CONCEITO DE VOLUME NO CONTEXTO DO ENSINO...

CONCEITO DE VOLUME NO CONTEXTO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Glauco Reinaldo Ferreira de Oliveira – Centro de Educação

Universidade Federal de Pernambuco – UFPE.

1. Resumo

Nessa pesquisa diagnóstica investiga-se os conceitos de figura, volume e medida se

inter-relacionam num contexto de ensino. As bases teóricas que adotamos propõem a

organização do campo conceitual das grandezas geométricas em quadros: o geométrico,

o das grandezas, o das medidas e o algébrico funcional. A parte experimental constou de

três momentos. O primeiro consistiu na realização de um teste para seleção dos sujeitos

do experimento, em uma turma de 5ª série, de uma escola da rede pública federal de

ensino. Após o teste foram escolhidas quatro duplas de sujeitos com as quais foi

realizado um estudo de caso, utilizando-se uma seqüência de atividades envolvendo a

articulação entre o quadro geométrico, o das grandezas e o das medidas. Foram

evidenciadas algumas concepções e estratégias dos alunos na resolução de problemas de

volume de sólidos maciços e de recipientes, que podem subsidiar a elaboração de

seqüências didáticas, visando à aprendizagem do conceito de volume.

2. Introdução

As grandezas geométricas surgem com bastante freqüência nos currículos,

programas e manuais didáticos voltados para o Ensino Fundamental. A importância

desse tema tem sido, tradicionalmente, atribuída às suas aplicações nos vários contextos

do dia-a-dia e das práticas tecnológicas ou científicas.

Apesar disso, estudos no campo da Didática da Matemática têm revelado que o

tratamento das grandezas geométricas no ensino vem merecendo atenção secundária em

face de outros conteúdos matemáticos. Além disso, tais pesquisas têm evidenciado

inúmeras e persistentes dificuldades dos alunos na aprendizagem desses conceitos.

Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental

Em geral, na organização desses citados conteúdos (matemáticos) escolares o

tema das grandezas é parte do campo da geometria ou aparece com ênfase nos aspectos

numéricos, em capítulos dedicados às medidas. Uma das hipóteses didáticas básicas de

alguns pesquisadores é a de que o campo conceitual das grandezas – das grandezas

geométricas em particular – merece um lugar próprio, no conjunto dos conteúdos

matemáticos ensinados na escola. Apesar de, ainda, não haver uma aceitação ampla da

validade de tal hipótese, alguns fatos sinalizam nessa direção. Um deles é que nos

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCNs), elaborados pelo

MEC (Ministério da Educação e do Desporto, 1997, 1998) se escolheu ‘Grandezas e

Medidas’ como um dos quatro grandes blocos em que se organizam os conteúdos

matemáticos, ao lado dos blocos de ‘Números Operações’, ‘Espaço e Forma’ e

‘Tratamento da informação’. Um outro indício é a atenção maior que os manuais

didáticos mais recentes vêm dedicando ao tema das grandezas, ainda que neles não se

possa perceber um tratamento adequado da especificidade do conceito de grandeza

perante os de medida de uma grandeza, ou de objeto geométrico, ao qual está associada

à grandeza.

Esta dissertação está inserida no trabalho de um grupo do Mestrado em

Educação da UFPE, que vem estudando problemas de ensino-aprendizagem das

grandezas geométricas.

Alguns resultados dos trabalhos realizados sobre grandezas geométricas, pelo

grupo ao qual se filia esta dissertação, já podem ser consultados na literatura brasileira

de Educação Matemática. Por exemplo: Bellemain & Lima (2000, 2001), Câmara dos

Santos (1999), Duarte (2001), Lima (1995, 1997), Ribeiro (2001), entre outros.

O olhar sobre a literatura em didática das grandezas geométricas, adotando a

metodologia da engenharia didática, revela que há pouquíssimos estudos em torno da

grandeza volume. Um dos mais extensos foi o estudo conduzido por Vergnaud (1983) e

seus colaboradores, versando sobre “a aritmetização do volume, isto é a passagem do

espaço ao número” (Vergnaud, 1983), sendo central nesses estudos a questão da

dimensionalidade da grandeza volume.

Por outro lado, as pesquisas de Douady & Perrin-Glorian (1989) e Baltar (1996)

a respeito das grandezas área e comprimento ampliaram o espectro de questões didáticas

envolvendo esse campo conceitual. Em particular, propuseram modelos didáticos,

formularam hipóteses a ele associadas e experimentaram engenharias, visando a tornar

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mais eficaz o ensino desses conceitos. Estender parte dessas pesquisas à grandeza

volume é o objetivo da presente dissertação.

Nossa escolha é a de realizar um estudo exploratório sobre algumas questões

didáticas, presentes na aquisição inicial do conceito de volume. Embora guardemos

analogias com uma engenharia didática, abriremos mão do objetivo central de uma tal

engenharia – ensinar um conceito –, cingindo-nos a um estudo de caráter exploratório e

diagnóstico. Esperamos que esses estudos possam subsidiar seqüências de ensino que

componham uma engenharia didática relativa à grandeza volume.

3. Metodologia

O estudo de caso foi a metodologia adotada.

4. Objetivos

Executar um estudo diagnóstico e exploratório de questões didáticas relativas ao

conceito de volume.

Objetivos específicos

1ª Sessão

Esta sessão é composta por duas atividades, ambas envolvendo a articulação entre

os quadros geométricos e das grandezas.

• Na primeira, o foco principal é a distinção entre o sólido geométrico e seu

volume.

• Na segunda, voltamo-nos para a ordenação de sólidos, segundo seus volumes

2ª Sessão

Esta sessão o tema central é a comparação de volumes de sólidos, dando continuidade à

investigação da distinção/articulação entre a figura geométrica e o seu volume.

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• Na primeira atividade o objetivo de diagnosticar como os sujeitos relacionam

os conceitos de capacidade como grandeza.

• Na segunda atividade o objetivo de diagnosticar como os sujeitos relacionam

os conceitos de volume e de capacidade.

• 3ª Sessão

Nesta sessão, composta de duas atividades, o tema principal é o emprego da medida

com unidades não convencionais.

• Na primeira atividade examinamos a questão da medida da capacidade de

recipientes

• Na segunda a medida de volume de sólidos a distinção entre o sólido.

5. – Atividades

1ª sessão

FICHA DO ALUNO TAREFA 1

Você recebeu dois pedaços iguais de massa de modelar. Escolha um deles e amasse à vontade.

1 – Os dois pedaços de massa continuam com o mesmo volume? Não. Porque: Sim. Porque:

2 – Marque com um X a opção mais conveniente e justifique a sua resposta. O pedaço amassado tem volume maior do que o outro pedaço O pedaço amassado tem volume menor do que o outro pedaço Os dois pedaços têm o mesmo volume.

MATERIAL ENTREGUE À DUPLA

SÓLIDO A Uma porção de massa de modelar

SÓLIDO B Uma porção de massa de modelar

RECIPIENTE Recipiente plástico transparente, de paredes rígidas, com água e suficiente espaço para submersão total do pedaço de massa de modelar.

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2ª sessão

TAREFA 1 FICHA DO ALUNO Você recebeu os recipientes A, B e C.

a) Por estimativa visual qual destes recipientes (A, B ou C.) tem a meb) Verifique experimentalmente a sua resposta c) Coloque em ordem crescente, em relação à sua capacidade, os recip

E

E

FICHA DO ALUNO

TAREFA 2

Você recebeu uma bola A, um pedaço de ferro B, e três recip

Figura 3

a) Colocar em ordem, após uma estimativa visual, os recipi

dados, segundo os seus volumes. Considere, em cada recip

(capacidade)

b) Verifique, experimentalmente, se sua ordenação estimada

B < C

FICHA DO ALUNO TAREFA 2

Considere a bola de massa de modelar A, a bolinha B, o pedaço de ferro C.

a) Fazendo uma estimativa visual, qual desses objetos tem o maior volume? b) Verifique, experimentalmente, a sua resposta. c) Coloque em ordem crescente, em relação a seus volumes, os objetos dados.

RESPOSTA PREVISTA

m ordem crescente: A < B < C

RESPOSTA PREVISTA

m ordem crescente: A < C < B

nor capacidade?

ientes A, B e C.

RESPOSTA PREVISTA

< A < E < D, ou D > E > A > C > B.

ientes C, D, E.

entes e os sólidos maciços

iente o seu volume interno

está correta.

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3ª sessão

FICHA DO ALUNO

Tarefa2

Você recebeu uma coleção de cubinhos de madeira

1 – Construa um sólido, usando os cubinhos dados.

2 – Tomando o cubinho como unidade, faça uma estimativa da medida de volume do seu

sólido.

3 – Tomando o cubinho como unidade, determine a medida de seu sólido.

FICHA DO ALUNO

TAREFA 1

Você recebeu três recipientes: A, B e C e uma garrafa.

a) Faça uma estimativa da medida da capacidade da garrafa usando A como

unidade?

b) Determine experimentalmente a medida da capacidade da garrafa usando A

como unidade.

c) Determine experimentalmente a medida da capacidade da garrafa utilizando,

agora, como unidade cada um dos recipientes B e C.

d) Qual a relação entre as medidas da capacidade da garrafa, nas três unidades

escolhidas.

RESPOSTA PREVISTA

Aproximadamente: A =4 < B =3< C=2

6. Análise dos resultados das atividades da 1ª sessão

Uma primeira observação é a de que, dos oito alunos que participaram do

experimento, três afirmaram, explicitamente, que haveria variação do volume quando

um dos pedaços fosse amassado, eles mantiveram os seus pontos de vista mesmo após

realizarem o procedimento de imersão. Estes ainda não adquiriram a noção de

conservação de volume.

Dentre os que afirmaram haver mudança de volume, um deles (ALDS) recorreu

a uma argumentação errônea, prevista na análise a priori, que vincula um comprimento

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identificado na figura com o seu volume. Esse sujeito manteve o seu ponto de vista após

realizar o procedimento de imersão.

Os quatro sujeitos restantes evidenciaram compreensão dos fenômenos

envolvidos na atividade, dois deles formulando, de forma clara, que o volume do sólido

amassado não se altera no experimento. O sujeito FPO (12 anos) dá uma explicação

completa, também, do experimento com a imersão dos sólidos.

Na Atividade 2, constamos que houve bastante influência da noção de massa

(peso) dos sólidos, adotando-se a argumentação, segundo a qual, maior peso representa

maior volume. O pedaço de ferro, segundo esses alunos, por ser mais pesado, foi o

escolhido como o de maior volume. Por outro lado, quando esses alunos partiram para a

verificação experimental de suas hipóteses, houve modificações significativas das suas

conclusões iniciais.

Notamos, também, a forte influência que a figura exerceu na compreensão do

conceito de volume. Quando analisamos o Item (a), no qual era pedido para que os

alunos fizessem uma previsão do volume do objeto, ARA, JISO, CRLLM, FPO, fizeram

a previsão e elegeram elementos da figura (por exemplo, o “comprimento” da figura)

para justificar suas respostas. Quando executam o experimento de imersão, no entanto,

ocorre uma retificação desse ponto de vista em vários alunos

Um outro dado importante é o de que o número de acertos exibidos no Item c,

dessa Atividade, foi bastante elevado, o que pode revelar um efeito de familiarização

dos sujeitos com o procedimento utilizado na Atividade 1.

Em primeiro lugar, os dados parecem confirmar os achados de Piaget & Inhelder

(1983), relativos à aquisição da noção de conservação de volume dos sólidos, quando

submetidos a transformações que preservem sua massa e sua densidade. Aqueles

pesquisadores situaram em torno dos 11 anos a passagem da não-conservação para a

conservação, fenômeno que, aparentemente, ocorre no universo das duplas estudadas.

De fato, o sujeito de 10 anos de idade teve um mau desempenho em todos os itens da

sessão; os dois sujeitos com 12 anos, ao contrário, resolveram, corretamente, todos os

itens, e, em relação aos demais, que têm 11 anos de idade, houve casos de acerto e casos

de erro.

Do ponto de vista de novas investigações, talvez fosse interessante replicar o

experimento da 1a Sessão com sujeitos de outros contextos, seja com relação à faixa

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etária, tomando, por exemplo, alunos de 6a série, seja em turmas de 5a série, de outras

escolas.


Notamos na atividade 1, inicialmente, que seis dos alunos que foram submetidos

ao experimento consideraram que dentre os três recipientes fornecidos, o copo,

recipiente A seria o que tinha menor capacidade. Dois destes alunos usaram como

justificativa para a sua resposta (ser menor, ser pequeno demais) como condição. Um

fato não previsto em nossa análise a priori é a resposta dada por HPSO (10 anos), que

nos parece considerar como capacidade o peso da garrafa ao indicar o recipiente de

menor volume: “O C, pois é uma garrafa leve” Esse sujeito manteve o ponto de vista

mesmo após o procedimento de imersão.

Observamos que as justificações usadas por alguns sujeitos, em relação à

aferição estimativa do volume interno dos recipientes referiram-se à relação entre o

volume interno e a figura, mas apoiadas em concepções vagas. Apesar disso, não houve

conflito entre a estimativa inicial e a realizada na segunda etapa da atividade,

provavelmente pelo fato de o copo A ser visivelmente mais baixo do que os outros dois

recipientes e não ser suficientemente largo para deixar de ser o de menor volume.

Na segunda tarefa estávamos interessados prioritariamente em verificar como os

sujeitos iriam relacionar os conceitos de volume e capacidade. A questão proposta era

ordenar os volumes de três recipientes (sólidos ocos) e dois sólidos maciços. Nessa

atividade não foi estabelecido o tipo de ordem, se crescente ou decrescente.

Uma observação inicial é a de que seis, dos oito sujeitos, tentaram, efetivamente,

ordenar o conjunto completo de objetos, embora nas respostas contidas nas fichas esse

fato não fique evidenciado, tendo sido necessário, para a verificação desse fato, o

recurso às anotações dos observadores e à exibição do registro videográfico. Dessa

forma, consideraram os volumes e as capacidades como comparáveis, o que é um

resultado interessante à luz da previsão feita na análise a priori de que poderia haver

uma separação entre os dois blocos de objetos. Tal separação só ocorreu com os sujeitos

PFOS e NFNB que procederam como se houvesse sido pedida a ordenação separada dos

recipientes e dos sólidos maciços.

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Nessa atividade, nenhum dos sujeitos formou a seqüência completa de forma

correta, havendo, no entanto, casos com subconjuntos ordenados acertadamente.

Os procedimentos de comparação por estimativa e por imersão foram

inteiramente análogos aos empregados nas atividades anteriores. No caso das

comparações por estimativa, alguns sujeitos continuaram a comparar volumes pela

comparação das massas (pesos) dos sólidos, valendo-se da “balança das mãos”.

A ocorrência de ordenações erradas do conjunto completo de objetos poderia ser

atribuída ao número elevado desses objetos, que cria dificuldades na aplicação da

transitividade da relação de ordem, como, também, gera dificuldades na fase de

comparação por meio do transporte de água. Essa última dificuldade pode ter sido

responsável pelo fato de que alguns sujeitos indicaram haver igualdade de volumes

entre alguns sólidos, o que, de fato, não ocorria.


Na primeira tarefa, examinamos a questão da medida de capacidade de

recipientes e, na segunda, a medida de volume de sólidos.

Os resultados obtidos mostram que os sujeitos erraram, na maioria dos casos,

por mais de um copo do tipo A, ao fazerem suas estimativas da capacidade da garrafa.

Por outro lado, quase todos retificaram essas estimativas ao efetuarem a medição com o

transporte de água para a garrafa. Nesse sentido, o conflito entre a estimativa e o cálculo

mais preciso ocorreu como fora previsto na elaboração da atividade.

Observamos, além disso, um procedimento que provocou a medição incorreta

em três dos sujeitos (ALDS, CRLLM e ARA), que foi o de não preencher

completamente o copo unitário com água. Tais sujeitos enchiam cerca de ¾ do volume

do copo A e despejavam sucessivamente na garrafa. Não nos fica claro, nesse

procedimento, se os sujeitos estavam aceitando uma aproximação mais grosseira da

capacidade da garrafa ou não estavam atentos a isso e revelando, neste caso, uma

concepção errada do procedimento de medição.

O Item d desta Atividade visava a investigar as relações que os sujeitos

estabeleceriam entre os resultados da medição com as diferentes unidades. Observamos,

no entanto, pela análise dos dados nos protocolos dos alunos, não ter havido suficiente

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compreensão do que foi solicitado. Apenas dois deles deram respostas que se

aproximaram do esperado:

“Cada uma tinha capacidades diferentes precisando de menos ou de

mais copos” (ARA, 11 anos), “A é a que possui menos capacidade, B

é a 2ª, C é a que possui mais capacidade” (FPO, 12 anos).

Passemos, agora, a comentar os resultados da segunda atividade No primeiro

item dessa atividade, todos construíram sólidos geométricos, por empilhamento dos

cubinhos.

Constatamos que seis sujeitos, efetuaram a contagem dos cubinhos um a um,

desmontando, ou não, o sólido construído. Utilizaram, dessa forma, um procedimento

aditivo, compatível com a unidimensionalidade do volume, quando medido, tomando o

cubinho como unidade de medida.

Em contrapartida, dois sujeitos, que formaram uma das duplas, construíram um

paralelepípedo retângulo, atribuíram comprimentos em centímetros para suas arestas e

efetuaram o produto desses comprimentos, obtendo valores do volume em cm3. Esses

sujeitos utilizam, dessa forma, um procedimento que se contrapõe ao utilizado pela

maioria dos outros, pois adotam uma estratégia multiplicativa e fazem intervir um

elemento do quadro algébrico-funcional (fórmula de volume). No caso do sujeito

CRLLM (11 anos), convém salientar que houve um erro, desde que o sólido que foi

construído continha um vazio no seu interior, que não foi considerado em seu cálculo do

volume. Observamos aqui, possivelmente, um exemplo de reação ao emprego que não

sejam do sistema métrico decimal no trato de problemas de medição de grandezas.

9. Conclusões

Este trabalho tratou de um diagnóstico exploratório de questões didáticas

relativas ao conceito de volume, realizado por meio de um estudo de casos, que teve

como sujeitos quatro duplas de alunos de 5a Série do Ensino Fundamental e que foram

investigadas durante a resolução de uma seqüência de atividades de sala de aula.

Tomamos como moldura teórica básica para a elaboração da seqüência de atividades a

modelização didática das grandezas geométricas, proposta nos trabalhos de Douady &

Perrin-Glorian (1989) e Bellemain & Lima (2001), na qual se distinguem quatro

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quadros: geométrico, das grandezas, numérico e algébrico-funcional. A hipótese básica,

que vem norteando as pesquisas sobre o tema, e que é adotada neste trabalho, é a de

que, no ensino-aprendizagem das grandezas geométricas é necessário realizar a

distinção e a articulação desses quatro quadros.

Adotando a modelização, acima mencionada, no caso da grandeza volume, e

procurando articular o quadro dos sólidos geométricos com o quadro das grandezas,

deparamo-nos com questões complexas, originadas na intrincada relação do volume

desses sólidos com as grandezas massa e densidade. Sobressaem-se, nesse ponto, as

questões relativas à conservação de massa e de volume, nas transformações a que

podem ser submetidos os sólidos.

Uma das atividades do experimento levado a efeito nesta dissertação é uma

replicação de uma das tarefas de Piaget & Inhelder (1983). Os resultados obtidos nessa

atividade mostraram a complexidade da aquisição da noção de conservação do volume,

numa situação em que um sólido é submetido a uma mudança que preserva sua massa e

sua densidade, mas, altera sua forma. Os resultados encontrados em nosso experimento

corroboram a hipótese de Piaget & Inhelder sobre a fase de desenvolvimento da criança,

na qual se evidencia a aquisição da noção de conservação de volume. No entanto, dada

a importância da aquisição dessa noção e o caráter exploratório do nosso estudo, seria

oportuno que fossem realizadas investigações análogas noutros contextos, não só com

respeito à faixa etária – com alunos de 6ª Série, por exemplo – mas, também, com

alunos de outras escolas.

Na abordagem das questões de ensino-aprendizagem do conceito de volume

surge uma questão muito instigante, qual seja, a relação entre os conceitos de volume e

de capacidade. Idênticos, do ponto de vista da Matemática, esses dois conceitos são

distintos do ponto de vista das análises cognitiva e didática. Uma das atividades do

nosso experimento apontou para a possibilidade de os alunos integrarem,

convenientemente, tais conceitos. Numa tarefa de ordenação de sólidos maciços e

recipientes, seis dos oito sujeitos compararam volumes e capacidades.

Na resolução de problemas envolvendo a capacidade de recipientes tem sido

sempre utilizada, como instrumento de comparação ou de medida, a quantidade de

alguma substância material (em geral, líquidos) que podemos armazenar nesses

recipientes. Empregamos, com esse procedimento, o princípio válido de que a razão

entre dois volumes é a razão entre as massas do material contido nesses recipientes.

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Esse fato induz à idéia errônea de que o volume é a massa contida no recipiente, idéia

essa, muito enraizada, até mesmo nas concepções dos professores de Matemática, como

mostramos no Capítulo 4 desta dissertação. Isso nos sugere a realização de estudos nos

quais fossem investigadas atividades que propiciassem a distinção entre as grandezas

volume e massa.

Outra questão relevante na abordagem da grandeza volume é aquela que se

refere à sua dimensionalidade. Quando é que o volume é entendido como uma grandeza

unidimensional e quando o é como uma grandeza tridimensional? Que relações há entre

tal distinção e a distinção volume–capacidade? Na última atividade de nosso

experimento abordamos, de forma muito incipiente, esses temas, porém, é

imprescindível, para o ensino-aprendizagem do conceito de volume que tais questões

seja respondidas.

10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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