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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Comparação de Técnicas de Problemas
Inversos em Transferência de Calor
Autor: Cristiano Pedro da Silva
Orientador: Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva
Co-Orientadora: Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva
Itajubá, 03 de Novembro de 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Comparação de Técnicas de Problemas
Inversos em Transferência de Calor
Autor: Cristiano Pedro da Silva
Orientador: Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva
Co-Orientadora: Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva
Curso: Mestrado em Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Conversão de Energia
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica como
parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Itajubá, 03 de Novembro de 2011
M.G. – Brasil
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mauá – Bibliotecária Cristiane Carpinteiro- CRB_6/1702
S586c Silva, Cristiano Pedro da Comparação de técnicas de problemas inversos em transferência de calor / por Cristiano Pedro da Silva -- Itajubá (MG) : [s.n.], 2011. 100 p. : il. Orientador : Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva. Coorientadora : Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Itajubá. 1. Problemas inversos. 2. Condução de calor. 3. Estimação de fluxo de calor. 4. Métodos numéricos e experimentais. I. Silva, Sandro Metrevel- le Marcondes de Lima e, orient. II. Silva, Ana Lúcia Fernandes de Lima e, coorient. III. Universidade Federal de Itajubá. IV. Título.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Comparação de Técnicas de Problemas
Inversos em Transferência de Calor
Autor: Cristiano Pedro da Silva
Orientador: Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva
Co-Orientadora: Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Frederico Romagnoli Silveira Lima - CEFET/MG Prof. Dr. Genésio José Menon - IEM/UNIFEI Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva (Co-Orientadora) – IEM/UNIFEI Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva (Orientador) – IEM/UNIFEI
Dedicatória
Aos meus pais, Antônio e Maria.
Às minhas sobrinhas, Haryadine e Sofia.
Aos meus irmãos, Clayton e Cléber.
Aos meus avós, Juvenal (in memoriam), Eleonora (in memoriam), Jorge (in memoriam)
e Ernestina (in memoriam).
Às minhas cunhadas, Eva e Sônia.
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais, Antônio e Maria e à minha família pelo apoio recebido durante
o tempo de desenvolvimento deste trabalho.
Ao professor Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva, pela orientação clara,
segura e objetiva e pelo apoio durante a elaboração do trabalho.
À Professora Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva, pela sua ajuda na co-orientação
desse trabalho.
À Professora Zilma Moura de Castro pelo apoio e ajuda durante o desenvolvimento
desse trabalho.
Aos amigos Luís Felipe, Carlos Adriano, demais membros do LabTC, Rodrigo
Albuquerque, Tiago Rocha, Daniel Alem, Rogério Junqueira, membros da Pastoral
Universitária e do grupo de Acólitos Santos Anjos, membros da República Alcatraz e demais
colegas do curso de Pós-Graduação pelo companheirismo.
Aos funcionários da Oficina Mecânica pela usinagem das amostras.
Ao curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica pela confiança depositada em
meu trabalho.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pelo
apoio financeiro através da concessão de uma bolsa de mestrado.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), a
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e ao Conselho de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo suporte financeiro.
Ao coordenador do programa de pós-graduação Rogério José da Silva
Se todos fossem felizes com o que já têm, ainda estaríamos vivendo em cavernas.
Valkaria, RPG Tormenta.
Resumo
SILVA, C. P. (2011), Comparação de Técnicas de Problemas Inversos em Transferência de
Calor, Itajubá, 123 p. Dissertação (Mestrado em Conversão de Energia) - Instituto de
Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá.
Em transferência de calor, o uso de problemas inversos permite a estimação do fluxo de
calor na superfície de uma amostra utilizando as temperaturas experimentais obtidas em
diferentes posições da mesma. Neste trabalho o objetivo foi estudar e comparar o processo de
estimação do fluxo de calor em problemas tridimensionais e unidimensionais para as amostras
de aço inox AISI 304 usando diferentes técnicas de problemas inversos. Para isso, a equação
da difusão de calor tridimensional foi resolvida numericamente em coordenadas cartesianas
utilizando o método diferenças finitas para o espaço e o método implícito de Euler para a
discretização no tempo. Também foram implementadas as seguintes técnicas: Seção Áurea,
Brent, Função Especificada, Regularização de Tikhonov e Métrica Variável. Estas técnicas
foram comparadas com relação à análise de precisão e o tempo de processamento gasto para a
estimação do fluxo de calor. A metodologia foi validada com experimentos controlados em
laboratório. Nestes experimentos as amostras foram sujeitas a um fluxo de calor em uma das
superfícies, sendo as demais isoladas. Os sensores de temperatura foram fixados por descarga
capacitiva na mesma superfície próxima a região de aquecimento e no lado oposto ao
aquecimento. Um aquecedor resistivo foi usado para gerar um fluxo de calor constante e
uniforme em uma montagem simétrica. Os fluxos estimados foram comparados com os fluxos
experimentais apresentando uma boa concordância. Os resultados de temperatura obtidos
foram satisfatórios quando comparados com os experimentais, como mostrado pelos baixos
valores dos resíduos de temperatura encontrados.
Palavras-chave
Problemas Inversos, Condução de Calor, Estimação de Fluxo de Calor, Métodos
Numéricos e Experimentais.
Abstract
SILVA, C. P. (2011), Comparison of Inverse Problems Techniques in Heat Transfer, Itajubá,
123 p. MSc. Dissertation - Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de
Itajubá.
In heat transfer, inverse problems allow the estimation of heat flux on the sample
surface. This estimation is made of experimental temperatures obtained at different positions
on the sample. In this work the goal is to study and compare the process of heat flux
estimation in three-dimensional and one-dimensional problems for AISI 304 stainless steel
samples using differents inverse problems techniques. For this the three-dimensional transient
diffusion equation was solved numerically in 3D Cartesian coordinates using the method of
the Finite Differences for space and implicit Euler method for time discretization. It was also
implemented the following techniques: Golden Section, Brent, Specified Function, and
Tikhonov Regularization and Variable Metric. These techniques were compared with respect
to analysis of accuracy and spent processing time to estimate the heat flux. The methodology
was validated with data obtained from controlled laboratory experiments. The samples were
subjected to heat flux on one surface and the others are isolated. The temperature sensors
were fixed by capacitive discharge on the top close to the heater and on the button surface. A
resistive heater was used to generate a constant and uniform heat flux that was obtained from
a symmetrical assembly. The estimated heat fluxes were compared with the experimental heat
fluxes showing a good concordance. The results of temperature were satisfactory with
experimental values as shown by the low residuals of temperature.
Keywords
Inverse Problems, Heat Conduction, Heat Flux Estimation, Numerical and Experimental
Methods.
i
Sumário
SUMÁRIO _________________________________________________________________I
LISTA DE FIGURAS ______________________________________________________ III
LISTA DE TABELAS ____________________________________________________ VII
SIMBOLOGIA __________________________________________________________VIII
LETRAS LATINAS ______________________________________________________VIII
LETRAS GREGAS _______________________________________________________ XI
SOBRESCRITOS ________________________________________________________ XII
SUBSCRITOS ___________________________________________________________XIII
SIGLAS ________________________________________________________________ XIV
CAPÍTULO 1 _____________________________________________________________ 1
INTRODUÇÃO ___________________________________________________________ 1
CAPÍTULO 2 _____________________________________________________________ 4
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA _______________________________________________ 4
CAPÍTULO 3 ____________________________________________________________ 12
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ____________________________________________ 12
3.1 Modelo Térmico 3D ------------------------------------------------------------------------------12
3.2 Solução Numérica --------------------------------------------------------------------------------14
3.3 Função objetivo -----------------------------------------------------------------------------------17
3.4 Técnicas de Problemas Inversos ----------------------------------------------------------------18
3.4.1 Seção Áurea ----------------------------------------------------------------------------------18
3.4.2 Método de Minimização Brent ------------------------------------------------------------20
3.4.3 Métrica Variável ----------------------------------------------------------------------------22
3.4.4 Método de Stolz -----------------------------------------------------------------------------23
3.4.5 Função Especificada ------------------------------------------------------------------------30
3.4.6 Regularização de Tikhonov ----------------------------------------------------------------33
ii
CAPÍTULO 4 ____________________________________________________________ 39
VALIDAÇÃO DAS TÉCNICAS DE PROBLEMAS INVERSOS _________________ 39
4.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------39
4.2 Descrição do Procedimento de Validação -----------------------------------------------------39
4.3 Resultados Obtidos para a Validação ----------------------------------------------------------42
4.3.1 Fluxo Parabólico Sem Erros Aleatórios -------------------------------------------------42
4.3.2 Fluxo Parabólico Com Erros Aleatórios -------------------------------------------------47
CAPÍTULO 5 ____________________________________________________________ 52
MONTAGEM EXPERIMENTAL ___________________________________________ 52
5.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------52
5.2 Descrição da Bancada de Teste -----------------------------------------------------------------52
5.3 Detalhamento da Montagem da Amostra ------------------------------------------------------57
CAPÍTULO 6 ____________________________________________________________ 61
ANÁLISE DE RESULTADOS ______________________________________________ 61
6.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------61
6.2 Modelo Térmico 1D ------------------------------------------------------------------------------62
6.3 Modelo Térmico 3D ------------------------------------------------------------------------------68
CAPÍTULO 7 ____________________________________________________________ 75
CONCLUSÕES ___________________________________________________________ 75
7.1 Proposta para Trabalhos Futuros ---------------------------------------------------------------78
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ________________________________________ 79
APÊNDICE A ____________________________________________________________ 84
VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL IGNIS _______________________ 84
APÊNDICE B ____________________________________________________________ 88
O SOFTWARE IGNIS _____________________________________________________ 88
B.1 Introdução -----------------------------------------------------------------------------------------88
B.2 Descrição da Interface ---------------------------------------------------------------------------89
B.2.1 Caso Unidimensional ----------------------------------------------------------------------90
B.2.2 Caso Tridimensional -----------------------------------------------------------------------97
iii
Lista de Figuras
Figura 3.1 – Modelo térmico tridimensional. ---------------------------------------------------------13
Figura 3.2 – Esquema do balanço de energia. --------------------------------------------------------14
Figura 3.3 – Método da Seção Áurea. ------------------------------------------------------------------18
Figura 3.4 – Exemplo de aproximação parabólica. --------------------------------------------------21
Figura 4.1 – Fluxo de calor parabólico imposto no problema direto. -----------------------------40
Figura 4.2 – Dimensões da Região S. ------------------------------------------------------------------40
Figura 4.3 – Detalhamento das Regiões S1 e S2. ------------------------------------------------------41
Figura 4.4 – Posição da sonda numérica na amostra. ------------------------------------------------41
Figura 4.5 – Temperatura em função do tempo. ------------------------------------------------------42
Figura 4.6 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov. -------------------------------------------------43
Figura 4.7 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com a temperatura de referência. -------------------------------------43
Figura 4.8 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov. -----------------------------------------------------------------------------44
Figura 4.9 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as técnicas:
(a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. -----------------------------------------------------------44
Figura 4.10 – Comparação da temperatura de referência com as temperaturas calculadas para
as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------45
Figura 4.11 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------45
Figura 4.12 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov. -------------------------------------------------47
Figura 4.13 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov. -----------------------------------------------------------------------------48
iv
Figura 4.14 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov. -----------------------------------------------------------------------------48
Figura 4.15 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as
técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ------------------------------------------------49
Figura 4.16 – Comparação das temperaturas calculadas para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------49
Figura 4.17 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------50
Figura 5.1 – Esquema da bancada utilizada. ----------------------------------------------------------53
Figura 5.2 – Dimensões das amostras de aço inox AISI 304: (a) experimento unidimensional;
(b) experimento tridimensional. -------------------------------------------------------------------------53
Figura 5.3 – Aquecedor Resistivo: (a) vista superior; (b) vista inferior. --------------------------54
Figura 5.4 – Fonte de corrente contínua Instrutemp. ------------------------------------------------54
Figura 5.5 – Multímetros: (a) Instrutherm; (b) Minipa. ---------------------------------------------55
Figura 5.6 – Pasta Térmica Arctic Silver 5. -----------------------------------------------------------55
Figura 5.7 – Descarga Capacitiva utilizada para soldar os termopares. ---------------------------56
Figura 5.8 – Banho Termostático Marconi. -----------------------------------------------------------56
Figura 5.9 – Aquisição de Dados Agilent e Micro Computador. ----------------------------------57
Figura 5.10 – Esquema da montagem (corte vista superior): (a) experimento unidimensional;
(b) experimento tridimensional. -------------------------------------------------------------------------58
Figura 5.11 – Esquema da montagem (corte vista lateral): (a) experimento unidimensional; (b)
experimento tridimensional. -----------------------------------------------------------------------------58
Figura 5.12 – Esquema da montagem (corte vista frontal): (a) experimento unidimensional;
(b) experimento tridimensional. -------------------------------------------------------------------------59
Figura 5.13 – Posição do termopar na amostra: (a) experimento unidimensional; (b)
experimento tridimensional. -----------------------------------------------------------------------------60
Figura 6.1 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperatura experimental. -----------------------------62
Figura 6.2 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado pelas técnicas Função
Especificada e Regularização de Tikhonov. ----------------------------------------------------------63
Figura 6.3 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com a temperatura experimental. -------------------------------------64
v
Figura 6.4 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov. -----------------------------------------------------------------------------64
Figura 6.5 – Janela do Comando Smooth. -------------------------------------------------------------65
Figura 6.6 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado para as técnicas: (a)
Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------------------------66
Figura 6.7 – Comparação da temperatura Experimental com as temperaturas calculadas para
as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------66
Figura 6.8 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------67
Figura 6.9 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperaturas experimentais. ---------------------------69
Figura 6.10 – Comparação do fluxo Experimental com o fluxo estimado pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov. -------------------------------------------------70
Figura 6.11 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com a temperatura Experimental. ------------------------------------71
Figura 6.12 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov. -----------------------------------------------------------------------------71
Figura 6.13 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado para as técnicas: (a)
Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------------------------72
Figura 6.14 – Comparação da temperatura Experimental com as temperaturas calculadas para
as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------72
Figura 6.15 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------73
Figura A.1 – Esquema do problema térmico simulado. ---------------------------------------------84
Figura A.2 – Comparação entre a temperatura calculada de forma analítica e numérica. ------87
Figura A.3 – Resíduos entre as temperaturas numéricas e analíticas. -----------------------------87
Figura B.1 – Modos de operação do software Ignis: (a) Local; (b) Remoto. ---------------------90
Figura B.2 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso unidimensional. --91
Figura B.3 – Caixa de diálogo para a seleçao do arquivo de fluxo experimental. ---------------91
Figura B.4 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental. --------------------------------92
Figura B.5 – Caixa de diálogo para a seleção do arquivo de temperatura experimental. -------92
Figura B.6 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental. --------------------------------93
Figura B.7 – Caixa de diálogo para o arquivo de propriedades da amostra.----------------------93
vi
Figura B.8 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental. --------------------------------94
Figura B.9 – Caixa de diálogo onde os cálculos efetuados serão salvos. -------------------------94
Figura B.10 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat. -------------------------------------------95
Figura B.11 – Comparação entre o fluxo de calor estimando e o experimental. -----------------95
Figura B.12 – Comparação entre a temperatura calculada e temperatura experimental. -------96
Figura B.13 – Resíduo porcentual entre o fluxo de calor estimado e o fluxo de calor
experimental. ----------------------------------------------------------------------------------------------96
Figura B.14 – Resíduo porcentual entre a temperatura calculada e a experimental. ------------97
Figura B.15 – Tempo gasto de processamento. -------------------------------------------------------97
Figura B.16 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso tridimensional. -98
Figura B.17 – Caixa de diálogo para o arquivo dos coeficientes de sensibilidade. --------------98
Figura B.18 – Exemplo de arquivo de coeficientes de sensibilidade. -----------------------------99
Figura B.19 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat gerado no caso tridimensional. ------99
Figura B.20 – Comparação entre o fluxo de calor estimado e experimental para o caso
tridimensional. ------------------------------------------------------------------------------------------- 100
Figura B.21 – Resíduos porcentuais entre o fluxo de calor estimado e experimental para o
caso tridimensional. ------------------------------------------------------------------------------------- 100
vii
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação. -------------------46
Tabela 4.2 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação. -------------------51
Tabela 6.1 – Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação. ------------------68
Tabela 6.2 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação. -------------------74
viii
Simbologia
Letras Latinas
a Limite de coordenada cartesiana em x m
b Limite de coordenada cartesiana em y m
B Vetor de variáveis utilizado por DFP e BFGS
c Limite de coordenada cartesiana em z m
cp Calor específico J/(KgK)
D Matriz simétrica utilizada por DFP e BFGS
'dv Elemento diferencial de volume m3
'lds Elemento diferencial de área na superfície Sl m2
τd Elemento diferencial de tempo s
eE& Taxa de energia de entrada W
sE& Taxa de energia de saída W
gE& Taxa de energia gerada internamente W
acE&
Taxa de energia acumulada W
F∇r
Gradiente da função
F Função de uma variável a ser minimizada por Seção Áurea e Brent
F1 Valor da primeira estimação de mínimo da Seção Áurea
F2 Valor da segunda estimação de mínimo da Seção Áurea
ix
Fa Valor da função no primeiro ponto utilizado pelo método Brent
Fb Valor da função no segundo ponto utilizado pelo método Brent
Fc Valor da função no terceiro ponto utilizado pelo método Brent
Fi Condição inicial utilizada pelo método de Stolz °C
Fl Valor inferior obtido pela Seção Áurea
fl Condição de contorno utilizada pelo método de Stolz
Fu Valor superior obtido pela Seção Áurea
Func Funcional utilizado na Função Especificada
Functik Funcional utilizado na Regularização de Tikhonov
g Geração de calor interna W/m3
G Função de Green
H Matriz de regularização
M Número de elementos do vetor Y
ln Vetor ortonormal à superfície Sl m
N Número de iterações utilizado pela Seção Áurea
o Vetor utilizado por DFP e BFGS
OBJ Função Objetivo °C2
p Vetor utilizado por DFP e BFGS
P Ponto Central da malha
q"(t) Fluxo de calor variável no tempo uniformemente distribuído pela
superfície Sl W/m2
qB Taxa de transferência de calor por condução no eixo z negativo W
qC Taxa de transferência de calor por condução no eixo z positivo W
qE Taxa de transferência de calor por condução no eixo x positivo W
qN Taxa de transferência de calor por condução no eixo y positivo W
qS Taxa de transferência de calor por condução no eixo y negativo W
cq′′ Fluxo de calor constante aplicado à superfície Sl W/m2
nq′′ Aproximação numérica do fluxo de calor variável no tempo
uniformemente distribuído pela superfície Sl W/m2
mq′′ˆ Fluxo de calor estimado W/m2
qW Taxa de transferência de calor por condução no eixo x negativo W
R Aproximação da matriz Hessiana invertida
rr
Vetor posição m
x
'rr
Vetor direção utilizado como variável de integração na solução da
equação da difusão de calor tridimensional por funções de Green m
r l Vetor direção que varia ao longo da superfície Sl
S Superfície total utilizada na solução da equação da difusão de calor
tridimensional por funções de Green m2
S1 Superfície de fluxo de calor prescrito m2
S2 Superfície isolada m2
Sl Superfície utilizada pelo método de Stolz m2
t Tempo s
T Temperatura calculada °C
T0 Temperatura Inicial °C
tm Aproximação numérica do tempo s
tol Tolerância utilizada pelo método Brent
U Região utilizada na validação do modelo térmico
V Volume total utilizado na solução da equação da difusão de calor
tridimensional por funções de Green m3
x Coordenada Cartesiana m
X Variável a ser minimizada por Seção Áurea e Brent
X1 Primeiro ponto de tentativa de mínimo da Seção Áurea
X2 Segundo ponto de tentativa de mínimo da Seção Áurea
Xa Primeiro ponto utilizado pelo método Brent
Xb Segundo ponto utilizado pelo método Brent
Xc Terceiro ponto utilizado pelo método Brent
Xl Limite inferior utilizado pela Seção Áurea
xq Fronteira da superfície de fluxo prescrito em x m
Xu Limite superior utilizado pela Seção Áurea
y Coordenada Cartesiana m
Y Temperatura experimental °C
yq Fronteira da superfície de fluxo prescrito em y m
z Coordenada Cartesiana M
xi
Letras Gregas
α Difusividade térmica m2/s
β Escalar utilizado por DFP e BFGS
γ Limite superior utilizado pela fórmula de Leibniz
δ Delta de Kronecker
∆t Incremento de tempo s
∆x Incremento da malha no eixo x m
∆X Tolerância absoluta utilizada na Seção Áurea
∆y Incremento da malha no eixo y m
∆z Incremento da malha no eixo z m
∆τ Incremento de tempo usado como variável de integração s
ε Tolerância relativa utilizada na Seção Áurea
κ Escalar utilizado por DFP e BFGS
λ Condutividade térmica W/(mK)
ξ Parâmetro utilizado na solução da equação da difusão de calor tridimensional por funções de Green
ρ Massa específica Kg/m3
ς Escalar utilizado por DFP e BFGS
σ Escalar utilizado por DFP e BFGS
τ Variável de integração no tempo utilizada na solução da equação da difusão de calor tridimensional por funções de Green s
ϕ Limite inferior utilizado pela fórmula de Leibniz
φ Função utilizada pelo teorema de Duhamel
Φ1(t) Fluxo de calor prescrito W/m2
χ Matriz dos coeficientes de sensibilidade
ψ Parâmetro de regularização
ω Constante utilizada na Seção Áurea
xii
Sobrescritos
' Relativa à matriz transposta
″ Relativo a fluxo
→ Relativa a vetor
Relativo a matriz coluna
Relativo a matriz quadrada
futuro Relativo à iteração futura
novo Relativo à iteração atual
Nsens Relativo ao número de sensores de temperatura experimental
p Relativo à discretização temporal
r Relativo a tempos futuros
velho Relativo à iteração anterior
∧ Relativo à Estimação
-1 Relativo a matriz inversa
xiii
Subscritos
ac Relativo à acumulação
B Relativo a fundo
C Relativo a topo
d Índice relativo aos sensores de temperatura experimental
e Relativo à entrada
E Relativo a leste
g Relativo à geração interna
i Índice relativo ao eixo x
j Índice relativo ao eixo y
k Índice relativo ao eixo z
l Relativo à superfície Sl
m Relativo à aproximação numérica do tempo
N Relativo a norte
n Relativa à aproximação numérica
q Relativo à superfície de fluxo prescrito
r Relativo a tempos futuros
s Relativo à saída
S Relativo a sul
W Relativo a oeste
xiv
Siglas
BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
DFP Davidon-Fletcher-Powell
DOT Design Optimization Tools
GBytes 230 Bytes de armazenamento de informação
GHz 109 ciclos de processador por segundo
GNU GNU’s Not Unix
MSIP Modified Strongly Implicit Procedure
RAM Memória de acesso aleatório
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
O uso de problemas inversos abrange grandes áreas do conhecimento humano. Em
medicina é utilizado em tomografia computadorizada, onde a reconstrução de propriedades
físicas é realizada a partir de dados de sensores que captam informações provenientes do
corpo do paciente. No campo petrolífero, esta ferramenta é de grande auxílio na identificação
de possíveis campos de extração, onde dados provenientes de sensores que captam tremores
sísmicos são utilizados para construir uma imagem tridimensional da jazida. A descoberta de
falhas na camada de ozônio, escudo natural do planeta contra as perigosas radiações solares,
veio de imagens elaboradas a partir de dados coletados em diversas estações climatológicas
espalhadas pelo mundo. Em engenharia de alimentos é feito um estudo, principalmente em
frutas, de dados coletados como temperatura e umidade, para se determinar o tempo de
conservação e o dimensionamento da câmara de conservação. Com o desenvolvimento de
computadores pessoais mais potentes em termos de processamento, o calor dissipado por estes
processadores tornou-se mais intenso, obrigando a indústria a desenvolver trocadores de calor
mais eficientes. No projeto destes trocadores pode-se utilizar problemas inversos para estimar
o coeficiente de dissipação de calor, que deve ser o mais elevado possível. Na indústria
automobilística, o estudo das vantagens que um motor construído de alumínio teria sobre um
motor construído de ferro fundido foi realizado tendo como principal ferramenta o uso de
problemas inversos. O desenvolvimento de trocadores de calor e de motores são exemplos do
uso de problemas inversos aplicados em transferência de calor. De modo geral, os parâmetros
que podem ser estimados por problemas inversos são as propriedades térmicas de um dado
2
material, o coeficiente de transferência de calor por convecção e o fluxo de calor. Pode-se
também aplicar problemas inversos em processos de fabricação, tais como usinagem e
soldagem. No processo de usinagem, o uso de problemas inversos é comum para a estimação
da temperatura em que se encontra a ponta da ferramenta de corte. A medição direta da
temperatura por sensores se torna complicada devido ao movimento giratório da ferramenta,
impossibilitando o uso de termopares, e à liberação de cavacos, que torna a medição por
radiação comprometida. A temperatura da ferramenta de corte influencia a sua vida útil e um
melhor controle dos parâmetros de usinagem, como velocidades de avanço e de corte,
possibilita um aumento de produtividade e menores custos de produção. No processo de
soldagem, se o aporte de calor entregue pela tocha for excessivo, haverá empenamentos e
deformações, inutilizando a peça produzida e trazendo prejuízos. Quando se solda aços
inoxidáveis, há um limite de temperatura pré-estabelecido, que se for ultrapassado faz com
que o aço perca suas propriedades inoxidáveis e se torne passivo de corrosão a longo prazo, o
que seria um problema.
O objetivo principal do presente trabalho foi desenvolver uma ferramenta numérica
para ser utilizada em problemas inversos em transferência de calor. Assim, o fluxo de calor
imposto em amostras de aço inoxidável AISI 304 foi estimado, utilizando técnicas de
problemas inversos.
O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica que teve por objetivo reunir
informações suficientes para que fosse possível o desenvolvimento da metodologia do uso de
problemas inversos em transferência de calor.
No Capítulo 3 é apresentada a fundamentação teórica utilizada em problemas inversos.
O modelo térmico utilizado foi o de difusão do calor tridimensional com condição de fluxo
prescrito na superfície superior e todas as demais superfícies isoladas. A solução desta
equação de difusão foi obtida pelo método das diferenças finitas com formulação implícita
para a discretização temporal. Apresenta-se também as técnicas de problemas inversos Brent,
Seção Áurea, DFP, BFGS, Função Especificada e Regularização de Tikhonov. São mostradas
as definições dos coeficientes de sensibilidade utilizados nas técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov, assim como a definição da função erro utilizada para as demais
técnicas de problemas inversos.
3
O Capítulo 4 apresenta a validação da metodologia proposta na estimação de um fluxo
calor parabólico, previamente conhecido, aplicado em um problema térmico tridimensional, a
partir de dados simulados de temperatura com erros aleatórios.
No Capítulo 5 apresenta-se a montagem experimental desenvolvida para estimar o fluxo
de calor em amostras de aço AISI 304. A descrição de cada componente desta bancada e o
detalhamento do conjunto amostras-aquecedor-isolamento são também apresentados.
No Capítulo 6 encontra-se a análise de resultados para o aço inox AISI 304. Nesse
Capítulo foram aplicados os conceitos e definições mostrados no Capítulo 3. São mostrados
resultados para o fluxo de calor estimado, as distribuições de temperatura e seus resíduos
quando se compara a temperatura numérica com a temperatura experimental. Foi feita uma
comparação do tempo de processamento gasto em cada técnica de problema inverso.
No Capítulo 7 são feitos alguns comentários finais e sugestões para trabalhos futuros
com o intuito de aprimorar a metodologia apresentada neste trabalho.
Capítulo 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Com o desenvolvimento das técnicas de problemas inversos, principalmente devido aos
avanços computacionais, muitas pesquisas em engenharia e em outras áreas têm sido
desenvolvidas. Como exemplo de aplicação destas técnicas na engenharia pode-se citar a
determinação dos campos de temperatura em processos de fabricação como o de soldagem e
usinagem. Nestes processos a obtenção dos gradientes de temperatura e da intensidade e
forma do fluxo do calor é essencial para o estudo dos mesmos. Todavia, o desenvolvimento
de uma metodologia eficiente para a obtenção destas temperaturas e do fluxo de calor não é
uma tarefa fácil. Uma maneira mais realista para o estudo destes processos é através da
aplicação das técnicas de problemas inversos. Assim, neste capítulo é apresentada uma
revisão bibliográfica de alguns trabalhos existentes na literatura mostrando algumas
aplicações destas técnicas de problemas inversos.
Os problemas inversos em transferência de calor fazem o uso das temperaturas medidas
experimentalmente e da equação de difusão de calor para estimar algum parâmetro térmico
desconhecido, que pode ser uma propriedade térmica do material, o coeficiente de
transferência de calor por convecção ou o fluxo de calor. Um dos primeiros trabalhos com o
emprego de problemas inversos em transferência de calor foi apresentado por Stolz (1960).
Nesse trabalho foi mostrado um método para estimar o fluxo de calor prescrito na superfície
de esferas durante o processo de têmpera, tendo a temperatura no interior da amostra como
dado de entrada. Este método também pode ser aplicado para estimar o fluxo de calor em
cilindros e chapas. Stolz (1960) assumiu que as propriedades termofísicas eram constantes,
que não havia geração interna de calor e que o sistema poderia ser tratado como linear, assim
5
pôde-se utilizar o teorema de Duhamel para a elaboração do método. Este método apresentou
bons resultados para uma gama de situações, é de fácil implementação e não exige grande
poder de processamento. Porém, apresentou problemas quando se adicionava ruídos nos
dados de temperatura e quando o intervalo de tempo de amostragem era pequeno, pois os
fluxos de calor calculados poderiam ir a infinito, não representando a realidade física do
problema.
Para corrigir as limitações do método de Stolz foram propostas melhorias, que iniciaram
em Beck (1962), Beck (1968), Beck (1970), Beck (1979), Beck et al. (1982) e terminaram
com a publicação de um livro por Beck et al. (1985). Tais melhorias se basearam no fato de se
trazer para o tempo presente informações de tempos futuros, assim, dessa forma, puderam-se
reduzir os efeitos dos ruídos nos dados de saída. Este método é denominado como Função
Especificada.
Em Beck et al. (1985) os autores utilizaram o teorema de Duhamel, a expansão em série
de Taylor e a otimização por mínimos quadrados na elaboração do método da Função
Especificada. Nesse método, o fluxo atual é calculado utilizando os fluxos anteriores;
considera-se também que os fluxos posteriores são nulos e assume-se um fluxo fictício, que
pode ser constante, linear ou quadrático, sobre certa quantidade de tempos futuros. Este
método apresenta robustez aos ruídos presentes nos dados, é de fácil implementação e não
exige grande poder de processamento.
Beck et al. (1996) compararam diversas técnicas de problemas inversos, dentre as quais
estava presente o método da Função Especificada, utilizando dados experimentais. Estes
dados foram adquiridos a partir de termopares espalhados sobre a superfície da amostra,
oposta ao aquecimento. A montagem era composta por um aquecedor de mica, uma amostra
de compósito de carbono e o isolamento feito de cerâmica. Todas as técnicas apresentaram
uma excelente concordância com o fluxo de calor imposto, cujo valor foi medido durante o
experimento, mas o método da Função Especificada se destacou devido à sua facilidade de
implementação e ao pequeno tempo de processamento quando comparado às demais técnicas
de problemas inversos.
Xianwu et al. (2005) propuseram um método modificado a partir da Função
Especificada visando estabilizar a solução para um problema inverso parabólico de condução
de calor. O método usa passos de tempo que são maiores que os pequenos intervalos
experimentais de amostragem, bem como passos de tempo futuros que são iguais aos
6
intervalos de amostragem. Esta técnica modificada proporciona uma supressão mais rápida do
erro, melhora a estabilidade e precisão atuando com níveis comparáveis de dados truncados e
erros nas medidas de temperatura.
Carvalho et al. (2009) utilizaram a técnica de problema inverso Função Especificada
para estimar o fluxo de calor gerado durante um processo de torneamento. Foi utilizado o
modelo térmico tridimensional implementado pelo método dos volumes finitos. O
experimento consistiu de duas etapas, sendo a primeira realizada com um experimento
controlado. Um fluxo de calor conhecido foi aplicado a uma ferramenta de corte de metal
duro e as temperaturas experimentais foram adquiridas por termopares do tipo K. Nesta etapa,
todas as técnicas apresentaram bons resultados e o resíduo da temperatura experimental com a
temperatura estimada ficou abaixo de 2%. A segunda etapa foi realizada em um processo de
torneamento real. Nesta etapa o resíduo da temperatura estimada pela Função Especificada,
em relação à temperatura experimental, medida em um ponto acessível, ficou acima de 10%.
A razão deste aumento do resíduo de temperatura foi uma mudança nas propriedades
termofísicas da ferramenta de corte durante o processo de usinagem, visto que a temperatura
da região de contato foi próxima a 950 °C.
Outra técnica bastante usada na solução de problemas inversos é a chamada
regularização de domínio inteiro, que foi proposta por Tikhonov e Arsenin (1977), e vem
sendo utilizada em diversos trabalhos, tais como Hensel (1991), Jarny et al. (1991), Özisik
(1993), Alifanov (1994), Özisik e Orlande (2000), Woodbury (2003).
O procedimento proposto por Tikhonov e Arsenin (1977), também conhecido como
Regularização de Tikhonov, utiliza o teorema de Duhamel e otimização por mínimos
quadrados, mas há o acréscimo de um fator linear, que tem como função a atenuação de
ruídos no sinal de temperatura. Este termo aditivo possui diferentes graus de filtragem, que
são popularmente chamados de ordens. Esta técnica é de fácil implementação, mas exige a
inversão de matrizes cujas dimensões estão relacionadas com o número de pontos de
amostragem, onde é requerido um grande poder de processamento para se efetuar os cálculos.
Scott e Beck (1989) apresentaram uma junção do método da Função Especificada com a
Regularização de Tikhonov. Esta nova metodologia tem como base matemática o método da
regularização, mas ao invés de estimar todos os fluxos de calor no domínio inteiro, estima-se
um único fluxo de calor usando um pequeno conjunto de temperaturas futuras. Ainda nesse
trabalho foi feito um estudo sobre o efeito da ordem e do parâmetro de regularização nos
7
resultados obtidos. Foram utilizados dados de fluxo de calor imposto gerados por funções
matemáticas. As temperaturas foram calculadas utilizando o modelo térmico unidimensional,
acrescidas de erros randômicos.
Osman et al. (1997) fizeram a combinação do método da Função Especificada com o
método da Regularização de Tikhonov, para aplicações em problemas inversos
bidimensionais. Foi utilizada, como aparato experimental, uma montagem feita com um
aquecedor de mica, uma amostra isolada de compósito de carbono e diversos termopares. Os
termopares foram colocados sobre a superfície da amostra, sendo cinco posicionados sobre a
superfície de aquecimento e dois sobre a superfície junto ao isolamento. Os coeficientes de
sensibilidade e o campo de distribuição de temperatura foram calculados resolvendo a
equação de difusão de calor bidimensional com o emprego do método dos elementos finitos.
Esta combinação de métodos trouxe um baixo tempo de processamento e um grande
amortecimento de ruídos no sinal experimental. Os resultados obtidos de fluxo de calor
imposto com este método apresentaram grande concordância com os dados experimentais.
Os métodos Função Especificada e Regularização de Tikhonov utilizam um funcional a
ser minimizado, dado pela soma do quadrado das diferenças das temperaturas experimentais e
calculadas. Porém, existem várias técnicas de problemas inversos que utilizam outras formas
de minimização deste funcional. Há técnicas que utilizam derivadas como o método do
Gradiente Conjugado, também conhecido como método da direção conjugada, que foi usado
por Orlande e Özisik (1994). Esse trabalho teve como objetivo estimar a condutividade
térmica dependente da temperatura. A validação desta metodologia foi feita usando dados
experimentais simulados de temperatura, ou seja, foram acrescentados erros aleatórios ao
sinal de temperatura calculado numericamente. A temperatura numérica foi obtida a partir da
solução da equação da difusão de calor para um modelo térmico unidimensional, usando
diferenças finitas. Os resultados apresentados pelos autores foram satisfatórios.
Outra técnica que utiliza derivadas é a que se baseia nos métodos da métrica variável.
Neste tipo de solução, emprega-se tanto as derivadas primeiras como as derivadas segundas
para que a melhor solução seja encontrada mais rapidamente, em comparação com o método
do Gradiente Conjugado. No caso de problemas envolvendo muitas variáveis, utiliza-se o
gradiente da função, assim como a matriz Hessiana. Em muitos casos, o cálculo da matriz
Hessiana demanda muito tempo de processamento, desta forma o seu cálculo é feito
utilizando aproximações para o gradiente da função.
8
Pourshaghaghy et al. (2007) fizeram uma comparação entre as técnicas da métrica
variável em um problema inverso de condução de calor unidimensional e isolado. Num
primeiro momento, foram utilizadas temperaturas experimentais simuladas para uma
validação das técnicas em diversos formatos de fluxo de calor imposto. Em outro momento
foram introduzidos erros aleatórios nos dados de temperatura experimental simulada, tendo
como propósito verificar a robustez das técnicas perante situações reais. Os autores
concluíram que todas as técnicas apresentaram excelentes resultados em relação aos pequenos
resíduos de temperatura e ao baixo tempo de processamento gasto.
Em alguns problemas de transferência de calor as condições de contorno são mais
complexas, como por exemplo, em regiões onde os efeitos da radiação e convecção não
podem ser desprezados, e também problemas onde a geometria não pode ser representada por
formas geométricas simples. Em tais situações, o cálculo de derivadas se torna muito
complicado, em razão da complexidade matemática envolvida. Para estes casos, há técnicas
que não necessitam de derivadas para encontrar a melhor solução. Um exemplo é a técnica
Seção Áurea, onde o intervalo de busca da solução se reduz em 62% a cada iteração, até que
os critérios de parada sejam alcançados.
Carvalho et al. (2006) utilizaram o método da Seção Áurea para estimar o perfil de
temperatura durante um processo de torneamento. Foram soldados termopares em lugares
acessíveis no porta-ferramenta e na ferramenta de corte para a aquisição de dados da
temperatura experimental. Foi utilizado o modelo de difusão de calor tridimensional para
estimar a temperatura na zona onde a ferramenta entra em contato com o material a ser
usinado. Nesse trabalho foram estimados vários perfis de temperatura para o conjunto porta-
ferramenta e ferramenta com respeito aos diferentes parâmetros de usinagem.
Para aumentar a velocidade de convergência do método da Seção Áurea, foi feita uma
proposta através da inclusão de uma interpolação parabólica no intervalo de busca, onde o
mínimo da parábola é o primeiro candidato à solução do problema. Se este mínimo não é
aceito, usa-se a seção áurea para estimar a solução nesta iteração. Esta melhoria foi
desenvolvida por Brent e passou a ser chamada por método de minimização Brent (Brent,
1973). Carcione et al. (2001) utilizaram o método de Brent para obter propriedades elásticas e
eletromagnéticas de materiais piezelétricos a partir de dados de impedância obtidos
experimentalmente.
9
A natureza apresenta muitos exemplos de melhores escolhas para a solução de
determinadas situações. Estas escolhas sempre encontram o menor uso de material, por
exemplo, na construção de colméias de abelhas, o menor uso de energia para o transporte de
alimentos em colônias de formigas e outros. A modelagem matemática desses fenômenos
naturais de otimização seria de grande ajuda no desenvolvimento de projetos de engenharia
melhorados. Um grande empecilho para o uso destas técnicas foi o grande poder de
processamento que elas requeriam que durante muitos anos o tempo de processamento gasto
era elevadíssimo por causa da baixa velocidade dos computadores. Hoje em dia, a alta
velocidade dos computadores aliada ao seu baixo custo, tornou viável a implementação de
técnicas baseadas em processos da natureza.
O processo de solidificação é um fenômeno natural de grande complexidade. Se este
processo se desenvolve de forma rápida, o cristal originado terá muitas imperfeições, o que
caracteriza um estado de alta energia. Mas se este mesmo material passar por um processo de
resfriamento demorado, o cristal que se origina possuirá um número menor de imperfeições,
caracterizando um estado de baixa energia. Os cientistas, baseados neste acontecimento,
desenvolveram o método de otimização Simulated Annealing. No trabalho de Colaço et al.
(2006) foi apresentada uma revisão detalhada do método Simulated Annealing, apresentando
sua formulação, funcionamento, aplicabilidade e limitações. Também foram apresentados
alguns exemplos de aplicação deste método em problemas de engenharia.
Gonçalves et al. (2006) apresentaram uma comparação entre as técnicas Simulated
Annealing e Seção Áurea, que foram usadas para estudar o fenômeno térmico que ocorre
durante operações de soldagem. Estas técnicas foram utilizadas para estimar o fluxo de calor
gerado pelo processo de soldagem, bem como a eficiência térmica global e a eficiência de
fusão utilizando um modelo matemático que incluiu a mudança de fase do material de base.
Métodos de otimização baseados em inteligência artificial também têm sido usados na
solução de problemas inversos. Os progressos nessa área têm sido estimulados pela evolução
das ciências matemáticas e da tecnologia computacional. Estas técnicas, baseadas em
inteligência artificial, têm se mostrado promissoras. Um exemplo do uso de redes neurais em
problemas inversos em condução de calor foi apresentado por Dumek et al. (1993).
Raudensky et al. (1995) demonstraram o uso do algoritmo genético para resolver um
problema inverso de condução de calor unidimensional usando dados gerados pela solução do
problema direto correspondente. Dados com e sem ruídos foram considerados, e o método
10
apresentou bons resultados principalmente quando usado juntamente com algoritmos de
regularização. O termo de regularização utilizado para ajustar melhor a solução do problema é
uma analogia discreta da regularização de primeira ordem.
Gonçalves (1999) utilizou a técnica de algoritmo genético para determinar o fluxo de
calor prescrito em uma placa vertical aquecida, sujeita à convecção forçada, em um duto de
ar. Foi utilizada uma sonda para medir a temperatura em diversas posições no interior do duto
de ar, principalmente na região da camada limite. Também foram empregados termopares
para medir a temperatura da placa quente em diversos pontos. Os resultados obtidos foram
bem próximos aos valores utilizados como referência.
Mais recentemente tem-se empregado filtros para a solução de problemas inversos de
transferência de calor. Cita-se neste caso os filtros de Kalman e os observadores dinâmicos de
estado (Sousa, 2009) empregados, por exemplo, nos trabalhos de Tuan et al. (1996) e Park e
Jung (2000). Estes métodos que são baseados na teoria de sistemas dinâmicos e de controle
têm sido usados na reconstrução em tempo real de variáveis desconhecidas do sistema, como
por exemplo, condições de contorno desconhecidas.
No trabalho de Tuan et al. (1996) foi apresentada uma metodologia para a solução de
um problema inverso de condução de calor em tempo real. A metodologia, baseada nas
técnicas de filtragem de Kalman, foi desenvolvida para estimar duas distribuições de fluxo de
calor distintas, aplicadas a duas superfícies de contorno. Um algoritmo de mínimos quadrados
em tempo real é também apresentado e fornece a relação recursiva entre o valor observado do
fluxo de calor desconhecido e o valor teórico do filtro de Kalman.
Park e Jung (2000) desenvolveram um algoritmo recursivo baseado em filtros de
Kalman para resolver problemas inversos em condução de calor. Entretanto, a implementação
direta do algoritmo em problemas com equações diferenciais parciais multidimensionais não é
indicada, devido ao alto tempo de processamento requerido. Como solução desse problema os
autores empregaram o processo Karbunen-loève Galerkin que reduz as equações diferenciais
parciais governantes a um número mínimo de equações diferenciais ordinárias, possibilitando
a aplicação da técnica proposta em problemas multidimensionais.
Esta revisão bibliográfica teve como objetivo tornar claro ao leitor algumas das várias
técnicas de problemas inversos presentes atualmente na literatura, suas principais
características, suas aplicações na solução de problemas de engenharia, principalmente na
11
área de transferência de calor. Neste trabalho algumas destas técnicas de problemas inversos
foram aplicadas para a solução de problemas de condução de calor. Os casos estudados
possuem geometrias cartesianas e condições de contorno idealizadas. A motivação principal
foi desenvolver ferramentas numéricas para problemas práticos, tais como o processo de
usinagem e de soldagem, que poderão ser utilizadas também em trabalhos futuros.
Capítulo 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Apresenta-se neste Capítulo o desenvolvimento do modelo térmico para o estudo das
técnicas de problemas inversos. O modelo térmico é descrito através da formulação de um
problema de condução de calor tridimensional que por sua vez contempla o modelo térmico
unidimensional. Também são apresentadas a função objetivo a ser minimizada e uma
descrição detalhada das técnicas de problemas inversos que foram usadas.
3.1 MODELO TÉRMICO 3D
Na Figura 3.1, apresenta-se o modelo térmico tridimensional. Neste modelo uma
amostra plana homogênea de temperatura inicial T0 é sujeita a um fluxo transiente de calor,
Φ1(t), em uma parte da sua superfície superior. Nas demais superfícies da amostra são
impostas condições de contorno de isolamento.
13
Figura 3.1 – Modelo térmico tridimensional.
A equação de difusão de calor que descreve o problema apresentado na Figura 3.1 é
dada por:
( )t
tzyxT
z
tzyxT
y
tzyxT
x
tzyxT
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ,,,1),,,(),,,(),,,(
2
2
2
2
2
2
α (3.1)
A região 0,0,0:),,( 3 czbyaxzyxS ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= é sujeita à condição inicial:
0)0,,,( TzyxT = (3.2)
e às condições de contorno:
( )0,0:),(,
,0,, 211 qq yyxxyxSem(t)Φ
z
tyxT ≤≤≤≤ℜ∈==∂
∂−λ (3.3)
( )
,0:),(
0,:),(,0,0,,
2
22
byyaxyx
yyaxxyxSemz
tyxT
q
≤<≤≤ℜ∈∪
∪≤≤≤<ℜ∈==∂
∂
(3.4)
( )0
,,, =∂
∂z
tcyxT (3.5)
( ) ( )0
,,,,,,0 =∂
∂=∂
∂x
tzyaT
x
tzyT (3.6)
x
yza
b
c
S2S1 Φ1(t)
xq
yq
14
( ) ( )0
,,,,,0, =∂
∂=∂
∂y
tzbxT
y
tzxT (3.7)
sendo x, y, e z as coordenadas cartesianas, t o tempo, Φ1(t) o fluxo de calor imposto, T0 a
temperatura inicial do corpo, S1 a superfície onde o fluxo de calor é aplicado, S2 a superfície
isolada, xq e yq os limites da superfície S1, λ é a condutividade térmica, α é a difusividade
térmica e a, b e c as dimensões da amostra.
3.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA
A temperatura numérica é obtida através da solução da equação da difusão
tridimensional utilizando o Método de Diferenças Finitas com formulação implícita. A
formulação implícita foi utilizada com o intuito de evitar o critério de estabilidade, permitindo
a utilização de qualquer intervalo de tempo. No método implícito é necessário resolver um
sistema linear para a obtenção do campo de temperatura. No presente trabalho foi utilizado o
método Modified Strongly Implicit Procedure (MSIP) (Schneider e Zedan, 1981) que é
baseado em decomposição LU da matriz. A malha utilizada na resolução do problema
numérico foi uma malha uniforme regular de 101 elementos no eixo x, 61 elementos no eixo y
e 71 elementos no eixo z. Estes valores apresentaram resultados satisfatórios no teste de
refinamento de malha. Para este modelo a equação discretizada foi obtida aplicando-se o
balanço de energia para um volume de controle como mostrado na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Esquema do balanço de energia.
W
S
CE
B
Ni,j,k
P
qC
qN
qW
qB
qS
qE
z
x
y
15
O balanço de energia para o caso proposto pode ser representado por:
dt
dEEEEE ac
acgse ==+− &&&& (3.8)
sendo, eE& a taxa de energia de entrada, sE& a taxa de energia de saída, gE& a taxa de energia
gerada internamente e acE& a taxa de energia acumulada.
Como as taxas de energias referentes à saída e a geração interna são nulas, tem-se:
ace EE && = (3.9)
A taxa de energia acumulada é escrita da seguinte forma:
t
TzyxcE pac ∂
∂∆∆∆=ρ& (3.10)
onde ρ é a massa específica do material, cp é o calor específico do material, ∆x, ∆y e ∆z o
incremento da malha em x, y, e z respectivamente.
A taxa de energia de entrada é representada pela seguinte expressão:
CBWESNe qqqqqqE +++++=& (3.11)
onde q é a taxa de transferência de calor por condução incidente no elemento, os índices N, S,
E, W, B e C representam respectivamente as faces do elemento nas direções norte, sul, leste,
oeste, base e cume. Estas taxas podem ser escritas na forma discreta, pelo método de
diferenças finitas, como:
( )y
TTzxq kjikji
N ∆−
∆∆= + ,.,1,λ (3.12)
( )y
TTzxq kjikji
S ∆−
∆∆= − ,.,1,λ (3.13)
( )x
TTzyq kjikji
W ∆−
∆∆= − ,.,,1λ (3.14)
16
( )x
TTzyq kjikji
E ∆−
∆∆= + ,.,,1λ (3.15)
( )z
TTxyq kjikji
B ∆−
∆∆= + ,.1,,λ (3.16)
( )z
TTxyq kjikji
C ∆−
∆∆= − ,.1,,λ (3.17)
sendo kjiT ,. a temperatura no ponto central do elemento de malha, e i, j, k o índice deste
elemento.
A taxa de energia acumulada escrita em formulação implícita pelo método de Euler tem
a seguinte forma:
( )t
TTzyxcE
pkji
pkji
pac ∆−
∆∆∆=−1,,,,ρ& (3.18)
onde p é o tempo atual e ∆t o incremento de tempo.
Reescrevendo a Equação 3.9 substituindo as Equações 3.11 a 3.18, tem-se a seguinte
equação:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
,,,,222
21,,
21,,
2,,1
2,,1
2,1,
2,1,
222 −
+−+−−+
∆−=
∆+
∆+
∆+
∆−
+∆
+∆
+∆
+∆
+∆
+∆
pkji
ppkji
p
pkji
pkji
pkji
pkji
pkji
pkji
Tt
cT
t
c
zyx
z
T
z
T
x
T
x
T
y
T
y
T
λρ
λρ
(3.19)
A Equação 3.19 pode ser escrita na forma algébrica linear como:
BTATATATATATATA pkjiP
pkjiC
pkjiB
pkjiE
pkjiW
pkjiS
pkjiN =++++++ −++−−+ ,,1,,1,,,,1,,1,1,,1, (3.20)
onde os coeficiente AN, AS, AW, AE, AB, AC, AP e B são definidos de acordo com a Equação 3.19.
A Equação 3.20 é escrita para cada ponto da malha de forma que é possível gerar um
sistema de equações algébricas lineares para determinar o campo de temperatura. Neste
trabalho a solução do sistema linear foi obtida pelo método MSIP (Modified Strongly Implicit
Procedure de Schneider e Zedan, 1981). A escolha do MSIP na resolução do sistema linear foi
17
devido à sua rápida convergência e precisão nos cálculos da distribuição de temperatura em
todos os pontos da malha.
3.3 FUNÇÃO OBJETIVO
Para estimar o fluxo de calor incidente na amostra faz-se necessário utilizar uma função
objetivo de mínimos quadrados definida pela diferença ao quadrado entre a temperatura
experimental e a numérica. A temperatura numérica foi obtida a partir da solução da equação
da difusão calculada de acordo com as condições inicial e de contorno para o modelo térmico
desejado. A função objetivo pode ser representada pela seguinte expressão:
[ ]2),,,(),,,( tzyxTtzyxYOBJ −=
(3.21)
sendo Y a temperatura experimental adquirida pelo sistema de aquisição de dados e T a
temperatura numérica que o fluxo de calor induz na amostra.
Desta forma, sabe-se que o valor ótimo para o fluxo de calor, ou seja, o valor que
minimiza a função objetivo (Eq. 3.21) é o valor do fluxo de calor que se deseja estimar. Para
obter este valor pode-se utilizar técnicas de problemas inversos, sendo no presente trabalho,
utilizadas as técnicas de problemas inversos Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. As técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov não fazem uso desta função objetivo, pois
na formulação destas técnicas já se encontra incorporado um processo de minimização do
fluxo de calor.
Este trabalho utilizou-se de bibliotecas computacionais disponíveis no meio científico.
Para as técnicas Seção Áurea e Brent foi utilizada a biblioteca computacional GNU Scientific
Library (Brouwer et al, 2009) versão 1.15, de código aberto, mantida pela Free Software
Foundation, com domínio público garantido pela GNU General Public License. Já para as
técnicas DFP e BFGS foi utilizada a biblioteca computacional MATLAB C Math Library
(Coisson e Allodi, 1997) versão 2.1, de código fechado, mantida pela The MathWorks, Inc.
18
3.4 TÉCNICAS DE PROBLEMAS INVERSOS
3.4.1 Seção Áurea
A Seção Áurea é uma das técnicas mais populares para a estimação de mínimos de
funções de apenas uma variável. Esta técnica possui características que a tornam interessante,
tais como a não necessidade de derivadas contínuas, de possuir taxa de convergência
conhecida e de sua fácil implementação (Vanderplaats, 2005). A seguir um detalhamento
desta técnica é apresentado.
Seja uma função F de uma variável X a ser minimizada assumindo que os limites
inferiores e superiores em X sejam conhecidos por Xl e Xu, respectivamente. Assume-se
também que a função F seja avaliada para cada um desses limites obtendo-se,
respectivamente, Fl e Fu. A Figura 3.3 esquematiza o processo de minimização.
Figura 3.3 – Método da Seção Áurea.
Escolhendo dois pontos intermediários X1 e X2, sendo X1 < X2 e avaliando estes pontos
obtém-se F1 e F2. Uma vez que a função F é unimodal, X1 ou X2 irá formar um novo limite.
Neste caso, se F1 for maior que F2 então X1 será o novo limite inferior, obtendo-se assim um
novo conjunto de limites, X1 e Xu. Sendo F2 maior que F1, X2 será o novo limite superior e Xl e
X2 será o novo conjunto de limites.
Uma forma de se obter uma função para a avaliação de X é considerar uma redução de
limite para cada iteração, ou seja, considerar uma simetria em relação ao centro do intervalo,
de forma a satisfazer a seguinte relação:
XuXl
Fu
Fl
F1
X1
F2
X2
19
lu XXXX −=− 12 (3.22)
Ou ainda pode-se obter X1 e X2 de modo a garantir a seguinte relação:
1
121
XX
XX
XX
XX
ulu
l
−−=
−−
(3.23)
Por conveniência, se adimensionaliza o intervalo de busca fazendo Xl = 0 e Xu = 1, de
modo que os valores de X1 e X2 agora sejam frações do intervalo lu XX − . Admitindo que:
12 1 XX −= (3.24)
e substituindo a Equação 3.24 na Equação 3.23, obtém-se a seguinte expressão simplificada:
013 121 =+− XX (3.25)
cujas soluções são:
61803,2:ª2
38197,0:ª1
1
1
==
XRaiz
XRaiz (3.26)
Excluindo a raiz com valor acima do unitário e empregando a outra raiz na equação
(3.24), obtém-se:
61803,0,38197,0 21 == XX (3.27)
Assim, fazendo a razão entre os valores de X1 e X2, obtém-se:
61803,11
2 =X
X (3.28)
O valor desta fração é conhecido como número áureo. Este valor aparece muitas vezes
na natureza, como uma razão estética, e através da história, onde foi empregado na construção
de palácios e santuários devido a superstições em torno deste número.
Retornando para o intervalo original limitado por Xl e Xu, os valores de X1 e X2 podem
ser definidos por:
ul XXX ωω +−= )1(1 (3.29)
20
ul XXX )1(2 ωω −+= (3.30)
sendo o valor de ω definido como:
38197,02
53 =−=ω (3.31)
Para o método da Seção Áurea, o número de iterações, N, usado durante o procedimento
de minimização é definido por:
3ln078,2 +−= εN (3.32)
onde ε é a tolerância relativa, definida por:
lu XX
X
−∆=ε (3.33)
O valor ∆X é definido como a tolerância absoluta da seguinte forma:
velhonovo XXX −=∆ (3.34)
3.4.2 Método de Minimização Brent
A técnica Seção Áurea é utilizada para encontrar o mínimo de qualquer função, mas há
funções onde a região em que o mínimo se encontra pode ser aproximada por uma parábola.
Esta aproximação parabólica pode ser feita com apenas três pontos e o mínimo desta
aproximação pode ser ou se encontrar bem próximo ao mínimo da função que se deseja
minimizar. Na Figura 3.4 é mostrado um exemplo de aproximação Parabólica.
21
Figura 3.4 – Exemplo de aproximação parabólica.
Como se deseja encontrar um valor na abscissa ao invés de um valor na ordenada, o
procedimento é tecnicamente chamado de interpolação parabólica inversa. A fórmula para a
abscissa X, que é o mínimo da parábola que passa através dos pontos Fa, Fb e Fc, é dada por:
( ) [ ] ( ) [ ]( )[ ] ( )[ ]abcbcbab
abcbcbabb FFXXFFXX
FFXXFFXXXX
−−−−−−−−−−−=
22
*21
(3.35)
onde Xa, Xb e Xc são valores da função sobre o eixo das abscissas e Fa, Fb e Fc são valores
sobre o eixo das ordenadas da função que se deseja encontrar o mínimo.
A idéia de trocar uma minimização pelo método da Seção Áurea por uma minimização
por interpolação parabólica inversa não se mostra uma tarefa trivial. Esta tarefa apresenta
algumas dificuldades, tais como o procedimento interno para evitar cálculos desnecessários da
função objetivo. Durante a troca dos métodos de minimização deve-se avaliar se a função tem
comportamento próximo ao de uma parábola no intervalo de busca e este procedimento deve
ser preciso em todas as situações.
Brent (1973) propôs um método que contorna estas dificuldades. Este método, também
conhecido como método de minimização Brent, faz uma interpolação parabólica através dos
três pontos Xa, Xb e Xc. Para que esta interpolação seja aceita, os três pontos devem pertencer
ao intervalo de busca e o módulo entre o candidato a mínimo e o mínimo da iteração anterior
têm que ser menor ou igual ao módulo entre o mínimo da última e o da penúltima iteração. Se
estes critérios não forem atendidos, a minimização passa a utilizar o método Seção Áurea
nesta iteração para encontrar o mínimo. O critério de parada para o método Brent é quando o
Parábola através dos pontos
Parábola através dos pontos
22
intervalo X – tol ≤ X ≤ X + tol for maior do que o intervalo de busca, sendo que tol se refere à
tolerância adotada para a minimização.
3.4.3 Métrica Variável
Outra forma de obter uma minimização é utilizar métodos baseados na derivada da
função objetivo, que têm como fundamento acelerar o processo para se encontrar o mínimo. A
técnica seqüencial de otimização BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) apresentada em
Rardin (2000) é um exemplo de técnica que utiliza derivadas. Esta técnica é uma
particularidade dos Métodos da Métrica Variável. As vantagens deste método são a rápida
velocidade de convergência e a facilidade para se trabalhar com inúmeras variáveis de
projeto. Por se tratar de um método de primeira ordem é necessário conhecer o gradiente da
função. A seguir, são apresentados mais detalhes dos Métodos da Métrica Variável.
Estes métodos têm a característica de utilizar informações de iterações anteriores, porém
utilizam vetores para armazenar estas informações ao invés de utilizar um simples escalar.
Assim, espera-se que esses métodos sejam mais eficientes e confiáveis quando comparados
aos outros que utilizam apenas uma informação anterior.
O conceito básico deste método é criar um vetor, que se aproxima do inverso de uma
matriz Hessiana, com o decorrer da otimização. Nesses métodos, a direção de busca é definida
como sendo:
)( velhonovonovo BFRSrrr
∇−= (3.36)
onde novoR é uma aproximação da inversa da matriz Hessiana durante o processo de
otimização, velhoBr
é o vetor das variáveis e F∇r
é o gradiente da função.
Utilizando a direção de busca novoSr
em conjunto com a Equação 3.37, apresentada a
seguir, é realizado o processo de busca unidimensional.
velhonovovelhonovo SBBrrr
β+= (3.37)
onde novoβ é um escalar multiplicador.
23
Para dar início ao processo de otimização, define-se a matriz R como sendo uma
Matriz Identidade, de forma que a direção de busca no primeiro passo seja simplesmente a
direção do Método da Máxima Descida (Vanderplaats, 2005). Entretanto, no fim da iteração
atual, uma nova matriz R é calculada através da seguinte equação:
novonovofuturo DRR += (3.38)
onde D é uma matriz simétrica de atualização, sendo essa matriz definida pela seguinte
equação:
( ) ( )
′+′−
′−+′+= oRppoRoRoRppD novonovonovonovonovo rrrrrrrr
σκ
ςκ
σκςσ 12 (3.39)
onde pr
e or
são vetores e ς e σ são escalares, definidos por:
velhonovo BBp
rrr −= (3.40)
)()( velhonovo BFBForrrrr ∇−∇= (3.41)
oprr ′=σ (3.42)
( )oRo novorr′=ς (3.43)
Na realidade, a Equação 3.39 representa uma parte dos Métodos da Métrica Variável e
provavelmente os dois métodos mais populares são: Davidon-Fletcher-Powell (DFP) e
Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). O procedimento de escolha desses métodos está
ligado ao valor da variável escalar κ, sendo κ = 0 para DFP e κ = 1 para BFGS.
3.4.4 Método de Stolz
Há também técnicas utilizadas para a solução de problemas inversos que já possuem
uma função objetivo incorporada em suas formulações. Tais técnicas têm como ponto de
partida a solução da equação de difusão de calor tridimensional, com propriedades
termofísicas constantes, que pode ser apresentada como:
t
trTtrgtrT
∂∂=+∇ ),(1
),(1
),(2
rrr
αλ (3.44)
24
),(),(ˆ
),(trftrTh
n
trTll
ll
rrr
=+∂
∂λ (3.45)
)()0,( rFrT i
rr = (3.46)
onde ),( trgr
é a geração interna de calor, lh é o coeficiente de convecção na superfície Sl, ln é
o vetor normal à superfície Sl, ),( trf l
r é a condição de contorno na superfície Sl e )(rFi
r é a
condição inicial do problema.
Duas formas distintas de obter a solução da equação da difusão de calor tridimensional
(Özisik, 1993) são apresentadas a seguir, a primeira é dada por funções de Green:
( ) ττξα
τττλατ
τ
ττ
ddsrf
ddvrgrtrGdvrFirtrGtrT
l
t S
l S
l
t
VV
l
'
0 1
0
0
),'(
'),'(),'|,(')'(|),'|,(),(
∫ ∑ ∫
∫ ∫∫
= =
==
+
++=
r
rrrrrrr
(3.47)
onde ),'|,( τrtrGrr
é função de Green apropriada para o problema de condução de calor em
questão, 'rr
é o vetor direção utilizado como variável de integração, τ é o tempo utilizado
como variável de integração, 'dv é o elemento diferencial de volume, 'lds é o elemento
diferencial de área na superfície Sl, τd é o elemento diferencial de tempo, V é o volume total
do corpo em estudo e S é a superfície total do corpo. O parâmetro ξ depende do tipo de
condição de contorno que o problema apresenta. Se o problema apresentar a condição de
fluxo prescrito ou de convecção, o parâmetro ξ assume a seguinte forma:
lrrrtrG rrrr
== '|),'|,(1 τλ
ξ (3.48)
Se o problema apresentar condição de temperatura prescrita, o parâmetro ξ tem a
seguinte forma:
lrrll n
rtrG
hrr
rr
=∂∂−= '|
ˆ),'|,(1 τξ (3.49)
onde lrr
é o vetor direção que varia ao longo da superfície Sl.
25
A segunda forma de resolver a equação geral da difusão de calor é utilizando o teorema
de Duhamel, que é dado pela seguinte expressão:
∫=
−∂∂=
t
dtrt
trT0
),,(),(τ
τττφ rr (3.50)
onde ),,( ττφ −trr
é uma função a se determinar.
Para avaliar a diferenciação sem efetuar a integração na Equação 3.50 é preciso utilizar
a fórmula de Leibniz para diferenciação de integrais (Bird et al., 2004). Esta fórmula é dada
por:
∫∫ −+∂
∂=∂∂ )(
)(
)(
)(
),(),(),(
),(t
t
t
t dt
dtf
dt
dtfdx
t
txfdxtxf
t
γ
ϕ
γ
ϕ
ϕϕγγ (3.51)
O limite inferior da Equação 3.50 é uma constante, dessa forma a derivada deste limite
em relação ao tempo é nula. O limite superior da Equação 3.50 é o tempo e sua derivada em
relação a ele mesmo é unitária. O valor da função ),,( ττφ −trr
no instante τ=t é igual à
condição inicial do problema. De posse destes resultados, a Equação 3.50 assume a seguinte
forma quando se aplica a Equação 3.51:
∫= ∂
−∂+=t
i dt
trrFtrT
0
),,()(),(
τ
τττφ rrr
(3.52)
A Equação 3.52 mostra que a distribuição de temperatura ao longo do corpo num
instante qualquer de tempo é igual a uma distribuição de temperatura inicial arbitrária mais a
sua variação até o instante de tempo escolhido.
Pode-se considerar um caso especial de problema de difusão de calor onde não há
geração interna de calor, o fluxo de calor é uniforme em uma superfície e todas as outras
superfícies remanescentes são isoladas. Desprezando os efeitos de convecção e mantendo a
temperatura inicial uniforme em todo o sólido, o equacionamento para este caso particular
pode ser representado por:
t
trTtrT
∂∂=∇ ),(1
),(2
rr
α (3.53)
26
)(ˆ
),(1 tq
n
trTl
ll ′′=
∂∂ δλ
r
(3.54)
onde 1lδ é o delta de Kronecker, cuja a faixa de valores é mostrada em seguida:
=≠
=1,1
1,01 l
llδ (3.55)
0)0,( TrT =r (3.56)
Substituindo as Equações 3.53 a 3.56 na Equação 3.47, com uma transformação de
variável adequada (Özisik, 1993) de forma a fazer com que a temperatura inicial seja nula,
pode-se igualar a Equação 3.52 com a Equação 3.47 como:
ττλαττττφ
ττ
ddsrtrGqdt
tr t
S
rr
t
∫ ∫∫=
==
′′=
∂−∂
0
'1'
0 1
1|),'|,()(
),,( rrr
(3.57)
O termo ),,( ττφ −trr
pode ser reescrito como ),()( τφτθ −trr
(Özisik, 1993), sendo
assim:
ττλατττφτθ
ττ
ddsrtrGqdt
tr t
S
rr
t
∫ ∫∫=
==
′′=
∂−∂
0
'1'
0 1
1|),'|,()(
),()(
rrr
(3.58)
Da Equação 3.58 é possível concluir através de semelhança de variáveis que:
)()( ττθ q′′= (3.59)
Substituindo a Equação 3.59 na Equação 3.52, resulta em:
∫= ∂
−∂′′+=t
dt
trqTtrT
0
0
),()(),(
τ
ττφτr
r
(3.60)
Fazendo-se também as seguintes considerações:
ττ
τ
−∂=∂−=
′′=′′
t
t
qq c)(
(3.61)
a Equação 3.60 pode ser escrita como:
27
∫= ∂
−∂′′−=t
c dtr
qTtrT0
0
),(),(
τ
ττ
τφ rr
(3.62)
Dessa forma, a resolução da integral se dá conforme abaixo:
tc trqTtrT 00 |),(),( =−′′−= ττφ rr
(3.63)
A solução final é mostrada pela expressão:
( ))0,(),(),( 0 rtrqTtrT c
rrr φφ −′′+= (3.64)
Fazendo-se uma análise dimensional na Equação 3.64, conclui-se que a unidade de
),( trrφ é
W
Km2
, em forma diferencial, ),(trrφ pode ser representado por:
q
trTtr
′′∂∂= ),(
),(r
rφ (3.65)
Aplicando o operador diferencial q′′∂∂
nas Equações 3.53, 3.54 e 3.56, obtém-se,
respectivamente:
′′∂∂
∂∂=
′′∂∂∇
q
trT
tq
trT ),(1),(2
rr
α (3.66)
1),(
ˆ 11 lll
l q
q
q
trT
nδδλ =
′′∂′′∂=
′′∂∂
∂∂ r
(3.67)
0)0,( 0 =
′′∂∂=
′′∂∂
q
T
q
rTr
(3.68)
Introduzindo a igualdade fornecida pela Equação 3.65 nas Equações 3.66 a 3.68 é
obtido o seguinte conjunto de equações diferenciais:
t
trtr
∂∂=∇ ),(1
),(2
rr φ
αφ (3.69)
1ˆ
),(1l
ll n
tr δφλ =∂
∂ r
(3.70)
28
0)0,( =rrφ (3.71)
O conjunto formado pelas Equações 3.69 a 3.71 pode ser resolvido utilizando funções
de Green, teorema de Duhamel ou de forma numérica, por exemplo, utilizando o Método de
Diferenças Finitas com formulação implícita. Obtêm-se, dessa forma, os valores de ),(trrφ
para o caso tridimensional. É comum na literatura se referenciar ao termo ),(trrφ como
coeficiente de sensibilidade.
A Equação 3.64 é uma solução analítica para fluxos de calor constantes, para fluxos de
calor variáveis, uma solução analítica da Equação 3.60 pode se tornar complexa,
inviabilizando o seu uso. Dessa forma, uma abordagem por aproximação numérica simplifica
muito o equacionamento e traz resultados satisfatórios.
Empregando as Equações 3.61, pode-se reescrever a Equação 3.60 da seguinte forma:
∫= ∂
−∂−′′+=t
dtr
qTtrT0
0
),()(),(
τ
ττ
τφτr
r
(3.72)
Como a complexidade matemática reside na integração das equações em relação ao
tempo, é feita uma aproximação numérica dos termos que envolvem variação temporal
seguindo o esquema onde:
n
m
tt
′′→′′→
∆→∂
)(τ
ττ
(3.73)
Desta forma, a Equação 3.72 pode ser representada por aproximação numérica da
seguinte forma:
ττ
τφτφ ∆∆
−−−′′+= ∑=
−m
n
nmnmnm
trtrqTtrT
1
10
),(),(),(
rrr
(3.74)
Para simplificar os índices relativos ao tempo, é empregada a seguinte notação (Beck et
al., 1985):
jiji tjtijiji ττττττ −=∆−∆=∆−∆=∆−=− )(
(3.75)
Seguindo esta nova notação de índices, a Equação 3.74 pode ser expandida como segue:
29
( )( )
( )),(),(
),(),(
),(),(),(
01
212
110
τφτφ
τφτφτφτφ
rrq
rrq
rrqTtrT
m
mm
mmm
rrM
rr
rrr
−+
−+−+=
−−
−
(3.76)
Um novo termo, ),( nmr −∆ τφ r, é também introduzido para uma maior clareza e
simplificação do equacionamento feito até o momento. Este termo é definido como:
),(),(),( 1 nmnmnm rrr −+−− −=∆ τφτφτφ rrr (3.77)
Utilizando a Equação 3.77, é apresentada uma forma mais compacta da Equação 3.76,
dada por:
),(),(1
0 nm
m
nnm rqTtrT −
=∑ ∆′′+= τφ rr
(3.78)
Empregando-se aproximação numérica, há mais clareza em observar que a unidade do
coeficiente de sensibilidade ),( trrφ é
W
Km2
para o caso de fluxo de calor variável. Sendo
assim, as Equações 3.69 a 3.71 podem ser utilizadas para o cálculo dos coeficientes de
sensibilidade no caso de fluxo de calor variável.
A Equação 3.52 garante que a temperatura num instante de tempo escolhido é igual a
uma condição de temperatura inicial arbitrária mais a sua variação até o instante de tempo
escolhido. Assim, é possível encontrar a temperatura no instante mt tendo como condição
inicial a temperatura no instante 1−mt , utilizando a Equação 3.78. Esta situação é descrita da
seguinte forma:
),(),(),( 01 τφ rqtrTtrT mmm
rrr ∆′′+= − (3.79)
Considerando a condição inicial dada por:
0)0,(),( 0 == rrrr φτφ
(3.80)
A Equação 3.79 pode ser simplificada da seguinte forma:
),(),(),( 11 τφ rqtrTtrT mmm
rrr ′′+= − (3.81)
30
Na Equação 3.81 é possível isolar o fluxo de calor que foi utilizado para elevar a
distribuição de temperatura ),( 1−mtrTr
para a distribuição ),( mtrTr
. A Equação 3.82 mostra
como o fluxo de calor pode ser isolado e escrito por:
),(),(),(
1
1
τφ r
trTtrTq mm
m r
rr−−=′′ (3.82)
A Equação 3.82 pode ser utilizada na estimação do fluxo de calor para sinais
experimentais de temperatura. Este tipo de estimação é de grande importância em situações
onde o aporte de calor em um corpo se torna um parâmetro de controle imprescindível para o
processo, tal como acontece nos processos de soldagem e usinagem. O fluxo de calor
estimado mq′′ˆ pode ser calculado com a seguinte expressão:
),(),(),(
ˆ1
1
τφ r
trTtrYq mm
m r
rr−−=′′ (3.83)
onde ),( mtrYr
é a temperatura experimental no instante mt na posição rr
, ),( 1−mtrTr
representa
a temperatura no instante anterior na mesma posição rr
, calculada com os fluxos de calor mq′′ˆ
anteriores.
O termo ),( 1−mtrTr
da Equação 3.83 é calculado pela seguinte expressão:
∑−
=−− ∆′′+=
1
101 ),(ˆ),(
m
nnmnm rqTtrT τφ rr
(3.84)
A Equação 3.83 foi desenvolvida originalmente por Stolz (Stolz, 1960). Esta Equação é
a base do método de Stolz, foi utilizada para estimar o fluxo de calor prescrito durante o
processo de têmpera em superfícies esféricas, tendo a temperatura no interior da amostra
como dado de entrada. A aplicabilidade deste método não se limita apenas a superfícies
esféricas, ele também pode ser usado para estimar o fluxo de calor em cilindros e chapas.
3.4.5 Função Especificada
O método de Stolz apresenta problemas quando há ruídos nos dados de temperatura
experimental e quando o intervalo de tempo de amostragem for pequeno. O resultado é que os
31
fluxos de calor estimados podem ir ao infinito, não representando a realidade física do
problema.
A solução para corrigir a instabilidade do método de Stolz foi proposta por Beck et al.
(1985). A modificação introduzida tornou a estimação do fluxo de calor menos suscetível
quanto aos ruídos no sinal de temperatura experimental.
Da Equação 3.78, a Equação 3.79 pode ser expandida para o cálculo da distribuição de
temperatura para instantes futuros, como:
),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(),(
),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(),(
),(ˆ),(ˆ),(),(
),(ˆ),(),(
1101
2110212
10111
01
rmrmrmmrm
mmmmm
mmmm
mmm
rqrqrqtrTtrT
rqrqrqtrTtrT
rqrqtrTtrT
rqtrTtrT
τφτφτφ
τφτφτφτφτφ
τφ
rL
rrrrM
rrrrr
rrrr
rrr
∆′′++∆′′+∆′′+=
∆′′+∆′′+∆′′+=∆′′+∆′′+=
∆′′+=
−++−+
++−+
+−+
−
(3.85)
A Equação 3.84 pode ser compactada na seguinte expressão:
∑=
−+−+ ∆′′+=r
nnnrmmrm rqtrTtrT
01 ),(ˆ),(),( τφ rrr
(3.86)
onde r representa o número de tempos futuros.
Como os fluxos de calor para os tempos futuros escolhidos ainda não foram calculados,
é preciso escolher como estes fluxos serão representados. Uma maneira prática e que dá bons
resultados é definir estes fluxos de calor futuros como sendo iguais ao do instante de tempo
atual, conforme mostrado abaixo:
mrmrmrm qqqq ′′==′′=′′=′′ −+−++ ˆˆˆˆ 21 L (3.87)
Outra forma de definir estes fluxos de calor futuros seria atribuir a eles uma
representação linear, quadrática ou cúbica em relação ao fluxo de calor do instante atual.
Neste trabalho será apresentada apenas a representação constante dos fluxos de calor futuros
em relação ao fluxo de calor do instante atual.
Uma identidade matemática útil para os coeficientes de sensibilidade é mostrada pela
Equação 3.88 (Beck et al., 1985):
32
),(),( 10
+=
=∆∑ r
r
nn rr τφτφ rr
(3.88)
Os fluxos de calor futuros são dados pela Equação 3.87, e empregando a Equação 3.88,
a Equação 3.86 pode ser simplificada para a seguinte forma:
),(ˆ),(),( 11 +−+ ′′+= rmmrm rqtrTtrT τφ rrr (3.89)
É também definido um funcional Func para medir o erro entre as temperaturas
experimentais e as temperaturas calculadas nos instantes de tempo atual e também entre os
instantes de tempo futuro escolhidos. A Equação 3.90 mostra matematicamente como o
Funcional Func é definido.
( )2
0
),(),(∑=
++ −=r
nnmnm trTtrYFunc
rr (3.90)
Substituindo a Equação 3.89 na Equação 3.90, tem-se:
( )( )2
011 ),(ˆ),(),(∑
=+−+ ′′+−=
r
nnmmnm rqtrTtrYFunc τφ rrr
(3.91)
Para encontrar o valor de fluxo de calor que dê o menor valor para Equação 3.91 é
preciso encontrar o mínimo desta função, uma maneira direta é diferenciá-la em relação à mq′′
e igualar a zero, isto é:
( )[ ] 0),(),(ˆ),(),(2ˆ 0
111 =′′−−−=′′∂
∂∑
=++−+
r
nnnmmnm
m
rrqtrTtrYq
Func τφτφ rrrr (3.92)
Aplicando a propriedade distributiva, a Equação 3.92 pode ser reduzida, chegando-se à
seguinte expressão:
( )[ ] 0),(ˆ),(),(),(0
21
011 =′′−− ∑∑
=+
=+−+
r
nnm
r
nnmnm rqrtrTtrY τφτφ rrrr
(3.93)
Isolando o termo mq′′ , encontra-se:
33
( )[ ]
∑
∑
=+
=+−+ −
=′′r
nn
r
nnmnm
m
r
rtrTtrYq
0
21
011
),(
),(),(),(ˆ
τφ
τφ
r
rrr
(3.94)
A Equação 3.94 é chamada de método da função especificada na literatura. Este método
não apresenta os problemas mencionados para o método de Stolz. Muitos autores consideram
o método da Função Especificada uma evolução do método de Stolz, pois quando r = 0, a
Equação 3.94 se torna a Equação 3.83.
Para tornar a Equação 3.94 menos suscetível à presença de ruídos no sinal de
temperatura experimental, foi proposto que o fluxo de calor estimado mq′′ fosse calculado
juntamente com outros sinais de temperaturas experimentais obtidos de outros pontos de
medição, isto é, usando mais de um sensor de temperatura na amostra (Beck et al., 1985).
Com essa alteração proposta, a Equação 3.94 passa a ter a seguinte forma:
( )[ ]
∑∑
∑∑
= =+
= =+−+ −
=′′Nsens
d
r
nnd
Nsens
d
r
nndmdnmd
m
r
rtrTtrYq
1 0
21
1 011
),(
),(),(),(ˆ
τφ
τφ
r
rrr
(3.95)
onde Nsens é o numero de sensores de temperatura experimental e d o contador para os
sensores de temperatura experimental.
Sendo assim, o fluxo de calor estimado mq′′ se torna um fluxo de calor médio que
abrange uma área delimitada pelos sensores de temperatura, de forma que ruídos presentes em
um ponto de medição não atrapalham a estimação do fluxo de calor em uma área inteira. Para
apenas um sensor de temperatura, a Equação 3.95 se reduz a Equação 3.94.
3.4.6 Regularização de Tikhonov
Foi visto que no método da Função Especificada, o fluxo de calor é estimado a partir de
um conjunto de temperaturas experimentais, cujo tamanho deste conjunto é o número de
tempos futuros. Beck et al. (1985) mostraram que há um número ótimo de tempos futuros,
sendo que este número ótimo é bem inferior ao número total de temperaturas experimentais.
Desta forma, o fluxo é estimado em pequenos intervalos de tempos futuros. Isto não seria
34
problema se não houvesse ruídos no sinal de temperatura experimental, mas os ruídos estão
presentes, e como conseqüência, o fluxo de calor estimado acaba se tornando descontínuo
localmente. Uma maneira de eliminar estas descontinuidades no fluxo de calor estimado é
fazer com que a técnica de problema inverso estime todos os fluxos de calor de uma vez
usando todas as temperaturas experimentais ao mesmo tempo. Este tipo de técnica é
conhecida como técnica de domínio inteiro e foi proposta primeiramente por Tikhonov e
Arsenin (1977). A técnica de domínio inteiro se baseia em um tratamento matricial da
dependência da temperatura experimental com o fluxo de calor estimado.
A Equação 3.78 pode ser representada pela seguinte forma matricial:
+
′′
′′′′′′
∆∆∆∆
∆∆∆∆∆
∆
=
−−− 0
0
0
0
3
2
1
0321
002
01
0
3
2
1
),(),(),(),(
0),(),(),(
00),(),(
000),(
),(
),(
),(
),(
T
T
T
T
q
q
q
q
rrrr
rrr
rr
r
trT
trT
trT
trT
mmmmm
MMr
Lrrr
MOMMM
Lrrr
Lrr
Lr
rM
r
r
r
τφτφτφτφ
τφτφτφτφτφ
τφ
(3.95)
Em uma forma mais compacta, a Equação 3.95 poder ser reescrita como:
0TqT +′′= χ (3.96)
onde T representa a matriz coluna das distribuições de temperatura calculada, χ a matriz
quadrada dos coeficientes de sensibilidade, q′′ a matriz coluna dos fluxos de calor e 0T a
matriz coluna de temperatura inicial.
Para realizar a estimação dos fluxos de calor a partir de temperaturas experimentais,
também é definida a matriz coluna de temperaturas experimentais como mostrado abaixo:
=
),(
),(
),(
),(
3
2
1
mtrY
trY
trY
trY
Y
rM
r
r
r
(3.97)
Também define-se o funcional Functik que mede o erro entre as temperaturas
experimentais e as temperaturas calculadas. Este funcional é definido tanto em forma de
somatórios quanto em forma matricial.
35
( ) ( ) ( )TYTYtrTtrYFunctikM
nnn −−=−=∑
=
'),(),(
2
1
rr (3.98)
onde M é o número de elementos da matriz coluna Y .
Para diminuir os efeitos dos ruídos presentes no sinal de temperatura experimental,
Tikhonov e Arsenin (1977) propuseram o acréscimo de um vetor com a função de atenuação
de pequenas variações no sinal de temperatura experimental. Substituindo a Equação 3.96 na
Equação 3.98 e acrescentando este vetor com a função de atenuação na temperatura
experimental, obtém-se a seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ( )qHqHTqYTqYFunctik ′′′′+−′′−−′′−=''
00 ψχχ (3.99)
onde ψ é o termo que representa um escalar utilizado para variar a magnitude do efeito de
atenuação, chamado de parâmetro de regularização, H representa a matriz quadrada que
realizará o efeito de redução de ruídos.
A matriz H também indica de que maneira a atenuação agirá sobre os ruídos do sinal
de temperatura experimental. Esta forma de atuação é conhecida na literatura por ordem de
regularização (Beck et al., 1985). Há várias ordens de regularização, mas no presente trabalho
serão comentadas as regularizações de zero, primeira e segunda ordem.
A ordem zero tem como objetivo reduzir a magnitude dos fluxos de calor estimados,
sendo assim, a matriz H assume a seguinte forma:
=
1000
0100
0010
0001
L
MOMMM
L
L
L
H (3.100)
A primeira ordem por sua vez tende a diminuir a amplitude do fluxo de calor estimado
em relação ao próximo valor. A matriz H desta ordem é expressa por:
36
−
−−
−
=
000000
110000
001100
000110
000011
L
L
MMOMMMM
L
L
L
H (3.101)
Para reduzir as rápidas oscilações no fluxo de calor estimado, a segunda ordem é a mais
indicada, sendo a sua matriz H definida por:
−
−−
−
=
00000000
00000000
12100000
00012100
00001210
00000121
L
L
L
MMMOMMMMM
L
L
L
H (3.102)
O próximo passo é minimizar a Equação 3.99 para que dada uma matriz coluna q′′ , o
valor de Functik, que é um escalar, seja o menor possível. Para que isso seja feito, é preciso
realizar uma diferenciação matricial em Functik com relação ao vetor q′′ e igualar o resultado
a zero.
Para ocorrer à diferenciação da Equação 3.99, antes é preciso definir algumas operações
de diferenciação envolvendo matrizes (Beck et al., 1985). Estas operações são bem
semelhantes ao que ocorre em escalares, sendo em alguns casos, uma generalização para
vetores e matrizes.
A primeira operação é para o caso de multiplicação de uma matriz coluna transposta,
multiplicada por uma matriz quadrada constante, por ela mesma, também multiplicada por
uma matriz quadrada constante.
( ) ( )( ) ( )qHH
q
qHqH′′=
′′∂
′′′′∂'
2
'
(3.103)
37
A segunda operação é para o caso de multiplicação de duas matrizes colunas
transpostas, sendo que uma matriz coluna é primeiramente multiplicada por uma matriz
quadrada constante.
( ) ( )( ) ( )AH
q
AqH'
'
=′′∂
′′∂ (3.104)
A próxima operação é para um caso de produto notável envolvendo duas matrizes
colunas distintas.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BBABAABABA''
2''
+−=−− (3.105)
Diferenciando Functik em relação à q′′ , igualando a zero e aplicando as Equações 3.103
a 3.105, é obtida a seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
''
'
2
'000
=′′∂
′′′′∂+
′′∂
′′′′∂+
′′∂
−′′∂
−′′∂
−−∂=
′′∂∂
q
qHqH
q
q
TYq
q
TYTY
q
Functik
ψχχ
χ
(3.106)
Como a derivada de uma matriz coluna constante é zero, a Equação 3.106 se reduzir à
equação:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'
2'
2'
2 0 =′′+′′+−−=′′∂
∂qHHqTY
q
Functik ψχχχ (3.107)
Com algumas manipulações algébricas é possível encontrar a seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
'''TYqHHq −=′′+′′ χψχχ (3.108)
Isolando q′′ , tem-se a expressão que calcula o fluxo de calor estimado a partir de sinais
de temperatura experimental, dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 '''TYHHq −
+=′′
−
χψχχ (3.109)
38
A equação 3.109 é conhecida como regularização de Tikhonov. Esta equação fornece
ótimos resultados na estimação de fluxos de calor. Por ser uma equação matricial envolvendo
inversão de matrizes, a sua solução depende do tamanho das matrizes envolvidas, o poder de
processamento requerido para resolvê-las pode ser bem alto quando comparado a outros
métodos de estimação de fluxo de calor.
As técnicas de problemas inversos apresentadas neste capítulo foram utilizadas para um
problema tridimensional simulado, cujos resultados são mostrados no Capítulo 4. No Capítulo
6, estas mesmas técnicas foram empregadas em dois experimentos controlados em
laboratório.
Capítulo 4
VALIDAÇÃO DAS TÉCNICAS DE PROBLEMAS
INVERSOS
4.1 INTRODUÇÃO
Uma dificuldade existente na solução de problemas inversos em transferência de calor
reside na validação da técnica usada. Essa dificuldade é inerente ao problema, uma vez que a
validação do fluxo de calor estimado exige o conhecimento prévio do fluxo de calor
experimental. Observa-se que em problemas reais, como em um processo de soldagem, o
fluxo de calor experimental não é conhecido. Sendo assim, para a validação das técnicas de
problemas inversos foi feita uma análise usando um fluxo de calor previamente conhecido.
Neste trabalho foi usado um fluxo de calor na forma de uma função parabólica para a
validação das técnicas de problemas inversos para o caso tridimensional.
4.2 DESCRIÇÃO DO PROCEDIMENTO DE VALIDAÇÃO
Vários testes foram realizados com relação à intensidade e forma do fluxo de calor, o
intervalo de tempo e o número total de pontos, para se obter uma faixa de temperaturas que
mantivesse a hipótese de propriedades térmicas constantes. Apresenta-se aqui apenas um dos
40
casos estudados, onde estipulou-se que o fluxo de calor teria a forma de um sinal parabólico
com o valor máximo de 2500 W/m² e um total de 1250 pontos, com um intervalo de 0,2 s.
Tendo levado em consideração estas especificações, pode-se chegar à seguinte expressão
algébrica para o fluxo de calor conhecido:
tttq 4016,0)('' 2 +−=
(4.1)
Para uma melhor compreensão, o fluxo de calor parabólico utilizado é apresentado na
Figura 4.1.
Figura 4.1 – Fluxo de calor parabólico imposto no problema direto.
A distribuição de temperatura na amostra foi obtida através da solução das Equações 3.1
a 3.7. Estas equações foram resolvidas numericamente empregando o Método de Diferenças
Finitas com formulação implícita. Este é o chamado problema direto onde o fluxo parabólico
imposto foi utilizado para obter o perfil de temperatura. O domínio de cálculo utilizado nos
cálculos numéricos possui as dimensões representadas na Figura 4.2.
Figura 4.2 – Dimensões da Região S.
100,0 mm
9,5
mm
41
Na Figura 4.3 mostra-se esquematicamente a posição e o tamanho da região S1 onde o
fluxo de calor parabólico foi imposto conforme o modelo matemático apresentado no
Capítulo 3. A região S2 engloba todas as superfícies restantes que foram isoladas.
Figura 4.3 – Detalhamento das Regiões S1 e S2.
Um ponto de medição de valores foi colocado para obtenção da distribuição temporal de
temperatura, conforme mostra a Figura 4.4. Este posicionamento foi escolhido de forma a
representar a posição de um termopar em um procedimento experimental.
Figura 4.4 – Posição da sonda numérica na amostra.
Para o cálculo da temperatura os valores das propriedades termofisícas foram de 14,61
W/m.K para a condutividade térmica e 3,74 x 10-6 m2/s para a difusividade térmica (Carollo,
2010). A temperatura inicial foi de 19,5 °C, pois este valor é aproximadamente a temperatura
ambiente local. Os cálculos foram realizados em uma máquina equipada com processador
Intel CoreTM 2 Quad, modelo Q6600 com 2,4 GHz de velocidade de processamento, e 3,7
GBytes de memória RAM. É mostrada na Figura 4.5 a variação de temperatura com o tempo,
na posição da sonda numérica. Observa-se que para uma variação de temperatura de
100 mm
60 mm
50 mm
50 mm
Aquecedor
Resistivo
S1
Isolamento
S2
y
x
Região S
P1 (25,0 mm; 25,0 mm; 9,5 mm)
x
yz
42
aproximadamente de 10 ºC, sendo assim, as propriedades termofisícas podem ser
consideradas constantes.
Figura 4.5 – Temperatura em função do tempo.
Esta temperatura obtida pelo problema direto é denominada de agora em diante de
temperatura de referência e será utilizada para comparações com os valores estimados,
mostrados a seguir.
4.3 RESULTADOS OBTIDOS PARA A VALIDAÇÃO
4.3.1 Fluxo Parabólico Sem Erros Aleatórios
Para a validação das técnicas de problemas inversos apresentadas no Capítulo 3, é
preciso saber como elas se comportam na estimação de fluxo de calor, como é a distribuição
de temperatura com estes fluxos estimados e como são os resíduos de temperatura em relação
ao sinal de temperatura calculado. Como foram analisadas diferentes técnicas de problemas
inversos, optou-se por exibir os resultados comparando as técnicas duas a duas, com o
resultado obtido no problema direto.
A Figura 4.6 apresenta o resultado da estimação do fluxo de calor pelas técnicas Função
Especificada e Regularização de Tikhonov, juntamente com o fluxo parabólico, imposto no
problema direto.
43
Figura 4.6 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov.
Para a estimação do fluxo de calor, a técnica Função Especificada foi utilizada com o
parâmetro de tempos futuros, r, igual a 5 e os fluxos dos tempos futuros representados de
forma constante. Para a técnica Regularização de Tikhonov foram utilizados a matriz H do
tipo segunda ordem e o parâmetro de regularização, pr, igual a 1 x 10-3. Uma discussão sobre
como estes parâmetros foram escolhidos é apresentado no trabalho de Beck et al. (1985).
Observa-se que os fluxos apresentaram ótima concordância de valores.
Com os valores de fluxo de calor estimados, calculou-se a distribuição temporal de
temperatura para a posição da sonda numérica escolhida. A Figura 4.7 mostra os três perfis de
temperatura juntos. Observa-se que as temperaturas apresentaram concordância de valores.
Figura 4.7 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com a temperatura de referência.
44
Para melhor mostrar o quanto as temperaturas calculadas a partir dos fluxos estimados
divergiram da temperatura de referência foram calculados os resíduos de temperatura. Estes
resíduos são calculados com base na diferença entre as temperaturas calculada e estimada
ponto a ponto, sendo esta diferença dividida pela temperatura calculada correspondente, cujos
valores são mostrados na Figura 4.8.
Figura 4.8 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov.
Os fluxos estimados para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são
apresentados nas Figuras 4.9a e 4.9b.
(a) (b)
Figura 4.9 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as técnicas:
(a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
45
As temperaturas calculadas com os fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent,
DFP e BFGS são apresentadas nas Figuras 4.10a e 4.10b
(a) (b)
Figura 4.10 – Comparação da temperatura de referência com as temperaturas calculadas para
as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
É mostrado nas Figuras 4.11a e 4.11b o comportamento dos resíduos de temperatura
para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS.
(a) (b)
Figura 4.11 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS.
Analisando os resultados observa-se que todas as técnicas se mostraram eficientes para
estimação de um fluxo de calor parabólico e para a estimação de temperatura. As técnicas de
46
otimização Seção Áurea, Brent, BFGS e DFP obtiveram melhores resultados para obtenção da
temperatura, entretanto, observa-se na Tabela 4.1 que estas técnicas de otimização têm um
alto tempo de processamento quando comparadas às técnicas Função Especificada e
Regularização Tikhonov. Esta diferença no tempo de processamento se deve ao fato que as
técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov necessitam resolver apenas uma
vez as Equações 3.1 a 3.7, para o cálculo dos coeficientes de sensibilidade, de forma
numérica, cuja discretização espacial gera muito pontos nodais e isto demanda muito tempo
de processamento para que se calculem todos estes pontos. Para as técnicas de otimização, a
cada tentativa de mínimo pontual da função objetivo, é preciso recalcular toda a malha nodal,
aumentando o tempo de processamento requerido. O fato de recalcular todos os pontos nodais
a cada tentativa de mínimo, apesar de aumentar o tempo de processamento, torna a estimação
da temperatura mais precisa, o que pode ser visto pelos resíduos de temperatura apresentados.
As técnicas Seção Áurea e Brent obtiveram resíduos de temperatura inferiores a 0,001 %, mas
para as técnicas DFP e BFGS os resíduos foram inferiores a 1 x 10-8 %. A diferença de tempo
entre as técnicas Seção Áurea e Brent e as técnicas DFP e BFGS é devido à maneira como
estas últimas técnicas foram implementadas, isto é, utilizando um conjunto de bibliotecas não
otimizadas para velocidade de processamento.
Tabela 4.1 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação.
Técnica Inversa Tempo Gasto (s)
Função Especificada (r = 5) 16083
Regularização de Tikhonov (pr = 1,0 x 10-3) 16096
Brent 108000
Seção Áurea 129600
BFGS 432000
DFP 453600
Com relação à estimativa do fluxo de calor parabólico, todas as técnicas apresentaram
resultados satisfatórios, mas para uma validação mais precisa, deve-se analisar também como
estas técnicas se comportam quando há presença de ruídos no sinal de temperatura, situação
bastante comum quando se trata de sinais de temperatura experimentais.
47
4.3.2 Fluxo Parabólico Com Erros Aleatórios
Para simular um sinal de temperatura experimental, foram acrescidos ao sinal de
temperatura de referência (Figura 4.5) erros aleatórios. Estes erros aleatórios foram
distribuídos uniformemente em um intervalo de -0,5 C° a 0,5 C°. Assim, a partir deste sinal de
temperatura com erros aleatórios o fluxo de calor é estimado usando as técnicas de problemas
inversos.
Novamente para uma maior clareza, os resultados são apresentados em várias figuras.
Primeiro é mostrado, na Figura 4.12, o resultado da estimação do fluxo de calor para as
técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov.
Figura 4.12 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov.
Para a estimação do fluxo de calor, a técnica Função Especificada foi utilizada com o
parâmetro de tempos futuros, r, igual a 125 e os fluxos dos tempos futuros representados de
forma constante. Para a técnica Regularização de Tikhonov foram utilizados a matriz H do
tipo segunda ordem e o parâmetro de regularização, pr, igual a 1,0.
A Figura 4.13 mostra uma comparação do sinal de temperatura de referência com dados
aleatórios, com os sinais de temperatura gerados pelos fluxos de calor estimados com as
técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov.
48
Figura 4.13 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov.
Na Figura 4.14 são apresentados os resíduos de temperatura, que foram calculados com
base na diferença entre as temperaturas com dados aleatórios e estimada ponto a ponto, sendo
esta diferença dividida pela temperatura com dados aleatórios correspondente.
Figura 4.14 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov.
É mostrado nas Figuras 4.15a e 4.15b o fluxo de calor estimado pelas técnicas Seção
Áurea, Brent, DFP e BFGS. Observa-se que os valores de fluxo de calor estimado estão bem
acima do fluxo parabólico, isto mostra como estas técnicas são sensíveis à presença de dados
aleatórios.
49
(a) (b)
Figura 4.15 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as
técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
Nas Figuras 4.16a e 4.16b são apresentadas as temperaturas calculadas a partir dos
fluxos de calor estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. Observa-se que
mesmo sendo técnicas sensíveis à presença de dados aleatórios, elas mantém boa
concordância com o sinal de temperatura numérico.
(a) (b)
Figura 4.16 – Comparação das temperaturas calculadas para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS.
Os resíduos de temperatura são mostrados nas Figuras 4.17a e 4.17b. Estes resíduos
foram calculados com base na diferença entre as temperaturas com dados aleatórios e
50
estimada ponto a ponto, sendo esta diferença dividida pela temperatura com dados aleatórios
correspondente.
(a) (b)
Figura 4.17 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS.
Conforme foi descrito no Capítulo 3, as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são
técnicas de estimação de fluxo de calor pontual, sendo assim, há uma grande oscilação no
fluxo de calor estimado por causa dos erros aleatórios presentes no sinal de temperatura.
Dessa forma, há a necessidade de se aplicar um filtro no sinal de fluxo de calor estimado para
amenizar essas variações. Este filtro não foi aplicado neste capítulo para demonstrar como os
ruídos no sinal de temperatura influenciam a estimação do fluxo de calor por estas técnicas,
mas será aplicado na apresentação dos resultados experimentais no Capítulo 6. Como o fluxo
de calor é estimado ponto a ponto pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS, a
temperatura calculada a partir dos fluxos de calor estimados tem excelente concordância com
o sinal de temperatura, como pode ser visto pelos resíduos de temperatura que se mantiveram
inferiores a 0,001 % nas técnicas Seção Áurea e Brent e inferiores a 1 x 10-8 % nas técnicas
DFP e BFGS. As técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov são técnicas que
estimam o fluxo de calor a partir de um conjunto de pontos, dessa forma, o fluxo estimado é
menos suscetível aos erros aleatórios presentes no sinal de temperatura, conforme visto na
Figura 4.12. A temperatura calculada a partir destes fluxos estimados representa uma média
do comportamento do sinal de temperatura de referência. Mesmo a temperatura calculada não
sendo próxima ponto a ponto do sinal de temperatura de referência, os resíduos de
temperatura ficaram na faixa de 4,0 %, demonstrando um bom resultado para a estimação do
51
fluxo de calor. Ressalta-se que os erros aleatórios usados neste trabalho foram de ± 0,5 °C.
Estes erros são maiores do que a incerteza de sinais de temperatura medidos que estão em
torno de ± 0,1 °C. Apesar da boa concordância da temperatura calculada com a temperatura
de referência, as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS apresentaram tempos de
processamento muito superiores aos das técnicas Função Especificada e Regularização de
Tikhonov, conforme pode ser visto na Tabela 4.2. Este fato tem a mesma explicação dada
para a discrepância de tempos de processamento para o fluxo parabólico sem ruídos no sinal
de temperatura.
Tabela 4.2 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação.
Técnica Inversa Tempo Gasto (s)
Função Especificada (r = 125) 16084
Regularização de Tikhonov (pr = 1,0 x 100) 16128
Brent 190000
Seção Áurea 243700
BFGS 512000
DFP 533600
Pode-se concluir que as técnicas de problemas inversos Função Especificada e
Regularização de Tikhonov apresentaram os melhores resultados na estimativa do fluxo de
calor parabólico, tanto na ausência quanto na presença de erros aleatórios. Os erros aleatórios
acrescidos ao sinal de temperatura de referência têm a função de simular dados de
temperatura reais, onde há ruídos provenientes muitas vezes da incerteza do instrumento de
medição utilizado.
No Capítulo 5 será apresentada uma descrição detalhada da bancada de teste, mostrando
as amostras utilizadas nos experimentos, assim como também os equipamentos utilizados para
a geração do fluxo de calor e para a aquisição dos sinais de temperatura.
Como já foi mencionado, para as demais técnicas de problemas inversos, no Capítulo 6
será usada uma filtragem no sinal de fluxo de calor estimado. Os resíduos de temperatura
obtidos dentro de uma faixa aceitável comprovam a validação das técnicas de problemas
inversos para os casos estudados.
Capítulo 5
MONTAGEM EXPERIMENTAL
5.1 INTRODUÇÃO
Nos capítulos anteriores foram apresentadas as técnicas de problemas inversos com todo
o seu detalhamento matemático e também como elas se comportaram na estimação do fluxo
de calor a partir de um sinal de temperatura simulado. Entretanto, o propósito deste trabalho é
a utilização destas técnicas de problemas inversos aplicadas a sinais de temperatura reais,
medidos a partir de um experimento realizado em uma bancada de teste. A proposta deste
capítulo é mostrar de forma detalhada como foi realizado o experimento, de como a bancada
experimental foi montada e de como as amostras foram preparadas.
5.2 DESCRIÇÃO DA BANCADA DE TESTE
A bancada utilizada para estimar o fluxo de calor em amostras de Aço Inox AISI 304 é
mostrada na Figura 5.1. Os equipamentos utilizados são descritos a seguir.
53
Figura 5.1 – Esquema da bancada utilizada.
As Figuras 5.2a e 5.2b representam amostras de aço inox AISI 304 utilizadas nos
experimentos. Para o experimento unidimensional as dimensões foram de 49,9 x 49,9 x 10,9
mm, e para o experimento tridimensional as dimensões foram de 100,0 x 60,0 x 9,5 mm. As
espessuras das amostras variam um pouco devido ao processo de usinagem a que foram
submetidas, cujo objetivo foi de garantir uma superfície mais uniforme, a fim de melhorar o
contato e, por conseqüência, diminuir a resistência térmica.
(a)
(b)
Figura 5.2 – Dimensões das amostras de aço inox AISI 304: (a) experimento unidimensional;
(b) experimento tridimensional.
Amostras Isoladas
Fonte de alimentação
V I
Multímetros
Aquisição de Dados
Micro Computador
49,9 mm
10,9
mm
100,0 mm
9,5
mm
54
O aquecedor resistivo de kapton, apresentado pelas Figuras 5.3a e 5.3b, possui uma
resistência de 15 Ω, com dimensões de 50,0 x 50,0 x 0,2 mm. Este aquecedor foi escolhido
devido à sua pequena espessura, permitindo o aquecimento total com maior rapidez de forma
uniforme por toda sua superfície (Omega, 2000).
(a) (b)
Figura 5.3 – Aquecedor Resistivo: (a) vista superior; (b) vista inferior.
Este aquecedor é conectado a uma fonte de alimentação digital Instrutemp ST 305D-II,
mostrada na Figura 5.4, para fornecer o fluxo de calor necessário. O diferencial desta fonte
está no fato dela proporcionar três tipos de ajustes: independente, série e paralelo. Esta
característica permite utilizar diferentes intensidades de fluxo de calor através da escolha
correta do ajuste das resistências. Neste trabalho foi utilizada apenas uma intensidade de fluxo
de calor.
Figura 5.4 – Fonte de corrente contínua Instrutemp.
55
Para minimizar os erros na medição do fluxo de calor utilizou-se uma montagem
simétrica das amostras de aço inox, isto é, o aquecedor resistivo foi posicionado entre duas
amostras. Dessa forma é necessário apenas isolar um lado da amostra, reduzindo o efeito de
dissipação do fluxo de calor causado pelo isolamento. Além disso, os valores de corrente e
tensão aplicados foram medidos pelos multímetros Instrutherm MD-380 e Minipa ET-2042C,
previamente calibrados, que podem ser visualizados nas Figuras 5.5a e 5.5b.
(a) (b)
Figura 5.5 – Multímetros: (a) Instrutherm; (b) Minipa.
Devido ao fato do contato entre o aquecedor resistivo e a amostra não ser perfeito
utilizou-se a pasta térmica de prata Arctic Silver 5, Figura 5.6, para eliminar os interstícios de
ar presentes na montagem. A vantagem de utilizar esta pasta refere-se à sua alta condutividade
térmica, devido à presença de partículas de prata em sua composição (Rimington et al., 2004).
Além disso, foram utilizados pesos acima da montagem para melhorar o contato entre os
componentes, tomando o devido cuidado para que estes pesos não deformassem a camada de
isolamento do experimento e assim influenciando de forma negativa o experimento.
Figura 5.6 – Pasta Térmica Arctic Silver 5.
56
Para ajudar a garantir um fluxo de calor uniforme e eliminar grande parte da convecção
causada pelo ar circulando no ambiente, isolou-se a montagem com placas de isopor de 50
mm de espessura. As temperaturas foram medidas através de termopares (Cromel/Alumel -
30AWG) soldados por descarga capacitiva, Figura 5.7. Estes termopares foram calibrados
usando um banho calibrador de temperatura Marconi MA 184, Figura 5.8, com uma resolução
de ± 0,01 K. Estes termopares foram conectados à aquisição de dados Agilent 34980A
controlada por um micro computador, como mostra a Figura 5.9. Visando obter melhores
resultados, todos os experimentos foram realizados com a temperatura da sala controlada.
Figura 5.7 – Descarga Capacitiva utilizada para soldar os termopares.
Figura 5.8 – Banho Termostático Marconi.
57
Figura 5.9 – Aquisição de Dados Agilent e Micro Computador.
5.3 DETALHAMENTO DA MONTAGEM DA AMOSTRA
Nas Figuras 5.10 a 5.13 é mostrado como as amostras foram montadas para a realização
do experimento.
As Figuras 5.10a e 5.10b apresentam em vista superior como foram montados os
aquecedores resistivos junto às amostras de aço inox e suas respectivas posições. Para a
Figura 5.10a, o aquecimento uniforme de toda a superfície e a pequena dimensão da amostra
no eixo z garantem um comportamento unidimensional do fluxo de calor. Observa-se que o
aquecedor resistivo na montagem tridimensional não cobre toda a extensão das amostras,
dessa forma a hipótese de aproximação unidimensional não pode ser adotada, tornando o
experimento tridimensional (Figura 5.10b).
(a)
x
y
Região de Aquecimento
49,9 mm
49,9 mm
58
(b)
Figura 5.10 – Esquema da montagem (corte vista superior): (a) experimento unidimensional;
(b) experimento tridimensional.
Nas Figuras 5.11a e 5.11b é mostrado de maneira esquemática como o experimento foi
montado. Para maior clareza das figuras não foi mostrado o isolamento nas laterais da figura.
(a) (b)
Figura 5.11 – Esquema da montagem (corte vista lateral): (a) experimento unidimensional; (b)
experimento tridimensional.
Nas Figuras 5.12a e 5.12b é mostrado a vista frontal da montagem do experimento. Para
estas figuras também não foi mostrado o isolamento nas laterais da figura.
100 mm
60 mm
50 mm
50 mm
Aquecedor
ResistivoIsolamento
y
x
zy
Isopor
Isopor
Amostra
AmostraAquecedor
Isopor
Isopor
Amostra
Amostra
IsolamentoAquecedor
z y
59
(a) (b)
Figura 5.12 – Esquema da montagem (corte vista frontal): (a) experimento unidimensional;
(b) experimento tridimensional.
As posições dos termopares podem ser vistas pelas Figuras 5.13a e 5.13b. Optou-se por
utilizar apenas um termopar no experimento unidimensional, Figura 5.13a, em vista de que
toda a superfície oposta ao aquecedor tem a mesma temperatura. Para o caso tridimensional
foram utilizados dois termopares, pois a distribuição de temperatura ao longo da superfície z =
0 ocorre de maneira não uniforme fora da região de aquecimento, e também porque o
aumento do número de termopares tornaria a montagem experimental difícil de ser
manuseada.
(a)
zx
Isopor
Isopor
Amostra
AmostraAquecedor
Isopor
Isopor
Amostra
Amostra
IsolamentoAquecedor
zx
Termopar (25,0 mm; 25,0 mm ;10,9 mm)
x
yz
60
(b)
Figura 5.13 – Posição do termopar na amostra: (a) experimento unidimensional; (b)
experimento tridimensional.
No Capítulo 6 serão apresentados os resultados da estimação de fluxo de calor, onde a
metodologia apresentada no Capítulo 4 será empregada usando sinais de temperatura
experimentais obtidos das duas montagens experimentais apresentadas neste capítulo. Para os
fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS, será aplicado um filtro
numérico com o propósito de reduzir as oscilações provocadas pela presença de ruídos no
sinal de temperatura experimental.
Termopar 1 (55,0 mm; 6,0 mm; 0,0 mm)
Termopar 2 (25,0 mm; 25,0 mm; 9,5 mm)
x
yz
Capítulo 6
ANÁLISE DE RESULTADOS
6.1 INTRODUÇÃO
Neste Capítulo são apresentados os resultados da estimação do fluxo de calor a partir de
dados experimentais usando as técnicas de problemas inversos apresentadas no Capítulo 3.
Objetiva-se avaliar o comportamento destas técnicas e validar as metodologias propostas em
dados experimentais. Para isso, dois experimentos distintos foram realizados em laboratório.
No primeiro experimento, toda a superfície superior de uma amostra metálica de aço AISI 304
foi aquecida uniformemente e as demais superfícies foram isoladas. Além do mais as
dimensões laterais são bem maiores que a espessura da amostra. Assim, a condição de
unidimensionalidade do modelo térmico foi garantida. No segundo experimento, também uma
amostra de aço AISI 304 com dimensões diferentes da primeira foi aquecida em parte de sua
superfície superior e todas as outras superfícies foram isoladas, caracterizando a condição de
experimento tridimensional. Os cálculos referentes à teste de malha, estimação do fluxo de
calor utilizando as técnicas de problemas inversos propostas e à distribuição temporal de
temperatura foram realizados em uma máquina equipada com processador Intel CoreTM 2
Quad, modelo Q6600 com 2,4 GHz de velocidade de processamento, e 3,7 GBytes de
memória RAM.
62
6.2 MODELO TÉRMICO 1D
Para este modelo as Equações 3.1 a 3.7 foram usadas para obter a solução de
temperatura em um problema com condições de contorno de fluxo prescrito e uniforme em
toda a superfície superior da amostra e isolamento nas superfícies restantes. Como o modelo
térmico é unidimensional, não há necessidade de um refinamento de malha nas direções x e y,
pois essas direções não contribuirão para uma melhor representação do fenômeno térmico
ocorrido. Depois de testes de refinamento de malha, verificou-se que uma malha uniforme
regular de 5 elementos no eixo x, 5 elementos no eixo y e 15 elementos no eixo z era
suficiente para garantir bons resultados de representabilidade do fenômeno de condução
térmica.
Com a amostra de aço inox AISI 304, descrita no Capítulo 5, que possui as dimensões
de 49,9 x 49,9 x 10,9 mm. A fim de garantir valores médios confiáveis de temperatura
experimental, foram realizados 30 experimentos (Holman, 2001), onde em cada experimento
houve uma coleta de 2500 pontos de temperatura obtidos pelo sistema de aquisição de dados.
O fluxo de calor empregado em cada experimento foi da ordem de 2100 W/m², com um
tempo de aquecimento de 140 s. O intervalo de tempo entre as tomadas de temperatura foi de
0,1 s. Estas condições experimentais foram usadas para garantir a hipótese de propriedades
termofísicas constantes. Os valores de condutividade térmica 14,61 W/m.K e da difusividade
térmica 3,74 x 10-6 m²/s foram obtidos de Carollo (2010). Para uma melhor compreensão, o
fluxo de calor experimental utilizado é apresentado na Figura 6.1a, e a temperatura
experimental é mostrada na Figura 6.1b.
(a) (b)
Figura 6.1 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperatura experimental.
63
A comparação entre os fluxos estimados pelas técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com o fluxo experimental é mostrada na Figura 6.2. Observa-se
nesta figura uma boa concordância de comportamento entre as curvas, a diferença de valores
entre as curvas de fluxo de calor estimado e experimental pode ser por causa dos valores das
propriedades termofísicas e ao fato do isolamento empregado no experimento não ser perfeito.
Figura 6.2 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado pelas técnicas Função
Especificada e Regularização de Tikhonov.
Para a estimação do fluxo de calor, a técnica Função Especificada foi utilizada com o
parâmetro de tempos futuros, r, igual a 125 e os fluxos dos tempos futuros representados de
forma constante, conforme descrito no Item 3.4.5 do Capítulo 3. Para a técnica Regularização
de Tikhonov foram utilizados a matriz H do tipo segunda ordem e o parâmetro de
regularização, pr, igual a 1 x 10-2. Uma discussão sobre como estes parâmetros foram
escolhidos é apresentado no trabalho de Beck et al. (1985).
Com os valores de fluxo de calor estimados, calculou-se a distribuição temporal de
temperatura para a posição do termopar mostrada no Item 5.3 do Capítulo 5. A Figura 6.3
mostra uma comparação das temperaturas calculadas com a experimental. Observa-se que as
temperaturas apresentaram ótima concordância de valores.
64
Figura 6.3 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com a temperatura experimental.
Para mostrar o quanto as temperaturas calculadas a partir dos fluxos estimados
divergiram da temperatura experimental foram calculados os resíduos de temperatura. Estes
resíduos são calculados com base na diferença entre as temperaturas calculada e experimental
ponto a ponto, sendo esta diferença dividida pela temperatura Experimental correspondente,
cujos valores são mostrados na Figura 6.4. Observa-se que os valores estão no intervalo de ±
0,6 %, o que caracteriza uma boa concordância das temperaturas calculadas com a
temperatura experimental, que conseqüentemente conclui-se que os fluxos de calor estimados
representam o fluxo de calor real imposto às amostras. O fluxo de calor experimental adotado
neste trabalho representa os instantes de tempo quando a fonte de alimentação de tensão
contínua é ligada, e o máximo valor do fluxo de calor experimental representa a potência
máxima entregue pela fonte aos aquecedores resistivos.
Figura 6.4 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov.
65
Conforme demonstrado no Capítulo 4, o fluxo estimado pelas técnicas Brent, Seção
Áurea, DFP e BFGS possui grandes variações de valores, isto devido à solução ponto a ponto
em que estas técnicas operam. Estas oscilações flutuam em torno de um valor principal,
comportamento este presente em todos os fluxos estimados por estas técnicas. Foi utilizado o
software Tecplot para remover estas oscilações do fluxo de calor estimado. O comando
utilizado foi o Smooth, este comando possui as seguintes opções:
Zone – Especifica em qual conjunto de valores será realizada a filtragem;
Variable – Especifica qual variável dependente deverá ser filtrada;
Number of Passes – O número de passes que o filtro irá realizar na variável dependente
escolhida, quanto maior o número de passes, maior será a remoção de ruídos do sinal;
Coefficient – Especifica o fator de relaxação de cada passe do filtro. Este número deve ficar
entre 0 e 1, próximo de 1 significa uma remoção agressiva de ruído por passe, próximo de 0
significa uma remoção branda de ruído por passe;
Boundary – Especifica a condição de fronteira no processo de filtragem, a opção Fixed diz ao
comando que os pontos na fronteira não terão os valores modificados, a opção First Order diz
que os pontos na fronteira terão seus valores filtrados assumindo que a primeira derivada seja
constante, a opção Second Order diz que os pontos na fronteira terão seus valores filtrados
assumindo que a segunda derivada seja constante.
A Figura 6.5 mostra a janela do comando Smooth onde as opções acima descritas
podem ser alteradas.
Figura 6.5 – Janela do Comando Smooth.
66
Depois de muitos testes, verificou-se que a melhor opção para reduzir os ruídos
presentes no fluxo de calor estimado pelas técnicas Brent, Seção Áurea, DFP e BFGS foi ter
Number of Passes igual a 20, Coefficient igual a 0,5 e Boundary igual Fixed.
Os fluxos estimados para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são
apresentados nas Figuras 6.6a e 6.6b.
(a) (b)
Figura 6.6 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado para as técnicas: (a)
Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
As temperaturas calculadas com os fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent,
DFP e BFGS são apresentadas nas Figuras 6.7a e 6.7b. Observa-se que as temperaturas
apresentaram ótima concordância de valores.
(a) (b)
Figura 6.7 – Comparação da temperatura Experimental com as temperaturas calculadas para
as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
67
As Figuras 6.8a e 6.8b mostram como foi o comportamento dos resíduos de temperatura
para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. A forma de como estes resíduos de
temperatura foram calculados é a mesma empregada para os resíduos de temperatura das
técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov. Como os resíduos de temperatura
ficaram no intervalo de ± 0,002 %, o fluxo de calor estimado por estas técnicas representa
muito bem o fluxo de calor real imposto às amostras de aço inox.
(a) (b)
Figura 6.8 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS.
Analisando os resultados observa-se que todas as técnicas se mostraram eficientes para
a estimação do fluxo de calor real e para a estimação de temperatura. Este mesmo
comportamento foi apresentado para os outros 29 experimentos restantes. As técnicas Seção
Áurea, Brent, BFGS e DFP foram as que obtiveram melhores resultados para obtenção da
temperatura. Observa-se na Tabela 6.1 que para o problema unidimensional estas técnicas
tiveram um tempo de processamento menor quando comparadas às técnicas Função
Especificada e Regularização de Tikhonov, mesmo tendo que calcular todos os pontos de toda
malha nodal uniforme a cada tentativa de mínimo. Esta diferença no tempo de processamento
se deve ao fato que o número de nós usados é pequeno, uma vez que o maior refinamento da
malha encontra-se na espessura que é menor que as outras dimensões. O fato de recalcular
todos os pontos nodais a cada tentativa de mínimo torna a estimação da temperatura mais
precisa, o que pode ser visto pelos resíduos de temperatura apresentados. As técnicas Seção
Áurea e Brent obtiveram resíduos de temperatura inferiores a 0,002 %, mas para as técnicas
DFP e BFGS os resíduos foram inferiores a 1 x 10-8 %. Para as técnicas Função Especificada
68
e Regularização de Tikhonov é necessário que se calcule anteriormente os coeficientes de
sensibilidade, conforme descrito no Capítulo 3. Os tempos de processamento apresentados na
Tabela 6.1 para as técnicas Regularização de Tikhonov e Função Especificada levam em
conta apenas o tempo gasto para estimar os fluxos de calor, não sendo contabilizado o tempo
gasto no cálculo dos coeficientes de sensibilidade.
Tabela 6.1 – Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação.
Técnica Inversa Tempo Gasto (s)
Brent 0,01
Seção Áurea 0,05
BFGS 0,58
DFP 0,59
Função Especificada (r = 125) 0,64
Regularização de Tikhonov (pr = 1,0 x 10-2) 37,46
6.3 MODELO TÉRMICO 3D
Para os cálculos numéricos tridimensionais foi escolhida uma malha uniforme regular
de 101 elementos no eixo x, 61 elementos no eixo y e 71 elementos no eixo z, conforme
descrito no Capítulo 3. A amostra de aço inox AISI 304 possui as dimensões de 100,0 x 60,0
x 9,5 mm. As dimensões e posições dos aquecedores resistivos são detalhadas no Capítulo 5.
A fim de garantir valores médios confiáveis de temperatura experimental, foram realizados 43
experimentos (Holman, 2001). Cada experimento teve a duração de 250 s, sendo o fluxo nulo
(fonte de alimentação de tensão contínua desligada) nos primeiros 30 s, seguidos de 70 s com
fluxo da ordem de 4000 W/m² (fonte ligada), e os últimos 150 segundos com fluxo nulo. O
intervalo de tempo entre as tomadas de temperatura foram de 0,2 s, totalizando 1250 pontos
de temperatura. As propriedades termofísicas foram consideradas as mesmas do experimento
unidimensional, isto é, condutividade térmica igual a 14,61 W/m.K e difusividade térmica de
3,74 x 10-6 m²/s (Carollo, 2010). Os valores adotados para o fluxo de calor e para o tempo de
aquecimento garantem uma diferença de temperatura inferior a 7 °C, cujo objetivo é manter a
condição de propriedades térmicas constantes.
69
Para os experimentos tridimensionais foram usados dois termopares, um colocado na
posição x = 25,0 mm, y = 25,0 mm e z = 9,5 mm, e o outro na posição x = 55,0 mm, y = 6,0
mm e z = 0,0 mm, uma descrição do posicionamento destes termopares é mostrada em
detalhes no Capítulo 5. Como o aquecedor resistivo não cobre toda a superfície, a distribuição
de temperatura pela amostra se dá de forma não uniforme. Com o uso de mais de um termopar
é possível coletar dados de temperatura de diferentes regiões da amostra, trazendo mais
informações de como a difusão de calor se dá sobre o experimento. Escolheu-se utilizar dois
termopares, pois o aumento no número de termopares tornaria o isolamento do experimento
uma tarefa complexa.
Para uma melhor compreensão, o fluxo de calor experimental utilizado é apresentado na
Figura 6.9a, e as temperaturas experimentais adquiridas pelos termopares são mostradas na
Figura 6.9b.
(a) (b)
Figura 6.9 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperaturas experimentais.
Na Figura 6.10 são comparados os fluxos de calor estimados pelas técnicas Função
Especificada e Regularização de Tikhonov com o fluxo experimental. Conforme descrito no
Capítulo 3, a técnica Função Especificada foi implementada para vários sensores de
temperatura. Com este tipo de técnica é possível estimar o fluxo de calor imposto às amostras
coletando informações de diferentes posições, sendo assim, é feita uma média, ao invés de
estimar o fluxo de calor de apenas um único ponto de medição. Neste trabalho, só a técnica
Função Especificada foi utilizada com vários sensores de temperatura, as demais técnicas
utilizaram apenas um sensor para estimar o fluxo de calor. Observa-se que o fluxo de calor
70
estimado pela técnica Função Especificada é um fluxo médio entre os fluxos de calor
estimados pela técnica Regularização de Tikhonov.
Figura 6.10 – Comparação do fluxo Experimental com o fluxo estimado pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov.
Para a estimação do fluxo de calor, a técnica Função Especificada foi utilizada com o
parâmetro de tempos futuros, r, igual a 75 e os fluxos dos tempos futuros representados de
forma constante, conforme descrito no Item 3.4.5 do Capítulo 3. Para a técnica Regularização
de Tikhonov foram utilizados a matriz H do tipo segunda ordem e o parâmetro de
regularização, pr, igual a 1,2 x 10-2. Uma discussão sobre como estes parâmetros foram
escolhidos é apresentada no trabalho de Beck et al. (1985).
Com os valores de fluxo de calor estimados, calculou-se a distribuição de temperatura
para a posição do termopar referente. No caso do fluxo de calor estimado pela técnica função
Especificada, o mesmo fluxo de calor estimado foi empregado no cálculo da distribuição de
temperatura para as duas posições de termopares. A Figura 6.11 mostra uma comparação das
temperaturas calculadas, para as posições especificadas, com as temperaturas adquiridas pelos
termopares. Observa-se que as temperaturas apresentaram uma concordância de valores.
71
Figura 6.11 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov com a temperatura Experimental.
Para mostrar o quanto as temperaturas calculadas a partir dos fluxos estimados
divergiram da temperatura de referência foram calculados os resíduos de temperatura para
este caso também (Figura 6.12). Observa-se que os resíduos de temperatura ficaram dentro de
um intervalo de ± 1,5 %, o que caracteriza uma boa concordância dos fluxos estimados com o
fluxo real imposto às amostras de aço inox.
Figura 6.12 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov.
Os fluxos estimados para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são
apresentados nas Figuras 6.13a e 6.13b. Assim como aconteceu no caso unidimensional, foi
usado o mesmo procedimento empregado para reduzir as oscilações dos fluxos de calor
estimado por estas técnicas.
72
(a) (b)
Figura 6.13 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado para as técnicas: (a)
Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
Nas Figuras 6.14a e 6.14b são apresentadas as comparações das temperaturas calculadas
com os fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS com as
temperaturas experimentais. Observa-se uma boa concordância dos valores de temperatura.
(a) (b)
Figura 6.14 – Comparação da temperatura Experimental com as temperaturas calculadas para
as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.
As Figuras 6.15a e 6.15b mostram como foi o comportamento dos resíduos de
temperatura para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. Como os valores dos resíduos
de temperatura ficaram dentro do intervalo de ± 0,001 %, os fluxos de calor estimados por
73
estas técnicas têm boa concordância com o fluxo de calor real impostos sobre as amostras de
aço inox.
(a) (b)
Figura 6.15 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e
Brent; (b) DFP e BFGS.
Analisando os resultados observa-se que todas as técnicas se mostraram eficientes para
estimação do fluxo de calor e da temperatura. O mesmo comportamento foi obtido para os
outros 42 experimentos restantes. As técnicas de otimização Seção Áurea, Brent, BFGS e
DFP obtiveram melhores resultados para obtenção da temperatura, entretanto, observa-se na
Tabela 6.2 que estas técnicas de otimização têm um alto tempo de processamento quando
comparadas às técnicas Função Especificada e Regularização Tikhonov. Esta diferença no
tempo de processamento se deve ao fato que as técnicas Função Especificada e Regularização
de Tikhonov necessitam resolver apenas uma vez as Equações 3.1 a 3.7, para o cálculo dos
coeficientes de sensibilidade, de forma numérica, cuja discretização espacial, no caso
tridimensional, gera muito pontos nodais e isto demanda muito tempo de processamento para
que se calculem todos estes pontos. Para as técnicas de otimização, a cada tentativa de
mínimo pontual da função objetivo, é preciso recalcular toda a malha nodal, aumentando o
tempo de processamento requerido. O fato de recalcular todos os pontos nodais a cada
tentativa de mínimo, apesar de aumentar o tempo de processamento, torna a estimação da
temperatura mais precisa, o que pode ser visto pelos resíduos de temperatura apresentados. As
técnicas Seção Áurea e Brent obtiveram resíduos de temperatura no intervalo de ± 0,001 %,
mas para as técnicas DFP e BFGS os resíduos ficaram no intervalo de ± 1,0 x 10-8 %. O
tempo mostrado na Tabela 6.2 para as técnicas Função Especificada e Regularização de
74
Tikhonov é a soma do tempo gasto no cálculo dos coeficientes de sensibilidade e do tempo
gasto na estimação dos fluxos de calor.
Tabela 6.2 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação.
Técnica Inversa Tempo Gasto (s)
Função Especificada (r = 75) 16083
Regularização de Tikhonov (pr = 1,2 x 10-2) 16086
Brent 107500
Seção Áurea 128800
DFP 345600
BFGS 432000
Neste trabalho não foram empregados fluxímetros para medir diretamente o fluxo de
calor entregue pelos aquecedores resistivos. O uso destes fluxímetros implicaria em mais
resistência térmica de contato entre as amostras e tornaria o isolamento comprometido nos
experimentos, pois o próprio fluxímetro se comportaria como um ponto de dissipação de
calor, funcionando com uma aleta.
No Capítulo 7 serão apresentadas as conclusões deste trabalho e sugestões para
trabalhos futuros.
Capítulo 7
CONCLUSÕES
No presente trabalho foi desenvolvido um código computacional, em linguagem C com
algumas ferramentas implementadas em Java e Matlab, para o estudo da transferência de calor
por condução, utilizando algumas técnicas de problemas inversos. Os resultados foram
apresentados na forma de fluxo de calor e perfis de temperatura, para cada técnica estudada.
Com a metodologia proposta obteve-se boa representatividade do fluxo de calor estimado
pelas técnicas de problemas inversos quando comparado com o fluxo experimental, tanto para
os experimentos unidimensionais quanto para os tridimensionais.
Para o caso unidimensional, os fluxos estimados pelas técnicas Função Especificada e
Regularização de Tikhonov obtiveram um comportamento semelhante ao do fluxo
experimental. A diferença entre as curvas pode ser devido ao isolamento utilizado na
montagem experimental, diferente do tipo de isolamento com o qual o modelo matemático foi
proposto. Mesmo com esta dificuldade em garantir um perfeito isolamento, as temperaturas
calculadas com estes fluxos estimados apresentaram boa concordância de valores com as
temperaturas experimentais, fato esse comprovado pelo baixo valor de resíduos de
temperatura, que ficou entre ± 0,6 %.
Para as técnicas Brent, Seção Áurea, DFP e BFGS foi necessário empregar um filtro
para eliminar as presentes oscilações no fluxo de calor estimado por estas técnicas. A
aplicação deste filtro foi simples e sua capacidade de eliminar oscilações no sinal de fluxo de
76
calor foi satisfatória. Ressalta-se que estas oscilações inviabilizariam qualquer análise sobre o
fluxo estimado, pois os valores de pico do fluxo estimado eram muito maiores que o valor
máximo do fluxo de calor experimental. Com a filtragem dos resultados, os fluxos estimados
por estas técnicas obtiveram resultados semelhantes aos fluxos estimados pelas técnicas
Função Especificada e Regularização de Tikhonov. Esta afirmação pode ser comprovada
observando os valores dos resíduos de temperatura que ficaram no intervalo de ± 0,002 %, e
com isso houve uma excelente concordância de valores das temperaturas calculadas com a
temperatura experimental.
Como a malha usada para a solução do modelo térmico unidimensional foi pequena, o
tempo de processamento gasto foi inferior a 1 segundo para todas as técnicas, com exceção da
técnica Regularização de Tikhonov. Esta técnica exige a inversão de matrizes e a tarefa de se
inverter uma matriz quadrada de 2500 por 2500 exigiu um tempo de processamento maior.
Este tempo foi superior a 35 segundos, valor este que não descredencia esta técnica como uma
opção a ser utilizada em estimativas de fluxo de calor para problemas térmicos
unidimensionais.
Diferente do caso unidimensional, onde foi utilizado apenas 1 termopar, no caso
tridimensional foram utilizados dois termopares. O uso de mais de um termopar possibilita
estimar o fluxo de calor tomando como base o comportamento da temperatura em mais de um
ponto. Isto traz benefícios nos resultados finais, pois o fluxo de calor é estimado em uma
maior região do que em um único ponto. Neste presente trabalho apenas a técnica Função
Especificada estimou um fluxo de calor usando os dois sinais de temperatura experimental
disponíveis.
Os fluxos estimados pelas técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov
obtiveram um comportamento semelhante ao da curva do fluxo experimental para o
experimento tridimensional. Entretanto, ocorreu uma maior diferença entre os valores
máximos dos fluxos estimados em relação ao experimental. Este fato é devido à maior
dificuldade em se obter um perfeito isolamento no caso tridimensional. Esta dificuldade em
garantir o isolamento também é diferente nas posições escolhidas para os termopares.
Observou-se que o fluxo estimado para o termopar 1 é diferente que o fluxo estimado a partir
do termopar 2, usando a técnica Regularização de Tikhonov como estimador para os fluxos de
calor.
77
As temperaturas calculadas usando o único fluxo de calor estimado pela técnica Função
Especificada divergiram ligeiramente das temperaturas experimentais. Novamente pode ser
devido à dificuldade de isolamento nos pontos escolhidos. As temperaturas calculadas a partir
dos fluxos estimados pela técnica Regularização de Tikhonov obtiveram uma melhor
concordância de valores. Mesmo com essa divergência na temperatura calculada, os resíduos
de temperatura mostraram valores no intervalo de ± 1,5 %.
Assim como foi feito para o caso unidimensional, foi utilizado um filtro para eliminar as
oscilações presentes nos fluxos estimados pelas técnicas Brent, Seção Áureas, DFP e BFGS.
Houve certa divergência de valores nas curvas dos fluxos estimados se comparado ao fluxo
experimental. Esta divergência pode ter sido causada devido ao modelo de fronteira escolhido
do comando Smooth, o modelo Fixed. Esta divergência, porém, ocorreu em uma região de
fluxo experimental nulo, dessa forma não houve prejuízos para a análise dos fluxos estimados.
As temperaturas calculadas obtiveram boa concordância com as experimentais, fato que pôde
ser comprovado pelos resíduos de temperatura que ficaram no intervalo de ± 0,001 %.
Quando se analisa o tempo de processamento gasto em todas as técnicas de problemas
inversos para o caso tridimensional, nota-se que o tempo é muito maior que o tempo gasto no
caso unidimensional. Este aumento é devido à malha utilizada para o caso tridimensional na
solução do problema térmico de difusão do calor. Esta malha é cerca de mil e cem vezes
maior do que a malha unidimensional. Outro fato que deve ser mencionado é a diferença no
tempo de processamento gasto nas técnicas Função Especificada e Regularização de
Tikhonov com as demais técnicas. Esta diferença reside no fato que nas demais técnicas é
preciso calcular todos os pontos de temperatura da malha para cada tentativa de se minimizar
a função objetivo, o que não acontece com as técnicas Função Especificada e Regularização
de Tikhonov. Para estas técnicas é necessário calcular apenas uma vez os coeficientes de
sensibilidade, o cálculo da estimativa dos fluxos de calor é feito por procedimento seqüencial
no caso da Função Especificada e por manipulação de matrizes no caso da Regularização de
Tikhonov. Estes procedimentos necessitam de menor poder de processamento do que o
cálculo de todos os pontos de temperatura da malha a cada tentativa de mínimo, que é exigido
pelas demais técnicas.
Conclui-se, portanto, que o objetivo de investigação das técnicas de problemas inversos
para estimação do fluxo de calor foi alcançado. Pois tanto para os experimentos
tridimensionais quanto para os unidimensionais, os fluxos estimados se aproximaram do
78
experimental. Os resíduos de temperatura permaneceram no intervalo de ± 1,5 %, valores
estes considerados pequenos visto que o modelo matemático proposto exige um isolamento
perfeito. Na pratica é muito difícil de se conseguir um perfeito isolamento, como foi
demonstrado tanto para o caso unidimensional como para o caso tridimensional.
7.1 PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS
Para a continuação deste trabalho objetiva-se usar as técnicas de problemas inversos
para estimação do aporte de calor em um processo de soldagem TIG ou MIG pulsado.
Outra proposta para continuidade deste trabalho é implementar o cálculo da
sensibilidade no método da função especificada de forma analítica, para o problema térmico
tridimensional. Com o uso desta metodologia baseada em funções de Green será possível
levar em consideração os efeitos do coeficiente de transferência de convecção. A obtenção da
solução de temperatura analítica para o caso tridimensional vai reduzir o tempo de
processamento, uma vez que a temperatura só será calculada para o ponto desejado e não para
todos os pontos da malha como é feito para o método numérico.
Outra sugestão para a continuidade deste trabalho é implementar uma regularização
para as técnicas de problemas inversos que fazem a estimação do fluxo de calor ponto a ponto
no tempo. Assim, será feita uma correção para as oscilações apresentadas.
Por fim novas técnicas de problemas inversos serão investigadas como, por exemplo, o
uso conjunto de problemas inversos com o método do Gradiente Conjugado, visando
aprimorar ainda mais a estimativa do fluxo de calor.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Apêndice A
VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL IGNIS
Neste apêndice é apresentada a validação do código computacional desenvolvido. Foi
escolhido para validação o problema particular onde o fluxo de calor Φ1(t) é imposto em toda
a superfície superior da amostra, como mostrado na Figura A.1. Esta validação é realizada
através da comparação da solução obtida resolvendo o modelo numericamente, utilizando o
método das diferenças finitas para a discretização do espaço e formulação implícita para a
discretização do tempo, com a solução obtida de forma analítica usando as Funções de Green.
Figura A.1 – Esquema do problema térmico simulado.
A equação da difusão de calor que descreve o problema apresentado na Figura A.1 pode
ser escrita como sendo:
t
tzyxT
z
tzyxT
y
tzyxT
x
tzyxT
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ),,,(1),,,(),,,(),,,(
2
2
2
2
2
2
α (A.1)
A região 0,0,0:),,( 3 czbyaxzyxU ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= é sujeita à condição inicial:
x
yz
a
b
c
Φ1(t)
U
85
)(),0,,(
1 tΦz
tyxT =∂
∂− λ (A.2)
0),,,( =
∂∂
z
tcyxT (A.3)
0),,,(),,,0( =
∂∂=
∂∂
x
tzyaT
x
tzyT (A.4)
0),,,(),,0,( =
∂∂=
∂∂
y
tzbxT
y
tzxT (A.5)
e à condição inicial:
0)0,,,( TzyxT = (A.6)
sendo x, y, e z as coordenadas cartesianas, t o tempo, Φ1(t) o fluxo de calor imposto, T0 a
temperatura inicial do corpo, λ é a condutividade térmica, α é a difusividade térmica e a, b e c
as dimensões da amostra.
A Equação A.1, discretizada, como demonstrado no Capítulo 3, pode ser escrita por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
,,,,222
21,,
21,,
2,,1
2,,1
2,1,
2,1,
222 −
+−+−−+
∆−=
∆+
∆+
∆+
∆−
+∆
+∆
+∆
+∆
+∆
+∆
pkji
ppkji
p
pkji
pkji
pkji
pkji
pkji
pkji
Tt
cT
t
c
zyx
z
T
z
T
x
T
x
T
y
T
y
T
λρ
λρ
(A.7)
As Equações A.1 a A.6 modelam o problema onde um aquecimento uniforme é aplicado
em toda superfície z = 0. A amostra escolhida tem as dimensões em x e y cerca de 5 vezes
maiores que a dimensão em z. Dessa forma, o fluxo de calor e como conseqüência a
distribuição de temperatura têm comportamento unidimensional. Portanto, foi possível
comparar a solução numérica com a solução analítica conhecida, utilizando Funções de Green
(Özisik, 1993). Esta solução analítica pode ser representada pela distribuição de temperatura
escrita como:
( ) ( )∑ ∫∫∞
=
−−−++==1 0
1
0
10
2
)1(2
)(),(),,,(k
ttk
t
dΦec
dΦc
TtcTtcyxT k ττλαττ
λα ταβ (A.8)
86
onde kβ são os autovalores definidos por ck
kπβ = , com k = 1, 2, ..., ∞.
Como neste caso o fluxo de calor aplicado é constante, pode-se retirar o termo 1Φ de
dentro da integral. Desta forma, tem-se:
( )∑ ∫∫∞
=
−−−++=1 0
1
0
10
2
)1(2
),(k
ttk
t
dec
Φd
c
ΦTtcT k τ
λατ
λα ταβ (A.9)
Realizando as devidas operações matemáticas, obtém-se a solução para o problema
térmico proposto:
∑∞
=
−
−−++=
122
110
2
22
1)1(2
),(k
c
tkk
ek
cΦ
c
tΦTtcT
απ
λπλα
(A.10)
onde k = 1, 2, ..., ∞.
Para a solução numérica utilizou-se uma malha uniforme regular de 5 elementos no eixo
x, 5 elementos no eixo y e 15 elementos no eixo z, escolhida após a realização dos testes de
refinamento da malha. O domínio de cálculo possui as dimensões de 49,9 x 49,9 x 10,9 mm,
onde foram obtidos 1250 pontos de temperatura. Nos primeiros 30 segundos não houve
aquecimento. O fluxo de calor empregado foi da ordem de 2100 W/m², com um tempo de
aquecimento de 140 s. Nos 80 segundos finais também não houve aquecimento. O intervalo
de tempo entre as tomadas de temperatura foi de 0,2 s. Os valores de condutividade térmica
14,61 W/m.K e da difusividade térmica 3,74 x 10-6 m²/s foram obtidos de Carollo (2010), que
são referentes ao Aço Inox AISI 304. Para comparação com a solução analítica foi
considerado apenas o tempo de aquecimento.
A seguir encontram-se os resultados entre as temperaturas obtidas numericamente e
analiticamente. As Figuras A.2 e A.3 mostram respectivamente a distribuição e o resíduo de
temperatura para o Aço Inox AISI 304.
87
Figura A.2 – Comparação entre a temperatura calculada de forma analítica e numérica.
Figura A.3 – Resíduos entre as temperaturas numéricas e analíticas.
Como mostrado pela Figura A.2, as curvas de temperaturas se sobrepõem ao longo de
todo o tempo de aquecimento, que foi de 140 s. Os Resíduos de temperatura, apresentados
pela Figura A.3, foram inferiores a 0,09%, caracterizando uma boa concordância da
temperatura analítica com a temperatura numérica. Assim, dessa forma pode-se concluir que o
software Ignis resolve com acurácia a equação da difusão de calor tridimensional, fornecendo
resultados numéricos de temperatura que representam realisticamente a física do problema
estudado.
Apêndice B
O SOFTWARE IGNIS
B.1 INTRODUÇÃO
Embora existam muitos códigos comerciais voltados à solução de problemas em
transferência de calor, estes são em grande parte voltados a casos específicos, geralmente
possuem um código fechado, sem acesso, além do alto custo de aquisição envolvido. Com
base nestes fatos e também considerando todo o aprendizado envolvido no desenvolvimento
de um programa, optou-se durante a realização deste trabalho de mestrado, pela construção de
um código computacional novo denominado Ignis.
O software Ignis foi desenvolvido para o cálculo do fluxo de calor aplicado em amostras
sólidas, utilizando técnicas de problemas inversos.
O nome Ignis, que tem origem no latim, foi escolhido com base no seu significado
“fogo”, com uma analogia à transferência de calor. Este software foi desenvolvido com o
objetivo de operar tanto no sistema operacional Windows como no sistema operacional Linux.
Por ser um software concebido para operar em múltiplos sistemas operacionais, os
recursos de gerenciamento de interface gráfica foram desenvolvidos para operar em ambos os
sistemas operacionais anteriormente citados, mas os recursos de cálculo matemático do
software são específicos para o sistema operacional Windows ou Linux. Para garantir esta
portabilidade de gerenciamento de interface gráfica do código, foi escolhida a linguagem de
89
programação Java (Deitel e Deitel, 2005). Esta linguagem também oferece o recurso de
operação remota, onde o software fica instalado em um servidor e os usuários podem acessá-
lo remotamente via internet, utilizando-se de navegadores. Outra característica da linguagem
Java é de possuir uma sintaxe similar à linguagem C/C++.
O corpo principal do software Ignis que engloba a solução das equações que modelam o
problema de transferência de calor foi desenvolvido em C/C++ com o objetivo de otimizar o
desempenho do programa. Alem disto, foram utilizadas as bibliotecas matemáticas GNU
Scientific Library (Brouwer et al, 2009) e MATLAB C Math Library (Coisson e Allodi, 1997)
no desenvolvimento das técnicas de problemas inversos Função Especificada e Regularização
de Tikhonov. As técnicas Brent e Seção Áurea já se encontravam implementadas na
biblioteca GNU Scientific Library. A biblioteca MATLAB C Math Library trouxe para o
software Ignis recursos de manipulação de possíveis erros ocorridos durante a execução do
programa. Por ser uma biblioteca específica do sistema operacional Windows, foi utilizada a
biblioteca Win32 API (Petzold e Yao, 1997) para uma maior integração do software Ignis
com o sistema operacional Windows, possibilitando um melhor gerenciamento das etapas de
cálculo durante o processo de estimação do fluxo de calor. Para melhorar o desempenho e
reduzir o tempo de processamento, foi também utilizada a biblioteca OpenMP API (Chapman
et al, 2007) para o uso de processamento paralelo em um processador de vários núcleos.
Também foi utilizada a linguagem de programação Fortran em conjunto com a
linguagem C/C++ no desenvolvimento do software Ignis, sem a necessidade de adaptações no
código Fortran (Chivers e Sleightholme, 2008). Assim, dessa forma, foram utilizadas as
técnicas de problemas inversos DFP e BFGS, cuja estrutura já se encontrava disponível no
pacote computacional DOT (Vanderplaats, 2005), como também o método MSIP para solução
de sistemas lineares.
B.2 DESCRIÇÃO DA INTERFACE
Como comentado anteriormente, o software Ignis pode ser operado localmente,
instalado na máquina do usuário ou operado remotamente, sendo o software instalado em um
90
servidor e acessado via internet utilizando-se de navegadores. Nas Figuras B.1a e B.1b são
mostrados os modos de operação descritos anteriormente.
(a) (b)
Figura B.1 – Modos de operação do software Ignis: (a) Local; (b) Remoto.
Nas Figuras B.1a e B.1b também são mostrados exemplos da janela principal do
programa, que é dividida em 3 partes. Na parte superior é apresentada uma pequena descrição
do programa, assim como a data e a hora em que o programa foi iniciado. Abaixo estão duas
abas para a escolha do problema 1D ou 3D, onde são apresentadas as técnicas de problemas
inversos para cada caso. Na parte inferior encontra-se o botão para iniciar o cálculo da
estimação do fluxo e a exibição de mensagens informando a situação do comando executado.
B.2.1 Caso Unidimensional
Para o caso unidimensional, na Figura B.2 são mostradas as técnicas de problemas
inversos Função Especificada, Regularização de Tikhonov, Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS.
Para a técnica Função Especificada é dada a opção para o usuário escolher a técnica usando
um único sensor ou vários sensores de temperatura. Também é mostrada uma caixa onde o
usuário entra com o número de tempo futuros para a estimação do fluxo de calor. Para a
técnica Regularização de Tikhonov é dada para o usuário a opção de escolher entre a ordem
zero, primeira ordem ou segunda ordem e também uma caixa onde o usuário entra com o
91
valor do parâmetro de regularização para a estimação do fluxo de calor. As opções das
técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são dadas abaixo, bastando ao usuário escolher
entre elas para se efetuar a estimação do fluxo de calor.
Figura B.2 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso unidimensional.
Depois de escolhida qual a técnica de Problema Inverso que se utilizará, basta
pressionar o botão Iniciar para que se inicie o processo de estimação do fluxo de calor.
Primeiramente é aberta uma caixa de diálogo onde o arquivo do fluxo de calor experimental
deve ser selecionado, como mostrado na Figura B.3.
Figura B.3 – Caixa de diálogo para a seleçao do arquivo de fluxo experimental.
92
O arquivo do fluxo experimental é um arquivo texto em duas colunas, onde na primeira
coluna são os tempos de amostragem e na segunda coluna são os valores do fluxo de calor. Na
Figura B.4 é mostrado um exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental.
Figura B.4 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental.
Logo após, é mostrada uma caixa de diálogo onde se deve selecionar o arquivo da
temperatura experimental, como mostrado na Figura B.5.
Figura B.5 – Caixa de diálogo para a seleção do arquivo de temperatura experimental.
O arquivo de temperatura experimental é um arquivo texto em duas colunas, onde na
primeira coluna são os tempos de amostragem e na segunda coluna são os valores de
temperatura experimental. Na Figura B.6 é mostrado um exemplo de arquivo de temperatura
experimental.
93
Figura B.6 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental.
Na próxima caixa de diálogo deve-se selecionar o arquivo com as propriedades da
amostra, como mostrado na Figura B.7.
Figura B.7 – Caixa de diálogo para o arquivo de propriedades da amostra.
O arquivo de propriedades da amostra é um arquivo texto composto pela condutividade
térmica na primeira linha e a difusividade térmica na segunda linha. O intervalo de tempo está
na terceira linha, o tamanho da amostra e a posição do termopar em x na quarta linha, o
tamanho da amostra e a posição do termopar em y na quinta linha e o tamanho da amostra e a
posição do termopar em z na sexta linha. Na sétima linha estão os números de nós da malha
nos eixos x, y e z. Na Figura B.8 é mostrado um exemplo de arquivo de propriedades da
amostra.
94
Figura B.8 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental.
Após terminada a estimação dos fluxos de calor, é aberta uma caixa de diálogo
solicitando um nome para o arquivo que salvará os cálculos efetuados (Figura B.9). O arquivo
será gerado no formato *.mat, formato este que poderá ser aberto no Matlab, para cálculos
posteriores e geração de gráficos.
Figura B.9 – Caixa de diálogo onde os cálculos efetuados serão salvos.
No arquivo *.mat gerado é salvo o fluxo de calor experimental, o fluxo de calor
estimado, a temperatura calculada, a temperatura experimental e o tempo físico da simulação.
Na Figura B.10 é mostrado um exemplo de arquivo *.mat gerado com seus respectivos
valores.
95
Figura B.10 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat.
Os resultados deste exemplo simulado são apresentados em 4 gráficos. Nos primeiro
gráfico é apresentado o fluxo de calor estimado juntamente com o fluxo de calor
experimental, com intuito de se fazer uma comparação qualitativa entre ambos. Um exemplo
deste gráfico é mostrado na Figura B.11.
Figura B.11 – Comparação entre o fluxo de calor estimando e o experimental.
No segundo gráfico é apresentada a temperatura calculada juntamente com a
temperatura experimental. Um exemplo do gráfico de temperaturas é mostrado na Figura
B.12.
96
Figura B.12 – Comparação entre a temperatura calculada e temperatura experimental.
No terceiro gráfico é apresentado o resíduo porcentual entre o fluxo de calor estimado e
o fluxo de calor experimental. Um exemplo deste gráfico é apresentado na Figura B.13.
Figura B.13 – Resíduo porcentual entre o fluxo de calor estimado e o fluxo de calor
experimental.
No quarto gráfico é apresentado o resíduo porcentual entre a temperatura calculada e a
temperatura experimental. Um exemplo deste gráfico é apresentado na Figura B.14.
97
Figura B.14 – Resíduo porcentual entre a temperatura calculada e a experimental.
Por fim, no canto inferior esquerdo da tela principal do programa, é fornecido o tempo
gasto de processamento no cálculo da estimação do fluxo de calor, como demonstrado na
Figura B.15.
Figura B.15 – Tempo gasto de processamento.
B.2.2 Caso Tridimensional
Para o caso tridimensional (Figura B.16), são mostradas as opções Função Especificada
e Regularização de Tikhonov, como os mesmos parâmetros de escolha utilizados para o caso
unidimensional.
98
Figura B.16 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso tridimensional.
Para o caso tridimensional são apresentadas as mesmas caixas de diálogos do caso
unidimensional, com o acréscimo de mais uma caixa de diálogo, solicitando os coeficientes de
sensibilidade. Esta caixa de diálogo é mostrada na Figura B.17.
Figura B.17 – Caixa de diálogo para o arquivo dos coeficientes de sensibilidade.
Como demonstrado no Capítulo 3, os coeficientes de sensibilidade são os valores
calculados do modelo térmico tridimensional quando se tem a temperatura inicial igual a 0 ºC
e o fluxo de calor igual a 1 W/m2. Este arquivo é composto por duas colunas. Na primeira
coluna estão os tempos, e na segundo coluna os coeficientes de sensibilidade propriamente
ditos. Um exemplo deste arquivo é demonstrado na Figura B.18.
99
Figura B.18 – Exemplo de arquivo de coeficientes de sensibilidade.
No caso tridimensional não é calculada a temperatura, pois o cálculo da temperatura
demoraria mais de uma hora e o intuito do software Ignis é de ser um software de rápida
visualização do fluxo de calor estimado. Sendo assim, o arquivo *.mat gerado não possui os
valores de temperatura calculados. Um exemplo de arquivo *.mat gerado no caso
tridimensional é mostrado na Figura B.19.
Figura B.19 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat gerado no caso tridimensional.
Como a temperatura não é calculada, são mostrados como resultados 2 gráficos. No
primeiro gráfico é apresentada uma comparação entre o fluxo de calor estimado e o fluxo de
calor experimental, como demonstrado pela Figura B.20.
100
Figura B.20 – Comparação entre o fluxo de calor estimado e experimental para o caso
tridimensional.
No segundo gráfico são apresentados os resíduos porcentuais entre o fluxo de calor
estimado e experimental (Figura B.21).
Figura B.21 – Resíduos porcentuais entre o fluxo de calor estimado e experimental para o
caso tridimensional.