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conexões com a matemática
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Capítulo 22 introdução à Geometria espacial
a) triângulo.
b)quadrado.
c)retângulo.
d)pentágono.
e)hexágono.
8. Classifiquecadaafirmaçãoemverdadeiraoufalsa.
a)Duasretasreversassãocoplanares.
b)Duasretasconcorrentessãocoplanares.
c)Duasretasparalelas,nãocoincidentes,sãoreversas.
d)Ser}s5{},entãoressãoretasparalelasnãocoincidentesoureversas.
9. Umamesadetrêspernasécolocadanochãoplanoe horizontal. Sobre seu tampo é colocada, em re-pouso,apenasumabolinhadegude.Qualéaposi-çãorelativaquedeveteroplanodotampodamesaeoplanodochãoparaqueabolinhanãorole?
10. Dadosdoisplanosdistintos,aeb,paralelosentresi que são interceptados por um terceiro plano ß,demonstrequeasintersecçõessãoparalelasentresi.
11. Considereocubodafiguraaseguiredetermine:
BA
HG
FE
D C
a)duasarestasreversasaAD;
b)duasarestasparalelasaEF;
c)duasarestasperpendicularesaCG.
12. Considerandooparalelepípedoaseguir,identifiquedoisparesde:
A
E F
G
CD
H
B
a)segmentosparalelos;
b)segmentosperpendiculares;
c)segmentosreversos;
d)segmentosortogonais.
1. Classifiquecadaumadasfigurasemplanaounãoplana:
a) d)
b) e)
c) f )
2. Respondaàsquestões.
a)Quantasretaspassamporumúnicoponto?
b)Quantasretaspassampordoispontosdistintos?
3. Considerando cinco pontos distintos, A, B, C, De E, determine o número máximo de planos quecontêm apenas três desses pontos.
4. Classifiquecadaumadasproposiçõesemverdadeiraoufalsa.Justifiquesuaresposta.
a)Existeminfinitasretasdistintasnoespaço.
b)Porumaretapassaumúnicoplano.
c)Umplanopossuiinfinitospontos.
d)Trêspontosnãocolinearessãosemprecoplanares.
5. (Unicamp-SP)Écomumencontrarmosmesascom4pernasque,mesmoapoiadasemumpisoplano,balançam e nos obrigam a colocar um calço emuma das pernas se a quisermos firme. Explique,usandoargumentosdeGeometria,porqueissonãoacontececomumamesade3pernas.
6. Dados quatro pontos coplanares, A, B, C e D, taisquenenhumtriodessespontosécolinear,quantasretasdistintaspodemosformarpassandopordoisdessespontos?
7. (Fuvest-SP) Os segmentos ,VA VB VCe são arestasde um cubo. Um planoa, paralelo ao plano ABC,divideessecuboemduaspartesiguais.Aintersec-çãodoplanoacomocuboéum:
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introdução à Geometria espacialcapítulo 22
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Capítulo 22 introdução à Geometria espacial
13. Analise a figura dada e classifique os pares de pla-nos em: paralelos, perpendiculares ou concorrentes.
B
E
D
H
GF
AC
J
I
a) ACF e FGH c) ACG e IDH e) AFI e CDG
b) BCD e ABI d) ABC e DEI
14. (Fuvest-SP) São dados cinco pontos não coplana-res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE AB= e AE AD= . Pode-se concluir que são per-pendiculares as retas:
a) EA EBe c) EB BAe e) AC BEe
b) EC CAe d) EA ACe
15. (Fuvest-SP) Dados um plano a e uma reta r, pode-mos afirmar que:
a) existe um plano b que contém r e é perpendicu-lar a a.
b) existe um único plano b que contém r e é per-pendicular a a.
c) existe um plano b que contém r e é paralelo a a.
d) existe um único plano b que contém r e é parale-lo a a.
e) qualquer plano b que contém r intercepta o plano a.
16. (Fuvest-SP) Sejam r e s duas retas distintas. Pode-se afirmar que sempre:
a) existe uma reta perpendicular a r e a s.
b) r e s determinam um único plano.
c) existe um plano que contém s e não intercepta r.
d) existe uma reta que é paralela a r e a s.
e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.
17. Dois planos a e b formam entre si um ângulo t 5 60º e têm a reta r como intersecção. Um pon -to A pertencente a a é tal que a distância de A ao pla-no b é igual a 2 3. Determine a distância de A à reta r.
18. Dada a figura, determine a distância entre:
a) os pontos A e D;
b) as semirretas AB e ABî î;
c) os pontos A e B;
d) os segmentos AB a DCî î.
19. Sabendo que a distância de um ponto W a um pla-no ò é 24 cm e sua projeção ortogonal W’ sobre ò é o centro de uma circunferência contida nesse plano, se a distância de W a qualquer ponto da circunfe-rência é 30 cm, qual é o raio dessa circunferência?
20. (Fuvest-SP) O quadrado ABCD é a face de um cubo e I é o centro da face oposta. Sendo a o ângulo entre os planos ABI e CDI, calcule tg
2a .
a) 14 d) 4
b) 2 e) 14
c) 31
21. Analise as afirmações a seguir e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas. Para as afirmações falsas, justifique sua reposta ou dê um contra-exemplo.
( ) A projeção ortogonal de uma reta em um plano é uma reta.
( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a todas as retas desse plano.
( ) A distância entre dois planos só é definida se esses planos são paralelos.
D’
A
A’ B’
d
Ba
7
53D
C’
C
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Capítulo 23 Poliedros
Aformadessesiloéobtidajuntando20placashe-xagonaisemais12placaspentagonais.
Combasenotexto,écorretoafirmarqueessesilotem:
a)90arestase60vértices.
b)86arestase56vértices.
c) 90arestase56vértices.
d)86arestase60vértices.
e) 110arestase60vértices.
f ) I.R.
6. Calcule onúmerodevérticesdeumpoliedrocon-vexoquetemseisfacesquadrangularese10facestriangulares.
7. Determineonúmerodefacesdeumpoliedroconvexoquetem18vérticesesabendoquedecadaumdelessaem4arestas.
8. Qualé onúmerodearestasdeumpoliedrocon-vexocom20vérticese12faces?
9. Verifique se os poliedros a seguir são poliedros dePlatão.
a)Dodecaedrodefacespentagonais.
b)Decaedro com quatro faces triangulares e seisfacesquadrangulares.
c) Prismadebasetriangular.
d) Icosaedrocomfacestriangulares.
10. Represente uma possível planificação do sólido aseguir.
1. Qualéonomedecadapoliedro?
a)
b)
c)
2. Qualéonomedopoliedroconvexocom20vérticese30arestas?
3. Classifiquecadapoliedroemconvexoounãoconvexo.
a)
b)
c)
4. Determinequantasfacestemumpoliedroconvexode20arestasnoqualonúmerodevérticeséigualaodefaces.
5. (UFPel-RS)NoMéxico,hámaisdemilanos,opovoasteca resolveu o problema da armazenagem dapós-colheitadegrãoscomumtipodesiloemfor-madeumabolacolocadosobreumabasecirculardealvenaria.
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Poliedroscapítulo 23
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Capítulo 23 Poliedros
11. (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de umvérticeaoutrodoprismaretodebasestriangularesABCeDEG,seguindoumtrajetoespecial.Elapartiudo vértice G, percorreu toda a aresta perpendicu-laràbaseABC,paraemseguidacaminhar todaadiagonaldafaceADCG,efinalmentecompletouseupasseiopercorrendoaarestareversaaCG.Aformi-gachegouaovértice:
A B
D
G
E
C
a)A c) C e) E
b)B d) D
12. Calcule a medida da diagonal do paralelepípedoreto-retângulocujasmedidassão:8dm,6dme5dm.
13. Determineadiagonaldeumcubo,sabendoqueadiagonaldecadaumadesuasfacesmede7 2m.
14. A soma das medidas das arestas de um cubo é108cm.Encontreamedidadecadaaresta,dadiago-naldeumafaceedadiagonaldessecubo.
15. Considereoparalelepípedoreto-retânguloaseguir.Sesuadiagonalmede3 83cm,determineasmedi-dasa,b,cindicadas,sabendoquesãoproporcionaisaosnúmeros3,5e7.
a
b
c
3 83 cm
16. (UFSCar-SP)Afiguraindicaumparalelepípedoreto--retângulo de dimensões 3 32 2 7 , sendo A,B,CeDquatrodeseusvértices.
AdistânciadeBatéoplanoquecontémA,DeCéiguala:
a)411 d)
213
b)414 e)
23 7
c)211
17. Determineaáreatotaldasuperfíciedeumprismaretodebasequadrada,sabendoqueaalturamede12cmeadiagonaldabase,5 2cm.
18. Calculeaáreatotaldasuperfíciedeumcubocujaarestamede2 3m.
19. Determineaáreatotaleovolume,emlitro,deumaembalagemdeleite longavidacujaformalembraum paralelepípedo reto-retângulo de arestas me-dindo:0,95dm,0,65dme1,7dm.
20. (Unifesp)Umcubodearestadecomprimentoavaisertransformadonumparalelepípedoreto-retângulodealtura25%menor,preservando-se,porém,oseuvolumeeocomprimentodeumadesuasarestas.
Adiferençaentreaáreatotal(asomadasáreasdasseis faces)donovosólidoeaárea totaldosólidooriginalserá:
a) a61 2
b) a31 2
c) a21 2
d) a32 2
e) a65 2
21. (Unifor-CE)Apeçadeferroabaixofoiobtidadeumparalelepípedoreto-retângulodedimensões20cm,30cme40cm,comaretiradadequatrocubosiguaisdearesta10cm.
40 cm
30 cm
20 cm
Seadensidadedoferroé7,8g/cm3,entãoamassadessapeça,emquilograma,é:
a) 187,2
b) 179,4
c) 171,6
d) 163,8
e) 156
C
BD
A
7
2 2
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Capítulo 23 Poliedros
22. Determine a área total e o volume de um pris-ma hexagonal regular cujas dimensões são:arestadabase:8cmealtura:15cm
23. Calculeovolume,emcm3,deumlivrocom0,20mde largurapor0,27mdecomprimentoe3cmdealtura.
24. Determine o volume de um prisma reto de basetriangular, sabendoque todasassuasarestasme-dem5m.
25. Qualéacapacidade,emlitro,deumreservatóriocomaformadeumprismaretangularde8mdealtura,cujabaseéumquadradodeladomedindo1,5m?
26. Encontreovolumedeumprismade18mdearestalateral,cujabaseéumtrapézioisóscelescombasemenormedindo8m,basemaiormedindo14mealturade4m.
27. (UFG-GO) A figura abaixo representa um prismareto,cujabaseABCDéumtrapézioisósceles,sendoquesuasarestasmedemAB510,DC56,AD54eAE510.
A B
E
D C
H G
F
OplanodeterminadopelospontosA,HeG seccio-naoprismadeterminandoumquadrilátero.Aáreadessequadriláteroé:
a)8 7 c) 16 7 e) 64 7
b)10 7 d) 32 7
28. Considereumapirâmidedebasequadrada.Calculeamedidadoapótemadabaseedoapótemadapi-râmide,sabendoqueaarestadabaseeaalturadapirâmidemedemrespectivamente12cme8cm.
29. Determineonúmerodevérticesdeumapirâmidedebasehexagonal.
30. Verifiquequaisplanificaçõesrepresentamsuperfí-ciesdepirâmide.
a)
b)
c)
31. (Unifesp)Umpoliedroéconstruídoapartirdeumcubodearestaa . 0,cortando-seemcadaumdeseuscantosumapirâmideregulardebasetriangu-lar equilateral (os três lados da base da pirâmide
sãoiguais).Denoteporx, , xa
02
< ,aarestalateral
daspirâmidescortadas.
x x
face lateral daspirâmides cortadas
a)Dêonúmerodefacesdopoliedroconstruído.
b)Obtenha o valor de x, , xa
02
< , para o qual o
volume do poliedro construído fique igual acincosextosdovolumedocubooriginal.Aal-turadecadapirâmidecortada,relativaàbase
equilateral,é x
3.
32. (Fuvest-SP)AfiguraaseguirmostraumapirâmideretadebasequadradaABCDdelado1ealturaEF51.SendoGopontomédiodaalturaEFeaamedidadoânguloAGWB,entãocosavale:
A B
C
E
α
D
F
G
a)21 b)
31 c)
41 d)
51 e)
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Capítulo 23 Poliedros
33. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra um cubo dearestaiguala2cmondeospontosA,B,C,D,EeFsãopontosmédiosdascorrespondentesarestas.QualoraiodaesferainscritanapirâmidehexagonaldebaseABCDEFedevérticeP?
A
B
C
D
E
F
P
a) 22
3 3 cm d)32 cm
b) 12
3 3 cm e) 23 3cm
c)43 cm
34. Seja uma pirâmide regular de base triangularcomáreadabaseiguala12 3 cm2.Calculeovo-lume dessa pirâmide, sabendo que sua altura é2 2 cm.
35. Calculeaáreadabasedeumapirâmidecujaalturaé10dmeovolumeé120dm3.
36. Calculeovolumedeumapirâmideregulardebasehexagonal cuja altura é 100 mm e o apótema dabasemede10 3mm.
37. Umapirâmidedebasetriangulartemtodasassuasarestasmedindoa.Determineovolumedessapirâ-mideemfunçãodea.
38. (Mackenzie-SP)Nafigura,osvérticesdocubosãooscentrosdasfacesdooctaedroregulardearesta6 2.Ovolumedocuboé:
a) 64 c) 27 e) 72 2
b)27 2 d) 72
39. Em uma pirâmide regular de base quadrada comáreaiguala256cm2ealturade20cm,determineáreatotaldasuperfícieeovolumedapirâmide.
40. Uma pirâmide quadrangular regular ABCDE, comvérticeemE, temvolume iguala16m3.SendoM
o ponto médio do segmento AB e N o ponto mé-diodosegmentoAE, determineovolumedosólidoMBCDN.
41. (Unicamp-SP)Suponhaqueum livrode20cmdelargura esteja aberto conforme a figura a seguir,sendoDACX 5 120©eDBVC 5 60©.
CD
120°
20 cm
A
60°
B
a)CalculeaalturaABdolivro.
b) CalculeovolumedotetraedrodevérticesA,B,CeD.
42. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura
23 6 cujabaseéumquadradodelado3.Calcule:
a)ovolumedapirâmide.
b)oraiodaesferacircunscritaàpirâmide.
43. (UFBA) Considere-se uma barraca de camping quetemaformadeumapirâmideretangularcomares-taslateraiscongruentesealturaigualaummetro.
Assimsendo,écorretoafirmar:
a)Aprojeçãoortogonaldovérticedapirâmidesobreoplanodabasecoincidecomocentrodabase.
b)Se a altura e as medidas dos lados da base dapirâmideforemaumentadasem10%,entãoovo-lumeaumentaráem33,1%.
c) Se o piso da barraca tem área máxima entreasáreasde todososretânguloscomperímetroiguala8metros,entãoopisotemaformadeumquadrado.
d) Seabasedapirâmidetemaformadeumqua-dradocomladosmedindo2metros,entãoovo-
lumeéiguala34
metroscúbicos.
e) Suponha-se que a barraca está montada sobreumterrenohorizontal,esuabaseéumquadra-docom ladosmedindo2metros.Se,emdeter-minado instante, os raios solares formam umângulode45ºcomosolo,entãoalgumpontodabarraca será projetado pelos raios solares numpontodosolosituadoforadaregiãocobertapelopisodabarraca.
44. Aáreadabasedeumapirâmideéiguala900dm2.Umasecçãoparalelaàbaseexatamentea6cmdovérticetemáreaiguala81cm2.Calculeaalturadapirâmide.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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BANCO DE QUESTÕES
Capítulo 23 Poliedros
45. (Fuvest-SP) Pedrinho, brincando com seu cubo má-gico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:
• apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;
• os pontos comuns ao cubo e ao copo determinas-sem um triângulo equilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunfe-
rência de raio 2 3 cm, determine o volume da par-
te do cubo que ficou no interior do copo.
46. Considere um tetraedro regular de aresta igual a 12 cm. Determine:
a) a altura do tetraedro;
b) sua área total;
c) seu volume.
47. (Vunesp) Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja ares-ta mede 1 m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo, e pelo plano IJK, passan do por pontos mé-dios de lados do cubo, como na figura a seguir. Cal-cule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado.
AB
CD
HK
E F
G
J
I
48. Determine o volume do tronco de pirâmide qua-drangular cuja altura é 6 cm e cujas bases têm ares-tas iguais a 8 cm e 4 cm, respectivamente.
LEA
ND
RO
KA
NN
O/G
UA
RA
IMA
GE
NS
conexões com a matemática
1
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banco De questões
Capítulo 24 corpos redondos
menor e do cilindro maior valem, respectivamente, 8.900 kg/m3 e 2.700 kg/m3 .
4 m
2 m
3 m
Considerando-se π = 3, a massa desse sólido, em toneladas, vale:
a) 97,2 c) 213,6 e) 320,4
b) 114,5 d) 310,8
12. (UFC-CE) Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de largura e 6 m de altura, podemos facilmente em-pilhar 12 cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada, bastando dispô-los horizontalmente, em três camadas de quatro cilindros cada. Porém, ao fazê-lo, um certo volume do contêiner sobrará como espaço vazio. Ado-tando 3,14 como aproximação para π, é correto afirmar que a capacidade volumétrica desse espaÇo vazio é:
a) inferior à capacidade de um cilindro.
b) maior que a capacidade de um cilindro, mas me-nor que a capacidade de dois cilindros.
c) maior que a capacidade de dois cilindros, mas me-nor que a capacidade de três cilindros.
d) maior que a capacidade de três cilindros, mas me-nor que a capacidade de quatro cilindros.
e) maior que a capacidade de quatro cilindros.
13. (Unifesp) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilin-dro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro.
solo
1,2 m1,0 m
Dado que o raio da circunferência da base do ci-lindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm3, é:
a) 11.000π c) 5.500π e) 1.100πb) 10.000π d) 5.000π
1. Represente a planificação de um cilindro reto de 4 cm de altura e base de 3 cm de diâmetro e, em seguida, calcule:
a) a área da base;
b) a área lateral;
c) a área da secção meridiana;
d) a área total.
2. Sabendo que dois cilindros retos têm 50 cm de altura cada um e que o raio da base do primeiro mede 10 cm e o do segundo mede 20 cm, determine e compare:
a) as áreas laterais dos dois cilindros;
b) as áreas totais dos dois cilindros.
3. A altura de um cilindro equilátero é 20 cm. Calcule a área da superfície desse cilindro.
4. Determine a razão entre a área lateral e a área to-tal de um cilindro cujo raio mede 8 cm e a altura é 16 cm.
5. Se o volume e a área da base de um cilindro reto são respectivamente 100π m3 e 25π m2, calcule a altura e a área lateral desse cilindro.
6. O volume de um cilindro equilátero é 128π cm3. De-termine a altura e o raio da base.
7. Calcule o volume de um cilindro reto, gerado por um quadrilátero de medidas 6 cm e 10 cm, que efe-tua uma rotação de 360© em torno do eixo que con-tém o lado maior.
8. Sabendo que a diagonal do quadrilátero que repre-senta a secção meridiana de um cilindro reto mede 20 cm e que o raio da base do cilindro é 6 cm, deter-mine a altura e o volume desse cilindro.
9. Calcule a quantidade de material necessária para fabricar 1.000 embalagens cilíndricas para bola-chas, sabendo que cada uma deverá ter 30 cm de altura por 6 cm de diâmetro. Considere 10% a mais de material (em cada embalagem) para o caso de dobras ou desperdício. (Use: π = 3,14)
10. Determine a capacidade, em litro, de uma embala-gem cilíndrica cuja altura é o dobro do diâmetro da base, que mede 10 cm. (Use: π = 3,14)
11. (Cesgranrio-RJ) Um sólido totalmente maciço é composto pela união de dois cilindros circulares re-tos de mesmo diâmetro. As densidades do cilindro
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corpos redondoscapítulo 24
Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil
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Capítulo 24 corpos redondos
14. (Fuvest-SP) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura, 4 cm, e raios das bases R e r, respec-tivamente.
x4 cm
4 cm
R
r
Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico a seguir, quais são os valores de R e r?
20 4 6 8 x (cm)
V(x) (cm3)
44π
18π
15. Uma planificação representa a superfície lateral de um cone reto cuja geratriz mede 48 cm e o raio da base, 20 cm. Calcule o ângulo central do setor circular.
16. Dado um cone de revolução com 15 m de altura e geratriz de comprimento 17 m, calcule:
a) o raio da base; c) a área lateral;
b) a área da base; d) a área total.
17. A altura de um cone circular reto é 24 cm. Calcule a medida do raio da base e o comprimento da geratriz, sabendo que a área total é 360π cm2 e o volume é 800π cm3.
18. Sabendo que as áreas lateral e total de um cone cir-cular reto são, respectivamente, 135π m2 e 216π m2, determine o volume desse cone.
19. Dados um cone e um cilindro cujas bases são con-gruentes e sabendo que o raio da base mede 5 dm e a altura do cilindro é 13 dm, qual será a altura do cone para que os dois sólidos tenham o mesmo volume?
20. Calcule a área total e o volume de um cone circu-lar reto, sabendo que a geratriz mede 18 m e forma com o eixo desse cone um ângulo de 30©.
21. Determine o volume de um cone equilátero de raio 4 cm.
22. (UFU-MG) O cone maior da figura a seguir tem raio da base e altura iguais a 10 cm.
h
Determine a altura h de forma que o volume do tronco de cone de altura h seja igual à meta-de do volume do cone maior.
23. (UFJF-MG) Uma taça em forma de um cone circular reto estava cheia de vinho até a borda. Depois de se ter tomado metade do vinho, a figura que melhor re-presenta a quantidade de bebida que restou na taça é:
a) b) c) d) e)
0 cm
4 cm
8 cm
24. (Unifor-CE) Um funil tem a forma de um cone reto cuja planificação da superfície lateral corresponde a um setor circular de 216© e 9 cm de raio. O volume desse funil, em centímetros cúbicos, é:
a) 65,384π c) 69,984π e) 74,254πb) 67,256π d) 72,586π
25. (UFBA) Considere um recipiente de vidro com a for-ma de dois cones congruentes de altura H, raio da base R e vértice comum.Sabe-se que, inicialmente, um dos cones está com-pletamente cheio de areia e o outro, totalmente vazio. A areia é então redistribuída, de modo a for-mar, na parte superior do recipiente, um cone de
altura H2
e, na parte inferior, outro cone, de altu-
ra h e raio da base R, conforme a figura.
Com base nessas informações, determine a razão Hh
.
H
h
R
H2—
conexões com a matemática
3
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Capítulo 24 corpos redondos
26. (Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone cir-cular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coin-cide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da figura 2.
Antes
Figura 1
Depois
Figura 2
Se a área da base desse novo sólido é 32
da área de B, determine seu volume.
27. Em um cone circular, o raio da base mede 8 m e a altura, 16 m. A que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base para obter secção de raio me-dindo 6 m?
28. Em um tronco de cone reto, os raios das bases me-dem 21 cm e 12 cm e a geratriz tem 15 cm de com-primento. Determine o volume do tronco.
29. Considere o trapézio ABCD, retângulo em A e D, no qual as bases eAB CD medem, respectivamente, 7 dm e 13 dm, e o lado oblíquo BQ mede 10 dm. Determine a área total e o volume do sólido obtido pela rotação desse trapézio em relação ao lado AD.
30. A que distância do centro de uma esfera de raio de medida 15 cm devemos traçar um plano para obter uma secção de área 144π cm2?
31. Secciona-se uma esfera de raio 34 m por um plano que dista 30 m do centro. Determine a área dessa secção.
32. A área de um círculo máximo de uma esfera é 100π cm2. Calcule a área da superfície e o volume dessa esfera.
33. Considere uma superfície esférica de área 144π dm2. Sobre essa superfície foi determinado um fuso es-férico de 60©. Calcule a área desse fuso.
34. Um cubo de aresta 4 cm está inscrito em uma esfe-ra de raio r. Calcule r.
35. A área da superfície de uma esfera é 64π cm2. Deter-mine:
a) a medida do diâmetro dessa esfera;
b) o comprimento da circunferência máxima;
c) a área do círculo máximo.
36. (UFPR) Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar totalmente cheia.
a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água?
b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra?
37. (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circu-lar de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quan-do completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão xh
é igual a:
a) 6
3_ i c)
3
2 3_ i e)
3
4 3_ i
b) 3
3_ i d) 3
38. (UFPel-RS) Todo sólido obtido através do movimen-to de rotação completa de uma região plana em tor-no de uma reta, sendo ambas no mesmo plano, é chamado sólido de revolução.Um giro completo na região destacada, em torno da reta r, determina um sólido de revolução. É correto afirmar que o volume desse sólido é:
a) 75π cm3 d) 99π cm3
b) 81π cm3 e) 72π cm3
c) 57π cm3 f ) I.R
5 cm
3 cm
3 cm
3 cm
r
conexões com a matemática
4
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Capítulo 24 corpos redondos
39. (Fuvest-SP) No jogo de bocha, disputado num ter-reno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A dis-tância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:
A BA B
a) 8 c) 8 2 e) 6 3
b) 6 2 d) 4 3
40. (Vunesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melan-cia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais. Cada fatia tem a for-ma de uma cunha esférica, como representado na figura.
R
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4πR2 cm2, determine, em função de π e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia.
41. (Unicamp-SP) Começando com um cilindro de raio 1 e altura também 1, define-se o procedimento de co-locar sobre um cilindro anterior um outro cilindro
de igual altura e raio 32
do raio do anterior. Embora
a altura do sólido fictício resultado seja infinita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo.
conexões com a matemática
1
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
3. (PUC-RJ) Seja d(P, Q) a distância entre os pontos P e Q. Considere A(21, 0) e B(1, 0) pontos do plano.
O número de pontos X(x, y) tais que 21
( , )d A B é igual a:
a) 0 b) l c) 2 d) 3 e) 4
4. (UFPel-RS) Engenheiros do Instituto Militar de Engenharia (IME) desenvolveram uma argila calcina-da, material que poderá baratear a construção de es-tradas. Essa argila não existe em nenhum outro país.
A pesquisa começou em 1997, com um objetivo: en-contrar um material que pudesse ser utilizado na Amazônia. A região é carente de rochas, e as dificul-dades no transporte encarecem a brita, comerciali-zada por mais de R$ 100,00 o metro cúbico. Segundo o IME, o custo da argila calcinada fica em torno de R$ 40,00.
Foram estudadas várias famílias de solos da Ama-zônia, chegando-se a conclusões animadoras nos últimos anos. O agregado artificial poderá ser usado em pavimentação rodoviária, pois resiste a desgaste. compressão e abrasão, e também em obras de con-creto. Segundo o coordenador da pesquisa, o mate-rial pode ser utilizado em qualquer região do país.
http://www1.folha.uol.com.br/folha/ ciência/ult306u13159.shtml acessado em 6/5/2005. [adapt.]
Também com o objetivo de baratear custos, na exe-cução do projeto de novas estradas, deve ser consi-derada sempre a menor distância entre os pontos a serem alcançados.
As cidades A e B, localizadas no mapa, com coorde-nadas A(8, 5) e B(12, 8), são ligadas por uma rodovia em linha reta.
A
B
C
1 cm
1 cm1 : 60.000.000
A construção de um novo trecho de menor dimen-são que ligue a rodovia existente à cidade C(10, 5), medirá:
a) 720 km c) 648 km e) 126 km
b) 300 km d) 1.200 km f ) I.R.
1. (Unesp) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, fo ram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetro, dessas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o cres cimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei
mate mática 5 2y
x x12
24 2
. Um esboço desses gráfi-
cos está representado na figura.
3
tempo (dia)
Planta B
Planta A
altura (cm)
2
Determine:
a) a equação da reta;
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mes-ma altura e qual foi essa altura.
2. (UFMG) Nesta figura, está representado um quadra-do de vértices ABCD:
A(0, 0)
B(3, 4)D(a, b)
x
y
C
Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são A(0, 0) e B(3, 4).
Então, é correto afirmar que o resultado da soma das coordenadas do vértice D é:
a) 22 c) 221
b) 21 d) 232
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Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
capítulo 25
Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil
conexões com a matemática
2
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
5. (UFSM-RS) Num plano, são dados 4 pontos atra vés de coordenadas: (1, 1), (2, 4), (6, 5) e (5, 2). Li gando-se os 4 pontos pela ordem dada e fechando o polígono através da ligação de (1, 1) e (5, 2), por meio de seg-mentos de reta, obtém-se um:
a) quadrado de perímetro 4 17.
b) paralelogramo de perímetro 12 17 2 10.
c) losango de perímetro 4 17.
d) retângulo de perímetro 12 17 2 10.
e) trapézio isÓsceles de perímetro 1 8
2
17 10 5_ i> H.
6. (UFRJ) Esboce graficamente as retas y 5 x 2 1, y 5 x 2 3, y 5 2x 1 1 e y 5 1 e determine a área da região delimitada por essas retas.
x
y
7. (UEL-PR) Dois dos pontos A(2, 21), B(2, 23), C(1, 4), D(4, 23) estão numa das bissetrizes das retas 3y 2 4x 2 3 5 0 e 4y 2 3x 2 4 5 0.
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:
a) y 1 x 2 1 5 0 d) x 5 2
b) y 1 7x 2 11 5 0 e) y 1 x 2 5 5 0
c) y 2 x 2 1 5 0
8. (Uerj) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largura AD, um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marcenei ro pretende fixar um prego, ocorre a intersecção desses segmentos.
A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coorde-nados.
x (dm)BA
DE C
y (dm)
F
Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F.
9. (Uerj) Observe o mapa da região Sudeste.
Belo Horizonte
São Paulo
52°30’ 50° 45°
15°
20°
25°
40°47°30’ 42°30’
17°30’
22°30’TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO Rio de Janeiro
Vitória
(Adaptado de BOCHICCHIO, V. R. Atlas atual: geografia.
São Paulo: Atual, 1999.)
Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o ei xo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coorde-nadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente,
, , , , , e ,223
0 221
23
4 527d d d dn n n n, todas medi das em
centímetros.
a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices estão representa dos por estas quatro cidades, supondo que a escala do mapa é de 1 : 10.000.000.
b) Determine as coordenadas de uma cidade que fique equidistante das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte.
10. (UFC-CE) ABC é o triângulo, no plano cartesiano,com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5). Determine ascoordenadas do ponto P do plano, tal que a somados quadrados das distâncias de P aos vérticesde ABC seja a menor possível, e calcule o valormínimo correspondente da soma.
11. (UFC-CE) Os vértices do quadrado ABCD no plano cartesiano são A(21, 3), B(1, 1), C(3, 3) e D(x, y).
Então, os valores de x e y são:
a) x 5 1 e y 5 5
b) x 5 5 e y 5 1
c) y1 5 e 1 55 1 5 1x
d) y1 5 e 15 2 5x
e) y1 e 1 55 5 2x
12. (UFC-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a dia-gonal AC.
b) Determine a equação da reta que contém a dia-gonal BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interse ção das diagonais AC e BD.
conexões com a matemática
3
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
13. (UFRJ) Determine a área da região R definida pela intersecção de R1, R2 e R3, sendo:
• R1 5 {(x, y) Ñ R2: 4x 1 5y 2 16 < 0}
• R2 5 {(x, y) Ñ R2: 4x 2 3y > 0}
• R3 5 {(x, y) Ñ R2: y > 0}
14. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, A é um ponto do pla-no cartesiano, com coordenadas (x, y).
–1
1–2
x
y
A s
r
1
Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se:
a) e, ,yx
y x2
12 1 d) , ,x yx
12
2 1
b) , .yx
y x2
1ou 2 1 e) , ,xy x
211
c) e, .xy y x
212 1
15. (UEL-PR) A trajetória de um móvel no plano car-tesiano pode ser descrita, em função do tempo t,
pelas equações paramétricas 5 15
x tty
23
) . Essa traje-
tória determina uma reta:
a) que contém os pontos (3, 9) e (22, 6).
b) paralela à reta de equação 6x 2 2y 2 1 5 0.
c) perpendicular à reta de equação 3x 2 y 1 1 5 0.
d) que contém os pontos (1, 3) e (7, 3).
e) perpendicular à reta de equação 5x 2 y 5 0.
16. (Unifesp) Considere a reta de equação 4x 2 3y 1 15 5 0, a senoide de equação y 5 sen x e
o ponto ,π
P2
35 c m, con forme a figura.
3
x
y
P
—π2
π
A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é:
a) π5
12 21 c) π5
14 21 e) π5
16 21
b) π5
13 21 d) π5
15 21
17. (UFPel-RS) O gráfico abaixo representa a função y 5 log2 (x 2 2).
–2
x
A
B
y
Com base nisso, é correto afirmar que a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é:
a) 8x 2 3y 2 24 5 0 d) 6x 2 2y 1 6 5 0
b) 2x 1 6y 2 6 5 0 e) 3x 2 8y 1 24 5 0
c) 2x 1 6y 2 24 5 0 f ) I.R.
18. (UEG-GO) Na localização dos imóveis de uma ci-dade é usado como referência um sistema de co-ordenadas cartesianas em uma escala adequada. Neste sistema, a casa de número 23 de uma de-terminada rua está localizada no ponto A(22, 0), enquanto a loja de número 7, que está na mesma rua, coincidiu com o ponto B(0, 6). Determine uma equação que relacione as coordenadas x e y de um ponto C que indica a localização de um pré dio co-mercial, de modo que os pontos B, A e C se jam os vértices de um triângulo retângulo em C.
19. (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano car-tesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação:(x2 1 y2 1 1) 8 (2x 1 3y 2 1) 8 (3x 2 2y 1 3) 5 0, pode ser representado, graficamente, por:
a)
x
y d)
x
y
b)
x
y e)
x
y
c)
x
y
conexões com a matemática
4
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
20. (UFRN) Sobre as retas y 5 2x 1 3 e y 5 x 1 3, pode-mos afirmar que elas:
a) Se interceptam no ponto de coordenadas (21, 2).
b) Se interceptam formando um ângulo de 60°.
c) São perpendiculares aos eixos OX e OY, res-pectivamente.
d) Estão a uma mesma distância do ponto de co-ordenadas (3, 3).
21. (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do pla-no cartesiano que satisfazem t2 2 t 2 6 5 0, onde t 5 $ 2 $x y , consiste de:
a) uma reta. d) uma parábola.
b) duas retas. e) duas parábolas.
c) quatro retas.
22. (Fuvest-SP) Os pontos M(2, 2), N(24, 0) e P(22, 4) são, res pectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do seg-mento AB tem a equação:
a) x 1 2y 2 6 5 0 d) 2x 1 y 2 6 5 0
b) x 2 2y 1 2 5 0 e) 2x 1 2y 1 6 5 0
c) 2x 2 2y 2 2 5 0
23. (IFSP) Considere duas retas, r e s, passando pelo ponto (3, 1) e equidistantes da origem do plano car-tesiano. Se a equação da reta r é y 5 1, então a equa-ção da reta s é:
a) x 1 3y 1 2 5 0 d) 3x 2 4y 2 5 5 0
b) 3x 1 y 1 2 5 0 e) 3x 2 4y 1 1 5 0
c) 3x 2 y 2 2 5 0
24. (UFBA) Considerando, no plano cartesiano, os pon-tos A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todos os valo-res de x para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7.
25. (UFTM-MG) Na figura, tem-se o gráfico da função f(x) 5 cos(2x), ao qual pertencem os pontos A e B assinalados.
x
f(x)
A
B
Se A pertence ao eixo das abscissas e B tem ordena-
da 21, então o coeficiente angular da reta AB vale:
a) π742 c)
612 e)
π10
2
b) 3π52 d)
π9
42
26. (Ibmec) Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C.
1
3
4
x
y
A
B
C
r
0 3 2 3
Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABCt , en-tão o coeficiente angular de r é igual a:
a) 33
c) 342 e) 32
b) 21 d) 232
27. (UFRS) O conjunto dos pontos P cujas coordenadas
cartesianas (x, y) satisfazem x
y
1
11
21
< está repre-
sentado na região hachurada da figura:
a)
1 2
–2
x
y
0
d)
1 2
–2
x
y
0
b)
1 2
–2
x
y
0
e)
12
–2
x
y
0
c)
12
–2
x
y
0
28. (ESPM) Sobre um segmento de reta de extremida-des A(29, 1) e B(6, 29) são marcados alguns pon-tos que o dividem em n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das ordenadas. O número n pode ser igual a:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
conexões com a matemática
5
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
29. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta r tem equação cartesiana 2 1y x25 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0(0, 1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox com A0 5 O(0, 0). O ponto Di pertence ao segmen-to A Bi i, para 1 < i < 3.
B0
B1
B2
B3
D1
D2
D3
r
A1 A2 A3 x
y
O
Os segmentos A B1 1, A B2 2, A B3 3 são paralelos ao eixo Oy,
os segmentos B D0 1, B D1 2, B D2 3 são paralelos ao eixo
Ox, e a distância entre Bi e B1 1 i é igual a 9, para 0 < i < 2.
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base A A1 1i i e altura A D1 1i i1 1, para 0 < i < 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.
30. (UFG-GO) Para medir a área de uma fazenda de for-ma triangular, um agrimensor, utilizando um sis-tema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2, 1), B(3, 5) e C(7, 4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km2, é de:
a) 2
17 c) 2 17 e) 217
b) 17 d) 4 17
31. (UFG-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respecti-vamente, se intersectam em um ponto C. Conside-rando o ponto P(0,24), determine as coordenadas de dois pontos, A Ñ r e B Ñ s, de modo que o seg-mento CP seja uma mediana do triângulo ABC.
32. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coorde-nadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
a) 10 29 261 1 d) 17 2 261b) 16 29 261 1 e) 17 29 261 1c) 22 261
33. (Unemat-MT) Dado o gráfico da figura abaixo:
x
y = 4 – x
y = x
y
P
Seja o ponto P intersecção das duas retas, seu par ordenado será dado por:
a) P(1; 3) c) P(2; 3) e) P(2; 4)
b) P(2; 2) d) ;P32
2d n
34. (Unifesp) Num sistema cartesiano ortogonal, consi-derados os pontos e a reta exibidos na figura,
x
A
C
B
E
y = 2x + 1
DD
y
1O t
o valor de t para o qual a área do polígono OABC é igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é:
a) 1 302 1 c) 10 e) 2
1 112 1
b) 1 52 1 d) 3
35. (Unifor-CE) Duas retas, r e s, perpendiculares entre si, interceptam os eixos cartesianos nos pontos A e B, como é mostrado na figura abaixo.
x
r
s
C
A B
y
–1 2
3
Se o ponto C é a intersecção de r e s, a área do triân-gulo ABC, em unidade de superfície, é:
a) 8
5 3 c) 8
7 3 e) 4
5 3
b) 4
3 3 d) 8
9 3
conexões com a matemática
6
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
36. (Ifal) Se as equações das retas suportes dos lados de um triângulo ABC são y 5 2x 2 1, y 5 5x 2 4 e x 5 5. A área da região triangular ABC é:
a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32
37. (Fuvest-SP) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, repre-sentado abaixo em um sistema de coordenadas.
1
x
y
BAD
C = (2, 3)
1 5
A
D
Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo pon-to P(a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
a) 5 12 c) 5 22 e) 5 2 21b) 5 2 22 d) 2 51
38. (UFRGS) Os lados do quadrilátero da figura a seguir são segmentos das retas y 5 x 1 2, y 5 2 x 2 2, y 5 22x 1 2 e y 5 2x 2 2.
x
y
A área desse quadrilátero é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
conexões com a matemática
1
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Capítulo 26 circunferência
6. A figura abaixo representa uma praça circular construída com duas circunferências de mes-mo centro. A equação da circunferência L1 é x2 1 y2 1 4x 2 6y 2 36 5 0. Determine a equação da circunferência L2.
L2
L12
7. (Unicamp-SP) As equações (x 1 1)2 1 y2 5 1 e (x 2 2)2 1 y2 5 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas.
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências.
b) Encontre o valor de a Ñ R, a i 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas circunferências.
8. (Unicamp-SP) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunfe-rência C, definida pela equação x2 1 y2 5 4, e pela semirreta que parte da origem e faz um ângulo de 30° com o eixo x, conforme a figura a seguir.
x
y
PC
30°
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
1. (UFG-GO) Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações x2 1 y2 5 10 e (x 2 x0)
2 1 (y 2 y0)2 5 1. Determine o ponto P(x0, y0)
para que as duas circunferências sejam tangentes externas no ponto A(3, 1).
2. (UFC-CE) Seja g uma circunferência de raio 2 cm, AB um diâmetro de g e r e s retas tangentes a g, respectivamente por A e B. Os pontos P e Q es-tão respectivamente situados sobre r e s e são tais que PQ também tangencia g. Se AP 5 1 cm, pode-se afirmar corretamente que BQ mede:
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 4,5 cm
d) 8 cm
e) 8,5 cm
3. (UECE) A soma das coordenadas do centro da cir-cunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x 2 3y 5 0, é
a) 3 u.c.
b) 5 u.c.
c) 4 u.c.
d) 6 u.c.
4. (UFT-TO) Considere no plano cartesiano xy, a cir-cunferência de equação (x 2 2)2 1 (y 1 1)2 5 4 e o ponto P dado pela interseção das retas L1: 2x 2 3y 1 5 5 0 e L2: x 2 2y 1 4 5 0. Então a distân-cia do ponto P ao centro da circunferência é:
a) o dobro do raio da circunferência.
b) igual ao raio da circunferência.
c) a metade do raio da circunferência.
d) o triplo do raio da circunferência.
5. (UFSM-RS) A massa utilizada para fazer pastéis fo-lheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 1 y2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando π 5 3,14, o diâ-metro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente:
a) 7 e 113,04 d) 14 e 113,04
b) 7 e 153,86 e) 14 e 153,86
c) 12 e 113,04
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circunferênciacapítulo 26
Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil
conexões com a matemática
2
b)
(2, 0)
(–1, –1)
(0, 1)
x
y
c)
(2, 0)
(–1, –1)
(0, 1)
x
y
d)
(0, 1)
(–1, –1) (4, 0) x
y
e)
(0, 1)
(–1, –1)
(4, 0) x
y
12. (Unifor-CE) Considere que, num sistema de eixos cartesianos ortogonais, as intersecções das curvas de equações x2 1 y2 2 3x 2 19 2 0 e y2 5 x 1 4 são vértices de um polígono convexo cujos lados cor-respondem ao perímetro de um terreno. Se para desenhar esse terreno no sistema de eixos conside-rado foi usada uma escala de 1 : 6, a sua área real, em metros quadrados, é:
a) 288
b) 540
c) 960
d) 1.152
e) 2.304
9. (Udesc) A figura abaixo apresenta o triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O.
0
B
C
1 3 42
O
xA
2
1
–2
–1
y
Analise as afirmativas abaixo de acordo com a figura.
I. A área do triângulo ABC é igual a 2 3 unidades de área.
II. A equação da circunferência é dada porx2 1 y2 1 4x 5 0.
III. A equação da reta que passa pelos pontos A e C é dada por y 5 3x.
IV. A medida do ângulo A CBV é igual a 60º.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
e) Somente a afirmativa I é verdadeira.
10. (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x2 1 y2 2 4y 2 0 e x2 1 y2 2 4x 2 2y 1 4 2 0 em um sis-tema de coordenadas cartesianas:
a) esboce os seus gráficos;
b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências.
11. (Unesp) Dentre as regiões coloridas, aquela que re-presenta no plano cartesiano o conjunto
U 5 {(x, y) Ñ R2$y > 2x 1 1 e x2 1 y2 < 4} é:
a)
(2, 0)
(–1, –1)
(0, 1)
x
y
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conexões com a matemática
3
13. Um quadrado ABCD está inscrito na circunferência de equação (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 2 e tem lados para-lelos aos eixos ordenados. Se o ponto A é o vértice que tem menor abscissa e maior ordenada, deter-mine suas coordenadas.
14. (FGV) Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de or-denada máxima. A soma das coordenadas de P é:
a) 10 b) 10, 5 c) 11 d) 11, 5 e) 1
15. (Fuvest-SP) Uma reta de coeficiente angular m . 0 passa pelo ponto (2, 0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (1, 1), (5, 1), (5, 5) e (1, 5). Então:
1 3 5
1
3
5
x
y
2 4
2
4
a) m0 , ,31
d) m 5 1
b) m31= e) m1 , ,
35
c) m 1, ,31
16. (Fuvest-SP) Considere o triângulo ABC, onde A 5 (0, 4), B 5 (2, 3) e C é um ponto qualquer da cir-cunferência x2 1 y2 5 5. A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:
a) 21 b) 243
c) 1 d) 43
e) 2
17. (ITA-SP) Dadas a circunferência C: (x 2 3)2 1 (y 2 1)2 5 5 20 e a reta r: 3x 2 y 1 5 5 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45° com r e cuja
distância à origem é .5
3 5 Determine uma equa-
ção da reta t.
18. (UFSM-RS) Uma luminária foi instalada no ponto C( 25, 10). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q( 230, 215). O comprimento da linha cen-tral do passeio correspondente ao eixo y, que é ilu-minado por essa luminária, é:
a) 10 m c) 30 m e) 50 m
b) 20 m d) 40 m
19. (UFRJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e ( 25, 25) perten-cem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência.
20. (UFPA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0, 2), B(3, 0) e C( 21, 22), encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos.
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