Complexidade de Computaccedilatildeo

Katia Guimaratildees

Avaliando a Qualidade de um Algoritmo

bull Eacute preciso ter bem definido ndash O que eacute dado de entrada e

ndash O que eacute esperado na saiacuteda

bull Dado que o algoritmo resolve CORRETAMENTE o problema

Quanto recurso ele gasta (espaccedilo e tempo)

Como calcular o tempo de execuccedilatildeo de um algoritmo

bull Meacutetodos Empiacutericos - Obtemos o tempo de

execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente

dita do algoritmo considerando-se entradas

diversasbull Meacutetodos Analiacuteticos - Obtemos uma ordem de

grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Meacutetodos Empiacutericos

Obtemos o tempo de execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente dita do algoritmo considerando entradas diversas

Problemas 1 Natildeo temos tempo suficiente para rodar todas as possiacuteveis instacircncias de todos os tamanhos 2 Depende diretamente do equipamento sendo usado para avaliaccedilatildeo

Meacutetodos Analiacuteticos

Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Problemas 1 Definir que variaacuteveis usar nas expressotildees matemaacuteticas 2 Analisar o comportamento do algoritmo para possiacuteveis cenaacuterios

Que variaacuteveis usamos nestas expressotildees matemaacuteticas

Resp Tamanho da entrada (depende do problema)

Exemplos

Ordenaccedilatildeo Nuacutemero de itens da entrada (tamanho n do vetorpara ordenar)

Multiplicaccedilatildeo de 2 inteiros Nuacutemero total de bits necessaacuteriospara representar a entrada em notaccedilatildeo binaacuteria

Comparaccedilatildeo de cadeias de caracteres Nuacutemero de siacutembolosNas duas cadeias ( n + m)

Meacutetodos Analiacuteticos

Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Avaliando a Qualidade de um Algoritmo

bull Eacute preciso ter bem definido ndash O que eacute dado de entrada e

ndash O que eacute esperado na saiacuteda

bull Dado que o algoritmo resolve CORRETAMENTE o problema

Quanto recurso ele gasta (espaccedilo e tempo)

Como calcular o tempo de execuccedilatildeo de um algoritmo

bull Meacutetodos Empiacutericos - Obtemos o tempo de

execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente

dita do algoritmo considerando-se entradas

diversasbull Meacutetodos Analiacuteticos - Obtemos uma ordem de

grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Meacutetodos Empiacutericos

Obtemos o tempo de execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente dita do algoritmo considerando entradas diversas

Problemas 1 Natildeo temos tempo suficiente para rodar todas as possiacuteveis instacircncias de todos os tamanhos 2 Depende diretamente do equipamento sendo usado para avaliaccedilatildeo

Meacutetodos Analiacuteticos

Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Problemas 1 Definir que variaacuteveis usar nas expressotildees matemaacuteticas 2 Analisar o comportamento do algoritmo para possiacuteveis cenaacuterios

Que variaacuteveis usamos nestas expressotildees matemaacuteticas

Resp Tamanho da entrada (depende do problema)

Exemplos

Ordenaccedilatildeo Nuacutemero de itens da entrada (tamanho n do vetorpara ordenar)

Multiplicaccedilatildeo de 2 inteiros Nuacutemero total de bits necessaacuteriospara representar a entrada em notaccedilatildeo binaacuteria

Comparaccedilatildeo de cadeias de caracteres Nuacutemero de siacutembolosNas duas cadeias ( n + m)

Meacutetodos Analiacuteticos

Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Como calcular o tempo de execuccedilatildeo de um algoritmo

bull Meacutetodos Empiacutericos - Obtemos o tempo de

execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente

dita do algoritmo considerando-se entradas

diversasbull Meacutetodos Analiacuteticos - Obtemos uma ordem de

grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Meacutetodos Empiacutericos

Obtemos o tempo de execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente dita do algoritmo considerando entradas diversas

Problemas 1 Natildeo temos tempo suficiente para rodar todas as possiacuteveis instacircncias de todos os tamanhos 2 Depende diretamente do equipamento sendo usado para avaliaccedilatildeo

Meacutetodos Analiacuteticos

Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Problemas 1 Definir que variaacuteveis usar nas expressotildees matemaacuteticas 2 Analisar o comportamento do algoritmo para possiacuteveis cenaacuterios

Que variaacuteveis usamos nestas expressotildees matemaacuteticas

Resp Tamanho da entrada (depende do problema)

Exemplos

Ordenaccedilatildeo Nuacutemero de itens da entrada (tamanho n do vetorpara ordenar)

Multiplicaccedilatildeo de 2 inteiros Nuacutemero total de bits necessaacuteriospara representar a entrada em notaccedilatildeo binaacuteria

Comparaccedilatildeo de cadeias de caracteres Nuacutemero de siacutembolosNas duas cadeias ( n + m)

Meacutetodos Analiacuteticos

Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Meacutetodos Empiacutericos

Obtemos o tempo de execuccedilatildeo atraveacutes da execuccedilatildeo propriamente dita do algoritmo considerando entradas diversas

Problemas 1 Natildeo temos tempo suficiente para rodar todas as possiacuteveis instacircncias de todos os tamanhos 2 Depende diretamente do equipamento sendo usado para avaliaccedilatildeo

Meacutetodos Analiacuteticos

Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Problemas 1 Definir que variaacuteveis usar nas expressotildees matemaacuteticas 2 Analisar o comportamento do algoritmo para possiacuteveis cenaacuterios

Que variaacuteveis usamos nestas expressotildees matemaacuteticas

Resp Tamanho da entrada (depende do problema)

Exemplos

Ordenaccedilatildeo Nuacutemero de itens da entrada (tamanho n do vetorpara ordenar)

Multiplicaccedilatildeo de 2 inteiros Nuacutemero total de bits necessaacuteriospara representar a entrada em notaccedilatildeo binaacuteria

Comparaccedilatildeo de cadeias de caracteres Nuacutemero de siacutembolosNas duas cadeias ( n + m)

Meacutetodos Analiacuteticos

Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Meacutetodos Analiacuteticos

Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execuccedilatildeo atraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que traduzam o comportamento do algoritmo

Problemas 1 Definir que variaacuteveis usar nas expressotildees matemaacuteticas 2 Analisar o comportamento do algoritmo para possiacuteveis cenaacuterios

Que variaacuteveis usamos nestas expressotildees matemaacuteticas

Resp Tamanho da entrada (depende do problema)

Exemplos

Ordenaccedilatildeo Nuacutemero de itens da entrada (tamanho n do vetorpara ordenar)

Multiplicaccedilatildeo de 2 inteiros Nuacutemero total de bits necessaacuteriospara representar a entrada em notaccedilatildeo binaacuteria

Comparaccedilatildeo de cadeias de caracteres Nuacutemero de siacutembolosNas duas cadeias ( n + m)

Meacutetodos Analiacuteticos

Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Resp Tamanho da entrada (depende do problema)

Exemplos

Ordenaccedilatildeo Nuacutemero de itens da entrada (tamanho n do vetorpara ordenar)

Multiplicaccedilatildeo de 2 inteiros Nuacutemero total de bits necessaacuteriospara representar a entrada em notaccedilatildeo binaacuteria

Comparaccedilatildeo de cadeias de caracteres Nuacutemero de siacutembolosNas duas cadeias ( n + m)

Meacutetodos Analiacuteticos

Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Um exemplo simples

prod = 0cont = xRepetir prod = prod + y cont = cont ndash 1ateacute que cont=0

Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Tempo de execuccedilatildeo = No de passos efetuados pelo algoritmo

EXEMPLO

Algoritmo Inversatildeo de sequecircnciaEntrada sequecircncia de elementos armazenados no vetor S[i] i = 1 ateacute nSaiacuteda sequecircncia invertida dos elementos de S[i]Iniacutecio Para i = 1 |_ n2 _| faccedila temp = S[i] S[i] = S[n ndash i + 1] S[n ndash i + 1] = tempFim

Ideacuteia Central

Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Notaccedilatildeo A - um algoritmo E = E1Em ndash conjunto de entradas possiacuteveis de A ti = Nuacutemero de passos efetuados por A com entrada Ei

Definiccedilatildeo Complexidade de pior caso = Max (Ei E) ti

Complexidade do caso meacutedio = Σ (1 lt= i lt= m)(pi ti) onde pi eacute a probabilidade de ocorrecircncia da entrada Ei

Classificaccedilatildeo ndash Complexidade de Tempo

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Notaccedilatildeo O Limite superior para o tempo de execuccedilatildeoO problema pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Notaccedilatildeo Ω Limite inferior para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x

Notaccedilatildeo Θ Limite exato para o tempo de execuccedilatildeoO problema requer tempo NO MIacuteNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MAacuteXIMO x

Intuitivamente nas definiccedilotildees de complexidade usamos as notaccedilotildees O Ω e θ para

1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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1 Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas

Ex nuacutemero de passos = 3n + 25 aproximado n

2 Desprezar os termos de menor grau mantendo apenas o termo DOMINANTE

Ex nuacutemero de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado n2

Notaccedilotildees O Ω e Θ

Porque o interesse eacute assintoacutetico

Notaccedilotildees O Ω e Θ - POR QUEcirc

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo O) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c gt 0 e (2) um inteiro n0 tais que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex f = n2 + 1 f = O(n2) (c=3 n0 = 4)

f = n2 + 1 f = O(n3) (c=3 n0 = 4)

f = 403 f = O(1) (c= n0 = )

f = 3n + 5 log n + 2 f = O(n) f = 5 2n + 12 5n10 f = O(2n)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo ) Sejam fh funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira n Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando existir uma constante c gt 0 e um valor inteiro n0 tal que n gt n0 =gt f(n) c h(n)

Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Ex

f = n2 ndash 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas natildeo vale f = (n3)

Definiccedilatildeo (notaccedilatildeo )

Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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Sejam f e h funccedilotildees positivas de variaacutevel inteira Diz-se que f eacute (h) escrevendo-se f = (h) quando ambas as condiccedilotildees acontecem f = O(h) e f = (h)

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