Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...
Transcript of Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...
![Page 1: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/1.jpg)
Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de Equações
Diferenciais não Lineares
MÁRCIO FUZETO GAMEIRO
Orientador: HILDEBRANDO MUNHOZ RODRIGUES
Dissertação apresentada ao Instituto de
Ciências Matemáticas e de Computação da
Universidade de São Paulo, ICMC-USP, co-
mo parte dos requisitos para a obtenção do
título de "Mestre em Ciências na Área de
Matemática".
São Carlos
Fevereiro de 1999
'Este Trabalho teve suporte financeiro da FAPESP.
![Page 2: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/2.jpg)
AGRADECIMENTOS
Agradeço em especial ao Hildebrando, não só pela orientação, mas prin-
cipalmente pela amizade e dedicação.
Agradeço ao Professor Gaspar pela ajuda na revisão.
Agradeço aos colegas de curso, aos professores e funcionários do ICMC e,
de uma forma geral, a todos que de alguma maneira contribuíram para
a realização deste trabalho.
![Page 3: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/3.jpg)
Resumo
Neste trabalho apresentaremos algumas condições suficientes para dissipativi-
dade e sincronização de sistemas de equações diferenciais não lineares da forma
{ ;,', --.- f (t, z, x + m(t), 71)
onde z = (x, y) E Ift.3 x IR' = IR", w = (u, v) E R3 x IR" = IR" e -Yb 'Y2 E r c R', com m(t) e rh(t) continuas e limitadas. Veremos, também, algumas aplicações
deste tipo de sincronização a sistemas de comunicação.
![Page 4: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/4.jpg)
Abstract
In this work we give some sufficient conditions for dissipativeness and synchro-
nization of systems of nonlinear differential equations of the form
{
i = f(t, z, x + m(t), 71)
ti) = f(t, w, x + ih(t), 72)
where z = (x, y) E IR' X IRn -- 3 = lan , W = ('l , v ) E Ias x IRn- 8 = IRn and 71, 72 E
r c Ir, with m(t) and th(t) continuous and bounded. We also present some
applications of this type of synchronization to communication systems.
![Page 5: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/5.jpg)
Sumário
Introdução 1
1 Dissipatividade e Sincronização 5
1.1 Dissipatividade Uniforme 5
1.2 Sincronização 13
1.3 Aplicações 20
1.4 Exemplos Adicionais 54
Referências Bibliográficas 59
1
![Page 6: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/6.jpg)
Introdução
O objetivo deste trabalho é desenvolver métodos matemáticos para estudar sin-cronização em sistemas acoplados. Vamos considerar dois sistemas de equações diferenciais acoplados, que dependem de parâmetros, e mostrar que se os parâmetros forem suficientemente próximos, então dada qualquer solução do primeiro sistema e qualquer solução do segundo sistema, a diferença entre as duas soluções fica peque-na quando o tempo vai para o infinito. Se os parâmetros forem idênticos, então a diferença entre as soluções tende a zero exponencialmente.
Iremos considerar um tipo de acoplamento parcial, onde o primeiro sistema é de-sacoplado do segundo, e somente o segundo sistema depende do primeiro. Este tipo de sincronização foi tratado inicialmente por Pecora e Carroll em [21] e denominado por estes de Sincronização Master-Slave.
O fenômeno de sincronização tem sido largamente estudado, principalmente em áreas aplicadas. Entre as muitas aplicações podemos citar, por exemplo, osciladores mecânicos e elétricos acoplados, estudados por Afraimovich, Verichev e Rabinovich em [3]; Anishenko, Vadiva.sova, Postnov e Safonova em [5]; Carroll e Pecora em [7]; Chua, Itoh, Kocarev e Eckert em [9]; Chua, Belykh, Verichev e Kocarev em [8]; entre outros. Outra área de aplicações é em Sistemas de Lasers, estudado pelo Prof. R. Roy e seu grupo, como mostrado em Fabiny, Colet e Roy em [12]; Gills, Iwata e Roy em [13]; Gills, Roy, Murphy e Maier em [14]. Aplicações a Sistemas de Comunicação são tratadas por Cuomo e Oppenheim em [10] e 'Presser e Worfolk em [25].
1
![Page 7: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/7.jpg)
Cuomo e Oppenheim em [10] e Tresser em Worfolk em [25] propõem o uso de Sincronização Master-Slave em sistemas caóticos para criptografia de mensagens conforme descrito no exemplo a seguir.
Suponhamos ter uma mensagem a ser transmitida, que será uma função contínua e limitada m: IR —> IR. Consideremos o sistema de Lorenz
{
i = —cx + o-y
Y = rx — y — xz
i = —hz +xy
(1)
que apresenta comportamento caótico. A partir desse sistema construímos dois sistemas chamados Master e Slave respectivamente. O primeiro sistema (Master) será usado para codificar a mensagem e o segundo (Slave) será usado para decodificar a mensagem recebida.
O primeiro sistema é construído da seguinte forma
{
X = —crx +cy
Y = r (x + rn(t))—y — z (x + rn(t))
i• = —bz +y(x +rn(t))
E o segundo como segue
{
á = —o-u + et
ii = r(x(t) + rn(0)—v — w(x(t) + rn(t))
lb = —bw + v(x(t)+ rn(t))
(2)
(3)
onde x(t) é uma solução qualquer de (2).
2
![Page 8: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/8.jpg)
Cuomo e Oppenheim em [10] afirmam que os sistemas (2) e (3) sincronizam. Assim estes sistemas podem ser usados para criptografia de mensagens, da seguinte forma: Com a mensagem m(t), construímos o sistema (2), então resolvemos este sistema, com qualquer condição inicial, e obtemos uma solução (x(t), y(t), z(t)). Então somamos x(t) a m(t), e enviamos a mensagem codificada x(t) + m(t). O receptor da mensagem codificada, x(t) + m(t), usa esta mensagem para construir o sistema (3). Então, após resolver o sistema (3), fazemos md(t) = x(t)+ m(t) — u(t). Como os sistemas (2) e (3) sincronizam, temos que a mensagem decodificada md(t) se aproxima da mensagem original m(t), para t grande.
Neste trabalho iremos abordar este tipo de aplicação, porém com algumas al-terações, como descreveremos a seguir.
Em aplicações práticas, os parâmetros representam algum componente físico, co-mo um resistor em um circuito elétrico por exemplo. Desta forma os parâmetros das equações (2) e (3) serão próximos, mas não exatamente iguais. Assim é importante que a sincronização seja robusta à pequenas variações nos parâmetros.
A mensagem a ser enviada x(t)+7n(t) pode sofrer alguma perturbação durante a transmissão. Sendo assim, no sistema (3) devemos colocar x(t) + fit(t), onde m(t) e riz.(t) são próximas. Na prática, as mensagens podem assumir valores apenas dentro de um certo intervalo. Portanto podemos supor que existe uma constante K > O tal que toda mensagem considerada tem norma menor ou igual a K.
As idéias acima podem ser generalizadas considerando-se sistemas da forma
= f (t, z, x + m(t), 71) (4)
= f (t, w, x + fit(t), 72)
onde z = (x , y) E rts x rtn-s = Rft, w = (u, v) E IR x = Ir, 71,t2 E r c iam e m, rit E CIAR, IR?), onde CK(IR, Ri denota o espaço de Banach das funções
: IR continuas e limitadas, com Hal' = suptER ila(t)11, e tal que liali K. Neste trabalho iremos estudar sistemas da forma acima. A estratégia para provar
3
![Page 9: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/9.jpg)
a sincronização para o sistema (4) consiste primeiro em provar que o sistema é uniformemente dissipativo, ou seja, que existe um conjunto limitado E, independente dos parâmetros, tal que toda solução de (4) entra em B em tempo finito e não sai mais dele, para os parâmetros variando em alguma região. Isto é feito usando-se funções tipo Liapunov associadas ao sistema (4). Após provada a dissipatividade, usamos desigualdades integrais e estimativas exponenciais para provar a sincronização dentro do conjunto limitado E.
No Capitulo 1 apresentaremos alguns resultados que garantem a dissipatividade e a sincronização do sistema (4). Neste Capitulo apresentaremos também algumas aplicações à sistemas de comunicação.
4
![Page 10: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/10.jpg)
Capítulo 1
Dissipatividade e Sincronização
Neste capítulo veremos alguns resultados sobre dissipatividade e sincronização e, veremos também, algumas aplicações a sistemas de comunicação.
Durante todo este capitulo, A denotará um subconjunto de E, onde E é um espaço de Banach e 1' denotará um subconjunto de IR'.
1.1 Dissipatividade Uniforme
Seja f E C(IR x x A, R") Lipschitz em limitados com relação a x E IR", isto é, para cada E A e cada conjunto limitado B c R x R", existe uma constante
> O tal que
xl, - f(t, x2, /-11x1 - x211, V(t, (t, x2) E B. (1.1)
Consideremos a equação
5
![Page 11: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/11.jpg)
= f (t, x, A). (1.2)
Denotaremos por J (to, xo, A) = (t- (to, xo, A), ti- (to , xo , A)) o intervalo maximal de existência da solução x(t, to, xo, À) da equação (1.2) com condição inicial x(to ) = xo.
O teorema seguinte nos dá condições suficientes para que as soluções da equação (1.2) sejam uniformemente limitadas.
Teorema 1.1.1. SejaV : IR x IR" x A -+ IR uma função de classe C1 . Suponhamos que existam funções contínuas a,b,c : IRn -+ IR limitadas inferiormente, tais que, para todos (t, x, À) E IR x IR" x A, temos
a(x) V (t, x, b(x)
—V(t, x, A) c(x)
onde
a ii(t,x, A) := —a v(t,x, A) +V(t, x, f (t, x, A).
at ax
Vamos assumir também que:
(i) a(x) -+ +oo quando lixil -3 +oo.
(ii) Existe p> O, tal que o conjunto
Cp := {x E Ir : c (x p}
é não vazio e limitado em .
6
![Page 12: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/12.jpg)
Seja r > O suficientemente grande de forma que
r> sup b(r xECF,
Seja Ar := {x E Rn : a(r) < r}. Então as seguintes conclusões valem para a equação (1.2):
(a) Dados to E R, zo E R" e A E A, temos que t±(to, zo, À) = +oo e existe t1 > to, tal que, para todo t > ti , z(t,to, to, À) pertence ao conjunto limitado Ar.
(b) Se r(t) é uma solução de (1.2) definida para todo t E R, com suptER Ilx(t)11 < +oo, entclo x(t) E itr para todo t E R.
Demonstração: (a) Dados to E R, zo E R" e À E A, mostremos primeiro que t±(to ,x0 ,À)= +oo. De fato, suponhamos que t±(to, x o, À) < +oo. Então temos que Ilx(t, to, xo, À) II +oo quando t -4 t+ (to , zo , À). Assim existe O < 7- < t+ (t0 X0) À) tal que r(t,to,ro,À) 0 C,,, para todo T < t < t+ (to, zo, À). Segue então que c(x(t, to, xo, A))> p para todo T < t < t+ (to, Xo, À). Assim
r(t, to, zo, ,‘), À) a' c(x(t, to, zo, ,‘)) > P
logo
I. 7 (t, r(t, to, zo, À), À) < — p < O
para todo /- < t < t+ (to, zo, À). Desta forma a função t 14 V (t, (t, to , zo , À), À) é decrescente para r < t < t+ (to, zo,À), o que é um absurdo, pois ljx(t, to, xo,À)0 -4 +oo quando t t+ (to, zo, À). Portanto t+ (to , xo, À) = +oo.
Mostremos agora que existe t1 > to tal que x(t i ,t0 ,x0 ,À) E Cp. Suponhamos que não. Então para todo t > to temos que x(t,t0 , x0 , À) S C,,, o que implica c(x(t, to, xo, À)) > p. Assim
7
![Page 13: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/13.jpg)
(t, x(t, to, x0, À), À) c(x(t, to, x0, À)) > p
e então
(t, x(t, to, xo, À), < — p < O.
Isso implica que t V (t,x(t,to,x0 , À), À) é uma função decrescente de t. Como V (t, x(t, to, xo, À), À) a (x(t, to, xo, À)) e a é limitada inferiormente, temos que t V(t, x(t, to, xo, À), À) é limitada inferiormente. Portanto temos que existe e é finito o limite
teco V (t, x(t, xo, À), À).
Então temos que para todo t > to, existe st E (t,t + 1) tal que
V (t + 1, x(t + 1, to, xo, À), — V (t, x(t, to, xo, À), = 1.7 (st, x(st, to, xo, À) < —P.
Fazendo t +cio obtemos uma contradição, pois o lado esquerdo da desigual- dade acima tende a zero. Portanto existe t1 > to tal que
x(ti, to, Xo, À) E Cp.
Vamos mostrar agora que x(t, t0, x0, A) E A,. para todo t > ti. Suponhamos que não. Então existe t2 > h tal que x(t2 , to, xo, À) Ø Ar e assim
V (t2 , x(t2, to xo, A), a(x(t2, to xo, A))> r. (1.3)
Como x(t i , to, xo, À) E Cp, temos que
8
![Page 14: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/14.jpg)
V (th x(th xo, À), À) S. b(x(ti, xo, À)) < r. (1.4)
Assim de (1.3) e (1.4) segue que existe r E (t1, t2) tal que
V(r, x(r, to xo À), = r
e
V (r, x(r, to, xo, À), À) > r, Vt E (r, t2)-
Como, para x E C4,, temos que V(t, x, À) < b(x) c r, segue que x(t, to, xe, À) 0 Cp, para t E (r,t2 ). Portanto c(x(t, to, xo, À)) > p para todo t E (r,t2 ). Logo
-fr(t, x(t, to, xo, À), À) c(x(t, to , xo A))> P
e assim
(t, X(t, to, xo, 4A) < Vt E (r,t2),
o que implica que t E (r,t2) 1—> V(t,x(t, to, x,À), À) é uma função decrescente de t. Mas isso é uma contradição, pois V(r, x(r, to, xo , À), À) = r e V (t2, x(t2 , to, xo, À), À) > r. Portanto.temos que
x(t, to, xe, À) E ,4,, Vt >
(b) Suponhamos que x(t) é urna solução de (1.2) definida para todo t E IR e tal
que suptER ilx(t)li < +cc. Mostremos que x(t) E Ar para todo t E IR. De fato, suponhamos que exista r E IR tal que x(r) 0 4. Então temos que x(t) 0 Cp para
9
![Page 15: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/15.jpg)
todo t < 7, pois se x(s) E para algum $ < r teríamos, pela demonstração do item (a), que x(t) E A1. para todo t> s, o que contradiz o fato de que x(7) Ø À,..
Portanto —17"(t, x(t), À) > c(x(t)) > p e assim 1.7(4 x(t), À) < —p, para todo t < 7.
Então para todo t < 7, existe st E (t — 1,t) tal que
V (t, x(t), À) — V(t — 1, x(t — 1), À) = (st, x(st ), À) —p.
Isso implica que
e
e assim
V (r, x(r) , À) +p S V(r - x(r - 1),À)
V('r- x(r -1), À) + p SV(r — 2, x(r — 2), À)
V(7, x(7), À) -I- 2p S V(7 — 2, x(7 — 2), À).
Prosseguindo indutivamente obtemos
V(7, x(7), À) np V(7 — n, x(7 — n), À).
Da desigualdade acima segue que V(7 —n, x (7 —n), À) —> +oo, quando n —> +oo, o que é uma contradição, pois V(t, x(t), À) < b(x(t)) e como suptat ilx(t)11 < +00, segue que b(x(t)) é limitada, o que implica V(t, x(t), À) limitada. Portanto
X(t) E .Ár, Vt E R.
Observação 1.1.1. No Teorema 1.1.1 se tivermos que c(x) —> +oo quando 114 —> +o°, então a hipótese (ii) estará satisfeita.
10
![Page 16: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemplo 1.1.1 (Equações de Lorenz). Consideremos o sistema de Lorenz
{
± = —o-x + cry y = rx — y — xz Z = —bx + xy
(1.5)
Seja À := (o-, r, b) e seja
A := { (o-, r, b) E iFt.3 : < a < am, rm <r<rM e
onde O < a,,, < am, O < r„, < rm e O < < bm.
Fazendo u := y, z) E rt,3, e
f (u, À) := (—o-x + o-y, rx — y — xz, —bz + xy),
tomemos a seguinte função de Liapunov
V(x, y, z, À) = x2 + 1-7—y2 + — (r + 1))2. 2r 2r 2r
Então temos que
V(x, y, z, = x2 + + (.z — (r + 1))2 ‘
2+X2 ey2 2 1:rt(Z - (r + 1))2 = 1 x2 4_ tsi_n2 4_ (z2 - 2(r + 1)z + (r + 1)2) 2rm ' 2rm ' 2rm
_L x2 4_ 4_ ara_n2 ara_ ( z2 _ 2(r +1)1z1+ (r + 1)2) 2rm 2rm d 2rm
_L .x2 4_ aa_n2 4_ /a (z2 2(rm 1)1ZI (Tm -I- 1)2) =: a(x,y, Z). 2rm ' 2rm 2rm
11
![Page 17: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/17.jpg)
Ainda
V(x, y, z, À) = 2.4x2 ± ti y2 + tf. (r + 1))2 <
2:..„2 x2 _i_ e_y2 (r + 1))2 = (z2 2(r + 1)z + (r + 1)2)
2r (z2 + 2(r + 1)1z1 + (r + 1)2)
en- (z2 + 2(rm + 1)1z1 + (rm + 1)2) =
(IZI ((ri.,+ 1))2 b(x , y , z).
Temos também que
V(x, y, z, À) = t.x(—crx + cry) + y(rx — y — xz) +(z — (r + 1)) (—bz + xy) =-• —f.x2 + xy — y2 + crxy — ,z2 + fl,b7(r + 1)z — 4". (r + 1)xy =
ty2 Z2 + (*:(7. + 1)z.
Assim
—V(x, y, z, À) = .7:x2 + y2 + ¶ z2 — (r + 1)z >
e x2 + y2 + z2 £Afts,. (rm + 1)1z1rM = graxa ± riva,2 fariSri,rm (z2 cemnibbffernim (rm + 1)1zI) = Tm TAr7
Lrm-X2 chay2 embm nirmrr': (r + 1)) (2̀ízil—m—fri-embb Jr. (rm + 1)) = Tm m 2amb
2 Tm T
2
zusti2 gatro, (I zi aMbMr" fr 2 rM
— (EM-kat r 1))2 =: c(x , y , z). Tm ru I 2.7„,b,„r„, M tr„,b,„
Claramente as funções a, b e c satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado B c IR3 tal que se (x(t), y(t), z(t)) é uma solução da equação (1.5), então existe t1 tal que (x(t), y(t), z(t)) E B para todo t > ti.
12
![Page 18: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/18.jpg)
120-,
100-,
80,.
60N
N
40,
20.
O-,
-20 100
< >
-100 _40 _ao -20 -10 O 10 20 30 40
Y x
Figura 1.1: Estimativa do Atrator de Lorenz
Na Figura 1.1 mostramos um esboço do atrator de Lorenz e da região de limi-tação.
1.2 Sincronização
Sejam f, g E COR x IR" x IR" x A, Fr) satisfazendo a condição de Lipsehitz em limitados (1.1) com relação a (x, y) E IR" x llr. Consideremos o sistema
13
![Page 19: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/19.jpg)
{± f (t, x, y, Ai)
g(t,x, y, A2) (1.6)
Definição 1.2.1. Dizemos que (1.6) sincroniza (globalmente) se dado E > O, existe 5> O, tal que, se IN - jj <5, então para todos to E IR, e (xo, Yo) E Rn x Rn temos que
limsupfly(t,to,xo,yo, Ài,À2) X(ty tO2 YO, Ah A2)11 < E. t->-1-03
Teorema 1.2.1. Suponhamos que:
(i) Existe um conjunto limitado E C Rn tal que, para todos to E /R, (ra, Yo) E Rn X Rn e AI, À2 E A, a solução (x(t, ta, xa, Yo, Ai, )z), y(t, to, xa, Yo, Ai, )z)) do sistema (1.6) satisfaz: tito,xo,Yo,A17 À2) = +00 e existe ti > to tal que
(X(t,i(:), X02 YO2 Ah A2), y(t, to, ro, YO2 AI; À2)) E B x E,
para todo t> ti.
(ii) Existe uma função contínua F : R x Rn x Rn x A -> .C(Rn) tal que, para todos t E /R, (x, y) E Rn X R" e À E A, temos g(t,x, y, À) - f (t,x, y)) = F (t, x, y, )t)(y -
(iii) Existi uma constante k > O tal que, para todos to E R, (xo, Yo) E Rn x Rn e),1,),2EA, existem a>0eM>0 tal que F(t,x(t),y(t),À2) de-fine um operador de evolução T(t, s, A2), com IIT(t, s, A2)11 < Mc-°@-$) e
ftt, IIT(t, s, Az)lids < k para todos t i < s <t, onde x(t) := x(t,to,x0,Y0, Ai, A2) e y(t) := y(t, to, ro, Yo, AI; )2)•
(iv) Existe uma função H: R+ -> IFt.4., contínua em O E IR.+, com H(0) = O, tal que, para todos Ai, À2 E A, xEBetE R, temos
Ilf (t, x, y) À2) f (t,x,y, AIA 11(11À2 — Adi).
14
![Page 20: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/20.jpg)
Então dados to E 1R, (xo,Yo) E Rn X Rn e À1, À2 E A temos que
x(t)II 5 — + kH(I1À2 — Ai II)
para todo t > 4, onde x(t) := x(t, to, xo,Yo, À, A2), Y(t) := Y (t , to, xo, Y0, 1\ 1,1\2),
X1 := x(ti) e := Y(t1)-
Demonstração: Dados to E /R, (xo, yo) E Rn X Rn e AI, A2 E A, seja z(t) := y(t) — x(t).
Temos•que
y — = g(t, x, y, A2) f (t, Al) = = g(t, x,y, A2) f (t, x, Y, A2) f (t, x, y, A2) f (t, Al) = = F (t, x, y, A2) — x) + (f (t, x, y, A2) f (t, x, y, AI)) •
Então
.i(t) = F (t, x (t), y(t), À2)Z(t) (f (t, x (t), y (t), A2 ) — f , x(t), y(t), Ai)) .
Considetemos o problema de valor inicial
{
lb = F (t, x (t), y(t), A2) w + (f (t , x (t), Y(t), A2) — f (t, x(t), y(t), Ai)) (1.7)
w(t i ) = z(ti) =y' — xi
Seja T(t, s, À2) o operador de evolução de ia = F (t, x (t), y(t), Ma. Então a solução da equação (1.7) é dada por
15
![Page 21: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/21.jpg)
w (t) = T(t,t1, A2)w (ti) + f T(t, tr, A2) (f (t, x(t), Y(t), A2) f (t, (t),y(t), À1 ))dr.
Como (t, s, À2)11 Me-0(t-8), ftt,IIT(t, s, A2) lids < k e Ilf (t, x(t), Y(t), A2) —
f (t, x(t), (t), A1)11 S H (1l A2 — A111), Para ti S s S t, segue que
¡Int) ti; A2S(t1)11+
ft: 'Int) TI A2)11 ilf z(t),y(t), A2) — f (t, x (t) , y(t), À1 )Ijdr
H(11À2 — A111) fit, ¡Int 1-7 A2)Ildl"
- Ile-a(t-td + kH(IIÀ2 — A111)-
Portanto temos que
IIy(t) r(t)11 — xijle-°("I) +kHalÀ2 —
para todo t > t i .
Teorema 1.2.2. Suponhamos que:
(i) Existe um conjunto limitado 8 C IR" tal que, para todos to E IR, (x0, yo) E IRIZ X Ir e Ai, A2E _ A _, a solução (x(t,to,ro,Y07 À17 A2), Y(t7 to, X0) yO, AI; A2)) do sistema (1.6) satisfaz: t÷(to,xo,Yo, Al) A2) = +00 e existe ti > to tal que
(x(t, to, x0) YO, Al.) A2), y(t,to, x0, yo,À1, À2)) E 8 x
para todo t > t l .
(ii) Existe uma função V : IR x IR" x A IR, de classe C', e existem constantes positivas k l , p, al a2 e fi > 1, tais que
y—x, À)+(VW (t, y—x, À), g(t, x, y, À) —f(t, x, y, À)) —pV (t, y —x , À),
16
![Page 22: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/22.jpg)
— xila V(t, y — x, À) 5 «211Y - AI°
e
II VV(t, y — x,
para todos (x, y)E13x/3,tEIR.eAEA, onde
OV VV(t, x, À) = (t, x, À), (t, x, À))
oxi aXn
e VV(t, y — x, À) = VV(t, z, À) I.._2.
(iii) Existe urna função H1 : IR.1. -4 RA-, contínua em O E ELF, com H1(0) =O, tal que, para todos A1,À2EA,xE13etEIR, temos
lif(t, x, y, A2) f (t, X, y, A1)11 Hl (11A2 A1l1)•
Então dados to E IR, (xo, Yo) E IR" x e AI, A2 E A temos que
- x(t)II Mb' - + kH(11A2 - Adi)
para todo t ti , onde x(t) := x(t,to, xo, Yo, À2), y(t) := a := plfi,k:=( pk,+)1113 , M:= (a2/ai)"fi e H : IR+ -4 IR+
é dada por H(r) := (Hl (r)) 1/13.
Demonstração: Dados to E IR, (xo, Yo) E Rn X IR" e A1, Az E A, temos que
— = g(t, x, y, A2) — f (t,x, y, AI) =-
= (9(t, x, y, A2) — f (t, x, y, A2)) + Cf (t, X, y, A2) f (t, x, y, AI)).
(1.8)
(1.9)
A derivada de V(t, y — x, A2) ao longo das soluções do sistema acima é dada por
17
![Page 23: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/23.jpg)
y — x, À2) = AV (t, y — x, À2) (VV(t, y — x, 2), g(ty x, y, À2) f (t, x, y, A2)) y — x, A2), f (t, x, y, 1\2) f (t, x, y, AI)).
Assim
(t , y(t) — x(t), A2) = &V(7", y(t) — x(t), À2) ir=t
+(VV (t, y(t) — x(t), À2), g (t, x(t), y(t), A2) f (t)X(t), y(t), A2))
+(VV(t, y(t) — (t), A2), f (t, x(t), y(t), A2) f (t, x (t), (t), Ai)).
Para t > t1 temos que (x(t), y(t)) E .8 x 8, então
V (r, y(t) — (t), A2) =t
+(VV(t, y(t) — x(t), A2) g (t, x (t), (t), A2; f (t, x(t), Y(t), 1\ 2) ) —PV (t7 Y(t) x(t), À2)
e
(VV(t, y(t) — x(t), A2), f (t? X(t), y(t), A2) — f (t, x(t), y(t), AI) ) I pv (t, y(t) — x(t), A2) f(t, X(t), y(t), A2) f (t, x (t), y (t) , Ai)
5 k1i4(11À2 — Aill).
Portanto
(t, y(t) — x(t), A2) —pV (t, y(t) — x(t), A2) ± ki1/1(11À2 À111)•
Logo
ePtV(t, y(t) — x(t), À2) pePtV (t, y(t) — (t), A2) S kiePtHi (1l A2 — A111)
18
![Page 24: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/24.jpg)
e assim
(e(417(t, y(t) - x(t), A2)) 5 kiesHi(11À2 — MD.
Integrando esta última desigualdade de t1 a t obtemos
f t e —d (64"V (r,y(r) - x(7 ), A2)) dr 5 kiHi. (iPa - II) f er, dr,
t1 dr
e assim
ePtV (t, y (t) - x (t), A2) S ePti V (ti, Y(ti) - x(ti), A2) + HIÜIÀ2 - II) (et - ePtI) 5 ePti V (ti , y(ti) - x(ti), A2) + (11)'2 - II) ePt•
De onde segue que
17(t, y(t) - ,r(t), A2) S 6-19(t-ti)17(th Y(t1) X(t1)) A2) ± iii-111(11A2 - A111).
Assim de (1.8) segue que
ceilly(t)-x(t)11° v(t,y(t)- x(t),À2) < e-P(t-ti)V(th Y(t1) X(t1), A2) ± Al II)
a2CP(t-ti)liy(4) - x(ti)ils + - ID•
Então temos que
Ily(0 - x(011 <
1- ese-P(t-ti)Hy(4) - x(4)11° [ze-p(t-t1)11Y(tI) —
+ - II/ 1/fl
Adi)] 1/0 vp
ki,41/1(liA2 = Me-a(t-t011y(t1) — kHa1À2 —
19
![Page 25: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/25.jpg)
onde usamos que (a + b)'IP < aVP + P, para a, b>0ep> 1.
Portanto temos que
11Y(t) x(t)11 MIIYI - k11- 01À2 À111)
para todo t > ti.
Corolário 1.2.1. Se o sistema (1.6) satisfaz as condições do Teorema 1.2.1 ou do Teorema 1.2.2, então o sistema (1.6) sincroniza.
Demonstração: Dado e > O, como H : IR+ -) Ift+ é contínua em O E IR+, com H(0) = O, existe .5 > O tal que se IN -4 <1 então H(11A2 - A111) < á. Assim se 11A2 -À' < .5, dados to E IR e (xo, Yo) E Rn X Rn, seja r > t1 tal que e-a(t—ti) < 217, para todo t > r. Então
IlY(t) to) x0, yO) Al.) )'2) X(t ) t02 2:0) YO3 Al) )'2) II <
Me-a(t-gd + kil(11A2 - A111) < M2+1 k =
para todo t > r. Portanto o sistema (1.6) sincroniza.
1.3 Aplicações
Nesta seção veremos algumas aplicações de sincronização de equações diferenciais à comunicações. Mais especificamente, veremos algumas aplicações à. criptografia de mensagens. A mensagem a ser criptografada será uma função m(t) contínua e limitada.
20
![Page 26: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/26.jpg)
Mais precisamente, seja f E C(IR, x 1R x IRE x r, IR") satisfazendo a condição de Lipschitz em limitados (1.1) com relação a (x, y) E IR," x IR?, onde s < n. Seja rn, fiz. E CK (R, IRE). Consideremos o sistema
= f (t, z, x + rn(t), 71)
= f(t, w, x + fiz (t), 72) (1.10)
onde z = (x, y) E RE X En-8 = R" e w = (u, v) E RE x an-8 = IR".
Suponhamos que m(t) é a mensagem a ser criptografada e que o sistema (1.10) sincroniza. Então resolvemos a primeira equação (que é independente da segun-da) com qualquer condição inicial. A seguir construímos a mensagem criptografada m(t) fazendo m(t) = m(t) + x(t). Então enviamos a mensagem criptografada rne(t). Na transmissão poderá ocorrer alguma perturbação (pequena) na mensagem enviada. Por isso a mensagem recebida será rn,(t) =i(t) x(t), onde m(t) e w(t) são próximas. O receptor usa a mensagem recebida rn,(t) = ti(t) x(t) para construir a segunda equação. Então resolve-se a segunda equação, com qual-quer condição inicial, e a seguir constrói-se a mensagem decodificada rnd(t), fazendo rnd(t) = rai.(t) — u(t). Então, como o sistema (1.10) sincroniza, para 71 e 72 sufi-cientemente próximos, temos que w(t) e z(t) estão próximos para t grande. Assim u(t) se aproxima de x(t), e então rnd(t) se aproxima de rn(t), para tempos grandes.
A seguir veremos alguns exemplos deste tipo de aplicação.
Exemplo 1.3.1 (Equações de Lorenz). Consideremos o sistema de Lorenz
{
X = —o-x + o-y
y = rx — y — xz i = —bz + xy
Sejam m, fiz. E CK (IR, IR). A partir do sistema acima construímos os sistemas
21
![Page 27: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/27.jpg)
{{
± = —crix + criy ü = ri(x +m(t))—y — z(x +m(t)) i = —1)1z + y(x +m(t))
ii. = —cr2u + a2v V = r2(x + fft(t))—v — tv(x + fiz(t)) ti) = —b2w + v(x + riz(t))
(1.12)
(1.13)
onde (cri, ri, bi), (cra, ra, b2) E e
:= {(cr,r, b) IR3 : < < om, rn,<r < rm e
com O < o-m, O rn, < rm e O < < bm. Sejam A = x CK(IR, TO e = (7, m(t)) E A, onde 7 = (cr,r,b) E 1".
Mostremos, primeiro, que os sistemas (1.12) e (1.13) satisfazem as condições do Teorema 1.1.1.
Para o sistema (1.12) consideremos a seguinte função de Liapunov
onde A1 = (cri, ri, bi, m(t)).
Então temos que
Vi(x, y, z, AI) = X2 + aly2 + o-1 (z — n)2 > X2 + — n)2 =
x2 + CmY2 + cr,,,(z2 — 2nz + n2) > x2 + cr„,y2 + an,(z2 — 2rmizi + = 2:2 + cr„,y2 + o-„,(1z1 — rm)2 + — rm2) =: (x, y, z).
22
![Page 28: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/28.jpg)
14(x, y, z, Ai) = x.2 + ai y2 + (z — n)2 < x2 + amy2 + CM (Z — n)2 =
x2 + a my2 + a m (z2 — 2nz + n2) < x2 -I- my2 am(z2 + 2r /giz' r1?) = x2 + m ± am az' + r /t)2 bi (x, y, z).
Temos também que
1:4(x, y, z, Al ) = 2x (—aix + aiy) + 20iY (ri (x + rrb(0) — y — z(x + rrb(t)))± 2a1(z — n)(—biz+ y(x+rn(t))) —2a1x2 + 2a1xy + 2air iy(x + m(t)) — 2uly2 — 2aiyz(x + m(t)) —2a1b1z(z — + 2u1y(z — + m(t)) = —2a1x2 + 2cr1xy + 2cri ny (x + m(t)) — 2a' y2 — 2aiyz(x + m(t)) —2a1 b1z2 + 2cr1b1nz+ 2alyz(x + m(t)) — 2a ir (x + m(t)) —2a1x2 + 2cr1xy — 2a1y2 — 2a1b1z2 + 2a1b1nz.
Assim
Ai) = 2cr1x2 — 2a1xy +2uly2 + 2aibiz2 — 2cribinz = cr1x2 a1x2 _ 2a1xy +uly2 +0"iY2 + 2a1b1z2 — 2a1b1nz =
a1 x2 + (x — y)2 ± ai y2 + 2cr1b1z2 — 2aibinz > a„,x2 a 2 + 2ambmz2 — 2ambmrmizl =: ci(x, y, z).
As funções ai, b e ci obviamente satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado Bi C IR.3 tal que se (x(t), y(t), z(t)) é uma solução do sistema (1.12), então existe ti tal que (x(t),y(t),z(t)) E BI para todo t > ti.
23
![Page 29: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/29.jpg)
De forma análoga, para o sistema (1.13) consideremos a seguinte função de Lia-punov
V2(26, V, 2D, A2) = U2 ± 0-2V2 (72(W — 1-2)22
onde À2 = (o-2, r2, b2, fil(t)).
Então temos que
V2 (14 W, A2) = U2 ± 0-2V2 0-2(W r2)2 >
U2 ± 0-n02 ± 0",n(W — r2)2 = u2 ± 0.7702 ± uni(w2 _ 2r2w + r22) > u2 + crrav2 + o-„,(w2 — 2rm I w + rn,2) = u2 + crv2 + o-Tn(Iw I — rm)2 4- o-,,,(r,,,2 — rm2) =: a2(u, v, w).
172 (U, V, W, A2) =
u2 + crmv2 + crm(w — r2)2 = u2 + o-mv2 + o-m(w2 — 2r2w + r22) < u2 + crmv2 + crm(w2 + 2rml w I + rm2) = u2 + o-mv2 + o-m( lw I + rm)2 =: b2 (u, v, w).
Temos também que
W, A2) = 2u ( —o-2u + cr2v) + 2cr2v (7.2 (x + fh(t)) — v — w (x + 771(t)))+
20-2(w r2) —b2w + v (x + 7h(t))) = —2o-2u2 + 2c2uv + 2c2r2v(x + rn(t)) — 2cr2v2 — 2cr2vw + rn(t)) —2cr2b2w (w — r2) + 2o-2v (w — r2) (x + 771(t)) = —2o-2u2 + 2cr2uv + 2o-2r2v (x + fh(t)) — 2cr2v2 — 2cr2vw (x + r71(t)) —2o-2b2w2 + 2o-2b2r2w + 2o-2vw + 771(t)) — 2o-2r2v (x + 771.(t)) = —2cr2u2 + 2cr2uv — 2cr2v2 — 2cr2b2w2 + 20-2b2r2w•
24
![Page 30: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/30.jpg)
Assim
(11, V, 2V, .À2) = 2a2112 — 20"21.W + 20.2V2 -1- 20.2b2W2 20.2b2r2W =
0.2112 0.2112 20.211V 0.2V2 0.2V2 20.2b2W2 20.2b2V2W =
0.2112 ± 0.2(n — 91)2 ± 0.2V2 ± 20.2b2W2 — 20.2b2V2W >
a,„u2 + av2 + 2arabn,w2 — 2ambAirm w I c2 (u, v, w).
Novamente, as funções az, bz e cz satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado 82 C IR3 tal que se (u(t), v(t), w(t)) é uma solução do sistema (1.13), então existe tz tal que (u(t), v(t), w(t)) E 132 para todo t > tz.
Sejam 13 = B U /32 e t3 = max{ti, tz}. Então para toda solução (x(t), y(t), z(t)) de (1.12) e toda solução (u(t), v(t), w(t)) de (1.13), temos que
(x(t), y(t), z(t)), (u(t), v(t), w (t))) E /3 x 13
para t> t3 .
Portanto os sistemas (1.12) e (1.13) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.2. Mostremos então que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.2. Sejam
(—az + ay f (x, y, z,u, v, w, À) = r(x ± rn(t)) — y — z (x + m(t))
—bz + y(x + m(t))
(—au + av
g (x , y, z , 14, v , w , À) = r(x +m(t)) —v — w(x +m(t)) •
—bw H-• v(x + m(t))
25
![Page 31: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/31.jpg)
FazendoX=u— x, Y=v—yeZ=w—ztemos
(—crX + crY tu, y, z, u, v, , A) — f (x, y, z, u, v, tu, A) = —y— z(x+sTi(t)) •
—bZ + Y (x + na(0)
Então temos o seguinte sistema
{
).‘ •= —crX + crY
Y = —37 — z(x + m(0)
Z= —bZ + Y (x + m(0)
(1.14)
Para este sistema consideremos a seguinte função de Liapunov
V(X, Y, Z, A) = 2X2 + crY2 + crZ2.
Então temos que
V(X, Y, Z, A) a2 (X2 + Y2 ± Z2) = a2 ii (X, Z)112
e
V(X, Y, Z, A) ai (X2 +Y2 + Z2) = II (X, Y, Z)112,
onde al = inin{2, an } e a2 = max{2, CAIE Portanto a condição (1.8) do Teorema 1.2.2 está verificada.
Ihmos também que
II VV(X, Y, Z, = 11(4X, 2crY, 2crZ)II 20211(X, Y, Z)II 2a2B
onde B > O é tal que 11(x, y, z)II < B para (x, y, z) E B. Portanto a condição (1.9) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.
26
![Page 32: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/32.jpg)
Temos ainda que
= 4X (—a X + ai') +2aY — Z (x m(t)))+ 2a Z (—bZ +Y (x + m(t))) = —4a X2 + 4a XY — 2aY2 — 2aY Z (x + m(t)) —2abZ2 + 2aY Z (x + m(t)) = —4a X2 — 2aY2 — 2abZ2 + 4a XY.
Seja p> 0 tal que p < 2an„, p < 214,„ e p < p_, onde O <p < p+ são as duas raizes da equação E2 - (2+ 2am)e + 2a = O. Então
— Y, Z,A)+pV(X,Y,Z, ),)) = 2(2a— p)X2+a(2—p)Y2+a(2b—p)Z2 -4aXY.
Vamos mostrar, pelo critério de Sylvester, que — y, Z, À) ±pV(X,Y, Z, À)) é definida positiva. Para tanto precisamos mostrar que 2(2a — p) > O, 2(2a — Aa(2—p) — 4a2 > O e a(2b — p) (2(2a — p)a(2 — — 4a2 ) > O.
Como p < 2an„, ternos que 2(2a — > 2(2aff, — p) > O. E como p < p_, temos que
2(2a — p)a (? — p)— 4a2 = 2a(p2 — (2 + 2a)p + 2a) 2a (p2 — (2 +2a p 2a) > 0.
Além disso como p < 2b„„ temos que a(2b — > a(2b — p) > O e assim a(2b — p)(2(2a — p)a(2 — p) — 42) > O. Portanto pelo critério de Sylvester temos que
— (V(X, Y, Z, + pV (X ,Y, Z, A)) O
e assim
27
![Page 33: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/33.jpg)
if (X, Y, Z, À) < -pV (X, Y, Z, À).
Portanto a condição (ii) do Teorema 1.2.2 está satisfeita. Vamos então verificar a condição (iii). Temos que
f (x, y, z, ti> 14 tV3 A2) "-" f (x, IV3 À1) =
((r2 — ri)x + r277/(t) — ri/n(0 — (fit(t) — m(t))z) =
—(b2 — bOz + frii(t) in(0)Y
(—(a2 — al)x + (a2 - al)Y (r2 — rOx + (r2 — ri)fit(t) + (712.(t) — m(t))ri — (772.(t) — m(t))z
— (b2 — bi)z + fril(t) — m(t))Y
Assim segue que
Ilf (x, y, z,u,v,w,À2) f (x, y, z, u, v, w,À1)11 Ia2 —0i11X1 + Ia2 —oiIy + Ir2 — rilixi + Ir2 — riJIIfihII
— milri + — mll + Ib2 — bijzj + — millyl 10'2 — lB + 10.2 — ad/3+ 17-2 — IB + Ir2 — IK
+11711, milrm + ¡lã/ — +j1)2 - + Hitt - milB = 2B1a2 — + (K + 1r2 — ril + B1b2 —b,I + (rm + 2B)11772. — mil.
Então a condição (iii) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.
Portanto os sistemas (1.12) e (1.13) satisfazem as condições do Teorema 1.2.2, e assim pelo Corolário 1.2.1, temos que os sistemas (1.12) e (1.13) sincronizam.
28
![Page 34: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/34.jpg)
Nas Figuras (1.2) e (1.3) temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.12) e (1.13). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: ui = 10, r1 = 28, b1 = 8/3, cr2 = 10 + 1/100, r2 = 28 + 1/100, b2 = 8/3 + 1/100, m(t) = 3 cos(5t), tiz(t) = 3 cos(5t) + (1/100) sen(t), x(0) = 1, y(0) = 30, z(0) = —10, u(0) = —5, v(0) = —20 e w(0) = 20.
100
80
60
40
20
5 10 15 20 25 30
(a) ix(t)-u(t)i-Fly(t)-v(t)j-Fiz(t)-w(01 (b) (x(t), y(t)) = (tt(t), v(0) = - - -
Figura 1.2: Sincronização do Sistema de Lorenz
29
![Page 35: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/35.jpg)
(a) m(t) = s(t) +m(t) = - - - (b) rn(t) = ind(t) = - - -
Figura 1.3: Codificação de Mensagens com o Sistema de Lorenz
Exemplo 1.3.2. Consideremos o sistema
{
± = —a x + cy ú = h(t)x — y — x .z .*=—bz+xy
(1.15)
onde h : IR -4 IR é contínua e limitada. Observemos que para h(t) r temos o sis-tema de Lorenz (1.11). Sejam m, fiz. E CK(111, R3), onde m(t) = (mi (t) , m2 (t) , m3 (t)) e fit(t) = (t), 1712 (t), 7713 (t)) . Contruimos então os seguintes sistemas
{
± = —c i x + 0-1Y
.* = —b 1.z ± (x + rni(t)) (Y + m2(t))
(1.16)
30
![Page 36: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/36.jpg)
{
ti = —a2u+ a2v b = h(t)(x + ?hl (t)) — v•— (x + riti(t)) (z + fha (0)
á = —b2w + (x + /741(0) (Y + ?fia (0)
(1.17)
onde (ai, bi), (o-2,!,2) E r e
r {(a,b) ER2 :a„, < a <am e b,,,<b < bm },
com 1 <Um < am e O < bff, < bm. Poderíamos pedir apenas que an, > O, mas isto
será feito num trabalho futuro. Sejam A = r x CKOR,R3) e À = (7, rn(t)) E A,
onde 7 = (a, b) E r.
Mostremos, primeiro, que os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem as condições do
Teorema 1.1.1.
Seja L > O tal que Ih(t)1 < L e seja M = max{L,K}. Para o sistema (1.16)
consideremos a seguinte função de Liapunov
V]. (X? Y,Ai) = M(201 + 1) + 1 2
± 1 (
M2 (2b1 ± 1) \ X2 M m )
onde A1 = /4, rn(0) •
Então temos que
(x, z, Ai) = )2 2m2(2b1.4.1) z ± [m2(261+112) >
bt 2M2(26:+1) izi [ M2(26m+1)1 2) = b
bm M(26,n+1) 2 1 2 1 (Ii M2(26m+1)) 2+ ambm X ± my m ZI bm
M(261+1) X I 2 •- 1.2 _E 1 (z M2(261+1)
M(2bm+1) z2 Til y2 ± ml (z2 ombm
M(2bm-F1)x2 kr. y2 ± ml ( z 2 ombm
m3 (2±// ri±j.) _ m3 ebb_V) 2
bm =: ai (x, y, z). 2
31
![Page 37: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/37.jpg)
vi ( x, y, z, Ai) = M(261-1-1) x2 ± i.y2 4., mi (z Mi M 2 (2bi -1-1) ) 2 <
bi M(2bm -1-1) x2 ± ml y2 ± m
o mi% 1 ( 2 Z 2 m2(2bbii +1) z + [m2(2bb,11-1)]2)
m2(2bm+i) izi ± [ bm ) m(2bm+i) x2 ± mi y2 + m ( ombrn bm I
1 z2 ± 2 2(2bm+1)12 m
, m2(2bm+1)) 2 =: bi(x, Y, z). m(2bm+i)x2 Um bm
+ ml y2 ± mi (IZI + bm
Temos também que
1.71(x, Y, z, )i) = 2M(2bi +1) x ( ai x ± 0. 1 bi
7,27 y (h (t) (x + mi (t)) — y — (x + mi (t)) (z + m3(t)))+ 2 (z M2(2b1 +1)) (_bi Z ± (X + Mi (t)) (y + rn2(t))) = m bi
2m(2b1 +1) x2 ± 2/14.(2bi +1) xy ___ 4y2 + A4yh(t)(x + mi (t)) bi bi _ ,4 y (x ± mi (0) ( z ± m3(t)) _ wz ( z m2(2bbii-i-1)) +
h (z m2(2bbi1 +0 ) (x + mi (t)) (y + in2(t)) = 2M(21;e1 +1) x2 ___ . y2 + 7127 h(t)x y 4- kh(t)mi (t)y bi
— -4m3(t)xy — i+f mi (t)m3(t)y — 21,Lf z2 + —m2 rn2(t)x.z+
hm, (t)m2(t)z + 2M(2b1 + 1)z 2m(2b1 +1) b1
m2(t)x
2 /11"(2bbi 1 +1) m1 (t)y 2M(2:1 +1) m1 (t)m2 (t).
Assim
32
![Page 38: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/38.jpg)
y , z , At ) = 2M(2:11-1-1) x2 ± hy2 h(t)xy — tf h(t)trt i (t)y+ Ima (t)xy + hirtt (t)m3 (t)y + 2,4 z2 — kr% (t)xz
2m(zbini+Orn2(t)x+ —r2itn1 (t)m2 (t)z — 2M(2b1 + 1)z + 2M(261-1-1) (t) y 2m(2b51+i)rni (t)rn2(t) >
2M(2111-1-1) x2 ± hy2 ± e. x2 _ bi tElflyi
2K' ii .24(11y1_ ?JIA l xi 2AR;
—2M(2b1 + 1)1.21 2M(261:1-1-1)K x 2M(2611-1)K lyi 2M(2bi 4-1)K2 > 6
2 eX2 114-y2 +11,-122 + (Nr4Mixl — 71A71y1) +
2M2r -1-1))iy i (9IX I — SIZI) — (4M+ (b n+1) > 2: 2m2(b2161-1-1) ix (2M ± 2M(2b1 + 1)) izi 2m3
tif x2 ± by2 z2 2M2 (bm2bm +1) i x i (4m. 2M2 (bni2bm +1)) iyi
amtbm+n —(2M ± 2M(2bm + 1)) I zi ci(x, y, z).
As funções ah bt e ci obviamente satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado BI C IR.3 tal que se (x(t), y(t),z(t)) é uma solução do sistema (1.16), então existe t1 tal que (x(t), y(t),z(t)) E Bi para todo t > ti.
De forma análoga, para o sistema (1.17) consideremos a seguinte função de Lia-punov
V2 (U, V W A2) = u2 a2v2 w2,
onde À2 = (Cr27 b2, fil(t)).
Seja BI > O tal que 11(x, y,z)11 < BI para (x, y, z) E Bi. Então temos que
33
![Page 39: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/39.jpg)
V2(U, V, W, A2) = u2 0.2v2 ▪ w2 >
U2 7niv2 ▪ w2 =: a2 (u, v, w).
V2(U, V, W, ,\2) = u2 cr2v2 ▪ w2 <
u2 amv2 ▪ w2 =: b2(U, V, W).
Temos também que
1'f2(U, V, W, A2) = 2u( — o-2u + o-2v) + 20-2v (h(t) (x + i 1 (t)) — v — (x + (t)) (z + 7723(t))) +
2w (—b2w + (x + (t)) (Y + fii2(t))) =
— 2Cr2U2 20.2V2 2b2w2 20"211V 2a2Vh(t)(X 4- MI (t))
—2a2v(x + 774 (t))(z +m3(0) + 2w(x + frii(t)) (y + mz(t)) = —(72u2 — a2v2 — 2b2w2 — 0.2(u — v)2 + 2a2vh(t)(x + (t)) —2o2v (x + 77/1 (t)) (z + m3(t)) + 2w (x + (t)) (y + 7712(t)) •
Assim
—1.72(u,v, w, A2) = o-2u2 + cr2v2 + 2b2w2 + cr2(u — v)2+ 2a2v(x + rnd (t)) (z + 771,3(t)) — 2a2vh(t) (x + r7/1 (t)) —2w (x + 7'74 (t)) (Y + faz(t)) ?- o-2u2 + a2v2 + 2b2w2 + o-2 (u — v)2 —2a2 (BI + K)(L + B1 + K)Ivi — 2(B1+ 1021wl 7mu2 + 7mv 2 +2bmw2 — 2(B1 + K)2 Iwl —20-m(B1 + K)(L + B1 + K)iv =: c2(u, v, w).
Novamente, as funções a2, b2 e c2 satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado B2 C IR3 tal que se (u(t),v(t),w(t)) é uma
34
![Page 40: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/40.jpg)
solução do sistema (1.17), então existe t2 tal que (u(t), v(t), w(t)) E E2 para todo t > t2.
Sejam E = Ei U 52 e t3 = max{ti,t2}. Então para toda solução (x(t), y(t),z(t)) de (1.16) e toda solução (u(t), v(t), w(t)) de (1.17), temos que
((x(t), y(t), z(t)), (u(t), v(t), w(t))) EExE
para t > t3.
Portanto, os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.1.
Mostremos que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.1. Sejam
(—o-x + ay
f(x, y, z, u, v, w, À) = h(t)(x + Int (t)) — y — (x + Int (t)) (z ± 'n3 (t)) —bz + (x + mi(t))(y + Inz(t))
(—cru + av g (x, y, z, u, v, w, À) = h(t)(x + mi (t)) — v — (x + mi (t)) (z + ma (t)) •
—bw + (x + mi(t)) (y + Tri2 (t))
Então temos que
g(x,y,z,u,v,w, À) — f (x,y, z, u, v, w, À) = —a
O O
() a —1 O
O O
—b
u — x v — y •
35
![Page 41: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/41.jpg)
Portanto os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem a condição (ii) do Teorema 1.2.1 com
—a a (O
F(t, x, y, z, u, v, w, À) = O —1 O =: A(7)•
O O —b
Sejam 14(7) = —1, ita('y) = —b e p3 ey) = —a os autovalores de A(7). Então, como o> 1, temos que existe uma matriz Pey) invertível, tal que
( u1(7) 0 O
Pey)-1A(7)P(7)= O 122 (7) O =: C(7)
O O 113(7)
onde P(7) é dada por
(1 cr O
P(7)= O a-1 O •
0 0 1
Seja S(t,s, À) o operador de evolução definido por C(7). Então temos que
epi etXt-s)
S(t, s, = O O
eP2(7)(t-3) O
O
o
Então temos, da equivalência de normas, que existe uma constante )31 > O tal que
36
![Page 42: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/42.jpg)
11,9(4 8, À) II _< (epi (7)(t-s) ess2 (7)(t-s) ess3(7)(t-8)) < 3p1e,
onde a = min7c (7), —µ2 (7), —µ3(7)} = min{1, 11 /2„}.
Denotando por T (t, s, À) o operador de evolução definido por A(7), temos que
T (t, s, À) = P(7)S (t, s, A)P (7)-1 .
E assim
IIT(t, 8, )011 IIP(7)11 111:1(7)-111 II5(t, 8, )1/4 )11 3MIIP(7)1111P(7)-111e-a(t-3).
Como r é compacto, temos que existe fl2 = max.,Er {II P (7)11 IIP(7)-111}. Portanto temos que
IIT(t, 8, A)11 < pe—act—s),
onde fi = 3P1P2. Desta forma segue que
E A) ilds f fie-a(t-s)ds = ge-at (eat _ cedi) < g
Portanto a condição (iff) do Teorema 1.2.1 está satisfeita.
Vamos então verificar a condição (iv). Temos que
37
![Page 43: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/43.jpg)
f u, v, w, A2) f z, u, v, w, =
(—(a2 — cii)x + (c72 — cii)Y
h Will]. (t) — h(t)mi (t) — Rx + fill (t)) (z + fias (0) — (x + mi (t)) (z ± m3(t))1 — —(b2 — bi)z + (x + 7711(0) (Y + fit2 (t)) — (x + mi (t)) (y + m2(t))
-(a2 — ai )x + (aa — ai)Y (ifil(t) — mi (t)) (11(t) — z) — Rift3(t) — m3(t))x + Mi(t)#t3(t) — mi (t)rra3(t)]
—(b2 — bi)z + (fiza(t) — rn2(t))x + (Mi(t) — mi(t))y + mi (07712(t) — mi(t)m2(t)
(—(a2 — cii)x+ ((Ta — cii)Y
(7711(t) — mi (t)) (h(t) — z — 7713 (t)) — (m3(t) — m3 (t)) (x + mi (t)) . —(b2 — bi)z + (Mi (t) — mi (t)) (y + M2(t)) + (M2(t) — m2(t)) (x + mi (t))
Seja B O tal que II (x, y, < B para (x, y, z) E B. Então temos que
z, u, v, w, A2) - f (x, y, z, u, v, w, A1)11 102 — aiIx + 1(72 — lyl + Iüti — miii ih(t) — z — fra3(t)1+
IN — m311 lx + mat)i + ib2 — lz1+ nli I + *hW I + 117712 — ma 11 lx + (t) I
102 —a1 B + icr2 — ajIB + — m1 Cri + B + K)+
— m311(B + + —(1W+
— li(B + + — mzil(B + = 24(72 —ad + E1,2 — bil + (L + 2E + — II+
(E ± — m211 + (E+ — m311.
38
![Page 44: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/44.jpg)
Portanto a condição (iv) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.
Portanto os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem as condições do Teorema 1.2.1, e então, pelo Corolário 1.2.1, temos que estes sistemas sincronizam.
Nas Figuras 1.4 e 1.5 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.16) e (1.17). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: cri = 10, bi = 8/3, cr2 = 10+1/100, b2 = 8/3 + 1/100, h(t) = 18 arctan (t), mi (t) = 6 sen (5t), m2 (t) = 3 cos (2t) , ma(t) = 4 sen(3t), ria' (t) = 6 sen (5t) + (1/100) sen (3t), ?722(t) = 3 cos (2t) + (1/100) cos (4t), rfi.3(t) = 4 sen(3t) + (1/100) sen(t), x(0) = 15, y(0) = —20, z(0) = —10, u(0) = —20, v(0) = —15 e w(0) = 20.
70
60
50
40
30
20
10
5 10 15 20 25 30
(a) is(o-t4oi+Iy(t)-v(01-i-jz(t)-w(t)1 (b) (x(t), r(0) = —, (u(t), v(t)) = - - -
Figura 1.4: Sincronização do Sistema (1.15)
39
![Page 45: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/45.jpg)
(a) mi (t) = z(t) + (t) = - - - (t) mi(t) = mid(0 = - - -
Figura 1.5: Codificação de Mensagens com o Sistema (1.15)
Exemplo 1.3.3 (Equações do tipo Duffing Excitadas). Consideremos a equação
= y = —wx — cy — q(h(x))3 — rh(x) cos(t)
(1.18)
onde h: IR, —> IR é limitada e Lipschitz em limitados. Sejam rn, r7R. E CK(IR, Consideremos os seguintes sistemas
= y = — ciy — q1 (11(x + m(t)))
3 — r ih(x + rn(t)) cos(t)
(1.19)
riL = V
= —W271 — C2V — q2 (h (X ± 772 (t)))3 — r2h(x + rii(t)) cos(t)
(1.20)
40
![Page 46: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/46.jpg)
onde (uh, ci., 41, n.), (toa, C2)42, r2) E r e
r := 00, c, q, r) R4 : com < to < com, < c < cm, qm S q<qM e rifi < r < rm} ,
com 0 <com < com, 0 < Cm < em, O <q„, < qm e O < rn, < rm. Vamos assumir que com > 52.e. Também neste caso poderíamos omitir esta restrição, mas isto será feito num trabalho futuro. Sejam A = r x CK011..,1R) e A = (7,771(0) E A, onde
= (to, c, q, r) E r.
Mostremos que os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem as condições do Teorema 1.1.1.
Seja L > 0 tal que ih(x)i < L. Para o sistema (1.19) consideremos a seguinte função de Liapunov
1/1(x, y, À1) = (2£01 + c)x2 + 2y2 + 2cixY,
onde .À1 = (uh, el., 41, rt, n'i(t))•
Então temos que
14(x , y, At) = (2co1 c)x2 2y2 + 2cixy > (2col + c)x2 + 2y2 — cYx2 — y2 >
2tx2 + y2 =: a (x, y).
3 /4.(x, y, À1) = (2co1 + c?.)x2 + 2y2 + 2c1xy <
(2toi + c)x2 + 2y2 + 5_ (24,44 + c2m )x2 + 2y2 + 2cm ixi ly =: bi(x, y).
Temos também que
41
![Page 47: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/47.jpg)
3 (4y + 24x) — c1y —q1 (h(x + nt(t))) — h(x (t)) cos(t)] = -2C1W1X2 - 24y2 — 44y (h(x +7n(t)))
3 — 4nyh(x + m(t)) cos(t)
—2clqix (h (x + rn(t)))3 — 24rixh(x + rn(t)) cos(t).
= (2(2wi + c)x + 24Y)Y+
Assim
-17i (X, y, = 24w1 x2 + 2ciy2 + 4qiy (h(x + rn(t)))3 + 4riyh(x.+ rn (t)) cosffl+
2ciqix (h(x + rn(t)))3 + 24rixh(x + rn(t)) cos(t)
2cio.1x2 + 24y2 — 44L3Iyi — 4riLlY1— 2441L3ixi — 24nLixl 2cniw„,x2 + 2c,02 — 2c m L(qm L2 + r m)1x1 —4L(qm L2 + r m)Iyl =: ci(x,y).
Claramente as funções ah b1 e c1 satisfazem as condições do Teorema 1.1,1, portanto existe um conjunto limitado Bi C lR2 tal que se (x(t), y(t)) é uma solução do sistema (1.19), então existe t1 tal que (x(t), y(t)) E Bi para todo t > ti.
De forma análoga, para o sistema (1.20) consideremos a seguinte função de Lia-punov
14 (U) V, d\ ."—= (20)2 + 4)142 2V2 2V2VV,
onde À2 = (wz, q2, r2, 77/(t))-
Então temos que
112(24, 22, )2) = (2W2 C)U2 2v2 + 2c2uv >
(2w2 + c)u2 + 2v2 — du2 — v2 > 2w,u2 + v2 =: n2(u, v).
42
![Page 48: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/48.jpg)
V2 (ti, V, A2) = (20)2 ± d)U2 2V2 2C2UV < (2412 d)U2 2V2 2c2luilvi (2r.om + c2m)u2 + 2v2 + 2c mluilvl =: b2(u, v).
Temos também que
'1'2(u, V, A2) = (2(2W2 d)li 2C2V) V+
(4v + 2c2u) [—w2u — c2v — q2 (h.(x + rn(t)) )3 - r2h(x + th(t)) cos(t)] = —2c2w2u2 — 2c,2v2 — 4q2v (h (x + rrri(t))) 3 - 4r2vh(x + (t)) cos(t)
—2c2q2u (x + ih(t))) 3 - 2c2r2uh(x + (hW) cos(t).
Assim
-12 (u, v, A2) = 2c2w2u2 2C2V2 4q2v(h(x + th(t)))3 + 4r2vh(x + rri(t)) cos(t)±
2c2q2u (h(x + th(t)))3 + 2c2r2uh(x + th(t)) cos(t)
2c2w2u2 + 2c2v2 — 4q2L3Ivi — 4r2Livi — 2c2q2L3lui — 2c2r2Llul 2c,„wynu2 + 2c,„v2 — 2cm L(qm L2 + rm)lul —4L(q m L2 + rm)Ivi =: c2(u, v).
Claramente as funções a2, b2 e c2 satisfazem as condições do Teorema 1.1:1, portanto existe um conjunto limitado 132 C IR2 tal que se (u(t),v(t)) é uma solução do sistema (1.20), então existe t2 tal que (u(t),v(t)) E 82 para todo t > tz.
Sejam B = 8 U /32 e t3 = max{ti,t2}. Então para toda solução (x(t), y(t)) de (1.19) e toda solução (u(t),v(t)) de (1.20), temos que
((x(t), y(t)), (u(t),v(t))) E 8 x 8
para t > t3.
43
![Page 49: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/49.jpg)
u — x
Portanto os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.1. Mostremos que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.1. Sejam
f (x, y, u, v, À) = 11
—wx — cy — q (x + m(t))) — rii(x + m(t)) cos(t)
e
g (x, y , u, v , = 3 - CV - q (h (X -I- m(t))) — ria(x + m(t)) cos(t)
Então temos que
g(x,y,u,v, À) — f (x, y, u, v, À) —
Portanto os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem a condição (ü) do Teorema 1.2.1 com
F(t, x, y, u, v, À) =
Sejam pi (7) — -c±V;2-44) e p2(7) = -'1/4i2-44) os autovalores de A(7). Como > T̀2 , segue que os autovalores são distintos e têm parte real negativa. Assim
a condição (üi) do Teorema 1.2.1 se verifica de forma análoga ao Exemplo 1.3.2, tomando
a = min{ — Re (.11 (7)) Re Otz (7)) = 7E1'
Vamos agora verificar a condição (iv). Temos que
44
![Page 50: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/50.jpg)
f (x, y, u, v, À2) f (x, y, u, v, AI) =-•
(—(cia — codx — + fit(t)))3 - ql (h (X ± rre(t)))3] +
(—(c02 — oh )x — (q2 — qi.) (h (x + rit(t)))3 — [ (h (x + fit(t)))3 — (1/(x + rn(t)))3] 0. -'
(—(C2 — al)!, — (r2 — ri)h(x + fit(t)) cos(t)° — (h(x + fri(t)) — h (x + rn(t))) ri cos(t) -
(— (h (x + rit(t)) — h (x + rn(t))) Rh (x + fit(t))) 2 ± (h (X ± rn(t))) 2] qi. ±
O
(— (it(x + fit(t)) — h (x + rn(t)))1t(x + fit(t))h(x + rn(t))qi
(
o
— (c02 — uh) x — (c2 — ci.)Y — (q2 — qi.) (h (x + 771(t)) )
O
(_(r2 — + fit(t)) cos(t) — (Ii(x + fit(e) — + m(t)) )ri cos(t))
o
(—(c2 — cay — (r2h(x + fit(t)) — h(x + rn(t))) cos(0) =
o
o
45
![Page 51: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/51.jpg)
Temos que o conjunto
C = {x + a(t): (x,y) el3eaE CK(IR,R)}
é limitado. Como h é Lipschitz em limitados, seja T a constante de Lipschitz para h em C. Seja também B > O tal que il(x, y)li < B para (x, y) € 5. Então temos que
ilf (x, y, u, V, À2) — f (x, y, u, v, Ai) h(x + fiz.(t)) — h(x + m(t))1L2qm + I + fiz.(t)) — h(x + m(t)) IL2qm+
ih(x + ftt(t)) — h(x + m(t)) I rqm +1(02 — w1jjxj + I c2 — iYi+
I q2 (ar + ir2 - + ih(x + tit(t)) — h(x + m(t))1rm 7-(3L2qm + rm)IIM ± 1(02 — W11B ± 102 — ciiB ± 1q2 q1)1L3 1/.2 — rdL.
Portanto a condição (iv) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.
Portanto os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem as condições do Teorema 1.2.1, e então, pelo Corolário 1.2.1, temos que estes sistemas sincronizam.
Nas Figuras 1.6 e 1.7 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.19) e (1.20). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: col = 1, c1 = 1, q1 = 50, r1 = 150, coz = 1 + 1/1000, c2 = 1 + 1/1000, q2 = 50 + 1/1000, r2 = 150 + 1/1000, h(t) = arctan(t), m(t) = sen(5t), r7t(t) = sen(5t) + (1/1000) cos(2t), x(0) = 20, y(0) = 35, u(0) = 30 e v(0) = —25.
46
![Page 52: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/52.jpg)
10 20 30 40
70
60
50
40
30
20
10
(a) Ix(t) - u(t)I +1y(t) - v(t)I (b) (r(t),y(t)) = (u(t),v(t))=-
Figura 1.6: Sincronização do Sistema (1.18)
(a) m(t) = x(t) + m(t) = - - -
10
8
6
AIA ALAM II Y'ln,YVT1771,TT
2 't
(b) m(t) = md(t)
Figura 1.7: Codificação de Mensagens com o Sistema (1.18)
47
![Page 53: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/53.jpg)
Exemplo 1.3.4. Consideremos a equação
{
X = —cex + ah(y)cos(t)
Y = —ay — wy3 — bh(x) cos(t) (1.21)
onde h: R -4 R é limitada e Lipschitz em limitados. Sejam m,tet E CK(IR,1R2), dadas por m(t) = (mi (t), m2(t)) e rigt) = (frti(t),7n2(t)) . Consideremos os seguintes sistemas
{{
i = —aix + aih(y + rn2(t)) cos(t)
Y = —ai Y — wiy3 — bi h (x + mi (t)) cos(t)
ti = —a2u + a2h(y + r72.2(t)) cos(t) /5 = —o-2v — w2v3 — b2 h(x + ?kW) cos(t)
(1.22)
(1.23)
onde (ah o"i, ah, ai, bi), (a2, (72, wz, a2 b2) E Feféoconjuntodos'y = (a, o-, to, a, b) E 1R5 tais que O < ce,„ < a < am, O < < < O < com < < com, O < a,.„ < a< am eO<bm <b <bm. Sejam A = x R2) e À = (7, m(0) EA.
Mostremos que os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem as condições do Teorema 1.1.1.
Seja L > O tal que Ih(x)1 < L. Para o sistema (1.22) consideremos a seguinte função de Liapunov
Vi(x , y , = X2 + Y2,
onde A1 = o"i, uh, ai, ri(t))-
48
![Page 54: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/54.jpg)
Então temos que
14(x, y, = x2 + y2 =: cii(x ,Y) •
1/4 (x , y , = x2 + y2 =: (x, y).
Temos também que
= 2x ( —ceix + alla(y+ m2(t))cos(t))+ 2y (—aly — ony3 — bih(x + (t)) cos(t)) = —2aix2 + 2aixh(y + m2(t)) cos(t) — 20"1Y2 —2wi Y4 — 2/Uh(x + (t)) cos(t).
Assim
44(x, Y, Ai) = 2ceix2 — 2ctixh(y + m2(t)) cos(t) + 20"19+ 2w1y4 + 21nyh(x + mi(t)) cos(t) ?_ 2ceix2 + 2aly2 + 2wiy4 — 2aiLlx1 — 2c4„x2 2a- y2 + 204,04 — 2amL lx I — 2bAILlyi =: (x, y)•
Claramente as funções ai, 1h e ci satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado BI C lR2 tal que se (x(t), y(t)) é uma solução do sistema (1.22), então existe t1 tal que (x(t),y(t)) E Si para todo t > ti.
De forma análoga, para o sistema (1.23) consideremos a seguinte função de Lia-punov
V2(24 V, A2) = 242 ± V2,
onde A2 = (aa, cfa, (02, a-2, b2,1h(t)).
49
![Page 55: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/55.jpg)
Então temos que
V2(24, V, )'2) = + V2 =: aa(u, v).
V2(1, V, A2) = td2 2/2 =: b2(u, v).
Temos também que
17.2(u, v, A2) = 2u (—aau + ct2h(y + r7t2(t)) cos(t))+ 2v (—cfav — wavs — b2h(x 772.1(t)) cos (t)) = —2a2u2 + 2a2uh(y + r7i2(t)) cos(t) — 2u2v2 —2cv2v4 — 2b2vh(x + ?hl (t)) cos(t).
Assim
—17.2 (V, V, A2) = 2a2u2 — 2a2uh(y + ftia(t))cos(t) + 2u2v2+ 212/2v4 + 2b2vh(x + ril l (t)) cos (t) 2a2u2 + 2522)2 + 2cv2v4 — 2a2Llul — 2b2Livj > 2au2 + 2u,,v2 + 2w,,v4 — 2amLlul — 2bm.L I v =: (u, v).
Claramente as funções aa, 192 e ca satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado /32 C IR2 tal que se (u(t), v(t)) é uma solução do sistema (1.23), então existe ta tal que (u(t), v(t)) E Ba para todo t >
Sejam 8 = 8 U 82 e ta = max{ti, ta}. Então para toda solução (x(t), y(t)) de (1.22) e toda solução (u(t), v (t)) de (1.23), temos que
((x(t), y(t)), (u(t), v(t))) E .8 x
para t > ta.
50
![Page 56: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/56.jpg)
Portanto os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.1. Mostremos que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.1. Sejam
f (x,y,u,v, ) = ( —ca + ah(y + m2(0) cos(t) )
A —ay — ofy3 — bh(x + mi (0) cos(t)
e
—ou + ah(y + m2(0) cos(t) g(x,y, u, v, A) = —av — wv3 — bh(x + mi(t)) cos(t) .
Então temos que
(
—a O u — x)
O —c — of(y2 + yv + v2)) (v — y .
Portanto os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem a condição (ii) do Teorema 1.2.1 com
(—a O F(t, x, y, u, v, À) = O --c—of(y2 +yv+v2 ) .
Mostremos agora que os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem a condição (iii) do Teorema 1.2.1.
De fato, dadas (x(t), y(t)) e (u(t), v(t)) soluções de (1.22) e (1.23), respectiva-mente, seja t1 como no item (i) do Teorema 1.2.1. Então dados t1 < a < t, vamos estimar o operador de evolução T(t, s, À) gerado por
51
![Page 57: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/57.jpg)
F (t, x(t), y(t), u(t), v (t), = (-a
0 -a - (t)2 + y(t)v(t) + v(t)2 )
Seja w(t) = y(t)2 + y(t)v(t) + v(t)2 > O. Então temos o seguinte sistema
{ = -aY - ukp(t)Y
Seja
Tu T12 (t, a, A) T (t, 8, A) =
Então temos que Tn(t,s, A) = e-4"), 712(48,A) O e T21 (t, $, A) E O. Para T22 (t, 8, A) temos
T22 (i, , = ef :(-e'v'fr ))dr = e-e( t- s ) f: ww(r )dr <
pois cp(r) O, e assim -ist unp(r)dr O.
Então temos, da equivalência de normas, que existe M > O tal que
IIT(4 8,A)11 < —M2 (e-a(t-s) e-e(t-s)) <
onde p = min{a.„„ an } .
()1121(t, s, A) T22 (i, S , A) .
Segue então que
52
![Page 58: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/58.jpg)
ilT(t, s , <í Me ) ds < —M ti t,
Portanto a condição (iii) do Teorema 1.2.1 está satisfeita
A condição (iv) do Teorema 1.2.1 se verifica de forma análoga ao Exemplo 1.3.3.
Portanto os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem todas as condições do Teorema 1.2.1, e então, pelo Corolário 1.2.1, temos que estes sistemas sincronizam.
Nas Figuras 1.8 e 1.9 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.22) e (1.23). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: coi = 1, ai = 1, ai = 1, b1 = 10, e1 = 12, wz = 1 + 1/1000, a2 = 1 + 1/1000, az = 1 + 1/1000, b2 = 10 + 1/1000,
= 12 + 1/1000, h(t) = arctan(t), (t) = cos(4t), m2(t) = 5 sen(t), = cos(4t) + (1/1000) sen(t), 71i2(t) = 5 sen(t) + (1/1000) cos(t), x(0) = 2, y(0) = -3, u(0) = 5 e v(0) = 1/2.
10 15 20 25 30
(a) lx(t) - v(01+ lu(t) - v(t)I (b) (r(t),y(t)) = (11(0,v(0) =---
Figura 1.8: Sincronização do Sistema (1.21)
53
![Page 59: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/59.jpg)
iÁIAAAA
O
II fi
(a) mi(t) x(t) + mi(t) = - - - (b) (t) mid(t) = - - -
Figura 1.9: Codificação de Mensagens com o Sistema (1.21)
1.4 Exemplos Adicionais
Nesta seção apresentaremos mais alguns exemplos de sistemas de equações que, acreditamos, sincronizam. Mostraremos também algumas simulações que reforçam esta idéia. Contudo não provaremos a sincronização para estes exemplos. Isto será feito num trabalho futuro.
Exemplo
Sejam
1.4.1 (Equações
m, fiz. E CK(R,R).
= y
= —coix —
de Duffing). Consideremos a equação
= y = —um — cy — q cos(11t)x — fix3
(1.24)
(1.25)
Consideremos os seguintes sistemas
ctY — q1cos(SZit)(x 4- in(t)) — + ni(t)) 3
54
![Page 60: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/60.jpg)
it = v á = —co2u — c2v — q2 cos(f22t)(x + ft t(t)) — )32(x + frt(0) 3
(1.26)
onde (col,chqi,fi1,ni),(0)2,02,4,2,fiz,ç22) Er er éo conjunto dos 7 = (co , c, q o 3 ,S-2) E
O <,6<fi<fime 0<f2„,<S2<f2m.
Nas Figuras 1.10 e 1.11 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.25) e (1.26). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: col. = 5, q = 50, b1 = 8, c1 = 3, ni = co2 = 5 + 1/1000, q2 = 50 + 1/1000, b2 = 8 + 1/1000, c2 = 3 + 1/1000, Ç22 = + 1/1000, m(t) = sen(5t) , = sen(5t) + (1/1000) cos(t), x(0) = 2, y(0) = 10, u(0) = —2 e v(0) = —10.
(a) jx(t) - u(t) ¡ ly(t) - (b) (x(t), it(t)) = (u(t),v(t)) = - - -
Figura 1.10: Sincronização do Sistema de Duffing
55
![Page 61: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/61.jpg)
(a) m(t)=—, z(t)-i-ngo= - - - (1)) m(t) md(t) - -
Figura 1.11: Codificação de Mensagens com o Sistema de Dufilng
Exemplo 1.4.2 (Equações de Chua). Consideremos o sistema
{
± = —ar + ay — ah(x)
ü=x—y+z
z= —í3!, — thz
(1.27)
onde h : IR —> IR é dada por
h(x) = —bx + b ; a (1x +11 — lx — 11) ,
com a> b> Oeb<1.
Sejam na, ria E CK(IR, IR). Consideremos os seguintes sistemas
{
± = —aix + aty — aihi (x + na(t))
y=(x+rn(t))—y+z
.i = -As - ¡luz (1.28)
56
![Page 62: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/62.jpg)
10 15 20 25 30
{
ú= —a2u + a2v — a2h2(x + fh(t)) V = (x + rh(t)) — v + w ti) = —)32y — paw
(1.29)
onde 111(x) = —bi x+ kir (1x +11-1x — 11), h2(x) = —b2 x + (1x +11-1x — 11), (a2, fia, 142, a2, b2) Ereréo conjunto dos ry = (a, )3, µ, a, b) e 115
tais que O < a„, < < am, O < )3,„ < < )3m, O < µ,,,, < < pm, O < b„, < b < bm < 1 e bm < 2m < a < am.
Nas Figuras 1.12 e 1.13 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.28) e (1.29). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: al = 7, PI = 100, = 1/2,
= 8/7, b1 = 5/7, a2 = 7 + 1/100, )32 = 100 + 1/100, g2 = 1/2 + 1/100, a2 = 8/7+ 1/100, b2 = 5/7+ 1/100, m(t) = 7sen(5t), th(t) = 7sen(5t) + (1/100) cos(t), x(0) = —15, y(0) = —9, z(0) = 8, u(0) = —7, v(0) = —8 e w(0) = 0.
(a) jx(t)-u(t)14-iy(t)-v(t)11-1z(t)-10(01 (b) (z(t), y(t)) = (u(t), v(0) = - - -
Figura 1.12: Sincronização do Sistema de Chua
57
![Page 63: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/63.jpg)
-4
4
(a) m(t) = x(t)± m(t) = - - - (b) m(t) = md(t) = - - -
Figura 1.13: Codificação de Mensagens com o Sistema de Cima
58
![Page 64: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/64.jpg)
Referências Bibliográficas
[1] AFRAIMOVICH, V. S., RODRIGUES, H. M., Uniform Dissipativeness and Syn-chronization on Nonautonomous Equations, Equadiff95, International Confer-ence on Differential Equations, World Scientific, p. 3-17, (1998).
[2] AFRAIMOVICH, V. S., RODRIGUES, H. M., Uniform Ultimate Bounded-ness and Synchronization for Nonautonomous Equations, Technical Report, CDSNS9.4-202, Center for Dynamical Systems and Nonlinear Studies, Geor-gia Institute of Technology, Atlanta, (1994).
[3] AFRAIMOVICH, V. S., VERICHEV, N. N., RABINOVICH, M. I., Stochas-tic Synchronization of Oscillation In Dissipative Systems, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii, Radiofizika, v. 29, n. 9, p. 1050-1060, (1986). [Sov. Ra-diophys. Bo1.29 (1986), 795].
[4] AMANN, H., Ordinary Differential Equations: An Introduction to Nonlinear Analysfs, Walter de Gruyter, New York, (1990).
[5] ANISHENKO, V. S., VADIVASOVA, T. E., POSTNOV, D. E., SAFONOVA, M. A., Synchronization of chaos, International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 2, n. 3, p. 633-644, (1992).
[6] RELLMAN, R., Introduction to Matriz Analysis, McGraw-Hill, New York, (1960).
[7] CAFtROLL, T. L., PECORA, L. M., Synchronizing Nonautonomous Chaotic Circuits, IEEE 7Yansactions on Circuits and Systems, n. 38, p. 453-456, (1991).
59
![Page 65: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/65.jpg)
[8] CRUA, L. O., BELYKH, V. N., VERICHEV, N. N., KOCAREV, J., On Chaotic Synchronization in a Linear Array of Chua's Circuits, Memorandum n. UCB/ERL M93/11, Eletronics Research Laboratory, College of Engineering, University of California, Berkeley, (1993).
[9] CRUA, L. O., ITOH, M., KOCAREV, L., ECKERT, K., Chaos Synchronization in Chuas's Circuit, Journal of Circuits, Systems and Computers, v. 3, n. 1, p. 93-108, (1993).
[10] Cuomo, K. M., OPPENHEIM, A. V., Chaotic Signals and Systems for Com-munications, ICASSP, (1993).
[11] Cuomo, K. M., OPPENHEIM, A. V., Circuit Implementation of Synchronized Chaos with Applications to Communication, Physical Review Letters, n. 71, p. 65-69, (1993).
[12] FABINY, L., COLET, P., ROY, R., Coherence and Phase Dynamics of Spatially Coupled Solid-State Lasers, Physical Review A, v. 47, n. 5, (1993).
[13] Gilas, Z., IWATA, C., RAY, R., Tracking Unstable Steady States: Extending the Stability Regime of a Multimode Laser System, Physical Review A, v. 69, n. 22, (1992).
[14] GILLS, Z., ROY, R., MURPHY, T. W. JR., MAIER, T. D., Dynamical Con-trol of a Chaotic Laser, Physical Review Letters, v. 68, n. 9, p. 1259-1262, (1992).
[15] GUCKENHEIMER, J., HOLMES, P., Nonlinear Oscilations, Dynami cal Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York, (1983).
[16] HAHN, W., Stability of Motion, Springer-Verlag, Berlin, (1967).
[17] HALE, J. K., Ordinary Differential Equations, Robert E. Krieger Publishing Company, Inc., New York, (1980).
[18] HAFtTMAN, P., Ordinary Differential Equations, Birkhãuser, Boston, (1982).
60
![Page 66: Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de ...](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022071000/62c82dfec0e8a80ca0708a70/html5/thumbnails/66.jpg)
[19] ITOH, M., WU, C. W., CHUA, L. O., Communication Systems via Chaotic Signals from a Reconstruction Viewpoint, /nternationa/ Journal of Bifurcation and Chaos, n. 2, v. 7, p. 275-286, (1997).
[20] LORENZ, E. N., Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of the Atmospheric Sciences, v. 20, p. 130-141, (1963).
[21] PECORA, L. M., CARROLL, T. L., Synchronization in Chaotic Systems, Phys-ical Review Letters, v. 64, p. 821-824, (1990).
[22] PECORA, L. M., CARROL, T. L., JOHNSON, G. A., MAR, D. J., HEAGY, J. F., Chaos, n. 7, v. 4, p. 520-543, (1997).
[23] RODFUGUES, H. M., Abstract Methods for Synchronization and Applications, Applicable Analysis, v. 62, p. 263-296, (1996).
[24] RODFUGUES, H. M., Uniform Ultimate Boundedness and Synchronization, Technical Report CDSNS94, Center for Dynamical Systems and Nonlinear Studies, Georgia Instante of Technology, Atlanta, (1994).
[25] TRESSER, C., WORFOLK, P. A., Resynchronizing Dynamical Systems, Physics Letters A, n. 229, p. 293-298, (1997).
[26] YANG, T., CHUA, L. O., Impulsive Stabilization for Control and Synchroniza-tion of Chaotic Systems: Theory and Application to Secure Communication, IEEE Transactions on Circuits and Systems, v. 44, n. 10, p. 976-988, (1997).
61