Concreto Armado da UFPR Volume II 2016 · 8-1 2016 tc040 8 8 LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 8.1...

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Concreto Armado da UFPR Volume II 2016 Dalledone & Marino

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Concreto Armado da UFPR

Volume II

2016

Dalledone & Marino

Esta publicação visa atender os alunos das disciplinas TC037 Estruturas de Concreto I e TC040 Estruturas de Concreto II do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Paraná. É de responsabilidade dos Professores Roberto Dalledone Machado e Marcos Antonio Marino (aposentado). Agradecemos aos antigos e atuais professores das citadas disciplinas pela colaboração prestada na elaboração deste trabalho.

M. A. Marino ([email protected]) R. Dalledone M. ([email protected])

8-1 2016 tc040

88 LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

8.1 Introdução Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que uma

dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais (Figura 8.1):

Figura 8.1 - Estruturas laminares

Os elementos de superfície recebem as seguintes denominações:

- placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano;

- cascas: elementos de superfície não plana; e

- chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano.

As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa. Em casos especiais, onde se requer lajes com maior rigidez (maior altura), pode-se fazer uso de lajes

nervuradas (Figura 8.2).

Figura 8.2 - Lajes maciças e nervuradas

Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e plana, fecham-se os vazios com elementos inertes (tijolos, blocos vazados de concreto, isopor, etc.), como mostrado na Figura 8.3. Esta laje é denominada mista.

Figura 8.3 - Laje mista

As lajes que se apoiam diretamente sobre pilares são denominadas lajes lisas e as lajes que se apoiam sobre pilares com capitéis denominam-se lajes cogumelo.

Neste Capítulo somente serão abordadas as lajes maciças apoiadas em vigas.

8.2 Vãos efetivos de lajes Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser considerados

suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (Figura 8.4) deve ser calculado pela seguinte expressão:

placa casca chapa

laje maciça laje nervurada

8-2 2016 tc040

210ef aa Equação 8.1

h3,0

t5,0mina

h3,0

t5,0mina

22

11

onde:

ef vão efetivo da laje;

0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos;

t comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada;

h espessura da laje.

Figura 8.4 - Vão efetivo de laje

8.3 Curvaturas de lajes As lajes maciças de concreto armado (Figura 8.5) podem apresentar:

- curvatura em uma só direção; ou

- curvaturas em duas direções ortogonais.

Figura 8.5 - Curvaturas de lajes

Quando a laje apresenta curvatura em uma só direção, seu comportamento é idêntico ao de uma viga de larga base e pouca altura. As lajes com curvaturas em duas direções ortogonais têm comportamento de placa. As lajes com curvatura em uma só direção podem ser consideradas como apoiadas somente nas bordas perpendiculares ao eixo da curvatura, ao passo que as lajes com curvaturas em duas direções ortogonais são apoiadas em todo seu contorno (Figura 8.5).

h

t2 t1

laje

viga

0

ef

y

x

y

x

x

x

y

y

8-3 2016 tc040

Quando a relação entre o vão maior (y) e vão menor (x) superar dois, a critério do projetista, a curvatura na direção do vão maior pode ser desprezada. Nesta condição somente a

curvatura (esforços) na direção do vão menor (x) será considerada.

As lajes consideradas como de curvatura em uma só direção são também chamadas lajes armadas em uma só direção. As de curvaturas em duas direções ortogonais são denominadas armadas em duas direções (Figura 8.6).

Figura 8.6 - Lajes armadas em uma ou duas direções

8.4 Lajes contínuas Assim como as vigas, as lajes apresentam, também, condições de continuidade. Desta

forma os apoios podem ser:

- apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada, transmitindo à viga suporte somente cargas verticais (reação de apoio);

- apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas verticais (reação de apoio) para a viga suporte; e

- borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço.

A consideração de apoios simples em lajes de extremidade evita que sejam transmitidos momentos torçores para as vigas suportes.

Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática comum considerar as lajes isoladamente. Como em regiões de continuidade de lajes existe momento negativo, este pode ser representado, nas lajes isoladas, por um engaste (Figura 8.7).

Figura 8.7 - Lajes contínuas

Na Figura 8.7,

- o apoio simples é representado por uma linha contínua;

x

y

x

y

L1

L3

L2

V1

V2

V4 V5

V2

V5 V4

V3

V1

V5

V3 V3

V4 V2

V5

P3 P4

L1

L2

L3

V1 P2 P1

8-4 2016 tc040

- o engaste é representado pela hachura; e

- a borda livre é representada por uma linha tracejada.

Ainda na Figura 8.7:

- a laje L1 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5) e contínua na direção da laje L3 (apoiada sobre a V2);

- a laje L2 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V3, contínua na direção das lajes L1 e L3 (apoiada sobre a V5) e com uma borda livre; e

- a laje L3 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V3 e V4, contínua na direção da laje L1 (apoiada sobre a V2) e contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5).

Quando sobre um apoio comum, duas lajes contíguas apresentarem diferentes dimensões, considera-se o engaste no vão maior se este for igual ou superior a 2/3 do vão menor (Figura 8.8). Deve ser observado na Figura 8.8 que a laje L1 deverá sempre ser considerada como engastada na direção da laje L2.

Figura 8.8 - Lajes contínuas de diferentes dimensões

8.5 Espessura de lajes A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes

(momento fletor e força cortante) para o estado limite último, bem como às verificações do estado limite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc).

Segundo a ABNT NBR 6118 - 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para as espessuras:

- 7 cm para cobertura não em balanço;

- 8 cm para lajes de piso não em balanço;

- 10 cm para lajes em balanço;

- 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

- 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

- 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de /42 para lajes

de piso biapoiadas e /50 para lajes de piso contínuas; e

- 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.

8.6 Cargas atuantes nas lajes As cargas atuantes nas lajes podem ser:

- permanentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestimento, paredes, etc.; e

- acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola, biblioteca, etc.).

213

2

L1

L2

1

2

L1

L2

213

2

L1

L2

1

2

L1

L2

8-5 2016 tc040

8.6.1 Cargas permanentes

Segundo a ABNT.NBR.6120, os pesos específicos dos materiais de construção que eventualmente possam constituir carregamento em lajes podem ser tomados como sendo:

argamassa de cal, cimento e areia .............................................................. 19,0 kN/m3

argamassa de cimento e areia .................................................................... 21,0 kN/m3

argamassa de gesso ................................................................................... 12,5 kN/m3

reboco ......................................................................................................... 20,0 kN/m3

concreto simples ......................................................................................... 24,0 kN/m3

concreto armado ......................................................................................... 25,0 kN/m3

O carregamento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão:

hg mat Equação 8.2

onde:

g carga permanente uniformemente distribuída (kN/m2);

mat peso específico do material (kN/m3); e

h espessura do material (m).

Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados os seguintes valores, considerando pesos por unidade de área:

cerâmica ..................................................................................................... 0,70 kN/m2

tacos ........................................................................................................... 0,65 kN/m2

cobertura de telhas francesas (com vigamento) .......................................... 0,90 kN/m2

cobertura de telhas coloniais (com vigamento) ............................................ 1,20 kN/m2

cobertura de fibro-cimento (com vigamento) ............................................... 0,30 kN/m2

cobertura de alumínio (com vigamento) ...................................................... 0,16 kN/m2

8.6.2 Cargas acidentais

A ABNT NBR 6120 apresenta uma série de valores que podem ser assumidos para as cargas acidentais que venham a constituir carregamento em lajes. Alguns valores são reproduzidos a seguir:

arquibancadas ............................................................................................... 4,0 kN/m2

bibliotecas

sala de leitura ....................................................................................... 2,5 kN/m2

sala para depósito de livros .................................................................. 4,0 kN/m2

sala com estantes ................................................................................ 6,0 kN/m2

cinemas

platéia com assentos fixos ................................................................... 3,0 kN/m2

estúdio e platéia com assentos móveis ................................................ 4,0 kN/m2

banheiro ............................................................................................... 2,0 kN/m2

corredores

com acesso ao público ......................................................................... 3,0 kN/m2

sem acesso ao público ......................................................................... 2,0 kN/m2

edifícios residenciais

dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ........................................... 1,5 kN/m2

dispensa, área de serviço e lavanderia ................................................ 2,0 kN/m2

escadas

com acesso ao público ......................................................................... 3,0 kN/m2

sem acesso ao público ......................................................................... 2,5 kN/m2

escolas

anfiteatro, corredor e sala de aula ........................................................ 3,0 kN/m2

outras salas .......................................................................................... 2,0 kN/m2

8-6 2016 tc040

escritórios ...................................................................................................... 2,0 kN/m2

forros sem acesso de pessoas ...................................................................... 0,5 kN/m2

ginásio de esportes ....................................................................................... 5,0 kN/m2

hospitais

dormitório, enfermarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro ..... 2,0 kN/m2

corredor ................................................................................................ 3,0 kN/m2

lojas .............................................................................................................. 4,0 kN/m2

restaurantes .................................................................................................. 3,0 kN/m2

teatros

palco .................................................................................................... 5,0 kN/m2

platéia com assentos fixos ................................................................... 3,0 kN/m2

estúdio e platéia com assentos móveis ................................................ 4,0 kN/m2

banheiro ............................................................................................... 2,0 kN/m2

Exemplo 8.1: Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de espessura.

Solução: As cargas permanentes (Equação 8.2) e acidentais deverão ser determinadas por unidade de área (kN/m2). Os pesos do concreto armado, conta-piso e gesso correspondem a 25 kN/m3, 21 kN/m3 e 12,5 kN/m3, respectivamente. Os tacos pesam 0,65 kN/m2. A carga acidental de um edifício comercial deve ser considerada como sendo 2 kN/m2.

a) Dados - uniformização de unidades (kN e m)

3

arm-conc m/kN25

3

piso-cont m/kN21

3

gesso m/kN5,12

2

taco m/kN65,0g

m10,0cm10h arm-conc

m01,0cm1h piso-cont

m01,0cm1hgesso

2

com-edif m/kN2q

b) Carga permanente

pp: .................. 25,0 x 0,10 = 2,50 kN/m2

contra-piso: .... 21,0 x 0,01 = 0,21 kN/m2

gesso: ............. 12,5 x 0,01 = 0,13 kN/m2

tacos: ................................. = 0,65 kN/m2

gk = 3,49 kN/m2 ( 3,50 kN/m2)

c) Carga acidental

qk = 2,00 kN/m2

tacos

contra-piso (1 cm)

concreto armado (10 cm)

gesso (1 cm)

8-7 2016 tc040

d) Carga total

gk = 3,50 kN/m2

qk = 2,00 kN/m2

pk = 5,50 kN/m2

8.6.3 Paredes

O peso das paredes depende do tipo de tijolo (maciço ou furado) e da espessura do reboco. Este peso normalmente é apresentado por metro quadrado de parede (parede de 1 m de largura por 1 m de altura), como mostrado na Figura 8.9.

O peso por unidade de área de uma parede rebocada em ambas as faces pode ser representado por:

rebrebtijtijpar e2ep Equação 8.3

onde:

ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2);

tij peso específico do tijolo (kN/m3);

etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo (m);

reb peso específico do reboco (kN/m3); e

ereb espessura do reboco (m).

Figura 8.9 - Carga de parede

Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes valores:

tijolo de furado ................................................................................................ 12 kN/m3

tijolo de maciço .............................................................................................. 16 kN/m3

reboco ............................................................................................................ 20 kN/m3

A Tabela 8.1 mostra alguns valores de peso de parede. Na Tabela foi considerado reboco de 2,5 cm de espessura por face.

parede sem reboco parede com reboco

tijolo (cm)

tijolo furado (kN/m2)

tijolo maciço (kN/m2)

parede (cm)

tijolo furado (kN/m2)

tijolo maciço (kN/m2)

10 1,20 1,60 15 2,20 2,60

15 1,80 2,40 20 2,80 3,40

20 2,40 3,20 25 3,40 4,20

Tabela 8.1 - Pesos de paredes

e

hpar

1 m par

1 m

8-8 2016 tc040

8.6.3.1 Cargas de paredes em lajes de dupla curvatura

As cargas de paredes apoiadas em lajes de dupla curvatura (Figura 8.10) podem ser consideradas como equivalentes a uma carga uniformemente distribuída em toda esta laje. Para este caso, considera-se o peso total da parede e divide-se este valor pela área total da laje, como apresentado a seguir:

yx

parparparpar

hpg

Equação 8.4

onde:

gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando em toda laje (kN/m2);

ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2);

par largura da parede (m);

hpar altura da parede (m);

x menor dimensão da laje (m); e

y maior dimensão da laje (m).

Figura 8.10 - Parede sobre laje de dupla curvatura

Exemplo 8.2: Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.

Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3 e a carga uniformemente distribuída sobre a laje é determinada pele Equação 8.4.

a) Dados - uniformização de unidades (kN e m)

3

tij m/kN12

3

reb m/kN20

m10,0cm10etij

m015,0cm5,1ereb

m7,42,25,2par

2,2

m

3,5

m

6,0 m

2,5 m

x par

gpar (kN por m2 de laje)

y

8-9 2016 tc040

m7,2hpar

m5,3x

m0,6y

b) Curvatura da laje

curvaturadupla271,15,3

0,6

x

y

c) Peso por metro quadrado de parede

rebrebtijtijpar e2ep

2par m/kN80,1015,020210,012p

d) Carga uniformemente distribuída na laje

yx

parparparpar

hpg

2par m/kN09,1

00,650,3

70,270,480,1g

8.6.3.2 Cargas de paredes em lajes de uma só curvatura

As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma só curvatura se situam em duas condições:

- paredes paralelas ao lado maior da laje; e

- paredes paralelas ao lado menor da laje.

A carga de parede paralela ao lado maior é considerada como uma carga linear uniformemente distribuída ao longo de sua largura (Figura 8.11), cujo valor é dado por:

parparpar hpg Equação 8.5

onde:

gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento (linear), atuando ao longo da largura da parede (kN/m);

ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2); e

hpar altura da parede (m).

Figura 8.11 - Parede paralela ao lado maior da laje

A carga de parede paralela ao lado menor é considerada como uma carga uniformemente

distribuída na área de dimensões x por 0,5 x (Figura 8.12), cujo valor é dado por:

y par

gpar (kN por metro de laje) x

8-10 2016 tc040

2

hpg

xx

parparparpar

Equação 8.6

onde:

gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando na

área de dimensões x por 0,5 x (kN/m2);

ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2);

par largura da parede (m);

hpar altura da parede (m); e

x menor dimensão da laje (m).

Figura 8.12 - Parede paralela ao lado menor da laje

Exemplo 8.3: Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 12 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.

Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3. A carga linear uniformemente distribuída sobre a laje L1 é determinada pela Equação 8.5 e a carga

uniformemente distribuída na região x por 0,5 x da laje L2 é determinada pela Equação 8.6.

a) Dados - uniformização de unidades (kN e m)

3

tij m/kN12

1,6 m 2,5 m

6 m

2,4 m

2,2

m

L1

3,6 m

6 m

2,4 m

1,7 m

L2

2

xy

x gpar (kN por m2 de laje)

par

8-11 2016 tc040

3

reb m/kN20

m12,0cm12etij

m015,0cm5,1ereb

m2,2par1

m7,1par2

m7,2hh 2parpar1

m4,2x2x1

m0,6y2y1

b) Curvatura da laje

curvaturasóuma250,24,2

0,6

x

y

c) Peso por metro quadrado de parede

rebrebtijtijpar e2ep

2par m/kN04,2015,020212,012p

d) Laje L1 - peso por metro linear de parede

parparpar hpg

m/kN51,570,204,2gpar

e) Laje L2 - peso por metro quadrado de parede

2

hpg

xx

parparparpar

2par m/kN25,3

2

40,240,2

70,270,104,2g

f) Carregamentos

1,6 m 2,5 m

6 m

2,4 m

2,2

m

L1

5,51 kN/m

L2

1,2 m 6 m

2,4 m 3,25 kN/m2

1,7 m

3 m

8-12 2016 tc040

8.6.4 Parapeitos e balcões

Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m (ABNT NBR 6120 - 2.2.15), como mostrado na Figura 8.13.

Figura 8.13 - Parapeitos e balcões

8.6.5 Redução de cargas acidentais em pilares e fundações

No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 8.2 (ABNT NBR 6120 - 2.2.1.8).

Nº de pisos que atuam sobre o elemento

Redução percentual das cargas acidentais

1, 2 e 3 0%

4 20%

5 40%

6 ou mais 60%

Tabela 8.2 - Redução de cargas acidentais

Na aplicação da Tabela 8.2, o forro deve ser considerado como piso (Figura 8.14).

Figura 8.14 - Redução de cargas acidentais

8.7 Determinação de esforços em lajes Para a determinação dos esforços em lajes maciças de concreto armado, duas

simplificações são admitidas:

- existe uma separação virtual entre as lajes e as vigas que suportam o painel de lajes; e

2 kN/m 0,8 kN/m

g + 1,0 q

g + 1,0 q

g + 1,0 q

g + 0,8 q

g + 0,6 q

g + 0,4 q

g + 0,4 q

g + 0,4 q

1º (cob)

8-13 2016 tc040

- a reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de forma uniformemente distribuída.

Embora concretadas de forma monolítica, admite-se que as lajes e vigas sejam separadas virtualmente, de tal forma que possam ser projetadas individualmente (Figura 8.15). As vigas suporte das lajes são consideradas como apoios indeslocáveis.

Figura 8.15 - Separação virtual entre lajes e vigas

Uma vez que as vigas suportes das lajes são consideradas como indeslocáveis, pode-se admitir que as reações de apoio existentes nas interfaces lajes/vigas sejam consideradas como uniformemente distribuídas (Figura 8.16). Rigorosamente isto não ocorre, pois existe uma

tendência de levantamento nos cantos das lajes.

Figura 8.16 - Reação de apoio de lajes

8.7.1 Lajes isoladas

A determinação dos esforços em lajes isoladas pode ser feita por processos aproximados (MARCUS), pela teoria das placas (BARES), pela teoria das charneiras plásticas (LANGENDONCK), etc.. Dentre o conjunto de soluções apresentadas na literatura mundial, destacam-se as tabelas de CZERNY, para determinação dos momentos fletores atuantes em lajes isoladas. A notação a ser usada para as tabelas de CZERNY está mostrada na Figura 8.17 e o conjunto de tabelas é apresentado em 8.11.

Figura 8.17 - Notação das tabelas de CZERNY

As tabelas de CZERNY foram confeccionadas para várias condições de contorno e carga. Os momentos fletores são dados pelas seguintes expressões:

mby

mbx

my

mx y

x

8-14 2016 tc040

y

2x

by

y

2x

y

x

2x

bx

x

2x

x

pm

pm

pm

pm

Equação 8.7

onde:

x menor vão;

y maior vão;

mx momento fletor positivo na direção x;

my momento fletor positivo na direção y;

mbx momento fletor negativo (borda) na direção x;

mby momento fletor negativo (borda) na direção y;

p carga uniformemente distribuída em toda laje;

x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x;

y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y;

x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; e

y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y.

Se a carga uniformemente distribuída corresponder a um valor característico (pk = gk + qk) os momentos fletores resultarão característicos (mk). Se a carga corresponder a um valor de cálculo

(pd = g gk + q qk), os momentos fletores resultarão de cálculo (md).

8.7.2 Lajes contínuas

Como as tabelas de CZERNY determinam momentos fletores isolados em bordas que são contínuas em um painel de lajes, torna-se necessário uniformizar estes momentos negativos atuantes nestas regiões de continuidade de lajes (Figura 8.18).

Figura 8.18 - Momentos fletores em lajes continuas

O momento negativo de borda, atuante na junção das lajes Li e Lj, é dado pela seguinte expressão:

mbij = max

mbi + mbj

2

0,8mbj

mbj > mbi Equação 8.8

A uniformização dos momentos fletores negativos atuantes na junção das lajes Li e Lj implica em alterações (correções) nos momentos fletores positivos mi e mj (Figura 8.19). O momento mi tem seu

xj

Li Lj

mi mj

mbi mbj

xi yj

yi

xj

Li Lj mbij mbj

mi,cor mj,cor

xi yj

yi

8-15 2016 tc040

valor reduzido ao passo que o momento mj tem seu valor aumentado.

Figura 8.19 - Momentos fletores uniformizados em lajes continuas

O ajuste de momentos fletores positivos nas lajes Li e Lj corresponde a:

bibj

bijbj

jcor,j

icor,i

mm

2

mmmm

mm

Equação 8.9

Como pode ser observado na Equação 8.9, a correção de momentos positivos só é feita para o momento mj (momento que sofre acréscimo). Caso mbi seja maior que mbj, os índices i e j devem ser invertidos na Equação 8.8 e na Equação 8.9.

Deve ser observado também que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, bem como na Equação 8.8 e na Equação 8.9, os índices x e y correspondentes as direções das lajes Li e Lj não foram considerados (aprecem na Figura 8.17). A relação entre os valores apresentados sem os índices x e y (direções) corresponde a:

mi

myi

momento fletor positivo na direção y da laje Li;

mj

mxj

momento fletor positivo na direção x da laje Lj;

mbi

mbyi

momento fletor negativo na direção y da laje Li; e

mbj

mbxj

momento fletor negativo na direção x da laje Lj.

Exemplo 8.4: Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel de lajes abaixo indicado. Considerar:

- estado limite último, combinações últimas normais (g = 1,4 e q = 1,4);

- carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m2; e

- carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m2.

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos nas regiões de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9.

a) Carregamento das lajes (valores de cálculo)

qqkgd qgp

2

d m/kN4,80,24,10,44,1p

4 m

1,2 m

5m 3 m 1,8 m

L1 L2 L3

L4

8-16 2016 tc040

b) Laje L1

m8,1x1

m0,4y1

00,12

00,8

20,40

20,14

tab22,28,1

0,4

1y

1x

1y

1x

x1

y1

m/kNm92,120,14

8,14,8pm

2

1x

21xd

d,1x

m/kNm68,020,40

8,14,8pm

2

1y

21xd

d,1y

m/kNm40,300,8

8,14,8pm

2

1x

21xd

d,1bx

m/kNm27,200,12

8,14,8pm

2

1y

21xd

d,1by

c) Laje L2

m0,3x2

m0,4y2

50,17

00,13

83,47

87,27

tab33,10,3

0,4

2y

2x

2y

2x

x2

y2

m/kNm71,287,27

0,34,8pm

2

2x

22xd

d,2x

m/kNm58,183,47

0,34,8pm

2

2y

22xd

d,2y

m/kNm82,500,13

0,34,8pm

2

2x

22xd

d,2bx

m/kNm32,450,17

0,34,8pm

2

2y

22xd

d,2by

d) Laje L3

m0,4x3

m0,5y3

90,12

10,11

40,34

90,24

tab25,10,4

0,5

3y

3x

3y

3x

x3

y3

m/kNm40,590,24

0,44,8pm

2

3x

23xd

d,3x

y2 = 4 m

x2 = 3 m

L2 mbx2

mx2

my2

mby2

x3= 4 m

y3 = 5 m

L3

mby3

my3

mbx3

mx3

y1 = 4 m

x1 = 1,8 m

L1 mbx1

mx1

my1

mby1

8-17 2016 tc040

m/kNm91,340,34

0,44,8pm

2

3y

23xd

d,3y

m/kNm11,1210,11

0,44,8pm

2

3x

23xd

d,3bx

m/kNm42,1090,12

0,44,8pm

2

3y

23xd

d,3by

e) Laje L4 (laje isostática - laje em balanço)

m2,1x4

m/kNm05,62

2,14,8

2

pm

224xd

d,4bx

f) Uniformização de momentos fletores - Lajes L1/L2

d,1bd,2b

d,2b

d,2bd,1b

d,12b mm

m8,02

mm

maxm

82,58,02

82,540,3maxm d,12b

66,4

61,4maxm d,12b

m/kNm66,4m d,12b ◄

d,1bd,2bd,12bd,2b

d,2cor,d,2 mm2

mmmm

2

66,482,571,2m cor,d,2

m/kNm29,3m cor,d,2 ◄

g) Uniformização de momentos fletores - Lajes L2/L3

d,2bd,3b

d,3b

d,3bd,2b

d,23b mm

m8,02

mm

maxm

42,108,02

42,1082,5maxm d,23b

34,8

12,8maxm d,23b

m/kNm34,8m d,23b ◄

d,2bd,3bd,23bd,3b

d,3cor,d,3 mm2

mmmm

2

34,842,1091,3m cor,d,3

m/kNm95,4m cor,d,3 ◄

h) Uniformização de momentos fletores - Lajes L1/L4

x4= 1,2 m

L4

mbx4

L1

3,40

1,92

L2 5,82

2,71

5,82

L1 L2

3,29

5,82

1,92

4,66

L2 L3

3,91

5,82 10,42

3,29

4,66

L2

3,29

L3

4,95

8,34 4,66

L1

0,6

8

L1

0,6

8

Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L1 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m.

Não há correção do momento positivo da laje L1,

8-18 2016 tc040

m/kNm05,6mm d,4bd,14b ◄

m/kNm68,0m d,1 ◄

8-19 2016 tc040

i) Uniformização de momentos fletores - Lajes L2/L4

m/kNm05,6mm d,4bd,24b ◄

m/kNm58,1m d,2 ◄

j) Uniformização de momentos fletores - Lajes L3/L4

Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L3 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m).

Há correção do momento positivo da laje L4 pois o momento da borda desta laje (10,42 kNm/m) é superior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m).

m/kNm05,6mm d,4bd,34b ◄

d,4bd,3bd,34bd,3b

d,4cor,d,4 mm2

mmmm

2

05,611,1240,5m cor,d,4

m/kNm43,8m cor,d,4 ◄

k) Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3

L2

L4

1,5

8

4,3

2

6,0

5

L2

L4

1,5

8

6,0

5

L3

L4

5,4

0

12

,11

6,0

5

L3

L4

8,4

3

6,0

5

L1 L2 L3

L4

1,92 3,29

4,95

4,66

8,34

Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L2 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m.

Não há correção do momento positivo da laje L2, pois o momento da borda desta laje (4,32 kNm/m) é inferior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m).

8-20 2016 tc040

l) Momentos fletores (kNm/m) nas direções L1/L4, L2/L4 e L3/L4

m) Observação

Embora a relação entre o vão maior (4 m) e o vão menor (1,8 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada.

Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), o resultado final praticamente não se alteraria pois o momento fletor positivo na direção do balanço resultou bem próximo de zero (0,68 kNm/m) e o momento fletor negativo (6,05 kNm/m) foi definido pela laje em balanço.

8.8 Armadura de flexão

8.8.1 Armadura principal e armadura secundária

Para as lajes armadas em duas direções (curvatura em duas direções ortogonais), todas as armaduras de flexão (armaduras longitudinais) são consideradas como principal. Para as lajes

armadas em uma só direção (uma só curvatura na direção do vão menor), a armadura considerada como principal é aquela posicionada na direção do vão menor. Na direção do vão maior deve-se colocar, obrigatoriamente, uma armadura de distribuição, denominada armadura secundária (Figura 8.20).

Figura 8.20 - Armadura principal e secundária de lajes

8.8.2 Equivalência de vigas e lajes

Na determinação da armadura de flexão (momentos fletores) de lajes devem ser seguidos os mesmos princípios estabelecidos para vigas (Capítulo 4).

L1 L2 L3

L4

6,0

5

6,0

5

6,0

5

0,6

8

8,4

3

1,5

8

armadura principal

armadura secundária

y y

x x

8-21 2016 tc040

De modo simplificado pode ser dito que vigas são peças fletidas de pouca base e muita altura. Ao contrário, lajes são peças fletidas de pouca altura e muita base.

A armadura de flexão de lajes será determinada considerando o memento fletor atuando em fixas de um metro de largura. Desta forma, no uso das equações gerais de vigas, adaptadas para lajes, o valor de bw será sempre considerado como igual a um metro (bw = 1 m) (Figura 8.22).

8.8.2.1 Momento fletor mínimo

Assim como para vigas, no dimensionamento da armadura de flexão de lajes, é ´necessário considerar a atuação de um momento fletor mínimo (md,min). É, também, obrigatório considerar este momento fletor mínimo atuando em apoios de lajes que não apresentem continuidade.

ABNT NBR 6118 - 19.3.3.2:

“Nos apoios de lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio, deve-se dispor de armadura negativa de borda, conforme Tabela 19.1. Essa armadura deve ser estender até pelo menos a 0,15 do vão menor da laje a partir da face do apoio.”

A Figura 8.21 mostra a armadura negativa de borda, calculada para resistir a um momento fletor mínimo em bordas sem continuidade, como estabelecido pela Equação 8.11.

Figura 8.21 - Armadura negativa de borda sem continuidade

Os momentos fletores mínimos (md,mim) a serem considerados correspondem a:

- momento negativo em bordas com continuidade

sup,ctk0min,d fW8,0m (por metro de laje) Equação 8.10

- momento negativo em bordas sem continuidade

sup,ctk0min,d fW8,067,0m (por metro de laje) Equação 8.11

- momento positivo em lajes armadas em duas direçõs

sup,ctk0min,d fW8,067,0m (por metro de laje) Equação 8.12

- momento positivo (armadura principal) em lajes armadas em uma direção

sup,ctk0min,d fW8,0m (por metro de laje) Equação 8.13

- momento positivo (armadura secundaria) em lajes armadas em uma direção

sup,ctk0min,d fW8,050,0m (por metro de laje)

considerando:

m/cm9,0

A%20

A2

princ,s

s

Equação 8.14

8-22 2016 tc040

Os valores de W0 (resistência da seção transversal bruta do concreto, relativo à fibra mais tracionada) e fctk,sup (resistência característica superior do concreto à tração), constantes da Equação 8.10 a Equação 8.14Equação 8.10, correspondem a:

6

hbW

2w

0 (seção retangular) Equação 8.15

MPa50ff11,01ln756,2f

MPa50ff0,39f

ckcksupctk,

ck3 2

cksupctk,

(fck em MPa) Equação 8.16

8.8.2.2 Armadura de flexão

Para as lajes de pouca altura, as armaduras de compressão devem ser evitadas. Desta forma as equações para determinação ou verificação da armadura longitudinal de lajes, como estabelecidas no Capítulo 4, correspondem a:

x

yds

cdwcs

cmax,s

cmin,s

ydsz

Rds

ck

ck

dtlx,x

s

z

x

cd2

w

Rdc

Sd

min,d

Rd

fA

fdb

A%4A

A%15,0A

fd

mA

MPa50f350,0

MPa50f450,0

tabfdb

m

m

m

maxm

MPa50f400

50f8,0

MPa50f8,0

ckck

ck

MPa50f200

50f185,0

MPa50f85,0

ckck

ck

c

Equação 8.17

8.8.2.3 Altura útil

Para a determinação da altura útil é conveniente adotar a altura útil da armadura mais afastada da borda tracionada (Figura 8.22).

8-23 2016 tc040

Figura 8.22 - Seção transversal de laje

5,1chd nom Equação 8.18

8.8.2.4 Diâmetro da armadura de flexão

Segundo a ABNT NBR 6118 - 20.1, qualquer barra de armadura de flexão de lajes deve ter seu diâmetro limitado a 1/8 da espessura da laje (Figura 8.23 e Equação 8.19).

Figura 8.23 - Diâmetro máximo da armadura de flexão

8

h Equação 8.19

8.8.2.5 Espaçamento da armadura de flexão

ABNT NBR 6118 - 20.1:

“As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores.”

“A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal.”

A Figura 8.24 mostra os espaçamentos máximos da armadura de flexão para lajes maciças de concreto armado.

Figura 8.24 - Espaçamento máximo da armadura de flexão

Deve ser observado também que a ABNT NBR 6118 - 20.1 não faz referência ao espaçamento mínimo entre as barras de flexão de lajes de concreto armado. Por razões construtivas, é conveniente não se posicionar barras com afastamentos inferiores a 7 cm.

De modo geral, pode-se estabelecer para as barras de flexão de lajes de concreto armado:

- armadura principal

h

8

h

armadura principal

h2

cm20

mins

armadura secundária

cm33s

h d = h – (cnom + 1,5 )

bw = 100 cm

8-24 2016 tc040

h2

cm20minscm7 Equação 8.20

- armadura secundária

cm33scm10 Equação 8.21

Observar que na Equação 8.21 o espaçamento mínimo para armadura secundária foi fixado em 10 cm.

Exemplo 8.5: Determinar as armaduras necessárias para o painel de lajes abaixo representada.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- estado limite último, combinações últimas normais (g = 1,4; q = 1,4, c = 1,4 e

s = 1,15);

- espessura das lajes (h): 12 cm;

- cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm;

- barras de flexão não alternadas;

- carga permanente uniformemente distribuída (gk): 5 kN/m2: e

- carga acidental uniformemente distribuída (qk): 1,5 kN/m2.

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 (página 8-14) para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8 (página 8-14). Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9 (página 8-15). As armaduras devem ser determinadas considerando a Equação 8.10 (página 8-22) até a Equação 8.21 (página 8-24).

a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2

ck kN/cm5,2MPa25f

MPa50f80,0 ck

MPa50f85,0 ckc

MPa50f45,0 ckdtlx,

MPa50ff0,39f ck3 2

cksupctk,

23 2supctk, cm/kN333,0MPa33,3250,39f

normal) combinação - (ELU 1,40c

5 m

6m 4 m 2 m

L1 L2 L3

8-25 2016 tc040

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,40

2,5ff

2

yk kN/cm 60MPa 600f

normal) combinação - (ELU 1,15s

2

s

yk

yd kN/cm 17,521,15

60ff

cm 100bw

cm 12h

cm 5,2cnom

2

wc cm002112100hbA

322

w0 cm0,4002

6

12100

6

hbW

momento negativo mínimo em bordas com continuidade

cmkN36,639333,0400028,0fW8,0m sup,ctk0min,d

laje de metro m/porkN 6,39m100

1kN36,639m min,d

momento negativo mínimo em bordas sem continuidade

lajedemetropor/mkN28,439,667,0fW8,067,0m sup,ctk0min,d

momento positivo mínimo em lajes armadas em duas direções

lajedemetropor/mkN28,439,667,0fW8,067,0m sup,ctk0min,d

momento positivo mínimo (armadura principal) em lajes armadas em uma direção

laje de metro m/porkN39,6fW8,0m sup,ctk0min,d

momento positivo mínimo (armadura secundaria) em lajes armadas em uma direção

lajedemetropor/mkN20,339,650,0fW8,050,0m sup,ctk0min,d

m/cm9,0

A%20

A2

princ,s

s

lajedemetropor/cm80,12001100

15,0A%15,0A 2

cmin,s

lajedemetropor/cm00,482001100

4A%4A 2

cmax,s

8

h

mm5,12cm50,18

12max,

cm24122

cm20min

h2

cm20minscm7

cm20scm7 (armadura principal)

cm33scm10 (armadura secundária)

b) Carregamento das lajes (valores de cálculo)

8-26 2016 tc040

qqkgd qgp

2

d m/kN1,95,14,10,54,1p

c) Laje L1

m0,2x1

m0,5y1

00,8

50,42

20,14

tab50,20,2

0,5

1x

1y

1x

x1

y1

m/kNm56,220,14

0,21,9pm

2

1x

21xd

d,1x

m/kNm86,050,42

0,21,9pm

2

1y

21xd

d,1y

m/kNm55,400,8

0,21,9pm

2

1x

21xd

d,1bx

d) Laje L2

m0,4x2

m0,5y2

70,12

20,48

40,26

tab25,10,4

0,5

2x

2y

2x

x2

y2

m/kNm52,540,26

0,41,9pm

2

2x

22xd

d,2x

m/kNm02,320,48

0,41,9pm

2

2y

22xd

d,2y

m/kNm46,1170,12

0,41,9pm

2

2x

22xd

d,2bx

e) Laje L3

m0,5x3

m0,6y3

10,10

80,23

00,22

tab20,10,5

0,6

3y

3y

3x

x3

y3

m/kNm34,1000,22

0,51,9pm

2

3x

23xd

d,3x

m/kNm56,980,23

0,51,9pm

2

3y

23xd

d,3y

m/kNm52,2210,10

0,51,9pm

2

3y

23xd

d,3by

y1 = 5 m

x1 = 2 m

L1

mbx1

mx1

my1

y2 = 5 m

x2 = 4 m

L2

mbx2

mx2

my2 mbx2

x3 = 5 m

y3 = 6 m

L3

my3

mx3 mby3

8-27 2016 tc040

f) Uniformização de momentos fletores - Lajes L1/L2

d,1bd,2b

d,2b

d,2bd,1b

d,12b mm

m8,02

mm

maxm

46,118,02

46,1155,4maxm d,12b

17,9

01,8maxm d,12b

m/kNm17,9m d,12b

d,1bd,2bd,12bd,2b

d,2cor,d,2 mm2

mmmm

2

17,946,1152,5m cor,d,2

m/kNm67,6m cor,d,2

g) Uniformização de momentos fletores - Lajes L2/L3

d,2bd,3b

d,3b

d,3bd,2b

d,23b mm

m8,02

mm

maxm

52,228,02

52,2246,11maxm d,23b

02,18

99,16maxm d,23b

m/kNm02,18m d,23b

d,2bd,3b

d,23bd,3b

d,3cor,d,3 mm2

mmmm

2

02,1852,2256,9m cor,d,3

m/kNm81,11m cor,d,3

h) Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3

L1

2,56

L2 11,46

5,52

11,46 4,55

L1

2,56

L2

6,67

11,46 9,17

L2 L3

9,56 22,52 9,17

6,67

11,46

L2 L3

11,81 18,02 9,17

6,67

L2 L3

11,81

18,02 9,17

L1

2,56 6,67

8-28 2016 tc040

i) Momentos fletores (kNm/m) das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3)

j) Altura útil (verificação para o maior momento fletor de cálculo atuante)

d = h − cnom + 1,5 ϕℓ

d = 12 − 2,5 + 1,5 × 1,0 = 8 cm (assumido ϕ = 10 mm)

mSd = 18,02 kNm/m (maior momento fletor de cálculo, em valor absoluto)

md,min = 6,39 kNm/m

mRd = max

md,min

mSd

= max 6,39

18,02 = 18,02 kNm/m = 1802 kNcm/m

βc =m Rd

bw d2 fcd=

1802

100 ×82×1,79= 0,157 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,258 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,897βs = 1,000

As =m Rd

βz dβs fyd

≥ As,min

≤ As,max

As =1802

0,897×8×1,000 ×52,17= 4,81 cm2/m

> 1,80 𝑐m2/m

< 48,0 𝑐m2/m

As = 4,81 cm2/m

7 𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ 20 𝑐𝑚

é possível usar armadura de 7 mm

d = 12 − 2,5 + 1,5 × 0,7 = 8,45 cm (ϕ = 7 mm)

d = 8,45 cm

k) Armadura para os momentos fletores na direção L1/L2/L3

mSd = 2,56 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m

mRd = max

md,min

mSd

= max 4,28

2,56 = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m

βc =m Rd

bw d2 fcd=

428

100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,980βs = 1,000

L1

0,86

L2

3,02

L3

10,34

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm)

7,0 0,385 8

8,0 0,503 10

9,5 0,709 14

10,0 0,785 16

s 0,385 cm2

100 cm 4,810 cm2 s = 8,00 cm

8-29 2016 tc040

As =m Rd

βz dβs fyd

≥ As,min

≤ As,max

As =428

0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As = 1,80 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 9,17 kNm/m (negativo)

md,min = 6,39 kNm/m

mRd = max 6,39

9,17 = 9,17 kNm/m = 917 kNcm/m

βc =917

100 ×8,452×1,79= 0,072 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,110 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,956βs = 1,000

As =917

0,956×8,45×1,000 ×52,17= 2,18 cm2/m

> 1,80 𝑐m2/m

< 48,0 𝑐m2/m

As = 2,18 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 6,67 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m

mRd = max 4,28

6,67 = 6,67 kNm/m = 667 kNcm/m

βc =667

100 ×8,452×1,79= 0,052 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,079 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,969βs = 1,000

As =667

0,969×8,45×1,000 ×52,17= 1,56 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As = 1,80 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

s 0,196 cm2

100 cm 1,800 cm2 s = 10,89 cm

10 cm 0,196 cm2

100 cm As,ef As,ef = 1,96 cm2/m

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 8 2,45

5,5 0,238 10 2,38

6,0 0,283 12 2,36

6,4 0,322 14 2,30

►7,0 0,385 ►17 2,26

s 0,283 cm2

100 cm 2,18 cm2 s = 12,98 cm

12 cm 0,283 cm2

100 cm As,ef As,ef = 2,36 cm2/m

8-30 2016 tc040

mSd = 18,02 kNm/m (negativo)

md,min = 6,39 kNm/m

mRd = max 6,39

18,02 = 18,02 kNm/m = 1802 kNcm/m

βc =1802

100 ×8,452×1,79= 0,141 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,228 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,909βs = 1,000

As =1802

0,909×8,45×1,000 ×52,17= 4,50 cm2/m

> 1,80 𝑐m2/m

< 48,0 𝑐m2/m

As = 4,50 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 11,81 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m

mRd = max 4,28

11,81 = 11,81 kNm/m = 1181 kNcm/m

βc =1181

100 ×8,452×1,79= 0,092 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,143 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,943βs = 1,000

As =1181

0,943×8,45×1,000 ×52,17= 2,84 cm2/m

> 1,80 𝑐m2/m

< 48,0 𝑐m2/m

As = 2,84 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

l) Armadura para os momentos fletores na direção das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3)

mSd = 0,86 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m

mRd = max 4,28

0,86 = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

►7,0 0,385 ►8 4,81

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,5 0,238 8 3,40

6,0 0,283 9 3,14

6,4 0,322 11 3,22

►7,0 0,385 ►13 3,21

8-31 2016 tc040

βc =428

100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,980βs = 1,000

As =428

0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As = 1,80 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 3,02 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m

mRd = max 4,28

3,02 = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m

βc =428

100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,980βs = 1,000

As =428

0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As = 1,80 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 10,34 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m

mRd = max 4,28

10,34 = 10,34 kNm/m = 1034 kNcm/m

βc =1034

100 ×8,452×1,79= 0,081 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,125 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,950βs = 1,000

As =1034

0,950×8,45×1,000 ×52,17= 2,47 cm2/m

> 1,80 𝑐m2/m

< 48,0 𝑐m2/m

As = 2,47 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

8-32 2016 tc040

m) Armadura para os momentos fletores em bordas sem continuidade

mSd = md,min = 4,28 kNm/m (negativo)

mRd = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m

βc =428

100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,980βs = 1,000

As =428

0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As = 1,80 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

n) Armadura positiva

L1 L2

7 mm @ 20 cm

L3

7 mm @ 20 cm 7 mm @ 13 cm

7 mm @ 20 cm 7 mm @ 20 cm 7 mm @ 15 cm

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 7 2,80

5,5 0,238 9 2,64

6,0 0,283 11 2,57

6,4 0,322 13 2,48

►7,0 0,385 ►15 2,57

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

8-33 2016 tc040

o) Armadura negativa

p) Armadura de borda

q) Consideração da laje L1 com curvatura em uma só direção

Embora a relação entre o vão maior (5 m) e o vão menor (2 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada, resultando na armadura mostrada no item n (todas armaduras consideradas como principais).

Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), os momentos fletores da laje L1 resultariam:

m0,2x1

m0,5y1

0,250,20,2

0,5

x1

y1

m/kNm56,22,14

0,21,9

2,14

pm

221xd

d,1x

m/kNm55,40,8

0,21,9

0,8

pm

221xd

d,1bx

Como não houve modificações nos momentos fletores na direção L1/L2, a distribuição de momentos e armadura nesta direção permanecerá inalterada para todo o painel de laje.

y1 = 5 m

x1 = 2 m

L1

mbx1

mx1

B A

p

8

pm

2

B

2,14

pm

2

AB

L1 L2

7 mm @ 17 cm

L3

7 mm @ 8 cm

7 mm @ 20 cm em todo contorno do

painel de laje

8-34 2016 tc040

A única modificação deverá ser feita para a laje L1, na direção do maior vão (5 m), onde não haverá momento positivo atuando e deverá ser posicionada apenas uma armadura de distribuição, função do momento positivo na outra direção (2,56 kNm/m).

É importante observar que a armadura positiva para o momento fletor positivo da laje L1, na direção L1/L2/L3, resultou:

mSd = 2,56 kNm/m (positivo)

md,min = 4,28 kNm/m (momento fletor mínimo de laje armada em duas direções)

As = 1,80 cm2/m (1 ϕ 7 mm @ 20 cm)

Como agora a laje será armada em uma só direção, o valor de md,min a ser considerado é outro:

mSd = 2,56 kNm/m (positivo)

md,min = 6,39 kNm/m (momento fletor mínimo de laje armada em uma só direção)

mRd = max 2,56

6,39 = 6,39 kNm/m = 639 kNcm/m

βc =639

100 ×8,452×1,79= 0,050 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,076 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,970βs = 1,000

As,princ =639

0,970×8,45×1,000 ×52,17= 1,49 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As,princ = 1,80 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm (armadura principal)

L2 L3

11,81

18,02 9,17

L1

2,56 6,67

L1 L2

3,02

L3

10,34

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

8-35 2016 tc040

Para a armadura de distribuição, tem-se:

mSd = md,min = 3,20 kNm/m

mRd = 3,20 kNm/m = 320 kNcm/m

βc =320

100 ×8,452×1,79= 0,025 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,037 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,985βs = 1,000

As,dist =320

0,985×8,45×1,000 ×52,17= 0,74 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m

As,dist = 1,80 cm2/m (para mSd = mSd ,min = 3,20 kNm/m)

As,princ = 1,80 cm2/m (para mSd = 2,56 kNm/m e mSd ,min = 6,39 kNm/m)

As,distr ≥

20% As,princ

0,9 cm2/m

=

20

100× 1,80 = 0,36 cm2/m

0,9 cm2/m

As,dist = 1,80 cm2/m

10 cm ≤ s ≤ 30 cm (arnadura secundária)

- armadura positiva (calculada para L1 armada em uma única direção)

- armadura negativa e armadura de borda: inalteradas

r) Observação

A armadura positiva para a laje L1, calculada considerando dupla curvatura, resultou a mesma quando calculada considerando uma só curvatura. Embora os valores de mSd e mSd,min, fossem diferentes para as duas considerações de curvatura da laje, prevaleceu, para os dois casos, As,mim = 0,15% Ac (1,80 cm2/m).

O uso de um único tipo de barra ( de 7 mm) nem sempre é a melhor solução. Como

pode ser observado na tabela acima, para 1,80 cm2/m, cinco escolhas são possíveis: de

5 mm @ 10 cm; de 5,5 mm @ 13 cm; de 6 mm @ 15 cm; de 6,4 mm @ 17 cm e de 7 mm @ 20 cm. Todas são válidas e cabe ao responsável pelo projeto decidir qual disposição de armadura será a mais adequada.

L1 L2

7 mm @ 20 cm

L3

inalterada inalterada

7 mm @ 20 cm inalterada inalterada

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

5,0 0,196 10 1,96

5,5 0,238 13 1,83

6,0 0,283 15 1,89

6,4 0,322 17 1,89

►7,0 0,385 ►20 1,93

8-36 2016 tc040

8.8.3 Comprimento de barras

8.8.3.1 Armadura positiva

8.8.3.1.1 Barras não alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras não alternadas devem seguir o indicado na Figura 8.25. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

Figura 8.25 - Comprimento de barras não alternadas - armadura positiva

Observar na Figura 8.25 que as barras que constituem a armadura positiva das lajes maciças de concreto devem terminar em gancho. Isto deve ser feito para melhorar as condições de ancoragem. O gancho de 90°, como mostrado na Figura 8.25, é o mais conveniente, embora nem sempre possa ser usado. A ponta superior deste gancho deve, também, respeitar o

cobrimento nominal, o que nem sempre é possível. Quando o gancho de 90º não puder ser utilizado, pode-se fazer uso dos ganchos de 135° ou 180º, como mostrado na Figura 8.26.

Figura 8.26 - Ganchos da armadura positiva

O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 8.3.

Bitola (mm) Tipo de Aço

CA-25 CA-50 CA-60

<20 4 5 6

20 5 8 -

Tabela 8.3 - Diâmetro dos pinos de dobramento

2

D

a)

4

D

b)

8

D

c)

cbx = 0x + bwx1 + bwx2 - 2 cnom -

bwx2 bwx1

cbx

cby

0x

bw

cnom

cnom

cnom

0y

cby

= 0y

+ bwy1

+ bwy2

- 2 cnom

-

bwy2

bwy1

8-37 2016 tc040

8.8.3.1.2 Barras alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes contínuas, devem seguir o indicado na Figura 8.27. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da

extremidade que chega ao apoio. Na Figura 8.27, x (vão efetivo na direção x) será sempre o menor vão da laje, determinado pela Equação 8.1 (página 8-2).

Figura 8.27 - Comprimento de barras alternadas - armadura positiva para lajes contínuas

Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes sem continuidade, devem seguir o indicado na Figura 8.28. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da extremidade que chega ao apoio.

cbx = 0x + bwx1 + bwx2 - 0,2 x

bwx2 bwx1

cbx

cby

0x

bw

bwy2

bwy1

0y

cby

= 0y

+ bwy1

+ bwy2

- 0,2 x

8-38 2016 tc040

Figura 8.28 - Comprimento de barras alternadas - armadura positiva para lajes sem continuidade

Para as lajes que apresentam continuidade em uma só direção, os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, devem ser determinados de tal forma que:

- na direção da continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.27; e

- na direção onde não existe continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.28.

É importante observar que a ABNT NBR 6118 - 20.1, não faz referência aos espaçamentos máximo e mínimo da armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas. Como o mínimo de três barras por metro de laje deve ser mantido, o espaçamento máximo das barras alternadas deve seguir o indicado na

Figura 8.29 {[3 bar x (2 x 17 cm )] = 102 cm 1 m}.

Figura 8.29 - Espaçamento máximo da armadura de flexão - barras alternadas

Quanto ao espaçamento mínimo deve-se ser mantido o estabelecido na Equação 8.20 (página 8-24). Desta forma, pode-se estabelecer para armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas:

armadura principal

h2

cm17

mins

bw

cnom

cnom

cnom

bw

y1

bw

y2

cbx = 0x + bwx1 + bwx2 - 0,1 x

bwx2 bwx1

cbx

cby

0x

0y

cby

= 0y

+ bwy1

+ bwy2

- 0,1 x

8-39 2016 tc040

h2

cm17minscm7 Equação 8.22

8.8.3.2 Armadura negativa

8.8.3.2.1 Lajes contínuas - barras não alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de lajes contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.30. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

Figura 8.30 - Comprimento de barras não alternadas de lajes contínuas - armadura negativa

As barras que constituem a armadura negativa das lajes continuas devem terminar em gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.30. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado na Figura 8.26 e na Tabela 8.3 (página 8-36).

8.8.3.2.2 Lajes contínuas - barras alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras alternadas de lajes contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.31. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

cb = 0,5 x,maior

cb

0,25 x,maior

0,25 x,maior

xk

xj

cnom

cnom

xi

x

8-40 2016 tc040

Figura 8.31 - Comprimento de barras alternadas de lajes contínuas - armadura negativa

8.8.3.2.3 Lajes em balanço - barras não alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.32. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

As barras que constituem a armadura negativa das lajes em balanço devem terminar em gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.32. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado na Figura 8.26 e na Tabela 8.3 (página 8-36).

Figura 8.32 - Comprimento de barras não alternadas de lajes em balanço - armadura negativa

8.8.3.2.4 Lajes em balanço - barras alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb,maior e cb,menor) de barras alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.33. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

cnom

cnom

bal

cnom

bal

x25,0max

bal

bal

bal

xb

25,0maxc

cb

x

cnom

cnom

cb = 0,375 x,maior

cb

0,25 x,maior

0,25 x,maior

xj

xi

8-41 2016 tc040

Figura 8.33 - Comprimento de barras alternadas de lajes em balanço - armadura negativa

8.8.3.3 Armadura de borda - vigas de contorno

Os comprimentos horizontais das armaduras negativas de borda (cb) de barras não alternadas de lajes devem seguir o indicado na Figura 8.34. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal (cb) somado ao comprimento do gancho (cganc) e ao comprimento de ancoragem dentro da viga (cancor).

Figura 8.34 - Vigas de contorno - armadura de borda

8.9 Reações de apoio Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.7.6.1, as reações de apoio das lajes maciças retangulares

com carga uniformemente distribuída, em cada apoio, são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:

- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;

- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; e

cnom

cnom

bal

cnom

bal

bal

bal

xmaior,b

25,0maxc

cb,maior

x

bal

x25,0max

cb,menor

bal

bal

xmenor,b

25,0max5,0c

cnom

cnom

cb

bw

Li

Asy,borda

Asx,b

ord

a

cb = 0,15

xi + b

w

cganc

cancor

xi

8-42 2016 tc040

- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

A Figura 8.35 mostra o esquema para cálculo de reações de apoio de lajes.

Figura 8.35 - Reações de apoio de lajes

Para a viga Vn, sobre a qual as lajes mostradas na Figura 8.35 estão apoiadas, a reação de apoio será dada por:

i

nkVn

Apr

Equação 8.23

onde:

rVn reação de apoio na viga Vn;

pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje;

An área n definida pelo trapézio de base i da Figura 8.35;

i vão da laje e da viga Vn, correspondente a base do trapézio da Figura 8.35.

A Equação 8.23 é válida para qualquer trapézio ou triângulo mostrado na Figura 8.35. A reação de apoio em qualquer viga suporte das lajes mostradas na Figura será sempre dada pelo produto da carga uniformemente distribuída pela área do triângulo ou trapézio onde atua esta carga, dividido pela base do trapézio ou triângulo (vão da viga suporte).

Exemplo 8.6: Determinar os esquemas de carregamento das vigas do painel abaixo representado. Determinar, também, os carregamentos nos pilares.

Dados:

- carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2;

- carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2;

- paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm e 2,5 m de altura): 4,5 kN/m; e

- peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m.

Solução: A solução do problema consiste na determinação, para as lajes, dos triângulos e trapézios conforme a ABNT NBR 6118 14.7.6.1. Os carregamentos sobre as vigas são determinados pela aplicação da Equação 8.23. Os carregamentos nos pilares são determinados pelo cálculo das reações de apoio das vigas.

60° 45°

60° 45°

An

Vn

i

60° 90°

90° 45°

An

Vn

i

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 7 m

5 m

8-43 2016 tc040

a) Laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)

21A m 928,2

2

464,14A

23 m 177,5464,1

2

072,25A

24 m 967,8536,2

2

072,25A

22A m 928,2

2

464,14A

i

nkVn

Apr

kN/m 562,24

928,25,3rV1A

kN/m 624,35

177,55,3rV3

kN/m 277,65

967,85,3rV4

kN/m 562,24

928,25,3rV2A

1,464 5

m

A1A

A2A

A3 A4

45°

45° 60°

60°

V4

V3

V2A

V1A 4 m

1,4

64

2,536

1,4

64

2,0

72

AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2

PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN

5 m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

3,6

24 k

N/m

6,2

77 k

N/m

V

4

V3

V2A

V1A 4 m

L1

An = 2,928 + 5,177 + 8,967 + 2,928 = 20 m2

Pn = 4 × 2,562 + 5 × 3,624 + 5 × 6,277 + 4 × 2,562 = 70 kN

8-44 2016 tc040

b) Laje L2 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)

21B m 088,12500,2

2

670,27A

24 m 825,10

2

330,45A

22B m 088,12500,2

2

670,27A

i

nkVn

Apr

kN/m 044,67

088,125,3rV1B

kN/m 578,75

825,105,3rV4

kN/m 044,67

088,125,3rV2B

AL2 = 5 m x 7 m = 35 m2

PL2 = 35 m2 x 3,5 kN/m2 = 122,5 kN

4,330

5 m

A1B

A2B

A4

60°

60° 90°

90°

V4

V2B

V1B 7 m

2,5

00

2,670

2,5

00

5 m

V4

V2B

V1B

7 m

6,044 kN/m

6,044 kN/m

7,5

78 k

N/m

An = 12,088 + 10,825 + 12,088 = 35 m2

Pn = 7 × 6,044 + 5 × 7,578 + 7 × 6,044 = 122,5 kN

8-45 2016 tc040

c) Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)

d) Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2)

Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens a, b e c). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item c, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente).

e) V3 - carregamento e reações de apoio

carga acidental: qk = 1,553 kN/m

carga permanente:

reação da laje: 03,624 kN/m

parede: 04,500 kN/m

peso próprio da viga: 02,500 kN/m

gk = 10,624 kN/m

06

,277

kN

/m

07

,578

kN

/m

13

,855

kN

/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 7 m

5 m

2,562 kN/m

3,6

24 k

N/m

2,562 kN/m

6,044 kN/m

6,044 kN/m 2

,69

0 k

N/m

3,2

48 k

N/m

5,9

38 k

N/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 7 m

5 m

1,098 kN/m

1,5

53 k

N/m

1,098 kN/m

2,590 kN/m

2,590 kN/m

8-46 2016 tc040

kN560,262

5624,10GG 3P,kP1k,

kN883,32

5553,1QQ 3P,kP1k,

f) V4 - carregamento e reações de apoio

carga acidental: qk = 5,938 kN/m

carga permanente:

reação da laje: 13,855 kN/m

peso próprio da viga: 02,500 kN/m

gk = 16,355 kN/m

kN888,402

5355,16GG 2V,kV1k,

kN845,142

5938,5QQ 2V,kV1k,

g) V1 = V2 - carregamento e reações de apoio

V1A

carga acidental: qk = 1,098 kN/m

carga permanente:

reação da laje: 02,562 kN/m

parede: 04,500 kN/m

peso próprio da viga: 02,500 kN/m

gk = 9,562 kN/m

V1B

carga acidental: qk = 2,590 kN/m

carga permanente:

reação da laje: 06,044 kN/m

parede: 04,500 kN/m

peso próprio da viga: 02,500 kN/m

gk = 13,044 kN/m

V2 V1

V4

5 m

qk = 5,938 kN/m

gk = 16,355 kN/m

Gk,V1 = 40,888 kN

Qk,V1 = 14,845 kN

Gk,V2

Qk,V2

P3 P1

V3

5 m

qk = 1,553 kN/m

gk = 10,624 kN/m

Gk,P1 = 26,560 kN

Qk,P1 = 3,883 kN

Gk,P3

Qk,P3

8-47 2016 tc040

kN366,8611

7888,40

11

5,37044,13

11

94562,9GG 3P,kP1k,

kN078,8411

4888,40

11

5,77044,13

11

24562,9GG 4P,kP2k,

kN809,1811

7845,14

11

5,37590,2

11

94098,1QQ 3P,kP1k,

kN558,1811

4845,14

11

5,77590,2

11

24098,1QQ 4P,kP2k,

h) Carga nos pilares

- carga permanente

V1B

7 m P1 P2

V1A

4 m

Gk,P2 = 84,078 kN

Qk,P2 = 18,558 kN

Gk,P1 = 86,366 kN

Qk,P1 = 18,809 kN

qk = 2,590 kN/m

gk = 13,044 kN/m

qk = 1,098 kN/m

gk = 9,562 kN/m

Qk = 14,845 kN

Gk = 40,888 kN

086

,36

6

kN

(V1

)

026

,56

0

kN

(V3

)

112

,92

6 k

N

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

112,926 kN

84,078 kN (V1)

84,078 kN

8-48 2016 tc040

- carga acidental

i) Verificação

carga permanente:

lajes: (20 m2 + 35 m2) x 3,5 kN/m2 ............................... 192,5 kN

pp das vigas: [2 x (4 m + 7 m + 5 m)] x 2,5 kN/m .......... 80,0 kN

paredes: {[2 x (4 m + 7 m)] + 5 m} x 4,5 kN/m ............. 121,5 kN

total: ............................................................................ 394,0 kN

carga acidental:

lajes: (20 m2 + 35 m2) x 1,5 kN/m2 ................................. 82,5 kN

carga permanente nos pilares:

2 x (112,926 + 84,078) ................................................ 394,0 kN

carga acidental nos pilares:

2 x (22,692 + 18,558) .................................................... 82,5 kN

j) Observação

Neste exemplo foram usados números com três casas decimais, o que não é necessário para cálculos normais de estruturas de concreto. Este número exagerado de casas decimais foi usado para demonstrar a precisão da verificação apresentada no item i.

8.10 Força cortante em lajes maciças de concreto armado Segundo a ABNT NBR 6118 19.4.1, as lajes maciças podem prescindir de armadura

transversal para resistir as forças de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo, a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão1:

vSd ≤ vRd 1 Equação 8.24

onde:

vSd força cortante solicitante de cálculo (por metro de laje), podendo ser assumidas as reações de apoio como mostrado em 8.9; e

vRd1 força cortante resistente de cálculo (por metro de laje).

A força cortante resistente de cálculo2 é dada por:

vRd 1 = τRd κ 1,2 + 40ρ1 d Equação 8.25

1 A ABNT NBR 6118 apresenta a equação de verificação de força cortante como sendo VSd VRd1, ou seja,

verificação de forças pontuais (kN). A Equação 8.24 faz a verificação de forças cortantes por unidade de comprimento (kN/m).

2 A expressão apresentada pela ABNT NBR 6118 corresponde a VRd 1 = τRd κ 1,2 + 40ρ1 + 0,15σcp bw d. Nesta

expressão estão incluídos o valor de bw, para que a expressão resulte em força pontual (kN), e o valor cp, relativo à força de protensão. A Equação 8.25 não tem bw (resulta em força cortante por unidade de comprimento - kN/m) e

não tem cp (não considera força de protensão).

018

,80

9

kN

(V1

)

003

,88

3

kN

(V3

)

022

,69

2 k

N

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

22,692 kN

18,558 kN (V1)

18,558 kN

8-49 2016 tc040

onde:

Rd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento;

κ coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante;

1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante; e

d altura útil da laje.

A tensão resistente de cálculo ao cisalhamento Rd é dada por:

- para concretos de classes até C50:

τRd =0,0525

γc fck

23 fck em MPa Equação 8.26

- para concretos de classes C55 até C90:

τRd =0,371 ln 1 + 0,11fck

γc fck em MPa Equação 8.27

O coeficiente κ deve ser determinado da seguinte forma:

- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio:

κ = 1,0 Equação 8.28

- para os demais casos:

κ = max 1,6 − d

1,0 d em metros Equação 8.29

A taxa de armadura 1, na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, é dada pela expressão:

ρ1 = min

As1

bw d

2%

Equação 8.30

onde:

As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + b,nec além da seção considerada (Figura 8.36)3;

bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d (1 metro); e

d altura útil da laje.

Figura 8.36 - Armadura a ser considerada na verificação de força cortante em lajes

3 Alguns autores preferem considerar, sempre, a armadura positiva que chega ao apoio, ignorando as armaduras

tracionadas negativas.

d

seção

considerada

As

d + b,nec

As1 d

seção

considerada

As

d + b,nec

As1

8-50 2016 tc040

De modo geral pode-se adotar para valores de As1:

- 100% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, para o caso de armadura não alternada; e

- 50% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, para o caso de armadura alternada.

Exemplo 8.7: Verificar, para o painel abaixo representado, se as lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- estado limite último, combinações últimas normais (g = 1,4 q = 1,4, c = 1,4 e

s = 1,15);

- espessura das lajes (h): 10 cm;

- cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm;

- barras de flexão alternadas;

- carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; e

- carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2.

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 (página 8-14) para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8 (página 8-14). Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9 (página 8-15). As armaduras devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10 (página 8-21) a Equação 8.22 (página 8-39). A determinação das reações de apoio das lajes (força cortante) deve ser feita com a aplicação da Equação 8.23 (página 8-42). A verificação da força cortante é feita com o uso da Equação 8.24 a Equação 8.30.

a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2

ck kN/cm5,2MPa25f

MPa50f80,0 ck

MPa50f85,0 ckc

MPa50f45,0 ckdtlx,

MPa50ff0,39f ck3 2

cksupctk,

23 2supctk, cm/kN333,0MPa33,3250,39f

normal) combinação - (ELU 1,40c

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 4 m

5 m V5

8-51 2016 tc040

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,40

2,5ff

2

yk kN/cm 60MPa 600f

normal) combinação - (ELU 1,15s

2

s

yk

yd kN/cm 17,521,15

60ff

cm 100bw

cm 10h

cm 5,2cnom

2

wc cm000110100hbA

322

w0 cm6671

6

10100

6

hbW

momento negativo mínimo em bordas com continuidade

cmkN09,444333,066718,0fW8,0m sup,ctk0min,d

laje de metro m/porkN 44,4m100

1kN09,444m min,d

momento negativo mínimo em bordas sem continuidade

lajedemetropor/mkN97,244,467,0fW8,067,0m sup,ctk0min,d

momento positivo mínimo em lajes armadas em duas direções

lajedemetrom/porkN2,974,440,67supctk,

f0

W0,80,67mind,

m

lajedemetropor/cm50,10001100

15,0A%15,0A 2

cmin,s

lajedemetropor/cm00,400001100

4A%4A 2

cmax,s

8

h

mm5,12cm25,18

10max,

h2

cm17minscm7 (barras alternadas)

cm20102

cm17minscm7

cm17scm7 (armadura principal, barras alternadas)

cm33scm10 (armadura secundária)

b) Carregamento das lajes (valores de cálculo)

qqkgd qgp

2

d m/kN0,75,14,15,34,1p

8-52 2016 tc040

c) Laje L1

m0,4x1

m0,5y1

9,9

2,35

4,21

tab25,10,4

0,5

1x

1y

1x

x1

y1

m/kNm23,54,21

0,40,7pm

2

1x

21xd

d,1x

m/kNm18,32,35

0,40,7pm

2

1y

21xd

d,1y

m/kNm31,119,9

0,40,7pm

2

1x

21xd

d,1bx

d) Momentos fletores das lajes com continuidade (L1/L2)

A uniformização de momentos é feita pela própria simetria do painel de lajes.

e) Momentos fletores das lajes sem continuidade (L1 e L2)

f) Altura útil (verificação para o maior momento fletor de cálculo atuante)

d = h − cnom + 1,5 ϕℓ

d = 10 − 2,5 + 1,5 × 0,8 = 6,3 cm (assumido ϕ = 8 mm)

mSd = 11,31 kNm/m (maior momento fletor de cálculo, em valor absoluto)

md,min = 4,44 kNm/m

mRd = max

md,min

mSd

= max 4,44

11,31 = 11,31 kNm/m = 1131 kNcm/m

βc =m Rd

bw d2 fcd=

1131

100 ×6,32×1,79= 0,159 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,262 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,895βs = 1,000

y1 =

5 m

x1 = 4 m

L1

mbx1

mx1

my1

L1

11,31 kN/m

5,23 kN/m

L2

5,23 kN/m

L1 L2

3,1

8 k

N/m

3,1

8 k

N/m

8-53 2016 tc040

As =m Rd

βz dβs fyd

≥ As,min

≤ As,max

As =1131

0,895×6,3×1,000 ×52,17= 3,84 cm2/m

> 1,50 𝑐m2/m

< 40,0 𝑐m2/m

As = 3,84 cm2/m

7 𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ 20 𝑐𝑚

é possível usar armadura de 6 mm

d = 10 − 2,5 + 1,5 × 0,6 = 6,6 cm (ϕ = 6 mm)

d = 6,6 cm

g) Cálculo da armadura para momentos fletores

mSd = 5,23 kNm/m (positivo)

md,min = 2,97 kNm/m

mRd = max 2,97

5,23 = 5,23 kNm/m = 523 kNcm/m

βc =523

100 ×6,62×1,79= 0,067 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,103 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,958βs = 1,000

As =523

0,958×6,6×1,000 ×52,17= 1,59 cm2/m

> 1,50 𝑐m2/m

< 40,0 𝑐m2/m

As = 1,59 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 11,31 kNm/m (negativo)

md,min = 4,44 kNm/m

mRd = max 4,44

11,31 = 11,31kNm/m = 1131 kNcm/m

βc =1131

100 ×6,62×1,79= 0,145 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,235 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,906βs = 1,000

As =1131

0,906×6,6×1,000 ×52,17= 3,63 cm2/m

> 1,50 𝑐m2/m

< 40,0 𝑐m2/m

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm)

6,0 0,283 7

6,4 0,322 8

7,0 0,385 10

8,0 0,503 13

s 0,283 cm2

100 cm 3,840 cm2 s = 7,37 cm

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

►5,0 0,196 ►12 1,63

5,5 0,238 14 1,70

6,0 0,283 17 1,66

s 0,196 cm2

100 cm 1,590 cm2 s = 12,33 cm

12 cm 0,196 cm2

100 cm As,ef As,ef = 1,63 cm2/m

8-54 2016 tc040

As = 3,63 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = 3,18 kNm/m (positivo)

md,min = 2,97 kNm/m

mRd = max

md,min

mSd

= max 2,97

3,18 = 3,18 kNm/m = 318 kNcm/m

βc =318

100 ×6,62×1,79= 0,043 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,065 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,974βs = 1,000

As =318

0,974×6,6×1,000 ×52,17= 0,95 cm2/m < 1,50 𝑐m2/m

As = 1,50 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

mSd = md,min = 2,97 kNm/m (negativo− borda sem continuidade)

mRd = 2,97 kNm/m = 297 kNcm/m

βc =297

100 ×6,62×1,79= 0,038 ⇝ tabela ⇝

βx = 0,057 < 0450 (βx,dtl )

βz = 0,977βs = 1,000

As =297

0,977×6,6×1,000 ×52,17= 0,88 cm2/m < 1,50 𝑐m2/m

As = 1,50 cm2/m

7 cm ≤ s ≤ 20 cm

h) Armadura para momentos fletores e borda

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

►6,0 0,283 ►7 4,04

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

►5,0 0,196 ►13 1,51

5,5 0,238 15 1,59

(mm) As,bar

(cm2) s

(cm) As,ef

(cm2/m)

►5,0 0,196 ►13 1,51

5,5 0,238 15 1,59

L1 L2 5 mm @ 13 cm 1,51 cm2/m

5 mm @ 12 cm 1,63 cm2/m

6 mm @ 7 cm 4,04 cm2/m

5 mm @ 13 cm 1,51 cm2/m

(em todo contorno)

8-55 2016 tc040

i) Reação de apoio - laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos

21A m 928,2

2

464,14A

23 m 177,5464,1

2

072,25A

24 m 967,8536,2

2

072,25A

22A m 928,2

2

464,14A

OKm20928,2967,8177,5928,2A 2n

i

nkVn

Apr

kN/m 562,24

928,25,3rV1A

kN/m 624,35

177,55,3rV3

kN/m 277,65

967,85,3rV4

kN/m 562,24

928,25,3rV2A

1,464 5

m

A1A

A2A

A3 A4

45°

45° 60°

60°

V4

V3

V2A

V1A 4 m

1,4

64

2,536

1,4

64

2,0

72

AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2

PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN

5 m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

3,6

24 k

N/m

6,2

77 k

N/m

V

4

V3

V2A

V1A 4 m

L1

8-56 2016 tc040

OKkN70)562,24()277,65()624,35()562,24(Pn

j) Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos

k) Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) - valores característicos

Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens h e i). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item i, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente).

l) Apoio V1A - verificação da força cortante (igual para V1B, V2A e V2B)

qkgkSd r4,1r4,1v

m/kN562,2r A1V,gk

m/kN098,1r A1V,qk

m/kN1,5098,14,1562,24,1vSd

MPa em ff0525,0

ck3 2

ck

c

Rd

23 2

Rd cm/kN032,0MPa321,0254,1

0525,0

0,1k (barras alternadas)

06

,277

kN

/m

06

,277

kN

/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 4 m

5 m

2,562 kN/m 3

,62

4 k

N/m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

3,6

24 k

N/m

V5

02

,690

kN

/m

02

,690

kN

/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 4 m

5 m

1,098 kN/m

1,5

53 k

N/m

1,098 kN/m

1,098 kN/m

1,098 kN/m

1,5

53 k

N/m

V5

8-57 2016 tc040

2

AA

ef,s1s (barras alternadas)

m/cm51,1A 2ef,s (1 5 mm @ 13 cm) - armadura positiva que chega na V1A

%2

db

A

minw

1s

1

%114,0

%2

%114,0

min

%2

6,61002

51,1

min1

d402,1kv 1Rd1Rd

m/kN3,26cm/kN263,06,6100

114,0402,10,1032,0v 1Rd

1RdSd vv

m/kN3,26

1Rd

m/kN1,5

Sd vv

m) Apoio V3 - verificação da força cortante (igual para V5)

m/kN624,3r 3V,gk

m/kN553,1r 3V,qk

m/kN2,7553,14,1624,34,1vSd

2

Rd cm/kN032,0

0,1k (barras alternadas)

m/cm63,1A 2ef,s (1 5 mm @ 12 cm) - armadura positiva que chega na V3 (V5)

%123,0

%2

%123,0

min

%2

6,61002

63,1

min1

m/kN4,26cm/kN264,06,6100

123,0402,10,1032,0v 1Rd

m/kN4,26

1Rd

m/kN2,7

Sd vv

n) Apoio V4 - verificação da força cortante

m/kN277,6r 4V,gk

m/kN690,2r 4V,qk

m/kN6,12690,24,1277,64,1vSd

2

Rd cm/kN032,0

8-58 2016 tc040

0,1k (barras alternadas)

m/cm04,4A 2ef,s (1 6 mm @ 7 cm) - armadura negativa sobre a V44

%306,0

%2

%306,0

min

%2

6,61002

04,4

min1

m/kN9,27cm/kN279,06,6100

306,0402,10,1032,0v 1Rd

m/kN9,27

1Rd

m/kN6,12

Sd vv

8.11 Tabelas de CZERNY As tabelas as seguir apresentadas são válidas para lajes retangulares apoiadas em todas as

suas bordas, com carregamento uniformemente distribuído. Estas tabelas apresentadas por CZERNY no volume I do Beton Kalender de 1976 foram adaptadas por BURKE para coeficiente

de Poisson () igual a 0,20.

Nas tabelas que se seguem valem as seguintes notações:

x menor vão da laje;

y maior vão da laje;

mx momento fletor positivo na direção x;

my momento fletor positivo na direção na y;

mbx momento fletor negativo (borda) na direção x;

mby momento fletor negativo (borda) na direção y;

a flecha máxima da laje;

p carga uniformemente distribuída em toda laje;

x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x;

y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y;

x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x;

y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y;

a coeficiente para definição da flecha;

Ec módulo de elasticidade secante do concreto (Ecs); e

h espessura da laje.

x

2x

x

pm

y

2x

y

pm

x

2x

bx

pm

y

2x

by

pm

a3

c

4x

hE

pa

4 Alguns autores consideram as armaduras positivas que chegam ao apoio (1,63 cm

2/m - 1 de 5 mm @ 12 cm).

8-59 2016 tc040

8.11.1 Quatro bordas com apoios simples

y/x x y x y a

1,00 22,7 22,7 21,4

1,05 20,8 22,5 19,4

1,10 19,3 22,3 17,8

1,15 18,1 22,3 16,5

1,20 16,9 22,3 15,4

1,25 15,9 22,4 14,3

1,30 15,2 22,7 13,6

1,35 14,4 22,9 12,9

1,40 13,8 23,1 12,3

1,45 13,2 23,3 11,7

1,50 12,7 23,5 11,2

1,55 12,3 23,5 10,8

1,60 11,9 23,5 10,4

1,65 11,5 23,5 10,1

1,70 11,2 23,5 9,8

1,75 10,8 23,5 9,5

1,80 10,7 23,5 9,3

1,85 10,4 23,5 9,1

1,90 10,2 23,5 8,9

1,95 10,1 23,5 8,7

2,00 9,9 23,5 8,6

>2 8,0 23,5 6,7

8.11.2 Três bordas com apoios simples e um engaste em x

y/x x y x y a

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2

1,05 29,2 25,0 11,3 27,6

1,10 26,1 24,4 10,9 24,7

1,15 23,7 23,9 10,4 22,3

1,20 22,0 23,8 10,1 20,3

1,25 20,2 23,6 9,8 18,7

1,30 19,0 23,7 9,6 17,3

1,35 17,8 23,7 9,3 16,1

1,40 16,8 23,8 9,2 15,1

1,45 15,8 23,9 9,0 14,2

1,50 15,1 24,0 8,9 13,5

1,55 14,3 24,0 8,8 12,8

1,60 13,8 24,0 8,7 12,2

1,65 13,2 24,0 8,6 11,7

1,70 12,8 24,0 8,5 11,2

1,75 12,3 24,0 8,45 10,8

1,80 12,0 24,0 8,4 10,5

1,85 11,5 24,0 8,35 10,1

1,90 11,3 24,0 8,3 9,9

1,95 10,9 24,0 8,25 9,6

2,00 10,8 24,0 8,2 9,4

>2 8,0 24,0 8,0 6,7

x

y

my

mx

mby

y

my

mx

x

8-60 2016 tc040

8.11.3 Três bordas com apoios simples e um engaste em y

y/x x y x y a

1,00 26,5 32,4 11,9 31,2

1,05 25,7 33,3 11,3 29,2

1,10 24,4 33,9 10,9 27,4

1,15 23,3 34,5 10,5 26,0

1,20 22,3 34,9 10,2 24,8

1,25 21,4 35,2 9,9 23,8

1,30 20,7 35,4 9,7 22,9

1,35 20,1 37,8 9,4 22,1

1,40 19,7 39,9 9,3 21,5

1,45 19,2 41,1 9,1 20,9

1,50 18,8 42,5 9,0 20,4

1,55 18,3 42,5 8,9 20,0

1,60 17,8 42,5 8,8 19,6

1,65 17,5 42,5 8,7 19,3

1,70 17,2 42,5 8,6 19,0

1,75 17,0 42,5 8,5 18,7

1,80 16,8 42,5 8,4 18,5

1,85 16,5 42,5 8,3 18,3

1,90 16,4 42,5 8,3 18,1

1,95 16,3 42,5 8,3 18,0

2,00 16,2 42,5 8,3 17,8

>2 14,2 42,5 8,0 16,7

8.11.4 Duas bordas com apoios simples e dois engastes em x

y/x x y x y a

1,00 46,1 31,6 14,3 45,3

1,05 39,9 29,8 13,4 39,2

1,10 36,0 28,8 12,7 34,4

1,15 31,9 27,9 12,0 30,4

1,20 29,0 26,9 11,5 27,2

1,25 26,2 26,1 11,1 24,5

1,30 24,1 25,6 10,7 22,3

1,35 22,1 25,1 10,3 20,4

1,40 20,6 24,8 10,0 18,8

1,45 19,3 24,6 9,75 17,5

1,50 18,1 24,4 9,5 16,3

1,55 17,0 24,3 9,3 15,3

1,60 16,2 24,3 9,2 14,4

1,65 15,4 24,3 9,05 13,7

1,70 14,7 24,3 8,9 13,0

1,75 14,0 24,3 8,8 12,4

1,80 13,5 24,3 8,7 11,9

1,85 13,0 24,3 8,6 11,4

1,90 12,6 24,3 8,5 11,0

1,95 12,1 24,3 8,4 10,6

2,00 11,8 24,3 8,4 10,3

>2 8,0 24,3 8,0 6,7

x

y

mbx

my

mx

y

x

my mby

mx

8-61 2016 tc040

8.11.5 Duas bordas com apoios simples e dois engastes em y

y/x x y x y a

1,00 31,6 46,1 14,3 45,3

1,05 29,9 46,4 13,8 43,2

1,10 29,0 47,2 13,5 41,5

1,15 28,0 47,7 13,2 40,1

1,20 27,2 48,1 13,0 39,0

1,25 26,4 48,2 12,7 37,9

1,30 25,8 48,1 12,6 37,2

1,35 25,3 47,9 12,4 36,5

1,40 24,8 47,8 12,3 36,0

1,45 24,4 47,7 12,2 35,6

1,50 24,2 47,6 12,2 35,1

1,55 24,0 47,6 12,1 34,7

1,60 24,0 47,6 12,0 34,5

1,65 24,0 47,6 12,0 34,2

1,70 24,0 47,4 12,0 33,9

1,75 24,0 47,3 12,0 33,8

1,80 24,0 47,2 12,0 33,7

1,85 24,0 47,1 12,0 33,6

1,90 24,0 47,1 12,0 33,5

1,95 24,0 47,1 12,0 33,4

2,00 24,0 47,0 12,0 33,3

>2 24,0 47,0 12,0 32,0

8.11.6 Duas bordas com apoios simples, um engaste em x e outro em y

y/x x y x y a

1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3

1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1

1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5

1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7

1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9

1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2

1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8

1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5

1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5

1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5

1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7

1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1

1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5

1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0

1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5

1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1

1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7

1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4

1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0

1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8

2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5

>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

x

y

my

mx

mbx

x

mby

y

mbx

my

mx

8-62 2016 tc040

8.11.7 Três bordas engastadas e um apoio simples em x

y/x x y x y a

1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4

1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6

1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7

1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1

1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1

1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5

1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2

1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9

1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9

1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0

1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2

1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5

1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0

1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4

1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0

1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6

1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4

1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2

1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9

1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8

2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7

>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

8.11.8 Três bordas engastadas e um apoio simples em y

y/x x y x y a

1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4

1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1

1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1

1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1

1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7

1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8

1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7

1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7

1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1

1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6

1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5

1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5

1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6

1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8

1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1

1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5

1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0

1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5

1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1

1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7

2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3

>2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

x

mby

y

mbx

my

mx

x

mby

y

mbx

my

mx

8-63 2016 tc040

8.11.9 Quatro bordas engastadas

y/x x y x y a

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5

1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4

1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6

1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4

1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3

1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6

1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3

1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4

1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0

1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5

1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5

1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4

1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6

1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9

1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3

1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8

1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4

1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1

1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7

1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 33,8

2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,5

>2 24,0 57,0 12,0 17,5 34,3

8.12 Simbologia específica a dimensão

flecha

bw largura da laje

largura mínima da seção ao longo da altura útil d

bwxi largura da viga i na direção x

bwxj largura da viga j na direção x

bwyi largura da viga i na direção y

bwyj largura da viga j na direção y

cb comprimento horizontal de barra

cb,maior comprimento horizontal maior de barra

cb,menor comprimento horizontal menor de barra

cbx comprimento horizontal de barra na direção x

cby comprimento horizontal de barra na direção y

cnom cobrimento nominal

d altura útil da laje

ereb espessura do reboco

etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo

fcd resistência à compressão do concreto de cálculo

fck resistência à compressão do concreto característica

fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo

fyk resistência ao escoamento do aço característica

g carga permanente uniformemente distribuída

gk valor característico da carga permanente

x

mby

y

mbx

my

mx

8-64 2016 tc040

gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área

carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento

gtaco peso do taco por metro quadrado

h espessura da laje

espessura do material

hconc arm espessura do concreto armado

hcont piso espessura do contra-piso

hgesso espessura do gesso

hpar altura da parede

k coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio

vão de laje

vão de viga

b comprimento de ancoragem

b,nec comprimento de ancoragem necessário

bal vão de laje em balanço

ef vão efetivo da laje

i vão de laje

vão de viga

par largura da parede

x menor dimensão da laje

x,maior maior dos vãos x

xi menor dimensão da laje Li

xj menor dimensão da laje Lj

y maior dimensão da laje

yi maior dimensão da laje Li

yj maior dimensão da laje Lj

0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos

0x distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção x

0y distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção y

mbi momento fletor negativo (borda) da laje Li

mbi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje L i

mbij momento fletor negativo (borda) na junção das lajes Li e Lj

mbij,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na junção das lajes Li e Lj

mbj momento fletor negativo (borda) da laje Lj

mbj,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje L j

mbx momento fletor negativo (borda) na direção x

mbxi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção x da laje Li

mby momento fletor negativo (borda) na direção y

mbyi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção y da laje Li

mi momento fletor positivo da laje Li

mi,cor momento fletor positivo corrigido da laje Li

mi,d,cor momento fletor positivo corrigido de cálculo da laje Li

mj momento fletor positivo da laje Lj

mj,cor momento fletor positivo corrigido da laje Lj

mx momento fletor positivo na direção x

mxi,d momento fletor positivo de cálculo na direção x da laje L i

8-65 2016 tc040

my momento fletor positivo na direção y

myi,d momento fletor positivo de cálculo na direção y da laje Li

mAB momento fletor positivo no vão AB

mB momento fletor negativo (engaste) no apoio B

mRd momento fletor resistente de cálculo

mRd1 momento fletor resistente de cálculo sem a consideração de armadura comprimida

mRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção

mRd1,lim transversal (x = x,lim)

mSd momento fletor solicitante de cálculo

p carga uniformemente distribuída correspondente à somatória da carga permanente

mais a carga acidental

carga uniformemente distribuída na laje

carga uniformemente distribuída na viga

pd valor de cálculo da somatória carga permanente mais carga acidental

pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje

valor característico da somatória carga permanente mais carga acidental

ppar peso da parede por unidade de área

peso da parede por unidade de área

q carga acidental uniformemente distribuída

qedif com carga acidental de edifícios comerciais

qk valor característico da carga acidental

rgk reação de apoio característica devida à carga permanente

rgk,Vi reação de apoio característica devida à carga permanente na viga V i

rqk reação de apoio característica devida à carga acidental

rqk,Vi reação de apoio característica devida à carga acidental na viga Vi

rVn reação de apoio na viga

s espaçamento entre as barras que constituem a armadura longitudinal

t comprimento do apoio

vRd1 força cortante resistente de cálculo

vSd força cortante solicitante de cálculo

As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + b,nec além da

seção considerada

Ac área de concreto

An área de triângulo ou trapézio

As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada

As,bar área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada de uma barra

As,min área da seção transversal mínima da armadura longitudinal tracionada

As,princ área da seção transversal principal da armadura longitudinal tracionada

As,ef área da seção transversal efetiva da armadura longitudinal tracionada

Asx,fiss armadura de fissuração na direção x

Asx,pos armadura positiva na direção x

Asy,fiss armadura de fissuração na direção y

Asy,pos armadura positiva na direção y

ALi área da laje Li

D diâmetro interno da curvatura

Es módulo de elasticidade do aço

Ec módulo de elasticidade secante do concreto

Gk,Pi Reação de apoio devida à carga permanente no pilar P i

8-66 2016 tc040

Gk,Vi Reação de apoio devida à carga permanente na viga V i

PLi força resultante atuante na laje Li

Qk,Pi Reação de apoio devida à carga acidental no pilar P i

Qk,Vi Reação de apoio devida à carga acidental na viga V i

a coeficiente para definição da flecha

x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x

y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y

c valor adimensional auxiliar

s valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As

x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x

x valor adimensional que define a posição da linha neutra

y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y

z valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1

diâmetro das barras da armadura

diâmetro da barra longitudinal

c coeficiente de ponderação da resistência do concreto

conc arm peso específico do concreto armado

cont piso peso específico do contra-piso

g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas

gesso peso específico do gesso

mat peso específico do material

q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas

reb peso específico do reboco

s coeficiente de ponderação da resistência do aço

tij peso específico do tijolo

1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio

Rd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento

8.13 Exercícios Ex. 8.1: Dimensionar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes

abaixo representado.

Dados:

- concreto: C20; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 11 cm;

- altura útil da laje (d): 8 cm;

- carga permanente (gk): 4,5 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 2,0 kN/m2.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes;

- as armaduras das lajes devem ser alternadas; e

- as dimensões da figura correspondem a centímetros.

8-67 2016 tc040

Ex. 8.2: Para o painel abaixo indicado, determinar o valor da carga acidental uniformemente

distribuída (qk) que as lajes podem suportar.

Dados:

- concreto: C20; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 12 cm;

- altura útil da laje (d): 9 cm;

- armadura positiva: 1 de mm @ 15 cm nas duas direções;

- armadura negativa: 1 de mm @ 10 cm; e

- carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído).

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

Ex. 8.3: Dimensionar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes

abaixo representado.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

7 m 7 m

4 m

15

15

300 435

15

15

15

660 L1 L2

8-68 2016 tc040

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 2 kN/m2.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes;

- as armaduras das lajes devem ser alternadas; e

- as dimensões da figura correspondem a centímetros.

Ex. 8.4: A figura abaixo representa a forma de um pavimento de um edifício. Sabendo-se

que as lajes serão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e

- as armaduras das lajes devem ser alternadas.

20 20

20 520 20

20

20

300

20

400

300

L2

L1

8-69 2016 tc040

4,0 m 6,0 m

4,0 m

2,5 m L1

L2 L3

Ex. 8.5: A figura abaixo representa um painel de lajes de um pavimento de um edifício.

Sabendo-se que as lajes estão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar as armaduras positivas e negativas da laje L3.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 11 cm;

- altura útil da laje (d): 8 cm; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e

- as armaduras das lajes devem ser alternadas.

Ex. 8.6: Apresenta-se, na figura abaixo, o esquema estrutural de um pavimento constituído

por três lajes maciças de concreto armado. Determinar as armaduras necessárias nas posições N1, N2 e N3 (cm2/m).

L1 L2

L3

4 m

2,4 m

3 m 3 m

8-70 2016 tc040

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 2 kN/m2.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e

- as dimensões da figura correspondem a centímetros.

Ex. 8.7: Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de laje abaixo representado

pode suportar.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 11 cm;

- altura útil da laje (d): 8 cm;

- armadura positiva: 1 de 10 mm @ 15 cm nas duas direções;

- armadura negativa: 1 de 10 mm @ 10 cm; e

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído).

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

L1

L2

L3

200 400

600

400

400

200 700

200

N1

N2

N3

8-71 2016 tc040

Ex. 8.8: Determinar, para o painel de lajes abaixo representado:

a. o diagrama de momentos fletores (valores de cálculo) na direção x;

b. a armadura negativa necessária na borda (encontro) das lajes L1/L2; e

c. a armadura positiva, na direção x, da laje L3.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 12 cm;

- altura útil da laje (d): 9 cm;

- revestimento: 1 kN/m2;

- carga acidental (qk): 6 kN/m2; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e

- as armaduras das lajes devem ser alternadas.

2,2 m 5,0 m

5,0 m

L1 L2

L2

4,2 m

9,0 m

6,0 m

L1

L3

3,0 m

6,0 m

7,0 m

x

y

8-72 2016 tc040

Ex. 8.9: Determinar o diagrama de momentos fletores de cálculo sobre os eixos u e v do

painel de lajes abaixo representado.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);

- carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e

- peso da parede (ppar): 4,8 kN/m.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente em todas as lajes.

Ex. 8.10: Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de lajes abaixo

representado podem suportar.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- armadura positiva: 1 de 6,3 mm @ 12 cm nas duas direções;

- armadura negativa: 1 de mm @ 10 cm; e

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído).

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

v

u

4 m

4 m

3 m

1 m

2m 4m 4m

4m

4

m

2m

L4

L3

L2 L1

3 m

1 m

parede

vazado

8-73 2016 tc040

Ex. 8.11: Determinar o espaçamento necessário para as barras N1 e N2 do painel de laje

abaixo representado.

Dados:

- concreto: C20; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);

- carga acidental (qk): 2 kN/m2;

- armadura positiva (N2): de 6,3 mm; e

- armadura negativa (N1): de mm.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

Ex. 8.12: Para a laje abaixo indicada, determinar:

a. o diagrama de momentos fletores de calculo das lajes L1, L2 e L3, na direção x;

b. a armadura positiva (cm²/m) da laje L2, na direção y; e

c. a armadura negativa (cm²/m) entre as lajes L2 e L3, na direção x.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

5,0 m 3,2 m

4,0 m

L1 L2

5,0 m 3,2 m

4,0 m

L1 L2

N1

N2

8-74 2016 tc040

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 2 kN/m2.

Obs.:

- a laje L1 é em balanço, apoiada apenas na sua borda direita (ligação com a laje L2);

- as demais lajes são suportadas por vigas;

- a região entre as lajes L2 e L4 não tem laje (vazio);

- a laje L3 tem uma parede com peso de 2,5 kN/m2 e altura 2,8 m (área hachureada); e

- as cargas acidentais atuam simultaneamente em todas as lajes.

Ex. 8.13: Determinar as armaduras positivas e negativas (cm2/m) na direção x do conjunto de lajes abaixo representado.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 12 cm;

- altura útil da laje (d): 9 cm;

- carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 3 kN/m2.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes;

- as armaduras das lajes devem ser alternadas; e

x

y

parede

pilar vazado

2,0 m 2,0 m 4,0 m 1,5 m

L2 L1 L3

L4 3,0 m

4,0 m

8-75 2016 tc040

- apresentar, ao final dos cálculos, o esquema das armaduras, com as indicações das áreas (cm2/m).

Ex. 8.14: Determinar, para a laje abaixo representada, a altura h mínima (múltiplo de 5 cm),

de tal modo que a resistência aos momentos fletores ocorra sem a necessidade de armadura de compressão.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje: h = d + 4 cm;

- revestimento: 1 kN/m2;

- carga acidental (qk): 10 kN/m2; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

12 m

12 m L1

6,0 m 4,0 m

4,0 m

5,0 m

L1

L2

P6

P2

P4 P5

P7

P1 P3

V5

A

V5

B

x

y

V4

V6

V1A V1B

V3

V2

8-76 2016 tc040

Ex. 8.15: A planta de formas abaixo indicada representa um conjunto de quatro lajes

maciças de concreto armado. Levando-se em consideração que na extremidade livre das lajes em balanço L3 e L4 atua uma carga de 2 kN/m na vertical e uma carga horizontal de 0,8 kN/m posicionada a 80 cm do piso, determinar:

a. as armaduras positivas (cm2/m) para a laje L1; e

b. as armaduras negativas (cm2/m) para as lajes L2 e L3.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 3 kN/m2.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas lajes; e

- as dimensões da figura correspondem a centímetros.

Ex. 8.16: Para o painel de laje abaixo representado, determinar:

a. o esquema de carga atuante na viga V2; e

b. as condições de segurança quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.

Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura 2,2 m.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações tangenciais (força cortante);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

355

20

110

205

355

110

20

20

20

V1A

V3

V2

V1B

P1

V6

V4

L1 L2

P6 P5

P3

20

V5

P2

P4

20

L4

L3

580

8-77 2016 tc040

- acabamento dos pisos:

regularização: 0,5 kN/m2;

revestimento: 0,7 kN/m2;

- carga acidental (qk): 3 kN/m2; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- as dimensões da figura correspondem a centímetros; e

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.17: Para o painel de laje abaixo representado, determinar:

a. o esquema de cargas (permanente e acidental) atuantes na viga V5; e

b. as condições de segurança quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações tangenciais (força cortante);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura das lajes (h):

L1: 12 cm;

L2: 8 cm;

- altura útil das lajes: d = h - 3 cm;

- acabamento dos pisos:

regularização: 0,5 kN/m2;

revestimento: 1,0 kN/m2;

- carga acidental (qk): 2,0 kN/m2;

- dimensões das vigas: 20 cm x 50 cm; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

V1 – 15 x 60

L1 h = 10 cm

L2 h = 10 cm

V2 – 15 x 60

V3

– 1

5 x

60

V4

– 1

5 x

60

V5

– 1

5 x

60

285

285 285

P1 P2

P3 P4

8-78 2016 tc040

Ex. 8.18: O condomínio de um certo edifício pretende aproveitar a laje de cobertura para

construir um depósito e decidiu consultar um especialista para opinar sobre a viabilidade da proposta.

O depósito a ser construído será em alvenaria de tijolos furados, 15 cm de espessura (tijolos de 10 cm + reboco de 2,5 cm por face) com 2,8 m de altura. Possuirá laje de cobertura (L2) impermeabilizada com carga total (valor característico) de 3,0 kN/m2.

Levantando informações do projeto estrutural a época da construção, soube-se que:

- a laje de cobertura existente (L1) foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo igual a 10 kNm/m na direção x e 20 kNm/m na direção y.

- A viga V1 foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo igual a 120 kNm.

Considerando as informações fornecidas, você autorizaria ou não a construção do depósito? Justifique sua resposta.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje L1: 10 cm;

- acabamento do piso da laje L1:

regularização: 0,5 kN/m2;

impermeabilização: 0,5 kN/m2;

- carga acidental da laje L1: 0,5 kN/m2;

- dimensões da viga V1: 20 cm x 50 cm; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- para o levantamento de cargas, desprezar as aberturas de portas e janelas;

- a viga V1 só recebe carga da laje (L1) existente (não existe parede sobre ela);

- a viga V1 pode ser considerada como simplesmente apoiada nos pilares; e

6,0 m 4,0 m

4,0 m

5,0 m

L1 h = 12 cm

L2 h = 8 cm

P6

P2

P4 P5

P7

P1 P3

V5

A

V5

B

V4

V6

V1A V1B

V3

V2

8-79 2016 tc040

- ignorar as verificações de força cortante nas lajes e vigas.

Ex. 8.19: No projeto de lajes comuns de edifícios de concreto armado (lajes sem armadura de compressão), após o pré-dimensionamento (fixação da altura da laje), deve-se:

a. verificar os esforços de cisalhamento;

b. dimensionar a armadura de flexão; e

c. verificar as deformações (flechas).

Considerando apenas os itens a e b acima (ignorar as deformações), determine o máximo

valor possível de x para a laje abaixo representada.

Dados:

- concreto: C20; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- solicitações normais (momento fletor) e solicitações tangenciais (força cortante);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 12 cm;

- altura útil da laje (d): 9,5 cm;

- relação entre vãos (y / x); 1,5;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e

- carga acidental (qk): 1,5 kN/m2.

Obs.:

- adotar para x um valor múltiplo de 5 cm.

L2

Laje impermeabilizada com carga total igual a

3,0 kN/m2

Vista frontal do depósito

3,0 m

3,0 m 2,80 m

Área prevista para o depósito (no meio da laje

de cobertura)

8,0 m

5,0 m

V1

Laje de cobertura (existente) h = 10 cm

L1

y

x

8-80 2016 tc040

Ex. 8.20: Para a estrutura abaixo representada, determinar:

a. o esquema de carga atuante na viga V7; e

b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.

Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura 2,3 m.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações tangenciais (força cortante);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);

- carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e

- peso próprio das vigas: 3 kN/m.

Obs.:

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

x

y

P6

4,0 m 4,0 m

1,2

m

4,0

m

1,2

m

3,2

m

3,2

m

P1

P2 P3

P4 P5

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

B

V8

L1

V7

C

V7

A

L2

L3

8-81 2016 tc040

Ex. 8.21: Para a estrutura abaixo representada, determinar:

a. o esquema de carga atuante na viga V2; e

b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.

Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,8 kN/m2 e altura 2,2 m.

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações tangenciais (força cortante);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- acabamento dos pisos (revestimento + regularização): 1,5 kN/m2;

- carga acidental (qk): 2 kN/m2; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.22: Para a estrutura abaixo representada, determinar:

a. o máximo momento fletor solicitante de cálculo atuante na viga V4; e

b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.

Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 8 kN/m.

V4

B

V6

B

V3

P1 P2

P3 P4

P5 P6

V1

V2

L1

L3

L2

V4

A

V6

A

6,0 m

3,0 m

4,0 m

3,0 m 3,0 m

V5

8-82 2016 tc040

Dados:

- concreto: C25; e

- aço: CA-60.

Considerar:

- somente solicitações tangenciais (força cortante);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- acabamento dos pisos (revestimento + regularização): 1,5 kN/m2;

- carga acidental (qk): 2 kN/m2; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- as dimensões da figura correspondem a centímetros; e

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.23: Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada.

Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 9 kN/m.

Considerar:

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- acabamento dos pisos:

regularização: 0,5 kN/m2;

revestimento: 1,0 kN/m2;

- carga acidental (qk): 3,0 kN/m2;

- dimensões das vigas: 20 cm x 50 cm; e

- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

Obs.:

- as dimensões da figura correspondem a centímetros; e

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

V4

– 2

0X

50

P1 20X20

V1 – 20X50

V2 – 20X50

V3 – 20X50

L1

h = 10 cm

L2

h = 10 cm

P4 20X20

P3 20X20

P2 20X20

480 20 20

280

280

20

20

20

V5

– 2

0X

50

8-83 2016 tc040

Ex. 8.24: Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada.

Considerar:

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);

- carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e

- peso próprio das vigas: 3 kN/m.

Obs.:

- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.25: Determinar a máxima carga acidental qk que as lajes L1 e L2 são capazes de

suportar, sabendo-se que:

80

20

20

20

580

V2

V4

V3

V1

P2

V7

V5

L1

L2

P5 P4

P1

380 20 20

80

20

20

20

V6

P3

P6

580

380 20

3 m

4 m

4 m

3 m 6 m

P1 P2

P3 P4

P5 P6

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

L1

L2

8-84 2016 tc040

- as armaduras positivas (N1, N2, N3 e N4) são constituídas por barras de 5 mm espaçadas a cada 10 cm;

- a armadura negativa (N5) é constituída por barras de 8 mm espaçadas a cada 10 cm; e

- o carregamento máximo que a viga V4 é capaz de suportar, decorrente das reações das lajes e de seu peso próprio, é igual a 25 kN/m (valor característico).

Dados:

- concreto: C20; e

- aço: CA-50.

Considerar:

- somente solicitações normais (momento fletor);

- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- espessura da laje (h): 10 cm;

- altura útil da laje (d): 7 cm;

- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);

- peso próprio das vigas: 1,5 kN/m.

Obs.:

- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

V2

N2

N4

N1

N3

L1 L2 480 cm

N5

V1

V3

V4

V5

400 cm 400 cm

480 cm