

U−i =(x1, . . . , xn+1

)∈ Sn : xi < 0

.

As projecoes ϕ±i : U±i −→ Dn, onde

Dn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn :

(x1)2

+ . . .+ (xn)2< 1

e o disco unitario, definidas por

ϕ±i(x1, . . . , xn+1

)=(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1

)sao cartas. De fato, elas sao claramente contınuas e suas inversas sao as aplicacoes contınuas

(ϕ±i)−1 (

x1, . . . , xn)

=

x1, . . . , xi,±

1−n+1∑k=1k 6=i

(xk)2

1/2

, xi+1, . . . , xn+1

,

de modo que elas sao homeomorfismos. As mudancas de coordenadas sao as aplicacoes

ϕ±i (ϕ±j)−1

: ϕ+j

(U±i ∩ U

±j

)−→ ϕ±i

(U±i ∩ U

±j

)dadas por

ϕ±i (ϕ±j)−1

=

x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj ,±

1−n+1∑k=1k 6=i

(xk)2

1/2

, xj+1, . . . , xn+1

,

portanto C∞. Observe que este atlas tem 2 (n+ 1) cartas.B) Atlas de projecoes estereograficas:Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, 1), qualquer reta ` passando por N que

nao seja tangente a esfera intercepta a esfera em um unico ponto

p =(x1, . . . , xn, xn+1

)e o hiperplano xn+1 = 0 em um unico ponto

x =(x1, . . . , xn, 0

).

Identificando este hiperplano com Rn atraves da identificacao natural(x1, . . . , xn, 0

)↔(x1, . . . , xn

)=: x


podemos obter uma carta para todo o aberto Sn\ N da esfera: esta reta tem equacao

N + t (p−N) =(tx1, . . . , txn, 1 + t

(xn+1 − 1

))e intercepta o plano xn+1 = 0 exatamente quando

t =1

1− xn+1,

de modo que a carta ϕN : Sn\ N −→ Rn e definida por

ϕN (p) = ϕN(x1, . . . , xn, xn+1

)=

(x1

1− xn+1, . . . ,

xn

1− xn+1

)=

x

1− xn+1. (1.1)

Esta aplicacao e claramente contınua, ja que xn+1 < 1. Para provar que ela e um homeomorfismo, obtemosa sua inversa: a reta ` tambem pode ser descrita pela equacao

N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, 1− t

)e intercepta a esfera quando ∥∥(tx1, . . . , txn, 1− t

)∥∥ = 1,

isto et2 ‖x‖2 + (1− t)2

= 1⇒ t2 (‖x‖+ 1)− 2t = 0.

Esta equacao tem duas solucoes: t = 0, correspondente ao polo norte, e

t =2

1 + ‖x‖2,

correspondente ao ponto p. Logo,

ϕ−1N (x) = ϕ−1

N

(x1, . . . , xn

)=

(2x1

1 + ‖x‖2, . . . ,

2xn

1 + ‖x‖2,‖x‖2 − 1

1 + ‖x‖2

)(1.2)

=1

1 + ‖x‖2(

2x, ‖x‖2 − 1),

que tambem claramente e uma aplicacao contınua. Isso prova que ϕN e um homeomorfismo. De maneiracompletamente analoga, fazendo a projecao estereografica a partir do polo sul, obtemos uma segunda cartaϕS : Sn\ S −→ Rn dada por

ϕS (q) = ϕN(y1, . . . , yn, yn+1

)=

(y1

1 + yn+1, . . . ,

yn

1 + yn+1

)=

y

1 + yn+1, (1.3)

cuja inversa e

ϕ−1S (y) = ϕ−1

S

(y1, . . . , yn

)=

(2y1

1 + ‖y‖2, . . . ,

2yn

1 + ‖y‖2,

1− ‖y‖2

1 + ‖y‖2

)(1.4)

=1

1 + ‖y‖2(

2y, 1− ‖y‖2).

Para ver que as mudancas de coordenadas ϕS ϕ−1N , ϕN ϕ−1

S : Rn\ 0 −→ Rn\ 0 sao aplicacoes suavese so verificar que

ϕS ϕ−1N (x) = ϕS

(1

1 + ‖x‖2(

2x, ‖x‖2 − 1))

=

2x

1 + ‖x‖2

1 +‖x‖2 − 1

1 + ‖x‖2

,


isto e,

ϕS ϕ−1N (x) =

x

‖x‖2, (1.5)

e, analogamente,

ϕN ϕ−1S (y) =

y

‖y‖2(1.6)

(ou seja, inversoes do hiperplano xn+1 = 0 em relacao a esfera). O menor atlas possıvel para a esfera possuiexatamente 2 cartas, porque a esfera e uma variedade compacta e nao e homeomorfa a um aberto de Rn.

C) Atlas de parametrizacoes de superfıcies de revolucao: Exercıcio 1.20.

1.4 Exemplo (Superfıcies Regulares de Rn). Superfıcies regulares sao variedades diferenciaveis.

Para os exemplos a seguir, recordamos alguns fatos basicos sobre topologia quociente. Se X e um espacotopologico e Y e um conjunto qualquer, uma aplicacao sobrejetiva π : X −→ Y induz uma topologia em Yatraves de se declarar um subconjunto U ⊂ Y aberto se e somente se π−1 (U) e aberto em X. Esta topologiae chamada a topologia quociente de Y induzida por π; π e chamada a aplicacao quociente, que torna-seautomaticamente uma aplicacao contınua.

Particularmente importante e frequente e a topologia quociente induzida pela projecao natural

π : X −→ X/ ∼

onde ∼ e uma relacao de equivalencia especificada com X/ ∼ denotando como usual o conjunto das classesde equivalencia de X (ou seja, o quociente de X pela relacao de equivalencia ∼). Denotando a classe deequivalencia de um elemento x por [x], a projecao natural e definida por π (x) = [x]. Com a topologiaquociente induzida por π, X/ ∼ e chamado o espaco quociente de X pela relacao de equivalencia ∼.

Se Y tem a topologia quociente e Z e um espaco topologico qualquer, entao uma aplicacao f : Y −→ Ze contınua se e somente se f π : X −→ Z e contınua. Alem disso, a topologia quociente e caracterizada poresta propriedade, isto e, ela e a unica topologia em Y que tem esta propriedade.

Xfπ

π

Y

f // Z

1.5 Exemplo (Espaco Projetivo Real RPn). O espaco projetivo real RPn e o espaco quociente daesfera Sn pela relacao de equivalencia que identifica pontos antipodais, isto e,

p ∼ −p.

Uma vizinhanca de um ponto (classe de equivalencia) [p] em RPn e portanto a identificacao antipodal deduas vizinhancas dos pontos p e −p que nao contem dentro de si pontos antipodais, tais como os hemisferiosopostos que contem p e −p. O atlas de graficos de hemisferios para a esfera do Exemplo 1.3 induz um atlaspara o espaco projetivo da seguinte forma. Seja

π : Sn −→ RPn

a projecao natural π (p) = [p], isto e, π−1 ([p]) = p,−p. Esta aplicacao identifica pontos antipodais, logoem particular identifica hemisferios opostos da esfera. Assim, vale

π(U+i

)= π

(U−i)

=: Ui.

Por definicao da aplicacao quociente, cada Ui e um aberto de RPn. Definimos uma carta

ψi : Ui −→ Dn


porψi ([p]) = ϕ+

i (p) ,

isto e, ψi π = ϕ+i ; em particular ψi e contınua. Sua inversa e

ψ−1i (x) =

[(ϕ+i

)−1(x)],

ou seja, ψ−1i = π

(ϕ+i

)−1, que e a composta de aplicacoes contınuas, logo e contınua. Portanto, ψi e um

homeomorfismo. As mudancas de coordenadas sao dadas por

ψi ψ−1j (x) = (ψi π)

(π−1 ψ−1

j

)(x)

= ϕ+i (ψj π)

−1(x)

= ϕ+i

(ϕ+j

)−1(x) ,

de modo que elas sao suaves. Para ver que RPn e um espaco de Hausdorff e tem base enumeravel, noteprimeiramente que a projecao π e uma aplicacao aberta (o que nem sempre e valido para uma aplicacaoquociente em geral): se V ⊂ Sn e aberto, entao

π−1 (π (V )) = V ∪ (−V )

(onde −U denota o antipodal de U), de modo que por definicao de aplicacao quociente π (V ) e aberto.Como a esfera Sn tem base enumeravel, isso implica que a topologia quociente de RPn tambem tem baseenumeravel. Alem disso, se [p] , [q] ∈ RPn sao pontos distintos, entao em particular p, q ∈ Sn nao sao pontosantipodais e existem vizinhancas disjuntas V de p e W de q na esfera tais que seus antipodais tambem naose intersectam (em outras palavras, V ∩W = ∅ e V ∩ (−W ) = ∅); π (V ) e π (W ) sao vizinhancas disjuntasde [p] e [q], respectivamente, e RPn e de Hausdorff.

Uma maneira equivalente de descrever o espaco projetivo real (e, historicamente, antecedeu a descricaoacima), embora mais difıcil de visualizar e a seguinte: RPn e o espaco quociente de Rn+1 pela relacao deequivalencia que identifica todos os pontos de uma reta passando pela origem, isto e,(

x1, . . . , xn, xn+1)∼ λ

(x1, . . . , xn, xn+1

)se λ ∈ R e λ 6= 0.

Para definir um atlas para esta descricao de RPn, observe que um ponto (classe de equivalencia)[x1, . . . , xn+1

]tal que xi 6= 0 satisfaz [

x1, . . . , xn+1]

=

[x1

xi, . . . ,

xi−1

xi, 1,

xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

].

Definindo agora os abertosZi =

[x1, . . . , xn+1

]: xi 6= 0

consistindo das retas de Rn+1 que passam pela origem mas nao pertencem ao hiperplano xi = 0, definimosa carta θi : Zi −→ Rn por

θi[x1, . . . , xn+1

]=

(x1

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

),

que e contınua porque θi π e, cuja inversa e a aplicacao contınua dada por

θ−1i

(x1, . . . , xn

)=[x1, . . . , xi−1, 1, xi, . . . , xn+1

].

A mudanca de coordenadas e a aplicacao suave (para i < j; os outros casos sao semelhantes)

θi θ−1j

(x1, . . . , xn

)=

(x1

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xj−1

xi,

1

xixj

xi, . . . ,

xn+1

xi

).

O fato que Rn+1/ ∼ e de Hausdorff e tem base enumeravel e provado de maneira semelhante ao modo comoprovamos para Sn/ ∼ (exercıcio).


1.6 Exemplo (Espaco Projetivo Complexo CPn). De modo analogo, definimos o espaco projetivocomplexo CPn como sendo o espaco quociente de Cn+1 (identificado com R2n+2) pela relacao de equivalenciaque identifica todos os pontos de uma reta complexa passando pela origem. Equivalentemente, CPn =S2n+1/ ∼ onde a relacao de equivalencia e(

z1, . . . , zn, zn+1)∼ λ

(z1, . . . , zn, zn+1

)se λ ∈ C e |λ| = 1.

CPn tem dimensao 2n.

1.7 Exemplo (Variedade Produto). Se Mm e Nn sao variedades diferenciaveis com atlas (ϕα, Uα)α∈Ae (ψβ , Vβ)β∈B, respectivamente, entao a variedade produto e o espaco topologico produto M ×N com

atlas (ϕα × ψβ , Uα × Vβ)(α,β)∈A×B. Note que uma mudanca de coordenadas para cartas da variedade

produto satisfaz(ϕ1 × ψ1) (ϕ2 × ψ2)

−1=(ϕ1 ϕ−1

2

)×(ψ1 ψ−1

2

)e portanto e uma aplicacao diferenciavel. A variedade produto tem portanto dimensao m+ n.

Um exemplo importante de variedade produto e o toro n-dimensional

Tn = S1 × . . .× S1.

1.8 Exemplo (Duas Estruturas Diferenciaveis em R). Considere R munido com a topologia usual.Podemos definir pelo menos duas estruturas diferenciaveis diferentes para R, isto e, dois atlas nao compatıveis(e que portanto geram atlas maximais diferentes). Temos a estrutura diferenciavel padrao para R, isto e, oatlas maximal que consiste de todas as aplicacoes que sao difeomorfismos de abertos de R (lembre-se queos abertos de R sao unioes de intervalos abertos). O atlas para R consistindo apenas da carta ϕ : R −→ Rdefinida por

ϕ (x) = x3

(note que ϕ e um homeomorfismo) nao e compatıvel com o atlas padrao de R, pois(id ϕ−1

)(x) = x1/3

nao e diferenciavel, e portanto este atlas gera uma estrutura diferenciavel diferente da estrutura diferenciavelcanonica. Veremos mais tarde, no entanto, que estas estruturas diferenciaveis sao equivalentes, no sentidode definirem variedades diferenciaveis difeomorfas.

1.9 Exemplo. Qualquer variedade topologica que possui um atlas consistindo de apenas uma carta, ou umatlas em que as funcoes de transicao evitam pontos onde existem as singularidades (tais como a quina dografico da funcao modulo, os quatro cantos de um quadrado ou os seis vertices de um cubo), e automatica-mente uma variedade diferenciavel suave. Em particular, se U ⊂ Rn e um aberto qualquer e f : U −→ Rk euma funcao contınua qualquer, entao o grafico de f

graf (f) = (x, f (x)) : x ∈ U

na topologia induzida de Rk e uma variedade diferenciavel suave de dimensao n, cujo atlas consiste da cartaϕ : graf (f) −→ U ⊂ Rn dada por ϕ (x, f (x)) = x.

1.3 Definicao da Topologia de uma Variedade atraves de um Atlas

Um atlas Φ para um conjunto X satisfazendo certas condicoes adicionais pode ser usado para definir umatopologia em X em relacao a qual X e uma variedade diferenciavel com estrutura diferenciavel determinadapor Φ como mostrado a seguir.


1.10 Teorema. Seja X um conjunto. Suponha que exista uma colecao

Φ = ϕαα∈A

de bijecoes ϕα : Uα −→ Vα de um subconjunto Uα ⊂ X sobre um aberto Vα ⊂ Rn satisfazendo as seguintescondicoes:

(1) Os subconjuntos Uα cobrem X, isto e, ⋃α∈A

Uα = X.

(2) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅, os conjuntos ϕα (Uαβ) e ϕβ (Uαβ) sao abertosem Rn e as aplicacoes

ϕαβ = ϕβ ϕ−1α : ϕα (Uαβ) −→ ϕβ (Uαβ) ,

ϕβα = ϕα ϕ−1β : ϕβ (Uαβ) −→ ϕα (Uαβ) ,

sao Ck-difeomorfismos, k > 1.Entao existe uma unica topologia T em X relativa a qual Φ e um Ck-atlas para X.

Prova: Passo 1. Definicao de uma topologia em X.Para definir uma topologia em X, declaramos que um subconjunto A ⊂ X e aberto se

ϕα (A ∩ Uα)

e aberto em Rn para todo α ∈ A. (Isto e equivalente a tomar os conjuntos ϕ−1α (V ) para todos os abertos

V ⊂ Rn como uma base para a topologia.) Claramente ∅ e X sao abertos. De

ϕα

((⋃i∈IAi

)∩ Uα

)= ϕα

(⋃i∈I

(Ai ∩ Uα)

)=⋃i∈Iϕα (Ai ∩ Uα)

segue que uma uniao arbitraria de abertos de X e aberta e de

ϕα ((A ∩B) ∩ Uα) = ϕα ((A ∩ Uα) ∩ (B ∩ Uα))

= ϕα (A ∩ Uα) ∩ ϕα (B ∩ Uα)

segue que uma intersecao finita de abertos de X e aberta. Portanto isto define uma topologia em X.Passo 2. Φ e um atlas Ck para X.

Como cada Vα e um aberto de Rn, segue da definicao da topologia que cada Uα e um aberto de X. Restaentao apenas verificar que cada ϕα e um homeomorfismo, pois as condicoes (1) e (2) garantirao que Φ e umatlas. Pela definicao da topologia, o inverso de subconjuntos abertos de Vα ⊂ Rn e aberto em X, logo ϕα econtınua. Alem disso, tambem pela definicao, se U e um aberto em Uα, entao ϕα (V ∩ Uα) e um aberto deRn, logo ϕ−1

α tambem e contınua.Passo 3. Unicidade da topologia.

Seja T uma topologia em X em relacao a qual Φ e um atlas Ck para X. Mostraremos que A ∈ T see somente se ϕα (A ∩ Uα) e aberto em Rn para todo α ∈ A, de modo que T coincidira com a topologiadefinida no Passo 1. De fato, como cada ϕα e um homeomorfismo na topologia T, segue que se A ∈ T entaoϕα (A ∩ Uα) e aberto em Rn. Reciprocamente, se ϕα (A ∩ Uα) e aberto em Rn para todo α ∈ A, entao

A ∩ Uα = ϕ−1α (ϕα (A ∩ Uα)) ∈ T


para todo α ∈ A; como X =⋃α∈A

Uα, segue que

A =⋃α∈A

(A ∩ Uα) ∈ T.

A topologia T definida no teorema nao e necessariamente de Hausdorff, nem precisa possuir base enu-

meravel. Ela e apenas localmente de Hausdorff no sentido de que se p, q ∈ Uα para algum α e p 6= q, entaoeles possuem vizinhancas disjuntas porque Uα e homeomorfo a um aberto de Rn, mas se p, q nao pertencema uma mesma vizinhanca coordenada, ou nao pertencem a vizinhancas coordenadas disjuntas, pode nao serpossıvel separar p e q atraves de abertos de X. Para que isso ocorra, impomos condicoes adicionais:

1.11 Teorema. A topologia T definida no Teorema 1.10 e de Hausdorff se(3) Dados p, q ∈ X, p 6= q, ou existe algum aberto Uα contendo ambos p e q, ou existem conjuntos

disjuntos Uα, Uβ tais que p ∈ Uα e q ∈ Uβ.

Prova: Segue da discussao anterior que X e de Hausdorff. A condicao (3) e suficiente mas nao e necessaria. Uma condicao necessaria e suficiente para a topologia T serde Hausdorff e que para todos ındices α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅, nao existe nenhuma sequenciaxkk∈N ⊂ ϕα (Uαβ) tal que

xk −→ x ∈ Vα\ϕα (Uαβ) ,

ϕβ ϕ−1α (xk) −→ y ∈ Vβ\ϕβ (Uαβ) .

Veja [Lima], p. 115, Lema 3, para uma demonstracao.

1.12 Teorema. A topologia T definida no Teorema 1.10 possui uma base enumeravel se e somente se(4) A cobertura Uαα∈A de X possui uma subcobertura enumeravel.

Prova: Se a condicao (4) vale, segue que X e uma uniao enumeravel de abertos, cada um dos quaishomeomorfo a um aberto de Rn que possui uma base enumeravel. A recıproca segue do Teorema de Lindelof.

Todas as definicoes e contrucoes acima assumem a existencia de um conjunto X ou de um espaco to-pologico M a priori, em cima do qual se constroi uma estrutura diferenciavel. Uma maneira talvez maisintuitiva de se construir uma variedade diferenciavel seria atraves de se colar pedacos de Rn, isto e, abertoseuclidianos (semelhante a construcao de fibrados, como veremos mais tarde). Entretanto, a formalizacaodisso e mais recente (e mais tecnicamente complexa do que fibrados): veja [Gallier-Xu-Siqueira] e detalhesextras em [Gallier-Quaintance], Secao 8.1, pp. 317-333.

1.4 Variedades com Bordo

Enquanto que variedades diferenciaveis sao modeladas localmente em Rn, variedades com bordo sao mode-ladas localmente no hiperplano superior n-dimensional

Hn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn : xn > 0

.

1.13 Definicao. Seja M um espaco topologico. Um Ck-atlas com bordo de dimensao n para M e umacolecao Φ = (ϕα, Uα)α∈A de homeomorfismos ϕα : Uα −→ Vα = ϕα (Uα) de um aberto Uα ⊂M sobre umaberto Vα ⊂ Hn, satisfazendo as condicoes (i) e (ii) da Definicao 1.1.

Cada homeomorfismo ϕα e chamado uma carta ou um sistema de coordenadas locais para a vizinhancacoordenada Uα. Se ϕα (Uα)∩∂Hn 6= ∅, ϕα e chamada uma carta com bordo, caso contrario ϕα e chamadauma carta interior. Um ponto p ∈M e chamado um ponto interior se p ∈ ϕ−1

α (intVα) para algum α, e


um ponto do bordo de M se p ∈ ϕ−1α (∂Vα) para algum α. O interior de M e o conjunto intM dos pontos

interiores e o bordo de M e o conjunto ∂M dos pontos de bordo.Cartas compatıveis, atlas maximais e estrutura Ck-diferenciavel com bordo (ou ∂-estrutura dife-

renciavel Ck) para M sao definidas de maneira analoga a Definicao 1.1.Uma variedade Ck-diferenciavel com bordo (ou ∂-variedade diferenciavel Ck) de dimensao n

e um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel munido de uma estrutura Ck-diferenciavel combordo, k > 1. Se k = 0, dizemos que M e uma variedade topologica com bordo.

E importante ressaltar que o bordo de M em geral nao coincide com a fronteira topologica de M , mesmoquando M e um subespaco de um espaco topologico maior (caso contrario, a fronteira topologica de M evazia). Por exemplo, a bola unitaria fechada

Bn = x ∈ Rn : ‖x‖ 6 1

e uma variedade com bordo, cujo bordo e a esfera Sn−1. Se considerada como um subespaco topologico deRn, sua fronteira topologica coincide com o seu bordo, mas se considerada como um subespaco topologicode Rn+1 ⊃ Rn, sua fronteira topologica e todo a variedade Bn.

Variedades diferenciaveis sao variedade com bordo vazio. Se M e uma variedade com bordo de dimensaon, segue diretamente da definicao que intM e uma variedade diferenciavel de dimensao n. O seu bordo ∂Mtambem e uma variedade diferenciavel, mas de codimensao 1:

1.14 Proposicao. Seja M uma ∂-variedade diferenciavel de dimensao n.Se p ∈ ∂M , entao para toda carta (ϕ,U) compatıvel com a ∂-estrutura diferenciavel de M tal que p ∈ U

valeϕ (p) ∈ ∂Hn.

Em particular,intM ∩ ∂M = ∅

e ∂M e uma variedade diferenciavel de dimensao n − 1, com estrutura diferenciavel herdada da estruturadiferenciavel com bordo de M .

Prova: Denote a ∂-estrutura diferenciavel de M por EstrDif∂ (M). Se p ∈ ∂M , existe uma carta (ψ, V ) ∈EstrDif∂ (M) tal que ψ (p) ∈ ∂Hn. Seja (ϕ,U) qualquer carta compatıvel com EstrDif∂ (M) tal que p ∈ U .Suponha por absurdo que ϕ (p) ∈ intHn. Como a mudanca de coordenadas

ψ ϕ−1 : ϕ (U ∩ V ) −→ ψ (U ∩ V )

e um difeomorfismo, pelo teorema da aplicacao inversa ψ ϕ−1 leva um aberto W ⊂ ϕ (U ∩ V ) ∩ intHncontendo ϕ (p) em um aberto de Rn, contradizendo ψ ϕ−1 (ϕ (p)) = ψ (p) ∈ ∂Hn.

Um atlas diferenciavel Φ para M pode ser obtido de EstrDif∂ (M) definindo

Φ = (η,W ) : W = U ∩ ∂M 6= ∅ para algum (ϕ,U) ∈ EstrDif∂ (M) e η = ϕ|U∩∂M

e identificando ∂Hn naturalmente com Rn−1. O produto de variedades com bordo nao e uma variedade com bordo, pois podem surgir quinas que pode

nao ser diferenciavel de acordo com a estrutura diferenciavel produto. No entanto, vale o resultado a seguir.

1.15 Proposicao. Se M e uma variedade diferenciavel e N e uma ∂-variedade diferenciavelo, entao M×Ne uma ∂-variedade diferenciavel e ∂ (M ×N) = M × ∂N.

Prova: Exercıcio.


1.5 Exercıcios

1.16 Exercıcio. Mostre que se duas cartas (ϕ,U) e (ψ,W ) sao compatıveis com um atlas Φ = ϕα, Uαα∈A,entao elas sao compatıveis uma com a outra.

1.17 Exercıcio. Considere o subconjunto X = (R× 0) ∪(R+ × 1

)de R2 com a seguinte base para a

sua topologia:(a) intervalos do tipo (a, b)× 0, a < b;(b) intervalos do tipo (a, b)× 1, 0 6 a < b;(c) unioes de intervalos do tipo [(a, 0]× 0] ∪ [[0, b)× 1], a < 0 < b.Verifique que X possui uma base enumeravel, que conjuntos finitos de pontos sao fechados em X e que

todo ponto de X possui uma vizinhanca difeomorfa a um conjunto aberto de R. Observe que X nao e, noentanto, um espaco de Hausdorff, porque os pontos (0, 0) e (0, 1) nao possuem vizinhancas abertas disjuntas.Veja tambem mais exemplos em [Lima], pp. 116-120.

1.18 Exercıcio. Mostre que dois atlas para M determinam a mesma estrutura diferenciavel se e somentese sua uniao e um atlas.

1.19 Exercıcio. Mostre que uma variedade diferenciavel M e conexa se e somente se ela e conexa porcaminhos.

Alem disso, verifique que as componentes conexas de M sao as suas componentes conexas por caminhos.Finalmente, prove que M possui no maximo um numero enumeravel de componentes conexas.

1.20 Exercıcio. Construa um atlas para Sn constituıdo por cartas de superfıcies de revolucao. Quantascartas sao necessarias para cobrir a esfera toda?

1.21 Exercıcio. Mostre que os tres atlas contruıdos no Exemplo 1.3 sao compatıveis.

1.22 Exercıcio. Prove que superfıcies regulares de Rn sao variedades diferenciaveis.

1.23 Exercıcio. Seja M uma variedade Ck-diferenciavel de dimensao n. Mostre que se U e um aberto deM , entao U tambem e uma variedade Ck-diferenciavel de dimensao n.

1.24 Exercıcio. Mostre que o quadrado unitario, isto e, a fronteira de [0, 1] × [0, 1], e uma variedadediferenciavel suave de dimensao 1, construindo um atlas suave para ele.

1.25 Exercıcio. Mostre que os espacos quocientes a seguir (quadrado unitario [0, 1]× [0, 1] com as identi-ficacoes dos bordos ilustradas) sao variedades diferenciaveis de dimensao 2.

1.26 Exercıcio. Leia sobre variedades de Grassmann em [Lima], pp. 123-128 e em [Gallier-Quaintance],Exemplo 7.4, pp. 275-279.

Capıtulo 2

Aplicacoes Diferenciaveis

Neste capıtulo, sempre que escrevermos o adjetivo diferenciavel, queremos dizer diferenciavel de classe Ck

(incluindo o caso k =∞) e analogamente para difeomorfismos.

2.1 Definicao

2.1 Definicao. Seja Mn uma variedade diferenciavel.Dizemos que uma funcao

f : M −→ Rk

e diferenciavel se para todo p ∈M existe uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanca de p tal que

f ϕ−1 : ϕ (U) ⊂ Rn −→ Rk

e diferenciavel.f ϕ−1 e chamada uma representacao local de f (ou uma representacao de f em coordenadas).

Observe que se f ϕ−1 e diferenciavel para uma carta (ϕ,U) de p, entao para qualquer outra carta (ψ, V )de p temos que f ψ e diferenciavel, pois

f ψ−1 = f ϕ−1 (ϕ ψ−1

)e a funcao de transicao ψ ϕ−1 e um difeomorfismo.

Frequentemente a carta ϕ−1 e omitida quando trabalha-se com a representacao de f em coordenadas eescreve-se simplesmente

f(x1, . . . , xn

)ao inves de (

f ϕ−1) (x1, . . . , xn

).

2.2 Definicao. Se M e uma variedade diferenciavel, definimos o espaco vetorial de dimensao infinita

Ck (M) =f : M −→ R : f e diferenciavel de classe Ck

.

29


Ck (M) e um espaco vetorial porque a combinacao linear de funcoes diferenciaveis e uma funcao diferenciavel.Ck (M) tambem e uma algebra associativa com identidade, com a multiplicacao usual de funcoes ou, esque-cendo a estrutura de espaco vetorial, pode ser considerado um anel comutativo com identidade, pois a funcaoidenticamente 1 (e as funcoes constantes em geral) e uma funcao diferenciavel.

2.3 Definicao. Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis. Dizemos que uma aplicacao

F : M −→ N

e diferenciavel se para todo p ∈M existem cartas (ϕ,U) de uma vizinhanca de p e (ψ, V ) de uma vizinhancade F (p) com F (U) ⊂ V tais que

ψ F ϕ−1 : ϕ (U) ⊂ Rm −→ Rn

e diferenciavel.ψ F ϕ−1 e chamada uma representacao local de F .

Novamente, observamos que se ψ F ϕ−1 e diferenciavel para as cartas (ϕ1, U1) , (ψ1, V1), entao paraquaisquer cartas (ϕ2, U2) de p e (ψ2, V2) de F (p) tais que F (U2) ⊂ V2 temos que ψ2 F ϕ−1

2 e diferenciavel,pois

ψ2 F ϕ−12 = (ψ2 ψ−1

1 ) (ψ1 F ϕ−1

1

)(ϕ1 ϕ−1

2

)e ψ2 ψ−1

1 , ϕ1 ϕ−12 sao difeomorfismos.

2.4 Exemplo. Uma aplicacao entre variedades diferenciaveis ser diferenciavel depende fortemente das es-truturas diferenciaveis definidas nestas variedades (daı o nome). As duas estruturas diferenciaveis no Exem-plo 1.8 definem estruturas diferenciaveis distintas em R, e a funcao identidade deixa de ser diferenciaveldependendo de em qual estrutura diferenciavel escolhemos trabalhar. De fato, denotando as variedadesdiferenciaveis correspondentes as estruturas por (R, id) e (R, ϕ), as aplicacoes identidade

id : (R, id) −→ (R, id) ,

id : (R, ϕ) −→ (R, ϕ) ,

id : (R, id) −→ (R, ϕ) ,

sao diferenciaveis porque

id id id−1 = id,

ϕ id ϕ−1 = id,

ϕ id id−1 (x) = x3,

mas a aplicacao identidadeid : (R, ϕ) −→ (R, id)

nao e diferenciavel porqueid id ϕ−1 (x) = x1/3

nao e diferenciavel na origem.

Observe que a continuidade de uma aplicacao diferenciavel nao e requerida na definicao, mas e umaconsequencia desta ([Lee 1], p. 34, Proposicao 2.4; Exercıcio 2.16).

2.5 Definicao. Dizemos que F : M −→ N e um difeomorfismo se F e um homeomorfismo e F, F−1 saodiferenciaveis.

Se existir um difeomorfismo entre duas variedades diferenciaveis M e N , dizemos que elas sao difeomor-fas.


Se duas variedades diferenciaveis sao difeomorfas, em particular elas possuem a mesma dimensao (Exercıcio2.17). Difeomorfismo e uma relacao de equivalencia na categoria de variedades diferenciaveis. Assim, doponto de vista de topologia diferencial, duas variedades difeomorfas sao essencialmente a mesma.

O conceito de difeomorfismo leva naturalmente a perguntar se, dada uma variedade diferenciavel, estru-turas diferenciaveis distintas sobre ela definem duas variedades diferenciaveis difeomorfas ou nao.

2.6 Exemplo (Duas Estruturas Diferenciaveis Difeomorfas em R). As duas estruturas diferenciaveisno Exemplo 1.8 definem estruturas diferenciaveis distintas, mas difeomorfas, pois

F : (R, ϕ) −→ (R, id)

dada porF (x) = x3

e um difeomorfismo. De fato,

id F ϕ−1 (x) = x,

ϕ F−1 id−1 (x) = x,

sao diferenciaveis.

A resposta em geral e que para variedades diferenciaveis de dimensao n 6 3 existe apenas uma estruturadiferenciavel a menos de difeomorfismo, enquanto que uma variedade simples de dimensao 4 como R4 temum numero nao enumeravel de estruturas diferenciaveis nao difeomorfas (no entanto, todas as estruturasdiferenciaveis de Rn sao difeomorfas se n 6= 4). Sabe-se tambem que esferas de dimensao ate n = 20, n 6= 4,possuem um numero finito de estruturas diferenciaveis a menos de difeomorfismo e este numero e conhecido(veja referencias em [Lee 1], p. 40, e [Conlon], p. 93-94, Exemplos 3.2.4-6); quantas estruturas diferenciaveisdifeomorfas S4 possui (ou mesmo se este numero e diferente de um ou finito) e uma questao em aberto, aconjectura de Poincare diferenciavel.

Uma das aplicacoes diferenciaveis mais importantes entre variedades sao as curvas diferenciaveis:

2.7 Definicao. Uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M e uma aplicacao diferenciavelα : I −→M onde I ⊂ R e um intervalo.

2.2 Construcao de Aplicacoes Diferenciaveis

O resultado a seguir permite construir uma aplicacao diferenciavel definida globalmente na variedade atravesde colar aplicacoes diferenciaveis definidas localmente, desde que elas coincidam nas intersecoes.

2.8 Proposicao. Sejam M,N variedades diferenciaveis.Se existe uma cobertura aberta Uα de M tal que para cada α existe uma aplicacao diferenciavel

Fα : Uα −→ N

tal queFα|Uα∩Uβ = Fβ |Uα∩Uβ

para todos α, β, entao existe uma unica aplicacao diferenciavel

F : M −→ N

tal que F |Uα = Fα para todo α.

Prova: Exercıcio 2.18.


2.9 Proposicao. Sejam M,N,P variedades diferenciaveis.Se

F : M −→ N,

G : N −→ P,

sao diferenciaveis, entao a composta G F : M −→ P e diferenciavel.

Prova: Exercıcio 2.19. Em particular, segue que o conjunto dos difeomorfismos de uma variedade e um grupo sob a operacao decomposicao. Denotaremos o grupo de difeomorfismos de uma variedade diferenciavel M por Difeo (M).

2.10 Proposicao. Sejam M1,M2, N variedades diferenciaveis.Denote as projecoes canonicas da variedade produto M1 ×M2 em cada uma de suas componentes por

π1 : M1 ×M2 −→M1,

π2 : M1 ×M2 −→M2.

Uma aplicacaoF : N −→M1 ×M2

e diferenciavel se e somente se cada uma aplicacoes coordenada

F i = πi F

e diferenciavel.


2.3 Particoes da Unidade

Em muitas aplicacoes e necessario colar aplicacoes diferenciaveis que nao coincidem nas intersecoes de cartasa fim de produzir uma aplicacao diferenciavel globalmente definida. A ferramenta que possibilita isso e umaparticao da unidade. Lembramos que uma colecao de subconjuntos de um espaco topologico e localmentefinito se qualquer ponto do espaco tem uma vizinhanca que intersecta no maximo um numero finito deconjuntos da colecao.

2.11 Definicao. Seja C = Uαα∈A uma cobertura aberta de uma variedade diferenciavel M .Uma particao da unidade subordinada a C e uma colecao ραα∈A de funcoes ρα ∈ C∞ (M) tais

que(i)

0 6 ρα 6 1.

(ii)

supp ρα ⊂ Uα.

(iii)

supp ρα e localmente finita.

(iv) ∑α∈A

ρα = 1.


Lembre-se que o suporte de uma funcao real f : X −→ R definida em um espaco topologico X e o conjunto

supp f = x ∈ X : f (x) 6= 0.

2.12 Teorema (Existencia de Particoes da Unidade). Toda cobertura aberta de uma variedade dife-renciavel possui uma particao da unidade subordinada.

Prova: A demonstracao aqui segue [Lee 1], pp. 41-44, e e feita em varias etapas.Passo 1. A funcao α : R −→ R definida por

α (t) =

e−1/t se t > 0,

0 se t 6 0,

e suave.Para uma demonstracao detalhada deste passo veja [Lee 1], p. 41, Lema 2.20.

Passo 2 (Funcao Corte). Dados numeros reais r < R, existe uma funcao suave β ∈ C∞ (R) tal que

β (t) ≡

1 se t 6 r,0 se t > R,

e 0 < β (t) < 1 se r < t < R.Basta definir

β (t) =α (R− t)

α (R− t) + α (t− r).

Note que o denominador nunca se anula.

Passo 3 (Funcao Bump). Dados numeros reais r < R, existe uma funcao suave η ∈ C∞ (Rn) tal que

η (x) ≡

1 se ‖x‖ 6 r,0 se ‖x‖ > R,

e 0 < η (x) < 1 se r < ‖x‖ < R.Basta definir

η (x) = β (‖x‖) ,

que e suave por ser a composta de funcoes suaves: a funcao norma e suave exceto na origem, mas como β econstante (igual a 1) na bola de raio r, isto nao e um problema.

Passo 4. Toda cobertura aberta de um espaco topologico com base enumeravel possui uma subcoberturaenumeravel.

Consequentemente, toda variedade diferenciavel possui um atlas enumeravel.Sejam X um espaco topologico B = Bii∈N uma base enumeravel para a topologia de X e C = Uαα∈A

uma cobertura aberta de X. Seja

B′ = B ∈ B : B ⊂ Uα para algum Uα ∈ C .

Para cada B ∈ B′ denote por UB algum conjunto de C que contem B, de modo que

C′ = UBB∈B′


e uma colecao enumeravel. C′ e uma subcobertura enumeravel de C: se x ∈ X, existe algum aberto Uα ∈ C

que contem x, e por definicao de base existe algum elemento Bi ⊂ Uα da base B que contem x; portantoBi ∈ B′ e daı x ∈ Bi ⊂ UBi.

Sejam agora M uma variedade diferenciavel e Φ = (ϕα, Uα)α∈A um atlas. Porque M tem base enu-meravel, a cobertura aberta Uαα∈A de M possui uma subcobertura enumeravel Uii∈N, logo as cartas(ϕi, Ui) constituem um atlas enumeravel Φ′ = (ϕi, Ui)i∈N.

No que se segue, damos o nome de bola coordenada a um aberto de uma variedade diferenciavel cujaimagem atraves de alguma carta do atlas e uma bola de Rn e bola coordenada regular a um aberto quee uma bola coordenada e cujo fecho esta contido em uma bola coordenada (de raio maior, e claro).Passo 5. Toda variedade diferenciavel M possui uma base enumeravel formada por bolas coordenadasregulares.

Sejam B = Bii∈N uma base enumeravel para a topologia de M e Φ = (ϕi, Ui)i∈N um atlas enumeravel.Se Vi = ϕi (Bi) ⊂ Rn, seja

Bi =Br (x) ⊂ Vi : x1, . . . , xn, r ∈ Q e Br (x) ⊂ BR (x) ⊂ Vi para algum R > r

a colecao enumeravel de bolas abertas centradas em pontos com coordenadas racionais e raios racionaiscontidas em Vi, tais que o seu fecho tambem esta contido em uma bola maior em Vi. Como Bi e uma baseenumeravel para Vi, e como ϕi e um homeomorfismo, a colecao

Bi =ϕ−1i (B) : B ∈ Bi

e uma base enumeravel de Ui por bolas coordenadas regulares. Segue que

⋃i∈N

Bi e uma base enumeravel

para M formada por bolas coordenadas regulares.

Passo 6. Toda variedade diferenciavel M pode ser exaurida por uma colecao enumeravel de compactos.Em outras palavras, existe uma famılia enumeravel Kii∈N de subconjuntos compactos de M tais que

M =⋃i∈N

Ki

eKi ⊂ intKi+1.

Esta famılia pode ser construıda da seguinte forma. Escreva M como a uniao enumeravel de bolas coorde-nadas regulares Bi. Tome K1 = B1. Como K1 e compacto, existe algum ındice i2 > 2 tal que

K1 ⊂ B1 ∪ . . . ∪Bi2 .

Tome K2 = B1 ∪ . . . ∪ Bi2 . Entao K2 e compacto, B2 ⊂ K2 e K1 ⊂ intK2. Em geral, suponha porinducao que construımos compactos K1, . . . ,Kj tais que Bi ⊂ Ki e Ki ⊂ intKi+1 para todo i. Porque Kj ecompacto, existe um ındice ij > j + 1 tal que

Kj ⊂ B1 ∪ . . . ∪Bij .

Tome Kj+1 = B1 ∪ . . . ∪ Bij . Entao Kj e compacto, Bj+1 ⊂ Kj+1 e Kj ⊂ intKj+1. Assim construımos asequencia de compactos com as propriedades desejadas. Note que

∪Ki ⊃ ∪Bi = M.


Lembramos que, dada uma cobertura C de um espaco topologico, um refinamento de C e uma outracobertura C′ do espaco tal que para todo C ′ ∈ C′ existe algum C ∈ C tal que C ′ ⊂ C. Como o nome diz, acobertura C′ e uma cobertura mais fina para M do que C, no sentido que os abertos de C′ sao menores queos abertos de C.Passo 7. Toda variedade diferenciavel M e paracompacta, isto e, toda cobertura aberta de M possui umrefinamento aberto localmente finito.

Alem disso, este refinamento pode ser tomado como sendo formado de bolas coordenadas regulares queformam uma base para a topologia de M , tal que a cobertura formada pelos fechos destas bolas tambem eum refinamento localmente finito.

Se Ki e uma exaustao enumeravel de M por subconjuntos compactos, como a construıda no passoanterior, defina

Vi = Ki+1\ intKi,

Wi = intKi+2\Ki−1,

de modo que cada Vi e um subconjunto compacto de cada aberto Wi (considere Kj = ∅ se j 6 0).

ff11

Agora seja C = Uαα∈A a cobertura aberta de M do enunciado do teorema. Para cada p ∈ Vi, existeUp ∈ C e se Bj e uma base enumeravel para a topologia de M formada por bolas coordenadas regulares,


existe uma bola coordenada regular Bp desta cobertura tal que Bp ⊂ Up ∩Wi. A colecao Bpp∈Vi e uma

cobertura aberta do compacto Vi (contida em Wi), logo tem uma subcobertura finita Bi, ou seja, escrevendo

Bi =Bpi1 , . . . , Bpiji

, temos

Vi ⊂ Bpi1 ∪ . . . ∪Bpiji ⊂Wi.

A uniao C′ = ∪Bi destas subcoberturas finitas e uma cobertura enumeravel de M por bolas coordenadasregulares, que e uma subcobertura de C (pois Bpij ⊂ Upij ). Ela e localmente finita porque as bolas em Bi

estao contidas em Wi e Wi∩Wi′ = ∅, exceto quando i−2 6 i′ 6 i+ 2. Note que nao apenas a colecao destasbolas coordenadas regulares, mas tambem a colecao dos fechos destas bolas e localmente finita (veja [Lee 1],p. 9, Lema 1.13).

Passo 8. Construcao de uma particao da unidade subordinada a cobertura aberta C = Uαα∈A de M .Seja Bi um refinamento enumeravel de C por bolas coordenadas regulares, localmente finito, tal que

Bi

tambem e localmente finito. Seja B′i ⊂ Uα tal que B′i ⊃ Bi e ϕi uma carta tal que

ϕi (Bi) = Bri (0) ,

ϕi (B′i) = BRi (0) .

Defina uma funcao diferenciavel fi : M −→ R por

fi (p) =

ηi ϕi (p) se p ∈ B′i,0 se p ∈M\B′i,

onde ηi e a funcao bump do Passo 3 para r = ri e R = Ri.Defina

gi (p) =fi (p)∑fi (p)

.

Como a coberturaBi

e localmente finita, o denominador de gi possui um numero finito de termos nao nulosem uma vizinhanca de cada ponto p da variedade, logo define uma funcao diferenciavel; alem disso, comofi e positiva em Bi e as fi sao nao negativas, o denominador nunca se anula e portanto gi e diferenciavel.Segue imediatamente da definicao de gi que

0 6 gi 6 1,

e ∑gi (p) = 1.

Resta apenas reindexar as funcoes gi de tal forma que elas sejam indexadas pelo mesmo conjunto deındices A da cobertura C. Porque a cobertura B′i tambem e um refinamento de C, para cada i podemosescolher um ındice α (i) ∈ A tal que B′i ⊂ Uα(i). Para cada α ∈ A, se existem ındices i tais que α (i) = α,definimos

ρα =∑

i:α(i)=α

gi (p) ;

se nao, definimos ρα ≡ 0. Segue que

supp ρα =⋃

i:α(i)=α

Bi =⋃

i:α(i)=α

Bi ⊂⊂ Uα,

0 6 ρα 6 1,∑α∈A

ρα = 1

e supp ρα e localmente finita.


2.4 Funcoes Bump e Extensoes Diferenciaveis

Nesta secao veremos nossas primeiras aplicacoes importantes de particoes da unidade.

2.13 Proposicao (Existencia de Funcoes Bump). Seja M uma variedade diferenciavel.Dados um fechado A e um aberto U ⊃ A em M , existe f ∈ C∞ (M) tal que(i)

0 6 f 6 1.

(ii)

f ≡ 1 em A.

(iii)

supp f ⊂ U.

Prova: Se ρ0, ρ1 e uma particao da unidade subordinada a cobertura U0 = U,U1 = M\A, basta tomarf = ρ0.

Estendemos o calculo diferenciavel para conjuntos arbitrarios de uma variedade diferenciavel:

2.14 Definicao. Sejam M,N variedades diferenciaveis e A ⊂M um subconjunto arbitrario.Dizemos que uma funcao

f : A −→ N

e diferenciavel se ela possui uma extensao diferenciavel local para cada ponto de A.

Em outras palavras, para cada ponto p ∈ A existem uma vizinhanca Vp de p e uma funcao diferenciavel

fp : Vp −→ N

tais quefp|Vp∩A = f |Vp∩A.

2.15 Proposicao (Lema da Extensao). Sejam M uma variedade diferenciavel, A ⊂M fechado e U ⊃ Aaberto.

Sef : A −→ Rk

e diferenciavel, existe uma extensao diferenciavel

f : M −→ Rk

de f tal que supp f ⊂ U .Em particular, se (ϕ,U) e uma carta local e V ⊂⊂ U , qualquer funcao diferenciavel

f : V −→ Rk

pode ser estendida a uma funcao diferenciavel

f : M −→ Rk

com supp f ⊂ U .


Prova: Para cada p ∈ A, seja Vp ⊂ U uma vizinhanca de p tal que existe uma extensao local fp : Vp −→ Rkde f . A famılia

Vpp∈A ∪ (M\A)

e uma cobertura aberta de M . Seja ρpp∈A ∪ ρ0 uma particao da unidade subordinada a esta cobertura.

Definimos f : M −→ Rk por

f (x) =∑p∈A

ρp (x) fp (x) .

Como a soma e localmente finita, f e diferenciavel. Se x ∈ A, entao ρ0 (x) = 0 e fp (x) = f (x), logo

f (x) =

∑p∈A

ρp (x)

f (x) =

ρ0 (x) +∑p∈A

ρp (x)

f (x) = f (x) .

Alem disso,

supp f =⋃p∈A

supp ρp =⋃p∈A

supp ρp ⊂ Vp ⊂ U.

A segunda parte segue imediatamente da primeira, ja que V ⊂ U e fechado.

2.5 Exercıcios

2.16 Exercıcio. Prove que uma aplicacao diferenciavel entre variedades diferenciaveis e, em particular,contınua.

2.17 Exercıcio. Prove que duas variedades diferenciaveis difeomorfas possuem a mesma dimensao.

2.18 Exercıcio. Prove a Proposicao 2.8.



2.21 Exercıcio. Sejam M,N variedades com bordo difeomorfas e F : M −→ N um difeomorfismo. Mostreque F (∂M) = ∂N .

2.22 Exercıcio. Se M e uma variedade diferenciavel e A e um subconjunto fechado de M , existe umafuncao diferenciavel f : M −→ R tal que A = f−1 (0). ([Lee 1], p. 47, Teorema 2.29.)

2.23 Exercıcio. Sejam A,B subconjuntos fechados disjuntos de uma variedade diferenciavel M . Prove queexiste uma funcao diferenciavel f tal que 0 < f < 1, f−1 (0) = A e f−1 (1) = B.

2.24 Exercıcio. Se f1, . . . , fk ∈ Ck (M) tem suportes disjuntos, mostre que elas sao linearmente indepen-dentes. Conclua que Ck (M) tem dimensao infinita.

Capıtulo 3

Vetores Tangentes

Consideremos agora a questao de como definir a nocao de vetor tangente a um ponto em uma variedadediferenciavel. Esta nocao nao e obvia, ja que uma variedade e um espaco abstrato que nao se encontra emprincıpio imerso em um espaco ambiente, ou seja, em um espaco euclidiano RN , onde operacoes diferenciaise vetoriais sao naturais. Portanto, precisamos buscar uma caracterıstica de vetores tangentes em espacoseuclidianos que independa do espaco ambiente. Faremos isso em duas etapas, aumentando em abstracao atechegar a uma definicao que provara ser extremamente conveniente de usar.

De agora em diante, assumiremos k = ∞ por conveniencia (esta e a unica maneira de garantir que ofibrado tangente TM tem o mesmo grau de diferenciabilidade da variedade base M , como veremos) e porser o grau de regularidade mais usado nas aplicacoes, e diferenciavel sera sinonimo a suave. O sımbolo Mem geral sera usado para denotar uma variedade suave de dimensao n.

3.1 Vetores Tangentes a Curvas

No que se segue, as derivadas parciais de funcoes reais f de varias variaveis reais serao denotadas por

∂f

∂xiou ∂if

conforme for mais conveniente.Quando α : I −→ Rn e uma curva diferenciavel em um espaco euclidiano, escrevendo em coordenadas

α (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

),

temos

α′ (t) =

(dx1

dt(t) , . . . ,

dxn

dt(t)

).

Se α (t0) = p e α′ (t0) = v, em particular

v = α′ (t0) =

(dx1

dt(t0) , . . . ,

dxn

dt(t0)

).

Se f : Rn −→ R e uma funcao diferenciavel em p, entao a derivada direcional de f em p na direcao de v edada pela regra da cadeia por

(f α)′(t0) = dfα(t0)α

′ (t0) =

n∑i=1

∂f

∂xi(p)

dxi

dt(t0) =

[n∑i=1

dxi

dt(t0)

∂

∂xi

]f (p) .

39


Como as derivadas parciais sao operadores lineares sobre funcoes, esta expressao mostra que a derivada dire-cional em p na direcao de v pode ser vista como um funcional linear atuando sobre funcoes diferenciaveis quedepende apenas do vetor tangente v a curva. Esta nocao pode ser generalizada para variedades diferenciaveis:

3.1 Definicao. Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel com α (t0) = p. O vetor tangente a curva αem p e o funcional linear vp : C∞ (M) −→ R definido por

vp (f) = (f α)′(t0) . (3.1)

Um vetor tangente a variedade M em p e qualquer vetor tangente a uma curva diferenciavel passandopor p.

A Equacao (3.1) define de um funcional linear em C∞ (M) porque, pela linearidade da derivada de funcoesreais de uma variavel real, para todos a, b ∈ R e f, g ∈ C∞ (M) temos

vp (af + bg) = [(af + bg) α]′(t0)

= [a (f α) + b (g α)]′(t0)

= a (f α)′(t0) + b (g α)

′(t0)

= avp (f) + bvp (g) .

Na proposicao a seguir obtemos uma expressao local para vetores tangentes:

3.2 Proposicao (Expressao Local de Vetores Tangentes). Em coordenadas locais, o vetor tangente vpa curva α em p se escreve na forma

vp (f) =

n∑i=1

dαi

dt(t0)

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) ,

onde ϕ =(x1, . . . , xn

)e uma carta para p, x0 = ϕ (p), α (t0) = p e (ϕ α) (t) =

(α1 (t) , . . . , αn (t)

).

Prova: Por definicao, dado f ∈ C∞ (M), temos

vp (f) = (f α)′(t0)

=(f ϕ−1 ϕ α

)′(t0)

= d(f ϕ−1

)x0

(ϕ α)′(t0)

=

n∑i=1

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0)dαi

dt(t0) .

Assim, um vetor tangente a M em p e um funcional linear para o qual existe uma curva diferenciavel α em

M passando por p tal que ele pode ser calculado atraves da formula (3.1). E claro que curvas diferenciaveisdiferentes α, β : I −→M com α (t0) = β (s0) = p podem dar origem ao mesmo vetor tangente: basta que

(f α)′(t0) = (f β)

′(s0)

para todo f , e de fato sabemos que isso ocorre em RN para curvas que sao tangentes em p.Na proxima secao definiremos vetores tangentes sem qualquer referencia a curvas. As duas definicoes

coincidirao, mas a definicao final que vamos obter nao fara qualquer mencao explıcita a uma curva. Note queum vetor tangente e um funcional linear que existe no dual C∞ (M)

∗, e o unico papel da curva na definicao e


determinar se este funcional linear e um vetor tangente ou nao (pois nem todo funcional linear em C∞ (M)∗

enecessariamente um vetor tangente), mas o funcional linear vetor tangente tem uma existencia independenteda curva.

A chave para definir vetores tangentes independentemente de curvas e exatamente esta observacao queum vetor tangente nao e um funcional linear qualquer em C∞ (M), mas um funcional linear para o qualexiste uma curva diferenciavel α em M tal que ele pode ser calculado pela equacao (3.1). Em princıpiopodem existir outros funcionais lineares em C∞ (M) que nao satisfazem esta condicao e, na verdade, comoveremos na proposicao a seguir, a maioria dos funcionais lineares em C∞ (M) nao satisfazem esta condicao: oconjunto dos funcionais lineares em C∞ (M) que sao vetores tangentes e um subespaco vetorial de dimensaon, enquanto que C∞ (M)

∗e um espaco vetorial de dimensao infinita (dual de C∞ (M), que tem dimensao

infinita pelo Exercıcio 2.23). Estabelecido isso, podemos depois buscar uma propriedade algebrica (que possaser formulada sem fazer referencia a curvas) que apenas os funcionais lineares em C∞ (M) que sao vetorestangentes satisfacam, para dar uma definicao de vetor tangente totalmente independente de curvas.

Observe que em princıpio nao esta claro da definicao de vetor tangente que o conjunto dos vetorestangentes a uma variedade M em um ponto e um espaco vetorial. Embora combinacoes lineares de funcionaislineares sempre sejam funcionais lineares, nada garante este funcional linear e um vetor tangente a uma curva.

3.3 Proposicao. Seja M uma variedade de dimensao n.O conjunto TMp dos vetores tangentes a M em qualquer ponto de M e um espaco vetorial real de

dimensao n, chamado o espaco tangente a M em p.Dada uma carta (ϕ,U) uma carta de p, com x0 = ϕ (p), se ∂i|p denota o vetor tangente definido por

∂i|p (f) =d

dt

(f ϕ−1 (x0 + tei)

)∣∣∣∣t=0

dizemos que

Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

e a base coordenada do espaco tangente TMp associada a carta ϕ.

Prova: Para provar o resultado, basta mostrar que todo vetor tangente e combinacao linear dos n vetorestangentes

∂1|p , . . . , ∂n|pe mostrar que eles sao LI.

Pela Proposicao 3.2,

vp (f) =

n∑i=1

dαi

dt(t0)

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) .

Escolhendo a curva coordenada βi (t) = ϕ−1 (x0 + tei), temos

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) = limt→0

(f ϕ−1

)(x0 + tei)−

(f ϕ−1

)(x0)

t

= (f βi)′ (0)

= ∂i|p (f) ,

donde

vp =

n∑i=1

dαi

dt(t0) ∂i|p ,

isto e, todo vetor tangente e uma combinacao linear de ∂1|p , . . . , ∂n|p.


Reciprocamente, se vp e o funcional linear

vp =

n∑i=1

ci ∂i|p ,

entao vp e o vetor tangente a curva coordenada α em p definida por

α (t) = ϕ−1

(x0 + t

(n∑i=1

ciei

)).

Com efeito,

(f α)′(0) =

d

dt

[(f ϕ−1

)(x0 + t

(n∑i=1

ciei

))]t=0

=

n∑i=1

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0)dαi

dt(0)

=

n∑i=1

ci ∂i|p (f)

= vp (f) .

Falta apenas verificar que ∂1|p , . . . , ∂n|p sao linearmente independentes. Se

n∑i=1

ci ∂i|p = 0,

entao em particularn∑i=1

ci∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) = 0 (3.2)

para todo f ∈ C∞ (M). Definindo para cada j

fj(x1, . . . , xn

)= xj

em um aberto U0 ⊂⊂ U , segue que fj e diferenciavel em U0 e pelo Lema da Extensao (Proposicao 2.15)

podemos estender fj a uma funcao diferenciavel fj ∈ C∞ (M). Como

∂(fj ϕ−1

)∂xi

(x0) =∂(fj ϕ−1

)∂xi

(x0) = δij ,

escolhendo f = fj em (3.2) obtemos cj = 0 para todo j. A base coordenada tambem sera denotada por

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

quando for conveniente ou necessario explicitar as coordenadas da carta. Tambem denotamos

∂if (p) =∂f

∂xi(p) :=

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂(f ϕ−1

)∂xi

(x) .

No final das contas, linearidade nao e a unica propriedade que caracteriza a derivada em RN e portantoe insuficiente por si so para definir vetores tangentes independentemente de curvas. Linearidade e a regra doproduto sao as propriedades que caracterizam a derivada. E, de fato, ela vale tambem para vetores tangentesa uma curva em variedades:


3.4 Proposicao (Regra do Produto). Para qualquer vetor tangente a uma curva vp vale

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

Prova: Se vp e o vetor tangente a curva α em p, entao

vp (fg) = ((fg) α)′(t0) = [(f α) (g α)]

′(t0)

= (f α)′(t0) (g α) (t0) + (f α) (t0) (g α)

′(t0)

= vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

Esta e a propriedade algebrica que buscavamos para definir vetores tangentes independentemente de curvas,como veremos agora na proxima secao.

3.2 Vetores Tangentes como Derivacoes

3.5 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um vetor tangente a M em p e uma derivacaovp : C∞ (M) −→ R, isto e, um funcional linear que satisfaz a regra do produto

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

Note que nesta definicao o conjunto dos vetores tangentes a um ponto p ∈M forma naturalmente um espacovetorial real, pois e um subespaco do espaco dual C∞ (M)

∗: uma combinacao de derivacoes tambem e uma

derivacao, pois

(αvp + βwp) (fg) = αvp (fg) + βwp (fg)

= αvp (f) g (p) + αf (p) vp (g) + βwp (f) g (p) + βf (p)wp (g)

= [(αvp + βwp) (f)] g (p) + f (p) [(αvp + βwp) (g)] .

Mas a dimensao deste espaco nao e imediatamente obvia. Alem disso, nao e claro que todo vetor tangentesegundo esta definicao e um vetor tangente segundo a definicao anterior. Embora seja consequencia dasProposicoes 3.2 e 3.4 que vetores tangentes a curvas sao derivacoes, logo o espaco vetorial dos vetorestangentes segundo a definicao anterior e um subespaco vetorial do espaco vetorial dos vetores tangentessegundo a nova definicao, ainda nao sabemos que todo funcional linear em C∞ (M) que e uma derivacao eum vetor tangente a alguma curva. Isso provara ser verdade quando mostrarmos que o espaco vetorial dasderivacoes em C∞ (M)

∗tambem tem dimensao n (Proposicao 3.13). Em outras palavras, as duas definicoes

sao nao apenas equivalentes, mas de fato definem o mesmo conceito de vetor tangente. De agora em diante,usaremos a Definicao 3.5 como nossa definicao de vetor tangente explicitamente; a caracterizacao dada pelaDefinicao 3.1 tambem sera frequentemente usada em alguns calculos, exemplos e demonstracoes.

3.6 Proposicao. Qualquer vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R satisfaz as seguintes propriedades:(i) Se f e uma funcao constante, entao vp (f) = 0.(ii) Se f (p) = g (p) = 0, entao vp (fg) = 0.

Prova: Ambas as propriedades seguem imediatamente da regra do produto:(i) Como vp e linear, basta provar para a funcao constante f ≡ 1. Temos

vp (f) = vp (f) f (p) + f (p) vp (f) = 2vp (f) ,

logo vp (f) = 0.


(ii) Temosvp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) = vp (f) 0 + 0vp (g) = 0 + 0 = 0.

Apesar dos vetores tangentes (derivacoes) estarem definidos no espaco global C∞ (M), o proximo resul-

tado mostra que a sua atuacao e local.

3.7 Proposicao. Seja vp : C∞ (M) −→ R um vetor tangente. Se f, g ∈ C∞ (M) coincidem em umavizinhanca de p, entao vp (f) = vp (g).

Prova: Sejah = f − g,

de modo que h ∈ C∞ (M) e h ≡ 0 em uma vizinhanca de p. Por linearidade, basta mostrar que vp (h) = 0.Para isso, tome ρ ∈ C∞ (M) tal que

supp ρ ⊂M\ p ,ρ ≡ 1 em supph,

a existencia de h sendo garantida pelo Proposicao 2.13. Em particular, como ρ = 1 onde h e nao nula, segueque ρh = h. Daı, pela Proposicao 3.6 (ii), segue que

vp (h) = vp (ρh) = 0.

3.3 Diferencial de uma Aplicacao

Para definir a diferencial (derivada) de uma aplicacao diferenciavel, e extremamente conveniente usar adefinicao de vetores tangentes como derivacoes:

3.8 Definicao. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.A diferencial de F em p e a aplicacao linear

dFp : TMp −→ TNF (p)

definida por

[dFp (vp)] (f) = vp (f F )

para todo f ∈ C∞ (N).

Note que como f ∈ C∞ (N) e F e suave, f F ∈ C∞ (M).

MfF //

F

R

N

f>>

dFp (vp) e uma derivacao porque

dFp (vp) (fg) = vp ((fg) F )

= vp ((f F ) (g F ))

= vp (f F ) g (F (p)) + f (F (p)) vp (g F )

= [dFp (vp) (f)] g (F (p)) + f (F (p)) [dFp (vp) (g)] .

Alem disso, dFp e uma aplicacao linear porque vp e um funcional linear.


3.9 Proposicao (Regra da Cadeia). Sejam M,N,P variedades diferenciaveis e

F : M −→ N,

G : N −→ P,

aplicacoes diferenciaveis. Entaod (G F )p = dGF (p) dFp.

Prova: Ja vimos na Proposicao 2.9 que G F e diferenciavel. Por definicao, para todo f ∈ C∞ (P ),[d (G F )p (vp)

](f) = vp (f (G F ))

= vp ((f G) F )

= dFp (vp) (f G)

=[dGF (p) (dFp (vp))

](f) .

3.10 Corolario. Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao dFp e um isomorfismo para cada p ∈ M e

d(F−1

)F (p)

= (dFp)−1

.

3.11 Corolario. Seja F : M −→ N diferenciavel.Se v e o vetor tangente a curva α em p, entao dFp (v) e o vetor tangente a curva F α em F (p).

Prova: Pois,(F α)

′(t0) = dFα(t0)dαt0 = dFα(t0)α

′ (t0) = dFp (v) .

3.12 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel.Se U e um aberto de M e i : U −→M e a inclusao, entao

dip : TUp −→ TMp

e um isomorfismo para todo p ∈M .Em particular, TUp e TMp sao isomorfos.

Prova:dip e injetiva.

Suponha dip (vp) = 0 para vp ∈ TUp. Seja V ⊂⊂ U uma vizinhanca de p. Se f ∈ C∞ (U) e uma funcao

diferenciavel arbitraria, considere uma extensao f ∈ C∞ (M) tal que f = f em V . Como f e f coincidemna vizinhanca V de p, segue da Proposicao 3.7 que

vp (f) = vp

(f |U)

= vp

(f i

)= dip (vp)

(f)

= 0.

Como f e arbitraria, isso prova que vp = 0, logo dip e injetiva.dip e sobrejetiva.

Seja wp ∈ TMp um vetor tangente qualquer. Defina um funcional linear derivacao v : C∞ (U) −→ R por

v (f) = wp

(f)

onde f e a extensao de f definida anteriormente; pela Proposicao 3.7, o valor de wp

(f)

independe da escolha

de f , logo v esta bem definida. E facil ver que v e linear e e uma derivacao. Para todo g ∈ C∞ (M) temos

dip (v) (g) = v (g i) = wp

(g i

)= wp (g)


onde a ultima igualdade segue do fato que g i e g coincidem em V . Portanto, dip (v) = wp. Usando este resultado, obtemos uma demonstracao que dimTMp = n para a definicao de vetores tan-

gentes como derivacoes (em particular, independente da Proposicao 3.3):

3.13 Proposicao. Se M e uma variedade diferenciavel de dimensao n, entao TMp e um espaco vetorial dedimensao n para todo p ∈M .

Prova: Seja (ϕ,U) uma carta para uma vizinhanca de p. Como ϕ e um difeomorfismo, segue que

dϕp : TUp −→ T (Rn)ϕ(p)∼= Rn

e um isomorfismo. Como TUp e TMp sao isomorfos pelo lema anterior, segue o resultado. Conforme a discussao que se segue a Definicao 3.5, concluımos que todo funcional linear em C∞ (M) que euma derivacao e um vetor tangente a alguma curva diferenciavel em M . Assim, para todo vetor tangentevp ∈ TMp existe uma curva diferenciavel α : I −→M com α (t0) = p tal que

vp (f) = (f α)′(t0) ,

ou seja, as Definicoes 3.1 e 3.5 definem o mesmo objeto matematico.

3.4 Diferencial em Coordenadas

Seja F : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicacao diferenciavel. Calculemos a diferencial dFx : Rm −→ Rn. Denotandopor

Bm = e1, . . . , em ,Bn = e′1, . . . , e′n ,

as bases canonicas de Rm e Rn, respectivamente, obtemos para f ∈ C∞ (Rm)

[dFx (ei)] (f) = ei (f F ) =∂ (f F )

∂xi(x)

=

m∑j=1

∂f

∂xj(F (x))

∂F j

∂xi(x)

=

m∑j=1

∂F j

∂xi(x) e′j (f) ,

ou seja,

dFx (ei) =

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) e′j .

Se

v =

m∑i=1

viei,

entao

dFx (v) =

m∑i=1

vidFx (ei) =

n∑j=1

[m∑i=1

vi∂F j

∂xi(x)

]e′j ,

isto e,

[dFx (v)]Bn =

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

v1

...vm

= [dFx]Bm,Bn [v]Bm .


Assim, a matriz da diferencial dFx em relacao as bases Bm,Bn e a matriz jacobiana:

[dFx]Bm,Bn :=

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

(x) .

Agora, para aplicacoes diferenciaveis entre variedades, note em primeiro lugar que se (ϕ,U) e uma cartade p = ϕ−1 (x), a base coordenada associada a ϕ satisfaz

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dϕ−1x (ei)

De fato, como vimos na demonstracao da Proposicao 3.3, para f ∈ C∞ (M) vale

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂(f ϕ−1

)∂xi

(x) = ei(f ϕ−1

)=[dϕ−1

x (ei)]

(f) .

Seja F : Mm −→ Nn e uma aplicacao diferenciavel. Escolha cartas (ϕ,U) de p ∈M e (ψ, V ) de F (p) ∈ Ne denote

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

,

BF (p) =

∂

∂y1

∣∣∣∣F (p)

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣F (p)

,

as bases coordenadas associadas de TMp e TNF (p), respectivamente. Seja

F = ψ F ϕ−1 : ϕ (U) ⊂ Rm −→ Rn.

EscrevendoF ϕ−1 = ψ−1 F ,

temos

dFp

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)= dFp

[dϕ−1

x (ei)]

= dψ−1F (p)

[dFx (ei)

]

= dψ−1F (p)

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) e′j

=

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) dψ−1

F (p)

(e′j)

=

n∑j=1

∂F j

∂xi(x)

(∂

∂yj

∣∣∣∣F (p)

).


de modo que a matriz que representa a diferencial dFp em relacao a estas bases e

[dFp]Bp,BF (p)=

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...

∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

.

Usualmente, abusa-se a notacao identificando-se a representacao local F = ψ F ϕ−1 de F com a propriaF .

3.5 Fibrado Tangente

Denotaremos uma uniao disjunta pelo sımbolo⊔

, ou seja,⊔λ∈Λ

Aλ =⋃λ∈Λ

λ ×Aλ,

de modo que mesmo que os conjuntos Aλ se sobreponham, na uniao disjunta eles sao substituıdos por copiasque nao se sobrepoem.

3.14 Definicao. O fibrado tangente de uma variedade diferenciavel M de dimensao n e o conjunto

TM =⊔p∈M

TMp = (p, v) : p ∈M e v ∈ TMp .

TM e essencialmente o conjunto de todos os vetores tangentes a M , parametrizado pelos pontos de M . Nestaformalizacao, cada espaco tangente TMp e chamado uma fibra do fibrado tangente sobre p, considerando aprojecao natural

π : TM −→M

dada porπ (p, v) = p.

Se M e uma variedade diferenciavel de classe Ck, qualquer atlas para M induz um atlas para este conjuntoque o transforma em uma variedade diferenciavel de dimensao 2n e classe Ck−1 como veremos; a topologiade TM tambem sera induzida pelo atlas de M via o Teorema 1.10.

3.15 Proposicao. Seja M uma variedade Ck-diferenciavel de dimensao n.Se

Φ = (ϕα, Uα)α∈Ae

TUα =⊔p∈Uα

TMp = π−1 (Uα) ,

entao

dΦ = ((ϕα, dϕα) , TUα)α∈A

e um atlas para TM .Portanto, TM e uma variedade Ck−1-diferenciavel de dimensao 2n e a projecao natural π : TM −→M

e Ck−1-diferenciavel.


Prova: Note que TUα e essencialmente o conjunto de todos os vetores tangentes aos pontos de Uα, para-metrizado pelos pontos de Uα. Definimos a carta

ψα : TUα −→ ϕα (Uα)× Rn

por

ψα (p, v) =(ϕα (p) , d (ϕα)p v

),

ou seja,

ψα

(p,

n∑i=1

vi ∂i|p

)=

(ϕα (p) ,

n∑i=1

viei

).

SejadΦ = Ψ = ψα : TUα −→ ϕα (Uα)× Rnα∈A

a colecao destas cartas. Cada carta ψα e uma bijecao, com inversa

ψ−1α (x, v) =

(ϕ−1α (x) , d

(ϕ−1α

)xv)

ou

ψ−1α

(x,

n∑i=1

viei

)=

(ϕ−1α (x) ,

n∑i=1

vi ∂i|p

).

Logo as mudancas de coordenadas sao(ψβ ψ−1

α

)(x, v) =

(ϕβ ϕ−1

α (x) , d(ϕβ ϕ−1

α

)xv).

Elas sao de classe Ck−1, porque as ultimas n funcoes coordenadas sao dadas em termos das derivadas parciaisdos difeomorfismos ϕβ ϕ−1

α que sao de classe Ck. Como

M =⋃α∈A

Uα,

segue que

TM =⋃α∈A

TUα

e Ψ e um atlas Ck−1. Pelo Teorema 1.10 concluımos que TM e uma variedade Ck−1-diferenciavel.Para ver que M e de Hausdorff usando o Teorema 1.11, note que dois pontos (p, v) 6= (p, w) estao na

mesma vizinhanca coordenada TUα, enquanto que para dois pontos (p, v) 6= (q, w) com p 6= q podemosencontrar vizinhancas coordenadas disjuntas Uα 3 p e Uβ 3 q em M (pois M e de Hausdorff e o atlas Φ emaximal), donde TUα 3 (p, v) e TUβ 3 (q, w) sao vizinhancas coordenadas disjuntas em TM .

Finalmente, se Ui e uma cobertura enumeravel de M por vizinhancas coordenadas, TUi e umacobertura enumeravel de TM por vizinhancas coordenadas.

A projecao natural π e diferenciavel, pois sua representacao local e π (x, v) = x.

3.16 Proposicao. Seja F : M −→ N uma aplicacao Ck-diferenciavel.Se

dF : TM −→ TN

e definida por

dF (p, v) = (p, dFp (v))

entao dF e Ck−1-diferenciavel.Alem disso, se F e um difeomorfismo, entao dF tambem e.



3.17 Exemplo (Fibrado Tangente do Cırculo). Temos

TS1 ∼= S1 × R,

isto e, o fibrado tangente do cırculo e o cilindro (Exercıcio 3.25). Mais geralmente, se a dimensao e ımparsempre vale

TSn ∼= Sn × Rn

mas isto e falso para todas as esferas de dimensao par.

3.6 Exercıcios

3.18 Exercıcio. Outra maneira de definir vetores tangentes e atraves da nocao de classes de equivalenciade curvas diferenciaveis (veja em mais detalhes [Gallier-Quaintance], Secao 7.2, pp. 283-286):

3.19 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de classe Ck. Dado p ∈M , dizemos que duas curvasdiferenciaveis de classe C1

α1 : (−ε1, ε1) −→M,

α2 : (−ε2, ε2) −→M,

passando por p, isto e, tais que α1 (0) = α2 (0) = p, sao equivalentes se

(ϕ α1)′(0) = (ϕ α2)

′(0) (3.3)

para toda carta ϕ de uma vizinhanca de p.

Mostre que se (3.3) vale para uma carta ϕ, entao ela vale para qualquer carta do atlas. Prove tambemque a condicao acima define de fato uma relacao de equivalencia para as curvas de classe C1 passando por p.

Esta relacao de equivalencia permite definir uma nocao de vetor tangente da seguinte forma:

3.20 Definicao. Um vetor tangente a M em p e qualquer classe de equivalencia [α] de curvas passandopor p.

Para transformar o conjunto TMp dos vetores tangentes em p em um espaco vetorial, mostre que se(ϕ,U) e uma carta em p, entao a aplicacao ϕ : TMp −→ Rn definida por

ϕ ([α]) = (ϕ α)′(0)

e uma bijecao e defina

[α1] + [α2] = ϕ−1 [ϕ ([α1]) + ϕ ([α2])] ,

λ [α] = ϕ−1 [λϕ ([α])] .

Mostre tambem que esta definicao independe da carta ϕ escolhida, no sentido que qualquer outra carta defineum espaco vetorial isomorfo.

Prove agora que com esta estrutura de espaco vetorial, ϕ : TMp −→ Rn e um isomorfismo, o que provaque dimTMp = n.

Para ainda outra definicao de vetor tangente utilizando a nocao de germes, veja [Tu], Secao 8, p. 86, oua longa discussao em [Gallier-Quaintance], Secao 7.3, pp. 288-295.

3.21 Exercıcio. Mostre que se M e uma superfıcie regular de RN , entao o espaco tangente TMp e isomorfoa

γ′ (0) : γ : (−ε, ε) −→M ⊂ RN e uma curva diferenciavel passando por p.


3.22 Exercıcio. Sejam M e N variedades diferenciaveis. Prove que

T (M ×N)(p,q)∼= TMp ⊕ TNq

e que T (M ×N) e difeomorfo a TM × TN .


3.24 Exercıcio. Mostre que TS1 e difeomorfo a S1 × R.

3.25 Exercıcio. Mostre que se Mn pode ser coberta por uma unica carta entao TM e difeomorfo a M×Rn.

3.26 Exercıcio. Defina os conceitos analogos deste capıtulo para uma variedades com bordo Mn e verifiqueque dimTMp = n mesmo quando p ∈ ∂M .

Capıtulo 4

Aplicacoes do Funtor Derivada

Como em Rn, em que aplicacoes lineares sao aproximadas por suas derivadas e estas suprem informacoes sobreaquelas, o mesmo ocorre com variedades diferenciaveis: propriedades da derivada dF , que sao mais faceis deobter por serem lineomorfismos entre espacos vetoriais, permitem obter conclusoes sobre o comportamentoda aplicacao diferenciavel F : M −→ N entre variedades diferenciaveis. Ou seja, usamos o funtor derivadapara passar da categoria das variedades diferenciaveis (topologia diferencial), onde resultados sao difıceisde obter, para a categoria dos espacos vetoriais (algebra linear), onde os resultados sao bem mais faceis deobter.

Em geral, para obter resultados locais, basta considerar o funtor

dFp : Var∗ −→ VecR

que leva a variedade puntual (M,p) (isto e, a variedade com um ponto distinguido p ∈M) no espaco tangenteTMp: isto e, as propriedades da derivada em um ponto permitem obter informacoes sobre o comportamentoda funcao na vizinhanca de um ponto; por exemplo, se dFp e um isomorfismo, entao F e um difeomorfismolocal em uma vizinhanca de p, se dFp e injetiva, entao F e injetiva em uma vizinhanca de p, se dFp esobrejetiva, entao F e sobrejetiva em uma vizinhanca de p, e assim por diante.

Para obter propriedades globais, geralmente e necessario considerar o funtor

dF : Var −→ Var

que leva TM em TN : se a derivada dFp tem posto constante (por exemplo, e uma imersao ou submersao)para todo p ∈M , entao pode-se concluir propriedades globais de F , tais como injetividade e sobrejetividade.

4.1 Difeomorfismos Locais

4.1 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e um difeomorfismo local se todoponto p ∈M possui uma vizinhanca U tal que F |U : U −→ F (U) e um difeomorfismo.

4.2 Teorema (Teorema da Funcao Inversa em Rn). Seja F : W −→ Rn, W ⊂ Rn aberto, uma aplicacaoCk-diferenciavel.

Se dFx e um isomorfismo, entao existem abertos U 3 x em W e V 3 F (x) em Rn tais que F |V : U −→ Ve um Ck-difeomorfismo.

Em particular, o conjunto dos pontos de W onde a derivada e um isomorfismo e aberto.Como outra consequencia, se dFx e um isomorfismo para todo x ∈W , entao F e um difeomorfismo local.

4.3 Teorema (Teorema da Aplicacao Inversa para Variedades). Seja F : M −→ N uma aplicacaoCk-diferenciavel.

52


Se dFp e um isomorfismo, entao existem abertos U 3 p em M e V 3 F (p) em N tais que F |V : U −→ Ve um Ck-difeomorfismo.

Em particular, o conjunto dos pontos de M onde a derivada e um isomorfismo e aberto.Como outra consequencia, se dFp e um isomorfismo para todo p ∈M , entao F e um difeomorfismo local.

Prova: Como dFp e um isomorfismo, em particular

dimM = dimN =: n.

Tome cartas(ϕ, U

)de p e

(ψ, V

)de F (p) tais que a representacao local de F

ψ F ϕ−1 : ϕ(U)⊂ Rn −→ ψ

(V)⊂ Rn

e diferenciavel. Se x = ϕ (p), pela regra da cadeia temos que

d(ψ F ϕ−1

)x

= dψF (p) dFp d(ϕ−1

)x

e uma composta de isomorfismos, logo e um isomorfismo. Pelo teorema da funcao inversa em Rn, existem

abertos U ⊂ ϕ(U)

e V ⊂ ψ (V ) tais que(ψ F ϕ−1

)|U : U −→ V

e um difeomorfismo, logoF |ϕ−1(U) = ψ−1

(ψ F ϕ−1

)|U

e uma composta de difeomorfismos, portanto um difeomorfismo.

4.2 Imersoes e Submersoes

No caso em que as dimensoes de M e N nao sao necessariamente iguais, a derivada nao pode mais ser umisomorfismo e as melhores situacoes possıveis sao quando a derivada e injetiva ou sobrejetiva, a possibilidadede cada uma destas situacoes dependendo das dimensoes das variedades M e N , e ao inves de difeomorfismoslocais temos situacoes analogas (levando em conta a dimensao) que serao vistas na proxima secao.

4.4 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e uma imersao se dFp e injetivapara todo p ∈M .

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e uma submersao se dFp e sobrejetiva para todop ∈M .

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N tem posto k se dFp tem posto k para todo p ∈M .

Difeomorfismos locais sao exemplos de imersoes e submersoes; uma imersao F : Mm −→ Nn tem posto n euma submersao F : Mm −→ Nn tem posto n.

4.5 Exemplo. Sejam M1,M2 variedades diferenciaveis.As inclusoes

i1 : M1 −→M1 ×M2,

i2 : M2 −→M1 ×M2,

sao imersoes.As projecoes

π1 : M1 ×M2 −→M1,

π2 : M1 ×M2 −→M2,

sao submersoes.


4.6 Exemplo. A projecao π : TM −→M e uma submersao.

4.7 Exemplo. Uma curva diferenciavel α : I −→M tal que α′ (t) 6= 0 para todo t ∈ I e uma imersao.

4.8 Exemplo. Se S e uma superfıcie regular de RN , entao a inclusao i : S −→ RN e uma imersao.Se S e uma superfıcie parametrizada de RN (autointersecoes sao permitidas), a sua parametrizacao e por

definicao uma imersao.

4.9 Exemplo. A aplicacao π : R −→ S1 definida por π (t) = eit e uma submersao e um difeomorfismo local.

4.10 Exemplo. A aplicacao π : R2 −→ T2 = S1 × S1 definida por π (t, s) =(eit, eis

)e uma submersao e

um difeomorfismo local.

4.11 Exemplo. A aplicacao quociente π : Sn −→ RPn e uma submersao e um difeomorfismo local.

4.3 Formas Locais das Imersoes e Submersoes

4.3.1 Forma Padrao dos Lineomorfisms

O posto de um lineomorfismo (isto e, uma aplicacao linear) e a unica propriedade que distingue entre doislineomorfismos quando podemos escolher diferentes bases para o domınio e o codomınio.

4.12 Teorema (Forma Padrao dos Lineomorfisms). Sejam V,W espacos vetoriais de dimensao finita.Se T : V −→ W e um lineomorfismo com posto k, entao existem bases BV para V e BW para W em

relacao as quais T tem representacao matricial

[T ]BV ,BW =

[Ik 00 0

].

Mais precisamente, se m = dimV e n = dimW , entao

[T ]BV ,BW =

[Im0

]se k = m < n (inclusao),

Ik se k = m = n (isomorfismo),[In 0

]se m > n = k (projecao),

ou, em coordenadas em relacao a estas bases,

T(x1, . . . , xm

)=

(x1, . . . , xm, 0, . . . 0

)se k = m < n,(

x1, . . . , xn)

se k = m = n,(x1, . . . , xn

)se m > n = k.

Prova: Pelo teorema do nucleo e da imagem,

dim kerT = m− k.

SejaBkerT = ek+1, . . . , em

uma base para o nucleo de T eBV = e1, . . . , ek, ek+1, . . . , em


o seu completamento ate uma base de V . Entao

BimT = Te1, . . . , T ek

e uma base para imT .Denotando

fi = Tei para i = 1, . . . , k,

completamos BimT ate uma base

BW = f1, . . . , fk, fk+1, . . . , fm

para W . Segue que

Te1 = f1, . . . , T ek = fk,

T ek+1 = . . . = Tem = 0,

donde segue o resultado. A versao nao linear para o Teorema 4.12 em Rn e chamada o teorema do posto e especificamente as

formas locais das imersoes (para inclusoes) e das submersoes (para projecoes), que veremos a seguir (oultimo enunciaremos apenas para variedades; sua versao euclidiana pode ser vista em [Lima], p. 22).

4.3.2 Forma Local das Imersoes

4.13 Teorema (Forma Local das Imersoes em Rn). Seja F : W −→ Rn,W ⊂ Rm aberto, uma aplicacaoCk-diferenciavel e m < n.

Se dFx0e injetiva, entao existem abertos U 3 x0 em W , Z 3 0 em Rn−m e V 3 F (x0) em Rn, e um

Ck-difeomorfismoh : V −→ U × Z

tal que h F |U e uma inclusao, isto e,h F (x) = (x, 0)

para todo x ∈ U .Em particular, o conjunto dos pontos de U onde a derivada e injetiva e aberto.

Prova: Atraves de um isomorfismo apropriado escreva Rn−m = dFx0 (Rn)⊥

(qualquer outro subespacocomplementar da imagem dFx0

(Rm) em Rn serve). Defina g : U × Rn−m ⊂ Rn −→ Rn por

g (x, y) = F (x) + (0, y) .

Entaodg(x,y) (u, v) = dFx (u) + (0, v) ,

de modo quedg(x0,0) (Rn) = dFx0

(Rn)⊕ dFx0(Rn)

⊥= Rn

e portanto dg(x0,0) e um isomorfismo. Pelo teorema da funcao inversa, g e um Ck-difeomorfismo de umavizinhanca de (x0, 0) para uma vizinhanca de F (x0). Diminuindo a vizinhanca se necessario, podemosescolher a primeira da forma U×Z e tomando a ultima como sendo V = g (U × Z), definimos o difeomorfismoh do enunciado por

h = g−1 : V −→ U × Z.

De fato, como g (x, 0) = F (x), temos

h F (x) = g−1 (F (x)) = (x, 0) .


4.14 Teorema (Forma Local das Imersoes para Variedades). Seja F : Mm −→ Nn uma aplicacao dife-renciavel.

Se dFp e injetiva, entao existe uma vizinhanca de p na qual F tem representacao local na forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xm, 0, . . . 0

).

Em particular, toda imersao e localmente injetiva.Como outra consequencia, o conjunto dos pontos de M onde a derivada e injetiva e aberto.

Prova: O enunciado significa que existem vizinhancas coordenadas U de p e V de F (p) e cartas ϕ : U −→ϕ (U) ⊂ Rm e ψ : V −→ ψ (V ) ⊂ Rn tais que a representacao local ψ F ϕ−1 de F nestas coordenadas euma inclusao, isto e,

ψ F ϕ−1(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xm, 0, . . . 0

).

Isso segue diretamente da forma local das imersoes em Rn aplicada a qualquer representacao local de F .

4.3.3 Forma Local das Submersoes

4.15 Teorema (Forma Local das Submersoes em Rn). Seja F : Z ⊂ Rm −→ Rn, Z ⊂ Rn aberto, umaaplicacao Ck-diferenciavel e m > n.

Se dFz0 e sobrejetiva, seja Rm = Rn ⊕ Rm−n uma decomposicao em soma direta tal que ∂1Fz0 = dF |Rne um isomorfismo.

Entao, se z0 = (x0, y0), existem vizinhancas X de x0 em Rm−n, Y de y0 em Rn, V de F (z0) em Rn eum Ck-difeomorfismo

h : X × Y −→ V

tal que F h e uma projecao, isto e,F h (x, y) = x

para todo (x, y) ∈ X × Y ⊂ Z.

Prova: Defina g : Z −→ Rn × Rm−n por

g (x, y) = (F (x, y) , y) .

Entao

dg(x,y) =

[∂1Fz0 0∂2Fz0 Im−n

],

de modo que dg(x0,y0) e um isomorfismo. Pelo teorema da funcao inversa, g e um difeomorfismo de classe Ck

de uma vizinhanca de (x0, y0) sobre uma vizinhanca de (F (z0) , y0). Escolhendo a ultima da forma X × Ye tomando a primeira como sendo V = g−1 (X × Y ), definimos o difeomorfismo h do enunciado por

h = g−1 : X × Y −→ V.

De fato, como g (x, y) = (F (x, y) , y), segue que a sua inversa h = g−1 e da forma geral

h (x, y) = (h1 (x, y) , y)

para alguma funcao h1. Daı,

(x, y) = g g−1 (x, y)

= g h (x, y)

= g (h1 (x, y) , y)

= (F (h1 (x, y) , y) , y)

= (F (h (x, y)) , y) ,


ou seja,F h (x, y) = x.

4.16 Teorema (Forma Local das Submersoes para Variedades). Seja F : Mm −→ Nn uma aplicacaodiferenciavel.

Se dFp e sobrejetiva, entao existe uma vizinhanca de p na qual F tem representacao local na forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xn

).

Em particular, toda submersao e localmente sobrejetiva.Como outra consequencia, o conjunto dos pontos de M onde a derivada e sobrejetiva e aberto.

Prova: O enunciado significa que existem vizinhancas coordenadas U de p e V de F (p) e cartas ϕ : U −→ϕ (U) ⊂ Rn e ψ : V −→ ψ (V ) ⊂ Rm tais que a representacao local ψ F ϕ−1 de F nestas coordenadas euma projecao, isto e,

ψ F ϕ−1(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xn

).

Isso segue diretamente da forma local das submersoes em Rn aplicada a qualquer representacao local de F .

4.3.4 Teorema do Posto

O teorema do posto local (a generalizacao completa do Teorema 4.12 para o caso nao linear) pode serenunciado em Rn (veja [Lima], Secao I.10, p. 22) mas enunciamos ele apenas para variedades:

4.17 Teorema (Teorema do Posto Local). Seja F : Mm −→ Nn uma aplicacao diferenciavel tal quedFp tem o mesmo posto k para todo p ∈M .

Entao F tem uma representacao local em qualquer vizinhanca na forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xk, 0, . . . , 0

).

Em particular, o conjunto dos pontos de M onde F tem posto k e aberto.

Prova: Veja Teorema 4.12 em [Lee 1].

4.18 Teorema (Teorema do Posto Global). Seja F : Mm −→ Nn uma aplicacao diferenciavel tal quedFp tem o mesmo posto k para todo p ∈M .

(i) Se F e injetiva, entao F e uma imersao.(ii) Se F e sobrejetiva, entao F e uma submersao.(iii) Se F e bijetiva, entao F e um difeomorfismo.

Prova: (i) Suponha que F nao e uma imersao. Entao k < m. Pelo teorema do posto local, F temrepresentacao local

F(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xk, 0, . . . , 0

).

Segue que para ε 6= 0 suficientemente pequeno temos

F(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xm

)= F

(x1, . . . , xk, xk+1 + ε, . . . , xm

),

contrariando a injetividade de F .(ii) Suponha que F nao e uma submersao. Entao k < n. Pelo teorema do posto local, F tem representacaolocal em U ⊂M e V ⊂ N , com F (U) ⊂ V , da forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xk, 0, . . . , 0

)


Podemos assumir U como uma bola coordenada e F(U)⊂ V , diminuindo V se necessario. Segue que

F(U)⊂y ∈ V : yk+1 = . . . = xn = 0

logo F

(U)

e um subconjunto compacto de N que nao contem nenhum subconjunto aberto de N , ou seja,

F(U)

e magro (nunca denso). Como toda cobertura de uma variedade possui uma subcobertura finita,concluımos que F (M) e a uniao enumeravel de conjuntos magros, logo pelo teorema da categoria da Bairetem interior vazio em N , contradizendo a sobrejetividade de F .(iii) Segue de (i) e (ii), notando que se dFp e injetiva e sobrejetiva, entao e um isomorfismo e portanto F eum difeomorfismo local.

4.4 Mergulhos

4.19 Definicao. Um mergulho de uma variedade diferenciavel M em uma variedade diferenciavel N euma imersao F : M −→ N que e um homeomorfismo sobre a sua imagem.

4.20 Exemplo. Uma imersao pode deixar de ser um mergulho se ela nao for injetiva ou se F : M −→ F (M)nao for um homeomorfismo.

Um exemplo da primeira situacao sao superfıcies parametrizadas em RN que possuem auto-intersecoes.Dois exemplos da segunda situacao sao a parametrizacao da lemniscata (figura “8”) α : (−π, π) −→ R2

definida porα (t) = (sen 2t, sen t) ,

cuja imagem nao e homeomorfa ao intervalo aberto (−π, π) porque e um subconjunto compacto de R2 (etambem porque possui dois buracos), e a curva densa no toro β : R −→ T2

β (t) =(e2πit, e2πiθt

),

onde θ e qualquer numero irracional, que e uma imersao porque β′ (t) 6= 0. Ela e injetiva porque β (t1) = β (t2)implica que ambos t1 − t2 e θ (t1 − t2) sao inteiros, o que so vale se t1 = t2. Ela nao e um difeomorfismosobre sua imagem porque Z ⊂ R e discreto mas β (Z) ⊂ T2 necessariamente possui um ponto de acumulacao,ja que o toro e compacto. A densidade de β pode ser provada por um argumento semelhante ao visto em[Lima], pp. 163-167.

4.21 Exemplo. Uma imersao injetiva de uma variedade compacta e um mergulho, porque toda aplicacaocontınua injetiva de um espaco compacto sobre um espaco de Hausdorff e um homeomorfismo.

Uma imersao injetiva propria tambem e um mergulho. No caso de variedades, uma aplicacao contınuaF : M −→ N ser propria e equivalente a se (pn) ⊂ M nao possui subsequencia convergente implicarque (F (pn)) ⊂ N tambem nao possui subsequencia convergente (para espacos topologicos em geral, umaaplicacao contınua e propria se a pre-imagem de um compacto e sempre compacta). Em particular, umaaplicacao propria e fechada, logo quando ela e uma imersao injetiva ela e um mergulho. Um exemplo demergulho nao proprio e a curva diferenciavel α : (0,+∞) −→ R

α (t) =

(t, sen

1

t

).

Assim, se considerarmos o fecho da imagem F (M) de um mergulho F : M −→ N em N , ele pode nao seruma variedade, o que obriga em certas situacoes a trabalhar-se apenas com mergulhos proprios.

4.5 Caracterizacoes e Propriedades de Imersoes e Submersoes

4.5.1 Imersoes

O proximo resultado mostra que se F : M −→ N e uma imersao, entao a imagem de F e localmente umasubvariedade de N ; ela pode deixar de ser uma variedade por causa de autointersecoes.


4.22 Teorema. F : M −→ N e uma imersao se e somente se todo ponto de M tem uma vizinhanca U talque F |U e um mergulho.

Prova: Se F |U e um mergulho, por definicao F |U e uma imersao em U , logo F e uma imersao.Reciprocamente, suponha que F e uma imersao. Pela forma local das imersoes, F e localmente injetiva.

Tomando qualquer subconjunto compacto de uma vizinhanca em que F e injetiva, como toda aplicacaocontınua injetiva de um espaco compacto sobre um espaco de Hausdorff e um homeomorfismo, segue oresultado.

4.23 Corolario. Se F : M −→ N e uma imersao, entao F (M) e localmente uma subvariedade de dimensaom de N .

4.5.2 Submersoes

4.24 Definicao. Uma secao de uma aplicacao sobrejetiva π : M −→ N e uma aplicacao σ : N −→ M talque π σ = idN .

Uma secao local de π e uma aplicacao σ : U −→M definida em um aberto U ⊂ N tal que π σ = idU .

A ideia do conceito de secao e que quando π e sobrejetiva, σ (q) e a escolha de um ponto na fibra π−1 (q)para cada ponto q ∈ N , .

4.25 Teorema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e π : Mm −→ Nn diferenciavel.π e uma submersao se e somente se todo ponto de M esta na imagem de uma secao local diferenciavel

de π.

Prova: Suponha π e uma submersao. Dado p ∈ M , pela teorema da forma local das submersoes π temrepresentacao local

π(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xn

).

Se ε > 0 e suficientemente pequeno, o cubo coordenado

Cε =

x ∈ Rm : max

i=1,...,m

∣∣xi∣∣ < ε

e uma vizinhanca de p no domınio da representacao local acima, cuja imagem sob π e o cubo coordenado

π (Cε) =

x ∈ Rn : max

i=1,...,n

∣∣xi∣∣ < ε

.

Definimos uma secao local diferenciavel σ : π (Cε) −→ Cε por

σ(x1, . . . , xn

)=(x1, . . . , xn, 0, . . . , 0

).

Reciprocamente, se cada p ∈ M esta na imagem de uma secao local σ : U −→ M , entao π σ = idUimplica pela regra da cadeia

dπp dσπ(p) = idTNπ(p),

logo dπp e sobrejetiva.

4.26 Teorema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e π : M −→ N uma submersao sobrejetiva.Para toda variedade diferenciavel P , com ou sem bordo, uma aplicacao F : N −→ P e diferenciavel se e

somente se F π e diferenciavel.

M

Fπ

π

N

F // P


Prova: Se F e diferenciavel, F π e diferenciavel pela regra da cadeia.Reciprocamente, suponha F π diferenciavel. Dado q ∈ N , como π e sobrejetiva existe p ∈ π−1 (q) e o

teorema anterior garante a existencia de uma vizinhanca V de q e uma secao local diferenciavel σ : V −→Mtal que σ (q) = p. Como π σ = idV , segue que

F |V = F |V idV

= F |V (π σ)

= (F π) σ

e a composta de aplicacoes diferenciaveis, logo F e diferenciavel em V . Portanto, F e diferenciavel em todoponto.

4.27 Proposicao. Seja π : M −→ N uma submersao sobrejetiva.Entao π e aberta.Consequentemente, se π e sobrejetiva, π e uma aplicacao quociente.

Prova: Se U ⊂ M e aberto e p ∈ U , q = π (p), existe uma secao local diferenciavel σ : V −→ M tal queσ (q) = p. Por definicao de secao, σ−1 (U) e uma vizinhanca (aberto) de q satisfazendo

π (U) ⊃ (π σ) σ−1 (U) = σ−1 (U) ,

portanto π (U) e aberto.

4.28 Corolario (Passando ao Quociente Diferenciavelmente). Seja π : M −→ N uma submersaosobrejetiva.

4.29 Proposicao. Se P e uma variedade diferenciavel tal que F : M −→ P e constante nas fibras de π,entao existe uma unica aplicacao diferenciavel F : N −→ P tal que F π = F .

4.30 Teorema.M

F

π

N

F // P

4.6 Subvariedades

4.31 Definicao. Uma subvariedade de uma variedade diferenciavel M e um subconjunto S ⊂ M com atopologia induzida de M e com uma estrutura diferenciavel tal que a inclusao i : S −→ M e um mergulho.

As vezes subvariedades sao chamadas subvariedades mergulhadas ou subvariedades regulares, paradistingui-las de subvariedades imersas, em que se permite autointersecoes. Se S e uma subvariedade dedimensao k de uma variedade M de dimensao n, sua codimensao em N e n − k; uma hiperfıcie e umasubvariedade de codimensao 1.

4.32 Exemplo. As subvariedades de RN sao as superfıcies regulares.

4.33 Exemplo. Qualquer aberto de uma variedade diferenciavel N e uma subvariedade de N .

4.34 Proposicao. Se F : M −→ N e um mergulho, entao F (M) e uma subvariedade de N .Alem disso, existe uma unica estrutura diferenciavel que transforma F (M) em uma subvariedade de N

tal que F : M −→ F (M) e um difeomorfismo.


Prova: Como F e um mergulho, F (M) com a topologia induzida de N e homeomorfo a M , logo e umavariedade topologica. Um atlas (ϕα, Uα) para M induz um atlas

(ϕα F−1, F (Uα)

)para F (M).

Com a estrutura diferenciavel definida por este atlas, a aplicacao F e agora um difeomorfismo entre asvariedades M e F (M), e qualquer estrutura diferenciavel que satisfaca isso tem que conter o atlas acima,logo ela e unica. A inclusao e a composicao

F (M)F−1

−→MF−→ N,

logo e um mergulho.

4.35 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel.Se um conjunto S ⊂ M possui a propriedade que cada ponto p ∈ S possui uma vizinhanca V em M tal

que S ∩ V e uma subvariedade de dimensao k, entao S e uma subvariedade de M .

Prova: Exercıcio.

4.36 Definicao. Se F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel, dizemos que q ∈ N e um valor regularde F se todo p ∈ F−1 (q) e um ponto regular de F , isto e dFp e sobrejetiva.

4.37 Proposicao. Se F : Mm −→ Nn e uma aplicacao diferenciavel e q e um valor regular de F , entaoF−1 (N) e uma subvariedade de M de dimensao m− n.

Prova: Decorre da forma local das submersoes. Detalhes sao deixados como exercıcio (veja tambem [Lee 1],p. 105, Teorema 5.12 para uma generalizacao).

Veja [Lee 1], Capıtulo 5, para um tratamento exaustivo sobre a teoria elementar de subvariedades.

4.7 Teorema de Sard

4.7.1 Conjuntos de Medida Nula

Um retangulo R em Rn e qualquer produto finito de n intervalos. Se

R = I1 × . . .× In,

entao o seu volume e dado por

volR =

n∏j=1

diam Ij .

4.38 Definicao. Dizemos que um conjunto A ⊂ Rn tem medida nula se para qualquer ε > 0, existe umacolecao enumeravel Rii∈N de retangulos tal que

A ⊂⋃i∈N

Ri

e∞∑i=0

volRi < ε.

4.39 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel.Dizemos que um conjunto A ⊂M tem medida nula se para toda carta (ϕ,U) de M o conjunto ϕ (A ∩ U)

tem medida nula em Rn.

4.40 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel.Se A ⊂M tem medida nula, entao M\A e denso em M .

Prova: Veja [Lee 1], p. 128, Proposicao 6.8.


4.7.2 Teorema de Sard

4.41 Teorema (Teorema de Sard). Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N diferenciavel.O conjunto dos valores crıticos de F tem medida nula em N .

Prova: Veja [Lee 1], p. 129, Teorema 6.10.

4.42 Corolario. Se dimM < dimN , entao F (M) tem medida nula em N .Em particular, F nao pode ser sobrejetiva.Consequentemente, toda subvariedade de condimensao > 1 tem medida nula na variedade.

Prova: Todo ponto de M e ponto crıtico de F .

4.8 Teorema de Whitney

4.43 Teorema (Teorema do Mergulho de Whitney). Toda variedade diferenciavel Mn pode ser mer-gulhada em R2n.

Em particular, toda variedade diferenciavel e difeomorfa a uma subvariedade de R2n.

4.44 Teorema (Teorema da Imersao de Whitney). Se n > 2, toda variedade diferenciavel Mn podeser imersa em R2n−1.

Em outras palavras, toda variedade diferenciavel pode ser mergulhada em algum espaco euclidiano. Esteresultado e otimo para certos valores de n: espacos projetivos de dimensao n = 2k nao podem ser mergulhadosem R2n−1. Por exemplo, o plano projetivo e a garrafa de Klein nao podem ser mergulhados em R3, maspodem ser mergulhados em R4. Por outro lado, se n 6= 2k, qualquer variedade, e se n = 2k, qualquervariedade orientavel (um conceito que veremos em detalhes mais tarde) podem ser mergulhadas em R2n−1.Para uma excelente revisao (e bem ilustrada) dos resultados sobre mergulhos de variedades em espacoseuclidianos ate 2010, veja [Skopenkov]. Uma demonstracao do teorema do mergulho de Whitney, assimcomo varios resultados sobre mergulhos e imersoes, pode ser vista em [Adachi].

As tecnicas acessıveis para nos no momento so permitem demonstrar resultados de mergulho mais fracosque o teorema de Whitney completo. Mostraremos primeiro que toda variedade diferenciavel pode sermergulhada em RN para N suficientemente grande.

4.45 Lema. Toda variedade diferenciavel Mn pode ser mergulhada em RN , para N suficientemente grande.

Prova: Caso Compacto.Seja ϕi, Bii=1,...,m um atlas finito para M em que cada Bi e uma bola coordenada e ϕi e a restricao

ϕi = ϕ′i|Bi de uma carta (ϕ′i, B′i) onde B′i tambem e uma bola coordenada; isso garante que ϕ′i : Bi −→

ϕ′i(Bi)

e um difeomorfismo que leva a bola compacta Bi no conjunto compacto ϕ′i(Bi)⊂ Rn.

Para cada i, seja ρi : M −→ R a funcao lombada tal que ρi ≡ 1 em Bi e supp ρi ⊂ B′i.Definimos o mergulho F : M −→ R(n+1)m por

F = (ρ1ϕ1, . . . , ρmϕm, ρ1, . . . , ρm) .

Para provar que F e um mergulho, como M e compacta, basta provar que F e uma imersao injetiva.F e injetiva. Suponha F (p) = F (q). Em particular,

ρi (p)ϕi (p) = ρi (q)ϕi (q) ,

ρi (p) = ρi (q) ,

para todo i. Seja i tal que Bi 3 p, de modo que ρi (p) = 1. Temos

ϕi (q) = ρi (q)ϕi (q) = ρi (p)ϕi (p) = ϕi (p)


logo p = q.F e uma imersao. Dado p ∈M , seja i tal que Bi 3 p. Como ρi ≡ 1 em Bi, temos que

d (ρiϕi)p = d (ϕi)p

e injetiva, logo dFp e injetiva.Prova: Caso Nao-Compacto.

Veja [Lee 1], p. 134, Teorema 6.15 ou [Lima], p. 284, corolario da Proposicao 6.

4.46 Teorema (Teorema do Mergulho Facil de Whitney). Toda variedade diferenciavel Mn pode sermergulhada em R2n+1.

Prova: Veja [Lee 1], p. 134, Teorema 6.15 ou [Lima], p. 284, corolario da Proposicao 6.

4.47 Teorema (Teorema da Imersao Facil de Whitney). Toda variedade diferenciavel Mn pode serimersa em R2n.

Prova: Veja [Lee 1], p. 135, Teorema 6.18.

4.9 Exercıcios

4.48 Exercıcio. Se F : M −→ N e um difeomorfismo local, mostre que M e N devem ter a mesmadimensao.



Capıtulo 5

Campos Vetoriais

5.1 Definicao

5.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel e π : TM −→ M a projecao natural. Um campovetorial diferenciavel em M e uma aplicacao diferenciavel

X : M −→ TM

tal que

π X = idM .

Um campo vetorial e o que se chama uma secao diferenciavel do fibrado tangente.

Em outras palavras, um campo vetorial e uma aplicacao que associa a cada ponto p ∈M um vetor tangenteX (p) ∈ TMp; em geral denotaremos o vetor tangente X (p) por Xp. Em termos de coordenadas locais, se

B =∂1|p , . . . , ∂n|p

e a base do espaco tangente TMp associada a alguma uma carta de p entao

Xp =

n∑i=1

Xi (p) ∂i|p

e o campo vetorial X e diferenciavel em U se e somente se as funcoes coordenadas X1, . . . , Xn sao dife-renciaveis. De fato, a representacao em coordenadas locais de um campo X : M −→ TM visto como umasecao do fibrado tangente e dada por

X (p) =(x1 (p) , . . . , xn (p) , X1 (p) , . . . , Xn (p)

)=(x1, . . . , xn, X1, . . . , Xn

).

Outra forma de ver um campo vetorial diferenciavel em M e como uma aplicacao que associa a cadafuncao f ∈ C∞ (M) uma funcao Xf ∈ C∞ (M) atraves da expressao

(Xf) (p) = Xpf

onde Xp : C∞ (M) −→ R e o vetor tangente em p. Isso permite dar uma outra definicao equivalente decampo vetorial diferenciavel:

64


5.2 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umoperador linear

X : C∞ (M) −→ C∞ (M)

que e uma derivacao, isto e,(i) Para todos α, β ∈ R e f, g ∈ C∞ (M)

X (αf + βg) = αXf + βXg,

(ii) X satisfaz a regra do produto: para todos f, g ∈ C∞ (M)

X (fg) = (Xf) g + f (Xg) .

Assim, como pela definicao da diferencial

dfp (Xp) = Xp (f) ,

segue que(Xf) (p) = dfp (Xp) .

ou, mais simplesmente,

Xf = df (X) .

Consideramos combinacoes lineares de campos vetoriais de forma natural: pela primeira definicao, comonao e possıvel somar pontos de uma variedade, e necessario definir a soma e multiplicacao por escalar nasfibras, isto e,

(X + Y )p := Xp + Yp,

(λX)p := λXp;

isso e entendido de maneira mais natural pela segunda definicao.

5.3 Notacao. Seja M uma variedade diferenciavel.O espaco vetorial real dos campos vetoriais diferenciaveis em M sera denotado por T (M).Ele tambem pode ser visto como um modulo sobre o anel C∞ (M).

Uma notacao frequentemente encontrada na literatura no lugar de T (M) e X (M). Observe que T (M) e umR-espaco vetorial de dimensao infinita.

Dado um vetor tangente v ∈ TMp, sempre podemos estende-lo a um campo diferenciavel X ∈ T (M)(Exercıcio 5.24).

Observe que se trabalhassemos com Ck-variedades, o fibrado tangente seria uma variedade Ck−1 e,consequentemente, so poderıamos definir campos diferenciaveis de classe Ck−1; similarmente, de acordo coma segunda definicao, campos vetoriais seriam derivacoes Ck (M) −→ Ck−1 (M), pois

(Xf) (p) = Xpf =

n∑i=1

Xi (p)∂f

∂xi(p)

e as derivadas parciais de f ∈ Ck (M) sao Ck−1. Assim, e extremamente conveniente trabalhar com classeC∞ como temos fazendo.


5.2 Pushforward e Pullback

5.4 Proposicao. Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.Se X ∈ T (M) e Y ∈ T (N) sao campos vetoriais tais que

YF (p) = dFp (Xp)

para todo p ∈M , entao

X (f F ) = (Y f) F

para todo f ∈ C∞ (N).

Prova: Por definicao de derivada,[dFp (Xp)] (f) = Xp (f F ) ,

logo,

[X (f F )] (p) = Xp (f F )

= [dFp (Xp)] (f)

= YF (p)f

= (Y f) (F (p)) .

5.5 Definicao. Seja F : M −→ N um difeomorfismo.Definimos a aplicacao pushforward

F∗ : T (M) −→ T (N)

por

(F∗X)F (p) = dFp (Xp) ,

e a aplicacao pullback

F ∗ : T (N) −→ T (M)

por

(F ∗Y )p = dF−1F (p)

(YF (p)

).

Equivalentemente,(F∗X)q = dFF−1(q)

(XF−1(q)

).

O pullback de um campo vetorial por F e simplesmente o pushforward do campo vetorial por F−1.

5.6 Proposicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. ConsidereT (M) e T (N) como modulos sobre os aneis C∞ (M) e C∞ (N), respectivamente.

Entao o operador pushforward F∗ e linear no seguinte sentido:

F∗ (fX + gY ) =(f F−1

)F∗X +

(g F−1

)F∗Y


para todos X,Y ∈ T (M) e para todas f, g ∈ C∞ (M).Alem disso, para toda f ∈ C∞ (N) vale

[(F∗X) f ] F = X (f F )

ou, equivalentemente,

(F∗X) f = X (f F ) F−1.

Prova: Primeiro provamos a linearidade de F∗. No que se segue, q = F (p). Temos

[F∗ (X + Y )]q = dFp (Xp + Yp)

= dFp (Xp) + dFp (Yp)

= (F∗X)q + (F∗Y )q

e

MF //

f

N

fF−1~~

R

[F∗ (fX)]q = dFp

((fX)p

)= dFp (f (p)Xp)

= f (p) dFp (Xp)

=(f F−1

)(q) (F∗X)q .

A ultima afirmativa segue imediatamente da Proposicao 5.4, ja que F∗X e exatamente o campo Y doenunciado daquela proposicao.

5.3 Fluxos de Campos Vetoriais

5.7 Teorema. Seja X ∈ T (M) um campo diferenciavel. Dado p ∈M , existem uma vizinhanca V de p emM , δ > 0 e uma aplicacao diferenciavel

ϕ : (−δ, δ)× V −→M

tais que ϕq (t) = ϕ (t, q) e a unica curva diferenciavel em M que satisfazdϕ

dt(t, q) = Xϕ(t,q) para todos t ∈ (−δ, δ) , q ∈ V,

ϕ (0, q) = q.

Alem disso, para cada t fixado, ϕt = ϕ (t, ·) e um difeomorfismo e o fluxo e um grupo aditivo a um parametro,isto e,

ϕ0 = id,ϕt+s = ϕtϕs.

Prova: Veja [Lee 1], p. 212, Proposicao 9.12. ϕ e chamado o fluxo local do campo vetorial X. Note que por causa das propriedades de grupo temos

(ϕt)−1

= ϕ−t.


5.4 Colchete de Lie

A Definicao 5.2 de campos vetoriais permite tambem em princıpio definir a composta de campos vetoriaisde maneira natural:

C∞ (M)Y−→ C∞ (M)

X−→ C∞ (M) .

Alem disso, ja que Xf e interpretada como a derivada de f na direcao de X, faz sentido interpretar natu-ralmente a expressao

X (Y f)

como a derivada segunda de f primeiro na direcao de Y e em seguida na direcao de X. Contudo, em geralesta composta nao e um campo vetorial porque nao satisfaz a regra do produto:

(X Y ) (fg) = X [Y (fg)]

= X [(Y f) g + f (Y g)]

= X [(Y f) g] +X [f (Y g)]

= [X (Y f)] g + (Y f) (Xg) + (Xf) (Y g) + f [X (Y g)]

= [(X Y ) f ] g + f [(X Y ) g] + (Xf) (Y g) + (Y f) (Xg) ;

em coordenadas locais (veja Proposicao 5.10 a seguir), a composta realmente envolve derivadas parciais desegunda ordem, as quais nao sao vetores tangentes por nao satisfazerem a regra do produto. Para definircalculo diferencial de ordem superior, e necessario o conceito de derivada covariante, que veremos no Capıtulo7 (Secao 7.2).

Por outro lado, a operacaoX Y − Y X

define de fato um campo vetorial.

5.8 Definicao. Sejam X,Y ∈ T (M). O colchete de Lie de X e Y e o campo vetorial [X,Y ] ∈ T (M)definido por

[X,Y ] = XY − Y X.

Esta expressao[X,Y ] = X Y − Y X,

deve ser entendida no unico sentido em que ela e possıvel:

[X,Y ]p f = Xp (Y f)− Yp (Xf) .

O colchete de Lie e de fato um campo vetorial, pois

[X,Y ] (αf + βg) = X [Y (αf + βg)]− Y [X (αf + βg)]

= X [αY f + βY g]− Y [αXf + βXg]

= αX (Y f) + βX (Y g)− αY (Xf)− βY (Xg)

= α [X (Y f)− Y (Xf)] + β [X (Y g)− Y (Xg)]

= α [X,Y ] f + β [X,Y ] g


e

[X,Y ] (fg) = X [Y (fg)]− Y [X (fg)]

= X [fY g + gY f ]− Y [fXg + gXf ]

= X [fY g] +X [gY f ]− Y [fXg]− Y [gXf ]

= fX (Y g) + Y gXf + gX (Y f) + Y fXg

− fY (Xg)−XgY f − gY (Xf)−XfY g= f [X (Y g)− Y (Xg)] + g [X (Y f)− Y (Xf)]

= f [X,Y ] (g) + g [X,Y ] (f) .

5.9 Proposicao. O colchete de Lie satisfaz as seguintes propriedades:

(i) (Anticomutatividade)

[X,Y ] = − [Y,X] .

Consequentemente,

[X,X] = 0.

(ii) (R-Bilinearidade)

[αX + βY, Z] = α [X,Z] + β [Y, Z] ,[Z,αX + βY ] = α [Z,X] + β [Z, Y ] .

(iii) (Identidade de Jacobi)

[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.

(iv) (Nao C∞ (M)-Bilinearidade)

[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.

(v) Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao

F∗ [X,Y ] = [F∗X,F∗Y ] .

Prova: (i) e (ii) sao imediatas. Para provar (iii), usando (ii) obtemos

[[X,Y ] , Z] = [XY − Y X,Z] = [XY,Z]− [Y X,Z]

= XY Z − ZXY − Y XZ + ZY X.

Logo, usando (i) e novamente (ii), segue que

[[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = − [X, [Y,Z]]− [Y, [Z,X]]

= − [X,Y Z − ZY ]− [Y,ZX −XZ]

= − [X,Y Z] + [X,ZY ]− [Y, ZX] + [Y,XZ]

= −XY Z + Y ZX +XZY − ZY X − Y ZX + ZXY + Y XZ −XZY= −XY Z + ZXY + Y XZ − ZY X= − [[X,Y ] , Z] .


A propriedade (iv) segue da regra do produto: se h ∈ C∞ (M),

[fX, gY ]h = f [X (g (Y h))]− g [Y (f (Xh))]

= f [(Xg) (Y h)] + f [gX (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]− g [fY (Xh)]

= fgX (Y h)− gfY (Xh) + f [(Xg) (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]

= fg (XY − Y X)h+ [f (Xg)Y ]h− [g (Y f)X]h

= [fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X]h.

(v) segue da Proposicao 5.6: para todo f ∈ C∞ (N) temos

(XY ) (f F ) = X [Y (f F )] = X [(F∗Y ) f F ] = (F∗X) (F∗Y ) f F

e, analogamente,(Y X) (f F ) = (F∗Y ) (F∗X) f F.

Logo,

(F∗ [X,Y ]) f = [X,Y ] (f F ) F−1

= (XY − Y X) (f F ) F−1

= [(F∗X) (F∗Y )− (F∗Y ) (F∗X)] f F F−1

= [F∗X,F∗Y ] f.

Uma algebra de Lie e um espaco vetorial em que se define um produto (ou seja, uma aplicacao bilinear)anticomutativo que satisfaz a identidade de Jacobi (veja o Capıtulo 9). Portanto, esta proposicao mostraque T (M) com a operacao colchete e uma algebra de Lie.

5.10 Proposicao (Colchete de Lie em coordenadas locais). Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriaisque se expressam em coordenadas locais por

X =

n∑i=1

Xi∂i e Y =

n∑j=1

Y j∂j ,

entao

[X,Y ] =

n∑i,j=1

(Xi∂iY

j − Y i∂iXj)∂j ,

ou, em notacao mais sucinta,

[X,Y ] =

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj))∂j .

Em particular,

[∂i, ∂j ] = 0

para todos i, j.


Prova: Temos

X (Y f) = X

(n∑i=1

Y i∂if

)=

n∑i=1

X(Y i∂if

)=

n∑i=1

Y iX (∂if) +

n∑i=1

(∂if)X(Y i)

=

n∑i=1

Y i

n∑j=1

Xj∂2ijf

+

n∑i=1

∂if

n∑j=1

Xj∂jYi

=

n∑i,j=1

XjY i∂2ijf +

n∑i,j=1

Xj∂jYi∂if

e, por simetria,

Y (Xf) =

n∑i,j=1

Y jXi∂2jif +

n∑i,j=1

Y j∂jXi∂if

=

n∑i,j=1

XjY i∂2jif +

n∑i,j=1

Y j∂jXi∂if.

Como∂2ijf = ∂2

jif,

os termos envolvendo as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam ao calcularmos [X,Y ] f = X (Y f)−Y (Xf) e a expressao do enunciado e obtida trocando os ındices i, j.

5.11 Exemplo. Como vimos na Secao 3.4, a diferencial de uma aplicacao F : U ⊂ Rn −→ Rn (que esimplesmente a derivada usual) e dada em relacao a base canonica ∂ii=1,...,n de Rn (saindo da nossanotacao usual) em cada ponto de U por

dF (∂i) =(∂iF

j)∂j .

Em particular, se X,Y : U ⊂ Rn −→ Rn sao campos diferenciaveis, a derivada direcional de Y na direcaode X e dada por

dY (X) = dY(Xi∂i

)= Xi

(∂iF

j)∂j (5.1)

e portanto o colchete de Lie destes campos no espaco euclideano e simplesmente

[X,Y ] = dY (X)− dX (Y ) . (5.2)

Por exemplo, os campos X,Y ∈ T(R4)

definidos por

X (x, y, z, w) = (y,−x,w,−z) ,Y (x, y, z, w) = (−w, z,−y, x) ,

que podem ser escritos na nossa notacao na forma

Xp = x2∂1 − x1∂2 + x4∂3 − x3∂4,

Yp = −x4∂1 + x3∂2 − x2∂3 + x1∂4,


com p = (x, y, z, w), tem colchete de Lie

[X,Y ] = dY (X)− dX (Y )

=

0 0 0 −10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0

y−xw−z

−

0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

−wz−yx

=

zwxy

−zwxy

= 0.

5.5 Derivada de Lie

Em princıpio, e um problema diferenciar campos vetoriais em variedades, ja que nao podemos tomar adiferenca de vetores que moram em espacos tangentes diferentes (nao ha uma maneira de identificar osespacos tangentes com Rn de uma maneira padrao, que seja invariante por mudanca de coordenadas). Piorainda e considerar o campo como uma secao do fibrado tangente

X : M −→ TM

e tentar ver a derivada do campo como a diferencial

dX : TM −→ T (TM) ,

ja que (dX)p (v) para um vetor v no espaco tangente TpM seria um vetor no espaco tangente TXp (TM):

(dX)p : TpM −→ TXp (TM)

Gostarıamos que a derivada direcional de um campo em M fosse tambem um campo em M . Uma solucao e aseguinte. Dado um campo Y em uma variedade que queremos diferenciar na direcao de um vetor tangente Xp

no ponto p, primeiro estendemos Xp a um campo vetorial X definido em toda a variedade. O campo vetorialX tem um fluxo local ϕt definido. Usamos o fluxo para levar o vetor Yϕt(p) ao longo da trajetoria reversaϕ−t do campo X para o espaco tangente TpM e fazer a diferenca la com o vetor Yp, tomando em seguida olimite quanto t→ 0. Esta sera a derivada de Lie. No Capıtulo 7 veremos o conceito de derivada covariante,que e uma solucao diferente para este problema, mais semelhante ao conceito de derivada direcional, porquedependera apenas do valor do vetor tangente Xp e nao do valor de X em uma vizinhanca de p, como e ocaso da derivada de Lie: ela depende do valor de X ao longo de uma trajetoria do campo passando por p, eesta depende ultimamenteno do valor do campo em uma vizinhanca de p.

5.12 Definicao. Sejam X,Y ∈ T (M) campos vetoriais, p ∈ M e ϕt o fluxo local do campo X em umavizinhanca V de p em M . A derivada de Lie do campo Y na direcao do campo X em p e definida por

(LXY )p = limt→0

d (ϕ−t)ϕt(p)(Yϕt(p)

)− Yp

t=

d

dtd (ϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.

Na linguagem de pushforwards,

(LXY )p = limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]p− Yp

t=

d

dt((ϕ−t)∗ Y )

p

∣∣∣∣t=0

,


enquanto que na linguagem de pullbacks,

(LXY )p = limt→0

(ϕ∗t )p(Yϕt(p)

)− Yp

t=

d

dt(ϕ∗t )p Yϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.

A definicao de derivada de Lie nao e operacionalmente muito util, ja que em geral e muito difıcil e mesmoimpossıvel obter o fluxo explicitamente, embora com uma escolha adequada de coordenadas este problemapossa ser contornado, como veremos na demonstracao a seguir. Felizmente, como veremos agora, a derivadade Lie coincide com o colchete de Lie e este e muito facil de calcular.

5.13 Teorema (Interpretacao Geometrica do Colchete de Lie). Se X,Y ∈ T (M), entao

LXY = [X,Y ] .

Prova 1 (usando coordenadas):Em um aberto onde X nunca se anula, escolha um sistema de coordenadas (U,ψ) tal que

X = ∂1.

Nestas coordenadas o fluxo de X e facilmente obtido, pois as curvas integrais de X sao exatamente as curvascoordenadas na direcao da primeira coordenada; ele e dado explicitamente em coordenadas por:(

ψ ϕt ψ−1) (x1, x2, . . . , xn

)=(x1 + t, x2, . . . , xn

).

Portanto, neste casod(ψ ϕt ψ−1

)x

= id

para todo ponto x ∈ ψ (U). Se ϕt (p) = ψ (x), segue que

d (ϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p) = dψ−1x d

(ψ ϕ−t ψ−1

)xdψϕt(p)

(Yϕt(p)

)= dψ−1

x dψϕt(p)(Yϕt(p)

)= dψ−1

x dψϕt(p)

n∑j=1

Y j(x1 + t, x2, . . . , xn

)∂j |ϕt(p)

=

n∑j=1

Y j(x1 + t, x2, . . . , xn

)∂j |p .

Daı,

(LXY )p =d

dtd (ϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p)

∣∣∣∣t=0

=

n∑j=1

(∂1Y

j) (x1, x2, . . . , xn

)∂j |p ,

ou seja

LXY =

n∑j=1

(∂1Y

j)∂j .


Por outro lado, na base coordenada ∂j em que X = ∂1 as coordenadas do campo X sao simplesmenteXj = δij e ∂iX

j = 0 para todos i, j, logo o colchete de Lie [X,Y ] nestas coordenadas e dado por

[X,Y ] =

n∑i,j=1

(Xi∂iY

j − Y i∂iXj)∂j

=

n∑j=1

(∂1Y

j)∂j ,

portanto,LXY = [X,Y ] .

Por continuidade, segue o resultado para pontos isolados onde o campo X se anula; se X se anula em umaberto, tanto a derivada de Lie como o colchete de Lie se anulam nesta vizinhanca.Prova 2 (usando uma funcao especial):

Para provar que os campos LXY e [X,Y ] sao iguais, mostraremos que

(LXY )p f = [X,Y ]p f

para todo p ∈ M e para toda f ∈ C∞ (M). Para isso, mostraremos que podemos encontrar uma funcaodiferenciavel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que

f (ϕ−t (q)) = f (q)− th (t, q) ,

isto e,f ϕ−t = f − th (t, ·) , (5.3)

eh (0, q) = Xqf. (5.4)

Daı seguira o resultado, pois (estendendo h (t, ·) a uma funcao diferenciavel definida em M)[[dϕ−t]ϕt(p)

(Yϕt(p)

)]f = Yϕt(p) (f ϕ−t)

= Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·)) ,

donde

(LXY )p f = limt→0

[d (ϕ−t)ϕt(p)

(Yϕt(p)

)]f − Ypf

t

= limt→0

Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·))− Ypft

= limt→0

Yϕt(p)f − Ypft

− limt→0

Yϕt(p) (h (t, ·))

= limt→0

(Y f) (ϕt (p))− (Y f) (p)

t− Yp (h (0, ·))

=∂ϕt (p)

∂t

∣∣∣∣t=0

(Y f)− Yp (h (0, ·))

= Xp (Y f)− Yp (Xf)

= [X,Y ]p f.

Para provar (5.3) e (5.4), primeiro observe que se g : (−δ, δ) × V −→ R e uma funcao diferenciavel talque

g (0, q) = 0 para todo q ∈ V,


entao existe uma aplicacao diferenciavel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que

g (t, q) = th (t, q) (5.5)

e∂g

∂t(t, q)

∣∣∣∣t=0

= h (0, q) . (5.6)

De fato, basta definir

h (t, q) =

∫ 1

0

∂g

∂s(ts, q) ds

e notar que, pelo Teorema Fundamental do Calculo,

th (t, q) =

∫ 1

0

t∂g

∂s(ts, q) ds =

∫ 1

0

∂

∂s[g (ts, q)] ds

= [g (ts, q)]s=1s=0 = g (t, q)− g (0, q)

= g (t, q) .

Seja agora f ∈ C∞ (M). Defina g : (−δ, δ)× V −→ R por

g (t, q) = f (q)− f (ϕ−t (q)) ,

ou, em notacao funcional,g (t, ·) = f − f ϕ−t.

Entaog (0, q) = f (q)− f (ϕ0 (q)) = f (q)− f (q) = 0,

de modo que podemos obter uma aplicacao diferenciavel h : (−δ, δ) × V −→ R tal que (5.5) e (5.6) valem.Em particular,

f (ϕ−t (q)) = f (q)− th (t, q) ,

o que prova (5.3). Segue de (5.6) que

h (0, q) =∂g

∂t(t, q)

∣∣∣∣t=0

= − d (f ϕ−t)∂t

∣∣∣∣t=0

= − d

dtϕ−t (q)

∣∣∣∣t=0

f = Xϕ(0,q)f

= Xqf,

o que prova (5.4). Portanto, o colchete de Lie de dois campos vetoriais e a derivada de Lie. E a derivada de Lie (LXY )p e a“derivada direcional” do campo vetorial Y ao longo de uma trajetoria do fluxo do campo X passando porp; ela nao e uma derivada direcional no senso exato do termo, porque ela nao depende apenas da direcao docampo X em p, ou seja, nao podemos usar qualquer curva tangente a X em p para calcula-la, mas apenas atrajetoria do campo X passando por p e as trajetorias do campo X passando por p dependem do valor deX em uma vizinhanca de p. Isso tambem pode ser visto da expressao local do colchete de Lie

(LXY )p = [X,Y ]p =

n∑i=1

(Xp

(Y i)− Yp

(Xi)) ∂

∂xi.

Se por um lado, por definicao de vetor tangente, os coeficientes Xp

(Y 1), . . . , Xp (Y n) dependem dos valores

de Y ao longo de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e Xp, por outro lado os coeficientesYp(X1), . . . , Yp (Xn) dependem dos valores de X em uma vizinhanca de p (Proposicao 3.7) ou, mais es-

pecificamente, dos valores de X ao longo de uma curva passando por p com vetor tangente Yp (Definicao3.1).


5.14 Proposicao. A derivada de Lie satisfaz as seguintes propriedades para todos os campos vetoriaisX,Y, Z ∈ T (M) e para todo f ∈ C∞ (M):

(i) (Anticomutatividade)

LXY = −LYX.

(ii) (Regra do Produto)

LX [Y, Z] = [LXY,Z] + [Y,LXZ] .

(iii)

L[X,Y ]Z = LXLY Z + LY LXZ.

(iv) (Regra do Produto)

LX (fY ) = fLXY + (Xf)Y.

(v) Se F : M −→ N e um difeomorfismo.

F∗ (LXY ) = LF∗XF∗Y.

Prova: (a)LXY = [X,Y ] = − [Y,X] = −LYX.

(b) Pela identidade de Jacobi

[[X,Y ] , Z] + [[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0

segue que

[X, [Y,Z]] = − [[Y,Z] , X]

= [[X,Y ] , Z] + [[Z,X] , Y ]

= [[X,Y ] , Z]− [Y, [Z,X]]

= [[X,Y ] , Z] + [Y, [X,Z]] ,

donde

LX [Y,Z] = [X, [Y,Z]]

= [[X,Y ] , Z] + [Y, [X,Z]]

= [LXY,Z] + [Y,LXZ]

(c) Segue diretamente da identidade de Jacobi:

L[X,Y ]Z = [[X,Y ] , Z]

= [X, [Y,Z]] + [Y, [X,Z]]

= [X,LY Z] + [Y,LXZ]

= LXLY Z + LY LXZ.


(d) Usando (iv) da Proposicao 5.9,

LX (fY ) = [X, fY ]

= f [X,Y ] + (Xf)Y

= fLXY + (Xf)Y.

(e) Usando (v) da Proposicao 5.9,

F∗ (LXY ) = F∗ [X,Y ]

= [F∗X,F∗Y ]

= LF∗XF∗Y.

5.6 Campos Vetoriais Invariantes

5.15 Definicao. Dizemos que um campo vetorial X ∈ T (M) e invariante sob F ∈ Difeo (M) se

F∗X = X

ou, equivalentemente, seF ∗X = X.

Em outras palavras,(F ∗X)p = Xp

e(F ∗T )p = Tp.

5.16 Proposicao. Se X,Y ∈ T (M) e ϕt e o fluxo local do campo X, entao

d

dt(ϕ∗tY )p

∣∣∣∣t=s

= [ϕ∗s (LXY )]p .

Consequentemente, um campo vetorial Y e invariante sob o fluxo de X se e somente se

LXY = 0.

Em particular, todo campo vetorial e invariante sob o proprio fluxo.

Prova. O pullback e o pushforward da inversa, logo

(ϕ∗tY )p = d (ϕ−t)ϕt(p)(Yϕt(p)

).

Comoϕs+t = ϕs ϕt,

segue da regra da cadeia qued (ϕs+t)q = d (ϕs)ϕt(q) d (ϕt)q


para um ponto arbitrario q. Daı,

d

dt(ϕ∗tY )p

∣∣∣∣t=s

=d

dt

[d (ϕ−s−t)ϕs+t(p)

(Yϕs+t(p)

)]∣∣∣∣t=0

=d

dt

[d (ϕ−s)ϕ−t(ϕs+t(p)) d (ϕ−t)ϕs+t(p)

(Yϕt(ϕs(p))

)]∣∣∣∣t=0

=d

dt

[d (ϕ−s)ϕs(p) d (ϕ−t)ϕt(ϕs(p))

(Yϕt(ϕs(p))

)]∣∣∣∣t=0

= d (ϕ−s)ϕs(p)

(d

dtd (ϕ−t)ϕt(ϕs(p))

(Yϕt(ϕs(p))

)∣∣∣∣t=0

)

= d (ϕ−s)ϕs(p)

(d

dt(ϕ∗tY )ϕs(p)

∣∣∣∣t=0

)

= d (ϕ−s)ϕs(p) (LXY )ϕs(p)

= [ϕ∗s (LXY )]p .

Consequentemente, seLXY = 0,

entaod

dt(ϕ∗tY )p

∣∣∣∣t=s

= 0

e, para todo s,(ϕ∗sY )p = (ϕ∗0Y )p = (id∗0 Y )p = Yp.

Para provar a ultima consequencia, basta usar [X,X] = 0.

5.7 Campos Vetoriais que Comutam

5.17 Lema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo.Se X e um campo vetorial em M com fluxo local ϕt em uma vizinhanca V , entao o campo vetorial F∗X

em N tem fluxo localF ϕt F−1

em F (V ).

Prova: Em outras palavras, se ϕ : (−δ, δ)×V −→M e o fluxo local de X em V , entao ψ : (−δ, δ)×F (V ) −→N dado por

ψ (t, q) = F(ϕt(F−1 (q)

))e o fluxo local do campo F∗X. Para provar este resultado, note primeiro que se f ∈ C∞ (M), entao pordefinicao de vetor tangente

Xp (f) =d

dtf ϕt (p)

∣∣∣∣t=0

= limt→0

f (ϕt (p))− f (p)

t


porque a trajetoria ϕt (p) e uma curva diferenciavel que tem Xp como vetor tangente em t = 0. Por definicao,se q = F (p), temos

(F∗X)q (f) = [dFp (Xp)] f

= Xp (f F )

= limt→0

(f F ) (ϕt (p))− (f F ) (p)

t

= limt→0

f(F ϕt

(F−1 (q)

))− (f F )

(F−1 (q)

)t

= limt→0

f(F ϕt F−1 (q)

)− f (q)

t,

o que significa que a curva diferenciavel F ϕt F−1 tem (F∗X)q como vetor tangente em q, logo e o fluxolocal do campo F∗X.

5.18 Corolario. Se F ∈ Difeo (M), entao X e invariante sob F se e somente se

F ϕt = ϕt F.

5.19 Teorema. Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriais e ϕt, ψs sao os fluxos locais respectivos de X,Y emuma vizinhanca V de M , entao

ϕt ψs = ψs ϕt

se e somente se

[X,Y ] = 0

em V .

Prova: Se ϕt ψs = ψs ϕt, como ϕt e um difeomorfismo, segue do Corolario 5.18 que (ϕt)∗ Y = Y , demodo que

[X,Y ]p = (LXY )p = limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]p− Yp

t= limt→0

Yp − Ypt

= 0

para todo p ∈ V .Reciprocamente, se [X,Y ] = 0 em V , considere a curva α : (−ε, ε) −→ TpM definida por

α (t) = [(ϕ−t)∗ Y ]p.

Temos, observando que o pushforward satisfaz (F G)∗ = F∗ G∗

α′ (t) = limh→0

α (t+ h)− α (t)

h

= limh→0

[(ϕ−t−h)∗ Y ]p− [(ϕ−t)∗ Y ]

p

h

= limh→0

[(ϕ−t)∗ (ϕ−h)∗ Y ]p− [(ϕ−t)∗ Y ]

p

h

= limh→0

(dϕ−t)ϕt(p) [(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p)

− (dϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p)

h

= (dϕ−t)ϕt(p) limh→0

[(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p)

− Yϕt(p)h

= (dϕ−t)ϕt(p)

([X,Y ]ϕt(p)

)= (dϕ−t)ϕt(p) (0)

= 0.


Portanto, α (t) = α (0), o que implica (ϕ−t)∗ Y = Y , e o resultado segue do Corolario 5.18. Em particular,

ϕt ϕs ϕ−t ϕ−s = id .

Isso significa o seguinte: quando [X,Y ] = 0 em uma vizinhanca V de p ∈M , se a partir de p percorrermos atrajetoria do campo X durante um intervalo de tempo t atingindo um certo ponto p1, e depois percorrermosa partir de p1 a trajetoria do campo Y durante um intervalo de tempo s atingindo um segundo ponto p2,voltarmos a partir de p2 ao longo da trajetorio do campo X durante um intervalo de tempo t atingindo umcerto ponto p3 e finalmente voltarmos tambem de p3 ao longo da trajetoria do campo Y durante um intervalode tempo s, chegaremos ao ponto original p (obviamente estamos assumindo que em nenhum momento saımosda vizinhanca V , o que sera verdade para deslocamentos s, t pequenos para os quais os fluxos locais de X eY estao definidos em V ). Se [X,Y ] 6= 0, isso nao e verdade e terminamos em um ponto q diferente de p. Ocolchete de Lie portanto mede infinitesimalmente este defeito.

5.8 Referenciais Locais e Referenciais Coordenados

5.20 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n.Um referencial local para M e uma base de campos vetoriais diferenciaveis

E1, . . . , En ⊂ T (U)

definidos em um aberto U de M .Um referencial global para M e uma base de campos vetoriais diferenciaveis globais

E1, . . . , En ⊂ T (M) .

Um referencial local E1, . . . , En ⊂ T (U) e um referencial coordenado se existe uma carta local ϕdefinida em U tal que o referencial local e a base coordenada em relacao a esta carta, isto e, se

Ei = ∂i

para i = 1, . . . , n.

Assim, se E1, . . . , En ⊂ T (U) e um referencial local, para cada p ∈ M temos queE1|p , . . . , En|p

e uma base para TMp e esta base varia diferenciavelmente com o ponto p. Um referencial coordenado eexatamente uma base coordenada. Na teoria de conexoes e geometria diferencial de Cartan, todas as ideiassao expressas em termos de referenciais locais, ao inves de referenciais coordenados; Cartan usa o nomereferencial movel para um referencial local. E importante saber que referenciais locais em geral nao saoreferenciais coordenados e que existe uma condicao precisa em termos do colchete de Lie para um referenciallocal ser um referencial coordenado, como veremos a seguir.

5.21 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n.Se E1, . . . , Ek ∈ T (U) sao campos vetoriais diferenciaveis linearmente independentes em uma vizinhanca

U de p ∈M tais que

[Ei, Ej ] = 0

para todos i, j = 1, . . . , k, entao existe uma vizinhanca coordenada(x1, . . . , xn

)de p tal que

Ei = ∂i

para i = 1, . . . , k.


Prova: Sem perda de generalidade, podemos assumir atraves de uma carta adequada que M = U ⊂ Rn,p = 0 e

Ei (0) = ei

para i = 1, . . . , k, onde e1, . . . , en e a base canonica de Rn. Seja ϕit o fluxo gerado pelo campo Ei. Defina

ψ(x1, . . . , xn

)= ϕ1

x1 ϕ2x2 . . . ϕkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)= ϕ1

x1

(ϕ2x2

(. . .(ϕkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)). . .)).

[Note que no caso especial em que k = n, a aplicacao ψ e

ψ (x) = ψ(x1, . . . , xn

)= ϕ1

x1 . . . ϕnxn (0)

= ϕ1x1

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

).

Em outras palavras, para calcular ψ(x1, . . . , xn

), percorremos sucessivamente as trajetorias dos campos

En, . . . , E1 a partir da origem durante os intervalos de tempo xn, . . . , x1: primeiro, saindo da origem, per-corremos a trajetoria do campo En durante o intervalo de tempo xn, chegando em um certo ponto ϕnxn (0);partindo deste ponto percorremos a trajetoria do campo En−1 durante o intervalo de tempo xn−1, che-gando em um certo ponto ϕn−1

xn−1 (ϕnxn (0)); continuamos desta forma sucessivamente ate chegar no pontoϕ1x1

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

)que definimos como sendo o ponto ψ (x).]

Afirmamos que dψ0 = I. De fato, dada f ∈ C∞ (M), se i = 1, . . . , k

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)

∂xi(0)

= limh→0

(f ψ)

(0, . . . 0,

16i6kh , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f ϕ10 . . . ϕi−1

0 ϕih ϕi+10 . . . ϕk0 (0)− f (0)

h

= limh→0

f(ϕih (0)

)− f (0)

h

= Ei (0) (f)

= ei (f) ,

enquanto que se i = k + 1, . . . , n, temos

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)

∂xi(0)

= limh→0

(f ψ)

(0, . . . 0,

k+16i6nh , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f ϕ10 ϕ2

0 . . . ϕk0 . . . ϕk0(

0, . . . 0,k+16i6n

h , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

= limh→0

f

(0, . . . 0,

k+16i6nh , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

=∂f

∂xi(0)

= ei (f) ,


portantodψ0 (ei) = ei

para i = 1, . . . , n. Segue que ψ (x) =(x1, . . . , xn

)e um difeomorfismo local e portanto uma carta para uma

vizinhanca de p = 0.Observe que podemos calcular explicitamente dψx (e1) para todo x e nao somente na origem, obtendo

dψx (e1) (f) =∂ (f ψ)

∂x1(x)

= limh→0

(f ψ)(x1 + h, x2 . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f ϕ1x1+h ϕ2

x2 . . . ϕkxk(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f(ϕ1x1+h

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

))− f (0)

h

= E1 (x) (f) ,

ou seja,E1 (x) = dψx (e1) = ∂1|x

para todo x onde a carta esta definida. Isso prova o resultado para i = 1.Mas, pelo teorema anterior, como [Ei, Ej ] = 0, temos que os fluxos dos campos E1, . . . , Ek comutam, isto

e,ϕit ϕ

jt = ϕit ϕ

jt

para todos i, j = 1, . . . , k. Logo, para i = 2, . . . , k podemos escrever

ψ(x1, . . . , xn

)= ϕixi ϕ

1x1 ϕ2

x2 . . . ϕixi . . . ϕkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

).

Pelo mesmo argumento anterior no caso i = 1, concluımos que

Ei (x) = ∂i|x

para i = 2, . . . , k, para todo x onde a carta ψ esta definida, terminando a demonstracao do resultado.

5.22 Teorema. Um referencial local E1, . . . , En e um referencial coordenado se e somente se

[Ei, Ej ] = 0

para todos i, j.

Assim, o colchete de Lie mede em algum sentido o quanto as trajetorias de um referencial local E1, . . . , Enpodem ser usadas para formar as retas coordenadas de um sistema de coordenadas local (veja [Spivak], Vol.I, pp. 220-221, para uma afirmacao mais precisa deste resultado).

Da mesma forma que um conjunto de vetores linearmente independentes em um espaco vetorial podeser completado ate uma base, um conjunto de campos vetoriais diferenciaveis linearmente independentespode ser completado ate um referencial local, embora em geral seja necessario diminuir a vizinhanca onde oreferencial esta definido:

5.23 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Se

E1, . . . , Ek ∈ T (U)


sao campos vetoriais diferenciaveis linearmente independentes, entao existem uma vizinhanca V ⊂ U ecampos vetoriais diferenciaveis linearmente independentes

Ek+1, . . . , En ∈ T (V )

tais queE1, . . . , En

e um referencial local em V .

5.9 Exercıcios

5.24 Problema. Dado um vetor tangente v ∈ TMp, construa um campo diferenciavel X ∈ T (M) tal queXp = v.

5.25 Problema. Dada uma base v1, . . . , vn para TMp, construa um referencial local E1, . . . , En tal que

Ei|p = vi

para todo i.

Capıtulo 6

Campos Tensoriais

6.1 Vetores Contravariantes e Covariantes

No uso de vetores para modelar fenomenos fısicos basicos no espaco euclidiano Rn, ha pelo menos doistipos de vetores, que podem ser englobados em duas categorias: vetores tangentes do tipo velocidade (estesultimos medem deslocamento ou uma diferenca de posicao no tempo) e vetores do tipo gradiente (estesultimos expressam uma densidade, ou como uma quantidade varia quando se passa de um ponto para ooutro espacialmente, isto e, uma diferenca no espaco). Estes vetores expressam conceitos diferentes e secomportam de maneira diferente. De fato, o segundo vetor e mais corretamente caracterizado como umaforma diferencial, como veremos.

Considere o conceito de vetor velocidade em Rn de uma partıcula descrevendo uma trajetoria (curva)descrita no sistema de coordenadas

(x1, . . . , xn

)por

x (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

).

Temosdx

dt=

(dx1

dt, . . . ,

dxn

dt

).

Em um outro sistema de coordenadas(y1, . . . , yn

)a curva e descrita por:

y (t) =(y1 (t) , . . . , yn (t)

),

de modo que seu vetor velocidade neste sistema de coordenadas e dado por

dy

dt=

(dy1

dt, . . . ,

dyn

dt

).

A regra da cadeia nos da como as coordenadas do vetor velocidade mudam de um sistema de coordenadaspara o outro:

dyi

dt=

n∑j=1

∂yi

∂xjdxj

dt(6.1)

para i = 1, . . . , n. Em uma mudanca de coordenadas simples, tal como mudar a unidade de medida decomprimento de metros para kilometros nos tres eixos coordenados do espaco tridimensional, se uma partıculadescrevendo uma trajetoria no espaco tem em um certo instante de tempo a velocidade de 1 m/s, no novosistema de coordenadas ela tera a velocidade de 0.001 km/s (ou seja, no novo sistema de coordenadas, ovetor e menor).

84


Considere agora o conceito do gradiente de uma funcao, usualmente identificado com um vetor. Nosistema de coordenadas

(x1, . . . , xn

), o gradiente e definido por

∇xf (x) =

(∂f

∂x1(x) , . . . ,

∂f

∂xn(x)

)enquanto que no sistema de coordenadas

(y1, . . . , yn

)o gradiente e dado por

∇yf (x) =

(∂f

∂y1(x) , . . . ,

∂f

∂yn(x)

)Novamente, a regra da cadeia nos da como as coordenadas do gradiente mudam de um sistema de coordenadaspara o outro:

∂f

∂yi=

n∑j=1

∂xj

∂yi∂f

∂xj(6.2)

para i = 1, . . . , n. Na mudanca de coordenadas simples do paragrafo anterior de mudar a unidade de medidade comprimento de metros para kilometros nos tres eixos coordenados do espaco tridimensional, se em umcerto ponto do espaco o campo eletrico E tem o valor de 1 V/m (o campo eletrico e o gradiente da funcaopotencial: E = −∇f), no novo sistema de coordenadas ele tera o valor de 1000 V/km (ou seja, no novosistema de coordenadas, o vetor e maior).

Estes exemplos simples ja ilustram que estes vetores se comportam diferentemente com relacao a mu-dancas de coordenadas. E de fato, comparando as expressoes (6.1) e (6.2), vemos que elas sao bem diferentes.Isso fica ainda mais claro se considerarmos o Jacobiano da mudanca de coordenadas y = y (x),

J =

[∂yi

∂xj

](6.3)

ou seja,

J =

∂y1

∂x1. . .

∂y1

∂xn...

...∂yn

∂x1. . .

∂yn

∂xn

.Temos

dy

dt= J

dx

dt

enquanto que

∇yf =(J−1

)T ∇xf,pois

J−1 =

[dxi

dyj

]=

∂x1

∂y1. . .

∂x1

∂yn...

...∂xn

∂y1. . .

∂xn

∂yn

.


Note que as leis de transformacao nao sao exatamente uma a inversa da outra no sentido matricial, ja que enecessario transpor a matriz de mudanca de coordenadas. Observe tambem que para as formulas concidirem,terıamos que ter

J =(J−1

)T,

isto e, J precisaria ser uma transformacao ortogonal (por exemplo, uma rotacao), o que equivale a requererque os dois sistemas de coordenadas

(x1, . . . , xn

)e(y1, . . . , yn

)sejam ortonormais, o que raramente ocorre.

Na mudanca de coordenada simples que utilizamos como exemplo acima, como a mudanca de coordenadase dada por uma matriz diagonal (os tres eixos coordenados foram multiplicado pelo mesmo escalar), as leisde transformacao foram uma a inversa da outra: o vetor gradiente foi multiplicado por um numero que eo inverso do numero pelo qual o vetor velocidade foi multiplicado. Ja se a mudanca de coordenadas fossesimplesmente uma rotacao dos eixos coordenados, ambos os vetores velocidade e campo eletrico nao teriamo seu valor, isto e, o seu comprimento modificado.

O fato de que o gradiente de uma funcao sob uma mudanca de coordenadas transformar-se de umamaneira diferente da de um vetor mostra que ele e um tipo diferente de vetor. Como veremos os motivosna proxima secao, vetores que se transformam de acordo com a expressao (6.1) sao chamados vetorescontravariantes, enquanto que vetores que se transforma de acordo com a expressao (6.2) sao chamadosvetores covariantes (ou simplesmente covetores).

As coordenadas de um vetor contravariante sao convencionalmente denotadas por superescritos:

v =(v1, . . . , vn

),

porque, como nos casos dos vetores deslocamento, velocidade, aceleracao, etc., ou seja, vetores cujas di-mensoes estao diretamente relacionadas as dimensoes das coordenadas, o deslocamento aparece no numera-dor (acima da barra da fracao), enquanto que as coordenadas de um vetor covariante sao convencionalmentedenotadas por subescritos:

ω = (ω1, . . . , ωn) ,

porque, como no caso do covetor gradiente, o deslocamento aparece no denominador (abaixo da barra dafracao), ou seja, vetores tais como o gradiente tem dimensoes que sao inversas as dimensoes das coordenadas.O motivo desta convencao nao e apenas distinguir os diferentes tipos de vetores, mas tornar os calculos queos envolvem consideravelmente mais simples atraves da convencao da soma de Einstein, como veremos.

6.1.1 Significado Real do Gradiente

A derivada de uma funcao real f : Rn −→ R em um ponto x ∈ Rn e um funcional linear dfx : Rn −→ R.O gradiente realmente nao e um vetor, mas sim um funcional linear ou uma 1-forma (estes termos saosinonimos). Como veremos depois da proxima secao, funcionais lineares sao vetores (no espaco dual) que secomportam com relacao a mudanca de coordenadas como covetores.

Assim, embora diferenciemos entre a diferencial dfx de uma funcao real f : Rn −→ R, que e um funcionallinear, e o campo gradiente, que associa a cada ponto x do espaco o vetor ∇f (x) ou grad f (x) que tem apropriedade especial que

dfx (v) = 〈∇f (x) , v〉

para todo v ∈ Rn, onde 〈·, ·〉 denota o produto interno canonico de Rn, de qualquer forma, devido a suaorigem de um funcional linear o vetor gradiente e um covetor e se comporta como tal.

O produto interno em um espaco vetorial permite fazer a transicao entre vetores covariantes e contrava-riantes. Atraves do produto interno, qualquer funcional linear ω : Rn −→ R e identificado com um unicovetor v de Rn: v e o unico vetor tal que

ω (w) = 〈v, w〉


para todo w ∈ Rn. Este vetor v e portanto perpendicular ao hiperplano kerω, o nucleo do funcional ω. Aacao do funcional linear ω sobre um vetor arbitrario w pode ser entao vista da seguinte forma: ω determinauma famılia de hiperplanos, os hiperplanos paralelos a kerω; ω (w) e entao o numero de hiperplanos quea “seta” do vetor w “perfura” por unidade de distancia (esta e medida exatamente pelo produto interno).Para vetores com o mesmo comprimento de v, o vetor v e o que perfura o maior numero de hiperplanos, jaque e perpendicular a todos estes hiperplanos (a mesma consideracao evidentemente vale para −v). Outrosvetores diferentes de v e −v formarao um angulo oblıquo (isto e, nao reto) com estes hiperplanos e, setiverem o mesmo comprimento que o vetor v, eles perfurarao consequentemente menos hiperplanos. Ou seja,se ‖w‖ = ‖v‖ mas w 6= v, entao

ω (w) < ω (v) ;

de fato, como θ = ] (v, w) 6= π/2,

ω (w) = 〈v, w〉 = ‖v‖ ‖w‖ cos θ < ‖v‖ ‖w‖ = ‖v‖2 = ω (v) .

Se w e ortogonal a v, entao w esta no nucleo de ω e nao perfura nenhum hiperplano da famılia; assim,ω (w) = 0.

O vetor gradiente ∇f (x) tambem se comporta geometricamente desta forma. Exceto que no caso dogradiente substituımos a famılia de hiperplanos paralelos ao nucleo do funcional pela famılia das hiperfıciesde nıvel da funcao f (embora isso permaneca valido se restringirmos nossa atencao ao espaco tangenteT (Rn)x): o campo gradiente e perpendicular as hiperfıcies de nıvel de f . Isto funciona porque segue dadefinicao que o gradiente e perpendicular ao espaco tangente a hiperfıcie de nıvel: se α : I −→ Rn e umacurva contida em uma hiperfıcie de nıvel, entao

f (α (t)) ≡ c

para todo t ∈ I algum valor real c; derivando esta equacao em relacao a t, obtemos

dfα(t) (α′ (t)) = 0,

ou seja,〈∇f (α (t)) , α′ (t)〉 = 0.

Como isso vale para todas tais curvas, concluımos que ∇f (x) e perpendicular a T(f−1 (c)

)x. Portanto, o

gradiente “perfura” as hiperfıcies de nıvel. Como no caso linear, a direcao do vetor gradiente e a direcao emque mais hiperfıcies de nıvel sao perfuradas por unidade de distancia. Isso e quase equivalente a dizer queo gradiente aponta na direcao em que a funcao cresce com maior rapidez (como se demonstra em Calculo),pois perfurar as hiperfıcies de nıvel equivale a subir ou descer a montanha de contornos do grafico de f ,dependendo do sentido escolhido.

6.2 Convencao da Soma de Einstein

As escolhas que faremos neste capıtulo para a posicao de ındices e subındices, assim como outras escolhasque faremos no futuro, serao necessarias para que a convencao da soma de Einstein funcione: ao inves deusar o sinal de somatorio

∑para denotar uma soma, convencionamos que sempre que em uma expressao

aparecer o mesmo sımbolo como subındice e superındice, uma soma e implıcita sobre todos os valores que


este ındice pode tomar. Alguns exemplos:

Convencao da Soma de Einstein Notacao de Somatorio

viein∑i=1

viei

ei = Ajifj ei =n∑j=1

Ajifj

ωiei

n∑i=1

ωiei

ek =(A−1

)klf l ek =

n∑i=1

(A−1

)klf l

∂

∂xi=∂yj

∂xi∂

∂yj∂

∂xi=

n∑i=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

T = T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .

Embora possa-se levar algum tempo para se acostumar com esta notacao (mas nao muito tempo) ela eextremamente util: alem das expressoes ficarem menos carregadas com sımbolos, e portanto ficarem maisfaceis de ler e seu significado mais claro, ela e autocorretora, requer menos fatos para se memorizar ao seescrever uma expressao longa envolvendo tensores ou mudancas de coordenadas e praticamente se escrevesozinha.

6.3 Vetores e Covetores

Nesta secao fazemos uma revisao curta de Algebra Linear, com o objetivo principal de esclarecer definicoese notacoes, assim como o de introduzir novos conceitos e novos nomes para conceitos familiares.

V sempre denotara um espaco vetorial real de dimensao finita.

6.3.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais

Seja

B = e1, . . . , en

uma base para V . Denotaremos por [v]B o vetor coluna cujos elementos sao as coordenadas do vetor v emrelacao a base B, ou seja, se

v = viei,

entao

[v]B =

v1

...vn

.Tambem abusaremos esta notacao as vezes, escrevendo [v]B =

(v1, . . . , vn

).


6.1 Definicao. Sejam V um espaco vetorial e

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,

duas bases para V .A matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 e a matriz A tal que

[v]B2= A [v]B1

. (6.4)

Quando necessario, ela sera denotada por AB1→B2 .

6.2 Notacao. Denotaremos o elemento que ocupa a i-esima linha e a j-esima coluna de A por Aij .

6.3 Proposicao. Sejam

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,

duas bases para um espaco vetorial V .Se A =

(Aij)

e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2, entao os elementos destamatriz sao dados por

ei = Ajifj . (6.5)

Ou seja, as colunas de AB1→B2sao as coordenadas dos vetores da base B1 em relacao a base B2.

Prova: De fato, se vale (6.5), entao

v = viei = vi(Ajifj

)=(Ajiv

i)fj ,

que e exatamente (6.4):

[v]B2=

A11 . . . A1

n...

...An1 . . . Ann

v1

...vn

= A [v]B1.

Observe agora que enquanto a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 e dada por (6.5)

ei = Ajifj ,

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B2 para a base B1 e contraria: como

[v]B1= A−1 [v]B2

,

segue que se

[v]B1=(v1, . . . , vn

),

[v]B2=(w1, . . . , wn

),

entao

vi =(A−1

)ijwj .

A lei de transformacao de bases (6.5) e considerada a lei de transformacao fundamental, em relacao aqual outras leis de transformacao sao comparadas. Ela produz os vetores de uma base em termos dos vetoresde outra base. Portanto, a observacao acima motiva a seguinte definicao:


6.4 Definicao. Vetores em V ou espacos vetoriais derivados de V cujas coordenadas se transformam demaneira contraria a lei de transformacao de bases de V (6.5) sao chamados vetores contravariantes.

Assim, os vetores do proprio espaco vetorial V sao vetores contravariantes. Os “espacos vetoriais derivadosde V ”, no sentido de espaco originado de V , se referem aos diferentes espacos tensoriais de V , construıdosa partir de V (tais como espaco dual V ∗ e o espaco bidual V ∗∗), como veremos ao longo do inıcio destecapıtulo.

6.3.2 Covetores

6.5 Definicao. Seja V um espaco vetorial. Um covetor de V e qualquer funcional linear

ω : V −→ R.

O espaco vetorial dos covetores de V , com as definicoes naturais de soma de covetores e multiplicacao decovetores por escalares reais e chamado o espaco dual de V e denotado por V ∗.

Portanto, covetor de V nada mais e que um sinonimo para funcional linear em V .

6.6 Definicao. Seja B = e1, . . . , en uma base para o espaco vetorial V .Definimos a base dual

B∗ =e1, . . . , en

de V ∗ por

ei (ej) = δij

i, j = 1, . . . , n.

Um covetor arbitrario ω ∈ V ∗ expressa-se em coordenadas com relacao a base dual B∗ na forma

ω = ωiei.

Observe que sev = viei,

entao

ei (v) = vi.


B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn

duas bases para o espaco vetorial V e

B∗1 =e1, . . . , en

,

B∗2 =f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗.


Se A e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2, entao a lei de transformacao dabase dual B∗2 para a base dual B∗1 e

ei =(A−1

)ijf j . (6.6)

Consequentemente,(A−1

)Te a matriz de mudanca de coordenadas da base dual B∗1 para a base dual B∗2,

isto e,

[ω]B∗2=(A−1

)T[ω]B∗1

. (6.7)

Prova. Pela Proposicao (6.3),ei = Ajifj .

Seja B =(Bkl)

a matriz de transformacao da base B∗1 para a base B∗2, isto e,

ek = Bkl fl.

Entao

δki = ek (ei)

= ek(Ajifj

)= Ajie

k (fj)

= AjiBkl f

l (fj)

= AjiBkl δlj

= AjiBkj

= BkjAji ,

de modo que BA = I, donde B = A−1 e portanto

ek =(A−1

)klf l.

A Equacao (6.7) segue da aplicacao das Equacoes (6.3) e (6.4) a (6.6), substituindo V por V ∗ e B1,B2 porB∗1,B

∗2. Note que aqui aparece a transposta porque B e a transposta da matriz de mudanca de coordenadas

para vetores no espaco V ∗: na Equacao (6.4), os vetores da base B1 em funcao dos vetores da base B2 estaoescritos em termos de colunas da matriz de mudanca de coordenadas A para vetores em V , enquanto que naEquacao (6.6) os vetores da base dual B∗1 em funcao dos vetores da base dual B∗2 estao escritos em termosde linhas da matriz de mudanca de coordenadas para vetores em V ∗. Portanto, assim como a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 (lei de transformacaofundamental) e

ei = Ajifj ,

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B∗2 para a base B∗1 e a mesma: como

[ω]B∗1= AT [ω]B∗2

,

segue que se

[ω]B∗1= (ω1, . . . , ωn) ,

[ω]B∗2= (σ1, . . . , σn) ,


entao

ωi = Ajiσj .

Ou seja, covetores variam (se transformam) da mesma forma como variam (se transformam) os vetores dabase do espaco vetorial, que convencionamos ser a lei de transformacao fundamental. Esta observacao motivaa seguinte definicao:

6.8 Definicao. Vetores em espacos vetoriais derivados de V cujas coordenadas se transformam da mesmaforma que a lei (6.5) sao chamados vetores covariantes.

O espaco dual V ∗ e o nosso primeiro exemplo de espaco derivado (originado) de V . Assim, os covetores doespaco dual V ∗ sao vetores covariantes.

6.9 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais e A : V −→W um lineomorfismo.O dual de A e o lineomorfismo L∗ : W ∗ −→ V ∗ definido por

(L∗ω) v = ω (Lv)

para todo ω ∈W ∗ e para todo v ∈ V .

6.3.3 O Espaco Bidual

6.10 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. O espaco dual (V ∗)∗

do espaco dual deV e chamado o espaco bidual de V e denotado V ∗∗.

Uma importante identificacao natural (isto e, um isomorfismo definido independentemente de bases)existe entre um espaco vetorial e seu espaco bidual:

6.11 Proposicao. A aplicacao Φ : V −→ V ∗∗ definida por

Φ (v) (ω) = ω (v)

e um isomorfismo natural entre V e V ∗∗.

Prova. ComodimV = dimV ∗∗,

para verificar que Φ e um isomorfismo basta mostrar que ele e injetivo, isto e, que seu nucleo e o subespaconulo.

Seja e1 ∈ V um vetor nao nulo qualquer. Estenda este vetor a uma base

B = e1, . . . , en

para V . SejaB∗ =

e1, . . . , en

a correspondente base dual de V ∗. Entao Φ (e1) 6= 0 porque

Φ (e1)(e1)

= e1 (e1) = 1.

Em vista desta identificacao natural, um vetor v ∈ V pode ser visto como um funcional linear sobre V ∗ cujaacao em covetores de V ∗ e dada por

v (ω) = ω (v) .


Em particular,

ei(ej)

= δji

e seω = ωie

i,

entao

ei (ω) = ωi.

6.4 Vetores e Covetores Tangentes

6.4.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente

Se

ϕ : U −→ ϕ (U) ,

ψ : V −→ ψ (V ) ,

sao duas cartas para vizinhancas coordenadas de

p = ϕ (x) = ϕ(x1, . . . , xn

)= ψ (y) = ψ

(y1, . . . , yn

)em M , abusando a notacao frequentemente escrevemos(

ψ−1 ϕ)

(x) =(ψ−1 ϕ

) (x1, . . . , xn

)=(y1(x1, . . . , xn

), . . . , yn

(x1, . . . , xn

)),

isto e, denotamos as funcao coordenadas(ψ−1 ϕ

)j(x) por yj (x).

6.12 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e

ϕ : U −→ ϕ (U) ,

ψ : V −→ ψ (V ) ,

duas cartas para vizinhancas coordenadas de

p = ϕ (x) = ψ (y)

em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

,

as bases coordenadas de TMp induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente. Denote

∂yj

∂xi(x) :=

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

(x)


Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e definida por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

Prova: Por definicao e pela regra da cadeia,

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dϕx (ei) = dψy[d(ψ−1 ϕ

)x

(ei)]

= dψy

n∑j=1

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

(x) fj

=

n∑j=1

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

dψy (fj)

=

n∑j=1

∂yj

∂xi

∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

Portanto, se um vetor v ∈ TMp se escreve em coordenadas em relacao as bases Bx e By nas formas

v =

n∑i=1

vix∂

∂xi

∣∣∣∣p

,

v =

n∑j=1

vjy∂

∂yj

∣∣∣∣p

,

entao, pelas Proposicoes 6.3 e 6.12, a lei de transformacao de coordenadas e dada por

vix =

n∑j=1

∂xi

∂yjvjy.

6.4.2 Covetores Tangentes

Enquanto que o conceito de vetores tangentes em variedades permite uma interpretacao livre de coordenadasde derivadas de curvas, diferenciais de funcoes reais em variedades (ou seja, o analogo do gradiente em Rn) saointerpretadas de maneira mais natural como covetores tangentes (compare a Proposicao 6.7 com a discussaona introducao deste capıtulo).

6.13 Definicao. Seja M uma variedade diferenciael. Para cada p ∈ M definimos o espaco cotangenteT ∗Mp a M em p por

T ∗Mp = (TMp)∗.

Elementos de T ∗Mp sao chamados covetores tangentes a M em p.

O espaco cotangente a M em p e simplesmente o dual do espaco tangente a M em p.


6.14 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel e (ϕ,U) uma carta para um ponto p ∈M .A base coordenada

Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

do espaco tangente TMp associada a carta ϕ da origem a base dual coordenada para o espaco cotangenteT ∗Mp associada a carta ϕ, que denotaremos por

B∗p =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

.

Em outras palavras, em p

dxi (∂j) = δij .

Qualquer covetor ω ∈ T ∗Mp se escreve de maneira unica como

ωp = ωi (p) dxi∣∣p,

onde

ωi (p) = ωp

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

).

Vamos investigar agora como as coordenadas de um covetor tangente se transformam quando ha uma mu-danca de bases coordenadas, de uma carta para outra.

6.15 Proposicao. Sejam M uma variedade diferenciavel n-dimensional, (ϕ,U) , (ψ, V ) duas cartas parap = ϕ (x) = ψ (y) ∈M e

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TMp associadas as cartas ϕ e ψ, respectivamente. Denote por

B∗x =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

,

B∗y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p

as respectivas bases duais.

A matriz de mudanca de coordenadas da base B∗x para a base B∗y e dada por

dxi∣∣p

=

n∑j=1

∂xi

∂yjdyj∣∣p.


Prova: Pela Proposicao 6.12, a mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e dada por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

O resultado segue entao da Proposicao 6.7. Obtemos tambem da discussao que se segue a Proposicao 6.7 que se

[ω]B∗x = (ωx1 , . . . , ωxn) ,

[ω]B∗y = (ωy1 , . . . , ωyn) ,

entao

ωxi =∂yj

∂xiωyj .

Podemos agora entender a terminologia antiga em que vetores tangentes eram chamados vetores contrava-riantes, enquanto que covetores tangentes eram chamados vetores covariantes. E importante ressaltar queesta terminologia nada tem a ver com functores covariantes e contravariantes da teoria de categorias.

6.5 Tensores

6.5.1 Definicao

6.16 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e V ∗ seu espaco dual.Um tensor k-covariante em V (ou tensor covariante de grau k) e um funcional real k-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

−→ R.

Um tensor l-contravariante em V (ou tensor contravariante de grau l) e um funcional real l-linear

T : V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

Um tensor do tipo (k, l) e um tensor k-covariante e l-contravariante, isto e, um funcional real (k, l)-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

O espaco vetorial real dos k-tensores covariantes sobre V sera denotado por T k (V ); o espaco vetorial dosl-tensores contravariantes sobre V sera denotado por Tl (V ) e o espaco vetorial dos (k, l) tensores sobre Vsera denotado por T kl (V ). Estes espacos vetoriais sao chamados os espacos tensoriais de V .

6.17 Exemplo. Um tensor 1-covariante e simplesmente um covetor. Formas bilineares, entre elas o produtointerno, sao tensores 2-covariantes. Determinantes sao tensores n-covariantes em Rn.

Algumas identificacoes naturais (isto e, independente de especificacao de bases):

• 0-tensores sao numeros reais:T 0 (V ) = T0 (V ) = R;


• tensores do tipo (k, 0) sao k-tensores covariantes:

T k0 (V ) = T k (V ) ;

• tensores do tipo (0, l) sao l-tensores contravariantes:

T 0l (V ) = Tl (V ) ;

• tensores 1-covariantes sao covetores:T 1 (V ) = V ∗

• tensores 1-contravariantes sao os vetores de V :

T1 (V ) = V ∗∗ = V.

6.5.2 Homomorfismos Naturais

6.18 Proposicao. Seja End (V ) o espaco vetorial dos operadores lineares sobre V . Entao existe um iso-morfismo natural

T 11 (V ) ∼= End (V ) .

Prova. Um isomorfismo natural Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) pode ser definido por

Φ (A) (v, ω) = ω (Av) .

Usando o isomorfismo acima, endomorfismos de espacos vetoriais podem ser vistos como (1, 1)-tensores.

Da mesma forma que definimos tensores reais, podemos definir tensores vetoriais:

6.19 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais. Um (k, l)-tensor vetorial em V tomando valores em W euma aplicacao (k, l)-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→W.

O espaco vetorial real dos (k, l)-tensores vetoriais em V tomando valores em W sera denotado

Homkl (V,W ) .

Em particular,

Homkl (V,R) = T kl (V ) .

6.20 Proposicao. Existe um isomorfismo natural

Homkl (V, V ) ∼= T kl+1 (V ) .

Prova. Um isomorfismo naturalΦ : Homk

l (V, V ) −→ T kl+1 (V )

pode ser definido por

(ΦT )(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= ωl+1(T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)).

Usando o isomorfismo acima, (k, l)-tensores vetoriais podem ser vistos como (k, l)-tensores reais. Por exem-plo, o tensor curvatura da geometria riemanniana pode ser visto como um tensor 3-covariante vetorial oucomo um tensor 4-covariante real, conforme veremos.


6.5.3 Produto Tensorial e Algebra Tensorial

6.21 Definicao. O produto tensorial e um operador bilinear

⊗ : T kl (V )× T pq (V ) −→ T k+pl+q (V )

tal que se T e S sao tensores de tipos (k, l) e (p, q), respectivamente, T ⊗ S e o tensor do tipo (k + p, l + q)definido por

(T ⊗ S)(v1, . . . , vk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

= T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)S(vk+1, . . . , vk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

Note que o produto tensorial de tensores covariantes e um tensor covariante e o produto tensorial de tensorescontravariantes e um tensor contravariante.

6.22 Definicao. A algebra tensorial de V e a algebra graduada

T (V ) =

∞⊕k,l=0

T kl (V )

com o produto tensorial definido acima.Tambem consideramos a algebra tensorial covariante de V

T ∗ (V ∗) =

∞⊕k

T k (V )

e a algebra tensorial contravariante de V

T∗ (V ∗) =

∞⊕l=0

Tl (V )

com o mesmo produto tensorial.

6.23 Exemplo. Sejam ω1, ω2 dois covetores (tensores 1-covariantes). Entao

ω1 ⊗ ω2 (v1, v2) = ω1 (v1)ω2 (v2)

e um tensor 2-covariante (uma forma bilinear).Este exemplo mostra que em geral o produto tensorial nao e comutativo ou anticomutativo.

Usando produtos tensoriais, podemos obter uma base para o espaco tensorial T kl (V ):

6.24 Proposicao. SeB = e1, . . . , en

e uma base para o espaco vetorial V eB∗ =

e1, . . . , en


e a correspondente base dual para V ∗, entao a base tensorial

Bkl =ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

e uma base para o espaco tensorial T kl (V ).Em particular, qualquer tensor T ∈ T kl (V ) se escreve na forma

T = T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl ,

onde

T j1...jli1...ik= T

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl).

Em particular, dimT kl (V ) = nk+l.

Prova. Primeiro mostraremos que Bkl gera o espaco tensorial T kl (V ). Seja T ∈ T kl (V ) um tensor qualquere defina

T j1...jli1...ik= T

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl).

Se v1, . . . , vk ∈ V , ω1, . . . , ωl ∈ V ∗ sao vetores e covetores arbitrarios, expressos em coordenadas por

vr = virr eir e ωs = ωsjsejs

para r = 1, . . . , k e s = 1, . . . , l, segue da multilinearidade que

T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)

= T(vi11 ei1 , . . . , v

ikk eik , ω

1j1e

j1 , . . . , ωljlejl)

= vi11 . . . vikk ω1j1 . . . ω

ljlT(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

= T j1...jli1...ikvi11 . . . vikk ω1

j1 . . . ωljl

= T j1...jli1...ikei1 (v1) . . . eik (vk) ej1

(ω1). . . ejl

(ωl)

= T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

(v1, . . . vk, ω

1, . . . , ωl).

Para mostrar que Bkl e linearmente independente, suponha que exista uma combinacao linear nula

T = Cj1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl = 0

para algumas constantes Cj1...jli1...ik∈ R. Como

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl)

= ei1 (er1) . . . eik (erk) ej1 (es1) . . . ejl (esl)

= δi1r1 . . . δikrkδs1j1 . . . δ

sljl

= δi1...iks1...slr1...rkj1...jl,


(o delta de Kronecker para multi-ındices e definido de forma analoga ao delta de Kronecker usual) segue que

0 = T (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl) = Cj1...jli1...ik

δi1...iks1...slr1...rkj1...jl= Cs1...slr1...rk

para todos os ındices r1, . . . , rk, s1, . . . , sl = 1, . . . , n. Este resultado mostra que um tensor e completamente determinado pela sua acao em todas as sequenciaspossıveis de covetores e vetores das bases de V ∗ e V .

6.25 Proposicao. Se F ∈ T kl (V ), G ∈ T pq (V ) e T = F ⊗G ∈ T k+pl+q (V ), entao

Tj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

= F j1...jli1...ikGjl+1...jl+qik+1...ik+p

.

Prova. Pois


= T(ei1 , . . . , eik , eik+1

, . . . , eik+p , ej1 , . . . , ejl , ejl+1 , . . . , ejl+q

)= F

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)G(eik+1

, . . . , eik+p , ejl+1 , . . . , ejl+q

)

6.5.4 Mudanca de Coordenadas


B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,

duas bases para o espaco vetorial V e

B∗1 =e1, . . . , en

,

B∗2 =f1, . . . , fn

,

as respectivas bases duais para V ∗.

Sejam A a matriz de mudanca de coordenadas de B1 para B2, e(A−1

)Ta matriz de mudanca de

coordenadas de B∗1 para B∗2, isto e,

ei = Ajifj ,

ek =(A−1

)klf l.

Sejam

T = Ej1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

= F j1...jli1...ikf i1 ⊗ . . .⊗ f ik ⊗ fj1 ⊗ . . .⊗ fjl

as expressoes em coordenadas para um tensor T ∈ T kl (V ) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik= Ar1i1 . . . A

rkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslF s1...slr1...rk

.


Prova. Segue da ultima proposicao e por multilinearidade que

Ej1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

= T(Ar1i1 fr1 , . . . , A

rkikfrk ,

(A−1

)j1s1fs1 , . . . ,

(A−1

)jlslfsl)

= Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslT (fr1 , . . . , frk , f

s1 , . . . , fsl)

= Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslF s1...slr1...rk

.

6.27 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Para cada p ∈M consideramos o espaco tensorialtangente T kl (TMp) a M em p.

Seja (ϕ,U) uma carta para p. A base coordenada

Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

do espaco tangente TMp associada a carta ϕ e sua respectiva base dual

B∗p =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

dao origem a base tensorial coordenada associada a carta ϕ para o espaco tensorial tangente T kl (TMp)(

Bkl)p

=dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂1|p ⊗ . . .⊗ ∂n|p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

6.28 Corolario. Sejam M uma variedade diferenciavel, (ϕ,U) , (ψ, V ) cartas para p = ϕ (x) = ψ (y) ∈M ,

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

,

as respectivas bases coordenadas de TMp e

B∗x =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

,

B∗y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p

,

suas respectivas bases duais.Sejam

Tp = Ej1...jli1...ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

= F j1...jli1...ik(p) dyi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dyik

∣∣p⊗ ∂

∂yj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂yjl

∣∣∣∣p

as expressoes em coordenadas para um tensor Tp ∈ T kl (TMp) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik(p) =

∂yr1

∂xi1. . .

∂yrk

∂xik∂xj1

∂ys1. . .

∂xjl

∂yslF s1...slr1...rk

(p) .

Prova: Segue das Proposicoes 6.12, 6.15 e 6.26.


6.5.5 Traco de Tensores

O traco de uma matriz A =(Aij)n×n e definido por

trA = Aii.

A partir disso pode-se definir o traco de um operador linear sobre um espaco vetorial real de dimensao finitacomo sendo o traco de qualquer uma de suas representacoes matriciais com respeito a uma base fixada poispode-se provar que o traco independe da base escolhida, ou seja, que o traco e uma nocao independente decoordenadas. Usando o isomorfismo natural entre o espaco vetorial End (V ) dos operadores lineares sobre Ve T 1

1 (V ), podemos definir logo de inıcio o traco para operadores lineares independemente de coordenadas.Alem da vantagem obvia de se ter uma definicao que nao se refere a coordenadas, a maior vantagem e queela sera naturalmente generalizada para definir o traco de tensores.

Observe que e uma consequencia da Proposicao 6.24 que os produtos tensoriais da forma ω⊗ v, ω ∈ V ∗,v ∈ V , geram T 1

1 (V ); em outras palavras, todo (1, 1)-tensor e uma combinacao linear de tais produtostensoriais.

6.29 Definicao. O traco de (1, 1)-tensores e o funcional linear

tr : T 11 (V ) −→ R

definido por

tr (ω ⊗ v) = ω (v)

em produtos tensoriais e estendido linearmente a todo T 11 (V ).

Se Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) e o endomorfimo natural, entao o traco de um operador linear A ∈ End (V )

e definido por

trA = tr (Φ (A)) .

6.30 Proposicao. Se T ∈ T 11 (V ) se escreve em coordenadas na forma

T = T ji ei ⊗ ej ,

entao

trT =

n∑i=1

T ii .

Consequentemente, se A ∈ End (V ), entao

trA = Aii.

Prova: Por definicao,trT = T ji tr

(ei ⊗ ej

)= T ji e

i (ej) = T ji δij = T ii .

Daı, comotrA = [Φ (A)]

ii ,

e, pela Proposicao 6.18,

[Φ (A)]ji = Φ (A)

(ei, e

j)

= ej (Aei) = ej(Aki ek

)= Aki e

j (ek) = Aki δjk

= Aji ,


segue a segunda expressao. O conceito de traco pode ser generalizado para tensores de qualquer tipo, produzindo uma operacao que

diminui o grau total do tensor em 2, 1 para a parte covariante e 1 para a parte contravariante. Antes observeque, dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, cada (k − 1, l − 1)-upla fixada(

v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl

)∈ V k−1 × (V ∗)

l−1

define um tensor S ∈ T 11 (V ), que depende da (k − 1, l − 1)-upla escolhida, atraves da expressao

S (v, ω) = T(v1, . . . , vp−1, v, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ω, ωq+1, . . . , ωl).

Em outras palavras, fixados v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl,

T(v1, . . . , vp−1, ·, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq+1, . . . , ωl)

e um (1, 1)-tensor.

6.31 Definicao. Dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, o traco de T com respeito aos ındices p, q(ındice covariante p e ındice contravariante q) e o tensor trT do tipo (k − 1, l − 1) definido por

(trT )(v1, . . . , vp−1, vp, . . . , vk−1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq, . . . , ωl−1)

= trT(v1, . . . , vp−1, ·, vp, . . . , vk−1, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq, . . . , ωl−1).

Se for necessario explicitar os ındices em relacao aos quais foi tomado o traco, denotaremos trpq T .

6.32 Proposicao. Se T ∈ T kl (V ) se escreve em coordenadas na forma

T = T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .

entao as coordenadas de

trT = (trT )j1...jl−1

i1...ik−1ei1 ⊗ . . .⊗ eik−1 ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl−1

sao dadas por

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1= T

j1...jq−1ijq...jk−1

i1...ip−1iip...il−1.

Prova: Por definicao, se S e o tensor T(ei1 , . . . , eip−1

, ·, eip , . . . , eik−1, ej1 , . . . , ejq−1 , ·, ejq , . . . , ejl−1

), entao

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1= (trT )

(ei1 , . . . , eip−1

, eip , . . . , eik−1, ej1 , . . . , ejq−1 , ejq , . . . , ejl−1

)= trS

= Sii

= T(ei1 , . . . , eip−1 , ei, eip , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejq−1 , ei, ejq , . . . , ejl−1)

= Tj1...jq−1ijq...jl−1

i1...ip−1iip...ik−1.

6.6 Tensores em Espacos Vetoriais Metricos

6.6.1 Operacao de Subir ou Descer um Indice

Veremos agora como a metrica (isto e, o produto interno) em um espaco vetorial permite converter tensorescovariantes em tensores contravariantes e vice-versa. De fato, ele permite definir um isomorfismo natural


(independente da fixacao de bases) entre os espacos Tk (V ) e T k (V ) chamado os isomorfismos musicais.O motivo deste nome se refere aos sımbolos escolhidos para denotar o isomorfismo e seu inverso, conformea definicao a seguir. As metricas consideradas neste livro podem ter qualquer assinatura e nao precisam serdefinidas positivas.

Um produto interno g = 〈, 〉 em um espaco vetorial e um tensor 2-covariante (simetrico, nao degenerado).Fixada uma base

B = e1, . . . , en

para este espaco, este tensor tem componentes

gij = g (ei, ej)

6.33 Definicao. Seja V um espaco vetorial metrico, com metrica g = 〈, 〉.Definimos o isomorfismo bemol

[ : T1 (V ) −→ T 1 (V )

que leva o vetor v no covetor v[ definido por

v[ (w) = 〈v, w〉

para todo w ∈ V .Seu inverso e o isomorfismo sustenido

] : T 1 (V ) −→ T1 (V )

que leva o covetor ω no vetor ω] definido por

⟨ω], w

⟩= ω (w)

para todo w ∈ V .

Em coordenadas,

v[ (w) =⟨viei, w

jej⟩

= gijviwj

= gijviej (w) ,

ou seja,

v[ = gijviej .

Escrevendo os componentes do covetor v[ em coordenadas na forma

v[ = vjej ,

segue que

vj = gijvi.

Diz-se que o covetor v[ e obtido a partir do vetor v descendo um ındice. Por este motivo esta operacao edenotada pelo sımbolo bemol, porque em partituras musicais o sımbolo bemol e usado para abaixar a altura


da nota musical que lhe segue. Ja no caso do isomorfismo inverso, escrevendo em coordenadas o vetor ω] naforma

ω] = ωiei,

temos

ω (ej) =⟨ω], ej

⟩=⟨ωkek, ej

⟩= ωk 〈ek, ej〉= gkjω

k,

dondeω = gkjω

kej

e daıωj = gkjω

k.

Multiplicando pela matriz inversa gij , como

n∑i=1

gijn∑k=1

gjkωk =

n∑k=1

(n∑i=1

gijgjk

)ωk =

n∑k=1

δikωk = ωi,

segue que

ωi = gijωj .

Diz-se que o vetor ω] e obtido a partir do covetor ω subindo um ındice. Por este motivo esta operacaoe denotada pelo sımbolo sustenido, porque em partituras musicais o sımbolo sustenido e usado para subir aaltura da nota musical que lhe segue.

Geometricamente, em um espaco vetorial metrico, a acao de um covetor nao nulo ω ∈ V ∗ em um vetorv ∈ V , se ω# e um vetor unitario, e simplesmente dar a projecao ortogonal de v na direcao do vetor ω#, istoe, o multiplo escalar que multiplicado por ω# da o vetor projecao ortogonal de v no subespaco unidimensionalgerado pelo vetor ω#: em geral,

Projω] v =

⟨ω], v

⟩‖ω]‖2

ω] =ω (v)

‖ω]‖2ω].

Este subespaco e ortogonal ao nucleo de ω: se v ∈ kerω, entao⟨ω], v

⟩= 0,

logo

kerω =⟨ω#⟩⊥

.

A operacao de subir ou descer um ındice pode ser aplicada a qualquer tensor. No caso geral, ela aumentae descresce o grau do tensor ao mesmo tempo:

6.34 Definicao. Seja V um espaco vetorial metrico.Se T ∈ T kl (V ), entao T [ ∈ T k+1

l−1 (V ) e o tensor definido por

T [(v1, . . . , vk, vk+1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl)

= T(v1, . . . , vp, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, v[k+1, ωq+1, . . . , ωl

)


e T ] ∈ T k−1l+1 (M) e o tensor definido por

T ](v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= T(v1, . . . , vp−1,

(ωl+1

)], vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl).

Note que ao aplicar a operacao de subir ou descer um ındice de um tensor teremos que explicitar qual ındiceestamos subindo ou descendo. Em geral isto e feito em palavras, sem o uso de um sımbolo especial. Emcoordenadas, descendo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jl−1

i1...ikik+1= T [

(ei1 , . . . , eik , eik+1

, ej1 , . . . , ejl−1)

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl−1 ,(eik+1

)[)= T

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl−1 , gik+1pep)

= gik+1pT(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl−1 , ep)

= gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jl−1

i1...ikik+1= gik+1pT

j1...jl−1pi1...ik

.

Subindo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jljl+1

i1...ik−1= T ]

(ei1 , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejl , ejl+1)

= T(ei1 , . . . , eik−1

,(ejl+1

)], ej1 , . . . , ejl

)= T

(ei1 , . . . , eik−1

, gjl+1qeq, e1, . . . , el

)= gjl+1qT

(ei1 , . . . , eik−1

, eq, e1, . . . , el

)= gjl+1qT j1...jli1...ik−1q

,


Tj1...jljl+1

i1...ik−1= gjl+1qT j1...jli1...ik−1q

.

6.6.2 Produto Interno de Tensores

6.7 Produto Tensorial de Espacos Vetoriais

6.35 Definicao. Seja B = eii∈I um conjunto nao vazio arbitrario e K um corpo. O espaco vetorialgerado por B e o conjunto F (B) de todas as combinacoes lineares formais finitas de elementos de B, istoe, expressoes da forma

k∑j=1

vjeij

para algum k ∈ N, para algum conjunto de ındices finito i1, . . . , ik e para alguns escalares v1, . . . , vk ∈ K,com a soma de vetores e multiplicacao por escalar definida da maneira obvia.


Observe que, com esta definicao, o conjunto B e a base de V .

6.36 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais com bases

BV = ei ,BW = e′i .

O produto tensorial V ⊗W e o espaco vetorial gerado pelo produto cartesiano

B = BV ×BW =(ei, e

′j

)Denotamos os elementos da base B por ei ⊗ e′j .

Em outras palavras, os elementos do produto tensorial V ⊗W sao combinacoes lineares formais dos produtostensoriais formais ei ⊗ e′j de elementos das bases de V e W . Nesta notacao, alguns elementos de V ⊗Wpodem ser escritos na forma v⊗w para algum v ∈ V e para algum w ∈W , mais isso em geral nao acontece;mais geralmente, os elementos de V ⊗W sao da forma

t =

k∑i,j=1

tijei ⊗ e′j .

Estes produtos tensoriais sao chamados as vezes de bivetores.Outra maneira de definir o produto tensorial entre espacos vetoriais V,W e como um espaco quociente:

consideramos

V ⊗W =F (V ×W )

I,

onde I e o subespaco gerado por elementos da forma

(av, w)− a (v, w) ,

(v, aw)− a (v, w) ,

(v + v, w)− (v, w)− (v, w) ,

(v, w + w′)− (v, w)− (v, w + w′) .

A conexao entre esta definicao e a anterior e dada pelo seguinte isomorfismo (denotamos Homk o espacovetorial dos homomorfismos k-lineares):


V ⊗W ∼= Hom2 (V ∗ ×W ∗;R) .

Prova: Basta definirΦ : V ⊗W −→ Hom2 (V ∗ ×W ∗;R)

por[Φ (v ⊗ w)] (ω, η) = ω (v) η (w) .

e estender linearmente. Analogamente definimos o produto vetorial V1⊗ . . .⊗Vk (cujos elementos sao chamados de multivetores

ou k-vetores) e vale o isomorfismo:


V1 ⊗ . . .⊗ Vk ∼= Homk (V ∗1 × . . .× V ∗k ;R) .


Prova: Basta definirΦ : V1 ⊗ . . .⊗ Vk −→ Homk (V ∗1 × . . .× V ∗k ;R)

por[Φ (v1 ⊗ . . .⊗ vk)] (ω1, . . . , ωk) = ω1 (v1) . . . ωk (vk) .

e estender linearmente. Por causa deste isomorfismo, k-vetores podem ser vistos como k-tensores covariantes e vice-versa. O isomor-fismo natural V ∼= V ∗∗ tambem permite identificar k-vetores com k-tensores contravariantes.

6.8 Fibrados Tensoriais

6.39 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n.O fibrado (k, l)-tensorial de M e a variedade diferenciavel de dimensao n+ nk+l

T kl M =⊔p∈M

T kl (TMp) ,

ou seja,T kl M =

(p, T ) : p ∈M e T ∈ T kl (TMp)

com a topologia e atlas induzidos de forma analoga a do fibrado tangente, ou seja, se

Φ = ϕα : Uα −→ ϕα (Uα) ⊂ Rnα∈A

e um atlas maximal para M e

T kl Uα =⊔p∈Uα

T kl (TMp) = π−1 (Uα) ,

ondeπ : T kl M −→M

e a projecao natural π (p, T ) = p, um subconjunto A e aberto em T kl Uα se e somente se ψα (A) e aberto em

ϕα (Uα)× Rnk+l , e um atlas para T kl M

Ψ =ψα : T kl Uα −→ ϕα (Uα)× Rn

k+lα∈A

e definido por

ψα

p, n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂j1 |p ⊗ . . .⊗ ∂jl |p

=

ϕα (p) ,

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1p . . .⊗ eikej1 ⊗ . . .⊗ ejl

.


Note que

T 0M = M × R,T1M = TM,

T 1M = T ∗M,

T k0 M = T kM,

T 0l M = TlM.

O fibrado T 1M e chamado o fibrado cotangente.

6.9 Campos Tensoriais

6.9.1 Definicao

6.40 Definicao. Um campo tensorial e uma secao do fibrado tensorial.Um campo tensorial diferenciavel e uma secao diferenciavel do fibrado tensorial, isto e, uma aplicacao

diferenciavel T : M −→ T kl M tal que π T = idM .Definindo

(T + S)p = Tp + Sp,

(λT )p = λTp,

o conjunto dos campos (k, l)-tensoriais diferenciaveis torna-se um espaco vetorial, denotado por Tkl (M).Definindo

(fT )p = f (p)Tp,

tambem podemos considerar Tkl (M) como um C∞ (M)-modulo.Definindo

(T ⊗ S)p = Tp ⊗ Sp,os espacos vetoriais

T (M) =

∞⊕k,l=0

Tkl (M) ,

T∗ (M) =

∞⊕k=0

Tk (M) ,

T∗ (M) =

∞⊕l=0

Tl (M) ,

tornam-se algebras, chamadas respectivamente a algebra tensorial, a algebra tensorial covariante e aalgebra tensorial contravariante de M .

A menos que seja dito o contrario, lidaremos apenas com campos tensoriais diferenciaveis. Note que

T0 (M) = C∞ (M) ,

T1 (M) = T (M) ,

Tk0 (M) = Tk (M) ,

T0l (M) = Tl (M) .

e T1 (M) e o espaco vetorial dos campos covetoriais. Note tambem que a algebra tensorial de M pode serconsiderada uma R-algebra ou uma C∞ (M)-algebra, conforme a necessidade.


6.41 Proposicao. Seja T : M −→ T kl M um campo tensorial.Para cada carta (ϕ,U) denote a base coordenada associada para o espaco tensorial T kl (TMp) por(

Bkl)p

=dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂j1 |p ⊗ . . .⊗ ∂jl |p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

para todo p ∈ U , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma

Tp = T j1...jli1...ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂j1 |p ⊗ . . .⊗ ∂jl |p .

T e um campo tensorial diferenciavel se e somente se para toda carta (ϕ,U) temos

T j1...jli1...ik∈ C∞ (U)

para todos os ındices i1, . . . , ik, j1, . . . , jl = 1 . . . , n.


6.9.2 Pullback de Campos Tensoriais Covariantes

6.42 Definicao. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.Definimos o operador linear pullback de campos tensoriais covariantes por F

F ∗ : Tk (N) −→ Tk (M)

por

F ∗f = f F

para campos 0-tensoriais f ∈ C∞ (M) e, para tensores covariantes em geral,

(F ∗T )p (v1, . . . , vk) = TF (p) (dFp (v1) , . . . , dFp (vk)) .

6.43 Proposicao. O pullback e um tensor contravariante:

(F G)∗

= G∗ F ∗,id∗ = id .

Prova: Exercıcio 6.57. Podemos consideramos o pullback de F como uma aplicacao entre as algebras tensoriais covariantes

T∗ (N) e T∗ (M):

6.44 Proposicao. O pullbackF ∗ : T∗ (N) −→ T∗ (M)

e um morfismo entre algebras, ou seja, ele e um operador linear que preserva produtos:

F ∗ (T ⊗ S) = F ∗T ⊗ F ∗S.

Prova: Exercıcio 6.57. Em particular, considerando f ∈ C∞ (M) como um campo 0-tensorial, de modo que

fT = f ⊗ T.

segue que

F ∗ (fT ) = (f F )F ∗T.


6.10 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes

6.45 Definicao. Sejam X ∈ T (M), T ∈ Tk (M), p ∈M e ϕt o fluxo local de X em uma vizinhanca de p.A derivada de Lie do campo tensorial covariante T na direcao do campo vetorial X em p e definida

por

(LXT )p = limt→0

(ϕ∗tT )p − Tpt

=d

dt(ϕ∗tT )p

∣∣∣∣t=0

.

Note que

(LXf)p = Xp (f) ,

pois, por definicao de pullback de campos 0-tensoriais,

(LXf)p = limt→0

(f ϕt) (p)− f (p)

t

= (f ϕt (p))′(0)

=

[dϕ

dt(t, p)

∣∣∣∣t=0

](f)

= Xp (f) .

6.46 Proposicao. Para X ∈ T (M) fixado, a derivada de Lie de campos tensoriais

LX : Tk (M) −→ Tk (M)

e uma derivacao, ou seja, um operador R-linear que satisfaz a regra do produto

LX (T ⊗ S) = LXT ⊗ S + T ⊗ LXS.

Prova: Exercıcio 6.57. Como fT = f ⊗ T , segue que

LX (fT ) = (Xf)T + fLXT.

6.10.1 Calculo da Derivada de Lie de Campos Tensoriais

Da mesma forma que nao e possıvel em geral calcular a derivada de Lie de campos vetoriais diretamente dadefinicao, dada a dificuldade de se obter explicitamente o fluxo ϕt de um campo vetorial X, o mesmo valepara a derivada de Lie de campos tensoriais. Nesta subsecao obteremos uma expressao para a derivada deLie de campos tensoriais usando o colchete de Lie.

Consideremos primeiro o caso em que T e um tensor k-covariante em Rn e calculamos a sua derivadadirecional, ao inves da sua derivada de Lie (lembre-se que a derivada de Lie nao e a generalizacao precisa doconceito de derivada direcional):

(DXT ) (p) :=∂T

∂X(p) = dTP (X) .


6.47 Proposicao. Se T : (Rn)k −→ R e um funcional k-linear, sua derivada direcional em um ponto

P = (P1, . . . , Pk) na direcao de X = (X1, . . . , Xk) e dada por

(DXT ) (p) =

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) .

Prova: Pela multilinearidade de T , T (P + tX) e um polinomio em t de grau k. Vamos introduzir umanotacao (que nao usaremos em nenhum outro lugar deste livro) para escrever os termos deste polinomioexplicitamente: para 1 6 i1 < . . . < ij 6 k, denote por

TP(Xi1 , . . . , Xij

)o resultado obtido quando substituımos na expressao T (P1, . . . , Pk) os vetores Pi1 , . . . , Pij por Xi1 , . . . , Xij ,respectivamente; por exemplo,

TP (Xi) = T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) ,

com Pi substituıdo por Xi, e

TP (Xi, Xj) = T (P1, . . . , Xi, . . . , Xj , . . . , Pk) .

com Pi, Pj substituıdos por Xi, Xj . Temos portanto

T (P + tX) = T (P1 + tX1, . . . , Pk + tXk)

= T (P ) +

k∑j=1

tj k∑i1<...<ij=1

TP(Xi1 , . . . , Xij

)= T (P ) + t

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk)

+

k∑j=2

k∑i1<...<ij=1

TP(Xi1 , . . . , Xij

) tj .

Logo, a derivada direcional e dada por

dTP (X) = limt→0

T (P + tX)− T (P )

t

=

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) + limt→0

k∑j=2

k∑i1<...<ij=1

TP(Xi1 , . . . , Xij

) tj−1

=

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) .

Temos uma formula semelhante para a derivada de Lie, como veremos na proposicao a seguir. No que se

segue, se T e um campo tensorial k-covariante, para nao carregar a notacao definimos a funcao

T (Y1, . . . , Yk) ∈ C∞ (M)

por

[T (Y1, . . . , Yk)] (p) = Tp

(Y1|p , . . . , Yk|p

)


de modo que, pela definicao (Xf) (p) = Xp (f),

[X (T (Y1, . . . , Yk))] (p) = Xp [T (Y1, . . . , Yk)] .

Da mesma forma, usamos (LXT ) (Y1, . . . , Yk) para denotar

(LXT )p

(Y1|p , . . . , Yk|p

).

6.48 Proposicao. Se X ∈ T (M) e T ∈ Tk (M), entao LXT ∈ Tk (M) e dada por

(LXT ) (Y1, . . . , Yk) = LX (T (Y1, . . . , Yk))−k∑i=1

T (Y1, . . . ,LXYi, . . . , Yk)

para campos Y1, . . . , Yk ∈ T (M), ou seja,

(LXT ) (Y1, . . . , Yk) = X (T (Y1, . . . , Yk))−k∑i=1

T (Y1, . . . , [X,Yi] , . . . , Yk)

Em particular, se k = 1,

(LXω) (Y ) = X (ω (Y ))− ω ([X,Y ]) ,

e se k = 2,

(LXT ) (Y, Z) = X (T (Y, Z))− T ([X,Y ] , Z)− T (Y, [X,Z]) .

Prova: Caso k = 1.


Temos

(LXω)p (Yp) = limt→0

(ϕ∗tω)p − ωpt

(Yp)

= limt→0

(ϕ∗tω)p Yp − ωp (Yp)

t

= limt→0

ωϕt(p)

(d (ϕt)p Yp

)− ωp (Yp)

t

= limt→0

ωϕt(p)

(d (ϕt)p Yp − Yϕt(p)

)+ ωϕt(p)

(Yϕt(p)

)− ωp (Yp)

t

= ω limt→0

ϕt(p)

(limt→0

d (ϕt)p Yp − Yϕt(p)t

)+ limt→0

ωϕt(p)(Yϕt(p)

)− ωp (Yp)

t

= ωp

(limt→0

(L−XY )ϕt(p)

)+Xp (ω (Y ))

= ωp

((L−XY )p

)+Xp (ω (Y ))

= Xp (ω (Y ))− ωp[(LXY )p

]= Xp (ω (Y ))− ωp ([X,Y ]) .

onde usamos o fato que se ϕt e o fluxo local do campo X, entao ϕ−t e o fluxo local do campo −X; em outraspalavras, como

(LXY )p = limt→0

[dϕ−t]ϕt(p)(Yϕt(p)

)− Yp

t,

podemos escrever

(L−XY )p = limt→0

(L−XY )ϕt(p)

= limt→0

[dϕt]ϕ−t[ϕt(p)] (Yp)− Yϕt(p)t

= limt→0

[dϕt]p (Yp)− Yϕt(p)t

.

Caso k = 2.Escrevemos T localmente como

T = Tijdxi ⊗ dxj .


Pela regra do produto e pela Proposicao 6.46 temos

LXT = X (Tij) dxi ⊗ dxj + TijLX

(dxi ⊗ dxj

)= X (Tij) dx

i ⊗ dxj + TijLX(dxi)⊗ dxj + Tijdx

i ⊗ LX(dxj),

de modo que, pelo Caso 1,

(LXT ) (Y,Z)

= X (Tij) dxi ⊗ dxj (Y,Z) + TijLX

(dxi)⊗ dxj (Y, Z) + Tijdx

i ⊗ LX(dxj)

(Y,Z)

= X (Tij)YiZj + Tij

[LX

(dxi)

(Y )]dxj (Z) + Tijdx

i (Y )⊗[LX

(dxj)

(Z)]

= X (Tij)YiZj + Tij

[X(Y i)− dxi ([X,Y ])

]Zj + TijY

i[X(Zj)− dxj ([X,Z])

]= X (Tij)Y

iZj + TijX(Y i)Zj + TijY

i[X(Zj)]

− Tijdxi ([X,Y ])Zj − TijYidxj ([X,Z])

= X(TijY

iZj)− Tijdx

i ⊗ dxj ([X,Y ] , Z) − Tijdxi ⊗ dxj (Y, [X,Z])]

= X (T (Y, Z)) − T ([X,Y ] , Z) − T (Y, [X,Z]) .

Caso geral:Escrevemos T localmente como

T = Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik .

Pela regra do produto e pela Proposicao 6.46 temos

LXT = X (Ti1...ik) dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik + Ti1...ikLX(dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik

)

= X (Ti1...ik) dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik +

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ LXdx

i ⊗ . . .⊗ dxik ,


de modo que, pelo Caso 1,

(LXT ) (Y1, . . . , Yk)

= X (Ti1...ik) dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik (Y1, . . . , Yk)

+

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ LXdx

i ⊗ . . .⊗ dxik (Y1, . . . , Yk)

= X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk

+

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 (Y1)⊗ . . .⊗ LXdx

i (Yi)⊗ . . .⊗ dxik (Yk)

= X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk

+

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 (Y1)⊗ . . .⊗

[X(Y i)− dxi ([X,Yi])

]⊗ . . .⊗ dxik (Yk)

= X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk +

k∑i=1

Ti1...ikYi11 . . . X

(Y i). . . Y ikk

−k∑i=1

Ti1...ikdxi1 (Y1)⊗ . . .⊗ dxi ([X,Yi])⊗ . . .⊗ dxik (Yk)

= X(Ti1...ikY

i11 . . . Y ikk

)−

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxi ⊗ . . .⊗ dxik (Y1, . . . , [X,Yi] . . . , Yk)

= X (T (Y1, . . . , Yk)) −k∑i=1

T (Y1, . . . , [X,Yi] , . . . , Yk)

Da demonstracao, vemos que a expressao em coordenadas da derivada de Lie de tensores e

(LXT ) (Y1, . . . , Yk) = X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk +

k∑i=1

Ti1...ikYi11 . . . X

(Y i). . . Y ikk

−k∑i=1

Ti1...ikYi11 . . . [X,Yi]

i. . . Y ikk .

A equacao da Proposicao 6.48 pode ser visto como uma regra do produto:


6.49 Corolario. Valem

X (T (Y1, . . . , Yk)) = LX (T (Y1, . . . , Yk)) = (LXT ) (Y1, . . . , Yk) +

k∑i=1

T (Y1, . . . ,LXYi, . . . , Yk) ,

X (ω (Y )) = LX (ω (Y )) = (LXω) (Y ) + ω ([X,Y ]) ,

e

X (T (Y, Z)) = LX (T (Y,Z)) = (LXT ) (Y, Z) + T (LXY, Z) + T (Y,LXZ) .

6.50 Corolario. Se X ∈ T (M) e f ∈ C∞ (M), entao

LX (df) = d (LXf) .

Prova. Temos

(LXdf) (Y ) = X (df (Y ))− df ([X,Y ])

= X (Y f)− [X,Y ] f

= X (Y f)−X (Y f) + Y (Xf)

= Y (Xf)

= d (Xf) (Y )

= d (LXf) (Y ) .

6.10.2 Campos Tensoriais Invariantes

6.51 Definicao. Dizemos que um campo tensorial covariante T ∈ Tk (M) e invariante sob uma aplicacaodiferenciavel F se

F ∗T = T.

6.52 Proposicao. Se X ∈ T (M) e T ∈ Tk (M), entao

d

dt(ϕ∗tT )p

∣∣∣∣t=s

= [ϕ∗s (LXT )]p .

Consequentemente, um campo tensorial T e invariante sob o fluxo de X se e somente se

LXT = 0.

Prova. A demonstracao e analoga a da Proposicao 5.16. Como

ϕs+t = ϕs ϕt,

segue da funtorialidade do pullback queϕ∗s+t = ϕ∗s ϕ∗t .


Daı,

d

dt(ϕ∗tT )

∣∣∣∣t=s

=d

dt

[(ϕs+t)

∗T]∣∣∣∣t=0

=d

dt[(ϕ∗s ϕ∗t )T ]

∣∣∣∣t=0

= ϕ∗s

(d

dt(ϕ∗tT )

∣∣∣∣t=0

)= ϕ∗s (LXY ) .

6.11 Exercıcios

6.53 Exercıcio. Defina explicitamente o fibrado cotangente e mostre que ele e um fibrado vetorial. Definaexplicitamente o conceito de campos covetoriais.

6.54 Exercıcio. Mostre que o fibrado tensorial definido pela Definicao 6.40 e de fato uma variedade dife-renciavel.

6.55 Exercıcio. Demonstre a Proposicao 6.41.

6.56 Exercıcio. Seja T : M −→ T kl M uma secao do fibrado tensorial. Mostre que T e diferenciavel (e,portanto, um campo tensorial diferenciavel) se e somente se para toda vizinhanca V ⊂M e para todos os cam-pos vetoriais X1, . . . , Xk e para todas os campos covetoriais ω1, . . . , ωl a funcao T

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

:V −→ R definida por

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

(p) = Tp(X1 (p) , . . . , Xk (p) , ω1 (p) , . . . , ωl (p)

)e diferenciavel.

6.57 Exercıcio. Demonstre as Proposicoes 6.43, 6.44 e 6.46.

Capıtulo 7

Conexoes e Derivada Covariante

Neste capıtulo queremos generalizar de uma forma melhor o conceito de derivada direcional para camposvetoriais e tensoriais em variedades diferenciaveis, ja que, como vimos no Capıtulo 4, a derivada de Lie euma generalizacao imperfeita deste conceito.

Alem disso, gostarıamos de definir uma nocao completa de calculo diferencial em variedades diferenciaveis,isto e, calcular derivadas segundas, terceiras e todas as derivadas de ordem superior. A derivada de umafuncao real f (sua diferencial) e um funcional linear df , isto e, um tensor 1-covariante. Para podermosderivar mais uma vez, precisamos definir a nocao da derivada de um tensor 1-covariante. Para definirmosderivadas de ordem superior, precisamos definir as derivadas de tensores de todos os tipos (k, l). Assim comoa derivada de uma funcao aumenta a ordem covariante de 0 para 1, a derivada de (k, l)-tensores aumentaraa ordem covariante de k para k+ 1: ela sera um tensor do tipo (k + 1, l). Por este motivo, ela sera chamadaderivada covariante. Na verdade, ela sera construıda a partir da derivada covariante de campos vetoriais (aqual recebe este nome em funcao do seu uso na definicao da derivada covariante de tensores) e isso sera feitoem duas etapas: primeiro generalizaremos a definicao de derivada covariante de campos vetoriais (conexoes),que e uma nocao de derivada direcional, para definir derivadas covariantes de campos tensoriais, ou seja,derivadas direcionais de campos tensoriais (que sera chamada uma conexao em ⊕Tkl (M)); esta sera usadaem seguida para definir a nocao propriamente dita de derivada covariante de campos tensoriais, a chamadaderivada covariante total.

7.1 Conexao e Derivada Covariante de Campos Vetoriais

Para isso, consideramos as propriedades basicas e essenciais que a derivada direcional em Rn satisfaz: estasserao as propriedades que a derivada direcional para variedades deve satisfazer. Campos vetoriais suavesX,Y ∈ T (Rn) sao simplesmente aplicacoes X,Y : Rn −→ Rn (atraves da identificacao natural do fibradotangente TRn com Rn). A derivada direcional do campo Y no ponto p ∈ Rn na direcao do campo X esimplesmente a derivada direcional da aplicacao Y na direcao do vetor Xp = X (p), isto e,

(DXY ) (p) :=∂Y

∂Xp(p) = dYp (Xp) .

Enxergando o ponto de aplicacao implicitamente, podemos denotar

DXY = dY (X)

e considerar a derivada direcional de campos como uma aplicacao

D : T (Rn)× T (Rn) −→ T (Rn) .

119


Das propriedades de linearidade e regra do produto da derivada em Rn segue que, para escalares α, β ∈ R

DαX+gY Z = αDXZ + βDY Z,

DX (αY + βZ) = αDXY + βDXZ,

ou seja, D e uma aplicacao bilinear sobre R (linear nas duas variaveis), enquanto que para funcoes f, g ∈C∞ (Rn) temos

DfX+gY Z = fDXZ + gDY Z,

DX (fY ) = fDXY + (Xf)Y,

onde, na ultima equacao, usamos o fato que a derivada direcional de funcoes ∂Xf nada mais e que Xf :

Xf =

(n∑i=1

Xi∂i

)f =

n∑i=1

Xi (∂if) =∂f

∂X:= ∂Xf ;

portanto, D e uma aplicacao linear sobre o anel C∞ (Rn) na primeira variavel e satisfaz a regra do produtona segunda variavel.

[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.

7.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma conexao ∇ em M e uma aplicacaobilinear sobre R

∇ : T (M)× T (M) −→ T (M) ,

denotada por (X,Y ) 7→ ∇XY tal que, considerando T (M) como modulo sobre C∞ (M), satisfaz as seguintespropriedades:

(i) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,(ii) ∇X (fY ) = f∇XY + (Xf)Y.para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) e para todas as funcoes f, g ∈ C∞ (M).Dizemos que ∇XY e a derivada covariante do campo Y na direcao de X.

Observe que a derivada de Lie nao satisfaz a propriedade de ser uma aplicacao linear sobre o anel C∞ (M)na primeira variavel, pois

LfX+gY (Z) = [fX + gY, Z] = [fX,Z] + [gY, Z]

= f [X,Z]− (Zf)X + g [Y,Z]− (Zg)Y

= f [X,Z] + g [Y, Z]− (Zf)X − (Zg)Y

= fLX (Z) + gLY (Z)− (Zf)X − (Zg)Y,

logo nao e uma derivada covariante.O resultado a seguir mostra que a derivada covariante e de fato a generalizacao do conceito de derivada

direcional no espaco euclidiano para variedades (ou seja, todas as propriedades essenciais da derivada covari-ante foram capturadas na Definicao 7.1), de forma que podemos interpretar ∇XY como a derivada direcionaldo campo Y na direcao X:

7.2 Proposicao (Conexao em Coordenadas). Seja ∇ uma conexao em uma variedade diferenciavel M .Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriais que se expressam em coordenadas locais por

X =

n∑i=1

Xi∂i e Y =

n∑j=1

Y j∂j ,

entao

∇XY =

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j . (7.1)

Em particular, (∇XY )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangentea Xp.


Prova: Usando as propriedades de uma conexao, obtemos

∇XY = ∇X

n∑j=1

Y j∂j

=

n∑j=1

∇X(Y j∂j

)=

n∑j=1

Y j∇X∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j

=

n∑j=1

Y j∇∑ni=1X

i∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j

=

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j .

Em particular,

(∇XY )p =

n∑i,j=1

Xi (p)Y j (p) (∇∂i∂j)p +

n∑j=1

[Xp

(Y j)]

(p) ∂j |p .

Os coeficientesX1 (p) , . . . , Xn (p) dependem apenas do valor deX em p; os coeficientesXp

(Y 1), . . . , Xp (Y n),

por definicao de vetor tangente, dependem apenas dos valores de Y ao longo de uma curva passando por pcujo vetor tangente em p e Xp.

Da expressao (7.1), escrevendo os campos vetoriais ∇∂i∂j em termos dos campos base ∂k na forma

∇∂i∂j =

n∑k=1

Γkij∂k, (7.2)

obtemos a seguinte expressao local para o campo ∇XY :

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k. (7.3)

7.3 Definicao. As funcoes suaves Γkij definidas pela expressao (7.3) sao chamadas os sımbolos de Chris-toffel da conexao associados a carta particular utilizada.

Note que se denotarmos∇i := ∇∂i ,

segue que a k-esima componente do vetor derivada covariante ∇iY e dada por

(∇iY )k

= ∂iYk +

n∑j=1

Y j (∇∂i∂j)k

= ∂iYk +

n∑j=1

Y jΓkij ,

de modo que os sımbolos de Christoffel podem ser vistos como correcoes da derivada parcial: para calcular aderivada de um campo em uma direcao coordenada i nao e mais suficiente considerarmos apenas a derivadaparcial ∂i, isto e, a variacao do campo de um ponto para o outro ao longo desta direcao, como fazıamosem Rn; em uma variedade, como os proprios referenciais de direcoes ∂1, . . . , ∂n variam com o ponto, enecessario levar em conta esta variacao para calcular a variacao total do campo quando se varia o campode um ponto para outro ao longo de uma direcao; os termos desta correcao sao dados pelos sımbolos deChristoffel Γkij , que sao os componentes (∇∂i∂j)

kda variacao das direcoes ∂j ao longo das direcoes ∂i de

um ponto para outro. Em outras palavras, a k-esima componente da variacao de Y na direcao i nao e maissimplesmente a i-esima derivada parcial da k-esima componente de Y , mas a soma desta com as correcoes


dadas pelas k-esimas componentes das variacoes de todas as direcoes do campo Y na direcao i (isto e, ossımbolos de Christoffel) com os pesos dadas pelas correspondentes componentes do campo Y em cada direcao.

Observe que em princıpio precisamos obter n3 sımbolos de Christoffel para determinar uma conexao. Nocaso de conexoes riemannianas, como veremos, a sua simetria diminuira o numero de sımbolos diferentes queprecisaremos calcular.

7.4 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma conexao.

Prova: Se V e uma vizinhanca coordenada de M , dadas n3 funcoes arbitrarias Γkij ∈ C∞ (V ), a formula (7.3)define uma conexao em V , vista como subvariedade de M . Se Vα e uma cobertura de M por vizinhancascoordenadas, cada uma com uma conexao ∇α definida, entao podemos definir uma conexao global em M ,usando uma particao da unidade ρα subordinada a esta cobertura, por

∇XY =∑α

ρα∇αXY.

As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencaoespecial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem desatisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso casotemos

∇X (fY ) =∑α

ρα∇αX (fY ) =∑α

ρα [(Xf)Y + f∇αXY ]

= (Xf)Y∑α

ρα + f∑α

ρα∇αXY

= (Xf)Y + f∇XY.

7.5 Exemplo (Conexao Euclideana). Identificando espacos tangentes em Rn com o proprio Rn, vetorestangentes com vetores em Rn e campos vetoriais em Rn com aplicacoes suaves Rn −→ Rn, nos definimos aconexao euclideana ∇ : T (Rn)× T (Rn) −→ T (Rn) por

(∇XY )p = dYp (Xp) , (7.4)

ou seja, a derivada direcional do campo Y em p na direcao de Xp. Em coordenadas, usando a definicao dediferencial em Rn,

dYp (Xp) =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)ej ,

ou seja,

∇XY =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj. (7.5)

Outra maneira de obter a mesma expressao em coordenadas, usando a regra da cadeia,

dYp (Xp) (f) = Xp (f Y ) =

n∑i=1

Xi ∂ (f Y )

∂xi=

n∑i=1

Xin∑j=1

∂f

∂xj∂Y j

∂xi

=

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj(f) .


Em notacao mais sucinta, a expressao em coordenadas da conexao euclideana que obtemos a partir de (7.5)e

∇XY =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj. (7.6)

Segue de (7.3) e da observacao no inıcio da demonstracao da Proposicao 7.4 que a conexao euclideana e defato uma conexao com sımbolos de Christoffel Γkij = 0.

7.1.1 Derivada Covariante ao longo de Curvas

A existencia de uma conexao em uma variedade diferenciavel M permite derivar campos vetoriais ao longo decurvas na variedade. Em particular, e possıvel falar em aceleracao de uma curva e portanto de geodesicas e,eventualmente, curvatura. No proximo capıtulo veremos que uma metrica riemanniana define uma conexaounica em uma variedade riemanniana. Conexoes diferentes da conexao induzida pela metrica riemannianapermitem a definicao de estruturas geometricas em variedades diferenciaveis mais gerais que a dada pelametrica riemanniana; em particular, e possıvel falar de geodesicas sem uma nocao de metrica.

Veremos agora como a conexao permite definir uma nocao intrınseca de derivada de um campo vetorialao longo de uma curva na variedade.

7.6 Definicao. Seja γ : I −→ M uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M . Um campovetorial ao longo da curva γ e um campo vetorial diferenciavel V : I −→ TM tal que V (t) ∈ Tγ(t)Mpara todo t ∈ I.

O espaco vetorial dos campos vetoriais ao longo de uma curva γ e denotado T (γ).

7.7 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Existe uma unica corres-pondencia que associa a cada campo vetorial diferenciavel V ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→Mum outro campo diferenciavel

DV

dt

ao longo de γ tal queD

dt(αV + βW ) = α

DV

dt+ β

DW

dt,

D

dt(fV ) =

df

dtV + f

DV

dt

para todos os campos diferenciaveis V,W ao longo de γ, para todos os escalares α, β ∈ R e para toda funcaodiferenciavel f : I −→ R, e tal que, se V e induzido por um campo de vetores X ∈ T (M), ou seja, V = X γ,entao

DV

dt= ∇γ′(t)X.

Localmente,

DV

dt=

n∑k=1

dV kdt

+

n∑i,j=1

dγi

dtΓkijV

j

∂k, (7.7)

Prova: Observe que para a expressao ∇γ′(t)X fazer sentido, devemos entender o subescrito γ′ (t) nestesımbolo como qualquer extensao local do campo γ′ (t) a um campo em M , ja que pela Proposicao 7.2 soimporta o valor da extensao em γ (t), isto e, o vetor tangente γ′ (t), e o valor de X em uma curva tangentea γ′ (t) em γ (t), que pode ser tomada como sendo a propria curva γ.

Vamos provar primeiro a unicidade deDV

dt. Suponha que exista um tal campo

DV

dtsatisfazendo todas

as propriedades do enunciado. Seja

V (t) =

n∑j=1

V j (t) ∂j |t


a expressao local do campo V . Pelas primeiras duas propriedades do enunciado, temos

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑j=1

dV j

dt(t) ∂j |t +

n∑j=1

V j (t)D∂jdt

∣∣∣∣t

.

Pela terceira propriedade,

D∂jdt

∣∣∣∣t

=(∇γ′(t)∂j

)t

=(∇∑n

i=1dγi

dt (t)∂i∂j

)t

=

n∑i=1

dγi

dt(t) ∇∂i∂j |t .

Portanto, localmente o campoDV

dtse escreve na forma

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑k=1

dV kdt

(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γkij (t)V j (t)

∂k|t , (7.8)

o que mostra que o campoDV

dte unicamente determinado.

Para determinar a existencia deDV

dt, dada uma carta (ϕ,U) para uma vizinhanca de γ (t), defina o

campoDV

dtem ϕ (U) pela expressao (7.7); e imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz

todas as propriedades do enunciado. O operador

D

dt: T (γ) −→ T (γ)

e portanto um operador linear e uma derivacao.

7.8 Definicao. O campo diferenciavelDV

dte chamado a derivada covariante de V ao longo da curva γ.

7.1.2 Transporte Paralelo

7.9 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Um campo vetorial diferenciavelV ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→M e chamado um campo paralelo ao longo de γ se

DV

dt≡ 0.

Um campo vetorial X ∈ T (M) e chamado um campo paralelo se ele e paralelo ao longo de qualquer curva.

Pela Proposicao 7.7, a derivada covariante (∇XY )p e a derivada covariante do campo Yγ(t) restricao docampo Y a curva γ no ponto t = 0 onde γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Portanto, um campo vetorial Y ∈ T (M) eparalelo se e somente se

∇XY = 0

para todo campo X ∈ T (M).

7.10 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Seja γ : I −→M uma curvadiferenciavel e V0 ∈ Tγ(t0)M , t0 ∈ I. Entao existe um unico campo paralelo V definido ao longo de γ tal queVt0 = V0.


Prova: Usando a expressao (7.8), a existencia local do campo V (t) satisfazendoDV

dt= 0 para todo t e

V (t0) = V0 corresponde a uma solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais

dV 1

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γ1

ij (t)V j (t) = 0

...

dV n

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γnij (t)V j (t) = 0

com condicao inicialV 1 (t0) = V 1

0 , . . . , Vn (t0) = V n0 .

Se γ (I) esta inteiramente contida em uma vizinhanca coordenada, entao o teorema de existencia e unicidadepara equacoes diferenciais lineares garante a existencia de um unico campo V definido em todo o intervaloI. Caso contrario, como γ (I) e um conjunto compacto, ela pode ser coberta por um numero finito devizinhancas coordenadas, em cada uma das quais V pode ser definido de maneira unica usando o raciocınioacima e esta unicidade garante que o campo e o mesmo nas intersecoes das vizinhancas.

Este resultado, juntamente com as propriedades de EDOs lineares, permite definir um isomorfismocanonico (independente de bases) entre os espacos tangentes Tγ(s)M e Tγ(t)M atraves da conexao da varie-dade:

7.11 Definicao. O campo V obtido na Proposicao 7.10 e chamado o transporte paralelo de V0 ao longode γ.

A aplicacao transporte paralelo (tambem chamada a holonomia da curva γ) e o isomorfismo linear

Pt : Tγ(t0)M −→ Tγ(t)M

definida em cada vetor V0 ∈ Tγ(t0)M porPt (V0) = Vt,

isto e, Pt (V0) e o transporte paralelo do vetor V0 ao longo da curva γ.

Quando necessario, para s, t ∈ I denotaremos a aplicacao transporte paralelo de vetores em Tγ(s)M paravetores em Tγ(t)M por

Ps→t : Tγ(s)M −→ Tγ(t)M.

A aplicacao transporte paralelo e linear porque o transporte paralelo e dado pela solucao de um sistema deequacoes diferenciais lineares. Por unicidade, ela e um isomorfismo com

P−1s→t = Pt→s,

e da unicidade de solucao para um sistema de EDOs segue tambem que

P0→0 = id,

Pr→t Ps→r = Ps→t.

Em geral, o transporte paralelo de um vetor V em TpM para um vetor em TqM dependera da curva γligando p e q usada; isto e, se γ1, γ2 : I −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

γ1 (s) = γ2 (s) = p,

γ1 (t) = γ2 (t) = q,

entao em geralP γ1s→t (V ) 6= P γ2s→t (V )

para todo V ∈ TpM . O transporte paralelo e o mesmo, independente do caminho utilizado para ir de p ateq, se e somente se a curvatura for nula, como veremos.


7.1.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante

Atraves do transporte paralelo, podemos dar uma interpretacao geometrica para a derivada covariante.

7.12 Proposicao (Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante). Seja M uma variedade di-ferenciavel com uma conexao ∇. Dado um campo X ∈ T (M), seja γ : I −→ M uma curva diferenciavelsatisfazendo γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Se Y ∈ T (M), entao

(∇XY )p = limt→0

P−1t

(Yγ(t)

)− Yp

t=

d

dtP−1t

(Yγ(t)

)∣∣∣∣t=0

.

Prova: Seja B = E1, . . . , En uma base para TpM . Como a aplicacao transporte paralelo e um isomorfismo,

Bt = Pt (E1) , . . . , Pt (En)

e uma base de Tγ(t)M para todo t ∈ I. Como a aplicacao transporte paralelo e linear, se escrevermos ocampo Y em relacao ao referencial suave Bt na forma

Yγ(t) =

n∑i=1

Y i (t)Pt (Ei) ,

segue que

P−1t

(Yγ(t)

)=

n∑i=1

Y i (t)Ei.

Logo,

d

dtP−1t

(Yγ(t)

)∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)Ei.

Por outro lado, pela Proposicao 7.7, a derivada covariante calculada em p (∇XY )p e a derivada covariantedo campo Yγ(t) restricao do campo Y a curva γ no ponto t = 0 onde γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Logo,

(∇XY )p =D

dt

(n∑i=1

Y i (t)Pt (Ei)

)∣∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)P0 (Ei) +

n∑i=1

Y i (t)D

dt(Pt (Ei))

∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)Ei,

onde usamos o fato queD

dt(Pt (Ei)) = 0 porque os campos Pt (E1) , . . . , Pt (En) sao paralelos ao longo de γ.

7.1.4 Geodesicas

7.13 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Dizemos que uma curva dife-renciavel γ : I −→M e uma geodesica se

Dγ′

dt(t) = 0

para todo t ∈ I.


Em outras palavras, uma geodesica e uma curva cujo campo velocidade e paralelo ao longo da curva (umacurva que transporta paralelamente o seu proprio vetor tangente). Ou seja, uma geodesica e uma curva quenao muda de direcao. As vezes, por abuso de linguagem, a imagem γ (I) de uma geodesica γ tambem echamada geodesica.

7.14 Teorema (Teorema de Existencia e Unicidade de Geodesicas). Seja M uma variedade dife-renciavel com uma conexao ∇. Entao para todos p ∈M e v ∈ TpM , e para cada t0 ∈ R, existe um intervaloaberto I ⊂ R contendo t0 e uma unica geodesica γ : I −→M tal que γ (t0) = p e γ′ (t0) = v.

Prova: Seja V uma vizinhanca coordenada de p, e(x1, . . . , xn

)suas coordenadas. Por (7.7), uma curva

γ (t) = x (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

)e uma geodesica se e somente se as suas componentes satisfazem o sistema de equacoes diferenciais ordinariasde segunda ordem nao linear (quasilinear), chamado a equacao geodesica,

d2xk

dt2+

n∑i,j=1

Γkijdxi

dt

dxj

dt= 0, k = 1, . . . , n. (7.9)

Este sistema de segunda ordem pode ser transformado num sistema de primeira ordem introduzindo as nequacoes de primeira ordem

vk =dxk

dt, k = 1, . . . , n,

de modo que estas equacoes juntamente com

dvk

dt+

n∑i,j=1

Γkijvivj = 0, k = 1, . . . , n,

formam um sistema de primeira ordem equivalente ao primeiro. O resultado segue entao do teorema deexistencia e unicidade para solucoes de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem.

7.1.5 Derivada Covariante Total

A derivada covariante ∇ : T (M)× T (M) −→ T (M) nao e um tensor pois (∇XY )p nao depende apenas deXp e Yp, mas de Xp e do valor de Y em uma vizinhanca de p. No entanto, se considerarmos o operadorderivada covariante total

∇ : T (M) −→ HomC∞(M) (T (M) ,T (M)) ,

definido por∇Y (X) = ∇XY,

pois a aplicacao ∇Y para cada Y fixo e uma aplicacao linear em T (M) sobre C∞ (M), segue que ∇Y e um(1, 1)-tensor. Lembramos a observacao que se segue a Definicao 7.9:

7.15 Proposicao (Significado da Derivada Covariante Total Nula). Um campo X ∈ T (M), e paralelose e somente se

∇X = 0.


7.2 Conexao nos Fibrados Tensoriais e Derivada Covariante deCampos Tensoriais

Por definicao, uma conexao em uma variedade diferenciavel M e uma maneira de calcular derivadas covari-antes de campos vetoriais. Esta conexao permite tambem definir derivadas covariantes para todos os campostensoriais de M .

7.16 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao existe uma unica conexao

∇ : T (M)× Tkl (M) −→ Tkl (M)

em cada Tkl (M) tal que(i) Em T1 (M) = T (M), ∇ coincide com a conexao dada.(ii) Em T0 (M) = C∞ (M),

∇Xf = Xf.

(iii) ∇ satisfaz a regra do produto com relacao a produtos tensoriais:

∇X (F ⊗G) = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) .

(iv) ∇ comuta com todos os tracos: se tr denota o traco com relacao a qualquer par de ındices, entao

∇X (trF ) = tr (∇XF ) .

Alem disso, esta conexao satisfaz tambem as propriedades adicionais:(a) Para todos Y ∈ T (M) e ω ∈ T1 (M) vale

∇X [ω (Y )] = (∇Xω) (Y ) + ω (∇XY ) .

(b) Para todos T ∈ Tkl (M), Xi ∈ T (M) e ωj ∈ T1 (M) vale

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

Prova: Dividiremos a demonstracao deste resultado em passos.Passo 1. Se existe uma conexao que satisfaz as propriedades (i)-(iv), entao ela necessariamente satisfaz(a)-(b).

De fato, (a) segue de (iii) e (iv):

∇X [ω (Y )] = ∇X tr (ω ⊗ Y )

= tr∇X (ω ⊗ Y )

= tr (∇Xω ⊗ Y ) + tr (ω ⊗∇XY )

= ∇Xω (Y ) + ω (∇XY ) .

Para provar (b), procedemos por inducao separadamente sobre k e l. O caso (k, l) = (0, 1) segue de (a)e (ii):

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= X (ω (Y ))− ω (∇XY ) .


Da mesma forma, o caso (k, l) = (1, 0) segue de (a) e de (ii) (usando a definicao da aplicacao de um vetor aum covetor via a dualidade entre V e o bidual V ∗∗):

(∇XY ) (ω) = ω (∇XY )

= ∇X [ω (Y )]− (∇Xω) (Y )

= X [ω (Y )]− Y (∇Xω) .

Agora assuma que (b) vale para todos os inteiros p < k, q < l. Mostraremos que isso implica que (b) valepara k, l. Como todo T ∈ Tkl (M) se escreve na forma

T =

n∑i,j=1

Fi ⊗Gj

para alguns Fi ∈ Tpq (M) e Gj ∈ T11 (M), onde p = k− 1 e q = l− 1, pela linearidade da conexao e suficiente

provar o resultado paraT = F ⊗G

com F ∈ Tpq (M) e G ∈ T11 (M). Por (iii),

∇XT = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) ,

donde

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= [(∇XF )⊗G](X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ [F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= (∇XF )(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

+ F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)

(∇XG)(Xk, ω

l).

Mas

(∇XF )(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

= X(F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1))G(Xk, ω

l)

−k−1∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

−l−1∑j=1

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

e

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)

(∇XG)(Xk, ω

l)

= F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)X(G(Xk, ω

l))

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(∇XXk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk,∇Xωl

).


Portanto,

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1))G(Xk, ω

l)

+ F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)X(G(Xk, ω

l))

−k−1∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(∇XXk, ω

l)

−l−1∑j=1

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk,∇Xωl

)= X

[F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)]

−k−1∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . , ωl−1, ωl)

− (F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1,∇XXk, ω

1, . . . , ωl−1, ωl)

−l−1∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1, ωl)

− (F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . , ωl−1,∇Xωl)

= X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]

−k∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l−1∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

= X(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l−1∑j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl).

Passo 2. Existencia.Defina ∇ : T (M) × Tkl (M) −→ Tkl (M) por (b) (o que inclui (a), como visto acima). Mostraremos que

∇ e uma conexao e satisfaz todas as propriedades (i)-(iv).Inicialmente, as propriedades de uma conexao:

(1) ∇fX+gY T = f∇XT + g∇Y T.Primeiro, para campos covetoriais: para todo Z vale

(∇fX+gY ω) (Z) = (fX + gY ) (ω (Z))− ω (∇fX+gY Z)

= fX (ω (Z)) + gY (ω (Z))− ω (f∇XZ + g∇Y Z)

= fX (ω (Z)) + gY (ω (Z))− fω (∇XZ)− gω (∇Y Z)

= f [X (ω (Z))− ω (∇XZ)] + g [Y (ω (Z))− ω (∇Y Z)]

= f∇Xω (Z) + g∇Y ω (Z) ,


logo∇fX+gY ω = f∇Xω + g∇Y ω.

Para T ∈ Tkl (M) temos

(∇fX+gY T )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= (fX + gY )(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇fX+gYXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇fX+gY ωj , . . . , ωl

).

Como

(fX + gY )(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

= fX(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

+ gY(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)),

T(X1, . . . ,∇fX+gYXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= T(X1, . . . , f∇XXi + g∇YXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= fT(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ gT(X1, . . . ,∇YXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

e

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇fX+gY ωj , . . . , ωl

)= T

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , f∇Xωj + g∇Y ωj , . . . , ωl)

= fT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

+ gT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Y ωj , . . . , ωl),

segue o resultado.(2) ∇X (T + S) = ∇XT +∇XS.

E obvio da definicao.(3) ∇X (fT ) = f∇XT + (Xf)T.

Note que esta regra do produto e um caso especial de (iii). Primeiro, para campos covetoriais: para todoZ vale

[∇X (fω)] (Z) = X [(fω) (Z)]− (fω) (∇XZ)

= X [fω (Z)]− fω (∇XZ)

= (Xf)ω (Z) + fX (ω (Z))− fω (∇XZ)

= (Xf)ω (Z) + f [∇Xω] (Z) ,

logo∇X (fω) = f∇Xω + (Xf)ω.


Para T ∈ Tkl (M) temos

(∇XfT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(fT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

(fT )(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

(fT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

= (Xf)T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ fX(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

(fT )(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

(fT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

donde segue o resultado.Agora provemos as propriedades (i)-(iv).

(i) Por definicao, assumindo (ii) (provada logo a seguir) e por (a)

(∇XY ) (ω) = X [ω (Y )]− Y (∇Xω)

= ∇X [ω (Y )]− (∇Xω) (Y )

= ω (∇XY )

de modo que ∇XY coincide com a conexao dada.(ii) Por definicao,

∇Xf = Xf.

(iii) Por definicao, se F ∈ Tkl (M) e G ∈ Tpq (M),

[∇X (F ⊗G)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

= X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)]

−k+p∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

−l+q∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q).

Pela regra do produto para campos vetoriais,

X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)]

= X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)]

= X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)X[G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)].


Temos tambem

k+p∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

=

k∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+

k+p∑i=k+1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

e

l+q∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q)

=

l∑j=1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+

l+q∑j=l+1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q).

Portanto,

[∇X (F ⊗G)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

=

X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]−

k∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)×G (Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)×X[G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)]

−k+p∑i=k+1

G(Xk+1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

−l+q∑j=l+1

G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q)

= (∇XF )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)∇XG

(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

= [(∇XF )⊗G](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

+ [F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

= [(∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q).

(iv) Para provar esta propriedade, estabeleceremos primeiro uma formula para ∇XT em coordenadas. Se

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jj


e

X =

n∑m=1

Xm∂m,

entao

∇XT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

= ∇∑Xm∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

=

n∑m=1

Xm (∇∂mT )(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

=

n∑m=1

Xm (∇∂mT )j1...jli1...ik

e a expressao em coordenadas para a derivada covariante de um campo tensorial, como veremos na Proposicao7.21, e

(∇∂mT )j1...jli1...ik

= ∂mTj1...jli1...ik

−k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir +

l∑s=1

n∑p=1

Tj1...js−1pjs+1...jli1...ik

Γjsmp. (7.10)

Seja F ∈ Tkl (M), de modo que trF ∈ Tk−1l−1 (M). Por linearidade e suficiente provar que

[∇∂m (trF )](∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl−1)

= [tr (∇∂mF )](∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl−1),

isto e, que[∇∂m (trF )]

j1...jl−1

i1...ik−1= [tr (∇∂mF )]

j1...jl−1

i1...ik−1.

Escrevendo

F =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl ,

temos, assumindo que o traco e tomado em relacao aos ındices p, q,

(trF )j1...jl−1

i1...ik−1=

n∑u=1

Fj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1.

Logo,

[∇∂m (trF )]j1...jl−1

i1...ik−1

= ∂m (trF )j1...jl−1

i1...ik−1−

k∑r=1

n∑p=1

(trF )j1...jli1...ir−1pir+1...ik

Γpmir +

l∑s=1

n∑p=1

(trF )j1...js−1pjs+1...jli1...ik

Γjsmp

=

n∑u=1

∂mFj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1−

k∑r=1

n∑p=1

n∑u=1


i1...ip−1uip...ir−1pir+1...il−1Γpmir

+

l∑s=1

n∑p=1

n∑u=1

Fj1...jq−1ujq...js−1pjs+1...jk−1

i1...ip−1uip...il−1Γjsmp


e

[tr (∇∂mF )]j1...jl−1

i1...ik−1

=

n∑u=1

(∇∂mF )j1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1

=

n∑u=1

∂mFj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1−

n∑u=1

k∑r=1

n∑p=1


i1...ip−1uip...ir−1pir+1...il−1Γpmir

+

n∑u=1

l∑s=1

n∑p=1

Fj1...jq−1ujq...js−1pjs+1...jk−1

i1...ip−1uip...il−1Γjsmp.

Comparando as expressoes, vemos que elas sao identicas.Passo 3. Unicidade.

Se existir uma conexao ∇ : T (M)×Tkl (M) −→ Tkl (M) que satisfaz (i)-(iv), entao ela tambem satisfazera(a)-(b), logo sera igual a conexao definida no Passo 2. De agora em diante, quando nos referirmos a uma conexao em uma variedade diferenciavel M , estaremosnos referindo a conexao do lema, definida em todas os fibrados tensoriais da variedade.

7.17 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana e ω um campo covetorial em M . Entao

∇Xω =

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk. (7.11)

Em particular,

∇∂idxj = −n∑k=1

Γjikdxk. (7.12)


Prova: De fato,

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= ∇X

[ω

(n∑k=1

Y k∂k

)]− ω

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k

= X

[n∑k=1

Y kω (∂k)

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ω (∂k)

= X

[n∑k=1

Y kωk

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ωk

=

n∑k=1

[X(Y k)ωk + Y kX (ωk)

]−

n∑k=1

X(Y k)ωk +

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij

=

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij =

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY kωjΓjik

=

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

Y k

=

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk (Y ) .

7.3 Derivada Covariante Total

Assim como em Rn temos as nocoes de derivada e derivada direcional de uma aplicacao, em variedades temosa nocao de derivada covariante total de um campo tensorial (secao do fibrado tensorial) e derivada covariantede um campo tensorial na direcao de um campo vetorial (como acabamos de ver).

7.18 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Dado um campo (k, l)-tensorial T ∈ Tkl (M), a derivada covariante total de T e o campo (k + 1, l)-tensorial

∇T : T1 (M)× . . .× T1 (M)× T1 (M)× . . .× T1 (M) −→ C∞ (M)

definido por∇T

(Y1, . . . , Yk, X, ω

1, . . . , ωl)

= ∇XT(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl). (7.13)

O nome derivada covariante pode ser agora compreendido: a derivada covariante total de um tensor aumentaem um a sua ordem covariante.

7.19 Definicao. Dizemos que um tensor T ∈ Tkl (M) e paralelo se ∇T = 0.

7.20 Notacao. Seja

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl


um campo (k, l)-tensorial. Entao temos duas notacoes bastante difundidas para escrever a expressao emcoordenadas da derivada covariante total de T :

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

∇mT j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl (7.14)

e

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

T j1...jli1...ik;mdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl (7.15)

Isto e, cada componente do campo (k + 1, l)-tensorial derivada covariante total e denotado por

∇mT j1...jli1...ik= T j1...jli1...ik;m. (7.16)

Por exemplo, se

X =

n∑i=1

Xi∂i,

entao

∇X =

n∑i,j=1

∇jXidxj ⊗ ∂i =

n∑i,j=1

Xi;jdx

j ⊗ ∂i. (7.17)

7.21 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao as componentesda derivada covariante total em um sistema de coordenadas sao dadas por

∇mT j1...jli1...ik= T j1...jli1...ik;m = ∂mT

j1...jli1...ik

+

l∑s=1

n∑p=1


Γjsmp −k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir . (7.18)

Em particular, em coordenadas normais,

∇mT j1...jli1...ik(p) = ∂mT

j1...jli1...ik

(p) .

Prova: Por definicao,

T j1...jli1...ik;m

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂m, dx

j1 , . . . , dxjl)

= (∇∂mT )(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

= ∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)−

k∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂m∂ir , . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)−

l∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂mdxjs , . . . , dxjl)


−k∑r=1

T

(∂i1 , . . . ,

n∑p=1

Γpmir∂p, . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)

−l∑

s=1

T

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,−n∑p=1

Γjsmpdxp, . . . , dxjl

)


−k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir +

l∑s=1

n∑p=1


Γjsmp.


Em coordenadas normais, os coeficientes de Christoffel em p se anulam. Por exemplo, para uma funcao real:

∇if = f;i = ∂if ;

para um campo vetorial (campo 1-tensorial contravariante)

∇jXi = Xi;j = ∂jX

i +

n∑p=1

XpΓijp;

para um campo covetorial (campo 1-tensorial covariante)

∇jωi = ωi;j = ∂jωi −n∑p=1

ωpΓpij ;

para um campo 2-tensorial covariante:

∇kTij = Tij;k = ∂kTij −n∑p=1

TpjΓpik −

n∑p=1

TipΓpjk;

para um campo (3, 1)-tensorial:

∇mRlijk = Rlijk;m = ∂mRlijk +

n∑p=1

RpijkΓlpm −n∑p=1

RlpjkΓpim −n∑p=1

RlipkΓpjm −n∑p=1

RlijpΓpkm;

e para um campo 4-tensorial covariante:

∇mRijkl = Rijkl;m = ∂mRijkl −n∑p=1

RpjklΓpim −

n∑p=1

RipklΓpjm −

n∑p=1

RijplΓpkm −

n∑p=1

RijkpΓplm.

7.22 Proposicao (Regra do Produto). Vale

∇m(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

)=(∇mF j1...jli1...ik

)Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

(∇mG

jl+1...jl+qik+1...ik+p

).

Prova: Seja T = F ⊗G, de modo que


= F j1...jli1...ikGjl+1...jl+qik+1...ik+p

.

Daı,

∇mTj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , ∂m, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= ∇∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= ∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)−k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)−

l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q).


Como

∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)= ∂m

(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

)=(∂mF

j1...jli1...ik


+ F j1...jli1...ik

(∂mG


),

k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)= −

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

k+p∑r=k+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= −

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

−k+p∑r=k+1

F j1...jli1...ikG(∂ik+1


)e

l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

=−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

l+q∑s=l+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q)

=−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl


−l+q∑s=l+1

F j1...jli1...ikG(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q),


segue que

∇mTj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

=

[∂mF

j1...jli1...ik

−k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)]Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

[∂mG


−k+p∑r=k+1

G(∂ik+1


)−

l+q∑s=l+1

G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q)]

=(∇mF j1...jli1...ik


+ F j1...jli1...ik

(∇mG


).

Este resultado justifica a notacao ∇m.

7.4 Formas de Conexao

7.5 Exercıcios

7.23 Exercıcio. Prove que a aplicacao transporte paralelo e um isomorfismo.

7.24 Exercıcio. Seja Mn uma variedade diferenciavel com conexao ∇. Se γ e uma curva fechada com pontoinicial e final p, a aplicacao transporte paralelo ao longo de γ (holonomia de γ) e um automorfismo linearde TpM que denotaremos por Pγ . O grupo de holonomia de ∇ baseado em p e o subgrupo de GL (n,R)definido por

Holp (∇) = Pγ ∈ GL (n,R) : γ e uma curva fechada baseada em p .

Prove que:(a) Holp (∇) e um grupo.(b) Se M e conexa, entao Holp (∇) depende do ponto base p a menos de conjugacao, de modo que

Holp (∇) e Holq (∇) sao isomorfos para todos p, q ∈ M . Isso permite definir o grupo de holonomia Hol(∇)de M .

7.25 Exercıcio. Mostre que se M e uma subvariedade de RN , entao a componente tangente da conexaoeuclidiana define uma derivada covariante em M .

Capıtulo 8

Variedades Metricas

8.1 Metricas em Espacos Vetoriais

8.1 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita.Uma metrica (ou produto interno) em V e um 2-tensor covariante simetrico nao-degenerado g :

V× V −→ R (isto e, g (u, v) = 0 para todo v ∈ V implica u = 0), que geralmente denotaremos por g ou por〈·, ·〉.

Uma metrica e positiva definida se〈v, v〉 > 0,

para todo v ∈ V e negativa definida se〈v, v〉 < 0,

para todo v ∈ V.Dizemos que dois vetores v, w ∈ V sao ortogonais se 〈v, w〉 = 0.

8.2 Exemplo. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e

B = e1, . . . , en

uma base para V. Para 0 6 p 6 n e α1, . . . , αn ∈ R, αi > 0 para todo i, denotando q = n − p, definimos ametrica de assinatura (p, q)

〈v, w〉 = −p∑i=1

αiviwi +

n∑i=p+1

αiviwi,

onde v =(v1, . . . , vn

)e w =

(w1, . . . , wn

)sao as coordenadas de v e w em relacao a B.

De fato, esta formula claramente define um 2-tensor simetrico. Se

〈v, w〉 = 0

para todo w ∈ V, isso vale em particular para os vetores da base canonica e1, . . . , en. Mas 〈v, ei〉 = ±αivi,logo vi = 0 para todo i e portanto ela e nao-degenerada. Se p = 0 esta metrica e positiva definida, se k = nela e negativa definida e se 0 < p < n ela nao e nem positiva definida nem negativa definida, pois vetores daforma

v =(v1, . . . , vp, 0, . . . , 0

)satisfazem 〈v, v〉 < 0, enquanto que vetores v da forma

v =(0, . . . , 0, vp+1, . . . , vn

)satisfazem 〈v, v〉 > 0.

141


8.3 Definicao. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com metrica g = 〈·, ·〉.A forma quadratica associada a g e a funcao q : V −→ R definida por

q (v) = 〈v, v〉 .

Dizemos que v e um vetor do tipo luz se q (v) = 0.Dizemos que v e um vetor unitario se q (v) = ±1.Dizemos que uma base B = e1, . . . , en para V e ortonormal se os seus vetores sao dois a dois ortogonais

e unitarios.

8.4 Exemplo. Para a forma quadratica q associada a metrica do Exemplo 8.2 escolhendo αi = 1 para todoi, isto e,

〈v, w〉 = −p∑i=1

viwi +

n∑i=p+1

viwi,

temos

q (v) = −k∑i=1

(vi)2

+

n∑i=k+1

(vi)2

e a propria base B em relacao a qual a metrica foi definida e ortonormal, com

q (ei) =

−1 se i = 1, . . . , p,

1 se i = p+ 1, . . . , n.

8.5 Exemplo. Se q e uma forma quadratica associada a uma metrica positiva definida ou negativa definida,entao v e um vetor do tipo luz se e somente se v = 0. Se q e associada a uma metrica nao definida, entaomesmo que v 6= 0 pode acontecer que v seja um vetor do tipo luz. Por exemplo, para a forma quadratica doExemplo 8.2, se p 6= 0 temos

q (ei + ej) = 0

para todos 1 6 i 6 p e p+ 1 6 j 6 n. De fato, e possıvel obter uma base para V composta inteiramente devetores do tipo luz. No caso p = 1, basta tomar

B′ = e1 + e2, e1 − e2, e1 + e3 . . . , e1 + en .

Para ver que B′ e uma base, basta verificar que os n vetores que a formam sao LI. Se

α1 (e1 + e2) + α2 (e1 − e2) + α3 (e1 + e3) + . . .+ αn (e1 + en) = 0,

entao (n∑i=1

αi

)e1 + (α1 − α2) e2 +

n∑i=3

αiei = 0.

Como B e uma base, segue quen∑i=1

αi = 0,

α1 − α2 = 0,

α3 = . . . = αn = 0,

donde αi = 0 para todo i.


Note queq (v) = q (−v) ,

para todo v ∈ V, poisq (−v) = 〈−v,−v〉 = 〈v, v〉 = q (v) .

De modo geral,q (αv) = α2q (v) .

8.6 Proposicao (Identidade Polar). Uma metrica e completamente determinada por sua forma quadraticaassociada. Mais geralmente, se q e a forma quadratica associada a um 2-tensor simetrico 〈·, ·〉, entao

〈v, w〉 =1

2[q (v + w)− q (v)− q (w)] .

e

〈v, w〉 =1

4[q (v + w)− q (v − w)] .

Prova. Pois,

q (v + w)− q (v)− q (w) = 〈v + w, v + w〉 − 〈v, v〉 − 〈w,w〉= 〈v, v〉+ 2 〈v, w〉+ 〈w,w〉 − 〈v, v〉 − 〈w,w〉= 2 〈v, w〉 ,

e

q (v + w)− q (v − w) = 〈v + w, v + w〉 − 〈v − w, v − w〉= 〈v, v〉+ 2 〈v, w〉+ 〈w,w〉 − [〈v, v〉 − 2 〈v, w〉+ 〈w,w〉]= 4 〈v, w〉 .

8.7 Definicao. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com metrica 〈·, ·〉 e q a forma quadraticaassociada. A norma de um vetor v ∈ V e definida por

‖v‖ =√|〈v, v〉| =

√|q (v)|.

Observe que a norma de um vetor e sempre um numero positivo ou zero. Vetores do tipo luz tem normazero.

8.8 Teorema (Teorema de Sylvester). Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita com metrica 〈·, ·〉e q a forma quadratica associada. Entao V possui uma base ortonormal.

Alem disso, o numero de vetores ei de qualquer base ortonormal B = e1, . . . , en para V tais que

q (ei) = −1

e o mesmo.

Prova. Para mostrar a existencia de uma base ortonormal faremos inducao sobre a dimensao de V. Sejan = dimV e verifiquemos primeiro o caso n = 1. Afirmamos que existe u ∈ V tal que

q (u) 6= 0.

De fato, como g e nao-degenerada, existem vetores v, w ∈ V tais que

〈v, w〉 6= 0.


Se q (v) 6= 0 ou q (w) 6= 0, a afirmacao esta provada. Caso contrario, se q (v) = q (w) = 0, escolhemosu = v + w, pois

q (v + w) = 〈v + w, v + w〉= 〈v, v〉+ 2 〈v, w〉+ 〈w,w〉= q (u) + 2 〈v, w〉+ q (w)

= 2 〈v, w〉6= 0.

Basta entao tomare1 =

u

q (u).

Assuma agora n > 1. Como no passo anterior, seja u ∈ V tal que

q (u) 6= 0.

Seja U = 〈u〉 o subespaco gerado por u e

U⊥ = v ∈ V : 〈u, v〉 = 0

o subespaco ortogonal a u. Afirmamos que

V = U ⊕ U⊥.

De fato, os subespacos U e U⊥ sao linearmente independentes, pois um vetor tıpico de U e da forma αupara algum escalar α ∈ R e se αu ∈ U⊥ tambem entao

〈u, αu〉 = 0

por definicao, mas〈u, αu〉 = α 〈u, u〉 = αq (u)

e como q (u) 6= 0, segue que α = 0. Alem disso, V = U + U⊥: dado v ∈ V, definindo

w = v − 〈u, v〉〈u, u〉

u,

segue que w ∈ U⊥, pois

〈u,w〉 = g

(u, v − 〈u, v〉

〈u, u〉u

)= 〈u, v〉 − 〈u, v〉

〈u, u〉〈u, u〉

= 0;

portanto

v =〈u, v〉〈u, u〉

u+ w

com o primeiro vetor da soma em U e o segundo em U⊥. Agora, pela hipotese de inducao existe uma baseortonormal

B′ = e1, . . . , en−1


para U⊥. Tomando en = u, obtemos uma base ortonormal

B = e1, . . . , en−1, en

para V.Para provar a ultima parte do teorema, sejam

B = e1, . . . , er, er+1, . . . , en ,B′ = f1, . . . , fs, fs+1, . . . , fn

duas bases ortonormais para V ordenadas de tal forma que

q (ei) =

−1 se i = 1, . . . , r,1 se i = r + 1, . . . , n,

q (fi) =

−1 se i = 1, . . . , s,1 se i = s+ 1, . . . , n.

Afirmamos quee1, . . . , er, fs+1, . . . , fn

sao linearmente independentes. De fato, se

α1e1 + . . .+ αrer + βs+1fs+1 + . . .+ βnfn = 0,

escrevemosα1e1 + . . .+ αrer = −βs+1fs+1 − . . .− βnfn,

e tomamos o produto interno desta equacao consigo mesma, obtendo

−α21 − . . .− α2

r = β2s+1 + . . .+ β2

n,

ja que g (ei, ei) = q (ei) = −1 para i = 1, . . . , r e g (fi, fi) = q (fi) = 1 para i = s + 1, . . . , n. Como o ladoesquerdo e nao positivo e o lado direito e nao negativo, segue que ambos devem ser do tipo luz e portanto

α1 = . . . = αr = βs+1 = . . . = βn = 0,

provando a afirmacao. Como dimV = n, temos que

r + (n− s) 6 n,

donder 6 s.

Por simetria do argumento, segue tambem que s 6 r e portanto r = s. Segue que dado um espaco vetorial V com produto interno g e forma quadratica associada q, V possui umabase ortonormal B = e1, . . . , en tal que em relacao a esta base o produto interno e a forma quadratica seescrevem na forma

〈v, w〉 =

p∑i=1

viwi −n∑

i=p+1

viwi,

q (v) =

p∑i=1

(vi)2 − n∑

i=p+1

(vi)2,

para todos v = viei, w = wiei ∈ V. E obvio que a mesma conclusao do Teorema de Sylvester vale para osvetores ej tais que q (ej) = +1. Assim, toda metrica e uma metrica de assinatura (p, q) como a do Exemplo8.4.


8.9 Definicao. Dado um espaco vetorial V com metrica g e forma quadratica associada q, dizemos queg tem assinatura (p, q) se o numero de vetores de uma base ortonormal de V tal que q (ei) = −1 e p eq = n− p.

8.10 Notacao. Se p+ q = n, definimos

η(p,q)ij =

−1 se i = j = 1, . . . , p,1 se i = j = p+ 1, . . . , n,0 se i 6= j.

O sımbolo η(p,q)ij e uma generalizacao do delta de Kronecker δij , isto e,

η(0,n)ij = δij .

Ele e as vezes chamado o eta de Kronecker. Quando p = 1, omitimos o ındice superescrito e escrevemossimplesmente ηij , isto e,

ηij = η1ij .

Na representacao matricial, temos

η(p,q) =

[− idp 0

0 idq

],

onde idm e a matriz identidade m×m.

8.11 Exemplo. Em Rn, se e1, . . . , en sao os vetores da base canonica e p + q = n, definimos a metrica

canonica de assinatura (p, q) por g(p,q)ij = 〈ei, ej〉 = η

(p,q)ij . A metrica de assinatura (1, n− 1) e chamada

a metrica de Lorentz e Rn com a metrica de Lorentz e chamada o espaco de Minkowski de dimensaon.

8.2 Definicao e Exemplos

8.12 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma metrica (ou tensor metrica)de ındice k em M e um campo tensorial diferenciavel 2-covariante g tal que gp e um produto interno com omesmo ındice k para todo p ∈M .

Uma variedade diferenciavel M com uma metrica g dada e chamada uma variedade metrica.Se g e uma metrica positiva definida, dizemos que g e uma metrica riemanniana e M e uma variedade

riemanniana.Se o ındice de g e diferente de zero, dizemos que g e uma metrica semi-riemanniana e M e uma

variedade semi-riemanniana.No caso particular em que g e uma metrica de Lorentz, dizemos que M e uma variedade de Lorentz.

Em outras palavras, uma metrica em M e uma aplicacao que associa a cada ponto p ∈ M um produtointerno

gp = 〈·, ·〉pno espaco tangente TpM que varia diferenciavelmente com p no sentido de que se ϕ : U −→ V e uma carta

para uma vizinhanca coordenada de M e Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

e a base coordenada de TpM associada a

esta carta para cada p ∈ U , entao as funcoes gij : U −→ R

gij (p) =⟨∂i|p , ∂j |p

⟩p

(8.1)


sao diferenciaveis. De fato, escrevendo o tensor metrica em coordenadas, temos

gp = gij (p) dxi∣∣p⊗ dxj

∣∣p, (8.2)

e as funcoes componentes gij do tensor metrica g sao diferenciaveis para toda parametrizacao ϕ se e somentese g e diferenciavel.

Omitindo o sımbolo do ponto de atuacao p, como frequentemente faremos, escrevemos simplesmente

gij = 〈∂i, ∂j〉 (8.3)

e notamos que a simetria do tensor metrica implica que

gij = gji. (8.4)

Em particular, quando consideramos a matriz

G = (gij) (8.5)

segue que G e uma matriz simetrica. Observe que devido a simetria existem apenas

n (n+ 1)

2

componentes potencialmente distintos do tensor metrica, ao inves dos n2 componentes distintos para umtensor 2-covariante geral.

Usando o produto simetrico de tensores (veja Capıtulo 9), que no caso de covetores e simplesmente

ωη :=1

2(ω ⊗ η + η ⊗ ω) (8.6)

e a simetria do tensor metrica, podemos escrever a expressao

g = gijdxi ⊗ dxj

na forma mais familiarg = gijdx

idxj , (8.7)

ja que

g = gijdxi ⊗ dxj =

1

2(gij + gji) dx

i ⊗ dxj

=1

2gijdx

i ⊗ dxj +1

2gjidx

i ⊗ dxj

=1

2gijdx

i ⊗ dxj +1

2gijdx

j ⊗ dxi (permutando os ındices i, j)

= gij1

2

(dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi

)= gijdx

idxj .

Estritamente falando, uma variedade metrica e um par (M, g), onde M e uma variedade diferenciavele g a metrica riemanniana, ja que uma mesma variedade diferenciavel pode admitir diferentes metricasriemannianas, como veremos no decorrer deste texto. Contudo, quando nao houver perigo de confusao, nosvamos nos referir a variedade riemanniana simplesmente por M .

8.13 Exemplo (Metrica Euclidiana). A variedade riemanniana mais simples e o espaco euclidiano Rncom a metrica euclidiana gij = δij , que denotaremos En.


8.14 Exemplo (Metrica Semieuclidiana). A variedade semi-riemanniana mais simples de ındice k e oespaco semi-euclidiano Rn com a metrica semieuclidiana gij = ηkij , que denotaremos Mn

k .

8.15 Exemplo (Metrica de Lorentz). A variedade de Lorentz mais simples de ındice 1 e o espaco deMinkowski n-dimensional Rn, n > 2, com a metrica de Lorentz gij = ηij . Denotaremos este espaco porMn.

8.16 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma metrica riemanniana.

Prova: Seja ϕα, Uα um atlas para M e ρα uma particao da unidade de M subordinada a coberturaUα.

Em cada Vα podemos definir uma metrica riemanniana, aquela induzida pela carta: dados p ∈ M e

vetores v, w ∈ TpM , eles se escrevem em coordenadas com relacao a base Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

associada

a carta ϕα porv = vi ∂i|p e w = wj ∂j |p

e definimos o produto interno

〈v, w〉α,p =

n∑i=1

viwi.

Esta e uma metrica riemanniana na subvariedade Vα com gαij = δij . Para obter uma metrica riemannianaglobal em M , usamos a particao da unidade, definindo

〈v, w〉p =∑α∈A

ρα (p) 〈v, w〉α,p .

De fato, esta soma e finita em uma vizinhanca de p, portanto define um tensor diferenciavel em M ; alemdisso, como uma combinacao linear finita positiva de produtos internos e um produto interno, ela define umproduto interno em TpM .

Observe que a demonstracao acima nao funciona para metricas semi-riemannianas. De fato, uma com-binacao linear finita de metricas semi-riemannianas, mesmo positiva, nao e necessariamente uma metricasemi-riemanniana. Por exemplo, a soma das metricas semi-riemannianas em R4

〈v, w〉1 = v1w1 + v2w2 − v3w3 − v4w4,

〈v, w〉2 = −v1w1 − v2w2 + v3w3 + v4w4,

e o tensor nulo. Mais ainda, a soma das metricas de Lorentz em R4

〈v, w〉1 = −v1w1 + v2w2 + v3w3 + v4w4,

〈v, w〉2 = v1w1 − v2w2 + v3w3 + v4w4,

e o tensorT (v, w) = 2 (v3w3 + v4w4) ,

que e degenerado, pois se v0 = (1, 1, 0, 0), entao

T (v0, w) = 0

para todo w ∈ R4. A realidade e que existem variedades diferenciaveis que nao admitem metricas semi-riemannianas. Por exemplo, e possıvel provar, usando tecnicas de Topologia Diferencial, que esferas dedimensao par nao admitem metricas de Lorentz (em particular S4 nao pode ser uma variedade de Lorentz; oespacotempo nao pode ser uma esfera 4-dimensional); mais geralmente, e possıvel provar que toda variedadediferenciavel compacta de dimensao ımpar possui uma metrica de Lorentz e que uma variedade diferenciavelcompacta de dimensao par admite uma metrica de Lorentz se e somente se ela tem caracterıstica de Euler nula(veja [Steenrod], Theorem 40.13, p. 207). Por outro lado, todas as variedades diferenciaveis nao compactasadmitem metricas de Lorentz (veja [BEE], p. 50).


8.17 Exemplo (Metrica Produto). Se (M1, g1) e (M2, g2) sao duas variedades metricas, entao definimosa metrica produto g = g1 ⊕ g2 na variedade produto M1 ×M2 por

〈(v1, v2) , (w1, w2)〉(p1,p2) = 〈v1, w1〉p1 + 〈v2, w2〉p2 (8.8)

para todos (v1, v2) , (w1, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2∼= T(p1,p2) (M1 ×M2). E facil ver que g e simetrica. Para

verificar a sua nao-degenericidade, suponha que

〈(v1, v2) , (w1, w2)〉(p1,p2) = 0

para todo (w1, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2. Entao em particular

〈(v1, v2) , (0, w2)〉(p1,p2) = 0,

〈(v1, v2) , (w1, 0)〉(p1,p2) = 0.

para todos w1 ∈ Tp1M1 e para todo w2 ∈ Tp2M2. Como

〈(v1, v2) , (0, w2)〉(p1,p2) = 〈v1, 0〉p1 + 〈v2, w2〉p2 = 〈v2, w2〉p2 ,

〈(v1, v2) , (w1, 0)〉(p1,p2) = 〈v1, w1〉p1 + 〈v2, 0〉p2 = 〈v1, w1〉p1 ,

segue que〈v1, w1〉p1 = 0

para todo w1 ∈ Tp1M1 e〈v2, w2〉p2 = 0

para todo w2 ∈ Tp2M2, e a nao-degenericidade de g1, g2 implica que

v1 = v2 = 0.

Observe que a matriz associada a metrica G e a matriz diagonal em blocos

G =

[G1 00 G2

]=

[(g1)ij 0

0 (g2)ij

].

8.18 Definicao. Sejam M,N variedades metricas. Um difeomorfismo F : M −→ N e uma isometria se

〈v, w〉p = 〈dFpv, dFpw〉F (p) (8.9)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM . Se existir uma isometria entre M e N , dizemos que M e N saoisometricas.

Dizemos que M e N sao localmente isometricas se para todo p ∈ M existe uma vizinhanca Vp de pem M e uma isometria F : Vp −→ F (Vp) ⊂ N e reciprocamente para todo q ∈ N existe uma vizinhanca Wq

de q em N e uma isometria G : Wp −→ G (Wp) ⊂M .Dizemos que uma variedade metrica (M, g) e plana, se ela e localmente isometrica ao espaco euclidiano

ou ao espaco semi-euclidiano.

Observe que o conjunto das isometrias em uma variedade metrica possui uma estrutura natural de grupoem que o produto de isometrias e definido como a composicao das aplicacoes. Este grupo e denotado por

Isom (M) .

Observe que o pullback de um difeomorfismo F : M −→ N em que N e uma variedade semi-riemanniananao define necessariamente uma metrica semi-riemanniana em M , pois poderıamos ate mesmo ter (na pior


hipotese) que TpM seja um subespaco de vetores nulos para o 2-tensor g = F ∗h. Por exemplo, isso eexatamente o que acontece na imersao F : R −→ Mn definida por F (t) = (t, t, x3, . . . , xn). Alem disso, seisso fosse verdade, pelo Teorema do Mergulho de Whitney, que afirma que toda variedade diferenciavel dedimensao n pode ser mergulhada em R2n (um mergulho e uma imersao injetiva), toda variedade diferenciavelteria uma metrica semi-riemanniana. g = F ∗h sera uma metrica semi-riemanniana em M se e somente seg|TpM e nao-degenerado e tem o mesmo ındice para todo p ∈M .

8.19 Exemplo. O grupo de isometrias de En consiste das composicoes de operadores ortogonais e translacoes.O grupo de isometrias de M e o grupo de Poincare.

E facil ver que isometria e uma relacao de equivalencia na classe das variedades metricas. GeometriaRiemanniana e principalmente o estudo das propriedades que sao invariantes por isometrias. Uma excelentereferencia para o estudo de grupos de isometrias de variedades riemannianas e [Kobayashi].

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N entre variedades diferenciaveis e uma imersao sedFp e injetiva para todo p ∈M .

8.20 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, (N,h) uma variedade riemanniana e F : M −→ Numa imersao. A metrica induzida por F em M (tambem chamada a metrica do pullback), denotadapor

g = F ∗h,

e definida por〈v, w〉p := 〈dFpv, dFpw〉F (p) (8.10)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM .

Com esta metrica definida em M , a imersao F torna-se uma imersao isometrica. Na linguagem dopullback, um difeomorfismo F entre duas variedades metricas (M, g) e (N,h) e uma isometria se

g = F ∗h.

8.21 Exemplo (Superfıcies n-dimensionais em RN ). Seja M ⊂ Rn+k uma variedade diferenciavel dedimensao n, isto e, uma superfıcie n-dimensional. A aplicacao inclusao i : M −→ Rn+k e uma imersao, demodo que, se assumirmos a metrica euclidiana em Rn+k, ela induz em M uma metrica riemanniana. Nestecaso, a inclusao passa a ser uma imersao isometrica. Daı, como a diferencial dip da inclusao e a inclusaonatural de TpM em Rn+k, segue que

〈v, w〉p = 〈v, w〉Rn+k (8.11)

onde 〈·, ·〉Rn+k e o produto interno canonico de Rn+k. Uma demonstracao alternativa de que toda variedadediferenciavel possui uma metrica riemanniana segue entao do Teorema do Mergulho de Whitney: a metricainduzida pela metrica euclidiana em Rn. Diferentes cartas podem ser usadas para a mesma superfıcie n-dimensional, cada uma dando origem a componentes gij mais ou menos simples.

Um exemplo de superfıcie n-dimensional e o grafico de uma funcao real. Se U ⊂ Rn e um aberto ef : U → R e uma funcao, entao o grafico de f

graf (f) = (x, f (x)) : x ∈ U

e uma variedade diferenciavel com a topologia induzida de Rn+1 de dimensao n. Uma carta global para ografico de f e ϕ : Rn −→ graf(f) definida por

ϕ(x1, . . . , xn

)=(x1, . . . , xn, f

(x1, . . . , xn

)).

Como

∂ϕk

∂xj=

δkj se k 6= n+ 1,∂f

∂xjse k = n+ 1,


ou seja,∂ϕ

∂xj(x) =

(0, . . . , 0, 1

j, 0, . . . 0,

∂f

∂xj(x)

)segue que

gij (x) =

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩(x,f(x))

=

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩Rn+1

= δij +∂f

∂xi∂f

∂xj. (8.12)

Outro exemplo de superfıcie 2-dimensional e uma superfıcie de revolucao gerada por uma curva. Espe-cificamente seja γ : I −→ R2, γ (t) = (α (t) , β (t)) uma curva parametrizada regular tal que β (t) 6= 0 paratodo t ∈ I; podemos imaginar γ contida no plano yz definindo

γ (t) = (0, α (t) , β (t)) .

Se girarmos esta curva ao redor do eixo z obteremos uma superfıcie parametrizada regular S. A imagem deS e a imagem da aplicacao ϕ : I × R −→ R3 dada por

ϕ (t, θ) = (α (t) cos θ, α (t) sen θ, β (t)) ;

a partir de ϕ podemos obter cartas locais restringindo o parametro θ a um intervalo aberto de comprimento2π. Daı,

∂ϕ

∂t(t, θ) = (α′ (t) cos θ, α′ (t) sen θ, β′ (t)) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ) = (−α (t) sen θ, α (t) cos θ, 0) ,

donde

g11 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂t(t, θ) ,

∂ϕ

∂t(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂t

⟩R3

= [α′ (t)]2

+ [β′ (t)]2,

g12 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂t(t, θ) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂θ

⟩R3

= 0,

g22 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂θ(t, θ) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂θ,∂ϕ

∂θ

⟩R3

= [α (t)]2.

Portanto

G (t, θ) =

[[α′ (t)]

2+ [β′ (t)]

20

0 [α (t)]2

].

8.22 Exemplo (Esfera). A metrica euclidiana induz uma metrica na esfera de raio r

Snr =x ∈ Rn+1 : ‖x‖2 =

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= r2

que chamaremos a metrica canonica de Snr . Denotaremos a esfera unitaria por Sn, simplesmente. Vamos veros coeficientes gij para diferentes cartas da esfera.

a) Como grafico de funcao:O hemisferio superior da esfera e o grafico da funcao f : Br ⊂ Rn −→ R dada por f

(x1, . . . , xn

)=√

r2 − (x1)2 − . . .− (xn)

2. Como

∂f

∂xi(x) =

−xi√r2 − ‖x‖2

,


segue que

gij (x) = δij +xixj

r2 − ‖x‖2. (8.13)

Similarmente para o hemisferio inferior. Estas cartas nao cobrem o equador da esfera.b) Como superfıcie de revolucao:A parametrizacao da esfera de raio r como superfıcie de revolucao e

(x, y, z) (φ, θ) = (r senφ cos θ, r senφ sen θ, r cosφ).

Segue que

G (φ, θ) =

[r2 00 r2 sen2 φ

].

c) Atraves da projecao estereografica:Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, r), a reta a partir de N que intercepta o

plano xn+1 = 0 em um ponto x =(x1, . . . , xn, 0

), intercepta a esfera em um ponto ϕ (x). Portanto, a carta

projecao estereografica a partir do polo norte ϕ : Rn −→ Snr \ N e definida por

ϕ (x) = N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, (1− t) r

)onde t > 0 e tal que ‖ϕ (x)‖ = r. Ou seja, t e tal que

t2 ‖x‖2 + (1− t)2r2 = r2,

donde

t =2r2

r2 + ‖x‖2.

Logo,

ϕ(x1, . . . , xn

)=

(2r2x1

r2 + ‖x‖2, . . . ,

2r2xn

r2 + ‖x‖2, r‖x‖2 − r2

r2 + ‖x‖2

), (8.14)

donde

∂ϕk

∂xj(x) =

2r2δkj

r2 + ‖x‖2− 4r2xjxk(

r2 + ‖x‖2)2 se k 6= n+ 1,

4r3xj(r2 + ‖x‖2

)2 se k = n+ 1.


Segue que as componentes do tensor metrica nas coordenadas dadas pela carta ϕ sao

gij (x) =

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩ϕ(x)

=

⟨n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi(x) ek,

n+1∑l=1

∂ϕl

∂xj(x) el

⟩Rn+1

=

n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi∂ϕl

∂xj〈ek, el〉Rn+1 =

n+1∑l=1

∂ϕk

∂xi∂ϕl

∂xjδkl =

n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi∂ϕk

∂xj

=

n∑k=1

2r2δki

r2 + ‖x‖2− 4r2xixk(

r2 + ‖x‖2)2

2r2δkj

r2 + ‖x‖2− 4r2xjxk(

r2 + ‖x‖2)2

+16r6xixj(r2 + ‖x‖2

)4

=

n∑k=1

4r4δkiδkj(r2 + ‖x‖2

)2 −8r4

(δkix

jxk + δkjxixk)(

r2 + ‖x‖2)3 +

16r4xixj(xk)2(

r2 + ‖x‖2)4

+16r6xixj(r2 + ‖x‖2

)4

=4r4δij(

r2 + ‖x‖2)2 −

16r4xixj(r2 + ‖x‖2

)3 +16r4xixj ‖x‖2(r2 + ‖x‖2

)4 +16r6xixj(r2 + ‖x‖2

)4

=4r4δij(

r2 + ‖x‖2)2 −

16r4xixj(r2 + ‖x‖2

)3 +16r4xixj(r2 + ‖x‖2

)3

=4r4δij(

r2 + ‖x‖2)2 .

Vamos anotar este resultado para futura referencia:

gij (x) =4r4(

r2 + ‖x‖2)2 δij . (8.15)

Observe que

G (x) =

4r4(r2 + ‖x‖2

)2

. . .

4r4(r2 + ‖x‖2

)2

=

4r4(r2 + ‖x‖2

)2 I.

Usando a projecao estereografica a partir do polo sul obtemos duas cartas que cobrem toda a esfera.

8.23 Exemplo (Espaco Hiperbolico). Considere o semiespaco superior de Rn

Hn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn : xn > 0

.

Com a topologia induzida como aberto de Rn, Hn e uma superfıcie diferenciavel de dimensao n. Se definirmosdiretamente em Hn a metrica

gij(x1, . . . , xn

)=

δij

(xn)2 , (8.16)


entao Hn e uma variedade riemanniana chamada o espaco hiperbolico n-dimensional. Observe que

G =

1

(xn)2

. . .1

(xn)2

=1

(xn)2 I.

8.24 Exemplo (Toros). O toro mergulhado em R3 e uma superfıcie de revolucao gerada pelo cırculo.Tomando o cırculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametrizacao γ (t) = (R+ r cos t, r sen t)obtemos a parametrizacao para o toro bidimensional como superfıcie de revolucao

ϕ (t, θ) = ((R+ r cos t) cos θ, (R+ r cos t) sen θ, r sen t)

cuja respectiva metrica e dada por

G (t, θ) =

[r2 0

0 (R+ r cos t)2

].

Outra metrica induzida de RN importante para o toro, nao localmente isometrica a metrica dada acima(como veremos depois) e a metrica plana do toro: considerando o toro como a superfıcie n-dimensionalTn = S1 × . . . × S1 ⊂ R2n, a metrica euclidiana de R2n induz uma metrica no toro da seguinte forma.Escrevendo

Tn = S1 × . . .× S1 =x ∈ R2n :

(x1)2

+(x2)2

=(x3)2

+(x4)2

= . . . =(x2n−1

)2+(x2n)2

= 1,

vemos que uma parametrizacao ϕ : Rn −→ Tn para este toro e dada por

ϕ (θ) = ϕ(θ1, . . . , θn

)=(cos θ1, sen θ1, . . . , cos θn, sen θn

).

Temos, portanto,

∂ϕk

∂θj(θ) =

− sen θj se k = 2j − 1,cos θj se k = 2j,0 se k 6= 2j − 1, 2j.

ou seja,∂ϕ

∂θj=

(0, . . . , 0,− sen θj

2j−1, cos θj

2j, 0, . . . 0

)Daı

gij (θ) =

⟨∂ϕ

∂θi(θ) ,

∂ϕ

∂θj(θ)

⟩ϕ(θ)

=

⟨∂ϕ

∂θi(θ) ,

∂ϕ

∂θj(θ)

⟩R2n

= δij , (8.17)

que sao os mesmos componentes da metrica euclidiana. Portanto, o toro plano e localmente isometrico aoplano Rn. Observe que considerando T2 como uma superfıcie de R3 ou como uma superfıcie de R4 defineduas metricas completamente diferentes para a mesma superfıcie.

8.3 Referenciais Ortonormais

8.25 Definicao. Seja M uma variedade metrica de dimensao n.Um referencial ortonomal local para M e um referencial local (E1, . . . , En) ⊂ T (U) definido em uma

vizinhanca U de M tal que(E1|p , . . . , En|p

)e uma base ortonormal para TMp para cada p ∈ U .


O conhecido processo de Gram-Schmidt permite a construcao de um referencial ortonormal em U apartir de um referencial local arbitrario em U para variedades riemannianas, isto e, o algoritmo dependediferenciavelmente do referencial original: se (X1, . . . , Xn) ⊂ T (U) e o referencial local original, entao oreferencial ortonormal e definido indutivamente por

Ej =

Xj −j−1∑i=1

〈Xj , Ei〉Ei∥∥∥∥Xj −j−1∑i=1

〈Xj , Ei〉Ei∥∥∥∥ .

Uma generalizacao para variedades metricas com assinatura arbitraria nao e imediata, por causa da possıvelpresenca de vetores do tipo luz que anulariam o denominador do quociente acima.

8.26 Lema (Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt). Seja V um espaco vetorial real dotadode um produto interno de assinatura (p, q).

Se v1, . . . , vn e uma base para V , entao V possui uma base ortonormal w1, . . . , wn tal que wi e umacombinacao linear dos vetores v1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dos produtos escalares〈vi, vj〉 e nenhum wi e do tipo luz.

Prova: (De [Forger-Antoneli], Lema 1.1. p. 66) O que impede a aplicacao do processo usual de Gram-Schmidt usado em espacos vetoriais com produto interno positivo definido e a possıvel presenca de vetoresdo tipo luz (isto e, vetores v tais que 〈v, v〉 = 0) na base inicial ou o seu surgimento durante o processo deortogonalizacao. Isso pode ser evitado atraves do argumento descrito a seguir.

Se um vetor vi da base e do tipo luz, a nao-degenerescencia do produto interno garante que existe pelomenos algum outro vetor vj na base (nao necessariamente do tipo luz) tal que 〈vi, vj〉 6= 0. Trocamos estes parde vetores vi, vj por um outro par de vetores ortogonais vi, vj que geram o mesmo subespaco bidimensionalmas que nao sao do tipo luz, definindo:

vi =

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj ,

vj =

(1 +

〈vj , vj〉2 〈vi, vj〉

)vi − vj .

De fato,

〈vi, vj〉 =

[(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

] [(1 +


)vi − vj

]= −

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)〈vi, vj〉+

(1 +


)〈vj , vi〉 − 〈vj , vj〉

= −〈vi, vj〉+〈vj , vj〉

2+ 〈vj , vi〉+

〈vj , vj〉2

− 〈vj , vj〉

= 0


e

〈vi, vi〉 =

[(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

] [(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

]= 2

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)〈vi, vj〉+ 〈vj , vj〉

= 2 〈vi, vj〉6= 0,

〈vj , vj〉 =

[(1 +


)vi − vj

] [(1 +


)vi − vj

]= −2

(1 +



= −2 〈vi, vj〉6= 0.

Se depois da substituicao deste par restar outro vetor do tipo luz na base, repetimos o argumento trocandoeste vetor e outro vetor da base por um par ortogonal de vetores que nao sao do tipo luz. Procedemosassim ate obter uma base v1, . . . , vn base para V que nao possui nenhum vetor do tipo luz. Os vetoresassim obtidos sao combinacoes lineares dos vetores v1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dosprodutos escalares 〈vi, vj〉.

Aplicamos a esta base o processo usual de Gram-Schmidt, isto e, definimos w1 = v1 e, indutivamente,

wk+1 = vk+1 −k∑i=1

〈vk+1, wi〉〈wi, wi〉

wi.

Se em determinado passo o vetor wk e do tipo luz, antes de proceder usamos o argumento anterior e trocamoso par wk−1, wk por um par ortogonal de vetores que nao sao do tipo luz. Desta forma, obtemos uma baseortogonal w1, . . . , wn tal que nenhum wi e do tipo luz e tal que cada wi e uma combinacao linear dos vetoresv1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dos produtos escalares 〈vi, vj〉 e, consequentemente, dosprodutos escalares 〈vi, vj〉. Em particular, podemos normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal.

8.4 Operacao de Subir ou Descer um Indice

Uma propriedade importante da metrica riemanniana e que ela permite converter vetores em covetores evice-versa. De fato, ela permite definir um isomorfismo entre os espacos T1 (M) de campos vetoriais de Me T1 (M) de campos covetoriais de M , chamado o isomorfismo musical. A escolha deste nome se refere aossımbolos escolhidos para denotar o isomorfismo e seu inverso, conforme veremos na definicao a seguir.

8.27 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Definimos o isomorfismo bemol

[ : T1 (M) −→ T1 (M)X 7→ X[

que leva X no covetor X[ definido por

X[ (Y ) = g (X,Y ) = 〈X,Y 〉 (8.18)

para todo Y . Seu inverso e o isomorfismo sustenido

] : T1 (M) −→ T1 (M)ω 7→ ω]


que leva o covetor ω no vetor ω] definido por

g(ω], Y

)=⟨ω], Y

⟩= ω (Y ) (8.19)

para todo Y .

Em coordenadas,

X[ (Y ) =

⟨n∑i=1

Xi∂i,

n∑j=1

Y j∂j

⟩=

n∑i,j=1

gijXiY j

=

n∑i,j=1

gijXidxj (Y ) ,

ou seja,

X[ =

n∑i,j=1

gijXidxj . (8.20)

Escrevendo os componentes do covetor X[ em coordenadas na forma

X[ =

n∑j=1

Xjdxj , (8.21)

segue que

Xj =

n∑i=1

gijXi. (8.22)

Diz-se que o covetor X[ e obtido a partir do vetor X descendo um ındice. Por este motivo esta operacao edenotada pelo sımbolo bemol, porque em partituras musicais o sımbolo bemol e usado para abaixar a alturada nota musical que lhe segue. Ja no caso do isomorfismo inverso, escrevendo em coordenadas o vetor ω] naforma

ω] =

n∑i=1

ωi∂i, (8.23)

segue que ⟨n∑k=1

ωk∂k, ∂j

⟩= ω (∂j) ,

donde

ωj =

n∑k=1

gkjωk.

Multiplicando pela matriz inversa gij , como

n∑i=1

gijn∑k=1

gjkωk =

n∑k=1

(n∑i=1

gijgjk

)ωk =

n∑k=1

δikωk = ωi,

segue que

ωi =

n∑j=1

gijωj . (8.24)

Diz-se que o vetor ω] e obtido a partir do covetor ω subindo um ındice. Por este motivo esta operacaoe denotada pelo sımbolo sustenido, porque em partituras musicais o sımbolo sustenido e usado para subir aaltura da nota musical que lhe segue.

O vetor gradiente e definido a partir da operacao de subir um ındice:


8.28 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dada uma funcao f ∈ C∞ (M), definimos o campogradiente de f por

grad f = df ].

Em outras palavras, o vetor gradiente e definido por

〈grad f, Y 〉 = df (Y )

para todo Y .

Em coordenadas, como

df =

n∑i=1

∂f

∂xidxi,

temos

grad f =

n∑i,j=1

gij∂f

∂xi∂j . (8.25)

A operacao de subir ou descer um ındice pode ser aplicada a qualquer tensor:

8.29 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ Tkl (M), entao T [ ∈ Tk+1l−1 (M) e o tensor

definido por

T [(X1, . . . , Xk, Xk+1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl)

= T(X1, . . . , Xp, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωq−1, X[k+1, ω

q+1, . . . , ωl)

e T ] ∈ Tk−1l+1 (M) e o tensor definido por

T ](X1, . . . , Xp−1, Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= T(X1, . . . , Xp−1,

(ωl+1

)], Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl).

Note que ao aplicar a operacao de subir ou descer um ındice de um tensor teremos que explicitar qual ındiceestamos subindo ou descendo. Em geral isto e feito em palavras, sem o uso de um sımbolo especial. Emcoordenadas, descendo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jl−1

i1...ikik+1= T [

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, dxj1 , . . . , dxjl−1)

= T(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 ,(∂ik+1

)[)= T

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 ,

n∑p=1

gik+1pdxp

)

=

n∑p=1

gik+1pT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 , dxp)

=

n∑p=1

gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

,


Tj1...jl−1

i1...ikik+1=

n∑p=1

gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

. (8.26)


Subindo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jljl+1

i1...ik−1= T ]

(∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1)

= T(∂i1 , . . . , ∂ik−1

,(dxjl+1

)], dxj1 , . . . , dxjl

)= T

(∂i1 , . . . , ∂ik−1

,

n∑q=1

gjl+1q∂q, dx1, . . . , dxl

)

=

n∑q=1

gjl+1qT(∂i1 , . . . , ∂ik−1

, ∂q, dx1, . . . , dxl

)=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q,


Tj1...jljl+1

i1...ik−1=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q. (8.27)

Outra aplicacao importante do isomorfismo musical e estender a operacao de tomar o traco de tensores.Enquanto que o traco de tensores elimina um ındice covariante e um ındice contravariante, o traco em relacaoa metrica definido a seguir elimina dois ındices covariantes.

8.30 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ Tkl (M), entao o traco de T em relacao ametrica g e o tensor trg T ∈ Tk−2

l (M) definido por

trg T = tr(T ]).

Em coordenadas, o traco de T em relacao a metrica g em relacao aos dois ultimos ındices, subindo o ultimoındice antes de tomar o traco, e dado por

(trg T )j1...jli1...ik−2

=

n∑i=1

(T ])j1...jlii1...ik−2i

=

n∑i,j=1

gijT j1...jli1...ik−2ij.

Por exemplo, se T ∈ T2 (M) e um tensor simetrico, de forma que nao importa qual ındice escolhemos subir,entao trg T ∈ T0 (M) = C∞ (M) e a funcao definida por

trg T =n∑i=1

(T ])ii

=n∑

i,j=1

gijTij .

8.31 Exemplo (Contracao do Tensor Metrica). Estamos agora em condicao de entender porque deno-tamos a inversa da matriz metrica G = (gij) por G−1 =

(gij), ou seja, porque

n∑k=1

gikgkj = δij .

De fato, como vimos acima,n∑k=1

gikgkj = gij

egij = g]

(ei, e

j)

= g(ei,(ej)])

= ej (ei) = δij .


8.5 Conexoes Riemannianas

Como metricas riemannianas e conexoes definem cada uma uma estrutura geometrica particular, o caso maisrelevante de variedade riemanniana dotada de uma conexao e quando a estrutura geometrica definida porelas coincide. Para isso a conexao deve satisfaz duas condicoes.

8.5.1 Conexao Compatıvel com a Metrica

A primeira delas e a chamada compatibilidade da conexao com a metrica, que pode ser definida de qualquerum dos tres modos equivalentes a seguir.

8.32 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao as seguintes afirmacoessao equivalentes:(i) Para todos os campos paralelos V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel α em M vale

〈V,W 〉 ≡ constante. (8.28)

(ii) Para todos os campos vetoriais V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel α em M vale

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩. (8.29)

(iii) Para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) vale

X 〈Y,Z〉 = 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 . (8.30)

Prova: (ii) ⇒ (i) Se V e W sao campos paralelos, entao

d

dt〈V,W 〉 = 〈0,W 〉+ 〈V, 0〉 = 0

e portanto 〈V,W 〉 e constante.(i) ⇒ (ii) Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel qualquer e para um ponto fixado t0 ∈ I escolha umabase ortonormal

B0 =E1|t0 , . . . , En|t0

para Tα(t0)M . Usando a Proposicao 7.10, estenda cada um dos vetores E1|t0 , . . . , En|t0 paralelamente acampos E1, . . . , En ao longo de α. Segue da definicao de compatibilidade que

Bt = E1|t , . . . , En|t

e uma base ortonormal para Tα(t)M para cada t ∈ I. Dados campos diferenciaveis V e W ao longo de α,podemos entao escrever

V =

n∑i=1

V i (t) Ei|t e W =

n∑j=1

W j (t) Ej |t

com as funcoes V i,W j diferenciaveis, pois

V i (t) = 〈V,Ei〉 e W j (t) = 〈W,Ej〉 .

Como os campos E1 (t) , . . . , En (t) sao paralelos ao longo de α, temos

DE1

dt= . . . =

DEndt

= 0,


logo

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑i=1

dV i

dt(t) Ei|t +

n∑i=1

V i (t)DEidt

∣∣∣∣t

=

n∑i=1

dV i

dt(t) Ei|t ,

e, similarmente,

DW

dt

∣∣∣∣t

=

n∑j=1

dW j

dt(t) Ej |t .

Daı, ⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩=

⟨n∑i=1

dV i

dtEi,

n∑j=1

W jEj

⟩+

⟨n∑i=1

V iEi,

n∑j=1

dW j

dtEj

⟩

=

n∑i,j=1

dV i

dtW j 〈Ei, Ej〉+

n∑i,j=1

V idW j

dt〈Ei, Ej〉

=

n∑i,j=1

(dV i

dtW j + V i

dW j

dt

)δij

=

n∑i=1

(dV i

dtW i + V i

dW i

dt

)=

d

dt

n∑i=1

V iW i

=d

dt〈V,W 〉 .

(ii) ⇒ (iii) Seja p ∈ M e α : I −→ M uma curva diferenciavel com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp. Entao, pordefinicao de vetor tangente,

Xp 〈Y, Z〉 =d

dt

⟨Yα(t), Zα(t)

⟩∣∣∣∣t=t0

=

⟨DY

dt

∣∣∣∣t0

, Zt0

⟩+

⟨Yt0 ,

DZ

dt

∣∣∣∣t0

⟩

=

⟨(∇α′(t0)

Y)α(t0)

, Zt0

⟩+

⟨Yt0 ,

(∇α′(t0)

Z)α(t0)

⟩=⟨

(∇XY )p , Zp

⟩+⟨Yp, (∇XZ)p

⟩.

(iii) ⇒ (ii) Se V,W sao campos ao longo de uma curva diferenciavel α em M com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp,entao

d

dt〈Vt,Wt〉

∣∣∣∣t=t0

= Xp 〈Vt,Wt〉

=⟨

(∇XV )p ,Wt

⟩+⟨Vt, (∇XW )p

⟩=

⟨(∇α′(t0)

V)α(t0)

,Wt0

⟩+

⟨Vt0 ,

(∇α′(t0)

W)α(t0)

⟩=

⟨DV

dt

∣∣∣∣t0

,Wt0

⟩+

⟨Vt0 ,

DW

dt

∣∣∣∣t0

⟩.

A condicao 〈V,W 〉 ≡ constante justifica o nome campos paralelos.

8.33 Definicao. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexao ∇. Dizemos que a conexao ecompatıvel com a metrica, quando ela satisfaz qualquer uma das condicoes da proposicao anterior.


8.5.2 Conexao Simetrica

A segunda condicao para que a estrutura geometrica definida pela conexao seja a mesma definida pela metricae a seguinte:

8.34 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. O tensor torcao da conexao ∇e a aplicacao

T : T (M)× T (M) −→ T (M)

definida porT (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] .

Dizemos que a conexao ∇ e simetrica se T ≡ 0, isto e, se para todos os campos X,Y ∈ T (M) vale

∇XY −∇YX = [X,Y ] .

Apesar da conexao nao ser um tensor, sua torcao e de fato um (2, 1)-tensor, pois ela so depende do valor noponto. Em coordenadas, como

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k,

∇YX =

n∑k=1

Y (Xk)

+

n∑i,j=1

Y iXjΓkij

∂k,

[X,Y ] =

n∑k=1

(X(Y k)− Y

(Xk))∂k,

o tensor torcao e dado por

T (X,Y ) =

n∑k=1

n∑i,j=1

(XiY j − Y iXj

)Γkij

∂k, (8.31)

de onde vemos que T (X,Y ) e linear em relacao a X e a Y , separadamente, e depende apenas de Xp e Yp.

8.35 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇. Entao

∇∂i∂j = ∇∂j∂i (8.32)

eΓkij = Γkji. (8.33)

Prova: Como

[∂i, ∂j ] = ∇∂i∂j −∇∂j∂i =

n∑k=1

(Γkij − Γkji

)∂k

e [∂i, ∂j ] = 0, seguem os resultados. Em particular, para conexoes riemannianas o numero de sımbolos de Christoffel potencialmente diferentescai para

n2 (n+ 1)

2.


8.36 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇, compatıvel com a metricade M . Entao, para todos campos X,Y, Z ∈ T (M), vale

〈∇XY, Z〉 =1

2(X 〈Y, Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 − 〈X, [Y,Z]〉 − 〈Y, [X,Z]〉+ 〈Z, [X,Y ]〉) . (8.34)

Em particular, uma conexao simetrica compatıvel com a metrica e unicamente determinada pela metrica.

Prova: Pela Proposicao 8.32,

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 ,Y 〈X,Z〉 = 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉 ,Z 〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZY 〉 .

Logo, por simetria,

X 〈Y,Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉+ 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉− 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉= 〈X,∇Y Z −∇ZY 〉+ 〈Y,∇XZ −∇ZX〉+ 〈∇XY, Z〉+ 〈∇YX,Z〉= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈∇XY −∇YX,Z〉+ 2 〈∇XY, Z〉= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈[X,Y ] , Z〉+ 2 〈∇XY,Z〉 ,

donde segue o resultado.

8.37 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana. Entao existe uma unica conexao simetrica ∇ com-patıvel com a metrica de M .

Prova: O lema anterior mostra como definir uma conexao simetrica compatıvel com a metrica atraves daexpressao (8.34). Alem disso, pelo lema, qualquer conexao simetrica compatıvel com a metrica satisfara aidentidade (8.34), o que estabelece a unicidade.

8.38 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. A unica conexao simetrica ∇ compatıvel com ametrica de M e chamada a conexao riemanniana (ou conexao de Levi-Civita) de M .

Uma outra maneira de caracterizar a conexao riemanniana:

8.39 Proposicao (Derivada Covariante Total do Tensor Metrica). A conexao riemanniana e a unicaconexao simetrica tal que ∇g = 0.

∇g = 0.

Prova: Se (M, g) e uma variedade riemanniana, entao pela definicao e pela compatibilidade da conexao coma metrica, temos

∇g (X,Y, Z) = ∇Zg (X,Y )

= Z [g (X,Y )]− g (∇ZX,Y )− g (X,∇ZY )

= Z 〈X,Y 〉 − 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉= 0.

A recıproca e obvia. O fato que ∇g = 0 foi um serio empecilho para Einstein no seu caminho em direcao a descoberta da Teoriada Relatividade Geral.

Isometrias preservam conexoes riemannianas, como esperado:


8.40 Proposicao. Sejam (M, g) e (M, g) variedades riemannianas isometricas com conexoes riemannianas

∇ e ∇, respectivamente. Se F : M −→ M e uma isometria, entao

F∗ (∇XY ) = ∇F∗X (F∗Y )

Em particular, se α : I −→M e uma curva diferenciavel e V e um campo vetorial ao longo de α, entao

F∗

(DV

dt

)=D (F∗V )

dt.

Prova: Defina uma aplicacao∇ : T (M)× T (M) −→ T (M)

por

∇XY = F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

].

Mostraremos que ∇ e uma conexao riemanniana em M . A unicidade da conexao riemanniana garantiraentao que

∇ = ∇,o que provara o resultado. De fato, temos

∇fX+gY Z = F−1∗

[∇F∗(fX+gY ) (F∗Z)

]= F−1

∗

[∇(fF−1)F∗X+(gF−1)F∗Y (F∗Z)

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗X (F∗Z) +

(g F−1

)∇F∗Y (F∗Z)

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗X (F∗Z)

]+ F−1

∗

[(g F−1

)∇F∗Y (F∗Z)

]= fF−1

∗

[∇F∗X (F∗Z)

]+ gF−1

∗

[∇F∗Y (F∗Z)

]= f∇XZ + g∇Y Z,

∇X (Y + Z) = F−1∗

[∇F∗XF∗ (Y + Z)

]= F−1

∗

[∇F∗XF∗Y + ∇F∗XF∗Z

]= F−1

∗

[∇F∗XF∗Y

]+ F−1

∗

[∇F∗XF∗Z

]= ∇XY +∇XZ

e

∇X (fY ) = F−1∗

[∇F∗XF∗ (fY )

]= F−1

∗

[∇F∗X (fF∗Y )

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y +

[(F∗X)

(f F−1

)]F∗Y

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y

]+ F−1

∗[[

(F∗X)(f F−1

)]F∗Y

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y

]+[(F∗X)

(f F−1

)]F−1∗ (F∗Y )

= fF−1∗

[∇F∗XF∗Y

]+[X(f F−1 F

)]F−1∗ (F∗Y )

= f∇XY + (Xf)Y,


o que prova que ∇ e uma conexao.Agora verificaremos que ∇ e simetrica:

∇XY −∇YX = F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

]− F−1

∗

[∇F∗Y (F∗X)

]= F−1

∗

[∇F∗X (F∗Y )− ∇F∗Y (F∗X)

]= F−1

∗ [F∗X,F∗Y ]

= F−1∗ F∗ [X,Y ]

= [X,Y ] .

Observe que para provar que ∇ e uma conexao simetrica, foi suficiente usar o fato que F e um difeomorfismo.Para estabelecer a compatibilidade de ∇ com a metrica de M e necessario usar o fato que F e uma

isometria. Com efeito, dados X,Y, Z ∈ T (M), sejam V = F∗Y e W = F∗Z. Entao temos⟨∇XY,Z

⟩+⟨Y,∇XZ

⟩=⟨F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

], F−1∗ W

⟩+⟨F−1∗ V, F−1

∗

[∇F∗X (F∗Z)

]⟩=⟨∇F∗X (F∗Y ) ,W

⟩+⟨V, ∇F∗X (F∗Z)

⟩=⟨∇F∗X (F∗Y ) , F∗Z

⟩+⟨F∗Y, ∇F∗X (F∗Z)

⟩= F∗X 〈F∗Y, F∗Z〉= X 〈Y,Z〉 .

A ultima passagem merece ser mais detalhada: definindo f : N −→ R por

f (q) =⟨

(F∗Y )q , (F∗Z)q

⟩q,

por isometria segue que se p = F−1 (q) entao

f (q) = 〈Yp, Zp〉p =⟨YF−1(q), ZF−1(q)

⟩F−1(q)

,

isto e,f = 〈Y,Z〉 F−1;

assim, usando a propriedade(F∗X) f = X (f F ) F−1,

temosF∗X 〈F∗Y, F∗Z〉 = X (f F ) F−1 = X 〈Y,Z〉 F−1,

ou seja,[〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉] (p) = [X 〈Y,Z〉] (p) .

8.41 Exemplo (Conexao riemanniana em Rn). A conexao euclideana (Exemplo 7.5) e a conexao rieman-niana de Rn com a metrica usual. De fato, a conexao e compatıvel com a metrica pois se α : I −→ Rn e umacurva diferenciavel e V,W campos ao longo de α induzidos pelos campos vetoriais X,Y , respectivamente,


entao segue da regra da cadeia que

d

dt

⟨Vα(t),Wα(t)

⟩=

⟨d

dtVα(t),Wα(t)

⟩+

⟨Vα(t),

d

dtWα(t)

⟩=⟨dXα(t) (α′ (t)) ,Wα(t)

⟩+⟨Vα(t), dYα(t) (α′ (t))

⟩=⟨(∇α′(t)X

)α(t)

,Wα(t)

⟩+⟨Vα(t),

(∇α′(t)Y

)α(t)

⟩=

⟨DV

dt

∣∣∣∣α(t)

,Wα(t)

⟩+

⟨Vα(t),

DW

dt

∣∣∣∣α(t)

⟩.

e ela e simetrica porque

[(∇XY )p − (∇YX)p

](f) =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂f

∂xj−

n∑j=1

(n∑i=1

Y i∂Xj

∂xi

)∂f

∂xj

=

n∑j=1

n∑i=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂f

∂xj

= [X,Y ]p (f) .

ou tambem, de forma mais sucinta,

∇XY −∇YX =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj−

n∑j=1

Y(Xj) ∂

∂xj

=

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj

= [X,Y ] .

Para uma variedade riemanniana com conexao riemanniana, o transporte paralelo e uma isometria:

8.42 Proposicao. Se M e uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇, entao a aplicacaotransporte paralelo e uma isometria que preserva orientacao.

Prova: Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel passando por um ponto p ∈ M . Dados V,W ∈ TpM ,considere a funcao real f : I −→ R definida por

f (t) = 〈τt (V ) , τt (W )〉 .

Pela compatibilidade da metrica, segue que

f ′ (t) =

⟨D

dtτt (V ) , τt (W )

⟩+

⟨τt (V ) ,

D

dtτt (W )

⟩= 0,

ja que os campos τt (V ) , τt (W ) sao paralelos ao longo de α por definicao. Portanto, f (t) = f (0) para todot ∈ I, ou seja

〈τt (V ) , τt (W )〉 = 〈V,W 〉

o que prova que τt e uma isometria.Para provar que τt preserva orientacao, seja

B = E1, . . . , En


uma base ortonormal positivamente orientada para TpM . Como τt e uma isometria,

Bt = τt (E1) , . . . , τt (En)

e uma base ortonormal de Tα(t)M para todo t ∈ I. A orientacao positiva de Bt segue por continuidade dafuncao determinante.

8.5.3 Sımbolos de Christoffel da Conexao Riemanniana

Vamos agora ver como os sımbolos de Christoffel de uma conexao riemanniana podem ser calculados atravesdos componentes gij da metrica. Antes introduzimos a seguinte notacao: a matriz G = (gij) e uma matrizpositiva definida, logo admite uma inversa, que denotaremos por

G−1 =(gij). (8.35)

8.43 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =

n∑m=1

Γmij gmk. (8.36)

Prova: Segue imediatamente da definicao dos sımbolos de Christoffel:

∇∂i∂j =

n∑m=1

Γmij∂m.

8.44 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =1

2(∂igjk + ∂jgik − ∂kgij) . (8.37)

Prova: Por (8.34) temos que

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =1

2(∂i 〈∂j , ∂k〉+ ∂j 〈∂i, ∂k〉 − ∂k 〈∂i, ∂j〉 − 〈∂i, [∂j , ∂k]〉 − 〈∂j , [∂i, ∂k]〉+ 〈∂k, [∂i, ∂j ]〉)

=1

2(∂jgik + ∂igjk − ∂kgij) ,

ja que [∂m, ∂l] = 0.

8.45 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

Γkij =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk. (8.38)

Prova: Pelos lemas temosn∑l=1

Γlijglm =1

2(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) .

Logon∑

m=1

gmkn∑l=1

Γlijglm =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk.

O lado esquerdo desta equacao e

n∑l=1

n∑m=1

gkmgmlΓlij =

n∑l=1

δklΓlij = Γkij .


8.46 Corolario. Se ∇ e a conexao riemanniana de Rn entao

Γkij = 0. (8.39)

Consequentemente,

∇XY =

n∑k=1

X(Y k)∂k (8.40)

e∇∂i∂j = 0. (8.41)

8.47 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

∂kgij =

n∑p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gjpΓpik (8.42)

e

∂kgij = −

n∑p=1

gipΓjpk −n∑p=1

gpjΓipk. (8.43)

Prova: Para provar a primeira identidade, usando a compatibilidade da metrica temos

∂kgij =∂

∂xk〈∂i, ∂j〉 = 〈∇∂k∂i, ∂j〉+ 〈∂i,∇∂k∂j〉

=

⟨n∑p=1

Γpki∂p, ∂j

⟩+

⟨∂i,

n∑p=1

Γpkj∂p

⟩

=

n∑p=1

Γpki 〈∂p, ∂j〉+

n∑p=1

Γpkj 〈∂i, ∂p〉

=

n∑p=1

Γpkigpj +

n∑p=1

Γpkjgip.

Para provar a segunda identidade, primeiro diferenciamos a identidade

n∑p=1

glpgpj = δjl ,

obtendon∑p=1

glp∂kgpj = −

n∑p=1

(∂kglp) gpj .

Como

n∑l=1

giln∑p=1

glp∂kgpj =

n∑p=1

n∑l=1

gilglp∂kgpj

=

n∑p=1

δip∂kgpj

= ∂kgij ,


segue da primeira identidade que

∂kgij = −

n∑l=1

giln∑p=1

(∂kglp) gpj = −

n∑p=1

n∑l=1

gilgpj∂kglp

= −n∑p=1

n∑l=1

gilgpj

(n∑

m=1

glmΓmpk +

n∑m=1

gmpΓmlk

)

= −n∑p=1

n∑m=1

gpjn∑l=1

gilglmΓmpk −n∑l=1

n∑m=1

giln∑p=1

gpjgmpΓmlk

= −n∑p=1

n∑m=1

gpjδimΓmpk −n∑l=1

n∑m=1

gilδjmΓplk

= −n∑p=1

gpjΓipk −n∑l=1

gilΓjlk.

8.6 Exercıcios

8.48 Exercıcio. Mostre que a metrica produto e de fato uma metrica. Porque

g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = gp1 (v1, v2) gp2 (w1, w2)

nao define uma metrica na variedade produto M1 ×M2?

Capıtulo 9

Formas Diferenciais

Determinante e volume com sinal. Se queremos uma funcao vol [v1, . . . , vm] dos lados de um paralelepıpedoque se comporta como um volume, vol deve assumir o valor 1 no cubo unitario, ou seja, devemos tervol [e1, . . . , en] = 1, ela deve ser linear em relacao a cada um dos lados separadamente (multiplicar um ladopor algum escalar deve multiplicar o volume do paralelepıpedo por este mesmo escalar; mais geralmente,substituir um lado por uma combinacao linear de outros vetores deve ter um efeito correspondente linearno volume) e devemos ter vol [v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vk] = 0, ou seja, sempre que dois lados sao iguais (poisisso corresponde a tomar um paralelepıpedo (n− 1)-dimensional, que deve ter volume n-dimensional igual azero). Como veremos, esta ultima condicao e algebricamente equivalente a funcao volume ser alternada. Issoexplica a definicao da funcao determinante como uma funcao n-linear, alternada, que tem valor 1 na basee1, . . . , en. Em particular, trocando dois vetores de posicao, o volume muda de sinal. Note que podemosfalar de volume sem falar de metrica, mas a definicao e dependente de fixar uma base que fara o papel decubo unitario, logo ela depende de coordenadas.

Ao longo deste capıtulo B = e1, . . . , en denotara uma base para o espaco vetorial V e B∗ =e1, . . . , en

sua base dual.

9.1 Tensores Covariantes Simetricos e Alternados

De agora em diante trabalharemos exclusivamente com tensores covariantes. Denotaremos o espaco vetorialdos tensores k-covariantes em V por T k (V ∗) para enfatizar que estamos tratando de tensores como funcionaisk-lineares reais e nao estamos usando a definicao de tensores a partir do produto tensorial de espacos vetoriais,apesar das duas contrucoes serem isomorfas. Em uma base, os tensores covariantes se escrevem na forma

T =

n∑i1,...,ik=1

Ti1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik .

Existem tensores com propriedades algebricas especiais que aparecem frequentemente nas aplicacoes:

9.1 Definicao. Tensores simetricos sao tensores covariantes cujo valor nao e alterado quando se troca aordem de um par qualquer de vetores:

T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = T (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) .

O subespaco vetorial dos tensores k-covariantes simetricos de um espaco vetorial V sera denotado Σk (V ∗).

170


Tensores alternados sao tensores covariantes cujo valor muda de sinal quando se troca a ordem de umpar qualquer de vetores:

T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −T (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) .

O subespaco vetorial dos tensores k-covariantes alternados de um espaco vetorial V sera denotado Λk (V ∗).

Tensores simetricos e alternados sao algebricamente mais simples que tensores arbitrarios, pois eles temmenos componentes independentes, ou seja, para determinar um tensor covariante simetrico ou alternado Tha necessidade de calcular menos componentes Ti1...ik , pois todas as componentes que possuem os mesmosındices a menos de permutacoes sao iguais ou diferem apenas pelo sinal da permutacao:

9.2 Proposicao. Seja σ : 1, . . . , n −→ 1, . . . , n uma permutacao.Se T e um tensor simetrico, entao

T(vσ(1), . . . , vσ(k)

)= T (v1, . . . , vk) .

Se T e um tensor alternado, entao

T(vσ(1), . . . , vσ(k)

)= (signσ)T (v1, . . . , vk) .

Prova. Segue imediatamente da definicao. Portanto, se T e simetrico temos

Tσ(i1)...σ(ik) = Ti1...ik ,

e se T e alternado temos

Tσ(i1)...σ(ik) = (signσ)Ti1...ik .

Em particular, se T e alternado e se algum ındice se repete, isto e, se ir = is = i para r 6= s, temos

Ti1...i...i...ik = 0.

Assim, ao inves de nk componentes, basta calcular(nk

)componentes, aquelas referentes a multi-ındices

i1 . . . ik crescentes, isto e, satisfazendo i1 < . . . < ik; isso equivale a dizer que dim Λk (V ∗) =(nk

)como

provaremos mais tarde (observe que ei1 ⊗ . . . ⊗ eik nao e um tensor alternado, logo a formula acima naopermite ainda concluir este resultado, pois os geradores usados nao estao em Λk (V ∗)). No caso em que T esimetrico, basta calcular

(n+k−1

k

)componentes, o que equivale a dizer que dim Σk (V ∗) =

(n+k−1

k

).

O exemplo mais importante de tensor simetrico e o tensor 2-covariante metrica (produto interno; outrosexemplos sao o tensor de Ricci, o tensor de Einstein e o tensor de estresse para materais homogeneos eisotropicos). Tensores 2-covariantes alternados sao tambem chamados tensores anti-simetricos e tensoresk-covariantes alternados, k > 2, tambem sao chamados tensores completamente anti-simetricos. O exemplomais importante de tensor alternado e o tensor n-covariante determinante. 0-tensores e 1-tensores sao aomesmo tempo tensores simetricos e alternados. Como 0-tensores alternados sao simplesmente 0-tensores,isto e, numeros reais, e 1-tensores alternados sao simplesmente covetores, temos

Σ0 (V ∗) = Λ0 (V ∗) = R,Σ1 (V ∗) = Λ1 (V ∗) = T 1 (V ) .


Tensores alternados sao tambem conhecidos como formas exteriores (uma k-forma exterior e tambemchamada uma forma exterior de grau k), de modo que covetores sao 1-formas; tensores alternados saotambem chamados multicovetores, k-tensores alternados sendo chamados k-covetores. Campos tensoriaisalternados em variedades diferenciaveis sao chamados de formas diferenciais (uma k-forma diferencial etambem chamada uma forma diferencial de grau k); o espaco vetorial das k-formas diferenciais e denotadopor Λk (M). Em particular,

Λ0 (M) = C∞ (M) ,

Λ1 (M) = T1 (M) .

Em geral, as formas diferenciais sao denotadas por letras gregas minusculas.No que se segue, frequentemente usaremos a notacao mais compacta

T (vi, vj)

quando estiver claro do contexto que as outras colunas estao mantidas fixas; em geral, em uma funcao k-linear qualquer destacaremos apenas as colunas que nao estiverem fixas ou que desempenharem um papelrelevante nas demonstracoes. Por exemplo, a propriedade de linearidade de um tensor pode ser denotadapor

T (xvi + ywi) = xT (vi) + yT (wi)

para todo i, e a propriedade de ser alternado por

T (vi, vj) = −T (vj , vi)

para todo par de ındices i, j.

9.3 Lema. As seguintes afirmativas sao equivalentes.(i) T e um tensor alternado.(ii) T (v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vk) = 0 para todo v qualquer que seja o par de posicoes que v ocupa.(iii) Se vi = vi+1 = v para algum i, entao T (v1, . . . , v, v, . . . , vk) = 0.(iv) T (v1, . . . , vk) = 0 sempre que v1, . . . , vk sao LD.

Prova. (i) ⇒ (ii) PoisT (v, v) = −T (v, v)

implicaT (v, v) = 0.

(ii) ⇒ (i) Temos, representando apenas os vetores que ocupam as posicoes i, j,

0 = T (vi + vj , vi + vj) (ii)

= T (vi, vi) + T (vi, vj) + T (vj , vi) + T (vj , vj) (k-linearidade)

= T (vj , vi) + T (vi, vj) , (ii)

logoT (vi, vj) = −T (vj , vi) .

(ii) ⇒ (iii) Imediato.(iii) ⇒ (ii) Por hipotese de inducao, suponha que provamos que sempre que

vi = vi+j

para algum i e para todo j = 1, . . . , r vale

T (v1, . . . , vr) = 0


(note que o caso r = 1 e precisamente (iii)). Vamos provar que isso implica que se

vi = vi+r+1

entao T (v1, . . . , vr) = 0 tambem.De fato, representando apenas os vetores que ocupam as posicoes i, i+ r e i+ r + 1, temos

T (vi, vi+r, vi+r+1)

= T (vi, vi+r, vi+r + vi+r+1)− T (vi, vi+r, vi+r) (k-linearidade)

= T (vi, vi+r, vi+r + vi+r+1) (iii)

= T (vi, vi+r + vi+r+1, vi+r + vi+r+1)− T (vi, vi+r+1, vi+r + vi+r+1) (k-linearidade)

= T (vi, vi+r + vi+r+1, vi+r + vi+r+1) (inducao)

= 0. (iii)

(Observe que a hipotese de inducao pode ser usada, na passagem da antepenultima linha para a penultimalinha, porque no segundo termo da antepenultima linha a (i+ r)-esima posicao e ocupada pelo vetor vi+r+1 =vi e a hipotese de inducao e valida para j = r.)(ii) ⇒ (iv) Se

vi =

n∑j=1j 6=i

xjvj ,

entao

T (v1, . . . , vk) = T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)

= T

v1, . . . ,

n∑j=1j 6=i

xjvj , . . . , vj , . . . , vk

=

n∑j=1j 6=i

xjT (v1, . . . , vj , . . . , vj , . . . , vk)

= 0.

(iv) ⇒ (ii) Imediato.

9.4 Teorema (Existencia e Unicidade do Tensor Determinante). Seja V um espaco vetorial e

B = e1, . . . , en

uma base para V .Existe um unico tensor n-covariante alternado

det ∈ Λn (V ∗)

tal que

det (e1, . . . , en) = 1.

Consequentemente,

det (v1, . . . , vn) =∑σ∈Sn

(signσ) vσ(1)1 , . . . , v

σ(n)n .


Prova: A formula acima define um tensor n-covariante alternado. Reciprocamente, por multilinearidade ealternalidade, um tensor n-covariante alternado deve ter a formula acima. Usando o tensor determinante, podemos definir o determinante de matrizes: se

A = [A1 . . . An]

e uma matriz quadrada disposta em colunas, identificamos cada coluna Ai com o vetor correspondente emRn em coordenadas da base canonica e definimos

detA = det (A1, . . . , An) .

9.2 Simetrizacao e Alternacao de Tensores Covariantes

O produto tensorial nao e comutativo, nem anticomutativo. De fato, se ω1, ω2 sao tensores 1-covariantesarbitrarios, entao

ω1 ⊗ ω2 6= ω2 ⊗ ω1

pois em geral (ω1 ⊗ ω2

)(v1, v2) = ω1 (v1)ω2 (v2) 6= ω1 (v2)ω2 (v1) =

(ω2 ⊗ ω1

)(v, w) .

9.5 Exemplo. Se ω1 = e1 e ω2 = e2,

e1 ⊗ e2 (v, w) = v1w2,

e2 ⊗ e1 (v, w) = v2w1,

de modo quee1 ⊗ e2 (e1, e2) = 1 6= 0 = e2 ⊗ e1 (e1, e2) .

Por este motivo, 2-tensores arbitrarios

T = T11e1 ⊗ e1 + T12e

1 ⊗ e2 + T21e2 ⊗ e1 + T22e

2 ⊗ e2

nao sao nem simetricos, nem anti-simetricos.Para obter um 2-tensor simetrico a partir dos 1-tensores ω1, ω2, poderıamos considerar o tensor

ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω1,

enquanto que para obter um 2-tensor anti-simetrico a partir de ω1, ω2 poderıamos considerar o tensor

ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1.

Isso permitiria simetrizar ou anti-simetrizar um 2-tensor arbitrario T , conforme a necessidade. Mas gos-tarıamos que a simetrizacao de um tensor T que ja e simetrico fosse o proprio tensor T e que a anti-simetrizacao de um tensor anti-simetrico T tambem fosse o proprio T . Logo e necessario tomar a media:

1

2

(ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω1

),

1

2

(ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1

).


Assim, definimos a partir de um 2-tensor T arbitrario expresso em coordenadas o 2-tensor simetrico

SimT = T11e1 ⊗ e1 +

T12 + T21

2e1 ⊗ e2 +

T12 + T21

2e2 ⊗ e1 + T22e

2 ⊗ e2

chamado a simetrizacao de T , e o 2-tensor antisimetrico

AltT =T12 − T21

2e1 ⊗ e2 +

T21 − T12

2e2 ⊗ e1,

chamado a anti-simetrizacao de T .Isso pode ser generalizado: para obter um 3-tensor simetrico a partir de tres 1-tensores ω1, ω2, ω3 consi-

deramos

1

6

(ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 + ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 + ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1

),

enquanto que para obter um 3-tensor anti-simetrico a partir de ω1, ω2, ω3 consideramos

1

6

(ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 − ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 − ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 − ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1

).

Em geral, dados k 1-tensores ω1, . . . , ωk,

1

k!

∑σ∈Sk

ωσ(1) ⊗ . . .⊗ ωσ(k)

(onde Sk denota o conjunto das permutacoes dos ındices 1, . . . , n) e um k-tensor simetrico e

1

k!

∑σ∈Sk

(signσ)ωσ(1) ⊗ . . .⊗ ωσ(k)

e um k-tensor anti-simetrico. Daı, se

T =

n∑i1,...,ik=1

Ti1...ik ei1 ⊗ . . .⊗ eik

e um tensor k-covariante arbitrario, entao sua simetrizacao e o tensor

Sim T =

n∑i1,...,ik=1

1

k!

(∑σ∈Sk

Tσ(i1)...σ(ik)

)ei1 ⊗ . . .⊗ eik

e sua anti-simetrizacao e o tensor

Alt T =n∑

i1,...,ik=1

1

k!

(∑σ∈Sk

(signσ)Tσ(i1)...σ(ik)

)ei1 ⊗ . . .⊗ eik

Preferimos definir a nocao de simetrizacao e anti-simetrizacao (alternacao) de tensores independentementede coordenadas:


9.6 Definicao. Seja T ∈ T k (V ) um tensor k-covariante.Definimos o k-tensor simetrico SimT ∈ Σk (V ∗), chamado a simetrizacao de T , por

(Sim T ) (v1, . . . , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

T(vσ(1), . . . , vσ(k)

).

Definimos o k-tensor alternado AltT ∈ Λk (V ∗), chamado a alternacao de T , por

(AltT ) (v1, . . . , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

(signσ)T(vσ(1), . . . , vσ(k)

).

As definicoes sao de fato equivalentes:

9.7 Proposicao. Se T ∈ T k (V ) e um tensor k-covariante com componentes Ti1...ik , entao

(SimT )i1...ik = T(i1...ik) :=1

k!

∑σ∈Sk

Tσ(1)...σ(k),

(AltT )i1...ik = T[i1...ik] :=1

k!

∑σ∈Sk

(signσ)Tσ(1)...σ(k).

Prova. Segue diretamente da definicao, lembrando que

(SimT )i1...ik = (SimT ) (ei1 , . . . , eik) ,

(AltT )i1...ik = (AltT ) (ei1 , . . . , eik) .

9.8 Exemplo. SeT = T11e

1 ⊗ e1 + T12e1 ⊗ e2 + T21e

2 ⊗ e1 + T22e2 ⊗ e2,

entao

SimT = T11e1 ⊗ e1 +

T12 + T21

2e1 ⊗ e2 +

T12 + T21

2e2 ⊗ e1 + T22e

2 ⊗ e2

e

AltT =T12 − T21

2e1 ⊗ e2 +

T21 − T12

2e2 ⊗ e1.

Por exemplo,

(AltT ) (v, w) =T12 − T21

2v1w2 +

T21 − T12

2v2w1

= −T21 − T12

2w2v1 − T12 − T21

2w1v2

= −T12 − T21

2w1v2 − T21 − T12

2w2v1

= − (AltT ) (w, v) .


9.9 Proposicao. Os operadores

Sim : T k (V ) −→ Σk (V ∗) ,Alt : T k (V ) −→ Λk (V ∗) ,

sao lineares.T e simetrico se e somente se

SimT = T

e T e alternado se e somente se

AltT = T.

Prova. Segue da Proposicao 9.7.

9.10 Exemplo. Se ω e um 2-tensor, entao

(Altω) (v, w) =1

2[ω (v, w)− ω (w, v)] ,

de modo que se ω1, ω2 sao 1-tensores, entao por definicao de Alt e do produto tensorial

Alt(ω1 ⊗ ω2

)(v, w) =

1

2

[ω1 ⊗ ω2 (v, w)− ω1 ⊗ ω2 (w, v)

]=

1

2

[ω1 ⊗ ω2 (v, w)− ω2 ⊗ ω1 (v, w)

],

poisω1 ⊗ ω2 (w, v) = ω1 (w)ω2 (v) = ω2 (v)ω1 (w) = ω2 ⊗ ω1 (v, w) ,

portanto

Alt(ω1 ⊗ ω2

)=

1

2

[ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1

].

Se ω e um 3-tensor, entao

(Altω) (u, v, w) =1

6[ω (u, v, w) + ω (w, u, v) + ω (v, w, u)

−ω (v, u, w)− ω (w, v, u)− ω (u,w, v)]

de modo que se ω1, ω2, ω3 sao 1-tensores, entao por definicao de Alt e do produto tensorial

Alt(ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3

)(u, v, w)

=1

6

[ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (u, v, w) + ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (w, u, v) + ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (v, w, u)

−ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (v, u, w) − ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (w, v, u) − ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (u,w, v)]

=1

6

[ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 (u, v, w) + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 (u, v, w) + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 (u, v, w)

−ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 (u, v, w) − ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1 (u, v, w) − ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 (u, v, w)]

isto e,

Alt(ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3

)=

1

6

[ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2

−ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 − ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1 − ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2].

Os mesmos resultados continuam valendo se trocarmos Alt por Sim.


9.3 Produto Simetrico e Produto Exterior

TemosT 2 (V ∗) = Σ2 (V ∗)

⊕Λ2 (V ∗)

porque o unico tensor 2-covariante simultaneamente simetrico e alternado e o tensor nulo, e se ω ∈ T 2 (V ∗)entao

ω (v, w) =1

2[ω (v, w) + ω (w, v)] +

1

2[ω (v, w)− ω (w, v)]

= Simω + Altω.

No entanto, para k > 3

T k (V ∗) 6= Σk (V ∗)⊕

Λk (V ∗) .

Em particular, os espacos vetoriais graduados

Σ (V ) =

∞⊕k=0

Σk (V ) ,

Λ (V ∗) =

n⊕k=0

Λk (V ∗) ,

nao sao algebras com o produto tensorial. Definiremos em cada um deles um produto que os transformaraem algebras graduadas.

9.3.1 Produto Simetrico e Algebra Tensorial Simetrica

9.11 Definicao. O produto simetrico e um operador bilinear

: Σk (V ∗)× Σl (V ∗) −→ Σk+l (V ∗)

tal que se ω ∈ Σk (V ∗) e η ∈ Σl (V ∗), entao ω η ∈ Σk+l (V ∗) e definido por

ω η =(k + l)!

k!l!Sim (ω ⊗ η) .

A algebra tensorial simetrica de V e a algebra graduada

Σ (V ) =

∞⊕k=0

Σk (V )

com o produto simetrico.

O motivo para o coeficiente na definicao acima, assim como o coeficiente na Definicao 9.13, e explicado peloexemplo a seguir, assim como pela simplicidade da formula que aparece na Proposicao 9.24.

9.12 Exemplo. Se ω1, ω2, ω3 sao 1-tensores simetricos, entao

ω1 ω2 = ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω1


e

ω1 ω2 ω3 = ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 + ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 + ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1.

A primeira formula segue imediatamente da definicao de produto simetrico e do Exemplo 9.10. A segundasegue tambem da definicao e do Exemplo 9.10:

ω1 ω2 ω3

=(ω1 ω2

) ω3

=(ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω1

) ω3

=3!

2!1!

[Sim

(ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3

)]=

3!

2

1

3!

(ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2

ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 + ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2)

= ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1 + ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 + ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1.

Em outras palavras, o produto simetrico corresponde essencialmente a simetrizar o produto tensorial semtomar a media.

9.3.2 Produto Exterior e Algebra Tensorial Alternada (Algebra Exterior)

9.13 Definicao. O produto exterior (ou produto wedge) e o operador bilinear

∧ : Λk (V ∗)× Λl (V ∗) −→ Λk+l (V ∗)

tal que se ω ∈ Λk (V ∗) e η ∈ Λl (V ∗), entao ω ∧ η e definido por

ω ∧ η =(k + l)!

k!l!Alt (ω ⊗ η) .

A algebra exterior (ou algebra tensorial alternada) de V e a algebra graduada

Λ (V ∗) =

n⊕k=0

Λk (V ∗)

com o produto exterior.

Assim,

(ω ∧ η) (v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+l) =1

k!l!

∑σ∈Sk+l

(signσ)ω(vσ(1), . . . , vσ(k)

)η(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l)

).

Pela Proposicao 9.24, a algebra exterior e uma algebra associativa e anticomutativa graduada. Sua dimensaoe 2n, soma das dimensoes de Λk (V ∗). A partir de agora restringiremos toda a nossa atencao a AlgebraExterior Λ (V ∗).

9.14 Exemplo. Se ω1, ω2, ω3 sao 1-formas, entao

ω1 ∧ ω2 = ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1


e

ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 = ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1

− ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 − ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 − ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1.

Em outras palavras, o produto exterior corresponde essencialmente a anti-simetrizar o produto tensorial semtomar a media. Isso garantira que o produto exterior de n 1-formas e o determinante e nao um multiploescalar deste (veja as Proposicoes 9.23, 9.24 e a discussao que lhe seguem).

9.4 Bases e Propriedades da Algebra Exterior

9.4.1 Formas Elementares

Nesta secao definiremos uma base para Λk (V ∗), a base elementar, que e especialmente boa para se usar. Maistarde, da mesma forma que definimos uma base no espaco tensorial T kl (V ) a partir de produtos tensoriaisde elementos da base de V , definiremos uma base no espaco tensorial alternado Λk (V ∗) a partir de produtosexteriores de elementos da base dual de V ∗, a base exterior, e mostraremos que ela coincide com a baseelementar, sendo que a base exterior sera ainda mais conveniente de usar.

9.15 Definicao. Seja I = i1 . . . ik um multi-ındice. Definimos a k-forma elementar eI ∈ Λk (V ∗) por

eI (ej1 , . . . , ejk) = det[eir (ejs)

]onde

[eir (ejs)

]denota a matriz k × k cuja entrada rs e o valor eir (ejs).

9.16 Definicao. Sejam

I = i1 . . . ik,

J = j1 . . . jk,

multi-ındices com o mesmo tamanho. Definimos o multidelta de Kronecker por

δIJ = det[δirjs]

onde[δirjs]

denota a matriz k × k cuja entrada rs e o delta de Kronecker δirjs .

9.17 Notacao. Se I e um multi-ındice e σ ∈ Sk e uma permutacao denotamos

Iσ = iσ(1) . . . iσ(k).

9.18 Proposicao. Vale

(i)Iστ = (Iτ )σ .

(ii) Se J = Iσ, entao

eJ = (signσ) eI


(iii)

δIJ =

signσ se J = Iσ e I, J nao tem ındices repetidos,0 se I, J possuem algum ındice diferente ou tem ındices repetidos.

(iv)

eI (ej1 , . . . , ejk) = δIJ .

9.19 Definicao. Dizemos que um multi-ındice I = i1 . . . ik e crescente se i1 < . . . < ik.

9.20 Proposicao. Se ω ∈ Λk (V ∗), vale

ω =∑I

ωIeI

com a soma podendo ser tomada apenas sobre multi-ındices crescentes e a base elementar

Bk =eI : I e um multi-ındice crescente de comprimento k

e uma base para Λk (V ∗).

Em particular, se dimV = n, entao

dim Λk (V ∗) =

(n

k

)

se k 6 n e dim Λk (V ∗) = 0 se k > n.

Prova. Temos

ω (ej1 , . . . , ejk) = ωJ

=∑I

ωIδIJ

=∑I

ωIeI (ej1 , . . . , ejk) ,

de modo que

ω =∑I

ωIeI

e esta soma pode ser tomada sob ındices crescentes, ja que se I nao e crescente e tem pelo menos um ındicerepetido temos ωI = 0 porque ω e alternado, e pelo mesmo motivo se I nao possui ındices repetidos podemoscombinar todos os escalares de multi-ındices que correspondem ao mesmo multi-ındice crescente (a menosde permutacao) em um unico escalar.

Para ver que Bk e LI, suponha ∑I

ωIeI = 0.


Para todo multi-ındice J temos

0 =

(∑I

ωIeI

)(ej1 , . . . , ejk)

=∑I

ωIeI (ej1 , . . . , ejk)

=∑I

ωIδIJ

= ωJ .

9.21 Corolario. Se dimV = n, L ∈ Hom (V ) e ω ∈ Λn (V ∗), entao

ω (Lv1, . . . , Lvn) = (detL)ω (v1, . . . , vn) .

Prova. Como dim Λn (V ∗) = 1, segue queω = λe1...n

para algum escalar λ ∈ R. Por multilinearidade e alternalidade, basta verificar a identidade na n-upla(e1, . . . , en). Temos

ω (Le1, . . . , Len) = λe1...n (Le1, . . . , Len)

= λ det[ei (Lej)

]= λ detL

= λ (detL) e1...n (e1, . . . , en)

= (detL)ω (e1, . . . , en) .

9.4.2 Bases Exteriores

9.22 Definicao. Se

I = i1 . . . ik,

J = j1 . . . jl,

sao multi-ındices, definimos a sua concatenacao IJ por

IJ = i1 . . . ikj1 . . . jl.


eI ∧ eJ = eIJ .

Em particular,

eI = ei1 ∧ . . . ∧ eik ,


de modo que

ei1 ∧ . . . ∧ eik (ej1 , . . . , ejk) = det[eir (ejs)

],

a base exterior

BI =ei1 ∧ . . . ∧ eik

i1,...,ik=1,...,ni1<...<ik

e uma base para Λk (V ∗) e se

ω =∑I

ωIeI ,

η =∑J

ηJeJ ,

entao

ω ∧ η =∑IJ

ωIηJeIJ .

Prova. Se I = i1 . . . ik, J = j1 . . . jl e N = n1 . . . nk+l por multilinearidade basta provar a identidade paraos vetores eN da base de Λk+l (V )

eI ∧ eJ(en1 , . . . , enk+l

)= eIJ

(en1 , . . . , enk+l

).

O lado esquerdo e

eI ∧ eJ(en1 , . . . , enk+l

)=

1

k!l!

∑σ∈Sk+l

(signσ) eI(enσ(1) , . . . , enσ(k)

)eJ(enσ(k+1)

, . . . , enσ(k+l)),

enquanto que o lado direito eeIJ

(en1

, . . . , enk+l)

= δIJN .

Se N possui algum ındice que nao aparece nem em I, nem em J , ou se N possui ındices repetidos, entaoambos os lados sao nulos.

Podemos entao nos restringir ao caso em que N e uma permutacao de IJ . Denotando

Nk = n1 . . . nk,

N l = nk+1 . . . nk+l,

segue que

eI(enσ(1) , . . . , enσ(k)

)= δINkσ ,

eJ(enσ(k+1)

, . . . , enσ(k+l))

= δJN lσ ,

de modo que a unica maneira de obter um valor nao nulo e se σ for uma permutacao que permuta os primeirosk ındices de N e os ultimos l ındices de N separadamente, logo podemos escrever

σ = τη

com τ ∈ Sk e η ∈ Sl ; ou seja, τ e uma permutacao de I e η e uma permutacao de J . Como

signσ = sign τ sign η,


segue que

eI ∧ eJ(en1 , . . . , enk+l

)=

[1

k!

∑σ∈Sk

(signσ) eI(enσ(1) , . . . , enσ(k)

)] [ 1

l!

∑τ∈Sl

(sign τ) eJ(enσ(k+1)

, . . . , enσ(k+l))]

= eI (en1, . . . , enk) eJ

(enk+1

, . . . , enk+l)

= δINkδJN l

= δIJN

= eIJ(en1 , . . . , enk+l

).

Para provar que eI = ei1 ∧ . . . ∧ eik , note que

ei1i2 = ei1 ∧ ei2

e por inducao (a associatividade e provada na proposicao a seguir)

ei1...ik = ei1...ik−1 ∧ eik = ei1 ∧ . . . ∧ eik−1 ∧ eik .

Note que uma base elementar e uma base exterior. Em particular, toda k-forma se escreve como

ω =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

ωi1...ik ei1 ∧ . . . ∧ eik .

9.4.3 Propriedades do Produto Exterior

9.24 Proposicao. O produto exterior satisfaz as seguintes propriedades:(i) (Bilinearidade) se a, b ∈ R,

(aω + bη) ∧ θ = a (ω ∧ θ) + b (η ∧ θ) ,θ ∧ (aω + bη) = a (θ ∧ ω) + b (θ ∧ η) .

(ii) (Associatividade)

(ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) .

(iii) (Anticomutividade Graduada) se ω ∈ Λk (V ∗) e η ∈ Λl (V ∗) ,

ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω.

(iv) Se v1, . . . , vk sao vetores e ω1, . . . , ωk sao 1-formas,

ω1 ∧ . . . ∧ ωk (v1, . . . , vk) = det[ωi (vj)

]Prova. (i) Segue imediatamente da definicao, porque o produto tensorial e bilinear e Alt e linear.(ii) Pela Proposicao 9.23,(

eI ∧ eJ)∧ eK = eIJ ∧ eK = eIJK = eI ∧ eJK = eI ∧

(eJ ∧ eK

)


e o resultado geral segue de bilinearidade.(iii) Pela Proposicao 9.23 e as propriedades de permutacao, se σ e a permutacao que transforma IJ em JI,temos

eI ∧ eJ = eIJ = (signσ) eJI = (signσ) eJ ∧ eI .

O resultado segue quando se nota que signσ = (−1)kl

, porque a permutacao σ se decompoe como umacomposicao de kl transposicoes (cada ındice de I deve ser movido passando por todos os ındices de J).

(iv) Segue do mesmo argumento da Proposicao 9.23 e multilinearidade.

9.4.4 Interpretacao Geometrica do Produto Exterior

Segue de (iv) da proposicao que

ei1 ∧ . . . ∧ eik (v1, . . . , vk) = det[virj].

Assim, o valor da k-forma elementar ei1 ∧ . . . ∧ eik aplicada ao k-paralelepıpedo [v1, . . . , vk] e o volumek-dimensional da projecao deste paralelepıpedo no subespaco de V gerado pelos vetores ei1 , . . . , eik : cadalinha da matriz

[virj]

e dada pelas coordenadas do projecao do vetor vj neste subespaco, coordenadas emrelacao a esta base assim ordenada

ei1 ∧ . . . ∧ eik (v1, . . . , vk) = Volk(

Proj〈ei1 ,...,eik〉 [v1, . . . , vk]).

Esta projecao e ortogonal se o espaco V e dotado de um produto interno, em relacao ao qual a basee1, . . . , en e ortonormal; caso contrario, e simplesmente a projecao no subespaco⟨

ei1 , . . . , eik⟩

ao longo do subespaco complementar⟨ej1 , . . . , ejn−k

⟩js 6=ir para todos r,s

.

Uma interpretacao geometrica para uma k-forma geral, combinacao linear de tais k-formas elementares emais difıcil: se ω ∈ Λk (V ∗) se escreve como combinacao linear das k-formas elementares como

ω =∑

I=i1...iki1<...<ik

ωI ei1 ∧ . . . ∧ eik ,

entaoω (v1, . . . , vk) =

∑I=i1...iki1<...<ik

ωI Volk(

Proj〈ei1 ,...,eik〉 [v1, . . . , vk])

e a mesma combinacao linear dos volumes das projecoes deste paralelepıpedo em cada um dos subespacoscoordenados gerados por estes vetores elementares. Algo melhor que isso nao pode ser obtido em geral, poisuma k-forma geral nao se escreve como o produto exterior de k 1-formas (veja Exemplo 9.27).

Em particular, segue diretamente de (iv) que

e1 ∧ . . . ∧ en (v1, . . . , vn) = det[vij],

isto e

e1 ∧ . . . ∧ en = det,

ou seja, e1 ∧ . . . ∧ en e a funcao determinante.


9.25 Corolario. Se ω ∈ Λk (V ∗) e k e ımpar,

ω ∧ ω = 0.

Em particular, isso vale se ω e uma 1-forma.

Prova. Poisω ∧ ω = (−1)

kkω ∧ ω = −ω ∧ ω.

O resultado em geral nao e valido se k e par:

9.26 Exemplo. Considere a 2-formaω = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4.

Temos

ω ∧ ω =(e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4

)∧(e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4

)= e1 ∧ e2 ∧ e1 ∧ e2 + e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4

+ e3 ∧ e4 ∧ e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 ∧ e3 ∧ e4

= e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 + e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4

= 2e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4

6= 0,

pois

e3 ∧ e4 ∧ e1 ∧ e2 = −e4 ∧ e1 ∧ e2 ∧ e3

= e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4,

fazendo 3 transposicoes em cada passo para levar o primeiro vetor ao final da expressao.Usando a notacao de concatenacao,

ω = e12 + e34

e

ω ∧ ω =(e12 + e34

)∧(e12 + e34

)= e1212 + e1234 + e3412 + e3434

= e1234 + e3412

= 2e1234,

pois precisamos de 6 transposicoes para transformar 3412 em 1234 (3 transposicoes para levar cada um doisdıgitos iniciais no final, primeiro o dıgito 3 e depois o dıgito 4, como visto acima).

9.27 Exemplo. O exemplo anterior mostra que nem toda k-forma pode ser escrita como o produto exteriorde duas formas. De fato, se existissem duas 1-formas ω1, ω2 tais que

e12 + e34 = ω1 ∧ ω2,

pelo Corolario 9.25 terıamos (e12 + e34

)∧(e12 + e34

)= 0,

o que nao ocorre, como vimos no exemplo anterior.


9.5 Formas Diferenciais

Seja M uma variedade diferenciavel. Como definimos no inıcio deste capıtulo, uma forma diferencial e umcampo tensorial alternado ω, isto e, em cada ponto p ∈ M o tensor ωp e alternado e ωp varia diferenciavel-mente com p. Em coordenadas locais, uma k-forma diferencial se escreve na forma

ω = ωi1...ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,

com ωi1...ik diferenciaveis ou, mais compactamente,

ω =∑I

ωIdxI = ωIdx

I .

9.28 Definicao. O fibrado tensorial alternado de grau k e definido por

ΛkT ∗M =⊔p∈M

Λk (T ∗Mp)

com o atlas adequado e e uma variedade diferenciavel de dimensao n+(nk

).

O espaco vetorial das k-formas diferenciais em M e denotado por Λk (M) (isto e, o espaco vetorialdas secoes diferenciais do fibrado ΛkT ∗M , e tambem sera denotado por Γ

(ΛkT ∗M

)). Λk (M) tambem e um

C∞ (M)-modulo.A algebra exterior de M e a algebra graduada, associativa e anticomutativa

Λ (M) =

n⊕k=0

Λk (M) .

9.6 Pullback de Formas Diferenciais

Como antes, se F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel, o pullback de uma forma diferencial ω ∈ Λk (N)por F (ou seja, o pullback do campo tensorial covariante ω), e a forma diferencial F ∗ω ∈ Λk (M) definidapor

(F ∗ω)p (v1, . . . , vk) = ωF (p) (dFp (v1) , . . . , dFp (vk))

para vetores v1, . . . , vk ∈ TMp. Lembre-se que se f ∈ Λ0 (N) = C∞ (N), entao

F ∗f = f F.

9.29 Proposicao. Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.O operador

F ∗ : Λ (N) −→ Λ (M) ,

e um morfismo entre algebras, ou seja,(i) para cada k

F ∗ : Λk (N) −→ Λk (M)


e linear e(ii) F ∗ preserva o produto:

F ∗ (ω ∧ η) = F ∗ (ω) ∧ F ∗ (η) ,

Prova. Por multilinearidade, basta considerar o produto de k 1-formas. Se ω1, . . . , ωk ∈ Λ1 (N),

F ∗(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)p

(v1, . . . , vk) =(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)F (p)

(dFpv1, . . . , dFpvk)

= det[(ωi)F (p)

(dFpvj)]

= det[(F ∗ωi

)p

(vj)]

=(F ∗ω1

)p∧ . . . ∧

(F ∗ωk

)p

(v1, . . . , vk) .

9.30 Proposicao. Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel e f ∈ Λ0 (N) = C∞ (N).Entao

F ∗ (df) = d (F ∗f) .

Em particular,F ∗dyi = d

(yi F

)= dF i.

Prova. Temos

F ∗ (df) (v) = df (dF (v))

= d (f F ) (v)

= d (F ∗f) (v) .

9.31 Corolario. Em coordenadas, se(U, xi

)e uma carta para p ∈M e

(V, yi

)e uma carta para F (p) ∈ N ,

F ∗(ωI dy

i1 ∧ . . . ∧ dyik)

= (ωI F ) d(yj1 F

)∧ . . . ∧ d

(yjk F

)= (ωI F ) dF i1 ∧ . . . ∧ dF ik .

Em particular, se dimM = dimN = n,

F ∗(f dy1 ∧ . . . ∧ dyn

)= (det dF ) (f F ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

e se M = N ,

dy1 ∧ . . . ∧ dyn = det

(∂yi

∂xj

)dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

Prova. A primeira equacao segue de

F ∗(ωI dy

i1 ∧ . . . ∧ dyik)

= F ∗(ωI ∧ dyi1 ∧ . . . ∧ dyik

)= F ∗ωI ∧ F ∗ dyi1 ∧ . . . ∧ F ∗dyik

= F ∗ωI ∧ dF ∗yi1 ∧ . . . ∧ dF ∗yik

= (ωI F ) d(yj1 F

)∧ . . . ∧ d

(yjk F

).


A segunda equacao segue de

F ∗(f dy1 ∧ . . . ∧ dyn

)= (f F ) d

(y1 F

)∧ . . . ∧ d (yn F )

= (f F ) dF 1 ∧ . . . ∧ dFn

e do fato quedF 1 ∧ . . . ∧ dFn (∂1, . . . , ∂n) = det

(dF i (∂j)

)= det dF,

de modo quedF 1 ∧ . . . ∧ dFn = (det dF ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

9.7 Derivada Exterior

A derivada exterior generaliza a diferencial de uma funcao suave, o gradiente, o divergente e o rotacional(estes tres ultimos veremos no proximo capıtulo). Ela age em uma forma diferencial produzindo uma formadiferencial de grau maior, um a mais. Como no caso da derivada, a derivada exterior de uma forma diferencialde classe Cr e uma forma diferencial de classe Cr−1. Por este motivo, e sempre mais conveniente considerarformas diferenciais de classe C∞, que e o que faremos.

Para motivar a definicao de derivada exterior, vamos examinar como procederıamos para definir umconceito de derivada para formas. Em princıpio queremos derivar todo objeto na topologia diferencialque depende diferenciavelmente de um ponto na variedade e alem disso a derivada do objeto deve serpreferenciavelmente um objeto da mesma natureza: a derivada de um campo deve ser um campo, a derivadade um tensor deve ser um tensor e a derivada de uma forma deve ser uma forma. Ja sabemos como derivarformas usando a derivada de Lie e a derivada de tensores covariantes (via a conexao) e elas satisfazem a regrado produto para o produto tensorial (mais tarde veremos que elas tambem satisfazem a regra do produtona algebra exterior). Mas estas duas derivadas sao derivadas direcionais, na direcao de campos. Queremosdefinir um conceito de derivada de formas sem referencia a campos.

Alem de ser um operador linear, a derivada exterior deve ser uma derivacao, isto e, satisfazer a regra doproduto na algebra exterior Λ (M), onde temos um produto de formas definido. Tambem e razoavel exigirque para 0-formas f ∈ C∞ (Rn) ela coincida com a derivada usual df . Esta ultima no entanto e uma 1-forma,o que sugere que a derivada dω de uma k-forma ω devera ser uma (k + 1)-forma. De fato, como um incentivoextra para que isso seja assim, se a derivada satisfizer a regra do produto, teremos que ter no caso especialdo produto de uma 0-forma e uma k-forma

d (fω) = d (f ∧ ω)

= df ∧ ω + f ∧ dω= df ∧ ω + fdω,

e o primeiro termo na ultima soma e uma (k + 1)-forma, logo faz sentido que o segundo termo da somatambem seja, e isso so e possıvel se dω e uma (k + 1)-forma; embora a soma de formas de graus diferentesfaca sentido na soma direta Λ (M), parece mais simples e natural definir a derivada de formas de tal modoque aparecam apenas somas de formas com o mesmo grau e que o grau de dω dependa do grau de ω damesma maneira para todas as formas independentemente de seus graus, em suma, um operador

d : Λk (M) −→ Λk+1 (M) .

Por outro lado, pedir que a derivada vista como um operador na algebra

d : Λ (M) −→ Λ (M)


satisfaca apenas a regra do produto

d (ω ∧ η) = dω ∧ η + ω ∧ dη

se ω ∈ Λk (M) e η ∈ Λl (M), nao nos da uma definicao consistente: como

ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω,

se tivessemosd (ω ∧ η) = dω ∧ η + ω ∧ dη,

terıamos por linearidade e anticomutatividade graduada

d (η ∧ ω) = d[(−1)

klω ∧ η

]= (−1)

kld (ω ∧ η)

= (−1)kl

(dω ∧ η + ω ∧ dη)

= (−1)kl

(−1)(k+1)l

η ∧ dω + (−1)kl

(−1)k(l+1)

dη ∧ ω

= (−1)2kl

(−1)lη ∧ dω + (−1)

2kl(−1)

kdη ∧ ω

= (−1)lη ∧ dω + (−1)

kdη ∧ ω,

enquanto que por definicao deverıamos ter

d (η ∧ ω) = dη ∧ ω + η ∧ dω.

Este problema e corrigido exigindo que a derivada exterior satisfaca uma regra do produto graduada, isto e,em que o sinal dos termos da derivada da soma dependa dos graus das formas; no caso bastara apenas queo sinal do segundo termo seja dado pelo grau da primeira forma do produto:

d (ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

De fato, neste caso, por linearidade e anticomutatividade graduada obtemos

d (η ∧ ω) = d[(−1)

klω ∧ η

]= (−1)

kld (ω ∧ η)

= (−1)kl(dω ∧ η + (−1)

kω ∧ dη

)= (−1)

kldω ∧ η + (−1)

k(l+1)ω ∧ dη

= (−1)kl

(−1)(k+1)l

η ∧ dω + (−1)k(l+1)

(−1)k(l+1)

dη ∧ ω

= (−1)2kl

(−1)lη ∧ dω + (−1)

2k(l+1)dη ∧ ω

= (−1)lη ∧ dω + dη ∧ ω,

que e exatamente a definicaod (η ∧ ω) = dη ∧ ω + (−1)

lη ∧ dω.

Observe agora que no caso de uma 1-forma coordenada

dxi

que e constante em toda a vizinhanca coordenada (por exemplo, a forma diferencial constante ei = dxi emRn), faz sentido definir que a derivada desta forma seja nula:

d(dxi)

= 0.


Em geral, a forma elementar dxI e constante na vizinhanca coordenada (eI = dxI em Rn) e definimos

d(dxI)

= 0.

Estas tres propriedades caracterizam a derivada exterior: por exemplo, em Rn, se

ω =∑J

ωJdxJ ,

segue que se existe um tal operador d entao ele deve satisfazer

dω =∑J

dωJ ∧ dxJ +∑J

ωJ ∧ d(dxJ

)=∑J

(n∑i=1

∂ωJ∂xi

dxi

)∧ dxJ + 0

=∑J

n∑i=1

∂ωJ∂xi

dxi ∧ dxJ

e podemos definir a derivada exterior atraves desta equacao.Em particular, como veremos, seguira que para qualquer k-forma ω vale

d2ω = d (dω) = 0,

isto e, a derivada exterior de segunda ordem e nula. Esta propriedade adicional distingue fundamentalmentea derivada exterior de formas das derivadas de Lie e derivada covariante total de formas (alem do que, elassatisfazem a regra do produto usual para o produto exterior, nao a regra do produto graduada; no caso daderivada de Lie, veja a Proposicao 9.42): no caso da derivada de Lie temos

LX(dxi)

=(∂jX

i)dxj 6= 0

a nao ser que X seja um campo constante, e no caso da derivada covariante total temos por exemplo que∇2f e a hessiana de f .

9.7.1 Definicao Local

Definiremos primeiro a derivada exterior para formas diferenciais em Rn. Posteriormente usaremos cartaspara estender esta definicao para uma variedade diferenciavel. Para que a derivada exterior satisfaca a regrado produto graduada, devemos ter a seguinte definicao em coordenadas (coordenadas globais, ja que estamosem Rn):

9.32 Definicao. Definimos o operador derivada exterior

d : Λk (Rn) −→ Λk+1 (Rn)

da seguinte forma:Se f ∈ Λ0 (Rn) = C∞ (Rn), sua derivada exterior e simplesmente sua diferencial df .Se ω ∈ Λk (Rn), escrevendo em coordenadas canonicas de Rn

ω =∑J

ωJdxJ ,


sua derivada exterior dω ∈ Λk+1 (Rn) e definida por

dω =∑J

dωJ ∧ dxJ =∑J

n∑i=1

∂ωJ∂xi

dxi ∧ dxJ .

Por exemplo, se ω e uma 1-forma, temos

dω =

n∑i,j=1

∂ωj∂xi

dxi ∧ dxj

=

n∑i,j=1i<j

(∂ωj∂xi− ∂ωi∂xj

)dxi ∧ dxj .

9.33 Proposicao. A derivada exterior

d : Λk (Rn) −→ Λk+1 (Rn)

e um operador linear que satisfaz a regra do produto graduada, isto e, se ω ∈ Λk (Rn) e η ∈ Λl (Rn),entao

d (ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

Prova. Temos

d (ω ∧ η) = d

[∑I

ωI dxI ∧∑J

ηJ dxJ

]

= d

∑I,J

ωIηJ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

d (ωIηJ) ∧ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

(ηJ dωI + ωI dηJ) ∧ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

ηJ dωI ∧ dxI ∧ dxJ +∑I,J

ωI dηJ ∧ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

dωI ∧ dxI ∧ ηJ dxJ + (−1)k∑I,J

ωI dxI ∧ dηJ ∧ dxJ

=∑I

(dωI ∧ dxI

)∧∑J

ηJdxJ + (−1)

k∑I

ωI dxI ∧∑J

dηJ ∧ dxJ

= dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη,

onde usamos a anticomutatividade no antepenultimo passo, ja que dηJ e uma 1-forma e dxI uma k-forma.


Se f e uma 0-forma de classe C2, temos

d2f = d

n∑j=1

∂f

∂xjdxj

=

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xjdxi ∧ dxj

=

n∑i,j=1i<j

(∂2f

∂xi∂xj− ∂2f

∂xj∂xi

)dxi ∧ dxj

= 0,

consequencia de podermos trocar a ordem de derivacao sem alterar o resultado. Em geral, como consequenciadisso e da proposicao anterior, temos a seguinte propriedade que distingue a derivada exterior (veja a Pro-posicao 9.36):


d2 = d d = 0.

Prova. Usando a Proposicao 9.33, e os fatos que

d2f = 0

quando f e uma 0-forma (como visto logo acima) e que

d2xJ = d(dxJ

)= 0,

o que segue imediatamente da definicao, ja que os coeficientes da forma elementar sao constantes, temos que

d2ω = d (dω) = d

(∑J

dωJ ∧ dxJ)

=

(∑J

d2ωJ ∧ dxJ)−∑J

dωJ ∧ d2xJ

= 0,

onde

d2xJ = d(dxJ

)= d

(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)=

k∑j=1

(−1)j+1 (

dxi1 ∧ . . . ∧ d2xij ∧ . . . ∧ dxik)

= 0.

9.35 Proposicao. Seja F : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicacao diferenciavel. Entao

F ∗ (dω) = d (F ∗ω) .

Prova. O resultado para 0-formas e a Proposicao 9.30. Para o caso geral, pelo Corolario 9.31 escrevemos

F ∗dyJ = dF J ,


isto e,F ∗(dyi1 ∧ . . . ∧ dyik

)= dF i1 ∧ . . . ∧ dF ik .

Daı,d(F ∗dyJ

)= d2F i1 ∧ . . . ∧ d2F ik = 0.

Logo,

F ∗ (dω) = F ∗(dωJ ∧ dyJ

)= F ∗dωJ ∧ F ∗dyJ

= d (F ∗ωJ) ∧ F ∗dyJ

= d (F ∗ωJ) ∧ F ∗dyJ + (−1)k

(F ∗ωJ) ∧ d(F ∗dyJ

)= d

(F ∗ωJ ∧ F ∗dyJ

)= d

[F ∗(ωJdy

J)]

= d (F ∗ω) .

9.7.2 Definicao Global

9.36 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel.Entao para cada k existe um unico operador linear

d : Λk (M) −→ Λk+1 (M)

chamado o operador derivada exterior que satisfaz as seguintes propriedades:(i) Se f e uma 0-forma, df e a diferencial de f .(ii) Se ω ∈ Λk (M) e η ∈ Λl (M), entao

d (ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

(iii)

d2 = 0.

Em coordenadas locais, se

ω =∑J

ωJdxJ ,

entao

dω =∑J

dωJ ∧ dxJ =∑J

n∑i=1

∂ωJ∂xi

dxi ∧ dxJ .

Prova. Dada uma carta (ϕ,U) para M , definimos

dω = ϕ∗d[(ϕ−1

)∗ω].


O operador d esta definido porque se (ψ, V ) e uma outra carta qualquer para M com U ∩ V 6= ∅, pelaProposicao 9.35 temos

ϕ∗d[(ϕ−1

)∗ω]

=(ϕ ψ−1 ψ

)∗d[(ϕ−1

)∗ω]

= ψ∗(ϕ ψ−1

)∗d[(ϕ−1

)∗ω]

= ψ∗d(ϕ ψ−1

)∗ (ϕ−1

)∗ω

= ψ∗d[(ϕ−1

) (ϕ ψ−1

)]∗ω

= ψ∗d[(ψ−1

)∗ω].

As propriedades seguem diretamente da definicao e do fato delas valerem para Rn.Para provar a unicidade, supondo que d e um operador linear que satisfaz (i)-(iii), mostraremos que isso

implica a formula local do enunciado.Primeiro estabelecemos que estas propriedades implicam que d e determinado localmente, isto e, se ω1 e

ω2 sao k-formas tais queω1 = ω2

em um aberto U , entaodω1 = dω2

em U . De fato, considereη = ω1 − ω2.

Dado p ∈ U , seja f uma funcao lombada suportada em U e identicamente 1 em uma vizinhaca de U . Entaofη ≡ 0, de modo que

0 = d (fη) = df ∧ η + fdη.

Aplicando em p, segue que0 = dfp ∧ ηp + f (p) dηp = dηp,

ja que dfp = 0 e f (p) = 1. Como p ∈ U , e arbitrario, concluımos que dη = 0 em U , donde o resultadodesejado.

Agora, dado ω ∈ Λk (M), escreva-a em coordenadas locais em relacao a uma carta (ϕ,U) como

ω =∑J

ωJdxJ .

Usando funcoes lombadas, para qualquer p ∈ U podemos estender as funcoes coeficientes ωJ e as funcoescoordenadas xi restritas a uma vizinhanca de p a funcoes diferenciaveis definidas globalmente em M . Segueque

dωp =∑J

(dωJ)p ∧ dxJp ,

ou seja, esta e a formula para dω em qualquer ponto p arbitrario, o que estabelece ao mesmo tempo aunicidade e a formula local.

9.37 Proposicao. Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. Entao

F ∗ (dω) = d (F ∗ω) .


Prova. Para provar a comutividade com o pullback, usamos a definicao e a comutatividade com o pullbackem Rn. Se (ϕ,U) e um carta para M e (ψ, V ) e uma carta para N , temos nestas cartas

F ∗ (dω) = F ∗(ψ∗d

[(ψ−1

)∗ω])

= (ψ F )∗d[(ψ−1

)∗ω]

=(ψ F ϕ−1 ϕ

)∗d[(ψ−1

)∗ω]

= ϕ∗(ψ F ϕ−1

)∗d[(ψ−1

)∗ω]

= ϕ∗d(ψ F ϕ−1

)∗ [(ψ−1

)∗ω]

= ϕ∗d(ψ−1 ψ F ϕ−1

)∗ω

= ϕ∗d(F ϕ−1

)∗ω

= ϕ∗d(ϕ−1

)∗F ∗ω

= d (F ∗ω) .

9.8 Produto Interior e Derivada Interior

9.38 Definicao. Dados v ∈ V e ω ∈ Λk (V ∗) definimos o seu produto interior

y : V × Λk (V ∗) −→ Λk−1 (V ∗)

por

(v yω) (v2, . . . , vk) = ω (v, v2, . . . , vk) .

Definimos o operador linear correspondentemente induzido derivada interior

ıv : Λk (V ∗) −→ Λk−1 (V ∗) .

por

ıv (ω) = v yω.

Observe que o produto interior e uma contracao. Por conveniencia definimos Λ−1 (V ∗) = 0 e ıv ≡ 0 em0-formas (escalares reais).

9.39 Proposicao. Valem(i) ı2v = 0.(ii)

v y(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)=

k∑i=1

(−1)i−1

ωi (v)ω1 ∧ . . . ∧ ωi ∧ . . . ∧ ωk.

(iii)

ıv (ω ∧ η) = (ıvω) ∧ η + (−1)kω ∧ (ıvη) .


Prova. (i)

[ıv (ıv (ω))] (v3, . . . , vk) = ıv (ω) (v, v3, . . . , vk)

= ω (v, v, v3, . . . , vk)

= 0.

(ii) Escrevendo v = v1, temos

v y(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)(v2, . . . , vk) =

(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)(v1, v2, . . . , vk)

= det[ωi (vj)

]=

k∑i=1

(−1)i−1

ωi (v1) det[ωi|v1

]=

k∑i=1

(−1)i−1

ωi (v1)[ω1 ∧ . . . ∧ ωi ∧ . . . ∧ ωk (v2, . . . , vk)

],

onde calculamos det[ωi (vj)

]por expansao em cofatores a partir da primeira coluna:

[ωi|v1

]denota o menor

obtido da matriz[ωi (vj)

]deletando a i-esima linha e a coluna 1.

(iii) Segue de (ii): no caso especial

ω = ei1 ∧ . . . ∧ eik ,η = ej1 ∧ . . . ∧ ejl ,

temos

ıv (ω ∧ η) = v y (ω ∧ η)

= v y[(ei1 ∧ . . . ∧ eik

)∧(ej1 ∧ . . . ∧ ejl

)]= v y

(ei1 ∧ . . . ∧ eik ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejl

)=

k∑r=1

(−1)r−1

eir (v) ei1 ∧ . . . ∧ eir ∧ . . . ∧ eik ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejl

+

l∑s=1

(−1)k+s−1

ejs (v) ei1 ∧ . . . ∧ eik ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejs ∧ . . . ∧ ejl

= v y(ei1 ∧ . . . ∧ eik

)∧ η + (−1)

kω ∧ v y

(ej1 ∧ . . . ∧ ejl

)= (ıvω) ∧ η + (−1)

kω ∧ (ıvη) .

O caso geral

ω =∑I

ωIeI ,

η =∑J

ηJeJ ,

segue por linearidade.

9.9 Relacao entre Derivadas Exterior, Interior e de Lie

A relacao entre a derivada exterior de uma 1-forma e o colchete de Lie e dada pelo seguinte resultado. Emparticular, ele estabelece uma formula para a derivada exterior que e independente de coordenadas.


9.40 Proposicao. Se ω ∈ Λ1 (M) e X,Y ∈ T1M , entao

dω (X,Y ) = X (ω (Y ))− Y (ω (X))− ω ([X,Y ]) .

Prova. Primeiro provamos o resultado para os vetores da base coordenada (que podem ser globalmenteextendidos atraves de funcoes lombada). Como [∂i, ∂j ] = 0, neste caso e suficiente provar que

dω (∂i, ∂j) = ∂i (ω (∂j))− ∂j (ω (∂i)) .

Se esta relacao vale para duas formas ω, η, ela vale para a sua soma ω + η (de fato ela e linear sobre R, masela nao e linear sobre Ck (M), isto e, se ela vale para ω, em princıpio isso nao implica que ela vale para umaforma do tipo fω). Portanto e suficiente prova-la para formas do tipo fdxk, ou seja, mostrar que

d(fdxk

)(∂i, ∂j) = ∂i

(fdxk (∂j)

)− ∂j

(fdxk (∂i)

)= δkj ∂if − δki ∂jf.

E, de fato,d(fdxk

)= df ∧ dxk + fd2xk = df ∧ dxk,

de modo que

d(fdxk

)(∂i, ∂j) = df ∧ dxk (∂i, ∂j)

= det

[df (∂i) df (∂j)dxk (∂i) dxk (∂j)

]= det

[∂if ∂jfδki δkj

]= δkj ∂if − δki ∂jf.

Agora provamos o resultado para campos do tipo X = f∂i, Y = g∂j :

f∂i (ω (g∂j))− g∂j (ω (f∂i))− ω ([f∂i, g∂j ])

= f∂i (gω (∂j))− g∂j (fω (∂i))− ω (fg [∂i, ∂j ] + f∂ig∂j − g∂jf∂i)= f∂i (gω (∂j))− g∂j (fω (∂i))− ω (f (∂ig) ∂j) + ω (g (∂jf) ∂i)

= f (∂ig)ω (∂j) + fg∂i (ω (∂j))− g (∂jf)ω (∂i)− gf∂j (ω (∂i))

− f (∂ig)ω (∂j) + g (∂jf)ω (∂i)

= fg [∂i (ω (∂j))− ∂j (ω (∂i))]

= fgdω (∂i, ∂j)

= dω (f∂i, g∂j) .

O resultado geral segue agora escrevendo os campos X,Y nas suas formas locais

X =∑

Xi∂i,

Y =∑

Y j∂j ,

observando que se a relacao vale para campos, ela vale para a sua soma.

9.41 Proposicao. Se ω ∈ Λk (M) e X1, . . . , Xk+1 ∈ T1M , entao

dω (X1, . . . , Xk+1) =∑

16i6k+1

(−1)i−1

Xi

(ω(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1

))

+∑

16i<j6k+1

(−1)i+j(ω(

[Xi, Xj ] , X1, . . . , Xi, . . . , Xj , . . . , Xk+1

)).


Prova. Veja [Lee 1], Proposicao 14.32, pp. 370-371.

9.42 Proposicao. Se ω, η ∈ Λ (M) e X ∈ T1M , entao(i) (Regra do Produto)

LX (ω ∧ η) = (LXω) ∧ (η) + ω ∧ (LXη) .

(ii) (Formula de Homotopia de Cartan ou Formula Magica de Cartan)

LX = dıX + ıXd.

(iii) (Comutatividade da Derivada de Lie e da Derivada Exterior)

LX (dω) = d (LXω) .

Prova. (i) Segue da Proposicao 9.31 e da regra do produto para d/dt

[LX (ω ∧ η)]p =d

dtϕ∗t (ω ∧ η)p

∣∣∣∣t=0

=d

dt

[(ϕ∗tω)p ∧ (ϕ∗t η)p

]∣∣∣∣t=0

=d

dt(ϕ∗tω)p

∣∣∣∣t=0

∧ (ϕ∗0η)p + (ϕ∗0ω)p ∧d

dt

[(ϕ∗t η)p

]∣∣∣∣t=0

= (LXω)p ∧ ηp + ωp ∧ (LXη)p .

(ii) Provaremos queLXω = dıXω + ıXdω

por inducao em k = degω. Quando k = 0 temos

dıXf + ıXdf = ıXdf

= X y df

= df (X)

= LXf.

Seja k > 1 e assuma a formula provada para todas as formas de grau menor que k. Se

ω =∑I

ωI dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

e uma k-forma arbitraria, denotamos

ωI = ωI dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

e por linearidade basta provar o resultado para cada ωI .Escrevemos

ωI = dxi1 ∧(ωI dx

i2 ∧ . . . ∧ dxik)

= dxi1 ∧ ηI ,


onde ηI = ωI dxi2 ∧ . . . ∧ dxik e uma (k − 1)-forma. Daı, por (i), pelo Corolario 6.50 e pela hipotese de

inducao,

LXωI = LXdx

i1 ∧ ηI + dxi1 ∧ LXηI

= d(Xxi1

)∧ ηI + dxi1 ∧ (dıXηI + ıXdηI)

= d(Xxi1

)∧ ηI + dxi1 ∧ d (ıXηI) + dxi1 ∧ ıX (dηI) .

Por outro lado, notando que

ıX(dxi1

)= X y dxi1

= dxi1 (X)

= Xxi1 ,

temos

dıX(ωI)

= d[ıX(dxi1 ∧ ηI

)]= d

[ıX(dxi1

)∧ ηI − dxi1 ∧ ıXηI

]= d

[ıX(dxi1

)∧ ηI

]− d

(dxi1 ∧ ıXηI

)= dıX

(dxi1

)∧ ηI + ıX

(dxi1

)∧ dηI

+ dxi1 ∧ d (ıXηI)

= d(Xxi1

)∧ ηI +

(Xxi1

)dηI

+ dxi1 ∧ d (ıXηI)

e

ıXd(ωI)

= ıXd(dxi1 ∧ ηI

)= −ıX

(dxi1 ∧ dηI

)= −ıX

(dxi1

)∧ dηI + dxi1 ∧ ıX (dηI)

= −(Xxi1

)dηI + dxi1 ∧ ıX (dηI) ,

de modo que

(dıX + ıXd)ωI = d(Xxi1

)∧ ηI + dxi1 ∧ d (ıXηI) + dxi1 ∧ ıX (dηI)

= LXωI .

(iii) Segue de (ii) e d2 = 0: temos

LX (dω) = dıXdω + ıXd2ω

= dıXdω

e

d (LXω) = d (dıX + ıXd)ω

= d2ıX + dıXdω

= dıXdω.


9.10 Conexao e Curvatura na Linguagem de Formas – O Metododo Referencial Movel

Nesta secao vamos descrever as ideias de Cartan sobre o referencial movel, o que equivale a entender aconexao, a derivada covariante e a curvatura na linguagem de formas.

O metodo do referencial movel e bastante conhecido do estudo geometrico de curvas diferenciaveis emR3, ou seja, variedades unidimensionais imersas ou mergulhadas no espaco euclidiano R3 com a metricainduzida, atraves do referencial de Frechet (mais conhecido como o triedro de Frechet), definido apenas empontos das curvas.

Considere uma variedade diferenciavel M dotada de uma conexao ∇. Em um aberto U de M , considereum referencial local e= e1, . . . , en. Assim como em uma curva em R3 podemos obter suas propriedadesgeometricas (por exemplo sua curvatura) atraves da descricao quantitativa de como o triedro de Frechet semove ao longo da curva, vamos descrever quantitativamente como o referencial e varia (apesar do nome, aquinao ha movimento) ao longo da vizinhanca U de M para obter informacoes sobre a conexao e sua curvaturaassociada.

9.10.1 A 1-forma Conexao

9.43 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇ e e= e1, . . . , en umreferencial local em uma vizinhanca U de M . Escrevemos a conexao na forma

∇Xei =

n∑j=1

ωji (X) ej ,

com ωji ∈ Λ1 (U). A

As 1-formas ωji sao chamadas as formas locais da conexao em relacao ao referencial e.

Aqui usamos o fato da conexao ser C∞ (M)-linear em relacao a primeira variavel. Como em geral naoexiste um referencial global, as formas da conexao sao quase sempre locais. Intuitivamente, como ∇Xei esimplesmente a derivada direcional do campo ei na direcao X e ωji (X) e simplesmente a componente desta

derivada direcional na direcao ej , interpretamos ωji (Xp) como dando a taxa com que o campo ei gira nadirecao de (ej)p ao longo da curva em p com vetor tangente Xp.

Omitindo o subescrito X temos

∇ei =

n∑j=1

ωji (·) ej ,

que podemos escrever mais claramente, escolhendo multiplicacao de vetores por escalares a esquerda (emum espaco vetorial ela produz o mesmo vetor da multiplicacao por escalar a direita),

∇ei =

n∑j=1

ejωji ,

isto e, para calcular ∇Xei simplesmente aplicamos o lado direito no campo X:

∇Xei =

n∑j=1

ejωji (X) .

Portanto, associado a cada referencial local temos uma matriz de 1-formas

ω =(ωij),


chamada a matriz da conexao. Em cada referencial local a conexao e representada pela matriz da conexaoque, diferentemente da conexao propriamente dita que e um objeto global, existe apenas localmente (excetonos casos em que a variedade e paralelizavel e existe um referencial global).

No caso de um referencial coordenado ∂ = ∂1, . . . , ∂n, temos

∇∂i∂j =

n∑k=1

ωki (∂j) ∂k

de modo que a ligacao entre as formas de conexao e os sımbolos de Christoffel e dada por

ωki (∂j) = Γkij ,

isto e,

ωki =

n∑j=1

Γkijdxj .

Em geral definiremos os sımbolos de Christoffel associados a um referencial e, arbitrario, nao neces-sariamente o referencial coordenado ∂, pela equacao acima, isto e,

∇eiej =

n∑k=1

ωki (ej) ek =

n∑k=1

Γkijek,

ou seja,

Γkij = ωki (ej)

e

ωki =

n∑j=1

Γkijej ,

onde ej denota a forma dual de ej , isto e, ej (ei) = δij .

9.10.2 Mudanca de Referencial

Se tivermos no aberto U dois referenciais e, e′ ∈ T (U)

e = e1, . . . , en ,e′ = e′1, . . . , e′n ,

eles estao relacionados por uma mudanca de referencial de e para e′

e′i = Ajiej ,

para alguma aplicacao diferenciavel A : U −→ GLn (R), ou seja,

ei|p = Aji (p) ej |p

Faz sentido pensar em A como uma aplicacao diferenciavel considerando GLn (R) como um grupo de Lie (que

e uma variedade diferenciavel; veja o capıtulo correspondente neste livro) ou como um aberto de Rn2

. Dequalquer modo, A e diferenciavel se e somente se as funcoes entradas sao, isto e, se e somente se Aji ∈ C∞ (U).


9.44 Proposicao. Sejam e, e′ ∈ T (U) dois referenciais locais definidos em um mesmo aberto U de M eA : U −→ GLn (R) a mudanca de referencial de e para e′.

Se ω e a matriz de conexao associada ao referencial e e ω′ e a matriz de conexao associada ao referenciale′, entao

ω′ = A−1ωA+A−1dA,

isto e,

(ω′)ij =

(A−1

)ikωkl A

lj +

(A−1

)ikdAkj .

Prova. Note que dA e simplesmente a matriz cujas entradas sao as diferenciais das entradas de A.Observe que como X (f) = df (X), podemos expressar a regra do produto da conexao

∇X (fY ) = f∇XY +X (f)Y

na forma (omitindo o subescrito X e admitindo multiplicacao por escalares a direita)

∇ (fY ) = f∇Y + Y df.

Daı, usando a notacao de Einstein,

e′i (ω′)ij = ∇e′j

= ∇(Aljel

)= Alj∇el + eldA

lj

= Aljωkl ek + eldA

lj

= Aljωkl

(A−1

)ike′i +

(A−1

)ile′idA

lj

= e′i

[(A−1

)ikωkl A

lj +

(A−1

)ildAlj

].

Usando esta formula para a transformacao da matriz de conexao com respeito a uma mudanca de refe-

renciais, podemos dar uma definicao independente de conexao via formas diferenciais:

9.45 Definicao. Uma 1-forma conexao em uma variedade M e a associacao de uma matriz ω =(ωij)

de1-formas a cada referencial local e tal que se e, e′ sao dois referenciais locais definidos em um mesmo abertoU de M e A : U −→ GLn (R) e a mudanca de referencial de e para e′, entao

ω′ = A−1ωA+A−1dA.

9.10.3 As 2-formas Torsao e Curvatura

9.46 Definicao. Sejam ω a matrix da conexao de 1-formas e e a matriz coluna das 1-formas duais a umreferencial local.

Definimos a 2-forma torsao por

θ = de+ ω ∧ e

e a 2-forma curvatura por

Ω = dω + ω ∧ ω.


Em termos das entradas destas matrizes,

θi = dei +

n∑k=1

(ωik ∧ ek

)e

Ωij = dωij +

n∑k=1

(ωik ∧ ωkj

).

9.11 Exercıcios

9.47 Exercıcio. Prove que, se k > 3,

T k (V ∗) 6= Σk (V ∗)⊕

Λk (V ∗) .

Calcule e compare

dimT k (V ∗) ,

dim Σk (V ∗) ,

dim Λk (V ∗) .

9.48 Exercıcio. Mostre que o fibrado tensorial alternado e uma variedade diferenciavel.

Capıtulo 10

Variedades Orientaveis

10.1 Orientabilidade

Em geral, dizemos que duas bases em um espaco vetorial tem a mesma orientacao se a matriz de mudanca decoordenadas que leva uma base na outra tiver determinante positivo; caso contrario, elas possuem orientacoesopostas. Escolher uma base como tendo orientacao positiva e escolher uma orientacao para o espaco vetorial.Qualquer outra base do espaco vetorial tera orientacao positiva se a matriz de mudanca de coordenadas queleva uma base na outra tiver determinante positivo; caso contrario, dizemos que a outra base tem orientacaonegativa. Isso define uma relacao de equivalencia para as bases de um espaco vetorial com exatamente duasclasses de equivalencia.

Podemos escolher uma orientacao para cada plano tangente TMp de uma variedade diferenciavel, masgostarıamos que esta escolha fosse coerente, que espacos tangentes de pontos de uma mesma vizinhancatenham a mesma orientacao e que esta nao dependa da carta.

10.1 Definicao. Uma variedade diferenciavel M e orientavel se ela possui um atlas coerente Φ, isto e,tal que para todos ϕα, ϕβ ∈ Φ temos

det d(ϕβ ϕ−1

α

)> 0.

Uma escolha de um tal atlas e uma orientacao para a variedade e quando esta escolha foi feita, dizemosque a variedade foi orientada.

Cartas coerentes com a orientacao sao chamadas positivas, assim como as bases associadas a estas cartas.Dizemos tambem que uma base de TMp e positiva se ela e coerente com uma base coordenada positiva,isto e, o determinante da matriz de mudanca entre as bases e positiva.

Quando uma superfıcie nao possui nenhum atlas com esta propriedade, dizemos que ela e nao-orientavel.

Em outras palavras, um atlas e coerente se os determinantes das derivadas das mudancas de coordenadas detodas as cartas deste atlas sao sempre positivos. Observe que orientabilidade e uma propriedade global deuma variedade.

10.2 Exemplo. Toda variedade cujo atlas possui uma unica carta e orientavel, pois o atlas consistindo destaunica carta e trivialmente coerente. Assim, o conceito de orientabilidade para superfıcies parametrizadasregulares em Rn e trivial. Em particular, superfıcies regulares que sao graficos de funcoes sao orientaveis.

Variedades que podem ser cobertas por duas cartas cuja intersecao e um conjunto conexo tambem saoorientaveis. Se na intersecao o determinante da derivada da mudanca de coordenadas e negativo, bastatrocar a ordem das variaveis em uma das cartas, para mudar o sinal do determinante e assim obter um atlas

205


coerente. Por exemplo, a esfera Sn pode ser coberta por duas projecoes estereograficas que se interceptamao longo de um conjunto conexo (a intersecao e a esfera menos os polos), logo e uma variedade orientavel.

10.3 Definicao. Sejam M,N variedades orientaveis e F : M −→ N um difeomorfismo.Dizemos que F preserva orientacao se dF leva bases positivas de M em bases positivas de N .Dizemos que F reverte orientacao se dF leva bases positivas de M em bases positivas de N .

10.2 Superfıcies Orientaveis e Campos Normais

10.4 Teorema. Uma hiperfıcie regular M ⊂ Rn+1, k > 1, e orientavel se e somente se existe um camponormal unitario N : M −→ Rn+1 de classe Ck−1.

Prova: M orientavel =⇒ M possui um campo normal unitario.Seja Φ um atlas coerente para M . Para cada ponto p ∈M defina N (p) por

N (p) = N(ϕ−1 (x)

)=

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥onde a base coordenada e arbitraria e sao identificado com vetores de Rn+1. N esta bem definida porque setomarmos qualquer outra base coordenada, se ϕψ−1 e a mudanca de coordenadas entre elas, vale a relacao

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn= det d

(ϕ ψ−1

) ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn.

Como o determinante e positivo, conclui-se que

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn∥∥∥∥ ∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn

∥∥∥∥ =

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥ .A aplicacao N e uma aplicacao diferenciavel de classe Ck−1, ja que o denominador nunca se anula navizinhanca coordenada.M possui um campo normal unitario =⇒ M orientavel.

Seja N : M −→ Rn+1 um campo normal unitario de classe Ck−1. Como k > 1, temos que N e na piordas hipoteses uma aplicacao contınua. Seja Φ um atlas para M tal que cada vizinhanca coordenada e conexa(para obter um atlas assim, basta restrigir as cartas de um atlas arbitrarios as componentes conexas de cadavizinhanca coordenada). Para cada carta (ϕ,U) deste atlas a funcao fϕ : U −→ R definida por

fϕ (p) =

⟨N (p) ,

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥⟩

e pelo menos contınua. Como fϕ toma os valores discretos ±1 e U e conexo, segue que fϕ ≡ 1 ou fϕ ≡ −1.Se fϕ ≡ −1 mudamos a ordem de duas variaveis da carta ϕ. Desta forma, obtemos um atlas Φ para M talque fϕ ≡ 1 para toda ϕ ∈ Φ; em outras palavras,

N (p) =

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥


para toda ϕ ∈ Φ. Se ϕ,ψ ∈ Φ, como

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn∥∥∥∥ ∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn

∥∥∥∥ = N (p) =

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥e

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn= det d

(ϕ ψ−1

) ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn,

segue quedet d

(ϕ ψ−1

)> 0.

10.5 Corolario. Se uma superfıcie regular e a imagem inversa de um valor regular, entao ela e orientavel.

Prova: Seja M = f−1 (c), c ∈ R um valor regular de uma funcao diferenciavel f . Dado um ponto p ∈ M ,considere uma curva α : I −→M satisfazendo α (t0) = p. Escreva

α (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

).

Comof(x1 (t) , . . . , xn (t)

)= c,

derivando em relacao a t, segue da regra da cadeia que

n∑i=1

∂f

∂xi(p)(xi)′

(t) = 0,

ou seja, o vetor gradiente de f

∇f (p) :=

(∂f

∂x1(p) , . . . ,

∂f

∂xn(p)

)e normal ao vetor tangente α′ (t) e nunca se anula, ja que c e um valor regular de f . Como isso vale paratodas as curvas em M , segue que

N (p) =∇f (p)

‖∇f (p)‖define um campo normal unitario global em M de classe de diferencialidade um a menos que a classe dediferenciabilidade da funcao f .

10.6 Corolario. Seja M ⊂ Rn+1 uma superfıcie regular orientavel. Se γ : [a, b] −→M e uma curva regularfechada e N : [a, b] −→ Rn+1 e um campo normal unitario contınuo ao longo da curva γ, entao N (a) = N (b).

Prova: Pelo Teorema 10.4 existe um campo normal unitario contınuo N : S −→ R3. Como ambos os vetoresN (t) e N (γ (t)) sao normais ao plano tangente Tγ(t)S, segue que

f (t) =⟨N (t) ,N (γ (t))

⟩= ±1.

Como a funcao f : [a, b] −→ R e contınua, devemos ter f ≡ 1 ou f ≡ −1. Em particular,⟨N (a) ,N (γ (a))

⟩=⟨N (b) ,N (γ (b))

⟩.

Mas γ (a) = γ (b), logo N (γ (a)) = N (γ (b)) e forcosamente N (a) = N (b).

10.7 Proposicao. A faixa de Mobius, a garrafa de Klein e o plano projetivo RP2 nao sao orientaveis.


Prova: Considere um cırculo de raio R centrado na origem no plano xy. Em um ponto p0 deste cırculo,suponha posicionado um segmento L de comprimento 2r, com r < R. cujo ponto medio e exatamentep0. Enquanto o ponto medio do segmento percorre uniformemente o cırculo, fazemos o segmento giraruniformemente em torno de seu ponto medio, mantendo uma posicao sempre perpendicular ao vetor tangente,de tal forma que quando o ponto termina de dar uma volta, o segmento da meia volta em torno de seuponto medio. A superfıcie gerada desta forma e uma superfıcie parametrizada, a faixa de Mobius. Suaparametrizacao de acordo com a descricao dada e φ : R× (−r, r) −→ R3 definida por

φ(u, v) =((R+ v cos

u

2

)cosu,

(R+ v cos

u

2

)senu, v sen

u

2

);

u da o angulo de rotacao em torno do cırculo, enquanto que v da a posicao do segmento. Suponha porabsurdo que a faixa de Mobius M e orientavel. Considere o centro da faixa de Mobius M como uma curvafechada regular α : [0, 2π] −→ S dada por

α (t) = (R cos t, R sen t, 0) .

Definimos um campo normal N : [0, 2π] −→ R3 a faixa de Mobius ao longo desta curva, infinitamentediferenciavel, por

N (t) = R

(cos t sen

t

2, sen t sen

t

2,− cos

t

2

).

Este campo e obtido da parametrizacao

φ(u, v) =((R+ v cos

u

2

)cosu,

(R+ v cos

u

2

)senu, v sen

u

2

)calculando-se

N (u) =∂φ

∂u(u, 0)× ∂φ

∂v(u, 0)

= (−R senu,R cosu, 0)×(

cosu

2cosu, cos

u

2senu, sen

u

2

)= R

(cosu sen

u

2, senu sen

u

2,− cos

u

2

)e fazendo t = u. Mas

N (0) = R (0, 0,−1) 6= R (0, 0, 1) = N (2π) ,

contrariando o ultimo corolario.A garrafa de Klein e o plano projetivo contem uma faixa de Mobius, logo nao sao orientaveis (e facil ver

no primeiro caso; no segundo basta tomar uma faixa ocupando metade do equador da esfera S2 e identificaras duas extremidades). Estes resultados valem para subvariedades de codimensao 1 com a orientacao induzida.

10.3 Forma de Volume

10.8 Definicao. Seja Mn uma variedade diferenciavel.Dizemos que uma n-forma

vol ∈ Λn (M)

e uma forma de volume para M se ela nunca se anula, ou seja, se para todo p ∈M

volp 6= 0.


Localmente, uma forma de volume sempre existe: se (ϕ,U) e uma carta, entao

volU = dx1 ∧ . . . ∧ dxn

e uma forma de volume em U ; ela e chamada a forma de volume local em U associada a carta ϕ.Globalmente, a existencia de uma forma de volume e equivalente a variedade ser orientada, como veremos(Teorema 10.14).

10.9 Exemplo. SeB = e1, . . . , en

e a base canonica de Rn entao a forma determinante

volRn = det = e1 ∧ . . . ∧ en

e uma forma de volume para Rn, chamada a forma de volume canonica.

10.10 Exemplo. Uma forma de volume para esfera Sn vista como subvariedade de Rn+1 e definida por

volp (v1, . . . , vn) = det [p v1 . . . vn]

para cada p ∈ Sn. Note que na metrica e orientacao induzida de Rn+1, como p e um vetor unitario normalaos vetores v1, . . . , vn ∈ TSnp , se v1, . . . , vn sao tambem vetores ortonormais, entao [p v1 . . . vn] e uma matrizortogonal e portanto

volp (v1, . . . , vn) = ±1,

o sinal sendo positivo quando B = p, v1, . . . , vk e uma base ortonormal positiva de Rn+1. Assim umaorientacao no espaco ambiente Rn+1 induz uma orientacao na esfera Sn.

10.11 Proposicao. Se F : M −→ N e um difeomorfismo local e volN e uma forma de volume em N , entao

volM = F ∗ volN

e uma forma de volume em M .

Prova. Por definicao,

(volM ) (v1, . . . , vn) = (F ∗ volN )p (v1, . . . , vn)

= (volN )F (p) (dFpv1, . . . , dFpvn)

e como dFp e um isomorfismo, se v1, . . . , vk e uma base, dFpv1, . . . , dFpvk tambem e; como (volN )F (p)

nao se anula nesta ultima, volM nao se anula na primeira.

10.12 Corolario. Se (ϕ,U) e uma carta, entao

volU = ϕ∗ (volRn) .

Consequentemente, se (ϕα, Uα) e (ϕβ , Uβ) sao duas cartas, temos

volUβ = det d(ϕβ ϕ−1

α

)volUα .

Prova. Poisdxi = ϕ∗

(ei),

logodx1 ∧ . . . ∧ dxn = ϕ∗

(e1 ∧ . . . ∧ en

).

A consequencia segue do Corolario 9.31.


10.13 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel que possui uma forma de volume vol.Toda n-forma ω ∈ Λn (M) se escreve na forma

η = f vol

para alguma funcao f ∈ C∞ (M).ω e tambem uma forma de volume se e somente se f nao se anula em nenhum ponto.

Prova. Como dim Λn(TM∗p

)= 1, para cada p ∈M temos

ηp = f (p) volp .

Para mostrar que f e diferenciavel em M , basta provar que f e diferenciavel em qualquer vizinhanca coor-denada. Em uma tal vizinhanca o elemento de volume em coordenadas locais e dado por

vol = ω1···n dx1 ∧ . . . ∧ dxn

para alguma funcao positiva ω1···n ∈ C∞ (M). Portanto, a componente de η nestas coordenadas e

η1···n = fω1···n.

Como η e uma n-forma diferencial se e somente se sua componente local η1···n em qualquer carta e dife-renciavel, segue que

f =η1···n

ω1···n

e diferenciavel em U .

10.14 Teorema. Uma variedade diferenciavel M e orientavel se e somente se ela admite uma forma devolume.

Alem disso, esta forma determina uma orientacao para M .

Prova.Se M e orientavel, entao M possui uma forma de volume.

Seja Φ = (ϕα, Uα) um atlas coerente para M e ρα uma particao da unidade subordinada a coberturaUα. Em cada Uα considere a forma de volume local

volUα = ϕ∗α(e1 ∧ . . . ∧ en

)= dx1

α ∧ . . . ∧ dxnα.

e defina uma n-forma em M por

vol =∑α

ρα volUα .

Para verificar que vol e uma forma de volume, basta provar que ela nao se anula em nenhum ponto p ∈M .Fixe α tal que p ∈ Uα. Para os ındices β tais que ρβ (p) 6= 0 (lembre-se que ha apenas um numero finitodeles) temos, pelo Corolario 10.12,

volp =∑β

ρβ (p)(volUβ

)p

=∑β

ρβ (p)[det d

(ϕβ ϕ−1

α

)ϕ−1α (p)

(volUα)p

]

=

∑β

ρβ (p) det d(ϕβ ϕ−1

α

)ϕ−1α (p)

(volUα)p


Como

ρβ (p) > 0,

d(ϕβ ϕ−1

α

)ϕ−1α (p)

> 0,

(volUα)p 6= 0,

segue que volp 6= 0.Se M possui uma forma de volume, entao M e orientavel.

Seja vol uma forma de volume em M e Φ = (ϕα, Uα) um atlas para M . Vamos usar vol para construir

a partir de Φ um novo atlas Φ para M que e coerente.Em coordenadas locais de Uα vale

vol = fαdx1α ∧ . . . ∧ dxnα

e as funcoes fα portanto nunca se anulam. Se fα > 0, tomamos(ϕα, Uα

)= (ϕα, Uα) ,

fα = fα.

Se fα < 0, obtemos ϕα compondo ϕα com uma aplicacao que reverte orientacao: se L e uma aplicacao linearque muda o sinal de uma das coordenadas de Rn, definimos(

ϕα, Uα

)= (L ϕα, L Uα) .

fα = fα.

A carta(ϕα, Uα

)entao satisfaz

vol = fαdx1α ∧ . . . ∧ dxnα

comfα > 0

para todo ındice α.

Para provar que o atlas Φ =(ϕα, Uα

)e coerente, observe que na intersecao Uα ∩ Uβ temos

fβ dx1β ∧ . . . ∧ dxnβ = fα dx

1α ∧ . . . ∧ dxnα,

enquanto que pelo Corolario 9.31 vale

fα dx1α ∧ . . . ∧ dxnα = fα det d

(ϕα ϕ−1

β

)dx1

β ∧ . . . ∧ dxnβ ,

de modo que

fβ = fα det d(ϕα ϕ−1

β

).

Como fα, fβ > 0, concluımos que

det d(ϕα ϕ−1

β

)> 0.

10.15 Corolario. Se M,N sao variedades diferenciaveis difeomorfas e N e uma variedade orientavel, entaoM e orientavel.

Em particular, o plano projetivo e a garrafa de Klein nao sao difeomorfos a esfera e ao toro.


Prova. Seja F : M −→ N um difeomorfismo. Como N e orientavel, N admite uma forma de volume volN .Entao

volM = F ∗ volN

e uma forma de volume para M , logo M e orientavel.

10.16 Definicao. Se M e uma variedade orientada, dizemos que uma forma de volume para M e consis-tente com a orientacao de M se ela induz a mesma orientacao pelo teorema anterior.

Em outras palavras, se (ϕ,U) e uma carta positiva e ω e uma forma de volume para M , entao nestascoordenadas

ω = f dx1 ∧ . . . ∧ dxn

com f > 0. De agora em diante, se M e uma variedade orientada e volM e uma forma de volume para M ,assumiremos que ela e consistente com a orientacao de M .

10.4 Orientacao Induzida no Bordo

10.17 Definicao. Seja M uma variedade com bordo e p ∈ ∂M um ponto do bordo.Dizemos que um vetor v ∈ TMp\T (∂M)p aponta para fora de M se existe uma curva

γ : (−ε, 0] −→M

tal que γ (0) = p e γ′ (0) = v. Denotamos isso por v ∈ TM inp .

Dizemos que um vetor v ∈ TMp\T (∂M)p aponta para dentro de M se existe uma curva

γ : [0, ε) −→M

tal que γ (0) = p e γ′ (0) = v. Denotamos isso por v ∈ TMoutp .

Note que v aponta para fora se e somente se −v aponta para dentro.

10.18 Definicao. Seja M uma variedade com bordo.Dizemos que um campo vetorial X ∈ T (M) aponta para fora de M ao longo de ∂M se para todo

p ∈ ∂M o vetor Xp aponta para fora de M . Denotamos o subconjunto dos campos vetoriais apontando parafora de M por Tout (M).

Dizemos que um campo vetorial X ∈ T (M) aponta para dentro de M ao longo de ∂M se para todop ∈ ∂M o vetor Xp aponta para dentro de M . Denotamos o subconjunto dos campos vetoriais apontandopara dentro de M por Tin (M).

10.19 Proposicao. Sejam M uma variedade com bordo, (ϕ,U) uma carta para p ∈ ∂M e X ∈ T (M) umcampo vetorial que se escreve em coordenadas na carta (ϕ,U) como

X =

n∑i=1

Xi∂i.

X aponta para dentro de M ao longo de ∂M entao em ∂M se e somente se

Xn > 0.

X aponta para fora de M ao longo de ∂M entao em ∂M se e somente se

Xn < 0.


Prova. Seja q ∈ ∂M ∩ U um ponto arbitrario. Sejam

x0 = ϕ (q) ∈ ∂Hn,v = dϕq (Xq) .

Por definicao,

v =

n∑i=1

Xi (q) ei.

A semi-retaα+ (t) = x0 + tv

esta dentro de Hn se e somente se Xn (q) > 0 e a semi-reta

α− (t) = x0 − tv

esta dentro de Hn se e somente se Xn (q) < 0. No primeiro caso, obtemos uma curva

γ+ = ϕ α+ : [0, ε) −→M

com γ+ (0) = p e (γ+)′(0) = Xq logo Xq aponta para dentro de M , enquanto que no segundo caso obtemos

uma curvaγ− = ϕ α− : (−ε, 0] −→M

com γ+ (0) = p e (γ−)′(0) = Xq logo Xq aponta para fora de M .

Reciprocamente, se Xq aponta para dentro de M , entao existe uma curva

γ+ : [0, ε) −→M

tal que γ (0) = p e γ′ (0) = Xq. Definindo

β+ = ϕ−1 γ+,

segue que β+ e uma curva dentro de Hn comecando em x0 com velocidade v, logo v deve ter a coordenadaXn (q) > 0. Se Xq aponta para fora de M , entao existe uma curva

γ− : (−ε, 0] −→M

tal que γ (0) = p e γ′ (0) = Xq. Definindo

β− = ϕ−1 γ−,

segue que β− e uma curva dentro de Hn terminando em x0 com velocidade v, logo v deve ter a coordenadaXn (q) < 0.

10.20 Corolario. Seja M uma variedade com bordo e p ∈ ∂M um ponto do bordo. Entao

TMp = T (∂M)p ∪ TMinp ∪ TMout

p .

10.21 Proposicao. Seja M uma variedade com bordo. Entao existem campos em M apontando para dentrode M ao longo de ∂M e campos apontando para fora de M ao longo de ∂M .

Prova. Seja Φ = (ϕα, Uα)Para definir um campo apontando para dentro, basta definir campos locais Xα

em Uα apontando para dentro atraves de semi-retas orientadas para dentro de Hn, como na demonstracao daProposicao 10.19, e usar uma particao da unidade ρα para colar estes campos obtendo um campo global

X =∑α

ραXα.

Se p ∈ ∂M , como ρα (p) > 0 para todo p, segue que a soma Xp tambem aponta para dentro.Para definir um campo apontando para fora, basta usar campos locais Xα em Uα apontando para fora

atraves de semi-retas orientadas para fora de Hn.


10.22 Teorema. Se M e uma variedade orientada, entao ∂M e orientavel e qualquer campo em M apon-tando para fora de M ao longo de ∂M determina a mesma orientacao em ∂M , enquanto que qualquer campoem M apontando para dentro de M ao longo de ∂M determina a orientacao oposta em ∂M .

Prova. Se ı : ∂M −→M e a inclusao e X aponta para fora de M ao longo de ∂M , definimos uma forma devolume em ∂M por

ı∗ (X y volM )

e orientamos ∂M com a orientacao induzida por esta forma de volume. Para verificar que esta orientacaoindepende do campo apontando para fora escolhido, seja Y outro campo em M apontando para fora. Emcoordenadas locais em p ∈ ∂M , temos

Xnp , Y

np < 0.

Segue que

Bp =Xp, ∂1|p , . . . , ∂n−1|p

,

B′p =Yp, ∂1|p , . . . , ∂n−1|p

,

sao bases com a mesma orientacao, pois a matriz de mudanca de base de Bp para B′p tem determinanteXnp /Y

np > 0. Em particular,

(X y volM )(∂1|p , . . . , ∂n−1|p

)= ω

(Xp, ∂1|p , . . . , ∂n−1|p

),

(Y y volM )(∂1|p , . . . , ∂n−1|p

)= ω

(Yp, ∂1|p , . . . , ∂n−1|p

),

pullback para formas de volume em ∂M associadas a mesma orientacao.

10.23 Definicao. Seja M uma variedade com bordo.A orientacao determinada por um campo apontando para fora de M e chamada a orientacao induzida

de ∂M .

10.24 Exemplo (Orientacao induzida em ∂Hn). A orientacao induzida em ∂Hn = Rn−1 × 0 e dadapelo campo constante apontando para fora −en. Segue que a inclusao canonica

ı : Rn−1 −→ Rn,

ou seja, o difeomorfismo ı : Rn−1 −→ ∂Hn, preserva orientacao quando n e par e reverte orientacao quandon e ımpar, pois

(−en y volRn) (e1, . . . , en−1) = det (−en, e1, . . . , en−1)

= −det (en, e1, . . . , en−1)

= (−1)n.

10.5 Forma de Volume Riemanniana

A metrica riemanniana permite definir uma forma de volume canonica em uma variedade riemannianaorientada. Ela corresponde a escolher a funcao determinante unicamente determinada a partir de qualquercubo unitario dado pela metrica riemanniana e orientado positivamente pela orientacao da variedade.


De fato, considere uma variedade riemanniana orientada M e dado p ∈ M fixe uma base ortonormalpositiva para TMp

Bp =e1|p , . . . , en|p

.

Definimos de maneira naturalvol [e1, . . . , en] = 1.

Seja (ϕ,U) uma carta positiva de p e escreva os vetores da base coordenada de TMp associada a carta ϕ

Bp,ϕ =∂1|p , . . . , ∂n|p

em coordenadas em relacao a Bp:

∂i|p = Aki ek

para i = 1, . . . , n. Entao

gij (p) =⟨∂i|p , ∂j |p

⟩p

=⟨Aki ek, A

ljel⟩p

= AkiAlj 〈ek, el〉p

= δklAkiA

lj

=

n∑k,l=1

AkiAkj .

Portanto, se G = (gij) e A =(Aij)

denotam as matrizes destes coeficientes, temos

G (p) = ATA

dondedetG = (detA)

2.

Denotando por vol [v1, . . . , vn] o volume do paralelepıpedo formado pelos vetores v1, . . . , vn ∈ TMp, temos

vol[∂1|p , . . . , ∂n|p

]= detA vol [e1, . . . , en]

= detA

=√

detG (p) .

10.25 Definicao. Seja (Mn, g) uma variedade riemanniana orientada.A forma de volume riemanniana volg e a forma de volume definida localmente em cada carta positiva

(ϕ,U) por

volg =√

detGdx1 ∧ . . . ∧ dxn

onde G = (gij).

10.26 Proposicao. A forma de volume riemanniana esta bem definida.

Prova. Se (ϕ,U) , (ψ, V ) sao cartas positivas de uma vizinhanca de p e

Bp,ϕ = ∂ϕ1 , . . . , ∂ϕn ,

Bp,ψ =∂ψ1 , . . . , ∂

ψn

,


as respectivas bases coordenadas de TMp, temos

∂ϕi =

n∑j=1

∂(ψ ϕ−1

)j∂xi

∂ψj .

Denote

gij =⟨∂ϕi , ∂

ϕj

⟩,

hij =⟨∂ψi , ∂

ψj

⟩,

e

G = (gij) ,

H = (hij) .

Segue que

√detG = vol [∂ϕ1 , . . . , ∂

ϕn ]

= det d(ψ ϕ−1

)vol[∂ψ1 , . . . , ∂

ψn

]= det d

(ψ ϕ−1

)√detH.

Portanto, volg coincide na intersecao U ∩ V das cartas ϕ,ψ:

volg =√

detGdx1 ∧ . . . ∧ dxn

=√

detH det d(ψ ϕ−1

)dx1 ∧ . . . ∧ dxn

=√

detHdy1 ∧ . . . ∧ dyn.

10.6 Operador Estrela de Hodge

Localmente:

10.27 Definicao. Para cada k definimos o operador linear estrela de Hodge

∗ : Λk (Rn) −→ Λn−k (Rn)

em k-formas elementares dxI por∗dxI = dxJ ,

onde dxJ e a (n− k)-forma elementar tal que

dxI ∧ dxJ = dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

Em outras palavras, a estrela de Hodge da k-forma dxI e a unica (n− k)-forma dxJ tal que o produtoexterior de dxI e dxJ e a forma volume de Rn. O significado geometrico do operador estrela de Hodge e oseguinte. Em nıvel de geradores, se ω e uma k-forma e

v1, . . . , vk


e uma base ortonormal tal queω = v1 ∧ . . . ∧ vk,

onde vi denota a 1-forma dual de vi com relacao ao produto interno de Rn, isto e, vi (vj) = δij . O nucleo deω e o subespaco ortogonal complementar ao subespaco 〈v1, . . . , vk〉 de Rn de dimensao n − k. Escolhemosuma base ortonormal

vk+1, . . . , vn

orientada de tal forma quev1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn

e positivamente orientada. Entao ∗ω = vk+1 ∧ . . . ∧ vn.

10.28 Exemplo. Em R3, temos

∗1 = dx ∧ dy ∧ dz,∗dx = dy ∧ dz,∗dy = −dx ∧ dz,∗dz = dx ∧ dy,

∗ (dx ∧ dy) = dz,

∗ (dx ∧ dz) = −dy,∗ (dy ∧ dz) = dx,

∗ (dx ∧ dy ∧ dz) = 1.

10.6.1 Produto Interno de Formas

Para definir o operador estrela de Hodge para formas diferenciais, primeiro definimos o produto interno deformas.

10.29 Definicao. Seja V um espaco vetorial com produto interno.O produto interno em Λ1 (V ) e definido de maneira natural por

〈ω, η〉 =⟨ω], η]

⟩.

Isso induz um produto interno em Λk (V ) definindo⟨ω1 ∧ . . . ∧ ωk, η1 ∧ . . . ∧ ηk

⟩= det

[⟨ωi, ηj

⟩]onde ω1, . . . , ωk, η1, . . . , ηk sao 1-formas.

Logo, se

ω = ωiei,

η = ηjej ,

sao 1-formas, de modo que

ω] = ωiei,

η] = ηjej ,

entao〈ω, η〉 = gijω

iηj . (10.1)


Usando o fato que

ωi = girωr,

ηj = gjsηs,

segue que〈ω, η〉 = gijg

irgjsωrηs = δrjgjsωrηs = grsωrηs,

que destacamos para referencia〈ω, η〉 = grsωrηs. (10.2)

Em particular, ⟨ei, ej

⟩= gij (10.3)

e a baseB∗ =

e1, . . . , en

e ortonormal se e somente se

B = e1, . . . , enfor ortonormal.

Para k-formas elementares eI , eJ temos⟨eI , eJ

⟩= det

[⟨eir , ejs

⟩]=∑σ∈Sk

(signσ)⟨ei1 , eσ(i1)

⟩. . .⟨eik , eσ(ik)

⟩.

ou ⟨eI , eJ

⟩= det

[⟨eir , ejs

⟩]r,s=1,...,k

= det[girjs

]r,s=1,...,k

Em particular,BI =

ei1 ∧ . . . ∧ eik

i1,...,ik=1,...,ni1<...<ik

e ortonormal se e somente seB = e1, . . . , en

for ortonormal. Em uma base ortonormal, se

ω =∑I

ωIeI ,

η =∑J

ηJeJ ,

sao k-formas, entao

〈ω, η〉 =∑I

ωIηI .

Caso contrario, se

ω =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

ωi1...ikei1 ∧ . . . ∧ eik ,

η =

n∑j1,...,jk=1j1<...<jk

ηj1...jkej1 ∧ . . . ∧ ejk ,


entao

〈ω, η〉g =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jk=1i1<...<ikj1<...<jk

ωi1...ikηj1...jk(ei1 ∧ . . . ∧ eik

) (ej1 ∧ . . . ∧ ejk

)

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jk=1i1<...<ikj1<...<jk

gi1j1...gikjkωi1...ikηj1...jk .

10.30 Exemplo (Produto Interno de Formas no Espaco de Minkowski). O produto interno de1-formas

ω = ω0 dt+ ω1 dx+ ω2 dy + ω3 dz,

η = η0 dt+ η1 dx+ η2 dy + η3 dz,

em M4 e dado por〈ω, η〉 = −ω0η0 + ω1η1 + ω2η2 + ω3η3.

Para calcular o produto interno de 2-formas no espaco de Minkowski, calculamos⟨dxi1 ∧ dxi2 , dxj1 ∧ dxj2

⟩= det

[⟨dxir , dxjs

⟩]r,s=1,2

= det

[ ⟨dxi1 , dxj1

⟩ ⟨dxi1 , dxj2

⟩⟨dxi2 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩ ]=⟨dxi1 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩−⟨dxi1 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩,

e usamos a bilinearidade do produto interno. Temos, portanto,

〈dt ∧ dx, dt ∧ dx〉 = −1,

〈dt ∧ dy, dt ∧ dy〉 = −1,

〈dt ∧ dz, dt ∧ dz〉 = −1,

〈dx ∧ dy, dx ∧ dy〉 = 1,

〈dx ∧ dz, dx ∧ dz〉 = 1,

〈dy ∧ dz, dy ∧ dz〉 = 1,

e nos demais casos ⟨dxi1 ∧ dxi2 , dxj1 ∧ dxj2

⟩= 0;

isto e exatamente a ortonormalidade da base

BI =dxi ∧ dxj

i,j=0,1,2,3

i<j,

que poderıamos ter usado logo de inıcio para obter as relacoes acima.Para calcular o produto interno de 3-formas no espaco de Minkowski, calculamos⟨

dxi1 ∧ dxi2 ∧ dxi3 , dxj1 ∧ dxj2 ∧ dxj3⟩

= det[⟨dxir , dxjs

⟩]r,s=1,2,3

= det

⟨dxi1 , dxj1⟩ ⟨dxi1 , dxj2

⟩ ⟨dxi1 , dxj3

⟩⟨dxi2 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩ ⟨dxi2 , dxj3

⟩⟨dxi3 , dxj1

⟩ ⟨dxi3 , dxj2

⟩ ⟨dxi3 , dxj3

⟩ ,


ou usamos imediatamente a ortonormalidade, obtendo

〈dt ∧ dx ∧ dy, dt ∧ dx ∧ dy〉 = det

〈dt, dt〉〈dt, dx〉〈dt, dy〉〈dx, dt〉〈dx, dx〉〈dx, dy〉〈dy, dt〉〈dy, dx〉〈dy, dy〉

= det

−1 0 00 1 00 0 1

= −1,

〈dt ∧ dy ∧ dz, dt ∧ dy ∧ dz〉 = −1,

〈dt ∧ dx ∧ dz, dt ∧ dx ∧ dz〉 = −1,

〈dx ∧ dy ∧ dz, dx ∧ dy ∧ dz〉 = 1,

e nos demais casos ⟨dxi1 ∧ dxi2 ∧ dxi3 , dxj1 ∧ dxj2 ∧ dxj3

⟩= 0.

Para 4-formas, temos〈dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz, dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz〉 = −1.

10.31 Definicao. Seja M uma variedade metrica. O produto interno de formas diferenciais ω, η ∈Λk (M) e definido ponto a ponto por

〈ω, η〉 (p) = 〈ωp, ηp〉gp .

O produto interno L2 de formas diferenciais ω, η ∈ Λk (M) com suporte compacto e definido global-mente por

〈ω, η〉L2 =

∫M

〈ω, η〉 d volg .

10.6.2 Estrela de Hodge de Formas Diferenciais

10.32 Proposicao. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana ou de Lorentz orientada e

d volg =√|det g|dx1 ∧ . . . ∧ dxn

sua forma volume.Entao para cada k existe um unico operador linear

∗ : Λk (M) −→ Λn−k (M)

chamado o operador estrela de Hodge tal que

ω ∧ ∗η = 〈ω, η〉g d volg .

Prova. Veja Exercıcio 16-18 em [Lee 1].

10.33 Proposicao. Se (M, g) e uma variedade riemanniana orientada entao

∗(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)= (signσ)

(dxj1 ∧ . . . ∧ dxjn−k

),

ondej1, . . . , jn−k = 1, . . . , n − i1, . . . , ik


e σ e a permutacao(1, . . . , n) 7→ (i1, . . . , ik, j1, . . . , jn−k) .

Se (M, g) e uma variedade Lorentziana orientada entao

∗(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)= (signσ) ηi1 . . . ηik

(dxj1 ∧ . . . ∧ dxjn−k

),

onde ηij := ηijij =⟨∂xij , ∂xij

⟩sao os coeficientes da metrica de Lorentz.

Prova. Pagina 89 de [Baez-Muniain]. Introduzindo o sımbolo de Levi-Civita por

εi1...in =

sign (i1, . . . , in) se todos os ındices ij sao distintos,0 caso contrario,

segue que (∗dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)j1...jn−k

= εi1...ikj1...jn−kdxj1 ∧ . . . ∧ dxjn−k . (10.4)

e seω = ωi1...ikdx

i1 ∧ . . . ∧ dxik ,

entao(∗ω)j1...jn−k = εi1...ikj1...jn−kωi1...ik .

10.34 Corolario. Se ω e uma k-forma em uma variedade riemanniana orientada, entao

∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)

ω.

Em uma variedade de Lorentz orientada,

∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)+1

ω.

Em uma variedade metrica com assinatura (p, q) orientada,

∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)+p

ω.

Prova. Veja Exercıcio 67 (p. 91) em [Baez-Muniain]. O primeiro segue tambem facilmente de

sign (k + 1, . . . , n, 1, . . . , k) = (−1)k(n−k)

.

O operador estrela de Hodge e um isomorfismo isometrico.

10.35 Exemplo (Estrela de Hodge no Espaco de Minkowski). Em M4, usando (10.4), com

dt = dx0,

dx = dx1,

dy = dx2,

dz = dx3,

e notando que

η0 = −1,

ηi = 1 se i = 1, 2, 3,


obtemos

∗1 = dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz,∗dt = −dx ∧ dy ∧ dz,∗dx = −dt ∧ dy ∧ dz,∗dy = dt ∧ dx ∧ dz,∗dz = −dt ∧ dx ∧ dy,

∗ (dt ∧ dx) = −dy ∧ dz,∗ (dt ∧ dy) = dx ∧ dz,∗ (dt ∧ dz) = −dx ∧ dy,∗ (dx ∧ dy) = dt ∧ dz,∗ (dx ∧ dz) = −dt ∧ dy,∗ (dy ∧ dz) = dt ∧ dx,

∗ (dx ∧ dy ∧ dz) = −dt,∗ (dt ∧ dy ∧ dz) = −dx,∗ (dt ∧ dx ∧ dz) = dy,

∗ (dt ∧ dx ∧ dy) = −dz,∗ (dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz) = −1.

De fato, por exemplo,

∗dt = ∗dx0 = ε0123η0dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 1 (−1) dx ∧ dy ∧ dz

= −dx ∧ dy ∧ dz

e, de fato,

dt ∧ (∗dt) = −dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz= 〈dt, dt〉 dt ∧ dx ∧ dy ∧ d;

tambem,

∗dx = ∗dx1 = ε1023η1dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 = (−1) 1dt ∧ dy ∧ dz

= −dt ∧ dy ∧ dz

e, de fato,

dx ∧ (∗dx) = dx ∧ (−dt ∧ dy ∧ dz)= dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz= 〈dx, dx〉 dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz;

como ultimo exemplo,

∗ (dt ∧ dy) = ∗(dx0 ∧ dx2

)= ε0213η0η2dx

1 ∧ dx3

= (−1) (−1) 1dx ∧ dz= dx ∧ dz

e, de fato,

dt ∧ dy ∧ ∗ (dt ∧ dy) = dt ∧ dy ∧ dx ∧ dz= −dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz= 〈dt ∧ dy, dt ∧ dy〉 dt ∧ dy ∧ dx ∧ dz.


10.36 Definicao. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana orientada de dimensao 4.Dizemos que uma 2-forma ω em M e autodual se

∗ω = ω

e que ω e antiautodual se∗ω = −ω.

10.37 Proposicao. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana orientada de dimensao 4.Toda 2-forma em M se escreve de maneira unica como a soma de uma forma autodual e uma forma

antiautodual.

10.6.3 Codiferencial

A derivada exterior e um operadord : Λk (M) −→ Λk+1 (M) .

10.38 Definicao. Seja M uma variedade metrica de assinatura (p, q). O codiferential e o operador linear

d∗ : Λk+1 (M) −→ Λk (M)

definido pord∗ω = (−1)

p+nk+1 ∗ d ∗ ω.

Note que, como a derivada exterior, o codiferencial satisfaz

(d∗)2

= 0.

10.39 Proposicao. Seja M uma variedade metrica sem fronteira. O codiferencial e o operador adjuntoformal da derivada exterior, no sentido que

〈dω, η〉L2 = 〈ω, d∗η〉L2

para todos ω ∈ Λk (M) e η ∈ Λk+1 (M) de suporte compacto.

Prova. Temos, pelas Proposicoes 10.32 e 10.34,

〈dω, η〉L2 − 〈ω, d∗η〉L2 =

∫M

[〈dω, η〉 − 〈ω, d∗η〉] d volg

=

∫M

(dω ∧ ∗η − ω ∧ ∗d∗η)

=

∫M

(dω ∧ ∗η − (−1)

p+nk+1ω ∧ ∗ ∗ d ∗ η

)=

∫M

(dω ∧ ∗η − (−1)

p+nk+1(−1)

k(n−k)+pω ∧ d ∗ η

)=

∫M

(dω ∧ ∗η + (−1)

kω ∧ d ∗ η

)=

∫M

d (ω ∧ ∗η)

= 0.


10.7 Gradiente, Divergente e Rotacional

O gradiente de uma funcao f : Rn −→ R pode ser visto como a derivada exterior de 0-formasidentificandoo gradiente de f no espaco euclideano Rn com a diferencial de f :

∇f = df =∂f

∂x1dx1 + . . .+

∂f

∂xndxn.

Assim, o gradiente e o operador derivada exterior

d : Λ0 (M) −→ Λ1 (M) .

O rotacional de um campo vetorial F : R3 −→ R3 pode ser visto como a estrela de Hodge da derivadaexterior da 1-forma associada ao campo, isto e, cujas componentes sao exatamente as componentes do campo(isto e, a 1-forma obtida do campo descendo ındices usando a metrica euclideana): se

ω = F1dx1 + F2dx

2 + F3dx3 =

3∑j=1

Fjdxj ,

entao∇× F = ∗dω,

pois

dω =

3∑i=1

3∑j=1

∂Fj∂xi

dxi ∧ dxj

=

(∂F2

∂x1− ∂F2

∂x1

)dx1 ∧ dx2 +

(∂F3

∂x1− ∂F1

∂x3

)dx1 ∧ dx3 +

(∂F3

∂x2− ∂F2

∂x3

)dx2 ∧ dx3

e

∗dω =

(∂F3

∂x2− ∂F2

∂x3

)dx1 +

(∂F1

∂x3− ∂F3

∂x1

)dx2 +

(∂F2

∂x1− ∂F2

∂x1

)dx3.

de modo que, agora subindo os ındices usando a metrica euclideana, as componentes de dω sao exatamenteas componentes do campo rotacional de F . Assim, o rotacional e o operador derivada exterior seguido dooperador estrela de Hodge

∗d : Λ1 (M) −→ Λ2 (M) .

Finalmente, o divergente de um campo vetorial F : R3 −→ R3 pode ser visto como a derivada exteriorda 2-forma que e a estrela de Hodge da 1-forma associada ao campo: se

ω = F1dx1 + F2dx

2 + F3dx3,

entao

∗ω = ∗(F1dx

1 + F2dx2 + F3dx

3)

= F3dx1 ∧ dx2 − F2dx

1 ∧ dx3 + F1dx2 ∧ dx3

e

d (∗ω) =∂F3

∂x3dx3 ∧ dx1 ∧ dx2 − ∂F2

∂x2dx2 ∧ dx1 ∧ dx3 +

∂F1

∂x1dx1 ∧ dx2 ∧ dx3

=

(∂F1

∂x1+∂F2

∂x2+∂F3

∂x3

)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

Assim, o divergente e o operador estrela de Hodge seguido do operador derivada exterior

d∗ : Λ1 (M) −→ Λ3 (M) .


10.8 Exercıcios

10.40 Exercıcio. Prove que M e N sao orientaveis se e somente se M ×N tambem e.

10.41 Exercıcio. Prove que o fibrado tangente TM sempre e uma variedade orientavel (mesmo que M naoseja).

10.42 Exercıcio. O que se pode dizer sobre o fibrado tensorial T kl M?

10.43 Exercıcio. Mostre que se o fibrado tangente TM e trivial, isto e, se existe um difeomorfismo entreTM e M × Rn que preserva fibras, entao M e orientavel.

Capıtulo 11

Integracao em Variedades Orientaveis

A primeira aplicacao de formas e permitir definir integrais em abertos de Rn e variedades em geral (com ousem bordo), independente das coordenadas escolhidas para descrever este aberto.

11.1 Integral de Linha

11.1 Definicao. Seja I = [a, b] ⊂ R um intervalo fechado e ω ∈ Λ1 (I) uma 1-forma diferencial, de modoque

ω = f (t) dt

para alguma funcao f ∈ C∞ (I) e t e o sistema de coordenadas global padrao em R.Definimos a integral de ω em I pela integral de Riemann

∫I

ω =

∫ b

a

f (t) dt.

Lembre-se que ω ser uma 1-forma diferenciavel no intervalo fechado (variedade com bordo) I ⊂ R significaque a componente f de ω admite uma extensao suave ate uma vizinhanca aberta de I.

11.2 Proposicao (Invariancia da Integral por Mudanca de Coordenadas). Sejam

I = [a, b] ,

J = [c, d] ,

ϕ : J −→ I um difeomorfismo e ω ∈ Λ1 (I).Se ϕ e crescente, ∫

J

ϕ∗ω =

∫I

ω.

Se ϕ e decrescente, ∫J

ϕ∗ω = −∫I

ω.

226


Prova: Em coordenadas globais t ∈ I e s ∈ J , escrevendo v = v1∂s, temos

(ϕ∗ω)s (v) = ωϕ(s) (dϕs (v))

= f (ϕ (s)) dt (dϕs (v))

= f (ϕ (s)) dt(v1ϕ′ (s) ∂t

)= f (ϕ (s)) v1ϕ′ (s) dt (∂t)

= f (ϕ (s))ϕ′ (s) v1

= f (ϕ (s))ϕ′ (s) ds (v) ,

de modo que(ϕ∗ω)s = ϕ′ (s) f (ϕ (s)) ds.

Portanto, quando ϕ e crescente ∫J

ϕ∗ω =

∫ d

c

f (ϕ (s))ϕ′ (s) ds

=

∫ b

a

f (t) dt

=

∫I

ω

e quando ϕ e decrescente ∫J

ϕ∗ω =

∫ d

c

f (ϕ (s))ϕ′ (s) ds

=

∫ a

b

f (t) dt

= −∫ b

a

f (t) dt

= −∫I

ω.

Em outras palavras, se ϕ e crescente, ∫

J

ϕ∗ω =

∫ϕ(J)

ω.

A mudanca de sinal se deve ao fato de que quando o difeomorfismo e crescente, ele preserva orientacao, equando ele e decrescente, ele reverte a orientacao.

11.3 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, γ : I = [a, b] ⊂ R −→M uma curva diferenciavel eω ∈ Λ1 (M) uma 1-forma diferencial.

Definimos a integral de linha de ω em γ por

∫γ

ω =

∫I

γ∗ω.


Em outras palavras, ∫γ

ω =

∫ b

a

ωγ(t) (γ′ (t)) dt.

Se γ : I −→ M e uma curva diferenciavel por partes, I =n⋃j=1

Ij uniao disjunta com γ diferenciavel em cada

subintervalo Ij , definimos ∫γ

ω =

n∑j=1

∫Ij

γ∗ω.

11.4 Proposicao. Se F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel, γ e uma curva diferenciavel em M eη ∈ Λ1 (N), entao ∫

γ

F ∗η =

∫Fγ

η.

Prova: ∫Fγ

η =

∫I

(F γ)∗η =

∫I

γ∗F ∗η =

∫γ

F ∗η.

11.5 Proposicao (Teorema de Stokes para Integrais de Linha). Sejam γ : [a, b] −→ M uma curvadiferenciavel e f ∈ C∞ (M).

Vale ∫γ

df = f (γ (b))− f (γ (a)) .

Prova: Pelo teorema fundamental do calculo∫γ

df =

∫ b

a

dfγ(t) (γ′ (t)) dt

=

∫ b

a

(f γ)′(t) dt

= (f γ) (b)− (f γ) (a) .

Este resultado tambem e conhecido como o teorema fundamental para integrais de linha, em analogia como teorema fundamental do calculo e do qual ele deriva.

11.2 Integracao de Formas Diferenciais

11.2.1 Integral de n-Formas no Espaco Euclidiano

11.6 Definicao. Dizemos que um aberto Ω ⊂ Rn e um domınio se Ω e limitado e tem fronteira com medidanula.


11.7 Definicao. Seja Ω ⊂ Rn um domınio e ω ∈ Λn(Ω)

uma 1-forma diferenciavel, de modo que

ω = f (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn

para alguma funcao f ∈ C∞(Ω)

e(x1, . . . , xn

)e o sistema de coordenadas padrao em Rn.

Definimos a integral de ω em Ω pela integral multipla

∫Ω

ω =

∫Ω

f (x) dx1 · · · dxn.

Lembre-se que ω ser uma n-forma diferenciavel no aberto com bordo Ω ⊂ R significa que a componente fde ω admite uma extensao suave ate uma vizinhanca aberta de Ω. Se f ∈ C∞c (U), isto e, ω tem suportecompacto em U , definimos ∫

U

ω =

∫Ω

ω

onde Ω ⊂ Rn e qualquer domınio que contem suppω (por exemplo, podemos tomar Ω como uma bolacentrada na origem de raio suficientemente grande). Denotaremos o subespaco das k-formas com suportecompacto em U por Λkc (U).

11.8 Proposicao (Invariancia da Integral por Mudanca de Coordenadas). Sejam Ω,Ω′ domınios eϕ : Ω −→ Ω′ uma aplicacao diferenciavel tal que ϕ : Ω −→ Ω′ e um difeomorfismo e ω ∈ Λn

(Ω′).

Se ϕ preserva orientacao, ∫Ω

ϕ∗ω =

∫ϕ(Ω)

ω.

Se ϕ reverte orientacao, ∫Ω

ϕ∗ω = −∫ϕ(Ω)

ω.

O mesmo resultado vale para formas com suporte compacto.

Prova: Denotando por(x1, . . . , xn

)as coordenadas em Ω e por

(y1, . . . , yn

)as coordenadas em Ω′, segue

da formula de mudanca de variaveis de integrais, de ϕ preservar a orientacao e da Proposicao 9.31 que∫ϕ(Ω)

ω =

∫ϕ(Ω)

f (y) dy1 · · · dyn

=

∫Ω

f (ϕ (x)) |det dϕx| dx1 · · · dxn

=

∫Ω

(f ϕ) (det dϕ) dx1 · · · dxn

=

∫Ω

(f ϕ) (det dϕ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn

=

∫Ω

ϕ∗(f dy1 ∧ · · · ∧ dyn

)=

∫Ω

ϕ∗ω.


11.2.2 Integral de n-Formas em Variedades n-dimensionais Orientaveis

Primeiro definimos a integral de n-formas com suporte compacto no domınio de uma carta.

11.9 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, (ϕ,U) uma carta para M e ω ∈ Λnc (U).Definimos a integral de ω em M por

∫M

ω =

∫ϕ(U)

(ϕ−1

)∗ω

se ϕ e uma carta positiva e ∫M

ω = −∫ϕ(U)

(ϕ−1

)∗ω

se ϕ e uma carta negativa.

11.10 Proposicao. A integral de ω em M independe da carta.

Prova: Sejam (ϕ,U) e (ψ, V ) duas cartas para M tais que suppω ⊂ U ∩ V .Se ambas preservam a orientacao ou ambas revertem a orientacao, entao o difeomorfismo ϕψ−1 preserva

a orientacao e pela Proposicao 11.8 temos∫ϕ(U)

(ϕ−1

)∗ω =

∫ϕ(U∩V )

(ϕ−1

)∗ω

=

∫ψ(U∩V )

(ϕ ψ−1

)∗ (ϕ−1

)∗ω

=

∫ψ(U∩V )

(ϕ−1 ϕ ψ−1

)∗ω

=

∫ψ(U)

(ψ−1

)∗ω.

Se as cartas tem orientacoes opostas, entao ϕ ψ−1 reverte a orientacao e o sinal negativo aparece no final.

Agora definimos a integral de n-formas com suporte compacto em M .

11.11 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel e ω ∈ Λnc (M).Seja Uii=1,...,m uma cobertura finita de suppω por domınios de cartas todas positivas ou todas negativas

e ρii=1,...,m uma particao da unidade subordinada a esta cobertura.Definimos a integral de ω em M por

∫M

ω =

m∑i=1

∫M

ρiω.

11.12 Proposicao. A integral de ω em M independe da cobertura finita e da particao da unidade.

Prova: Sejam Ui, ρii=1,...,r e Vj , ηji=1,...,s duas coberturas por domınios de cartas todas positivas outodas negativas para suppω e respectivas particoes da unidade associadas.


Para i fixado temos ∫M

ρiω =

∫M

s∑j=1

ηj

ρiω =

s∑j=1

∫M

ηjρiω.

Por um argumento de simetria, para j fixado temos∫M

ηjω =

r∑i=1

∫M

ρiηjω.

Logo

r∑i=1

∫M

ρiω =

r∑i=1

s∑j=1

∫M

ηjρiω

=

s∑j=1

r∑i=1

∫M

ρiηjω

=

s∑j=1

∫M

ηjω.

11.13 Proposicao. Seja F : M −→ N um difeomorfismo.Se F preserva orientacao, ∫

M

ω =

∫N

F ∗ω

e se F reverte orientacao, ∫M

ω = −∫N

F ∗ω.

Prova: Exercıcio. Quando M nao e uma variedade compacta e ω ∈ Λn (M) nao tem suporte compacto, e possıvel definir

a integral de ω em M atraves de uma serie (ou seja, a generalizacao do conceito de integrais improprias emRn), mas deve-se ter cuidado com os problemas de convergencia.

11.3 Teorema de Stokes

11.14 Teorema (Teorema de Stokes). Seja Mn uma variedade orientavel com bordo, ∂M com a ori-entacao induzida e ω ∈ Λn−1

c (M). Entao

∫M

dω =

∫∂M

ω

onde a forma ω na segunda integral e entendida como ı∗ω, sendo ı : ∂M −→M a inclusao.

Prova:1. Caso M = Hn.


Seja R > 0 tal que suppω ⊂ R = [−R,R]n−1 × [0, R]. Escrevendo em coordenadas globais

ω =

n∑i=1

ωi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn,

segue que

dω =

n∑i,j=1

∂ωi∂xj

dxj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

=

n∑i=1

(−1)i−1 ∂ωi

∂xidx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Logo, o lado esquerdo da formula de Stokes e dado por∫Hndω =

n∑i=1

(−1)i−1∫R

∂ωi∂xi

dx1 · · · dxn

=

n∑i=1

(−1)i−1∫ R

0

∫ R

−R· · ·∫ R

−R

∂ωi∂xi

dx1 · · · dxn.

Mudando a ordem de integracao e aplicando o Teorema Fundamental do Calculo, para i 6= n obtemos∫ R

0

∫ R

−R· · ·∫ R

−R

∂ωi∂xi

dx1 · · · dxn =

∫ R

0

∫ R

−R· · ·∫ R

−R

(∫ R

−R

∂ωi∂xi

dxi

)dx1 · · · dxi · · · dxn

=

∫ R

0

∫ R

−R· · ·∫ R

−Rωi (x)|x

i=Rxi=−R dx1 · · · dxi · · · dxn

= 0,

pois ωi (x) = 0 quando xi = ±R porque suppω ⊂ R. Portanto, resta apenas o termo correspondente ai = n, que tambem mudando a ordem de integracao e aplicando o Teorema Fundamental do Calculo podeser calculado: ∫

Hndω = (−1)

n−1∫ R

0

∫ R

−R· · ·∫ R

−R

∂ωn∂xn

dx1 · · · dxn

= (−1)n−1

∫ R

−R· · ·∫ R

−R

(∫ R

0

∂ωn∂xn

dxn

)dx1 · · · dxn−1

= (−1)n−1

∫ R

−R· · ·∫ R

−Rωn (x)|x

i=Rxi=0 dx1 · · · dxn−1

= (−1)n∫ R

−R· · ·∫ R

−Rωn(x1, . . . , xn−1, 0

)dx1 · · · dxn−1.

O lado direito da formula de Stokes e dado por, levando em conta que a inclusao ı : ∂Hn −→ Rn preservaorientacao se n e par e reverte se n e ımpar (Exemplo 10.24)∫

∂Hnω = (−1)

n∫∂Hn

ı∗ω

= (−1)n

n∑i=1

∫R∩∂Hn

ωn(x1, . . . , xn−1, 0

)ı∗dx1 ∧ · · · ∧ ı∗dxi ∧ · · · ∧ ı∗dxn

= (−1)n∫R∩∂Hn

ωn(x1, . . . , xn−1, 0

)dx1 · · · dxn−1


pois ı∗dxn = 0 porque xn ≡ 0 em ∂Hn. Concluımos que∫Hndω =

∫∂Hn

ω.

2. Caso M = Rn.Neste caso, tomamos R > 0 tal que suppω ⊂ R = [−R,R]

ne os mesmos calculos realizados acima

permitem concluir que ∫Rndω = 0

pois agora o termo correspondente a i = n tambem se anula. Como ∂Rn = ∅, segue que∫∂Rn

ω = 0

e o teorema de Stokes tambem e valido neste caso.3. Caso M variedade com bordo arbitraria e suppω contida no domınio de uma carta (ϕ,U).

Para fixar ideias, assuma ϕ positiva. Temos por definicao, pela comutatividade da derivada exterior como pullback e pelo Caso 1 ∫

M

dω =

∫Hn

(ϕ−1

)∗(dω)

=

∫Hnd[(ϕ−1

)∗(ω)]

=

∫∂Hn

(ϕ−1

)∗(ω)

=

∫∂M

ω.

Observe que porque ∂M tem a orientacao induzida, ϕ|U∩∂M e um difeomorfismo que preserva a orientacao.4. Caso M variedade com bordo arbitraria e ω uma (n− 1)-forma com suporte compactoarbitraria.

Seja Ui, ρii=1,...,m uma cobertura por domınios de cartas positivas e uma particoes da unidade associada.Temos ∫

∂M

ω =

m∑i=1

∫∂M

ρiω

=

m∑i=1

∫M

d (ρiω)

=

m∑i=1

∫M

[dρi ∧ ω + ρidω]

=

∫M

[d

(m∑i=1

ρi

)∧ ω +

(m∑i=1

ρi

)dω

]

=

∫M

[d (1) ∧ ω + 1dω]

=

∫M

dω.


11.15 Corolario. Se M e uma variedade compacta sem bordo, entao

∫M

dω = 0.

11.3.1 Interpretacao Geometrica da Derivada Exterior

Sejam v1, . . . , vn ∈ Rn vetores LI e considere os paralelepıpedos

P = [v1, . . . , vn] ,

εP = [εv1, . . . , εvn] .

Apesar de paralelepıdos nao serem subvariedades diferenciaveis de Rn, eles sao variedades diferenciaveis porpartes e o teorema de Stokes permanece valido.

Seja ω ∈ Λn−1 (Rn) uma (n− 1)-forma diferenciavel arbitraria, de modo que a derivada exterior de ω edada por

dω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn

para alguma funcao f ∈ C∞ (Rn). Na origem 0 temos

dω0 = f (0) dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Lembramos que see1, . . . , en

denota a base canonica de Rn, temos

volRn = det = e1 ∧ · · · ∧ en = dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Segue que

dω0 (v1, . . . , vn) = f (0) dx1 ∧ · · · ∧ dxn (v1, . . . , vn)

= f (0) e1 ∧ · · · ∧ en (v1, . . . , vn)

= f (0) Vol (P )

= f (0)

∫P

volRn

=

∫P

f (0) dx1 ∧ · · · ∧ dxn

=

∫P

dω0.

De maneira analoga, para todo ε > 0

εndω0 (v1, . . . , vn) = dω0 (εv1, . . . , εvn)

= f (0) Vol (εP )

=

∫εP

dω0,

de modo que

dω0 (v1, . . . , vn) =1

εn

∫εP

dω0.

Temos tambem para todo ε > 0Vol (εP ) = εn Vol (P ) ,


de modo que

Vol (P ) =Vol (εP )

εn

e uma funcao constante e podemos escrever

Vol (P ) = limε→0

Vol (εP )

εn.

Temos entao pelo teorema do valor medio para integrais e pelo teorema de Stokes

dω0 (v1, . . . , vn) = limε→0

1

εn

∫εP

dω0

= limε→0

1

εn

∫εP

dω

= limε→0

1

εn

∫∂(εP )

ω.

Portanto, a derivada exterior da (n− 1)-forma ω em 0 calculada nos vetores v1, . . . , vn da a variacao infi-nitesimal da integral de ω no paralelepıpedo ∂ (εP ). Para mais detalhes sobre o significado geometrico daderivada exterior para k-formas em geral, veja [Fortney], Secao 4.5.

Capıtulo 12

Cohomologia de de Rham

12.1 Formas Fechadas e Exatas

12.1 Definicao. Dizemos que uma forma ω ∈ Λk (M) e fechada se

dω = 0.

Ela e exata se existe η ∈ Λk−1 (M) tal que

ω = dη.

Toda forma exata e necessariamente fechada, pois

dω = d (dη) = d2η = 0.

Por outro lado, nem toda forma fechada e exata. Localmente isso sempre vale pelo Lema de Poincare(Teorema 12.29), mas nao globalmente.

12.2 Proposicao. Seja M uma variedade compacta orientada sem bordo.Se ω ∈ Λn (M) e exata, entao ∫

M

ω = 0.

Prova. Pelo teorema de Stokes, se ω = dη,∫M

dη =

∫∂M

η =

∫∅η = 0.

12.3 Corolario. Se M e uma variedade compacta conexa orientada sem bordo, sua forma de volume volnao e exata.

Prova. Pois ∫M

vol = Vol (M) 6= 0.

236


12.4 Proposicao. Seja M uma variedade compacta orientada com bordo.Se ω ∈ Λn−1 (M) e fechada, entao ∫

∂M

ω = 0.

Prova. Pelo teorema de Stokes, ∫∂M

ω =

∫M

dω =

∫M

0 = 0.

12.5 Exemplo. Em R2\0 a 1-forma

ω =xdy − ydxx2 + y2

e fechada mas nao e exata. De fato,

dω =∂

∂x

(x

x2 + y2

)dx ∧ dy − ∂

∂y

(y

x2 + y2

)dy ∧ dx

=−x2 + y2

(x2 + y2)2 dx ∧ dy −

x2 − y2

(x2 + y2)2 dy ∧ dx

=

(−x2 + y2

(x2 + y2)2 +

x2 − y2

(x2 + y2)2

)dx ∧ dy

= 0,

logo ω e fechada. Se ω fosse exata em R2\0, isto e, se existisse f ∈ C∞(R2\0

)tal que ω = df , ela tambem

seria exata em S1 ⊂ R2\0, pois ω|S1 = d (f |S1). Mas, parametrizando S1 por

x (t) = cos t,

y (t) = sen t,

(de modo que x2 + y2 = 1, dx = − sen t dt e dy = cos t dt) temos∫∂D

ω =

∫∂D

(xdy − ydx)

=

∫ 2π

0

[(cos t) (cos t dt)− (sen t) (− sen t dt)]

=

∫ 2π

0

dt

= 2π,

e pela Proposicao 12.2 ω nao pode ser exata em S1.

12.2 Cohomologia de de Rham de uma Variedade

12.2.1 Definicao

12.6 Definicao. Dizemos que uma sequencia de espacos vetoriais e lineomorfismos

. . . −→ V −1 L−1

−→ V 0 L0

−→ V 1 L1

−→ V 2 −→ . . . V kLk−→ V k+1 −→ . . .


e uma sequencia exata se

imLk = kerLk+1

para todo k.

Portanto, quando a sequencia e exata, temos todos os espacos vetoriais quocientes triviais:

kerLk+1

imLk= 0.

12.7 Definicao. Dizemos que uma sequencia V de espacos vetoriais e operadores lineares

. . . −→ V −1 d−1

−→ V 0 d0−→ V 1 d1−→ V 2 −→ . . . V kdk−→ V k+1 −→ . . .

e um complexo em cocadeia se

im dk ⊂ ker dk+1


dk+1 dk = 0

para todo k.Denotamos

Zk (V) = ker dk,Bk (V) = im dk−1.

Vk e chamado o espaco das k-cocadeias, dk o operador k-cobordo, Zk o espaco dos k-cociclos e Bk

o espaco dos k-cobordos.Os espacos vetoriais quociente

Hk (V) =Zk (V)

Bk (V)=

ker dk

im dk−1

sao chamados os espacos de cohomologia de grau k do complexo V, e a soma direta

H∗ (V) =

∞⊕k=0

Hk (V)

e chamada a cohomologia de V.

Frequentemente a cohomologia de V tem uma estrutura algebrica adicional de produto que a transforma emuma algebra graduada, como a cohomologia de de Rham que veremos logo a seguir.

Seja M uma variedade diferenciavel, com ou sem bordo, com dimensao n. Temos

Λ0 (M) = C∞ (M)

eΛk (M) = 0 para todo k > n.

Por conveniencia, definimosΛk (M) = 0 para todo k < 0.


Utilizando os operadores lineares derivada exterior

dk : Λk (M) −→ Λk+1 (M) ,

iguais ao operador nulo para k > n e definidos como o operador nulo para k < 0, obtemos o complexo emcocadeia

. . . −→ Λ−1 (M)d−1

−→ Λ0 (M)d0−→ Λ1 (M)

d1−→ Λ2 (M) −→ . . .

chamado o complexo de de Rham. Em geral omitimos o subescrito do operador derivada exterior, a naoser quando necessario por clareza. A parte nao trivial do complexo de de Rham e

Λ0 (M)d−→ Λ1 (M)

d−→ Λ2 (M)d−→ . . .

d−→ Λn (M) .

Os cociclos do complexo de de Rham (isto e, os elementos de ker dk) sao as k-formas fechadas e os cobordosdo complexo de de Rham (isto e, os elementos de im dk−1) sao as k-formas exatas. Denotamos os espacosde cociclos e cobordos do complexo de Rham respectivamente por

Zk (M) = ker dk,Bk (M) = im dk−1,

Os espacos de cohomologia de de Rham de grau k sao denotados por

HkdR (M) =

ker dk

im dk−1=Zk (M)

Bk (M).

Apesar dos espacos HkdR serem espacos vetoriais reais, frequentemente eles sao chamados grupos de cohomo-

logia de de Rham, porque a maioria das outras teorias de cohomologia sao definidas em complexos de gruposde cocadeia e produzem apenas grupos.

A classe de equivalencia de uma forma fechada ω sera denotada [ω] e chamada a classe de cohomologiade ω e duas formas fechadas que pertencem a mesma classe de cohomologia sao chamadas cohomologas.Assim, duas k-formas fechadas ω1 e ω2 sao cohomologas se existe uma (k − 1)-forma ω tal que

ω1 − ω2 = dω.

Note queHk

dR (M) = 0 se k < 0 ou k > n,

mas em geral

HkdR (M) = 0 se e somente se toda k-forma fechada em M e exata.

12.2.2 A Cohomologia de de Rham e uma Algebra Graduada

O produto exterior de formas induz um produto exterior de classes de cohomologia de de Rham:

12.8 Definicao. O produto exterior de classes de cohomologia e a aplicacao bilinear

∧ : HkdR (M)×H l

dR (M) −→ Hk+ldR (M)


definida da seguinte forma: se [ω] ∈ HkdR (M) e [η] ∈ H l

dR (M), entao ω ∧ η ∈ Hk+ldR (M) e dada por

[ω] ∧ [η] = [ω ∧ η] .

O produto exterior de classes de cohomologia e tambem chamado o produto cup da cohomologia de deRham e denotado ∪.

12.9 Proposicao. O produto exterior de classes de cohomologia esta bem definido.

Prova. Sejam

[ω1] = [ω2] ∈ HkdR (M) ,

[η1] = [η2] ∈ H ldR (M) ,

ou seja,dω1 = dω2 = dη1 = dη2 = 0

e

ω2 = ω1 + dω,

η2 = η1 + dη,

para alguns ω ∈ Hk−1dR (M) e η ∈ H l−1

dR (M).Entao

ω2 ∧ η2 = (ω1 + dω) ∧ (η1 + dη)

= ω1 ∧ η1 + ω1 ∧ dη + dω ∧ η1 + dω ∧ dη= ω1 ∧ η1 + dθ,

onde θ ∈ Hk+l−1dR (M) e definido por

θ = (−1)kω1 ∧ η + ω ∧ η1 + ω ∧ dη,

pois

dθ = (−1)kdω1 ∧ η + (−1)

2kω1 ∧ dη

+ dω ∧ η1 + (−1)kω ∧ dη1

+ dω ∧ dη + ω ∧ (−1)kd2η

= 0 + ω1 ∧ dη + dω ∧ η1 + 0 + dω ∧ dη + 0.

12.10 Definicao. A cohomologia de de Rham de uma variedade M e a algebra associativa com identi-dade, anticomutativa graduada

HdR (M) =

n⊕k=0

HkdR (M)

munida do produto exterior.


12.3 Invariancia por Difeomorfismo

12.11 Definicao. Dados dois complexos em cocadeia V e W, uma transformacao em cocadeia

F : V −→W

e uma sequencia de lineomorfismos

. . . // V −1 d−1//

F−1

V 0 d0 //

F 0

V 1 d1 //

F 1

V 2 //

F 2

. . .

. . . // W−1 d′−1// W 0 d′0 // W 1 d′1 // W 2 // . . .

tal que cada quadrado do diagrama e comutativo, isto e,

F k+1 dk = d′k F k

para todo k.

Portanto, uma transformacao em cocadeia e um morfismo na categoria de complexos em cocadeia. Omitindoo subescrito k e o apostrofo ′ (quando os operadores de cobordo nas duas cocadeias sao definidos de formasemelhante), frequentemente escrevemos simplesmente

F d = d F.

12.12 Exemplo (Pullback). O pullback F ∗ : Λ (N) −→ Λ (M) de uma aplicacao diferenciavel F : M −→ Ne uma transformacao em cocadeia do complexo de de Rham Λ (N) para o complexo de de Rham Λ (M): estae exatamente a propriedade

F ∗ (dω) = d (F ∗ω) .

12.13 Proposicao. Se F : V −→ W e uma transformacao em cocadeia, entao F induz um operador linearentre as cohomologias de V e W chamado o operador de cohomologia

F# : H∗ (V) −→ H∗ (W)

definido por

F# [ω]V = [Fω]W.

Alem disso,

id# = id,

(F G)#

= F# G#.

Prova. Se ω ∈ Zk (V), entaod′ (Fω) = F (dω) = F (0) = 0,

logo Fω ∈ Zk (W). Portanto, F leva cociclos de V em cociclos de W e pode ser restrita ao subcomplexo dossubespacos de cociclos:

F : Z∗ (V) −→ Z∗ (W) .


Isso prova que faz sentido escrever F# [ω]V = [Fω]W.Para provar que F# : H∗ (V) −→ H∗ (W) esta bem definida, basta provar que F tambem leva cobordos

de V em cobordos de W e pode ser restrita ao subcomplexo dos subespacos de cobordos:

F : B∗ (V) −→ B∗ (V) .

De fato, seja ω ∈ Bk (V), digamos ω = dη, entao

Fω = F (dη) = d′ (Fη) ,

logo Fω ∈ Bk (W).Assim, se

[ω1] = [ω2] ∈ Hk (V)

ou seja,ω2 = ω1 + dη,

temos

Fω2 = Fω1 + F (dη)

= Fω1 + d′ (Fη) ,

de modo que[Fω1] = [Fω2] .

As propriedades funtoriais de F# decorrem imediatamente da definicao. Com efeito, sejam

G : V −→W,

F : W −→ Z,

transformacoes em cocadeia. Temos

(F G)#

[ω]V = [(F G)ω]Z= [F (Gω)]Z

= F# [Gω]W

= F#G# [ω]V .

12.14 Proposicao. Seja F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel.F induz um morfismo entre algebras graduadas chamado o operador de cohomologia

F# : HdR (N) −→ HdR (M)

isto e,

F# [ω] = [F ∗ω]

define um operador linearF# : Hk

dR (N) −→ HkdR (M)

para cada k que satisfaz

F# ([ω] ∧ [η]) = F# [ω] ∧ F# [η] .

Alem disso, id# = id e (F G)#

= G# F#.


Prova. Note que usamos a mesma notacao para o pullback e para o operador de cohomologia de deRham. A primeira parte deste resultado e consequencia da proposicao anterior e do fato do pullback seruma transformacao em cocadeia. Mesmo assim, vamos repetir a demonstracao da proposicao anterior paraformas para melhorar a compreensao. Se ω e fechado, entao

d (F ∗ω) = F ∗ (dω) = F ∗ (0) = 0,

logo F ∗ω tambem e fechado. Portanto temos a restricao

F ∗ : Zk (N) −→ Zk (M) .

Isso mostra que F# [ω] = [F ∗ω] faz sentido. Se ω e exata, digamos ω = dη, entao

F ∗ω = F ∗ (dη) = d (F ∗η) ,

logo F ∗ω tambem e exata. Portanto temos a restricao

F ∗ : Bk (N) −→ Bk (M) .

Usamos isso para provar que F# : HkdR (N) −→ Hk

dR (M) esta bem definida: se

[ω1] = [ω2] ∈ HkdR (N)

ou seja,ω2 − ω1 = dω.

Temos

F ∗ (ω2 − ω1) = F ∗ (dω)

= d (F ∗ω) ,

de modo que[F ∗ω1] = [F ∗ω2] .

As propriedades funtoriais de operador de cohomologia F# decorrem das propriedades funtoriais do operadorpullback F ∗ (lembrando que este ultimo e contravariante, por isso o primeiro tambem sera).

12.15 Corolario. Variedades difeomorfas possuem a mesma cohomologia de de Rham.

Assim, F# e um funtor contravariante da categoria das variedades diferenciaveis Dif para a categoria dosespacos vetoriais reais Vec (na verdade para a categoria de algebras reais) e a cohomologia de de Rham e uminvariante algebrico linear da categoria das variedades diferenciaveis: se M e N sao variedades diferenciaveistais que Hk

dR (M) 6= HkdR (N) para algum k, M e N nao sao difeomorfas.

12.4 Invariancia por Homotopia e Homeomorfismo

A cohomologia de de Rham e mais que um invariante por difeomorfismos; ela e um invariante homotopico:aplicacoes diferenciaveis homotopicas induzem a mesma aplicacao de cohomologia, e consequentementeespacos com o mesmo tipo de homotopia tem a mesma cohomologia de de Rham, como veremos nestasecao. Em particular, como espacos homeomorfos tem o mesmo tipo de homotopia, a cohomologia de deRham e um invariante por homeomorfismos.


12.4.1 Invariancia por Homotopia de Complexos


F : V −→W,

G : V −→W,

duas transformacoes em cocadeia. Dizemos que F e G sao homotopicos (em cocadeia) se existe umahomotopia em cocadeia entre F e G, isto e, uma famılia de lineomorfismos

hk : V k −→W k−1

tal que

F − G = d′h+ hd.

Visualizamos h atraves do diagrama nao comutativo

V k

hk

dk //Fk−Gk

V k+1

hk+1W k−1 dk−1

// W k

ou seja,

Fk −Gk = d′k−1hk + hk+1dk.

12.17 Proposicao. Se F e G sao homotopicos, entao

F# = G#.

Prova. Se ω ∈ Zk (V) temos (F# − G#

)[ω] = [(F − G) (ω)]

= [(d′h+ hd) (ω)]

= [d′h (ω)] + [hd (ω)]

= 0 + [h (0)]

= 0.

12.18 Definicao. Dizemos que uma transformacao em cocadeia

F : V −→W,

e uma equivalencia em cocadeia se ela possui uma inversa homotopica

G : V −→W,

isto e, F e G satisfazem

F G ' idW,G F ' idV .

Neste caso dizemos que os complexos em cocadeia F e G sao homotopicamente equivalentes.


12.19 Corolario. Se F e G sao homotopicamente equivalentes, entao

H∗ (V) ∼= H∗ (W) .

12.4.2 Invariancia por Homotopia em Variedades

12.20 Definicao. Sejam M,N espacos topologicos. Dizemos que duas aplicacoes contınuas F,G : M −→ Nsao homotopicas se existe uma homotopia de F paraG, isto e, uma aplicacao contınuaH : M×[0, 1] −→ Ntal que

H (·, 0) = F,

H (·, 1) = G,

e denotamosF ' G.

Homotopia e uma relacao de equivalencia entre aplicacoes contınuas.

12.21 Lema. Se M e uma variedade diferenciavel e

it : M −→M × I

e a inclusaoit (p) = (p, t) ,

entao existe uma homotopia em cocadeia entre as transformacoes em cocadeia

i∗0, i∗1 : Λ∗ (M × I) −→ Λ∗ (M) .

Consequentemente, os operadores de cohomologia

i#0 , i#1 : HdR (M × I) −→ HdR (M)

sao iguais.

Prova. Vamos definir uma aplicacao

h : Λk (M) −→ Λk−1 (M × I)

tal quei∗1 − i∗0 = dh+ hd.

Seja X ∈ T1 (M × R) ∼= T1M × R o campo

X(p,s) = (0, ∂s) .

Defina

h (ω) =

∫ 1

0

i∗t (ıXω) dt.

Diferenciando sob o sinal de integracao, obtemos

d (hω) =

∫ 1

0

di∗t (ıXω) dt.


Pela formula de homotopia de Cartan (Proposicao 9.42), segue que

(dh+ hd)ω =

∫ 1

0

[di∗t (ıXω) + i∗t (ıXdω)] dt

=

∫ 1

0

[i∗t d (ıXω) + i∗t (ıXdω)] dt

=

∫ 1

0

i∗t (dıXω + ıXdω) dt

=

∫ 1

0

i∗t (LXω) dt.

O fluxo do campo X eϕt (p, s) = (p, s+ t) ,

de modo queit = ϕt i0

e, pela Proposicao 6.52,

i∗t (LXω) = i∗0 ϕ∗t (LXω)

= i∗0 [d

dt(ϕ∗tω)

]=

d

dti∗0 (ϕ∗tω)

=d

dti∗tω.

Portanto, pelo teorema fundamental do calculo,

(dh+ hd)ω = i∗tω|10

= (i∗1 − i∗0)ω.

A consequencia segue da Proposicao 12.17.

12.22 Teorema. Se F,G : M −→ N sao aplicacoes diferenciaveis homotopicas, entao

F# = G#.

Prova. Pelo Teorema de Aproximacao de Whitney, existe uma homotopia diferenciavel H entre F e G.Como

F = H i0,G = H i1,

segue que

F# = (H i0)#

= i#0 H#

= i#1 H# = (H i1)#

= G#.


12.23 Definicao. Dizemos que dois espacos topologicos M,N tem o mesmo tipo de homotopia (ou saohomotopicamente equivalentes) se existem aplicacoes contınuas

F : M −→ N,

G : N −→M,

tais que

F G ' idN ,

G F ' idM .

G e chamada uma inversa de homotopia para F .Um espaco topologico homotopicamente equivalente a um ponto e chamado contratil.

Equivalencia homotopica e uma relacao de equivalencia na categoria de espacos topologicos. Observe quedois espacos homeomorfos tem trivialmente o mesmo tipo de homotopia, pois se F : M −→ N e umhomeomorfismo, entao F−1 e uma inversa de homotopia para F ja que

F F−1 = idN ,

F−1 F = idM .

12.24 Lema. Se

F1 ' F2,

G1 ' G2,

entaoF1 G1 ' F2 G2.

Prova. Se HF e uma homotopia de F1 para F2 e HG e uma homotopia de G1 para G2, entao

H = HF (HG (·, t) , t)

e uma homotopia de F1 G1 para F2 G2:

H (·, 0) = HF (HG (·, 0) , 0) = HF (G1, 0) = F1 G1,

H (·, 1) = HF (HG (·, 1) , 1) = HF (G2, 1) = F2 G2.

12.25 Teorema. Variedades diferenciaveis homotopicamente equivalentes possuem a mesma cohomologiade de Rham.

12.26 Corolario. Em particular, variedades diferenciaveis homeomorfas possuem a mesma cohomologia dede Rham.

Prova. Sejam M,N variedades diferenciaveis, F : M −→ N uma equivalencia de homotopia e G : N −→Msua inversa de homotopia.

Pelo Teorema de Aproximacao de Whitney, existem aplicacoes diferenciaveis F,G homotopicas a F , G,respectivamente. Pelo lema,

F G ' F G ' idN ,

G F ' G F ' idM ,

de modo que F e uma equivalencia de homotopia diferenciavel e G sua inversa de homotopia diferenciavel.Segue que

G# F# = idHdR(N),

F# G# = idHdR(M),

logo F# e G# sao isomorfismos entre HdR (M) e HdR (N).


12.4.3 Aplicacao no Calculo de Cohomologias e Lema de Poincare

12.27 Proposicao. Se M e uma variedade conexa, entao

H0dR (M) = R.

Prova. Por definicao, B0 (M) = 0 e

Z0 (M) = f ∈ C∞ (M) : df = 0= f ∈ C∞ (M) : f e constante

porque M e conexo. Logo, Z0 (M) ∼= R.

12.28 Proposicao. Se M = ∗ e uma variedade que consiste apenas de um ponto, entao

HkdR (∗) =

R se k = 0,0 se k 6= 0.

Prova. Toda forma de grau nao nulo e nula.

12.29 Teorema (Lema de Poincare). Se M e uma variedade contratil, entao

HkdR (∗) =

R se k = 0,0 se k 6= 0.

Consequentemente, uma forma em uma variedade contratil e fechada se e somente se ela e exata.

Prova. Pois M e homotopico a um ponto ∗, logo HdR (M) = HdR (∗) e HkdR (∗) = 0 para todo k 6= 0.

12.30 Proposicao. Se M =⊔i∈N

Mi, entao

HdR (M) ∼=∏i∈N

HdR (Mα) .

Prova. As inclusoesiα : Mα −→M

induzem o isomorfismo. Observamos que por definicao de variedade (base enumeravel), o numero de componentes conexas de umavariedade e enumeravel.

12.5 Sequencia de Mayer-Vietoris

Sequencias de Mayer-Vietoris permitem calcular a cohomologia de de Rham de variedades atraves de escreve-las como unioes de variedades com cohomologia mais simples.

12.5.1 Lema do Zig-Zag para Complexos em Cocadeia

12.31 Definicao. Uma sequencia exata curta de complexos em cocadeia e uma sequencia

0 −→ UF−→ V

G−→W −→ 0

tal que a imagem de cada aplicacao em cocadeia e o nucleo da proxima, ou seja

F e injetiva,


imF = kerG

eG e sobrejetiva.

Mais explicitamente falando, uma sequencia exata curta de complexos em cocadeia e uma sequencia deespacos vetoriais e lineomorfismos tais que o diagrama abaixo e comutativo

0 0 0 0↓ ↓ ↓ ↓

. . . −→ U−1 d−1

−→ U0 d0−→ U1 d1−→ U2 −→ . . .

↓F−1 ↓F 0 ↓F 1 ↓F 2

. . . −→ V −1 d′−1

−→ V 0 d′0−→ V 1 d′1−→ V 2 −→ . . .

↓G−1 ↓G0 ↓G1 ↓G2

. . . −→ W−1 d′′−1

−→ W 0 d′′0−→ W 1 d′′1−→ W 2 −→ . . .↓ ↓ ↓ ↓0 0 0 0

e na direcao descendente do diagrama a imagem de cada aplicacao e o nucleo do proxima, ou seja

F k e injetiva,

imF k = kerGk

eGk e sobrejetiva

para todo k.

12.32 Teorema (Lema do Zig-Zag). Seja

0 −→ UF−→ V

G−→W −→ 0

uma sequencia exata curta de complexos em cocadeia.Existem lineomorfismos

δk : Hk (W) −→ Hk+1 (U)

que dao origem a sequencia exata longa (chamada sequencia de Mayer-Vietoris)

. . . −→ Hk−1 (W)δk−1

−→ Hk (U)F#k

−→ Hk (V)G#k

−→ Hk (W)δk−→ Hk+1 (U) −→ . . .

Prova.Passo 1: Definicao do operador linear δk : Hk (W) −→ Hk+1 (U).

Seja [w] ∈ Hk (W), de modo que w ∈ Zk (W), isto e, d′kw = 0. No que se segue omitiremos subescritose superescritos quando possıvel (isto e, nao prejudicar a compreensao) para nao sobrecarregar a notacao.Como Gk e sobrejetivo, existe v ∈ V k tal que

w = Gkv.


LogoGk+1 (d′kv) = d′′k

(Gkv

)= d′′kw = 0,

de modo qued′kv ∈ kerGk+1 = imF k+1.

Como F k+1 e injetivo, existe um unico u ∈ Uk+1 tal que

d′kv = F k+1u.

Afirmamos quedk+1u = 0.

De fatoF k+2

(dk+1u

)= d′k+1

(F k+1u

)= d′k+1d′kv = 0,

e como F k+2 e injetiva, segue o resultado. Portanto, u ∈ Zk (U) e podemos definir

δk ([w]) = [u] .

Ukdk−→ Uk+1

u∈Zk(U)

dk+1

−→ Uk+2

↓Fk ↓Fk+1 ↓Fk+2

V kv

d′k−→ V k+1

d′kv

d′k+1

−→ V k+2

↓Gk ↓Gk+1 ↓Gk+2

W k

w∈Zk(W)

d′′k−→ W k+1 d′′k+1

−→ W k+2

Passo 2: A definicao de δk ([w]) independe de v =(Gk)−1

(w) e do representante u de [u].

Sejam v1, v2 ∈(Gk)−1

(w). Entao, como visto acima, existem unicos u1, u2 ∈ Uk+1 tais que

d′kv1 = F k+1 (u1) ,

d′kv2 = F k+1 (u2) .

Para provar este passo, precisamos mostrar que

[u1] = [u2] ,

ou seja, que existe v ∈ V k tal queu1 − u2 = d′′kv.

De fato, como Gk (v1 − v2) = 0, temos v1 − v2 ∈ kerGk = imF k, logo existe um unico v ∈ V k tal que

F k (v) = v1 − v2,

donde

F k+1(d′′kv

)= d′k

(F kv

)= d′k (v1 − v2)

= F k+1 (u1 − u2) ;

e como F k+1 e injetivo segue o resultado.


Portanto, δk : Hk (W) −→ Hk+1 (U) esta bem definido e e claramente um operador linear.Passo 3: A sequencia de Mayer-Vietoris e exata.(3a) im δk = kerF#(k+1).im δk ⊂ kerF#(k+1): Se [w] ∈ Hk (W), sejam v ∈ V k e u ∈ Uk+1 como na definicao de δk no diagramaacima. Temos

F#(k+1)δ [w] = F#(k+1) [u]

=[F (k+1)u

]= [d′kv]

= 0.

kerF#(k+1) ⊂ im δk: Se [w] ∈ kerF#(k+1), entao[F k+1w

]= 0 e F k+1w ∈ Bk+1 (V), digamos F k+1w = d′v

para algum v ∈ V k. Seja w′ = Gkv. Entao

d′′w′ = d′′(Gkv

)= Gk+1d′v

= Gk+1F k+1w

= 0,

pois imF k+1 ⊂ kerGk+1. Logo, w′ ∈ Zk (W) e por definicao

δk ([w′]) = [w] .

(3b) imF#k = kerG#k.imF#k ⊂ kerG#k: Como imF k ⊂ kerGk,

Gk(F k)u = 0

para todo u ∈ Uk. Por funtorialidade,G#k

(F#k

)[u] = 0.

kerG#k ⊂ imF#k: Seja v ∈ Zk (V) com G#k ([v]) = 0. Segue que Gkv ∈ Bk (W), digamos Gkv = d′′w′ paraalgum w′ ∈W k−1. Pela sobrejetividade de Gk−1, existe v′ ∈ V k−1 tal que Gk−1v′ = w′. Logo,

Gk (v − d′v′) = Gkv −Gk (d′v′)

= Gkv − d′′(Gk−1v′

)= Gkv − d′′w′

= 0,

e consequentemente v − d′v′ ∈ kerGk ⊂ imF k, donde existe u ∈ Uk tal que v − d′v′ = F ku. Daı,

F k (du) = d′(F k−1u

)= d′ (v − d′v′)= d′v − d′2v′

= 0,

e du = 0 porque F k e injetiva. Como u ∈ Zk (U), faz sentido calcular a classe de cohomologia de u e temos

F#k ([u]) =[F ku

]= [v − d′v′]= [v] .


(3c) imG#k = ker δk.imG#k ⊂ ker δk: Se [w] ∈ imG#k, entao [w] = G#k ([v]) para algum v ∈ Zk (V). Escolhendo este v nadefinicao de δk e o correspondente u no diagrama acima, segue que

0 = d′v = F k+1u

e portanto u = 0 pela injetividade de F k+1, logo δk ([w]) = [u] = 0.ker δk ⊂ imG#k: Se [w] ∈ ker δk e v ∈ V k, u ∈ Uk+1 sao como na definicao de δk no diagrama acima, entaou ∈ Bk+1 (U), digamos u = du′ para algum u′ ∈ Uk. Entao

d′(v − F ku′

)= d′v − d′

(F ku′

)= F k+1u− F k+1 (du′)

= F k+1u− F k+1u

= 0,

logo v − F ku′ ∈ Z (V). Logo faz sentido calcular a classe de cohomologia de v − F ku′ e temos

G#k([v − F ku′

])=[Gkv −GkF ku′

]=[Gkv

]= [w] .

12.5.2 Sequencia de Mayer-Vietoris de de Rham

12.33 Teorema (Teorema de Mayer-Vietoris para a Cohomologia de de Rham). Sejam M umavariedade diferenciavel e U, V abertos de M tais que

M = U ∪ V.

Existem lineomorfismosδk : Hk

dR (U ∩ V ) −→ Hk+1dR (M)

que dao origem a sequencia exata longa (chamada sequencia de Mayer-Vietoris)

. . . −→ Hk−1 (U ∩ V )δk−1

−→ Hk (M)i#U⊕i

#V−→ Hk (U)⊕Hk (V )

j#U−j#V−→ Hk (U ∩ V )

δk+1

−→ Hk+1 (M) −→ . . .

onde

iU : U −→M,

iV : V −→M,

jU : U ∩ V −→ U,

jV : U ∩ V −→ V,

sao as inclusoes.

Prova. As inclusoesU

iU

U ∩ V

jU

;;

jV ##

M

V

iV

>>


dao origem as aplicacoes de pullback

Λ∗ (U)

j∗U

&&Λ∗ (M)

i∗U

::

i∗V $$

Λ∗ (U ∩ V )

Λ∗ (V )

j∗V

88

Afirmamos que a sequencia curta de complexos em cocadeia

0 −→ Λ∗ (M)i∗U⊕i

∗V−→ Λ∗ (U)⊕ Λ∗ (V )

j∗U−j∗V−→ Λ∗ (U ∩ V ) −→ 0

onde(i∗U ⊕ i∗V ) (ω) = (i∗Uω, i

∗V ω)

e uma sequencia exata, donde seguira o resultado pelo Teorema 12.32. Provar isso e equivalente a provarque

i∗U ⊕ i∗V e injetivo,

im (i∗U ⊕ i∗V ) = ker (j∗U − j∗V )

ej∗U − j∗V e sobrejetivo.

Passo 1: i∗U ⊕ i∗V e injetiva.Sejam ω, η ∈ Λk (M), ω 6= η. Entao existe p ∈M tal que

ωp 6= ηp.

Como M = U ∪ V , temos que p ∈ U ou p ∈ V (nao descartando o caso p ∈ U ∩ V ). Suponha p ∈ U parafixar ideias. Como U e aberto em M , temos que

i∗U : TUp −→ TMp

e um isomorfismo, logoi∗U (ωp) 6= i∗U (ηp) .

Passo 2: im (i∗U ⊕ i∗V ) = ker (j∗U − j∗V ).(2a) im (i∗U ⊕ i∗V ) ⊂ ker (j∗U − j∗V ):

Dado ω ∈ Λk (M), se k : U ∩ V −→M e a inclusao, temos

(j∗U − j∗V ) (i∗U ⊕ i∗V )ω = (j∗U − j∗V ) (i∗Uω, i∗V ω)

= j∗U i∗Uω − j∗V i∗V ω

= (iU jU )∗ω − (iV jV )

∗ω

= k∗ω − k∗ω= 0.

(2b) ker (j∗U − j∗V ) ⊂ im (i∗U ⊕ i∗V ):Suponha (j∗U − j∗V ) (ωU , ωV ) = 0. Entao

j∗U (ωU ) = j∗V (ωV ) ,


de modo queωU = ωV em U ∩ V.

Como M = U ∪ V , podemos portanto definir ω ∈ Λk (M) por

ω =

ωU em U,ωV em V,

e vale(i∗U ⊕ i∗V )ω = (ωU , ωV ) .

Passo 3: j∗U − j∗V e sobrejetivo.Dado ω ∈ Λk (U ∩ V ), vamos definir

ωU ∈ Λk (U) ,

ωV ∈ Λk (V ) ,

tais que(j∗U − j∗V ) (ωU , ωV ) = ω.

Seja ρU , ρV uma particao da unidade subordinada a cobertura U, V de M . Como ρV ∈ C∞ (M) ⊃C∞ (U ∩ V ), segue que ρV ω ∈ Λk (U ∩ V ); como supp ρV ⊂ V , podemos definir ωU ∈ Λk (U) por

ωU =

ρV ω em U ∩ V,0 em U − (U ∩ V ) .

Definimos ωV ∈ Λk (V ) por

ωV =

−ρUω em U ∩ V,0 em V − (U ∩ V ) .

Segue que

(j∗U − j∗V ) (ωU , ωV ) = j∗UωU − j∗V ωV= ρV ω + ρUω

= ω.

12.34 Definicao. Uma cobertura aberta de uma variedade e chamada simples se qualquer intersecao finitanao vazia de abertos da cobertura e difeomorfa a Rn.

Uma variedade diferenciavel que admite uma cobertura simples finita e chamada do tipo finito.

12.35 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma cobertura localmente finita simples enumeravel.Toda variedade compacta e do tipo finito.

Prova. (Requer conhecimentos basicos de Geometria Riemanniana) Toda variedade diferenciavel possui umametrica riemanniana. Seja portanto M uma variedade diferenciavel dotada de uma metrica riemanniana.Seja Uii∈N uma cobertura aberta enumeravel localmente finita de M tal que Vii∈N com Vi ⊂⊂ Ui aindae uma cobertura aberta localmente finita de M (veja o Teorema 2.12). Para cada p ∈ M seja Wp umavizinhanca geodesicamente convexa de p contida em algum Ui. Para cada i considere

Ci =Wp : Wp ∩ Vi 6= ∅

.

Como Vi e compacto, existe uma subcobertura finita C′i de Ci que cobre Vi. Tome

C =⋃i∈N

C′i.


Para verificar que se W1, . . . ,Wm ∈ C entao W1∩ . . .∩Wm e difeomorfo a Rn, sejam p, q pontos da intersecao.Como cada Wi e uma vizinhanca geodesicamente convexa, a unica geodesica minimizante que une p, qesta contida em cada Wi e portanto esta contida na intersecao. Segue que a intersecao e uma vizinhancageodesicamente convexa, logo e difeomorfa a Rn. Note que muitas variedades diferenciaveis nao compactas sao do tipo finito: Rn (e consequentemente su-perfıcies regulares que sao graficos de funcoes) e o exemplo mais obvio.

12.36 Teorema. Seja M uma variedade diferenciavel do tipo finito.Os espacos de cohomologia de de Rham de M tem dimensao finita.

Prova. A prova e por inducao no tamanho de uma cobertura simples finita de M . Se M tem uma coberturasimples formada por um unico aberto difeomorfo a Rn, entao M e contratil e o resultado vale trivialmente.

Assuma o resultado valido para variedades que podem ser cobertas por coberturas simples de m abertos.Seja

C = U1, . . . , Um, Um+1

uma cobertura simples para M . Escreva

U = U1 ∪ . . . ∪ Um,V = Um+1,

de modo queM = U ∪ V.

Temos que U , V e U ∩ V sao variedades do tipo finito com coberturas simples de m abertos: U, V pordefinicao e U ∩ V porque

C′ = U1 ∩ Um+1, . . . , Um ∩ Um+1

e uma cobertura simples para U ∩ V com m abertos. Pela hipotese de inducao, os espacos de cohomologiade de Rham de U e U ∩ V tem dimensao finita. Temos, pela sequencia de Mayer-Vietoris

. . . −→ Hk−1 (U ∩ V )δk−1

−→ Hk (M)i#U⊕i

#V−→ Hk (U)⊕Hk (V ) −→ . . .

exata. Comoim(i#U ⊕ i

#V

)⊂ Hk (U)⊕Hk (V ) ,

segue que

dim im(i#U ⊕ i

#V

)e finito;

comoker(i#U ⊕ i

#V

)= im δk−1 = im δk−1

(Hk−1 (U ∩ V )

),

segue tambem que

dim ker(i#U ⊕ i

#V

)e finito.

Portanto,

dimHk (M) = dim ker(i#U ⊕ i

#V

)+ dim im

(i#U ⊕ i

#V

)e finito.


12.5.3 Aplicacao no Calculo de Cohomologias e Caracterıstica de Euler

12.37 Lema. Seja

0 −→ V 0 −→ V 1 −→ V 2 −→ . . . −→ V m −→ 0

uma sequencia exata de espacos vetoriais de dimensao finita. Entao

m∑k=0

(−1)k

dimV k = 0.

Prova. Por inducao. O caso m = 00 −→ V 0 −→ 0

e trivial, pois a exatidao da sequencia implica que a imagem 0 do primeiro lineomorfismo e isomorfa ao nucleoV 0 do ultimo, logo V 0 = 0. Por inducao, assuma o resultado valido para toda sequencia de comprimentom− 1 e considere a sequencia exata

0 −→ V 0 F0−→ V 1 F1−→ V 2 −→ . . . −→ V m−1 −→ V m −→ 0.

ComoimF0 = kerF1,

F1 induz o lineomorfismo

F1 :V 1

imF0−→ V2

[v1] 7→ F1 (v1)

Alem disso, F1 e injetivo, pois F (v1) = F (v2) implica v1 − v2 ∈ kerF1 = imF0, logo [v1] = [v2]. Portantotemos a sequencia exata

0 −→ V 1

imF0

F1−→ V 2

e substituindo ela na sequencia exata original, obtemos a sequencia exata de comprimento m− 1

0 −→ V 1

imF0

F1−→ V 2 −→ . . . −→ V m−1 −→ V m −→ 0.

Pela hipotese de inducao,

dimV 1

imF0−

m∑k=2

(−1)k

dimV k = 0.

Como

dimV 1

imF0= dimV 1 − dim imF0

= dimV 1 − dimV 0

porque F0 e injetivo, segue o resultado.

12.38 Teorema (Cohomologia das Esferas.). Para n > 1,

HkdR (Sn) =

R se k = 0 ou k = n,0 caso contrario.


Prova. Como Sn e conexa, temosH0

dR (Sn) = R.

Para provar os casos restantes, usaremos a sequencia de Mayer-Vietoris. Escreva Sn = U ∩ V , com

U = Sn\N,V = Sn\S,

onde N e S sao os polos norte e sul da esfera, de modo que

U ∩ V = Sn\ N,S .

Para o caso k = n = 1, usamos o pedaco da sequencia exata de Mayer-Vietoris

H−1dR (U ∩ V ) −→ H0

dR

(S1)−→ H0

dR (U)⊕H0dR (V ) −→ H0

dR (U ∩ V ) −→ H1dR

(S1)−→ H1

dR (U)⊕H1dR (V )

Como U e V sao difeomorfos (atraves da projecao estereografica) a R1, que e contratil, e U ∩ V tem duascomponentes conexas, esta sequencia exata e

0 −→ R −→ R⊕ R −→ R⊕ R −→ H1dR

(S1)−→ 0.

Pelo lema anterior,1− 2 + 2− dimH1

dR

(S1)

= 0,

logo dimH1dR

(S1)

= 1 e portanto

H1(S1)

= R.

Para o caso k = 1, n > 2, usamos o pedaco da sequencia exata de Mayer-Vietoris

H−1dR (U ∩ V ) −→ H0

dR (Sn) −→ H0dR (U)⊕H0

dR (V ) −→ H0dR (U ∩ V ) −→ H1

dR (Sn) −→ H1dR (U)⊕H1

dR (V )

Como U e V sao difeomorfos (atraves da projecao estereografica) a Rn, que e contratil, e U ∩ V tem umacomponente conexa, esta sequencia exata e

0 −→ R −→ R⊕ R −→ R −→ H1dR (Sn) −→ 0.

Pelo lema anterior,1− 2 + 1− dimH1

dR (Sn) = 0,

logo dimH1dR (Sn) = 0 e portanto

H1 (Sn) = 0.

Para provar o caso n > 2, k > 2, usamos o pedaco da sequencia exata de Mayer-Vietoris

Hk−1dR (U)⊕Hk

dR (V ) −→ Hk−1dR (U ∩ V ) −→ Hk

dR (Sn) −→ HkdR (U)⊕Hk

dR (V )

Como U e V sao difeomorfos a Rn, para k > 2 esta sequencia exata e

Hk−1dR (U)⊕Hk

dR (V ) = HkdR (U)⊕Hk

dR (V ) = 0,

logoHk

dR (Sn) ∼= Hk−1dR (Sn\ N,S) .

Via projecao estereografica, temos que

Sn\ N,S e difeomorfo a Rn−1\0


e via retratoRn−1\0 e homotopicamente equivalente a Sn−1.

Portanto,Hk

dR (Sn) ∼= Hk−1dR

(Sn−1

).

Daı,

HndR (Sn) = Hn−1

dR

(Sn−1

)= . . . = H2

dR

(S2)

= H1(S1)

= R,Hn−1

dR (Sn) = Hn−2dR

(Sn−1

)= . . . = H2

dR

(S3)

= H1dR

(S2)

= 0,

Hn−2dR (Sn) = Hn−3

dR

(Sn−1

)= . . . = H2

dR

(S4)

= H1dR

(S3)

= 0.

e em geral, por inducao, para 1 6 l < n, n > 2,

Hn−ldR (Sn) = Hn−l−1

dR

(Sn−1

)= . . . = H2

dR

(Sl+2

)= H1

dR

(Sl+1

)= 0.

12.39 Corolario. Uma n-forma ω em Sn e exata se e somente se∫Sn ω = 0.

Prova. Como Sn e uma variedade orientavel sem bordo, segue da Proposicao 12.1 (consequencia do teoremade Stokes) que

∫Sn ω = 0.

Reciprocamente, suponha∫Sn ω = 0. Como ω e uma n-forma, ω e necessariamente fechada, isto e, dω = 0

pois dω e uma (n+ 1)-forma e todas tais formas sao nulas. Logo faz sentido falar na classe de cohomologiade ω e pelo teorema anterior [ω] ∈ Hn

dR (Sn) = R. Em particular, existe λ ∈ R tal que

[ω] = λ [vol]

pois a forma de volume vol em Sn nao e exata, logo sua classe de cohomologia e nao nula (Corolario 12.3).Entao [ω − λθ] = 0, donde

0 =

∫Sn

(ω − λ vol) =

∫Snω − λ

∫Sn

vol = −λVol (Sn) .

Portanto, λ = 0 e [ω] = 0, isto e, ω e exata. Este resultado vale em geral para variedades orientaveis compactas (Corolario 12.56).

12.40 Corolario (Cohomologia de Rn Furado).

HkdR (Rn\0) =

R se k = 0 ou k = n− 1,0 caso contrario.

Consequentemente, Rn e Rm nao sao homeomorfos se n 6= m e variedades topologicas de dimensoes diferentesnao sao homeomorfas.

Prova. Rn\0 tem o mesmo tipo de homotopia da esfera Sn−1.

12.41 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Sua caracterıstica de Euler χ (M) e definida por

χ (M) =

n∑k=0

(−1)k

dimHkdR (M) .


Como a cohomologia de de Rham e um invariante topologico, a caracterıstica de Euler definida a partir delatambem e.

12.42 Corolario (Caracterıstica de Euler das Esferas.).

χ (Sn) = 2.

12.43 Proposicao. Sejam M uma variedade diferenciavel e U, V abertos de M tais que M = U ∪V , entao

χ (M) = χ (U) + χ (V )− χ (U ∩ V ) .

Prova. Decorre do Teorema de Mayer-Vietoris e do Lema 12.37.

12.44 Proposicao. Seja L ∈ Hom (Rn,Rn) um isomorfismo e considere o difeomorfismo

F = L|Rn\0 : Rn\0 −→ Rn\0.

EntaoF# = (−1)

sign(detL)id .

Em particular, se F (x) = −x e a aplicacao antipodal,

F# = (−1)n

id

e F nao e homotopica a identidade se n e ımpar.

Prova. Fixando uma base em Rn, identificamos isomorfismos com matrizes invertıveis. Seja A a matrizidentificada com L e denote FA = L|Rn\0. Em geral, denotaremos o difeomorfismo de Rn\0 associado amatriz B, isto e, a restricao a Rn\0 do isomorfismo linear associado a B, por FB .

Seja Eij a matriz elementar(Eij)

rs = δrsij .

Se uma matriz B e obtida a partir de uma matriz A substituindo a linha Ai (a linha i de A) por Ai + cAj

(soma da linha i e c vezes a linha j), entao efetuar esta operacao elementar na matriz A para obter B, basedo algoritmo de escalonamento de Gauss-Jordan, pode ser descrita pela equacao matricial

B = (I + cEij)A.

Executar uma operacao elementar sobre uma matriz nao muda o seu determinante, logo

detB = detA = detL.

e em particular B e um difeomorfismo. Existe uma homotopia entre os difeomorfismos FA e FB , dada por

H (t, ·) = (I + tcEij)A,

e para todo t ∈ [0, 1] vale, pelo mesmo motivo observado acima,

detH (t, ·) = detA = detL.

Atraves de operacoes elementares sucessivas, seguindo o algoritmo de escalonamento de Gauss-Jordan, ob-temos que L e homotopica a matriz diagonal

D1 = diag[

1 · · · 1 detL].


Por sua vez esta matriz e homotopica a

D0 = diag[

1 · · · 1 sign (detL)]

= diag[

1 · · · 1 ±1],

atraves da homotopia

D (t, ·) = diag

[1 · · · 1 |detL|t detL

|detL|

]Se sign (detL) = +1, entao

FD0 = id =⇒ F#D0

= id .

Se sign (detL) = −1, entao

F#D0

= − id .

Para este ultimo passo, veja os detalhes em [Madsen-Tornehave], Addendum 6.12, p. 44. Uma demonstracao mais simples de parte do resultado anterior:

12.45 Lema. A aplicacao antipodalF : Sn −→ Sn.

definida porF (x) = −x

nao e homotopica a identidade se n e par.

Prova. Considere a inclusaoı : Sn −→ Rn+1,

a forma ω ∈ Λn(Rn+1

)definida por

η =

n∑i=1

(−1)i+1

xidx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn+1.

e definaω = ı∗η,

isto e,

ω =

n∑i=1

(−1)i+1 (

xi ı)d(x1 ı

)∧ · · · ∧ d (xi ı) ∧ · · · ∧ d

(xn+1 ı

).

Temos

dη =

n∑i=1

(−1)i+1

dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn+1

= (n+ 1) dx1 ∧ · · · ∧ dxn+1

= (n+ 1) d volRn+1 ,

de modo que pelo teorema de Stokes ∫Snω =

∫∂Bn+1

ı∗η

=

∫Bn+1

dη

= (n+ 1) Vol(Bn+1

)> 0.


Em particular, ω nao e exata e portanto [ω] 6= 0. Por outro lado,

F ∗ω =

n∑i=1

(−1)i+1 (

xi F)d(x1 F

)∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ d

(xn+1 F

)= (−1)

n−1n∑i=1

(−1)i+1

yidy1 ∧ · · · ∧ dyi ∧ · · · ∧ dyn+1

= (−1)n−1

ω,

de modo queF# [ω] = − [ω]

se n e par, masid# = id .

12.46 Teorema. A esfera Sn admite um campo vetorial tangente que nao se anula em nenhum ponto se esomente se n e ımpar.

Prova. Se n = 2k−1 e ımpar, definimos X ∈ T (Sn) que nunca se anula em p =(x1, x2, . . . , x2k−1, x2k

)∈ Sn

porXp = X

(x1, x2, . . . , x2k−1, x2k

)=(−x2, x1, . . . ,−x2k, x2k−1

).

Como 〈Xp, p〉 = 0, Xp ∈ TSnp .Reciprocamente, suponha que exista X ∈ T (Sn) tal que

Xp 6= 0 para todo p ∈ Sn.

Reescalando, podemos assumir que Xp e um campo unitario, ou seja, Xp ∈ Sn. Em particular,

〈Xp, p〉 = 0

para todo p ∈ Sn, ou seja, os vetores Xp e x sao ortogonais, em particular nao colineares. Podemos entaodefinir uma homotopia entre as aplicacoes identidade id e antipodal F em Sn por

H (p, t) = (cosπt) p+ (senπt)Xp,

pois os termos da soma correspondem a vetores nao colineares que nunca se anulam e tem norma unitaria,logo sua soma tambem nunca se anula e tem norma unitaria, contradizendo o lema anterior se n e par.

12.6 Teorema de Kunneth

12.47 Lema (Lema dos 5 Morfismos). Seja

V 1 f1−→ V 2 f2−→ V 3 f3−→ V 4 f4−→ V 5

↓F 1 ↓F 2 ↓F 3 ↓F 4 ↓F 5

W 1 g1−→ W 2 g2−→ W 3 g3−→ W 4 g4−→ W 5

um diagrama comutativo de espacos vetoriais e lineomorfismos tal que as sequencias horizontais sao exatas.Se os lineomorfismos laterais F 1, F 2, F 4, F 5 sao isomorfismos, entao o lineomorfismo do meio F 3 tambem

e.


Prova.Passo 1: Se F 2, F 4 sao sobrejetivas e F 5 e injetiva, entao F 3 e sobrejetiva.

Seja w3 ∈W 3. Como w4 := g3 (w3) ∈W4 e F 4 e sobrejetiva, existe v4 ∈ V4 tal que F 4 (v4) = w4. Comoa segunda sequencia horizontal e exata, ou seja, im g3 = ker g4, e o diagrama e comutativo, temos

0 = g4 (w4) = g4

(F 4 (v4)

)= F 5 (f4 (v4)) .

Como F 5 e injetiva, segue que f4 (v4) = 0, ou seja, v4 ∈ ker f4. Como a primeira sequencia horizontaltambem e exata, temos que ker f4 = im f3, logo existe v3 ∈ V 3 tal que f3 (v3) = v4. Da comutatividade dodiagrama, concluımos que

g3 (w3) = w4 = F 4 (v4) = F 4 (f3 (v3)) = g3

(F 3 (v3)

).

Em particular, w3 − F 3 (v3) = 0, logo

w3 − F 3 (v3) ∈ ker g3 = im g2,

logo existe w2 ∈W2 tal quew3 − F 3 (v3) = g2 (w2) .

Como F 2 e sobrejetiva, existe v2 ∈ V2 tal que F 2 (v2) = w2. Pela comutatividade do diagrama,

F 3 (f2 (v2)) = g2

(F 2 (v2)

)= g2 (w2) = w3 − F 3 (v3) ,

dondew3 = F 3 (f2 (v2) + v3) .

Passo 2: Se F 2, F 4 sao injetivas e F 1 e sobrejetiva, entao F 3 e injetiva.Seja v3 ∈ V 3 tal que F 3 (v3) = 0. Entao g3

(F 3 (v3)

)= 0 e pela comutivativade do diagrama,

F 4 (f3 (v3)) = g3

(F 3 (v3)

)= 0.

Como F 4 e injetiva, f3 (v3) = 0, ou seja, v3 ∈ ker f3. Como a primeira sequencia horizontal do diagrama eexata, temos que im f2 = ker f3, logo existe v2 ∈ V 2 tal que f2 (v2) = v3. Pela comutatividade do diagrama,

g2 (F2 (v2)) = F 3 (f2 (v2)) = F 3 (v3) = 0,

ou seja, F2 (v2) ∈ ker g2. Como a segunda sequencia horizontal do diagrama tambem e exata, temos queim g1 = ker g2, logo existe w1 ∈W 1 tal que g1 (w1) = F2 (v2). Como F 1 e sobrejetiva, existe v1 ∈ V 1 tal queF 1 (v1) = w1. Pela comutatividade do diagrama,

F 2 (f1 (v1)) = g1

(F 1 (v1)

)= g1 (w1) = F 2 (v2) .

Como F 2 e injetiva, segue que f1 (v1) = v2, logo

f2 (f1 (v1)) = f2 (v2) = v3.

Como a primeira sequencia horizontal do diagrama e exata, segue que f2 f1 = 0 e concluımos que v3 = 0.

Se M1,M2 sao variedades diferenciaveis, entao as projecoes naturais

M1 ×M2π2−→ M2

↓π1

M1


induzem morfismos entre as cohomologias de de Rham (morfismo entre algebras graduadas; Proposicao12.14)

π#1 : HdR (M1) −→ HdR (M1 ×M2) ,

π#2 : HdR (M2) −→ HdR (M1 ×M2) .

Consequentemente obtemos um morfismo entre algebras graduadas

φ# : HdR (M1)⊗HdR (M2) −→ HdR (M1 ×M2)

definindo

φ# ([ω1]⊗ [ω2]) = π#1 [ω1] ∧ π#

2 [ω2] .

Lembre-se que, por definicao do produto tensorial de algebras graduadas,

(HdR (M1)⊗HdR (M2))m =

m⊕k=0

Hk (M1)⊗Hm−k (M2) .

12.48 Teorema (Teorema de Kunneth). Se M1,M2 sao variedades diferenciaveis e pelo menos umadelas e do tipo finito, entao φ# e um isomorfismo entre algebras graduadas.

Consequentemente,

HdR (M1 ×M2) = HdR (M1)⊗HdR (M2) .

Prova. Caso 1: Se Mi e contratil para algum i.Para fixar ideias, assuma que M2 e contratil. Neste caso M1 ×M2 e homotopicamente equivalente a M1

e basta aplicar o Lema de Poincare no lado direito para obter HdR (M1)⊗HdR (M2) = HdR (M1).Caso Geral.

Para fixar ideias, assuma que M1 e do tipo finito. Sejam U, V abertos de M1 tais que M1 = U ∪ V . PeloTeorema de Mayer-Vietoris, a sequencia

Hk−1 (U)⊕Hk−1 (V ) −→ Hk−1 (U ∩ V ) −→ Hk (M1) −→ Hk (U)⊕Hk (V ) −→ Hk (U ∩ V )

e exata. Fazendo o produto tensorial desta sequencia exata com Hm−k (M2), obtemos a sequencia exata[Hk−1 (U)⊕Hk−1 (V )

]⊗Hm−k (M2) −→ Hk−1 (U ∩ V )⊗Hm−k (M2) −→ Hk (M1)⊗Hm−k (M2)

−→[Hk (U)⊕Hk (V )

]⊗Hm−k (M2) −→ Hk (U ∩ V )⊗Hm−k (M2) .

Somando sobre os ındices k, obtemos a sequencia exata

m⊕k=0

[Hk−1 (U)⊕Hk−1 (V )

]⊗Hm−k (M2) −→

m⊕k=0

Hk−1 (U ∩ V )⊗Hm−k (M2) −→m⊕k=0

Hk (M1)⊗Hm−k (M2)

−→m⊕k=0

[Hk (U)⊕Hk (V )

]⊗Hm−k (M2) −→

m⊕k=0

Hk (U ∩ V )⊗Hm−k (M2) ,

isto e,

[HdR (U)⊕HdR (V )]⊗HdR (M2)m−1 −→ (HdR (U ∩ V )⊗HdR (M2))m−1 −→ (HdR (M1)⊗HdR (M2))m

−→ [HdR (U)⊕HdR (V )]⊗HdR (M2)m −→ (HdR (U ∩ V )⊗HdR (M2))m ,


O diagrama

[HdR (U)⊕HdR (V )]⊗HdR (M2)m−1 −→ (HdR (U ∩ V )⊗HdR (M2))m−1 −→ (HdR (M1)⊗HdR (M2))m↓φ# ↓φ# ↓φ#

Hm−1dR (U ×M2)⊕Hm−1

dR (V ×M2) −→ Hm−1dR ((U ∩ V )×M2) −→ Hm

dR (M1 ×M2)

−→ [HdR (U)⊕HdR (V )]⊗HdR (M2)m −→ (HdR (U ∩ V )⊗HdR (M2))m↓φ# ↓φ#

−→ HmdR (U ×M2)⊕Hm (V ×M2) −→ Hm

dR ((U ∩ V )×M2)

e claramente comutativo, exceto possivelmente pelo quadrado

(HdR (U ∩ V )⊗HdR (M2))m−1δ−→ (HdR (M1)⊗HdR (M2))m

↓φ# ↓φ#

Hm−1dR ((U ∩ V )×M2)

δ−→ HmdR (M1 ×M2)

Para verificar a comutatividade deste, seja ω ⊗ η ∈ Hk (U ∩ V )⊗Hm−k (M2). Temos

φ#δ ([ω1]⊗ [ω2]) = π#1 δ [ω1] ∧ π#

2 [ω2] ,

δφ# ([ω1]⊗ [ω2]) = δ(π#

1 [ω1] ∧ π#2 [ω2]

).

Como e possıvel ver da demonstracao do Lema do Zig-Zag juntamente com o Teorema de Mayer-Vietoris,se ρU , ρV e uma particao da unidade subordinada a cobertura U, V , entao

δ [ω1] =

[−d (ρV ω1) em U,d (ρUω1) em V.

]Como π∗1ρU , π∗1ρV e uma particao da unidade subordinada a cobertura U ×M2, V ×M2, segue que em(U ∩ V )×M2 vale

δ(π#

1 [ω1] ∧ π#2 [ω2]

)= δ

([(π∗1ρU ) (π∗1ω1)] ∧ π#

2 [ω2])

= [dπ∗1 (ρUω1)] ∧ π#2 [ω2]

= [π∗1d (ρUω1)] ∧ π#2 [ω2]

= π#1 δ [ω1] ∧ π#

2 [ω2] .

Se U, V, U ∩ V sao contrateis, os 4 morfismos laterais φ# sao isomorfismos pelo Caso 1, e o lema dos 5morfismos permite concluir que o morfismo do meio

φ# : HdR (M1)⊗HdR (M2) −→ HdR (M1 ×M2)

e um isomorfismo. Um argumento de inducao sobre a cardinalidade de uma cobertura simples finita comousado no Corolario 12.36 permite concluir o resultado se M1 tem tipo finito.

12.49 Corolario (Cohomologia do Toro).

HkdR

(S1 × S1

)=

R se k = 0 ou k = 2,R2 se k = 1,0 caso contrario.

Consequentemente, a esfera S2 e o toro S1 × S1 nao sao homeomorfos.


Prova. Temos H0dR

(S1 × S1

)= R, porque o toro e conexo,

H1dR

(S1 × S1

)=(H0

dR

(S1)⊗H1

dR

(S1))⊕(H1

dR

(S1)⊗H0

dR

(S1))

= (R⊗ R)⊕ (R⊗ R)

= R⊕ R

e

H2dR

(S1 × S1

)=(H0

dR

(S1)⊗H2

dR

(S1))⊕(H1

dR

(S1)⊗H1

dR

(S1))⊕(H2

dR

(S1)⊗H0

dR

(S1))

= R⊗ 0⊕ R⊗ R⊕ 0⊗ R= R.

12.7 Cohomologia de de Rham com Suporte Compacto

Restringirmos nossa atencao agora a formas com suporte compacto (que em particular podem ser integradasem qualquer variedade, nao apenas em variedades compactas):

12.50 Definicao. Consideramos o subespaco Λkc (M) das k-formas diferenciais com suporte compacto, ouseja,

Λkc (M) =ω ∈ Λk (M) : suppω e compacto

.

Em Rn, ω e uma forma de suporte compacto se e somente se

ω = f dx1 ∧ . . . ∧ dxn

para alguma f ∈ C∞c (M).Como a derivada exterior de uma forma com suporte compacto e uma forma com suporte compacto,

podemos considerar a sua cohomologia:

12.51 Definicao. A cohomologia de de Rham com suporte compacto Hc (M) e a cohomologia docomplexo em cocadeia Λ∗c (M).

Atraves da cohomologia de de Rham com suporte compacto de uma variedade, podemos obter resultadossobre a cohomologia de de Rham da variedade (veja Teorema 12.55 nesta secao): a cohomologia de de Rhamcom suporte compacto e mais facil de usar porque ela tem a ferramenta adicional da integral, que esta definidapara formas com suporte compacto. Note que se M e uma variedade compacta, entao Λ∗c (M) = Λ∗ (M) eportanto Hc (M) = HdR (M).

O fato que funcoes constantes em M sao 0-formas com suporte compacto se e somente se M e compactaja traz algumas diferencas entre as duas cohomologias de de Rham:

12.52 Proposicao.

H0c (Rn) = 0.

Prova. Pois df = 0 se e somente se f e constante e as funcoes constantes nao estao em Λ0c (Rn), logo a

unica 0-forma fechada com suporte compacto e a funcao nula. Como a integral de formas em Rn com suporte compacto pode ser calculada, estamos em condicoes de

formular e provar um resultado analogo ao do Corolario 12.39 para esferas:


12.53 Proposicao. Seja ω ∈ Λnc (Rn) uma n-forma com suporte compacto.Entao existe uma (n− 1)-forma com suporte compacto η ∈ Λn−1

c (Rn) tal que

ω = dη

se e somente se ∫Rnω = 0.

Prova. Em outras palavras, ω ∈ Λnc (Rn) e exata com suporte compacto, isto e, se e somente se∫Rn ω = 0.

Para provar este resultado, suponha primeiro que existe uma tal η. Em particular,

suppω ⊂ supp η.

Pelo teorema de Stokes, se supp η ⊂ BR (0) para algum R suficientemente grande, temos∫Rnω =

∫BR(0)

dη =

∫∂BR(0)

η = 0.

Reciprocamente, suponha que∫Rn ω = 0. Considere a projecao estereografica pelo polo norte

ϕN : Sn\ N −→ Rn.

ϕN e um difeomorfismo que preserva orientacao (pois faz parte de um atlas de duas cartas de vizinhancaspara a esfera cuja intersecao e conexa). Temos que

η = ϕ∗N (ω) ∈ Λnc (Sn)

e uma forma em Sn com suporte compacto (podemos considerar η como uma n-forma definida em Snexatamente porque ela tem suporte no aberto Sn\ N; ela e nula “longe” de N). Alem disso,∫

Snη =

∫Sn\N

ϕ∗N (ω) =

∫Rnω = 0.

Pelo Corolario 12.39 η e exata, logo existe θ ∈ Λn−1c (Sn) = Λn−1 (Sn) tal que

η = dθ.

Como dθ = η = 0 em uma vizinhanca contratil U do polo norte (pois o suporte de ω esta contido em algumabola de Rn), existe uma (n− 2)-forma ν ∈ Λn−2 (U) tal que

θ = dν.

Usando uma funcao bump que vale 1 em V ⊂⊂ U e vale 0 fora de U , podemos considerar ν ∈ Λn−2 (Sn)com

θ = dν em V .

Segue que θ − dν ∈ Λn−1c (Sn) = Λn−1 (Sn) tem suporte compacto em Sn\U e

d (θ − dν) = dθ = η.

Considerando α = (θ − dν) |Sn\N e tomando

η′ =(ϕ−1N

)∗α,


concluımos que η′ ∈ Λn−1c (Rn) satisfaz

dη′ = d(ϕ−1N

)∗α

=(ϕ−1N

)∗dα

=(ϕ−1N

)∗η

= ω.

12.54 Lema. Sejam M uma variedade diferenciavel orientavel e U ⊂M aberto difeomorfo a Rn.Existe uma n-forma ω ∈ Λnc (M) com suporte compacto em U tal que∫

M

ω = 1.

Alem disso, se η ∈ Λnc (M) e qualquer outra n-forma com suporte compacto em U , existe λ ∈ R tal que

[η] = λ [ω] .

Em outras palavras,Hnc (U) = R.

Em particular,

Hnc (Rn) = R.

Prova. Seja θ ∈ Λnc (Rn) tal que ∫Rnθ = 1.

(Basta tomar θ como um multiplo escalar adequado de uma forma f dx1∧ . . .∧dxn tal que f ∈ C∞c (Rn) comintegral nao nula em Rn; por exemplo, escolhendo f como uma funcao bump com suporte em uma bola.)

Se ϕ : U −→ Rn e um difeomorfismo que preserva orientacao, entao

ω = ϕ∗θ

tem suporte suppω = ϕ−1 (supp θ) compacto em U e, considerando ω ∈ Λnc (Rn) de maneira natural (defi-nindo ω como zero em M\U), segue que∫

M

ω =

∫U

ϕ∗θ =

∫Rnθ = 1.

Se η ∈ Λnc (M), considerando ω, η ∈ Λnc (U) usando a restricao, temos

λ =

∫M

η =

∫U

η =

∫Rn

(ϕ−1

)∗η,

enquanto que ∫Rn

(ϕ−1

)∗(λω) = λ

∫Rn

(ϕ−1

)∗ω = λ,

donde ∫Rn

(ϕ−1

)∗(η − λω) = 0.

Pela proposicao anterior, existe α ∈ Λn−1c (Rn) tal que(

ϕ−1)∗

(η − λω) = dα.


Logoη − λω = ϕ∗ (dα) = d (ϕ∗α) .

Como supp (ϕ∗α) ⊂ U , podemos estender ϕ∗α a uma (n− 1)-forma em M usando uma funcao bump quevale 1 no suporte e 0 fora de U .

12.55 Teorema. Se M e uma variedade diferenciavel orientavel conexa compacta, entao

HndR (M) = R.

Prova. Porque M e compacto, sua cohomologia de de Rham coincide com a de suporte compacto edimHn

dR (M) > 1 porque a forma de volume de M nao e cohomologa a forma nula. Seja U ⊂ M abertodifeomorfo a Rn e ω ∈ Λnc (M) = Λn (M) com suppω ⊂ U tal que∫

M

ω = 1.

Mostraremos que toda forma η ∈ Λn (M) satisfaz

[η] = λ [ω]

para algum λ ∈ R.Se supp η ⊂ U , o resultado segue do lema. Caso contrario, supp η ⊂ V para algum outro aberto V ⊂M .

Afirmamos que e suficiente considerar o caso em que V um aberto difeomorfo a Rn. De fato, como Me do tipo finito, existe um numero finito de abertos V1, . . . , Vm difeomorfos a Rn tais que M = ∪Vi. Seρii=1,...,m e uma particao da unidade subordinada a esta cobertura, entao

η =

m∑i=1

ρiη.

Tome ηi = ρiη, de modo que supp ηi ⊂ Ui. Assumindo o resultado valido para cada ηi, isto e, [ηi] = λ [ω],segue que

ηi = λiω + dθi,

donde

η =

m∑i=1

ηi =

(m∑i=1

λi

)ω + d

(m∑i=1

θi

)e [η] = λ [ω].

Seja entao supp η ⊂ V com V difeomorfo a Rn. Tome uma sequencia de abertos

V1 = U, V2, . . . , Vm−1, Vm = V

tais que cada Vi e difeomorfo a Rn e Vi ∩ Vi+1 6= ∅ para todo i. Denote

ω1 = ω,

ωk = η,

e para cada 2 6 i 6 k− 1 escolha um aberto Wi ⊂ Vi ∩ Vi+1 difeomorfo a Rn e uma n-forma ωi ∈ Λnc (M) =Λn (M) com suppωi ⊂Wi. Como

suppωi ⊂Wi ⊂ Vi ∩ Vi+1 ⊂ Vi+1,

suppωi+1 ⊂Wi+1 ⊂ Vi+1 ∩ Vi+2 ⊂ Vi+2,


segue do lema que[ωi+1] = λi [ωi]

para algum λi ∈ R. Concluımos que

[η] = [ωk] = λk [ωk−1] = . . . = λk · · ·λ2 [ω1] = λ [ω] ,

tomando λ = λk · · ·λ2.

12.56 Corolario. Se M e uma variedade diferenciavel orientavel conexa compacta, entao uma n-forma ωem M e exata se e somente se ∫

Mω = 0.

Prova. A demonstracao e analoga ao Corolario 12.39.

12.57 Corolario. Se M e uma variedade diferenciavel orientavelconexa compacta, entao o funcional

∫M

: HndR (M) −→ R

e um isomorfismo.

Os casos nao compacto e nao orientavel tem resultados bastante diferentes:

12.58 Teorema. Se M e uma variedade diferenciavel orientavel conexa nao compacta, entao

HndR (M) = 0.

Prova. Veja [Lee 1], p. 457, Teorema 17.34.

12.59 Teorema. Se M e uma variedade diferenciavel nao orientavel conexa, entao

H0dR (M) = Hn

dR (M) = 0.

Prova. Veja [Lee 1], p. 455, Teorema 17.32.

12.8 Dualidade de Poincare

12.60 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel orientavel compacta com dimensao par n = 2k.A forma bilinear

QM : HkdR (M)×Hk

dR (M) −→ R

definida por

QM ([ω] , [η]) =

∫M

ω ∧ η

e chamada a forma intersecao de M .Mais geralmente, se n e qualquer, definimos a forma bilinear

QM : HkdR (M)×Hn−k

dR (M) −→ R

por

QM ([ω] , [η]) =

∫M

ω ∧ η.


12.61 Teorema. Se M e uma variedade diferenciavel orientavel conexa compacta, entao para todo k aaplicacao de dualidade de Poincare

PD : HkdR (M) −→ Hn−k

dR (M)∗

definida por

PD (ω) (η) =

∫M

ω ∧ η

e um isomorfismo.Em particular, se M e orientavel conexa do tipo finito

HkdR (M) = Hn−k

dR (M)

e

Prova. Veja [Spivak], Vol. 2, p. 600, Teorema 22, ou [Bott-Tu], pp. ou ainda [Lee 1], p. 455, Problemas18-6, 18-7, 18-8.

12.62 Corolario. Se M e uma variedade diferenciavel orientavel conexa compacta de dimensao ımpar,entao

χ (M) = 0.

Prova. Pois se n e ımpar, a soma

χ (M) =

n∑k=0

(−1)k

dimHkdR (M)

tem um numero par de termos e

(−1)n−k

dimHn−kdR (M) = (−1)

n(−1)

−kdimHk

dR (M)

= (−1) (−1)k

dimHkdR (M) ,

logo estes termos se cancelam em pares.

12.9 Exercıcios

12.63 Exercıcio. Calcule a cohomologia de de Rham do toro mergulhado em R3 usando a sequencia deMayer-Vietoris.

12.64 Exercıcio. Calcule a cohomologia do toro n-dimensional Tn = S1 × . . .× S1.

Capıtulo 13

Grupos de Lie

13.1 Definicao

Um grupo de Lie e uma variedade diferenciavel que e simultaneamente um grupo algebrico, de tal modo quea estrutura algebrica e compatıvel com a estrutura diferenciavel, isto e, as operacoes algebricas de produtoe inversao sao aplicacoes diferenciaveis.

A aplicacao mais importante de grupos de Lie e no estudo de simetrias de variedades, isto e, automorfismosde variedades que preservam alguma estrutura extra: o grupo de isometrias de uma variedade Riemanniana(por exemplo, o grupo de simetrias da esfera, formado por rotacoes e reflexoes) e um grupo de Lie, comopode ser visto em detalhes em [Kobayashi].

13.1 Definicao. Um grupo de Lie e uma variedade diferenciavel G que possui uma estrutura algebricade grupo tal que as aplicacoes produto

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh

e inversao

G −→ G

g 7→ g−1

sao diferenciaveis.

Observe que a aplicacao produto esta definida na variedade produto G × G. As duas condicoes acima queexpressam a compatibilidade da estrutura algebrica com a estrutura diferencial podem ser resumidas emuma unica condicao:

13.2 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se esomente se a aplicacao

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh−1

e diferenciavel.

Prova: Suponha que a aplicacao do enunciado e diferenciavel. Entao a aplicacao inversao de G e diferenciavelporque e a composta de aplicacoes diferenciaveis:

G −→ G×G −→ Gg 7→ (e, g) 7→ eg−1 = g−1

271


(lembre-se que a inclusao na variedade produto sempre e uma aplicacao diferenciavel). Da mesmo forma, aaplicacao produto de G e diferenciavel porque e a composta de aplicacoes diferenciaveis:

G×G −→ G×G −→ G

(g, h) 7→(g, h−1

)7→ g

(h−1

)−1= gh

(lembre-se que uma aplicacao de G×G em G×G e uma aplicacao diferenciavel se e somente se cada aplicacaocoordenada G×G −→ G e).

A recıproca e obvia.

13.3 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Dado g ∈ G, entao as aplicacoes multiplicacao a esquerdapor g

Lg : G −→ Gg 7→ gh

e multiplicacao a direita por gRg : G −→ G

h 7→ hg

sao difeomorfismos.

Prova: Pois

(Lg)−1

= Lg−1 ,

(Rg)−1

= Rg−1 ,

Este resultado mostra que um grupo de Lie e homogeneo, isto e, do ponto de vista da variedade diferenciavelsubjacente todo ponto localmente se parece com qualquer outro ponto, via os difeomorfismos globais (auto-morfismos) multiplicacao a esquerda ou a direita.

Note que pela regra da cadeia [(dLg)h

]−1=(dL−1

g

)Lgh

=(dLg−1

)gh

(13.1)

e similarmente [(dRg)h

]−1=(dRg−1

)gh. (13.2)

Usando a homogeneidade de um grupo de Lie, podemos agora mostrar que na definicao de um grupo deLie basta assumir que a operacao produto e diferenciavel (este resultado nao vale para grupos topologicos,ou seja, para um grupo ser topologico, ambas as aplicacoes produto e inversa devem ser contınuas; esta euma peculiaridade dos grupos diferenciaveis, isto e, dos grupos de Lie):

13.4 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se esomente se a aplicacao produto

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh

e diferenciavel.

Prova: Para provar o resultado, basta mostrar que a aplicacao inversao e diferenciavel se a aplicacao produtoe.

Primeiro note que a aplicacao produto P : G×G −→ G e uma submersao em (e, e). De fato, identificando(Exercıcio 3.22)

T(e,e) (G×G) = TeG⊕ TeG


dado v ∈ TeG, seja α : I −→ G uma curva tal que α (0) = e e α′ (0) = v. Defina a curva β : I −→ G×G por

β (t) = (α (t) , e) ,

de modo queβ′ (t) = (α′ (t) , 0) ,

donde

β (0) = (e, e) ,

β′ (0) = (v, 0) ,

Segue da regra da cadeia que

dP(e,e) (v, 0) = dP(e,e) (β′ (0)) = (P β)′(0)

= α′ (0) = v.

Agora defina uma aplicacaoF : G×G −→ G×G

porF (g, h) = (g, gh) ,

ou seja,F = (π1, P ) ,

onde π1 e a projecao na primeira variavel. Como ambas P e π1 sao submersoes (veja Exemplo 5.5), segueque

dF(e,e) : TeG⊕ TeG −→ TeG⊕ TeGdada por

dF(e,e) =(d (π1)(e,e) , dP(e,e)

)tambem e sobrejetiva. Mas as dimensoes do domınio e do contradomınio sao iguais, logo dF(e,e) e umisomorfismo. Pelo Teorema da Aplicacao Inversa, existe uma vizinhanca U de (e, e) tal que F |U e umdifeomorfismo sobre sua imagem. Mas a inversa de F e, de fato,

F−1 (g, h) =(g, g−1h

),

logo em U a aplicacao inversa e a composta de aplicacoes diferenciaveis segundo o diagrama

gi17−→ (g, e)

F−1

7−→(g, g−1

) π17−→ g−1

portanto pela regra da cadeia ela e diferenciavel em U .Para mostrar que a aplicacao inversa e de fato diferenciavel em qualquer aberto de G, usamos a homo-

geneidade de um grupo de Lie. Dado g ∈ G arbitrario, como Lg e um difeomorfismo, Lg (U) = gU e umavizinhanca de g. Em gU a aplicacao inversa e a composta de aplicacoes diferenciaveis segundo o diagrama(no diagrama a seguir, dado h ∈ gU , escrevemos h = gx para algum x ∈ U)

h = gxLg−1

7−→ xinversa|U7−→ x−1

Rg−1

7−→ x−1g−1 = (gx)−1

= h−1,

portanto pela regra da cadeia ela e diferenciavel em gU . O resultado acima e um exemplo tıpico de como podemos usar o comportamento de um grupo de Lie emuma vizinhanca da identidade para provar fatos sobre todo o grupo.

13.5 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Se H e um subgrupo de G que e tambem uma subvariedade deG, entao H e um grupo de Lie.



13.2 Exemplos

13.6 Exemplo. Os espacos Rn e Cn (identificado com R2n) sob a operacao de adicao vetorial sao gruposde Lie.

Da mesma forma, o grupo multiplicativo dos reais R\ 0 e o grupo multiplicativo dos complexos C\ 0(identificado com R2\ 0) sob a operacao de multiplicacao sao grupos de Lie.

Como S1 com a multiplicacao induzida de C e um subgrupo e uma subvariedade de C\ 0, ele tambeme um grupo de Lie (Exercıcio 13.52).

13.7 Exemplo (Quaternions). A algebra (anel com divisao nao-comutativo) dos quaternions H e o su-bespaco vetorial real das matrizes complexas

H =

[z w−w z

]: z, w ∈ C

com o produto usual de matrizes. De fato,[

z w−w z

]−1

=1

|z|2 + |w|2

[z −ww z

].

Ele e isomorfo a R4, com sua base canonica sendo dada pelas matrizes

1 =

[1 00 1

], i =

[i 00 −i

], j =

[0 1−1 0

], k =

[0 ii 0

].

Assim, um quaternion pode ser escrito na forma

a+ bi+ cj + dk,

com os quaternions puros i, j,k satisfazendo as relacoes de comutacao

i2 = j2 = k2 = −1,

ij = −ji = k,

jk = −jk = i,

ki = −ik = j.

Usando estas relacoes mais as leis associativa e distributiva, podemos multiplicar os quaternions diretamente,sem nos referirmos a matrizes. Um mnemonico para as tres ultimas relacoes e

i k ←− j

Definimos a parte real e a parte imaginaria de um quaternion q = a+ bi+ cj + dk por

Re q = a,

Im q = bi+ cj + dk.

O seu conjugado quaternion eq = a− bi− cj − dk

e seu modulo|q| =

√a2 + b2 + c2 + d2.


Note queqq = |q|2 ,

de modo que

q−1 =q

|q|2.

O grupo multiplicativo dos quaternions H\ 0 e um grupo de Lie.

13.8 Exemplo (Produto Direto). Se G e H sao grupos de Lie, o produto direto G×H

(g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1h2)

com a estrutura diferenciavel de variedade produto e um grupo de Lie (Exercıcio 13.53). Assim, o toron-dimensional Tn = S1 × . . .× S1 ⊂ R2n e um grupo de Lie.

13.9 Exemplo (Grupo Linear Geral GLn (R)). O grupo das matrizes reais n × n invertıveis, chamado ogrupo linear geral real de ordem n e denotado GLn (R), e um grupo de Lie de dimensao n2.

De fato, identificando as matrizes reais n × n com pontos de Rn2

(por exemplo, ordenando as colunas

lado a lado), temos que GLn (R) e um aberto de Rn2

, pois

GLn (R) = det−1 (R\ 0) .

O produto de matrizes e uma aplicacao diferenciavel

GLn (R)×GLn (R) −→ GLn (R)

pois as n2 funcoes coordenadas desta aplicacao sao

(XY )ij =

n∑k=1

XikY

kj ,

que e uma funcao polinomial nas variaveis X11 , . . . , X

n1 , . . . , X

1n, . . . , X

nn , Y

11 , . . . , Y

n1 , . . . , Y

1n , . . . , Y

nn , por-

tanto diferenciavel. A inversao de matrizes tambem e uma aplicacao diferenciavel

GLn (R) −→ GLn (R)

pois cada funcao coordenada desta aplicacao e da forma

Xij = (−1)

i+j detX (i|j)detX

(aqui X (i|j) denota a matriz (n− 1)× (n− 1) obtida de X atraves da eliminacao de sua i-esima linha e desua j-esima coluna), que e uma funcao racional nas variaveis X1

1 , . . . , X1n, . . . , X

n1 , . . . , X

nn (o determinante

e uma funcao polinomial de grau n das entradas da matriz), cujo denominador nunca se anula, portantodiferenciavel.

Note que o grupo linear geral GLn (R) e o grupo de automorfismos de Rn que preservam a estruturalinear (a estrutura de espaco vetorial) de Rn, isto e, os isomorfismos de Rn.

13.10 Exemplo (Grupo Linear Especial SLn (R)). O grupo linear especial real de ordem n, denotado porSLn (R), e o grupo das matrizes com determinante 1. Ele e exatamente o grupo dos isomorfismos de Rn quepreservam o volume. Ele inclui nao apenas os isomorfismos isometricos mas tambem, por exemplo, aquelesisomorfismos que sao dilatacoes em certas direcoes e contracoes em outras, que se compensam exatamentede forma a nao alterar o volume. Ele e um grupo de Lie de dimensao n2 − 1, porque 1 e um valor regular


da funcao determinante det : Rn2 −→ R. De fato, como a funcao determinante e uma funcao n-linear, suaderivada direcional e dada por

d (det)X H =

n∑i=1

det(X1, . . . ,Hi, . . . , Xn

)(aqui Xi denota a i-esima coluna de X). Daı, a derivada parcial da funcao determinante em relacao avariavel Xp

q na matriz X e dada por (denotamos a matriz elementar cujo elemento (r, s) e 1 e os demaiselementos sao nulos por Ers)

∂ det

∂Xrs

(X) = d (det)X Ers = (−1)r+s

detX (r|s) ,

ou seja, e o menor da matriz X. Pela expansao do determinante ao longo de uma linha ou coluna da matriz,segue que qualquer valor nao nulo do determinante e um valor regular: se detX 6= 0, entao pelo menos umde seus menores e diferente de zero, logo pelo menos uma das derivadas parciais da funcao det calculada emX e nao nula. Portanto, SLn (R) e um subgrupo e uma subvariedade de GLn (R), logo tambem e um grupode Lie.

Note que, diferentemente de GLn (R), SLn (R) e uma subvariedade fechada, pois e a imagem inversa dosubconjunto fechado 1 pela funcao contınua determinante.

13.11 Exemplo (Grupo Ortogonal On). O grupo das matrizes reais n × n ortogonais, chamado o grupoortogonal de ordem n e denotado On, e um grupo de Lie de dimensao n (n− 1) /2.

De fato, On e um subgrupo de GLn (R) que tambem e uma subvariedade de GLn (R). Para verificar esteultimo fato, lembre-se que uma matriz X e ortogonal se e somente se XXt = I. Como XXt e uma matrizsimetrica, identificamos o espaco vetorial das matrizes simetricas com Rn(n+1)/2. Para provar que On e umasubvariedade basta entao provar que I e um valor regular da aplicacao

F : Rn2

−→ Rn(n+1)/2

definida porF (X) = XXt,

uma aplicacao claramente diferenciavel. A derivada direcional desta aplicacao, como pode ser calculadodiretamente da definicao, e dada por

dFXH = XHt +HXt.

Para provar que I e um valor regular de F , temos que mostrar que para toda matriz simetrica S ∈ Rn(n+1)/2

existe uma matriz H tal quedFXH = XHt +HXt = S.

A possibilidade mais simples disso ocorrer e se H satisfizesse

XHt = HXt =1

2S.

E, de fato, podemos garantir que isso realmente ocorre usando a ortogonalidade de X para obter explicita-mente

H =1

2SX.

Como I e um valor regular de F , On = F−1 (I) e uma subvariedade de dimensao

n2 − n (n+ 1)

2=n (n− 1)

2.


Em particular, On e uma subvariedade fechada (a imagem inversa de um subconjunto fechado por uma

funcao contınua). Alem disso, ele e um conjunto limitado, pois toda matriz ortogonal tem norma n em Rn2

(cada uma das n colunas tem norma 1). Concluımos portanto que On e um grupo de Lie compacto.Note que o grupo ortogonal On e o grupo das isometrias euclidianas de Rn. Mais geralmente, definimos

o grupo ortogonal Op,q como sendo o grupo das isometrias de Rn dotado da metrica de assinatura (p, q);este tambem e um grupo de Lie de dimensao n (n− 1) /2, mas nao e compacto se pq 6= 0.

13.12 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. A componente conexa que contem a identidade G0 e umsubgrupo de Lie.

Prova: Como G0 e uma componente conexa de G, em particular e aberta em G e portanto uma subvariedade.Para verificar que G0 e um grupo de Lie, basta entao verificar que ele e fechado em relacao as operacoesde produto e de tomar inversa. Se g, h ∈ G0 entao existem caminhos contınuos α, β : [0, 1] −→ G0 tais queα (0) = β (0) = e e α (1) = g, β (1) = h. Pela continuidade da operacao produto e da operacao de tomarinversa,

(αβ) (t) = α (t)β (t) ,

α−1 (t) = [α (t)]−1,

sao caminhos contınuos de e para gh e g−1, logo gh, g−1 ∈ G0. O subgrupo de Lie G0 e chamada a componente da identidade. Obviamente, as componentes conexasque nao contem a identidade nao podem ser subgrupos.

13.13 Exemplo (Grupo Ortogonal Especial SOn). O grupo ortogonal On contem duas componentes cone-xas, o formado pelas matrizes ortogonais de determinante +1 (isto e, as rotacoes) e o das matrizes ortogonaisde determinante −1 (isto e, as reflexoes).

Claramente, On nao pode ser conexo, pois a imagem de On pela funcao determinante e o conjuntodesconexo −1, 1. Para ver que On possui exatamente 2 componentes conexas, veja [Lima], p. 59.

Apenas a componente conexa das rotacoes e um grupo, pela propriedade do determinante do produto dematrizes (a composta de rotacoes e uma rotacao, enquanto que a composta de reflexoes e uma rotacao).

O grupo de Lie das matrizes ortogonais com determinante 1 e chamado o grupo ortogonal especiale denotado SOn. Ela e a componente conexa de On que contem a identidade. Como esta componenteconexa tambem e fechada (imagem inversa de 1 pela funcao determinante), SOn tambem e um grupo de Liecompacto, alem de conexo (Exercıcio 13.5).

13.14 Exemplo (Grupo Ortogonal Especial de Lorentz SO1,3). O grupo nao compacto O1,3 das matrizesortogonais com assinatura (1, 3) e chamado o grupo de Lorentz. O subgrupo de O1,3 das matrizes orto-gonais com determinante 1 e chamado o grupo ortogonal especial SO1,3. Ele e um subgrupo de Lie deO1,3, mas nao e a componente conexa que contem a identidade. De fato, O1,3 possui 4 componentes conexase SO1,3 duas componentes conexas.

Para ver que o grupo de Lorentz nao possui menos que 4 componentes conexas, denotando

η =

−1

11

1

,por definicao uma matriz Λ e ortogonal na assinatura (1, 3) (isto e, ela e uma transformacao de Lorentz)se ela satisfaz

ΛtηΛ = η.

De fato, isso e equivalente avtΛtηΛw = vtηw


para todos os vetores v, w ∈ R4 e a metrica de Lorentz de assinatura (1, 3) e definida por

〈v, w〉 := vtηw,

de modo que〈Λv,Λw〉 = 〈v, w〉

para todos os vetores v, w ∈ R4. Isso implica em particular que uma transformacao de Lorentz Λ satisfaz acondicao

|Λ00| > 1,

pois

−Λ200 +

3∑i=1

Λ2i0 = 〈Λe0,Λe0〉 = 〈e0, e0〉 = −1,

de modo que

Λ200 = 1 +

3∑i=1

Λ2i0 > 1. (13.3)

A regra do produto dos determinantes, juntamente com det η = −1, implica que uma transformacao deLorentz satisfaz

det Λ = ±1,

logo a condicaodet (ΛΛ′) = det Λ det Λ′

implica que O1,3 tem pelo menos duas componentes, aquela formada pelas matrizes de Lorentz com deter-minante −1 e aquelas com determinante +1, esta ultima sendo um subgrupo (isto e, SO1,3). Mas cada umadestas componentes na verdade se divide em pelo menos duas componentes conexas, aquela formada pelasmatrizes de Lorentz satisfazendo Λ00 > 1 e aquela formada pelas pelas matrizes de Lorentz satisfazendoΛ00 6 −1. Isso decorre da regra do produto dos sinais do primeiro elemento das matrizes de Lorentz:

sign [(ΛΛ′)00] = sign (Λ00) sign (Λ′00) .

De fato,

(ΛΛ′)00 = Λ00Λ′00 +

3∑i=1

Λ0iΛ′i0,

de modo que se Λ00Λ′00 > 0, entao segue de (13.3) (a transposta de uma transformacao de Lorentz e umatransformacao de Lorentz, logo a equacao vale nao apenas para a primeira coluna mas tambem para aprimeira linha) e da desigualdade de Schwarz que

(ΛΛ′)00 =

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′)20i

)1/2

+

3∑i=1

Λ0iΛ′i0

>

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

−

(3∑i=1

Λ2i0

)1/2( 3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

> 0,


e se Λ00Λ′00 < 0, entao

(ΛΛ′)00 = −

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′)20i

)1/2

+

3∑i=1

Λ0iΛ′i0

6 −

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

+

(3∑i=1

Λ2i0

)1/2( 3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

< 0.

A componente da identidade SO01,3 de SO1,3 (e de O1,3) e portanto formada pelas matrizes com determinante

+1 e primeiro elemento Λ00 > 1; ela e chamada o grupo de Lorentz ortocrono proprio. Transformacoesde Lorentz preservam a direcao do tempo. Observe que as seguintes transformacoes de Lorentz nao pertencema SO0

1,3 (isto e, nao sao ortocronas):

reversao espacial (paridade): P (t, x, y, z) = (t,−x,−y,−z) ,reversao temporal: T (t, x, y, z) = (−t, x, y, z) ,

reversao espacotemporal: PT (t, x, y, z) = (−t,−x,−y,−z) .

Note que as transformacoes de Lorentz ortocronas com determinante ±1 tambem formam um subgrupo deO1,3, chamado o subgrupo isocrono e denotado O+

1,3, e as transformacoes de Lorentz com determinante+1 satisfazendo sign (Λ00) = ±1 tambem formam outro subgrupo de O1,3, chamado o subgrupo proprio.

13.15 Exemplo (Grupo Linear Geral GLn (C) e Grupo Linear Especial SLn (C)). Os grupos lineares com-plexos GLn (C) e SLn (C) sao definidos de forma analoga aos grupos lineares reais GLn (R) e SLn (R),respectivamente, e sao grupos de Lie de dimensao 4n2.

13.16 Exemplo (Grupo Unitario Un e Grupo Unitario Especial SUn). O grupo das matrizes complexasn×n unitarias, chamado o grupo unitario de ordem n e denotado Un, e um grupo de Lie de dimensao n2.Analogamente as matrizes ortogonais, as matrizes unitarias U satisfazem |detU | = 1, exceto que detU emgeral e um numero complexo. O grupo das matrizes unitarias n×n com determinante 1 e chamado o grupounitario especial de ordem n, denotado SUn. Sua dimensao e n2 − 1. Todos estes grupos sao conexos(Exercıcio 13.59).

U1 e o cırculo S1 e SU2 e o grupo dos quaternions unitarios. De fato, se

A =

[α βγ δ

]e uma matriz em SU2, entao a condicao detA = 1 implica

αδ − βγ = 1,

enquanto que o fato que A e unitaria, ou seja, AAt

= I implica que[αα+ ββ αγ + βδ

αγ + βδ γγ + δδ

]=

[1 00 1

].

As duas condicoes juntas implicam α = δ e γ = −β, como pode ser verificado. Em particular, SU2 edifeomorfo a esfera S3. As esferas S1 e S3 sao as unicas esferas que podem ser grupos de Lie.

De forma analoga a Rn e Cn pode-se definir Hn e considera-lo essencialmente como um espaco vetorialmas, como H nao e um corpo, deve-se ter cuidado com a multiplicacao por escalares. Daı pode-se definir


GLn (H), SLn (H) e Un(H); este ultimo e denotado Spn e chamado o grupo simpletico compacto de ordemn (Sp1 e difeomorfo a SU2). Veja [Naber], pp. 39-46, para um desenvolvimento detalhado destes conceitos.O grupo de calibre da teoria eletromagnetica e U1, o grupo de calibre da teoria eletrofraca e U1× SU2 e ogrupo de calibre do modelo padrao (forca eletromagnetica + forca fraca + forca forte) e U1×SU2 ×SU3.

13.17 Teorema. Seja G um grupo de Lie. Se H e um subgrupo fechado de G, entao H e um subgrupo deLie.

13.18 Definicao. Um subgrupo fechado de qualquer grupo linear geral GLn (R), GLn (C) ou GLn (H) echamado um grupo de Lie matricial.

13.19 Definicao. Os grupos de Lie classicos sao os seguintes grupos de Lie matriciais:(i) os grupos lineares gerais GLn (R), GLn (C) ou GLn (H)(ii) os grupos lineares especiais SLn (R), SLn (C) e SLn (H) ;(iii) os grupos unitarios Un(R) := On, Up,q(R) := Op,q, Un(C) = Un e Un(H) := Spn;(iv) os grupos unitarios especiais SOn, SOp,q e SUn.

Um isomorfismo entre grupos de Lie e um isomorfismo entre grupos que e tambem um difeomorfismo.

13.20 Teorema. Todo grupo de Lie compacto e isomorfo a um grupo de Lie matricial.Mais que isso, todo grupo de Lie compacto e isomorfo a um subgrupo de Lie de Un e portanto de SO2n.

Portanto, todo grupo de Lie compacto nao apenas e um grupo matricial, como tambem e um grupo cujoselementos podem ser vistos como rotacoes em algum R2n. Compare com o Teorema de Cayley, que diz quequalquer subgrupo finito de ordem n (ou seja, grupos de Lie de dimensao zero compactos) e um subgrupodo grupo simetrico Sn (grupo de permutacoes de n elementos).

13.21 Teorema. A menos de recobrimentos finitos, todo grupo de Lie compacto e isomorfo a um produtode grupos de Lie compactos

G1 × . . .×Grtais que Gi e um grupo de Lie matricial, ou grupo de spin ou um grupo de Lie excepcional compacto.

Os grupos de spin Spinp,q sao certos recobrimentos duplos de SO0p,q e os grupos de Lie excepcionais

compactos simples sao os grupos G2, F4, E6, E7 e E8. Existem grupos de Lie nao compactos que nao saoisomorfos a grupos de Lie matriciais, tais como o recobrimento universal de SL2 (R).

13.3 Propriedades

13.22 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que um campo vetorial X e invariante a esquerdase

(Lg)∗X = X

para todo g ∈ G.

Explicitando a definicao acima, ela significa que para todos g, h ∈ G vale

(dLg)hXh = XLgh = Xgh. (13.4)

Em particular, um campo invariante a esquerda fica completamente determinado pelo seu valor em um pontoqualquer de G. Por exemplo, se conhecemos o valor de Xe entao, tomando h = e, segue que

Xg = (dLg)eXe. (13.5)

Campos invariantes a esquerda sao automaticamente diferenciaveis:


13.23 Proposicao. Se X e um campo invariante a esquerda, entao X ∈ T (G).

Prova: Para provar que um campo invariante a esquerda X e diferenciavel em G, basta mostrar isso parauma vizinhanca V da identidade e: se X e diferenciavel em V , como Lg e um difeomorfismo, X = (Lg)∗Xe um campo diferenciavel na vizinhanca gV = Lg (V ) de g.

Seja (ϕ,U) uma vizinhanca coordenada de e com funcoes coordenadas xi. Observe que as componentesdo campo X neste sistema de coordenadas sao exatamente Xi: se X = Xj∂j , temos

Xxi = Xj∂jxi = Xjδij = Xi.

Logo, para provar que X e C∞ em alguma vizinhanca V ⊂ U de e, basta provar que as suas componentesXxi sao funcoes C∞ em V . Tome uma vizinhanca V de e tal que

V V ⊂ U,

isto e, se g, h ∈ V , entao gh ∈ U (em particular, V ⊂ U , porque e ∈ V ). A existencia de V segue dacontinuidade da aplicacao produto P : G × G −→ G: P−1 (U) e um aberto de G × G contendo (e, e), e natopologia produto existe um aberto da forma V1 × V2 ⊂ P−1 (U) contendo (e, e); basta tomar V = V1 ∩ V2.

Para cada g ∈ V , temos (Xxi

)(g) = Xg

(xi)

=[(dLg)eXe

] (xi)

= Xe

(xi Lg

)e note que a ultima identidade faz sentido, isto e, xi Lg esta definido em V , porque Lg (V ) ⊂ U . Escrevendo

Xe = cj ∂j |e ,

para alguns escalares cj ∈ R, segue que

(Xxi

)(g) = ci

∂(xi Lg

)∂xj

(e) .

Para cada g fixado, o lado direito desta identidade e uma funcao C∞ em V (derivada parcial da compostada funcao coordenada de uma carta com um difeomorfismo), mas precisamos mostrar que ele tambem e C∞

em g ∈ V . Para isso, observe que, a composta

ψ = ϕ P : V × V −→ Rn

ou seja,ψ (g, h) =

(x1 (gh) , . . . , xn (gh)

),

e C∞. Usando a cartaϕ× ϕ : V × V −→ ϕ (V )× ϕ (V ) ,

temos(ϕ× ϕ) (g, h) = (ϕ (g) , ϕ (h)) =

(x1 (g) , . . . , xn (g) , x1 (h) , . . . , xn (h)

),

de modo que seF : ϕ (V )× ϕ (V ) −→ Rn

e definida porF = ψ (ϕ× ϕ)

−1,

podemos escreverψ = F (ϕ× ϕ) .


Em particular,ψi = F i (ϕ× ϕ) ,

donde (xi Lg

)(h) = xi (gh) = F i

((x1 (g) , . . . , xn (g) , x1 (h) , . . . , xn (h)

))As funcoes coordenadas F 1, . . . , Fn sao C∞ em ϕ (V )× ϕ (V ), logo

∂(xi Lg

)∂xj

(e) =∂F i

∂xn+j

((x1 (g) , . . . , xn (g) , x1 (e) , . . . , xn (e)

)),

que e C∞ em g ∈ V .

13.24 Corolario. Seja G um grupo de Lie. Todo vetor tangente Xe no espaco tangente TeG possui umaunica extensao a um campo invariante a esquerda X ∈ T (G).

13.25 Proposicao. Mais que isso, toda base de TeG pode ser estendida a um referencial global de camposinvariantes a esquerda.

Em particular, o conjunto dos campos invariantes a esquerda de um grupo de Lie n-dimensional G e umsubespaco vetorial de T (G) de dimensao n.

Prova: Basta definirXg = (dLg)eXe.

Para ver que X e um campo invariante a esquerda, seja h ∈ G qualquer. Como

Lh Lg = Lhg

segue que(dLh)gXg = (dLh)g (dLg)eXg = [d (Lh Lg)]eXg = (dLhg)eXg = Xhg.

Pela proposicao anterior, X ∈ T (G). A unicidade segue pelo fato de campos invariantes a esquerda ficaremcompletamente determinado pelo seu valor em um ponto qualquer de G, como observado no inıcio destasecao.

Seja agoraB = X1,e, . . . , Xn,e

uma base para TeG. Como acabamos de demonstrar, cada vetor Xi,e pode ser estendido a um campoinvariante a esquerda Xi ∈ T (G) definindo

Xi,g = (dLg)eXi,e

Como dLg e um difeomorfismo, em particular

Bg = X1,g, . . . , Xn,g

e uma base para TgG.

13.26 Corolario. Todo grupo de Lie possui um fibrado tangente trivial.Em particular, todo grupo de Lie e orientavel.

Prova: Pela proposicao, podemos obter um referencial suave

Bg = X1,g, . . . , Xn,g

para G. Logo podemos definir um difeomorfismo

F : TG −→ G× Rn

porF(g, ciXi,g

)=(g, ciei

).

O resultado segue do Exercıcio 10.2.


13.4 Acoes

13.4.1 Definicao

13.27 Definicao. Dizemos que um grupo G age a esquerda em um conjunto M , se existe uma aplicacao(chamada uma acao a esquerda de G em M)

G×M −→ M(g, p) 7−→ g · p

tal que

e · p = p,(gh) · p = g · (h · p) .

Analogamente, dizemos que um grupoG age a direita em um conjuntoM , se existe uma aplicacao (chamadauma acao a direita de G em M)

M ×G −→ M(p, g) 7−→ p · g

tal que

p · e = p,p · (gh) = (p · g) · h.

Um conjunto em que G age e tambem chamada um G-conjunto ou conjunto com estrutura G.

Dada uma acao · de um grupo G a esquerda em M , podemos definir uma acao ∗ de G a direita em M por

p ∗ g = g−1 · p.

De fato,

p ∗ e = e−1 · p= e · p= p

e

p ∗ (gh) = (gh)−1 · p

=(h−1g−1

)· p

= h−1 ·(g−1 · p

)= (p · g) · h.

Portanto, nao ha realmente diferenca entre acoes a esquerda e acoes a direita. No entanto, em muitassituacoes (por exemplo, acoes em fibrados), e necessario considerar duas acoes simultaneamente, que devemser compatıveis em algum sentido. Nestas situacoes, do ponto de vista computacional e de simplificacao danotacao, e tambem para nao causar confusao, e mais conveniente definir uma das acoes a esquerda e a outraa direita.

13.28 Proposicao. Todo grupo G agindo em um conjunto M pode ser visto como um subgrupo de bijecoesde M agindo de forma natural.


Prova: Se G e qualquer subgrupo de bijecoes de M (por exemplo, um grupo de homeomorfismos se M eum espaco topologico, um grupo de difeomorfismos se M e uma variedade diferenciavel, ou um grupo deisometrias se M e uma variedade metrica) entao G age em M definindo

g · p = g (p) ,

pois

(gh) · p = (gh) (p)

= g (h (p))

= g · (h · p) .

Reciprocamente, dada uma acao de um grupo G em M , temos que a acao do elemento g ∈ G em M e umabijecao de M , pois sua inversa e a acao por g−1. Exemplos de subgrupos de bijecoes de M sao o grupo de isomorfismos lineares se M e um espaco vetorial,o grupo de homeomorfismos se M e um espaco topologico, o grupo de difeomorfismos se M e uma variedadediferenciavel, e o grupo de isometrias se M e uma variedade metrica, e subgrupos destes grupos todos.Quando G e visto agindo em M como um subgrupo de bijecoes de M , G e frequentemente chamado umgrupo de transformacoes de M .

13.29 Definicao. Quando G e um grupo topologico e M e um espaco topologico, consideramos acoescontınuas de G em M .

Quando G e um grupo de Lie e M e uma variedade diferenciavel, consideramos acoes diferenciaveis deG em M .

13.30 Notacao. Frequentemente, precisamos denotar uma acao G ×M −→ M por um sımbolo explıcito,digamos φ. Assim,

φ (e, p) = p,φ (g, φ (h, p)) = φ (gh, p) .

Neste caso, a acao de um elemento g ∈ G em M sera denotada por φg, isto e, a bijecao φg : M −→ M edefinida por

φg (p) = φ (g, p) = g · p.

13.31 Proposicao. Se M e um espaco topologico, G um grupo topologico e φ uma acao contınua de G emM , entao φg e um homeomorfismo para cada g ∈ G.

Se M e uma variedade diferenciavel, G um grupo de Lie e φ uma acao diferenciavel de G em M , entaoφg e um difeomorfismo para cada g ∈ G.

Prova: Pois (φg)−1

= φg−1 . A acao de um grupo pode satisfazer diversas propriedades importantes:

13.32 Definicao. Dizemos que a acao de um grupo G em um conjunto M e(i) transitiva se para todos p, q ∈M existe g ∈ G tal que

q = g · p.

(ii) fiel (ou efetiva) se g · p = p para todo p ∈M , entao g = e.(iii) livre se g · p = p para algum p ∈M , entao g = e.


Em outras palavras, G age transitivamente em M se dados quaisquer p, q ∈M existe algum elemento g ∈ Gque leva p em q; G age fielmente ou efetivamente em M se o unico elemento de G que se comporta como aidentidade, isto e, fixa todos os pontos de M , e a identidade; G age livremente em M se G age sem pontosfixos, isto e, qualquer elemento de G com excecao da identidade leva um ponto de M em um ponto diferentede M .

Considerando a classe dos espacos em que G age, definimos os morfismos entre tais objetos para trans-forma-la em uma categoria:

13.33 Definicao. Sejam M,N dois conjuntos. Dizemos que uma aplicacao F : M −→ N e G-invariante(ou G-equivariante) se ela preserva a acao, isto e, se

F (g · p) = g · F (p)

para todos g ∈ G e p ∈M , em outras palavras, se o diagrama abaixo e comutativo para todo g ∈ G:

Mφg−→ M

↓F ↓F

Nψg−→ N

onde φ e a acao de G em M e ψ e a acao de G em N .

13.5 Representacoes de Grupos de Lie

No que segue, K = R,C. Seja V um espaco K-vetorial e GL (V ) o grupo dos isomorfismos de V . Se V temdimensao finita n, GL (V ) e isomorfo ao grupo linear geral GLn (R) se K = R e ao grupo linear geral GLn(C)se K = C. Varios grupos de Lie sao subgrupos de GL (V ) (mas nem todos; todos os grupos de Lie compactosao), o que leva naturalmente a teoria de representacoes de grupos de Lie:

13.34 Definicao. Se G e um grupo de Lie, uma representacao de G e um homomorfismo diferenciavel

ρ : G −→ GL (V ) .

Se ρ e injetiva, dizemos que a representacao e fiel.

Quando a representacao ρ e fiel G ∼= ρ (G), isto e, G e efetivamente isomorfo a um subgrupo de GLn (R)ou de GLn (C); assim, neste caso G e realmente representado por um grupo de matrizes. Como todo grupode Lie compacto e isomorfo a um subgrupo matricial, todo grupo de Lie compacto possui pelo menos umarepresentacao em algum espaco vetorial de dimensao finita igual a dimensao do grupo.

13.35 Exemplo. O grupo de rotacoes em duas dimensoes S1 possui duas representacoes uteis:

ρ : S1 −→ U1 ⊂ GL1 (C) ,

σ : S1 −→ SO2 ⊂ GL2 (R) .

A primeira age em R2 = C por multiplicacao complexa e a segunda age em R2 por multiplicacao matricial.

13.36 Exemplo. O grupo de recobrimento universal de SL2(R) e um exemplo de um grupo de Lie que naopossui nenhuma representacao fiel, portanto nao e isomorfo a um subgrupo de matrizes reais ou complexas.


13.37 Proposicao. Uma representacao ρ : G −→ GL (V ) de um grupo de Lie G em GL (V ) corresponde auma acao linear de G sobre o espaco vetorial V

g · v := ρ (g) v.

Prova: De fato, como ρ e um homomorfismo, temos

e · v = ρ (e) v

= id (v)

= v

e

(gh) · v = ρ (gh) v

= ρ (g) ρ (h) v

= g · (h · v) .

Reciprocamente, dada uma acao linear de G em V , isto e, uma acao que satisfaz

g · (xv + yw) = x (g · v) + y (g · w) ,

definimos para cada g ∈ G um isomorfismo linear ρ (g) ∈ GL (V ) por

ρ (g) = g · v.

Como para todo v ∈ V temos

ρ (gh) v = (gh) · v= g · (h · v)

= ρ (g) ρ (h) v,

segue queρ (gh) = ρ (g) ρ (h)

e portanto ρ e um homomorfismo de grupos. O objetivo da teoria de representacoes nao e apenas determinar quando um grupo de Lie possui uma

representacao e qual e ela. Em geral, um grupo de Lie possui varias representacoes diferentes. O objetivoe determinar a menos de isomorfismos quais sao estas representacoes. Para classificar representacoes, istoe, dizer quando duas determinacoes sao essencialmente a mesma, definimos a nocao de equivalencia de duasrepresentacoes da seguinte forma:

13.38 Definicao. Se G e um grupo de Lie, duas representacoes de G

ρ : G −→ GL (V ) ,

ρ′ : G −→ GL (V ) ,

sao equivalentes se existe um isomorfismo T : V −→ V tal que

Tρ (g) = ρ′ (g)T

para todo g ∈ G, ou, na linguagem de acoes,

T (g · v) = g · (Tv)

a acao de G sobre V no lado esquerdo desta equacao sendo dada por ρ, enquanto que no lado direito a acaoe dada por ρ′.


Em outras palavras, para todo g ∈ G vale

ρ′ (g) = T−1ρ (g)T.

Pensando em termos de matrizes (uma vez fixada uma base para V ), as matrizes ρ′ (g) e ρ (g) sao semelhantespara todo g e atraves da mesma mudanca de coordenadas dada pelo isomorfismo T . Assim, as acoes dadaspelas duas representacoes ρ, ρ′ de G em GL (V ) sao essencialmente as mesmas, pois diferem apenas por umamudanca de coordenadas em V .

13.39 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais e

ρV : G −→ GL (V ) ,

ρW : G −→ GL (W ) ,

representacoes.Dizemos que um morfismo linear T : V −→W e G-equivariante se ele preserva a acao de G dada pelas

representacoes:

T (g · v) = g · T (v) ,

ou seja,T (ρV (g) v) = ρW (g)T (v)

para todos g ∈ G, v ∈ V .L e tambem chamado um entrelacador (ou operador de entrelacamento).O subespaco dos morfismos lineares G-equivariantes em Hom (V,W ) sera denotado por

HomG (V,W ) .

13.5.1 Representacoes Irredutıveis

Podemos criar novas representacoes a partir de representacoes dadas:

13.40 Definicao. Seja G um grupo de Lie e ρ1, . . . , ρk representacoes de G agindo sobre os espacos vetoriaisV1, . . . , Vk, respectivamente.

Sua soma direta e a representacao ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk agindo sobre a soma direta V1 ⊕ . . .⊕ Vk dos espacosvetoriais definida por

(ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk) (g) (v1, . . . , vk) = (ρ1 (g) v1, . . . , ρk (g) vk) .

Seu produto tensorial e a representacao ρ1 ⊗ . . .⊗ ρk agindo sobre o produto tensorial V1 ⊗ . . .⊗ Vk dosespacos vetoriais definido por

(ρ1 ⊗ . . .⊗ ρk) (g) (v1 ⊗ . . .⊗ vk) = ρ1 (g) v1 ⊗ . . .⊗ ρk (g) vk.


Em termos de acoes

g · (v1, . . . , vk) = (g · v1, . . . , g · vk)

e

g · (v1 ⊗ . . .⊗ vk) = g · v1 ⊗ . . .⊗ g · vk.

Em termos matriciais, uma vez escolhidas bases B1, . . . ,Bk para V1, . . . , Vk, se B = B1 ⊕ . . .⊕Bk temos

[ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk (g)]B =

[ρ1 (g)]B1

. . .

[ρk (g)]Bk

,isto e, a matriz de ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk (g) na base B e uma matriz em blocos.

13.41 Definicao. Seja ρ : G −→ GL (V ) uma representacao.Dizemos que um subespaco W de V e invariante sob a acao de G definida por ρ se

g · w ∈W

para todo w ∈W e para todo g ∈ G.Dizemos que ρ e uma representacao irredutıvel se os unicos subespacos invariantes de ρ sao os

subespacos triviais 0 e V .

Em outras palavras,g ·W ⊂W

para todo g ∈ G. Em particular, dado w ∈W , temos

g ·(g−1 · w

)= e · w = w,

de modo que, como g−1 ·W ⊂ W , temos g ·W ⊃ W tambem. Concluımos que W e invariante sob ρ se esomente se

g ·W = W

para todo g ∈ G. Se W tem dimensao finita, segue que ρ (g) |W ∈ GL (W ) para todo g ∈ G.Representacoes irredutıveis sao os elementos de construcao de representacoes de grupos de Lie. Se W e

invariante sob ρ, entao existe uma subrepresentacao de G agindo em W

ρW : G −→ GL (W )

dada porρ (g) = ρ (g) |W .

Quando uma representacao e irredutıvel, ela nao possui nenhuma subrepresentacao propria nao nula. Se

V = V1 ⊕ . . .⊕ Vk

e uma decomposicao em soma direta de V por subespacos invariantes sob ρ e denotamos

ρk = ρ|Wk,

entao podemos escreverρ = ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk.


13.42 Definicao. Dizemos que uma representacao de um grupo de Lie e completamente redutıvel seela e isomorfa a uma soma direta finita de representacoes irredutıveis.

Observe que em particular uma representacao irredutıvel e completamente redutıvel.

13.43 Proposicao. Se G e um grupo de Lie compacto, entao toda representacao dele e completamenteredutıvel.

Prova: Veja [Hall], p. 93. Os grupos de gauge que aparecem em teoria quantica de campos sao compactos (o grupo de Lorentz darelatividade geral nao e compacto) e as partıculas elementares correspondem a representacoes irredutıveisde tais grupos.

13.44 Proposicao. Toda representacao sobre um espaco vetorial unidmensional e irredutıvel.

Prova: Pois os unicos subespacos de um espaco vetorial unidimensional V sao 0 e V .

13.45 Teorema (Lema de Schur). Sejam V um espaco vetorial complexo e ρ : G −→ GL (V ) umarepresentacao irredutıvel.

Se T ∈ HomG (V ) (isto e, T e G-equivariante com relacao a acao dada por ρ), entao

T = λ id

para algum λ ∈ C.

Prova: Como V e complexo, T possui pelo menos um autovalor λ. Seja

W = ker (T − λ id)

o autoespaco associado a λ. Se v ∈W , entao

T (ρ (g) v) = ρ (g) (Tv)

= ρ (g) (λv)

= λρ (g) v,

de modo que ρ (g) v ∈ W tambem, de modo que os autoespacos de T sao invariantes pela representacao ρ.Como ρ e irredutıvel, concluımos que W = V e portanto T = λ id.

13.46 Corolario. Qualquer representacao irredutıvel de um grupo de Lie comutativo e unidimensional.

Prova: Pois qualquer ρ (g) comuta com todos os outros, logo ρ (g) e um multiplo da identidade.

13.47 Corolario. Toda representacao de um grupo de Lie comutativo compacto e isomorfa a uma somadireta de representacoes unidimensionais.

Outra maneira de ver isso e lembrar que operadores que comutam sao simultaneamente diagonalizaveis e nocaso irredutıvel o unico espaco invariante nao nulo e V .

13.6 Representacoes Unitarias

No caso de representacoes complexas, as mais interessantes do ponto de vista da Fısica Quantica sao aquelasque preservam o produto hermitiano:

13.48 Definicao. Seja V um espaco vetorial hermitiano de dimensao n. Dizemos que uma representacaoρ : G −→ GL (V ) e unitaria se

ρ (G) ⊂ U (n) .


Em outras palavras, ρ (g) e um operador unitario para todo g ∈ G, isto e,

〈ρ (g) v, ρ (g)w〉 = 〈v, w〉

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ V .

13.49 Teorema. Toda representacao unitaria em um espaco hermitiano de dimensao finita e completamenteredutıvel.

Prova: Seja ρ : G −→ GL (V ) uma representacao unitaria em um espaco hermitiano V . Se ρ nao eirredutıvel, entao existe um subespaco invariante sob a acao de ρ, proprio e nao nulo, W ⊂ V . Como ρ eunitaria, segue que W⊥ tambem e invariante sob a acao de ρ, logo

ρ = ρW ⊕ ρW⊥ .

Se ρW e ρW⊥ sao irredutıveis, isto termina a demonstracao. Caso contrario, aplicamos o mesmo argumentoa ρW e/ou ρW⊥ ; como a dimensao de V e finita, eventualmente o argumento termina e obtemos umadecomposicao em soma direta finita

ρ = ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk.

13.50 Teorema. Se G e um grupo de Lie compacto, toda representacao e equivalente a uma representacaounitaria.

13.51 Exemplo (Aplicacao em Fısica Quantica). Quando temos um grupo G agindo em um sistemaquantico, isto e, em um espaco de Hilbert hermitiano de estados V , ele age atraves de uma representacaounitaria ρ : G −→ GL (V ). Em particular, podemos escrever ρ (g) = eA para uma matriz anti-hermitiana A,ou seja, a algebra de Lie de U (n) e o subespaco das matrizes anti-hermitianas (como veremos no proximocapıtulo). Ao inves de usarmos A, podemos usar B = iA, que sera uma matriz hermitiana, e operadores her-mitianos correspondem a observaveis em mecanica quantica, cujos autovalores podem ser experimentalmentemedidos.

13.7 SU(2) e um recobrimento duplo de SO(3)

Mostraremos que existe um homomorfismo

ρ : SU2 −→ SO3

que e um recobrimento duplo. Como SU2 e difeomorfo a S3 (veja [Naber], p. 38, Teorema 1.1.4), isso tambemimplicara que SO3 e difeomorfo a RP3, como veremos (veja tambem [Hall], p. 21, Proposicao 1.17). Issoimplica que Vendo SO3 como um subgrupo de GL3 (C), este homomorfismo tambem e uma representacaode SO3 em GL3 (C).

Lembre-se que SU2 consiste das matrizes unitarias complexas 2 × 2 com determinante 1, isto e, dasmatrizes que satisfazem U∗U = I, onde a transposta conjugada e definida por

(A∗)ij = Aji.

O espaco vetorial real V das matrizes complexas hermitianas (autoadjuntas, isto e, A∗ = A) 2 × 2 comtraco nulo e isomorfo a R3. De fato, um elemento de V tem a forma geral

X =

[x3 x1 − x2i

x1 + x2i −x3

]


e as matrizes de Pauli

σ1 =

[0 11 0

],

σ2 =

[0 −ii 0

],

σ3 =

[1 00 −1

],

formam uma base para este espaco, isto e, X = x1σ1 + x2σ2 + x3σ3. Com esta identificacao, o produtointerno canonico de R3 pode ser calculado como

〈X,Y 〉 =1

2tr (XY )

como pode ser verificado por calculo direto.Defina para cada U ∈ SU2 um operador linear ΦU : V −→ V por

ΦU (X) = UXU−1.

De fato, como U e unitario, temos(UXU−1

)∗=(U−1

)∗X∗U∗ = UXU−1

e, usando a propriedade do traco do produto tr (AB) = tr (BA),

tr(UXU−1

)= tr

(U−1UX

)= trX = 0,

de modo que ΦU (X) ∈ V . Afirmamos que a aplicacao

U 7−→ ΦU

e uma representacaoρ : SU2 −→ GL (V ) .

Com efeito, para ver que ρ (U1U2) = ρ (U1) ρ (U2), isto e, que

ΦU1U2= ΦU1

ΦU2,

e so notar que

ΦU1U2 (X) = (U1U2)X (U1U2)−1

= (U1U2)X(U−1

2 U−11

)= U1

(U2XU

−12

)U−1

1

= ΦU1[ΦU2

(X)] .

Alem disso, o operador linear ΦU e uma isometria, pois

〈ΦU (X) ,ΦU (Y )〉 =1

2tr (ΦU (X) ΦU (Y )) =

1

2tr(UXU−1UY U−1

)=

1

2tr(UXY U−1

)=

1

2tr(U−1UXY

)=

1

2tr (XY )

= 〈X,Y 〉 .


Logo, o homomorfismo ρ na verdade e um homomorfismo

ρ : SU2 −→ O3 .

Como o homomorfismo ρ e contınuo e SU2 e conexo (pois e difeomorfo a S3), segue que o homomorfismo ρno final e um homomorfismo

ρ : SU2 −→ SO3 .

Ele e pelo menos dois para um, poisΦU = Φ−U .

Na verdade ρ e exatamente dois para um, pois se ρ (U1) = ρ (U2), entao

ρ(U1U

−12

)= id,

isto e, ΦU1U−12

e operador identidade, o que significa que U1U−12 comuta com todas as matrizes X ∈ V :

(U1U2)X (U1U2)−1

= X =⇒ (U1U2)X = X (U1U2) .

Uma matriz que comuta com todas as matrizes hermitianas com traco nulo so pode ser um multiplo daidentidade (exercıcio: basta considerar matrizes A que comutam com as matrizes de Pauli, ja que elasformam uma base para V , obtendo equacoes para as entradas de A cujas solucoes mostram que A tem queser um multiplo da identidade). Como os unicos multiplos da identidade em SU2 sao I e −I, segue queU1 = ±U2.

Para ver que ρ e sobrejetiva, e so observar que toda rotacao em R3 pode ser representada pela conjugacaode um quaternio unitario. Mais precisamente, se u = ai + bj + ck e um quaternion unitario, entao a rotacaode R3 com eixo u e angulo 2θ e dada pela conjugacao

R (p) = q−1pq

onde q = cos θ + u sen θ e p = (x, y, z) ∈ R3 ⊂ H (para uma demonstracao deste fato, veja [Stillwell], pp.14-15).

Portanto, ρ e uma aplicacao diferenciavel sobrejetiva que identifica pontos antipodais de SU2, e e possıvelmostrar que ρ e um recobrimento duplo de SO3 e portanto que SO3 e difeomorfo a RP3 (para detalhes, veja[Naber], pp. 398-399). O homomorfismo ρ : SU2 −→ SO3 e chamado a aplicacao spinor. Para o significadofısico deste homomorfismo, veja [Naber], p. 399.

13.8 Exercıcios

Para alguns dos exercıcios a seguir, veja as referencias [Hall], [Stillwell] e [Warner].


13.53 Exercıcio. Prove que o produto direto de dois grupos de Lie, considerado como a variedade produto,e um grupo de Lie.

13.54 Exercıcio. Mostre que o grupo linear geral complexo GLn (C), o grupo linear especial complexoSLn (C), o grupo unitario Un e o grupo unitario especial SUn sao grupos de Lie e ache suas dimensoes.

13.55 Exercıcio. Prove que o grupo linear geral GLn (R) e o grupo linear especial SLn (R) possuem exata-mente 2 componentes conexas.

13.56 Exercıcio. Prove que o grupo ortogonal On possui exatamente 2 componentes conexas e que SOn econexo.


13.57 Exercıcio. Prove que o grupo de Lorentz O1,3 possui exatamente 4 componentes conexas e que SO1,3

possui exatamente duas componentes conexas.

13.58 Exercıcio. Mostre que o grupo de Lorentz O1,3 e SO1,3 nao sao compactos.

13.59 Exercıcio. Mostre que GLn (C), SLn (C), Un e SUn sao conexos.

13.60 Exercıcio. Prove que U1 e difeomorfo a S1 e que SU2 e difeomorfo a S3.

13.61 Exercıcio. Prove que SO3 e difeomorfo a RP3.

13.62 Exercıcio. Prove que Un e difeomorfo a S1 × SUn.

Capıtulo 14

Algebras de Lie

As operacoes produto e de tomar a inversa de um grupo de Lie em geral sao localmente funcoes nao linearesdas variaveis coordenadas da variedade subjacente. Portanto, tais funcoes sao em geral extremamentecomplicadas. O estudo de grupos de Lie e bastante simplificado quando se lineariza o grupo em umavizinhanca de qualquer ponto. Como um grupo de Lie e homogeneo, isto e, todo ponto localmente se parececom qualquer outro ponto, via multiplicacao a esquerda ou a direita (pois, como vimos na Proposicao 13.3,estas duas aplicacoes sao difeomorfismos globais do grupo de Lie e, como veremos, sao isometrias quandoo grupo de Lie e dotado de uma metrica riemanniana) basta linearizar uma vizinhanca de sua identidade.Embora topologica e geometricamente todos os pontos de um grupo de Lie sao equivalentes, algebricamenteo ponto identidade e especial. O resultado deste processo de linearizacao, que consiste simplesmente emtomar o espaco tangente ao grupo de Lie na identidade, e uma estrutura chamada uma algebra de Lie,isto e, um espaco vetorial com um produto que e anticomutativo e satisfaz a identidade de Jacobi ao invesde associatividade. A algebra de Lie preserva a maioria, mas nao todas as propriedades do grupo de Lieoriginal, e a maioria das propriedades deste ultimo pode ser recuperada da primeira atraves da inversa daoperacao de linearizacao, a aplicacao exponencial. As propriedades da algebra de Lie na vizinhanca daorigem sao identificadas com as propriedades do grupo de Lie original na vizinhanca da identidade. Espacosvetoriais podem ser facilmente estudados com as ferramentas padrao disponıveis; por exemplo, eles podemser dotados de uma base ortonormal. Alem disso, a maioria das algebras de Lie que aparecem nas aplicacoessao isomorfas a uma algebra de Lie de matrizes, facilitando imensamente os calculos.

14.1 Definicao e Exemplos

No que segue, K = R,C.

14.1 Definicao. Uma K-algebra de Lie e um K-espaco vetorial V munido de um produto de vetoreschamado o colchete de Lie, isto e, uma aplicacao K-bilinear

[·, ·] : V × V −→ V,

que satisfaz(i) Anticomutatividade:

[X,Y ] = − [Y,X] ,

(ii) Identidade de Jacobi:

[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0,

para todos X,Y, Z ∈ V .

294


A anticomutatividade implica que

[X,X] = 0.

Observe que a identidade de Jacobi e uma identidade cıclica que esta no lugar da associatividade. De fato,o colchete de Lie nao e em geral associativo. A associatividade de [, ] e equivalente a

[X, [Y,Z]] = [[X,Y ] , Z] ,

mas isso implicaria pela identidade de Jacobi que

[[X,Y ] , Z] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0,

e, como o colchete de Lie e anticomutativo, o primeiro termo se cancelaria com o terceiro, restando

[Y, [Z,X]] = 0

para todos Y, Z,X, o que em geral nao e valido.Observe tambem que uma algebra de Lie V nao nula nao pode ter uma identidade, isto e, um vetor 1 ∈ V

tal que[1, X] = [X, 1] = X

para todo X ∈ V ; de fato, a anticomutatividade

[1, X] = − [X, 1]

implicariaX = −X.

Em geral, a identidade de Jacobi proibe que uma algebra de Lie nao trivial possua sequer identidades laterais:por exemplo, se 1 ∈ V e uma identidade a esquerda, isto e,

[1, X] = X

para todo X ∈ V , pela identidade de Jacobi temos para todos X,Y ∈ V

[1, [X,Y ]] + [X, [Y, 1]] + [Y, [1, X]] = 0,

donde[X,Y ]− [X,Y ] + [Y,X] = 0,

e daı[Y,X] = 0.

14.2 Exemplo. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial T (M), equipado com o colchete deLie de campos e uma algebra de Lie.

14.3 Exemplo. O espaco vetorial Mn (K) das matrizes n× n com entradas em K com a operacao colchetedefinida pelo comutador

[A,B] = AB −BA

e uma algebra de Lie.


De fato, bilinearidade e anticomutatividade claramente valem e

[[A,B] , C] + [[B,C] , A] + [[C,A] , B]

= (AB −BA)C − C (AB −BA) + (BC − CB)A−A (BC − CB)

+ (CA−AC)B −B (CA−AC)

= ABC −BAC − CAB + CBA+BCA− CBA−ABC +ACB

+ CAB −ACB −BCA+BAC

= 0.

Esta algebra de Lie e denotada por gln (K).Da mesma forma, se V e um espaco K-vetorial, entao gl (V ) denota a algebra de Lie Hom (V ) dos

operadores lineares em V com o colchete de Lie dado pelo comutador de operadores.

14.4 Exemplo. R3 com o produto vetorial e uma algebra de Lie.De fato, o produto vetorial e anticomutativo e satisfaz a identidade de Jacobi:

(u× v)× w + (w × u)× v + (v × w)× u = 0.

14.2 Algebras de Lie de Grupos de Lie

O Exemplo 14.2 mostra que podemos associar a toda variedade diferenciavel uma algebra de Lie. Mas comoT (M) tem dimensao infinita, isso em geral nao e muito util, ja que nao podemos fazer computacoes usandobases. Veremos agora como podemos associar algebras de Lie de dimensao finita a variedades diferenciaveisque tambem sao grupos de Lie; a dimensao da algebra de Lie sera exatamente a dimensao da variedadediferenciavel. A chave e, ao inves de considerar o espaco vetorial de todos os campos vetoriais diferenciaveisdefinidos na variedade, considerar apenas os campos invariantes a esquerda, que formam um subespacovetorial de dimensao finita (Corolario 13.24).

14.5 Proposicao. Seja G um grupo de Lie.O colchete de Lie de campos invariantes a esquerda e um campo invariante a esquerda.Em particular, o subespaco vetorial de dimensao finita dos campos invariantes a esquerda e uma algebra

de Lie.

Prova: Sejam X,Y ∈ T (G) campos invariantes a esquerda. Temos, para toda f ∈ C∞ (G),

(dLg)h [X,Y ]h f = [X,Y ]h (f Lg)= XYh (f Lg)− Y Xh (f Lg)= X (dLg)h Yh (f)− Y (dLg)hXh (f)

= XYgh (f)− Y Xgh (f)

= [X,Y ]gh f.

Como o subconjunto dos campos invariantes a esquerda e um subespaco vetorial de T (G), segue que ele euma subalgebra de Lie.

Ao inves de considerar todo o subespaco dos campos invariantes a esquerda, e padrao considerar apenaso isomorfo espaco tangente ao grupo de Lie na identidade (todo campo invariante a esquerda e a extensaounica de um vetor tangente na identidade pelo Corolario 13.24 e dado pelo operador linear pushforward,o que determina um isomorfismo entre estes espacos). Definimos entao uma operacao colchete de Lie noespaco tangente (espaco vetorial) TeG que o transforma em uma algebra de Lie:


14.6 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A algebra de Lie g de G e o espaco tangente TeG munido docolchete de Lie

[Xe, Ye] := [X,Y ]e ,

onde X,Y ∈ T (G) sao as unicas extensoes invariantes a esquerda dos vetores tangentes Xe, Ye ∈ TeG.

14.7 Definicao. Um morfismo entre algebras de Lie g, h e uma aplicacao

φ : g −→ h

que preserva a estrutura de algebra de Lie, isto e, φ e um morfismo linear e

φ(

[X,Y ]g

)= [φ (X) , φ (Y )]h .

Um isomorfismo entre algebras de Lie g, h e um morfismo bijetivo. Neste caso dizemos que as algebra deLie g, h sao isomorfas.

14.8 Teorema (Terceiro Teorema de Lie). Toda algebra de Lie de dimensao finita e isomorfa a algebrade Lie de algum grupo de Lie conexo.

14.9 Proposicao. Se G,H sao grupos de Lie, g, h sao as algebras de Lie respectivas e φ : G −→ H e ummorfismo de grupos de Lie, entao o pushforward

φ∗ : g −→ h

definido porφ∗X = dφeXe

e um morfismo de algebras de Lie.

14.3 A Algebra de Lie do Grupo Linear

A algebra de Lie do grupo de Lie GLn (R) e exatamente a algebra de Lie Mn (R) das matrizes (com o produtodado pelo comutador). Denotamos isso por

gln(R) = Mn (R) .

De fato, como GLn (R) e um aberto de Rn2 ≡ Mn (R), segue que

T (GLn (R))id = Mn (R) .

Se xij denota a ij-esima funcao coordenada em Rn2

, nesta identificacao uma matriz n×n real A e identificadacom o vetor tangente a identidade

A =

n∑k,l=1

Akl ∂kl|id ,

onde Akl denota a kl-esima entrada de A (neste exemplo denotaremos as entradas de matrizes alternati-vamente por superındices, subındices ou uma mistura dos dois, dependendo da conveniencia, para fazer anotacao de Einstein funcionar); equivalentemente, como vimos na demonstracao da Proposicao 13.23, o valordo vetor tangente A aplicado a ij-esima funcao coordenada xij e a ij-esima entrada de A:

Axij = Aij .


Agora vamos mostrar que o colchete de Lie da algebra de Lie de GLn (R) e exatamente o comutador doproduto matricial:

[A,B] = AB −BA.

Para provar isso, usando a Definicao 14.6 e a identificacao anterior, basta mostrar que se A e B sao os unicoscampos vetoriais invariante a esquerda em GLn (R) tais que

Aid = A,

Bid = B,

entao[A,B]id

(xij)

= (AB −BA)ij

(14.1)

pois [A,B]id(xij)

e a ij-esima entrada da matriz [A,B]id na identificacao acima. Por definicao do colchetede Lie de campos, temos

[A,B]id(xij)

= Aid

(Bxij

)−Bid

(Axij

)= A

(Bxij

)−B

(Axij

).

O resultado (14.1) seguira se mostrarmos que

A(Bxij

)= (AB)

ij,

B(Axij

)= (BA)

ij.

Verificaremos a ultima expressao, e a primeira seguira por analogia.Primeiro calculamos Axij ∈ C∞ (GLn (R)): para todo g ∈ GLn (R) temos(

Axij)

(g) = Agxij =

[(dLg)idAid

]xij =

[(dLg)idA

]xij

= A(xij Lg

)= Akl ∂kl|id

(xij Lg

).

A aplicacao xij Lg : GLn (R) −→ R e dada por(xij Lg

)(h) = xij (gh) = (gh)

ij= girh

rj ,

logo

∂kl(xij Lg

)=

0 se l 6= j,gik se l = j.

Segue que (Axij

)(g) = Akl ∂kl

(xij Lg

)∣∣id

= Akjgik

= gikAkj ,

ou seja, (Axij

)(g) = (gA)

ij,

a ij-esima entrada da matriz gA. Desta ultima formula, obtemos

∂kl(Axij

)=

0 se k 6= i,Alj se k = i.


Daı,

B(Axij

)= Bkl ∂kl|id

(Axij

)= Bkl ∂kl

(Axij

)∣∣id

= BilAlj

= (BA)ij,

a ij-esima entrada da matriz BA, como querıamos verificar. As algebras de Lie dos grupos de Lie de matrizes sao denotadas pelas mesmas letras destas, mas usando afonte Fractur. Pelo Teorema de Ado, toda algebra de Lie de dimensao finita e isomorfa (o isomorfismo dealgebras de Lie e definido da maneira obvia: alem de ser um isomorfismo de espacos vetoriais, preserva ocolchete de Lie) a uma subalgebra de Lie de matrizes com o comutador como colchete de Lie (veja [Lee 1], p.199, Corolario 8.50). Contraste este resultado com o fato de existirem grupos de Lie que nao sao isomorfosa subgrupos de Lie de matrizes. Alem disso, toda subalgebra de Lie de uma algebra de Lie de um grupo deLie e a algebra de Lie de um subgrupo de Lie (conexo; veja [Spivak], vol. I, pp. 513-514), logo toda algebrade Lie de dimensao finita e isomorfa a algebra de Lie de algum grupo de Lie.

14.4 A Exponencial

14.10 Definicao. Dada uma matriz real ou complexa A definimos

expA = eA =

∞∑k=1

Ak

k!.

Para uma demonstracao de que a serie acima converge e das proposicoes a seguir veja qualquer uma dasreferencias na bibliografia sobre grupos de Lie.

14.11 Proposicao. Valem as seguintes propriedades:(1)

e0 = I.

(2)

eAt

=(eA)t,

eA†

=(eA)†,

(3)

ePXP−1

= PeXP−1.

(4)

det(eA)

= etrA.

Em particular, para todo A ∈ Mn (K) temos que expA ∈ GL (n,K).(5) Se AB = BA, entao

eA+B = eAeB .


Em particular,

e(t+s)A = etAesA.

(6) (eA)−1

= e−A.

(7) (Formula do Produto de Lie) Se AB 6= BA, entao

eA+B = limk→∞

(eAk e

Bk

)k.

Prova: (4) Isso e facil de ver para matrizes diagonais. O resultado geral segue do fato das matrizes diagonaisserem densas em GLn (C) (qualquer perturbacao aleatoria das entradas de uma matriz vai produzir umaperturbacao aleatoria dos coeficientes do polinomio caracterıstico, e polinomios com raızes distintas saodensos no espaco dos polinomios), usando a continuidade da aplicacao exponencial e do traco.

14.12 Proposicao. A aplicacao exponencial exp : GLn (K) −→ GLn (K) e uma aplicacao diferenciavel.

14.13 Proposicao. A curva diferenciavel γ : R −→ GLn (K) definida por

γ (t) = exp tA

e um homomorfismo tal que γ (0) = I e γ′ (0) = A, isto e,

d

dtetA∣∣∣∣t=0

= A.

14.14 Proposicao. Se G ⊂ GLn (K) e um grupo de Lie matricial, entao sua algebra de Lie e

g =A ∈ Mn (K) : etA ∈ G para todo t ∈ R

.

14.15 Exemplo (A algebra de Lie son). Seja X ∈ T (SOn)id, de modo que X = γ′ (0) para alguma curvadiferenciavel γ : [0, 1] −→ SOn com γ (0) = id. Em particular,

〈γ (t) v, γ (t)w〉 = 〈v, w〉

para todos v, w ∈ Rn. Derivando esta equacao para v, w fixados, obtemos

〈γ′ (0) v, γ (0)w〉+ 〈γ (0) v, γ′ (0)w〉 = 0,

donde〈Xv,w〉 = −〈v,Xw〉

para todos v, w ∈ Rn, ou seja, X e uma matriz anti-simetrica.Reciprocamente, se X e uma matriz anti-simetrica, definimos a curva diferenciavel comecando na origem

γ (t) = exp (tX) ,

de modo que γ (0) = id eγ′ (t) = X exp (tX) .


Como

d

dt〈γ (t) v, γ (t)w〉 = 〈γ′ (t) v, γ (t)w〉+ 〈γ (t) v, γ′ (t)w〉

= 〈Xγ (t) v, γ (t)w〉+ 〈γ (t) v,Xγ (t)w〉= 0,

segue que

〈γ (t) v, γ (t)w〉 = 〈γ (0) v, γ (0)w〉= 〈v, w〉

para todo t, ou seja, γ e uma curva diferenciavel em O (n). Como det γ (0) = 1 , concluımos que γ e umacurva diferenciavel em SOn. Isso prova que

T (SOn)id = Altn (R) ,

a notacao que usaremos para o subespaco vetorial das matrizes reais anti-simetricas n× n. Portanto,

son = Altn (R) .

14.16 Definicao. Seja G um grupo de Lie de matrizes. A aplicacao exponencial para G e a aplicacao

exp : g −→ G

definida porexp g = exp (tg) .

Pode-se mostrar que todo elemento de um grupo de Lie matricial conexo e compacto e a exponencial deum vetor tangente. Para grupos de Lie conexos mas nao compactos pode-se mostrar que todo elemento e oproduto de um numero finito de exponenciais de vetores tangentes.

14.5 Representacoes de Algebras de Lie

14.17 Definicao. Seja g uma K-algebra de Lie e V um espaco K-vetorial.Uma representacao de g em V e um morfismo de algebras de Lie

φ : g −→ gl (V ) .

Como no caso de representacao de grupos de Lie (ou representacoes de grupo em geral), uma representacaoφ : g −→ gl (V ) corresponde a uma acao linear de g sobre o espaco vetorial V

A · v := φ (A) v.

e temos as nocoes correspondentes de uma representacao fiel, um operador linear L : V −→W g-equivariante(um entrelacador).


14.18 Proposicao. Seρ : G −→ GL (V )

e uma representacao de um grupo de Lie G, entao

ρ∗ : g −→ gl (V )

e uma representacao da algebra de Lie de G.

Prova: Pois gl (V ) e a algebra de Lie do grupo de Lie GL (V ). Temos entao o diagrama comutativo

gρ∗−→ gl (V )

↓exp ↓exp

Gρ−→ GL (V )

ouρ(eA)

= eρ∗A.

14.19 Proposicao. Se G e um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e

φ : g −→ gl (V )

e uma representacao da algebra de Lie de G, entao existe uma unica representacao

ρ : G −→ GL (V )

tal queφ = ρ∗.

Prova: Hamilton, p. 86, Corolario 2.1.13.

14.6 A Representacao Adjunta

14.7 Representacoes de U(1)

O grupo de Lie compacto U (1) e abeliano, logo suas representacoes se decompoem em uma soma de repre-sentacoes irredutıveis unidimensionais. Estas representacoes unidimensionais podem ser caracterizadas porum inteiro n, que sao os autovalores de um operador hermitiano Q (carga eletrica em fısica quantica), logoe um observavel.

Como todas as representacoes irredutıveis de U (1) sao unidimensionais, basta considerar representacoesdo tipo

ρn : U (1) −→ GL1 (C) = C∗.

14.20 Proposicao. Se para cada n ∈ Z

ρn : U (1) −→ GL1 (C)

e a representacao definida por

ρn (g) z = g · z := gnz = einθz,

entao ρn e unitaria.


Prova. A matriz 1× 1ρn (g) = gn = einθ

e unitaria pois einθ = e−inθ =(einθ

)−1.

14.21 Teorema. Todas as representacoes irredutıveis de U (1) sao unitarias iguais a ρn para algum n ∈ Z.

Prova. Sejaρ : U (1) −→ GL1 (C) = C∗

um homomorfismo diferenciavel. Considere o homomorfismo entre grupos de Lie (recobrimento universal deU (1))

ϕ : R −→ U (1)θ 7−→ eiθ

e a compostaρ ϕ : R −→ C∗.

Temos

(ρ ϕ)′(θ) = lim

h→0

(ρ ϕ) (θ + h)− (ρ ϕ) (θ)

h

= limh→0

ρ (ϕ (θ + h))− ρ (ϕ (θ))

h

= limh→0

ρ (ϕ (θ) + ϕ (h))− ρ (ϕ (θ))

h

= limh→0

ρ (ϕ (θ)) ρ (ϕ (h))− ρ (ϕ (θ))

h

= ρ (ϕ (θ)) limh→0

ρ (ϕ (h))− 1

h

= ρ (ϕ (θ)) limh→0

ρ (ϕ (h))− 1

h

= ρ (ϕ (θ)) ρ (ϕ (0))

= (ρ ϕ) (θ) (ρ ϕ) (0) .

As unicas solucoes destas equacao diferencial sao

(ρ ϕ) (θ) = eλiθ.

Como(ρ ϕ) (0) = (ρ ϕ) (2π)

concluımos que λ = n para algum n ∈ Z. Segue que

ρ (ϕ (θ)) = ρ(eiθ)

= einθ,

donde ρ (z) = zn = ρn, em particular unitaria. Obtemos agora a representacao induzida (ρn)∗ da algebra de Lie u (1) = Ri em gl1 (C) = C:

14.22 Proposicao. A representacao induzida (ρn)∗ : u (1) −→ gl1 (C) = C e dada por

(ρn)∗ = n

(isto e, multiplicacao por n).


14.7.1 O Operador de Carga em Fısica Quantica

Como mencionado antes, quando um espaco de estados H e uma representacao unitaria de um grupo deLie G, multiplicando por i obtemos um operador hermitiano em H. No caso em que G = U (1), o operadorassim obtido e chamado o operador carga e denotado Q.

Pelo Teorema 13.49, se H tem dimensao finita n, entao H se decompoe em uma soma direta finita

H = H1 ⊕ . . .⊕Hn

onde pelo Corolario 13.45 cada espaco Hi tem dimensao 1, ou seja, Hi∼= C. Pelo Teorema 14.21 a repre-

sentacao irredutıvel de U (1) em cada Hi e da forma ρq = eiqθ para algum inteiro q ∈ Z. Como a algebra deLie u (1) = iR, o operador

Qi = Q|Hi : Hi −→ Hi

e simplesmente a multiplicacao de elementos de Hi∼= C pelo inteiro q, isto e,

Qi (v) = qv.

Portanto,Q = Q1 ⊕ . . .⊕Qn

e em relacao a uma base B = e1, . . . , en de H com ei um vetor nao nulo de Hi (ou seja, os vetores deestado para os quais a funcao de onda colapsa quando efetuamos uma medicao do observavel Q) a matrizdo operador de carga Q e

[Q]B =

q1

. . .

qn

com q1, . . . , qn ∈ Z os autovalores de Q (ou seja, o que efetivamente medidos do observavel). Um estado dosistema quantico e uma combinacao linear (superposicao) dos vetores de estado e nao ha um valor numericodefinido para o observavel Q neste estado.

14.23 Exemplo (Aplicacao em Fısica Quantica). U (1) age no espaco de Hilbert L2(R3,C

)das funcoes

de onda por mudanca de fase puntual da onda. A interpretacao fısica do autovalor de Q em interacoeseletromagneticas de uma partıcula com um campo eletrico e a carga eletrica do estado. A mudanca de fasede uma onda tem implicacoes fısicas mensuraveis, como no efeito de Aharonov-Bohm.

14.8 Metricas em Grupos de Lie

Podemos introduzir uma metrica em G com certas propriedades algebricas.

14.24 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que uma metrica 〈·, ·〉g em G e invariante a esquerdase

〈v, w〉h =⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

(14.2)

para todos g, h ∈ G e para todos v, w ∈ TeG. Analogamente, definimos uma metrica invariante a direita.Uma metrica que e ao mesmo tempo invariante a esquerda e a direita e chamada uma metrica bi-

invariante.

Em outras palavras, em uma metrica invariante a esquerda, toda multiplicacao a esquerda Lg e uma isometria,enquanto que em uma metrica invariante a direita, toda multiplicacao a direita Rg e uma isometria. Emuma metrica bi-invariante todas as translacoes sao isometrias. A existencia de metricas bi-invariantes paragrupos de Lie compactos e estabelecida no Exercıcio 7 de [Carmo]. A existencia de metrica invariantes aesquerda ou a direita em qualquer grupo de Lie e estabelecida atraves da seguinte definicao.


14.25 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Suponha que 〈, 〉 e algum produto interno em TeG. Entao ametrica em G definida por

〈v, w〉g =⟨(dLg−1

)gv,(dLg−1

)gw⟩e

(14.3)

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a esquerda.Analogamente, a metrica em G definida por

〈v, w〉g =⟨(dRg−1

)gv,(dRg−1

)gw⟩e

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a direita.

Prova: Temos, por definicao,

⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

=

⟨(dL(Lgh)−1

)Lgh

(dLg)h v,(dL(Lgh)−1

)Lgh

(dLg)h w

⟩e

=⟨(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h v,(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h w⟩e

= 〈(dLh−1)h v, (dLh−1)h w〉e= 〈v, w〉h

lembrando que Lh−1g−1 Lg = Lh−1g−1g = Lh−1 . Analogamente prova-se a invariancia a direita da segundametrica.

Ha uma relacao entre o produto interno e o colchete de Lie em g = TeG que caracteriza as metricasbi-invariantes de G que enunciaremos sem prova.

14.26 Teorema. Seja G um grupo de Lie com algebra de Lie g. A metrica invariante a esquerda definidana proposicao anterior e bi-invariante se e somente se o produto escalar 〈, 〉 em g = TeG usado para definira metrica satisfaz

〈[V,X] ,W 〉 = −〈V, [W,X]〉

para todos V,W,X ∈ g.

14.9 Exercıcios

14.27 Exercıcio. Calcule sln (R), gln (C) e sun.

Capıtulo 15

Recobrimentos e Acoes de Grupos

A aplicacao mais importante de grupos de Lie em matematica pura e aplicada e a acao de grupos de Lieem outras variedades. Por exemplo, a acao de um grupo G sobre uma variedade riemanniana M que eusualmente considerada e a de um grupo de isometrias de M . Mais geralmente, a acao de um grupo deLie envolve tipicamente uma variedade diferenciavel dotada de uma estrutura especıfica adicional e o grupode Lie e simplesmente o grupo de difeomorfismos da variedade que preserva a estrutura adicional (por estemotivo, chamado o grupo de simetria da estrutura); no caso de variedades riemannianas, a estrutura adicionale exatamente a metrica.

15.1 Definicao. Dizemos que um grupo G age (a esquerda) sobre um conjunto M , se existe uma aplicacao

G×M −→ M(g, x) 7−→ gx

tal que

ex = x,

(gh)x = g (hx) .

Dizemos que G age livremente sobre M se G age sem pontos fixos, isto e, se gx = x implica g = e.A orbita de um ponto x ∈M e o conjunto

Gx = gx : g ∈ G .

A acao de G e transitiva se Gx = M para algum ponto x ∈M (e portanto para todo x).

Quando G e um grupo de Lie e M e uma variedade diferenciavel, as acoes mais interessantes de G sobre Msao as acoes diferenciaveis. As vezes, uma acao G×M −→M sera explicitamente denotada por um sımbolopara a aplicacao, digamos φ, e a acao de um elemento g de G por φg, isto e,

φg (x) = φ (g, x) = gx.

Por exemplo, φg seria uma isometria especıfica de uma variedade riemanniana.

15.2 Exemplo. A acao de um grupo de Lie de matrizes sobre Rn e simplesmente a multiplicacao matricial.Quando o grupo de Lie e GL (n,R) ha duas orbitas, 0 e Rn\ 0, pois existe um isomorfismo que leva

qualquer vetor nao nulo em qualquer outro vetor nao nulo. A acao de GL (n,R) nao e livre nem transitiva.Quando o grupo de Lie e O (n), o grupo das isometrias de Rn, as orbitas sao as esferas (n− 1)-dimensionais

Sn−1r centradas na origem de raio r. O mesmo vale para SO (n).

Podemos restringir e considerar a acao de O (n) e de SO (n) sobre a esfera Sn−1 centrada na origem e deraio 1. A acao de O (n) nao e livre, pois reflexoes preservam certos pontos fixos. A mesma observacao valepara a acao de SO (n) quando n > 3, mas a acao de SO (2) sobre o cırculo S1 e livre. Em todos os casos aacao destes grupos e transitiva.

306


15.3 Exemplo. Todo grupo de Lie age sobre si mesmo por multiplicacao a esquerda e por conjugacao.

15.4 Exemplo. Se G e o grupo de difeomorfismos de uma variedade M , ele age sobre M de modo natural.Idem, se G e o grupo de isometrias de uma variedade riemanniana.

15.1 Espacos Quociente

A acao de um grupo G sobre um conjunto M define uma relacao de equivalencia:

x ∼ y se existe g ∈ G tal que y = gx.

As classes de equivalencia desta relacao sao exatamente as orbitas de G em M.

15.5 Definicao. O conjunto de todas as orbitas e o espaco quociente M/G (tambem chamado espacode orbitas) dotado da topologia quociente sobre a projecao quociente

π : M −→M/G

definida por π (x) = Gx.

15.6 Proposicao. Se a acao de G sobre M e contınua, entao a projecao π : M −→M/G e uma aplicacaoaberta.

Prova: Seja U ⊂M aberto. Entao

π−1 (π (U)) =⋃g∈G

gU.

Como para cada g, a acao por g (x 7→ gx) e um homeomorfismo (sua inversa e a acao por g−1), cada conjuntogU e aberto e portanto π−1 (π (U)) e aberto. Como π e a aplicacao quociente, segue que π (U) e aberto.

15.7 Exemplo. Se G e o grupo das translacoes por vetores com coordenadas inteiras, entao R2/G e o toro.

Que condicoes suficientes a acao deve satisfazer para que o espaco de orbitas seja uma variedade? Aresposta a isso esta no Teorema da Variedade Quociente (Teorema 15.10).

15.1.1 Acoes Proprias

Lembre-se que uma aplicacao e propria se as pre-imagens de subconjuntos compactos sao compactas.

15.8 Definicao. Dizemos que uma acao de um grupo de Lie G sobre uma variedade M e uma acao propriase a aplicacao

G×M −→ M ×M(g, x) 7−→ (gx, x)

e propria.

Observe que esta condicao e mais fraca do que exigir que a aplicacao acao G ×M −→ M ela mesma sejapropria (Exercıcio 13.53) e esta terminologia e infeliz e pode causar alguma confusao.

15.9 Proposicao. Se um grupo de Lie age continuamente e propriamente em uma variedade, entao o espacoquociente e de Hausdorff.

Prova: [Lee 1], Theorem 21.4, pp. 543.


15.1.2 Teorema da Variedade Quociente

15.10 Teorema (Teorema da Variedade Quociente). Se G e um grupo de Lie cuja acao sobre umavariedade diferenciavel M e diferenciavel, livre e propria, entao o espaco quociente M/G e uma variedadetopologica de dimensao dimM − dimG e que tem uma unica estrutura diferenciavel tal que a projecaoquociente e uma submersao diferenciavel.

Prova: [Lee 1], Theorem 21.10, pp. 544-548.

15.2 Aplicacoes de Recobrimento

Lembramos alguns fatos de topologia e topologia diferencial referentes a espacos de recobrimento (para osfatos de topologia, veja [Carmo2], pp. 371-384; para os fatos de topologia diferencial veja [Lee 1], pp. 91-94).

15.11 Definicao. Sejam M , M espacos topologicos conexos por caminhos [variedades diferenciaveis cone-

xas]. Uma aplicacao de recobrimento [diferenciavel] de M sobre M e uma aplicacao sobrejetiva [dife-renciavel]

π : M −→M

tal que todo ponto p ∈M possui uma vizinhanca V tal que π−1 (V ) e uma uniao disjuntas de abertos Vλ tal

que π|Vλ : Vλ −→ V e um homeomorfismo [difeomorfismo].

M e chamada a base do recobrimento e M o espaco de recobrimento de M .Se M e simplesmente conexo, dizemos que M e o recobrimento universal de M .

15.12 Proposicao. Uma aplicacao de recobrimento e diferenciavel se e somente se ela e um difeomorfismolocal.

15.13 Definicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento. Um levantamento de um caminhoγ : I −→M e um caminho γ : I −→ M tal que π γ = γ.

15.14 Proposicao (Propriedade de Levantar Caminhos). Seja π : M −→M uma aplicacao de recobrimento[diferenciavel]. Se γ : I −→ M e um caminho [uma curva diferenciavel] e p = γ (0), entao para qualquer

ponto p ∈ π−1 (p) existe um unico levantamento [diferenciavel] γ : I −→ M de γ tal que γ (0) = p.

15.15 Proposicao (Recobrimento de Espacos Simplesmente Conexos). Se π : M −→ M e uma aplicacaode recobrimento [diferenciavel] e M e simplesmente conexa, entao π e um homeomorfismo [difeomorfismo].

15.16 Proposicao (Existencia e Unicidade da Variedade de Recobrimento Universal). Se M e um espacotopologico conexo e localmente simplesmente conexo [variedade diferenciavel conexa], entao existe um espaco

topologico [uma variedade diferenciavel] simplesmente conexo[a] M e uma aplicacao de recobrimento univer-

sal [diferenciavel] π : M −→M .

Alem disso, se π : M −→M e outra aplicacao de recobrimento universal [diferenciavel], entao existe um

homeomorfismo [difeomorfismo] h : M −→ M tal que π h = π.

Mais um fato da teoria de espacos de recobrimento (veja [Munkres], p. 354):

15.17 Proposicao. Seja π : M −→M uma aplicacao de recobrimento universal. Entao existe uma bijecaoentre π1 (M) e π−1 (p) para qualquer p ∈M .

Pela Proposicao 15.12, uma aplicacao de recobrimento diferenciavel π : M −→ M e um difeomorfismolocal. Se M e uma variedade riemanniana, isso permite considerar a metrica induzida em M .

15.18 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, M uma variedade riemanniana e π : M −→ Muma aplicacao de recobrimento diferenciavel. A metrica induzida em M por π e chamada a metrica dorecobrimento.


Lembramos mais alguns resultados de espacos de recobrimento (veja [Massey], pp. 159-160 para adefinicao e a primeira proposicao e p. 163 para a segunda proposicao).

15.19 Definicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento. Dizemos que um homeomorfismoF : M −→ M e uma transformacao de recobrimento se π F = π.

15.20 Proposicao. Uma transformacao de recobrimento e uma isometria na metrica do recobrimento.

Prova: Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento e F : M −→ M e uma transformacao derecobrimento. Sejam p1, p2 ∈ M tais que F (p1) = p2. Como F e uma transformacao de recobrimento,

π (p2) = π (F (p1)) = π (p1) =: p,

logo, se v, w ∈ Tp1M , temos por definicao da metrica de recobrimento e pela regra da cadeia

〈dFp1 (v) , dFp1 (w)〉p2 = 〈dπp2 (dFp1 (v)) , dπp2 (dFp1 (w))〉p=⟨d (π F )p1 (v) , d (π F )p1 (w)

⟩p

= 〈dπp1 (v) , dπp1 (w)〉p= 〈v, w〉p1 .

Sob a operacao de composicao de funcoes, o conjunto de transformacoes de recobrimento e um grupo.

15.21 Proposicao. Toda transformacao de recobrimento diferente da identidade nao possui pontos fixos.

15.22 Proposicao. O grupo de transformacoes do recobrimento universal de M e isomorfo ao grupo fun-damental de M .

Lembramos mais um fato da teoria de espacos de recobrimento (veja [Carmo2], Proposition 1, p. 374).

15.23 Proposicao. Seja π : M −→M um homeomorfismo local. Se M e compacto e M e conexo, entao πe uma aplicacao de recobrimento.

A acao de um grupo G sobre uma variedade riemanniana M que consideraremos a seguir sera sempre deum grupo de isometrias de M .

15.24 Definicao. Dizemos que um grupo G age (a esquerda) em um conjunto M , se existe uma aplicacao

G×M −→ M(g, x) 7−→ gx

tal que

ex = x,

(gh)x = g (hx) .

Dizemos que G age livremente em M se gx = x implica g = e (em outras palavras, G age sem pontosfixos). A orbita de um ponto x ∈M e o conjunto

Gx = gx : g ∈ G .

A acao de G e transitiva se Gx = M para algum e portanto para todo x ∈ M . O conjunto de todas asorbitas e o quociente M/G e consideramos a projecao natural

π : M −→M/G


definida por π (x) = Gx.Se M e um espaco topologico, dizemos que um grupo G de homeomorfismos de M age de modo

totalmente descontınuo em M se todo x ∈M possui uma vizinhanca U em M tal que

g (U) ∩ U = ∅

para todo g ∈ G, g 6= e.

Para uma demonstracao dos resultados a seguir, veja [Massey], Lemma 8.1, a discussao antes e depoisdeste lema, e Proposition 8.2, pp. 164-165) (para a definicao de espacos de recobrimento regulares veja apagina 163).

15.25 Proposicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento e Γ o grupo das transformacoes derecobrimento de M . Entao:

(1) Γ age de modo totalmente descontınuo em M .(2) Γ age transitivamente em π−1 (p) para todo p ∈M se e somente se π e uma aplicacao de recobrimento

regular.Em particular, neste caso o espaco quociente M/Γ e naturalmente homeomorfo a M .

15.26 Proposicao. Se G e um grupo que age de modo totalmente descontınuo em um espaco topologicoconexo e conexo por caminhos M e M/G tem a topologia quociente, entao π : M −→M/G e uma aplicacaode recobrimento regular e G age transitivamente em π−1 (p) para todo p ∈M/G.

Se M e uma variedade riemanniana e Γ e um subgrupo do grupo de isometrias de M que age de modototalmente descontınuo em M , entao M/Γ tem uma estrutura de variedade diferenciavel em que π : M −→M/Γ e um difeomorfismo local. Alem disso, se Γ age transitivamente em π−1 (p), podemos definir em M/Γuma metrica tal que π e uma isometria local: dado p ∈M/Γ, escolhemos p ∈ π−1 (p) e definimos

〈v, w〉p =⟨dπ−1

p (v) , dπ−1p (w)

⟩p.

Esta definicao nao depende da escolha do ponto p ∈ π−1 (p). De fato, como Γ age transitivamente emπ−1 (p), dado qualquer outro ponto p ∈ π−1 (p) existe uma isometria F ∈ Γ tal que F (p) = q.

15.27 Definicao. A metrica definida atraves do recobrimento π : M −→ M/Γ e chamada a metricaquociente.

15.3 Exercıcios

15.28 Problema. Seja G um grupo de Lie agindo continuamente sobre uma variedade M . Mostre que se aacao G×M −→M e uma aplicacao propria, entao a acao e uma acao propria. De um contraexemplo paramostrar que a recıproca nao vale.

Capıtulo 16

Fibrados Vetoriais

Entre as ideias mais importantes e influentes no desenvolvimento da matematica, e uma das localizadas emum ponto chave no tempo foi a ideia de grafıco. Nao apenas a ideia de coordenadas (plano cartesiano),mas a ideia de representar objetos geometricos e eventualmente funcoes atraves de graficos. Essencialmente,um grafico e um produto cartesiano. Com a introducao do conceito de variedades, observa-se que muitosobjetos nao podem ser representados globalmente como um produto cartesiano, mas apenas localmente (umdos exemplos desta situacao que vimos e o fibrado tangente TM , que em geral nao e o produto cartesianoM × Rn). Entretanto, tais objetos geometricos que se caracterizam por ser produtos cartesianos apenaslocais constituem ferramentas poderosas para obter uma serie de resultados extraordinarios e a propriaimpossibilidade de obter produtos cartesianos globais permite aprender varias outras coisas. O conceito deproduto cartesiano local e capturado e definido precisamente pelo conceito matematico de fibrado.

Produtos cartesianos realmente aparecem em um grande numero de situacoes diferentes: um cilindropode ser visto como uma famılia disjunta de retas parametrizadas pelos pontos de um cırculo. Uma faixacomum e uma faixa de Mobius ambas podem ser vistas como famılias disjuntas de segmentos parametrizadospelos pontos de um cırculo, embora o resultado global do ponto de vista topologico seja bem diferente, naoapenas pelo fato de eles nao serem homeomorfos: o primeiro e um produto cartesiano global, enquanto queo segundo so pode ser visto como um produto cartesiano localmente. O toro bidimensional mergulhado noespaco tridimensional pode ser visto como uma colecao de cırculos (os meridianos) parametrizados pelospontos de um outro cırculo (o equador); globalmente temos um produto cartesiano, difeomorfo a S1× S1. Ofibrado tangente TM de uma variedade Mn e a uniao disjunta dos espacos tangentes TMp , cada um delesisomorfo a Rn, de modo que um ponto p ∈ M pode ser considerado como um parametro que parametrizaa famılia de espacos tangentes; os demais fibrados tensoriais podem ser vistos de modo analogo. Em todosestes casos, o espaco pode ser dividido em fibras parametrizadas por pontos da base.

Estes exemplos tem em comum o fato das fibras serem homeomorfas (no caso em que as fibras temuma estrutura algebrica adicional, como a de espacos vetoriais, elas sao tambem isomorfas) e, apesar doespaco inteiro quase nunca poder ser escrito diretamente como o produto cartesiano da base (o espaco deparametros), localmente isso e possıvel, ou seja, cada espaco e localmente o produto cartesiano do espacobase com a fibra. Estas duas propriedades caracterizam a essencia do que e um fibrado. A colagem devizinhancas que sao produtos cartesianos de modo a obter um objeto global (o fibrado) e feita de maneiraanaloga a colagem de vizinhancas para obter uma variedade.

Um exemplo de aplicacao fısica e uma partıcula localizada em um ponto p do espacotempo M : enquantoque sua velocidade pode ser realizada atraves de um vetor no espaco tangente TMp, ou seja, o seu campovelocidade ao longo de sua trajetoria (simplesmente uma curva no espacotempo) pode ser realizado atravesdo fibrado tangente (e sua aceleracao pode ser calculada atraves da derivada covariante do seu campo develocidade ao longo da sua trajetoria), qualquer estrutura interna extra (tal como spin) deve ser realizada erealizada atraves de um fibrado apropriado (ou seja, atraves de outro produto cartesiano local parametrizadopela posicao no espacotempo da partıcula).

311


16.1 Definicao

Antes de vermos o conceito mais geral de fibrado, produtos cartesianos locais onde as fibras podem serespacos topologicos quaisquer, veremos neste capıtulo o conceito particular de fibrado vetorial, produtoscartesianos em que as fibras sao espacos vetoriais, que generaliza diretamente o conceito de fibrado tangentee fibrados tensoriais que ja vimos antes e portanto estamos mais familiarizados. Na pratica todos as ideiasfundamentais ja foram vistas e estaremos apenas formalizando alguns conceitos de forma a podermos trocarespacos tangentes TMp, cotangentes T ∗Mp e tensoriais T kl Mp por espacos vetorais Ep mais gerais.

Intuitivamente, um fibrado vetorial E de posto m sobre uma variedade diferenciavel M e obtido asso-ciando a cada ponto p de M um espaco vetorial Ep de dimensao m de tal forma que Ep depende diferen-ciavelmente de p. Como nos casos anteriores do fibrado tangente e fibrados tensoriais, definimos o fibradovetorial

E =⊔p∈M

Ep

como sendo a uniao disjunta de todos os espacos vetoriais (fibras) Ep, e consideramos a projecao canonicaπ : E −→ M que projeta cada fibra Ep em seu ponto base p ∈ M . Entao a ideia de que Ep deve dependerdiferenciavelmente de p pode ser concretizada pela exigencia de que E seja localmente trivial sobre M , ou seja,que p possua uma vizinhanca U tal que π−1 (U) (a parte de E projetada sobre U por π) pode ser representadacomo o produto cartesiano U×Rm, o que constitui uma carta do fibrado (tambem frequentemente chamada deuma trivializacao local, ja que e um difeomorfismo que expressa uma vizinhanca do fibrado como um produtocartesiano). Uma condicao de compatibilidade entre as cartas realizada por funcoes de transicao semelhantesas mudancas de coordenadas entre cartas de variedades deve ser satisfeita para assegurar a definicao de umobjeto global e preservacao das fibras (ou seja, quando consideramos a fibra sobre o ponto de vista de duascartas, ha apenas uma mudanca de coordenadas na fibra). Mas esta condicao de compatibilidade e maisrıgida, ja que nao queremos apenas que as fibras sejam preservadas, mas tambem que sua estrutura algebricaseja preservada, isto e, que as coordenadas na fibra sejam transformadas atraves de um automorfismo linearda fibra.

Em outras palavras, um ponto de uma variedade e o mesmo, nao importa que coordenadas voce escolhepara representa-lo; um ponto da variedade e um objeto geometrico que existe por si so independentemente dascoordenadas. Quando uma partıcula se move ao longo da variedade espacotempo, ela tem uma velocidadeem cada ponto da trajetoria; a velocidade e um vetor no espaco tangente, que e tambem uma entidadegeometrica que existe por si so independentemente das coordenadas escolhidas para representa-la. Quandose escolhe coordenadas para representar o ponto que a partıcula ocupa na trajetoria, ou seja, escolhe-se umacarta para uma vizinhanca deste ponto na variedade, automaticamente se escolhe coordenadas no espacotangente, isto e, coordenadas de uma vizinhanca do ponto + vetor velocidade no fibrado tangente. Pode-sefazer outra escolha de coordenadas, isto e, fazer uma mudanca de coordenadas atraves da escolha de outracarta; esta mudanca de coordenadas e um difeomorfismo. No espaco tangente, no entanto, quando se fazesta mudanca de coordenadas na carta, tem-se uma mudanca de coordenadas linear, pois o espaco tangentee o mesmo apenas a menos de mudancas de coordenadas lineares. O mesmo vale para um fibrado: quandose muda as coordenadas do ponto base de forma diferenciavel, as coordenadas da fibra vetorial variam deforma linear.

16.1 Definicao. Um fibrado vetorial de posto m sobre uma variedade topologica M e uma variedadetopologica E juntamente com uma aplicacao contınua sobrejetiva π : E −→ M que satisfaz as seguintescondicoes:

(i) Para cada p ∈M , a fibraEp = π−1 (p)

e um espaco vetorial real de dimensao m.(ii) Para cada p ∈M existe uma vizinhanca U de p em M e um homeomorfismo

ψ : π−1 (U) −→ U × Rm,


chamado uma carta do fibrado (ou trivializacao local), tal que se π1 : U × Rm −→ U e a projecaona primeira coordenada, entao

π = π1 ψ,

isto e, o diagrama abaixo e comutativo:

π−1 (U)

π

ψ // U × Rm

π1

yyU

(iii) Para cada q ∈ U ,ψ|Eq : Eq −→ Rm

(Rm ≡ q × Rm) e um isomorfismo entre espacos vetoriais.O espaco E e chamado o espaco total do fibrado, M seu espaco base e π sua projecao.

O nome trivializacao se deve ao fato que o produto cartesiano E = M × V com a projecao na primeiracoordenada e V um espaco vetorial e chamado um fibrado trivial; assim, cada vizinhanca π−1 (U) ehomeomorfa a um fibrado trivial sobre U atraves de uma trivializacao. Note que o fibrado E e efetivamentea uniao dos espacos vetoriais Ep:

E =⊔p∈M

π−1 (p) =⊔p∈M

Ep.

Exemplos de fibrados vetoriais sao os fibrados tangente, cotangente e os fibrados tensoriais em geral que javimos. O cilindro S1 × R e o unico fibrado vetorial cuja base e uma variedade diferenciavel compacta que evisualizavel (veja, por exemplo, a Figura 10.1, p. 250, em [Lee 1] para uma visualizacao de uma trivializacaolocal de um cilindro sobre um cırculo), enquanto que a faixa de Mobius infinita considerada como um fibradosobre S1 com fibra R e o unico fibrado vetorial nao trivial facil de visualizar.

16.2 Definicao. Se M e E sao variedades diferenciaveis, π : E −→ M e uma aplicacao diferenciavel e ascartas do fibrado sao difeomorfismos, entao E e chamado um fibrado vetorial diferenciavel.

A colecao de cartas do fibradoψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm

e chamado um atlas para o fibrado, a semelhanca da linguagem de variedades. Note que um atlas para ofibrado em conjunto com um atlas para a variedade base M permite construir um atlas para a variedadetotal E.

16.3 Proposicao. Se E e um fibrado vetorial diferenciavel, entao a projecao π : E −→M e uma submersao.

Prova: Exercıcio 16.22. Veremos agora como a definicao de fibrado garante que quando fazemos uma mudanca de coordenadas

passando para uma carta do fibrado diferente para o mesmo ponto base, as coordenadas na fibra Ep mudamatraves de um automorfismo linear.

16.4 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel de posto m.Sejam

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × Rm,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅. Entao existe uma aplicacao diferenciavel

gαβ : Uαβ −→ GLm (R)


tal que a mudanca de coordenadas de cartas do fibrado

ψα ψ−1β : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm

tem a forma (ψα ψ−1

β

)(p, v) =

(p, (gαβ)p v

).

Mais precisamente,

(gαβ)p = ψα|Ep (ψβ |Ep

)−1

.

Prova: Do diagrama comutativo

π−1 (Uα ∩ Uβ)

ψα

vv

ψβ

((π

(Uα ∩ Uβ)× Rm

π1((

(Uα ∩ Uβ)× Rm

π1vv

Uα ∩ Uβ

segue que

π1 (ψα ψ−1

β

)= (π1 ψα) ψ−1

β

= π ψ−1β

= π1,

o que implica, como esperado, que as fibras sao preservadas pelas mudancas de coordenadas de cartas dofibrado, ou seja, existe uma aplicacao diferenciavel gαβ : Uαβ × Rm −→ Rm tal que(

ψα ψ−1β

)(p, v) = (p, gαβ (p, v)) .

Denotando(gαβ)p (v) = gαβ (p, v) ,

para cada p ∈ Uαβ , obtemos uma funcao (gαβ)p : Rm −→ Rm. A funcao (gαβ)p e um isomorfismo, pois e acomposta de isomorfismos:

(gαβ)p =(ψα ψ−1

β

)|p×Rm = ψα|Ep

(ψβ |Ep

)−1

.

Escolhendo uma base em Rm, podemos representar (gαβ)p por uma matriz na variedade GLm (R), que e

simplesmente um aberto de Rm2

. Abusando a linguagem, consideramos gαβ como uma funcao definida emUαβ tomando valores em GLm (R).

Falta apenas verificar que gαβ e uma aplicacao diferenciavel (Exercıcio 16.23).

16.5 Definicao. A aplicacao diferenciavel


e chamada a funcao de transicao entre as cartas do fibrado ψα e ψβ .


A funcao de transicao mostra qual e a mudanca de coordenadas na fibra Ep ao mudarmos as coordenadasdo ponto p na variedade base. Por exemplo, no caso do fibrado tangente TM , a funcao de transicao gαβe simplesmente a diferencial d

(ϕ−1α ϕβ

)da mudanca de coordenadas ϕ−1

α ϕβ entre cartas ϕα, ϕβ davariedade base M . A mudanca de coordenadas entre cartas do fibrado as vezes tambem e chamada umafuncao de transicao, ja que pelo resultado acima uma e essencialmente dada pela outra. Do contexto ficaclaro quando esta-se referindo a funcoes de transicao no sentido que acabamos de definir e quando o termoe usado para se referir as mudancas de coordenadas entre cartas do fibrado.

Analogamente a situacao em variedades, em que podemos usar um atlas para definir uma topologia demaneira unica sobre um conjunto X que o transforma em uma variedade diferenciavel (Teoremas 1.10, 1.11 e1.12), dada uma variedade M podemos construir a topologia e a estrutura diferenciavel da variedade total Edo fibrado vetorial sobre M atraves de simplesmente dar uma cobertura de abertos para M e trivializacoespara cada um destes abertos de tal forma que nas sobreposicoes dos abertos as mudancas de coordenadas saodadas por difeomorfismos que preservam fibras e a estrutura linear entre fibras (isto e, atraves de funcoes detransicao, como visto na Proposicao 16.4); uma vez feito isso, a topologia e estrutura diferencial do espacototal E ficam determinadas, como veremos no teorema a seguir.

16.6 Teorema (Construcao da Topologia e Estrutura Diferenciavel do Espaco Total do Fibradoa partir do Atlas). Seja M uma variedade diferenciavel.

Para cada p ∈M , seja Ep um espaco vetorial real de dimensao m e considere a uniao disjunta

E =⊔p∈M

Ep

e a projecao π : E −→M definida por π (v) = p para todo v ∈ Ep.Suponha dados:(i) uma cobertura aberta Uαα∈A de M ;(ii) para cada α ∈ A uma bijecao

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm

tal que ψα|Ep : Ep −→ Rm e um isomorfismo entre espacos vetoriais;(iii) para cada α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ uma aplicacao diferenciavel


tal que a aplicacaoψα ψ−1

β : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm


β

)(p, v) =

(p, (gαβ)p v

).

Entao E tem uma unica topologia e uma unica estrutura diferenciavel que o transformam em um fibradovetorial diferenciavel de posto m sobre M , com π a projecao e ψα as cartas do fibrado.

Prova: Para cada ponto p ∈M , escolha Uα 3 p. Seja (φp, Vp) uma carta em p com Vp ⊂ Uα. Defina

ϕp : π−1 (Vp) −→ φp (Vp)× Rm

porϕp = (φp × idRm) ψα.

Afirmamos que a colecao Ψ =(ϕp, π

−1 (Vp))

satisfaz as condicoes dos Teoremas 1.10, 1.11 e 1.12, de modoque E possui a estrutura de uma variedade diferenciavel de dimensao n+m.

De fato, os conjuntos φp (Vp)×Rm sao abertos de Rn+m porque φp (Vp) e um aberto de Rn, por definicaode carta de variedade, e as aplicacoes ψp sao bijecoes, porque sao as compostas de bijecoes.


Claramente os conjuntos π−1 (Vp) cobrem E, pois cada ponto p possui uma carta em M , Uα cobremM e ϕα e uma bijecao entre Ep e Rm.

Alem disso, nas sobreposicoes (intersecoes nao vazias) π−1 (Vp) ∩ π−1 (Vq) temos que

ϕp[π−1 (Vp) ∩ π−1 (Vq)

]= φp (Vp ∩ Vq)× Rm

e um aberto de Rn+m, e as mudancas de coordenadas nestas sobreposicoes sao dadas por

ϕp ϕ−1q = [(φp × idRm) ψα]

[ψ−1β (φq × idRm)

−1]

= (φp × idRm) (ψα ψ−1

β

)(φ−1q × idRm

),

ou seja, uma composta de difeomorfismos, portanto um difeomorfismo.Para ver que E e de Hausdorff, sejam r, s ∈ E, com r 6= s. Se r, s ∈ Ep, entao no mesmo aberto π−1 (Vp).

Se r ∈ Ep e s ∈ Eq, podemos escolher vizinhancas disjuntas Vp de p e Vq de q, de modo que π−1 (Vp) eπ−1 (Vq) sao vizinhancas coordenadas disjuntas de r e s, respectivamente.

Finalmente, como Vp possui uma subcobertura enumeravel, E tem base enumeravel.Falta apenas verificar que as aplicacoes ϕα sao cartas de fibrado. Cada ϕα e um difeomorfismo porque

sua representacao no atlas definido acima para E e o atlas dado para M × Rm e

(φp × idRm) ψα ϕ−1p = (φp × idRm) ψα ψ−1

α (φp × idRm)−1

= idφp(Vp)×Rm .

Da mesma forma, a representacao local para a projecao natural π no atlas para E e no atlas para M e

π (x, v) = x

logo π e diferenciavel. Como ϕα leva Ep em p × Rm, e imediato que π1 ϕ = π e ψα e linear sobre asfibras porque o contradomınio de gαβ e GLm (R).

16.2 Condicao de Cociclo e Operacoes com Fibrados Vetoriais

Assim como podemos fazer operacoes com espacos vetoriais (dual, somas diretas, produtos tensoriais, produ-tos exteriores, considerar o espaco dos homomorfismos lineares entre dois espacos vetoriais, etc.), podemosfazer o mesmo com fibrados vetoriais, fazendo estas operacoes fibra a fibra, desde que elas sejam feitas deforma contınua (diferenciavel) e atraves disso definir novos fibrados vetoriais.

Para fazer isso mais facilmente, veremos como construir toda a estrutura do fibrado sobre uma variedadeM , ou seja, nao apenas a topologia e a estrutura diferenciavel do espaco total E, mas tambem o atlasde cartas do fibrado, a partir apenas da colecao de funcoes de transicao. Isto e diferente do que fizemosna Proposicao 16.6, onde o atlas foi dado e mostramos como ele determinava a topologia e a estruturadiferenciavel de E. Mais explicitamente, construiremos um fibrado E sobre M atraves de uma cobertura deabertos Uαα∈A de M e uma colecao de homeomorfismos

ψαβ : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm

que preservam fibras automorficamente (isto e, tem a forma dada pela Proposicao 16.4 em termos de funcoesde transicao): o espaco total E e imaginado construido pela uniao dos produtos cartesianos Uα × Rmcom identificacoes induzidas pelos homeomorfismos ψαβ (da mesma forma que uma variedade pode ser vistacomo a colagem de abertos euclideanos atraves das mudancas de coordenadas das cartas; para uma ilustracaodeste processo de colagem no caso de fibrados, veja por exemplo a figura na pagina 10 de [Poor]). Talvezsurpreendentemente, a unica condicao de compatibilidade necessaria entre os homeomorfismos que precisaser imposta para esta construcao funcionar e a condicao de cociclo

ψαβψβγ = ψαγ , (16.1)


que certamente vale para as mudancas de coordenadas de cartas de um fibrado, pois

ψαβψβγ =(ψα ψ−1

β

) (ψβ ψ−1

γ

)= ψα ψ−1

γ

= ψαγ .

Equivalentemente, a condicao de cociclo vale para as funcoes de transicao gαβ : Uαβ −→ GLm (R)

gαβgβγ = gαγ , (16.2)

mas esta identidade deve ser entendida nao como uma composta de aplicacoes (o que nao faz sentido), maspuntualmente:

gαβ (p) gβγ (p) = gαγ (p)

para todo p ∈ Uαβγ = Uα ∩ Uβ ∩ Uγ .

16.7 Teorema (Construcao de um Fibrado Vetorial a partir das Funcoes de Transicao). Seja Muma variedade diferenciavel com uma cobertura aberta Uαα∈A.

Suponha que a famılia de aplicacoes diferenciaveis

Φ = gαβ : Uαβ −→ GLm (R)α,β∈A

satisfaz a condicao de cociclogαβgβγ = gαγ (16.3)


gαα = id,

gαβgβγgγα = id,

sempre que Uαβγ = Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅ para todos os ındices α, β, γ ∈ A

Entao existe um fibrado diferenciavel E sobre M de posto m cujas funcoes de transicao sao as funcoesgαβ.

Prova: A condicao de cociclogαβgβγ = gαγ

implica, tomando α = β = γ, quegααgαα = gαα,

donde, multiplicando ambos os lados pela inversa g−1αα,

gαα = id . (16.4)

Daı, tomando β = α em (16.3), segue imediatamente que

gαβgβα = id . (16.5)

sempre que Uαβ 6= ∅. Em particular,g−1αβ = gβα. (16.6)

Segue desta ultima e de (16.3) escrito na forma

gαβgβγg−1αγ = id

quegαβgβγgγα = id . (16.7)


sempre que Uαβγ 6= ∅.Reciprocamente, se (16.4) e (16.7) valem, tomando γ = α em (16.7) obtemos (16.5), que e equivalente a

(16.6). Daı, segue de (16.7) e de (16.6) que

gαβgβγ = g−1γα = gαγ .

Considere a uniao disjunta

E =⊔α∈A

(Uα × Rm)

Definimos uma relacao de equivalencia entre dois pontos (x, v) ∈ Uα × Rm e (y, w) ∈ Uβ × Rm

(x, v) ∼ (y, w)

por

x = y ∈ Uαβ ,w = gβα (v) .

As condicoes de cociclo garantem que esta e uma relacao de equivalencia. De fato:(i) Reflexividade:

Segue da primeira condicao de cociclo gαα = id. De fato,

v = gαα (v) ,

logo (x, v) ∼ (x, v).(ii) Simetria:

Segue da condicao gαβgβα = id. De fato, suponha que (x, v) ∼ (x,w), de modo que w = gβα (v). Entao

gαβ (w) = gαβ [gβα (v)] ,

dondegαβ (w) = v

e (x,w) ∼ (x, v).(iii) Transitividade:

Segue diretamente da condicao de cociclo gαβgβγ = gαγ . De fato, suponha que (x, v) ∼ (x,w) e que(x,w) ∼ (x, u), de modo que

w = gβα (v) ,

u = gγβ (w) .

Entaou = gγβ (w) = gγβ [gβα (v)] = gγα (v)

e (x, v) ∼ (x, u).Assim, identificamos os pontos (x, v) e (y, w) (vale a pena acompanhar o raciocınio usando uma figura

semelhante a figura na pagina 10 de [Poor]). Portanto, podemos introduzir a topologia quociente no espacodas classes de equivalencia, isto e, no espaco quociente

E = E/ ∼,

Lembrando: um subconjunto V ⊂ E e aberto se e somente se Π−1 (V ) e aberto, onde Π : E −→ E e aprojecao quociente.


Uma vez definido o espaco total do fibrado E, definimos a projecao do fibrado π : E −→M por

π ([x, v]) = x

para todo v ∈ Rm, onde denotamos a classe de equivalencia de (x, v) por [x, v]. Claramente, π e contınua.Falta construir as cartas ϕα deste fibrado. Se

ψα = Π|Uα×Rm : Uα × Rm −→ Π (Uα × Rm) ⊂ E

definimos ϕα = ψ−1α . Para ver que ψα e um homeomorfismo, note primeiro que ψα e uma bijecao porque

cada classe [x, v] ∈ π−1 (Uα) tem um unico representante (x, v) ∈ Uα × Rm; daı a topologia quociente tornaψα um homeomorfismo. Alem disso, temos

ϕα ϕ−1β = ψ−1

β ψα = ϕβα.

De fato, se (x, v) ∈ (Uα ∩ Uβ)× Rm, entao

ψ−1β ψα (x, v) = ψ−1

β ([x, v])

= (x,w)

onde por definicao da relacao de equivalencia (x, g) = ϕβα (x, v). [Novamente, veja uma figura analoga a dapagina 10 de [Poor].]

Os detalhes referentes a diferenciabilidade ficam como exercıcio. A cobertura aberta de M e o conjunto de funcoes de transicao que satisfazem as condicoes de cociclo echamado um sistema de funcoes de transicao para o fibrado.

Este resultado permite construir novos fibrados a partir de fibrados dados mais facilmente, como veremos.Essencialmente, toda operacao (contınua) que podemos definir entre espacos vetoriais, podemos definir entrefibrados.

16.8 Exemplo (Dual). Se E e um fibrado vetorial sobre M de posto k, entao seu dual e o fibrado vetorialde posto k cuja fibra sobre p e o dual E∗p com funcoes de transicao em Uαβ dadas por

g∗αβ =(gTαβ)−1

.

De fato, se ψα e uma carta do fibrado, entao o isomorfismo

ψα|Ep : Ep −→ Rm

induz o isomorfismo

ψ∗α =[(ψα|Ep

)T ]−1

|E∗p : Ep −→ Rm.

Daı,

g∗αβ = ψ∗α|E∗p (ψ∗β |E∗p

)−1

=[(ψα|Ep

)T ]−1 [(ψβ |Ep

)T ]=

[[(ψβ |Ep

)T ]−1 (ψα|Ep

)T]−1

=

[[(ψβ |Ep

)−1]T (

ψα|Ep)T]−1

=

[[(ψα|Ep

) (ψβ |Ep

)−1]T]−1

=(gTαβ)−1

.


16.9 Exemplo (Soma Direta). Se E e E′ sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , de postosk e l, respectivamente, entao sua soma direta (ou soma de Whitney) e o fibrado E⊕E′ de posto k+ l cujafibra sobre p e a soma direta Ep ⊕ E′p ∼= Rk+l com funcoes de transicao

g⊕αβ = gαβ ⊕ g′αβ ,

ou seja,

g⊕αβ =

[gαβ 00 g′αβ

].

16.10 Exemplo (Produto Tensorial). Se E e E′ sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , depostos k e l, respectivamente, entao seu produto tensorial e o fibrado E ⊗E′ de posto kl cuja fibra sobrep e o produto tensorial Ep ⊗ E′p ∼= Rkl com funcoes de transicao

g⊗αβ = gαβ ⊗ g′αβ .

16.11 Exemplo (Fibrado Hom). e E e E′ sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , de postosk e l, respectivamente, entao o fibrado Hom (E,E′) e o fibrado de posto kl cuja fibra sobre p e o espacovetorial dos homomorfismos lineares Hom

(Ep, E

′p

). Um isomorfismo

Lα : Hom(Ep, E

′p

)−→ Hom

(Rk,Rl

)associado a carta de fibrado ψα e definido por

Lα (L) = ψ′α|E′p L (ψα|Ep

)−1,

de modo que as funcoes de transicao sao dadas por

gHomαβ = Lα L−1

β .

16.3 Secoes Locais e Globais

16.12 Definicao. Se π : E −→ M e um fibrado, uma secao de E e uma aplicacao S : M −→ E tal queπ S = idM .

Uma secao local e uma aplicacao S : U −→ E definida em um aberto de M tal que π S = idU .

Exemplos de secoes sao os campos vetoriais para fibrados tangentes e os campos tensoriais para fibradostensoriais. Fibrados vetoriais sempre possuem uma secao contınua global: a secao nula S ≡ 0. No caso defibrados vetoriais, o conjunto de secoes tem uma estrutura natural de espaco vetorial sobre R e de modulosobre C∞ (M) herdada da fibra:

(αS + βT )p = αSp + βTp,

(fS + gT )p = f (p)Sp + g (p)Tp.

16.13 Notacao. O espaco vetorial das secoes de um fibrado E e denotada Γ (E).Assim tambem sera denotado o modulo das secoes sobre C∞ (M).


Obtemos uma base de secoes locais de um fibrado vetorial de posto m associada a cada cada carta defibrado ψ definindo

σi,p = ψ−1 (p, ei) (16.8)

i = 1, . . . ,m, ja que para cada p ∈ M , σ1,p, . . . σm,p e uma base para a fibra Ep. Em geral omitimos oponto p da notacao.

16.14 Proposicao. Toda base de secoes local e associada a uma carta de fibrado.

Prova: Veja Proposition 10.19 em [Lee 1], p. 259.

16.15 Corolario. Todo conjunto de secoes locais linearmente independente pode ser completado ate umabase de secoes locais, reduzindo a vizinhanca, se necessario.

Prova: Veja Proposition 10.19 em [Lee 1], p. 259.

16.16 Proposicao (Mudanca de Base de Secoes Locais). Seja E um fibrado vetorial de posto m. Sejam


cartas do fibrado E tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ e


as funcoes de transicao entre estas cartas, isto e,



β

)(p, v) = (p, gαβ (p) v) .

Sejam

σα1 , . . . , σαm ,σβ1 , . . . , σ

βm

,

as bases de secoes locais associadas a ψα, ψβ, respectivamente, ou seja,

(σαi )p = ψ−1α (p, ei) ,(

σβi

)p

= ψ−1β (p, ei) .

Entaoσβi = (gαβ)

ji σ

αj . (16.9)

Prova: Temos (σβi

)p

= ψ−1β (p, ei)

= ψ−1α

(ψα ψ−1

β

)(p, ei)

= ψ−1α (p, gαβ (p) ei)

= ψ−1α

(p, (gαβ)

ji ej

)= (gαβ)

ji ψ−1α (p, ej)

= (gαβ)ji

(σαj)p,

onde usamos o fato que a carta de um fibrado e linear sobre cada fibra, por definicao.


16.17 Proposicao. Os seguintes isomorfismos valem:(i)

Γ(M × Rk

) ∼= C∞(M,Rk

)(ii)

Γ (E ⊕ E′) ∼= Γ (E)⊕ Γ (E′)

(iii)Γ (Hom (E,E′)) ∼= HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′))

(iv)Γ (E∗) ∼= HomC∞(M) (Γ (E) , C∞ (M)) = (Γ (E))

∗

(v)Γ (E ⊗ E′) ∼= Γ (E)⊗C∞(M) Γ (E′)

(vi)Γ(ΛkE

) ∼= ΛkC∞(M) (Γ (E)) .

Prova: Os isomorfismo (i) e (ii) sao faceis de verificar. Provaremos o isomorfismo (iii):

Γ (Hom (E,E′)) ∼= HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′)) .

Seja, S ∈ Γ (Hom (E,E′)). Por definicao, S e uma aplicacao diferenciavel

S : M −→ Γ (Hom (E,E′))

tal queSp : Ep −→ E′p

e um isomorfismo linear entre as fibras espacos vetoriais Ep e E′p. Definimos um isomorfismo

Φ : Γ (Hom (E,E′)) −→ HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′))

por[Φ (S) (σ)]p = Sp (σp)

para cada σ ∈ Γ (E). Como Sp e linear em cada fibra, Φ (S) : Γ (E) −→ Γ (E′) e linear sobre o moduloC∞ (M): dadas f, g ∈ C∞ (M) e σ, σ′ ∈ Γ (E), temos

[Φ (S) (fσ + gσ′)]p = Sp(f (p)σp + g (p)σ′p

)= f (p)Sp (σp) + g (p)Sp

(σ′p)

=[fΦ (S) (σ) + gSp

(σ′p)]p.

Para mostrar que Φ e injetiva, suponha que Φ (S) (σ) = 0 e a secao nula no fibrado E′, isto e,

Sp (σp) = 0


para todo p ∈M e para todo σp ∈ Ep. Temos que mostrar que S e a secao nula do fibrado Hom (E,E′), istoe, Sp : Ep −→ E′p e o isomorfismo nulo para todo p ∈M . Fixe p ∈M e v ∈ Ep. Seja σv ∈ Γ (E) uma secaotal que (σv)p = v, que pode ser obtida atraves de uma funcao lombada (ou seja, defina σv localmente em umaberto U atraves de uma carta do fibrado, tome uma funcao lombada f tal que f (p) = 1 e supp f ⊂⊂ U , demodo que a secao globalmente definida em M sera fσv). Segue que

0 = Sp

((σv)p

)= Sp (v) .

Como v e arbitrario, isso implica que Sp e o isomorfismo nulo e como p e arbitrario, segue que S e a secaonula.

Para provar que Φ e sobrejetiva, seja T ∈ HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′)), isto e,

T : Γ (E) −→ Γ (E′)

e um homomorfismo linear sobre o modulo C∞ (M). Precisamos obter uma secao S ∈ Γ (Hom (E,E′)) talque Φ (S) = T , Para isso, basta definir para cada p ∈M e para cada v ∈ Ep,

Sp (v) = [T (σv)]p .

onde σv ∈ Γ (E) e uma secao tal que (σv)p = v. Claramente S e linear, bastando apenas verificar que S estabem definida, isto e, se (σv)p = (σ′v)p, entao

[T (σv)]p = [T (σ′v)]p ,

o que e equivalente a mostrar quese σp = 0, entao [T (σ)]p = 0.

Sejam σ1, . . . , σm ∈ Γ (E) tais que

(σ1)q , . . . , (σm)q

formam uma base para Eq para todo q em uma

vizinhanca U de p (estas secoes globais que formam uma base de secoes em uma vizinhanca de p podem serobtidas pelo argumento anterior usando uma funcao lombada). Temos

σq =∑

f i (q) (σi)q

para todo q ∈ U para algumas funcoes f i ∈ C∞ (U); em particular, f i (p) = 0 para todo i. Seja f ∈ C∞ (M)com supp f ⊂⊂ U e f (p) = 1. Entao

T (σ) = T (fσ + (1− f)σ)

= T (fσ) + (1− f)T (σ) ,

de modo que[T (σ)]p = [T (fσ)]p .

Mas em Ufσ =

∑(ff i)σi

e podemos fazer esta identidade valer para todo M estendendo ff i a uma funcao gi ∈ C∞ (M) com gi (p) =f i (p) = 0. Como T e C∞ (M)-linear, segue que

T (fσ) =∑

giT (σi)

de modo que

[T (fσ)]p =∑

gi (p) [T (σi)]p = 0.


O isomorfismo (iv) e um caso especial de (iii), tomando E′ = M × R. O isomorfismo (v) segue de (paramaiores detalhes, veja [Madsen-Tornehave], Theorem 16.13)

Γ (E ⊗ E′) ∼= Γ (Hom (E∗, E′))∼= HomC∞(M) (Γ (E∗) ,Γ (E′))

∼= HomC∞(M)

(HomC∞(M) (Γ (E) , C∞ (M)) ,Γ (E′)

)∼= Γ (E)⊗C∞(M) Γ (E′) .

Para o isomorfismo (vi), veja [Madsen-Tornehave], Theorem 16.13.

16.4 Homomorfismos entre Fibrados

16.18 Definicao. Se

π : E −→M,

π′ : E′ −→M ′,

sao fibrados vetoriais, um homomorfismo entre os fibrados E e E′ e uma aplicacao contınua F : E −→ E′

tal que existe uma aplicacao f : M −→ M ′ satisfazendo π′ F = f π, isto e, tal que o diagrama abaixocomuta

E

π

F // E′

π′

M

f // M ′

e tal que F |Ep : Ep −→ E′f(p) e linear para todo p ∈M .Se a inversa de F tambem for um homomorfismo entre fibrados, entao dizemos que F e um isomorfismo

entre fibrados e os fibrados E e E′ sao isomorfos.

Note que um homomorfismo entre fibrados preserva fibras se f e a identidade e no caso geral leva a fibra emp na fibra em f (p). Note ainda que no caso de fibrados vetoriais a aplicacao f e automaticamente contınua:se S e a secao nula, entao

f = π′ F S.

Portanto, se F e diferenciavel, entao f tambem e.Quando M = M

′, restringimos a definicao permitindo apenas f = idM :

16.19 Definicao. Se

π : E −→M,

π′ : E′ −→M,

sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , um homomorfismo entre os fibrados E e E′ e umaaplicacao contınua F : E −→ E′ tal que π′ F = π e F |Ep : Ep −→ E′f(p) e linear para todo p ∈M .

16.20 Proposicao. Sejam E,E′

fibrados vetoriais sobre M .Uma aplicacao F : Γ (E) −→ Γ (E′) e linear sobre C∞ (M) se e somente se existe um homomorfismo

entre fibrados vetoriais F : E −→ E′ tal que F (S) = F S para todo S ∈ Γ (E).

Prova: Veja [Lee 1], Lemma 10.29, p. 262.

16.21 Exemplo. Se M,N sao variedades diferencıaveis e F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel, aaplicacao tangente dF : TM −→ TN (veja Proposicao 3.16) e um homomorfismo entre fibrados.


16.5 Exercıcios


16.23 Exercıcio. Termine a demonstracao da Proposicao 16.4, mostrando que gαβ e uma aplicacao dife-renciavel (use a mesma ideia da Proposicao 7.37 em [Lee 1], p. 171).

Capıtulo 17

Conexoes em Fibrados Vetoriais

Sabemos derivar campos tensoriais usando conexoes. Neste capıtulo mostraremos como derivar secoes dequalquer fibrado vetorial, usando uma nocao equivalente de conexoes para fibrados vetoriais. A primeiranocao de conexao que consideraremos e uma generalizacao direta da nocao algebrica de conexao que vimospara os fibrados tensoriais.

17.1 Definicao 1: Conexao de Koszul

Conexoes nos fibrados tensoriais permitem calcular a derivada direcional dos campos tensoriais definidosna variedade, que nada mais sao que as secoes do fibrado tensorial. A derivada direcional de um campotensorial na direcao de um vetor tangente a variedade e exatamente a derivada covariante do campo nestadirecao. Por analogia, temos a mesma definicao de conexoes em fibrados vetoriais, o que permitira calculara derivada direcional de secoes do fibrado vetorial na direcao de um vetor tangente ao espaco base (ao longodeste capıtulo denotaremos o espaco dos campos vetoriais T (M) por Γ (TM)):

17.1 Definicao. Uma conexao em um fibrado vetorial π : E −→M e uma aplicacao R-bilinear

∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E)

que e C∞ (M)-linear na primeira variavel e satisfaz a regra do produto na segunda variavel:

∇fX+gY S = f∇XS + g∇Y S,∇X (fS) = f∇XS + (Xf)S,

Dizemos que ∇XS e a derivada covariante da secao S na direcao de X.

A conexao definida acima e tambem chamada uma conexao de Koszul. Note que se fixarmos um campovetorial X ∈ Γ (TM) temos uma derivacao (uma aplicacao R-linear que satisfaz a regra do produto)

∇X : Γ (E) −→ Γ (E) .

A forma local da conexao de Koszul em termos das coordenadas locais de campos vetoriais e das coor-denadas locais de secoes do fibrado e dada pelo seguinte resultado:

17.2 Proposicao. Seja ∇ uma conexao para um fibrado vetorial π : E −→M .Escreva localmente X ∈ Γ (TM) como

X = Xi∂i

para algumas funcoes Xi ∈ C∞ (U) e S ∈ Γ (E) como

S = Skσk

326


para algumas funcoes Sk ∈ C∞ (U).Defina Γkij ∈ C∞ (U) por

∇∂iσj = Γkijσk. (17.1)

Entao∇XS = Xi

(∂iS

k + ΓkijSj)σk. (17.2)

Prova: Temos

∇XS = ∇Xi∂i(Sjσj

)= Xi∇∂i

(Sjσj

)= Xi

[(∂iS

j)σj + Sj∇∂iσj

]= Xi

[(∂iS

j)σj + SjΓkijσk

].

17.3 Definicao. As funcoes suaves locais Γkij definidas pela expressao (17.1) sao chamadas os sımbolos deChristoffel da conexao associados a carta de fibrado.

17.4 Proposicao. Todo fibrado vetorial possui uma conexao.

Prova: Seja E um fibrado vetorial sobre M . Se U e uma vizinhanca coordenada de M tal que π−1 (U) euma vizinhanca coordenada de fibrado de E, dadas n3 funcoes arbitrarias Γkij ∈ C∞ (U), a formula (17.2)

define uma conexao no fibrado local trivial π−1 (U) sobre U . Se Uα e uma cobertura de M por vizinhancascoordenadas tal que

π−1 (Uα)

e uma cobertura de E por vizinhancas coordenadas de fibrado, cada uma

com uma conexao ∇α definida, entao podemos definir uma conexao de fibrado global em E usando umaparticao da unidade ρα subordinada a cobertura Uα, por

∇XY =∑α

ρα∇αXY.

As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencaoespecial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem desatisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso casotemos

∇X (fS) =∑α

ρα∇αX (fS) =∑α

ρα [(Xf)S + f∇αXS]

= (Xf)S∑α

ρα + f∑α

ρα∇αXS

= (Xf)S + f∇XS.

17.2 Definicao 2: Conexao de Koszul em Termos de Formas Dife-renciais

Atraves de um isomorfismo natural, podemos definir conexoes em termos de 1-formas diferenciais. Issopermitira ver a derivada covariante de secoes como uma derivada covariante de fato, isto e, uma aplicacaolinear que aumenta em 1 o grau de covariancia. Por exemplo, a curvatura sera entao uma 2-forma diferencial,como veremos no proximo capıtulo.


17.2.1 Derivada Covariante Total

A maneira de expressar a conexao de Koszul que veremos agora permitira entre outras coisas definir umanocao de derivada covariante total de secoes do fibrado vetorial, semelhante a nocao que vimos de covariantetotal de tensores, que e a nocao de derivada pura em contraste com a nocao de derivada direcional, na direcaode um campo.

Relembrando, a derivada covariante total de tensores e uma aplicacao R-linear

∇ : Tkl (M) −→ Tk+1l (M)

definida por(∇T )

(X,Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl)

= (∇XT )(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl)

;

por exemplo, no caso particular de 1-formas ∇ : T1 (M) −→ T2 (M) temos

(∇ω) (X,Y ) = (∇Xω) (Y ) .

Tambem podemos ver a derivada covariante total de tensores como uma aplicacao R-linear graduada

∇ :

∞⊕k,l=0

Tkl (M) −→∞⊕

k,l=0

Tkl (M)

no fibrado tensorial total.Para definir uma nocao semelhante de derivada covariante total em fibrados a partir da Definicao 17.1,

note em primeiro lugar que, como a conexao para fibrados e C∞ (M)-linear na primeira variavel, para cadasecao do fibrado S ∈ Γ (E) fixada, a aplicacao

∇S : Γ (TM) −→ Γ (E)

definida por∇S (X) = ∇XS

e C∞ (M)-linear, isto e,∇S ∈ HomC∞(M) (Γ (TM) ,Γ (E))

(usaremos Hom neste capıtulo exclusivamente para denotar conjuntos de homomorfismos de modulos sobreC∞ (M), mas as vezes denotaremos explicitamente que o homomorfismo e sobre o anel C∞ (M) por questoesde enfase). A derivada covariante total pode entao ser definida de maneira mais sucinta como uma derivacao(uma aplicacao R-linear que satisfaz a regra do produto)

∇ : Γ (E) −→ Hom (Γ (TM) ,Γ (E))

Mas ao inves de enxergar ∇S como um C∞ (M)-homomorfismo, usando o isomorfismo a seguir podemos ver∇S como um objeto geometrico.

17.5 Proposicao.Hom (Γ (TM) ,Γ (E)) ∼= Γ (E)⊗ Λ1 (M) .

Prova: Temos

Γ (E)⊗ Λ1 (M) = Γ (E)⊗ Γ (T ∗M)∼= Γ (E ⊗ T ∗M)∼= Γ (Hom (TM,E))∼= Hom (Γ (TM) ,Γ (E)) .


Onde na passagem da segunda linha para a terceira usamos o fato que para espacos vetoriais V,W

V ⊗W ∗ ∼= Hom (W,V )

(o isomorfismo sendo dado por [Φ (v ⊗ ω)] (z) = [ω (z)] v) e a correspondente propriedade para fibrados. O isomorfismo desta proposicao pode ser explicitado. Considerando a aplicacao bilinear de avaliacao

Eval : Γ (TM)×[Γ (E)⊗ Λ1 (M)

]−→ Γ (E)

definida em geradores por (utilizando a notacao de multiplicacao por escalar a direita; em um espaco vetorial,as duas acoes de multiplicacao por escalar, a esquerda e a direita, dao o mesmo resultado)

EvalX (S ⊗ ω) = Sω (X) ,

o isomorfismo naturalΦ : Γ (E)⊗ Λ1 (M) −→ Hom (Γ (TM) ,Γ (E))

e dado em geradores por[Φ (S ⊗ ω)] (X) = EvalX (S ⊗ ω) ,

como pode ser verificado. Assim, consideraremos uma definicao alternativa equivalente para a conexao deKoszul:

17.6 Definicao. Uma conexao em um fibrado vetorial π : E −→M e uma aplicacao R-linear

∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) ,

que satisfaz a regra do produto∇ (fS) = f∇S + S ⊗ df.

A derivada covariante da secao S na direcao do campo X e definida por

∇XS = EvalX (∇S) .

Em notacao tensorial fica mais claro que a expressao na definicao e de fato uma regra do produto:

∇ (fS) = ∇ (S ⊗ f)

= ∇S ⊗ f + S ⊗ df= f∇S + S ⊗ df.

17.7 Proposicao. As definicoes de conexoes 17.1

∇ : Γ (E) −→ Hom (Γ (TM) ,Γ (E))

e 17.6∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M)

sao equivalentes, no sentido de que o diagrama a seguir e comutativo:

Γ (E)∇ //

∇ ''

Γ (E)⊗ Λ1 (M)

Φ

Hom (T (M) ,Γ (E))


Prova: Como o isomorfismo Φ e C∞ (M)-linear, dada ∇ basta tomar ∇ = Φ−1 ∇ e dada ∇ basta definir

∇ = Φ ∇. De fato,

∇ (fS) (X) =(

Φ ∇)

(fS) (X)

= Φ[∇ (fS)

](X)

= Φ[∇S ⊗ f + S ⊗ df

](X)

= Φ(∇S ⊗ f

)(X) + Φ (S ⊗ df) (X)

= f (∇XS) + df (X)S

= f (∇XS) + (Xf)S.

De qualquer forma, vamos mostrar como obter a conexao ∇ : Γ (E) −→ Γ (E) ⊗ Λ1 (M) diretamente.

Antes, precisamos provar algumas de suas propriedades. Uma das suas propriedades basicas esperadas e queela e um operador local:

17.8 Proposicao. Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) uma conexao.Para todo aberto U ⊂M , se S1, S2 ∈ Γ (E),satisfazem S1 = S2 em U , entao ∇S1 = ∇S2 em U .

Prova: Seja S = S1 − S2, de modo que S|U = 0. Provaremos que ∇S = 0 em U .Fixe p ∈ U e para alguma vizinhanca V ⊂⊂ U de p, seja f ∈ C∞ (M) uma funcao lombada com

supp f ⊂ U e f |V = 1. Entao fS e a secao identicamente nula, logo

0 = ∇ (fS) = fdS + S ⊗ df.

Aplicando em p, como df = 0 em V e f (p) = 1, concluımos que (∇S)p = 0. O proximo resultado mostra que a derivada covariante de secoes e uma derivada direcional.

17.9 Proposicao. Sejam d uma conexao para um fibrado vetorial π : E −→ M e X,Y ∈ Γ (TM). SeXp = Yp, entao

(∇XS)p = (∇Y S)p

para toda secao S ∈ Γ (E).

Prova: Seja Z = X − Y , de modo que Zp = 0. Provaremos que (∇ZS)p = 0.Para alguma vizinhanca coordenada V ⊂⊂ U de p, seja f ∈ C∞ (M) uma funcao lombada com supp f ⊂

U e f |V = 1. Em U podemos escreverZ = Zi∂i.

Temos que fZi ∈ C∞ (M) coincide com Z 6i em V , de modo que

Z = f2Z = f2Zi∂i

e um campo em M que coincide com Z em V . Daı,

f2∇ZS = ∇f2ZS = ∇ZS = ∇f2Zi∂iS = fZi∇f∂iS

(note que todos os campos aqui definidos sao globais, daı a necessidade de se considerar f2, para sobrar f emf∂i de modo que este seja um campo globalmente definido para fazer sentido calcular a derivada covarianteda secao S na sua direcao). Aplicando em p, como Zi (p) = 0 e f (p) = 1, concluımos que (∇ZS)p = 0.


17.2.2 Conexao em Coordenadas

Agora obteremos a expressao local da derivada covariante ∇ e a usaremos para definir uma conexao em umfibrado vetorial (como fizemos para definir a conexao de campos vetoriais):

17.10 Proposicao (Formas da Conexao). Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E) ⊗ Λ1 (M) uma conexao para umfibrado vetorial E de posto m.

Para cada carta do fibrado ϕ : π−1 (U) −→ U × Rm seja σ1, . . . , σm a base de secoes locais associada,de forma que cada secao S ∈ Γ (E) e escrita localmente na forma

S =

m∑i=1

Siσi =

m∑i=1

σi ⊗ Si.

Denote

σ =[σ1 · · · σm

],

∇σ =[∇σ1 · · · ∇σm

],

e

S =

S1

...Sm

, dS =

dS1

...dSm

,de modo que

S = σ ⊗ S.

Para cada i, escreva ∇σi ∈ Γ (E|U )⊗ Λ1 (U) localmente na forma

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji

de modo que

∇σ =[σ1 · · · σm

]⊗

ω11 · · · ω1

m...

...ωm1 · · · ωmm

= σ ⊗ ω

(multiplicacao tensorial de matrizes definida da mesma maneira que a multiplicacao usual de matrizes).As 1-formas ωij ∈ Λ1 (U) sao chamadas as formas da conexao com respeito a carta ϕ do fibrado e a matriz

de 1-formas ω =(ωij)

e chamada a matriz da conexao com respeito a carta ϕ do fibrado.Entao, vale

∇S = ∇ (σ ⊗ S) = σ ⊗ dS +∇σ ⊗ S (17.3)

= σ ⊗ (dS + ω ⊗ S) .


Prova: Temos

∇S = ∇

[m∑i=1

(Siσi

)]

=

m∑i=1

∇(Siσi

)=

m∑i=1

∇(σi ⊗ Si

)=

m∑i=1

σi ⊗ dSi +

m∑i=1

∇σi ⊗ Si

= σ ⊗ dS +∇σ ⊗ S= σ ⊗ dS + (σ ⊗ ω)⊗ S= σ ⊗ (dS + ω ⊗ S) .

O resultado mostra que a conexao e determinada localmente por uma matriz de 1-formas, a matriz daconexao ω.

17.11 Definicao. O caso ω = 0 corresponde a conexao flat ∇0 do fibrado E|U .

Em outras palavras,∇0S = σ ⊗ dS,

ou seja,

∇0

(m∑i=1

Siσi

)=

m∑i=1

σi ⊗ dSi.

17.12 Definicao. Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗Λ1 (M) uma conexao para um fibrado vetorial E de posto m.Se escrevermos as formas da conexao em coordenadas locais do espaco base Mn

ωki =

n∑j=1

Akjidxj ,

os coeficientes Akji = ωki (∂j) sao chamados os componentes do potencial vetorial da conexao.

Assim,

∇σi =

m∑j=1

Akji(σk ⊗ dxj

).

A diferenca entre os componentes do potencial vetorial da conexao e os sımbolos de Christoffel e que Γ naoe um tensor, nem mesmo localmente, enquanto que A e um tensor local, como veremos no final desta secao(Corolario 17.16). Vistos apenas como funcoes, os sımbolos de Christoffel da conexao ∇ : Γ (TM)×Γ (E) −→Γ (E) sao identicos aos componentes do potencial vetorial da conexao ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M): temos

∇∂jσi = Γkjiσk,

∇σi = Akji(σk ⊗ dxj

)


e tambem

∇∂jσi = Φ ∇∂jσi= Akli Eval∂j

(σk ⊗ dxl

)= Akliσkdx

l (∂j)

= Akjiσk,

de modo queΓkji = Akji.

17.13 Proposicao. Todo fibrado possui uma conexao.

Prova: Seja Uα uma cobertura de M tal que π−1 (Uα) e um fibrado trivial. Se ∇α e uma conexao trivialem π−1 (Uα) e ρα e uma particao da unidade subordinada a Uα defina uma conexao em E por

∇ =∑α

ρα∇α.

De fato, ∇ e R-linear e

∇ (fS) =∑α

ρα∇α (fS)

=∑α

ρα (S ⊗ df + f∇αS)

=∑α

ραS ⊗ df +∑α

ραfdαS

=

(∑α

ρα

)S ⊗ df + f

∑α

ρα∇αS

= S ⊗ df + fdS.

17.14 Proposicao. Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗Λ1 (M) uma conexao para um fibrado vetorial π : E −→Mde posto m. Sejam


cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ e


as funcoes de transicao entre estas cartas, isto e,



β

)(p, v) = (p, gαβ (p) v) .

Se ωα, ωβ sao as matrizes da conexao para os abertos Uα, Uβ entao

ωβ = g−1αβωαgαβ + g−1

αβdgαβ . (17.4)

Em notacao menos compacta,

ωβ (p) = g−1αβ (p)ωα (p) gαβ (p) + g−1

αβ (p) d (gαβ)p .


Prova: Como vimos na Proposicao 16.16,

σβi = (gαβ)ji σ

αj .

Daı, pela regra do produto,∇σβi = σαj ⊗ d (gαβ)

ji + (gαβ)

ji ∇σ

αj . (17.5)

Como

∇σαj = σαk ⊗ (ωα)kj ,

∇σβi = σβj ⊗ (ωβ)ji = (gαβ)

kj σ

αk ⊗ (ωβ)

ji ,

substituindo estas expressoes em (17.5) (e trocando o ındice j por k no primeiro termo desta equacao) segueque

(gαβ)kj σ

αk ⊗ (ωβ)

ji = σαk ⊗ d (gαβ)

ki + σαk ⊗ (gαβ)

ji (ωα)

kj ,

ou seja,

σαk ⊗ (gαβ)kj (ωβ)

ji = σαk ⊗

[d (gαβ)

ki + (ωα)

kj (gαβ)

ji

],

donde(gαβ)

kj (ωβ)

ji = d (gαβ)

ki + (ωα)

kj (gαβ)

ji .

Daı[gαβωβ ]

ki = [dgαβ + ωαgαβ ]

ki ,

dondegαβωβ = dgαβ + ωαgαβ .

Tomando a inversa de ambos os lados, obtemos o resultado


αβdgαβ .

17.3 O Tensor Diferenca

Suponha que um fibrado E possua duas conexoes

∇,∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E) .

no sentido da Definicao 17.1. Como conexoes sao derivacoes, isto e, satisfazem a regra do produto na segundavariavel, elas nao sao tensores. No entanto, se tomarmos a diferenca

A = ∇−∇

entao A : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E) e C∞ (M)-linear em ambas as variaveis e portanto um tensor. De fato,

AX (fS) = ∇X (fS)−∇X (fS)

= f∇XS +X (f)S − f∇XS −X (f)S

= f(∇XS −∇XS

)= fAX (S) .

Localmente, quando ∇ e a conexao flat associada ao fibrado E|U sobre uma vizinhanca trivializavel U comcarta ψ, este tensor diferenca e chamado o potencial vetorial da conexao em relacao a carta do fibrado(U,ψ).


Em termos de duas conexoes∇,∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M)

no sentido da Definicao 17.6, o potencial vetorial A = ∇−∇ e uma aplicacao C∞ (M)-linear (um tensor)

A : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) ,

e a demonstracao e analoga:

A (fS) = ∇ (fS)−∇ (fS)

= f∇S +X (f)S − f∇S −X (f)S

= f(∇S −∇S

)= fA (S) .

Vale a recıproca:

17.15 Proposicao. Se ∇ e uma conexao em um fibrado e A e um tensor, entao ∇ = ∇+A tambem e umaconexao.

Prova: Esta afirmativa obviamente vale para ambas as definicoes de conexao, mas vamos provar para asegunda: claramente ∇ e R-linear, soma de aplicacoes R-lineares e satisfaz a regra do produto porque

∇ (fS) = ∇ (fS) +A (fS)

= f∇S +X (f)S + fA (S)

= f (∇S +A (S)) +X (f)S

= f∇ (S) +X (f)S.

Por este motivo, a conexao de Koszul em fibrados vetoriais tambem e chamada de conexao afim.

17.16 Corolario. Se ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) e uma conexao com matriz de conexao ω e

ωki =

n∑j=1

Akjidxj ,

entao A : Γ (E|U ) −→ Γ (E|U )⊗ Λ1 (U) e um tensor local.

Prova: Pois localmente ∇ = ∇0 +A, onde ∇0 e a conexao flat para U .

17.4 Conexoes Induzidas

17.4.1 Conexao no Fibrado Soma

Considere o fibrado vetorial E1 ⊕ E2. Pela Proposicao 16.17 vale o isomorfismo

Γ (E1 ⊕ E2) ∼= Γ (E1)⊕ Γ (E2) .


∇1 : Γ (TM)× Γ (E1) −→ Γ (E1) ,

∇2 : Γ (TM)× Γ (E2) −→ Γ (E2) ,

conexoes nos fibrados E1, E2 sobre M . A conexao soma no fibrado E1⊕E2 induzida pelas conexoes ∇1,∇2

e a conexao∇⊕ : Γ (TM)× Γ (E1 ⊕ E2) −→ Γ (E1 ⊕ E2)

definida por∇⊕X (S1 + S2) = ∇1

XS1 +∇2XS2.


17.4.2 A Conexao Dual no Fibrado Dual

Considere o fibrado dual E∗. Pela Proposicao 16.17 vale o isomorfismo

Γ (E∗) ∼= (Γ (E))∗.

17.18 Definicao. Seja∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E) ,

uma conexao no fibrado E. A conexao dual no fibrado dual E e a conexao

∇∗ : Γ (TM)× Γ (E∗) −→ Γ (E∗)

definida por(∇∗Xω) (S) = X (ω (S))− ω (∇XS)

onde ω ∈ Γ (E∗) e S ∈ Γ (E).

Em outras palavras, temos uma “regra do produto”:

X (ω (S)) = (∇∗Xω) (S) + ω (∇XS) ,

vendo ω (S) como uma funcao em C∞ (M) definindo

[ω (S)] (p) = ωp (Sp) .

17.19 Proposicao. ∇∗ e de fato uma conexao.

Prova: ∇∗ e claramente R-linear em ambas as variaveis e C∞ (M)-linear na primeira. Ela e uma derivacaona segunda variavel pois

(∇∗Xω) (fS) = X (ω (fS))− ω (∇X (fS))

= X (fω (S))− ω ((Xf)S + f∇XS)

= (Xf)ω (S) + fX (ω (S))− (Xf)ω (S)− fω (∇XS)

= fX (ω (S))− fω (∇XS)

= f [X (ω (S))− ω (∇XS)]

= f (∇∗Xω) (S) .

17.4.3 Conexao no Fibrado Tensorial

Considere o fibrado vetorial E1 ⊗ E2. Pela Proposicao 16.17 vale o isomorfismo

Γ (E1 ⊗ E2) ∼= Γ (E1)⊗ Γ (E2) .


∇1 : Γ (TM)× Γ (E1) −→ Γ (E1) ,

∇2 : Γ (TM)× Γ (E2) −→ Γ (E2) ,

conexoes nos fibrados E1, E2 sobre M . A conexao tensorial no fibrado E1 ⊗ E2 induzida pelas conexoes∇1,∇2 e a conexao

∇⊗ : Γ (TM)× Γ (E1 ⊗ E2) −→ Γ (E1 ⊗ E2)

definida por∇⊗X (S1 ⊗ S2) = ∇1

XS1 ⊗ S2 + S1 ⊗∇2XS2.

Observe que esta definicao e feita de modo a valer a regra do produto no produto tensorial de secoes.


17.4.4 Conexao no Fibrado Hom

Definiremos uma conexao diferente no fibrado Hom (E,E), induzida pela conexao no fibrado E com pro-priedades especiais; particularmente, a derivada exterior induzida por esta nova conexao satisfazera umapropriedade de Bianchi mais simples, como veremos no proximo capıtulo.

A matriz da conexao ω associa a cada ponto da variedade uma matriz. Como uma matriz e umatransformacao linear do espaco vetorial, parece mais natural enxergar a conexao como uma aplicacao tomandovalores no fibrado dos homomorfismos Hom (E,E).

Considere o fibrado vetorial Hom (E,E). Pela Proposicao 16.17 vale o isomorfismo

Γ (Hom (E,E)) ∼= Hom (Γ (E) ,Γ (E)) ,

ou seja, a cada secao F : M −→ Hom (E,E) corresponde um homomorfismo

F : Γ (E) −→ Γ (E)

definido por [F (S)

]p

= Fp (Sp) .

17.21 Definicao. Seja ∇ : Γ (TM) × Γ (E) −→ Γ (E) uma conexao no fibrado E. A conexao induzidano fibrado Hom (E,E) e a conexao

∇Hom : Γ (TM)× Γ (Hom (E,E)) −→ Γ (Hom (E,E))

definida por (∇HomX F

)(S) = ∇X (F (S))− F (∇XS) .

Em outras palavras, temos uma “regra do produto”:

∇X (F (S)) = F (∇XS) +(∇HomX F

)(S) .

17.22 Proposicao. ∇Hom e de fato uma conexao.

Prova: ∇Hom e claramente R-linear em ambas as variaveis e C∞ (M)-linear na primeira. Ela e uma derivacaona segunda variavel pois(

∇HomX (fF )

)(S) = ∇X (fF (S))− fF (∇XS)

= (Xf)F (S) + f∇X (F (S))− fF (∇XS)

= (Xf)F (S) + f(∇HomX F

)(S) ,

de modo que (∇HomX (fF )

)= (Xf)F + f∇Hom

X F.

Esta conexao desempenhara um papel importante mais tarde. A origem de ∇Hom

X pode ser justificadausando o isomorfismo Hom (E,E) ∼= E ⊗ E∗, a conexao dual em E∗ e a conexao tensorial em E ⊗ E∗. Defato, o isomorfismo e dado explicitamente por

[Φ (S ⊗ ω)] (T ) = Sω (T ) .

Daı, dada uma conexao ∇ em E, que induz a conexao dual ∇∗ em E∗, a conexao tensorial induzida emE ⊗ E∗ e dada por

∇⊗X (S ⊗ ω) = ∇XS ⊗ ω + S ⊗∇∗Xω,


de modo que ∇HomX e definida atraves do diagrama comutativo

Γ (E ⊗ E∗)∇⊗X−→ Γ (E ⊗ E∗)

↓Φ ↓Φ

Γ (Hom (E,E))∇HomX−→ Γ (Hom (E,E))

isto e,∇HomX = Φ ∇⊗X Φ−1.

Para verificar que a conexao ∇Hom da Definicao 17.21 e a mesma conexao definida pelo diagrama comutativo,mostramos que

∇HomX Φ = Φ ∇⊗X .

Com efeito, temos [(∇HomX Φ

)(S ⊗ ω)

](T ) =

[∇HomX (Φ (S ⊗ ω))

](T )

= ∇X ([Φ (S ⊗ ω)] (T ))− [Φ (S ⊗ ω)] (∇XT )

= ∇X (ω (T )S)− ω (∇XT )S

= X (ω (T ))S + ω (T )∇XS − ω (∇XT )S

e [(Φ ∇⊗X

)(S ⊗ ω)

](T ) =

[Φ(∇⊗X (S ⊗ ω)

)](T )

= [Φ (∇XS ⊗ ω + S ⊗∇∗Xω)] (T )

= [Φ (∇XS ⊗ ω)] (T ) + [Φ (S ⊗∇∗Xω)] (T )

= ω (T )∇XS +∇∗Xω (T )S

= ω (T )∇XS +X (ω (T ))S − ω (∇XT )S.

17.5 Transporte Paralelo

17.5.1 Derivada covariante ao longo de curvas

A existencia de uma conexao em um fibrado vetorial diferenciavel E sobre M permite derivar secoes ao longode curvas no espaco base M .

17.23 Definicao. Seja (E, π,M) um fibrado vetorial e γ : I −→M uma curva diferenciavel no espaco baseM . Uma secao ao longo da curva γ e uma aplicacao diferenciavel S : I −→ E tal que π (S (t)) = γ (t),isto e, S (t) ∈ Eγ(t), para todo t ∈ I.

O R-espaco vetorial ou C∞ (I)-modulo das secoes diferenciaveis ao longo de uma curva γ e denotadoΓ (γ).

Frequentemente utilizaremos a notacao St para denotar S (t).

17.24 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Existe umunico operador R-linear e derivacao

D

dt: Γ (γ) −→ Γ (γ)

tal que se S e uma secao ao longo da curva γ induzida por uma secao global S ∈ Γ (E), ou seja, S = S γ,entao

DS

dt= ∇γ′(t)S.


Localmente,

DS

dt=

n∑k=1

dSkdt

+

n∑i,j=1

dγi

dtΓkijSj

σk. (17.6)

Prova: Observe que para a expressao ∇γ′(t)S fazer sentido, devemos entender o subescrito γ′ (t) nestesımbolo como qualquer extensao local do campo vetorial γ′ (t) a um campo em M , ja que pela Proposicao17.9 so importa o valor da extensao em γ (t), isto e, o vetor tangente γ′ (t).

Vamos provar primeiro a unicidade deDS

dt. Suponha que exista uma tal secao

DS

dtsatisfazendo todas

as propriedades do enunciado. SejaSt = Sj (t) σj |t

a expressao local de S, de modo que

DS

dt

∣∣∣∣t

=dSj

dt(t) σj |t + Sj (t)

Dσjdt

∣∣∣∣t

.

Pela terceira propriedade,

Dσjdt

∣∣∣∣t

=(∇γ′(t)σj

)t

=(∇ dγi

dt (t)σiσj

)t

=dγi

dt(t) ∇σiσj |t .

Portanto, localmente a secaoDS

dtse escreve na forma

DS

dt

∣∣∣∣t

=

n∑k=1

dSkdt

(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γkij (t)Sj (t)

σk|t , (17.7)

o que mostra queDS

dte unicamente determinada.

Para determinar a existencia deDS

dt, dada uma carta (ϕ,U) para uma vizinhanca de γ (t), defina

DS

dtem ϕ (U) pela expressao (17.7); e imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz todas aspropriedades do enunciado.

17.25 Definicao. A secao diferenciavelDS

dte chamada a derivada covariante de S ao longo da curva γ.

17.5.2 Transporte Paralelo

17.26 Definicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Uma secaodiferenciavel S ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→M e chamada uma secao paralela ao longode γ se

DS

dt≡ 0.

Uma secao global S ∈ Γ (E) e chamada uma secao paralela se ela e paralela ao longo de qualquer curva.

Seja S ∈ Γ (E) uma secao global. Pela Proposicao 17.24, a derivada covariante da secao S (t) = Sγ(t),restricao de S a curva γ, no ponto t0 onde γ (t0) = p e γ′ (t0) = Xp e a derivada covariante (∇XS)p.Portanto, uma secao global S e paralela se e somente se

∇XS = 0

para todo campo X ∈ Γ (TM), isto e, se e somente se

∇S = 0.


17.27 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Sejaγ : I −→M uma curva diferenciavel e S0 ∈ Eγ(t0), t0 ∈ I. Entao existe uma unica secao paralela S definidaao longo de γ tal que St0 = S0.

Prova: Usando a expressao (17.6), a existencia local do campo S (t) satisfazendoDS

dt= 0 para todo t e

S (t0) = S0 corresponde a uma solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais

dS1

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γ1

ij (t)Sj (t) = 0

...

dSn

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γnij (t)Sj (t) = 0

com condicao inicial

S1 (t0) = S10 ,

...

Sn (t0) = Sn0 .

Se γ (I) esta inteiramente contida em uma vizinhanca coordenada, entao o teorema de existencia e unicidadepara equacoes diferenciais lineares garante a existencia de uma unica secao S definida em todo o intervaloI. Caso contrario, como γ (I) e um conjunto compacto, ele pode ser coberto por um numero finito devizinhancas coordenadas, em cada uma das quais S pode ser definido de maneira unica usando o raciocınioacima e esta unicidade garante que o campo e o mesmo nas intersecoes das vizinhancas.

Este resultado, juntamente com as propriedades de EDOs lineares, permite definir um isomorfismocanonico (independente de bases) entre as fibras Eγ(t) e Eγ(s) atraves da conexao da variedade, o querealmente justifica o nome “conexao” (algo que conecta as fibras):

17.28 Definicao. A secao S obtida na Proposicao 17.27 e chamado o transporte paralelo de S0 ao longode γ.

O operador transporte paralelo (tambem chamada a holonomia da curva γ) e o isomorfismo linear

Pt : Eγ(t0) −→ Eγ(t)

definida em cada vetor S0 ∈ Eγ(t0) porPt (S0) = St,

isto e, Pt (S0) e o transporte paralelo do vetor S0 ao longo da curva γ.

Quando necessario, para t, t′ ∈ I denotaremos a aplicacao transporte paralelo de vetores em Eγ(t) paravetores em Eγ(t′) por

Pt→t′ : Eγ(t) −→ Eγ(t′),

de modo queSt′ = Pt→t′St. (17.8)

A aplicacao transporte paralelo e linear porque o transporte paralelo e dado pela solucao de um sistema deequacoes diferenciais lineares. Por unicidade, ela e um isomorfismo com

P−1t′→t = Pt→t′ ,


e da unicidade de solucao para um sistema de EDOs segue tambem que

P0→0 = id,

Pt′→t′′ Pt→t′ = Pt→t′′ .

Em geral, o transporte paralelo de um vetor V em Ep para um vetor em Eq dependera da curva γ ligandop e q usada; isto e, se γ1, γ2 : I −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

γ1 (t) = γ2 (t) = p,

γ1 (t′) = γ2 (t′) = q,

entao em geralP γ1t→t′ (V ) 6= P γ2t→t′ (V )

para V ∈ Ep.

17.29 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade conexa M com conexao ∇. As seguintesafirmativas sao equivalentes:

(i) O transporte paralelo ao longo de qualquer curva depende apenas de seus pontos inicial e final.(ii) Para todo ponto p ∈M e todo vetor V ∈ Ep existe uma unica secao global paralela S ∈ Γ (E) tal que

Sp = V .(iii) Existe uma base de secoes globais paralelas σ1, . . . , σm ∈ Γ (E).(iv) E e o fibrado trivial sobre M , isto e, E ∼= M × Rm.

Prova: (i) =⇒ (ii) Fixe p ∈ M e V ∈ Ep. Defina uma secao global S ∈ Γ (E) da seguinte forma: dadoq ∈ M e uma curva diferenciavel γ ligando p e q, digamos γ (0) = p e γ (t) = q, se Pt denota o transporteparalelo ao longo da curva γ a partir do ponto p, defina

Sq = Pt (V ) .

Por (i), S esta bem definida. Pelas propriedades de diferenciabilidade das solucoes de um sistema linearde EDOs e por (17.8), S e uma secao diferenciavel. Segue da observacao apos a Definicao 17.26 que S eparalela.(ii) =⇒ (i) Sejam γ1, γ2 : [a, b] −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

γ1 (a) = γ2 (a) = p,

γ1 (b) = γ2 (b) = q,

(reparametrizando uma das curvas, se necessario, podemos assumir que elas estao definidas no mesmo inter-valo) e S1, S2 secoes ao longo de γ1, γ2, respectivamente, tais que

S1 (a) = S2 (a) .

Seja S a secao global paralela tal que S (a) = S1 (a) = S2 (a). Por unicidade de solucoes de EDOs, segue que

P γ1t = Sγ1(t),

P γ2t = Sγ2(t),

de modo queS1 (b) = Sγ1(b) = Sq = Sγ2(t) = S2 (b) .

(ii) =⇒ (iii) Fixado p ∈ M , seja B = V1, . . . , Vn uma base para Ep e sejam σ1, . . . , σm ∈ Γ (E) as unicassecoes globais paralelas tais que

(σi)p = Vi.


Se q ∈M , seja γ uma curva conectando p e q. Como o transporte paralelo e um isomorfismo e

P γt (Vi) = (σi)γ(t) ,

concluımos que o conjunto de vetores

(σ1)q , · · · , (σm)q

e uma base para a fibra Eq.

(iii) =⇒ (ii) Seja V = αi (σi)p. Entao S = αiσi.(iv) =⇒ (iii) Se ψ : E −→ M × Rm e o difeomorfismo trivializador e e1, · · · , em denota a base canonicade Rm, defina

(σi)p = ψ−1 (p, ei) .

(iii) =⇒ (iv) Defina ψ : E −→M × Rm por

ψ(p, αi (σi)p

)=(p, αiei

).

Se γ : [a, b] −→M e uma curva fechada baseada em p, de modo que γ (a) = γ (b) = p, entao a holonomia

de γ e um automorfismo linearPγ : Ep −→ Ep.

17.30 Definicao. O grupo de holonomia de ∇ em p e o grupo

Holp (∇) = Pγ : γ e uma curva fechada baseada em p

Assim, Holp (∇) e um subgrupo de GLm (R), se o fibrado tem posto m. Se o espaco base M e conexo,entao Holp (∇) depende de p a menos de conjugacao, logo os grupos Holp (∇) e Holq (∇) sao isomorfos paratodos p, q ∈ M e faz sentido falar no grupo de holonomia de ∇. Se E = TM e a conexao utilizada esubentendida, costuma-se abusar a linguagem e falar no grupo de holonomia de M .

17.5.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante

Atraves do transporte paralelo, podemos dar uma interpretacao geometrica para a derivada covariante.

17.31 Proposicao (Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante). Seja E um fibrado vetorialdiferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Dado um campo X ∈ Γ (TM), seja γ : I −→ M umacurva diferenciavel satisfazendo γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Se S ∈ Γ (E), entao

(∇XS)p = limt→0

P−1t

(Sγ(t)

)− Sp

t=

d

dtP−1t

(Sγ(t)

)∣∣∣∣t=0

.

Prova: Seja B = σ1, . . . , σm uma base para Ep. Como a aplicacao transporte paralelo e um isomorfismo,

Bt = Pt (σ1) , . . . , Pt (σn)

e uma base de Eγ(t) para todo t ∈ I. Como a aplicacao transporte paralelo e linear, se escrevermos a secaoS em relacao ao referencial suave Bt na forma

Sγ(t) = Si (t)Pt (σi) ,

segue queP−1t

(Sγ(t)

)= Si (t)σi.

Logo,d

dtP−1t

(Sγ(t)

)∣∣∣∣t=0

=dSi

dt(0)σi.


Por outro lado, pela Proposicao 17.24, a derivada covariante (∇XS)p e a derivada covariante do campo Sγ(t)

no ponto t = 0 onde γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Logo,

(∇XS)p =D

dt

(Si (t)Pt (σi)

)∣∣∣∣t=0

=dSi

dt(0)P0 (σi) + Si (t)

D

dt(Pt (σi))

∣∣∣∣t=0

=dSi

dt(0)σi,

onde usamos o fato queD

dt(Pt (σi)) = 0 porque os campos Pt (σ1) , . . . , Pt (σn) sao paralelos ao longo de γ.

Capıtulo 18

Curvatura em Fibrados Vetoriais

Dado um fibrado vetorial munido de uma conexao, podemos definir sua curvatura de maneira completamenteanaloga a curvatura de variedades diferenciaveis com conexao (isto e, a curvatura do fibrado tangente). Poroutro lado, usando o conceito de formas diferenciais tomando valores em um fibrado e o operador derivadaexterior covariante em tais formas, podemos definir a curvatura como uma derivada exterior covariantesegunda no fibrado E. Finalmente, usando o fibrado Hom (E) ao inves de E, que tem duas estruturasadicionais de algebra, uma associativa dada pela composicao de operadores lineares e a outra de algebra deLie dada pelo comutador de operadores lineares, obtemos uma terceira formulacao de curvatura com ricaspropriedades.

18.1 Curvatura de uma conexao

Generalizando o conceito do tensor (endomorfismo) curvatura de Riemann, definimos de maneira completa-mente analoga o conceito de curvatura em fibrados: se o fibrado e provido de uma conexao, calculamos aderivada direcional de uma secao do fibrado em duas direcoes e tomamos a diferenca entre os dois valores;para que a curvatura seja nula em fibrados triviais dotados da conexao flat e tambem para que o resultadodesta diferenca seja um tensor, tomamos ainda a diferenca pela derivada direcional da secao na direcao docomutador (isto e, do colchete de Lie) destas duas direcoes.

18.1 Definicao. Seja E um fibrado munido de uma conexao ∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E).A curvatura da conexao e definida como sendo a aplicacao

R : Γ (TM)× Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E)

dada porRX,Y S = ∇X∇Y S −∇Y∇XS −∇[X,Y ]S.

Nesta formulacao, a curvatura mede a falha da derivada covariante segunda em comutar: para um fibradotrivial E = M × Rm e a conexao flat ∇ vale

R ≡ 0.

Enquanto que a conexao e uma derivacao, a curvatura e um tensor (do ponto de vista fısico, em quea curvatura e uma forca, isso expressa o fato da forca ser invariante em relacao a mudanca de referenciaisinerciais):

18.2 Proposicao. A curvatura R e C∞ (M)-linear em todas as variaveis.Alem disso, R e anti-simetrica nas duas primeira variaveis, isto e,

RX,Y S = −RY,XS. (18.1)

344


Prova: A anti-simetricissidade da curvatura segue imediatamente da definicao:

RX,Y S = ∇Y∇XS −∇X∇Y S −∇[Y,X]S

= −∇X∇Y S +∇Y∇XS +∇[X,Y ]S

= −RY,XS.

A linearidade em relacao a segunda variavel e estabelecida por

RX,Y1+Y2S = ∇X∇Y1+Y2

S −∇Y1+Y2∇XS −∇[X,Y1+Y2]S

= ∇X∇Y1S +∇X∇Y2

S −∇Y1∇XS −∇Y2

∇XS−∇[X,Y1]S −∇[X,Y2]S

= RX,Y1S +RX,Y2

S

e

RX,fY S = ∇X∇fY S −∇fY∇XS −∇[X,fY ]S

= ∇X (f∇Y S)− f∇Y∇XS −∇f [X,Y ]+(Xf)Y S

= f∇X∇Y S + (Xf)∇Y S − f∇Y∇XS − f∇[X,Y ]S − (Xf)∇Y S= f

(∇X∇Y S −∇Y∇XS −∇[X,Y ]S

)= fRX,Y S.

Observe que sem o terceiro termo na definicao de curvatura nao e possıvel obter a linearidade nesta variavel.A linearidade em relacao a primeira variavel e entao estabelecida atraves da anti-simetricissidade da

curvatura.Falta apenas estabelecer a linearidade em relacao a terceira variavel:

RX,Y (S1 + S2) = ∇X∇Y (S1 + S2)−∇Y∇X (S1 + S2)−∇[X,Y ] (S1 + S2)

= ∇X∇Y S1 −∇Y∇XS1 −∇[X,Y ]S1

+∇X∇Y S2 −∇Y∇XS2 −∇[X,Y ]S2

= RX,Y S1 +RX,Y S2

e

RX,Y (fS) = ∇X∇Y (fS)−∇Y∇X (fS)−∇[X,Y ] (fS)

= ∇X (f∇Y S) +∇X ((Y f)S)−∇Y (f∇XS)−∇Y ((Xf)S)

− f∇[X,Y ]S − [X,Y ] (f)S

= f∇X∇Y S + (Xf)∇Y S + (Y f)∇X (S) +X (Y f)S

− f∇Y∇XS − (Y f)∇XS − (Xf)∇Y S − Y (Xf)S

− f∇[X,Y ]S − [X,Y ] (f)S

= f∇X∇Y S − f∇Y∇XS + [X (Y f)− Y (Xf)]S − f∇[X,Y ]S − [X,Y ] (f)S

= f∇X∇Y S − f∇Y∇XS − f∇[X,Y ]S + [Y,X] (f)S − [X,Y ] (f)S

= f(∇X∇Y S −∇Y∇XS −∇[X,Y ]S

)= fRX,Y S.

Assim, fixados os campos X,Y , podemos pensar na curvatura como um operador C∞ (M)-linear em

Γ (E):RX,Y : Γ (E) −→ Γ (E)


definido porRX,Y = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ].

ComoRX,Y ∈ HomC∞(M) (Γ (E)) ∼= Γ (Hom (E))

(lembrando que Hom (E) denota o fibrado cujas fibras sao os endomorfismos das fibras de E), este isomorfismopermite pensar em RX,Y como uma secao do fibrado Hom (E). Alem disso, a antissimetria

RX,Y = −RY,X

sugere usar a linguagem de formas, quando fixamos S e pensamos na curvatura como um operador C∞ (M)-bilinear antisimetrico em Γ (TM)× Γ (TM) tomando valores em Γ (E):

RS : Γ (TM)× Γ (TM) −→ Γ (E) .

Ou seja, RS e uma 2-forma vetorial no espaco vetorial Γ (TM) tomando valores no espaco vetorial Γ (E).O conceito de forma vetorial sera visto na proxima secao e veremos conceitos e ferramentas adicionais quepermitirao ver a curvatura como uma derivada exterior covariante segunda de secoes em E ou diretamentecomo uma 2-forma em Hom (E).

18.1.1 Expressao Local

A demonstracao da expressao local da curvatura a seguir e analoga para a curvatura riemanniana, masrepetimos ela com as pequenas modificacoes necessarias (isto e, trocar ∂k por σk) para tornar claro asdiferencas. Usando a notacao tensorial usual, denotamos

Rij = R∂i,∂j : Γ (E) −→ Γ (E)

eRijk = R∂i,∂jσk.

18.3 Proposicao. Seja E um fibrado com uma conexao ∇. Temos

Rij =[∇∂i ,∇∂j

], (18.2)

eRijk =

[∇∂i ,∇∂j

]σk. (18.3)

Em particular, os componentes do tensor endomorfismo curvatura sao

Rlijk = ∂iΓljk − ∂jΓlik +

m∑p=1

(ΓlipΓ

pjk − ΓljpΓ

pik

), (18.4)

que pode ser escrito mais compactamente na forma

Rij = ∂iΓj − ∂jΓi + [Γi,Γj ] , (18.5)

considerando Rij e Γi como matrizes com elementos (Rij)lk = Rlik e (Γi)

lk = Γlik, com [Γi,Γj ] denotando o

comutador de matrizes[Γi,Γj ] = ΓiΓj − ΓjΓi.


Prova: A primeira afirmacao segue de [∂i, ∂j ] = 0 e a segunda segue imediatamente.A terceira segue de

R∂i,∂jσk

= ∇∂i(∇∂jσk

)−∇∂j (∇∂iσk)

= ∇∂i

(m∑p=1

Γpjkσp

)−∇∂j

(m∑p=1

Γpikσp

)

=

m∑p=1

∇∂i(

Γpjkσp

)−

m∑p=1

∇∂j (Γpikσp)

=

m∑p=1

Γpjk∇∂iσp +

m∑p=1

(∂iΓ

pjk

)σp −

m∑p=1

Γpik∇∂jσp −m∑p=1

(∂jΓpik)σp

=

m∑p=1

Γpjk

m∑l=1

Γlipσl +

m∑l=1

(∂iΓ

ljk

)σl −

m∑p=1

Γpik

m∑l=1

Γljpσl −m∑l=1

(∂jΓ

lik

)σl

=

m∑l=1

[m∑p=1

ΓpjkΓlip −m∑p=1

ΓpikΓljp + ∂iΓljk − ∂jΓlik

]σl.

Para provar a expressao compacta, e so notar que

Rlijk = ∂iΓljk − ∂jΓlik + [Γi,Γj ]

lk

e

[Γi,Γj ]lk = (ΓiΓj)

lk − (ΓjΓi)

lk

=

m∑p=1

ΓlipΓpjk −

m∑p=1

ΓljpΓpik.

Observe que Γi e a matriz do tensor diferenca local A∂i : Γ (E|U ) −→ Γ (E|U ) (vide Corolario 17.16).

18.2 Tensores e Formas Vetoriais

No nıvel de algebra linear, um 2-tensor covariante real T pode ser visto como uma matriz T tal queT (v1, v2) = vt1T v2. Isso equivale a representar o tensor T por uma matriz T cujos elementos sao 2-tensoresreais, tal como quando escolhemos representar a metrica g de uma variedade riemanniana pela uma matriz(gij) das componentes da metrica em uma variedade riemanniana M ; cada componente gij e um 2-tensorreal. Neste caso, a metrica g e um campo 2-tensorial e na pratica quando escrevemos (gij) estamos usandouma matriz cujos elementos sao campos 2-tensoriais reais (ou 2-formas diferenciais simetricas, usando outralinguagem para tensores simetricos). Uma outra maneira de olhar para isso e enxergar (gij) como uma formadiferencial na variedade riemanniana M cujos valores sao matrizes, isto e, que associada a cada ponto davariedade uma matriz. De qualquer forma, usar matrizes so e possıvel uma vez escolhida uma base, logoisso so faz sentido em coordenadas. O principal objetivo desta e da proxima secao e formalizar esta ideiaindependentemente de bases, trocando matrizes por homomorfismos de espacos vetoriais (transformacoeslineares).

Da mesma forma, como a curvatura R e C∞ (M)-linear em ambas as variaveis e antissimetrica, elae um tensor antissimetrico, exceto que ela nao e um tensor real, mas um tensor vetorial (como o tensorendomorfismo curvatura da geometria riemanniana). Portanto, ao inves de ser vista como um operador, ela


pode ser vista mais simplesmente como uma 2-forma tomando valores em matrizes ou, equivalentemente,como uma matriz cujos elementos sao 2-formas reais. Como o uso de matrizes implica na escolha de bases,uma maneira independente de bases e considerar a curvatura como uma 2-forma tomando valores no fibradoHom (E), ideia que sera formalizada na proxima secao.

Observe que esta ideia nao vale para a conexao, que e uma derivacao; por este motivo, a conexao nao eexclusivamente representada pela matriz de conexao, mas possui uma parte afim, dada pela derivada usualem coordenadas da carta do fibrado. A parte linear da conexao e o termo dado pela matriz de conexao, ouseja, o tensor diferenca local A (a diferenca entre a conexao do fibrado e a conexao trivial na carta local dofibrado, isto e, o potencial vetorial). O tensor diferenca tambem pode ser visto como uma 1-forma tomandovalores no fibrado Hom (E), equivalente em coordenadas a ele ser representado por uma 1-forma tomandovalores em matrizes ou, tambem equivalentemente, pela matriz da conexao cujos elementos sao 1-formas.

Nesta secao, formalizaremos a ideia de formas tomando valores em um espaco vetorial, isto e, generali-zaremos o conceito de formas reais para considerar formas que tomam valores vetoriais (tais como valoresna algebra de Lie g de algum grupo de Lie G, no caso de G-fibrados como veremos no proximo capıtulo),conceito que e imediatamente generalizado para formas diferenciais reais, e na proxima secao generalizaremoso conceito para formas diferenciais tomando valores em fibrados vetoriais.

18.4 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais. Um (k, l)-tensor vetorial em V tomando valores em W(ou um (k, l)-W -tensor em V ) e uma aplicacao (k, l)-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→W.

Denotaremos o espaco vetorial dos (k, l)-tensores vetoriais em V com valores em W por T kl (V,W ).Uma k-forma vetorial em V tomando valores em W (ou uma k-W -forma em V ) e uma aplicacao

linear alternadaω : V × . . .× V︸︷︷︸

k vezes

−→W.

Denotaremos o espaco vetorial das k-formas vetoriais em V com valores em W por Λk (V ∗,W ).

Em geral, usaremos letras latinas maiusculas em negrito para denotar tensores vetoriais e letras gregasminusculas em negrito para denotar formas vetoriais. Obviamente

Λk (V ∗,R) = Λk (V ∗) ,

isto e, o espaco vetorial das k-formas ordinarias definidas anteriormente, ou seja, as k-formas reais.

18.5 Proposicao. SejaB = e1, . . . , em

uma base para W . Entao ω e uma k-forma vetorial em V com valores em W se e somente se existem mk-formas reais ω1, . . . , ωm ∈ Λk (V ∗) tais que

ω (v1, . . . , vk) =

m∑i=1

ωi (v1, . . . , vk) ei. (18.6)

Em particular, no caso especial de 1-formas vetoriais em V com valores em W , temos

ω (v) =

m∑i=1

ωi (v) ei.

Prova: Para ver isso, se πi : V −→ R e a projecao na i-esima coordenada em relacao a base B, entaoπi ω ∈ Λk (V ∗) e tomamos

ωi = πi ω.


As k-formas reais ωi sao as coordenadas da forma vetorial ω. De fato, segue da Proposicao 18.5 que temosum isomorfismo (nao natural, pois depende da escolha de uma base)

Λk (V ∗,W ) ∼= Λk (V ∗)× . . .× Λk (V ∗)︸︷︷︸m vezes

, (18.7)

e uma k-forma ω ∈ Λk (V ∗,W ) se escreve em relacao a esta base na forma

ω =(ω1, . . . , ωm

)Utilizando a notacao de multiplicacao por escalar a direita (em um espaco vetorial, as duas acoes de multi-

plicacao por escalar, a esquerda e a direita, sao equivalentes), a equacao 18.6 pode ser mais convenientementeescrita na forma

ω = eiωi. (18.8)

Desta maneira podemos simplesmente aplicar ambos os lados da equacao aos vetores de V :

ω (v) = eiωi (v) ,

ω (v1, . . . , vk) = eiωi (v1, . . . , vk) .

Passaremos a utilizar esta notacao.


Λk (V ∗,W ) ∼= W ⊗ Λk (V ∗) .

Prova: Pois

Λk (V ∗,W ) ∼= Hom(Λk (V ∗) ,W

)∼= W ⊗

(Λk (V ∗)

)∗∼= W ⊗ Λk (V ∗) .

Mais concretamente, o isomorfismo

Φ : W ⊗ Λk (V ∗) −→ Λk (V ∗,W )

pode ser definido de maneira natural em geradores por

[Φ (w ⊗ ω)] (v1, . . . , vk) = ω (v1, . . . , vk)w,

enquanto que o isomorfismo na direcao contraria

Ψ : Λk (V ∗,W ) −→W ⊗ Λk (V ∗)

pode ser definido apenas de maneira nao natural via (18.8) por

ω =

m∑i=1

eiωi 7−→

m∑i=1

ei ⊗ ωi

se B = e1, . . . , em e uma base para W .


18.3 Produto Exterior de Formas Vetoriais com valores em umaAlgebra

Se W e uma algebra, de modo que podemos multiplicar vetores de W entre si, podemos generalizar tambema definicao de produto exterior de k-formas reais para um produto exterior de k-formas vetoriais. Usamos oisomorfismo natural dado pela Proposicao 18.6:

18.7 Definicao. Seja W uma algebra com produto ∗. Em geradores

v ⊗ ω ∈W ⊗ Λk (V ∗) ,

w ⊗ η ∈W ⊗ Λl (V ∗) ,

definimos(v ⊗ ω) ∧∗ (w ⊗ η) = (v ∗ w)⊗ (ω ∧ η) . (18.9)

e estendemos linearmente ao produto exterior induzido pelo produto ∗

∧∗ : Λk (V,W )× Λl (V,W ) −→ Λk+l (V,W ) .

Equivalentemente, podemos definir o produto exterior de formas vetoriais com valores em uma algebradiretamente da seguinte forma: dadas uma k-forma vetorial ω ∈ Λk (V,W ) e uma l-forma vetorial η ∈Λl (V,W ), seu produto exterior induzido pelo produto ∗ e a (k + l)-forma vetorial ω ∧∗ η ∈ Λk+l (V,W )definida por

(ω ∧∗ η) (v1, . . . vk+l) =∑

σ∈Sk+lσ(1)<...<σ(k)

σ(k+1)<...<σ(k+l)

(signσ)ω(vσ(1), . . . , vσ(k)

)∗ η(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l)

).

Alem de ser um produto, isto e, uma aplicacao bilinear, propriedades adicionais do produto exterior ∧∗dependerao fortemente do produto ∗ da algebra W : o produto exterior pode nao ser associativo ou anti-simetrico. Se W e uma algebra de Lie, denotaremos o produto exterior induzido pelo colchete de Lie [·, ·]por

ω [∧]η.

18.8 Proposicao. Se W = g e uma algebra de Lie com base B = e1, . . . , em, vale:(i) Se

ω = ei ⊗ ωi,η = ej ⊗ ηj ,

entaoω [∧]η = [ei, ej ]⊗

(ωi ∧ ηj

).

(ii) Se ω ∈ Λ1 (V,W ),(ω [∧]ω) (v, w) = 2 [ω (v) ,ω (w)] .

(iii) Se ω ∈ Λ1 (V,W ),(ω [∧]ω) [∧]ω = 0.


Prova: (i) Decorre da definicao.(ii)

(ω [∧]ω) (v, w) = [ei, ej ]⊗(ωi ∧ ωj

)(v, w)

= [ei, ej ](ωi (v)ωj (w)− ωi (w)ωj (v)

)= [ei, ej ]ω

i (v)ωj (w)− [ei, ej ]ωi (w)ωj (v)

=[eiω

i (v) , ejωj (w)

]−[eiω

i (w) , ejωj (v)

]= [ω (v) ,ω (w)]− [ω (w) ,ω (v)]

= 2 [ω (v) ,ω (w)] .

(iii) Pela definicao direta equivalente e usando (ii),

[(ω [∧]ω) [∧]ω] (v1, v2, v3)

=∑

σ∈Sk+lσ(1)<σ(2)

(signσ)[(ω [∧]ω)

(vσ(1), vσ(2)

),ω(vσ(3)

)]= [(ω [∧]ω) (v1, v2) ,ω (v3)]− [(ω [∧]ω) (v1, v3) ,ω (v2)]

+ [(ω [∧]ω) (v2, v3) ,ω (v1)]

= 2 [[ω (v1) ,ω (v2)] ,ω (v3)]− 2 [[ω (v1) ,ω (v3)] ,ω (v2)]

+ 2 [[ω (v2) ,ω (v3)] ,ω (v1)]

= 2 [ω (v1) ,ω (v2)] ,ω (v3) + [[ω (v2) ,ω (v3)] ,ω (v1)] + [[ω (v3) ,ω (v1)] ,ω (v2)]= 0

pela identidade de Jacobi. Compare (ii) da proposicao anterior com

ω ∧ ω = 0

para formas reais. Em geral,ω [∧]ω 6= 0.

18.4 Formas com valores em um Fibrado Vetorial

Da mesma maneira que uma forma diferencial real ω em Λk (M) em cada ponto p ∈ M e uma forma realωp ∈ Λk

(TM∗p

)e ωp varia suavemente com p, uma forma tomando valores em um fibrado E e uma forma

vetorial em cada ponto da variedade que varia suavemente com o ponto. De maneira operacionalmente maissimples, definimos:

18.9 Definicao. Uma k-forma com valores em um fibrado E (ou uma E-forma de grau k) e umelemento do espaco vetorial

Λk (M,E) := Γ (E)⊗ Λk (M) .

Para verificar que isso coincide com a visao intuitiva exposta acima, vamos obter sua expressao local. Lo-calmente, isto e, considerando um aberto U ⊂Mn tal que o fibrado E sobre U e trivial

E|U ∼= U × Rm,

temos que o espaco das formas tomando valores em E|U e (usando o isomorfismo (18.7))

Λk (M,E|U ) = Γ (E|U )⊗ Λk (U)

∼= Λk (U)× . . .× Λk (U)︸︷︷︸m vezes

,


ja que Γ (E|U ) e um espaco vetorial de dimensao m gerado por secoes locais σ1, . . . , σm. Em outras palavras,uma k-forma tomando valores em um fibrado vetorial de posto m e localmente uma forma vetorial comvalores em Rm. Assim, escolhendo uma base de secoes locais, podemos escrever ω ∈ Λk (M,E) localmentena forma

ω = σiωi,

onde ω1, . . . , ωm ∈ Λk (U) sao k-formas reais definidas no aberto U de modo que uma k-forma tomandovalores em um fibrado e localmente um vetor de k-formas reais, ou seja, uma k-forma vetorial; em outraspalavras, uma k-E-forma ω em Λk (M,E) em cada ponto p ∈ M , e uma forma vetorial em ωp ∈ Λk

(E∗p)

que varia suavemente com o ponto p.Note que

Λ0 (M,E) = Γ (E)⊗ Λ0 (M) = Γ (E)⊗ C∞ (M) = Γ (E) .

Note tambem que o conceito de formas diferenciais vetoriais, a generalizacao direta de formas diferenciaisreais, esta automaticamente definido: sao as formas tomando valores no fibrado trivial M × Rm.

18.4.1 Produto Exterior entre uma Forma Diferencial e uma E -Forma

Definimos o produto exterior entre uma forma real e uma forma com valor em um fibrado:

18.10 Definicao. O produto exterior entre uma k-forma ω ⊗ S com valores em E e uma l-forma real ηe definido como sendo a (k + l)-forma com valores em E

(S ⊗ ω) Z η = S ⊗ (ω ∧ η) .

Estendemos esta definicao linearmente para obter um produto exterior

Z : Λk (M,E)× Λk (M) −→ Λk+l (M,E) .

Em particular, para l = 0 temos que

Z : Γ (E)× Λk (M,E) −→ Λk (M,E)

e dado simplesmente porS Z ω = S ⊗ ω.

18.11 Proposicao. ValeS Z (ω ∧ η) = (S Z ω) Z η.

Prova: Pois

S Z (ω ∧ η) = S ⊗ (ω ∧ η)

= (S ⊗ ω) Z η

= (S Z ω) Z η.

18.4.2 Produto Exterior entre Formas com valores em Fibrados

Tambem precisamos generalizar o produto exterior para formas com valores em fibrados e mesmo em fibradosdiferentes, que sera usado no final deste capıtulo (onde trabalharemos simultaneamente com E-formas e a2-forma curvatura R que sera uma Hom (E)-forma):


18.12 Definicao. O produto exterior de uma k-forma S⊗ω com valores em E e uma l-forma S′⊗η comvalores em E′ e definido como sendo a (k + l)-forma com valores em E ⊗ E′

(S ⊗ ω) ∧E,E′ (S′ ⊗ η) = (S ⊗ S′)⊗ (ω ∧ η)

Estendemos esta definicao linearmente para obter um produto exterior

∧E,E′ : Λk (M,E)× Λl (M,E′) −→ Λk+l (M,E ⊗ E′) .

18.5 Derivada Exterior Covariante de E -Formas

18.5.1 Definicao

Agora generalizaremos a derivada exterior para k-formas tomando valores em fibrados. Note que como

Λ0 (M,E) = Γ (E) ,

Λ1 (M,E) = Λ1 (M)⊗ Γ (E) ,

segue que uma conexao no fibrado e uma aplicacao linear

∇ : Λ0 (M,E) −→ Λ1 (M,E) .

18.13 Definicao. Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇. A derivada exterior covariante d∇associada a conexao ∇ e o conjunto de aplicacoes R-lineares

d∇ = d∇,k : Λk (M,E) −→ Λk+1 (M,E)

para cada k tal que(i) d∇,0 = ∇.(ii) Para todo α ∈ Λk (M,E) e para todo ω ∈ Λl (M) vale

d∇ (α Z ω) = d∇α Z ω + (−1)kα Z dω.

18.14 Proposicao (Existencia e Unicidade da Derivada Exterior). Se E e um fibrado vetorial comconexao ∇, existe uma unica derivada exterior covariante d∇ associada a ∇.

Prova: Estabelecemos primeiro a unicidade: pelas condicoes (ii) e (i) da Definicao 18.13 de derivada exteriorcovariante, d∇ deve satisfazer para todo α = S ⊗ η ∈ Λk (M,E)

d∇α = d∇ (S ⊗ η)

= d∇ (S Z η)

= d∇S Z η + S Z dη

= ∇S Z η + S ⊗ dη.

Por sua vez, como ja fizemos frequentemente, usamos esta formula para definir a derivada exteriorcovariante d∇, definindo em geradores

d∇ (S ⊗ η) := ∇S Z η + S ⊗ dη


e estendendo linearmente para Λk (M,E). Como

d∇ (S ⊗ f) = ∇S Z f + S ⊗ df= ∇S ⊗ f + S ⊗ df= f∇S + S ⊗ df,

segue qued∇,0 = ∇,

o que prova (i) da Definicao 18.13. Para provar (ii) daquela definicao, calculamos para ω ∈ Λk (M) e paraα = S ⊗ η ∈ Λl (M,E)

d∇ (α Z ω) = d∇ ((S ⊗ η) Z ω)

= d∇ (S ⊗ (η ∧ ω))

= ∇S Z (η ∧ ω) + S ⊗ d (η ∧ ω)

= ∇S Z (η ∧ ω) + S ⊗[dη ∧ ω + (−1)

kη ∧ dω

]= ∇S Z (η ∧ ω) + S ⊗ (dη ∧ ω) + (−1)

kS ⊗ (η ∧ dω)

= (∇S Z η) Z ω + (S ⊗ dη) Z ω + (−1)kS ⊗ (η ∧ dω)

= (∇S Z η + S ⊗ dη) Z ω + (−1)k

(S ⊗ η) Z dω

= d∇α Z ω + (−1)kα Z dω.

Falta mostrar que esta definicao nao e ambıgua, ja que uma E-forma pode ser escrita como uma com-binacao de geradores de varias maneiras diferentes, isto e, nao estamos usando uma base de gerado-res. Veja [Gallier-Quaintance], Proposition 29.8, p. 1091, para uma demonstracao algebrica detalhadaou [Baez-Muniain], p. 251, para uma demonstracao usando coordenadas.


Agora vamos obter a expressao local da derivada exterior covariante. Como ela e induzida pela conexao dofibrado, sua expressao local depende da expressao local da conexao, que e dada pela matriz da conexao

(ωij).

18.15 Proposicao (Expressao Local da Derivada Exterior Covariante). Seja E um fibrado de postom com conexao ∇. Seja ω =

(ωij)

a matriz da conexao associada a uma carta do fibrado.Se

α =(α1, . . . , αm

)e a expressao local de uma k-forma η ∈ Λk (M,E) para k-formas reais α1, . . . , αm, entao

d∇α = σ ⊗ (dα+ ω ∧α) ,

(produto exterior de matrizes definida da mesma maneira que a multiplicacao usual de matrizes), isto e,

d∇(α1, . . . , αm

)=(dα1, . . . , dαm

)+(α1, . . . , αm

)∧ ω.

Prova: Se σ1, . . . , σm e a base de secoes locais associada a esta carta, entao

α = σi ⊗ αi.


Daı, segue da Proposicao 17.10 que

d∇α = d∇(σi ⊗ αi

)= d∇

(σi Z α

i)

= ∇σi Z αi + σi Z dαi

=(σj ⊗ ωji

)Z αi + σi ⊗ dαi

= σj ⊗(ωji ∧ α

i)

+ σj ⊗ dαj

= σ ⊗ (ω ∧α+ dα) .

18.6 Curvatura como Derivada Exterior Covariante Segunda

A curvatura pode ser formulada como o operador derivada exterior covariante de segunda ordem:

18.16 Definicao. A curvatura Rd e o operador

Rd∇ = d2∇ = d∇,1 d∇,0 = d∇ ∇ : Λ0 (E) −→ Λ2 (E) .

Nesta formulacao da curvatura de um fibrado em termos da derivada exterior covariante, a curvatura mediraa falha da derivada exterior covariante de E-formas em satisfazer a identidade

d2∇ = d∇ d∇ = 0

valida para formas diferenciais reais:d2 = d d = 0.

Note que como Λ0 (E) = Γ (E), a curvatura Rd∇ associa a cada secao do fibrado E uma 2-forma com valoresem E. Como para a curvatura R definida no inıcio deste capıtulo, mostraremos que o operador curvaturaRd∇ tambem e um tensor:

18.17 Proposicao. O operador curvatura Rd∇ e C∞ (M)-linear, isto e,

Rd∇ ∈ HomC∞(M)

(Λ0 (E) ,Λ2 (E)

).

Prova: Temos

Rd∇ (fS) = (d∇ ∇) (fS)

= d∇ (∇ (fS))

= d∇ (S ⊗ df + f∇S)

= d∇ (S Z df + f Z∇S)

= S Z d2f −∇S Z df + S Z df + d∇ (∇S) Z f

= d∇ (∇S) Z f

= fd∇ (∇S)

= fRd∇ (S) .



Veremos a expressao local para a curvatura Rd∇ .

18.18 Proposicao (Equacao de Estrutura). Seja E um fibrado com conexao.Se ω =

(ωij)

e a matriz da conexao e Ω =(Ωij)

e a matriz de curvatura associadas a uma carta dofibrado, isto e,

Rd∇ (σi) =

m∑j=1

σj ⊗ Ωji ,

entaoΩ = dω + ω ∧ ω,

(produto exterior de matrizes definida da mesma maneira que a multiplicacao usual de matrizes), isto e,

Ωij = dωij +

m∑k=1

ωik ∧ ωkj .

Prova: A matriz de conexao ω e definida pelas relacoes (Proposicao 17.10)

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji .

Logo,

Rd∇ (σi) = d∇ (∇σi)

= d∇

m∑j=1

σj ⊗ ωji

=

m∑j=1

∇σj Z ωji +

m∑j=1

σj ⊗ dωji

=

m∑j=1

(m∑k=1

σk ⊗ ωkj

)Z ωji +

m∑j=1

σj ⊗ dωji

=

m∑j,k=1

σk ⊗(ωkj ∧ ω

ji

)+

m∑k=1

σk ⊗ dωki

=

m∑k=1

σk ⊗

m∑j=1

(ωkj ∧ ω

ji

)+ dωki

,de modo que

Ωki = dωki +

m∑j=1

(ωkj ∧ ω

ji

).

Observe que a matriz de curvatura e uma matriz de 2-formas.

18.19 Corolario. ValedΩ = Ω ∧ ω − ω ∧Ω,

isto e,

dΩij =

m∑k=1

(Ωik ∧ ωkj − ωik ∧ Ωkj

).


Prova: Pois

dΩ = d (dω + ω ∧ ω)

= d (dω) + (dω ∧ ω − ω ∧ dω)

= d2ω + dω ∧ ω − ω ∧ dω= (Ω− ω ∧ ω) ∧ ω − ω ∧ (Ω− ω ∧ ω)

= Ω ∧ ω − ω ∧ ω ∧ ω − ω ∧Ω + ω ∧ ω ∧ ω= Ω ∧ ω − ω ∧Ω.

18.20 Proposicao (Segunda Identidade de Bianchi). Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇. Entao

d∇Rd∇ (σi) =

m∑j,k=1

σj ⊗(

Ωjk ∧ ωki

).

Prova: Temos, em notacao de Einstein,

Rd∇ (σi) = σj ⊗ Ωji ,

logo,

d∇(Rd∇ (σi)

)= d∇

(σj ⊗ Ωji

)= ∇σj Z Ωji + σj ⊗ dΩji

=(σk ⊗ ωkj

)Z Ωji + σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki − ω

jk ∧ Ωki

)= σk ⊗

(ωkj ∧ Ωji

)+ σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki − ω

jk ∧ Ωki

)= σj ⊗

(ωjk ∧ Ωki

)+ σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki − ω

jk ∧ Ωki

)= σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki

).

O proximo resultado mostra como as matrizes de curvatura se transformam com a mudanca de cartas

do fibrado, usando as funcoes de transicao.

18.21 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇. Sejam

ϕα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm,ϕβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × Rm,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ e


as funcoes de transicao entre estas cartas.Se Ωα,Ωβ sao as matrizes da curvatura para os abertos Uα, Uβ entao

Ωβ = g−1αβΩαgαβ . (18.10)


Prova: Pela equacao de estrutura,Ωβ = dωβ + ωβ ∧ ωβ

Por outro lado, de acordo com a Proposicao 17.14,


αβdgαβ .

Denotaremos nesta demonstracao gαβ simplesmente por g para nao carregar a notacao. Temos (lembrandoque g e uma matriz de funcoes logo o seu produto exterior e simplesmente o produto usual)

ωβ ∧ ωβ=(g−1ωαg + g−1dg

)∧(g−1ωαg + g−1dg

)= g−1ωαg ∧ g−1ωαg + g−1ωαg ∧ g−1dg

+ g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dg ∧ g−1dg

= g−1ωα ∧ gg−1ωαg + g−1ωα ∧ gg−1dg

+ g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dg ∧ g−1dg

= g−1ωα ∧ ωαg + g−1ωα ∧ dg+ g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dg ∧ g−1dg.

Para calcular dωβ , segue deg−1g = I

que (lembrando que g e uma matriz de funcoes)

0 = d(g−1g

)= dg−1g + g−1dg,

ou seja,dg−1 = −g−1dg g−1.

Daı, comodωβ = d

(g−1ωαg

)+ d

(g−1dg

).

Calculando cada termo separadamente (novamente lembrando que g e uma matriz de funcoes logo o seuproduto exterior e simplesmente o produto usual):

d(g−1ωαg

)= dg−1 ∧ ωαg + g−1d (ωαg)

= −g−1dg g−1 ∧ ωαg + g−1 (dωαg − ωα ∧ dg)

= −g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dωαg − g−1ωα ∧ dg

enquanto que

d(g−1dg

)= dg−1 ∧ dg + g−1d2g

= −g−1dg g−1 ∧ dg= −

(g−1dg

)∧(g−1dg

).

Concluımos que

dωβ = −g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dωαg − g−1ωα ∧ dg −(g−1dg

)∧(g−1dg

).


Portanto (marcando os ındices que se cancelam com o mesmo superescrito),

Ωβ

= −g−1dg ∧ g−1ωαg[1] + g−1dωαg − g−1ωα ∧ dg[2] −

(g−1dg

)∧(g−1dg

)[3]

+ g−1ωα ∧ ωαg + g−1ωα ∧ dg[2] + g−1dg ∧ g−1ωαg[1] + g−1dg ∧ g−1dg[3]

= g−1dωαg + g−1ωα ∧ ωαg= g−1 (dωα + ωα ∧ ωα) g

= g−1Ωαg.

18.6.2 Equivalencia das Duas Nocoes de Curvatura

Como a curvatura exterior e a aplicacao

Rd∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ2 (M) ,

segue que

Rd∇ (S) =∑i

Li ⊗ θi

para algumas secoes Li ∈ Γ (E) e para algumas 2-formas θi ∈ Λ2 (M).

18.22 Definicao. Definimos a aplicacao

Rd∇X,Y : Γ (E) −→ Γ (E)

da seguinte forma: se

Rd∇ (S) =∑i

Li ⊗ θi,

entaoRd∇X,Y (S) =

∑i

Li ⊗ θi (X,Y ) .

Note que θi (X,Y ) ∈ C∞ (M), logo temos uma identificacao

Ti ⊗ θi (X,Y ) = θi (X,Y )Ti,

de modo que RdX,Y (S) ∈ Γ (E). Claramente, RdX,Y e C∞ (M)-linear, isto e,

RdX,Y ∈ HomC∞(M) (Γ (E)) .

18.23 Proposicao. ValeRX,Y = Rd∇X,Y .

Prova: Dado S ∈ Γ (E), para determinar θi, Li na Definicao 18.22 escreva

∇S =∑i

Ki ⊗ ωi (18.11)


para algumas formas ωi ∈ Λ1 (M) e para algumas secoes Si ∈ Γ (E). Daı,

Rd∇ (S) = d∇ (∇S)

= d∇

(∑i

Ki ⊗ ωi)

= d∇

(∑i

Ki Z ωi

)=∑i

∇Ki Z ωi +∑i

Ki ⊗ dωi.

Agora escreva

∇Ki =∑j

Tj ⊗ ηj . (18.12)

Entao

Rd∇ (S) =∑j

Tj ⊗ ηj Z∑i

ωi +∑i

Ki ⊗ dωi

=∑i,j

Tj ⊗(ηj ∧ ωi

)+∑i

Ki ⊗ dωi.

Temos, pela Definicao 18.22,

Rd∇X,Y (S) =∑i,j

Tj ⊗(ηj ∧ ωi

)(X,Y ) +

∑i

Ki ⊗ dωi (X,Y )

=∑i,j

(ηj ∧ ωi

)(X,Y )Tj +

∑i

dωi (X,Y )Ki

=∑i,j

[ηj (X)ωi (Y )− ωi (X) ηj (Y )

]Tj +

∑i

dωi (X,Y )Ki

= −∑i

ωi (X)∑j

ηj (Y )Tj − ωi (Y )∑j

ηj (X)Tj

+∑i

dωi (X,Y )Ki,

de modo que

Rd∇X,Y (S) =∑i

[dωi (X,Y )Ki − ωi (X)∇YKi + ωi (Y )∇XKi

].

Pela Proposicao 9.40, temos

dωi (X,Y ) = X(ωi (Y )

)− Y

(ωi (X)

)− ωi ([X,Y ]) , (18.13)


logo

Rd∇X,Y (S) =∑i

[X(ωi (Y )

)Ki − Y

(ωi (X)

)Ki − ωi ([X,Y ])Ki

−ωi (X)∇YKi + ωi (Y )∇XKi

]=∑i

[∇X

(ωi (Y )Ki

)−∇Y

(ωi (X)Ki

)− ωi ([X,Y ])Ki

]=∑i

[∇X

(Kiω

i (Y ))−∇Y

(Kiω

i (X))− ωi (Ki [X,Y ])

]=∑i

[∇X (∇Y S)−∇Y (∇XS)−∇[X,Y ]S

]=∑i

(∇X∇Y −∇Y∇X −∇[X,Y ]

)S

= RX,Y (S) .

18.7 Curvatura como uma 2-forma tomando valores em Hom(E)

Nesta secao veremos uma formulacao da curvatura que permitira escrever a segunda identidade de Bianchide uma forma simples, e particularmente adequada para a teoria de conexoes de Yang-Mills. Mais especifi-camente, dada uma conexao ∇ no fibrado E, consideraremos a conexao especial ∇Hom no fibrado Hom (E)induzida de ∇, que vimos no final do capıtulo anterior e que tem como caracterıstica a propriedade desatisfazer a regra do produto (considerando F (S) como um produto FS). A conexao ∇Hom induz, comotoda conexao, uma derivada exterior covariante d∇Hom . Para esta derivada exterior covariante a segundaidentidade de Bianchi toma a forma d∇HomR = 0. Exceto que, para que esta identidade faca sentido, isto e,para podermos calcular d∇HomR, R tem que ser uma forma tomando valores em Hom (E) e portanto mostra-remos como ver a curvatura R como uma 2-forma R tomando valores em Hom (E). A segunda identidadede Bianchi entao sera escrita de maneira mais precisa como d∇HomR = 0.

Usando o isomorfismo a seguir, poderemos ver a curvatura ao inves de apenas como uma aplicacaoC∞ (M)-linear que associa a cada secao do fibrado E uma 2-forma tomando valores em E, mas enxergar elapropria como uma 2-forma tomando valores no fibrado Hom (E).

18.24 Proposicao. Vale o isomorfismo

HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)= HomC∞(M)

(Λ0 (M,E) ,Λk (M,E)

)∼= Λk (Hom (M,E))

Prova: Temos

HomC∞(M)

(Λ0 (M,E) ,Λk (M,E)

)= HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)∼= Γ (E)

∗ ⊗C∞(M) Λk (M,E)

= Γ (E)∗ ⊗C∞(M)

[Γ (E)⊗C∞(M) Λk (M)

]∼=[Γ (E)

∗ ⊗C∞(M) Γ (E)]⊗C∞(M) Λk (M)

= HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E))⊗ Λk (M)

∼= Γ (Hom (E,E))⊗ Λk (M)

= Γ (Hom (E))⊗ Λk (M)

= Λk (M,Hom (E)) .


Mais concretamente, o isomorfismo

Φ : Λk (M,Hom (E)) −→ HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)e dado da seguinte forma: se F ∈ Λk (M,Hom (E)) se escreve na forma

F = Fi ⊗ ηi,

para Fi ∈ Γ (Hom (E)) e ηi ∈ Λk (M), entao

[Φ (F )] (S) = Fi (S)⊗ ηi.

Em particular,

HomC∞(M)

(Λ0 (M,E) ,Λ2 (M,E)

) ∼= Λ2 (M,Hom (E)) (18.14)

de modo que pode-se ver a curvatura como uma 2-forma tomando valores no fibrado Hom (E).

18.25 Definicao. A forma curvatura e a 2-forma R tomando valores no fibrado Hom (E) correspondentea curvatura Rd∇ via o isomorfismo (18.14).

Usando o produto exterior [ definido a seguir, poderemos calcular o operador

d2∇ = d∇,k+1 d∇,k

para qualquer k em funcao da 2-forma curvatura R, de modo que a curvatura mede o quanto d2∇ 6= 0 em

todos os graus.

18.26 Definicao. Seja E um fibrado com uma conexao ∇ e curvatura associada F . Definimos o produtoexterior entre Hom (E)-formas e E-formas como sendo a aplicacao bilinear

[ : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,E) −→ Λk+l (M,E)

definida em geradores por

(F ⊗ η) [ (S ⊗ ω) = F (S)⊗ (η ∧ ω)

= F (S) Z (η ∧ ω) .

Este produto exterior tambem pode ser visto da seguinte forma: a Definicao 18.12 define o produto exteriorentre formas com valores em Hom (E) e formas com valores em E, produzindo uma forma com valores noproduto tensorial Hom (E)⊗ E:

∧Hom(E),E : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,E) −→ Λk+l (M,Hom (E)⊗ E) .

Como

Γ (Hom (E)⊗ E) ∼= Γ (Hom (E))⊗ Γ (E)∼= HomC∞(M) (Γ (E))⊗ Γ (E) ,

segue que

Λk+l (M,Hom (E)⊗ E) = Λk+l (M)⊗ Γ (Hom (E)⊗ E)

∼= Λk+l (M)⊗HomC∞(M) (Γ (E))⊗ Γ (E) .


Usando este isomorfismo podemos definir a aplicacao

Eval : Λk+l (M,Hom (E)⊗ E) −→ Λk+l (E)

porEval (F ⊗ S ⊗ ω) = F (S)⊗ ω

para F ∈ Γ (Hom (E)), S ∈ Γ (E) e ω ∈ Λk+l (M). Aplicando ∧Hom(E),E e depois Eval temos um produtoexterior

[ : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,E) −→ Λk+l (M,E) .

Em geradores este operador e dado por

(F ⊗ η) [ (S ⊗ ω) = Eval((F ⊗ η) ∧Hom(E),E (S ⊗ ω)

)= Eval (F ⊗ S ⊗ (η ∧ ω))

= F (S)⊗ (η ∧ ω) .

18.27 Proposicao. Usando o isomorfismo Λk (M,Hom (E)) ∼= HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

), vale

F [ (S ⊗ ω) = F (S) Z ω.

Prova: Se F ∈ Λk (M,Hom (E)) ∼= HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)se escreve na forma

F = Fi ⊗ ηi,

temos

F [ (S ⊗ ω) =(Fi ⊗ ηi

)[ (S ⊗ ω)

= Fi (S)⊗(ηi ∧ ω

)=(Fi (S)⊗ ηi

)Z ω

= F (S) Z ω.

18.28 Proposicao. Seja E um fibrado com uma conexao ∇ e a 2-forma curvatura associada R. Entao

d2∇ = d∇,k+1 d∇,k : Λk (M,E) −→ Λk+2 (M,E)

satisfazd2∇α = R [α.

Prova: Basta provar o resultado em geradores α = S ⊗ ω. Note que pela Proposicao 18.27 vale

Rd∇ (S) Z ω = R [ (S ⊗ ω) .

Temos

d2∇α = d2

∇ (S ⊗ ω)

= d∇ [d∇ (S Z ω)]

= d∇ [∇S Z ω + S Z dω]

= ∇S Z dω + S Z d2ω + d∇ (∇S) Z ω + (−1)1∇S Z dω

= Rd (S) Z ω

= R [ (S ⊗ ω)

= R [α.


18.7.1 A Derivada Exterior Covariante e a Identidade de Bianchi

Vamos agora ver como a identidade de Bianchi para a derivada exterior covariante d∇Hom induzida pelaconexao ∇Hom e a 2-forma curvatura R associada a conexao ∇ toma a forma particularmente simples

d∇HomR = 0.

Note que como a curvatura R e uma 2-forma tomando valores em Hom (E), faz sentido aplicar o operadord∇Hom .

18.29 Proposicao (Regra do Produto). Seja E um fibrado com conexao ∇ e correspondente derivadaexterior covariante d∇.

Seja ∇Hom a conexao induzida de ∇ em Hom (E) e d∇Hom a correspondente derivada exterior covariante.Entao

d∇ (F [α) = d∇HomF [α+ (−1)kF [ d∇α.

para todos F ∈ Λk (M,Hom (E)) e para todos α ∈ Λl (M,E).

Prova: Pela definicao de conexao induzida, temos

∇X (F (S)) =(∇HomX F

)(S) + F (∇XS) .

Nao podemos simplesmente omitir o subescrito X no ultimo termo, ja que a expressao F (∇S) nao fazsentido, mas escrevendo

∇S = Ki ⊗ θi

para Ki ∈ Γ (E) e θi ∈ Λ1 (M), temos

∇X (F (S)) =(∇HomX F

)(S) + F (Ki) θ

i (X) .

de modo que podemos escrever

∇ (F (S)) =(∇HomF

)(S) + F (Ki)⊗ θi. (18.15)

Basta provar o resultado para geradores F = F ⊗ η e α = S ⊗ ω. Temos

d∇ (F [α)

= d∇ ((F ⊗ η) [ S ⊗ ω)

= d∇ (F (S)⊗ (η ∧ ω))

= d∇ (F (S) Z (η ∧ ω))

= ∇ (F (S)) Z (η ∧ ω) + (−1)0F (S) Z d (η ∧ ω)

=[(∇HomF

)(S) + F (Ki)⊗ θi

]Z (η ∧ ω) + F (S) Z d (η ∧ ω)

=(∇HomF

)(S) Z (η ∧ ω) + F (Ki)⊗ θi Z (η ∧ ω)

+[F (S) Z (dη ∧ ω) + F (S) Z (−1)

k(η ∧ dω)

]=[(∇HomF

)(S) Z (η ∧ ω) + F (S) Z (dη ∧ ω)

]+[F (Ki) Z

(θi ∧ η ∧ ω

)+ (−1)

kF (S) Z (η ∧ dω)

].

Por outro lado,

d∇HomF [α = d∇Hom (F ⊗ η) [ (S ⊗ ω)

= d∇Hom (F Z η) [ (S ⊗ ω)

=[∇HomF Z η + (−1)

0(F Z dη)

][ (S ⊗ ω)

=(∇HomF Z η

)[ (S ⊗ ω) + (F Z dη) [ (S ⊗ ω)

=(∇HomF

)(S) Z (η ∧ ω) + F (S) Z (dη ∧ ω)


e

F [ d∇α = (F ⊗ η) [ d∇ (S ⊗ ω)

= (F ⊗ η) [ d∇ (S Z ω)

= (F ⊗ η) [[∇S Z ω + (−1)

0S Z dω

]= (F ⊗ η) [

[(Ki ⊗ θi

)Z ω + S Z dω

]= (F ⊗ η) [

[Ki Z

(θi ∧ ω

)]+ (F ⊗ η) [ (S Z dω)

= F (Ki) Z(η ∧ θi ∧ ω

)+ F (S) Z (η ∧ dω)

= (−1)kF (Ki) Z

(θi ∧ η ∧ ω

)+ F (S) Z (η ∧ dω) .

donde segue o resultado, pois (−1)k

(−1)k

= (−1)2k

= 1. Note que este nao e um produto exterior mas um produto tensorial.

18.30 Proposicao (Segunda Identidade de Bianchi). Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇ ecurvatura associada R. Entao

d∇HomR = 0.

Prova: Seja S ∈ Γ (E) = Λ0 (E) uma secao arbitraria. Entao, pelas Proposicoes 18.28 e 18.29,

d3∇S = d∇

(d2∇S)

= d∇ (R [ S)

= R [ d∇S + d∇HomR [ S.

Por outro lado, pela Proposicao 18.28,

d3∇S = d2

∇ (d∇S) = R [ d∇S.

Igualando as duas expressoes e cancelando o termo comum R [ d∇S, obtemos

d∇HomR [ S = 0

para todo S ∈ Γ (E), o que implica d∇HomR = 0.Note que este resultado nao vale para qualquer conexao em Hom (E), mas apenas para a conexao d∇Hom

associada a conexao ∇Hom, que por sua vez foi induzida da conexao ∇, e tambem a partir da qual foi definidaa curvatura R.

18.8 Duas Algebras Exteriores em Hom(E)

Todos os produtos exteriores definidos acima falham em definir uma algebra exterior, ou por serem produtosde objetos diferentes (por exemplo, no produto exterior [, que e um produto exterior entre uma E-forma euma Hom (E)-forma), ou porque o resultado e um objeto diferente dos fatores do produto (por exemplo, noproduto exterior Z de E-formas, cujo resultado e uma (E ⊗ E)-forma).

Trabalhar apenas com Hom (E)-formas permite contornar este problema e simplificar a algebra, porqueΓ (Hom (E)) e uma algebra. De fato, como o produto de secoes pode ser definido de duas maneiras diferentes,por composicao

F ∗G = F G = FG,

ou atraves do comutadorF ∗G = [F,G] = F G−G F = FG−GF,

podemos na verdade definir dois produtos exteriores diferentes, obtendo duas algebras exteriores diferentes:


18.31 Definicao. O produto exterior f e a aplicacao C∞ (M)-bilinear

f : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,Hom (E)) −→ Λk+l (M,Hom (E))

definida em geradores por(F ⊗ ω)f (G⊗ η) = FG⊗ (ω ∧ η) .

Este produto exterior esta diretamente relacionado com o produto [ definido anteriormente e pode serconsiderado como sendo uma generalizacao daquele, usando a notacao produto para uma matriz aplicada aum vetor F (S) = FS:

(F ⊗ η) [ (S ⊗ ω) = F (S)⊗ (η ∧ ω) = FS ⊗ (η ∧ ω) .

18.32 Definicao. O produto exterior [f] como sendo a aplicacao C∞ (M)-bilinear

[f] : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,Hom (E)) −→ Λk+l (M,Hom (E))

definida em geradores por(F ⊗ ω) [f] (G⊗ η) = [F,G]⊗ (ω ∧ η) .

Portanto, na algebra exterior de Hom (E)-formas

Λ (M,Hom (E)) =

∞⊕k=0

Λk (M,Hom (E)) ,

temos dois produtos exteriores f e [f]. Frequentemente, o produto exterior F [f]G e denotado por [F ,G].A relacao entre os dois produtos exteriores e dada pela identidade a seguir:

18.33 Proposicao (Relacao entre [f] e f). Se F ∈ Λk (M,Hom (E)) e G ∈ Λl (M,Hom (E)), entao

F [f]G = F fG− (−1)klGf F .

Prova: Basta provar para geradores: se F = F ⊗ ω e G = G⊗ η, entao

F [f]G = [F,G]⊗ (ω ∧ η)

= (FG−GF )⊗ (ω ∧ η)

= FG⊗ (ω ∧ η)−GF ⊗ (ω ∧ η)

= (F ⊗ ω)f (G⊗ η)− (−1)klGF ⊗ (η ∧ ω)

= F fG− (−1)klGf F .

Como Γ (Hom (E)) e uma algebra associativa com o produto dado pela composicao, a algebra exterior

graduada Λ (Hom (E)) com o produto exterior f tambem e associativa:

F f (GfH) = (F fG)fH.

para F ∈ Λp (M,Hom (E)), G ∈ Λq (M,Hom (E)) e H ∈ Λr (M,Hom (E)). Como Γ (Hom (E)) e umaalgebra de Lie com o produto dado pelo comutador, valem correspondentes propriedades na algebra exteriorgraduada Λ (M,Hom (E)) com o produto exterior [f]:


18.34 Proposicao (Anticomutatividade Graduada). Se F ∈ Λk (M,Hom (E)) e G ∈ Λl (M,Hom (E)),entao

F [f]G = − (−1)klG [f]F .

Em particular,F [f]F = 0.

Prova: Basta provar para geradores: se F = F ⊗ ω e G = G⊗ η, entao

F [f]G = (F ⊗ ω) [f] (G⊗ η)

= [F,G]⊗ (ω ∧ η)

= (FG−GF )⊗ (ω ∧ η)

= − (GF − FG)⊗ (−1)kl

(η ∧ ω)

= − (−1)kl

[G,F ]⊗ (η ∧ ω)

= − (−1)kl

(G⊗ η) [f] (F ⊗ ω)

= − (−1)klG [f]F .

18.35 Proposicao (Identidade de Jacobi Graduada). Se F ∈ Λp (M,Hom (E)), G ∈ Λq (M,Hom (E))e H ∈ Λr (M,Hom (E)) entao

(−1)prF [f] (G [f]H) + (−1)

qpG [f] (H [f]F ) + (−1)

rqH [f] (F [f]G) = 0,

ou, usando a notacao [F ,G] := F [f]G

(−1)pr

[F , [G,H]] + (−1)qp

[G, [H,F ]] + (−1)rq

[H, [F ,G]] = 0.

Prova: Multiplicando cada termo da identidade de Jacobi graduada por (−1)pr

vemos que ela e equivalentea

F [f] (G [f]H) + (−1)p(q+r)

G [f] (H [f]F ) + (−1)r(p+q)

H [f] (F [f]G) = 0.

Basta provar para geradores: se

F = F ⊗ ω,G = G⊗ η,H = H ⊗ σ,

entao

[F , [G,H]] = (F ⊗ ω) [f] ((G⊗ η) [f] (H ⊗ σ))

= (F ⊗ ω) [f] ([G,H]⊗ (η ∧ σ))

= [F, [G,H]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ) .

Daı, trocando os sımbolos ciclicamente,

[G, [H,F ]] = [G, [H,F ]]⊗ (η ∧ σ ∧ ω) ,

[H, [F ,G]] = [H, [F,G]]⊗ (σ ∧ ω ∧ η) ,

donde

[G, [H,F ]] = (−1)pr

[G, [H,F ]]⊗ (η ∧ ω ∧ σ)

= (−1)pr

(−1)pq

[G, [H,F ]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ)

= (−1)p(q+r)

[G, [H,F ]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ)


e, analogamente,

[H, [F ,G]] = (−1)r(p+q)

[H, [F,G]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ) .

Portanto,

[F , [G,H]] + (−1)p(q+r)

[G, [H,F ]] + (−1)r(p+q)

[H, [F ,G]]

= ([F, [G,H]] + [G, [H,F ]] + [H, [F,G]])⊗ (ω ∧ η ∧ σ)

= 0.

Observe que a algebra exterior graduada Λ (M,Hom (E)) com o produto exterior f em geral nao possuiuma propriedade semelhante, ja que a algebra Γ (Hom (E)) com o produto dado pela composicao nao e nemcomutativa, nem anticomutativa, nem nada. Por este motivo, em geral

F f F 6= 0,

embora possa-se restringir os homomorfismos lineares apenas ao subespaco vetorial daqueles que comutam,ou que anticomutam; no primeiro caso, obtemos comutatividade graduada, enquanto que no segundo obtemosanticomutatividade graduada.

18.8.1 Derivada Exterior Covariante em funcao dos Produtos Exteriores

Seja E um fibrado com conexoes ∇1,∇2 : Γ (E) −→ Λ1 (M,E). Como vimos no capıtulo anterior, a diferenca

A = ∇1 −∇2

e um tensor A ∈ HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λ1 (M,E)

)(quando E e dotado de uma conexao ∇, consideramos o

fibrado local trivial E|U , ∇1 = ∇|E|U e ∇2 = ∇0 e a conexao flat do fibrado local E|U entao A e chamado opotencial vetorial). Usando o isomorfismo

HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λ1 (M,E)

) ∼= Λ1 (M,Hom (E)) ,

podemos ver o tensor diferenca como uma 1-forma A ∈ Λ1 (M,Hom (E)).

18.36 Lema. Seja E um fibrado com conexoes ∇1,∇2 e respectivas conexoes induzidas ∇Hom1 ,∇Hom

2 . Se

A = ∇1 −∇2,

entao∇Hom

1 −∇Hom2 = [A, ·] ,

isto e,∇Hom

1 F −∇Hom2 F = AF − FA.

Prova: Por definicao de conexao induzida,(∇Hom

1,X F)

(S) = ∇1,X (F (S))− F (∇1,XS) ,(∇Hom

2,X F)

(S) = ∇2,X (F (S))− F (∇2,XS) ,

onde escolhemos denotar (∇i)X por ∇i,X e similarmente(∇Homi

)X

por ∇Homi,X . Logo,(

∇Hom1,X F

)(S)−

(∇Hom

2,X F)

(S) = A (F (S))− F (A (S)) .


18.37 Proposicao (Derivada Exterior Covariante em Termos do Tensor Diferenca). Seja E umfibrado com conexoes ∇1,∇2. Se A = ∇1 −∇2, entao

d∇1α = d∇2

α+A [α

para toda forma α ∈ Λk (M,E) ed∇Hom

1F = d∇Hom

2F +A [f]F

para toda forma F ∈ Λk (M,Hom (E)).

Prova: Basta provar para geradores.Para verificar a primeira identidade, seja α = S ⊗ ω. Entao (aqui Z denota o produto exterior entre

E-formas e formas diferenciais reais, como definido anteriormente)

d∇1α = d∇1

(S ⊗ ω)

= d∇1(S Z ω)

= d∇1S Z ω + S Z dω

= (d∇2S +A (S)) Z ω + S Z dω

= d∇2S Z ω + S Z dω +A (S) Z ω

= d∇2α+A [ (S Z ω)

= d∇2α+A [α.

Para verificar a segunda identidade, seja F = F ⊗ ω. Entao (aqui Z denota o produto exterior entreHom (E)-formas e formas diferenciais reais)

d∇Hom1F = d∇Hom

1(F ⊗ ω)

= d∇Hom1

(F Z ω)

= d∇Hom1

F Z ω + F Z dω

=(d∇Hom

2F +AF − FA

)Z ω + F Z dω

= d∇Hom2

F Z ω + F Z dω + (AF − FA) Z ω

= d∇Hom2F +A [f] (F Z ω)

= d∇Hom2F +A [f]F .

18.38 Lema. Para quaisquer E-formas α e Hom (E)-formas F ,G temos

F [ (G [α) = (F fG) [α.

Prova: Em geradores, se F = F ⊗ ω, G = G⊗ η e α = S ⊗ α, temos

F [ (G [α) = (F ⊗ ω) [ [(G⊗ η) [ (S ⊗ α)]

= (F ⊗ ω) [ [G (S)⊗ (η ∧ α)]

= F (G (S))⊗ [ω ∧ (η ∧ α)]

= (FG) (S)⊗ [(ω ∧ η) ∧ α]

= (FG)⊗ (ω ∧ η) [ (S ⊗ α)

= (F fG) [α.


18.39 Proposicao (Curvatura em termos do Tensor Diferenca). Seja E um fibrado com conexoes∇1,∇2 e respectivas curvaturas R1,R2. Se A = ∇1 −∇2, entao

R1 = R2 + d∇Hom2A+AfA.

Em particular, se E e um fibrado com conexao ∇ que possui uma conexao flat ∇0, entao

R = d∇Hom0A+AfA.

Prova: Pela Proposicao 18.28, para toda E-forma α vale

d2∇1α = R1 [α,

d2∇2α = R2 [α.

Por outro lado, pela Proposicao 18.37,

d2∇1α = d∇1

(d∇1α)

= d∇1(d∇2

α+A [α)

= d∇1(d∇2

α) + d∇1(A [α)

= d2∇2α+A [ d∇2α+ d∇2 (A [α) +A [ (A [α)

= R2 [α+A [ d∇2α+ d∇Hom2A [α−A [ d∇2α+ (AfA) [α

= R2 [α+ d∇Hom2A [α+ (AfA) [α

=(R2 + d∇Hom

2A+AfA

)[α.

Comparando as duas expressoes, como α e arbitrario, segue o resultado.

18.40 Lema. Para quaisquer Hom (E)-forma α vale

α [f] (αfα) = 0.

Prova: Pela Proposicao 18.33, observando que se α e uma k-forma, entao αfα e uma (2k)-forma

α [f] (αfα) = αf (αfα)− (−1)k(2k)

(αfα)fα

= αf (αfα)− (αfα)fα

= 0,

pois o produto exterior f e associativo.

18.41 Proposicao (Segunda Identidade de Bianchi, demonstracao local). Seja E um fibrado vetorialcom conexao ∇ e curvatura associada R. Entao

d∇HomR = 0.

Prova: Escreva localmenteA = ∇−∇0,

onde ∇0 e a conexao flat, cuja curvatura R0 e zero, de modo que

d2∇Hom

0F = 0

para qualquer Hom (E)-forma F e, pela Proposicao 18.39,

R = d∇Hom0A+AfA.


Logo, pela Proposicao 18.37, usando o fato que A e uma 1-forma e o lema anterior, temos

d∇HomR = d∇Hom0R+A [f]R

= d∇Hom0

(d∇Hom

0A+AfA

)+A [f]

(d∇Hom

0A+AfA

)= d2∇Hom

0A+ d∇Hom

0(AfA) +A [f] d∇Hom

0A+A [f] (AfA)

= d∇Hom0AfA−Af d∇Hom

0A+A [f] d∇Hom

0A

= d∇Hom0A [f]A+A [f] d∇Hom

0A

= 0.

18.9 Curvatura e Transporte Paralelo

18.42 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade conexa M com conexao ∇ e curvaturaR. Se o transporte paralelo ao longo de qualquer curva depende apenas de seus pontos inicial e final, entaoR = 0.

Prova: De acordo com a equacao de estrutura (Proposicao 18.18), se(

Ωji

)e a matriz de curvatura definida

por

Rd∇ (σi) =

m∑j=1

σj ⊗ Ωji .

vale

Ωij = dωij +

m∑k=1

ωik ∧ ωkj ,

onde a matriz de conexao(ωji

)e definida por (Proposicao 17.10)

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji .

Pela Proposicao 17.29, existe uma base de secoes globais paralelas σ1, . . . , σm ∈ Γ (E), de modo que emrelacao a esta base

∇σi ≡ 0

e, consequentemente, ωji = 0, donde Rd∇ ≡ 0. A recıproca e valida para variedades simplesmente conexas, de modo que nelas a curvatura mede exata-

mente o quanto o transporte paralelo depende dos pontos inicial e final:

18.43 Teorema. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade simplesmente conexa M com conexao ∇e curvatura R. Entao o transporte paralelo ao longo de qualquer curva depende apenas do seu ponto final edo seu ponto final se e somente se R = 0.

Prova: Veja [Forger-Antoneli], p. 56. Requer conhecimento do classico Teorema de Frobenius, que podeser visto em [Gallier-Quaintance], Chapter 25, e nas referencias la descritas.

Capıtulo 19

Conexoes de Yang-Mills

19.1 Fibrados Metricos e Conexoes Compatıveis com uma Metrica

19.1 Definicao. Seja E um fibrado vetorial sobre M e considere o fibrado tensorial E∗⊗E∗. Uma metricaem E e uma secao global g ∈ Γ (E∗ ⊗ E∗) simetrica, nao degenerada em cada ponto de M .

Um fibrado dotado de uma metrica e chamado um fibrado metrico.

Isso essencialmente significa que para cada p ∈ M a funcao gp e uma forma bilinear simetrica na fibra Ep,nao degenerada, que varia diferenciavelmente com p, o que e equivalente a dizer que as funcoes componentes,localmente definidas,

gij := g (σi, σj) ,

sao diferenciaveis. Uma metrica em uma variedade M nada mais e que uma metrica no fibrado tangenteTM .

A existencia de metricas em fibrados vetoriais (todo fibrado vetorial admite uma metrica riemannianavia um argumento usando particoes da unidade analogo ao usado para mostra a existencia de uma metricariemanniana para qualquer variedade diferenciavel) permite reduzir o grupo de estrutura das funcoes detransicao gαβ : Uαβ −→ GLn (R) de GLn (R) para o grupo ortogonal Op,q e para SOp,q, se a variedade fororientavel. Para ver isso, sera necessario antes provar que dada uma base local de secoes em um fibradometrico esta pode ser ortonormalizada atraves de um processo diferenciavel; a existencia de uma base orto-normal em cada fibra Ep (que nao contem vetores do tipo luz) e assegurada pelo Teorema de Sylvester, masisso nao garante a existencia de uma base ortonormal de secoes em uma vizinhanca, isto e, bases em cadaEp variando diferenciavelmente com p.

19.2 Lema (Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt). Seja V um espaco vetorial real dotadode um produto interno de assinatura (p, q).

Se v1, . . . , vn e uma base para V , entao V possui uma base ortonormal w1, . . . , wn tal que wi e umacombinacao linear dos vetores v1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dos produtos escalares〈vi, vj〉 e nenhum wi e do tipo luz.

Prova: O que impede a aplicacao do processo usual de Gram-Schmidt usado em espacos vetoriais comproduto interno positivo definido e a possıvel presenca de vetores do tipo luz (isto e, vetores v tais que〈v, v〉 = 0) na base inicial ou o seu surgimento durante o processo de ortogonalizacao. Isso pode ser evitadoatraves do argumento descrito a seguir.

Se um vetor vi da base e do tipo luz, a nao-degenerescencia do produto interno garante que existe pelomenos algum outro vetor vj na base (nao necessariamente do tipo luz) tal que 〈vi, vj〉 6= 0. Trocamos estes parde vetores vi, vj por um outro par de vetores ortogonais vi, vj que geram o mesmo subespaco bidimensional

372


mas que nao sao do tipo luz, definindo:

vi =

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj ,

vj =

(1 +


)vi − vj .

De fato,

〈vi, vj〉 =

[(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

] [(1 +


)vi − vj

]= −

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)〈vi, vj〉+

(1 +


)〈vj , vi〉 − 〈vj , vj〉

= −〈vi, vj〉+〈vj , vj〉

2+ 〈vj , vi〉+

〈vj , vj〉2

− 〈vj , vj〉

= 0

e

〈vi, vi〉 =

[(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

] [(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

]= 2

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉


= 2 〈vi, vj〉6= 0,

〈vj , vj〉 =

[(1 +


)vi − vj

] [(1 +


)vi − vj

]= −2

(1 +



= −2 〈vi, vj〉6= 0.

Se depois da substituicao deste par restar outro vetor do tipo luz na base, repetimos o argumento trocandoeste vetor e outro vetor da base por um par ortogonal de vetores que nao sao do tipo luz. Procedemosassim ate obter uma base v1, . . . , vn base para V que nao possui nenhum vetor do tipo luz. Os vetoresassim obtidos sao combinacoes lineares dos vetores v1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dosprodutos escalares 〈vi, vj〉.

Aplicamos a esta base o processo usual de Gram-Schmidt, isto e, definimos w1 = v1 e, indutivamente,

wk+1 = vk+1 −k∑i=1

〈vk+1, wi〉〈wi, wi〉

wi.

Se em determinado passo o vetor wk e do tipo luz, antes de proceder usamos o argumento anterior e trocamoso par wk−1, wk por um par ortogonal de vetores que nao sao do tipo luz. Desta forma, obtemos uma baseortogonal w1, . . . , wn tal que nenhum wi e do tipo luz e tal que cada wi e uma combinacao linear dos vetoresv1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dos produtos escalares 〈vi, vj〉 e, consequentemente, dosprodutos escalares 〈vi, vj〉. Em particular, podemos normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal.

19.3 Proposicao. Todo fibrado metrico admite uma base ortonormal de secoes locais.


Prova: Segue do lema anterior usando o processo de Gram-Schmidt em uma vizinhanca como uma base desecoes locais; como os coeficientes das novas bases obtidas sao funcoes racionais de produtos escalares dassecoes locais da base original, obtemos uma base diferenciavel ortonormal de secoes locais.

Note que em fibrado metrico E sobre M , a metrica do fibrado e uma possıvel metrica na variedade baseM sao independentes: um exemplo e o fibrado vetorial M × Rp+q, em que sempre podemos atribuir umametrica riemanniana na variedade base M e uma metrica de assinatura (p, q) nas fibras Rp+q.

19.1.1 Conexoes Compatıveis com a Metrica

Usaremos frequentemente o sımbolo 〈, 〉 para representar a metrica g de um fibrado. Segue da definicao quedadas duas secoes S1, S2 ∈ Γ (E), a funcao

p 7→⟨

(S1)p , (S2)p

⟩Ep

e uma funcao em C∞ (M).

19.4 Definicao. Dado um fibrado metrico E, uma conexao ∇ em E e compatıvel com a metrica (ou ∇e uma conexao metrica) se

d 〈S1, S2〉 = 〈∇S1, S2〉+ 〈S1,∇S2〉

para todas as secoes S1, S2 ∈ Γ (E).

Esta condicao e equivalente aX 〈S1, S2〉 = 〈∇XS1, S2〉+ 〈S1,∇XS2〉

para todo X ∈ Γ (TM) e para todas S1, S2 ∈ Γ (E).

19.5 Proposicao. Seja E um fibrado metrico com metrica g. Entao uma conexao ∇ e compatıvel com a

metrica g se e somente se a conexao induzida ∇ no fibrado vetorial∨2

E∗ (onde usamos a mesma notacao

para simplificar) satisfaz∇g = 0.

Prova: Para qualquer ω ∈ Γ

(∨2E∗)⊂ Γ (E∗) ⊗ Γ (E∗) ∼= Γ (E∗ ⊗ E∗), a conexao induzida satisfaz a

regra do produto

X (ω (S1, S2)) = (∇Xω) (S1, S2) + ω (S1,∇XS2) + ω (∇XS1, S2) ,

vendo ω (S1, S2) como uma funcao em C∞ (M) definindo [ω (S1, S2)] (p) = ωp

((S1)p , (S2)p

). Em particular,

para ω = g temosX 〈S1, S2〉 = (∇Xg) (S1, S2) + 〈∇XS1, S2〉+ 〈S1,∇XS2〉 .

Portanto, ∇∗g = 0 se e somente se

X 〈S1, S2〉 = 〈∇XS1, S2〉+ 〈S1,∇XS2〉 .


19.6 Proposicao. As matrizes de conexao e de curvatura de uma conexao compatıvel com a metrica emrelacao a um referencial ortonormal de secoes locais sao antissimetricas.


Prova: Temos

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji .

Como〈σi, σj〉 = δij ,

segue que

0 = d 〈σi, σj〉= 〈∇σi, σj〉+ 〈σi,∇σj〉

=

⟨m∑k=1

σk ⊗ ωki , σj

⟩+

⟨σi,

m∑k=1

σk ⊗ ωkj

⟩

=m∑k=1

ωki 〈σk, σj〉+

m∑k=1

ωkj 〈σi, σk〉

=

m∑k=1

ωki δjk +

m∑k=1

ωkj δik

= ωji + ωij .

Agora, pela equacao de estrutura e pelo resultado anterior

Ωij = dωij +

m∑k=1

ωik ∧ ωkj

= −dωji +

m∑k=1

ωki ∧ ωjk

= −dωji −m∑k=1

ωjk ∧ ωki

= −Ωji .

19.1.3 Produto Interno e Estrela de Hodge de E -Formas

Generalizamos o produto interno de formas diferenciais para E-formas da seguinte maneira.

19.7 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica M . O produto interno de duask-formas S ⊗ ω, T ⊗ η com valores em E e definido como sendo a funcao suave

〈S ⊗ ω, T ⊗ η〉 = 〈S, T 〉〈ω, η〉 .

Estendemos esta definicao bilinearmente para obter um produto exterior

〈, 〉 : Λk (M,E)× Λk (M,E) −→ C∞ (M) .


Em particular, se

ω =

m∑i=1

Si ⊗ ωi,

η =

m∑j=1

Tj ⊗ ηj ,

entao

〈ω,η〉 =

m∑i,j=1

〈Si, Tj〉⟨ωi, ηj

⟩.

19.8 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica orientada M . O produto internoL2 de duas k-formas com suporte compacto em M e definido por

〈ω,η〉L2 =

∫M

〈ω,η〉 d volg,

onde d volg e a forma elemento de volume induzida pela metrica em M .

19.9 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica M . O operador estrela deHodge para E-formas

∗ : Λk (M,E) −→ Λn−k (M,E)

e definido em geradores por∗ (S ⊗ ω) = S ⊗ ∗ω.

Assim, se

ω =

m∑i=1

Si ⊗ ωi,

entao

∗ω =

m∑i=1

Si ⊗ ∗ωi.

19.1.4 O Codiferencial Covariante de E -formas

A derivada exterior covariante de E-formas e um operador

d∇ : Λk (M,E) −→ Λk+1 (M,E) .

19.10 Definicao. Seja E um fibrado metrico de assinatura (p, q). O codiferential covariante e o operadorlinear

d∗∇ : Λk+1 (M,E) −→ Λk (M,E)

definido pord∗∇ω = (−1)

p+nk+1 ∗ d∇ ∗ ω.

19.11 Proposicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica orientada sem fronteira. Ocodiferencial e o operador adjunto formal da derivada exterior, no sentido que

〈d∇ω, η〉L2 = 〈ω, d∗∇η〉L2

para todos ω ∈ Λk (M,E) e η ∈ Λk+1 (M,E) de suporte compacto.


Prova. Veja [Hamilton], Theorem 7.2.12, p. 412.

19.12 Definicao. Definimos o laplaciano covariante como sendo o operador linear

∆ = d∇ d∗∇ + d∗∇ d∇.

Denotamos∆Hom = d∇Hom d∗∇Hom + d∗∇Hom d∇Hom .

19.2 G-Conexoes em G-Fibrados Vetoriais

Considere um G-fibrado vetorial, isto e, um fibrado cujas funcoes de transicao pertencem a um subgrupo deLie G ⊂ GLn (R).

19.13 Definicao. Seja E um G-fibrado vetorial. Entao uma conexao ∇ em E e uma G-conexao se suamatriz de conexao para qualquer carta do fibrado esta em g.

19.14 Definicao. Dada um fibrado trivial M × Rk, existe uma conexao trivial ∇0 definida por

∇0S = dS,

isto e, ω = 0 ou, equivalentemente, A = 0. Lembre-se que as secoes do fibrado trivial tem coordenadasdefinidas globalmente:

S = Siei

para uma base B = e1, . . . , ek de Rk. Esta conexao e chamada a conexao flat.

Embora em geral nao exista uma conexao flat ou conexao distinguida em um fibrado geral, podemosdefinir um conceito de G-conexao ∇ se em toda trivializacao local podemos escrever a conexao ∇ localmentecomo a soma de uma conexao flat local ∇0

α (ja que temos um fibrado trivial local Uα × Rk) e um tensorA que pode ser visto como um tensor tomando valores na algebra de Lie g do grupo de Lie G do fibrado.Lembre-se que ∇ − ∇0

α sempre sera um tensor, mas nao e claro que este tensor sempre tomara valores naalgebra de Lie; mas se isso acontece em uma trivializacao, vai acontecer em todas (Baez, p. 228; isso podeser visto globalmente, se entrarmos mais a fundo nos meritos de fibrados principais, o que ele nao faz la).Mais especificamente, em um G-fibrado vetorial E, todas as funcoes de transicao pertencem a G ⊂ GLn (R);uma conexao em E e uma G-conexao se todas as matrizas de conexao em qualquer referencial de secoes localpertencem a algebra de Lie de G.

19.2.1 Campos de Gauge

(Modern Geometric Structures and Fields, Novikov & Taimanov, p. 360):Seja U ⊂ Rn um aberto e Y : U −→ Rm um campo vetorial (ou seja, uma secao do fibrado vetorial trivial

U × Rk). A derivada covariante de X em coordenadas e dada por

∇iY := ∇∂iY =

∂iY k +

m∑j=1

Y jΓkij

ek

com os sımbolos de Christoffel sendo definidos por

∇∂i∂j =

n∑i=1

m∑j=1

Γkijek,


de modo queΓkij = (∇∂i∂j)

k.

Isso pode ser escrito na forma

∇iY =

∂iY k +

m∑j=1

ΓkijYj

ek

∇iY = ∂iY +AiY (19.1)

onde Ai e a matriz m×m com coeficientesAkij = Γkij . (19.2)

De fato, as funcoes com valores matriciais

Ai : U −→ GLm (R)

devem ser tensores, independentes da escolha de coordenadas, e tambem devem ser independentes de mu-dancas de base em Rm (equivariante).

19.15 Definicao. Seja G ⊂ GLm (R) um grupo agindo sobre Rm. Uma transformacao suave g : U −→ Gagindo sobre campos da forma

Yp 7→ g (p)Yp

e chamada uma transformacao de gauge do campo Y .Dizemos que Ai e um campo de gauge para o grupo G se as matrizes Ai estao na algebra de Lie g do

grupo G e se equivariancia e satisfeita, isto e, a derivada covariante comuta com transformacoes de gauge dogrupo G, ou seja,

∇i (g (p)Yp) = g (p)(

(∇iY )p

)para toda transformacao de gauge g.

Em notacao mais compacta,∇ (gY ) = g (∇Y ) .

19.16 Proposicao. A derivada covariante comuta com com transformacoes de gauge se e somente se oscoeficientes Ai da derivada covariante satisfazem

Ai (p) = g−1 (p)A′

ig (p) + g−1 (p) ∂ig (p)

ou, em notacao mais compacta,Ai = g−1A

′

ig + g−1∂ig.

Prova: Temos

∇i (gY ) = ∂i (gY ) +A′i (gY )

= g∂iY + (∂ig)Y + (A′ig)Y

e

g (∇iY ) = g (∂iY +AiY )

= g∂iY + gAiY.

Por equivariancia,g∂iY + gAiY = g∂iY + (∂ig)Y +A′i (gY ) ,

dondegAiY = (∂ig)Y + (A′ig)Y

e daıAiY = g−1 (∂ig)Y + g−1 (A′ig)Y,



19.3 Grupo de Transformacoes de Gauge

19.17 Definicao. Seja E um G-fibrado metrico. O grupo de transformacoes de gauge GE de E e oconjunto das secoes do fibrado Hom (E) que em cada ponto sao isomorfismos que preservam a metrica, istoe,

GE = F ∈ Γ (Hom (E)) : Fp : Ep −→ Ep e um isomorfismo ∀p ∈M e 〈Fp (Sp) , Fp (Sp)〉Ep = 〈Sp, Sp〉Ep.

Elementos de GE sao chamados de transformacoes de gauge.

Em outras palavras, F esta no grupo de gauge de E se F |Ep ∈ Op,q para todo p ∈ M . Considerando oisomorfismo Γ (Hom (E)) ∼= HomC∞(M) (Γ (E)) tambem podemos escrever⟨

F (S)p , F (S)p

⟩Ep

= 〈Sp, Sp〉Ep

para todo S ∈ Γ (E).Segue que (ver [Darling], p. 227) podemos considerar uma transformacao de gauge F como uma aplicacao

F : U −→ G.

Alem disso, se ∇ e uma conexao em E, entao F induz uma conexao ∇F em E definida por

∇FXS = F[∇X

(F−1 (S)

)],

ou seja, tal que o diagrama abaixo e comutativo:

Γ(E)

F

∇X // Γ(E)

F

Γ(E)

∇FX // Γ(E)

19.18 Proposicao. Se ∇ e uma G-conexao, entao ∇F tambem e uma G-conexao.

O proximo resultado mostra como a curvatura de uma G-conexao muda sob uma transformacao de gauge:

19.19 Proposicao. ValeRd∇F (S) = F

[Rd∇

(F−1 (S)

)].

Γ(E)

F

Rd∇FX,Y // Γ(E)

F

Γ(E)

Rd∇FX,Y // Γ(E)

Prova. Temos

Rd∇F (S) = d∇F (d∇F (S)) = d∇F(∇F (S)

)= d∇F

(F[∇(F−1 (S)

)])= d∇F

(F[d∇(F−1 (S)

)])= F

[∇(F−1

(F[d∇(F−1 (S)

)]))]= F

[d∇([d∇(F−1 (S)

)])]= F

[Rd∇

(F−1 (S)

)].


19.20 Proposicao. Se V,W sao espacos vetoriais com produto interno de assinatura (p, q), eles induzemum produto interno de assinatura (p, q) no espaco dos homomorfimos lineares Hom (V,W ) atraves da escolhade uma base ortonormal B = e1, . . . , em para V e definindo

〈F, F ′〉Hom(V,W ) =

m∑i=1

〈F (ei) , F′ (ei)〉W .

Este produto interno independe da base ortonormal usada.

Prova. Se

B = e1, . . . , em ,B′ = f1, . . . , fm ,

sao duas bases ortonormais para V , escrevendo

fi =

m∑j=1

gji ej ,

segue queg =

(gij)

e uma matriz ortogonal, pois

δij = 〈fi, fj〉 =

⟨m∑k=1

gki ek,

m∑l=1

gljel

⟩=

m∑k,l=1

gki glj 〈ek, el〉

=

m∑k,l=1

gki gljδkl =

m∑k=1

gki gkj

=

m∑k=1

(gT)ikgkj ,

de modo que ggT = I.Portanto,

m∑i=1

〈F (fi) , F′ (fi)〉W =

m∑i=1

⟨F

(m∑k=1

gki ek

), F ′

(m∑l=1

gliel

)⟩W

=

m∑k,l=1

m∑i=1

gki gli 〈F (ek) , F ′ (el)〉W

=

m∑k,l=1

δkl 〈F (ek) , F ′ (el)〉W

=

m∑k=1

〈F (ek) , F ′ (ek)〉W .

Portanto, se E e um fibrado metrico, entao a metrica de E induz uma metrica em Hom (E) da seguinte

forma: se σ1, . . . , σm e uma base ortonormal de secoes em p, entao

〈F, F ′〉Hom(Ep) :=

m∑i=1

〈F (σi) , F′ (σi)〉Ep .

Esta metrica nao depende da escolha da base ortonormal de secoes.


19.21 Proposicao. A norma da curvatura e um invariante de gauge, ou seja,∥∥∥R∇F ∥∥∥2

=∥∥∥R∇∥∥∥2

.

Prova. Seja F ∈ GE . Como F preserva a metrica, se σi e um referencial ortonormal se secoes, entaoF−1 (σi)

tambem e, logo∥∥Rd∇F ∥∥2

=⟨Rd∇F , Rd∇F

⟩Hom

=

m∑i=1

⟨Rd∇F (σi) , R

d∇F (σi)⟩Ep

=

m∑i=1

⟨F[Rd∇

(F−1 (σi)

)], F[Rd∇

(F−1 (σi)

)]⟩Ep

=m∑i=1

⟨Rd∇

(F−1 (σi)

), Rd∇

(F−1 (σi)

)⟩Ep

=⟨Rd∇ , Rd∇

⟩Hom

=∥∥Rd∇∥∥2

.

19.4 Teoria de Yang-Mills

19.4.1 O Funcional de Yang-Mills

19.22 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica orientada M . O funcional deYang-Mills (acao ou lagrangiano de Yang-Mills) e o funcional

S : G-conexoes em E −→ R

definido por

S (∇) =1

2

∫M

∥∥∥R∇∥∥∥2

d volg .

19.4.2 Conexoes de Yang-Mills e as Equacoes de Yang-Mills

19.23 Definicao. Dizemos que uma conexao em E e uma conexao de Yang-Mills se ela e um pontocrıtico do funcional de Yang-Mills.

19.24 Lema. Vale ⟨∆HomR∇,R∇

⟩L2

=∥∥∥d∗∇HomR

∇∥∥∥2

L2.

Prova. Temos, pela propriedade adjunta (Proposicao 19.11) e pela segunda identidade de Bianchi (Pro-


posicao 18.30),⟨∆HomR∇,R∇

⟩L2

=

∫M

⟨d∇Hom

(d∗∇HomR

∇)

+ d∗∇Hom

(d∇HomR∇

),R∇

⟩Hom(E)

d volg

=

∫M

⟨d∗∇HomR

∇, d∗∇HomR∇⟩

Hom(E)d volg +

∫M

⟨d∇HomR∇, d∇HomR∇

⟩Hom(E)

d volg

=

∫M

∥∥∥d∗∇HomR∇∥∥∥2

Hom(E)d volg

=∥∥∥d∗∇HomR

∇∥∥∥2

L2.

19.25 Teorema. As seguintes condicoes sao equivalente para que uma conexao ∇ seja uma conexao deYang-Mills:

(i)d∗∇HomR

∇ = 0.

(ii)∆HomR∇ = 0.

Prova. (i) Seja ∇ uma conexao. Obtemos uma variacao da conexao na direcao de uma 1-forma arbitrariafixada A ∈ Λ1 (M,Hom (E)) (isto e, uma curva passando por ∇ na direcao de A) definindo para cada t ∈ Ra conexao

∇t = ∇+ tA.

Pela Proposicao 18.37 segue qued∇1α = d∇2α+ tA [α.

Pela Proposicao 18.39 temosR∇t = R∇ + td∇HomA+ t2AfA.

Portanto, ∥∥∥R∇t∥∥∥2

=∥∥∥R∇∥∥∥2

+ 2t⟨R∇, d∇HomA

⟩Hom(E)

+O(t2).

Daı,

d

dtS (∇t)

∣∣∣∣t=0

= limt→0

S (∇t)− S (∇)

t

=1

2limt→0

∫M

∥∥∥R∇∥∥∥2

−∥∥∥R∇t∥∥∥2

td volg

=

∫M

⟨R∇, d∇HomA

⟩Hom(E)

d volg

=

∫M

⟨d∗∇HomR

∇,A⟩

Hom(E)d volg .

Concluımos qued

dtS (∇t)

∣∣∣∣t=0

= 0

para toda A ∈ Λ1 (M,Hom (E)), isto e, ∇ e uma conexao de Yang-Mills, se e somente se d∗∇HomR∇ = 0.

(ii) Pela segunda identidade de Bianchi (Proposicao 18.30),

d∇HomR∇ = 0.


Logo, d∗∇HomR∇ = 0 implica

∆HomR∇ = d∇Hom

(d∗∇HomR

∇)

+ d∗∇Hom

(d∇HomR∇

)= 0.

A reciprocamente segue imediatamente do lema. A primeira equacao do teorema anterior e a equacao de Yang-Mills; a segunda equacao diz que a curvaturade uma conexao de Yang-Mills e uma Hom (E)-forma harmonica.

Capıtulo 20

Fibrados Diferenciaveis e FibradosPrincipais

A fibra de um fibrado nao precisa ser um espaco vetorial. Em geral, ela pode ser um espaco qualquer quepode ou nao ter estruturas adicionais: topologicas, diferenciais, algebricas, geometricas ou de outra natureza.Consideraremos agora fibrados diferenciaveis em que a fibra e uma variedade diferenciavel fixa (a menos dedifeomorfismos), que pode ter uma estrutura algebrica ou geometrica alem da estrutura diferenciavel mascompatıvel com esta, tal como a estrutura de um grupo de Lie.

20.1 Definicao

20.1 Definicao. Um fibrado diferenciavel sobre uma variedade diferenciavel M com fibra tıpica F euma variedade diferenciavel E juntamente com uma aplicacao diferenciavel sobrejetiva π : E −→ M quesatisfaz as seguintes condicoes:

(i) Para cada p ∈M , a fibraEp = π−1 (p)

e uma variedade diferenciavel difeomorfa a F .(ii) Para cada p ∈M existe uma vizinhanca U de p em M e um difeomorfismo

ψ : π−1 (U) −→ U × F,

chamado uma carta do fibrado (ou trivializacao local), tal que se π1 : U × F −→ U e a projecao naprimeira coordenada, entao

π = π1 ψ,

isto e, o diagrama abaixo e comutativo:

π−1 (U)

π

ψ // U × F

pr1yy

U

O espaco E e chamado o espaco total do fibrado, M sua base e π sua projecao.

Segue diretamente da definicao (comutatividade do diagrama) que para cada carta do fibrado ψ a aplicacao

ψ|Ep : Ep −→ F

384


e um difeomorfismo, onde identificamos p × F com F , ou seja, ψ preserva fibras. Fibrados vetoriaisdiferenciaveis de posto m sao exemplos de fibrados diferenciaveis em que a fibra tıpica e o espaco vetorialRm e requeremos a condicao inicial que ψ|Ep preserva a estrutura linear adicional, isto e, e um isomorfismo.A colecao de cartas do fibrado

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm

e chamado um atlas para o fibrado, como no caso de fibrados vetoriais. Tambem como para fibradosvetoriais, um atlas para o fibrado em conjunto com um atlas para a variedade base M permite construir umatlas para a variedade total E.

Frequentemente omitiremos a palavra diferenciavel quando nos referirmos a um fibrado diferenciavel.

20.2 Proposicao. Seja E um fibrado diferenciavel sobre M com fibra F .Entao a projecao π e uma submersao e Ep e uma subvariedade mergulhada em E difeomorfa a F .

Prova: Sejaψ : π−1 (U) −→ U × F

uma carta do fibrado. Para cada (p, v) ∈ U × F a aplicacao linear

d (π1)(p,v) : T(p,v) (U × F ) −→ TpU = TpM

e sobrejetiva, logoπ1 : U × F −→ U

e uma submersao. Como ψ e um difeomorfismo e π1 ψ = π,

dπx = d (π1)(p,v) dψx

e sobrejetivo para todo x ∈ E e π tambem e uma submersao.Consequentemente, cada fibra de E e a imagem inversa de um valor regular da aplicacao diferenciavel

π, logo e uma variedade mergulhada de E. Para cada p ∈ U , ψ leva Ep difeomorficamente sobre p × F eπ2 : U × F −→ F e um difeomorfismo deste conjunto sobre F .

Quando fazemos uma mudanca de coordenadas passando para uma carta do fibrado diferente para omesmo ponto base, as coordenadas na fibra Ep mudam atraves de um difeomorfismo da fibra F :

20.3 Proposicao. Seja E um fibrado diferenciavel com fibra F .Sejam

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × F,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × F,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅. Entao existe uma aplicacao

gαβ : Uαβ −→ Difeo (F )

tal que a mudanca de coordenadas de cartas do fibrado

ψα ψ−1β : Uαβ × F −→ Uαβ × F


β

)(p, x) =

(p, (gαβ)p (x)

).

Mais precisamente, a funcao de transicao gαβ e definida por

(gαβ)p = ψα|Ep (ψβ |Ep

)−1

.


Prova: A demonstracao e completamente analoga a demonstracao da Proposicao 16.4, trocando a fibra Rmpela fibra F e isomorfismos por difeomorfismos. No caso de fibrados vetoriais, as funcoes de transicao sao aplicacoes gαβ : Uαβ −→ GLn (R). Como GLn (R)e um grupo de Lie, em particular uma variedade diferenciavel, faz sentido falar em aplicacoes diferenciaveise de fato provamos na Proposicao 16.4 que as funcoes de transicao de fibrados vetoriais sao diferenciaveis.O problema e que nao podemos dizer no caso de fibrados diferenciaveis gerais que a funcao de transicao

gαβ : Uαβ −→ Difeo (F )

e uma aplicacao diferenciavel entre variedades, pois o grupo de difeomorfismos Difeo (F ) de uma variedadediferenciavel F em geral nao e uma variedade diferenciavel, nem mesmo uma variedade diferenciavel dedimensao infinita (isso ocorre comumente quando a fibra tıpica nao e compacta). De qualquer forma, nagrande maioria das aplicacoes em geometria e topologia diferencial e nas aplicacoes fısicas (teorias de gauge),as funcoes transicoes tem imagem em um subgrupo de Difeo (F ) que e um grupo de Lie de dimensao finita.

20.2 G-Fibrados ou Fibrados com Grupo Estrutural G

Pelo fato do grupo de difeomorfismos Difeo (F ) ser muito grande ou nao ter estrutura diferenciavel, restrin-gimos as funcoes de transicao gαβ da Proposicao 20.3 a um subgrupo G de Difeo (F ) que seja um grupo deLie. Isso leva ao conceito mais util de G-fibrado ou fibrado com grupo estrutural G.

Lembramos que uma acao a esquerda de um grupo de Lie G em uma variedade F e uma aplicacaodiferenciavel

τ : G× F −→ F

tal que

τ (e, x) = x,

τ (gh, x) = τ (g, τ (h, x)) ,

para todo x ∈ F ; em geral o sımbolo τ que denota a acao e omitido e escreve-se simplesmente

G× F −→ F(g, x) 7−→ g · x

e

e · x = x,

(gh) · x = g · (hx) .

A acao do grupo de Lie G na variedade F e equivalente a um homomorfismo de grupos (representacao)

ρ : G −→ Difeo (F )

que associa a cada g ∈ G o difeomorfismo ρg : F −→ F tal que

ρg (x) = g · x,

isto e, a transformacao difeomorfica de F pela acao do elemento g (a inversa de ρg sendo ρg−1). Vamosrequerer que a acao seja efetiva isto e, que a acao ρ : G −→ Difeo (F ) seja injetiva (em outras palavras, quea representacao seja fiel). Neste caso G e exatamente um subgrupo de difeomorfismos de F e podemos usarg ao inves de ρg.


20.4 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo efetivamente sobre uma variedade diferenciavel F , com aacao dada pelo homomorfismo injetivo ρ : G −→ Difeo (F ).

Duas cartas de um fibrado E sobre M com fibra F

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × F,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × F,

sao G-compatıveis se para cada p ∈ Uα∩Uβ vale gαβ (p) = ρg (p) para algum g ∈ G e a funcao de transicaogαβ e uma aplicacao diferenciavel

gαβ : Uα ∩ Uβ −→ G.

Em outras palavras, se duas cartas sao G-compatıveis, para cada p ∈ Uα∩Uβ o difeomorfismo da fibra gαβ (p)e uma acao sobre a fibra de um elemento g do grupo de Lie G, ou seja, e um elemento de ρ (G) ⊂ Difeo (F ).Assim, usando esta identificacao dizemos que a funcao de transicao gαβ e um elemento do grupo de Lie G.Estritamente falando, a G-compatibilidade de cartas e fixada nao apenas pelo grupo G, mas tambem pelaacao ρ de G em F ; para nao carregar a notacao, a acao ρ em geral nao e especificada, sendo subentendida.Assim, podemos escrever a acao da funcao de transicao atraves da acao do grupo de Lie:

gαβ (p) · x = ρ (gαβ (p)) (x) .

20.5 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo efetivamente sobre uma variedade diferenciavel F .Um G-fibrado (ou um fibrado com grupo estrutural G) e um fibrado diferenciavel E sobre M com

fibra F que possui um atlas com cartas ψα tais que cada difeomorfismo ψα|Ep e um elemento de G e duascartas quaisquer sao sempre G-compatıveis.

Intuitivamente falando, o proposito do grupo G e especificar como a fibra F se torce quando o ponto base semove ao longo do espaco base M (isto e, como Ep se torce quando p varia). Por exemplo, o grupo estruturalda faixa de Mobius vista como um G-fibrado sobre o cırculo S1 com fibra (−1, 1) e Z2; a acao de Z2 sobre ointervalo (−1, 1) e formada pela identidade e pela reflexao em torno do ponto medio do intervalo. O mesmovale para a garrafa de Klein, exceto que a fibra e S1.

A nocao de G-estrutura para fibrados generaliza a nocao de grupo de simetria de um espaco vetorialV ou uma variedade diferenciavel M dotadas de uma estrutura geometrica (uma metrica riemanniana oulorentziana, ou uma estrutura simpletica). O conjunto de difeomorfismos de V ou M que preservam aestrutura geometrica, que e o grupo de simetria da estrutura, e um grupo de Lie que age diferenciavelmentesobre M .

Um subgrupo H de G pode ser escolhido como um grupo estrutural para o fibrado. Isso restringe asfuncoes de transicoes admissıveis ainda mais (isto e, as funcoes de transicao H-compatıveis), por isso esteprocesso e chamado reducao do grupo do fibrado.

20.6 Teorema (Construcao de Fibrados a partir das Funcoes de Transicao satisfazendo asCondicoes de Cociclo). Sejam M e F variedades diferenciaveis, G um grupo de Lie agindo efetivamentesobre F e Uαα∈A uma cobertura aberta de M .

DenotandoUαβ = Uα ∩ Uβ se Uα ∩ Uβ 6= ∅,Uαβγ = Uα ∩ Uβ ∩ Uγ se Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅,

suponha que a famılia de aplicacoes diferenciaveis

Φ = gαβ : Uαβ −→ Gα,β∈A

satisfaz a condicao de cociclogαβgβγ = gαγ (20.1)



gαα = id,

gαβgβγgγα = id,

sempre que Uαβγ 6= ∅ para todos os ındices α, β, γ ∈ A.Entao existe um G-fibrado E sobre M com fibra F cujas funcoes de transicao sao as funcoes gαβ.

Prova: A demonstracao e completamente analoga a da Proposicao 16.7. Nem todos os fibrados diferenciaveis sao G-fibrados; para exemplos veja a referencia em [Poor], inıcio da

pagina 4.

20.3 Exemplos

20.4 Morfismos de Fibrados

20.7 Definicao. Um fibrado diferenciavel e trivial se existe uma trivializacao global que e um difeomorfismo

ϕ : E −→M × F.

Denotaremos o fibrado trivial padraoπ : M × F −→ F

porEFM .

Alem dos exemplos considerados na introducao deste capıtulo, um importante exemplo consiste dos espacosde recobrimento, que sao fibrados cujas fibras sao espacos topologicos discretos.

Dois fibrados sao equivalentes se, alem deles serem homeomorfos, eles homeomorficamente levam fibrasem fibras, o que pode ser resumido na definicao a seguir:

20.8 Definicao. Dois fibrados sobre B

π : E −→M,

π′ : E′ −→M,

sao isomorfos se existe um homeomorfismo h : E −→ E′ tal que o diagrama abaixo e comutativo:

E

π

h // E′

π′~~M

Segue da definicao que h preserva fibras

h(

(π′)−1

(p))

= π−1 (p) ,

ou seja, a fibra Ep e levada homeomorficamente na fibra E′p atraves de h.Vamos determinar agora quando dois atlas definem dois fibrados isomorfos.


20.9 Teorema (Determinacao de Isomorfismo de Fibrados a partir das Funcoes de Transicao).Sejam B e F espacos topologicos, Uαα∈A uma cobertura aberta de B e

Φ = ϕαβ : Uαβ × F −→ Uαβ × Fα,β∈A ,

Φ′ =ϕ′αβ : Uαβ × F −→ Uαβ × F

α,β∈A ,

dois sistemas de funcoes de transicao.Elas determinam fibrados isomorfos se e somente se existem homeomorfismos que preservam fibras

hα : Uα × F −→ Uα × F

tais queϕ′αβ = hαϕαβh

−1β .

Prova: Sejam E,E′ os fibrados determinados por Φ,Φ′ segundo a construcao do teorema anterior, comatlases ϕα , ϕ′α, respectivamente.

Suponha em primeiro lugar que E,E′ sao isomorfos, de modo que existe um homeomorfismo h : E −→ E′

que preserva fibras. Definahα = ϕ′αhϕ

−1α .

Como h e as cartas preservam fibras, hα tambem preserva. Alem disso

hαϕαβh−1β =

(ϕ′αhϕ

−1α

)ϕαβ

(ϕ′βhϕ

−1β

)−1

=(ϕ′αhϕ

−1α

) (ϕαϕ

−1β

) [ϕβh

−1(ϕ′β)−1]

= ϕ′α(ϕ′β)−1

= ϕ′αβ .

Reciprocamente, suponha dadas os homeomorfimos hα satisfazendo as condicoes do enunciado. Definah : E −→ E′ por

h = (ϕ′α)−1hαϕα.

Basta provar que h esta bem definido, pois entao decorrera imediatamente que h e um homeomorfismo quepreserva fibras. E, de fato,

(ϕ′α)−1hαϕα =

(ϕ′β)−1

ϕ′β

[(ϕ′α)

−1hαϕα

] (ϕ−1β ϕβ

)=(ϕ′β)−1

[ϕ′β (ϕ′α)

−1]hα

(ϕαϕ

−1β

)ϕβ

=(ϕ′β)−1 [

ϕ′βαhαϕαβ]ϕβ

=(ϕ′β)−1 [

hβϕβαh−1α hαϕαβ

]ϕβ

=(ϕ′β)−1

hβϕβ .

20.5 Secoes Locais e Globais

20.10 Definicao. Se π : E −→ M e um fibrado, uma secao global de E e uma aplicacao diferenciavelσ : M −→ E tal que π σ = idM .

Uma secao local de E e uma aplicacao σ : U −→ E definida em um aberto de M tal que π σ = idU .

No caso de fibrados gerais, o conjunto de secoes Γ (E) nao tem uma estrutura natural de R-espaco vetorial,muito menos de C∞ (M)-modulo. Enquanto que em um fibrado vetorial sempre existe uma secao global, asecao nula, isso nao e verdade em um fibrado geral.


20.6 Fibrados Principais

20.11 Definicao. Um G-fibrado principal e um G-fibrado P em que a fibra tıpica F e o grupo G, ondea acao considerada de G sobre si proprio e a multiplicacao a esquerda.

O nome se deve ao fato que todo os G-fibrados podem ser obtidos a partir de um G-fibrado principal atravesda construcao de um fibrado associado, como veremos. Reciprocamente, fibrados principais podem serobtidos de fibrados vetoriais (as vezes apenas quando estes sao munidos de uma estrutura adicional) atravesda construcao do fibrado de referenciais.

Um fibrado principal P com fibra G permite definir uma acao a direita de G sobre o espaco total Pque age livre e transitivamente sobre as fibras de P (diferente da acao a esquerda de G sobre a fibra tıpicaF ) da seguinte maneira: um elemento da fibra sobre p e um essencialmente um elemento da forma (p, h)para algum h ∈ G, via uma carta de fibrado, e simplesmente definimos

(p, h) · g := (p, hg)

via a mesma carta do fibrado. Mostramos a seguir que isto realmente define uma acao nas fibras de P ,independentemente da carta de fibrado utilizada, e algumas propriedades desta acao.

20.12 Proposicao. Seja P um G-fibrado principal. Se z ∈ π−1 (p), seja (ψ,U) uma carta de fibrado comp ∈ U e

ψ (z) = (p, h) .

Dado g ∈ G, definimosz · g := ψ−1 (p, hg) . (20.2)

Esta e uma acao a direita em P que age livre e transitivamente sobre as fibras de P e nao depende da cartado fibrado escolhida.

Consequentemente, a variedade diferenciavel P/G esta definida e e difeomorfa a M .

Prova: Para verificar a independencia em relacao a carta de fibrado escolhida, seja p ∈ Uα ∩ Uβ e

ψα (z) = (p, hα) ,

ψβ (z) = (p, hβ) .

Por definicao de funcao de transicao para fibrados principais, em que o difeomorfismo e multiplicacao aesquerda, temos (

ψα ψ−1β

)(p, g) =

(p, (gαβ)p g

).

Em particular, (ψα ψ−1

β

)(p, hβ) =

(p, (gαβ)p hβ

)= (p, hα) ,

de modo que (omitindo o ponto p da notacao)

hα = gαβhβ . (20.3)

Daı,

ψ−1α (p, hαg) = ψ−1

α

(p, (gαβ)p (hαg)

)= ψ−1

β

(p, (gβα)p (hαg)

)= ψ−1

β

(p,(

(gβα)p hα

)g)

= ψ−1β (p, hβg) ,


de modo que(p, hα) · g = (p, hβ) · g.

Para ver que esta e uma acao, por definicao temos que se

ψα (z) = (p, h)

entaoψα (z · g1) = (p, hg1) ,

de modo que, por definicao,

ψα ((z · g1) · g2) = (p, (hg1) g2)

= (p, h (g1g2))

= ψα (z · g1g2) .

O fato da acao nao depender da carta escolhida implica em particular que ela e livre (isto e, se g 6= e, entaoz · g 6= z) e transitividade nas fibras (isto e, para todos z, w ∈ Ep existe g ∈ G tal que w = z · g) segue datransitividade da multiplicacao de grupo.

Observe que se tambem definirmos a acao a direita de G em Uα ×G por

(p, h) · g = (p, hg) ,

entao segue imediatamente da definicao que

ψα (z · g) = ψα (z) · g,

o que implica que as cartas do fibrado sao equivariantes (isto e, as cartas do fibrado sao homomorfismoscom respeito a acao do grupo, por isso tambem chamadas G-homomorfismos). Esta propriedade e usadaequivalentemente para definir fibrados principais (por exemplo em [Spivak] vol. 2, p. 346; uma demonstracaodesta equivalencia e mais detalhes podem ser vistos em [Gallier-Quaintance], Proposition 28.16, p. 1065 eem [Forger-Antoneli], p. 103).

Todo fibrado vetorial possui uma secao global (a secao nula). Um fibrado principal possui uma secaoglobal se e somente se ele e um fibrado trivial (para uma demonstracao, veja [Gallier-Quaintance], Proposition28.19, p. 1068). No entanto, em cada vizinhanca trivilizavel podemos definir a secao identidade:

σα (p) = ψ−1α (p, e) .

20.13 Teorema. Sejam G um grupo de Lie, Pπ−→M uma aplicacao sobrejetiva diferenciavel e uma acao

a direita diferenciavel P ×G −→ G de G sobre P . Entao P e um G-fibrado principal se e somente se valemas seguintes condicoes:

(i) a acao de G preserva fibras e e transitiva nelas;(ii) existe uma cobertura aberta Uα de M juntamente com secoes locais σα : Uα −→ P .

Prova: Se (P, π,M,G) e um fibrado principal, entao escolha um atlas equivariante (ψα, Uα) para P com

ψα : P |Uα −→ Uα ×G.

Ja vimos que a acao nas fibras e livre; as secoes locais sao as secoes identidade, isto e,

σα (p) = ψ−1α (p, e) .

A recıproca segue da Proposicao 21.31 no proximo capıtulo.


20.7 Isomorfismos de Fibrados Principais

A principal caracterıstica de um G-fibrado principal e o fato do grupo de Lie G agir sobre as fibras dofibrado de maneira transitiva. Dois fibrados principais serao equivalentes se nao apenas eles forem isomorfosdo ponto de vista de fibrados (isto e, os espacos base e total sao difeomorfos e fibras sao levadas em fibras),mas tambem se esta acao for preservada; ou seja, consideramos um morfismo na categoria de fibradosprincipais. Em linguagem formal:


(P, π,M,G) ,

(P ′, π′,M,G) ,

G-fibrados principais sobre a mesma variedade base M . Um homomorfismo de P para P ′ (homomorfismode G-fibrados principais) e uma aplicacao diferencial

F : P −→ P ′

que e G-equivariante, isto e,F (p · g) = F (p) · g.

Se F e um difeomorfismo, entao dizemos que P e P ′ sao isomorfos.

Mais geralmente:


(P, π,M,G) ,

(P ′, π′,M,G′) ,

fibrados principais sobre a mesma variedade base M e φ : G −→ G′ um homomorfismo de grupos de Lie (i.e.,um homomorfismo diferenciavel). Um homomorfismo de P para P ′ (homomorfismo de fibrados principais)e uma aplicacao diferencial

F : P −→ P ′

que e φ-equivariante, isto e,F (z · g) = F (z) · φ (g) .

Se φ e um isomorfismo e F e um difeomorfismo, entao dizemos que P e P ′ sao isomorfos.Se φ e um mergulho, entao dizemos que F (P ) e um G-subfibrado de P ′ e F e uma G-reducao.

20.8 Gauges

Secoes de fibrados principais sao tambem chamadas gauges (calibres). O motivo para isso e que a cadasecao local de um fibrado principal, isto e, a cada gauge, corresponde uma carta do fibrado:

20.16 Proposicao. Seja P um G-fibrado principal e s : U −→ P um gauge local. Entao a aplicacao

ψ : U ×G −→ P |U

definida porψ (p, g) = s (p) · g

e um difeomorfismo equivariante e sua inversa e uma carta de fibrado (uma trivializacao).

Capıtulo 21

Conexoes e Curvatura em FibradosPrincipais

21.1 A Interpretacao Geometrica da Conexao

Como vimos na introducao ao conceito da derivada de Lie, quando quisemos definir um conceito de derivadade campos (Capıtulo 3), embora um campo vetorial diferenciavel seja uma secao diferenciavel do fibradotangente

X : M −→ TM

e em princıpio fosse possıvel definir a derivada do campo X como a diferencial

dX : TM −→ T (TM) ,

esta seria uma nocao tecnicamente complicada, inutil para a maioria das aplicacoes (por exemplo, em geo-metria riemanniana), ja que a derivada de um campo em M nao seria um campo em M . Depois de perceberque a derivada de Lie ainda nao e uma generalizacao perfeita do conceito de derivada direcional de camposem RN para campos em variedades, introduzimos o conceito de conexao no fibrado tangente no sentido deKoszul no Capıtulo 4 para obter a nocao de derivada covariante, que alem de ser a generalizacao perfeita, etambem uma generalizacao simples.

Para entender melhor a nocao de conexao em fibrados diferenciaveis, retornamos a visao de um campovetorial como uma secao do fibrado tangente. Historicamente, a solucao do problema de definir a derivadadesta secao levou a varias definicoes de conexao, principalmente a resolucao algebrica do problema parafibrados vetoriais via a conexao de Koszul, vista no Capıtulo 14, e a resolucao geometrica do problema viaa conexao de Ehresmann, que esclarece o que esta por tras deste conceito. A discussao a seguir e inspiradade [Dodson-Poston], pp. 212-220.

O principal problema da diferencial

(dX)p : TMp −→ T (TM)Xp

e que para v ∈ TMp o vetor (dX)p (v) nao esta no espaco tangente a M em p, mas sim no espaco tangentea TM em Xp:

393


ComodimT (TM)Xp = 2 dimTMp,

podemos decompor T (TM)Xp como a soma direta de dois subespacos n-dimensionais: cada vetor de

TXp (TM) se escreve de maneira unica como a soma de uma componente “vertical” na direcao da fibra(tangente a fibra), que e isomorfa a TpM , e uma componente “horizontal”, “paralela” a M (aqui, visualizaro difeomorfismo TS1 como o cilindro S1 × R ajuda: cada espaco tangente ao cırculo e uma fibra vertical docilindro; mas localmente isso pode ser visto na ilustracao acima tambem). Lembre-se que localmente cadaponto de um aberto trivializavel do fibrado tangente e a imagem de (p, v) atraves da carta (p, dϕp (v)), demodo que a primeira variavel da carta e essencialmente um ponto da variedade. Usando a projecao natural

π : TM −→M

podemos ver que a componente horizontal de (dX)p (v) e essencialmente v: pela regra da cadeia,

dπXp

((dX)p (v)

)= d (π X)p (v) = d (idM )p v = v.

A aplicacao π e uma submersao que envia o espaco tangente 2n-dimensional T (TM)Xp no espaco tangenten-dimensional TMp. O subespaco horizontal e levado injetivamente em TMp, enquanto que o subespacovertical (esencialmente a fibra sobre p) e o nucleo da diferencial dπp. Assim a projecao natural π induz umaprojecao natural dos espacos vetoriais

dπ(p,v) : T (TM)(p,v) −→ TMp

de modo que o espaco tangente T (TM)(p,v) se decompoe como soma direta

T (TM)(p,v) = ker dπ(p,v) ⊕H

e a componente horizontal pode ser escolhida livremente. Escolher um subespaco H que e levado isomorfica-mente em TMp equivale a escrever a derivada de um campo X (isto e, a componente horizontal de (dX)p (v))


como um campo na variedade (isto e, escrever (dX)p (v) como um vetor de TMp) Cada escolha do subespacoH (variando diferenciavelmente com p) corresponde a escolha de uma conexao no fibrado tangente.

Para tornar estas nocoes mais precisas e aplica-las em fibrados diferenciaveis mais gerais, precisamosgeneralizar as ideias discutidas acimas para estes.

21.2 Fibrado Vertical

21.2.1 Subfibrados Vetoriais

21.1 Definicao. Seja Eπ−→M um fibrado vetorial diferenciavel de posto m. Dizemos que D

π′−→M e umsubfibrado vetorial diferenciavel de E de posto k se ele e um fibrado vetorial tal que

(i) D e uma subvariedade de E;(ii) π′ = π|D;

(iii) para cada p ∈M , Dp = (π′)−1

(p) e um subespaco vetorial de dimensao k da fibra Ep = π−1 (p).

21.2 Definicao. Uma distribuicao em uma variedade M e um subfibrado vetorial diferenciavel do fibradotangente TM .

Em outras palavras, se D e uma distribuicao, para cada ponto p ∈M , Dp e um subespaco vetorial de TMp,Dp dependendo diferenciavelmente de p, no sentido dado pelo resultado a seguir:

21.3 Proposicao. Seja Eπ−→ M um fibrado vetorial diferenciavel de posto m e uma correspondencia que

associa a cada p ∈M um subespaco vetorial Dp ⊂ Ep de dimensao k. Entao

D =⋃p∈M

Dp ⊂ E

e um subfibrado vetorial de E se e somente se para cada p ∈M existe uma vizinhanca U 3 p e secoes locaisdiferenciaveis

σ1, . . . , σk ∈ Γ (E|U )

tais que σ1 (q) , . . . , σk (q) e uma base para Dq para cada q ∈ U .

Prova: Se D e um subfibrado vetorial diferenciavel de E de posto k e τ1, . . . , τk ∈ Γ (D|U ) formam umabase de secoes locais, basta tomar σi = ı τi, onde ı : D → E e a inclusao.

Reciprocamente, mostramos primeiro que D e uma subvariedade de E. Para isso, basta mostrar quecada p ∈ M tem uma vizinhanca V tal que D ∩ π−1 (V ) e uma subvariedade de π−1 (V ) ⊂ E. Sejamσ1, . . . , σk ⊂ Γ (E|U ) uma base de secoes locais de E sobre uma vizinhanca U de p para Dq para todoq ∈ U . Diminuindo U para uma vizinhanca V se necessario, podemos completar esta base ate uma basede secoes locais σ1, . . . , σk, σk+1, . . . , σm ⊂ Γ (E|V ) para Eq para cada q ∈ V (Corolario 16.15). PelaProposicao 16.14, esta base de secoes locais esta associada a uma carta de fibrado ψ : π−1 (V ) −→ V ×Rm,isto e,

σi (q) = ψ−1 (q, ei)

para i = 1, . . . ,m. O difeomorfismo ψ leva D ∩ π−1 (V ) no subconjunto U × Rk atraves da identificacao deRk com o subespaco xk+1 = . . . = xm = 0 de Rm:

ψ

(k∑i=1

Siσi (q)

)=

(q,

k∑i=1

Siei

).

Em particular, D ∩ π−1 (V ) e aberto e D e portanto uma subvariedade de E. A aplicacao

ψ = πk ψ,


onde πk : Rm −→ Rk e a projecao padrao, e uma carta de fibrado, logo obtemos um atlas para D e este eportanto um subespaco vetorial diferenciavel. De agora em diante, quando nos referirmos a subfibrados vetoriais, estara subentendido que eles sao dife-renciaveis.

21.2.2 O Fibrado Vertical

Se Eπ−→M e um fibrado diferenciavel, como π e uma submersao, para cada ponto p ∈M a fibra Ep = π−1 (p)

e uma subvariedade de E. Isso nos leva a seguinte definicao:

21.4 Definicao. Seja Eπ−→ M um fibrado diferenciavel. Para cada ponto p ∈ M considere a fibra

Ep = π−1 (p) e seja z ∈ Ep um elemento da fibra. O espaco tangente vertical V Ez a variedade E noponto z e o espaco tangente T (Ep)z a fibra Ep considerada como subvariedade de E no ponto z.

O conjunto de todos os espacos tangentes verticais

V E =⊔z∈E

V Ez

forma um subfibrado vetorial de TE, chamado o fibrado vertical de E.

Note que V E e um fibrado vetorial sobre o espaco total E, assim como TE.

21.5 Proposicao. Seja Eπ−→M um fibrado diferenciavel. Entao

V Ez = ker dπz.

V E tem posto igual a dimensao da fibra de E.

Prova: Dado Xz ∈ V Ep = T (Ep)z, por definicao Xz e um vetor tangente a uma curva inteiramente contidana fibra Ep, que e totalmente projetada no ponto p. Consequentemente,

dπz (Xz) = 0,

dondeV Ez ⊂ ker dπz.

Como π e uma submersao de modo que dπz e sobrejetiva, segue do teorema do nucleo e da imagem (ondedenotamos por F a fibra tıpica de E),

dim ker dπz = dimE − dimM

= dimF

= dimT (Ep)z ,

logo V Ez = ker dπz.

21.6 Definicao. Seja E −→M um fibrado diferenciavel. Um espaco tangente horizontal a variedade Eno ponto z e um subespaco complementar ao espaco tangente vertical em TEz, isto e, um subespaco HEzde TEz tal que

TEz = V Ez ⊕HEz.

Note que um espaco tangente horizontal nao esta definido de forma unica.

21.7 Proposicao. Seja Eπ−→M um fibrado diferenciavel e z = π1 (p). Entao

dπz : HEz −→ TMp

e um isomorfismo linear.

Prova: Segue imediatamente da Proposicao 21.5.


21.3 Campos Vetoriais Fundamentais

Suponha que um grupo de Lie G age a direita em uma variedade diferenciavel M . Esta acao corresponde aum homomorfismo

φ : G −→ Difeo (M)

que deveria ser diferenciavel, se nao fosse pelo problema ja apontado no capıtulo anterior que Difeo (M) emgeral nao e uma variedade diferenciavel, nem mesmo de dimensao infinita. Agora nos indagamos se estaaplicacao induz um homomorfismo no nıvel de algebras de Lie

φ∗ : g −→?

O que seria a algebra de Lie de Difeo (M)?Recorde a aplicacao exponencial

exp : g −→ G,

onde para cada Xe ∈ g, se φX : R × G −→ G denota o fluxo do campo vetorial invariante a esquerda Xextensao de Xe, entao

exp (Xe) = φX (1, e) ,

isto e, exp (Xe) e o valor da curva integral do campo X passando pela identidade e do grupo de Lie (ou seja,com velocidade Xe) em t = 1. Como mudar a escala do parametro muda correspondentemente a escala dovetor tangente, temos

exp (tXe) = φtX (1, e) = φX (t, e) .

Pode-se provar queφX (t, g) = g exp (tXe) = Rexp(tXe) (g) = Lg (exp (tXe)) .

Alem disso,d (exp)0 = id,

de modo que exp e um difeomorfismo sobre sua imagem em uma vizinhanca da origem de g.Agora, para cada Xe ∈ g considere que para cada p ∈M temos uma curva em Difeo (M) definida por

γp (t) = p · exp (tXe) .

Denote o campo induzido pelo vetor Xe e pela aplicacao exponencial por

Xp = γ′p (0) .

Como T (M) e uma algebra de Lie atraves do colchete de Lie de campos, temos portanto uma aplicacao entrealgebras de Lie

φ∗ : g −→ T (M)

que, como veremos mais adiante, e um homomorfismo entre algebras de Lie.

21.8 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo a direita em uma variedade diferenciavel M . Para cadaXe ∈ g definimos o campo fundamental X ∈ T (M) da acao por

Xp =d

dt[p · exp (tXe)]

∣∣∣∣t=0

ou, equivalentemente, seφp : G −→ M

g 7→ p · gdenota a aplicacao orbita,

Xp = d (φp)e (Xe) .


O nome campo fundamental da acao vem do fato que ele permite visualizar a acao de G sobre a variedadeM : em cada ponto p de M ele da a direcao dos possıveis movimentos no ponto atraves da acao, permitindopor exemplo determinar a forma da orbita na vizinhanca de p. No caso de acoes a esquerda, a definicao esemelhante, mas com sinal contrario (para que o resultado da Proposicao 21.12 valha; veja comentario 3.4.5em [Hamilton], p. 145):

21.9 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo a esquerda em uma variedade diferenciavel M . Para cadaXe ∈ g definimos o campo fundamental X ∈ T (M) por

Xp =d

dt[exp (−tXe) · p]

∣∣∣∣t=0

ou, equivalentemente, seφ′p : G −→ M

g 7→ g−1 · p

denota a aplicacao orbita inversa,Xp = d (φp)e (Xe) .

21.10 Lema. Dado Xe ∈ g, seja X a extensao invariante a esquerda de Xe. Entao

Xφp(g) = d (φp)g (Xg)

para todo g ∈ G.

Prova: Como X e invariante a esquerda, temos pela regra da cadeia

d (φp)g (Xg) = d (φp)g d (Lg)eXe

= d (φp)g d (Lg)ed

dtexp (tXe)

∣∣∣∣t=0

=d

dt[φp Lg exp (tXe)]

∣∣∣∣t=0

=d

dt[p · (g exp (tXe))]

∣∣∣∣t=0

=d

dt[(p · g) · exp (tXe)]

∣∣∣∣t=0

= Xp·g

= Xφp(g).

21.11 Lema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. SejamX,Y ∈ T (M) e X ′, Y ′ ∈ T (N) campos vetoriais tais que

X ′F (p) = dFp (Xp) ,

Y ′F (p) = dFp (Yp) .

Entao[X ′, Y ′]F (p) = dFp [X,Y ]p .


Prova: Para todo f ∈ C∞ (M) temos, pela Proposicao 4.4,

[X ′, Y ′]F (p) (f) = X ′F (p) (Y ′f)− Y ′F (p) (X ′f)

= dFp (Xp) (Y ′f)− dFp (Yp) (X ′f)

= Xp (Y ′f F )− Yp (X ′f F )

= Xp (Y (f F ))− Yp (X (f F ))

= [Xp (Y f)− Yp (Xf)] F= [X,Y ]p (f) F= dFp [X,Y ]p (f) .

21.12 Proposicao. A aplicacao linearφ∗ : g −→ T (M)

definida porφ∗ (Xe) = X

e um homomorfismo entre algebras de Lie, isto e,

[Xe, Ye] =[X,Y

].

Em particular, o conjunto de campos fundamentais e uma subalgebra de Lie de T (M).

Prova: Provamos para acoes a direita, ja que a demonstracao do resultado para acoes a direita e analogo.Por definicao, se X,Y sao as extensoes invariantes a esquerda de Xe, Ye, temos

[Xe, Ye] = [X,Y ]e ,

de modo que[Xe, Ye]p = d (φp)e [X,Y ]e .

Como φp (e) = e temos [X,Y

]e

=[X,Y

]φp(e)

,

e pelo Lema 21.11 basta provar que

Xφp(g) = d (φp)g (Xg) ,

Y φp(g) = d (φp)g (Yg) .

para todo g ∈ G. Mas isso segue do Lema 21.10.

21.13 Proposicao. Se a acao e livre, entao a aplicacao linear

φ∗ : g −→ T (M)

e injetiva.

Prova: Veja [Hamilton], Proposition 3.4.3, p. 144.

21.14 Proposicao. Se P e um G-fibrado principal, entao considerando a acao a direita de G sobre P aaplicacao

φ∗ : g −→ V Pz

e um isomorfismo linear.Consequentemente, o fibrado vertical V P e um fibrado vetorial trivial, com trivializacao global dada por

P × g −→ V P(p,Xe) 7→ Xp.


Prova: Como a acao de G sobre P e sobre as fibras do fibrado, conforme definida no capıtulo anterior, aaplicacao orbita

φz : G −→ Pp ⊂ P

tem imagem na fibra π−1 (p) a que z pertence, logo Xp = d (φp)e (Xe) ∈ T (Pp)z = V Pz.Como a acao de G sobre as fibras de P e livre, φ∗ e injetiva; como dim g = dimV Pz, φ∗ e um isomorfismo.

21.15 Proposicao. O fibrado vertical de um fibrado principal e invariante a direita, isto e,

(rg)∗ (V Ez) = V Ez·g.

Prova: Segue imediatamente da definicao, ja que a acao a direita de G em P e sobre as fibras de P . Embora campos vetoriais fundamentais sejam definidos usando a acao do grupo, em geral eles nao sao

invariantes sob a acao. Para ver isso, lembre-se que se P × G −→ P e uma acao a direita na variedade P ,entao a translacao a direita e a aplicacao diferenciavel

rg : P −→ Pz 7→ z · g

e que se G× P −→ P e uma acao a esquerda, entao a translacao a esquerda e a aplicacao diferenciavel

lg : P −→ Pz 7→ g · z

Recorde tambem que a aplicacao conjugacao e o difeomorfismo

Cg = Lg Rg−1 : P −→ Ph 7→ ghg−1

e que a aplicacao adjunta em g e o isomorfismo

Adg = d (Cg)e : g −→ g,

enquanto que a representacao adjunta do grupo de Lie G e o homomorfismo de grupos

Ad : G −→ GL (g)g 7→ Adg .

21.16 Proposicao. Seja G um grupo de Lie agindo em uma variedade diferenciavel P .Se G age a direita, entao

(rg)∗(X)

= Adg−1 Xe.

Se G age a esquerda, entao(lg)∗

(X)

= AdgXe.

Em particular, para uma acao a esquerda [direita], a translacao a esquerda [direita] de um campo fundamentale um campo fundamental.


Prova: Provaremos para acoes a direita. Temos, pela regra da cadeia,[(rg)∗

(X)]p

= d (rg)p·g−1 Xp·g−1

= d (rg)p·g−1

d

dtp · g−1 exp (tXe)

∣∣∣∣t=0

=d

dt

(rg φp

(g−1 exp (tXe)

))∣∣∣∣t=0

=d

dt

(φp(g−1 exp (tXe) g

))∣∣∣∣t=0

=d

dt

(φp(Cg−1 (exp (tXe))

))∣∣∣∣t=0

= d (φp)ed

dtCg−1 (exp (tXe))

∣∣∣∣t=0

= d (φp)e d(Cg−1

)e

d

dt(exp (tXe))

∣∣∣∣t=0

= d (φp)e Adg−1 Xe.

21.4 Conexao de Ehresmann

21.17 Definicao. Seja P um G-fibrado principal sobre M . Uma conexao de Ehresmann em P e umadistribuicao HP de espacos tangentes horizontais que e invariante a direita, isto e,

(rg)∗ (HPz) = HPz·g.

A distribuicao HP e tambem chamada o fibrado horizontal tangente dado pela conexao.

Assim,TP = V P ⊕HP,

e todo vetor tangente v ∈ TPz se escreve de maneira unica como a soma

v = vV + vH

para vV ∈ V Pz e vH ∈ HPz. Quando M e uma variedade metrica e TM tem a metrica induzida, temos

T (TM) = TM ⊕ TM⊥

e o fibrado horizontal TM⊥ e o fibrado normal, canonicamente escolhido atraves da metrica (pois paracada fibra TMp escolhemos o complementar ortogonal como o espaco tangente horizontal). A invariancia adireita de uma distribuicao de espacos horizontais que consiste uma conexao de Ehresman significa que aolongo de uma fibra Pp os espacos horizontais sao mutuamente paralelos com respeito a translacao a direita aolongo da fibra. Ao longo de uma mesma fibra, todos os subespacos horizontais podem ser conectados um como outro atraves da acao do grupo G, o que ja provamos ser verdade para os subespacos verticais (Corolario21.15). Em particular, todos os espacos horizontais HPz ao longo de uma fibra Pp sao determinados fixandoum espaco horizontal HPz0 , ja que a acao de G e transitiva nas fibras de P .

Existe uma descricao equivalente da conexao de Ehresmann atraves de formas diferenciais vetoriais e aformulacao da teoria de 1-forma conexoes de fibrados principais e conceptualmente mais simples e mais facilde lidar do que a de 1-forma conexoes de fibrados vetoriais (a ligacao entre as duas e feita atraves do conceitode fibrados associados a ser visto no proximo capıtulo).


Essencialmente, quando existe uma decomposicao

T = H ⊕ V

de um espaco vetorial T de dimensao k na soma direta de um subespaco vetorial H de dimensao k − me um subespaco vetorial V de dimensao m, podemos definir uma forma vetorial sobrejetiva A : T −→ Ztomando valores em um espaco vetorial Z de dimensao m cujo nucleo e H e que leva V isomorficamente emZ. Esta forma nao e unica, nem pode ser em geral canonicamente definida, a menos que haja uma estruturaadicional alem da linear. Por exemplo, dada uma base v1, . . . , vm de V e uma base vm+1, · · · , vk de H,se z1, . . . , zn−m e uma base de Z, definimos

A (vi) =

zi para i = 1, . . . ,m,0 para i = m+ 1, . . . , n,

e estendemos linearmente. A decomposicao em soma direta pode ser equivalentemente recuperada da formavetorial A, ou seja, dada uma forma vetorial sobrejetiva A : T −→ Z, se H = kerA e V e qualquer subespacode T levado isomorficamente em Z, temos pelo teorema do nucleo e da imagem que T = H⊕V ; novamente, Vnao e unicamente determinado por A e condicoes adicionais sao necessarias para identificar algum subespacoV que se tem em mente.

No caso de fibrados principais, em cada espaco tangente TPz = HPz + V Pz definimos uma formavetorial sobrejetiva Az tomando valores na algebra de Lie g cujo nucleo e o espaco horizontal HPz e levaV Pz isomorficamente em g. Para isso usamos os campos fundamentais, o que permitira obter uma formadiferenciavel vetorial, isto e, Az varia diferenciavelmente com z. Lembre-se que se P e um G-fibrado principal,alem da acao a esquerda do grupo estrutural G na fibra tıpica G, podemos definir uma acao a direita de Gem P , o que permite definir campos fundamentais no fibrado vertical V P ⊂ TP que associam a cada vetorXe ∈ g um unico campo X definido em toda a variedade P com Xz ∈ V Pz como provado na Proposicao21.14.

21.18 Definicao. Seja P um G-fibrado principal. Uma conexao (tambem chamada um campo de gauge)em P e uma 1-forma diferencial vetorial A ∈ Λ1 (P, g) tomando valores em g tal que

(i)A(X)

= Xe

para todo Xe ∈ g, onde X denota o campo fundamental induzido por Xe, definido pela acao a direita de Gem P .

(ii) [(rg)∗A

](Z) = Adg−1 (A(Z))

para todos g ∈ G e para todos Z ∈ T (P ).

Portanto, para cada z ∈ P , Az e uma aplicacao linear sobrejetiva (pela condicao (i))

Az : TPz −→ g

satisfazendo Az(Xz

)= Xe; como dimV Pz = dim g, A leva V Pz isomorficamente sobre g, de modo que pelo

teorema do nucleo e da imagemTPz = V Pz + kerAz.

Note que como Adg−1 : g −→ g e um isomorfismo linear, Adg−1 A ∈ Λ1 (P, g) tambem.

21.19 Teorema (Correspondencia entre Conexoes de Ehresmann e a Forma Conexao ). Seja P um G-fibradoprincipal.

(i) Se HP e uma conexao de Ehresmann, de modo que todo campo vetorial Z ∈ Γ (TP ) se escreve naforma Z = X + Y para algum X ∈ g e Y ∈ Γ (HP ), entao a formula

A(X + Y

)= X


define uma forma conexao em Λ1 (P, g).(ii) Reciprocamente, se A ∈ Λ1 (P, g) e uma conexao, entao

HPz = kerAz

define uma conexao de Ehresmann HP em P .

Prova: (i) Claramente, a condicao A(X)

= X da forma conexao e satisfeita (com HP = kerA). Paraverificar a segunda condicao, note que da definicao de conexao de Ehresmann segue que se Y e horizontal,entao (rg)∗ (Y ) tambem e, de modo que

A((rg)∗ Y

)= 0.

Daı, [(rg)∗A

]z

(Zz) =[(rg)∗A

]z

(X + Y

)z

= Arg(z)

[(rg)∗

(X + Y

)]rg(z)

(definicao de pushforward)

= Az·g[(rg)∗

(X)]z·g +Az·g

[(rg)∗ (Y )

]z·g

= Az·g

[Adg−1 X

z·g

](Proposicao 21.16)

= Adg−1 X

= Adg−1

[Az(Xz + Yz

)]= Adg−1 [Ap (Zz)] .

(ii) Primeiro verificamos que HP e um subfibrado de TP . Seja

Xe,1, . . . , Xe,m

uma base para a algebra de Lie g, de modo que podemos escrever

A =

m∑i=1

Xe,iAi

para algumas 1-formas diferenciais reais Ai ∈ Λ1 (P ), onde m = dim g = dimG. Como

A(X)

= Xe

para todo Xe ∈ g, em particularA(Xi

)= Xe,i,

dondeAi(Xj

)= δij .

Logo, as 1-formas Ai sao linearmente independentes em cada ponto z ∈ P .Seja g uma metrica riemanniana na variedade P e Zi os campos vetoriais g-duais as formas Ai, isto e,

Ai (V ) = 〈Zj , V 〉 .

Como os campos Zi sao linearmente independentes, eles geram um subfibrado ξ de TP de posto m. Segueque HP e o complementar ortogonal de ξ em TP e portanto um subfibrado.

Para verificar que HP e um fibrado horizontal, observe que, como a 1-forma vetorial Ap e sobrejetivasobre g, segue do teorema do nucleo e da imagem que

dim kerAz = dimTPz − dim g

= dimTPz − dimV Pz,


de modo queTPz = V Pz ⊕HPz.

Finalmente, a invariancia a direita de HP segue do fato que para todo Y ∈ T (HP ) temos

Az·g[(rg)∗ Y

]z·g = Arg(z)

[(rg)∗ Y

]rg(z)

=[(rg)∗A

]z

(Yz) (definicao de pushforward)

= Adg−1 [Az(Yz)] (invariancia a direita de A)

= 0,

de modo que (rg)∗ Y ∈ HPz·g.

21.5 Derivada Exterior Covariante

Se P e um fibrado principal com conexao de Ehresmann, denotaremos a projecao horizontal de um vetorv ∈ TPz no espaco tangente horizontal HPz por

hor v.

21.20 Definicao. Seja P um fibrado principal com conexao de Ehresmann. Seja ω ∈ Λk (P, g) uma k-formadiferencial vetorial tomando valores na algebra de Lie g. A parte horizontal de ω e a k-forma

(horω) (v1, . . . , vk) = ω (hor v1, . . . ,hor vk) .

Dizemos que uma forma e horizontal sehorω = ω.

Observe que esta definicao faz sentido para formas diferencias reais ω ∈ Λk (P ) ou vetoriais quaisquer.

21.21 Definicao. Seja P um fibrado principal com forma conexao A. A derivada exterior covariante eo operador linear

dA : Λk (P, g) −→ Λk+1 (P, g)

definido pordAω = hor dω.

Assim, a derivada exterior covariante e simplesmente a parte horizontal da derivada exterior. Temos umaanalogia com a derivada covariante em superfıcies em Rn, que e uma projecao no complementar ortogonaldo subespaco tangente a superfıcie.

21.6 Curvatura

21.22 Definicao. Seja P um fibrado principal com forma conexao A. A curvatura da conexao A e a2-forma diferencial vetorial F ∈ Λ2 (P, g) tomando valores em g definida por

F = dAA.

A parte horizontal da conexao propriamente dita e a forma identicamente nula. Como

hor hor = hor,

a curvatura e uma forma horizontal.


21.6.1 Equacao de Estrutura

Lembramos o produto exterior para formas vetoriais ω,η ∈ Λ1 (P, g) com valores em uma algebra de Lie daDefinicao 18.7, que denotamos

ω [∧]η.

Lembramos tambem que (usado na demonstracao da Proposicao 18.8)

ω [∧]v (X,Y ) = [ω (X) ,η (Y )]− [ω (Y ) ,η (X)] .

donde (Proposicao 18.8)ω [∧]ω (X,Y ) = 2 [ω (X) ,ω (Y )] .

21.23 Lema. Se X um campo fundamental e Y um campo horizontal, entao[X,Y

]e um campo horizontal.

Prova: O fluxo de X e dado por ϕt = rexp(tXe). Isso implica que

[X,Y

]z

= (LXY )z

= limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]z− Yz

t∈ HPz,

pois Yz·exp(tXe) ∈ HPz·exp(tXe) e (ϕ−t)∗ preserva o fibrado tangente horizontal.

21.24 Proposicao (Equacao de Estrutura). A curvatura F de uma conexao A satisfaz

F = dA+1

2A [∧]A.

Prova: Verificamos a formula inserindo X,Y em ambos os lados da equacao, distinguindo tres casos. Noteque

1

2A [∧]A (X,Y ) =

1

22 [A (X) , A (Y )] = [A (X) , A (Y )] .

1. X,Y sao vetores verticais.Entao

hor (X) = hor (Y ) = 0,

eF (X,Y ) = dA (hor (X) ,hor (Y )) = 0.

Por outro lado, como X,Y sao verticais, temos

X = V ,

Y = W,

para alguns vetores V,W ∈ g, de modo que

[A (X) , A (Y )] = [V,W ] .

E

dA (X,Y ) = LX (A (Y ))− LY (A (X))−A ([X,Y ])

= LX (W )− LY (V )− [V,W ]

= − [V,W ] ,

pois V,W sao aplicacoes constantes de P para g. Portanto

dA (X,Y ) +1

2A [∧]A (X,Y ) = [V,W ]− [V,W ] = 0.


2. X,Y sao vetores horizontais.Neste caso,

A (X) = A (Y ) = 0

de modo queA [∧]A (X,Y ) = 0

eF (X,Y ) = dA (hor (X) ,hor (Y )) = dA (X,Y ) .

3. X e um vetor vertical e Y e um vetor horizontal.Temos

F (X,Y ) = dA (hor (X) ,hor (Y )) = dA (0, Y ) = 0.

eX = V

para algum vetor V ∈ g, de modo que

[A (X) , A (Y )] = [V, 0] = 0

e

dA (X,Y ) = LX (A (Y ))− LY (A (X))−A ([X,Y ])

= LX (0)− LY (V )−A[V , Y

]= 0,

porque[V , Y

]e horizontal, pelo lema.

21.6.2 Identidade de Bianchi

21.25 Proposicao (Identidade de Bianchi). Vale

dAF = 0.

Prova: Note que como F e uma 2-forma, dF e uma 3-forma. Temos que provar que

dF (X,Y, Z) = 0

para todos os campos horizontais X,Y, Z. Temos em geral

dω (X,Y, Z) = LX (ω (Y,Z)) + LY (ω (Z,X)) + LZ (ω (X,Y ))

− ω ([X,Y ] , Z)− ω ([Y,Z] , X)− ω ([Z,X] , Y ) .

Pela equacao de estrutura,

dF = d2A+1

2d (A [∧]A)

=1

2d (A [∧]A) .

Tomamos ω = A [∧]A. Se X,Y, Z sao horizontais, o resultado segue como na demonstracao da equacao daestrutura.


21.7 Gauges Locais e Globais

21.7.1 Forma de Estrutura

21.26 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A forma de estrutura (tambem conhecida como formacanonica ou forma de Maurer-Cartan) de G e a forma vetorial µ ∈ Λ1 (G, g) tomando valores em gdefinida por

µg =(Lg−1

)∗ ,

ou seja,µg = d

(Lg−1

)g.

Ou seja, como Lg−1 (g) = e, temos

d(Lg−1

)g

: TGg −→ TGe = g

e µg (v) ∈ g para todo v ∈ TGg.

21.27 Proposicao. A forma de estrutura e invariante a esquerda, isto e,

L∗g (µ) = µ,

e valeR∗g (µ) = Adg1 µ,

para todo g ∈ G.

Prova: Temos [L∗g (µ)

]h

(v) = µLg(h)

[d (Lg)h (v)

]= µgh

[d (Lg)h (v)

]= d

(Lh−1g−1

)Lg(h)

[d (Lg)h (v)

]= d

(Lh−1g−1 Lg

)h

(v)

= d (Lh−1)h (v)

= µh (v)

e [R∗g (µ)

]h

(v) = µRg(h)

[d (Rg)h (v)

]= µhg

[d (Rg)h (v)

]= d

(Lg−1h−1

)Rg(h)

[d (Rg)h (v)

]= d

(Lg−1h−1 Rg

)h

(v)

= d(Cg−1 Lh−1

)h

(v)

= d(Cg−1

)e

[d (Lh−1)h (v)]

= Adg1 µh (v) ,

poisLg−1h−1 Rg (k) = g−1h−1kg = Cg−1 Lh−1 (k) .


A forma de estrutura µ nao apenas e invariante a esquerda, mas como tambem gera todas as formas invari-antes a esquerda em G. Tomando o k-esimo produto exterior, obtemos uma k-forma invariante a esquerdatomando valores em Λk (g)

µk : Λk (G) −→ Λk (g) .

Toda k-forma real invariante a esquerda pode ser obtida desta forma compondo com alguma aplicacao linearΛk (g) −→ R. Em particular, se k = dimG, entao dim Λn (g) = 1 e µk e a medida de Haar em G (vejaDifferential Geometry: Cartan’s generalization of Klein’s Erlangen Program, R. W. Sharpe, p. 98, nota derodape 3).

21.28 Proposicao. Sejam G um grupo de Lie e X ∈ T (G) um campo invariante a esquerda. Entao

µg (Xg) = Xe

para todo g ∈ G.

Prova: Por definicao,Xg = d (Lg)eXe,

logo

Xe =[d (Lg)e

]−1Xg.

DeLg−1 Lg = idG,

segue qued(Lg−1

)Lg(e)

d (Lg)e = idTGe = idg,

ou seja, [d (Lg)e

]−1= d

(Lg−1

)Lg(e)

= d(Lg−1

)g

= µg.

Em particular, µ e constante em campos invariantes a esquerda.

A derivada de uma acao pode ser dada em funcao da forma estrutura:

21.29 Proposicao (Derivada de uma Acao). Seja G um grupo de Lie agindo diferenciavelmente a direitaem uma variedade M atraves da acao

φ : M ×G −→M

e seja φp a aplicacao orbita φp (g) = p · g. Entao

dφ(p,g) (Xp, Yg) = d (rg)p (Xp) + d (φp)g (Yg)

= d (rg)p (Xp) + µg (Yg)p·g,

onde (Xp, Yg) ∈ TMp ⊕ TGg ∼= T (M ×G)(p,g).

Prova: Sejam α : I −→M e β : I −→ G curvas diferenciaveis tais que

α (0) = p, α′ (0) = Xp,

β (0) = g, β′ (0) = Yg,

Entao

dφ(p,g) (Xp, Yg) = dφ(p,g) (Xp, 0) + dφ(p,g) (0, Yg)

= dφ(p,g) (α′ (0) , 0) + dφ(p,g) (0, β′ (0))

= d (rg)p (α′ (0)) + d (φp)g (β′ (0))

= d (rg)p (Xp) + d (φp)g (Yg) .


Seja Y a extensao invariante a esquerda de Yg. Entao, pela Proposicao 21.28,

Ye = µg (Yg)

Pelo Lema 21.10,d (φp)g (Yg) = Y φp(g) = Y p·g


21.7.2 Gauges Locais e Globais de um Fibrado Principal

21.30 Definicao. Seja P um fibrado principal sobre M . Uma secao global σ : M −→ P e chamada umgauge global e uma secao local s : U −→ P e chamada um gauge local.

Muitas vezes, o fibrado principal e o fibrado de referenciais, daı um gauge corresponde a escolha de umabase, isto e, a escolha de um referencial. Visto de outra forma, um gauge local em um fibrado principal Pque e um fibrado de referenciais FM corresponde a escolha de uma base de secoes locais, isto e, a escolhade um referencial de secoes.

21.31 Proposicao. Seja P um G-fibrado principal sobre M e s : U −→ P um gauge local. Entao

ψ : U ×G −→ P |U

definido porψ (p, g) = sp · g

e um difeomorfismo equivariante.Em particular, se s : M −→ P e um gauge global, entao P e o fibrado trivial M ×G.

Prova: A aplicacao e diferenciavel porque S e diferenciavel e a acao de G sobre P e diferenciavel. Ela ebijetiva porque a acao de G sobre P e transitiva nas fibras.

Para provar que ψ e um difeomorfismo, basta mostrar que ψ e um difeomorfismo local. Para isso, como

dimP |U = dimP = dimM + dimG,

pelo Teorema da Aplicacao Inversa e suficiente provar que dψ (z, g) e injetiva em cada ponto (z, g) ∈ U ×G.A derivada

dψ(z,g) : TMp × TGg −→ TPS(p)·g

e dada pordψ(z,g) (vp, wg) = d (rg s)p (vp) + µG (wg)sp·g.

Veja o resto da demonstracao em [Hamilton], Lemma 4.2.7, p. 210. Assim, a escolha de um gauge local corresponde a escolha de um sistema de coordenadas de carta locais paraum fibrado principal. Em Fısica, isso leva naturalmente a ideia de que as teorias devem ser independentesda escolha de gauges (assim como em Teoria de Relatividade a fısica deve ser independente da escolha deum sistema de coordenadas no espacotempo, isto e, na variedade base M).

21.7.3 Transformacoes de Gauge Fısicas e Conexoes Locais

21.32 Definicao. Seja P um fibrado principal. Se

sα : Uα −→ P,

sβ : Uβ −→ P,


sao gauges, Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ egαβ : Uαβ −→ G

e a funcao de transicao, sesβ = sα · gαβ . (21.1)

entao dizemos que existe uma tranformacao de gauge fısica do gauge sα para o gauge sβ .

Ou seja, atraves da acao a direita de G nas fibras de P pela funcao de transicao gαβ , mudamos do gauge sαpara o gauge sβ .

21.33 Definicao. Sejam P um fibrado principal sobre M com conexao A ∈ Λ1 (P, g) e s : U −→ P umgauge local definido em uma vizinhanca U ⊂M .

A conexao local As ∈ Λ1 (U, g) (ou campo de gauge local) determinada pelo gauge local S e definidapor

As = s∗A.

Assim, uma conexao local e uma forma vetorial definida em uma aberto da variedade base M tomandovalores na algebra de Lie g; por definicao, para todo ponto p ∈ U

(As)p (Xp) = Asp (dsp (Xp)) .

Fisicamente, como a conexao local esta definida no espaco base M , ela pode ser considerada como um campono espacotempo no sentido usual. Se E1, . . . , Em e uma base para g, escrevemos

As =

m∑k=1

AjsEj

para m 1-formas diferenciais reais A1s, . . . , A

ms ∈ Λ1 (U); estas formas diferenciais reais sao chamadas campos

de gauge bosonicos locais. Se ∂1, . . . , ∂n e um referencial coordenado para U , de modo que

(As)i = As (∂i)

segue que

(As)i =

m∑k=1

(As)ji Ej

com (As)ji ∈ C∞ (U). Em geral, o subscripto s e subentendido e omitido, de modo que escrevemos

A =

m∑k=1

AjEj ,

Ai =

m∑k=1

AjiEj .

Vamos ver agora como as conexoes locais (campos de gauge locais) deinidas em um mesmo aberto U setransformam atraves de uma mudanca de gauge dada pela acao a direita de uma funcao g : U −→ G nasfibras. Observe que se

sα : Uα −→ P,

sβ : Uβ −→ P,


sao gauges locais com Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅, entao existe uma unica funcao diferenciavel

gαβ : Uαβ −→ G

tal quesβ = sα · gαβ .

Basta definir gαβ (p) como o unico elemento de G tal que sβ (p) = sα (p) · gαβ (p), ja que a acao a direitade G sobre as fibras de P e transitiva. Neste estagio, gαβ nao e necessariamente uma funcao de transicao,embora para fibrados de referenciais possa ser. Chamaremos a funcao gαβ de mudanca de gauge.

21.34 Proposicao. Sejam P um fibrado principal dotado de uma conexao A,

sα : Uα −→ P,

sβ : Uβ −→ P,

gauges locais com Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ egαβ : Uαβ −→ G

uma mudanca de gauge. Se Aα e Aβ sao as conexoes locais determinadas por sα e sβ, respectivamente,entao

Aβ = Adg−1αβAα + µαβ (21.2)

ondeµαβ = g∗αβµ.

Em particular, se G e abeliano,Aβ = Aα + µαβ . (21.3)

Prova: Escrevendo mais explicitamente, temos que µαβ ∈ Λ1 (Uαβ , g) e definida por

(µαβ) (X) = µgαβ (dgαβ (X)) .

para todo X ∈ T (Uαβ).Por definicao da 1-forma conexao local,

Aβ (X) = A (d (sβ)X) .

Se φ denota a acaoP ×G −→ P(z, g) 7−→ z · g

entaosβ = sα · gαβ = φ (sα, gαβ) .

segue da Proposicao 21.29 que

d (sβ)X = d (φ (sα, gαβ))X

= dφ(sα,gαβ) (d (sα)X, d (gαβ)X)

= d(rgαβ

)(d (sα)X) + µgαβ (d (gαβ)X)

sα·gij

= d(rgαβ

)(d (sα)X) + µαβ (X)sβ .


Logo, pelas propriedades da definicao de 1-forma conexao

Aβ (X) = A[d(rgαβ

)(d (sα)X)

]+A

[µαβ (X)sβ

]=[(rgαβ

)∗A]

(d (sα)X) + µαβ (X)

= Adg−1αβA (d (sα)X) + µαβ (X)

= Adg−1αβAα (X) + µαβ (X) .

21.35 Lema. Se G ⊂ GLn (R) e um grupo de Lie matricial e identificamos g = TGe com um subgrupo deMn (R), entao a aplicacao adjunta e simplesmente a conjugacao de matrizes, isto e,

Adg (Xe) = g−1Xeg

para todos g ∈ G e Xe ∈ g e a forma estrutura e simplesmente a multiplicacao de matrizes pela inversa aesquerda, isto e,

µg (Xg) = g−1Xg

para todo X ∈ TGg.

Prova: Para um grupo de Lie matricial, a curva γ (t) = exp (tXe) (que neste caso e a exponencial matricial)passa pela identidade com velocidade Xe e podemos escrever

Adg (X) = d (Cg)e (Xe)

=d

dt

(g−1γ (t) g

)∣∣t=0

= g−1 dγ (t)

dt

∣∣∣∣t=0

g

= g−1Xeg.

Para provar a segunda equacao, basta notar que no caso de grupos de Lie matriciais vale

(Lg)∗ (X) = gX

de modo que a forma de estrutura de um grupo de Lie matricial e

µ (Xg) = g−1X

De fato, considerando a curva γ (t) = h + tX em GLn (R), cujo espaco tangente e Mn (R) (ja que e umasubvariedade de Mn (R)), temos

d (Lg)h (X) =d

dtLg (h+ tX)|t=0

=d

dtg (h+ tX)|t=0

= gX.

21.36 Corolario. Se G ⊂ GLn (R)e um grupo de Lie matricial, entao

Aβ = g−1αβ Aα gαβ + g−1

αβ dgαβ , (21.4)

de modo que se G e alem disso um grupo abeliano, entao

Aβ = Aα + g−1αβ dgαβ . (21.5)


Prova: Segue do lema, notando que

µαβ (X) = µgαβ (dgαβ (X)) = g−1αβdgαβ (X) .

21.7.4 Transformacoes de Gauge Fısicas e Curvaturas Locais

21.37 Definicao. Sejam P um fibrado principal sobre M com conexao A ∈ Λ1 (P, g) e s : U −→ P umgauge local definido em uma vizinhanca U ⊂M .

A curvatura local Fs ∈ Λ2 (U, g) (ou forca do campo local) determinada pelo gauge local S e definidapor

Fs = s∗F.

Ou seja, para todo ponto p ∈ U

(Fs)p (Xp, Xp) = Fsp (dsp (Xp) , dsp (Xp)) .

Se E1, . . . , Em e uma base para g, escrevemos

Fs =

m∑k=1

F ks Ek

para m 2-formas diferenciais reais F 1s , . . . , F

ms ∈ Λ1 (U); estas formas diferenciais reais sao chamadas campos

de gauge bosonicos locais. Se ∂1, . . . , ∂n e um referencial coordenado para U , de modo que

(Fs)ij = Fs (∂i, ∂j)

segue que (omitindo o subescrito s)

Fij =

m∑k=1

F kijEk

com Akij ∈ C∞ (U).

21.38 Proposicao (Equacao de Estrutura Local). Se

Fs = s∗F,

entao

Fs = dAs +1

2As [∧]As (21.6)

e (omitindo o subescrito s)Fij = ∂iAj − ∂jAi + [Ai ∧Aj ] . (21.7)

Em particular, se G e abeliano,Fs = dAs

eFij = ∂iAj − ∂jAi.


Prova: Temos

s∗F = s∗dA+1

2s∗ (A [∧]A)

= d (s∗A) +1

2(s∗A [∧] s∗A)

= dAs +1

2As [∧]As.

Usando esta formula (retornando o subescrito s) e

dA (X,Y ) = LX (A (Y ))− LY (A (X))−A ([X,Y ]) ,

segue

(Fs)ij = Fs (∂i, ∂j)

= dAs (∂i, ∂j) +1

2(As [∧]As) (∂i, ∂j)

= ∂i [dAs (∂j)]− ∂j [dAs (∂i)]−As ([∂i, ∂j ])

+1

22 [As (∂i) , As (∂j)]

= ∂iAj − ∂jAi + [Ai ∧Aj ] .

Vejamos como as curvaturas locais se transformam atraves de uma mudanca de gauge:

21.39 Proposicao. Sejam P um fibrado principal dotado de uma conexao A,

sα : Uα −→ P,

sβ : Uβ −→ P,

gauges locais com Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ egαβ : Uαβ −→ G

uma mudanca de gauge. Se Fα e Fβ sao as conexoes locais determinadas por sα e sβ, respectivamente, entao

Fβ = Adg−1αβFα. (21.8)

Se G ⊂ GLn (R)e um grupo de Lie matricial, entao

Fβ = g−1αβ Fα gαβ . (21.9)

Prova: F se anula em vetores verticais, logo basta provar o resultado para campos horizontais X,Y ∈T (Uαβ). Como vimos na demonstracao da Proposicao 21.34, temos

d (sβ)X = d(rgαβ

)(d (sα)X) + µαβ (X)sβ ,

d (sβ)Y = d(rgαβ

)(d (sα)Y ) + µαβ (Y )sβ

de modo que

Fβ (X,Y ) = Fβ[d(rgαβ

)(d (sα)X) , d

(rgαβ

)(d (sα)Y )

]=[(rgαβ

)∗ Fβ

](d (sα)X, d (sα)Y )

= Adg−1αβFα (X,Y ) .


21.40 Corolario. Se G e abeliano, Fs e independente da escolha de gauge local, logo determina uma formade curvatura global fechada F em M .

Prova: Isto e, definida se Uα e uma cobertura para M e para cada secao

sα : Uα −→ P

definimos uma forma local Fα, entao F = (sα)∗ Fα define uma forma global F em M , ja que Fβ = Fα quandoG e abeliano pela proposicao anterior. A forma global F e fechada, pois localmente pela Proposicao 21.38

dF = s∗ (dFs) = s∗d2As = 0.

21.8 Transporte Paralelo

Atraves da conexao de Ehresmann podemos definir o transporte paralelo em fibrados principais. Dado que

(π∗)z |HPz = dπz|HPz : HPz −→ TMp

e um isomorfismo, se v ∈ TMp, entao em cada ponto z ∈ π−1 (p) da fibra sobre p existe um unico levanta-mento horizontal do vetor v, isto e um unico vetor horizontal vH ∈ HPz ⊂ TPp tal que

(π∗)z(vH)

= v.

Alem disso, o operador levantamento horizontal e invariante pela acao do grupo a direita nas fibras de P ,isto e,

(rg)∗ vH = vH ,

ou seja, [(rg)∗

]zvHz = d (rg)z

(vH)

= vHz·g.

De fato, comoπ rg = π,

temosπ∗[(rg)∗

(vH)]

= π∗(vH).

Pela definicao de conexao de Ehresmann, (rg)∗(vH)

e um vetor horizontal; como π∗ restrito a HPz e um

isomorfismo, os vetores (rg)∗(vH)

e vH sao o mesmo.Assim, dado um campo X ∈ T (M), o seu levantamento horizontal e o unico campo horizontal XH ∈

Γ (HP ) que e projetado em X atraves de π∗ e e um campo invariante a direita pela acao a direita de G emP . Reciprocamente, qualquer campo horizontal Y ∈ Γ (HP ) invariante a direita e o levantamento horizontalde um campo X ∈ T (M), isto e, Y = XH , bastando definir

X = π∗Y.

Da mesma forma podemos definir o levantamento horizontal de curvas suaves em M . Note que como todofibrado e localmente trivial, sempre existem levantamentos de curvas no espaco base para curvas no espacototal (e o mesmo argumento usado para provar a existencia de levantamentos em espacos de recobrimento).

21.41 Definicao. Seja Pπ−→ M um fibrado principal dotado de uma conexao de Ehresmann. Dada uma

curva diferenciavel γ : I −→ M , o levantamento horizontal de γ e uma curva γH : I −→ P tal queπ γH = γ e cujos vetores velocidade sao horizontais, isto e,

(γH)′

(t) ∈ HPγH(t) para todo t ∈ I.


Uma curva no espaco total cujos vetores tangentes sao horizontais e as vezes chamada uma curva horizontal.Assim o levantamento horizontal de uma curva no espaco base e uma curva horizontal que e projetadanaquela. A discussao anterior torna intuitivamente claro que se o levantamento horizontal de uma curva apartir um ponto fixado na fibra existir ele deve ser unico, ja que cada vetor tangente a curva em M possuium unico levantamento horizontal. A existencia e unicidade do levantamento horizontal passa entao a serum problema de existencia e unicidade de solucoes de EDOs dada uma condicao inicial:

21.42 Teorema (Existencia e Unicidade de Levantamentos Horizontais). Seja Pπ−→M um fibrado

principal dotado de uma conexao de Ehresmann. Dada uma curva diferenciavel γ : [a, b] −→ M comγ (a) = p , para cada z ∈ π−1 (p) existe um unico levantamento horizontal γH de γ tal que γH (a) = z .

Prova: Seja γ : [a, b] −→ P levantamento diferenciavel arbitrario de γ satisfazendo γ (a) = z. Um levanta-mento horizontal γH de γ deve ser da forma

γH (t) = γ (t) · g (t)

para alguma curva g (t) em G tal que g (0) = e, isto e, ele deve ser dado pela acao ponto a ponto de algumacurva g em G no levantamento arbitrario γ.

Encontraremos g como a solucao de uma equacao diferencial. Se A e a forma conexao, a curva γH serhorizontal e equivalente a

A((γH)′

(t))

= 0

para todo t. Pela Proposicao 21.29,(γH)′

(t) = dφ(γ(t),g(t)) (γ′ (t) , g′ (t))

= d(rg(t)

)γ(t)

(γ′ (t)) + µg (g′ (t))γ(t).

Como A e uma conexao e

Adg(t)−1 = d(Cg(t)−1

)e

= d(Lg(t)−1

)gd(Rg(t)

)e

segue que

A((γH)′

(t))

= Adg(t)−1 A(γ′ (t)) + µg (g′ (t))

= d(Lg(t)−1

)g

[d(Rg(t)

)e

(A(γ′ (t))) + g′ (t)].

Concluımos que g (t) tem que ser a solucao unica da equacao diferencial

g′ (t) = −d(Rg(t)

)e

(A(γ′ (t)))

com condicao inicial g (0) = e.

21.43 Exemplo. No fibrado principal trivial P = S1 ×R, os levantamento horizontais de curvas no cırculoS1 sao cırculos horizontais no espaco total cilindro P .

21.44 Definicao. Seja Pπ−→ M um fibrado principal dotado de uma conexao de Ehresmann. Dada uma

curva diferenciavel γ : [a, b] −→M , com γ (a) = p, γ (b) = q o transporte paralelo

T = Tγ : Pp −→ Pq

no fibrado principal ao longo de γ e definido por

T (z) = γHz (b)

onde γHz e o levantamento horizontal de γ comecando em z.

Capıtulo 22

Fibrados de Referenciais e FibradosAssociados

Como mencionado antes, o nome fibrado principal se deve ao fato que todo os G-fibrados podem ser obtidosa partir de um G-fibrado principal atraves da construcao de um fibrado associado e, reciprocamente, fibradosprincipais podem ser obtidos de fibrados vetoriais atraves da construcao do fibrado de referenciais. Nestecapıtulo veremos estes conceitos em detalhes.

22.1 Fibrados de Referenciais

22.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com dimensao n.Para cada p ∈M consideramos o conjunto

FMp = bases de TMp .

Os elementos de FMp serao denotados por

[e1, . . . , en]p

A uniao disjunta

FM =⊔p∈M

FMp

sera o espaco total de um fibrado que definiremos a seguir, chamado o fibrado de referenciais de M .

Isomorfismos lineares levam bases em bases. Como mudancas de base correspondem a matrizes invertıveis,uma acao natural (independente da atribuicao de coordenadas) a direita do grupo linear GLn (R) sobre asfibras de FM

FM ×GLn (R) −→ FM

e dada por

[e1, . . . , en]p ·A = [e′1, . . . , e′n]p

onde

e′i = Aijei.

417


22.2 Proposicao.FM↓π

M

com a projecao naturalπ : [e1, . . . , en]p 7→ p

e um GLn (R)-fibrado principal.

Prova: Seja (Uα, ϕα) um atlas para M .Prova 1: Definimos funcoes de transicao

gαβ : Uαβ −→ GLn (R)

por

(gαβ)p = d (ϕα)p d(ϕ−1β

)ϕβ(p)

,

onde o operador linear

d (ϕα)p d(ϕ−1β

)ϕβ(p)

= d(ϕα ϕ−1

β

)ϕβ(p)

: Rn −→ Rn

e identificado com uma matriz de GLn (R) em relacao a base canonica de Rn.As condicoes de cociclo sao satisfeitas pela regra da cadeia:

gαα = d (ϕα)p d(ϕ−1α

)ϕα(p)

= d(ϕα ϕ−1

α

)ϕα(p)

= id,

e

gαβgβγgγα = d (ϕα)p d(ϕ−1β

)ϕβ(p)

d (ϕβ)p d(ϕ−1γ

)ϕγ(p)

d (ϕγ)p d(ϕ−1α

)ϕα(p)

= d (ϕα)p d(ϕ−1β ϕβ

)p d(ϕ−1γ ϕγ

)p d(ϕ−1α

)ϕα(p)

= d(ϕα ϕ−1

α

)p

= id .

Pela Proposicao 20.6, segue que FM e um fibrado com fibra tıpica GLn (R).Prova 2: Construiremos um atlas para o fibrado (FM, π,M) explicitamente. A cada carta da variedade(Uα, ϕα) podemos associar a secao local

(σα)p =[∂1|p , . . . , ∂n|p

]e definir a inversa de uma carta de fibrado

ψ−1α : Uα ×GLn (R) −→ π−1 (Uα)

porψ−1α (p,A) = (σα)p ·A,


de modo que as mudancas de coordenadas de cartas do fibrado

ψα ψ−1β : Uαβ ×GLn (R) −→ Uαβ ×GLn (R)

sao dadas por (ψα ψ−1

β

)(p,A) =

(p, d

(ψα ψ−1

β

)ψβ(p)

A)

e satisfazem as condicoes do Teorema 16.6, portanto FM e um GLn (R)-fibrado (apesar da demonstracaola ser para fibrados vetoriais, ela pode ser imediatamente adaptada para servir tambem para fibrados dife-renciaveis em geral). O fibrado de referenciais e o fibrado onde o referencial movel de Cartan se move. Note que a fibra tıpicaGLn (R) do fibrado de referenciais tem dimensao n e portanto o espaco total FM tem dimensao n+ n2.

22.3 Definicao. Se M e uma variedade metrica, usando apenas referenciais ortonormais obtemos um fibradochamado fibrado de referenciais ortonormais FOp,qM de M .

Se M for alem disso orientada, usando apenas referenciais ortonormais positivamente orientados, obtemoso fibrado de referenciais ortonormais orientados FSOp,qM de M .

22.2 Fibrados Associados Vetoriais

Seja (P, π,M) um G-fibrado principal e

G = gαβ : Uαβ −→ Gα,β∈A

um atlas de funcoes de transicao satisfazendo a condicao de cociclo. Seja

ρ : G −→ GLn (R)

uma representacao do grupo de Lie G em GLn (R). Defina, para cada par de ındices α, β ∈ A, a funcao detransicao

hαβ : Uαβ −→ GLn (R)

por

hαβ = ρ gαβ .

A famılia de funcoes de transicao

H = hαβ : Uαβ −→ GLn (R)α,β∈A

satisfaz a condicao de cociclo, pois (usando o fato que ρ e um homomorfismo)

hαβhβγ = [ρ (gαβ)] [ρ (gβγ)]

= ρ (gαβgβγ)

= ρ (gαγ)

= hαγ .

Pelo Teorema 16.7, existe um unico fibrado vetorial cujas funcoes de transicao sao hαβ .

22.4 Definicao. O fibrado vetorial definido pela construcao acima e chamado o fibrado vetorial associadoao fibrado principal P (com respeito a representacao ρ) e denotado

P ×ρ Rn.


22.5 Exemplo. O fibrado tangente e o fibrado associado ao fibrado de referenciais.

22.6 Definicao. Quando ρ e a representacao adjunta

Ad : G −→ GL (g) ,

o fibrado vetorial associado P ×ρ Rn e chamado o fibrado adjunto e denotado P ×Ad g.

22.3 Fibrados Associados

Seja (P, π,M) um G-fibrado principal e F uma variedade em que G age a esquerda. Considere a variedadeproduto P × F e defina sobre ela uma acao de G a direita

(P × F )×G −→ P × F

por(p, f) · g =

(p · g, g−1 · f

).

Denote por [p, f ] a classe de equivalencia (isto e, a orbita) de um par (p, f), por

P ×G F := (P × F ) /G

o espaco das orbitas desta acao e porπ : P ×G F −→ P × F

a projecao canonica, isto e, ρ (p, f) = [p, f ]. Definindo

π′ ([p, f ]) = π (p) ,

temos o seguinte diagram comutativo:

P × F

π1

π // P ×G F

π′

P

π // M

22.7 Teorema (Construcao do Fibrado Associado). Sob as condicoes anteriores, (P ×G F, π′,M) eum G-fibrado sobre M com fibra tıpica F .

Prova: Veja [Forger-Antoneli], Teorema 2.2, p. 113.

22.8 Definicao. O fibrado (P ×G F, π′,M) e chamado o fibrado associado ao fibrado principal P corres-pondente a acao dada de G sobre a fibra F .

22.9 Proposicao. Qualquer G-fibrado sobre M e isomorfo a um fibrado associado a um fibrado principal.

Prova: Veja [Forger-Antoneli], discussao no inıcio da p. 110.

22.10 Exemplo. O exemplo mais interessante de fibrado associado e o fibrado vetorial associado a umG-fibrado principal mediante uma representacao do grupo de Lie em um espaco vetorial, como vimos nasecao anterior. Na terminologia desta secao, a variedade F e um espaco vetorial V de posto n e G age aesquerda em V mediante uma representacao

ρ : G −→ GL (V )


da maneira usual g · v := ρ (g) (v). Considere a variedade produto P × V e defina sobre ela uma acao de Ga direita

(P × V )×G −→ P × V

dada por(p, v) · g =

(p · g, g−1 · v

).

O espaco total do fibrado vetorial associado e

E = P ×G V = (P × V ) /G

com fibras Ep = (Pp × V ) /G.

Capıtulo 23

Teorias de Gauge

Neste capıtulo veremos aplicacoes fısicas do ferramental matematico definido nos capıtulos anteriores.

23.1 Teorias de Gauge Classicas

Partıculas elementares sao quanta de campos (por exemplo, o foton e o quantum de campos eletromagneticos).O ponto de vista das teorias de gauge estudadas neste capıtulo sera classico, no sentido de que os camposde partıculas assumem valores complexos (ou em copias Cr), ou seja como na Mecanica Quantica classica;do ponto de vista da Fısica Quantica de Campos, os campos sao de operadores em espacos de Hilbert eos conceitos matematicos necessarios sao ainda mais complexos (tais como espacos de dimensao infinita).Apesar do ponto de vista classico, poderemos falar de conceitos fısicos bem avancados, tais como quebrade simetria. Neste descricao classica nao ha lugar para o conceito de criacao e aniquilacao de partıculas eportanto nao ha lugar para diagramas de Feynman que descrevem estes processos.

Os ingredientes necessarios para descrever, no nıvel classico, as interacoes de uma partıcula com umcampo de gauge sao as seguintes ([Naber]; Secao 2.1, pp. 45–48):

1. Espacotempo M

M e uma variedade suave, orientada, com metrica lorentziana (orientada temporalmente tambem).Em outras palavras, M e o nosso universo ou uma regiao do universo (por exemplo, quando a partıculaencontra-se confinada em uma caixa).

Classicamente, as trajetorias de partıculas sao curvas no espacotempo M .

Quanticamente, uma partıcula e um campo particular (particle field); no nıvel mais simples, este campo

particular e uma funcao de onda ψ : M −→ C de uma certa partıcula (um campo escalar), com ‖ψ (p)‖2dando a probabilidade de encontrar a partıcula no ponto p. Por exemplo, o campo de Higgs e um campoescalar (o boson de Higgs tem massa, mas nao tem carga, nem spin). Outras partıculas sao descritaspor campos vetoriais ψ : M −→ Ck (outros bosons sem spin, tais como pıons) e outras partıculas saodescritas por campos espinoriais ψ : M −→ ∆ ⊂ Ck (bosons com spin, tais como o foton, o gluon e osbosons W e Z e todos os fermions, como quarks e leptons).

2. Espaco interno V

V e um espaco vetorial complexo de dimensao finita com produto hermitiano.

A medida que uma partıcula descreve uma trajetoria no espacotempo, seus estados internos (porexemplo, fase no caso do foton, spin no caso de eletrons, isospin no caso de protons ou quarks, etc.)variam. A estrutura interna nao pode ser observada diretamente (nao ha como medir a fase de umfoton, por exemplo), mas apenas atraves da acao de um grupo de simetrias G.

422


Quanticamente, as partıculas tem funcoes onda que tomam valores em V . A escolha de V e ditadapela estrutura interna da partıcula (por exemplo, fase, spin, isospin, etc.). Exemplos tıpicos sao C, C2,C4, ou a algebra de Lie de algum grupo de Lie, tais como u (1) ou su (2).

Atraves do produto interno hermitiano, pode se calcular normas quadradas ‖ψ‖2 da funcao de onda ψ deuma partıcula e assim determinar a probabilidade de uma certa propriedade ser satisfeita naquele pontodo espacotempo (tal como sua localizacao). Assim, a necessidade de existir um produto hermitianoem V (e portanto no fibrado associado) e ditada pela interpretacao quantica da teoria, enquanto que oproduto interno no espacotempo M vem da relatividade geral. [Por outro lado, como calcular a normada curvatura no funcional acao sem uma metrica no fibrado associado?]

O espaco interno em geral nao existe globalmente, isto e, nao temos M ×V , mas esta associado a cadaponto do espacotempo, isto e, temos um fibrado sobre M . Alem disso, propriedades fısicas nao devemdepender de coordenadas, logo V e mais corretamente descrito como referenciais e uma teoria de gaugedeve ser invariante por uma mudanca de referenciais; a mudanca de referencial e local, nao global.

Um campo externo (dado por um potencial de gauge que e uma conexao) muda o estado internoda partıcula a medida que a partıcula descreve uma trajetoria no espacotempo: o estado interno dapartıcula no ponto p e descrito classicamente pelo valor de uma secao σ do fibrado vetorial associado(isto e, de V ) em p. O efeito do campo sobre a partıcula e dado pela forca do campo (curvatura daconexao, que e o gradiente ou derivada covariante do potencial).

Nesta formulacao geometrica, as propriedades devem ser invariantes por mudancas de coordenadas(mudancas nas trivializacoes locais do fibrado vetorial) e tambem por transformacoes de gauge em queas fibras sao transformadas pelo grupo de simetrias G.

3. Grupo de simetrias G

G e um grupo de Lie matricial.

Os grupos usados em QFT sao apenas os grupos classicos U (1) (eletromagnetismo), SU (2) (teoriafraca) e SU (3) (cromodinamica) ou os produtos U (1) × SU (2) (teoria eletrofraca) U (1) × SU (2) ×SU (3) (modelo padrao).

4. Representacao unitaria ρ : G −→ GL (V )

ρ satisfaz〈ρ (g) v, ρ (g)w〉 = 〈v, w〉 ,

isto e, e ortogonal em relacao ao produto interno de V (no caso, unitario em relacao ao produtohermitiano de V ).

Isso tambem tem a ver com a interpretacao quantica.

O produto hermitiano em V determina uma classe de bases ortonormais, os referenciais, que saorelacionados atraves dos elementos do grupo de simetrias G, ou seja, um elemento g ∈ G age a direitaem um referencial z produzindo um novo referencial z ·g. Fixando um referencial (os elementos do qualcorrespondem a certos estados da partıcula), podemos identificar os elementos de G com os referenciais.Por isso o fibrado principal e um fibrado de referenciais.

G tambem age em V a esquerda via a representacao ρ

g · v = ρ (g) (v)

(acao a esquerda), logo age na funcao de onda ψ em cada ponto: se ψ (z) e o valor da funcao de onda,descrita em relacao ao referencial z, entao

ψ (z · g) = g−1 · ψ (z)

e o seu valor descrito no novo referencial z · g.

[Esta acao dupla precisa ser melhor compreendida.]


5. Fibrado Principal P

P e um G-fibrado principal suave sobre M , ou seja,

G → Pπ−→M.

Em cada ponto p ∈ M , a fibra z = π−1 (p) e uma copia de G, pensada como o conjunto de todos osreferenciais no espaco interno V em p.

Uma secao local do fibrado principal s : U −→ P e uma escolha suave de um referencial em cadaponto de algum aberto U ⊂M , chamado um gauge local (ou uma escolha de gauge local, ou seja umaescolha de potencial local) relativo ao qual as funcoes de onda podem ser descritas em V .

Para formular e estudar o Modelo Padrao, e suficiente usar fibrados triviais, que consequentementepermitem o uso de campos vetoriais. Para estudar relatividade geral, teoria de cordas ou gravidadequantica e necessario trabalhar com fibrados nao triviais.

6. Conexao A com curvatura FA

A ∈ Λ1 (P, g) e uma conexao do fibrado principal, ou seja, uma 1-forma tomando valores na algebrade Lie g do grupo de simetrias G. Sua curvatura e FA = dAA ∈ Λ2 (P, g).

Se s : U −→ P e um gauge local, entao o pullback As = s∗A e o potencial de gauge local (ousimplesmente potencial local), medido na variedade espacotempo, e o pullback Fs = s∗F e a forcado campo local (local field strength). Isso permite sair do fibrado abstrato P que nao tem significadofısico, para a variedade espacotempo, que e o nosso universo.

Geralmente, o potencial de gauge e a forca de campo so existem localmente, e nao no espacotempotodo, ja que fibrados principais nao triviais nao admitem gauges globais (secoes globais) e os pullbackspor secoes locais diferentes geralmente nao tem o mesmo valor nas intersecoes de seus domınios.

Partıculas acopladas ao (isto e, experimentando os efeitos do) campo determinado por A tem funcoes deonda localmente definidas tomando valores em V que sao obtidas resolvendo as equacoes de movimentoenvolvendo os potenciais locais A (veja o ıtem 9 sobre as equacoes de movimento).

7. Uma mudanca de gauge (s 7→ s · g) muda a funcao de onda atraves da representacao ρ (ψ 7→ g−1 · ψ).Estas funcoes de onda locais podem ser coladas em um objeto globalmente definido chamado umcampo de materia que pode ser descrito de duas maneiras equivalentes:

(a) Secao global φ : P −→ V do fibrado associado P ×ρ V ou

(b) Aplicacao vetorial φ : P −→ V equivariante, isto e,

φ (z · g) = g−1 · φ (z) .

(Esta ultima e preferida em [Bleecker], que trabalha apenas com fibrados triviais (que sao tudo oque e necessario para o estudo do Modelo Padrao, como comentado acima). Desta forma nao hanecessidade de falar de fibrados associados e a apresentacao fica consideravelmente mais simples.)

8. Energia Potencial do Campo de Materia

Uma funcao real suave, nao negativa f : V −→ R, invariante pela acao a esquerda (portanto indepen-dente de referenciais) de G em V , ou seja,

f (g · v) = f (v) .

f (φ) descreve a energia de auto-iteracao do campo de materia φ. Em geral isto dependera apenas de

‖φ‖2, por exemplo, m ‖φ‖2.


9. Funcional Acao S (A, φ)

Os pontos crıticos do funcional acao (ou energia) descrevem os campos (A, φ) fisicamente significantes.

Tipicamente, o funcional acao tem a forma geral

S (A, φ) = c

∫M

(∥∥∥FA∥∥∥2

+ c1 ‖dAφ‖2 + c2f (φ)

),

onde c e uma constante de normalizacao, c1, c2 sao constantes de acoplamento, FA e uma 2-formaglobal definida em M tomando valores no fibrado adjunto AdP , que localmente pulls back aos localfield strengths As, dAφ e a derivada covariante de φ quando este e pensado como uma secao do fibradoassociado (como em 7(a)), e as normas sao induzidas pela metrica de M e pela forma de Killing naalgebra de Lie g de G. Como FA esta definida em P , nao faz sentido calcula-la em M , daı a necessidadede obter um isomorfismo de Λ2 (P, g) para Λ2 (M,AdP ) e usando a norma induzida no fibrado AdPobtemos uma funcao real cuja integral em M pode ser calculada.

Quando c1 = c2 = 0, de modo que a dependencia de φ pode ser ignorada, temos um funcional deYang-Mills

S (A) = c

∫M

‖FA‖2 ,

e as equacoes de Euler-Lagrange para este funcional sao as equacoes de Yang-Mills

d∗AFA = 0.

As equacoes diferenciais de Euler-Lagrange correspondentes aos pontos crıticos do funcional S sao asequacoes de movimento (equacoes de campo) desta teoria de gauge.

Do ponto de vista da Fısica, apenas acoes finitas sao interessantes:

S (A, φ) <∞.

Isso e automaticamente assegurado quando M e compacta, caso contrario algum comportamente as-sintotico apropriado deve ser requerido para todos os termos no integrando. Tais comportamentosassintoticos podem ter profundas consequencias topologicas (por exemplo, a existencia de carga to-pologica).

23.2 Eletromagnetismo no Vacuo

Uma partıcula carregado descrevendo uma trajetoria no espacotempo sujeita a um campo eletrico nao per-corre uma geodesica do espacotempo (uma partıcula percorre uma geodesica quando esta sujeita apenas a umcampo gravitacional, que e simplesmente a metrica lorentziana da variedade). Ela descreve uma geodesicano fibrado 5-dimensional correspondente ao eletromagnetismo (que e um fibrado abstrato, sem existenciafısica); sua trajetoria no espacotempo e a projecao desta geodesica.

23.2.1 Teoria de Yang-Mills no Espaco de Minkowski

Primeiro faremos a teoria de Yang-Mills para o eletromagnetismo. Nao ha campos de materia, isto e, fontesde carga, e o campo eletromagnetico existe no vacuo, sem fontes de carga. A unica partıcula e o foton, oquantum (boson com spin zero) do campo eletromagnetico. Tomamos:

1. O espacotempo como sendo o espaco de Minkowski da relatividade especial, isto e, M = R4 = R1,3

com metrica de Lorentz η, onde

ηij =

−1 se ij = 001 se ij = 11, 22, 330 se i 6= j.


2. V = C.

3. O grupo de simetrias (grupo de gauge) e G = U (1), ou seja, S1 com a multiplicacao complexa.

4. Consequentemente, a algebra de Lie e

g = u (1) = ImC = λi : λ ∈ R .

5. Tomamos o fibrado principal trivialP = R4 × U (1) ,

com representacaoρ : U (1) −→ GL (C)

dada pela multiplicacao complexa:ρ (g) z = gz.

6. Se A ∈ Λ1 (P, u (1)) e uma conexao de P , como g = u (1) e abeliano, segue que a curvatura da conexaoe

F = dAA

= dA+1

2A [∧]A

= dA.

Seja s : U −→ P uma secao do fibrado principal, de modo que

As = s∗A ∈ Λ1 (U, u (1)) ,

F s = s∗F = s∗ (dA) = d (s∗A) = dAs ∈ Λ2 (U, u (1)) .

Como u (1) = ImC, podemos escrever, para uma 1-forma real A ∈ Λ1 (U),

As = −iA,F s = −i dA,

o sinal negativo sendo convencional. Denotamos

F = dA

de modo que F ∈ Λ2 (U) e uma 2-forma real local e

F s = −iF.

Se

si : Ui −→ P,

sj : Uj −→ P,

sao duas secoes locais com Ui∩Uj 6= ∅ e gij : Ui∩Uj −→ U (1) e a funcao de transicao correspondente,segue da comutatividade de U (1) que (denotando Aj = Asj )

Aj = g−1ij Aigij + g−1

ij dgij

= Ai + g−1ij dgij


e

F j = g−1ij F igij

= F i.

Enfatizando e comparando os resultados que acabamos de obter:

Aj = Ai + g−1ij dgij ,

F j = F i.

Como F j = F i, podemos permite definir um campo global de forca eletromagnetica

F ∈ Λ2 (M, u (1))

definindo F |Ui = F i e, consequentemente existe F ∈ Λ2 (M) tal que

F = −iF.

Ja os potenciais Ai nao podem ser colados de forma a definir um objeto global, ja que nao coincidemnas intersecoes de seus domınios. De fato, escrevendo localmente

gij (p) = e−iΛij(p)

para Λij : Ui ∩ Uj −→ R segue que

g−1ij = eiΛij ,

dgij = e−iΛijdΛij ,

donde

Aj = Ai + dΛij .

Esta e a relacao tradicional entre os potenciais vetoriais no eletromagnetismo classico.

Em coordenadas (t, x, y, z) =(x0, x1, x2, x3

)em U escrevemos

As =

4∑k=0

(As)k dxk = −i

4∑k=0

Ak dxk

e em coordenadas globais (t, x, y, z) =(x0, x1, x2, x3

)em R1,3

F =1

2

4∑i,j=0i<j

F ij dxi ∧ dxj

= −i2

4∑i,j=0i<j

Fij dxi ∧ dxj .

Localmente, por definicao de produto exterior, vale

F ij = ∂iAj − ∂jAi

= −i (∂iAj − ∂jAi)= −iFij ,


ou seja, localmenteFij = ∂iAj − ∂jAi

o que tambem poderia ser obtido diretamente de F = dA (que so vale localmente, porque A so esta definidalocalmente).

Note que F e antisimetrica. A 2-forma real F em M e chamada o campo eletromagnetico. Ele e umaforma fechada (pela identidade de Bianchi) cuja estrela de Hodge e fechada (pela equacao de Yang-Mills),ou seja, que satisfaz as equacoes de Maxwell

dF = 0,

d (∗F ) = 0.

Definindo

Fi0 = Ei,

Fij = δ123ijkB

k,

onde δ123ijk e o multidelta de Kronecker definido no Capıtulo 9 de formas diferenciais, segue que

(Fij) =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 B3 B2

E2 −B3 0 B1

E3 −B2 −B1 0

e

F = −dt ∧(E1dx1 + E2dx2 + E3dx3

)+B1dx2 ∧ dx3 −B2dx1 ∧ dx3 +B3dx1 ∧ dx2,

donde definimos os campos eletrico e magnetico

E =(E1, E2, E3

),

B =(B1, B2, B3

).

23.2.2 Classificacao dos Fibrados Principais do Eletromagnetismo

Os U (1) = S1-fibrados principais sobre uma variedade M sao classificados a menos de isomorfismos defibrados pela primeira classe de Chern do fibrado que e um elemento de H2

dR (M):

23.1 Definicao. Seja P um G-fibrado principal sobre M . Se A e uma conexao em P com curvatura F ,entao

c1 (P ) =i

2π[trF ] ∈ H2

dR (M) .

E possıvel provar que esta definicao (isto e, a classe de cohomologia do traco da curvatura) nao depende daconexao, apenas do fibrado (daı o nome classe caracterıstica). Quando G = U (1), temos (matrizes em u (1)sao numeros reais)

trF = F = −iF,logo

c1 (P ) =1

2π[F ] ,

isto e, a primeira classe de Chern do fibrado principal e classe de cohomologia de de Rham do campoeletromagnetico (como F e fechado, faz sentido falar na classe de cohomologia de F ). Assim, o S1-fibradosprincipal sobre o espacotempo M onde o campo eletromagnetico F e modelado depende apenas da classe decohomologia de F .


23.2 Exemplo. O campo eletromagnetico de Coulomb em

M = R3\ 〈e0〉

(a fonte de carga eletrica puntual com carga de valor n e assumida na origem, logo o eixo t nao e um vacuo eportanto nao pode ser considerado parte do espacotempo nesta modelagem sem cargas materiais) e definidopela conexao global

A = −nrdt

onder = ‖x‖ =

(x2 + y2 + z2

)1/2.

CalculandoFij = ∂iAj − ∂jAi

obtemos

(Fij) =n

r3

0 −x −y −zx 0 0 0y 0 0 0z 0 0 0

donde

F = − nr3dt ∧ (xdx+ ydy + zdz)

e

E =n

r3r,

B = 0.

Como F = dA em M , segue que F e exata e portanto [F ] = 0, logo o U (1)-fibrado principal em que F emodelado e o fibrado trivial

R3\ 〈e0〉 × S1.

Isso e valido para qualquer valor da carga n, logo a carga eletrica da fonte nao esta codificada na topologiado fibrado (em outras palavras, ela nao e uma carga topologica).

Daı o efeito de Aharonov-Bohm.

23.2.3 Teoria de Yang-Mills em um Espacotempo Lorentziano

23.3 Eletromagnetismo para Partıculas com Spin Zero

Neste secao consideraremos um exempo de teoria de gauge em que um campo material esta presente: ocampo de materia acoplado ao campo de gauge representara uma particula carregada com carga eletricasofrendo os efeitos do campo eletromagnetico.

Portanto precisaremos de um espaco vetorial V e uma representacao unitaria ρ : U (1) −→ GL (V ).Em fısica, partıculas carregadas possuem funcoes de onda com um numero de componentes complexas

determinadas pelo spin s da partıcula. Tem-se

s ∈

0,1

2, 1,

3

2, 2, . . .

e a funcao de onda de uma partıcula com spin s tem 2s + 1 componentes. Logo, a funcao de onda de umapartıcula com spin 0 (por exemplo, o meson π−) toma valores em C, que e o caso que trataremos nesta secao.


Consideremos entao V = C com o produto hermitiano padrao e consideremos para cada n ∈ Z a repre-sentacao

ρn : U (1) −→ GL (V )

definida por

[ρn (g)] (z) = g · z := gnz.

23.3 Proposicao. ρn e unitaria.

Prova. Lembrando que se g ∈ Cgn = g−n

pois se g = reiθ = r (cos θ + i sen θ)

gn = reinθ = r (cosnθ + i sennθ) ,

g−n = re−inθ = r (cosnθ − i sennθ) = gn,

temos

〈g · z1, g · z2〉 = 〈gnz1, gnz2〉

= gnz1gnz2

= gnz1gnz2

= gngnz1z2

= z1z2

= 〈z1, z2〉 .

A funcao potencial f : V = C −→ R e definida por

f (z) =1

2m |z|2

onde m > 0 sera interpretada como a massa da partıcula. Como ρn e unitaria, f e invariante sob a acao deU (1) em V :

f (g · z) = f (z) .

23.4 Eletromagnetismo para Partıculas com Spin 1/2

23.5 Teoria de Yang-Mills-Higgs

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