Computer Vision Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205.
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Computer Vision Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205
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ComputerVision
Transformação de Imagens
Paulo Sérgio RodriguesPEL205
ComputerVision Introdução a Transformada de Fourier
ComputerVision Séries de Fourier
Chama-se série trigonométrica, uma série da forma:
)2()2cos()()cos(2 2211
0 xsenbxaxsenbxaa
1
0 )()cos(2 k
kk kxsenbkxaa
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 )()cos(2 k
kk kxsenbkxaa
As constantes a0, ak e bk (1,2,...) são os coeficientes da sérietrigonométrica
Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que:
f(x) = f(x + 2π)
ComputerVision Séries de Fourier
•Problema: para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as condições impostas a f(x) de modo que exista uma sérietrigonométrica convergente para f(x)?
f(x)
1
0 )()cos(2
)(k
kk kxsenbkxaa
xf
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 )()cos(2
)(k
kk kxsenbkxaa
xf
A série acima pode ser então integrável de –π a π.
1
0 cos2
)(k
kk dxkxsenbdxkxadxa
dxxf
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 cos2
)(k
kk dxkxsenbdxkxadxa
dxxf
0
cos
0coscos
2 00
k
kxbdxkxsenbdxkxsenb
k
kxsenadxkxadxkxa
adxa
kkk
kkk
0
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 cos2
)(k
kk dxkxsenbdxkxadxa
dxxf
dxxfa
adxa
)(1
2
0
00
Agora só falta de determinar ak e bk !!
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 )()cos(2
)(k
kk kxsenbkxaa
xf
Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)
1
0 cos)(cos)cos(cos2
cos)(k
kk nxkxsenbnxkxanxa
nxxf
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 cos)(cos)cos(cos2
cos)(k
kk nxkxsenbnxkxanxa
nxxf
No entanto, sabemos que:
Zkndxkxdxnxsenkx
, ,cos e 0cos 2
1
0 coscoscoscos2
cos)(k
kk dxnxkxsenbdxnxkxadxnxa
dxnxxf
Integrando de –π a π termo a termo ambos os membros da equação acima
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 coscoscoscos2
cos)(k
kk dxnxkxsenbdxnxkxadxnxa
dxnxxf
Zkndxkxdxnxsenkx
, ,cos e 0cos 2
Lembrando que:
0 0
kk adxkxadxkxxf
2coscos)(
dxkxxfak cos)(
1
ComputerVision Séries de Fourier
1
0 coscoscoscos2
cos)(k
kk dxnxkxsenbdxnxkxadxnxa
dxnxxf
dxkxxfak cos)(
1
De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) aoinvés de cos(nx), chegamos a:
dxkxsenxfbk )(
1
dxxfa )(
10
que se junta a:
ComputerVision Séries de Fourier
dxkxxfak cos)(
1
dxkxsenxfbk )(
1
dxxfa )(
10
1
0 )()cos(2
)(k
kk kxsenbkxaa
xf
ComputerVision Série de Fourier
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
ktaatf k
kk
t
f(t)
0T
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
ComputerVision Coeficientes da Série
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
ktaatf k
kk
T
k kdtT
kttf
Ta
0,...3,2,1,0)
2cos()(
1
T
k kdtT
kttf
Tb
0,...3,2,1)
2sin()(
1
t
f(t)
0 T
ComputerVision
Série de Fourier com números complexos
10
2sin
2cos2)(
knk T
ktb
T
ktaatf
2cos
ii ee
i
ee ii
2sin
1
22
0)(k
T
kti
kT
kti
k eFeFFtf
kkkkkk ibaFibaFaF ,,00
k
T
kti
keFtf2
)(
kk FF
1
2222
0)(k
T
kti
T
kti
kT
kti
T
kti
k eei
beeaatf
1
22
0)(k
T
kti
kk
T
kti
kk e
i
bae
i
baatf
T
T
kti
k kdtetfT
F0
)2
(,...3,2,1)(
1
i
12i
ii
i
1
ComputerVision Transformada de Fourier
dwewFxf wxi 2)()(
dxexfwF wxi 2)()(
ComputerVision
dxexfuFxf uxj 2
1 jonde
dueuFxfuF uxj 21
Transformada de Fourier (outra notação)
ComputerVision
Introdução a Transformada de Fourier
uIuRuFuP 222
ComputerVision
Introdução a Transformada de Fourier
dxdyeyxfvuFyxf vyuxj 2,,,
dudvevuFyxfvuF vyuxj 21 ,,,
ComputerVision
Introdução a Transformada de Fourier
vuIvuRvuFvuP ,,,, 222
ComputerVision Introdução a Transformada de Fourier
vuIvuRvuFvuP ,,,, 222
ComputerVision Transformada Discreta de Fourier
xNxfxxfxxfxf 1,,2,, 0000
1
0
/21 N
x
NujexfN
uF
1
0
/2N
u
NujeuFxf
ComputerVision Transformada Discreta de Fourier
xNxfxxfxxfxf 1,,2,, 0000
1
0
1
0
//2,1
,M
x
N
y
NvyMuxjeyxfMN
vuF
1
0
1
0
//2,,M
u
N
v
NvyMuxjevuFyxf
ComputerVision
Resultados daTransformada de Fourier
ComputerVision Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x)
x
]2,
20
2[
20
)( b
bxse
bxsea
bxse
xf
a
dxexfwF wxi 2)()(
2/
2/2
2
b
bwxie
wi
a
2/
2/
2b
b
wxi dxea
wbiwbi eewi
a
2
i
ee
w
a wbiwbi
2
)sin( wb
w
a
b
wb
wbabwF
)sin(
)(
ComputerVision Transformada da função box
bw
bwabwF
)sin(
)(
F(w)
0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b
ab
w
sinc(bw)
wb
wbabwF
)sin(
)( f(x)
x
a
b
ComputerVision Distribuição normal: Gaussiana
2
2
22
1)(
x
exGaus
ComputerVision Exemplo 2: Gaussiana
-0,02
0,03
0,08
0,13
0,18
-0,02
0,03
0,08
0,13
0,18
2
2
2
2
1)(
x
exf
2
2
12)(
w
ewF
f(x)
x
|| F(w) ||
w
1
ComputerVision
Exemplos
Considere a função mostrada abaixo:
f(x)
2f(x0)
f(x0 + dx)
f(x0 + 2dx) f(x0 +3 dx)
x
3
4
0.5 0.75 1.0 1.25 x
f(x)=f(x + dx)
2
3
4
0.5 0.75 1.0 1.25
ComputerVision Exemplos
1
0
/2)(1
)(N
x
NuxjexfN
uF
f(x) = [2, 3, 4, 4]
25.3)0(
25.3)4432(4
1)]3()2()1()0([
4
1
)(4
1)(
4
1)0(
3
0
03
0
02
F
ffff
exfexfFxx
j
ComputerVision Exemplos
1
0
/2)(1
)(N
x
NuxjexfN
uF
f(x) = [2, 3, 4, 4]
)2(4
1)1(
)2(4
1]4432[
4
1
)(4
1)1(
2/32/0
3
0
4/2
jF
jeeee
exfF
jjj
x
xj
ComputerVision Exemplos
1
0
/2)(1
)(N
x
NuxjexfN
uF
f(x) = [2, 3, 4, 4]
)2(4
1)3(
)01(4
1)2(
)2(4
1)1(
25.3)0(
jF
jF
jF
F
ComputerVision Exemplos
F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, -0.5-0.25j]
4
5
4
1
4
2)3(
4
1
4
0
4
1)2(
4
5
4
1
4
2)1(
25.3)0(
2/122
2/122
2/122
F
F
F
F
ComputerVision
Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier!
Mas já dá para brincar com imagens utilizando o com o MatLab!
