Comportamento Sísmico de Pontes

Com pilares de alturas diferentes

Análise Longitudinal de uma ponte existente

João Maria Coimbra de Mello Vaz de Sampayo

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Professor Doutor Carlos Alberto Ferreira de Sousa Oliveira

Vogal: Professor Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Novembro 2013

iii

Resumo

Sobre uma ponte existente de betão armado e pré-esforçado com 440 m de comprimento, seis

tramos e t rês pilares monoliticamente ligados ao tabuleiro de comprimentos muito diversos efectuam-

se diversas análises lineares e não lineares para compreender melhor o papel desempenhado pelos

vários pilares na resposta a uma solicitação sísmica longitudinal.

Analisam-se casos de diversas combinações de taxas de armadura de flexão dos pilares com o

objectivo de optimizar a relação custo-desempenho de uma estrutura com estas características

sujeita a uma solicitação sísmica, comparando com o dimensionamento feito através do método

elástico proposto pelo Eurocódigo.

Comparam-se os resultados obtidos através da análise estática não linear com a análise dinâmica

não linear e verifica-se a validade da aplicação desse método na análise de estruturas com períodos

altos como é o caso da estrutura em análise.

Palavras-chaves: Análise estática e dinâmica não linear, pontes de BAP, método N2.

v

Abstract

In this study is performed various linear and non-linear analyses on an existing RPC bridge 400 m

long with 6 spans and 3 piers monolithically connected to the deck but with very different lengths, in

order to better understand the role of each pier in the overall response of the bridge under seismic

loading.

Several combinations of amount of steel reinforcement for flexural efforts in piers were studied with

the objective of optimizing the cost-performance in the light of seismic loading having in mind the

elastic method proposed in Eurocode.

Comparation is made with the results obtained of static non-linear N2 method with the non-linear

dynamic analysis and confirm the validity of the former method for the present case where the period

of vibration is quite high as the case of this long structure.

Key-words: Static and Dynamic non-linear analysis; RPC bridges; N2 method.

vii

Aos pais Manuel e Filipa

ix

Agradecimentos

A realização desta dissertação não teria sido possível sem a grande ajuda de um conjunto de

pessoas que contribuíram directa ou indirectamente para terminar a mesma.

Assim, quero agradecer à professora Rita Bento por me ter esclarecido, com a maior das clarezas,

todas as dúvidas que lhe coloquei e, principalmente, pela permissão de trabalhar no gabinete dos

bolseiros. Foi uma ajuda indispensável para a realização deste trabalho.

Quero agradecer, também, ao professor Mário Lopes pelos momentos de explicações aleatórios de

muitos conceitos relacionados com estruturas, sísmica e não só. Foram claramente sessões que me

puseram a pensar em tudo menos no presente trabalho mas que, depois de bem assimilados, me

permitiam avançar com bastante mais conhecimento.

Deixo também uma palavra de agradecimento ao professor Júlio Appleton pelo exemplo que me deu,

enquanto engenheiro e professor. A sua grande simpatia e vontade de ajudar, além da clareza das

suas explicações, foram um grande contributo para a realização deste trabalho.

Quero agradecer aos meus colegas de gabinete que me acompanharam ao longo de todo o trabalho

e que me proporcionaram vários momentos de diversão e aprendizagem. Gostava de referir em

especial o André Belejo pela infinita paciência e ajuda que me deu em todas as questões que me

surgiam, fossem elas relevantes ou não.

Não posso deixar de referir os meus amigos que conheci ao longo do curso por todos os óptimos

episódios que passámos ao longo de toda a estadia no Técnico. Sempre me deram uma grande

ajuda para superar os desafios do curso e não só. Agradeço a ajuda assídua que me deram e a

confiança que depositaram em mim para acabar este trabalho.

Agradeço à avó Luísa por me ter deixado morar na República, aos primos da República por todos os

momentos de diversão que possibilitaram e às irmãs por toda a ajuda que me deram e a sensatez

que me transmitiram.

Por fim, quero agradecer ao professor Carlos Sousa Oliveira por me ter dado a honra de orientar este

trabalho. Proporcionou-me momentos de diversão e explicações teóricas no pouco tempo que tinha

para me ajudar. Embora fossem sessões muito aleatórias e curtas, foram o motor que permitiu levar

este trabalho até ao fim.

xi

Índice

1 Introdução ..............................................................................................................................1

1.1 Estrutura Original ............................................................................................................1

1.2 Procedimentos Efectuados ..............................................................................................2

2 Estado de Arte ........................................................................................................................5

2.1 Materiais .........................................................................................................................5

2.1.1 Aço .............................................................................................................................5

2.1.2 Betão ..........................................................................................................................7

2.1.3 Comportamento de secções de betão armado sob flexão composta .............................10

2.2 Evolução da análise sísmica de estruturas ......................................................................11

2.3 Dinâmica de estruturas ..................................................................................................12

2.4 Caracterização da acção sísmica ...................................................................................16

2.5 Amortecimento da estrutura ...........................................................................................22

2.6 Dimensionamento por capacidade real ...........................................................................24

2.7 Coeficiente de comportamento da estrutura ....................................................................25

2.8 Método de análise N2....................................................................................................27

3 Análise Dinâmica Linear ........................................................................................................31

3.1 Modelação ....................................................................................................................31

3.1.1 Caracterização dos materiais .....................................................................................32

3.1.2 Discretização.............................................................................................................32

3.1.3 Pilares ......................................................................................................................32

3.1.4 Tabuleiro...................................................................................................................35

3.1.5 Uniformização dos deslocamentos horizontais .............................................................38

xii

3.2 Análise Modal ...............................................................................................................40

3.3 Confirmação dos resultados através de medições in-situ .................................................42

3.4 Análise sísmica do modelo ............................................................................................43

3.5 Determinação do espectro de resposta...........................................................................45

3.6 Dimensionamento do pilar 4...........................................................................................48

3.7 Dimensionamento dos Pilares 2 e 3 ...............................................................................52

4 Análise Estática não Linear....................................................................................................55

4.1 Caracterização dos Materiais .........................................................................................55

4.2 Secções equivalentes ....................................................................................................57

4.3 Modelação dos pilares ...................................................................................................60

4.4 Modelação do tabuleiro .................................................................................................61

4.5 Determinação dos modelos de estudo ............................................................................63

4.6 Determinação das Curvas de Capacidade ......................................................................66

4.7 Cálculo dos Deslocamentos Objectivos ..........................................................................68

4.8 Análise comparativa dos modelos de estudo...................................................................74

4.9 Estado da estrutura no Deslocamento Objectivo .............................................................80

5 Análise Dinâmica não Linear..................................................................................................85

5.1 Determinação dos acelerogramas ..................................................................................85

5.2 Comportamento dos materiais sob carregamento Cíclico .................................................87

5.3 Modelação dos acelerogramas no SeismoStruct .............................................................88

5.4 Modo local dos pilares secundários ................................................................................89

5.5 Optimização do Modelo .................................................................................................92

5.6 Análise comparativa dos modelos ..................................................................................93

5.7 Análise de histerese ......................................................................................................97

6 Conclusões e trabalhos futuros ............................................................................................ 101

7 Bibliografia.......................................................................................................................... 105

xiii

Índice de tabelas Tabela 1.1 - Estrutura do Trabalho realizado ...................................................................................3

Tabela 3.1 - Propriedades dos materiais utilizados .........................................................................32

Tabela 3.2 - Peso próprio dos pilares ............................................................................................35

Tabela 3.3- Pesos próprios do modelo simplificado ........................................................................39

Tabela 3.4 - Propriedades modais .................................................................................................40

Tabela 3.5 - Comparação entre frequências medidas in-situ e obtidas através do Sap2000 [Hz] .......42

Tabela 3.6 – Parâmetros do Espectros de cálculo de tipo 1 ............................................................43

Tabela 3.7 - Deslocamentos e esforços de corte basal ...................................................................45

Tabela 3.8 - Esforços actuantes nas secções extremas do pilar 4 ...................................................46

Tabela 3.9 – Momentos flectores de Cálculo para a secção 4-I .......................................................47

Tabela 3.10 – Taxa de armadura longitudinal na secção 4-I............................................................48

Tabela 3.11 - Esforços nos pilares 2 e 3 para a combinação sísmica de Lisboa ...............................52

Tabela 3.12 – Momentos de cálculo e de referência das secções críticas dos pilares 2 e 3 ...............53

Tabela 3.13 - Comparação entre os valores de momento de cálculo e resistente .............................53

Tabela 3.14 - Comprimentos das Zonas Críticas ............................................................................54

Tabela 4.1 - Definição da geometria das secções equivalentes .......................................................59

Tabela 4.2 - Módulos de flexão plástica .........................................................................................60

Tabela 4.3 - Massas equivalentes do tabuleiro...............................................................................62

Tabela 4.4 - Período fundamental do modelo do SeismoStruct .......................................................63

Tabela 4.5 - Distribuição das armaduras longitudinais nas secções inferiores dos pilares .................65

Tabela 4.6 - Parcelas estáticas e activas dos pilares ......................................................................69

Tabela 4.7 – Deslocamentos elásticos obtidos através do método N2 .............................................70

Tabela 4.8 - factor plástico............................................................................................................73

Tabela 4.9 – Coeficientes de comportamento e ductilidade obtidos através do método N2 ...............74

Tabela 4.10 - Estado das secções críticas dos pilares secundários para o Deslocamento Objectivo ..81

Tabela 4.11 - Estado das secções críticas do pilar 4 para o Deslocamento Objectivo .......................81

Tabela 4.12 - Comprimentos de rótulas plásticas ...........................................................................83

Tabela 5.1 - Massas a aplicar nos pilares no contexto da análise dinâmica ......................................92

Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no tabuleiro δmax [m] ............................................................95

Tabela 5.3 – Força de corte basal no estado de amplitude máxima, Vmax [kN] ..................................96

Tabela 5.4 - Período secante, Ts [s] ..............................................................................................96

Tabela 5.5 - Período aparente, Ta [s] .............................................................................................97

Tabela 5.6 - Número de ciclos efectivos, n.....................................................................................99

Tabela 5.7 - Energia dissipada num ciclo por processos histeréticos, ED,i [kN.m]..............................99

Tabela 5.8 – Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ................................................... 100

Tabela 6.1 - Comparação entre análises ..................................................................................... 101

xiv

Índice de figuras

Figura 1.1 - Perfil longitudinal da ponte............................................................................................2

Figura 2.1 – Relação constitutiva do aço de armaduras ordinárias ....................................................6

Figura 2.2 - Relação constitutiva cíclica do aço ................................................................................7

Figura 2.3 - Relações constitutivas de betão confinado e não confinado ............................................8

Figura 2.4 – Confinamento de secção rectangular de betão armado..................................................9

Figura 2.5 – Relação constitutiva cíclica do betão confinado .............................................................9

Figura 2.6 - Sistema de um grau de liberdade sujeito a uma acção do solo ......................................14

Figura 2.7 - Factor de ampliação dinâmico ...................................................................................17

Figura 2.8 – Espectro de resposta de acelerações .........................................................................17

Figura 2.9- Espectros de resposta de acelerações previsto pelo EC8-1 ...........................................18

Figura 2.10- Espectros de resposta de deslocamentos elásticos previsto pelo EC8-1.......................20

Figura 2.11 - Espectro ADRS........................................................................................................21

Figura 2.12 - Movimento oscilatório amortecido .............................................................................22

Figura 2.13 - Dissipação de energia por processos histeréticos ......................................................23

Figura 2.14 - Diagrama de momentos de cálculo definido pelo método de capacidade real...............24

Figura 2.15 - Diagrama força-deslocamento de estruturas com diferentes resistências .....................26

Figura 2.16 - Determinação da curva bilinear do sistema equivalente ..............................................28

Figura 2.17 - Determinação dos D.O. do sistema equivalente .........................................................28

Figura 3.1 - Discretização dos elementos dos pilares centrais .........................................................33

Figura 3.2 – Geometria das secções de Zona Constante e Zona Variável Superior ..........................34

Figura 3.3 – Geometria das secções das Zonas Variáveis inferiores ...............................................34

Figura 3.4 – Geometria das secções de transição de TV a TE ........................................................36

Figura 3.5 – Geometria das secções de transição de TV a TA ........................................................36

Figura 3.6 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro ...................................................................................37

Figura 3.7 - Discretização das secções e elementos do Tabuleiro ...................................................37

Figura 3.8 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro do Modelo Optimizado .................................................38

Figura 3.9 - Discretização das secções do Tabuleiro do Modelo Optimizado....................................39

Figura 3.10 - Configuração de deformada do primeiro modo de vibração .........................................40

Figura 3.11 – Configuração de deformada do segundo modo de vibração .......................................41

Figura 3.12 - Configuração de deformada do quinto modo de vibração ............................................41

Figura 3.13 - Configuração de deformada do sexto modo de vibração .............................................42

Figura 3.14 - Espectros de Respostas de Dimensionamento ..........................................................44

Figura 3.15 - Desenvolvimento qualitativo do esforço transverso nos pilares ...................................45

Figura 3.16 - Modelo de Binário Equivalente para o pilar 4 .............................................................47

Figura 3.17 - Diagrama de momentos de cálculo pelo método de capacidade real ...........................50

Figura 4.1 - Relação constitutiva cíclica do Aço A400 .....................................................................56

Figura 4.2 – Relação constitutiva do betão C40 confinado ..............................................................56

xv

Figura 4.3 – Secções-tipo do SeismoStruct (à esquerda) e secção dos pilares (à direita) .................57

Figura 4.4 - Geometria tipo da secção equivalente .........................................................................58

Figura 4.5 - Determinação do módulo de flexão plástico .................................................................59

Figura 4.6 - elementos dos pilares no SeismoStruct .......................................................................61

Figura 4.7 – Distribuição do peso próprio do tabuleiro [kN] .............................................................62

Figura 4.8 - Curvas de Capacidade global dos quatro modelos de estudo .......................................67

Figura 4.9 - Influência da rigidez relativa do pilar na sua curvatura ..................................................68

Figura 4.10 – Comprimento estático dos pilares e Pontos de Inflexão .............................................69

Figura 4.11 - Espectro elástico força-deslocamento .......................................................................70

Figura 4.12 - Bilinearização das curvas de capacidade...................................................................71

Figura 4.13 – Deslocamentos objectivos dados pelo método N2 .....................................................72

Figura 4.14 – Curvas de capacidade dos modelos de estudo..........................................................75

Figura 4.15 - Factor de participação dos pilares estruturais ............................................................76

Figura 4.16 - Diagrama momento-curvatura nas secções críticas do pilar 4 - A.A.b. .........................77

Figura 4.17 - Diagrama momento-curvatura na secção 4-I ..............................................................77

Figura 4.18 – Tensões ao nível da secção 4-I na cedência .............................................................78

Figura 4.19 - Tensões ao nível da secção 4-I na rotura ..................................................................79

Figura 4.20 - Tensões ao nível da secção 4-S para o D.O. .............................................................82

Figura 4.21 - Tensões ao nível da secção 2-S para o D.O. .............................................................82

Figura 5.1 - Espectros de acelerações elástico e do acelerograma 1 ...............................................87

Figura 5.2 - Espectros do tipo ADRS elástico e do acelerograma 1 .................................................87

Figura 5.3 - Comportamento do betão C40 (esquerda) e aço A400 (direita) sob cargas cíclicas ........88

Figura 5.4 - Comportamento Dinâmico da estrutura .......................................................................88

Figura 5.5 - Deslocamento de nós característicos dos modelos b.b.b.1 (cima) e A.A.A.1 (baixo) .......89

Figura 5.6 - Esforços de corte basal no modelo b.b.b.1 ..................................................................90

Figura 5.7 - Curva histerética do deslocamento do tabuleiro para o modelo b.b.b.1 ..........................90

Figura 5.8 - Relação Momento-Curvatura para a secção 3-S ..........................................................91

Figura 5.9 - Deslocamento do tabuleiro dos modelos antigos ..........................................................93

Figura 5.10 – Curva de histerese do modelo b.b.b.1 antigo (tracejado) e .........................................94

Figura 5.11 – Deslocamento de nós característicos do modelo optimizado b.b.b.1 ...........................94

Figura 5.12 - Curvas histerética referente ao acelerograma 3 .........................................................95

Figura 5.13 - Comportamento dos mateias sob cargas cíclicas .......................................................98

Figura 5.14 - Envolvente das curvas de histerese provocadas pelo acelerograma 3 .........................98

Figura 6.1 - Curvas de capacidade referente às diferentes análises .............................................. 102

xvi

Simbologia

Simbologia Latina

Área de armadura longitudinal

Área de armadura transversal

Área transversal da secção

Aceleração de cálculo do terreno

Aceleração máxima de referência

Factor de confinamento

Matriz de amortecimento viscoso

Coeficiente de amortecimento

Diâmetro das armaduras longitudinais

Módulo de Elasticidade Elástica do betão

Módulo de elasticidade do aço

Energia dissipada pela estrutura original

Energia dissipada pelo sistema equivalente

Resistência característica do betão não confinado

Resistência característica do betão à tracção

Resistência de cálculo do betão não confinado

Resistência característica do betão confinado

Resistência característica do aço das armaduras

Resistência de cálculo do aço das armaduras

Frequência própria

Factor plástico

Força ao nível do grau de liberdade na direcção

Compressão gerada na secção sob flexão composta

Tracção gerada na secção sob flexão composta

Peso próprio

Altura da secção

Momento de inércia à flexão elástico

Momento de inércia à flexão efectivo

Matriz de rigidez

Rigidez ao deslocamento de um grau de liberdade

Rigidez do sistema equivalente

Rigidez secante para o estado último

xvii

Factor de endurecimento

Factor de participação do grau de liberdade e direcção

Comprimento de rótula Plástica

Comprimento de zona crítica

Momento flector

Momento flector elástico

Momento flector de dimensionamento

Momento flector resistente

Momento de sobre-resistência

Momento de cálculo pelo método de capacidade real

Matriz de massa

Massa de um grau de liberdade

Massa do sistema equivalente

Esforço normal de dimensionamento

Frequência própria angular

Coeficiente de comportamento

Espectro de acelerações elástico

Espectro de acelerações de cálculo

Espectro de deslocamentos

Coeficiente de solo

Espaçamento entre estribos

Período próprio

Período elástico do sistema equivalente

Esforço transverso de cálculo pelo método de capacidade real

Esforço de corte basal

Esforço de corte basal de cedência do sistema equivalente

Esforço de corte basal último

Módulo de flexão plástica

Braço de binário

Simbologia Grega

Coeficiente sísmico

Factor de ampliação dinâmica

Coeficiente de importância

Factor de sobre-resistência

Coeficiente parcial de segurança do betão

xviii

Coeficiente parcial de segurança do aço

Incremento de momento flector devido a efeitos de segunda ordem

Deslocamento, velocidade e aceleração de grau de liberdade relativos ao solo

Deslocamento, velocidade e aceleração absolutas de grau de liberdade

Deslocamento, velocidade e aceleração absolutas do solo

Deslocamento elástico do tabuleiro

Deslocamento de dimensionamento do tabuleiro

Deslocamento do tabuleiro

Deslocamento máximo do sistema equivalente

Deslocamento objectivo do tabuleiro pelo método N2

Deslocamento último do tabuleiro

Extensão do betão a tensão máxima

Extensão última do betão não confinado

Extensão de cálculo de cedência do betão não confinado

Extensão última do betão confinado

Extensão característica de cedência do aço

Extensão de cálculo de cedência do aço

Extensão última do aço

Esforço normal reduzido

Inclinação das bielas comprimidas

Coeficiente de ductilidade global

Coeficiente de ductilidade em curvatura

Coeficiente de amortecimento viscoso

Coeficiente de amortecimento equivalente devido a processos histeréticos

Taxa de armadura transversal

Taxa de armadura longitudinal

Vector das deformadas modais normalizado

Curvatura da secção

Curvatura última da secção

Quantidade de armadura de confinamento

1

1 Introdução

Nesta dissertação realizam-se várias análises do comportamento sísmico de uma ponte

existente de pilares de alturas diferentes localizada numa zona de sismicidade reduzida de

forma a verificar a possibilidade de ser implementada em zonas de maior perigosidade sísmica

estudando especificamente a plasticidade e capacidade de deformação dos elementos de

betão armado. Analisa-se a influência da distribuição da armadura dos diferentes pilares no

comportamento global da estrutura de forma a optimizar a metodologia de projecto das

mesmas.

1.1 Estrutura Original

A ponte analisada é em pórtico com um tabuleiro em caixão construído por avanços sucessivos

entre os pilares centrais e através de cimbre nos restantes tramos. O tabuleiro tem um

comprimento total de 440 metros com uma inclinação de 4,42% e está dividido em seis tramos.

Os dois tramos centrais apresentam o maior vão com 100 metros cada um, os dois tramos

adjacentes têm 75 metros de comprimento e os tramos de encontro com o terreno apresentam

45 metros. As secções do tabuleiro são de altura variável em betão (C50/60) armado e pré-

esforçado.

Quanto à infraestrutura, tanto os pilares, como as fundações e os encontros são construídos

em betão armado C40/50. Os três pilares centrais (Pilares 2, 3 e 4) estão ligados

monolíticamente ao tabuleiro e os restantes dois pilares (Pilares 1 e 5) apoiam o tabuleiro com

o auxílio de aparelhos de apoio do tipo “Pot-Bearing” com restrição apenas dos deslocamentos

transversais. A secção genérica que caracteriza os pilares é oca com quatro núcleos de inércia

dispostos nos quatro cantos opostos e ligados entre si por duas almas (no plano de flexão) e

dois banzos (no plano perpendicular). Todos os pilares apresentam zonas em que as

dimensões das secções são variáveis na sua altura. Os dois encontros são do tipo pe rdido e

2

suportam o tabuleiro at ravés de aparelhos de apoio também do tipo “Pot-Bearing” com

restrição também apenas dos deslocamentos transversais.

Na Erro! A origem da referência não foi encontrada. apresenta-se o perfil longitudinal da

ponte e respectivas dimensões do tabuleiro.

Figura 1.1 - Perfil longitudinal da ponte (Cortesia de Armando Rito)

1.2 Procedimentos Efectuados

Elabora-se um capítulo introdutório onde se descrevem os conceitos e estudos necessários

para a realização do presente trabalho. Os regulamentos europeus de projecto de estruturas

em betão armado, EC2-1 [1], de projecto de resistência sísmica geral EC8-1 [2] e de pontes,

EC8-2 [3], são referências constantes segundo as quais se realiza todo o trabalho. No entanto,

referem-se métodos alternativos com o objectivo de aperfeiçoar a análise de estruturas com um

certo nível de irregularidade.

Numa primeira abordagem, procede-se a uma análise dinâmica linear (ADL) da estrutura com o

objectivo de apresentar um dimensionamento ao estado limite último condicio nado por uma

acção sísmica que explore a ductilidade dos pilares. Toda a análise é feita com base na

geometria dos elementos da ponte construída sobre a qual se pretende determinar a

distribuição de armadura a aplicar em todos os pilares.

Com base nesse dimensionamento, procede-se a um estudo de sensibilidade da variação da

distribuição de armadura adoptado na análise linear. Para tal, realizam-se análises estáticas

não lineares (AEnL) de vários modelos da ponte com distribuição distintas de armadura de

forma a determinar a variação de comportamento de cada pilar na sequência da variação da

sua armadura.

Numa terceira abordagem, realizam-se análises dinâmicas não lineares (ADnL) com os

modelos já definidos. Para tal, determinam-se vários registos de acelerações sintéticos e

3

aplicam-se na base da estrutura com o objectivo de verificar a influência da distribuição de

armadura dos diferentes pilares no comportamento histerético da estrutura global.

O estudo é feito, exclusivamente, para o comportamento longitudinal da estrutura. Como tal,

todas as acções transversais são ignoradas. A participação dos pilares 1 e 5 é irrelevante pelo

que não são analisados, focando-se o estudo nos pilares centrais, monoliticamente ligados ao

tabuleiro. O tabuleiro é modelado com um comportamento elástico linear. Tem-se consciência

que esta simplificação pode não ser realista, no entanto, a int rodução do comportamento

inelástico do tabuleiro implicariam a introdução de parâmetros que não são do âmbito deste

trabalho.

Embora possa ser condicionante, não é analisado o estado limite de serviço já que se quer

estudar a capacidade de ductilidade da estrutura, mais do que fazer um dimensionamento da

mesma.

A determinação das armaduras a adoptar nesses pilares baseia-se em dois processos:

dimensionamento para o estado limite último numa análise linear; arbítrio de diferentes

distribuições de armadura nas análises não lineares, que garantem diferentes comportamentos

da mesma solução estrutural. Para estas análises, consideram-se quatro modelos de estudo

com distribuições de armadura que consistem na combinação de baixa ou alta taxa de

armadura nos pilares altos (secundários) e no pilar curto. Na Tabela 1.1Erro! A origem da

referência não foi encontrada. apresenta-se a sequência segundo a qual esta dissertação

está organizada.

A nomenclatura de cada modelo é baseada na taxa de armaduras dos seus pilares. A cada

modelo é associado três letras que dizem respeito à armadura presente em cada um dos três

pilares. Define-se duas quantidades de armadura: baixa – b; alta - A.

Tabela 1.1 - Estrutura do Trabalho realizado

Análise Software Distribuição de

armadura Métodos

Zona Sísmica

Modelação da Acção Sísmica

ADL Sap2000

Estados Limites Últimos

condicionada por Acção Sísmica

Eurocódigos Azambuja

Lisboa Aljezur

Espectro de resposta em aceleração

AEnL SeismoStruct

b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.

Método N2 Lisboa Espectro de resposta de

deslocamento

ADnL SeismoStruct

b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.

Integração Passo-a-

Passo Lisboa Acelerogramas

5

2 Estado de Arte

2.1 Materiais

A construção em betão armado é, provavelmente, o tipo mais praticado actualmente. O estudo

dos materiais constituintes tem sido levado a cabo ao longo das últimas décadas tanto ao nível

da sua resistência como durabilidade. No caso de obras com exigência de resistência a acções

sísmicas, os materiais devem apresentar elevados padrões de qualidade pelo que é importante

proceder a um pormenorizado estudo dos mesmos. Apresenta-se assim a caracterização do

comportamento mecânico tanto do aço como do betão e a sua descrição regulamentar

segundo o EC2-1.

2.1.1 Aço

O aço usado nas armaduras ordinárias é um material homogéneo com um comportamento que

se pode considerar simétrico para solicitações de compressão e tracção. Apresenta um

patamar elástico onde suporta a maior parte da sua tensão resistente e um outro patamar

plástico de bastante ductilidade. Sendo as armaduras caracterizadas por esbeltezas elevadas o

aço comprimido está sujeito a problemas de instabilidade que podem condicionar a resistência

do mesmo à compressão. No entanto, para níveis de confinamento transversal correntes este

efeito pode ser desprezado pelo que se pode considerar a curva de capacidade de compressão

igual à de tracção. A relação constitutiva característica do aço é apresentada na Figura 2.1.

Estado de Arte

6

Figura 2.1 – Relação constitutiva do aço de armaduras ordinárias (adaptado de Costa e Appleton [4])

O módulo de elasticidade deste material é dado como constante de valor . A

classe do aço é definida pela sua resistência característica sendo que a extensão de

cedência é determinada a partir desses parâmetros.

Para efeitos de verificação da segurança aos estados limite últimos, a resistência do aço é

minorada através do coeficiente parcial de segurança definido pelo EC2-1 como . A

relação constitutiva do aço é bilinearizada para uma curva elasto-plástica definindo-se o estado

de cedência através de e . A extensão última é definida pela classe

de ductilidade do aço. O EC2-1 define as classes A, B e C. Para estruturas com exigência de

ductilidade elevada deve usar-se aço de classe C cuja extensão de última é .

Para efeitos de análise não linear, o patamar pós cedência pode ser linearizado sendo que a

relação constitutiva transforma-se numa curva bilinear. A resistência última do aço é dada por

em que o valor representa o factor de endurecimento, que para aço de classe C está

entre .

O modelo descrito diz respeito à resposta monotónica do aço pelo que, no âmbito da análise

sísmica, é importante definir o comportamento a solicitações c íclicas. Com base num estudo

levado a cabo por Manegotto et al. [5], apresentam-se na Figura 2.2 as relações constitutivas

do aço solicitado por uma acção c íclica. Deve verificar-se que o material apresenta grande

capacidade de ductilidade além de uma descarga bastante regular seguindo um

comportamento elástico pouco dependente do estado de tensão-extensão em que ocorre.

7

Figura 2.2 - Relação constitutiva cíclica do aço

2.1.2 Betão

O betão é um material heterogéneo formado por argamassa e agregados. É caracterizado por

apresentar uma resistência consideravelmente maior a tensões de compressão do que t racção

sendo que o seu uso é feito preferencialmente em situações em que se prevê tensões de

compressão. O seu comportamento monotónico é representado na Figura 2.3 e apresenta um

patamar elástico linear que se pode considerar até 40% da tensão de cedência característica

( ), perdendo gradualmente rigidez até atingir essa tensão, a partir da qual pe rde capacidade

resistente. Como tal, o EC2-1 define o módulo de elasticidade do betão ( ) para efeitos de

análise elástica dado pelo seu valor secante ao estado de tensão-extensão correspondente a

. A extensão a que se atinge a tensão máxima é, para betões regulares, de

[4] a partir da qual se verifica degradação da carga até atingir a extensão última

. O betão é classificado no EC2-1 através da sua resistência característica em provetes

cilíndricos normalizados. O seu módulo de elasticidade é função unicamente da classe do

betão sendo igualmente definido nesse documento.

Para efeitos de verificação da segurança aos estados limite últimos, a resistência do betão é

minorada através do coeficiente parcial de segurança do betão definido pelo EC2 como

. A resistência à tracção é nula, , e a relação constitutiva do betão é

bilinearizada para uma curva elasto-plástica definindo o estado de cedência através de

e a e extensão última .

Estado de Arte

8

Figura 2.3 - Relações constitutivas de betão confinado e não confinado (adaptado de Mander et Al. [6])

Este comportamento é característico de um betão não armado onde se verifica falta de

capacidade de suportar tensões normais positivas e consequentemente, tensões de corte. O

seu comportamento isolado está, portanto, bastante condicionado pelo estado de tensões

triaxial a que está sujeito. Neste sentido, as armaduras que envolvem o betão influenciam o

seu comportamento na medida em que, com a compressão uniaxial do betão, por efeito de

Poisson dá-se a expansão nas direcções perpendiculares. Sendo que esta expansão é

impedida pelas armaduras o betão é mantido num estado triaxial de compressão o que

aumenta as suas tensões e extensões de cedência como se mostra na Figura 2.3 para a curva

de betão confinado. O comportamento pós -cedência do betão é determinante para o

comportamento sísmico de uma estrutura já que uma boa ductilidade desse material (permitida

por um confinamento adequado) leva a um bom aproveitamento das capacidades plásticas das

armaduras necessário para absorver grandes deslocamentos sem perda de capacidade

resistente. O estudo do betão para acções sísmicas deve, portanto, ter em linha de conta este

comportamento. Mander et Al. [6] levou a cabo uma investigação que resultou na descrição

pormenorizada do comportamento do betão em função do nível de confinamento. Apresenta-se

na Figura 2.3 a relação constitutiva do betão confinado em que o factor de confinamento

traduz o aumento de resistência em relação à resistência característica não confinada pelo que

e se obtêm através das seguintes expressões:

(2.1)

(2.2)

O factor de confinamento depende da quantidade de armadura tanto transversal como

longitudinal que envolve o betão considerado como se apresenta na Figura 2.4.

9

Figura 2.4 – Confinamento de secção rectangular de betão armado (adaptado de Mander et Al. [6])

Esse factor aumenta com a taxa de armadura transversal e proximidade dos varões

longitudinais. É definido também o conceito de volume de betão efectivamente confinado que

se define como todo o betão interior a varões longitudinais devidamente cintados como se

verifica na Figura 2.4.

Define-se a extensão de rotura pela perda de resistência das cintas de suportarem as tensões

de confinamento. Assim segundo Scott et al. [7] a extensão de rotura de betão confinado é

dado por:

(2.3)

O comportamento descrito em cima foi comprovado e validado para carregamentos uniaxiais

monotónicos do betão pelo que foi adaptado por Martinez et al. [8] para carregamentos cíclicos.

Apresenta-se na Figura 2.5 o desenvolvimento do estado de tensão-extensão para este tipo de

carregamento.

Figura 2.5 – Relação constitutiva cíclica do betão confinado

Estado de Arte

10

O comportamento cíclico do betão é bastante irregular sendo que apresenta extensões

residuais irrecuperáveis ao contrário do aço e um patamar de degradação de carga

considerável. Esta degradação da resistência está relacionada com a abertura de fenda em

direcções opostas devido à solicitação alternada do material. Essas fendas levam a uma perda

de consistência do betão e consequente perda de resistência à compressão.

Este fenómeno pode ser observado num aumento da inclinação ( ) das bielas comprimidas

verificadas na transmissão de esforços transversos pelos elementos de betão armado.

2.1.3 Comportamento de secções de betão armado sob flexão composta

O betão armado é assim idealizado para colmatar a desvantagem do betão apresentar

capacidade limitada de suportar tensões/extensões de tracção. Essa limitação leva a uma fraca

capacidade de suportar esforços de corte pelo que, a menos que o material esteja sujeito a um

estado de tensão triaxial de compressão, se deve aplicar armadura.

Em termos de análise estrutural, pode desprezar-se a resistência do betão à tracção pelo que,

no caso de solicitações de flexão, a secção comporta -se como um conjunto bem definido do

betão e armaduras a serem solicitados a esforços de compressão e tracção, respectivamente.

A resposta deixa de ser simétrica e a linha neutra (caracterizada por extensões normais nulas)

aproxima-se das fibras mais comprimidas.

O comportamento de secções de betão armado a flexão composta é idêntico ao apresentado.

A consideração do esforço axial leva a uma alteração da distribuição das tensões normais no

material aumentando a profundidade da linha neutra permitindo (até certos níveis) ao betão

uma maior participação no binário resistente e consequente mente, maior resistência ao

momento flector para a mesma quantidade de armadura.

A grande vantagem do betão armado é ser um material de baixo custo que é moldado de

acordo com as exigências de projecto. Como tal, em estruturas com exigências de ductilidade

elevadas, é possível, conhecendo os limites dos materiais, moldar as secções com vista a

satisfazer essas necessidades. A distribuição de armadura na secção de betão é um factor

chave para atingir esse fim, na medida em que se pode explorar a sua capacidade, não só de

resistência, como principalmente de deformação plástica. Como tal, a secção pode suportar

elevadas curvaturas explorando a plasticidade do aço. No entanto, isso leva a uma diminuição

da profundidade da linha neutra e consequente aumento das tensões no betão. Assim, deve

proceder-se a um cuidadoso confinamento dessas zonas comprimidas para que o betão não

seja o elemento condicionante na definição de rotura.

11

Importa referir que, para além da capacidade de deformação plástica da armadura, a sua

capacidade de endurecimento é um factor igualmente relevante para permitir uma eficiente

ductilidade global da estrutura na medida que permite um aumento de momento resistente pós-

cedência que, por sua vez, leva a que outras secções atinjam o momento de cedência. A

distância entre a primeira e última secção em cedência é denominada por comprimento de

rótula plástica . O aumento deste comprimento é benéfico para a estrutura na medida em

que atinge a mesma rotação (e consequente deslocamento transversal) através de menores

curvaturas.

Na sua tese de doutoramento, Brito [9] apresenta várias conclusões bastante pertinentes que

devem ser analisadas no âmbito do presente trabalho. Depois de levar a cabo várias análises

numéricas a diferentes tipos de secção e distribuição de armadura, verificou que o aumento da

quantidade de armadura traduz-se num aumento proporcional de resistência, como era de se

esperar. No entanto, apenas se observou um pequeno aumento na curvatura de cedência.

Para além disso, verificou-se que, para uma distribuição de armadura concentrada nas fibras

extremas, a variação da sua quantidade não implica uma variação significativa na linha neutra

na rotura da secção pelo que a curvatura de rotura também não é muito influenciada. Como tal,

isto permite concluir que, através de uma armadura mínima que garanta o comportamento de

binário da secção composta, qualquer quantidade de armadura pode ser aplicada para resist ir

a um deslocamento imposto independentemente da resistência da secção.

2.2 Evolução da análise sísmica de estruturas

Até meados do século XX a caracterização da acção sísmica era dada por forças laterais

equivalentes. Esse método deixou de ser suficiente para caracterizar o comportamento sísmico

pelo que se começou a estudar a problemática através de métodos cinemáticos que desde

então tem levado a bons resultados. Foram realizadas várias campanhas de estudo do

comportamento cíclico de estruturas e em pormenor, do aço e betão de forma a criar métodos

expeditos, mas fiéis ao real comportamento de estruturas. O comportamento da estrutura ao

sismo deve explorar a sua ductilidade de forma a suportar, não só os deslocamentos mas

também a energia que o mesmo induz na estrutura. Na antiga regulamentação portuguesa

(RSA) e, mais recentemente no Eurocódigo, são contemplados métodos de análises elásticas

com comportamento inelástico implícito. No entanto, com a capacidade de processamento dos

computadores, torna-se possível analisar modelos mais complexos, pelo que, nas últimas

décadas se começa a realizar estudos estáticos não lineares por espectro de resposta e, mais

recentemente, dinâmicos não lineares.

Estado de Arte

12

2.3 Dinâmica de estruturas

Fazendo uma análise dinâmica do comportamento em regime elástico de uma estrutura, os

elementos que a constituem estão sujeitos a um determinado deslocamento ( ), velocidade ( )

e aceleração ( ). De forma a garantir o equilíbrio estático e cinemático desse conjunto de

elementos, geram-se forças internas entre os mesmos. São elas as forças de inércia,

amortecimento e de restituição elástica, que, a menos de constantes características da

estrutura, são respectivamente proporcionais à aceleração, velocidade e deslocamentos a que

cada elemento está sujeito. A equação seguinte traduz a igualdade entre a soma das forças

internas com as forças externas.

(2.4)

Em que , e , representam, respectivamente, as matrizes quadradas de massa,

coeficiente de amortecimento viscoso e rigidez referentes ao conjunto de elementos que

constituem a estrutura. A dimensão das matrizes corresponde ao número de graus de

liberdade em que a estrutura está discretizada. Refira-se que a equação anterior é diferencial

linear de 2º grau não homogénea e é representativa do estado dinâmico e estático de uma

estrutura. Como tal, é conhecida como a equação fundamental do movimento.

Segundo Azevedo e Proença [10], o comportamento da estrutura com um amortecimento

inferior ao crítico é oscilatório pelo que as soluções para a equação fundamental são do tipo

sinusoidais. Como tal, é possível associar a cada estrutura um conjunto de modos de vibração

para os quais a estrutura tende a vibrar quando está em regime livre. Cada modo de vibração é

caracterizado por um movimento em fase com uma configuração e frequência bem definidas

onde a sua intensidade varia com o tempo e o seu valor máximo é dependente da proximidade

desse modo à acção dinâmica de excitação.

Verifica-se portanto, que os modos de vibração e as respectivas frequências próprias são

característicos da estrutura. O seu cálculo passa por resolver a equação diferencial a partir da

solução genérica sinusoidal para um caso em que a estrutura se encontra em regime livre e em

que se desprezam os efeitos do amortecimento. Com isso obtém-se:

(2.5)

Em que representa a frequência própria angular não amortecida. Há tantos valores para

como o número de graus de liberdade da estrutura e são obtidos através do cálculo das raízes

do determinante:

(2.6)

13

A fim de calcular as deformadas de cada modo de vibração, resolve-se a equação (2.5)

substituindo pelo valor da frequência própria respectiva. Qualquer deformada da estrutura

passa a ser possível caracterizar a partir de uma combinação linear das amplitudes dos

diferentes modos.

Por analogia à frequência angular de um sistema de um grau de liberdade, pode definir-se a

frequência angular de um modo de vibração de uma estrutura com vários graus de liberdade

através de:

onde e representam a frequência e período próprio do modo de vibração i. Os valores de

e representam, respectivamente, a rigidez do sistema a essa deformada e a massa que

para ela participa.

Por outro lado, verifica-se que os modos de vibração respeitam as condições de

ortogonalidade, ou seja, os vectores das respectivas deformadas são ortogonais entre si no

que diz respeito à matriz de massa e matriz de rigidez, pelo que:

(2.8)

Isto leva a que os vectores de deslocamentos sejam independentes entre si, e

consequentemente, que os modos de vibração possam ser analisados individualmente. Para

tal, calculam-se os vectores de deformadas modais normalizados:

(2.9)

Pode provar-se que estes vectores são normalizados em relação à matriz de massas através

da seguinte relação:

(2.10)

A matriz [ , cujas colunas são os vectores normalizados, denomina -se matriz modal

normalizada e respeita a seguinte condição:

(2.11)

(2.7)

Estado de Arte

14

Tendo isto, é possível transformar as coordenadas iniciais em coordenadas modais através da

equação (2.12) o que permite analisar a dinâmica da estrutura em função dos seus modos de

vibração.

(2.12)

Destaque-se, assim, as características do primeiro modo de vibração de uma certa direcção. É

aquele que possui a frequência própria mais baixa, denominada frequência fundamental, e que

envolve menos energia de deformação nessa direcção. Como tal, é o modo mais susceptível

de ser excitada, sendo aquele onde mais percentagem de massa da estrutura é mobilizada, ou

seja, o que apresenta maior factor de participação de massa. Segundo Lopes [11], este factor é

determinado para cada modo numa determinada direcção e é calculado através da equação

seguinte:

(2.13)

Em que é um vector cujos elementos referentes aos graus de liberdade da direcção j

tomam o valor unitário e os restantes elementos são nulos.

Tendo descrito o comportamento dinâmico de uma estrutura em regime livre, deve agora

introduzir-se uma movimentação de solo de forma a estudar a resposta de uma estrutura a um

sismo. Sendo que a mesma já não se encontra em regime livre, deve adaptar-se a equação

fundamental do movimento. Devido à introdução de um novo parâmetro, estuda-se um sistema

de um grau de liberdade adaptando posteriormente a sistemas de vários graus de liberdade.

Assim, o comportamento da estrutura é representado na Figura 2.6.

Figura 2.6 - Sistema de um grau de liberdade sujeito a uma acção do solo

A equação (2.4) pode ser adaptada de forma a caracterizar a nova realidade da estrutura:

(2.14)

15

Note-se que as forças de inércia dizem respeito a coordenadas absolutas na medida que

actuam sempre que a massa sofre uma aceleração; no entanto, as forças de restituição

elástica e de amortecimento dizem respeito ao estado interno d a estrutura pelo que só actuam

quando se altera o deslocamento relativo e a velocidade relativa, respectivamente.

Considerando , ou seja, que o deslocamento relativo entre a base e a massa é

dado pela diferença entre o deslocamento da massa e o deslocamento do solo, obtêm-se:

(2.15)

Esta equação mostra que o movimento do sistema sob a acção de uma movimentação de base

é equivalente ao mesmo sistema com a base fixa actuada pela aceleração do solo ao nível da

sua massa. É importante reparar, no entanto, que a aceleração da massa não é a mesma que

aquela que lhe é aplicada na medida em que o amortecimento e a rigidez do elemento vertical

influencia esse movimento. Embora esta equação diga respeito a um sistema de 1 grau de

liberdade, pode ser adaptada para corresponder à realidade de sistemas de vários graus na

medida em que os mesmos são independentes entre si:

(2.16)

De forma a fazer uma análise não linear de uma estrutura deve alterar-se a equação para ter

esses fenómenos em conta. Como tal, sendo que as relações constitutivas dos materiais não

são lineares, a sua rigidez a qualquer deformada incremental depende do grau de

carregamento a que estão sujeitos pelo que varia ao longo do tempo. Assim, a matriz de

rigidez, que é considerada característica da estrutura quando se faz uma análise elástica linear,

passa a referir-se às rigidezes tangentes às relações constitutivas dos materiais à qual se dá o

nome de matriz de rigidez tangente . Por outro lado o coeficiente de amortecimento a

considerar na equação é do tipo viscoso pelo que as dissipações por processos histeréticos e

outros tipos de dissipações devem ser considerados como amortecimento viscoso equivalente.

Isto leva a que este mesmo valor dependa do estado de carregamento da estrutura e

consequentemente, do tempo.

Como tal, a equação (2.16) é reescrita de forma a representar o comportamento não linear de

uma estrutura sujeita a acelerações de base:

(2.17)

A solução para esta equação não é directa pelo que é obtida iterativamente para intervalos de

tempos elementares.

Estado de Arte

16

2.4 Caracterização da acção sísmica

A actividade s ísmica é gerada através de libertações de energia concentrada em falhas da

crosta terrestre que provoca uma movimentação relativa entre as duas faces da mesma. O

centro geométrico da massa movimentada é denominado de hipocentro e a sua projecção na

superfície terrestre, de epicentro. As vibrações resultantes transmitem-se em todas as

direcções no interior da Terra e em particular até ao local em estudo pelo que a energia

transportada por essas vibrações diminui com o quadrado da distância ao hipocentro. Uma

estrutura fundada num solo que está a ser excitado por estas vibrações, é também actuado

pelas mesmas, entrando em regime dinâmico forçado. De forma a dotar a estrutura com

capacidade de resistir a acções deste tipo, é importante estudar a acção pelo ponto de vista

cinemático e estático, pois, além de ser necessário res istir aos esforços, é essencial que

absorva os deslocamentos transmitidos.

A ocorrência de um sismo é prevista com base em acontecimentos anteriores, tipos de falhas

envolvidas no processo e mais directamente, por monitorização dos seus deslocamentos que

leva a uma estimativa da energia acumulada nas mesmas. Cada actividade na crosta terrestre

desenvolve registos diferentes em função da magnitude, tipo de mecanismo de rotura, área da

crosta afectada, duração da actividade entre outros. Além disso, os valores mensuráveis

desses registos são afectados pela distância ao epicentro e pelo tipo de solo que transmite a

acção. Assim, é importante fazer uma análise cuidada do conteúdo das frequências,

aceleração de pico e durações de acções sísmicas já que estes são os parâmetros mais

relevantes no que se refere à sua influência no comportamento sísmico das estruturas. Os

registos a considerar podem ser do tipo de acelerações, ou deslocamentos do solo ao longo do

tempo, no entanto, sendo que são quantificados com o auxílio de acelerómetros, o método

mais comum de se apresentarem é através de registos de acelerações a que se dá o nome de

acelerogramas.

Como se referiu anteriormente, as estruturas apresentam um comportamento oscilatório com

frequências próprias para as quais tendem a vibrar. Por seu lado, o movimento induzido pelo

sismo à estrutura é igualmente oscilatório pelo que a resposta da estrutura depende da relação

entre frequências.

Na Figura 2.7 representa-se o factor de amplificação dinâmico ( ) que traduz o quociente

entre o deslocamento máximo da estrutura e o deslocamento máximo do solo. Para vibrações

do solo com frequências ( ) muito inferiores à frequência própria, o deslocamento relativo solo

estruturas é unitário já que a acção do solo é tão lenta que pode ser considerada estática.

17

Figura 2.7 - Factor de ampliação dinâmico (adaptado de Azevedo e Proença [10])

Por outro lado, para o caso extremo de frequências muito elevadas, as forças de restituição

elásticas não são suficientes para contrariar a inércia da estrutura pelo que a mesma se

mantém imóvel levando a . No entanto, para os casos em que as frequências dos

registos do solo se aproximam das frequências próprias da estrutura dá-se o fenómeno de

ressonância em que o modo correspondente a essa frequência é excitado atingindo

deslocamento que podem ser amplificados até no caso de estruturas de betão armado

quando o coeficiente de amortecimento atinge os 5% (0,05). No entanto, factores como o

amortecimento, irregularidade no conteúdo de frequências da acção sísmica e da estrutura

levam a que esse valor não seja superior a 2,5 para a resposta a os sismos.

Desta forma, é possível generalizar a resposta das estruturas sujeitas a acções sísmicas em

função da sua frequência ou período próprio. Assim, uma outra maneira de representar a acção

sísmica é através de espectros de resposta. Estes representam os valores máximos de

grandezas cinemáticas (acelerações, velocidade ou deslocamentos) de estruturas sujeitas a

um sismo em função dos seus períodos próprios. Os espectros de resposta representam, como

o próprio nome indica, a resposta dinâmica de estrutura à acção sísmica a que diz respeito.

Na Figura 2.8 representa-se um espectro de resposta de acelerações absolutas da estrutura.

Verifica-se que estruturas muito rígidas ( ) apresentam uma aceleração máxima dada pela

aceleração de pico do solo enquanto estruturas flex íveis tendem a não s e movimentarem como

já se referiu anteriormente.

Figura 2.8 – Espectro de resposta de acelerações

Se

T

Estado de Arte

18

É importante referir que, embora os espectros de resposta de acelerações possam ser

característicos de um acelerograma, não o definem, ou seja, a um acelerograma está

associado um e só um espectro enquanto a este último estão associados infinitos possíveis

acelerogramas. A criação de um espectro de resposta implica perda de informação referente

ao conteúdo de frequências e amplitudes do acelerograma.

Em termos regulamentares, usam-se os conceitos de espectros de resposta para caracterizar a

acção sísmica das zonas em estudo por serem de aplicação directa em análise modal de

estruturas lineares ou não lineares. O EC8-1 prevê dois tipos de sismos para o território de

Portugal Continental e, consequentemente, dois espectros de aceleração. A acção s ísmica tipo

1 está associada a epicentros afastados referentes principalmente à falha do Marquês de

Pombal no Atlântico e são ricas em baixas frequências. A acção s ísmica tipo 2 está associada

a epicentros próximos, como é o caso da falha da Vilariça ou do Baixo Tejo, e é caracterizada

por vibrações com frequências mais altas. As tensões acumuladas nestas falhas (falhas

intraplacas) são menos expressivas que aquelas verificadas nas falhas atlânticas (falhas

interplacas) pelo que a energia libertada também é potencialmente menor. Na Figura 2.9

apresentam-se, qualitativamente, os dois espectros de resposta elástica usados em Portugal.

Figura 2.9- Espectros de resposta de acelerações previsto pelo EC8-1

A acção sísmica tipo 2 apresenta um pequeno intervalo de aceleração máxima na gama de

maior frequência ou menor períodos com uma descida muito acentuada para períodos mais

elevados. Por outro lado, a aceleração máxima da acção s ísmica tipo 1 estende -se num

intervalo maior de períodos, e a sua atenuação para períodos maiores é menos acentuada

fazendo com que esta acção seja mais condicionante para estruturas com períodos de

vibração elevados.

Os espectros de acelerações elásticas são definidos pelas seguintes equações:

Se

T

Acção sísmica tipo 1

Acção sísmica tipo 2

TTC,1 TC,2 TB

19

Em que representa o valor da aceleração elástica verificada na estrutura. refere-se ao

coeficiente de solo e traduz o coeficiente entre as acelerações verificadas na rocha e no solo.

Este conceito aplica-se pois solos mais brandos (mais flexíveis) apresentam uma tendência de

amplificar vibrações de acelerações mais baixas. O valor de cálculo à superfície do terreno é

dado por em que representa o coeficiente de importância da estrutura e traduz

o valor de referência da aceleração do solo para terreno rochoso. O EC8-1 prevê quatro

classes de importância da estrutura que refletem a consequências dos seus prejuízos na

sociedade. As estruturas mais importantes são calculadas para resistir a sismos com maior

período de retorno pelo que apresentam um maior coeficiente de importância. Verifica-se que o

sismo induz acelerações mais elevadas para estruturas com períodos próprios entre os valores

e do espectro de resposta que o caracteriza. Este intervalo representa o conteúdo

predominante de períodos das vibrações do sismo pelo que se verifica o fenómeno de

ressonância quando actua em estruturas com períodos próprios próximos destes. Assim, este

intervalo delimita a gama de acelerações espectrais máximas e constantes consideradas pelo

EC8-1. O sismo induz velocidades máximas para estruturas com períodos próprios entre e

pelo que o EC8-1 considera este intervalo como sendo de velocidade espectrais constante e

máxima. A partir de encontra-se o intervalo do espectro de deslocamentos constantes. Para

cada tipo de acção sísmica existe um zonamento de intensidades associado à respectiva

perigosidade s ísmica. Como tal, a acção sísmica tipo 1 apresenta maior intensidade no

Sudoeste de Portugal Continental diminuindo com a latitude enquanto a acção sísmica tipo 2

apresenta maior intensidade nas zonas próximas a falhas int raplacas de maior risco. Esse

factor é tido em consideração no valor de aceleração máxima de referência .

Os espectros de resposta podem representar qualquer grandeza cinemática que seja

necessário caracterizar numa análise de estruturas. Como tal, para análises com base em

deslocamentos, é útil criar um espectro de deslocamentos. O mesmo pode ser obtido

matematicamente a partir de acelerogramas ou registos de deslocamentos. No entanto, para

um sistema com um comportamento oscilatório é válida a seguinte equação:

(2.22)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Estado de Arte

20

Considera-se que esta equação é válida para estruturas de betão armado pelo que o EC8-1

define esta relação para a t ransformação directa do espectro de acelerações em espectro de

deslocamentos. Assim, o mesmo é definido pelas seguintes equações:

Figura 2.10- Espectros de resposta de deslocamentos elásticos previsto pelo EC8-1

Na Figura 2.10 apresentam-se os espectros de deslocamentos previstos pelo EC8-1. Estes

espectros dizem respeito a valores de deslocamentos relativos solo/estrutura. Pode constatar-

se que os deslocamentos espectrais são nulos para estruturas rígidas já a estrutura não tem

tempo para se deformar. Esses valores aumentam com o período próprio da estrutura até

atingirem um patamar de deslocamentos máximos que se verifica para estruturas muito

flexíveis que se mantêm imoveis com um deslocamento relativo dado pelo deslocamento do

solo.

De forma a estudar a acção do sismo do ponto de vista cinemático e estático simultaneamente,

define-se o conceito de espectros ADRS (Acceleration Displacement Response Spectrum) em

que se representa o espectro de deslocamentos ( ) nas abcissas e o espectro das

acelerações ( ) nas ordenadas. Apresenta-se na Figura 2.11 um espectro ADRS típico com

base nos parâmetros definidos pelo EC8-1. Neste espectro, estruturas rígidas com período

baixo encontram-se perto do eixo das ordenadas e o aumento de período representa um

deslocamento radial no gráfico até estruturas flexíveis próximas do eixo das abcissas.

Para efeitos de análises lineares, em que os deslocamentos são proporcionais aos esforços,

basta conhecer o espectro de acelerações que se podem relacionar com as forças induzidas.

Se

T

Acção sísmica Tipo 1

Acção sísmica Tipo 2

TD TC,1 TC,2 TB

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

21

Figura 2.11 - Espectro ADRS

Assim, tendo presente que os vários modos de vibração de estruturas com vários graus de

liberdade são independentes, obtêm-se as acelerações para cada modo de vibração obtidos

individualmente. A determinação das forças ao nível de cada grau de liberdade é:

(2.27)

Conhecendo as acções estáticas que actuam na estrutura para o modo de vibração , calcula-

se os esforços e os deslocamentos relativos a esse mesmo modo. O cálculo dos esforços e

deslocamentos totais é feito com base no método das combinações quadrática completa

(CQC) que é dado pela equação:

em que é dado por:

onde é o quociente entre as frequências e . Note-se que, para termos do somatório

referente a modos iguais ( ), é unitário e os valores de e são idênticos resultando em

valores positivos. Nas parcelas em que , a multiplicação de e pode resultar em

valores negativos mas o coeficiente é muito inferior a 1,0 pelo que tem menor expressão. Isto

leva a que os valores resultantes do método CQC sejam obrigatoriamente positivos.

Sae

Se

(2.28)

(2.29)

Estado de Arte

22

2.5 Amortecimento da estrutura

O amortecimento é um fenómeno que pode ser originado por vários tipos de mecanismo e

representa a resistência à variação de um estado da estrutura por dissipação de energia.

Dependendo do seu valor, o amortecimento pode ser classificado como sobre-crítico quando o

mesmo impede o comportamento oscilatório do sistema ou sub -crítico nas situações em que se

verifica repetição dos ciclos de oscilação e diminuição de amplitude de oscilação tal como se

mostra na Figura 2.12. As estruturas de betão armado apresentam amortecimento sub -crítico

na resposta às acções cíclicas já que depois de serem excitadas repetem os ciclos mas com

consecutivamente menor amplitude.

Figura 2.12 - Movimento oscilatório amortecido

O comportamento oscilatório das estruturas de betão armado é afectado, tanto pelo

amortecimento viscoso característico da estrutura, como pelo amortecimento equivalente

devido à energia dissipada histereticamente. O primeiro está relacionado, tanto com a

heterogeneidade e imperfeições do betão armado na medida em que se registam perdas de

energia na transmissão de esforços entre o aço e o betão, como com o fecho e abertura de

fendas já que são fenómenos que levam a alterações brusca do estado da estrutura o que

implica dissipação de energia. É caracterizado como um amortecimento viscoso por se verificar

que o seu valor aumenta com a velocidade de deformação da estrutura. Os valores a ter em

consideração para a análise de estruturas dizem respeito ao amortecimento relativo ao

amortecimento crítico a que se denomina coeficiente de amortecimento dado, para uma

estrutura em comportamento elástico e de um grau de liberdade por:

(2.30)

O valor de referência do coeficiente de amortecimento de uma estrutura de betão armado com

um nível considerado de fendilhação é .

No entanto, uma estrutura sujeita a actuações c íclicas dissipa energia por processo histerético,

ou seja, por variação do estado de tensão-extensão entre o carregamento e descarregamento.

Este processo não pode ser considerado como um amortecimento mas tem os mesmos efeitos

do mesmo. De forma a entender esse fenómeno, deve perceber-se como uma estrutura se

23

comporta sob uma acção cíclica rápida. Considere-se que é transmitida energia cinética à

estrutura como se apresenta na Figura 2.13 à esquerda. Se a estrutura reagir em regime

elástico (caso 1) atinge o estado “A” e as forças de restituição elástica descarregam a estrutura

com a mesma energia que lhe foi transmitida . Se a estrutura entrar em regime não linear

(caso 2) até atingir o estado “B”, foi-lhe transmitida a energia . A partir desse estado as

forças de restituição elástica descarregam a estrutura mas não pelo mesmo caminho de carga,

pelo que o processo envolve menos energia que aquela que lhe foi transmitida. Como tal

dissipa-se a energia correspondente à área entre os caminhos de carga e descarga como se

apresenta na mesma figura.

Figura 2.13 - Dissipação de energia por processos histeréticos (adaptado de Chopra [12])

O amortecimento viscoso equivalente relativo ao processo histerético descrito é definido

segundo Chopra [12], pela seguinte equação:

(2.31)

Em que representa o número de ciclos de carga e descarga sofridos pela estrutura. e

são representados na Figura 2.13 e traduzem, respectivamente, a energia dissipada num ciclo

por processos histeréticos e a máxima energia gerada pela actuação das forças de restituição

elástica. Sendo considerado um amortecimento viscoso, pode ser incluído na equação

fundamental do movimento o que permite corrigir o comportamento da mesma com a

contabilização deste factor.

Quando se dá plastificação das estruturas, os valores de energia dissipada por processos

histeréticos sobrepõe-se à energia dissipada por amortecimento viscoso pelo que se deve

explorar esse fenómeno. No entanto, a sua ocorrência deve ser devidamente controlada de

forma a não se atingir a rotura ou deformações que levem indirectamente a inutilização da

estrutura.

Estado de Arte

24

2.6 Dimensionamento por capacidade real

É essencial que este controlo seja feito em todo o tipo de análises, sejam elas mais ou menos

complexas. Como tal, int roduz-se o método de Capacidade Real previsto no EC8-1 para

análises elásticas lineares de estruturas sujeitas a acções sísmicas. O método consiste em

garantir a ductilidade global da estrutura controlando a ductilidade local dos elementos mais

condicionantes. Para isso, define-se uma hierarquia de zonas de potencial formação de rótulas

plásticas (zonas críticas) em função dos esforços a que estão sujeitos e da sua importância na

integridade da estrutura global. No caso específico de pontes, deve dar-se preferência à

plastificação dos pilares já que os mesmos podem continuar a resistir a cargas verticais. Para

além disso, permitir grandes rotações em elementos verticais é mais eficiente para a

capacidade de absorver deslocamentos longitudinais. Evita-se a plastificação do tabuleiro,

tanto por ser um elemento de elevada importância na estruturação da ponte, como pela

dificuldade de explorar a sua ductilidade devido ao grande nível de esforço axial induzido pelo

pré-esforço. O objectivo é garantir a plastificação das zonas críticas dos pilares (ligação à

fundação e ligação ao tabuleiro) sem comprometer a sua integridade de modo a dissipar a

máxima energia possível. As mesmas são dimensionadas de forma a apresentarem resistência

aos esforços previstos numa análise elástica garantindo-se adicionalmente uma ductilidade que

permita que essas zonas entrem em regime plástico sem atingir roturas frágeis. O método

prevê o sobredimensionamento das zonas restantes (zonas frágeis) de forma a garantir que se

mantenham em regime elástico durante toda a acção sísmica. Para isso, são dimensionadas

para resistir aos esforços que se geravam na mobilização da resistência total das zonas

críticas. Assim, define-se o momento de sobre-resistência a considerar para as

secções críticas. O factor de sobre-resistência reflete a variabilidade das características

resistentes dos materiais e a capacidade de endurecimento do aço. Os valores de são

considerados valores de referência para a determinação do esforço transverso de cálculo e o

diagrama de momentos flector de cálculo nas zonas com comportamento elástico como se

mostra na Figura 2.14.

Figura 2.14 - Diagrama de momentos de cálculo definido pelo método de capacidade real (adaptado de EC8-2 [3])

25

O esforço transverso de cálculo é assim calculado através da seguinte expressão:

(2.32)

em que L é a altura total do pilar.

O comprimento da zona crítica deve ter em conta o estado de tensão das secções. Assim,

factores como o esforço axial e o endurecimento do aço são factores chaves na medida em

que influenciam o aumento do momento resistente pós-cedência, essencial para a capacidade

de expandir a plastificação às zonas adjacentes à secção plastificada. Nesta medida, o EC8-2

define que, para um esforço axial reduzido de , o comprimento das zonas criticas é:

(2.33)

Em que d e representam, respectivamente, a altura de flexão da secção resistente e a

distância da secção solicitada a 80% do momento máximo.

Este valor é aumentado em 50% para .

2.7 Coeficiente de comportamento da estrutura

A análise elástica convencional de uma estrutura não tem em conta o comportamento não

linear da mesma. No entanto, como já se viu anteriormente, é importante que alguns elementos

plastifiquem quando a estrutura estiver sujeita a um sismo. De forma a contornar esse

inconveniente, e baseado em vários estudos, é desenvolvida a hipótese do Equal Displacement

que permite considerar os fenómenos não lineares em análises elásticas. Para explicá-la,

devem considerar-se duas estruturas de betão armado com a mesma geometria mas com

taxas de armadura diferentes cujos diagramas força-deslocamento são apresentados na Figura

2.15. Verificou-se que, quando estas duas estruturas são sujeitas à mesma acção sísmica, os

deslocamentos que ambas atingem são próximos. No entanto, na base da estrutura 2 mobiliza-

se um esforço de menor que , mobilizado na base da estrutura 1. Para isso, alguns

elementos da estrutura 2 devem entrar em regime plástico dissipando energia por processos

histeréticos. Assim, a hipótese do Equal Displacement define que o deslocamento máximo

observado numa estrutura em regime inelástico é idêntico ao observado na mesma estrutura

se se mantivesse em regime elástico quando ambas são sujeitas ao mesmo sismo. O

quociente entre e define-se como coeficiente de comportamento e traduz a redução de

esfoços que uma estrutura pode apresentar para resistir ao mesmo deslocamento em regime

plástico. O quociente de ductilidade é dado pelo quociente entre o deslocamento máximo e o

deslocamento de cedência . Pela Figura 2.15 verifica-se que o quociente de ductilidade e de

Estado de Arte

26

comportamento são iguais para uma mesma estrutura. Comparando os diagramas de força-

deslocamento das estruturas 2 e 3, pode concluir-se a que ambas resistem à acção sísmica e

que a aceleração induzida em cada estrutura é função da sua resistência. No entanto, uma

menor aceleração induzida corresponde a uma maior exploração da ductilidade pelo que as

exigências de ductilidade relacionam-se directamente com a redução de esforços em relação

ao regime elástico. Com isto, é possível fazer uma análise elástica por espectro de resposta

reduzido as acelerações e consequentes forças na base. Os deslocamentos calculados, no

entanto, dizem respeito aos deslocamentos elásticos que, devem ser multiplicados pelo

quociente de ductilidade para terem em consideração o comportamento inelástico da estrutura.

Figura 2.15 - Diagrama força-deslocamento de estruturas com diferentes resistências

É importante ter em consideração que um coeficiente de comportamento elevado implica uma

grande exigência de ductilidade que, por vezes, a geometria das estruturas não permite. No

entanto, como se referiu em 2.1.3, com uma distribuição adequada das armaduras, pode

aumentar-se bastante a capacidade de ductilidade local permitida por essas secções. O valor

máximo a considerar em comportamentos de pontes está previsto no EC8-2 e depende do tipo

de ponte e da sua simetria.

Para ter em conta esta redução de esforços para um comportamento inelástico, o EC8-1 define

o espectro de resposta de cálculo que se obtém a partir das equações (2.18) a (2.21) dividindo

pelo coeficiente de comportamento. As equações que o definem são apresentadas

seguidamente:

(2.34)

(2.35)

(2.36)

27

É importante referir que, para estruturas muito flexíveis, o EC8-1 limita a redução de

aceleração de cálculo a .

Deve notar-se que estruturas muito rígidas podem não desenvolver ductilidade suficiente para

se considerar redução de esforços pelo que a teoria do Equal Displacement perde validade

para períodos elásticos inferiores a . Para esta gama de períodos, pode aplicar-se a hipótese

do Equal Energy que se baseia no pressuposto de que a energia transmitida pelo sismo à

estrutura elástica é idêntica àquela que é transmitida à estrutura que já atingiu a plastificação.

2.8 Método de análise N2

O método de análise N2 foi desenvolvido no âmbito da análise s ísmica de edifícios de betão

armado por Fajfar [13] mas pode ser adaptado, com pequenas modificações, para análise de

qualquer estrutura considerando o seu comportamento não linear. Em traços gerais, consiste

no relacionamento directo da curva de capacidade da estrutura (de propriedades inelásticas)

com o espectro de resposta elástico regulamentar com a finalidade de determinar o

Deslocamento Objectivo (D.O.). Para isso, o método introduz a necessidade de se criar um

sistema equivalente de um grau de liberdade de comportamento elasto-plástico perfeito. É

possível assim obter, não só a aceleração objectivo, como também o deslocamento objectivo.

Este método considera apenas um modo de vibração da estrutura pelo que perde validade

para analisar estruturas em que seja expectável a excitação de outros modos por parte do

sismo. Adaptações ao mesmo permitem analisar uma estrutura para acções sísmicas em

diferentes direcções, no entanto, restringem o seu comportamento aos modos fundamentais de

cada direcção. A curva de capacidade é obtida para um certo sistema de forças laterais a

aplicar nas massas da estrutura que garanta uma deformada idêntica ao modo fundamental.

No caso específico da análise de pontes, considera -se que a sua massa dinâmica se concentra

no tabuleiro, pelo que o sistema de forças se resume a uma força lateral nesse elemento.

Sendo um método de análise baseado em deslocamentos em que se considera o

comportamento monotónico dos materiais, o mesmo não tem em conta alguns factores

dinâmicos da estrutura provocados pela não linearidade dos mesmos.

O sistema equivalente a considerar deve apresentar o mesmo estado último da estrutura

original, pelo que os esforços e os deslocamentos últimos são idênticos para os dois sistemas.

A sua curva bilinear deve ser calculada de forma a consumir a mesma energia em forma de

trabalho. Assim, por observação da Figura 2.16, a energia necessária para levar a estrutura

original a atingir o deslocamento último é dada pela área sob a sua curva de capacidade.

(2.37)

Estado de Arte

28

A energia referente ao sistema equivalente fica determinada automaticamente pelo que se

determina através da seguinte relação:

Figura 2.16 - Determinação da curva bilinear

do sistema equivalente

Sendo que a curva é elasto-plástica, a rigidez pós-cedência é nula, portanto, considera-se

.

O comportamento dinâmico do sistema equivalente em regime elástico fica assim definido

através da sua massa equivalente e rigidez a forças laterais. É assim possível calcular o seu

período fundamental at ravés da equação seguinte:

Através das equações (2.23) a (2.26) calcula-se o deslocamento espectral atingido pelo

sistema equivalente elástico. De forma a determinar o deslocamento inelástico , o método

assume que para é válida a hipótese do Equal Displacement, pelo que como

se apresenta na Figura 2.17.

Figura 2.17 - Determinação dos D.O. do sistema equivalente (adaptado de Bento et Al. [14])

(2.38)

(2.39)

29

Por fim, o método define que a estrutura original apresenta o mesmo deslocamento objectivo

que o sistema equivalente pelo que fica determinado o estado de deformação que a estrutura

apresenta em resposta à acção sísmica de projecto, permitindo a análise de cada elem ento

individualmente.

31

3 Análise Dinâmica Linear

Das várias análises que se propõe fazer ao longo desta dissertação, a análise elástica linear da

estrutura é a mais simples e aquela que envolve menos recursos já que reduz o

comportamento da estrutura a uma curva elasto-plástica perfeita. Neste capítulo propõe-se um

dimensionamento sísmico com base numa análise linear por espectro de resposta descrita

anteriormente. Para tal, usa-se o programa de análise elástica linear Sap2000 [15] como meio

de avaliar o estado elástico de tensões e deformações da estrutura. O dimensionamento da

estrutura é feito com base nos regulamentos EC2-1, EC8-1 e EC8-2 complementado pela

consulta dos livros Sismos e Edifícios de Lopes [11] e Estruturas de Betão de Appleton [16].

3.1 Modelação

O modelo da estrutura feito com o programa Sap2000 é definido através de um conjunto de

elementos do tipo barra caracterizados pela respectiva secção, nós inicial e final. A massa do

elemento, dado pelo produto do volume pela densidade do material, é aplicada no seu centro

de gravidade. Os elementos ligam-se rigidamente entre si através dos nós que têm em comum.

Note-se que o Sap2000 não considera a participação de armaduras longitudinais no

comportamento elástico da secção (embora seja possível defini-las) já que o programa calcula

as relações constitutivas da secção baseando-se unicamente nos seus parâmetros

geométricos e não tendo em consideração a diversidade de materiais que a constituem.

Análise Dinâmica Linear

32

3.1.1 Caracterização dos materiais

De forma a ser fiel ao projecto inicial, utilizam-se os betões de classe C50 e C40 para o

tabuleiro e pilares, respectivamente. Utiliza-se o aço A400 tanto para os varões longitudinais

como para as armaduras transversais. O comportamento destes materiais já foi descrito em 2.1

apresentando-se na Tabela 3.1 os valores definidos pelo EC2-1 para o módulo de elasticidade

e a tensão de cedência.

Tabela 3.1 - Propriedades dos materiais utilizados

Material C40 C50 A400

35 37 200

40 50 400

26,7 33,3 347,8

3.1.2 Discretização

A estrutura é discretizada em vários elementos com secções de geometria constante

associadas. Quanto maior for a discretização do modelo, mais este se torna representativo da

estrutura real já que descreve melhor a variabilidade das secções. Além disso, o maior número

de elementos permite uma distribuição de massas mais rigorosa, importante para a análise

modal da estrutura. Em contrapartida, isso leva a uma modelação complexa, propícia a erros e

de alto consumo de recursos devido ao aumento de número de graus de liberdade. Considera-

se, no entanto, que um comprimento máximo de para cada elemento está associado a

erros aceitáveis no contexto global da estrutura. Esse valor é reduzido para para os

elementos constituintes do pilar 4 pois é o pilar mais condicionante e consequentemente o

analisado com maior pormenor.

3.1.3 Pilares

Como já se referiu, os pilares apresentam secções variáveis ao longo do seu desenvolvimento

pelo que, para efeito de modelação, cada elemento do Sap2000 é definido através da secção

verificada a meio do seu comprimento da estrutura real. Cada secção é criada com o auxílio do

Section Designer, uma função do Sap2000 que permite definir secções irregulares através dos

vértices que a constituem. A nomenclatura dos elementos é dada em função do número do

pilar e da zona em que se insere. Definem-se, assim, três zonas distintas: Zona de secção

Variável Inferior ( ); Zona de secção Constante ( ); Zona de secção Variável Superior ( ).

33

Na Figura 3.1 apresentam-se os pilares e as respectivas zonas descritas em cima.

Opta-se por não modelar os pilares 1 e 5 já que os mesmos não contribuem para a resistência

a acções longitudinais. Em alternativa, definem-se apoios deslizantes no tabuleiro nos

encontros com esses pilares. A fundação de todos os pilares é rígida já que a ponte assenta

num solo rochoso não fracturado.

Figura 3.1 - Discretização dos elementos dos pilares centrais

A geometria dos quatro núcleos de cada pilar é constante excepto na zona de secção Variável

Superior em que a espessura na direcção transversal ao eixo do tabuleiro aumenta com a

proximidade ao mesmo. Esta variação tem uma função meramente decorativa já que os limites

da alma do pilar ult rapassam a largura do contacto entre o pilar e o tabuleiro. Assim, na

modelação das secções características desta zona, considera-se que as dimensões das

secções a menos de um metro do tabuleiro não aumentam, mantendo -se nesta zona a

geometria da secção imediatamente a baixo.

Análise Dinâmica Linear

34

As zonas de secção Constante apresentam duas secções distintas. Nos pilares 2 e 3, a secção

apresenta uma espessura de almas e banzos de enquanto no pilar 4 essa espessura

diminui para . Na Figura 3.2 representa-se a geometria das secções descritas.

A zona de secção Variável Inferior é caracterizada por uma variação de comprimento tanto das

almas como os banzos mantendo a geometria dos quatro núcleos constantes. O comprimento

destes elementos aumenta com a proximidade à base para ter em conta o aumento de

momentos flectores a que as secções estão sujeitas mas a sua espessura ao longo do seu

desenvolvimento é de 0,6 m. Na modelação usam-se seis elementos de cinco metros para

representar esta zona.

Figura 3.2 – Geometria das secções de Zona Constante e Zona Variável Superior

Secção A a B b

VI1 7,52 4,72 5,68 3,28

VI2 6,7 3,9 5,13 2,73

VI3 6,02 3,22 4,68 2,28

VI4 5,52 2,72 4,34 1,94

VI5 5,18 2,38 4,12 1,72

VI6 5,02 2,22 4,02 1,62

Figura 3.3 – Geometria das secções das Zonas Variáveis inferiores

35

Na Tabela 3.2 apresenta-se a área de cada secção juntamente com o comprimento dos

elementos correspondentes em cada um dos três pilares. Apresenta-se igualmente o peso

próprio desses elementos considerando e a respectiva massa tendo uma

aceleração da gravidade de .

Tabela 3.2 - Peso próprio dos pilares

Secção Área Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4

VI1 15,8 5,0 2048,8 5,0 2048,8 - -

VI2 14,1 5,0 1833,5 5,0 1833,5 - -

VI3 12,8 5,0 1658,8 5,0 1658,8 - -

VI4 11,8 5,0 1527,8 5,0 1527,8 - -

VI5 11,1 5,0 1440,4 5,0 1440,4 - -

VI6 10,8 5,0 1399,8 5,0 1399,8 - -

C (pilar 2 e 3) 9,7 6 x 4,3 6538,6 7 x 4,5 7892,7 - -

C (pilar 4) 8,6 - - - - 18,8 4184,1

VS1 8,9 2,5 578,8 2,5 578,8 2,5 578,8

VS2 11,7 3,5 1063,3 3,5 1063,3 3,5 1063,3 Total

Total - 62,0 18089,9 67,4 19443,9 24,8 5826,3 43360,1

Total

1845,9

1984,1

594,5 4424,5

De forma a ter em consideração os efeitos de fendilhação da estrutura sujeita a uma acção

sísmica, o EC8 4.3.1, prevê a redução da rigidez de flexão que pode ser concretizada no

Sap2000 através da redução da inércia de flexão das secções dos pilares. Como tal, a inércia

das secções fica definida como .

3.1.4 Tabuleiro

Como já se referiu, o objectivo desta dissertação é analisar o comportamento dos pilares a

acções sísmicas longitudinais. Como tal, o tabuleiro é tido em conta na modelação de forma a

garantir as condições de fronteira mais adequadas no topo de cada pilar, não sendo estudadas

as suas características internas como o efeito do pré-esforço e variação de temperatura.

As dimensões das secções variam ao longo do desenvol vimento do tabuleiro. Junto aos pilares

apresentam uma maior altura e espessura, dimensões que diminuem quadraticamente até

atingir o meio vão. Tal como para a modelação dos pilares, adopta-se um comprimento máximo

de para cada elemento.

O tabuleiro é caraterizado por três secções chaves: secção de Vão (TV); secção Encastrados

nos pilares (TE); secção Apoiada nos pilares (TA). A transição entre a secção de vão e a

Análise Dinâmica Linear

36

secção encastrada consiste na variação quadrática da altura do caixão e da espessura da alma

inferior. Definem-se 10 secções intermédias (TVE) para caracterizar a variação entre as duas

secções chaves apresentando-se a sua geometria na Figura 3.4. A transição entre a secção de

vão e a secção apoiada dá-se com um aumento linear da espessura do banzo inferior e é

modelada através de 2 secções intermédias (TVA). A geometria das secções TA, TV e as

respectivas secções de transição são apresentadas na Figura 3.6.

Secção h e A a z

TVE1 2,02 0,2 5,97 2,73 1,94

TVE2 2,11 0,22 5,95 2,72 1,98

TVE3 2,28 0,24 5,91 2,69 2,06

TVE4 2,53 0,28 5,86 2,64 2,19

TVE5 2,87 0,33 5,78 2,58 2,35

TVE6 3,3 0,39 5,69 2,5 2,56

TVE7 3,81 0,46 5,58 2,41 2,77

TVE8 4,4 0,55 5,46 2,3 3,04

TVE9 5,08 0,65 5,31 2,17 3,33

TVE10 5,52 0,78 5,22 2,11 3,46

TE 5,6 0,86 5,2 2,11 3,44

Figura 3.4 – Geometria das secções de transição de TV a TE

Secção d B z

TV 0,60 0,20 2,74 1,30 1,93

TVA1 0,50 0,30 3,17 1,08 1,87

TVA2 0,30 0,50 4,04 0,65 1,77

TA 0,20 0,60 4,47 0,43 1,71

Figura 3.5 – Geometria das secções de transição de TV a TA

São criados onze elementos não prismáticos (TVE) para definir a zona de transição entre TV e

TE e três para elementos não prismáticos (TVA) para definir a zona de transição entre TV e TA.

Cada elemento não prismático apresenta uma variação linear de características geométricas

entre as duas secções adjacentes que o caracterizam.

No projecto de estruturas são especificadas as cotas das secções adjacentes aos pilares, mas

não há informação referente a localizações intermédias. Considera-se, no entanto, que a ponte

se desenvolve ao longo de um trainel recto com uma inclinação de 4,42% com a horizontal o

que leva a que as faces superiores de todas as secções estejam inscritas na rasante do

traçado. Por outro lado, a modelação dos elementos no Sap2000 é feita através dos centros

37

geométrico das respectivas secções pelo que é necessário ter em conta um intervalo entre

cada secção e a rasante. Esse intervalo tem o comprimento igual à distância entre o centro de

gravidade da secção e a sua face superior.

Na Figura 3.6 representa-se o perfil do tabuleiro da ponte e na Figura 3.7 apresenta-se em

maior pormenor a geometria e as secções do t ramo 1 (similar ao tramo 6), do tramo 2 (similar

ao tramo 5) e de metade do tramo 3. O tramo 3 e 4 apresentam a mesma geometria e são

simétricos a meio vão.

45 75 100 100 75 45

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 Tramo 5 Tramo 6

Figura 3.6 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro

Figura 3.7 - Discretização das secções e elementos do Tabuleiro

Análise Dinâmica Linear

38

A ligação entre o tabuleiro e cada pilar é garantida através de um elemento rígido que liga o

topo de cada pilar à secção TE adjacente. Esse elemento tem uma secção de 0,2x0,2m2 e é

caracterizado por um material com um módulo de elasticidade E rigido=2x1022

kN/m2. O

comprimento do mesmo é de .

3.1.5 Uniformização dos deslocamentos horizontais

Sendo que a presente dissertação tem como foco o comportamento dos pilares, é importante

simplificar o máximo possível todos os parâmetros que não estejam directamente relacionados

com os mesmos de forma a tornar a análise o mais transparente possível. Nesta medida,

considera-se importante garantir deslocamentos horizontais iguais nos topos dos pilares em

análise. Para tal, procede-se a duas alterações na modelação do tabuleiro: A primeira consiste

em definir os elementos constituintes do tabuleiro como axialmente indeformáveis através da

aplicação de um factor multiplicativo às suas secções. No entanto, verifica-se que esta

alteração não altera o diagrama de deformações horizontais verificadas ao longo do tabuleiro.

Isto acontece porque a deformação horizontal do tabuleiro devido aos esforços axiais

instalados não é significativa face à deformação horizontal devido aos momentos flectores

instalados no tabuleiro. Como tal, a segunda alteração consiste em redefinir o posicionamento

dos nós constituintes do tabuleiro num único alinhamento horizontal.

Cria-se, no Sap2000, um novo modelo simplificado, baseado no modelo originalmente

apresentado. Na Figura 3.8 apresenta-se em traços gerais o tabuleiro do modelo simplificado, e

na Figura 3.9, apresenta-se em pormenor, os tramos 1, 2 e metade do tramo 3 (com simetria a

meio vão) desse mesmo modelo.

45 75 100 100 75 45

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 Tramo 5 Tramo 6

Figura 3.8 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro do Modelo Optimizado

Este modelo não apresenta variação de deslocamentos horizontais ao longo do tabuleiro

quando sujeito a uma força horizontal. Na Tabela 3.3 apresentam-se os valores obtidos no

Sap2000 referentes aos pesos próprios dos elementos dos dois modelos.

39

Figura 3.9 - Discretização das secções do Tabuleiro do Modelo Optimizado

O peso próprio do tabuleiro do modelo simplificado é 5,9% menor que o do modelo original

devido ao encurtamento do mesmo. Isto traduz-se numa diminuição de 4,3% no peso próprio

no modelo global.

Tabela 3.3- Pesos próprios do modelo simplificado

Elemento Peso Próprio [ ]

Diferença [%] Original Optimizado

Tabuleiro 119097 112423 5,9

Pilares 43360 43360 -

Total 162457 155783 4,3

Análise Dinâmica Linear

40

3.2 Análise Modal

Neste capítulo procede-se a uma caracterização dos modos de vibração da estrutura, ou, como

já se referiu, a forma como a estrutura tende a deformar-se sob uma perturbação do seu

estado de repouso. Para esta análise, o uso do Sap2000 é essencial já que o modelo

apresenta demasiados graus de liberdade para ser feita uma análise simplificada do mesmo.

No entanto, a análise baseia-se no cálculo matricial descrito em 2.3 em que se consideram,

como graus de liberdade, as rotações e deslocamentos dos nós no plano da estrutura.

Do enorme número de modos de vibração, salienta -se aqueles que apresentam maior factor de

participação de massa. Segundo o EC8-1 é necessário ter em consideração os modos de

vibração de menores frequências próprias que totalizem um factor de participação de massa de

90% em cada direcção. Na Tabela 3.4 apresenta-se os seis primeiros modos de vibração

característicos da estrutura e os respectivos factores de participação de massa horizontais e

verticais.

Tabela 3.4 - Propriedades modais

Modo de vibração

Factor de participação horizontal [%]

Factor de participação vertical [%]

Discreto Acumulado Discreto Acumulado

1 1,76 0,57 84,7 84,7 0,0 0,0

2 0,86 1,17 2,6 87,3 0,0 0,0

3 0,60 1,68 0,7 88,0 2,2 2,3

4 0,46 2,19 1,4 89,4 0,3 2,6

5 0,40 2,50 0,0 89,4 25,0 27,6

6 0,33 2,99 2,1 91,5 0,0 27,6

O primeiro modo de vibração apresenta o maior factor de participação. Na Figura 3.10

apresenta-se a configuração da sua deformada.

Figura 3.10 - Configuração de deformada do primeiro modo de vibração

Nesta configuração de deformada sobressai o deslocamento horizontal do tabuleiro. A elevada

rigidez do pilar 4 relativamente ao tabuleiro induz neste uma considerável parcela de rotação

na ligação de ambos. O elevado factor de participação aliado a uma deformada com

41

deslocamentos predominantes numa direcção leva a que a estrutura possa aproximar-se a um

pêndulo invertido de um grau de liberdade a oscilar na direcção longitudinal. Esta simplificação

é tanto mais realista quanto menos expressão tiverem os factores de participação dos modos

de vibração superiores. O factor de participação de massa do primeiro modo é de 84,7% que

se considera proveniente da massa do tabuleiro (que representa 73,3% da massa total)

juntamente com uma parcela de massa dos pilares.

Tanto o segundo modo de vibração, como o terceiro e quarto têm uma expressão

predominantemente vertical; no entanto, os seus factores de participação verticais são

insignificantes. Isto ocorre porque as respectivas configurações de deformada do tabuleiro são

caracterizadas por deslocamentos em sentidos opostos o que faz com que as suas

contribuições conjuntas se anulem. O factor de participação horizontal também não é

significativo já que diz respeito a deformações dos pilares dadas pelas rotações induzidas pelo

tabuleiro. Estes modos são assim pouco relevantes no comportamento da estrutura

apresentando-se na Figura 3.11 a configuração de deformada do segundo modo.

Figura 3.11 – Configuração de deformada do segundo modo de vibração

A configuração de deformada do quinto modo é caracterizada por um movimento vertical dos

vários tramos em sentidos iguais e deslocamentos horizontais quase nulo. Como tal, este modo

apresenta um factor de participação vertical de 25% podendo ser considerado o primeiro modo

de vibração vertical. Na Figura 3.12 apresenta-se a deformada do quinto modo de vibração.

Figura 3.12 - Configuração de deformada do quinto modo de vibração

O sexto modo da estrutura tem uma expressão localizada. Consiste na deformada do pilar 3

conjuntamente com deslocamentos desprezáveis do tabuleiro. Tem um factor de participação

de massa de 2,1% e pode-se considerar o primeiro modo de vibração do pilar 3. Na Figura 3.13

apresenta-se a configuração de deformada do sexto modo.

Análise Dinâmica Linear

42

Figura 3.13 - Configuração de deformada do sexto modo de vibração

3.3 Confirmação dos resultados através de medições in-situ

Foi realizada uma campanha de medição de frequências com o registo de acelerações em três

locais do tabuleiro da ponte. Colocou-se um acelerómetro com 3 componentes a meio vão de

cada um dos três tramos principais tendo sido realizados registos de 60 segundos em cada um

desses pontos. A vibração registada foi produzida pela passagem de vários veículos pesados

circulando a velocidades de cerca de . A análise dos registos efectuados permitiu

identificar vários modos de vibração nas direcções verticais e transversais. No entanto, os

modos de vibração na direcção longitudinal não estão muito destacados apresentando

frequências muito elevadas. Isto deve-se à elevada contribuição do atrito dos aparelhos de

apoio na resistência aos deslocamentos longitudinais.

Para confirmar os valores medidos, o modelo de Sap2000 é definido para corresponder a uma

situação de betão não fendilhado pelo que se usa a inércia de flexão total para as secções dos

pilares. Comparam-se assim os valores de frequências medidas in-situ e os valores obtidos

através do Sap2000 para os primeiros modos verticais e transversais.

Tabela 3.5 - Comparação entre frequências medidas in-situ e obtidas através do Sap2000 [Hz]

Modo In-situ Sap2000

1º Vertical 1,20 1,24

2º Vertical 1,70 1,71

1º Transversal 0,39 0,40

2º Transversal 0,80 0,73

Embora as amplitudes medidas sejam muito baixas, entre e , os

resultados obtidos mostram que o modelo do Sap2000 consegue reproduzir com grande

aproximação os valores dos ensaios experimentais in-situ para os modos verticais e

transversais.

43

3.4 Análise sísmica do modelo

A acção s ísmica a considerar nesta análise é escolhida de forma a explorar a plasticidade dos

pilares. A solicitação s ísmica é definida através do espectro de cálculo de acelerações

representado pelas equações (2.34) a (2.37). O coeficiente de solo toma o valor já que

os pilares estão fundados em terreno rochoso do tipo A. Por outro lado, considera-se

importante que a ponte mantenha a sua integridade, não só durante o sismo, mas

principalmente no período pós sismo, pois é importante garantir uma comunicação rápida entre

as várias localidades que a mesma liga, fundamental para um socorro eficiente das populações

afectadas. Como tal, atribui -se à estrutura uma classe de importância IV que equivale a um

coeficiente de importância . Por último, pela análise modal verifica-se que os primeiros

modos de vibração da ponte apresentam períodos de vibração altos pelo que se considera, no

dimensionamento, a acção sísmico tipo 1 correspondente a sismos distantes , ricos em baixa

frequência (alto período).

Na determinação do coeficiente de comportamento desta ponte, deve constatar-se que,

embora seja constituída por três pilares, o pilar curto é o mais solicitado sendo que a

resistência última da ponte está muito dependente da resistência deste pilar. O EC8-2 define

um valor limite de para pontes de betão armado de pilares verticais; no entanto, pelas

razões enunciadas, opta-se por adoptar um valor menor: .

Por fim, definem-se t rês zonas caracterizadas por três intensidades sísmicas diferentes:

Azambuja, Lisboa e Aljezur. Azambuja insere-se na zona sísmica 1.4 a que corresponde uma

aceleração máxima de referência de ; Lisboa pertence à zona sísmica 1.3 com

uma aceleração máxima de referência correspondente de ; Aljezur pertence à

zona sísmica 1.1 com aceleração máxima de referência correspondente de .

Definem-se os espectros de resposta correspondentes a cada uma das três zonas sísmicas no

Sap2000 através da função Response Spectrum. Apresenta-se na Tabela 3.6 os parâmetros a

definir no Sap2000.

Tabela 3.6 – Parâmetros do Espectros de cálculo de tipo 1

zona Azambuja Lisboa Aljezur

[m/s2] 1,0 1,5 2,5

S 1,0 1,0 1,0

0,1 0,1 0,1

0,6 0,6 0,6

2,0 2,0 2,0

1,95 1,95 1,95

[m/s2] 1,95 2,925 4,875

3,0 3,0 3,0

Análise Dinâmica Linear

44

Na Figura 3.14 apresentam-se graficamente os espectros de cálculo referentes às três zonas.

Figura 3.14 - Espectros de Respostas de Dimensionamento

De forma a determinar os esforços resultantes da aplicação dos espectros, define-se um Load

Case referente a cada sismo com orientação na direcção horizontal para a aplicação da

aceleração de cálculo e uma combinação dos resultados modais do tipo CQC.

A expressão prevista pelo EC8 para a combinação para os estados limites últimos ao sismo é:

em que é o valor característico da acção permanente (que nesta dissertação é reduzido ao

peso próprio) e , o valor de cálculo da acção sísmica. Como já foi referido, considera-se

nula a contribuição do efeito do pré-esforço do tabuleiro, . Também as acções devidas ao

tráfego rodoviário são ignoradas pois estão fora do âmbito de estudo pelo que . A

equação (3.1) é reescrita para:

Desta forma, cria-se uma combinação de acções para cada cenário sísmico. Usa-se para este

fim, a função Load Combinations onde se define a participação unitária, tanto do peso próprio,

como da acção s ísmica.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4

Se [m/s2]

T [s]

Aljezur

Lisboa

Azambuja

(3.1)

(3.2)

45

3.5 Determinação do espectro de resposta

Na Tabela 3.7 apresentam-se os valores de esforço de corte basal , coeficiente sísmico e

deslocamentos do tabuleiro obtidos pelo Sap2000 referentes às acções sísmicas das três

zonas em consideração.

Tabela 3.7 - Deslocamentos e esforços de corte basal

Azambuja Lisboa Aljezur

4,29 6,27 10,21

8595,3 12893,0 21488,3

[-] 0,055 0,083 0,138

Tratando-se de uma análise elástica, a distribuição relativo do esforço transverso é idêntico

para qualquer uma das solicitações sísmicas, apresentando-se na Figura 3.15 a distribuição

qualitativo da envolvente de esforço transverso nos pilares da ponte.

Figura 3.15 - Desenvolvimento qualitativo do esforço transverso nos pilares

A participação dos três pilares para a resistência longitudinal é de 15%, 14% e 71%

respectivamente para os pilares 2,3 e 4. Como era de se esperar, o pilar 4 é o mais solicitado,

que, associado ao facto de ser o pilar com a menor secção transversal, torna-se o elemento

mais condicionante da estrutura. Como tal, a localização s ísmica é escolhida por forma a

explorar a plasticidade deste pilar.

Os valores obtidos através do Sap2000 para os esforços nas secções inferiores e superiores

do pilar 4, respectivamente secção 4-I e 4-S, são apresentadas na Tabela 3.8. O facto dos

resultados da combinação s ísmica ser dado em módulo tem a vantagem de se apresentar

apenas os valores de esforços condicionantes para cada elemento; no entanto, leva a uma

perda de informação na medida em que não se conhece o real desenvolvimento dos esforços.

Esta limitação não influencia a análise de esforços transversos ou momentos flectores pois as

secções são simétricas tal como a distribuição das armaduras. No caso do esforço normal, no

entanto, não é espectável que este apresente valores positivos em nenhuma zona do pilar. O

valor observado na base do pilar 4 devido à actuação isolada do peso próprio é de

o que, comparando com os valores apresentados na Tabela 3.8, indica que a

Análise Dinâmica Linear

46

contribuição da acção sísmica é menor que 10% em todos dos casos, não sendo suficiente

para descomprimir o pilar.

Tabela 3.8 - Esforços actuantes nas secções extremas do pilar 4

Secção Azambuja Lisboa Aljezur

4-S 6203,1 9037,8 14707,1

4-I 6346,0 9252,1 15064,3

4-S 75189,6 106485,5 169010,4

4-I 82111,1 122812,4 20064,0

4-S 24784,7 27815,5 28479,9

4-I 33600,0 33932,3 34596,9

O deslocamento longitudinal sofrido pelo tabuleiro sob a acção sísmica é:

Em que é o coeficiente de ductilidade e respeita a igualdade como se referiu na

definição do coeficiente de comportamento.

Os valores de cálculo dos esforços actuantes no pilar devem ter em consideração os efeitos de

segunda ordem devido à excentricidade da carga vertical provocada pelos deslocamentos

longitudinais do pilar. Segundo o EC8-2, o momento flector devido a esse efeito é dado pela

equação:

Em que representa o esforço axial de dimensionamento obtido através do Sap2000 para a

combinação sísmica em estudo. Sendo que o peso próprio do pilar não é desprezável,

considera-se o valor de esforço axial na base do mesmo, de forma a dimensionar “do lado da

segurança”. O primeiro termo da equação traduz o efeito desfavorável da perda de rigidez do

betão sob acções cíclicas.

Na Tabela 3.9 apresentam-se os valores de dimensionamento dos momentos flectores e

esforços normais relativos à secção 4-I pois é aquela sujeita a maiores esforços.

A secção dos pilares é caracterizada por duas almas esbeltas estruturantes de quatro núcleos

e dois banzos simétricos em relação ao centro da secção, tal como se mostra na Figura 3.16.

Os dois conjuntos formados por dois núcleos e um banzo representam mais de 98% do

momento de inércia da secção e 85% da sua área.

(3.3)

(3.4)

47

Tabela 3.9 – Momentos flectores de Cálculo para a secção 4-I

Azambuja Lisboa Aljezur

12,9 18,81 30,6

33600,1 33932,4 34596,9

8668,8 12765,4 21173,3

82113,2 122812,4 204220,5

90782,1 135577,8 225393,8

Como tal, dimensiona-se a secção com base num modelo de binário equivalente em que esses

conjuntos representam duas parcelas do binário resultante da flexão composta. Esta medida

apresenta-se do lado da segurança na medida em que considera uma área resistente menor

que a área da secção e não se afasta do comportamento real da secção já que o momento de

inércia das almas é desprezável em relação ao momento de inércia do resto da secção. O

modelo de binário equivalente é apresentado na Figura 3.16.

Almas

Banzo

z

Fc = FM + FN

Fy = FM - FN

MEd

NEd

4,00

Núcleo

Figura 3.16 - Modelo de Binário Equivalente para o pilar 4

Em que:

(3.5)

(3.6)

O braço do binário, z, não pode ser determinado directamente, pois as tensões no betão e nas

armaduras são desconhecidas. No entanto, considera-se que os dois conjuntos de núcleos e

banzos estão suficientemente afastados para se considerar o diagrama de tensões normais

instaladas nesses elementos constante e levando a que a força de compressão resultante

possa ser considerada no centro geométrico de cada um desses conjuntos. Esta hipótese é

conservativa já que a tensão e, consequentemente, o centro de aplicação aumentam com o

afastamento à linha neutra. Assim, z toma o valor de:

Análise Dinâmica Linear

48

(3.7)

A armadura é aplicada simetricamente nos conjuntos comprimidos e traccionados já que se

verifica inversão dos sinais dos esforços devido à acção c íclica. O quociente entre a área de

armadura longitudinal total e a área da secção de betão é denominado pela taxa de armadura

longitudinal, e torna-se o parâmetro mais representativo da ductilidade da secção.

Apresentam-se na Tabela 3.10 os valores referentes à secção 4-I para as três combinações

sísmicas.

Tabela 3.10 – Taxa de armadura longitudinal na secção 4-I

Azambuja Lisboa Aljezur

33600,1 33932,4 34596,9

90782,1 135577,8 225393,8

46084,6 60700,9 90006,1

12484,5 26768,6 55409,2

358,8 769,2 1592,2

0,0083 0,0179 0,0372

A alta taxa de armadura leva a uma elevada concentração de rigidez na zona tracionada

aumentando a profundidade da linha neutra, as extensões e consequentes tensões no banzo

comprimido. Isto leva a uma rotura por esmagamento do betão com pouca exploração da

plastificação das armaduras. Neste sentido, o EC8 define um limite de <0,04 para dotar a

secção de ductilidade. No entanto, uma taxa de armadura próxima desse valor pode não

apresentar a maior ductilidade pelo que a armaduras calculada para resistir aos esforços

provocados pela combinação sísmica de Aljezur é considerada muito elevada. Entre os dois

cenários alternativos, considera-se que a combinação sísmica da Azambuja não é

suficientemente exigente, considerando-se a combinação sísmica de Lisboa mais adequada

para a exploração da capacidade plástica da secção em causa.

O deslocamento do tabuleiro para a acção sísmica de Lisboa é assim, .

3.6 Dimensionamento do pilar 4

O dimensionamento dos pilares ao estado limite último é feito com base no método da

Capacidade Real já descrito em 2.6. As secções extremas dos pilares são as mais solicitadas

ao momento flector pelo que se prevê a formação de rótulas plásticas. Essas secções são

dimensionadas para resistir ao momento flector obtido elasticamente com os efeitos de

segunda ordem já contabilizados.

49

Quanto à secção 4-I, o momento de cálculo referente à situação sísmica de Lisboa é

e a área de armadura de flexão necessária é de . Opta-se

assim por uma armadura de 96Φ32 com uma área de a distribuir pelo

conjunto t raccionado. Adopta-se a mesma armadura no conjunto comprimido o que soma um

total de armadura longitudinal de 192Φ32 correspondente a . Estas armaduras

devem ser aplicadas em toda a zona crítica. O momento resistente da secção I é:

(3.8)

Quanto à secção 4-S, o momento flector obtido no Sap2000 é a que

acresce o momento devido aos efeitos de segunda ordem que, tal como foi referido

anteriormente, se deve ao valor máximo de esforço normal no pilar, pelo que toma o valor já

calculado para a secção I. Assim, o valor de cálculo do momento flector na secção 4-S é:

(3.9)

O esforço normal de cálculo corresponde ao valor elástico é de . A análise da

secção 4-S é realizada da mesma forma que a análise da secção 4-I. Assim, com base na

equação (3.6), tem-se a que corresponde . Considera-se

uma armadura de tracção de 88Φ32 equivalente a uma área de armadura ,

igualmente usada no conjunto comprimido, levando a um total de 176Φ32 correspondente a

. Esta armadura deve ser aplicada em toda a zona crítica.

Como tal, o momento flector resistente da secção é:

(3.10)

O factor de sobre-resistência a considerar para o dimensionamento das zonas frágeis dos

pilares é definido pelo EC8-2 como pelo que os momentos de sobre-resistência em I

e S são, respectivamente, e .

O esforço axial reduzido a que cada secção é solicitada é inferior a pelo que o

comprimento da zona crítica é:

(3.11)

Análise Dinâmica Linear

50

O valor de refere-se ao comprimento em que se deve adotar armadura longitudinal e de

confinamento calculada para as zonas críticas. No entanto, o comprimento de rótula plástica

para efeitos de verificação de deformações é dado por:

Onde representa o comprimento de vão de corte, ou seja, a distância até à secção de

momento nulo. O valor refere-se ao diâmetro das armaduras longitudinais. Obtém-se assim

um comprimento de formação de rótula plástica para a base e topo do pilar de e

. Deve considerar-se que a curvatura nesse intervalo varia entre o valor de

curvatura de cedência e um valor menor que a curvatura última. No entanto, por falta de

processos mais precisos para determinar esses valores, as curvaturas nas secções críticas são

calculadas com base na teoria do coeficiente de comportamento. Considerando que os valores

de e correspondente dizem respeito à cedência das secções, o valor de referente

à curvatura de uma secção da zona crítica pode ser obtido pela relação apresentada em baixo:

(3.13)

Os valores de curvatura de referência obtidos para as secções da base e de topo são,

respectivamente, e .

Na Figura 3.17 apresenta-se o diagrama de momentos flectores de cálculo referentes a um

dimensionamento por capacidade real para o pilar 4 em paralelo com o diagrama de momentos

de cálculo se não fosse usado esse método.

Figura 3.17 - Diagrama de momentos de cálculo pelo método de capacidade real

(3.12)

51

Embora o EC8-2 dispense o uso de armadura de confinamento para secções ocas com

, opta-se por usar uma quantidade de armadura de confinamento mínima nos núcleos,

definida nesse regulamento por para secções rectangulares. Para uma

exigência de ductilidade elevada, . A área de armadura a adotar é dada por:

Onde e representam, respectivamente, o espaçamento entre estribos e a maior dimensão

da secção confinada que se considera para a secção 4-I. Usam-se assim cintas

singulares de contorno de Φ12//0,1 juntamente com quatro cintas interiores em cada direcção

que perfazem nas duas direcções. Esta distribuição de armadura de confinamento

deve ser usada nos quatro núcleos no comprimento das duas zonas críticas.

A quantidade mínima de armadura longitudinal a considerar nas zonas frágeis é definida

através do EC2-1 pela seguinte equação:

(3.15)

Adopta-se, uma armadura longitudinal mínima de 30Φ32 nas secções de momentos mínimos.

A dispensa de armadura deve ser feita fora das zonas críticas e considerando comprimentos

de amarração adequados, garantindo um momento resistente, em cada secção, envolvente ao

diagrama de momentos de cálculo apresentado na Figura 3.17.

O esforço transverso de cálculo é determinado com base nos momentos

sobredimensionados previstos pelo método de capacidade real. Assim,

(3.16)

O cálculo de armaduras transversais é feito com base no modelo de escoras e tirantes previsto

pelo EC2-1 em que o betão apresenta bielas comprimidas de inclinação que, em conjunto

com as armaduras t raccionadas, asseguram a transmissão do esforço t ransverso através do

pilar. A área de armadura transversal necessária para transmitir o esforço transverso é dada

por:

(3.17)

(3.14)

Análise Dinâmica Linear

52

Devido às solicitações cíclicas, verifica-se abertura de fendas em direcções ortogonais, para

contabilizar o efeito prejudicial desse fenómeno no comportamento do betão, o EC8-2 define

para as zonas críticas. Nas restantes zonas, considera-se que por se prever

mais homogeneidade (menos fendilhação) e consequente maior resistência do betão a tensões

de corte. Nas equações (3.18) e (3.19) apresentam-se os cálculos das áreas de armadura nas

zonas críticas e zona corrente, respectivamente.

(3.18)

(3.19)

As armaduras de esforço transverso são distribuídas paralelamente ao longo das duas almas

da secção o que leva a que cada plano de armaduras transversais contribua com quatro

secções efectivas de armadura. Como tal, adoptam-se cintas duplas de Φ16//0,1 para as zonas

críticas o que corresponde a . Para as zonas restantes adoptam-se cintas duplas

de Φ12//0,10 a que corresponde .

3.7 Dimensionamento dos Pilares 2 e 3

Na Tabela 3.11 apresentam-se os esforços obtidos através do Sap2000 para as secções

extremas dos pilares 2 e 3 considerando a combinação sísmica de Lisboa.

Tabela 3.11 - Esforços nos pilares 2 e 3 para a combinação sísmica de Lisboa

2-I 2-S 3-I 3-S

1972,34 1372,01 1882,83 1143,34

62859,94 41701,57 60443,36 40852,86

46139,41 27936,52 50061,51 30501,48

Os esforços transversos verificados nos dois pilares são semelhantes e consideravelmente

inferiores aos esforços transversos actuantes no pilar 4, pelo que as análises dos dois são

feitas em paralelo. Deve notar-se que a variação de é bastante mais notória para estes dois

pilares. Isto pode estar relacionado com a participação das suas massas no modo fundamental

ou com a excitação dos seus modos locais.

Com base na equação (3.3) calculam-se os momentos devidos aos efeitos de segunda ordem.

Os momentos de cálculo obtidos são assim comparados com os momentos de referência

53

(calculados para secções ainda não fendilhadas) correspondentes à descompressão e

fendilhação das secções correspondentes. Considera-se que o betão suporta uma

tensão de tracção de Os valores obtidos são apresentados na Tabela 3.12.

Tabela 3.12 – Momentos de cálculo e de referência das secções críticas dos pilares 2 e 3

2-I 2-S 3-I 3-S

6,27

46139,4 27936,5 50061,5 30501,5

62859,9 41701,6 60443,4 40852,9

17357,6 18833,1

80217,6 59059,2 79276,5 59686,0

63711,0 24319,0 69120,1 26551,8

139878,0 59921,6 145279,6 62154,4

Deve-se considerar um estado fendilhado para a análise do comportamento do betão a acções

cíclicas. No entanto, verifica-se que os momentos máximos a que as secções estão sujeitas

são inferiores àqueles que são necessários para levar a mesma secção a um estado fendilhado

(numa análise monotónica). Isto leva a que a armadura mínima seja suficiente para suportar os

esforços provocados pelos estados de flexão composta instalados nessas secções. A área de

armadura mínima para as secções A e B é de e ,

respectivamente. Adopta-se uma armadura de 64Φ25 constante a todo o comprimento dos dois

pilares. Pelo método do binário equivalente calculam-se os momentos resistentes para os

esforços normais instalados. Na Tabela 3.13 apresentam-se os valores de momento de cálculo

e resistentes para as secções críticas dos pilares 2 e 3.

Tabela 3.13 - Comparação entre os valores de momento de cálculo e resistente

2-I 2-S 3-I 3-S

46139,4 27936,5 50061,5 30501,5

80217,59 59059,22 79276,5 59686,0

128427,9 51648,93 137213,4 55239,87

Verifica-se que os momentos obtidos pelo método de binário equivalente são inferiores aos

momentos de fendilhação. Isto verifica-se pois este método não reproduz a realidade de

secções pouco solicitadas.

A distribuição de armaduras obtida está implicitamente de acordo com o método de capacidade

real na medida em que as secções das zonas frágeis, dotadas da mesma armadura que as

zonas críticas, resistem a uma solicitação em que os momentos resistentes das zonas críticas

são mobilizados. O esforço transverso de cálculo determina-se, tal como previsto pelo método

da capacidade real, através da equação (3.16) correspondente a cada pilar:

Análise Dinâmica Linear

54

(3.20)

(3.21)

Tal como foi visto anteriormente, o ângulo das bielas comprimidas é de θ=30º nas zonas

correntes. Quanto ao comportamento do betão nas zonas críticas, embora não se preveja

grandes extensões numa análise longitudinal dos pilares, é expectável que, sujeito a uma

acção sísmica transversal, estes sejam bastante solicitados, prevendo-se um elevado nível de

fendilhação nas zonas críticas (principalmente as inferiores), pelo que se considera um ângulo

das bielas comprimidas de θ=45º nessas zonas.

Os comprimentos das zonas críticas são apresentados Tabela 3.14. De notar que estas zonas

contêm secções de altura variáveis pelo que, por segurança, se considera a secção de maior

altura de cada zona.

Tabela 3.14 - Comprimentos das Zonas Críticas

2-I 2-S 3-I 3-S

5,7 4 5,7 4

8,8 3,6 9,6 3,9

8,8 4 9,6 4

A distribuição de armadura obtida por este dimensionamento elástico é do tipo b.b.A. já que

apresenta baixa taxa de armadura nos pilares secundários e alta taxa no pilar curto. A

metodologia usada baseia-se numa análise estrutural com base em forças onde a resistência

dos elementos são calculadas em função dos esforços ac tuantes. A deformação desses

elementos obtém-se com base na sua rigidez e esforços actuantes.

Por outro lado, o sismo provoca um efeito de deslocamentos impostos nas estruturas pelo que

os esforços gerados nos mesmos dependem da rigidez dos seus elementos às deformadas

resultantes. Tendo em consideração que os materiais apresentam comportamento não linear, a

rigidez dos elementos está dependente do estado de tensão dos materiais pelo que se deve

realizar uma análise estrutural com base em deslocamentos para determinar o comportamento

da estrutura sob a acção sísmica.

Como já foi referido em 2.7, é possível alterar as características resistentes dos elementos sem

comprometer a sua integridade sob acções s ísmicas. Como tal, nos próximos capítulos

analisam-se alternativas ao dimensionamento das armaduras apresentado de forma a verificar

a possibilidade de diminuir a quantidade de armadura sem comprometer a integridade da

estrutura sob a actuação de um sismo de projecto para a zona de Lisboa.

55

4 Análise Estática não Linear

Neste capítulo pretende-se avaliar a influência da taxa de armadura dos vários pilares no

comportamento global da ponte. Para isso, efectuam-se várias análises estáticas não lineares

a quatro modelos distintos. Para simular o comportamento não linear da estrutura, utiliza-se o

programa SeismoStruct [17]. Este é um programa de análise dinâmica não linear tridimensio nal

que possibilita análises por incrementos de deslocamentos e, inclusivé, do comportamento

dinâmico de estruturas sob registos de acelerações através de integração passo-a-passo da

equação do movimento. Embora o programa permita um estudo tridimensional, toda a análise é

feita num espaço bidimensional do plano vertical da estrutura sendo os graus de liberdade

transversais bloqueados.

4.1 Caracterização dos Materiais

A modelação dos materiais deve ter em consideração o seu comportamento não linear pelo

que as suas relações constitutivas são definidas com base nos conceitos já referido em 2.1.

Consideram-se valores característicos das resistências já que se pretende avaliar o

comportamento da estrutura. Assim, apresenta-se na Figura 4.1 a relação constitutiva

monotónica do aço A400 a modelar no SeismoStruct. O EC8-1 define uma extensão de rotura

para o aço de classe C de .

Opta-se por modelar o betão a usar em todos os pilares da ponte com o mesmo nível de

confinamento que permita uma boa capacidade de ductilidade às secções condicionantes.

Considera-se que o valor conseguido nos núcleos das zonas críticas do pilar 4 (dimensionado

no capítulo anterior) é adequando para esta análise pelo que se calcula o factor de

confinamento correspondente .

Análise Estática não Linear

56

Figura 4.1 - Relação constitutiva cíclica do Aço A400

O SeismoStruct calcula esse factor com base no modelo previsto por Mander com base nas

dimensões da secção e densidade de cintas definidos. Para o caso dos núcleos da secção 4-I,

onde se verificam 10 troços de varões Φ12 em cada direcção espaçados a , o factor

de confinamento é de . Tal como na análise anterior, usa-se o betão C40 cuja

capacidade de resistência confinada é aumentada para e a relação constitutiva

é apresentada na Figura 4.2.

Figura 4.2 – Relação constitutiva do betão C40 confinado

A extensão de rotura é calculada com base na equação (2.3) sendo que, para ,

.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08

σ [Mpa]

ε [-]

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018

εc [-]

σc [MPa]

57

4.2 Secções equivalentes

Uma limitação do SeismoStruct corresponde à inexistência de um sistema de geração de

secções genéricas. As escolhas limitam-se algumas geometrias pré-definidas pelo programa

com possibilidade de alterar as dimensões. Na Figura 4.3 apresentam-se as geometrias

simétricas presentes no SeismoStruct que melhor se adequam à geometria de uma secção

genérica dos pilares, à direita.

Figura 4.3 – Secções-tipo do SeismoStruct (à esquerda) e secção dos pilares (à direita)

Restringido a estas escolhas, deve adoptar-se a que apresente o comportamento mais próximo

do comportamento não linear da secção original quando sujeitos aos esforços em estudo

(compressão e momento segundo um eixo) tendo em conta a sua constituição heterogénea. A

secção superior direita da Figura 4.3 poderia ser considerada na medida em que o banzo

inferior representaria a resistência do betão à compressão. No entanto, a opção é rejeitada já

que se analisa a ponte nas duas direcções e as secções só apresentam descompressão

quando sujeitas a cargas muito elevadas. Além disso, o SeismoStruct tem em consideração a

falta de resistência do material à tracção como já foi visto quando se definiram as relações

constitutivas dos materiais. A secção tipo apresenta uma concentração de massa e

consequente momento de inércia afastados do centro de gravidade o que leva a um bom

aproveitamento da área de betão para resistência aos momentos flectores. A secção

equivalente deve ser escolhida de forma a se salientar esta característica, pelo que se exclui a

secção superior esquerda da Figura 4.3. de entre as duas secções inferiores dessa mesma

figura, embora a da direita se possa assemelhar mais a secção tipo dos pilares, no que diz

respeito à análise de flexão e respectivo esforço transverso numa direcção, as duas

apresentam as mesmas características já que diferem unicamente na localização dos banzos .

Escolhe-se assim a secção em “H” unicamente por considerar uma distribuição de armadura

mais próximas da distribuição de armadura das secções originais, ou seja, nos núcleos.

Análise Estática não Linear

58

A geometria da secção é definida de forma a apresentar as mesmas características elásticas

que a secção original, ou seja, a mesma área, e momento de inércia. No entanto, prevendo

todo o comportamento não linear que se segue ao pequeno patamar elástico, é importante

garantir também a mesma altura de flexão das secções de forma a manter o módulo de flexão

elástico . De forma a manter a mesma área de corte, deve garantir-se uma espessura da

alma equivalente à da secção original. Apresenta-se na Figura 4.4 a geometria tipo da secção

equivalente a usar na modelação do SeismoStruct. Por observação da figura, constata-se que,

dos quatro parâmetros necessários para definir a sua geometria, toma o valor da altura de

flexão da secção original e toma o valor da soma de espessuras das almas da secção

original, pelo que apenas e não são determinadas directamente.

Figura 4.4 - Geometria tipo da secção equivalente

Esses parâmetros são determinados de forma a garantir as mesmas áreas e momentos de

inércia das secções originais pelo que se cria um sistema de duas equações a duas incógnitas

apresentado em baixo.

(4.1)

Os valores das áreas e momentos de inércia das secções originais são obtidos através do

AutoCad e apresentadas na Tabela 4.1. Na mesma tabela apresentam-se os valores de e

calculados para cada secção equivalente e os respectivos momentos de inércia. Com esta

geometria equivalente garante-se o mesmo comportamento linear da secção original, no

entanto, o comportamento não linear deve ser verificado de forma a validar toda a análise.

Um parâmetro a verificar é o módulo de flexão plástica que consiste na verificação da

resistência máxima à flexão considerando um comportamento elasto-plástico perfeito, ou seja,

considerando um comportamento homogéneo da secção constituída por um material sem

rigidez de endurecimento.

59

Tabela 4.1 - Definição da geometria das secções equivalentes

Secção

VI1 15,76 61,80 5,68 1,20 1,34 4,54 61,80

VI2 14,10 43,19 5,13 1,20 1,34 4,16 43,19

VI3 12,76 31,47 4,68 1,20 1,32 3,91 31,47

VI4 11,75 24,14 4,34 1,20 1,31 3,70 24,14

VI5 11,08 20,06 4,12 1,20 1,30 3,56 20,06

VI6 10,77 18,36 4,02 1,20 1,30 3,49 18,36

C (pilar 2 e 3) 9,68 17,23 4,00 1,00 1,19 3,39 17,23

C (pilar 4) 8,56 16,17 4,00 0,80 1,09 3,27 16,17

VS1 8,90 16,63 4,00 0,88 1,09 3,35 16,63

VS2 11,69 20,34 4,00 1,58 1,09 4,05 20,35

Este é um factor teórico, que não se adequa verdadeiramente a um estudo de uma secção de

betão armado, mas que tem a utilidade de representar a distribuição das massas resistentes ao

momento flector da secção. Na Figura 4.5 representa-se graficamente a determinação de .

Figura 4.5 - Determinação do módulo de flexão plástico

Calculam-se os valores do centro de massa referente às secções originais e das

respectivas secções equivalentes através do programa AutoCad. O módulo de flexão

plástico é, assim, dado por:

(4.2)

Na Tabela 4.2 apresenta-se os módulos de flexão plástica das secções originais e respectivas

secções equivalentes tal como a percentagem de erro que se verifica entre cada um deles.

A diferença obtida entre os módulos de flexão plástica das secções equivalentes e secções

originais é menor que 2% para qualquer geometria de secção pelo que se considera que as

mesmas representam bastante bem o comportamento das secções originais.

Análise Estática não Linear

60

Tabela 4.2 - Módulos de flexão plástica

Secção

Diferença [%]

VI1 15,76 1,86 29,28 1,85 29,10 0,62

VI2 14,10 1,64 23,13 1,62 22,91 0,96

VI3 12,76 1,47 18,75 1,46 18,58 0,89

VI4 11,75 1,34 15,73 1,33 15,61 0,75

VI5 11,08 1,25 13,90 1,24 13,77 0,91

VI6 10,77 1,22 13,10 1,20 12,91 1,39

C (pilar 2 e 3) 9,68 1,25 12,09 1,24 11,99 0,87

C (pilar 4) 8,56 1,29 11,08 1,29 11,01 0,60

VS1 8,90 1,28 11,42 1,28 11,36 0,56

VS2 11,69 1,22 14,20 1,21 14,14 0,45

Deve referir-se que estas diferenças aumentam quando se trata da secção heterogénea, onde

a linha neutra se afasta do centro de gravidade e onde a área da secção que está

efectivamente mais afastada do centro de gravidade ganha importância. Neste aspecto, as

secções originais apresentam menos área afastada do centro já que os banzos não se

encontram no afastamento máximo.

4.3 Modelação dos pilares

Os pilares são definidos através de elementos barra em que a secção constituinte é

caracterizada pelos materiais não lineares já descritos anteriormente. Nas definições gerais do

programa define-se o valor de recobrimento .

Cada elemento-barra é do tipo Inelastic Force-Based Frame Element em que a análise se

baseia numa imposição de variação de esforços lineares ao longo do elemento. Por outro lado,

existe um segundo método de análise Inelastic Displacement-Based Frame Element onde se

impõe ao elemento uma variação linear de curvatura. Tratando-se de uma análise não-linear,

prevê-se que a variação de curvaturas não seja linear pelo que se põe de parte esta análise.

De forma a apresentar uma boa compatibilidade com o modelo já criado no Sap2000, utilizam-

se as coordenadas dos nós constituintes dos pilares desse mesmo modelo para definir os nós

dos pilares do modelo não-linear. Os nós constituintes do tabuleiro são ignorados mantendo

unicamente os nós de intersecção deste com os pilares centrais. A nomenclatura dos

elementos baseia-se naquela utilizada na modelação elástica e apresentada na Figura 3.1,

pelo que se cria e posiciona-se cada elemento nos pares de nós que os delimitam. O elemento

rígido que liga o topo de cada pilar ao centro de gravidade do tabuleiro é definido por um

elemento elástico perfeito com rigidez axial e de flexão de e ,

61

respectivamente. Na Figura 4.6 representa-se os elementos dos pilares modelados no

SeismoStruct.

Figura 4.6 - elementos dos pilares no SeismoStruct

4.4 Modelação do tabuleiro

Como já se referiu, considera-se um comportamento elástico linear por parte do tabuleiro pelo

que o mesmo é modelado com base em elementos elásticos lineares que transmitem um

comportamento equivalente aos pilares em estudo. Os tramos centrais, localizados entre

pilares, são modelados no SeismoStruct através de elementos elásticos do tipo barra de rigidez

equivalente enquanto os tramos exteriores aos pilares são modelados através de molas de

rotação com liberdade de t ranslação. A massa do tabuleiro é dividida em quatro parcelas: três

dessas parcelas são consideradas no topo de cada um dos três pilares e a parcela referente à

massa restante é associada a um ponto exterior à estrutura ao nível do tabuleiro e com

deslocamentos horizontais restringido aos deslocamentos do topo dos três pilares.

Os tramos centrais são assim criados com base numa classe de elemento do tipo Elastic

Frame Element em que se define uma rigidez axial de e valor nulo para a

massa. Para determinar a sua rigidez de flexão, analisa-se individualmente este tramo no

Sap2000 com as condições de apoio encastrado-apoiado aplicando um momento flector de

no apoio com liberdade de rotação obtendo-se nesse mesmo apoio uma rotação

Análise Estática não Linear

62

de . De forma a dotar o novo elemento equivalente da mesma rigidez de

rotação, a sua rigidez de flexão é dada por:

(4.3)

Para modelar a influência dos tramos exteriores no comportamento dos pilares, aplica -se uma

mola com rigidez de rotação elástica no topo dos pilares 2 e 4. Essa rigidez é obtida através do

Sap2000 a partir de uma análise isolada dessa subestrutura constituída pelos tramos 1 e 2

(com a mesma geometria dos tramos 5 e 6). Na ligação ao pilar liberta -se a rotação e impede-

se o deslocamento vertical. Aplicando um momento de obtem-se uma rotação de

. A rigidez de rotação da mola é dada por:

(4.4)

Por fim, no que diz respeito à massa do tabuleiro, aplica-se nos pilares a massa respeitante ao

peso transferido do tabuleiro para o pilar numa análise estática do peso próprio. Para tal, com

auxílio do Sap2000, isola-se o tabuleiro e verificam-se as reacções transmitidas aos três pilares

e as reacções restantes. Na Figura 4.7 mostram-se os valores obtidos.

Figura 4.7 – Distribuição do peso próprio do tabuleiro [kN]

Tendo a distribuição de reacções referentes ao peso próprio da estrutura em cada pilar (e

apoio), calculam-se as massas que geram essas forças. As massas referentes às cargas

transmitidas aos pilares estruturais são discriminados enquanto os valores obtidos para os

outros apoios são aglomerados numa só parcela a ser modelada exteriormente à estrutura.

Tabela 4.3 - Massas equivalentes do tabuleiro

Pilar 2 26810,50 2735,77

Pilar 3 29303,28 2990,13

Pilar 4 26810,50 2735,77

Restante 35922,51 3665,56

Total 112422,63 11471,70

63

O ponto associado à massa restante é colocado a 50 metros afastado do pilar 2 e é ligado ao

mesmo por um elemento axialmente rígido e com rigidez de flexão nula de forma a não

interferir com a rotação do pilar 2.

De forma a validar o comportamento dinâmico do modelo criado no SeismoStruct analisam-se

os períodos próprios do mesmo. A análise diz respeito ao comportamento da estrutura numa

fase inicial da relação constitutiva de todos os materiais, na qual se pode considerar um

comportamento elástico onde a rigidez é máxima como já foi referido em 3.3. Nesta análise

dispensa-se o uso de armadura de flexão no modelo do SeismoStruct visto que os pilares

estão comprimidos. Os valores de período são comparados com aqueles verificados no modelo

do Sap2000. É importante notar que o tabuleiro está simulado no SeismoStruct através de um

elemento equivalente e a sua massa concentrada no alinhamento dos pilares pelo que os

modos com participação vertical não devem ser considerados por não representarem a

realidade dinâmica da estrutura o que leva a reduzir os modos em análise, apenas ao primeiro

modo. Os valores obtidos nas duas análises apresentam-se na Tabela 4.4.

Tabela 4.4 - Período fundamental do modelo do SeismoStruct

Sap2000 [s] SeismoStruct [s] Diferença [%]

1.41 1.37 2.78

A divergência entre os períodos dos dois modelos pode estar relacionada com o facto dos

elementos em betão do pilar já estarem solicitados pelo peso próprio da estrutura que

suportam o que implica que a rigidez tangente dependa da compressão a que cada sec ção

está sujeita. No entanto, esta diferença considera-se irrelevante no contexto da estrutura

global, validando assim o modelo inelástico da ponte no SeismoStruct.

4.5 Determinação dos modelos de estudo

Como já se referiu a análise não linear é feita para várias distribuições de armadura a adoptar

nos pilares da ponte com o objectivo de fazer um estudo de sensibilidade da influência da

rigidez global da estrutura e da capacidade de absorver deslocamentos na resposta às acções

sísmicas.

Escolheram-se quatro modelos de estudo muito distintos e que se considera importante

analisar. O primeiro, e aquele com o qual se comparam os outros três casos, diz respeito à

distribuição de armaduras calculada pela análise elástica no capítulo anterior segundo os

critérios previstos no EC8. Essa distribuição é caracterizada por uma alta taxa de armadura no

pilar 4 e baixa taxa de armadura nos restantes pilares. Esta discrepância de armadura verifica-

se, como já foi referido, pois o pilar curto apresenta uma rigidez elástica quase cinco vezes

Análise Estática não Linear

64

superior à rigidez individual dos outros pilares pelo que se pode dizer que é o elemento

responsável pela resistência às forças de inércia longitudinais. A distribuição de armadura ao

longo do pilar 4 é considerada constante de forma a desprezar factores relacionados com

variações discretas de armaduras entre os vários elementos do modelo analítico do

SeismoStruct que pode levar a resultados irrealistas. A armadura a considerar diz respeito

àquela calculada para a secção I, a mais condicionante do pilar, ou seja, 192Φ32. Nos pilares 2

e 3 adopta-se uma armadura de 64Φ25 referente à secção inferior destes pilares conforme

calculado no capítulo anterior para esses pilares. Com base na nomenclatura definida em 1.2,

este modelo é denominado por b.b.A.A armadura é distribuída simetricamente nos dois banzos

das secções nos contornos dos mesmos. Não sendo a distribuição mais fiel à verdadeira

distribuição nos núcleos, é uma opção que se está disposto a seguir e que se pode associar a

um erro similar a erros cometidos na modelação de secções equivalentes.

Analisa-se um segundo modelo do tipo A.A.A. onde se adopta uma alta quantidade de

armadura nos pilares 2 e 3. O objectivo é verificar a influência da rigidez desses pilares no

comportamento global da estrutura. Sendo o modelo mais rígido que se analisa, é expectável

que seja o de menor período e consequentemente, menores deslocamentos. Neste modelo,

adopta-se uma armadura longitudinal de 192Φ32 em todos os pilares.

Por oposição à distribuição do modelo b.b.A., opta-se por testar um modelo do tipo A.A.b., ou

seja, com baixa quantidade de armadura no pilar 4 e alta nos restantes pilares de forma a

explorar a influência da diminuição de rigidez global da estrutura que permite um aumento de

período. Este modelo é aquele que, à partida, menos se adequa à ponte em análise. No

entanto, é analisado para explorar o máximo possível a plasticidade do pilar 4, forçando uma

maior participação dos restantes. É expectável que o pilar 4 mantenha uma participação

bastante relevante. Adopta-se no pilar 4 uma armadura longitudinal de 64Φ25 e nos pilares

restantes 192Φ32.

De forma a diminuir ao máximo a rigidez da estrutura, considera-se um modelo do tipo b.b.b.

com baixa quantidade de armadura em todos os pilares. Este modelo mostra-se o mais

vantajoso economicamente mas a sua segurança tem de ser devidamente verificada pois é

expectável que seja aquele que apresente maior patamar de plastificação. Adopta -se em todos

os pilares uma armadura longitudinal de 64Φ25.

As distribuições de armadura referente aos quatro modelos de estudo são apresentadas na

Tabela 4.5.

65

Tabela 4.5 - Distribuição das armaduras longitudinais nas secções inferiores dos pilares

Modelo Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4

b.b.b.

A.A.b.

b.b.A.

A.A.A.

Análise Estática não Linear

66

4.6 Determinação das Curvas de Capacidade

Neste capítulo procede-se a uma análise estática não linear de cada modelo através do

SeismoStruct. Esta análise consiste na aplicação incremental de uma força (ou conjunto de

forças) lateral monitorizando-se o deslocamento correspondente da estrutura num ponto de

controle característico do movimento. Como já se viu anteriormente, o ponto de controlo

localiza-se ao nível do tabuleiro já que, no modo fundamental de vibração, a deformada da

estrutura se baseia na deslocação longitudinal do mesmo. Escolhe-se, como nó de controlo o

topo do pilar 4 (nó 4-20); a escolha podia ter recaído sobre qualquer outro nó pertencente ao

tabuleiro visto que o mesmo é axialmente rígido. Da mesma maneira, a força incremental que

deve ser aplicada ao nível do tabuleiro, é aplicada nesse mesmo nó. O programa procede a

uma análise iterativa baseada em incrementos constantes do deslocamento de controlo

calculando o respectivo incremento de força, considerando as relações constitutivas tangente

dos materiais. Refira-se que o SeismoStruct tem em consideração os efeitos de segunda

ordem. Cada iteração é, no fundo, uma análise da estrutura para a rigidez tangente de cada

material. Como tal, devem considerar-se incrementos de deslocamentos pequenos para obter

melhores resultados, pelo que na análise de todos os modelos se considera .

O programa considera, por pré-definição, como critério de convergência entre as várias

iterações que efectua, uma tolerância nos deslocamentos calculados, sendo de em

translacção e de em rotação. A análise termina quando o mesmo não consegue

atingir essa tolerância o que pode dever-se à rotura definitiva das fibras ou simplesmente a um

problema de convergência. Isto leva a que a análise possa terminar numa fase de degradação

da carga situação esta que não se pode admitir num dimensionamento apropriado. Assim,

nesta dissertação, admite-se que o critério de paragem é dado pela rotura por flexão de alguma

secção dos pilares. Embora este critério não seja suficiente para impedir a capacidade de

suportar cargas verticais, já que os pilares são bi -encastrados, a rotura de uma das suas

secções, seja por extensão última do aço ou esmagamento do betão, reduz drasticamente a

capacidade de esforço t ransverso deixando de fazer sentido continuar a análise baseada em

deslocamentos. Embora não sendo do âmbito de estudo desta dissertação, é importante referir

que o esforço transverso actuante é dado pela variação de momento flector ao longo do pilar

que sofre uma grande redução devido ao momento nulo na secção que atingiu a rotura. Por

outro lado, a capacidade de transmissão de esforço transverso nessa secção deve ser alvo de

um estudo localizado de forma a indagar se a secção reduzida dada pela sua zona comprimida

e as armaduras restantes suportam a resultante de forças devido às cargas actuantes. Na

Figura 4.8 apresentam-se as curvas de capacidade obtidas através do SeismoStruct para os

quatro modelos de estudo. Por observação dessa mesma figura, é possível fazer uma breve

análise comparativa entre os quatro modelos de estudo analisados. Pode considerar-se que as

curvas de capacidade se dividem em três fases aparentes de carregamento: fase elástica, fase

de fendilhação e fase plástica. Na primeira fase, observa-se que as rigidezes iniciais dos quatro

67

modelos são muito semelhantes. Isto acontece porque a diferença de armadura não altera a

inércia das secções enquanto não se atinge a descompressão. Quando se atinge este estado

no pilar 4, verifica-se uma perda de rigidez em todos os modelos de estudo. Considera-se que

se inicia a segunda fase de carregamento. No entanto, destacam-se duas situações: os

modelos de estudo com o pilar 4 altamente armado (b.b.A. e A.A.A.) não perdem tanta rigidez

como os outros; por outro lado, a quantidade de armadura dos pilares secundários não altera

significativamente a rigidez global. Isto indica que esta segunda fase da solicitação da ponte

(que ainda se pode considerar em regime elástico já que nenhum elemento chegou à extensão

de cedência) está muito dependente do pilar curto como se verificou na análise elástica.

É importante referir-se a terceira fase do carregamento caracterizado por apresentar

plastificação em duas das secções do pilar 4. É nesta fase que os pilares altos se destacam no

comportamento da ponte. Tendo o pilar 4 perdido capacidade de suportar incremento de carga,

a rigidez depende essencialmente dos restantes pilares. Este fenómeno é facilmente verificado

nas curvas de capacidade dos quatro modelos de estudo já que aqueles com alta taxa de

armadura nos pilares maiores (A.A.b. e A.A.A) apresentam rigidezes muito semelhantes, como

se pode verificar nas linhas paralelas (roxas) apresentadas a t racejado na Figura 4.8. Por outro

lado, as rigidezes menores dos outros modelos de estudo (b.b.b. e b.b.A.) são bastante

próximas entre si como comprova através das linhas paralelas (castanhas).

Figura 4.8 - Curvas de Capacidade global dos quatro modelos de estudo

Por fim, deve constatar-se que o aumento de rigidez do pilar 4 permite explorar a capacidade

de deformação da ponte. No entanto, para os modelos de estudo com a mesma taxa de

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 δt [m]

b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.

V [kN]

Início da terceira fase

Início da segunda fase

Análise Estática não Linear

68

armadura nesse pilar, a diminuição da rigidez dos restantes pilares leva ao mesmo efeito. Este

fenómeno está relacionado com a influência da rigidez dos vários pilares na capacidade de

redistribuição de esforços e na capacidade de deformação global da estrutura. Assim, a

diminuição de rigidez relativa do pilar 4 perante o resto da estrutura leva a uma configuração da

deformada que se aproxima da deformada de um elemento encastrado: encastrado-deslizante.

Da mesma maneira, o aumento dessa rigidez relativa leva a uma deformada em consola. Pode

verificar-se pela Figura 4.9 que, para os mesmos deslocamentos de topo, a deformada do

primeiro caso apresenta menor raio de curvatura e consequentemente, maior curvatura:

. A maior taxa de armadura no pilar 4 rigidifica-o levando a uma deformada do tipo 2

permitindo que, para as mesmas curvaturas, absorva maiores deslocamentos de topo. Da

mesma forma, a diminuição da armadura dos pilares secundários leva a este mesmo resultado

já que, induz uma diminuição da rigidez do sistema e consequentemente a um aumento da

rigidez relativa do pilar 4. Por outro lado, como já referido em 2.1.3, a quantidade de armadura

não altera muito a curvatura de rotura (desde que a sua distribuição na secção seja constante)

pelo que a rotura das secções do pilar 4 está altamente dependente das curvaturas nelas

verificadas e pouco dependente das taxas de armadura.

Figura 4.9 - Influência da rigidez relativa do pilar na sua curvatura

4.7 Cálculo dos Deslocamentos Objectivos

Depois de se ter apresentado a análise não linear dos modelos, deve determinar -se o estado

de solicitação a que cada um é sujeito se for actuado pela acção sísmica de projecto. Para tal

determinam-se os Deslocamentos Objectivos (D.O.) pelo método N2 já introduzido em 2.8.

Este método prevê a utilização de uma estrutura elástica de um grau de liberdade equivalente

à estrutura através da qual se determinam os deslocamentos objectivos.

A massa do sistema equivalente diz respeito à massa dinâmica da estrutura que engloba todo

o tabuleiro e a massa activa dos pilares. Não sendo de determinação directa, considera -se que

a massa activa dos pilares diz respeito ao desenvolvimento dos mesmos sobre os pontos de

inflexão correspondente à deformada do modo fundamental, já que essa massa contribui

activamente para essa deformada. Quanto à massa dos pilares abaixo dos pontos de inflexão é

69

considerada massa estática já que essas zonas são equiparadas a consolas que resistem ao

movimento da estrutura e, como tal parte das fundações. Usando o Sap2000, determina-se as

secções de momentos flectores nulos de cada pilar quando toda a estrutura está actuada por

uma força ao nível do tabuleiro. Apresenta-se, na Figura 4.10 a sua localização e o

comprimento dito estático.

Figura 4.10 – Comprimento estático dos pilares e Pontos de Inflexão

Os valores correspondentes às massas activas e estáticas dos três pilares são apresentados

na Tabela 4.6.

Tabela 4.6 - Parcelas estáticas e activas dos pilares

Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4

Total

Activo Estático Activo Estático Activo Estático

6562,5 11527,4 7664,8 11779,1 2786,1 3040,2 43360,1

669,6 1176,3 782,1 1201,9 284,3 310,2 4424,5

Com isto, e por consulta da Tabela 4.3, calcula-se a massa do sistema equivalente:

(4.5)

A área sob a curva de capacidade da cada modelo é obtida através da soma das áreas dos

trapézios definidos por dois pontos consecutivos dessa mesma curva e o eixo das abcissas

calculada com o auxílio do Excel. Conhecendo a energia correspondente ao sistema

equivalente , calcula-se o deslocamento de cedência e o período equivalente at ravés

das equações (2.38) e (2.39), respectivamente. Os deslocamentos objectivos dos modelos

são iguais aos deslocamentos elásticos dos respectivos sistemas equivalentes pelo que se

obtêm directamente através das equações do espectro de deslocamentos elásticos. Na Tabela

4.7 apresentam-se os valores obtidos para os quatro modelos.

O espectro ADRS da Figura 2.11 pode ser transformado num espectro força-deslocamento

através da alteração do espectro de acelerações para um espectro de forças geradas por

essas mesmas acelerações na massa do sistema equivalente.

36,5 m 37,5 m

13,8 m

M

Análise Estática não Linear

70

Tabela 4.7 – Deslocamentos elásticos obtidos através do método N2

Modelos

b.b.b. 2982,7 0,296 11999,8 0,095 126463,9 2,031 0,222

A.A.b. 3234,3 0,294 14243,6 0,134 106395,8 2,214 0,222

b.b.A. 7549,5 0,456 19648,2 0,144 136880,5 1,952 0,217

A.A.A. 8251,0 0,452 23577,9 0,204 115511,5 2,125 0,222

O espectro referente à ponte em análise é apresentado na Figura 4.11.

Figura 4.11 - Espectro elástico força-deslocamento

Assim, os resultados apresentados na Tabela 4.7 podem ser verificados através do

procedimento gráfico proposto pelo método N2. A intercepção da linha de rigidez equivalente

de cada modelo com este espectro representa o deslocamento elástico objectivo e,

automaticamente o deslocamento objectivo de cada modelo . Na Figura 4.12

apresentam-se as curvas bilineares obtidas para cada um dos quatro modelos de estudo em

paralelo com as curvas de capacidade que lhes deram origem. Na Figura 4.13 são

representadas as curvas de capacidade das quatro estruturas e as linhas de rigidez

equivalente correspondentes, em paralelo com o espectro ADRS apresentado na Figura 4.11.

É importante referir que, sendo este espectro referente ao comportamento elástico de sistemas

de 1 grau de liberdade, a sua intercepção com as curvas de capacidade não têm sentido físico.

No entanto, para os modelos como períodos equivalentes superiores a , as mesmas cruzam

o espectro ADRS num patamar de deslocamentos constantes pelo que, simplificadamente,

pode determinar-se o deslocamento objectivo através da intercepção directa das curvas de

capacidade com o espectro ADRS.

T = 4 s

TC = 0,6 s

TD = 2 s

T = 1 s

T = 1,5 s

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

V [kN]

Sde [m]

71

Figura 4.12 - Bilinearização das curvas de capacidade

Pela análise da Figura 4.12 pode verificar-se que também as curvas bilineares reflectem a taxa

de armadura de cada pilar. Como tal, comparando os modelos com a mesma taxa de armadura

no pilar 4, deve reparar-se que os modelos que apresentam alta taxa de armadura nos pilares

secundários (A.A.b. e A.A.A.), além de apresentarem maior capacidade resistente, como era de

esperar, dão origem a curvas bilineares com menor rigidez equivalente. Esta constatação está

de acordo com o que já foi dito acerca da influência da taxa de armadura dos pilares altos para

o comportamento global da estrutura que, como elementos secundários de resistência, só

participam activamente no comportamento da estrutura depois da cedência do pilar 4. Como

tal, o aumento da sua rigidez implica, de facto, um aumento de capacidade resistente da

estrutura, no entanto, tem o inconveniente de esse aumento ser de baixíssima rigidez que se

faz sentir na diminuição de rigidez elástica do respectivo sistema equivalente. Em termos de

comportamento sísmico, interessa que a estrutura tenha, além de boa capacidade de permitir

de deslocamentos, capacidade de acumular energia transmitida pelo sismo que, como já foi

referido, é dada pela área sob a respectiva curva de capacidade. Nessa medida, o ideal seria

uma curva de capacidade rígido-plástica onde a estrutura entrava em comportamento plástico

imediatamente no início da solicitada. Esse comportamento é impossível de se obter na medida

em que está bastante dependente das características dos materiais. No entanto, pelo que se

observa na Figura 4.12 é possível aumentar a rigidez elástica equivalente das estruturas

através da alteração da distribuição de armadura dos seus pilares.

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 δt [m]

b.b.b. A.A.b.

b.b.A. A.A.A.

V [kN]

72

Figura 4.13 – Deslocamentos objectivos dados pelo método N2

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

δt [m]

b.b.b A.A.b

A.A.A b.b.A.

V [kN]

Espectro ADRS

δA.A.A.=δA.A.b.=δb.b.b.=0,222m δb.b.A.=0,218 m

73

Introduz-se assim um factor que se entende pertinente nesta situação em particular e que vem

de encontro com a classificação da estrutura segundo a sua eficiência para suportar

comportamento plástico. Baseia na comparação das rigidezes equivalente e secante última da

curva bilinear dos modelos de estudo:

(4.6)

Embora este factor diga respeito à curva bilinear do sistema equivalente, o mesmo traduz a

evolução da segunda fase da curva de capacidade em relação à terceira e é pertinente na

medida em que traduz a influência dos pilares secundários no comportamento da estrutura

sendo que quanto maior o valor obtido, maior é a capacidade de acumular energia plástica

para a mesma capacidade resistente e menor a influência dos pilares secundários. Na Tabela

4.8 apresentam-se os valores do factor plástico obtido para os quatro modelos de estudo.

Tabela 4.8 - factor plástico

Modelos

b.b.b. 126464 40539 3.12

A.A.b. 106396 48447 2.20

b.b.A. 136880 43087 3.18

A.A.A. 115512 52163 2.21

Como se pode verificar na tabela anterior, os modelos de estudo altamente armados nos

pilares secundários (A.A.b. e A.A.A.) apresentam menor o que indica que os mesmos não

exploram tão eficientemente a plasticidade possível da estrutura. Mais à frente mostra-se que,

para estes modelos, os pilares secundários comportam-se em regime praticamente elástico.

Deve verificar-se igualmente que, a taxa de armadura do pilar 4 é praticamente irrelevante para

o valor do factor plástico. No entanto verifica-se que os modelos de maior taxa de armadura

neste pilar apresentam um pequeno aumento desse valor já que o comportamento pós -

cedência da estrutura está mais dependente desse pilar.

Por outro lado, para situações em que é válida a hipótese do Equal Displacement, pode

relacionar-se o método N2 com a análise elástica por espectro de resposta de

dimensionamento. Como tal, os coeficientes de comportamento e de ductilidade referentes ao

método N2 são calculados com base nos mesmos conceitos que foram apresentados em 2.7.

Análise Estática não Linear

74

Como tal, o coeficiente de comportamento é dado por e o coeficiente de

ductilidade por .

representa o deslocamento da curva bilinear para o valor

. Os valores obtidos para cada modelo são apresentados na Tabela 4.9.

Tabela 4.9 – Coeficientes de comportamento e ductilidade obtidos através do método N2

Verifica-se que, tanto os coeficientes de comportamento como os de ductilidade diminuem com

o aumento da taxa de armadura na ponte. Este fenómeno está de acordo com o que já foi

referido em 2.7 já que aqueles estruturas mais rígidas não exploram tanto a ductilidade dos

seus elementos, pelo que atingem os mesmos deslocamentos com o aumento dos esforços

necessários e consequente menor patamar plástico. Como era de esperar, cada modelo

apresenta o mesmo coeficiente de comportamento e de ductilidade. Essa igualdade pode ser

observada graficamente por semelhança de triângulos.

Desde já, deve referir-se que o coeficiente de comportamento arbitrado na análise elástica com

base no EC8-2 ( ) é pouco representativo desta ponte já que para o modelo b.b.A. o

coeficiente de comportamento fica por metade desse valor ( ). Este valor é atribuído pelo

EC8-2 a um sistema de pêndulo invertido, pelo que reforça a hipótese da capacidade de

resistência da ponte não depender dos pilares secundários. Nesta medida, sugere-se que a

determinação do coeficiente de comportamento por parte do EC8 -2 deva ter em consideração

a participação dos vários pilares (calculada elasticamente), além do tipo de sistema estrutural

da ponte já considerado por esse regulamento.

4.8 Análise comparativa dos modelos de estudo

Os modelos apresentados nesta dissertação foram idealizados com o objectivo de se explorar

a relação de rigidezes dos vários elementos verticais entre si e em relação ao tabuleiro. Nesta

secção apresenta-se uma análise comparativa entre os esforços e deformações obtidas para

os quatro modelos de estudo e algumas conclusões sobre vantagens e desvantagens e

apresentam-se algumas sugestões para melhorar o funcionamento estrutural da ponte.

Importa, desde já, fazer uma apresentação global do estado dos elementos das estruturas

durante a evolução do respectivo carregamento. Na Figura 4.14 apresentam-se as curvas de

Modelos

b.b.b. 0,093 28109,6 0,222 11707,2 2,40 2,40

A.A.b. 0,124 23649,0 0,222 13236,9 1,79 1,79

b.b.A. 0,135 29690,9 0,217 18505,8 1,60 1,60

A.A.A. 0,174 25675,1 0,222 20116,6 1,28 1,28

75

capacidade dos quatro modelos. Representa-se com um círculo o início da cedência das

armaduras nas secções críticas. Representa-se igualmente o estado de força-deslocamento

objectivo de cada modelo. A cedência das secções do pilar 4 é a primeira a dar-se

independentemente dos modelos pelo que os primeiros dois círculos de cada curva de

capacidade representam esses acontecimentos.

Figura 4.14 – Curvas de capacidade dos modelos de estudo

Verifica-se que os modelos de estudo com o pilar 4 altamente armado (b.b.A. e A.A.A) atingem

a cedência da primeira secção para maiores deslocamentos que os restantes modelos. Este

facto deve-se em grande medida ao efeito da maior rigidez relativa do pilar 4. Este fenómeno

leva a que, como era de esperar para um comportamento do tipo consola, a rotura se dê na

secção inferior do pilar 4. Comparando os casos em que o pilar 4 apresenta a mesma taxa de

armadura, pode-se constatar que a cedência se dá aproximadamente na mesma fase do

carregamento o que comprova que esse pilar controla o movimento da estrutura. O aumento de

400% de armadura neste pilar leva a um aumento de 35% de deslocamento último. Por outro

lado, a diminuição de armadura de 400% nos pilares secundários leva a um aumento de 1% no

deslocamento de rotura. Observando o comportamento dos modelos correspondentes aos

pilares secundários altamente armados (A.A.b. e A.A.A), verifica-se que os mesmos

apresentam um comportamento elástico até uma fase muito avançada do carregamento sendo

que só o caso de estudo A.A.A. verifica a cedência das armaduras das secções desses

elementos antes da rotura do pilar 4. No entanto, esta elevada taxa de armadura não leva a

maior capacidade de absorver deslocamentos já que não impede a rotura do pilar 4 pelo que a

única vantagem (ou desvantagem) desta alta taxa de armadura está na maior capacidade de

suportar forças de inércia da estrutura. No entanto, esse aumento provoca incrementos de

esforços desnecessários em todos os elementos da estrutura não reduzindo os deslocamentos

espectrais dados pelo método N2 já que se os seus períodos se encontram no patamar de

deslocamentos constantes.

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 δt[m]

b.b.b.

A.A.b.

b.b.A.

A.A.A.

V [kN] D.O.

Análise Estática não Linear

76

Pode concluir-se que, a taxa de armadura a adoptar para estes pilares deve ser mínima, a

menos que o seu aumento leve a uma diminuição do período equivalente para valores

inferiores a . No entanto, é importante ter em conta que a rigidez relativa pilar-tabuleiro

aumenta com a armadura do pilar, pelo que leva à diminuição de curvaturas para o mesmo

deslocamento do tabuleiro. Deve referir-se que a cedência dos pilares secundários se dá nas

secções de topo o que não é aconselhado na boa prática de dimens ionamento na medida em

que, para além de serem secções de menos acessibilidade para reparação, a estrutura perde

mais integridade do que se a cedência fosse na base dos pilares. Embora estas secções

apresentem menor momento flector, a sua menor secção torna-as mais condicionante. Como

tal, para um dimensionamento sísmico adequado, deve garantir -se a primeira cedência na base

que, para esta estrutura podia ser conseguida evitando o aumento de secção até à base.

Considerando o comportamento bastante aproximado entre os pilares 2 e 3, comparam-se, de

seguida, os valores de corte basal transmitido aos pilares 3 (idêntico ao pilar 2) e 4

representando-se na Figura 4.15 a participação percentual de cada pilar na resistência global

da ponte.

Figura 4.15 - Factor de participação dos pilares estruturais

(traço contínuo-pilar 4 ; tracejado-pilar 3)

Esta figura é bastante elucidativa na representação da influência da taxa de armadura dos

pilares secundários no comportamento do pilar 4 na terceira fase de carregamento. Como se

verifica, a participação do pilar 4 diminui nos modelos A.A.b. e A.A.A. e mantém-se constante

nos restantes modelos. No entanto, deve reparar-se na incondicional importância do pilar 4

independente da distribuição de armadura nos 3 pilares estruturais, sendo que o mínimo de

participação que ele representa é de 46% no modelo A.A.b.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 δt[m]

A A b AAA

b b A b b b

participação [%]

D.O.

77

Analisando agora o pilar 4, apresenta-se na Figura 4.16 o diagrama momento-curvatura das

secções críticas desse pilar. A análise refere-se ao modelo A.A.b. já que é o caso de estudo

que apresenta menor rigidez relativa do pilar 4 em relação à restante estrutura. Verifica-se que,

embora a secção 4-S apresente maior área transversal, está sujeita a um esforço axial inferior

à secção 4-I pelo que apresenta menos rigidez de flexão e menor resistência ao momento

flector. No Deslocamento Objectivo, a secção 4-S é solicitada a menor momento flector que a

secção 4-I, mas apresenta maior curvatura. As curvaturas de cedência nas secções 4-I e 4-S

são e , respectivamente. A secção 4-S atinge a cedência a menor

curvatura já que tem maior largura de compressão e está solicitada com menor esforço axial.

Estes factores levam a uma diminuição da profundidade da linha neutra e consequentemente a

uma menor curvatura necessária para atingir a extensão de cedência nas armaduras.

Figura 4.16 - Diagrama momento-curvatura nas secções críticas do pilar 4 - A.A.b.

Figura 4.17 - Diagrama momento-curvatura na secção 4-I

0

20

40

60

80

100

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 χ [m-1]

4-S 4-I

V [x103 kN]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02

χ [m-1]

b b b A A b

b b A AAA

V [x103 kN]

Estado da

secção para

o D.O.

Estado da

secção para

o D.O.

Análise Estática não Linear

78

Por outro lado, já se referiu que o aumentar da armadura do pilar 4 leva a uma diminuição de

curvatura para um mesmo deslocamento de topo. No entanto, é importante verificar a influência

desse aumento ao nível da secção. Desta forma, apresenta-se na Figura 4.17 os diagramas

momento-curvaturas verificada na secção 4-I para os quatro modelos de estudo.

Deve analisar-se a figura num sentido comparativo entre secções com alta e baixa taxa de

armadura. Em primeiro lugar, deve referir-se que as curvas são idênticas para os modelos com

a mesma taxa de armadura do pilar 4. Além disso, é importante referir que a curvatura

referente ao Deslocamento Objectivo ( para os quatro modelos) é relativamente

inferior para os modelos de alta taxa de armadura. Este fenómeno já foi analisado

anteriormente e representada na Figura 4.9.

Figura 4.18 – Tensões ao nível da secção 4-I na cedência

(traço continuo-betão; tracejado-aço)

Na Figura 4.18 apresenta-se o desenvolvimento das tensões do aço e do betão ao nível da

secção 4-I na sua cedência para os modelos b.b.A. e b.b.b. que diferem da taxa de armadura

no pilar 4. A secção 4-I do modelo b.b.A. apresenta uma taxa de armadura de 1,8% enquanto a

mesma secção do modelo b.b.b. apresenta uma taxa de armadura de 0,4%. A estes estados

de tensões estão associados momentos e para os

modelos b.b.A. e b.b.b., respectivamente. Por outro lado, as curvaturas correspondentes são

de e . Pelo que se conclui que um aumento de quase 400%

da taxa de armadura permite um aumento de 80% no momento de cedência e apenas 7% da

curvatura de cedência. Esta diferença de curvaturas, no entanto, é insignificante num contexto

em que se considera todo o patamar plástico que a secção permite absorver. Conclui-se que a

taxa de armadura pouco influencia a curvatura de cedência para uma mesma distribuição da

mesma tal como já tinha sido definido por Brito [9].

É importante verificar a importância da cedência da segunda camada de armaduras nas quatro

curvas analisadas. A mesma ocorre a uma curvatura de nas secções altamente

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

profundidade [m]

σ [Mpa]

b.b.b.

b.b.A.

79

armadas e a para as restantes secções. Como se pode verificar na Figura 4.17,

os diagramas momento-curvatura referentes a todas as secções apresentam uma elevada

quebra de rigidez para essas curvaturas. O mesmo se pode verificar igualmente na Figura 4.14

onde a quebra de rigidez não se dá imediatamente no deslocamento relativo ao início de

cedência das secções. Isto deve-se à grande contribuição dessas mesmas armaduras depois

da cedência da primeira camada pelo que a ocorrência da sua cedência deveria ser

considerada como o verdadeiro início do patamar plástico. No entanto, deve notar-se que esta

quebra não deve ser tão acentuada no caso das secções originais na medida em que as

armaduras interiores não estão tão concentradas numa única linha pelo que a cedência dessas

secções deve ser tomada como a cedência do primeiro varão.

Também neste caso se verifica uma pequena diferença de curvaturas no contexto global do

patamar plástico pelo que se pode considerar a independência da curvatura de cedência e a

taxa de armadura da secção.

Apresenta-se de seguida o estado de tensão nas secções 4-I para a rotura do pilar. Tenha-se

em atenção que no caso do modelo b.b.b. a rotura da secção 4-S dá-se primeiro, no entanto,

apresenta-se o estado de rotura da secção 4-I desse modelo tendo em mente que se refere a

um estado pós-rotura.

Figura 4.19 - Tensões ao nível da secção 4-I na rotura

(traço continuo-betão; tracejado-aço)

Este estado é caracterizado pela rotura das armaduras extremas por tracção ( ) e a

cedência da maior parte das restantes armaduras. Embora seja uma rotura pouco usual (e que

a maior parte dos regulamentos não considera), pode constatar-se que, para pequenos valores

de , a linha neutra não atinge grande profundidade, o que induz pequenas extensões no

betão. De facto, o esforço normal reduzido verificado nesta secção é de , um valor

considerado baixo tendo como referência as tabelas de betão armado propostas por Gomes et

al. [18]. Essas tabelas foram idealizadas para secções rectangulares com armadura distribuída

nas extremidades e pode verificar-se que, para valores de esforço normal reduzidos de

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

profundidade [m]

σ [Mpa]

b.b.b.

b.b.A.

Análise Estática não Linear

80

, a rotura da secção sujeita a um momento flector pode dar-se ou pelo esmagamento

do betão ou tracção do aço. No entanto, para valores de , verifica-se rotura por tracção

do aço, o que indica uma profundidade da linha neutra inferior a 20%. É certo que a idealização

destas tabelas não se teve em consideração a grande ductilidade do aço que pode ir até

valores 7 vezes superiores. No entanto, também não estão contabilizados os efeitos do

confinamento que, além de dotar o betão de maior capacidade de deformação, possibil ita maior

capacidade resistente. também que o betão apresenta extensões de pelo que já se

encontra numa fase de degradação de carga.

Os momentos últimos são de e para os modelos

b.b.A. e b.b.b., respectivamente. As curvaturas correspondentes são e

.

O momento resistente pós-cedência cresce para no caso da secções

altamente armadas e para nas secções restantes. O coeficiente de

ductilidade em curvatura é e para as secções alta

e baixamente armadas, respectivamente. Verifica-se que, independentemente da taxa de

armadura, estes valores cumprem as exigência de ductilidade definidas pelo EC8-2, já que

. Para esta boa capacidade de ductilidade, são factores importantes a grande

capacidade por parte do betão de suportar extensões elevadas conferida pelo elevado factor

de confinamento, , mas principalmente dada a geometria da secção que confere um

bom comportamento à flexão composta devido à área de secção afastada entre si.

Por outro lado, sendo que o aumento da taxa de armadura conduz a uma linha neutra mais

profunda, permite maiores curvaturas últimas. Este pressuposto é válido para situações em que

a rotura da secção é condicionada pelas armaduras. No caso do esmagamento do betão ser

condicionante, prevê-se que profundidade de linha neutra leve ao efeito contrário. Para a

secção 4-I, o aumento de quase 400% da taxa de armadura representa um incremento de 4%

da curvatura última.

4.9 Estado da estrutura no Deslocamento Objectivo

Neste capítulo analisa-se o estado das secções críticas de cada modelo nos deslocamentos

objectivos. Foca-se o estudo nas secções mais condicionantes pelo que se analisa as secções

4-I e 4-S do pilar 4. Relativamente aos pilares secundários, apenas se consideram as secções

superiores 2-S e 3-S na medida em que apresentam menor secção transversal e estarem

sujeitas a menor esforço axial.

Na Tabela 4.10 apresenta-se os esforços actuantes e o estado de tensões que se verificam

nas secções superiores dos pilares secundários. Em paralelo, apresentam-se na Tabela 4.11

81

os esforços actuantes e o estado de tensões que se verificam nas secções extremas do pilar 4.

De salientar que as secções de topo dos três pilares (2-S,3-S e 4-S) apresentam a mesma

geometria. A secção 4-I apresenta menor área que estas mas tem a mesma dimensão

transversal pelo que a sua comparação é pertinente.

Tabela 4.10 - Estado das secções críticas dos pilares secundários para o Deslocamento Objectivo

Tabela 4.11 - Estado das secções críticas do pilar 4 para o Deslocamento Objectivo

Importa desde já realçar que, como se verifica nas tabelas, o es forço axial reduzido a q ue os

pilares estão sujeitos não ultrapassa os 10%. Como já se referiu anteriormente, isto leva a

linhas neutras pouco profundas que, no caso em que o pilar 4 é pouco armado, podem descer

aos 7%. Tendo em conta que o recobrimento diz respeito a 2,5% da altura da secção, e que

esse betão não se encontra disponível para resistir às tensões solicitadas já que se destaca

para fora do plano, estes casos devem ser alvo de um estudo mais local que não é do âmbito

desta dissertação. Na Figura 4.20 apresenta-se o desenvolvimento das tensões na secção 4-S

para situações de alta e baixa taxa de armadura no pilar 4.

Modelo Secção

b.b.b. 2-S 64421 -26179,7 2686,1 5,6 0,87 20,3 2,7 -0,69

3-S 67596 -28864,0 2539,1 6,2 0,82 21,7 2,5 -0,70

A.A.b. 2-S 89458 -25853,8 3527,3 5,5 0,47 29,6 1,3 -0,53

3-S 90742 -29063,4 3209,5 6,2 0,45 31,2 1,2 -0,56

b.b.A. 2-S 64048 -26330,6 2677,8 5,6 0,83 20,9 2,5 -0,74

3-S 67283 -28113,3 2516,8 6,0 0,87 21 2,6 -0,79

A.A.A. 2-S 89036 -25994,1 3519,2 5,6 0,47 29,8 1,3 -0,53

3-S 92474 -28297,9 3238,3 6,1 0,47 30,5 1,3 -0,53

Modelo Secção

b.b.b. 4-I 88579 -33504,3

6465,6 9,8 12,63 9,1 44,6 -4,6

4-S 79198 -27965,4 6,0 14,85 7,5 53,5 -4,4

A.A.b. 4-I 88855 -33651,3

6500,1 9,8 12,71 9,1 44,9 -4,7

4-S 79453 -28091,6 6,0 14,98 7,5 54,0 -4,5

b.b.A. 4-I 173561 -34268,6

13310,1 10,0 8,32 14,2 27,7 -4,7

4-S 163683 -28564,6 6,1 6,34 13,4 21,3 -3,4

A.A.A. 4-I 174176 -34420,4

13359,3 10,1 8,74 14 29,2 -4,9

4-S 164443 -28716,3 6,1 6,8 13,2 23,0 -3,6

Análise Estática não Linear

82

Figura 4.20 - Tensões ao nível da secção 4-S para o D.O.

(traço continuo-betão; tracejado-aço)

Mais uma vez confirma-se a baixa solicitação dos pilares secundários tanto para os modelos

em que estão munidos com alta taxa de armadura como para os modelos de baixa taxa de

armadura. Os pilares secundários dos modelos A.A.b. e A.A.A. não atingem a cedência já que

apresentam bastante rigidez face ao tabuleiro. Para os restantes modelos, a secção superior

dos pilares secundários entram em cedência. Na Figura 4.21 apresenta-se graficamente o

estado de extensões para a situação de deslocamento objectivo na secção 2-S nos casos de

alta e baixa taxa de armadura. Note-se que para o modelo b.b.b., as secções estão no início da

cedência.

Figura 4.21 - Tensões ao nível da secção 2-S para o D.O.

(traço continuo-betão; tracejado-aço)

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

profundidade [m]

σ [Mpa]

b.b.b. b.b.A.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Profundidade [m]

σ [Mpa]

b.b.b. A.A.A.

83

Verifica-se nessa figura, que a segunda camada de armaduras dos pilares secundários desse

modelo ainda se encontra em regime elástico, pelo que a secção apresenta uma rigidez de

flexão menor mas ainda considerável. Importa referir que os dois modelos apresentam o

mesmo deslocamento de topo: pelo que a menor curvatura verificada no caso de

maior taxa de armadura se deve à maior rigidez relativa do pilar. Isto leva a concluir que estes

pilares não necessitam de ser armados com alta taxa de armadura, visto que não entram em

regime não linear. No entanto, ao diminuir a taxa de armadura, deve ter-se o cuidado de se

verificar a influência do tabuleiro sobre os pilares na medida em que afecta a sua configuração

de deformada.

Tendo feito uma análise ao nível das secções críticas, apresenta-se de seguida o estado

longitudinal dos pilares. O estudo recai sobre o comprimento das zonas do pilar 4 em que as

armaduras entraram em cedência. Esta medida traduz o comprimento de rótula plástica

formada até se atingir o deslocamento objectivo. O processo de determinação desse

comprimento passa por verificar qual a secção mais afastada da secção crítica (4 -I ou 4-S)

cujas armaduras respeitam . O SeismoStruct discretiza assim, as secções em 5

elementos menores pelo que a precisão dos valores a apresentar está dependente do

comprimento desses elementos que no caso presente não ultrapassam . Apresentam-se

na Tabela 4.12 os comprimentos de rótula plástica para as zonas críticas da base e de topo do

pilar 4.

Tabela 4.12 - Comprimentos de rótulas plásticas

b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.

2,5 2,5 3 3

3,528 3,528 3,528 3,528

Pode verificar-se que, para o caso da zona críticas inferior, a rótula desenvolve-se com o

mesmo comprimento para qualquer taxa de armadura. No entanto, a secção 4-I apresenta

maior curvatura para os modelos de baixa taxa de armadura pelo que se conclui que essas

zonas apresentam maior rotação para o mesmo comprimento de rótula plástica. Verifica-se que

os modelos de alta taxa de armadura desenvolvem um maior comprime nto de rótula plástica na

zona superior do pilar 4.

85

5 Análise Dinâmica não Linear

Neste capítulo apresenta-se uma análise comparativa entre os comportamentos dinâmicos dos quatro

modelos de estudo sujeitos a movimentações de solo através da aplicação de acelerogramas nas

suas bases. A análise por aplicação de acelerogramas na base da estrutura é aquela que leva a

melhores resultados na medida em que simula uma possível acção s ísmica a actuar na estrutura sem

a necessidade de se definir algum processo simplificativo do tipo de acelerações, deslocamentos ou

forças máximas equivalentes. Para que uma análise com tão elevado nível de rigor faça sentido, é da

maior importância ter em linha de conta também as verdadeiras propriedades dos materiais que

apresentam comportamento não linear implicando assim uma análise dinâmica não linear da

estrutura. A maior implicação desta alteração no modo de análise da estrutura relaciona-se com o

facto de não ser possível considerar um comportamento dinâmico independente do estado de

deformação da estrutura. No fundo, essa hipótese era uma simplificação feita na análise estática não

linear que possibilitava a simplificação da mesma num sistema equivalente de um grau de liberdade e

de comportamento elástico com o objectivo de ser possível comparar com os espectros de resposta

regulamentares. O comportamento dinâmico de uma estrutura depende da sua rigidez que, como se

viu no capítulo anterior, é bastante influenciado pelo grau de deformação da estrutura.

5.1 Determinação dos acelerogramas

Através de um estudo realizado por Halldorsson et al. [19] onde se propõe a caracterização de vários

tipos de registos sísmicos e um método de geração de acelerograma sintéticos é possível simular um

possível registo de movimentação do solo originada pela falha de Marquês de Pombal. Os mesmos

são gerados com o auxílio do Programa SeismoArtif [20], que, com base nesse mesmo estudo

permite gerar até oito acelerogramas de cada vez em função dos parâmetros escolhidos.

Análise Dinâmica não Linear

86

Considera-se assim um sismo característico provocado pela falha de Marquês de Pombal do tipo

inter-placas de magnitude 7 e uma distância de Joyner Boore de . Como já foi referido,

considera-se a ponte fundada num solo rochoso que se traduz numa velocidade de transmissão por

corte definida pelo programa de .

Os acelerogramas sintéticos são gerados a partir de um tipo de actividade s ísmica pelo que devem

ser devidamente ajustados de forma a adaptarem-se ao espectro de resposta objectivo. O

SeismoArtif discretiza o acelerograma numa soma de acelerogramas sinusoidais de amplitude e

frequência definidas e, aplicando a transformada de Fourier, adapta esses parâmetros de forma a

criar um espectro de resposta elástico de período-aceleração espectrais (valores máximos para cada

período) para estruturas de um grau de liberdade e coeficiente de amortecimento . O mesmo

dá a possibilidade de se escolher o intervalo de frequências que se quer compatibilizar com o

espectro objectivo. Sendo que é importante representar bem o conteúdo de frequências próximo do

período fundamental da estrutura (o qual é conhecido em regime elástico) opta -se por um intervalo de

frequências de ou seja, com base na Tabela 4.4, . Essa adaptação

é feita iterativamente até se obter um erro inferior a 10% em relação ao espectro desejado já definido

pelas equações (2.18) a (2.21) em termos do valor de aceleração de pico e dos valores de

acelerações obtidos dentro do conteúdo de frequências definido no programa. A compatibilidade

entre os dois espectros para períodos fora desse intervalo não é verificada pelo programa.

Deve referir-se que, sendo a ponte uma estrutura que apresenta uma distância máxima entre pilares

de 200 metros, é expectável que haja variações de registos entre esses pontos devido à possível

variação de condições de fundação ou tipo de solo. No entanto, a possível divergência entre registos

está relacionada com variações de amplitude sendo que o conteúdo de frequências é idêntico tal

como a aceleração de pico não sendo do âmbito deste estudo analisar essas variações espaciais.

Criam-se assim um total de seis acelerogramas distintos a ser aplicados na base de cada um dos

quatro modelos de estudo definidos anteriormente. Este número é escolhido de forma a satisfazer a

exigência do EC8-1 para a caracterização dinâmica dos modelos. Os mesmos são apresentados em

anexo. O espectro de acelerações do acelerograma 1 é apresentado na Figura 5.1 juntamente com o

espectro de projecto. Verifique-se desde já que os espectros apresentam grande compatibilidade nos

intervalos definidos divergindo fora desses intervalos. No entanto, como se trata de uma ponte com

um comportamento bastante próximo a um pendulo invertido de um grau de liberdade, o seu modo

fundamental é o mais solicitado pelo que o conteúdo de frequências mais relevante para este estudo

é aquele que se aproxima do período fundamental da estrutura.

O espectro de deslocamentos é igualmente calculado pelo programa pelo que se representa na

Figura 5.2 esse mesmo espectro em formato ADRS.

87

Figura 5.1 - Espectros de acelerações elástico e do acelerograma 1

Figura 5.2 - Espectros do tipo ADRS elástico e do acelerograma 1

5.2 Comportamento dos materiais sob carregamento Cíclico

Inicia-se, assim, uma análise dinâmica não linear dos modelos já definidos em 4.5. Nesta fase, a

modelação torna-se mais complexa na medida em que esta análise é de carácter c íclico levando a

conhecer o comportamento dos materiais em função do seu histórico de carga-descarga. Embora

ainda exista muitas incertezas no que se refere a comportamento locais (como aberturas e fecho de

fendas) e interacção entre os vários constituintes da secção, o comportamento cíclico em condições

normalizadas já está relativamente bem estudado para o betão, assim como para o aço das

armaduras. Em 2.1 explicou-se esse comportamento pelo que, baseado nisso, se modela at ravés do

SeismoStruct o betão C40 e A400. O factor de confinamento foi definido em 4.1 como pelo

que se adopta o mesmo valor nesta análise. Na Figura 5.3 apresenta-se as relações constitutivas

referentes ao comportamento cíclico desses materiais.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

a [m/s2]

T [s]

Espectro objectivo

Acelerograma 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

a [m/s2]

T [s]

Espectro objectivo

Acelerograma 1

Análise Dinâmica não Linear

88

Figura 5.3 - Comportamento do betão C40 (esquerda) e aço A400 (direita) sob cargas cíclicas

5.3 Modelação dos acelerogramas no SeismoStruct

Tendo definido o comportamento cíclico dos materiais estruturais, devem aplicar-se os registos de

acelerogramas na ligação do modelo com o solo. Desprezando a contrib uição do atrito entre o

tabuleiro e os encontros e pilares onde apoia, a transmissão de movimentos horizontais é feita do

solo à estrutura at ravés das fundações dos pilares 2, 3 e 4. Os modelos a usar apresentam as

mesmas características que os analisados anteriormente pelo que dispensa-se qualquer tipo de

validação adicional do mesmo.

Na função de análise dinâmica, o SeismoStruct permite a aplicação de acelerogramas a qualquer nó

da estrutura. Como tal, a movimentação do solo é aplicada aos nós inferiores de cada pilar através de

registos de acelerogramas longitudinais levando a que estes nós se movimentem em sincronia. No

entanto, mantém-se o encastramento total já antes definido para esses nós. No fundo, a programa

define que estes nós estão restringidos a movimentarem-se estritamente de acordo com o

acelerograma imposto.

Figura 5.4 - Comportamento Dinâmico da estrutura

O SeismoStruct associa a cada nó metade da massa de cada elemento que converge nele sendo que

cada um é um grau de liberdade no sistema de equações, e os seus deslocamentos, as incógnitas da

89

equação fundamental. Tendo essa equação definida, o SeismoStruct determina as características

cinemáticas dos vários nós da estrutura como foi explicado em 2.3, obtendo a resposta através de

integração passo-a-passo da equação do movimento. A análise temporal tem a mesma duração do

registo de acelerograma imposto e o incremento no tempo é de 0,02 segundos. Para se estudar a

estrutura em regime livre depois da excitação do sismo teria de se prolongar o acelerograma com

acelerações nulas.

5.4 Modo local dos pilares secundários

Escolhem-se 4 nós característicos para representar o movimento dos vários elementos da estrutura.

Esses nós devem ser definidos próximos das secções onde pode ocorrer a inversão de infl exão de

cada pilar. Assim escolhem-se os nós 2-17, 3-17 e 4-14 para representar o comportamento dos

pilares 2,3 e 4, respectivamente. Sendo que o tabuleiro é axialmente rígido, a escolha do nó para

deslocamentos longitudinais é irrelevante. Os valores relevantes a observar dizem respeito aos

deslocamentos relativos entre esses nós característicos e o solo.

Analisa-se o comportamento cinemático de cada um dos modelos sujeitos individualmente a cada um

dos seis acelerogramas. Os valores referentes aos pilares 2 e 3 são similares pelo que se opta por

analisar apenas um deles. Como tal, na Figura 5.5 apresentam-se os deslocamentos relativos entre o

solo e os nós referentes ao tabuleiro e pilares 2 e 4 para os modelos b.b.b. e A.A.A.

Figura 5.5 - Deslocamento de nós característicos dos modelos b.b.b.1 (cima) e A.A.A.1 (baixo)

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

δt[m]

t [s]

4-14 2-17 Tabuleiro

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

δt[m]

t [s]

4-14 2-17 Tabuleiro

Análise Dinâmica não Linear

90

Verifica-se que, globalmente, todos os elementos se movem em fase tanto no caso do modelo b.b.b.

como A.A.A. No entanto, verifica-se que o pilar 2 apresenta um deslocamento longitudinal com menor

frequência aparente que acompanha a deformada global da estrutura mas com menos amplitude.

Uma consequência deste movimento secundário está relacionada com o aparecimento de esforços

de corte basal nesses pilares associados a acelerações que não estão em fase com as acelerações

da estrutura global como se pode verificar na Figura 5.6.

O esforço de corte basal é assim representativo do movimento global da ponte e também do

movimento local dos pilares secundários. Na Figura 5.7 apresenta-se a curva histerética do modelo

b.b.b. sujeito ao acelerograma 1 na sua base. Como se pode ver, o es forço de corte basal não

acompanha os deslocamentos do tabuleiro, sendo que ocorre uma grande variação de esforços para

instantes próximos.

Figura 5.6 - Esforços de corte basal no modelo b.b.b.1

Figura 5.7 - Curva histerética do deslocamento do tabuleiro para o modelo b.b.b.1

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

V [kN]

t [s]

4-A 2-A Corte Basal Total

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

δt[m]

V [kN]

91

Procede-se a uma análise das secções superiores dos pilares 2 e 3 para os vários modelos de estudo

de forma a verificar se as suas deformações excessivas influenciam a ductilidade e a resistência

global da estrutura. Sendo que os momentos verificados e as curvaturas resultantes são factores

importantes na análise do estado de solicitação das secções críticas, apresenta-se na Figura 5.8 a

relação momento-curvatura para a secção 3-S para a estrutura sujeita ao acelerograma 1.

Figura 5.8 - Relação Momento-Curvatura para a secção 3-S

É importante verificar que a diferença de comportamento está relacionada com a rigidez relativa entre

os pilares secundários e o tabuleiro. Deste modo, os modelos b.b.b. e b.b.A. apresentam menor

rigidez relativa pilar-tabuleiro pelo que se verifica grandes deslocamentos e maior dispersão das

respectivas curvas momento-curvatura. Isto deve-se ao facto de serem mais independentes da

estrutura o que leva a serem mais excitados por registos de maior período. Por outro lado, os

restantes modelos apresentam maior rigidez desses pilares que, aliado à maior integridade com o

tabuleiro, restringe a excitação dos seus movimentos, pelo que se verificam curvaturas

consideravelmente menores.

Depois de uma análise aos quatro modelos sujeitos aos seis acelerogramas, conclui -se que, as

curvaturas máximas nas secções superiores dos pilares secundários se verificam para os modelos

b.b.b. e b.b.A. com curvaturas que podem ir até o que correspondem a extensões no aço

e no betão de e . Por outro lado, para os modelos A.A.b. e A.A.A. verifica-se que

a curvatura das mesmas secções não ultrapassa o que, como já se apresentou na Figura

4.17, não leva à cedência da segunda camada de armadura de tracção. Com isto, pode concluir-se

que as secções críticas ainda apresentam uma boa rigidez à deformação e que, consequentemente,

deformada excitação dos pilares secundários não condiciona o comportamento da estrutura para

situações de grande taxa de armaduras.

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004

M [kn.m]

χ [m-1]

b.b.A. A.A.A. b.b.b. A.A.b.

Análise Dinâmica não Linear

92

5.5 Optimização do Modelo

Embora os modelos definidos anteriormente sejam bastante representativos da realidade da

estrutura, deve constatar-se, principalmente pela Figura 5.7 que o comportamento dos pilares

secundários podem ser vistos como “ruído” na análise global da estrutura. De forma a analisar

eficientemente os modelos propostos, estes devem ser modificados de forma a mitigar os modos

superiores sentidos por esses pilares. Esses modelos devem ter o mesmo comportamento global sob

a actuação das acções sísmicas pelo que é necessário garantir a mesma massa dinâmica e rigidez

global a deslocamentos do tabuleiro. Para evitar a excitação dos pilares a configurações de

deformada diferentes da fundamental, confere-se massa nula a esses elementos sem, no entanto,

alterar as restantes características. De forma a não alterar a massa dinâmica da estrutura, usa-se o

conceito de massa activa dos pilares já apresentado em 4.7. No modelo do SeismoStruct procede-se

à alteração das massas concentradas no topo de cada pilar para inclui r a contribuição da massa

activa. Com base nos valores já apresentados na Tabela 4.3 cria-se a Tabela 5.1 referente às

massas dinâmicas do tabuleiro juntamente com a massa activa de cada pilar.

Deve, no entanto, referir-se que esta simplificação altera o nível de esforço axial actuante nos pilares.

Este esforço influencia o comportamento à flexão dos pilares.

Tabela 5.1 - Massas a aplicar nos pilares no contexto da análise dinâmica

Total

Pilar 2 2735,77 669,6 3405,37

Pilar 3 2990,13 782,1 3772,23

Pilar 4 2735,77 284,3 3020,07

Restante 3665,56 - 3665,56

No entanto essa variação é compensada na medida em que se aumenta o esforço axial da secção

superior e consequentemente, as suas propriedades resistentes. Por outro lado, a secção inferior

está sujeita a um menor esforço axial (já que se despreza a massa estática) diminuído assim as suas

propriedades resistentes. Isto permite que a alteração do desenvolvimento de esforços não tenha

tanto impacto no desenvolvimento do pilar e apresentando um comportamento global idêntico ao

modelo antigo. De forma a comprovar a compatibilidade entre os dois modelos, compara -se o

deslocamento do tabuleiro ao longo do tempo para cada um deles. Apresenta-se na Figura 5.9 a

resposta ao acelerograma 1 por parte dos quatro modelos em estudo.

Pode verificar-se que, para qualquer configuração de armadura, os modelos optimizados apresentam

um comportamento bastante próximo dos modelos antigos. Os deslocamentos máximos são bastante

próximos sendo que as diferenças que se podem referir entre os modelos optimizados e antigos

estão relacionadas com o período aparente de vibração.

93

Figura 5.9 - Deslocamento do tabuleiro dos modelos antigos (tracejado) e optimizado (traço contínuo)

Embora não se apresente a comparação de comportamento dos modelos actuados pelos restantes

acelerogramas, os resultados são semelhantes aos apresentados na Figura 5.9. Como tal, considera-

se estes modelos como característicos do comportamento global da estrutura.

5.6 Análise comparativa dos modelos

Procede-se de seguida a uma análise global dos modelos optimizados desprezando os efeitos das

deformadas dos modos superiores já analisados no capítulo anterior. Como tal, é possível obter

curvas de histerese bastante mais representativas da reali dade do movimento da ponte, ou seja, da

deformada referente ao modo fundamental. Na Figura 5.10 apresentam-se as curvas de histerese dos

modelos antigos e optimizados referentes à movimentação do tabuleiro podendo verificar-se

deslocamentos máximos idênticos para os dois modelos. Verifica-se contudo, que o modelo

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

δ [m]

t [s]

b.b.b.1

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

δ [m]

t [s]

A.A.b.1

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

δ [m]

t [s]

b.b.A.1

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

δ [m]

t [s]

A.A.A.1

Análise Dinâmica não Linear

94

optimizado apresenta menor divergência de esforços na base pelo que se pode concluir que a

estrutura se está a movimentar com uma só deformada.

Figura 5.10 – Curva de histerese do modelo b.b.b.1 antigo (tracejado) e

optimizado (traço contínuo)

Através da Erro! A origem da referência não foi encontrada. pode constatar-se que o pilar 2

acompanha o deslocamento do tabuleiro pelo que se conclui que o modo local referente à sua

deformação isolada já não é excitado. Isto leva a que o comportamento cinemático da estrutura possa

ser caracterizado unicamente pelo deslocamento longitudinal do tabuleiro.

Na Tabela 5.2 apresentam-se os valores máximos em módulo dos deslocamentos relativos entre o

tabuleiro e o solo obtidos para os quatro modelos sujeitos a cada um dos seis acelerogramas

considerados.

Figura 5.11 – Deslocamento de nós característicos do modelo optimizado b.b.b.1

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

V [kN]

δt [m]

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

δt [m]

t [s]

Tabuleiro 2-17

95

Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no tabuleiro δmax [m]

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 0,27 0,26 0,22 0,19 0,26 0,29 0,25 A.A.b. 0,29 0,26 0,24 0,19 0,25 0,32 0,26

b.b.A. 0,22 0,24 0,22 0,23 0,24 0,27 0,24

A.A.A. 0,22 0,25 0,22 0,24 0,23 0,25 0,24

Sendo que os acelerogramas criados são aleatórios e irregulares, o comportamento dinâmico das

estruturas deve ser analisado num âmbito geral para que as conclusões possam ser representativas

desse mesmo comportamento. Deste modo, deve notar-se que se verifica um elevado desvio padrão

entre os deslocamentos obtidos para cada acelerograma. Analisando a média dos deslocamentos

máximos, verifica-se que as diferenças entre os valores obtidos para os vários modelos não são

acentuadas. Esta conclusão é importante na medida em que comprova a teoria do Equal

Displacement referente a estruturas com capacidades resistentes diferentes. É importante salientar

que os modelos b.b.b. e A.A.b. apresentam maiores deslocamentos do tabuleiro. Isto deve-se ao

facto desses modelos atingirem a cedência para esforços menores que os restantes, levando a uma

diminuição de rigidez que aumenta de forma indirecta periodicidade dos ciclos levando a maiores

deslocamentos máximos. Não deve deixar de se notar que estes modelos atingem a cedência para

deslocamentos menores que os restantes, efectivamente por apresentarem menor taxa de armadura

o que leva a uma menor rigidez relativa do pilar, como já foi referido nos capítulos anteriores.

Nota-se que as respostas dos modelos ao acelerograma 4 não seguem os padrões até agora

analisados na medida em que os modelos b.b.A. e A.A.A. apresentam maiores deslocamentos

máximos que os modelos restantes. Isto acontece unicamente para um dos ciclos da resposta desses

dois modelos. Na Figura 5.12 apresenta-se esse comportamento onde se pode constatar um regime

de deslocamentos entre os quais o modelo A.A.A. costuma vibrar (tal como se verifica para b.b.A.), os

quais apresentam deslocamentos idênticos aos modelos restantes. No entanto, um dos ciclos é

demasiado excitado para um deslocamento consideravelmente maior.

Figura 5.12 - Curvas histerética referente ao acelerograma 3

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

V [kN]

δ t[m]

A.A.A.4

b.b.b.4

Análise Dinâmica não Linear

96

Na Tabela 5.3 apresenta-se as forças de corte basal correspondentes aos deslocamentos máximos

verificados em cada caso de estudo. Deve referir -se que estes valores não se referem aos esforços

máximos verificados na estrutura mas sim aos esforços referentes aos deslocamentos máximos. No

entanto, sendo que não se verifica degradação de carga, o esforço máximo dá -se para o

deslocamento máximo exceptuando algumas variações que são consideradas desprezáveis.

Tabela 5.3 – Força de corte basal no estado de amplitude máxima, Vmax [kN]

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 12428,8 12846,9 12331,9 12702,6 13190,0 13118,7 12769,8

A.A.b. 15230,9 14790,4 14064,5 13223,3 14771,2 15185,1 14544,2

b.b.A. 18766,6 19223,1 19372,1 19151,4 18801,8 19250,4 19094,2

A.A.A. 19892,5 21390,5 21006,8 20005,8 21288,0 20827,9 20735,2

Considera-se pertinente analisar dois parâmetros do comportamento dinâmicos da ponte

relacionados com o período de excitação da estrutura. Como tal, int roduzem-se dois conceitos a

analisar de seguida: o período secante e o período aparente. Define -se período secante como o

período de vibração que a estrutura apresentaria se tivesse a rigidez elástica secante ao estado de

deformação-tensão em consideração. Neste caso, analisa-se o período secante referente ao

estado de deslocamento máximo de cada caso de estudo pois considera-se o estado mais

condicionante na atuação do sismo em consideração. Com base na equação (2.7) e nos valores de

deslocamentos e esforço de corte basal apresentados nas tabelas anteriores para esse estado,

apresenta-se na Tabela 5.4 o período secante de cada caso de estudo.

Deve referir-se que, embora o período secante não represente nenhuma característica da estrutura,

pode ser dado como um valor de referência para o período com que a estrutura repo nde em regime

não linear à actuação de solo a que é sujeita.

Tabela 5.4 - Período secante, Ts [s]

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 3,4 3,3 3,1 2,8 3,2 3,4 3,2 A.A.b. 3,2 3,0 3,0 2,7 3,0 3,3 3,0

b.b.A. 2,5 2,5 2,4 2,5 2,6 2,7 2,5

A.A.A. 2,4 2,5 2,3 2,5 2,5 2,5 2,5

Como já se referiu, o período próprio de uma estrutura só faz sentido para análises em regime linear

já que as alterações das características dos materiais impedem a mesma de ter um período

constante. Pode também verificar-se, a partir dos deslocamentos do tabuleiro no tempo, o período

com que a estrutura atinge o estado inicial de deformação, a que se define como período aparente da

estrutura . O procedimento passa por, com auxílio do Excel, determinar os instantes em que a

97

curva de deslocamento do tabuleiro cruza o zero, . Sendo que o intervalo entre estes

dois instantes representa metade de um ciclo do movimento, considera-se que o período aparente é

dado pela soma de duas dessas diferenças consecutivas. É importante referir que este valor não é

unicamente característico da estrutura mas também da acção a que a mesma é sujeita na medida em

que depende do estado de tensão a que a estrutura é sujeita. Na Tabela 5.5 apresentam-se os

valores máximos de para cada caso de estudo.

Tabela 5.5 - Período aparente, Ta [s]

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 3,1 3,0 2,6 2,7 3,0 3,0 2,9

A.A.b. 3,0 2,9 2,6 2,7 2,8 2,9 2,8 b.b.A. 2,4 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,4

A.A.A. 2,3 2,3 2,2 2,4 2,4 2,4 2,4

Comparando os valores médios de e obtidos para cada modelo, pode constatar-se desde logo

que estes são bastante similares com diferenças não superiores a 10% sendo que no caso do modelo

A.A.A. essa diferença desce para menos de 5%.

5.7 Análise de histerese

Como já foi referido, a capacidade de dissipação de energia juntamente com a capacidade de

suportar deformações são factores determinantes no comportamento sísmico das estruturas. Este

último já foi analisado nos capítulos anteriores através de estudos ao nível dos materiais e das

secções heterogéneas. Todas a análises feitas nesses capítulos foram de âmbito cinemático e

estático. No entanto, sendo o sismo uma acção dinâmica, induz na estrutura energia cinética pelo que

é importante realizar uma análise energética da mesma. A resposta da estrutura ao sismo pode ser

elástica, onde os elementos constituintes têm capacidade de deformação elástica suficiente para

absorver a energia transmitida. Para tal, desenvolvem-se esforços elevados e pouca dissipação de

energia que leva a um prolongamento da duração da resposta por não se dissipar energia. Estas

consequências podem ser evitadas dotando a estrutura de ductilidade suficiente para absorver

deformações plásticas com a vantagem de dissipar energia e, consequentemente, amortecer mais

rapidamente a resposta da estrutura. Outra vantagem desta solução passa pela possibilidade de

baixar a capacidade resistente sem atingir o colapso.

Como já se viu, o aço permite deformações plásticas bastante elevadas, uma característica

aproveitada para obter um bom nível de energia dissipada histereticamente. Na Figura 5.13

apresenta-se o comportamento cíclico do aço e do betão. A área destacada é limitada pelo caminho

de carga e descarga de um ciclo e representa a energia dissipada nesse processo. Pode verificar-se

a baixa capacidade de dissipar energia por parte do betão e o contrário para o aço que, além de

Análise Dinâmica não Linear

98

apresentar grande capacidade de dissipar energia por ciclo, mantém o mesmo comportamento ao fim

de vários ciclos.

Figura 5.13 - Comportamento dos mateias sob cargas cíclicas

O cálculo da área interior a uma curva histerética não é de determinação directa, já que, por

observação da Figura 5.12, constata-se que os ciclos de carga e descarga não são, de todo

regulares. Como tal, podem-se verificar ciclos muito pouco simétricos ou muito alongados mas com

pouca energia dissipada. Apresentam-se na Figura 5.14, a título ilustrativo, as envolventes das curvas

histeréticas obtidas para os modelos de estudo actuadas pelo acelerograma 3. Como tal, define-se o

critério de analisar a área envolvente da curva de histerese de cada caso de estudo.

No entanto esse valor é apenas indicativo do máximo que a estrutura pode dissipar num único ciclo.

Deve multiplicar-se esse valor pelo número de ciclos que a acção sísmica induz na estrutura.

Figura 5.14 - Envolvente das curvas de histerese provocadas pelo acelerograma 3

Considera-se que os ciclos que não exploram as propriedades plásticas dos materiais não dissipam

energia pelo que só devem ser tidos em atenção apenas os ciclos que levam a estrut ura a entrar em

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

V [kN]

δt [m]

A.A.A.3 b.b.A.3 A.A.b.3 b.b.b.3

99

regime plástico. Como já foi definido em 4.8, esse estado inicia-se com a cedência de duas secções

do pilar 4 que, por observação da Figura 4.14 se dá para e para os

modelos de, respectivamente, baixa e alta taxa de armadura no pilar 4. O número de ciclos é dado

pela metade da soma de todos os meios ciclos com deslocamentos de tabuleiro superior aos

deslocamentos de cedência de cada modelo.

Não se pode deixar de referir que o valor obtido é, em qualquer situação, um majorante da energia

realmente dissipada na medida em que considera que os ciclos de menor amplitude dissipam tanta

energia como o ciclo de deslocamento máximo. Na Tabela 5.6 apresenta-se o número de ciclos

efectivos contabilizados para cada caso de estudo. Deve reparar-se que, embora os mesmos sejam

contabilizados, não significa que sejam equivalentes ao ciclo envolvente.

Tabela 5.6 - Número de ciclos efectivos, n

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 5 6 7 5 6 4

A.A.b. 5 6 8 6 6 4

b.b.A. 4 7 6 5 5 6

A.A.A. 2 7 6 5 5 6

Na Tabela 5.7 apresentam-se as áreas envolventes das curvas histeréticas dos modelos de estudo.

No mesmo quadro apresenta-se o cálculo referente à média (para cada modelo de estudo) de cada

um desses valores pelo respectivo número de ciclos verificados: .

Tabela 5.7 - Energia dissipada num ciclo por processos histeréticos, ED,i [kN.m]

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 1431,5 1094,2 999,1 736,0 1173,3 1373,4 6154,9

A.A.b. 1604,3 1153,1 1029,6 772,9 1119,5 1461,7 6729,6

b.b.A. 2529,8 3405,0 2516,1 2910,5 3208,4 3506,3 16780,4

A.A.A. 2411,8 3593,2 2706,5 3233,5 3368,3 3547,3 16751,4

É possível estimar o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente relativo a processos histeréticos da estrutura. Assim, adaptando a equação (2.31) obtêm-se:

(5.1)

O coeficiente de amortecimento equivalente é referente à envolvente das curvas de histerese pelo

que pode ser visto como o maior valor de amortecimento a atribuir à estrutura. Na Tabela 5.8

apresentam-se os valores de coeficiente de amortecimento viscoso contabilizando o efeito dos

processos histeréticos.

Análise Dinâmica não Linear

100

Tabela 5.8 – Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente

Acelerograma 1 2 3 4 5 6

b.b.b. 0,34 0,31 0,40 0,24 0,32 0,23 0,31 0,36

A.A.b. 0,29 0,28 0,38 0,30 0,29 0,19 0,29 0,34

b.b.A. 0,38 0,83 0,57 0,52 0,55 0,64 0,58 0,63

A.A.A. 0,17 0,76 0,55 0,53 0,54 0,65 0,53 0,58

Verifica-se que os modelos b.b.b. e A.A.b. dissipam consideravelmente menos energia que os

restantes modelos. Isto deve-se ao efeito de pinching que se verifica no caminho de carga e descarga

e está relacionado com a abertura e fecho das fendas. Este efeito é mais saliente nos modelos de

baixa taxa de armadura no pilar 4 já que se verificam linhas neutras pouco profundas e,

consequentemente, maiores aberturas de fendas.

Por outro lado, esses modelos apresentam menos quantidade de aço no pilar 4 o que leva a menor

capacidade de absorver, e consequentemente, dissipar energia por parte deste pilar. Este facto

permite concluir que este é o pilar responsável por grande parte da energia dissipada pela estrutura.

Como tal, pode verificar-se que os modelos de alta taxa de armadura nos pilares secundários

apresentam menor dissipação de energia comparativamente aos restantes modelos já que o aumento

de rigidez destes pilares implica uma diminuição da participação do pilar 4 e, consequentemente, a

diminuição da energia dissipada pela estrutura.

Como se quer comprovar, o amortecimento viscoso conferido pelos processos histeréticos é bastante

superior a 5%. Este fenómeno refere-se à resposta da estrutura a um sismo pelo que é tido em conta

no coeficiente de comportamento e não na equação fundamental como característica da estrutura.

101

6 Conclusões e trabalhos futuros

As várias análises realizadas ao longo da dissertação tiveram como objectivo o aprofundamento do

conhecimento do comportamento s ísmico com principal ênfase no estudo da capacidade de

deformação dos elementos constituintes e nos factores que alteram essa capacidade. Como tal, a

análise linear conduziu a um dimensionamento de uma solução de distribuição de armadura que

garante a segurança ao estado limite último para a combinação do sismo. Nas análises subsequentes

levou-se a cabo um estudo de sensibilidade da alteração da distribuição de armadura dimensionada.

Entre os quatro modelos que foram definidos, o modelo b.b.A. apresenta, propositadamente a mesma

distribuição de armadura que a dimensionada na análise elástica, de forma a poderem ser feitas

algumas comparações com o objectivo de se definir a necessidade de modelações não lineares da

estrutura. Desde logo deve referir-se que a primeira análise, tendo como finalidade o

dimensionamento, tem em consideração coeficientes parciais de segurança para reduzir as

propriedades dos materiais. No que se refere à análise dinâmica não linear, obtiveram -se conjuntos

de valores representativos de cada modelo solicitado a diferentes registos de acelerações, sendo que

se considera unicamente a média dos resultados.

Apresentam-se na Tabela 6.1 os valores de deslocamentos e esforço basal obtido pelas três análises

para o modelo b.b.A.

Tabela 6.1 - Comparação entre análises

ADL AEnL ADnL

0,19 0,22 0,24

12893 18506 19094

0,08 0,12 0,12

Os valores obtidos verificam alguma divergência embora se possa notar que os deslocamentos

máximos apresentam a mesma ordem de grandeza. No entanto, os seus valores aumentam com a

complexidade da análise. Considerando que as análises dinâmicas não lineares traduzem mais

fielmente o comportamento sísmico da ponte, as restantes análises deveriam resultar em valores

Conclusões e trabalhos futuros

102

conservativos de forma a poderem garantir a segurança, o que não se verifica. Logo, considera-se

necessário a realização de análises dinâmicas não lineares para o estudo de pontes cujos pilares

apresentam rigidezes bastante diferentes. Na Figura 6.1 apresentam-se as curvas de capacidade da

estrutura obtidas pelas ADN e AEnL, juntamente com a curva de histerese referente ao acelerograma

4 obtidas pela ADnL. Verifica-se que o desenvolvimento das curvas das análises não lineares são

próximas entre si e que a curva elástica tem um comportamento bastante representativo destas

curvas mas com menor capacidade de carga.

Figura 6.1 - Curvas de capacidade referente às diferentes análises

Como tal, conclui-se que o coeficiente de comportamento arbitrado na análise elástica com base no

EC8-2 ( ) é pouco representativo desta ponte já que pelo método N2 se verifica metade desse

valor. No entanto, este valor aproxima-se de um sistema de pêndulo invertido já que o

comportamento da estrutura está bastante dependente do pilar 4. Nesta medida, sugere -se que a

determinação do coeficiente de comportamento por parte do EC8 -2 deva ter em consideração a

participação dos vários pilares e da sua ligação à superestrutura e não unicamente o tipo de sistema

estrutural da ponte.

Um outro parâmetro que pode ser importante na caracterização da capacidade de redistribuição de

esforços é o factor de plasticidade definido nesta dissertação que pode ser útil na compreensão

imediata da importância dos elementos menos participativos sendo um parâmetro pouco dependente

do elemento mais participativo. Como trabalhos futuros, deve ser estudado em pormenor a correlação

entre o factor de plasticidade e a participação dos elementos secundários além da possibilidade de

extrapolação destes conceitos para outras relações de altura entre pilares.

Verifica-se que a capacidade de curvatura de secções ocas é muito condicionada pela rotur a do aço

e que a curvatura última é muito pouco influenciada pela quantidade de armadura. Esta hipótese é

bastante importante em situações em que se conhecem, à partida, os deslocamentos máximos, como

é o caso da presente estrutura de períodos elásticos altos, para a qual o deslocamento máximo sob a

actuação do sismo de Lisboa é, aproximadamente, , independentemente da distribuição da

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-0,25 -0,15 -0,05 0,05 0,15 0,25

V [kN]

δt [m]

A.E.L

A.D.L

A.E

103

armadura dos pilares. Para pilares monoliticamente ligados ao tabuleiro, deve ter-se em atenção a

influência na configuração de deformada que este impõe ao pilar. Essa influência aumenta com a

diminuição da rigidez relativa pilar-tabuleiro o que leva a um aumento de curvaturas no pilar para o

mesmo deslocamento de topo.

Tendo em conta estas condicionantes, pode-se diminuir ao mínimo a taxa de armadura como se

adopta no modelo b.b.b. sabendo que o deslocamento objectivo é idêntico e que as secções

apresentam a mesma capacidade de curvatura. Por seu lado, deve ter-se em atenção que a

diminuição de capacidade resistente leva a que outras acções se tornem condicionantes.

No que se refere à solução estrutural da ponte verifica-se que esta pode ser melhorada sem alterar a

estética adoptada. Nessa medida sugere-se rotular a ligação do pilar 4 ao tabuleiro. Esta alteração

leva a que a evolução da deformada do pilar 4 dependa exclusivamente do deslocamento de topo

permitindo modelos com menor taxa de armadura suportar maiores deslocamentos já que o tabuleiro

não induz deformação desfavorável ao pilar.

No que se refere aos pilares altos, deve concluir-se que as dimensões das secções não devem

aumentar na aproximação à base na medida em que condiciona a sua capacidade de curvatura além

de evitar a formação de rótulas plásticas nessas zonas. A possibilidade de manter a secção const ante

até à base deve ser estudada considerando a instabilidade desses elementos e a resistência da

estrutura à acção lateral do vento.

Por outro lado, deve ter-se em atenção os modos locais desses pilares, pelo que a análise estática

não linear deve ser feita tendo em conta vários modos de vibração. Deste modo, o método N2 perde

validade para a caracterização do comportamento sísmico desta ponte já que se verifica que a

resposta depende de mais do que um modo relevante na direcção longitudinal.

Embora não tenha sido referido anteriormente, não se deve deixar de verificar que o primeiro modo

de vibração da ponte é na direcção transversal. Isto significa que o comportamento sísmico nessa

direcção pode ser condicionante pelo que as armaduras calculadas podem nã o respeitar a

segurança. Nesta direcção, a análise apresenta-se mais complexa na medida em que o tabuleiro

apresenta baixa rigidez à deformação o que leva a uma maior individualização dos pilares. Como tal,

a capacidade de redistribuição entre pilares é bastante menor. No entanto, prevê-se que o pilar 4

mantem a sua alta participação na resistência ao movimento, juntamente com os pilares 1 e 5 cujos

apoios impedem o movimento pilar-tabuleiro. Nesta análise, a rigidez relativa do tabuleiro é um factor

chave que influencia, tanto a resistência global da estrutura, como as configurações de deformada

dos modos de vibração como foi concluído por Kohrangi et Al. [21]. A exploração da plasticidade

através da diminuição da capacidade resistente dos pilares deve ser estudada em paralelo com a

exigência de resistência à acção do vento.

105

7 Bibliografia

[1] EC2-1, Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General. EN 1992-1:2004, Brussels:

CEN, Comité Européen de Normalisation, 2004.

[2] EC8-1, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. Part 1: general rules, seismic

actions and rules for buildings. EN 1998-1:2004, Brussels: CEN, Comité Européen de

Normalisation, 2004.

[3] EC8-2, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. Part 2: Bridges. EN 1998-

2:2005, Brussels: CEN, Comité Européen de Normalisation, 2005.

[4] A. Costa e J. Appleton, Apontamentos da cadeira de Estruturas de Betão I, Lisboa, 2002.

[5] M. Menegotto e P. P.E., “Method of analysis for cyclically loaded RC plane frames including

changes in geometry and non-elastic behaviour of elements under combined normal force and

bending,” Symposium on the Resisntance and Ultimate Deformability of Structures Acted on by

Well defined Loads, International Association for Bridge and Structural Engineering, pp. 15-22,

1973.

[6] J. B. Mander, P. M. J. N. e P. R., “Theoretical stress -strain model for confined concrete,” ACSE

Journal of Structural Engineering, vol. 114 (8), pp. 1804-1826, 1988.

[7] B. D. Scott, R. Park e M. J. N. Priestley, “Stress-strain behavior concrete confined by overlapping

hoops at low and high strain rates,” ACI Journal, vol. 79(1), pp. 13-27, 1982.

[8] E. A. Martinez-Rueda J.E., “Confined concrete model under cyclic load,” Materials and Structures,

vol. 30 (197), pp. 139-147, 1997.

[9] A. Brito, Dimensionamento de Estruturas Subterrâneas de Betão Armado Sujeitas a Acções

Bibliografia

106

Sísmicas, Lisboa, 2011.

[10] J. Azevedo e J. Proença, Dinâmica de Estruturas, Lisboa, 1991.

[11] M. Lopes, Sismos e Edifícios, Lisboa: Orion, 2008.

[12] A. Chopra, “Equivalent Viscous Damping,” em Dynamic of Structures, vol. 20(3), New Jersey,

Prentice Hall, 1995, pp. 98 - 99.

[13] P. Fajfar, “Earthquake Spectra, ” em A Nonlinear Analysis Method for Performance-Based Seismic

Design, EERI, 2000, pp. 573, 592.

[14] R. Bento, S. Falcão e F. Rodrigues, “Avaliação sísmica de estruturas de edificios com base em

análises estáticas não lineares,” IST Press, Lisbon, 2004.

[15] CSI, Sap2000, Berkeley, 2010.

[16] J. Appleton, Estruturas de Betão, Lisboa: Orion, 2013.

[17] SeismoSoft, SeismoStruct - A computer program for Static and dynamic nonlinear analysis of

framed structures, Available from: www.seismosoft.com, 2006.

[18] A. Gomes e J. Vinagre, Estruturas de Betão I - Tabelas de Cálculo, vol. III, Lisboa: IST, 1997.

[19] B. Halldorsson e A. Papageorgiou, “Calibration of the specific barrier model to earthquake of

different tectonic regions,” Bulletin of the Seismological Society of America, vol. 95, pp. 1276-

1300, 2005.

[20] SeismoSoft, SeismoArtif - A computer program for generating artificial earthquake accelerograms

matched to a specific target response spectrum, available from http://www.seismosoft.com, 2013.

[21] M. Kohrangi, R. Bento e M. Lopes, “Evaluation of Nonlinear Static Procedures for Seismic,” em

15ª Conferência Mundial de Engenharia Sísmica, Lisboa, 2012.

107

Anexo

109

Acelerogramas adoptados na Análise Dinâmica não Linear:

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a [g]

t [s]

Acelerograma 1

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a [g]

t [s]

acelerograma 2

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a [g]

t [s]

Acelerograma 3

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a [g]

t [s]

Acelerograma 4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a [g]

t [s]

Acelerograma 5

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a [g]

t [s]

Acelerograma 6