Comparação Newton

7/23/2019 Comparação Newton

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ANÁLISE NUMÉRICA DO MÉTODO DE NEWTON PARA OBTENÇÃODE ZEROS DE FUNÇÕES.

Edevilson Gomes Pereira –PUCPR- [email protected]

Viviana Cocco Mariani – PUCPR- [email protected]

Resumo: Neste artigo é feita uma análise da modificação do método deNewton-Raphson, utilizado na obtenção de raízes de equações ou zeros defunções, surgindo o método de Newton Quadrático, Newton Quadrático 2 eNewton Melhorado. A extensão do método de Newton para os outros trêsmétodos é descrita e a comparação do número de iterações, tempo deprocessamento e número de ponto flutuante entre os métodos utilizados éapresentada para algumas funções algébricas e transcendentes mostrando queos métodos de Newton Melhorado e Newton Quadrático tiveramcomportamento superior, a respeito do número de iterações, em quase todosos casos analisados, quando comparados com o método de Newton-Raphson.

Palavras-chave: Newton-Raphson, zeros de funções, métodos numéricos.

1. INTRODUÇÃO

Visto a importância de se obter à raiz de equações (ou zero de

funções), nas mais diversas situações da atividade humana, observa-se à

necessidade de se encontrar métodos computacionais que facilitem e agilizem

este processo com exatidão, confiabilidade e esforço computacional menor.

Todos estes fatores dependem do comportamento da função próximo as suas

raízes. A pesquisa desenvolvida tem por objetivo evidenciar novos processos

para este fim, bem como apontar a eficácia dos métodos, suas falhas e suas

condições (restrições) para convergência e a descrição de tabelas de

desempenho dos mesmos.

A partir do método de Newton Raphson, obtém-se outros métodos

iterativos, esta pesquisa, em especial, investigará o método de Newton

melhorado, o método de Newton quadrático e o método de Newton quadrático

2. O método de Newton Raphson, conhecido também como método das

tangentes, provém da expansão em série de Taylor, pois utiliza os dois

primeiros termos desta série. Visto que, a série de Taylor utiliza em as

derivadas da função, a convergência dependerá da função na região em torno

da raiz (Ruggiero e Lopes, 1996).

O método de Newton quadrático, como o próprio nome diz, é obtido

por uma equação do segundo grau, proveniente dos três primeiros termos da



2

série de Taylor. Sabe-se que para resolver uma equação do segundo grau, a

fórmula de Bhaskara ou Baskara pode ser utilizada, no qual aparece o cálculo

da raiz quadrada de um número. Nos resultados coletados no presente

trabalho utilizando o método de Newton quadrático notou-se que em alguns

casos testados durante o processo iterativo o radicando era negativo, mesmo

assim o método continuava iterando resultando em um valor bia xk

+=+1 , onde

b a parte imaginária do número era um número infinitesimal. Neste caso

observamos que desprezando a parte imaginária infinitesimal a parte real era a

raiz da equação. O método de Newton quadrático convergia nestes casos

apenas se a parte imaginária era extremamente pequena, caso contrário o

método divergia. Percebe-se, nas funções analisadas no presente trabalho,

que uma das condições necessárias para a convergência deste método, é que

a derivada segunda da função em cada ponto analisadok

x , seja diferente de

zero.

O método de Newton melhorado é obtido pela combinação do método

de Newton-Raphson e Newton quadrático, executa-se três cálculos

consecutivos a cada iteração, no primeiro cálculo a aproximação para a raiz é

obtida utilizando o método de Newton-Raphson, e em seguida duas avaliações

usando o método de Newton Quadrático são executadas, surgindo assim o

método de Newton melhorado. Em geral, este método, leva o mesmo número

de iterações que o método de Newton quadrático para convergir. Na maioria

dos casos analisados, este número é menor ou igual ao número de iterações

do método de Newton Raphson, e menor que o método de Newton quadrático

2. O número de operações em ponto flutuante, é em sua maioria, maior que a

do método de Newton Raphson. Observa-se ainda, que o referido método não

falha em todas as funções analisadas, convergindo para a mesma raiz que o

método de Newton-Raphson e o método de Newton quadrático 2, quando estes

convergem.

O método de Newton quadrático 2, é obtido utilizando-se os mesmos

termos utilizados pelo método de Newton quadrático, mas resolvido isolando-se

o fator comum aos dois últimos termos (xk+1 - xk).



3

Na simulação numérica adotou-se o critério de convergência ε ≤ 10-6

.

Alguns problemas aplicados a processos químicos foram testados e os

resultados são apresentados a seguir.

2. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

O método de Newton-Raphson é baseado na expansão em série de

Taylor, isto é, expandindo a série de Taylor em torno de xk tem-se,

f(x) = f(xk) + f’(xk)(x –xk) + f’’(xk) +−

!2

)xx( 2

k f´´´(xk) +−

!3

)xx( 3

k ...., (1)

onde xk é um valor aproximado para a raiz λ da equação na iteração k do

processo iterativo, f(x) é a função, f´(x) a derivada primeira da função e f´´(x) a

derivada segunda da função.

Seja xk+1 a raiz da equação f(x) = 0, logo a equação (1) resulta,

0 = f(xk) + f’(xk)(xk+1 –xk) + f’’(xk) +

−+

!2

)xx( 2

k1k

f´´´(xk) +

−+

!3

)xx( 3

k1k

.... (2)

Usando os dois primeiros termos da expansão da série de Taylor, do

lado direito da equação (2), obtém-se o popular método de Newton-Raphson,

ou seja (Roque, 2000),

xk+1 = xk -

)x´(f

)x(f

k

k

(3)

As desvantagens do método de Newton-Raphson surgem quando a

inclinação da função tem um valor próximo da raiz e/ou o seu valor é muito

pequeno. Este valor para a inclinação da função faz com que na próxima

iteração o valor para xk+1 fique fora da vizinhança da raiz, λ, podendo divergir

(Barroso et al ., 1987).

A derivada primeira da função pode ser obtida numericamente de uma

maneira rápida, basta para isto usar a aproximação,



4

f´(xk) =h2

)hx(f )hx(f kk −−+,

(4)

onde h é um incremento, com valor pequeno.

Assim, substituindo a equação (4) na equação (3) tem-se,

f´(xk) =)hx(f )hx(f

x(hf 2x

kk

)k

k−−+

− ,(5)

que requer a avaliação da função f(x) em três valores vizinhos e distintos, xk, xk

+ h e xk - h. Naturalmente pode-se estimar o valor da derivada segunda da

função como,

f´´(xk) = 2

kkk

h

)hx(f )x(f 2)hx(f −+−+.

(6)

Nota-se na equação (6) que o cálculo da derivada de segunda ordem,

semelhante ao cálculo da derivada de primeira ordem, só precisa da avaliação

da função f(x) em três pontos distintos xk, xk + h e xk – h. Deste modo voltando

na equação (2) e utilizando os três primeiros termos da série de Taylor obtém-

se,

0 = f(xk) + f’(xk)(xk+1 – xk) + f’’(xk)!2

)xx( 2

k1k −+ . (7)

A equação (7) é quadrática para o fator )xx( k 1k −+ , resolvendo-a o

resultado será exposto na equação (8) e representa o método que será

denominado Newton quadrático,

[ ]

−+−+=+

)x´´(f

)x´´(f )x(f 2)x´(f )x´(f xx

k

kk

2

kk

k1k . (8)



5

Outra maneira de resolver a equação (7) é isolando o fator )xx( k 1k −+

comum aos dois últimos termos da equação (7) produzindo a equação (9) que

é a fórmula do método de Newton Quadrático 2.

[ ])2/)xx)(x´´(f )x´(f /()x(f xx k1kkkkk1k −+−= ++ (9)

Para utilizar a equação (9) emprega-se a equação (3) para avaliar uma

estimativa para xk+1 no lado direito da equação.

O método de Newton Melhorado executa três cálculos consecutivos a

cada iteração, no primeiro cálculo a aproximação para a raiz é feita utilizando o

método de Newton-Raphson, equação (3), e em seguida duas avaliaçõesusando o método de Newton quadrático são executadas, isto é, empregando a

equação (9), surgindo assim o método de Newton melhorado, conforme

apresentado na equação (10) (Shammas, 2002),

x1 = x0 -)x´(f

)x(f

0

0

[ ])2/)xx)(x´´(f )x´(f /()x(f xx0100002

−+−= (10)

[ ])2/)xx)(x´´(f )x´(f /()x(f xx 0200003 −+−=

3. RESULTADOS NUMÉRICOS

Algumas funções e problemas foram testados para comparar os

métodos de Newton e os resultados são apresentados nas tabelas que

seguem. A capacidade calorífica (Cp) do O2 na faixa de temperatura entre 298 a

1500 K apresenta a seguinte equação, em função da temperatura: Cp(T) = 7,16

+ 1.10-3

T – (0,4.105)/T², onde: T está expressa em K e Cp em cal/mol°C. A

temperatura (K) em que a capacidade calorífica do O2 é de 8,15 cal/mol °C

resulta na função f(T) = - 0,99+10-3

T – 0,4 105/T

2, e o zero da função obtido

através dos métodos numéricos analisados no presente trabalho é apresentado

na tabela 1. A sigla NPF, nas tabelas, indica o número de operações em ponto

flutuante, a precisão adotada em todas as simulações foi 610− .



6

Tabela 1 – Solução numérica para uma raiz de f(T) = - 0,99+10-3

T – 0,4 105/T

2.

Métodos T0 Raiz Iterações Tempo NPF

Newton 500 1027,8609 4 0,078 182

Newton Melhorado 500 1027,8609 5 0,078 302

Newton Quadrático 500 1027,8609 4 0.016 250

Newton Quadrático 2 500 e 500,1 1027,8609 7 0,094 250Newton 2000 1027,8609 4 0,094 182


Newton Quadrático 2000 1027,8609 3 0,125 196

Newton Quadrático 2 2000 e 2000,1 1027,8609 6 0,109 228

Newton 1000 1027,8609 3 0,109 154




A raiz aproximada é 1027,860929749276.

Nota-se na tabela 1 que os métodos de Newton Melhorado e Newton

Quadrático para o valor inicial 2000 convergiram com menor número de

iterações quando comparados com o método de Newton-Raphson, contudo o

tempo de processamento e o número de operações em ponto flutuante é maior

nestes métodos. A figura 1 ilustra o comportamento da função f(T) = - 0,99+10-

3T – 0.4 105/T2 e das retas tangentes nos pontos (xi, f(xi)) durante o processo

iterativo do método de Newton.

Figura 1 – Ilustração da convergência da função f(T) com T0 = 1000.



7

O metano apresenta a seguinte equação do calor específico em função

da temperatura, na faixa entre 298 e 1500 K, Cp(T) = 3,381 + 18,044.10-³T-

4,3.10-6

T², onde T está em K e Cp em cal/mol°C. A temperatura (K) para a qual

a capacidade calorífica do CH4 vale 15,0 cal/mol °C, resulta na seguinte

equação f(T) = 18,044 10-3

T – 4,3 10-6

T2- 11,619.

Tabela 2 – Solução numérica para as raízes de f(T) = 18,044 10-3

T –4,3 10-6 T2 – 11,619.

Métodos Valor inicial Raiz Iterações Tempo NPF

Newton 500 794,2621 4 0,156 182



Newton Quadrático 2 500 e 1000 794,2621 6 0,219 216

Newton 2098 794,2621 18 0,047 574Newton Melhorado 2098 794,2621 9 0,047 454



Newton 2099 3402,017 15 0,281 490




Uma das raízes aproximadas é 794,2620542183545.

Na tabela 2 observa-se que os métodos de Newton Melhorado e

Quadrático convergem para a raiz da equação com menor número de

iterações, contudo o tempo de processamento ainda é menor com o método de

Newton-Raphson. Nesta tabela também verificamos que o método de Newton

Quadrático convergiu sempre para a mesma raiz, 794, embora a condição

inicial tenha sido modificada, isto é, para qualquer utilizado como aproximação

inicial, onde a derivada primeira da função não se anule o método de Newton

Quadrático converge para a raiz 794. A figura 2 ilustra o gráfico da função f(T)

= 18,044 10-3

T – 4,3 10-6

T2

– 11,619 com suas duas raízes reais e o

comportamento do método de Newton-Raphson durante o processo iterativo.

Na figura 3 é ilustrada uma ampliação do gráfico da figura 2.



8

Figura 2 – Ilustração da convergência da função f(T) para T0 = 2098.

Figura 3 – Ampliação da figura 2.

A tabela 3 mostra os resultados obtidos para a função f(x) = 100- x - x2/2

- x3/3 - x

4/4 e o desempenho dos métodos a respeito do número de iterações,

tempo de processamento e número de ponto flutuante.



9

Para os dados apresentados na tabela 3 nota-se que para a

aproximação inicial 1, no método de Newton Quadrático 2, a função diverge, já

para a aproximação inicial 3, no método de Newton Quadrático, converge para

um número complexo cuja parte complexa do número citado é extremamente

pequena e a parte real é a raiz -4,772, raiz esta que os outros métodos não

convergiram para esta mesma aproximação inicial.

O método de Newton Melhorado foi o método que apresentou melhor

desempenho quanto ao número de iterações se comparado aos demais

métodos, porém o tempo de processamento e o número de operações em

ponto flutuante, que está relacionado ao número de iterações, não apresenta

uma constância, variando muito.

Tabela 3 - Solução numérica para uma raiz de f(x) = 100 - x - x2/2 - x

3/3 - x

4/4.

Métodos Valorinicial

Raiz Iterações Tempo NPF

Newton 1 4,031 12 0,063 475


Newton Quadrático 1 -4,772 4 0,063 276

Newton Quadrático 2 1 e 1,1 -inf - - -

Newton 3 4,031 5 0,109 237


Newton Quadrático 3 -4,772 9 0,032 572Newton Quadrático 2 3 e 3,1 4,031 7 0,109 292

Newton 5 4,031 5 0,125 237


Newton Quadrático 5 -4,772 7 0,031 442



A figura 4 ilustra o processo iterativo do método de Newton-Raphson,

com suas retas tangentes, com o valor inicial x0 = 1.



10

Figura 4 - Ilustração da convergência da função f(x) para x0 = 1.

A tabela 4 mostra os resultados numéricos dos diversos métodos

utilizados para obter as raízes da função f(x) = x2

- 7xcos(x). Nesta tabela para

a aproximação inicial 5 o método de Newton Quadrático na segunda iteração

calcula a raiz quadrada de um número negativo, isto é, um número complexo

que a priori não é nenhuma das raízes da função estudada. Graficamente, na

figura 5, observa-se que a referida função, tem no mínimo 6 raízes reais.

Tabela 4 - Solução numérica para as raízes de f(x) = x2- 7xcos(x).

Métodos Valor inicial Raiz Iterações Tempo NPF

Newton 5 5,6522 4 0,172 189

Newton Melhorado 5 5,6522 4 0,188 300Newton Quadrático 5 - - - -


Newton 5,5 5,6522 4 0,219 189

Newton Melhorado 5,5 5,6522 3 0,219 244

Newton Quadrático 5,5 6,6160 3 0,219 276

Newton Quadrático 2 5,5 e 5,51 5,6522 6 0,219 265

Newton 6 5,6522 5 0,219 219







11

Na tabela 4 para a aproximação inicial 5 o método de Newton

Quadrático na segunda iteração calcula a raiz quadrada de um número

negativo, isto é, um número complexo que a priori não é nenhuma das raízes

da função estudada.

Na figura 5, apresenta-se o processo de convergência do método de

Newton-Raphson, com as suas retas tangentes, para x0 = 6.

Figura 5 – Ilustração da convergência da função f(x) para x0 = 6.

4. CONCLUSÕES

Este artigo apresentou os resultados numéricos, para obter a raiz de

algumas funções matemáticas, utilizando os métodos de Newton-Raphson,

Newton Melhorado e Newton Quadrático e Newton Quadrático 2. Os métodos

de Newton Melhorado e Newton Quadrático apresentaram convergência mais

rápida, a respeito do número de iterações, que o método de Newton-Raphson

na maior parte dos casos avaliados, o que já havia sido observado por

Shammas (2002). Contudo, nota-se que estas vantagens podem ser alteradas

dependendo da função matemática avaliada, do valor inicial da raiz, da

curvatura da função próxima à raiz, etc.



12

O método de Newton Melhorado a cada iteração utiliza três avaliações

sucessivas para o cálculo da raiz, isto é, utiliza a avaliação do método de

Newton-Raphson e duas avaliações do método de Newton Quadrático, já o

método de Newton Quadrático é bastante instável, não convergindo em alguns

casos analisados, o método de Newton Quadrático 2 é altamente dependente

das estimativas iniciais para a raiz. Recomenda-se antes de adotar um método

para obter a raiz, que se faça o gráfico da função e analise como é a curvatura

da função próxima à raiz e a estimativa inicial da raiz.

5. REFERÊNCIAS

BARROSO, C. L., BARROSO, M. M., FILHO, C. F. F., CARVALHO, M. L. B.,Cálculo Numérico - com Aplicações, São Paulo, Harbra, 2ª. edição, 1987.

ROQUE, W. L., Introdução ao Cálculo Numérico - Um Texto Integrado comDerive, São Paulo, Atlas, 2000.

RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V. L. R., Cálculo Numérico - AspectosTeóricos e Computacionais, Rio de Janeiro, Makron, 2ª. edição, 1996.

SHAMMAS, N. C., Enhancing Newton’s Method, Dr. Dobb’s Journal, p. 94 -97, 2002.

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