Comprimento do arco
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O Comprimento do Arco de Circunferência Foram os arquitetos e construtores da antiguidade que primeiro descobriram a relação existente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Para qualquer circunferência traçada, verifica-se a relação nte consta diâmetro o Compriment essa constante que a princípio, devido às imprecisões de medidas, pensaram fosse igual a 3, é na verdade um número irracional (3.1415926535897932384626433832795) que levou o nome de л (letra grega PI). Assim, 2r C 2r d C d como e de onde nos vem a fórmula do comprimento da circunferência r C 2 Essa relação foi, portanto descoberta empiricamente, isto é, na prática e não foi fruto de deduções matemáticas. Com um pouco de elaboração matemática, porém, pode-se chegar ao comprimento (S) de qualquer arco de circunferência: r S 180 em que α é o ângulo compreendido pelo arco medido em graus. Vejamos agora a questão que você propôs: “O comprimento de um arco de circunferência em função da corda e da flecha” A figura ao lado ilustra o problema, sendo dados disponíveis: os valores de AC (que chamaremos b) e h. O ângulo α assinalado é por conveniência o ângulo compreendido pelo arco AB, metade do total. Então sabemos que o comprimento do arco AB em função de α e r é dado pela fórmula anterior e vale: r AB 180
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Geometria - circunferência
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O Comprimento do Arco de Circunferência Foram os arquitetos e construtores da antiguidade que primeiro descobriram a relação existente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Para qualquer circunferência traçada, verifica-se a relação
nteconstadiâmetro
oCompriment
essa constante que a princípio, devido às imprecisões de medidas, pensaram fosse igual a 3, é na verdade um número irracional (3.1415926535897932384626433832795) que levou o nome de л (letra grega PI). Assim,
2r
C 2r
d
Cd como e de onde nos vem a fórmula do comprimento
da circunferência rC 2 Essa relação foi, portanto descoberta empiricamente, isto é, na prática e não foi fruto de deduções matemáticas. Com um pouco de elaboração matemática, porém, pode-se chegar ao comprimento (S) de qualquer arco de circunferência:
rS 180
em que α é o ângulo compreendido pelo arco medido em graus. Vejamos agora a questão que você propôs: “O comprimento de um arco de circunferência em função da corda e da flecha”
A figura ao lado ilustra o problema, sendo dados disponíveis: os valores de AC (que chamaremos b) e h. O ângulo α assinalado é por conveniência o ângulo compreendido pelo arco AB, metade do total. Então sabemos que o comprimento do arco AB em função de α e r é dado pela fórmula anterior e vale:
rAB 180
e se pudermos exprimir α e r em função de S e h conhecidos teremos resolvido o problema. Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo AOP, podemos escrever:
)( hr
b
OP
APtg
r
hr
AO
OPcos
r
b
AO
APens
22
ainda no triângulo AOP o teorema de Pitágoras nos garante:
22222
2)()(
bhrr ou APOPAO 2
h
hbr
brhhrr
84
42
222222
e assim conseguimos expressar α e r em função dos valores conhecidos. Resta fazer a substituição final, que virá adiante. sendo
)(r
hrarcos
r
hrcos ou arcos, seu pelo expressar podemos
h
hb
hb
hbarcosAB
84
18044 22
22
22
)( e sendo AC = 2AB
h
hb
hb
hbarcosAC
84
9044 22
22
22
)(
que é uma expressão analítica que fornece corretamente o comprimento do arco. Para conferir vamos testar o cálculo do arco de meia circunferência cujo comprimento deve ser л x r. Para meia circunferência b se torna igual a 2r e h igual a r e assim:
r
rr
rr
rrarcosAC
842
904242 22
22
22
)(
))()(
(
o que nos dá
rrr
arcosAC
9044
022
)( lembrando que arcos(0) = 90˚
rAC a meia circunferência que queríamos. Por fim, se desejarmos expressar o comprimento do arco em função do arctg (α) teremos:
h
hb
hb
hbartgAC
84
9044 22
22
)(
que funciona igualmente.
