Comparação de controlador PID com ganho variante no tempo...

COMPARAÇÃO DE CONTROLADOR PID COM GANHO VARIANTE NO

TEMPO E CONTROLADOR PID COM GANHO FIXO

Juan Carlos Pereira de Oliveira

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Oumar Diene

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2016

Aos meus pais, irmãos e noiva.

iii

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, por ser meu refúgio e sustento ao longo dos anos.

A meus pais, José de Oliveira e Maria de Fátima, por terem me educado até que

me tornasse quem sou hoje. À minha mãe, cujo esforço incansável me auxilia no dia

a dia, poupando-me de muitas tarefas para que estude e trabalhe mais. A meu pai,

que sempre se interessou e motivou a mim e meus irmãos para que fôssemos bem

sucedidos em nossos sonhos.

Aos meus irmãos e seus companheiros, Charles e Kelly, Dayana e Fumio, que me

apoiaram muito até terminar a graduação. Foram muitos momentos de distração e

conversas nos alegrando em meio a todas as di�culdades.

À minha noiva, Thais Mota, pelo seu apoio importantíssimo, para que crescês-

semos juntos e pudéssemos alcançar nosso sonho de formar uma família. Sou grato

pela compreensão nas ausências e ajuda nas horas mais desanimadoras.

Aos meus amigos irmãos, Vitor Hugo, Mario e Ernando. Criaram-se comigo e

sempre nos apoiamos em tudo. Agradeço pela vida deles, são pessoas especiais.

Aos amigos Janaina e Luiz Soares, são como uma segunda família para mim.

Apoiaram-me em tudo e até nas tarefas que deveria cumprir até o casamento.

Ao meu orientador, Oumar Diene. Com muita paciência suportou as vezes que

não pude estar em contato para desenvolver a pesquisa. Agradeço por seu esforço, me

atendendo sempre, principalmente próximo ao término deste trabalho. Sou grato

pelos ensinamentos de vida e aprendizado nos estudos que consegui absorver das

conversas.

Ao Programa Fomento à Formação de Recursos Humanos em Engenharia Elétrica

por meio da criação do PRH-PB 219 da PETROBRAS, pelo suporte �nanceiro.

A todos os colegas de aulas, que muito me socorreram nos momentos de estudo

e provas.

A todos os professores do departamento. Sou grato por todo conhecimento de

engenharia que obtive através deles.

Aos companheiros de trabalho, pela con�ança e motivação para que me tornasse

engenheiro.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.

COMPARAÇÃO DE CONTROLADOR PID COM GANHO VARIANTE NO

TEMPO E CONTROLADOR PID COM GANHO FIXO


Fevereiro/2016

Orientador: Oumar Diene

Curso: Engenharia Elétrica

Os controladores PID são muito famosos pela sua grande aplicabilidade em sis-

temas de controle industriais. Desempenham as seguintes funções: rastreamento

assintótico do sinal de referência, rejeição de perturbações a degrau e ruídos de me-

dição e antecipação do futuro tornando a resposta transitória mais rápida. Outra

vantagem é o pequeno número de parâmetros que necessitam ser ajustados, facili-

tando a implementação.

Atualmente, muitos métodos vêm sendo propostos com a intenção de se encontrar

um controlador PID com ótimos índices de desempenho que possa ser aplicado em

grande parte dos processos existentes. Em sua maioria, os métodos possuem ganhos

�xos escolhidos manualmente ou através de alguma sintonia de controlador.

O presente trabalho visa a comparar os controladores de ganhos �xos com um

novo método de parâmetros variantes no tempo, que faz o sistema convergir em até

no máximo um número de iterações igual ao de variáveis de entrada. O método

utiliza escolha de ganhos ótimos que minimizam funções de Lyapunov desejadas. O

objetivo é de�nir qual método é mais e�ciente e em que tipo de sistema pode ser

aplicado.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial ful�llment

of the requirements for the degree of Engineer.

COMPARISON BETWEEN PID CONTROLLER WITH TIME VARIABLE

GAIN AND PID CONTROLLER WITH FIXED GAIN


February/2016

Advisor: Oumar Diene

Course: Electrical Engineering

PID controllers are very famous for their wide applicability in industrial control

systems. They perform the following functions: asymptotic tracking of the refer-

ence signal, disturbance rejection by step and measuring noise and anticipation of

the future becoming the transient response faster. Another advantage is the small

number of parameters that need to be adjusted, facilitating the implementation.

Currently, many methods have been proposed with the intention of �nding a

PID controller with optimal performance levels that can be applied on a large part

of existing processes. Most of the methods have �xed gains chosen manually or

through some controller tuning.

This study aims to compare the static gains controllers with a new method of

time variable parameters, which makes the system converge to a maximum number

of iterations equal to the input variables. The method uses choice of great gains

that minimize desired Lyapunov functions. The goal is to de�ne which method is

the most e�ective and what kind of system it can be applied to.

vi

Sumário

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xiv

1 Introdução 1

2 Revisão Bibliográ�ca de Controladores PID 3

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Realimentação de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Ação proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Ação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Ação Derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Modi�cação do termo derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.2 Limite do ganho derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Controladores PID - Método 1 13

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Identi�cação da planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Exemplos de implementação dos controladores PI e PID . . . . . . . 22

3.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Controladores PID - Método 2 e Ziegler-Nichols - Método 3 36

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Identi�cação da planta (Método de Minimização das Áreas) . . . . . 36

4.3 Controlador PI (Método Polinomial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Controladores PID de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Exemplos de implementação de Controladores PI e PID . . . . . . . . 42

4.7 Exemplos de PI e PID de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Controladores PID - Método 4 56

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Observações sobre o método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.1 Características das plantas a serem controladas . . . . . . . . 62

5.5.2 Modi�cação do controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Exemplos de implementação de controladores PI e PID . . . . . . . . 64

5.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Comparação entre os métodos 72

7 Conclusões 89

Referências Bibliográ�cas 90

A Aproximação do atraso por uma função racional 91

B Forma Canônica Controlável 93

viii

Lista de Figuras

2.1 Diagrama de blocos do sistema realimentado para controladores PID 4

2.2 Diagrama de blocos com a compensação no controlador proporcional 5

2.3 Extrapolação linear do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Diagrama de blocos com controladores PID de ganho derivativo

usando somente a saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Diagrama de Bode para a ação derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Resposta ao degrau unitário de um sistema com atraso desprezível . . 14

3.2 Diagrama de blocos do sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Diagrama do lugar das raízes para o sistema com o controlador PI:

(a) Ti > τ , (b) Ti = τ e (c) Ti < τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Diagrama do lugar das raízes em função de Kp . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Resposta do sistema em malha aberta ao degrau unitário . . . . . . . 23

3.6 Resposta usando um controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7 Sinal de controle usando um controlador PI . . . . . . . . . . . . . . 24

3.8 Sinal de saída com percentual overshoot de 5% usando um controlador

PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.9 Sinal de controle com percentual overshoot de 5% usando um contro-

lador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.10 Resposta usando um controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.11 Sinal de controle usando um controlador PID . . . . . . . . . . . . . 26

3.12 Resposta usando um controlador PID para aproximação de máximo

sobressinal de 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.13 Sinal de controle usando um controlador PID para aproximação de

máximo sobressinal de 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.14 Resposta ao degrau unitário do sistema em malha aberta . . . . . . . 27

3.15 Resposta(-) e sinal de controle(- -) usando um controlador PI . . . . . 28

3.16 Resposta(-) e sinal de controle(- -) com percentual de ultrapassagem

aproximado de 5% usando um controlador PI . . . . . . . . . . . . . 28

3.17 Resposta usando um controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


ix

3.19 Resposta usando um controlador PID para aproximação de máximo

sobressinal de 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.20 Sinal de controle usando um controlador PID para aproximação de

máximo sobressinal de 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


3.22 Resposta usando um controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


3.24 Resposta usando um controlador PI com 5% de overshoot . . . . . . . 32

3.25 Sinal de controle usando um controlador PI com 5% de overshoot . . 33

3.26 Resposta usando um controlador PI com 10% de overshoot . . . . . . 33

3.27 Sinal de controle usando um controlador PI com 10% de overshoot . . 34

3.28 Resposta(-) e sinal de controle(- -) usando um controlador PID . . . . 34

3.29 Resposta(-) e sinal de controle(- -) com percentual overshoot de 5%

usando um controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.30 Resposta(-) e sinal de controle(- -) com percentual overshoot de 10%

usando um controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Diagrama de blocos do sistema realimentado para controladores PID

com ganho derivativo usando somente a saída . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Visualização dos parâmetros para o controlador de Ziegler e Nichols . 42


4.4 Sinal de saída usando um controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . 43


4.6 Sinal de saída usando um controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . 44
















x







5.1 Diagrama de blocos PI do sistema em espaço de estados . . . . . . . 58

5.2 Diagrama de blocos PID do sistema em espaço de estados . . . . . . . 61





























xi

6.14 Sinal de saída no início da simulação usando controlador PI (�) e PID

(- -) . As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2) e

preta (método 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.15 Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) e

PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2)

e preta (método 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.16 Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI (�)

e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método

2) e preta (método 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.17 Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�) e

PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2)

e preta (método 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


(- -) . As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1 -

5%) e preta (método 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.19 Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) e

PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1

- 5%) e preta (método 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.20 Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI (�)

e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método

1 - 5%) e preta (método 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.21 Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�) e

PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1

- 5%) e preta (método 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


(- -) . As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método

2) e preta (método 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.23 Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) e PID

(- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método

2) e preta (método 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.24 Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI

(�) e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho

(método 2) e preta (método 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.25 Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�)

e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho

(método 2) e preta (método 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


(- -) . As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2). 87

xii

6.27 Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) e PID

(- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2). 87

6.28 Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI

(�) e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho

(método 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.29 Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�)

e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho

(método 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

xiii

Lista de Tabelas

3.1 Ganhos dos controladores do exemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Índices de desempenho dos controladores do exemplo 3.1 . . . . . . . 24





4.1 Controlador PID Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
















6.1 Ganhos dos controladores de parâmetros �xos do exemplo 6.1 . . . . 73


6.3 Índices de desempenho dos controladores do exemplo 3.1 para todos

os métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


os métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

xiv


os métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

xv

Capítulo 1

Introdução

Os Controladores PID(Proporcional - Integral - Derivativo) são amplamente difun-

didos na indústria. Isso se deve aos poucos parâmetros a serem ajustados em sua

implementação e à sua capacidade de rastreamento assintótico do sinal de referência

do tipo degrau, rejeição assintótica de perturbações na entrada da planta e baixa

sensibilidade a ruídos de medição. Eles representam grande avanço na aplicação de

sistemas com controle em malha fechada, o que garante maior robustez e precisão.

O PID desenvolvido por Ziegler-Nichols, um dos trabalhos mais clássicos da

literatura, é baseado em valores dependentes da identi�cação da função de trans-

ferência do sistema com dois parâmetros. Ainda muito utilizado pela facilidade,

porém apresenta máximos sobressinais elevados, às vezes de até 20%, e tempos de

acomodação longos. É uma boa alternativa para aqueles que ainda regulam seus

controles manualmente através de inúmeras tentativas.

Por causa dessa característica, cada vez mais artigos e trabalhos são publicados

a �m de se procurar o método mais e�ciente e que minimize os problemas de alto

overshoot e grandes tempos de acomodação. Neste trabalho, será feita a compara-

ção entre controlador PID de ganho �xo e controlador PID de ganho variável. A

maioria dos controladores usa um ajuste �xo ao longo do tempo. DIENE [1] propõe

um método cujos ganhos são variantes no tempo, sendo escolhidos de modo que

minimizem uma função de Lyapunov proposta.

A necessidade de se veri�car para quais casos este método funciona motivou

este trabalho. Originalmente, seria um controle que faz um sistema com espaço de

estados [I, B,C, 0] convergir em até n iterações, sendo n o números de variáveis de

entrada do sistema. Houve, então, o desejo de se perceber o que acontece se a matriz

A do espaço de estados for diferente de identidade, isto é, um espaço de estados

[A,B,C, 0]. No �m, será feita uma comparação de todos os métodos apresentados.

O trabalho está organizado da seguinte forma: no capítulo 2 haverá uma revisão

bibliográ�ca sobre controladores PID, mostrando as ações proporcional, integral e

derivativa; o capítulos 3 apresenta um método de controlador com posicionamento

1

de zeros pela análise do lugar das raízes; já o capítulo 4 descreve dois métodos em

um mesmo capítulo, fazendo alocação de polos e o método de Ziegler-Nichols; por

último, apresenta-se no capítulo 5 o novo método, com ganhos variáveis no tempo;

após isso, caberá uma comparação entre todos os métodos em 6 terminando com

algumas conclusões em 7.

2

Capítulo 2

Revisão Bibliográ�ca de

Controladores PID

2.1 Introdução

Neste capítulo, haverá uma breve revisão bibliográ�ca a respeito do que são contro-

ladores PID e suas características.

Ele está escrito como: a seção 2.2 apresenta o que é a realimentação negativa;

2.3 explica os efeitos da ação integral; em 2.4, será descrita a ação integral; a ação

derivativa e algumas de suas modi�cações se encontra em 2.5; e ao �nal, há uma

conclusão do capítulo em 2.6.

2.2 Realimentação de saída

Um controlador PID(Proporcional - Integral - Derivativo) possui o seguinte algo-

ritmo:

u(t) = Kp

[e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(λ)dλ+ Tdde(t)

dt

](2.1)

Passando ao domínio de Laplace:

U(s) = Kp

(1 +

1

Tis+ Tds

)E(s) = K(s)E(s) (2.2)

K(s) = Kp

(1 +

1

Tis+ Tds

)(2.3)

Um diagrama com o bloco (2.3) é mostrado na �gura 2.1. Essa topologia é usada

para controlar o sistema expresso pela função de transferência G(s). No domínio do

plano complexo tem-se: R(s) é o sinal de referência; E(s) é o sinal de erro; U(s) o

3

sinal de controle; D(s) a perturbação na entrada da planta; X(s) a resposta sem os

ruídos de medição N(s).

E(s)R(s)+

−Y (s)

N(s)

G(s)K(s)

D(s)

U(s) X(s)

+

+ +

+

Figura 2.1: Diagrama de blocos do sistema realimentado para controladores PID

Através da equação (2.1), muitos escritores escrevem Kp, Ki = Kp/Ti e Kd =

KpTd como os ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente. Na prá-

tica, esse uso funciona somente para facilitar cálculo dos parâmetros do controlador.

O controle é feito da seguinte forma: quando o erro é positivo, o sinal de controle

aumenta e assim a resposta tende a crescer para alcançar a referência. Quando a

resposta �ca maior que a referência, o erro �ca negativo, diminuindo o sinal de

controle e consequentemente o sinal de saída. Esse tipo de controle é chamado de

realimentação negativa, porque a resposta é subtraída da referência. O controle em

malha fechada é muito comum na literatura.

2.3 Ação proporcional

A parte proporcional do controlador é de�nida por:

up(t) = Kpe(t) (2.4)

Analisando-se o diagrama de blocos da �gura 2.1 encontra-se:

Y (s) = N(s) +G(s)[K(s)(R(s)− Y (s)) +D(s)] (2.5)

Portanto:

Y (s) =N(s)

1 +K(s)G(s)+

G(s)D(s)

1 +K(s)G(s)+K(s)G(s)R(s)

1 +K(s)G(s)(2.6)

O controlador possui três funções: rastreamento do sinal de referência, rejeição

da perturbação e diminuição da sensibilidade do sistema a ruídos de medição de

acordo com os três termos da equação (2.6).

O controlador K(s) deve possuir ganhos para que o sistema realimentado seja

estável.

4

A análise será feita para o sistema em regime permanente. A função de transfe-

rência da planta será:

G(s) = kgG(s) (2.7)

Seja o ruído de medição dado porN(s) = N/s, a perturbação igual aD(s) = D/s

e o sinal de referência R(s) = R/s, utilizando o Teorema do Valor Final obtém-se:

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =N

1 +KpkgG(0)+

kgG(0)D

1 +KpkgG(0)+

KpkgG(0)R

1 +KpkgG(0)(2.8)

• Rastreamento do sinal de referência

Para que haja o rastreamento assintótico do sinal de referência, o erro de regime

permanente deve ser nulo. Desconsiderando a perturbação e os ruídos de medição,

através de (2.8), encontra-se:

limt→∞

e(t) = r(t)− KpkgG(0)R

1 +KpkgG(0)=

R

1 +KpkgG(0)(2.9)

Logo, o erro não é nulo em regime, a menos que G(0)→∞, o que normalmente

não ocorre. Em [2], propõe-se um termo de compensação, para que o controlador

proporcional rastreie a referência, mostrado na �gura 2.2.

E(s)Kp +

U0(s)

U(s)

Figura 2.2: Diagrama de blocos com a compensação no controlador proporcional

u(t) = Kpe(t) + U0(t) (2.10)

Com U0(s) = U0/s:

Y (s) =G(s)U0(s)

1 +K(s)G(s)+K(s)G(s)R(s)

1 +K(s)G(s)(2.11)

limt→∞

e(t) = lims→0

sE(s) = lims→0

s[R(s)− Y (s)] = lims→0

R−G(0)U0

1 +KpG(0)= 0 (2.12)

Para que o erro seja zerado na situação de regime, tem-se:

5

U0 =R

G(0)(2.13)

• Rejeição de perturbações

Supõe-se agora que D(s) 6= 0. A partir de (2.8) acha-se:

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =kgG(0)D

1 +KpkgG(0)+

KpkgG(0)R

1 +KpkgG(0)(2.14)

Caso haja um ganho de malha aberta Kpkg muito elevado, isto é, KpkgG(0) >>

1, a equação anterior torna-se:

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =D

Kp

+R (2.15)

O que demonstra que um ganho alto do controlador, resulta na rejeição de pertur-

bações. É necessário cuidado para que ganhos altos não tornem o sistema instável.

• Sensibilidade aos ruídos de medição

Nesta etapa, N(s) 6= 0, logo (2.8) será:

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =N

1 +KpkgG(0)+

KpkgG(0)R

1 +KpkgG(0)(2.16)

Novamente, se KpkgG(0) >> 1, obtém-se:

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =N

KpkgG(0)+R (2.17)

O sistema é sensível a ruídos, a menos que KpkgG(0)→∞.

2.4 Ação Integral

A ação integral permite a rejeição assintótica de sinais de perturbação e rastreamento

assintótico de sinais de referência do tipo degrau. O termo de compensação da ação

proporcional é, na verdade, a ação integral. O sinal de controle torna-se:

uPI(t) = Kpe(t) + U0(t) = Kp

[e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(λ)dλ

](2.18)

Sendo:

U0(t) =Kp

Ti

∫ t

0

e(λ)dλ (2.19)

O controlador Proporcional + Integral na �gura 2.1 é:

6

K(s) = Kp

(1 +

1

Tis

)(2.20)

A equação (2.8) repete-se, pois o diagrama de blocos é o mesmo. Nos próximos

itens serão veri�cadas as características das ações conjuntas proporcional e integral

na rejeição de perturbação, sensibilidade a ruídos e rastreamento assintótico do sinal

de referência.

• Rastreamento do sinal de referência

Ao se considerar perturbações e ruídos ausentes, isto é, N(s) = D(s) = 0, e

R(s) = R/s, a equação (2.8) �cará:

Y (s) =Kp

(1 + 1

Tis

)G(s)R(s)

1 +Kp

(1 + 1

Tis

)G(s)

=Kp(1 + Tis)G(s)R(s)

Tis+Kp(1 + Tis)G(s)(2.21)

Aplicando o Teorema do Valor Final obtém-se:

limt→∞

e(t) = limt→∞

[r(t)− y(t)] = R− lims→0

sY (s) = R− KpG(0)R

KpG(0)= 0 (2.22)

Logo, o erro de regime permanente é nulo. Então, garante-se com a ação integral,

o rastreamento de um degrau.

• Rejeição de perturbações

Com a perturbação diferente de zero(D(s) = D/s), a equação (2.8) se tornará:

Y (s) =TisG(s)D(s)

Tis+Kp(1 + Tis)G(s)+

Kp(1 + Tis)G(s)R(s)


Então:

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =0TiG(0)D

KpG(0)+R = R (2.24)

O valor da perturbação não aparece na resposta em regime permanente. A

conclusão é que a perturbação foi rejeitada.

• Sensibilidade aos ruídos de medição

Da mesma forma que no caso anterior, porém agora com N(s) = N/s e sem

considerar a perturbação, tem-se:

Y (s) =TisN(s)

Tis+Kp(1 + Tis)G(s)+

Kp(1 + Tis)G(s)R(s)


7

limt→∞

y(t) = lims→0

sY (s) =0TiN

KpG(0)+R = R (2.26)

Percebe-se que a componente de ruídos da saída também foi anulada em regime,

por isso o controlador PI torna o sistema insensível a ruídos.

2.5 Ação Derivativa

A ação derivativa promove uma antecipação do futuro em um controlador PID.

Há, dessa forma, uma redução da duração da parte transitória da resposta de um

sistema.

Na �gura 2.3, mostra-se uma extrapolação linear do erro. Essa aproximação

pode ser feita através da reta tangente no ponto (t0, e(t0)), que é:

α =de(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

(2.27)

e(t0)

e(t1)e(t0 + Td)

e(t)

t(t0 + Td)t0 t1

Figura 2.3: Extrapolação linear do erro

Mas também:

α =e(t1)− e(t0)

t1 − t0(2.28)

Logo:

e(t1) = e(t0) + α(t1 − t0) (2.29)

8

Uma estimação do erro é feita através de (2.29) para um tempo t1, porém é

possível fazer para todo tempo t > t0:

eest(t) = e(t0) + α(t− t0) (2.30)

Considerando-se um tempo t0 + Td e a equação (2.27), tem-se:

eest(t0 + Td) = e(t0) + Tdde(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

(2.31)

A equação (2.31) é um controlador proporcional e derivativo (PD) com ganho

proporcional unitário. Em (2.32), está mostrada a forma de um PD:

U(s) = Kp (1 + Tds)E(s) (2.32)

Ou no domínio do tempo:

u(t) = Kp

[e(t) + Td

de(t)

dt

](2.33)

2.5.1 Modi�cação do termo derivativo

A parte derivativa do controlador vista em (2.1) é:

ud(t) = KpTdde(t)

dt= KpTd

[dr(t)

dt− dy(t)

dt

](2.34)

Entretanto, como o sinal de referência é um degrau, sua derivada será ou muito

alta ou nula, quando seu valor é constante. Essas duas situações são indesejadas,

pois no início da aplicação do degrau e em suas alterações o sinal de controle será

alto, e depois o sinal de controle zeraria. Então, a seguinte alteração é feita em

aplicações com controladores PID:

ud(t) = −KpTddy(t)

dt(2.35)

A parte derivativa agora só depende da saída. O algoritmo básico do controlador

PID no domínio do tempo e em Laplace torna-se:

u(t) = Kp

(e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(λ)dλ− Tddy(t)

dt

)(2.36)

U(s) = Kp

(1 +

1

Tis

)E(s)−KpTdsY (s) (2.37)

A �gura 2.4 mostra a modi�cação (2.37), ondeKPI(s) é a função de transferência

das partes proporcional e integral e KD(s), a parte derivativa.

9

R(s)+

−

Y (s)G(s)

KD(s)

KPI(s) −+

Figura 2.4: Diagrama de blocos com controladores PID de ganho derivativo usandosomente a saída

2.5.2 Limite do ganho derivativo

Ruídos de medição em altas frequências representam problemas na implementação

da ação derivativa. Supondo que o mesmo seja senoidal, será:

n(t) = n0sen(ωt) (2.38)

A contribuição do ruído no sinal de controle será:

un(t) = KpTddn(t)

dt= KpTdn0ωcos(ωt) (2.39)

Como em (2.39) o sinal de controle é proporcional a ω, para as altas frequências,

seu valor será extremamente elevado. A medida adotada para resolver esse problema

é limitar o ganho derivativo para altas frequências. Sabendo que:

KD(s) = KpTds (2.40)

O Diagrama de Bode mostra que um zero na origem faz o módulo subir a 20 deci-

béis por década. Já um polo realiza o contrário, decrescendo o módulo a 20dB/dec.

Logo, a solução é introduzir um polo que elimine o crescimento do módulo gerado

pelo zero na origem em (2.40). O polo terá sua alocação no valor de −N/Td, então:

KD(s) =KpTdsTdNs+ 1

(2.41)

N é um parâmetro de projeto. Em [2], os valores típicos de N estão entre 8 e 20.

Para traçar o Diagrama de Bode, substitui-se s por jω, por isso:

KD(jω) =KpTdjωTdNjω + 1

(2.42)

Para as altas frequências, o módulo do ganho DC será:

10

limω→∞

|KD(jω)| = limω→∞

KpTdω√(TdN

)2ω2 + 1

=KpTdω

ω

√(TdN

)2+ 1

ω2

= KpN (2.43)

Este diagrama está mostrado na �gura 2.5.

ω(log)20dB/dec

N/Td

20 log(KpN)

|KD(jω)|dB

Figura 2.5: Diagrama de Bode para a ação derivativa

11

2.6 Conclusão

Neste capítulo, foram apresentados sucintamente os controladores PID com suas

ações proporcional, integral e derivativa. Apresentou-se cada uma destas compo-

nentes e algumas modi�cações conhecidas na topologia padrão.

Os controladores PID de fato rastreiam o sinal de referência em malha fechada

e rejeitam perturbações na entrada e saída da planta.

12

Capítulo 3

Controladores PID - Método 1

3.1 Introdução

Este método foi estruturado por RIBEIRO [3]. É aplicado somente em sistemas

com resposta ao degrau monotonicamente crescente. Há uma alocação dos zeros do

controlador de forma a melhorar a estabilidade do sistema e cancelar um dos polos

da planta.

Este capítulo está descrito da seguinte maneira: a seção 3.2 explica como é feita

a identi�cação da planta; em 3.3 e 3.4, está a teoria dos controladores PI e PID

em si, respectivamente; 3.5 possui três exemplos de implementação; e en�m, breve

conclusão do método em 3.6.

3.2 Identi�cação da planta

A primeira parte do método é a identi�cação do sistema em malha aberta pela

resposta ao degrau. Para que o método seja utilizado, essa resposta deve ser mo-

notonicamente crescente, ou seja, sua derivada é positiva para qualquer instante de

tempo. Após a obtenção da resposta do sistema a uma entrada igual ao degrau,

aproxima-se o sistema por uma planta de segunda ordem criticamente amortecida.

A função de transferência de um sistema de segunda ordem é:

G(s) =Kω2

n

s2 + 2ζωns+ ω2n

(3.1)

Para um sistema criticamente amortecido, a constante de amortecimento ζ = 1,

logo a planta identi�cada será:

G(s) =K

(τs+ 1)2 (3.2)

13

τ =1

ωn(3.3)

O parâmetro τ é chamado constante de tempo, sendo o inverso da frequência

natural de oscilação. A resposta ao degrau unitário da planta GI(s) é obtida através

da decomposição em frações parciais e pela transformada inversa de Laplace aplicada

a Y (s):

Y (s) =KA

s(τs+ 1)2(3.4)

y(t) = KA(1− 1

τte−

1τt − e−

1τt), t ≥ 0 (3.5)

O valor de K é a razão entre o valor de estado permanente e o valor de entrada

do degrau A. Para se encontrar a constante de tempo precisa-se calcular a área (A0),

mostrada na �gura 3.1, entre o valor de regime permanente e a curva de resposta

ao degrau:

Figura 3.1: Resposta ao degrau unitário de um sistema com atraso desprezível

A0 =

∫ ∞0

[KA− y(t)]dt (3.6)

Substituindo y(t) na integral e resolvendo, encontra-se:

A0 = 2KAτ (3.7)

τ =A0

2KA(3.8)

O parâmetro τ descrito acima é para sistemas com atraso desprezível, não

sendo muito e�caz no caso de sistemas com atraso, pois resulta em percentuais de

14

ultrapassagem altos.

3.3 Controlador PI

Como os parâmetros do controlador dependem unicamente da identi�cação da

planta, esse método só pode ser usado para sistemas que possuam resposta ao degrau

em malha aberta monotonicamente crescente.

A função de transferência do controlador PID é:

K(s) = Kp(1 +1

Tis+ Tds) (3.9)

O diagrama de blocos utilizado no PI e PID deste capítulo é mostrado na �gura

3.2.

E(s)R(s)+

−Y (s)

N(s)

G(s)K(s)

D(s)

U(s) X(s)

+

+ +

+

Figura 3.2: Diagrama de blocos do sistema realimentado

Para o caso de haver apenas os termos proporcional e integral:

K(s) = Kp(1 +1

Tis) (3.10)

A equação reorganizada torna-se:

K(s) =Kp(s+ 1

Ti)

s(3.11)

Portanto, a função de transferência do sistema em malha aberta é dada por:

K(s)GI(s) =KKp(s+ 1

Ti)

s(τs+ 1)2 (3.12)

Através da equação (3.12), percebe-se que a função de transferência do sistema

possui um zero em s = −1/Ti e polos em p1 = 0, p2 = p3 = −1/τ . Para deter-

minar Ti, recorre-se ao diagrama do lugar das raízes do sistema em malha fechada

disponível na �gura 3.3.

Quando o zero é colocado entre a origem e os polos duplos (Ti > τ), a reposta ao

degrau será sempre subamortecida. Isso restringe o método de ajuste do controlador.

15

(a)

(b)

(c)

Figura 3.3: Diagrama do lugar das raízes para o sistema com o controlador PI: (a)Ti > τ , (b) Ti = τ e (c) Ti < τ .

Para as outras duas possibilidades: zero na posição dos polos duplos (Ti = τ) ou

zero à esquerda dos polos duplos (Ti < τ), a resposta pode possuir os três tipos pos-

síveis de transitório (subamortecida, criticamente amortecida e superamortecida).

16

Escolhe-se então o zero igual a −1/τ , pois dessa forma o tempo de acomodação é

menor e o sistema possui uma melhor estabilidade relativa.

Usando-se (3.12) e substituindo-se Ti = τ , tem-se a função de transferência em

malha aberta:

K(s)GI(s) =KKpτ2

s(s+ 1/τ)(3.13)

A função de transferência em malha fechada é:

T (s) =KKpτ2

s2 +(

1τ

)s+ KKp

τ2

(3.14)

Os polos de T(s) são:

p12 = − 1

2τ±√

1− 4KKp

4τ 2(3.15)

∆ =1− 4KKp

4τ 2(3.16)

O sistema varia em seu tipo de acordo com o valor de ∆:

1. Se ∆>0, o sistema será superamortecido e o ganho do controlador terá valor:

Kp <1

4K(3.17)

2. Se ∆ = 0, o sistema será criticamente amortecido e o ganho do controlador é

de�nido por:

Kp =1

4K(3.18)

3. Se∆<0, o sistema será subamortecido e possui ganho do controlador:

Kp >1

4K(3.19)

Para o caso de uma resposta ao degrau subamortecida, pode-se de�nir o ganho

do controlador segundo um percentual de ultrapassagem desejado. Sabe-se que o

percentual de ultrapassagem de um sistema de segunda ordem subamortecido sem

zeros é:

PO(%) = e− ζπ√

1−ζ2 × 100% (3.20)

De�nindo:

17

δ = e− ζπ√

1−ζ2 (3.21)

A partir da equação (3.21) , é encontrado ζ em função de δ:

ζ =1√

1 + (π/ ln δ)2(3.22)

Comparando as equações (3.1) e (3.14) obtém-se:

ω2n =

KKp

τ 2(3.23)

ζωn =1

2τ(3.24)

Logo:

Kp =1

4K

[1 +

( π

ln δ

)2]

(3.25)

Ti = τ (3.26)

Quando o percentual de ultrapassagem for zero, ln δ → −∞, portanto Kp =

1/4K.

Algoritmo 3.1

1. Através da resposta a um degrau unitário, faz-se a identi�cação da planta através

das equações (3.6) e (3.8), obtendo-se K e τ .

2. Para uma resposta desejada sem máximo sobressinal faz-se Kp = 1/4K e Ti = τ .

Entretanto, o valor de Kp pode ser alterado pela equação (3.25) de acordo com o

percentual de ultrapassagem δ desejado.

3.4 Controlador PID

A função de transferência do controlador é dada por (3.9), após algumas manipula-

ções:

K(s) = KpTds2 + s/Td + 1/TiTd

s(3.27)

Novamente, o diagrama de blocos do PID está na �gura 3.2.

Que pode ser descrita como:

K(s) = Kp(s+ z1)(s+ z2)

s(3.28)

18

Dessa forma, os parâmetros do controlador são:

Kp =Kp

Td(3.29)

Ti =z1 + z2

z1z2

(3.30)

Td =1

z1 + z2

(3.31)

Como pôde ser visto em (3.29), (3.30) e (3.31), o ajuste dos parâmetros do

controlador está diretamente relacionado com a escolha dos zeros do controlador,

o que justi�ca a necessidade da análise do diagrama do lugar das raízes. Assim

como no controlador PI, o sistema é aproximado para segunda ordem criticamente

amortecido, então a função de transferência da planta é:

G(s) =K

(τs+ 1)2(3.32)

E a função de transferência em malha aberta é descrita por:

K(s)G(s) =KKp(s+ z1)(s+ z2)

s(τs+ 1)2(3.33)

Com o intuito de anular o efeito do polo duplo no denominador, faz-se z1 = 1/τ .

Agora o sistema em malha aberta se comporta como um sistema de segunda ordem

tornando a análise do ajuste mais simples. O zero z2 será colocado à esquerda

do polo duplo, pois desta forma o lugar das raízes tenderá a se afastar do eixo

imaginário, como mostrado na �gura 3.4 . Como consequência, o sistema possuirá

melhor desempenho no transitório e uma maior estabilidade relativa. Foi adotado o

zero z2 = 1, 5/τ , como uma primeira estimativa.

Reescrevendo-se a função de transferência em malha aberta:

K(s)G(s) =KKp(s+ z2)

s(s+ 1/τ)(3.34)

K =K

τ 2(3.35)

Para se encontrar o ganho Kp recorre-se ao lugar das raízes desse sistema, bem

como às suas propriedades. Como se sabe, no ponto de partida P1, o sistema possui

raízes múltiplas, caracterizando um sistema criticamente amortecido. Já no ponto

de chegada P2, o sistema em malha fechada poderá ser criticamente amortecido ou

subamortecido, devido à existência do zero no numerador da função de transferência.

A determinação do ganho que leva os polos do sistema realimentado às posições P1

19

Figura 3.4: Diagrama do lugar das raízes em função de Kp

e P2 será um ponto de partida para o ajuste dos controladores PID. Para isso,

assume-se que Q(s) = KpB(s)/A(s), onde

A(s) = s(s+ 1/τ) e B(s) = K(s+ z2) (3.36)

A função de transferência em malha fechada é:

T (s) =Q(s)

1 +Q(s)=

KpB(s)

A(s) + KpB(s)(3.37)

Assim, o polinômio característico do sistema realimentado é:

pc(s) = A(s) + KpB(s) (3.38)

Sabe-se que, se p ∈ R é uma raiz múltipla de pc(s), então sua derivada para

s = p também será igual a zero, ou seja,

pc(s) =dpc(s)

ds= 0, para s = p (3.39)

A partir da equação (3.39), Kp é:

Kp = −A(s)

B(s)= −A

′(s)

B′(s)(3.40)

Encontram-se as raízes múltiplas através da equação A(s)B′(s)−A′(s)B(s) = 0.

Dessa forma, tem-se:

20

s2 + 2z2s+ z2/τ = 0 (3.41)

A solução é:

s1 = −z2 +

√z2

2 −z2

τ(3.42)

s2 = −z2 −√z2

2 −z2

τ(3.43)

Onde s1 corresponde ao ponto de partida P1 e s2, ao ponto de partida P2.

Substituindo-se essas raízes na equação (3.40):

Kp1 = − 1

K

[2

(−z2 +

√z2

2 −z2

τ

)+

1

τ

](3.44)

Kp2 = − 1

K

[2

(−z2 −

√z2

2 −z2

τ

)+

1

τ

](3.45)

Foram encontrados os ganhos referentes aos pontos de partida e chegada. Entre

esses dois valores, usa-se o menor por três motivos:

1. A resposta ao degrau do sistema realimentado é criticamente amortecida;

2. Um ganho alto no controlador, em geral, provoca um elevado sinal de controle

aplicado à planta;

3. Como o método será utilizado em plantas de ordem elevada, um ganho de

malha aberta pode ser indesejado, podendo tornar o sistema realimentado

instável;

Portanto, como Kp1<Kp2:

Kp = − 1

K

[2

(−z2 +

√z2

2 −z2

τ

)+

1

τ

](3.46)

Lembrando-se que z1 = 1/τ , z2 = 1, 5/τ e K = K/τ 2 , os parâmetros do

controlador PID são dados em função de K e τ (parâmetros da identi�cação da

planta por um sistema de segunda ordem criticamente amortecido):

Kp =0, 6699

K(3.47)

Ti =5τ

3(3.48)

Td =2τ

5(3.49)

21

Algoritmo 3.2

1. Através da resposta a um degrau unitário, faz-se a identi�cação da planta através

das equações (3.6) e (3.8), obtendo K e τ .

2. Para uma resposta desejada sem máximo sobressinal usam-se as equações (3.47),

(3.48) e (3.49). Entretanto, o valor de Kp pode ser corrigido multiplicando-o pelo

fator [1 + (π/ ln δ)2] de acordo com o percentual de ultrapassagem δ desejado. Essa

aproximação produz máximos sobre sinais bem próximos do desejado.

3.5 Exemplos de implementação dos controladores

PI e PID

O objetivo do método de RIBEIRO [3] é amenizar os problemas do método de

Ziegler-Nichols, como o alto percentual de ultrapassagem, e manter a facilidade de

aplicação do mesmo.

Usou-se percentual de ultrapassagem de 5% e 10% para sistemas subamortecidos,

resultando numa constante de amortecimento (ζ) igual a 0,69 e margem de fase

γ = 64, 6253o, um valor considerado satisfatório para um sistema de controle.

A perturbações aplicada em todo este trabalho é um degrau adicionado na saída

da planta com valor de 10% do sinal de referência.

Exemplo 3.1 Sistema de segunda ordem

A função de transferência da planta do exemplo 3.1 é:

G(s) =0, 25s+ 1

(s+ 2)2(3.50)

Na �gura 3.5 está a resposta do sistema ao degrau.

Como o sistema é monotonicamente crescente, pode-se fazer a identi�cação da

planta, resultando emK = 0, 25 e τ = 0, 3750. Os ganhos do controlador encontrado

estão na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Ganhos dos controladores do exemplo 3.1

Controlador Kp Ti TdPI 1,0 0,3750 -

PI(5%) 2,0997 0,3750 -PID 2,6796 0,6250 0,15

PID(5%) 5,6265 0,6250 0,15

22

t(s)

y(t)

Figura 3.5: Resposta do sistema em malha aberta ao degrau unitário

Nas �guras 3.6 e 3.9 foram implementados os controladores PI. Colocou-se per-

turbação N(s) do tipo degrau nas saídas das plantas para um tempo t = 20s con-

forme diagrama de blocos na �gura 3.2.

t(s)

y(t)

Figura 3.6: Resposta usando um controlador PI

Nas �guras 3.10 a 3.13 são mostrados os grá�cos obtidos para o PID.

Os índices de desempenho do exemplo 3.1 aparecem na tabela 3.2.

Umax e Umin são os valores máximo e mínimo, respectivamente, atingidos pelo

sinal de controle. tr, ts e tp são os tempos em segundos de subida (intervalo para

a resposta ir de 10% a 90% do seu valor de regime permanente), acomodação (va-

lores da resposta com variação menor que 2% do valor de regime permanente) e

rejeição da perturbação (considerando em regime para variações menores que 2%),

respectivamente. Mss é o valor de máximo sobressinal.

23

t(s)

u(t)

Figura 3.7: Sinal de controle usando um controlador PI

t(s)

y(t)

Figura 3.8: Sinal de saída com percentual overshoot de 5% usando um controladorPI

Tabela 3.2: Índices de desempenho dos controladores do exemplo 3.1

Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 4,0064 1,0 2,6960 4,2850 2,3430 0,088

PI(5%) 4,4629 2,0997 1,3250 3,6410 1,2350 4,42PID 4,5420 -36,4620 1,8090 2,7840 1,5260 0,37

PID(5%) 6,6150 -80,96 0,9460 2,9410 0,8360 4,62

Exemplo 3.2 Sistema de quinta ordem

A função de transferência da planta está em (3.51) e resposta ao degrau unitário

na �gura 3.14:

24

t(s)

u(t)

Figura 3.9: Sinal de controle com percentual overshoot de 5% usando um controladorPI

t(s)

y(t)

Figura 3.10: Resposta usando um controlador PID

G(s) =(s+ 2)(s+ 5)(s+ 13)(s+ 15)

(s+ 1)(s+ 4)(s+ 7)(s+ 8)(s+ 10)(3.51)

Os parâmetros da planta identi�cada obtidos são K = 0, 8705 e τ = 0, 3871. A

tabela 3.3 mostra os ganhos dos controladores calculados. As �guras 3.15 e 3.16

mostram os resultados obtidos no PI.

As �guras 3.17 a 3.20 estabelecem os resultados dos controladores PID para o

exemplo 3.2.

Na tabela 3.4, estão os índices de desempenho do exemplo 3.2.

O PI(5%) apresenta um sinal de controle alto porque há um empenho em diminuir

o tempo de subida, porém no �nal seu tempo de acomodação é próximo ao do PI

25

t(s)

u(t)

Figura 3.11: Sinal de controle usando um controlador PID

t(s)

y(t)

Figura 3.12: Resposta usando um controlador PID para aproximação de máximosobressinal de 5%



PI(5%) 0,8218 0,3871 -PID 0,7695 0,6452 0,1549

PID(5%) 1,6158 0,6452 0,1549

sem percentual de ultrapassagem. Os PID's mostram o mesmo caso.

Exemplo 3.3 Sistema de oitava ordem com atraso

A função de transferência do exemplo 3.3 está descrita na equação (3.52). A

26

t(s)

u(t)

Figura 3.13: Sinal de controle usando um controlador PID para aproximação demáximo sobressinal de 5%

t(s)

y(t)

Figura 3.14: Resposta ao degrau unitário do sistema em malha aberta


Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 1,1627 0,2872 3,0540 4,5850 2,5530 0,56

PI(5%) 1,2634 0,6030 1,5710 4,3530 1,3370 3,09PID 1,3505 -10,8446 2,1170 3,18 1,6910 0,91

PID(5%) 2,0714 -24,0343 1,0990 3,4560 0,8820 2,81

resposta ao degrau unitário pode ser vista na �gura 3.21. Os parâmetros calculados

para identi�car a planta são: K = 45, 0311 e τ = 2, 1560. Na tabela 3.5 estão os

ganhos dos controladores do exemplo 3.3. Podem ser vistos os controladores PI do

27

t(s)

y(t)

u(t)

Figura 3.15: Resposta(-) e sinal de controle(- -) usando um controlador PI

t(s)

y(t)

u(t)

Figura 3.16: Resposta(-) e sinal de controle(- -) com percentual de ultrapassagemaproximado de 5% usando um controlador PI

exemplo 3.3 nas �guras 3.22 a 3.27, e do PID nas �guras 3.28 a 3.30. As perturbações

foram aplicadas para um tempo t = 60s. Os índices de desempenho desse exemplo

estão na tabela 3.6.

G(s) =(s+ 1, 1)(s+ 1, 5)2(s+ 1, 9)2(s+ 2, 1)(s+ 2, 4)

(s+ 1)8e−0,5s (3.52)

28

t(s)

y(t)

Figura 3.17: Resposta usando um controlador PID

t(s)

u(t)




PI(5%) 0,0117 2,1560 -PI(10%) 0,0159 2,1560 -PID 0,0149 3,5934 0,8624

PID(5%) 0,0312 3,5934 0,8624PID(10%) 0,0426 3,5934 0,8624

29

t(s)

y(t)

Figura 3.19: Resposta usando um controlador PID para aproximação de máximosobressinal de 10%

t(s)

u(t)

Figura 3.20: Sinal de controle usando um controlador PID para aproximação demáximo sobressinal de 10%


Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 0,0222 0,0056 13,5730 26,1270 12,8350 0

PI(5%) 0,0258 0,0117 4,9160 14,7950 6,6670 7,82PI(10%) 0,0310 0,0159 3,6890 18,7960 4,9970 19,08PID 0,0242 -1,2622 7,5420 17,2310 7,31 0

PID(5%) 0,0357 -2,6748 3,1130 10,7470 4,0060 10,77PID(10%) 0,0485 -3,6533 2,4720 9,4750 3,3190 19,12

30

t(s)

y(t)


t(s)

y(t)

Figura 3.22: Resposta usando um controlador PI

3.6 Conclusão

Nos exemplos dados anteriormente, percebe-se que os controladores deste método

rastreiam assintoticamente a referência e rejeitam as perturbações presentes. A ação

derivativa torna o sistema mais rápido. Em contra ponto, a derivação na saída gera

variações bruscas no sinal de controle.

Este método produz altos máximos sobressinais e ainda diferentes do projetado

devido ao atraso. Em sistemas com atraso não é o mais adequado.

31

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)

Figura 3.24: Resposta usando um controlador PI com 5% de overshoot

32

t(s)

u(t)

Figura 3.25: Sinal de controle usando um controlador PI com 5% de overshoot

t(s)

y(t)

Figura 3.26: Resposta usando um controlador PI com 10% de overshoot

33

t(s)

u(t)

Figura 3.27: Sinal de controle usando um controlador PI com 10% de overshoot

t(s)

u(t)

y(t)

Figura 3.28: Resposta(-) e sinal de controle(- -) usando um controlador PID

34

t(s)

u(t)

y(t)

Figura 3.29: Resposta(-) e sinal de controle(- -) com percentual overshoot de 5%usando um controlador PID

t(s)

u(t)

y(t)

Figura 3.30: Resposta(-) e sinal de controle(- -) com percentual overshoot de 10%usando um controlador PID

35

Capítulo 4

Controladores PID - Método 2 e

Ziegler-Nichols - Método 3

4.1 Introdução

O trabalho de GOMES [4] compara alguns métodos de identi�cação de plantas e

controladores PID. Nota-se que um controlador apresenta índices de desempenho

superior entre todos os mostrados, cujo procedimento é a alocação de polos domi-

nantes de forma a garantir percentual overshoot e tempo de acomodação desejados.

Além disso, será usado o método de identi�cação de plantas que visa à menor área

entre as curvas de resposta ao degrau das plantas reais e identi�cadas, chamado de

Minimização das áreas.

De acordo com o critério explicado, os melhores métodos eleitos naquele trabalho

são: o método de Minimização das Áreas (planta identi�cada) e o método Polinomial

(sintonia do controlador).

Este capítulo está organizado da seguinte maneira: a seção 4.2 apresenta o mé-

todo de identi�cação da planta; o controlador PI e PID estão em 4.3 e 4.4, respec-

tivamente; explica-se o método de Ziegler-Nichols em 4.5; são mostrados exemplos

em 4.6 e 4.7; conclui-se o capítulo em 4.8.

4.2 Identi�cação da planta (Método de Minimiza-

ção das Áreas)

O método de identi�cação da planta consiste em minimizar a função custo que é

a área entre a resposta ao degrau da planta real e a da planta identi�cada. Esta

função é de�nida como:

36

δ =

∫ ∞0

|yr(t)− ym(t)|dt (4.1)

A identi�cação da planta é feita através de uma função de transferência do pri-

meiro grau com atraso, dada por:

GI(s) =Ke−Ts

τs+ 1(4.2)

A resposta da planta identi�cada a uma entrada degrau é:

yI(t) = £−1

{1

sGI(s)

}= £−1

{Ke−Ts

s(τs+ 1)

}= £−1

{K

se−Ts − K

s+ 1/τe−Ts

}

yI(t) = (K −Ke−(t−T )τ )u0(t− T ) (4.3)

A função de custo �ca:

δ =

∫ ∞0

|yr(t)− yI(t)|dt =

∫ T

0

|yr(t)− 0|dt+

∫ ∞T

|yr(t)− yI(t)|dt

=

∫ T

0

|yr(t)|dt+

∫ ∞T

|yr(t)−K +Ke−(t−T )τ |dt (4.4)

Fazendo-se a substituição de variável, λ = t− T e dλ = dt tem-se:

δ =

∫ T

0

|yr(t)|dt+

∫ ∞0

|yr(λ+ T )−K +Ke−λτ |dλ (4.5)

Assim, o problema de otimização de identi�cação da planta pode der de�nido

como:

minT,τδ = minT,τ

(∫ T

0

|yr(t)|dt+

∫ ∞0

|yr(λ+ T )−K +Ke−λτ |dλ

)(4.6)

Os valores de T e τ são de�nidos para o ponto de mínimo da função de custo na

equação (4.6).

4.3 Controlador PI (Método Polinomial)

A determinação dos parâmetros é feita através do posicionamento de polos domi-

nantes. A função de transferência da planta é dada pela equação (4.2) e a do

controlador por (3.10). Usando-se a aproximação de Padé (1,1) da equação (A.9), a

planta torna-se:

37

GI(s) =K(1− T

2s)

(τs+ 1)(1 + T2s)

(4.7)

A equação do controlador pode ser modi�cada para:

K(s) =Kps+Ki

s(4.8)

Sendo:

Ki = Kp/Ti (4.9)

A função de transferência em malha aberta é Gma(s) = K(s)GI(s), logo a função

em malha fechada para um sistema com realimentação unitária negativa é Gmf (s) =

Gma/(1 +Gma). Dessa forma, o polinômio característico é:

pc(s) = s3 +

(2

T+

1

τ− KKp

τ

)s2 +

(2

τT+

2KKp

τT− KKi

τ

)s+

2KKi

τT(4.10)

Dois polos são dominantes e o terceiro polo é posto quatro vezes mais afastado do

eixo real, para que tenha pouca in�uência sobre o sistema realimentado. Portanto:

pc(s) = (s+ αζω)(s2 + 2ζωs+ ω2) = s3 + a1s2 + a2s+ a3 (4.11)

Sendo ζ, o coe�ciente de amortecimento, ω, a frequência de oscilação natural e

α,a constante de afastamento do terceiro em relação aos polos dominantes. Para

determinar ζ e ω usa-se o máximo sobressinal, Mss, e o tempo de acomodação, ts,

como descrito nas equações (4.12) e (4.13):

ζ =

√ln2Mss

ln2Mss + π2(4.12)

ω = − lnMss

ζts(4.13)

Igualando-se as equações (4.10) e (4.11), obtém-se:

a1 =2

T+

1

τ− KKp

τ(4.14)

a2 =2

τT+

2KKp

τT− KKi

τ(4.15)

a3 =2KKi

τT(4.16)

38

Usando-se (4.14) e (4.16):

Kp =τ

K

(2

T+

1

τ− a1

)(4.17)

Ki =a3τT

2K(4.18)

Logo:

Ti =2KKp

a3τT(4.19)

Foram usados o segundo e quarto termos do polinômio característico para resolver

os ganhos, entretanto também se pode usar o terceiro termo fazendo:

Ki =

(2

τT+

2KKp

τT− a2

)(4.20)

Em seguida, encontra-se Ti por (4.9).

Algoritmo 4.1

1. Com a resposta ao degrau do sistema, calcula-se K, que é o valor de regime

permanente da resposta.

2. Obtêm-se os valores do atraso, T , e da constante de tempo, τ , através da mi-

nimização da área entre a resposta com planta identi�cada e a real na equação (4.6).

3. Projeta-se o controlador escolhendo o percentual overshoot, Mss, e o tempo de

acomodação, ts, da respota desejada.

4. As equações (4.12) e (4.13) fornecem a constante de amortecimento, ζ, e

frequência natural, ω.

5. Encontram-se os coe�cientes do polinômio característico da equação (4.11).

6. Através de (4.17) e (4.19) acham-se os valores dos ganhos do controlador pro-

porcional e Integral.

4.4 Controlador PID

A sintonia do controlador PID é feita através do mesmo processo anterior. A �gura

4.1 mostra o diagrama de blocos com a alteração da parte derivativa do controle que

será usada para esse controlador.

39

Figura 4.1: Diagrama de blocos do sistema realimentado para controladores PIDcom ganho derivativo usando somente a saída

A função KPI(s) é a mesma da equação (4.8) e o controle derivativo é:

KD(s) = Kds (4.21)

onde:

Kd = KpTd (4.22)

Ki = Kp/Ti (4.23)

A parte derivativa do sinal de controle é:

UD(s) = −KdsY (s) (4.24)

Dessa forma, o polinômio característico do sistema realimentado torna-se:

pc(s) = s3 +

(τ + T

2− KTKp

2+KKd

)s2 +

(1 +KKp − KTKi

2

)s+KKi(

τT2− KTKd

2

) (4.25)

Como o polinômio característico possui o mesmo grau, o sistema será projetado

através de polos dominantes como no PI.

Igualando-se os coe�cientes dos polinômios das equações (4.11) e (4.25) como no

PI, obtém-se um sistema linear para encontrar Kp, Ki e Kd:

40

0 K a3KT2

K −T2K T

2a2K

−T2K 0 K + T

2a1K

Kp

Ki

Kd

=

T2a3τ

T2a2τ − 1

T2a1τ − T

2− τ

(4.26)

Resolvendo o sistema linear da equação (4.26), calcula-se por (4.22) e (4.23) os

parâmetros do controlador Kp, Ti e Td.

Procura-se obter ganhos para os menores máximos sobressinais e tempos de

acomodação. Costuma-se usar α = 4, o que normalmente basta para projetar um

bom controlador. O valores que será inserido nas simulações é N = 8 para o polo

na ação derivativa.

Algoritmo 4.2

1. Com a resposta ao degrau do sistema, calcula-se K, que é o valor de regime

permanente da resposta.

2. Obtêm-se os valores do atraso, T , e da constante de tempo, τ , através da mi-

nimização da área entre a resposta com planta identi�cada e a real na equação (4.6).

3. Projeta-se o controlador escolhendo-se o percentual overshoot, Mss, e o tempo de

acomodação, ts, da resposta desejada.

4. As equações (4.12) e (4.13) fornecem a constante de amortecimento, ζ, e a

frequência natural, ω.

5. Encontram-se os coe�cientes do polinômio característico da equação (4.11).

6. Resolvendo-se o sistema linear de (4.26) e usando-se as equações (4.22) e (4.23),

os valores dos ganhos do controlador Kp , Ti e Td são obtidos.

4.5 Controladores PID de Ziegler-Nichols

O método mostrado em [5], consiste em utilizar a resposta ao degrau do sistema

para obter ganhos para os diferentes tipos de controladores (P, PI e PID). Com

os parâmetros encontrados, que são as interseções da reta de maior tangente com

o eixos x e y, calculam-se os ganhos do controlador mostrados na tabela 4.1. A

implementação será feita de acordo com o diagrama de blocos na �gura 4.1.

A �gura 4.2 mostra os valores de a e L para uma curva de resposta monotonica-

mente crescente qualquer.

41

Tabela 4.1: Controlador PID Ziegler-Nichols

Controlador Kp Ti TdP 1/a - -PI 0, 9/a 3L -PID 1, 2/a 2L L/2

Figura 4.2: Visualização dos parâmetros para o controlador de Ziegler e Nichols

Algoritmo 4.3

1. Obter a resposta da planta a um degrau unitário. Encontrar o ponto de inclinação

máxima (ponto de in�exão) e as interseções L e a (�gura 4.2), respectivamente com

os eixos x e y, da reta tangente à curva de resposta nesse ponto.

2. Com os valores de a e L têm-se os parâmetros do controlador desejado através

da tabela 4.1.

4.6 Exemplos de implementação de Controladores

PI e PID

O parâmetro de limitação do ganho derivativo da seção 2.5.2 será igual a 8 para

os exemplos posteriores. A parte derivativa do controle dependerá apenas da saída,

como na seção 2.5.1.


Este exemplo será o mesmo da equação (3.50).

Os parâmetros da planta identi�cada são: K = 0, 25, τ = 0, 6870 e T = 0, 0780.

Os controladores estão na tabela 4.4. As perturbações foram inseridas em t = 10s.

O controlador PI foi projetado para ts = 2s e Mss = 0, 1% e o PID, ts = 1, 7 e

42

Mss = 0, 1%. As perturbações foram inseridas em t = 10s. As �guras 4.3 e 4.4

mostram os sinais de saída e controle do PI. Já 4.5 e 4.6 são �guras do PID. A

tabela 4.5 fornece os índices de desempenho dos controladores implementados.


Controlador Kp Ti TdPI 17,5140 0,8216 -PID 12,9423 0,3883 0,0085

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)

Figura 4.4: Sinal de saída usando um controlador PI


43

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)

Figura 4.6: Sinal de saída usando um controlador PID


Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 17,5140 2,2486 0,3620 0,5430 0,3010 1,13PID 12,9423 -7,6480 0,3510 1,4050 0,3160 12,52

Será usada a equação (3.51). A identi�cação da planta é K = 0, 8705, T = 0, 1 e

τ = 0, 7760. No projeto do PI foi considerado ts = 3s e no PID, ts = 2s, ambos com

Mss = 0, 1%. As �guras 4.7 e 4.8 mostram o sinal de controle do PI e a resposta.

Nas �guras e 4.9 e 4.10 podem ser vistos os resultados das implementações do PID.


44



t(s)

u(t)


t(s)

y(t)



Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 6,6616 2,4825 0,7820 4,9860 0,2 0PID 3,7172 -6,6574 0,3530 1,7390 0,2850 2,72

45

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


A função de transferência é dada pela equação (3.52). A identi�cação da planta

conduz ao seguintes valores: K = 45, 0311, T = 2, 1020 e τ = 2, 3930. Os ganhos

dos controladores estão na tabela 4.7. Os parâmetros de projeto são: ts = 32s e

Mss = 1% para o PI. M = 0, 1% e ts = 25s para o PID. O sinal de controle e a

resposta ao degrau do PI estão nas �guras 4.11 e 4.12, respectivamente. As �guras

do PID são 4.13 e 4.14. Os índices de desempenho estão postos na tabela 4.7.



46

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)



Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 0,0222 0,0041 11,5180 20,1050 11,7680 0,03PID 0,0222 0,01 6,4950 11,6070 7,2140 0,0174

4.7 Exemplos de PI e PID de Ziegler-Nichols

Nestas simulações não foi usado o limite de ganho derivativo, entretanto a ação

derivativa continua a usar somente a saída.

47

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)



O método de Ziegler-Nichols é inviável para a função de transferência do exemplo

3.50. Não há pontos de in�exão na resposta ao degrau, logo a inclinação máxima

acontece na origem. Os parâmetros a e L serão nulos. Isto conduziria a um ganho

Kp → ∞ e Ti → 0. No PID, também o ganho derivativo se anularia. Então o

exemplo usado aqui será:

G(s) =s+ 10

(s+ 2)2(4.27)

A resposta ao degrau unitário está na �gura 4.15. As interseções com os eixos

encontradas são a = 0, 0980 e L = 0, 0519. Os ganhos dos controladores PID estão

na tabela 4.8.

48

t(s)

y(t)




t(s)

u(t)



Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 9,1822 -2,2901 0,09 0,9510 0,3320 38,36PID 12,2429 -32,5792 0,0840 0,9040 0,3110 35,61

49

t(s)

y(t)


t(s)

u(t)



A função de transferência usada é a equação (3.51). Os parâmetros encontrados

pelo método da resposta ao degrau de Ziegler-Nichols são a = 0, 053 e L = 0, 0045.

Os ganhos dos controladores aparecem na tabela 4.10. As �guras 4.20 e 4.21 são do

PI e 4.22 e 4.23 do PID. Os índices de desempenho dos controladores do exemplo

4.5 estão na tabela 4.11.


A função de transferência usada é a equação (3.52). Os parâmetros encontrados

pelo método da resposta ao degrau de Ziegler-Nichols são a = 11, 2849 e L = 1, 3031.

Os ganhos dos controladores aparecem na tabela 4.10. As �guras 4.24 e 4.25 são do

50

t(s)

y(t)




t(s)

u(t)




51

t(s)

y(t)


t(s)

u(t)


PI e 4.26 e 4.27 do PID. Os índices de desempenho dos controladores do exemplo

4.6 estão na tabela 4.13.

Para calcular a máxima inclinação, o atraso e−0,5s foi substituído pela aproxi-

mação de Padé(2,2) descrita na equação A.11. Após isso, faz-se a Transformada

Inversa de Laplace, passando para o domínio do tempo e encontrando a derivada.

Esse procedimento de transformada inversa também foi realizado para os exemplos

4.4 e 4.5.

52

t(s)

y(t)




t(s)

u(t)




53

t(s)

y(t)


t(s)

u(t)


4.8 Conclusão

Os controladores dos métodos deste capítulo atingem seu objetivo de rastrear a

referência e rejeitar perturbações.

O método de Ziegler-Nichols possui fácil implementação, porém possui elevados

máximos sobressinais como no exemplo 4.6. Pode-se dizer que o método de alocação

de polos é superior, porque não apresenta altos percentuais de ultrapassagem e parte

transitória tão oscilatória.

54

t(s)

y(t)


55

Capítulo 5

Controladores PID - Método 4

5.1 Introdução

DIENE [1] desenvolveu um método de controladores com ganhos variantes ou adap-

táveis em relação ao tempo. Essa contribuição é de grande valor, porque na literatura

de Sistemas de Controle a maioria dos métodos trabalha com parâmetros �xos.

Escreveu-se o capítulo de tal maneira que na seção 5.2, há uma apresentação de

conhecimentos que preparam o entendimento do controlador; em 5.3 e 5.4 explica-se

PI e PID, respectivamente; 5.5 insere algumas observações sobre o método; alguns

exemplos são usados em 5.6; uma conclusão do capítulo aparece em 5.7.

5.2 Conceitos básicos

A técnica consiste em escolher uma função de Lyapunov (Control Lyapunov Function

- CLF) adequada, tal que ganhos ótimos façam-na decrescer tão rápido quanto

possível. Uma função de Lyapunov pode ser de�nida por:

Teorema 5.1 Seja x = 0 um ponto de equilíbrio de um sistema. Então a solução

x(k) = 0 ∀ k será assintoticamente estável se existir uma função escalar V (xk) = 0,

chamada de Função de Lyapunov, de�nida em D ⊂ Rn e contínua em xk, tal que

1. V (0) = 0, ∀ k ≥ k0.

2. V (xk) > 0 ∀ xk 6= 0 e ∀ k ≥ k0.

3. ∆V (xk) = V (xk+1)− V (xk) ∀ xk 6= 0 e ∀ k ≥ k0.

4. 0 < W (||xk||) < V (xk) ∀ k ≥ k0, tal que W (τ) é uma função contínua positiva

de�nida em R, onde W (0) = 0 e quando τ → ∞, W (τ) → ∞ monotonica-

mente.

56

O controle será feito através de um espaço de estados discreto com as matrizes

(A,B,C,0): xk+1 = Axk +Buk

yk = Cxk

ek = r − ykuk = f(ek)

(5.1)

onde xk ∈ Rn×1 é a variável de estado, r ∈ R é o sinal de referência, yk ∈ R é a

saída, uk ∈ R é o sinal de controle e ek ∈ R, o sinal de erro. A matriz do sistema

A ∈ Rn×n, a de entrada B ∈ Rn×1 e a de saída C ∈ R1×n são as matrizes do espaço

de estados. Quando o objetivo for controlar uma planta cuja função de transferência

é conhecida, a função será descrita em sua forma controlável canônica em espaço de

estados.

O erro da próxima iteração é:

ek+1 = r − yk+1 = r − Cxk+1 = r − CAxk − CBuk (5.2)

podendo ser escrito como:

ek+1 = r − Cxk + C(I − A)xk − CBuk = ek − CBuk + C(I − A)xk (5.3)

onde I é uma matriz identidade da mesma ordem de A. Em [1] A = I, por isso

o erro �ca reduzido a ek+1 = ek − CBuk. Entretanto, neste trabalho os sistemas

simulados não possuem essa característica.

5.3 Controlador PI

O sinal de controle no controlador PI em tempo discreto é:

uk = gp(k)ek + gi(k)k∑i=0

ei (5.4)

gp(k) e gi(k) são os ganhos proporcional e integral. A parte integral é reescrita

usando uma variável de estado qk:

qk+1 = ek + βkqk (5.5)

βk é um ganho introduzido para que o estado integrador seja nulo em regime

permanente. A equação (5.4) �ca:

57

uk = gp(k)ek + gi(k)qk = αkpk (5.6)

em que

pk = ek + γkqk (5.7)

Portanto, o ganho proporcional é gp(k) = αk e gi(k) = αkγk é o ganho integral.

O espaço de estados de (5.1) torna-se:xk+1 = Axk + αkBpk

ek+1 = ek − αkCBpk + C(I − A)xk

qk+1 = ek + βqk

pk+1 = ek+1 + γk+1qk+1

(5.8)

O espaço de estados de (5.8) está esboçado na �gura 5.1.

ek qk+1 qkr+

−++ +Bαkγk AtrasoAtraso

βk

pkC

A

uk ykxk+1 xk

Figura 5.1: Diagrama de blocos PI do sistema em espaço de estados

Escolhendo a norma de ek como a CLF:

Ve(k) = 〈ek, ek〉 (5.9)

em que 〈a, b〉 é o produto escalar entre a e b.

Calcula-se ∆Ve = Ve(k + 1)− Ve(k):

∆Ve = 〈ek+1, ek+1〉 − 〈ek, ek〉 (5.10)

= 〈ek − αkCBpk + C(I − A)xk, ek − αkCBpk + C(I − A)xk〉 − 〈ek, ek〉

∆Ve = −2αk〈ek, CBpk〉+ 2〈ek, C(I − A)xk〉+ α2k〈CBpk, CBpk〉+

−2αk〈CBpk, C(I − A)xk〉+ 〈C(I − A)xk, C(I − A)xk〉 (5.11)

Para que a norma de ek+1 diminua tanto quanto possível, ∆Ve deve ser mínimo.

Portanto, a derivada ∂∆Ve/∂αk será igualada a zero para o ganho αk ótimo:

58

∂∆Ve∂αk

= −2〈ek, CBpk〉+ 2αk〈CBpk, CBpk〉 − 2〈CBpk, C(I − A)xk〉 = 0 (5.12)

Logo:

αk =〈ek, CBpk〉+ 〈CBpk, C(I − A)xk〉

〈CBpk, CBpk〉(5.13)

A �m de se saber βk, escolhe-se a CLF:

Vq(k) = 〈qk, qk〉 (5.14)

Vq(k + 1) = 〈qk+1, qk+1〉 = 〈ek + βkqk, ek + βkqk〉

= 〈ek, ek〉+ 2βk〈ek, qk〉+ β2k〈qk, qk〉 (5.15)

Minimizando Vq(k + 1):

∂Vq(k + 1)

∂βk= 2〈ek, qk〉+ 2βk〈qk, qk〉 = 0 (5.16)

Assim:

βk = −〈rk, qk〉〈qk, qk〉

(5.17)

En�m, para determinar γk+1, faz-se a CLF:

Vp(k) = 〈pk, pk〉 (5.18)

Do mesmo modo que anteriormente:

Vp(k + 1) = 〈pk+1, pk+1〉 = 〈ek+1 + γk+1qk+1, ek+1 + γk+1qk+1〉

= 〈ek+1, ek+1〉+ 2γk+1〈ek+1, qk+1〉+ γ2k+1〈qk+1, qk+1〉 (5.19)

∂Vp(k + 1)

∂γk+1

= 2〈ek+1, qk+1〉+ 2γk+1〈qk+1, qk+1〉 = 0 (5.20)

γk+1 = −〈ek+1, qk+1〉〈qk+1, qk+1〉

(5.21)

Algoritmo 5.1

1. Calcular e0 = r − Cx0, p0 = e0 e q0 = 1, 3p0.

59

2. Para k = 0, 1, 2, 3, 4, ...

xk+1 = Axk + αkBpk

βk = − 〈rk,qk〉〈qk,qk〉

αk = 〈ek,CBpk〉+〈CBpk,C(I−A)xk〉〈CBpk,CBpk〉


qk+1 = ek + βqk

γk+1 = − 〈ek+1,qk+1〉〈qk+1,qk+1〉

pk+1 = ek+1 + γk+1qk+1

3. A resposta do sistema é dada por yk = Cxk e o sinal de controle uk = αkpk.

5.4 Controlador PID

O controlador PID a tempo discreto possui um sinal de controle da forma:

uk = gp(k)ek + gi(k)k∑i=0

ei + gd(k)(xk − xk−1) (5.22)

gp(k), gi(k) e gd(k) são os ganhos proporcional, integral e derivativo.

Criando um novo estado:

pk = ek + δk(xk − xk−1) + qk (5.23)

Repete-se qk como em (5.5). Usando-se a derivada discreta do estado, pois

segundo [5], derivação do erro produz ganhos altos devido às variações rápidas da

referência (Seção 2.5.1), encontra-se xk = xk−1 + αk−1Bpk−1. Portanto, pk é:

pk = ek + qk + δkαk−1Bpk−1 = ek + γk−1Bpk−1 + qk (5.24)

O espaço de estados Planta+Controle é:xk+1 = Axk + αkBpk


qk+1 = ek + βqk

pk+1 = ek+1 + qk+1 + γkBpk

(5.25)

A �gura 5.2 mostra o espaço de estados do controlador PID implementado.

Semelhante ao caso do PI, usam-se as funções de Lyapunov (5.9), (5.14) e (5.18).

Como as equações de ek+1 e qk+1 são as mesmas também, αk e βk serão dados por

(5.13) e (5.17).

Entretanto, pk+1 no PID é diferente, sendo γk um vetor. Vp(k + 1) será:

60

ek qk+1 qkr+

−++ +Bαk

AtrasoγkB

AtrasoAtraso

βk

pkC

A

uk ykxk+1 xk

Figura 5.2: Diagrama de blocos PID do sistema em espaço de estados

Vp(k + 1) = 〈ek+1 + qk+1 + γkBpk, ek+1 + qk+1 + γkBpk〉

= 〈ek+1, ek+1〉+ 2〈ek+1, qk+1〉+ 〈qk+1, qk+1〉+

+2〈ek+1, γkBpk〉+ 2〈qk+1, γkBpk〉+ 〈γkBpk, γkBpk〉 (5.26)

No sistema monovariável, o sinal de erro e os estados p e q são escalares, logo:

Vp(k+ 1) = e2k+1 + 2ek+1qk+1 + q2

k+1 + 2ek+1pkγkB + 2qk+1pkγkB + p2k(γkB)2 (5.27)

De�nindo-se n como o grau do sistema, há a possibilidade de se escrever:

Vp(k+1) = e2k+1+2ek+1qk+1+q2

k+1+2ek+1pk

n∑i=1

γkiBi+2qk+1pk

n∑i=1

γkiBi+p2k(

n∑i=1

γkiBi)2

(5.28)

Para se encontrar o ganho γk, faz-se o gradiente de (5.28) nulo:

∇Vp(k + 1) =

∂Vp(k+1)

∂γk1∂Vp(k+1)

∂γk2

.

.

.∂Vp(k+1)

∂γkn

=

2pk(ek+1 + qk+1)B1 + 2p2kB1

n∑i=1

γkiBi

2pk(ek+1 + qk+1)B2 + 2p2kB2

n∑i=1

γkiBi

.

.

.

2pk(ek+1 + qk+1)Bn + 2p2kBn

n∑i=1

γkiBi

=

0

0

.

.

.

0

(5.29)

Cada γki é dependente dos outros. A solução é fazer todos os γki iguais. Portanto:

61

γki = −ek+1 + qk+1

pkn∑j=1

Bj

(5.30)

Então:

γk = [ γk1 γk2 ... γkn ] (5.31)

com γk1 = γk2 = ... = γkn dados pela equação (5.30).

Algoritmo 5.2

1. Calcular e0 = r − Cx0, p0 = e0 e q0 = 1, 3p0.

2. Para k = 0, 1, 2, 3, 4, ...

xk+1 = Axk + αkBpk

βk = − 〈rk,qk〉〈qk,qk〉

αk = 〈ek,CBpk〉+〈CBpk,C(I−A)xk〉〈CBpk,CBpk〉


qk+1 = ek + βqk

γki = − ek+1+qk+1

pkn∑i=j

Bj

, ∀i. γk é vetor linha formado pelos γki's de 1 até a dimensão

do espaço de estados.

pk+1 = ek+1 + qk+1 + γkBpk

3. A resposta do sistema é dada por yk = Cxk e o sinal de controle uk = αkpk.

5.5 Observações sobre o método

Mostram-se algumas informações importantes sobre o método nesta seção.

5.5.1 Características das plantas a serem controladas

Como pode ser visto em (5.13) e nos espaços de estado dos controladores PI e

PID expressos em (5.8) e (5.25), alguns termos dependem da multiplicação CB.

O presente método não funciona quando este termo é igual a zero, pois o sinal de

controle permanece em zero.

Na forma canônica controlável, apresentada no Apêndice B, a matriz C repre-

senta os coe�cientes do numerador da função de transferência que se deseja obter o

espaço de estados. Porém, B sempre possui o valor 1 em sua primeira linha e 0 nas

restantes (embora o 1 possa estar em qualquer uma das outras linhas por Transfor-

mações de Similaridade). Por consequência, se a função de transferência tiver grau

62

relativo do denominador em relação ao numerador maior que a unidade, resulta que

CB = 0.

CB = [ nC1 nC2 ... nCn ]

1

0

0

.

.

.

0

(5.32)

Para que CB 6= 0, nC1 deve ser não nulo. Para isso, o grau do polinômio do

numerador da função de transferência é menor uma unidade do que a ordem do

espaço de estados (mesma do denominador da função de transferência), resultando

em grau relativo igual a 1.

Considerando-se uma matriz Q de transformação de similaridade. Para uma

realização em espaço de estados [A,B,C,D], a nova realização será [A, B, C, D] =

[Q−1AQ,Q−1B,CQ,D]. Quando CB = 0, encontra-se:

CB = CQQ−1B = CB = 0 (5.33)

Uma observação importante é que transformações de similaridade não alteram

o produto CB, como mostrado em (5.33). Quando uma planta não puder ser con-

trolada, essas transformações não farão o controle funcionar, pois o produto CB

continua nulo.

5.5.2 Modi�cação do controle

Este método faz o sistema alcançar a referência em uma iteração, mas acaba di-

vergindo depois, quando a matriz A não é identidade. Sendo A = I, assim que

o estado chega a um valor que garante o rastreamento da referência, a variável de

estado não mais se atualiza, ou seja, pk = 0 (sinal de controle se anula) e então

xk+1 = Axk + αkBpk = Ixk = xk. Porém, se A 6= I, o controle deve permanecer

ligado para compensar a evolução do estado. Então, pk+1 continuará no valor ante-

rior, isto é, pk+1 = pk. Essa escolha faz o sistema não divergir quando a variável de

estado for sendo calculada para as próximas iterações.

63

5.6 Exemplos de implementação de controladores

PI e PID

Inicialmente, desejava-se obter resultados de diferentes métodos para um mesmo sis-

tema linear. Entretanto, foi percebido durante a pesquisa que este método funciona

apenas para plantas com zeros posicionados entre -1 e 1.

Até o presente momento não se descobriu a razão para esse fato. Sabe-se ape-

nas que o sistema realimentado diverge passados alguns segundos durante os quais

assemelha-se a um sistema convergente. As variáveis de estado se tornam grandes

demais e o controle já não consegue fazer o sistema rastrear o sinal de referência.

Portanto, os próximos exemplos serão da mesma ordem dos anteriores com zeros

de valores absolutos menores que 1. O tempo de amostragem será de 0,1s.


A função de transferência do exemplo 5.1 é:

G(s) =1, 6(s+ 0, 5)

(s+ 2)2(5.34)

Na �gura 5.3, pode-se ver a resposta ao degrau do sistema.

Através da mesma deve-se encontrar um espaço de estados do sistema. Aqui,

usou-se a forma canônica controlável. Os valores de p0 e q0 são de�nidos nos algo-

ritmos 5.1 e 5.2. Todas as variáveis de estado iniciais x0 são nulas.

t(s)

y(t)


As �guras 5.4 e 5.5 mostram os resultados do PI; e 5.6 e 5.7 são as �guras do

PID. Na tabela 5.1 estão os índices de desempenho dos controladores.


64

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)



Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)PI 4,2187 0,6250 0,1 0,1 0,1 0PID 4,2187 0,6250 0,1 0,1 0,1 0

A função de transferência do exemplo 5.2 pode ser de�nida como:

G(s) =25(s+ 0, 5)(s+ 0, 7)(s+ 0, 8)(s+ 0.9)

(s+ 0, 5)(s+ 1)(s+ 1, 2)(s+ 3)(s+ 5)(5.35)

A resposta ao degrau do sistema é mostrada na �gura 5.8.

O sinal de controle e a resposta do controlador PI estão nas �guras 5.9 e 5.10.

65

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


O PID está nas �guras 5.11 e 5.12. A tabela 5.2 mostra os resultados obtidos neste

exemplo.



Exemplo 5.3 Sistema de oitava ordem

A função de transferência da equação (3.52) não convergiu usando este método

de controle. Além disso, outros sistemas foram testados e se obteve também a

66

t(s)

y(t)


t(s)

u(t)


não convergência. Não se usará sistemas com atraso nos exemplos posteriores. O

exemplo 5.3 é o sistema linear representado pela seguinte função de transferência:

G(s) =(s+ 0, 2)(s+ 0, 4)2(s− 0, 8)(s− 0, 1)(s+ 0, 9)(s− 0, 5)

(s+ 1)8(5.36)

O seu valor de regime permanente é y∞ = 0, 9216 como na �gura 5.13.

As �guras 5.14 e 5.15 são do controlador PI. Os grá�cos do PID estão nas �guras

5.16 e 5.17. A tabela 5.3 mostra os índices de desempenho conseguidos com o PI e

o PID.

Para todos os exemplos os resultados dos controladores PI e PID foram seme-

lhantes. Isso se deve ao fato de que somente o ganho γk e o estado pk+1 são diferentes

67

t(s)

y(t)


t(s)

u(t)




nos algoritmos. No entanto, fazendo-se com que o estado pk+1 seja igual ao anterior

quando o sinal de erro for zerar, não há uma atualização desse estado. Assim, tanto

o sinal de controle como a resposta serão idênticas, porque a todo momento o erro

está prestes a tornar-se nulo.

68

t(s)

y(t)


t(s)

y(t)


5.7 Conclusão

O método de controle proposto em [1] também é aplicado para sistemas que não

possuem a matriz A do espaço de estados igual a identidade. Entretanto, para que

continue havendo convergência é preciso que o sinal de controle não se anule após

alcançada a referência e os zeros da função de transferência esteja entre -1 e 1.

O rastreamento da referência não acontece quando o sistema possui atraso, ha-

vendo explosão de valores. Perturbações na entrada da planta não são percebidas,

falhando no rastreamento da referência.

Além dessas novas informações sobre os tipos de sistemas onde o método é e�caz,

relembra-se que a função de transferência do sistema deve possuir grau relativo igual

a um.

69

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


As vantagens do método são os curtos tempos de subida, acomodação e rejeição

de perturbação na saída da planta. Esses índices de desempenho são impressionan-

tes, pois sendo um método tão rápido, ainda assim não ocorre máximos sobressinais.

70

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


71

Capítulo 6

Comparação entre os métodos

A comparação entre todos os métodos será feita através de três sistemas: os sistemas

de quinta e oitava ordem (para os quais o método 4 não se aplica por possuírem

zeros que não estão entre -1 e 1), exemplos para todos os métodos de ganho �xo, e

o sistema do exemplo 6.1, em que somente o método 3 não se aplica.

A função de transferência que será usada para a comparação entre métodos é:

Exemplo 6.1 Sistema de terceira ordem

Neste exemplo será usado um sistema de terceira ordem com o objetivo de ob-

servar o comportamento dos métodos para um sistema diferente. A função de trans-

ferência da planta é:

G(s) =1, 2346(s+ 0, 9)2

(s+ 1)3(6.1)

A resposta ao degrau do sistema pode ser vista na �gura 6.1.

t(s)

y(t)


As �guras estão dispostas da seguinte forma:

72

• Método 1. 6.2 a 6.5.

• Método 2. 6.6 a 6.9.

• Método 3. O método de Ziegler-Nichols não se aplica a este exemplo.

• Método 4. 6.10 a 6.13.

Parâmetros:

• Método 1. K = 1, 0 e τ = 0, 3889.

• Método 2. K = 1, 0, T = 0, 0116, τ = 0, 7782, PI(ts = 0, 3 e M = 0, 1%) e

PID(ts = 0, 2s e M = 0, 1%).

• Método 4. a = 0 e L = 0.

A tabela 6.1 mostra os ganhos obtidos para os métodos com ganhos �xos. A

tabela 6.2 indica os índices de desempenho de todos os métodos para o exemplo 6.1.

Foram separados por método e tipo.

Tabela 6.1: Ganhos dos controladores de parâmetros �xos do exemplo 6.1

Controlador Kp Ti TdMétodo 1 - Posicionamento de zeros

PI(5%) 0,5249 0,3889 -PID(5%) 1,4166 0,6481 0,1556Método 3 - Alocação de polos

PI 27,6594 0,1040 -PID 41,2849 0,0596 0,0043


Controlador Umax Umin tr ts tp Mss(%)Método 1 - Posicionamento de zeros

PI(5%) 1,1141 0,5249 1,4590 4,0470 1,3120 4,2PID(5%) 1,8694 -21,0209 1,04 3,2770 0,8860 4,13

Método 2 - Alocação de polos

PI 27,6594 -1,7660 0,0430 0,29 0,0370 12,21PID 41,2849 -36,1564 0,0270 0,1920 0,0260 16,65

Método 5 - Ganhos variáveis

PI 1,8063 0,81 0,1 0,1 0,1 0PID 1,8063 0,81 0,1 0,1 0,1 0

73

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


As �guras 6.14 e 6.15 mostram grá�cos de controladores PI e PID no início da

simulação e após a perturbação. Nas �guras 6.16 e 6.17, pode-se ver o sinal de

controle para as mesmas condições do sinal de saída.

O critério utilizado para a�rmar que um PID é superior em questão de desem-

penho foi máximo sobressinal não maior que 10% e tempos de acomodação, subida

e rejeição de perturbação pequenos. Quando o máximo se aproxima de 10%, o que

já não é muito bom, o melhor controlador deve ter índices bem melhores de res-

posta transitória quanto a duração dos tempos do que o método que possui baixo

percentual de ultrapassagem. A magnitude máxima do sinal de controle também é

considerada, bem como o valor negativo atingido no PID por causa da ação deri-

vativa. Quanto maior for a magnitude, seja o sinal positivo ou negativo, pior é o

controlador.

74

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


Na tabela 6.2, o controlador de ganhos variantes no tempo é superior em todos

os índices de desempenho. O seu valor mínimo no PID não ocorre variação brusca

para perturbações na saída da planta, o que é vantajoso porque alguns sistemas

podem não suportar sinais polarizados inversamente.

Portanto, quando se deseja controlar um sistema com zeros próximos à origem

(alto percentual de ultrapassagem), o melhor é usar o controlador discreto de ganhos

variantes no tempo. Só não se pode desconsiderar que sistemas lineares com atraso

fazem o controle divergir.

Para o exemplo 3.1, as �guras 6.18 a 6.21 mostram a comparação de todos os

tipos e métodos presentes na tabela 6.3.

Para a tabela 6.4, foram geradas �guras de comparação também para todos os

tipos e métodos. Elas estão nas �guras 6.22 a 6.25. Foi utilizado somente o método

75

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


Tabela 6.3: Índices de desempenho dos controladores do exemplo 3.1 para todos osmétodos


PI 4,0064 1,0 2,6960 4,2850 2,3430 0,088PI(5%) 4,4629 2,0997 1,3250 3,6410 1,2350 4,42PID 4,5420 -36,4620 1,8090 2,7840 1,5260 0,37

PID(5%) 6,6150 -80,96 0,9460 2,9410 0,8360 4,62Método 2 - Alocação de polos

PI 17,5140 2,2486 0,3620 0,5430 0,3010 1,13PID 12,9423 -7,6480 0,3510 1,4050 0,3160 12,52

76

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


1 com 5% de ultrapassagem, considerado o melhor PI e PID do método para o

exemplo 3.2.

No método 3 da tabela 6.5, seu sinal de controle e resposta não são muito bons

(máximo sobressinal de até 60% no PID e resposta muito oscilatória no PI) como

mostrado nas �guras 4.24 a 4.27, não será colocado o seu grá�co na comparação. As

�guras 6.26 a 6.29 mostram a comparação dos métodos 1 e 2 para o exemplo 3.3.

Caso se queira controlar um sistema com zeros distantes da origem (sistemas

com pouco ou quase nenhum overshoot), a melhor escolha para sistemas sem atraso

é a alocação de polos do método 2. O problema seria o elevado máximo sobressinal

e o sinal de controle mostrado pelas tabelas 6.3 e 6.4, porém ainda com máximo em

torno de 10%. O critério adotado indica que o método 4 é superior ao métodos 1 e

3.

77

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


O método 1 não é aconselhável para sistemas com atraso porque produz elevados

percentuais de ultrapassagem. Entretanto, pode fornecer bons índices no que se

refere a tempo de acomodação antes e depois de perturbações, como visto na tabela

6.5. Caso a resposta seja lenta, há a alternativa de projetar com um pequeno máximo

de ultrapassagem. Deve ser considerado que o atraso produz um máximo maior que

o projetado.

78

t(s)

u(t)


t(s)

y(t)


79

t(s)

y(t)

Figura 6.14: Sinal de saída no início da simulação usando controlador PI (�) e PID(- -) . As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2) e preta (método4).

t(s)

y(t)

Figura 6.15: Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) e PID(- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2) e preta (método4).

80

t(s)

u(t)

Figura 6.16: Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI (�)e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2) e preta(método 4).

t(s)

u(t)

Figura 6.17: Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�)e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 2) e preta(método 4).

81

t(s)

y(t)

Figura 6.18: Sinal de saída no início da simulação usando controlador PI (�) e PID(- -) . As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1 - 5%) e preta(método 2).

t(s)

y(t)

Figura 6.19: Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) ePID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1 - 5%) e preta(método 2).

82

t(s)

u(t)

Figura 6.20: Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI (�)e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1 - 5%) e preta(método 2).

t(s)

u(t)

Figura 6.21: Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�) ePID (- -). As cores usadas são azul (método 1), vermelho (método 1 - 5%) e preta(método 2).

83



PI 1,1627 0,2872 3,0540 4,5850 2,5530 0,56PI(5%) 1,2634 0,6030 1,5710 4,3530 1,3370 3,09PID 1,3505 -10,8446 2,1170 3,18 1,6910 0,91

PID(5%) 2,0714 -24,0343 1,0990 3,4560 0,8820 2,81Método 2 - Alocação de polos

PI 27,6594 6,9536 0,550 1,7450 0,440 0,17PID 46,8050 -10,1739 0,03 0,1660 0,0290 8,78

Método 3- Ziegler-Nichols

PI 168,4897 -15,4069 0,0060 0,0430 0,0220 20,85PID 224,6530 -71,3487 0,0060 0,0570 0,0240 26,47

t(s)

y(t)

Figura 6.22: Sinal de saída no início da simulação usando controlador PI (�) e PID(- -) . As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2) e preta(método 3).

84

t(s)

y(t)

Figura 6.23: Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) ePID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2) e preta(método 3).

t(s)

u(t)

Figura 6.24: Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI (�)e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2) e preta(método 3).

85

t(s)

u(t)

Figura 6.25: Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�) ePID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2) e preta(método 3).



PI 0,0222 0,0056 13,5730 26,1270 12,8350 0PI(5%) 0,0258 0,0117 4,9160 14,7950 6,6670 7,82PI(10%) 0,0310 0,0159 3,6890 18,7960 4,9970 19,08PID 0,0242 -1,2622 7,5420 17,2310 7,31 0

PID(5%) 0,0357 -2,6748 3,1130 10,7470 4,0060 10,77PID(10%) 0,0485 -3,6533 2,4720 9,4750 3,3190 19,12

Método 2 - Alocação de polos

PI 0,0222 0,0041 11,5180 20,1050 11,7680 0,03PID 0,0222 0,01 6,4950 11,6070 7,2140 0,0174

Método 3 - Ziegler-Nichols

PI 0,0928 -0,0408 1,450 211,4070 82,0480 73,28PID 0,1210 -6,9168 1,2870 23,2240 7,8310 64,39

86

t(s)

y(t)

Figura 6.26: Sinal de saída no início da simulação usando controlador PI (�) e PID(- -) . As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2).

t(s)

y(t)

Figura 6.27: Sinal de saída após a perturbação usando um controlador PI (�) e PID(- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2).

87

t(s)

u(t)

Figura 6.28: Sinal de controle no início da simulação usando um controlador PI (�)e PID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2).

t(s)

u(t)

Figura 6.29: Sinal de controle após a perturbação usando um controlador PI (�) ePID (- -). As cores usadas são azul (método 1 - 5%), vermelho (método 2).

88

Capítulo 7

Conclusões

O presente trabalho contribuiu para conhecer o alcance do novo método de controle

proposto por DIENE [1], bem como desenvolvê-lo para novos sistema cuja matriz A

do espaço de estados não é a identidade.

Durante a pesquisa veri�caram-se algumas características do controle ainda sem

explicação do motivo, tais como:

1. O método não rejeita perturbação na entrada da planta; há a convergência,

porém só volta ao erro de regime permanente nulo caso ocorra uma perturbação

com efeito contrário.

2. Somente plantas com funções de transferência com zeros entre -1 e 1 podem

ser controladas. Sistemas instáveis com a matriz A sendo identidade são con-

troláveis.

3. Sistemas com atraso fazem o controle divergir para matriz A diferente de

identidade. Ainda é necessário veri�cações posteriores, pois não foi o objetivo

falar do caso de A = I, mas para esse caso, somente atrasos pequenos mantêm

o sistema estável.

Foi explicado que a função de transferência deve possuir grau relativo igual a

um, para que seja possível realizar seu controle.

O controlador proposto possui ótimos índices de desempenho para os casos em

que funciona. Há algumas limitações que futuramente podem ser explicadas e até

mesmo resolvidas ou contornadas de alguma forma.

Os trabalhos futuros serão: investigar como o controle pode rejeitar perturbações

na entrada da planta; analisar matematicamente o método investigando-se o motivo

pelo qual os zeros devem estar posicionados entre -1 e 1.

89

Referências Bibliográ�cas

[1] DIENE, O. Métodos iterativos lineares:análise e projeto através de ferramentas

da teoria de controle. Tese de Mestrado, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, 2004.

[2] ÅSTRÖM, K. J., HÄGGLUND, T. PID controllers: theory, design and tuning.

Instrument of Society America, 1995.

[3] RIBEIRO, S. Ajuste automático de Controladores PID. Projeto de graduação,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2001.

[4] GOMES, S. A. P. Comparação entre métodos de identi�cação de plantas com

respostas ao degrau monotonicamente crescentes e sintonia de controlado-

res PID. Projeto de graduação, Universidade Federal do Rio de Janeiro,

2008.

[5] ÅSTRÖM, K. J., HÄGGLUND, T. Automatic tuning of PID Controllers. Ins-

trument Society of America, 1988.

[6] DIENE, O., BHAYA, A. �Projeto de controladores PID com ganhos variantes

para uma classe de sistemas lineares e aplicações à determinação de al-

goritmos de processamento de sinais�. In: CBA 2010. XVIII Congresso

Brasileiro de Automática, 12 a 16 de setembro 2010.

[7] DIENE, O., BHAYA, A. �Design of discrete-time adaptative PID controllers

for a class of linear integrator systems�. In: IFAC 2011.18th IFAC World

Congress, August 28 - September 2 2011.

[8] OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. CIP-Brasil, 1982.

[9] BASILIO, J. C., MATOS, S. R. �Uma nova técnica de ajuste automático de con-

troladores PI e PID industriais�. In: CBA 2000. XIII Congresso Brasileiro

de Automática, pp. 689�695, 2000.

90

Apêndice A

Aproximação do atraso por uma

função racional

Em alguns casos, precisa-se transformar uma função irracional em racional para que

facilite trabalhar com transformada inversa de Laplace e outras aplicações.

A inclusão do atraso em uma função de transferência é feita usando a Aproxi-

mação de Padé. O objetivo é igualar a série de Mclaurin da função irracional e−Ts

com a série de Mclaurin de uma função racional, ou seja:

e−Ts =b(s)

a(s)(A.1)

O grau de b(s) é igual a p e o grau de a(s) é igual a q. A função racional b(s)/a(s)

é chamada Aproximação de Padé(p, q).

Mostrar-se-á a Aproximação de Padé(1, 1), e a partir dos resultados obtidos,

obter-se-á a Aproximação de Padé(2, 2). Para o primeiro caso, b(s) = b0s + 1 e

a(s) = a0s+ 1 de modo que:

ε = e−Ts − b0s+ 1

a0s+ 1(A.2)

seja mínimo. Encontrando as expansões em série de Mclaurin:

b(s)

a(s)=b0s+ 1

a0s+ 1= b1 + (b0 − a0b1)s− a0(b0 − a0b1)s2 + a2

0(b0 − a0b1)s3 + ... (A.3)

e−s = 1− s+s2

2!− s3

3!+s4

4!+ ... (A.4)

Igualando-se os três primeiros coe�cientes de (A.3) e (A.4) encontra-se:

b1 = 1 (A.5)

91

b0 − a0b1 = −1 (A.6)

− a0(b0 − a0b1) =1

2(A.7)

Resolvendo o sistema das equações (A.5),(A.6) e (A.7), acha-se a0 = 1/2 e b0 =

−1/2 e b1 = 1. Portanto:

e−s ≈ b0s+ 1

a0s+ 1=

1− s2

1 + s2

(A.8)

Substituindo s por Ts, o Aproximante de Padé(1, 1) �ca:

e−Ts ≈ b0s+ 1

a0s+ 1=

1− Ts2

1 + Ts2

(A.9)

O Aproximante de Padé(2, 2) é obtido da mesma forma, porém neste caso:

b(s)

a(s)=b0s

2 + b1s+ b2

a0s2 + a1s+ 1= b2 +(b1− b2a1)s+2(b0 + b2a0−a1b1−a2

1b2)s2

2!+ ... (A.10)

Consequentemente:

e−Ts =1− Ts

2+ (Ts)2

12

1 + Ts2

+ (Ts)2

12

(A.11)

92

Apêndice B

Forma Canônica Controlável

Seja uma função de transferência do tipo:

E(s) =sm + ne(m−1)s

m−1 + ...+ ne2s2 + ne1s+ ne0

sn + dn−1sn−1 + dn−2sn−2 + ...+ d2s2 + d1s+ d0

(B.1)

O espaço de estados na forma controlável canônica é:

A =

−dn−1 −dn−2 −dn−3 · · · −d1 −d0

1 0 0 · · · 0 0

0 1 0 · · · 0 0

0 0 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...

0 0 0 0 1 0

(B.2)

B =

1

0

0...

0

(B.3)

C = [ 1 ne(n−1) ne(n−2) · · · ne2 ne1 ne0 ] (B.4)

Com a matriz D = 0. Essa realização em espaço de estados é controlável, ou

seja, pode-se levar o sistema de um estado inicial x0 a um estado �nal xf através de

uma certa entrada.

93

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