CONCRETO ARMADO - Estabilidade Global

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES

MÓDULO IV – CONCRETO ARMADO

ESTABILIDADE GLOBAL

Prof. Marcos Alberto Ferreira da Silva

São Luís, 2013

Os esforços calculados a partir da geometria inicial da estrutura, sem deformação, são chamados efeitos de primeira ordem. Aqueles advindos da deformação da estrutura são chamados de efeito de segunda ordem.

A consideração dos efeitos de segunda ordem conduzem a não linearidade entre a ações e deformações; essa não linearidade, devido sua origem, é chamada de não linearidade geométrica. A consideração da fissuração e fluência do concreto conduzem também a uma não linearidade (entre ações e deformações) chamada neste caso de não linearidade física.

As deformações existentes na estruturas permitem calcular os efeitos de segunda ordem que de acordo com o item 15.3.1 da NBR6118:2004 podem ser divididos em Efeitos Globais, Locais e Localizadas de segunda ordem.

ESTABILIDADE ESTRUTURAL

Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de segunda ordem. Nas barras da estrutura, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de segunda ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas.

Em pilares-parede pode-se ter uma região que apresenta não retilineidade maior do que a do pilar como um todo; nestas regiões surgem efeitos de segunda ordem maiores, chamados de efeito de segunda ordem localizados. O efeito de segunda ordem localizado, além de aumentar nesta região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a necessidade de aumentar os estribos nestas regiões.


INSTABILIDADE GLOBAL

INSTABILIDADE LOCAL

INSTABILIDADE LOCALIZADA


Efeitos de 2ª ordem localizados


EXEMPLO 1- Calcular o deslocamento do topo do pilar dado na figura abaixo, considerando a não linearidade geométrica (sem considerar a fissuração) com Ec = 25 GPa.

Figura 1 - Pilar com seção de 20x20 para o exemplo 1

Pode-se usar o programa FTOOL ou outro de pórtico, dividir o elemento em 10 trechos, resolver a estrutura inicialmente submetida ação do vento obtendo os deslocamentos w ao longo do pilar (ver tabela 1).

estrutura

N=200 kNH=10 kN

1

2

3

4

5

6

7

9

10

88

10

9

7

6

5

4

3

2

1

11

NÓS ELEMENTOS

Figura 2- Modelagem do pilar com seção de 20x20 para o exemplo 1

EXEMPLO 1

Com os valores obtidos da ação do vento consideram-se os pontos do pilar com os valores de x alterados (somados ao deslocamento devido ao vento) e resolve-se agora a estrutura (não mais vertical) com N = 200 kN achando-se os deslocamentos deste caso que deverão ser somados ao caso do vento.

Na segunda iteração resolve-se a estrutura com coordenadas x igual ao deslocamento do vento mais ao da primeira iteração obtendo-se os deslocamentos da segunda iteração . E assim prossegue-se a resolução até obter-se uma convergência nos valores da deformação. Na tabela 1 estão indicados os resultados dos deslocamentos finais a partir de cada iteração e no gráfico da figura 2 estão mostradas as linhas elásticas correspondentes.

EXEMPLO 1

TABELA 1 – DESLOCAMENTOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM DO PILAR

H(m) w- vento (cm)

w- iteração 1 (cm)



3 2,7 3,28 3,41 3,44

2,7 2,3 2,79 2,9 2,92

2,4 1,9 2,3 2,39 2,41

2,1 1,52 1,83 1,91 1,92

1,8 1,16 1,4 1,45 1,46

1,5 0,84 1,01 1,05 1,06

1,2 0,56 0,67 0,7 0,7

0,9 0,32 0,38 0,4 0,4

0,6 0,15 0,17 0,18 0,18

0,3 0,03 0,03 0,04 0,04

0 0 0 0 0

estrutura

N=200 kNH=10 kN

1

2

3

4

5

6

7

9

10

88

10

9

7

6

5

4

3

2

1

11

NÓS ELEMENTOS

Figura 2- Modelagem do pilar com seção de 20x20 para o exemplo 1

EXEMPLO 1

~NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICAPILAR 20X20 H=10kN N=200 kN

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

VENTO

ITERAÇÃO 1

ITERAÇÃO 2

TERAÇÃO 3

ITERAÇÃO4

EXEMPLO 1

ESTABILIDADE GLOBAL

Para criar condições mais simples de cálculo, costuma-se definir estruturas de nós fixos e nós móveis.

NBR 6118:2003 (item 15.4.3):

“Estruturas de nós fixos são aquelas em que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais de segunda ordem.”

Os efeitos de primeira ordem são aqueles obtidos com o cálculo feito com a estrutura considerada indeformada.

ESTABILIDADE GLOBAL

NBR 6118:2003 (item 15.4.3):

“Estruturas de nós móveis, por sua vez, são definidas como aquelas em que os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados tanto os esforços de segunda ordem globais como os locais.”

ESTABILIDADE GLOBAL

No item 15.5, a norma apresenta as condições para a dispensa da consideração dos esforços globais de segunda ordem. Define dois processos aproximados: o do parâmetro e o do coeficiente z.

Após a determinação dos deslocamentos horizontais, verifica-se a porcentagem do aumento dos momentos de segunda ordem e faz-se a comparação com o parâmetro de instabilidade e o coeficiente z, classificando a estrutura como de nós moveis ou fixos.

ESTABILIDADE GLOBAL(Parâmetro de instabilidade )

Uma estrutura poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade , dado pela expressão a seguir, for menor que 1:

)I/(ENH ccktot

1 0 2 0 1 , , .n se n 3 1 0 6 , se n 4

n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;

H tot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;

N k - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H tot ), com seu valor característico;

E c I c - somatória das rigidezes de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez E c I c de um pilar equivalente de seção constante. O valor de E c é dado em 7.1.8. O valor de I c é calculado considerando as seções brutas dos pilares.

Para determinar a rigidez equivalente, procede-se da seguinte forma:

•inicialmente calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal característico;

•calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura H, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.


pavimento

forroF

pórtico

H

pilar

F

IE

HFpilar

3

3

pórtico

HFIE

3

3


Exemplo numéricoSeja a edificação de um pavimento e cobertura cujas plantas de formas do primeiro piso e forro estão nas figuras seguintes. Verificar se o esquema estrutural pode ser admitido de nós fixos (na direção dos pilares P1, P2, P3), considerando os dados: peso próprio da laje 1,5 kN/m2; revestimento no pavimento 5cm, carga acidental no piso 1,5 kN/m2, revestimento do forro de 2cm, paredes de espessura de 20 cm em todas as vigas de 20cm e de 15cm quando em vigas de 12cm, peso específico da alvenaria e revestimento de f = 18 kN/m3. Considerar que todos os pilares sejam de 19 x 19cm. Concreto fck = 30 MPa.

ESTABILIDADE GLOBAL(Parâmetro de instabilidade - Exemplo numérico)

Tabela 3.4 Cargas verticais atuantes na edificação. Carga tipo Valor Total

parcial kN Acidental Laje pavimento 16,9 7,61,5= 193 acidental Laje de forro 16,9 7,60,5= 64 Total parcial

acidental 257 (15%)

Permanente laje do pavimento 16,9 7,61,5= 193 Permanente laje de forro 16,9 7,61,5= 193 Sob. Perm. pavimento 0,05 16,9 7,6 18= 115 Sob. Perm forro 0,02 16,9 7,6 18= 46 Permanente Paredes vert. de 20 cm ((6,302+4,30) 0,202,4) 183= 438 Permanente Paredes vert. de 15 cm ((4,30+4,30) 0,152,7) 18= 63 Permanente Paredes horizontais 15cm ((3,702) 40,152,7018 = 216 permanente Vigas de 20x60 ((6,302+4,3) 0,200,63252 = 304 permanente Vigas de 1230 (7,64+24,3)0,120,20252 = 70 permanente Pilares de

19x19x(620-45) 120,190,19(6,2-0,45) 25= 62

Total parcial

permanente 1700(87%)

Total final Acidental+permanente 1957 Obs- Não foi considerada a ação das escadas.

Cálculo do coeficiente Com os dados obtidos do problema 3.1 tem-se:

Módulo de elasticidade Ec =5600 ckf 85,0 = 0,855600 30 =26.071 MPa

Inércia equivalente I = 45 10-3 (ver exemplo 3.1) E com o valor de H= 6,4 m e Nk=1770 kN

)I/(ENH ccktot =

37 1054106,2

19572,6 0,38 < 1=0,4

Trata-se portanto de uma estrutura de nós rígidos

REFLEXÃO Verificar como em edifícios residenciais de pequeno ou médio porte a carga permanente

é bem maior que a acidental. Foi feita a verificação da estrutura segundo a direção horizontal, fica a cargo do leitor

fazer a verificação na outra direção (basta considerar a inércia equivalente dos pórticos P1, P4, P7 e P10 – P2, P5, P8 e P11 – P3, P6, P9 e P12).


Resolvendo a mesma estrutura, considerando os nós rotulados e pilares com 19cm x 30 cm. Aplica-se uma carga unitária no topo:

Obtendo-se o diagrama de momentos:

Com um deslocamento de 291 mm.

pórtico

HFIE

3

3 300.27

291,03

2,6100 3

IE

)I/(ENH ccktot 83,0273004

19572,6

=

0,83 > 1 = 0,4

40,04

19572,6

EI542.117novoEI

305,4300.27/542.117/ EIEInovo


00042,012

30,300,19

I

0018,000042,0305,4305,4 IInovo

=

0018,012

19,0 3

h

mhnovo 48,0

4,0386,0099.1264

19572,6099.126

063,03

2,6100 3

novoEI

Resolvendo o pórtico com o novo valor de h chega-se a um deslocamento de 63,05 mm.

ESTABILIDADE GLOBAL(Coeficiente z)

É possível determinar de forma aproximada o coeficiente z de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem, ou seja, avalia-se a importância dos esforços de segunda ordem globais (item 15.5.3, NBR 6118:2003).

. 1

1

,,1

,

dtot

dtotz

M

M

sendo: M tot1, ,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças

horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; M tot ,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores

de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem.

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: z 1,1. Frisa-se ainda que a norma prescreve que este coeficiente só é válido para estruturas reticulares com no mínimo quatro andares.

3. 10 ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS Nas estruturas de nós fixos, de acordo com o item 15.5 da NBR6118:2003, permite-se considerar cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem será feita de acordo com o que se prescreve no item 15.7 da norma, e que se verá no estudo de pilares. Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura deslocável. 3.11 ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS Nas estruturas de nós moveis (item 15.6 da NBR6118:2003), a análise deve levar obrigatoriamente em conta os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física. No dimensionamento, consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem. 3.12. Análise não-linear com 2ª ordem (item 15.6.1, NBR6118:2003) A análise não-linear com 2ª ordem deve considerar a não-linearidade geométrica da estrutura e, através de modificações apropriadas da matriz de rigidez da estrutura, a não-linearidade física do material, como se prescreve em 15.2. Em estruturas de edifícios, permite-se, para a consideração da não-linearidade geométrica, o emprego do processo P (também conhecido como N - a), tomando-se, para levar em conta a não-linearidade física, os valores estabelecidos em 15.6.2. Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares, consiste no cálculo do coeficiente z do item 15.4.2., permitindo-se a avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95z dos momentos de 1ª ordem, desde que: z 1 3, .

3.13. Consideração aproximada da não-linearidade física (15.6.2, NBR6118:2003) Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, permite-se considerar a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez das peças os valores a seguir: lajes: ( ) ,secEI E Ic c0 3 (3.11) vigas: ccsec IE4,0)EI( para A's As e (EI)sec = 0,5 Ec Ic para A's = As (3.12) pilares: ( ) ,secEI E Ic c0 8 (3.13) sendo E c o módulo de elasticidade do concreto dado em 7.1.8 e IC o momento de inércia da seção bruta de concreto. Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento é composta exclusivamente por vigas e pilares, considerar para ambos: (EI)sec = 0,7 EcIc (3.14) Os valores acima dados para ( ) secEI são aproximados e não poderão ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. Antes de resolver os exemplos de aplicação do coeficiente z são feitas algumas considerações:

O valor do modulo de elasticidade do concreto a considerar para verificação de estabilidade global é, segundo o item 8.2.8 o secante e portanto

ckc fE 5600 (MPa) (3.15)


Para o cálculo de M tot1, ,d e (momento de tombamento) e M tot ,d (momento de segunda

ordem) devem ser empregados os esforços no estado limite último. Assim tem-se:

M tot ,d = hi

n

iiqfiqfgif PPP

1201 (3.16)

Com i – numero do andar considerado n – número do total de andares da edificação (no caso 4) Pig- Resultante vertical da carga permanente no andar i f – coeficiente de majoração das cargas no estado limite último 0 – coeficiente redutor de carga para consideração de carga acidental secundária principal igual a 1 Pq1i- Resultante vertical da carga acidental considerada principal no andar i Pq2i- Resultante vertical da carga acidental considerada secundária no andar i hi – deslocamento horizontal na direção considerada do andar i


Para cálculo do valor dos valores de hi usa-se as ações horizontais do vento em serviço tendo-se então hi = hkif 0 ficando a expressão anterior (considerando vento como

secundário):

,,1

,

dtot

dtot

M

M

fi

n

ivi

n

ihkifqifgif

hH

PP

0

10

Com Hi – ação do vento resultante no andar i hi – istancia do andar i até a base do prédio ou ponto de engastamento do mesmo.

,,1

,

dtot

dtot

M

M

i

n

ivif

n

ihkiqifgiff

hH

PP

0

10

=

,,1

,

dtot

dtot

M

M

i

n

ivi

n

ihkiqifgif

hH

PP

1

(3.17)

,,1

,

dtot

dtot

M

M

i

n

ivif

n

ihkiqifgiff

hH

PP

1

0

=

i

n

ivi

n

ihkiqifgif

hH

PP

1

0 (3.18)

Assim percebe-se que a expressão 3.17 é mais desfavorável que a expressão 3.18, devendo ser considerada no cálculo do z.

Exemplo numérico 3.7 Verificar a estabilidade global da estrutura de edificação com 4 pavimentos cujas plantas de formas do primeiro piso e forro estão nas figuras 3.16 e 3.17. Verificar se o esquema estrutural pode ser admitido de nós fixos, considerando todos os dados do exemplo 3.6 apenas o concreto com fck=20MPa. Para cálculo da ação de vento considerar as mesmas condições que o exemplo 3.2.

Ações Horizontais Inicialmente é calculada a ação de vento atuante na estrutura (sempre considerando que o vento está incidindo na fachada de maior dimensão). Como as condições são as mesmas do exemplo 3. o valor de V0=40 m/s Os valor de S1=1 por se tratar de terreno plano e S3=1 por se tratar de edificação residencial e o valor de S2 será considerado de acordo com a altura do andar correspondente e usando a tabela 3.2. O coeficiente de arrasto Ca pode ser obtido considerando situação de vento turbulento e de acordo com o gráfico da figura 3.13 com os parâmetros de entrada de : L1/L2=16,9/760=2,28 e h/L1= 15,5/16,9=0,92 conduzindo a um valor igual o Ca =1,05. Assim a força de arrasto por andar é dada pela expressão: HBpCH vav

Onde B- largura do prédio onde incide o vento (16,90 m no caso) H- altura do andar igual a 3,10 m exceto na última laje que é este valor divido por 2. Os valores para cálculo da ação do vento estão indicados na tabela 3.5

ESTABILIDADE GLOBAL(Coeficiente z - Exemplo numérico)

Tabela 3.5 Forças do vento em cada laje por pórtico (kN) h(m) Faixa considerada

da tabela 3.2 Valor de S2

Vk = Vo S1 S2 S3

(m/s) pv

(kN/m2) Hv=Capv hB

(kN) 3,10 5 m 1,06 42,4 1,102 57,7 6,20 10 m 1,10 44,0 1,186 65,2 9,30 10 m 1,10 44,0 1,186 65,3 12,40 15 m 1,12 44,8 1,230 67,6 15,50 15 m 1,12 44,8 1,230 33,8

As características geométricas dos elementos são dadas por:

pilar Área = 0,20,60=0,12 m2 Inércia (estádio I)= 33

106,312

60,020,0

m4

viga Área = 0,120,40=0,048 m2 Inércia (estádio I)= 43

104,612

40,012,0

m4

Para considerar a não linearidade física de maneira simplificada pode-se considera neste caso (ver 3.13) as inércias do pilar e das vigas multiplicadas por 0,7. Assim, tem-se

pilar Área = 0,20,60=0,12 m2 Inércia (estádio II)= 33

1052,27,012

60,020,0

m4

viga Área = 0,120,40=0,048 m2 Inércia (estádio II)= 43

1048,47,012

40,012,0

m4


P8 (20X60) P9 (20X60)P7 (20X60) 310

310

TIPO31

031

0

P8 (20X60) P9 (20X60)P7 (20X60) 310

P7 (20X60) P8 (20X60)

TIPO

P7 (20X60) P8 (20X60)

8,45

16,9

16,3

16,3

14,4

1,86cm

1,48 cm

2,10 cm

0,94 cm

0,24cm

Como os pórticos são iguais, será resolvido apenas um pórtico, e as ações de vento atuantes devem ser divididas por quatro (número de pórticos).

Ações Verticais Inicialmente separam-se as cargas verticais por andar tipo de pavimento, tipo forro e por carga permanente e acidental na tabela 3.6

Tabela 3.6 Cargas verticais na estruturas Forro

Carga Tipo Valor Total parcial kN

Acidental Laje de forro 16,9 7,60,5= 64 Total parcial

Acidental 64 (13%)

Permanente laje de forro 16,9 7,61,5= 193 Sob. Perm Forro 0,02 16,9 7,6 18= 46 permanente Vigas de 20x60 ((6,302+4,3) 0,200,6325= 152 permanente Vigas de 1230 (7,64+24,3)0,120,2025 = 35 Total parcial

Permanente 426(87%)

Total final Acidental+permanente 490

PAVIMENTO TIPO Carga Tipo Valor Total

parcial kN Acidental Laje pavimento 16,9 7,61,5= 193 Total parcial

acidental 193 (13%)

Permanente laje do pavimento 16,9 7,61,5= 193 Sob. Perm. pavimento 0,05 16,9 7,6 18= 115 Permanente Paredes vert. de 20 cm ((6,302+4,30) 0,202,4) 183= 438 Permanente Paredes vert. de 15 cm ((4,30+4,30) 0,152,7) 18= 63 Permanente Paredes horizontais 15cm ((3,702) 40,152,7018 = 216 permanente Vigas de 20x60 ((6,302+4,3) 0,200,6325= 152 permanente Vigas de 1230 (7,64+24,3)0,120,2025 = 35 permanente Pilares de

19x19x(310-45) 120,190,19(3,10-0,45) 25= 29

Total parcial

permanente 1241 (87%)

Total final Acidental+permanente 1434


O momento de segunda ordem (na primeira iteração) pode ser calculado pela expressão indicada abaixo, destacando que não há carga acidental secundária:


M tot ,d = hi

n

iqifgif PP

1

Com i – numero do andar considerado n – número do total de andares da edificação (no caso 4) Pig- Resultante vertical da carga permanente no andar i f – coeficiente de majoração das cargas no estado limite último 0 – coeficiente redutor de carga para consideração de carga acidental secundária se

principal igual a 1 Piq- Resultante vertical da carga acidental no andar i hi – deslocamento horizontal na direção considerada do andar i Os valores de P para os andares do pavimento e do forro para carga acidental e permanente estão dados na tabela 3.6 e os valores de hi estão dados (sem coeficiente de ponderação na figura

Assim considerando em uma primeira situação a carga vertical acidental como principal os coeficientes de ponderação das cargas verticais são (tanto permanente como acidental) 1,4 e para as ações do vento o valor de 0,84. A expressão portanto fica: M tot ,d = hi

ni

,1

iqig P4,11P4,1

Os valores em questão estão dados na tabela 3.7

Tabela 3.7 Calculo do Momento de segunda ordem primeira situação Andar P (g+q) (kN) Coeficiente hi (cm) M tot ,d (kN.m)

Forro 490 1,4 2,10 14,41 4 1434 1,4 1,48 29,71 3 1434 1,4 0,94 18,87 2 1434 1,4 0,34 6,82 1 1434 1,4 0,24 4,81

Total 74,62


M1,av = ivi h H

M1,av= 4 (14,43,10+ 16,36,20+ 16,39,30+ 16,912,4+ 0,8515,5)=2080 kN.m

Assim

. 1

1

,1

,

av

dtotz

M

M

= .

2080

62,741

11,04<1,1

A estrutura pode ser considerada de nós fixos.

O momento de tombamento devido ao vento é obtido multiplicando a força do vento em cada andar pela respectiva altura em relação ao nível da fundação (h), lembrando que é necessário considerar toda a ação do vento ( nos quatro pórticos), pois as cargas verticais foram tomadas como as resultantes de todo o pavimento.


As características geométricas dos elementos são dadas por:

pilar Área = 0,20,60=0,12 m2 Inércia (estádio I)= 33

106,312

60,020,0

m4

viga Área = 0,120,40=0,048 m2 Inércia (estádio I)= 43

104,612

40,012,0

m4

Para considerar a não linearidade física de maneira simplificada pode-se considera neste caso (ver 3.13) as inércias do pilar e das vigas multiplicadas por 0,7. Assim, tem-se

pilar Área = 0,20,60=0,12 m2 Inércia (estádio II)= 33

1052,27,012

60,020,0

m4 viga Área = 0,120,40=0,048 m2 Inércia (estádio II)=

43

1048,47,012

40,012,0

m4

Considerando agora a mesma estrutura, porém rotulada….

Momento fletor

Deslocamentos nos andares:0,243 m; 0,178m; 0,115m; 0,0588m; 0,0168.

Tabela 3.7 Calculo do Momento de segunda ordem primeira situaçãoAndar P (g+q) (kN) Coeficiente hi (cm) M tot ,d (kN.m)

Forro 490 1,4 24,3 166,7 4 1434 1,4 17,8 357,3 3 1434 1,4 11,5 230,9 2 1434 1,4 5,88 118,0 1 1434 1,4 1,68 33,7

Total 906,7

M1,av = ivi h H

M1,av= 4 (14,43,10+ 16,36,20+ 16,39,30+ 16,912,4+ 0,8515,5)=2080 kN.m

Assim

. 1

1

,1

,

av

dtotz

M

M

= .

20807,906

1

11,77>>1,1

M1,av = ivi h H

M1,av= 4 (14,43,10+ 16,36,20+ 16,39,30+ 16,912,4+ 0,8515,5)=2080 kN.m

Assim

. 1

1

,1

,

av

dtotz

M

M

= .

20807,906

1

11,77>>1,1

Considerando o pilar central como parede de 20x120Área → A= 200x1200= 24000

Inércia → A= 0,7x200x12002/12= 2,016x10x10

Diagrama de momento fletor

Deslocamentos nos andares:0,073 m; 0,053m; 0,034m; 0,017m; 0,005.

Tabela 3.7 Calculo do Momento de segunda ordem primeira situaçãoAndar P (g+q) (kN) Coeficiente hi (m) M tot ,d (kN.m)

Forro 490 1,4 0,073 50,0 4 1434 1,4 0,053 106,4 3 1434 1,4 0,034 68,2 2 1434 1,4 0,017 34,1 1 1434 1,4 0,005. 10,0

Total 268,7

M1,av = ivi h H

M1,av= 4 (14,43,10+ 16,36,20+ 16,39,30+ 16,912,4+ 0,8515,5)=2080 kN.m

Assim

. 1

1

,1

,

av

dtotz

M

M

= 15,1

2080

7,2681

1

<1,2

Assim pode-se usar a estrutura, porém considerando as ações de vento multiplicadas por 1,15.

Estrutura de contraventamento lateral

A laje de um pavimento poderá ser considerada, segundo o item 14.5.7.5 na NBR6118:2003, como uma chapa totalmente rígida em seu plano, desde que não apresente grandes aberturas e cujo lado maior do retângulo circunscrito ao pavimento em planta não supere em três vezes o lado menor.

A rigidez de torção de vigas e pilares, em geral pode ser desprezada ao se analisar a estrutura de contraventamento

submetida a ações horizontais.

Verificação de deformação lateral:

Ainda devido à ação do vento é preciso lembrar que para evitar fissuração das paredes a NBR6118:2003 recomenda que não deverá existir deslocamentos laterais superiores a H/1700 ou Hi/850 entre os andares.

Exemplo numérico

Verificar o deslocamento limite lateral, devido à ação do vento, para a edificação do exemplo 3.7.

Basta usar os resultados encontrados no exemplo anterior lembrando apenas que a ação do vento é 0,3 do valor lá considerado.

Resolução

ANDAR (cm) 0,3 (cm) H (cm) H/1700 (cm)

(cm) Hi/850 (cm)

1 2 3 4 5 6 FORRO 2,46 0,734 1550 0,911 0,077 0,360

4 2,19 0,657 1240 0,728 0,135 0,360 3 1,74 0,522 930 0,547 0,192 0,360 2 1,10 0,330 620 0,360 0,210 0,360 1 0,40 0,120 310 0,180 0,120 0,360

Assim, basta comparar os valores da coluna 2 como os valores (limites) da coluna 4 e verificar que são todos menores em cada andar verificando a primeira condição. Comparando as colunas 5 e 6 nota-se que a segunda condição está atendida.

Consideração de imperfeições geométricas

As estruturas reticulares, mesmo quando descarregadas, apresentam imperfeiçoes do eixo dos seus elementos e elas devem ser consideradas na verificação do estado limite último.

Essas imperfeições podem ser divididas em globais e locais. No caso interessam as globais, que podem comprometer a estabilidade da edificação.

O item 11.3.3.4.1 da norma trata das imperfeições globais e estabelece que, nas estruturas reticuladas, contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos seus elementos verticais.

amáximo = a H (3.15)

com a = 2

(1/n)1θ1

;

H100

1θ1

(3.16)

De acordo com a norma, o deslocamento máximo do topo do edifício é dado por:

Nas expressões anteriores deve-se ainda obedecer os limites de:

400/1θ min1, para estruturas de nós fixos

300/1θ min1, para estruturas de nós móveis ou imperfeições locais.

200/1θ máx1,

Com n- o número de prumadas do pórtico H- altura total da edificação, em metros.

Consideração de imperfeições geométricas

A norma indica ainda que este desaprumo não deve necessariamente ser superposto ao carregamento do vento. Entre os dois, vento e desaprumo, deve ser considerado apenas o mais desfavorável, ou seja, aquele que provoca o maior momento total na base da edificação.

Exemplo numérico

Verificar a estabilidade global da estrutura de edificação do exemplo 3.7 considerando a condição de imperfeição geométrica.

Resolução Calculando o valor do desaprumo tem-se

H100

1θ1

=

15,50100

1

=

394

1

400

11θ =

394

1

200

1 pode ser usado o valor de 1θ

com a = 2

(1/n)1θ1

=

2

(1/3)1

394

1 =

482

1

amáximo = a H = 482

11550 =3,212 cm

Resolução Calculando o valor do desaprumo tem-se

H100

1θ1

=

15,50100

1

=

394

1

400

11θ =

394

1

200

1 pode ser usado o valor de 1θ

com a = 2

(1/n)1θ1

=

2

(1/3)1

394

1 =

482

1

amáximo = a H = 482

11550 =3,212 cm

M tot ,d = hi

ni

84,0P4,11P4,1,1

iqig = hin1,i

iqig δ0,84PP1,4

Tabela 3.9 Calculo do Momento de segunda ordem primeira situação

Andar P (g+q) (kN) Coeficiente hi (cm) M tot ,d (kN.m)

Forro 490 1,4 3,21 22,02 4 1434 1,4 2,57 51,60 3 1434 1,4 1,93 38,75 2 1434 1,4 1,28 25,70 1 1434 1,4 0,64 12,85

Total 151>105,72

M1,av = ivi h H

M1,av= 0,84 4 (14,43,10+ 16,36,20+ 16,39,30+ 16,912,4+ 0,8515,5)=1747 kN.m

Assim

. 1

1

,1

,

av

dtotz

M

M

= .

1747

1511

11,09 <1,1

Exemplo numérico

Agora considerando em uma segunda situação a carga vertical acidental como secundária e portanto submetido a um coeficiente de 1,40,5=0,7 (0=0,5) enquanto as permanente por 1,4 e a de vento por 1,4. M tot ,d = hi

ni

,1

iqf0igf PP =

Tabela 3.10 Calculo do Momento de segunda ordem segunda situação

Andar Pg (kN) Pq (kN) Pq+q (kN hi (cm) M tot ,d (kN.m)

Forro 426 4,1 596 640,7=44,8 641 3,21 20,58

4 1241 4,1 1737 1930,7=135 1872 2,57 48,11

3 1241 4,1 1737 1930,7=135 1872 1,93 36,12

2 1241 4,1 1737 1930,7=135 1872 1,28 24,03

1 1241 4,1 1737 1930,7=135 1872 0,64 11,98

Total 141<174,83 Esta condição não precisa ser verificada portanto.

Exemplo numérico

O coeficiente a foi introduzido por BECK e, posteriormente, estudado e adaptado por Vasconcelos e denominado parâmetro de instabilidade por FRANCO (1997). Faz o estudo de uma edificação considerando-a como um meio elástico. Este parâmetro é um valor adimensional destinado a determinar se uma estrutura será de nós deslocáveis ou não deslocáveis. Em suma, este parâmetro tem a finalidade de indicar se a estrutura é mais ou menos susceptível a perda de estabilidade devido às ações horizontais, mas não leva em conta a fissuração dos elementos.

O coeficiente gz, similarmente ao parâmetro de instabilidade α, também é utilizado para mensurar a sensibilidade da estrutura aos efeitos de 2ª ordem, ou seja, aos efeitos da não linearidade geométrica, estimando a importância dos esforços de 2a ordem em relação aos esforços de 1ª ordem. A expressão da norma, para o valor de gz , como já visto é:

dtot

dtotz

M

M

,,1

,1

1

Comentários

nMMMMMM ...32112 (3.17)

com 11 PM ; 22 PM etc (3.18)

A razão entre os incrementos de momentos fletores podem ser obtidos por:

11

2

1

1 ...

n

n

M

M

M

M

M

Mr (3.19)

Dividindo-se ambos os membros da equação 3.17 por 1M , obtém-se:

11

2

1

1

1

1

1

2 ...M

M

M

M

M

M

M

M

M

M n

Considerando as relações apresentadas na equação 3.19, tem-se:

nn

nnn

n

n rM

rM

M

rrM

M

rM

M

Mr

M

M

rM

rrM

M

rM

M

Mr

M

M

rM

rM

M

Mr

M

M

rM

M

1

11

1

2

1

1

11

3

1

1

1

2

1

3

2

3

2

1

1

1

2

1

2

1

1

(3.20)

Desta forma, o momento fletor obtido a partir dos efeitos de segunda ordem pode ser representado pela equação :

12

22

1

2 ...1...1 MrrrMrrrM

M nn (3.21)

Multiplicando ambos os membros da equação por r, obtém-se a expressão: 1

122 ... MrrrMr n (3.22)

Multiplicando a equação 2.10 pelo fator (-1) e somando-se com a equação 3.21, obtém-se: 1

121

122 11 MrrMMrrMrM nn (3.23)

Considerando-se a condição de equilíbrio da estrutura, o incremento de deslocamento em uma determinada iteração dever ser menor do que o incremento obtido na iteração anterior, ou seja, deve ser respeitada a inequação 3.24:

1 jj MM (3.24)

Onde: j: número da iteração.

Deste modo, a equação 2.11 pode ser dividida por (1-r), resultando na equação 2.13: 1

1

2 1

1M

r

rM

n

(3.25)

Quando n tende ao infinito, tem-se: r

Mr

r

MMM

r

rM n

n

n

nn

11lim

11

1limlim 111

21

1

2 (3.26)

Dividindo-se a equação 2.14 por 1M :

1

1

1

11

2

1

1

1

1

1

1

M

M

M

MrM

Mz (3.27)

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