Composição de movimentos - Departamento de Astronomiaaga0501/aulas_2011/aula5.pdf · Composição...
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Composição de movimentos
X
y
O x(t)
P(x,y)
y(t)
XO x(t)
Uma grande parte da discussão que segue visa o caso particular
em que temos um movimento numa direção X e outro na direção Y,
e no qual o que acontece na direçao X não depende do que acontece
na direção Y, e vice versa; a unica conexão acontece através do tempo.
Seguem muitos exemplos de movimento retilíneo uniforme em X e
movimento de queda com aceleração g em y
descoberta de Galileu
Composição de movimentos
h=0
queda da bola dentro do vagão h= -
porque mesmo? aceleração constante porque força da gravidade é constante
v=gt; a velocidade média depois de um tempo t é : e a distância
percorrida = v média x tempo= 2
0+v
22
2gt
tv
=
2
2gt
Na direção x o vagão se move com velocidade constante
x= ut ou t = x/u
h= -1/2 gt2 = 22
2)
2
1( axx
u−=− equação de uma parábola
y= ax2
Equação geral vamos agora colocar o eixo para cima
h= h0 + vht - ½ gt2
x = x0 + vx t
tem que tomar cuidado com a
direção escolhida para os eixos,
se o eixo Y ou h é para cima, g é negativo
dá para escrever t em função de x
e substituir na primeira equação
e obter uma equação do tipo
y=f(x)
equação da trajetória
Um canhão horizontal atira paralelamente ao solo. Não importa a carga de
pólvora (que afeta a velocidade da bala), que a bala chegue ao chão a 10m, 100m
ou 200m, o tempo vai ser o mesmo.
a velocidade Vx varia, mas o movimento em Y é sempre o mesmo ½ gt2
porque?
note que o espaçamento entre as
bolas é constante em X
filme com ∆t=cte
PRINCÍPIO�DA�INDEPENDÊNCIA�DOS�MOVIMENTOS�SIMULTÂNEOS
Quando um corpo está animado, simultaneamente, por dois
movimentos perpendiculares entre si, o deslocamento na direção de
um deles é determinado apenas pela velocidade naquela direção.
Goethe ou Baudelaire?
VB= velocidade do barco
VC= velocidade da correnteza
A notação vetorial ajuda a entendera composição de movimentos
Cartridge Bullet weight Muzzle velocity Muzzle energy Max pressure
.38 Short Colt 135 gr (8.7 g)777 ft/s
(237 m/s)181 ft·lbf (245 J) 7,500 CUP
apesar de seu nome, o .38
na realidade tem calibre de
.357 polegadas (9 mm). Esse é o diâmetro dos
cilindros de latão. Introduzido em 1899,
foi usado mais de 100 anos por policia e militares
amricanos
• 38
.38 Short Colt 135 gr (8.7 g)(237 m/s)
181 ft·lbf (245 J) 7,500 CUP
.38 Long Colt 150 gr (9.7 g)777 ft/s
(237 m/s)201 ft·lbf (273 J) 12,000 CUP
.38 S&W 158 gr (10.2 g)767 ft/s
(234 m/s)206 ft·lbf (279 J) 14,500 PSI
.38 S&W Special 158 gr (10.2 g)940 ft/s
(290 m/s)310 ft·lbf (420 J) 17,000 PSI
.38 Special +P 158 gr (10.2 g)1,000 ft/s
(300 m/s)351 ft·lbf (476 J) 20,000 PSI
exercício: uma pessoa atira com um 38, com o cano do revolver
perfeitamente horizontal a 1,20 m do solo. A que distância a bala
atinge o solo?
y=1/2 gt2 t= (2y/g)1/2 = (2x1.2/10)1/2 =0.49 s
d=vt= 237x0.49= 112.7 m
é bom lembrar: 1/2 gt2 , para t= 1s dá 5 m , t=2s dá 20m , t=3s dá 45m
velocidades: v=gt, dá v=10 m/s, 20 m/s, 30 m/s
Problema do macaco: ao ver o clarão do tiro,
ele se solta. Mas ele é acertado de qualquer forma.
Por que?
22|| yx uuu +=
||/ˆ uuur
= vetor unitário
yuxujuiuu ˆˆ +=+=rr
Ɵ
modulo de vetor, vetor unitário, componentes
yuxujuiuu yxyxˆˆ +=+=
θ
θ
senuu
uu
y
x
||
cos||
=
=
22
22cos
yx
y
yx
x
uu
usen
uu
u
+
=
+
=
θ
θ
y
x
u
utg =θ
soma de vetores
e soma dos componentes x e y
jvuivuvu yyxx
rrrr)()( +++=+
jvivv yx
rrrλλλ +=
multiplicação por uma cte
o objetivo da discussão, no livro, é mostrar que
resolver um problema usando componentes dos vetores,
ou a trigonometria, dá resultados equivalentes
A figura ilustra uma trajetória com pontos P1, P2, etc, e velocidades
instantâneas V1, V2, etc. Transportando os vetores velocidade para uma origem
comum, a extremidade destes descreve uma curva chamada hodógrafo.
As acelerações são vetores tangenciais a esta curva
mesmo com módulo constante
de velocidade, existe variação
rƟ
sP
x
y
de velocidade, existe variação
de velocidade
arco S é dado por s= r Ɵ |v|=ds/dt
Periodo= tempo para dar uma volta = T = 2π r /|v|
Se o movimneto é circular uniforme, significa que Ɵ aumenta
(ou diminui) linearmente com o tempo:
Ɵ = Ɵ0 + ω ( t-to )|v|=ds/dt
ω= V / r, ou, ainda, ω= dƟ / dt velocidade angular
T = 2π r /|v| = 2π /ωângulo dividido por velocidade
v= ω r
T = 2π r /|v| = 2π /ωângulo dividido por velocidade
angular
velocidade angular se mede em rad/s ou simplesmente em 1/s
exemplo: velocidade angular do ponteiro de segundos
ω = 2π/60 =0.1 rad/s
vetor velocidade instantânea muda de direção também com taxa constante
de variação angular, pois sempre é perpendicular ao vetor r(t)
vetor aceleração instantânea, sempre perpendicular a V,
também muda de de direção com “velocidade angular” ω
por semelhança |a|= ω v = ω2 r |a|=ω2 r
v= ω r
tem a mesma direção, e o sentido?
r
v
a
a= -|a| r = - ω2 r = - v2/r r^ ^
Ɵ = ω t
x= r cos Ɵ = r cos (ω t )
dx/dt = vx (t) = r ω sen (ω t )
2
2
dt
xd=ax(t)= -r ω2 cos(ω t )
= - ω2 x(t)
maneira de deduzir a fórmulapara a aceleração de ummovimento circular uniformepor meio de derivadas
a mesma lógica vale para y
chega-se a |a|=ω2 r
problema 20
problema 24