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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE MATEMÁTICA

COMPUTAÇÃO GRÁFICA: UMA APLICAÇÃO NA EDUCAÇÃO E NA ENGENHARIA1

AUTOR: MARLUCIO BARBOSA ORIENTADOR: PROFESSOR DR. CARLOS ANDRÉS REYNA VERA-TUDELA

Seropédica, 2008

1 Este trabalho foi desenvolvido como parte do Programa Primeiros Projetos com o apoio da FAPERJ e do Fundo Setorial de

Infra-Estrutura (CT-INFRA) por intermédio do MCT/CNPq.

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE MATEMÁTICA

COMPUTAÇÃO GRÁFICA: UMA APLICAÇÃO NA EDUCAÇÃO E NA ENGENHARIA

MARLUCIO BARBOSA

Trabalho submetido ao Prêmio Beatriz Neves de Iniciação Científica.

Orientador: Professor Dr. Carlos Andrés Reyna Vera-Tudela

Seropédica, 2008

DEDICATÓRIA

A ti, minha Mãe, dedico essa minha última obra

acadêmica enquanto graduando. Obra esta fruto

do meu esforço, mas conseqüência de todo o seu

investimento, investimento esse financeiro e

principalmente afetivo em todos os meus anos de

vida.

Obrigado Minha Mãe.

AGRADECIMENTO

À Deus pelo amparo nos momentos difíceis.

Aos amigos e parentes pela

compreensão de minha ausência.

Aos meus colegas de Curso que demonstraram interesse pelo meu trabalho, em especial ao Marcos Alexandre Campos, Lúcio Rodrigues Duque Borges, Martiney Moura Júnior e Edivaldo Figueiredo Fontes Júnior por sua atenção e generosidade quanto ao uso de seus hardwares, softwares e em algumas vezes de sua paciência.

Ao Amigo e Professor Augusto que me

apresentou à Computação Gráfica e contribui qualitativamente para a elaboração desse texto.

Ao Professor Aquiles Braga, amigo,

incentivador que sempre buscou mostrar o caminho mais brando para vida cientifica e pessoal.

Ao Professor Marcelo Almeida Bairral

por seu interesse e acessibilidade, cuja generosidade, amizade e experiência foram fundamentais na elaboração do software i-Complex.

Ao Professor Carlos Andres Reyna

Vera-Tudela - influência marcante em minha formação acadêmica - por sua atuação como orientador sempre disponível para aprimorar estudos em diversas áreas, fornecer e/ou indicar novas fontes bibliográficas, corrigir, revisar, sugerir e, sobretudo estimular aprofundamentos durante todo esse trabalho. Destaco seu papel como incentivador na produção de diversos artigos divulgados não só em eventos acadêmicos como também em publicações científicas. Carlos, obrigado pela amizade e por acreditar no projeto MEMEC.

i

Resumo

O campo da Visualização Científica vem se desenvolvendo de uma forma paralela

ao dos computadores; a oferta maior de recursos permite que o usuário final

possa exigir mais do seu trabalho assim como esperar programas mais

poderosos, rápidos e que manipulem uma enorme quantidade de dados. Como no

capitalismo, a computação é movida pela lei da demanda. A crescente

necessidade de sistemas de Visualização Científica leva o desenvolvimento da

Computação Gráfica como um todo e suas aplicações ficam inerentes em várias

as áreas do conhecimento. Nesse texto, são apresentados resultados do uso da

Computação Gráfica, particularmente da Visualização Científica, em duas

aplicações totalmente distintas em implementações, mas com um espaço

geométrico muito similar. As aplicações são feitas na Educação Matemática e na

Engenharia Civil, tratando de problemas da geometria dos números complexos e

da elasticidade linear respectivamente. A aplicação feita na Educação é dada pela

apresentação do software i-Complex e de suas possibilidades de uso no ensino

de números complexos. A aplicação na Engenharia é apresentada através do

software MEMEC. O MEMEC é um software desenvolvido com base no método

dos Elementos de Contorno para solucionar problemas oriundos da elasticidade.

Conceitos empregados na construção do i-Complex são generalizados e

aplicados no MEMEC buscando coerência Matemática e Experimental. Para isso

técnicas de visualização científica foram desenvolvidas para tirar proveito do

método numérico empregado e das geometrias comumente analisadas. Alguns

exemplos são apresentados e, sempre que possível, confrontados com resultados

existentes na literatura.

Palavras Chave: Visualização Científica, Método dos Elementos de Contorno,

Números Complexos.

ii

Rol de Abreviaturas e Siglas

𝑆1, 𝑆2,𝑆3 tensões principais

𝑆𝑒 limite de escoamento do material

𝑆𝑥 tensão normal na direção x

𝑆𝑥𝑦 tensão cisalhante xy

𝑆𝑦 tensão normal na direção y

𝑓1,𝑓2 forças de campo

𝑢𝑖 deslocamento na direção i

𝑣∗ solução fundamental

[𝑖𝑛𝑡] representação de uma variável de número inteiro

[𝑟𝑒𝑎𝑙] representação de uma variável de número real

EAD Educação à Distância

GEPETICEM Grupo de Estudos e Pesquisas das Tecnologias da Informação e Comunicação em Educação Matemática

SciVis Visualização Científica

SRO Sistema de Referência do Objeto

TIC Tecnologia da Informação e Comunicação

VTK Visualization Toolkit

μ parâmetro geométrico da viga retangular de altura variável

𝐴 área da seção reta, constante

𝐵 Constante

𝐼 Momento de Inércia

𝐿, 𝑙 comprimento da viga

𝑀 momento fletor

𝑃 força resultante aplicada

𝑆’, 𝑆𝑒𝑞 tensão equivalente de Von Mises

𝑉 resultante do esforço cortante

𝑋 coordenada cartesiana

𝑌 coordenada cartesiana

𝑍 coordenada cartesiana

𝑏 largura unitária

𝑐 distância do centróide da seção à fibra externa

𝑖 índice inteiro

𝑛 coeficiente de segurança

iii

𝑝 forças de superfície

𝑞 esforço cortante distribuído

𝑢 deslocamento na direção x

𝑢.𝐴 unidade de área

𝑢. 𝑐. unidade de comprimento

𝑣 deslocamento na direção y

Módulo de Elasticidade

µ coeficiente de Poisson

iv

Lista de Imagens

Figura 1: Paradigma dos quatro universos ............................................................. 6

Figura 2: Diagrama do Método de Coordenadas .................................................... 8

Figura 3: Diagrama do Método de Grupos de Transformação ................................ 9

Figura 4: Produto Interno de x e y (a); Distância de x a y (b). ............................... 13

Figura 5: Soma de ponto com vetor (a); combinação afim de pontos (b). ............. 15

Figura 6: Representação afim do espaço Euclidiano ............................................ 18

Figura 7: Fotografia de uma estrada ..................................................................... 19

Figura 8: Projeção cônica ..................................................................................... 20

Figura 9: Plano Projetivo ....................................................................................... 22

Figura 10: Ponto ideal transformado em ponto real. ............................................. 27

Figura 11: Transformação com dois pontos de fuga (D e B). ................................ 27

Figura 12: Projeção paralela. ................................................................................ 28

Figura 13: Projeção cônica.................................................................................... 29

Figura 14: Exemplo de um objeto representado por uma malha de polígonos ..... 32

Figura 15: Exemplo de SciVis gerada pelo software MEMEC .............................. 33

Figura 16: Projeção de Cena 3D em imagem 2D .................................................. 36

Figura 17: Diagrama dos Conjuntos Numéricos.................................................... 41

Figura 18: Tela de abertura do i-Complex 2.1 ....................................................... 53

Figura 19: Ambiente de trabalho do i-Complex ..................................................... 54

Figura 20: Soma de números complexos .............................................................. 54

Figura 21: Resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖. ............................................................ 55

Figura 22: Resultado de (3 + 2𝑖) ∙ 2 + 0𝑖. .............................................................. 57

Figura 23: Resultado de (5+5𝑖) ∙ 𝑖 ........................................................................ 59

Figura 24: Resultado de (3+3𝑖) ∙ (0 + 2𝑖) ............................................................. 60

Figura 25: Resultado as da equação 𝒙3− (3 + 4𝑖) = 0 ....................................... 62

Figura 26: Cubo elementar de tensões ................................................................. 65

Figura 27: Representação do cubo elementar de tensões para o estado plano de tensões ................................................................................................................. 70

Figura 28: Viga retangular em balanço. ................................................................ 78

Figura 29: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. ................. 79

Figura 30: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. ................. 79

Figura 31: Viga de seção constante sujeita a um carregamento uniformemente variável. ................................................................................................................. 81

Figura 32: Tela inicial do MEMEC ......................................................................... 85

Figura 33: Representação física da barra engastada e tracionada ....................... 86

Figura 34: Representação da discretização para a barra engastada .................... 87

Figura 35: SciVis, em surface, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com

tensão na direção 𝑋. ............................................................................................. 92

Figura 36: Resultado numérico gerado para o arquivo barra.txt através do MEMEC. ................................................................................................................ 93

Figura 37: SciVis, em wireframe, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com

tensão na direção 𝑋. ............................................................................................. 94

Figura 38: SciVis, em wireframe, de uma barra com 301 nós e 100 pontos internos

gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑋. ................................................... 95

v

Figura 39: Tipos de Malhas ................................................................................... 97

Figura 40: Triangulação de um polígono. .............................................................. 99

Figura 41: A triangulação de Delaunay sobre uma nuvem de pontos. ................ 100

Figura 42: Triangulação de Delaunay sobre um conjunto de 10 pontos no plano ............................................................................................................................ 101

Figura 44: SciVis, em surface, de uma barra com duas extremidades fixas gerada

pelo MEMEC com tensões nas direções 𝑋 e 𝑌. .................................................. 104

Figura 43: Barra com extremidades fixas e tracionada ao centro ....................... 104

Figura 45: SciVis, em curvas de nível, de uma barra com duas extremidades fixas

gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. ................................................. 105

Figura 46: SciVis, em wireframe, de uma barra com duas extremidades fixas

gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. ................................................. 106

Figura 47: SciVis, em campo escalar, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC

com tensão na direção 𝑋 .................................................................................... 107

Figura 48: Chapa com furo circular nos eixos de simetria .................................. 107

Figura 49: SciVis de chapa com furo sobre o eixo de simetria ........................... 108

vi

Sumário

RESUMO ............................................................................................................................................. I

ROL DE ABREVIATURAS E SIGLAS .............................................................................................. II

LISTA DE IMAGENS ........................................................................................................................ IV

CAPÍTULO 0. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1

CAPÍTULO 1. PRINCÍPIOS DE COMPUTAÇÃO GRÁFICA ..................................................... 3

1.1. ÁREAS QUE FORNECEM MÉTODOS E TÉCNICAS A COMPUTAÇÃO GRÁFICA ............................... 4 1.1.1. Modelagem ................................................................................................................... 4 1.1.2. Visualização ................................................................................................................. 4 1.1.3. Processamento de Imagens ......................................................................................... 5 1.1.4. Visão Computacional .................................................................................................... 5 1.1.5. Animação ...................................................................................................................... 5

1.2. PARADIGMAS DE ABSTRAÇÃO ............................................................................................... 5 1.3. GEOMETRIA ........................................................................................................................ 7

1.3.1. Metodologias para dividir a Geometria ......................................................................... 7 1.3.1.1. O método axiomático ........................................................................................................ 7 1.3.1.2. O método de coordenadas................................................................................................ 8 1.3.1.3. O método de grupos de transformação ............................................................................ 9

1.3.2. Transformações e a Computação Gráfica ................................................................. 10 1.3.3. Geometria Euclidiana ................................................................................................. 10

1.3.3.1. Transformações Lineares ............................................................................................... 11 1.3.3.2. Transformações ortogonais, Isometrias e grupo euclidiano ............................................ 12

1.3.4. Geometria Afim ........................................................................................................... 14 1.3.4.1. Transformações Afins ..................................................................................................... 16 1.3.4.2. Coordenadas Afins ......................................................................................................... 17 1.3.4.3. Representação Matricial ................................................................................................. 18 1.3.4.4. Teorema Fundamental da Geometria Afim ..................................................................... 19

1.3.5. Geometria Projetiva .................................................................................................... 19 1.3.5.1. O espaço projetivo .......................................................................................................... 20 1.3.5.2. Coordenadas homogêneas ............................................................................................. 22 1.3.5.3. Transformações projetivas .............................................................................................. 23 1.3.5.4. Anatomia de uma transformação projetiva plana ............................................................ 23 1.3.5.5. Projeção Paralela ............................................................................................................ 28 1.3.5.6. Projeção cônica ou perspectiva ...................................................................................... 28

1.3.6. A Geometria da Computação Gráfica ........................................................................ 30 1.4. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE COMPUTAÇÃO GRÁFICA ................................................. 31

1.4.1. Representação 3D ...................................................................................................... 31 1.4.2. Superfícies Paramétricas ........................................................................................... 32 1.4.3. Visualização Científica ............................................................................................... 33

1.4.3.1. Técnicas da Visualização Científica ................................................................................ 33 1.4.3.2. ToolKits de Visualização Científica ................................................................................. 34

1.4.4. Câmera ....................................................................................................................... 36 1.4.5. Iluminação e Cor ........................................................................................................ 37 1.4.6. Textura........................................................................................................................ 37

CAPÍTULO 2. UM PROBLEMA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .......................................... 39

2.1. ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 39 2.2. UMA REVISÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................................................ 40

2.2.1. O Aparecimento do Número .................................................................................. 40 2.2.2. As primeiras reações às raízes quadradas de números negativos ....................... 42 2.2.3. O aparecimento das raízes quadradas de números negativos ............................. 42

vii

2.2.4. A notação.................................................................................................................... 43 2.3. A IMPORTÂNCIA DA INFORMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA ............................................. 44 2.4. NÚMEROS COMPLEXOS: O OBJETO MATEMÁTICO ................................................................ 44

2.4.1. Adição .................................................................................................................... 45 2.4.2. Multiplicação de um real por um complexo ............................................................ 45 2.4.3. Unitários, Argumento, Forma Trigonométrica ........................................................ 46 2.4.4. Multiplicação de complexos ................................................................................... 46 2.4.5. Conjugado, inverso e quociente............................................................................. 47 2.4.6. Os complexos como extensão dos reais e o número i .......................................... 48

CAPÍTULO 3. COMPUTAÇÃO GRÁFICA NA EDUCAÇÃO ................................................... 51

3.1. I-COMPLEX ....................................................................................................................... 52 3.1.1. Introdução ao i-Complex ........................................................................................ 53 3.1.2. Soma e Subtração no i-Complex ........................................................................... 54 3.1.3. Multiplicação de um complexo por um real ............................................................ 56 3.1.4. Multiplicação por 𝑖 .................................................................................................. 58 3.1.5. Multiplicação........................................................................................................... 59 3.1.6. Radiciação .............................................................................................................. 61

CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA NA ENGENHARIA CIVIL ...................................................... 63

4.1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS ........................................................................ 64 4.1.1. Tensão ................................................................................................................... 64 4.1.2. Deformação ............................................................................................................ 64 4.1.3. Componentes de Tensão ....................................................................................... 64 4.1.4. Forças de Volume .................................................................................................. 65 4.1.5. Forças de Superfície .............................................................................................. 65 4.1.6. Estado Plano de Tensão ........................................................................................ 65 4.1.7. Estado Plano de Deformação ................................................................................ 66

4.2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS ........................................................................ 66 4.2.1. Teoria da Máxima Energia de Distorção ................................................................ 67

4.3. TEORIA DA ELASTICIDADE .................................................................................................. 68 4.3.1. Equações de equilíbrio ........................................................................................... 69 4.3.2. Equações de Compatibilidade ............................................................................... 70 4.3.3. Função das Tensões de Airy ................................................................................. 71 4.3.4. Princípio de Saint-Venant ...................................................................................... 72

4.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ................................................ 73 4.5. VIGA RETANGULAR DE SEÇÃO CONSTANTE ........................................................................ 77

4.5.1. Viga de Seção Constante em Balanço Sujeita a uma Flexão Simples ................. 77 4.5.2. Viga em Balanço com um Carregamento Uniformemente Distribuído ao Longo de seu Comprimento .................................................................................................................... 79 4.5.3. Viga Retangular em Balanço Submetida a um Carregamento Linearmente Distribuído ao Longo de seu Comprimento ............................................................................. 81

CAPÍTULO 5. COMPUTAÇÃO GRÁFICA NA ENGENHARIA CIVIL ..................................... 83

5.1. HARDWARE ....................................................................................................................... 84 5.2. MEMEC ........................................................................................................................... 84

5.2.1. Entrada de Dados .................................................................................................. 85 5.2.2. Algoritmo de interpolação da SciVis ...................................................................... 96

5.2.2.1. Tipos de Malhas .............................................................................................................. 97 5.2.2.2. Propriedades desejáveis de uma malha e de geradores de malha ................................ 98 5.2.2.3. Triangulação de Delaunay .............................................................................................. 98

CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................... 103

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 110

Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 1

Capítulo 0. Introdução

O presente texto é baseado na Monografia de Final de Curso do Autor e

tem como objeto o estudo da Computação Gráfica, particularmente, de sua

geometria. A monografia descreve resultados obtidos na iniciação cientifica

realizada e sua submissão ao Prêmio Beatriz Neves é motivada pelo fato do

prêmio ser dedicado a modelagem matemática e suas aplicações, ambos

realizados nesse trabalho.

A Computação Gráfica possui diversos aspectos e alguns deles serão

descritos ao longo do texto. Todavia não buscamos exaurir o tema, visto que esse

é extremamente extenso e de relativa complexidade.

Ao longo do texto são mostrados problemas e definições em Computação

Gráfica, Educação Matemática e Engenharia Civil. A escolha de áreas tão

distintas para serem tratadas junto à Computação Gráfica mostra sua

versatilidade e a importância da Computação Gráfica como objeto de estudo.

Cada vez mais temos a necessidade de uma interpretação visual dos

fenômenos físicos, muito deles descritos a décadas de forma analítica. Com a

evolução da tecnologia e o surgimento de novos métodos numéricos, uma onda

crescente de pesquisadores se interessam pela Computação Gráfica e, em nosso

caso, pela Visualização Cientifica.

Matematicamente, o interesse pela geometria da Computação Gráfica se

justifica pelo fato que não existe problema na área que não passe pelo problema

de definir a geometria adequada ao problema. Diversas geometrias são tratadas

até a elaboração da geometria da Computação Gráfica e são inúmeras as vezes

que nos deparamos com problemas com algoritmos para escolha de malhas ou

do espaço topológico adequado para o problema.

2

O objetivo do texto é apresentar os softwares MEMEC e i-Complex tendo

como plano de fundo a geometria da Computação Gráfica e seus aspectos

aplicados.

Para tanto, principia–se, no Capítulo 1, tratando dos conceitos básicos dos

elementos que constituem a Computação Gráfica. No Capítulo 2, é apresentado o

conjunto dos números complexos como objeto matemático. Nesse capítulo, é

apresentada a modelagem do comportamento geométrico das operações

realizadas sobre o corpo dos Números Complexos.

No Capítulo 3, é apresentada uma aplicação da Computação Gráfica na

Educação Matemática para trabalhar com o objeto definido no capítulo 2. Nesse

capítulo, é apresentado o software i-Complex e exemplos de uso.

No Capítulo 4, é apresentado aspectos da Teoria da Elasticidade e do

Método dos Elementos de Contorno, tal como, a modelagem matemática de

problemas que serão utilizados como exemplos no Capítulo 5.

No Capítulo 5, é apresentada uma aplicação da Computação Gráfica na

Engenharia Civil para solucionar o problema descrito no capítulo 4. Nesse

capítulo, é apresentado o software MEMEC (Mecânica Elastostática - Método de

Elementos de Contorno). São apresentados aspectos do software e exemplos de uso

como também características da construção do software.

O presente texto se encerra com as Considerações Finais, nas quais são

apresentados pontos conclusivos destacados, seguidos da estimulação à

continuidade dos estudos e das reflexões sobre a Computação Gráfica e das

aplicações realizadas.


Capítulo 1. Princípios de Computação Gráfica

Computação Gráfica é definida, comumente, como o ―conjunto de métodos

e técnicas para transformar dados em imagens através de um dispositivo gráfico‖

(Gomes & Velho, 2003). Nesse sentido, temos o problema fundamental da área e

desse projeto que é a transformação de dados em imagens.

Em matemática aplicada, a solução de um problema está diretamente

relacionada com os diversos modelos matemáticos utilizados na sua

compreensão. Desse modo, a linha divisória entre problemas resolvidos e

problemas em aberto é bem difusa do que ocorre no caso da matemática pura.

Nessa última, soluções diferentes de um mesmo problema não trazem, em geral,

grandes inovações do ponto de vista do avanço cientifico. Na matemática

aplicada, soluções diferentes de um mesmo problema em geral são

conseqüências do uso de novos modelos, e trazem informações extremamente

úteis nas diversas aplicações práticas.

O objetivo, desse capitulo, é o de conceituar aspectos da Computação

Gráfica, particularmente, de sua geometria. Tais, conceituações serão aplicadas

nos capítulos posteriores para a resolução de um problema na Educação

Matemática e de outro problema na Engenharia Civil. As aplicações em áreas tão

distintas justificam o fato de que a Computação Gráfica possui aplicações em

todas as grandes áreas do conhecimento.

Esse capítulo é baseado nos trabalhos de (Gomes & Velho, 2003),

(Manssour & Cohen, 2006) e (Battaiola & Erthal, 1998).

Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia

4

1.1. ÁREAS QUE FORNECEM MÉTODOS E TÉCNICAS A

COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Seja qual for a área do conhecimento em que a Computação Gráfica esteja

sendo aplicada, ela irá explorar uma das três características:

A Computação Gráfica permite visualizar objetos que ainda se

encontram em fase de projeto;

A Computação Gráfica permite visualizar objetos que estão

fora do alcance de nossa percepção visual;

A Computação Gráfica permite visualizar objetos que fogem

de nossa realidade tridimensional.

Sendo assim, a Computação Gráfica abrange o conjunto de métodos e

técnicas de diversas áreas: modelagem, visualização, processamento de

imagens, visão computacional e animação.

1.1.1. MODELAGEM

A modelagem geométrica trata do problema de descrever e estruturar

dados geométricos no computador.

O principal problema da Computação Gráfica é o de transformar dados em

imagens. De modo intuitivo, podemos pensar nos dados como sendo objetos

geométricos que representam modelos de objetos do mundo físico. Trabalhar com

o modelo geométrico adequado é importante na colocação e resolução do

problema tanto do ponto de vista teórico quanto do das implementações

computacionais.

1.1.2. VISUALIZAÇÃO

A área de visualização também é conhecida como Síntese de Imagens. As

técnicas dessa área utilizam dados gerados por um sistema de modelagem


5

geométrica e o produto final é uma imagem que pode ser exibida mediante o uso

de algum dispositivo de saída gráfica (monitor, impressora, etc.).

1.1.3. PROCESSAMENTO DE IMAGENS

No Processamento de Imagens o sistema admite como entrada uma

imagem que, após processada, produz outra imagem na saída.

1.1.4. VISÃO COMPUTACIONAL

A área de Visão Computacional é também conhecida pelo nome de Análise

de Imagens. Essa área tem por finalidade obter, a partir de uma ou várias

imagens (entrada), informações geométricas, topológicas ou físicas sobre os

dados que a originaram.

1.1.5. ANIMAÇÃO

O problema de visualizar o movimento de objetos é conhecido como

Animação ou Visualização de Movimento. Esse problema surge quando

introduzimos o fator tempo, isto é, os dados variam com o tempo e além do

problema de modelar a geometria e a topologia dos dados, temos que fazer

também a modelagem do movimento que consiste em descrever o movimento

dos objetos.

O resultado de uma animação é uma seqüência de imagens (frames), que

é chamada genericamente por vídeo.

1.2. PARADIGMAS DE ABSTRAÇÃO

Em matemática aplicada necessitamos modelar os diversos objetos em

estudo. Para se obter uma conceituação correta devemos criar uma hierarquia de

abstrações, e para cada nível de abstração aplicamos o modelo matemático mais

adequado.

Em Computação Gráfica não é diferente. Um paradigma de abstração que

se aplica em geral consiste em estabelecer quatro universos: o universo físico F,


6

o universo matemático M, o universo de representação R e, o universo de

implementação I.

Figura 1: Paradigma dos quatro universos

O universo físico contém os objetos do mundo real que pretendemos

estudar; o universo matemático contém uma descrição abstrata dos objetos do

mundo físico; o universo da representação é constituído por descrições simbólicas

e finitas associadas a objetos do universo matemático; e no universo da

implementação associamos as descrições do universo da representação às

estruturas de dados, com a finalidade de obter uma representação do objeto no

computador.

O paradigma de abstração descrito é conhecido como paradigma dos

quatro universos (Figura 1). Ele se baseia no fato de que para estudar um

determinado fenômeno ou objeto do mundo real no computador, associamos ao

mesmo um modelo matemático, em seguida procuramos uma representação finita

desse modelo que seja passível de uma implementação computacional.

O paradigma dos quatros universos será o paradigma adotado nesse

trabalho.


7

1.3. GEOMETRIA

Para entendermos adequadamente a geometria adotada na Computação

Gráfica primeiro devemos compreender corretamente o que é uma geometria.

Segundo Gomes e Velho (Gomes & Velho, 2003), podemos dividir a geometria

em três metodologias: o método axiomático, o método de coordenadas e o

método de grupos de transformação.

Nas seções subseqüentes, serão apresentados aspectos metodológicos da

geometria, o papel das transformações na Computação Gráfica, uma breve

introdução a Geometria Euclidiana, a Geometria Afim, a Geometria Projetiva e a

Geometria da Computação Gráfica.

Para simplificar as definições, usaremos a seguinte notação utilizada por

Gomes e Velho (Gomes & Velho, 2003): Escalares: x, y, z, ...; Pontos: x, y, z, ...;

Vetores: 𝒙 ,𝒚 , 𝒛 ,….

1.3.1. METODOLOGIAS PARA DIVIDIR A GEOMETRIA

Nas subseções posteriores, serão feitas algumas

considerações, de forma sucinta, sobre as metodologias para divisão da

geometria e se baseiam no texto de (Gomes & Velho, 2003).

1.3.1.1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Nesse método definimos o espaço (conjunto dos pontos da geometria), os

objetos da geometria (retas, planos, etc.) e um conjunto de propriedades básicas

que devem ser satisfeitas pelos objetos. Essas propriedades são chamadas

axiomas. A partir daí deduzimos as outras propriedades da geometria na forma de

teoremas. Esse método foi introduzido pelo matemático grego Euclides para

definir o que conhecemos hoje como Geometria Euclidiana.

O método axiomático tem um grande poder de síntese, ao resumir em um

conjunto de axiomas propriedades comuns a um grande número de espaços e

objetos distintos. Do ponto de vista computacional, método axiomático é muito


8

interessante para se buscar demonstração automática de teoremas, entretanto

esse método tem a desvantagem de não determinar uma representação da

geometria no computador.

1.3.1.2. O MÉTODO DE COORDENADAS

O método de coordenadas, também conhecido como Geometria Analítica,

foi introduzido pelo matemático e filosofo francês René Descartes. Esse método

consiste em definir um sistema de coordenadas no espaço da geometria de modo

que as propriedades da geometria (axiomas e teoremas) são traduzidas em

equações matemáticas.

Um sistema de coordenadas é algo que traz muita redundância, com efeito,

as coordenadas (x, y, z) de um ponto P ∈ ℝ3 indicam a distância de P aos três

planos coordenados. Desse modo, os conceitos de Geometria Analítica não são

intrínsecos ao objeto geométrico: sempre que definimos algo usando um sistema

de coordenadas, precisamos mostrar que conceito independe do sistema de

coordenadas utilizado. Entretanto o método é adequado para o uso de técnicas

computacionais mediante a correta representação do sistema de coordenadas:

Figura 2: Diagrama do Método de Coordenadas

Note, no entanto que os objetos passam a depender do sistema de

coordenadas utilizado na representação (Figura 2). Isso dificulta o

desenvolvimento de métodos automáticos para verificação semântica das

propriedades da geometria.


9

1.3.1.3. O MÉTODO DE GRUPOS DE TRANSFORMAÇÃO

O método de grupos de transformação (Figura 3) foi introduzido pelo

matemático alemão Felix Klein. Nesse método, uma geometria consiste de um

espaço 𝑆 (os pontos da geometria), e um grupo 𝐺 de transformações desse

espaço. Ou seja, cada elemento 𝑇 ∈ 𝐺 é uma transformação 𝑇: 𝑆 → 𝑆 do espaço,

e além disso (por ser um grupo) 𝐺 satisfaz as seguintes propriedades:

a. Associatividade: Dados 𝑔,, 𝑙 ∈ 𝐺, 𝑔 𝑙 = 𝑔 𝑙 ;

b. Elemento neutro: Existe 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑔𝑒 = 𝑒𝑔 = 𝑔 para todo 𝑔 ∈ 𝐺;

c. Elemento inverso: Para todo 𝑔 ∈ 𝐺, existe 𝑔−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑔𝑔−1 =

𝑔−1𝑔 = 𝑒.

Nesse contexto, vamos introduzir algumas definições simples. Um objeto

geométrico é um subconjunto de S. Uma propriedade geométrica é uma

propriedade de uma figura geométrica que é invariante pela ação de G, ou seja,

se um objeto geométrico O goza da propriedade P e g ∈ G, então g(O) também

goza da propriedade P. Dois objetos geométricos O1 e O2 são ditos congruentes

se existir um elemento g ∈ G tal que g O1 = O2.

Um fato interessante dessa abordagem é que ela permite relacionar

diferentes geometrias num mesmo espaço mediante o estudo da relação entre

grupos. É claro que não existem axiomas e sim teoremas nesse método.

Do ponto de vista computacional devemos buscar uma representação do

espaço S e do grupo G de modo a implementar modelos da geometria:

Figura 3: Diagrama do Método de Grupos de Transformação


10

Além disso, em Computação Gráfica as transformações estão associadas

ao movimento de objetos do espaço. A abordagem por grupo de transformações

será a base para a construção da geometria adequada para a Computação

Gráfica.

1.3.2. TRANSFORMAÇÕES E A COMPUTAÇÃO GRÁFICA

O uso de transformações em geometria está relacionado com dois

aspectos de grande importância em Computação Gráfica:

a. Mudança de coordenadas – Os sistemas de coordenadas são

utilizados para se obter a correta formulação analítica de um

determinado problema. Através de um sistema de coordenadas

podemos calcular posições, velocidades e outras grandezas

associadas aos objetos do mundo físico. A mudança de

coordenadas entre dois sistemas é feita por uma transformação do

espaço.

b. Deformação de objetos no espaço – Existem duas classes de

deformação de objetos: deformações rígidas e deformações não-

rígidas. As deformações rígidas mudam a posição dos objetos no

espaço sem, no entanto, alterar suas relações métricas. Essas

deformações são chamadas de isometrias ou movimentos rígidos.

As deformações não-rígidas alteram as relações métricas dos

objetos.

1.3.3. GEOMETRIA EUCLIDIANA

Antes de definirmos a geometria euclidiana utilizando grupo de

transformações vamos rever alguns conceitos da álgebra linear. Considere o

espaço ℝ𝑛 = 𝑥1,… , 𝑥𝑛 ; 𝑥𝑖𝜖ℝ e, definamos sobre esse espaço duas operações:

a soma: 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 + 𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛 = 𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2,… , 𝑥𝑛 +

𝑦𝑛 e;

o produto: 𝜆 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 = 𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2,… , 𝜆𝑥𝑛 .


11

1.3.3.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

As transformações que preservam a estrutura linear do ℝn são chamadas

de transformações lineares. Dessa forma, uma transformação linear é

caracterizada pelas propriedades: L: ℝn → ℝn

L u + v = L u + L(v)

e

L λu = λL(u)

para todo u, v ϵ ℝn , e λϵℝn . Portanto as transformações lineares preservam os

subespaços do espaço ℝn , que definem por sua vez os elementos básicos da

geometria (retas, planos etc.). As transformações lineares invertíveis de ℝn

formam um grupo, que será indicado por GL(n), chamado de grupo especial linear

de ordem n.

Para uso computacional devemos buscar uma representação adequada

das transformações lineares. Os n elementos

e1 = 1, 0,0,… , 0 ;

e2 = 0, 1,0,… , 0 ;

⋮

en = 0, 0,0,… , 1

constituem uma base de Rn . Se L: ℝn → ℝn é linear definimos os n vetores

a1, a2,… , an , por

a1 = L e1 = a11 , a21 , a31 ,… , an1 ;

a2 = L e2 = a12 , a22 , a32 ,… , an2 ;

⋮

an = L en = a1n , a2n , a3n ,… , ann .

Construímos agora uma matriz Le cujas colunas são, nessa ordem, os

vetores a1, a2,… , an :


12

Le =

a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮an1 ⋯ ann

Um cálculo imediato mostra que se x = x1,… , xn então L x = Le ∙ x,

onde no lado direito temos o produto de matrizes. Estabelecemos assim uma

correspondência que associa a cada transformação linear L uma matriz Le de

modo que o valor da transformação num vetor pode ser obtido multiplicando a

matriz por esse vetor. Reciprocamente, se A é uma matriz de ordem n, definimos

uma transformação L:ℝn → ℝn pondo

L x = A ∙ x =

a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮an1 ⋯ ann

x1

⋮xn

Temos assim uma correspondência biunívoca entre os espaço das

transformações lineares do espaço euclidiano n-dimensional e o conjunto das

matrizes de ordem n. Essa correspondência é uma importante uma vez que ela

preserva as operações nos dois espaços, isto é:

TοL x = T L x = TeLe ∙ x;

T + L x = T x + L x = (Te + Le) ∙ x.

Do ponto de vista computacional, a implementação de um sistema para

manipular transformações lineares se traduz na implementação de um sistema de

efetuar operações com matrizes. Em particular, o grupo GL(n) das transformações

lineares invertíveis corresponde ao grupo das matrizes de ordem n que são

invertíveis.

1.3.3.2. TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS, ISOMETRIAS E

GRUPO EUCLIDIANO

Para medir as distâncias em ℝn devemos definir uma métrica, para isso

introduzimos o produto interno u, v = uivini=1 , onde u = (u1,… , un) e v =

(v1,… , vn). Usando o produto interno , obtemos as noções de comprimento de

um vetor, e de ângulo entre dois vetores:


13

O comprimento ou norma de um vetor u é dado por u = u, u .

O ângulo θ entre dois vetores não nulos u e v é definido por cos θ = u,v

u v .

Geometricamente, o produto interno é a medida da projeção do vetor x

sobre o y ponderada pelo comprimento de y (Figura 4a).

Figura 4: Produto Interno de x e y (a); Distância de x a y (b).

A partir da norma de um vetor, definimos a distancia d(x, y) entre os pontos

x e y do espaço ℝn , pondo d x, y = x − y . Ou seja, a distância de x a y é a

norma do vetor que liga o ponto x ao ponto y (Figura 4b).

Uma transformação T:ℝn → ℝn que preserva o produto interno, isto é

T u , T(v) = u, v , é dita ser uma transformação ortogonal. Uma transformação

ortogonal preserva a norma do espaço e, portanto preserva também à distância,

sendo, pois uma isometria. As isometrias modificam a posição de pontos e

objetos do espaço, entretanto mantém as relações métricas.

Dois objetos 𝑂1 e 𝑂2 do espaço são ditos congruentes, se existe uma

isometria 𝑇:ℝ𝑛 → ℝ tal que 𝑇𝑂1 = 𝑂2. Portanto, a relação de congruência é

determinada pelas isometrias do espaço. A congruência é o conceito básico da

geometria Euclidiana: as propriedades da geometria Euclidiana são as que se

referem à preservação de congruência. Em outras palavras, o grupo de

transformações 𝐸(𝑛) da geometria euclidiana, no sentido de Felix Klein, é o grupo

de isometrias do espaço ℝ𝑛 .

Da Álgebra Linear sabemos que uma transformação 𝑇:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 , não

necessariamente linear, é uma isometria se, e somente se, 𝑇 𝑢 = 𝐿 𝑢 + 𝑣0,

onde 𝐿 é uma transformação linear ortogonal e 𝑣0 é um vetor fixo.

x

y θ

x-y

y x

(a) (b)


14

Geometricamente, a isometria é composta de uma transformação linear ortogonal

seguida de uma translação.

Temos assim, uma caracterização simples das isometrias do espaço

Euclidiano. Todavia, devemos ressaltar que a translação não é uma

transformação linear, portanto não preserva as operações do espaço e nem faz

parte da álgebra de transformações do espaço Euclidiano.

1.3.4. GEOMETRIA AFIM

A geometria Euclidiana apresenta vários inconvenientes para ser utilizada

em Computação Gráfica. Dentre os quais podemos citar dois:

O grupo das transformações da geometria não tem uma álgebra

natural associada, uma vez que a translação não é linear;

No espaço Euclidiano não há uma distinção clara entre ponto e um

vetor.

Como resolver a confusão entre ponto e vetor do espaço euclidiano? A

solução é trabalharmos com duas cópias de ℝ𝑛 onde uma delas representa

pontos e a outra vetores. O objetivo é responder as seguintes perguntas:

Que operações são possíveis nesse espaço (ponto-ponto, ponto-

vetor e vetor-ponto)?

Quais as transformações do espaço?

Sendo assim, definimos o espaço afim como sendo um par (𝒫,𝒱) onde 𝓟 é

o espaço de pontos, e 𝓥 o espaço de vetores. O caso mais interessante é quando

𝒫 = 𝓥 = ℝ𝑛 e, portanto, daremos mais atenção a esse caso.

Como 𝓥 é um espaço vetorial, ele admite a operação de combinação linear

de vetores, 𝑎𝑖𝒖𝒊 𝑛𝑖=1 ,𝑎𝑖𝜖ℝ.

Temos também as transformações lineares entre vetores, 𝑇 𝑎𝑖𝒖𝒊 𝑛𝑖=1 =

𝑎𝑖𝑇(𝒖𝒊 ) 𝑛𝑖=1 .


15

Definimos a operação de soma (Figura 5a) de um ponto p com um vetor 𝒖 ,

𝒑+ 𝒖 = 𝒒 ∈ 𝓟, cujo resultado é um ponto q. A operação anterior motiva a definir

uma operação de subtração de pontos como 𝒒 − 𝒑 = 𝒗 ⇔ 𝒒 = 𝒑+ 𝒗 .

Podemos generalizar a operação anterior como uma combinação linear

arbitrária de pontos 𝑎𝑖𝒑𝒊𝑛𝑖=1 ∈ 𝒱 ⇔ 𝑎𝑖

𝑛𝑖=1 = 0.

Observe que a operação descrita é semelhante à operação de diferença

Deve-se observar que a operação de subtração descrita é semelhante à

subtração entre dois pontos (ou vetores?) que foi feita no espaço Euclidiano

(Figura 4b). Entretanto a operação no ℝ𝑛 não tem uma semântica clara. Em

particular a figura está errada uma vez que os vetores do espaço Euclidiano são

ponto e x – y deveria estar ―localizado‖ na origem. Vemos que a Geometria Afim

introduz de modo formal o conceito de vetor livre da Física, que pode ser

localizado em qualquer ponto.

Definimos uma operação de interpolação (Figura 5b) de pontos

𝒒 = 1− 𝑎 𝒒𝟏 + 𝑎𝒒𝟐 = 𝒒𝟏 + 𝑎 𝒒𝟐 − 𝒒𝟏 ,𝑎 ∈ 0, 1

,

ou ainda,

𝒒 = 𝑎1𝒒𝟏 + 𝑎2𝒒𝟐, com 𝑎1,𝑎2𝜖 0, 1 , 𝑎1 + 𝑎2 = 1.

A última forma de escrever a operação permite a sua generalização:

𝑎𝑖𝒒𝒊𝑛𝑖=1 ∈ 𝓟 ⇔ 𝑎𝑖

𝑛𝑖=1 = 1.

𝒖

𝒑 𝒒

𝑎1 + 𝑎2 = 1

𝑎1

𝑎2

𝒒𝟏

𝒒

𝒒𝟐

( a ) ( b )

Figura 5: Soma de ponto com vetor (a); combinação afim de pontos (b).


16

Essa soma é chamada de combinação afim de pontos.

A equação de uma reta nos motiva a definir um invariante importante da

geometria afim. Com efeito, a equação paramétrica de uma reta 𝑟 que passa

pelos pontos 𝒂 e b é um conceito afim. De fato, ela é dada por 𝒓 𝑡 = 𝒂+

𝑡 𝒃 − 𝒂 = 1− 𝑡 𝒂+ 𝒃, 𝑡𝜖ℝ. Sendo assim, considere 𝒒,𝒒𝟏 e 𝒒𝟐 pertencem a

uma reta r a razão afim é definida por

𝑞 − 𝑞1

𝑞 − 𝑞2 =

𝑎2

𝑎1

Em outras palavras, se um ponto 𝑞 divide um segmento 𝑞1𝑞2 segmento na

razão 𝑏2: 𝑏1, então

𝑞 =𝑏1𝑞1 + 𝑏2𝑞2

𝑏1 + 𝑏2, 𝑏1 + 𝑏2 ≠ 0.

Resumidamente a semântica das operações da geometria afim é:

Vetores podem ser combinados (combinação linear);

Pontos podem ser combinados em duas situações apenas: quando a soma

dos coeficientes é 1 ou 0. No primeiro caso o resultado é um ponto, e no segundo

caso o resultado é um vetor.

1.3.4.1. TRANSFORMAÇÕES AFINS

Uma transformação 𝑇:𝒜1 → 𝒜2 entre dois espaços afins, 𝒜1 = (𝒫1,𝒱1) e

𝒜2 = (𝒫2,𝒱2), é chamada de transformação afim se, e somente se,

1. 𝑇 preserva vetores, e além disso a restrição 𝑇|𝒱:𝒱 → 𝒱 é uma

transformação linear;

2. 𝑇 preserva pontos, e além disso 𝑇 𝒑+ 𝒗 = 𝑇 𝒑 + 𝑇(𝒗 ).

A segunda propriedade pode ser generalizada: 𝑇 preserva combinação

afim de pontos, isto é


17

𝑎𝑖 = 1 ⇒ 𝑇(

𝑛

𝑖=1

𝑎𝑖𝒑𝒊

𝑛

𝑖=1

) = 𝑎𝑖𝑇(𝒑𝒊

𝑛

𝑖=1

).

As transformações rígidas, que constituem o grupo de transformações da

geometria Euclidiana, são transformações afins.

1.3.4.2. COORDENADAS AFINS

Seja 𝒜 um espaço afim de dimensão n, o um ponto do espaço, e

{v 1, v 2,… , v n} uma base de 𝒜. A lista F = {o, v 1, v 2,… , v n} é um referencial de 𝒜.

Um referencial define um sistema de coordenadas do espaço afim. Ou

seja, considere um ponto p = o + v ϵ 𝒜.

Como os vetores v i formam uma base de 𝒜, podemos escrever

v = c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn

e, portanto o ponto p pode ser escrito, de modo único, na forma

p = o + c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn

Os n + 1 escalares 1, c1, c2,… , cn representam as coordenadas do ponto p

no referencial. Essas coordenadas são indicadas pela lista (c1, c2,… , cn , 1), com o

elemento 1 no final. Geometricamente, a representação afim do ℝn é obtida

colocando uma cópia de ℝn no hiperplano zn+1 = 1 do espaço ℝn+1 (Figura 6).

Isso tira o privilégio gozado pela origem do ℝn que causa toda a confusão entre

ponto e vetor.


18

1.3.4.3. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL

Como na Geometria Euclidiana, uma transformação afim pode ser

representada matricialmente.

Considere os dois referenciais 𝐹 = {𝒖 𝟏,𝒖 𝟐,… ,𝒖 𝒏,𝒐} e 𝐺 = {𝒗 𝟏,𝒗 𝟐,… ,𝒗 𝒏,𝒐′}

,um ponto 𝒙 = 𝑥1𝒖𝟏 + 𝑥2𝒖𝟐 +⋯+ 𝑥𝑛𝒖𝒏 + 𝒐 no espaço afim ℝ𝑛 . Seja 𝑇 uma

transformação linear e suponhamos que

𝑇 𝒖𝒋 = 𝑎𝑖𝑗𝒗𝑖

𝑛

𝑖=1

e T(𝐨) = 𝑎𝑖𝑛+1𝒗𝑖

𝑛

𝑖=1

Um cálculo imediato permite escrever o valor de 𝑇(𝒙) no referencial 𝐺:

𝒙 = 𝑥𝑗𝒖 𝒋

𝑛

𝑗=1

+ 𝒐 ⇒ 𝑇 𝒙 = 𝑥𝑗𝑇(𝒖 𝒋)

𝑛

𝑗=1

+ 𝑇 𝒐 = 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑎𝑖𝑛+1

𝑛

𝑗=1

𝑣𝑖

𝑛

𝑖=1

Ou seja, as coordenadas de 𝑇(𝒙) no referencial 𝐺 são dadas pelo produto

de matrizes

Figura 6: Representação afim do espaço Euclidiano

1

ℝ𝑛


19

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎1𝑛+1

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑎2𝑛+1

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛𝑛+1

0 0 … 0 1

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛1

.

Portanto, em termos matriciais, o grupo de transformações da Geometria

Afim é constituído pelas matrizes de ordem 𝑛 + 1 que sejam invertíveis.

1.3.4.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA GEOMETRIA AFIM

Teorema: Uma transformação afim fica completamente determinada por

seus valores numa base afim. Mais precisamente, se (𝑢0, 𝑢1,… ,𝑢𝑛) e

(𝑣0, 𝑣1 ,… , 𝑣𝑛) são bases afins, se existe uma única transformação afim 𝐿 tal que

𝐿 𝑢𝑖 = (𝑣𝑖), 𝑖 = 0, 1,… , 𝑛.

1.3.5. GEOMETRIA PROJETIVA

A Geometria Afim seria uma boa escolha para a Geometria da Computação

Gráfica, pois as transformações afins incluem os movimentos rígidos da

Geometria Euclidiana, e, além disso, são representadas por matrizes, que

admitem uma estrutura computacional simples. No entanto, essa geometria

possui alguns inconvenientes quando realizamos transformações de visualização.

As transformações de visualização estão presentes em uma das etapas do

processo de visualização de dados em Computação Gráfica.

Considere a Figura 7a que representa a fotografia de uma vista área

(ortogonal) de uma estrada retilínea em um terreno idealmente plano. A Figura 7b

que representa uma fotografia da mesma estrada obtida a partir de um

determinado ponto de vista próximo à estrada.

( a )

P

( b )

Figura 7: Fotografia de uma estrada


20

Geometricamente, a imagem da Figura 7b corresponde a uma

transformação dos objetos geométricos na Figura 7a. A transformação do

processo fotográfico preserva os diversos objetos em cena, no entanto, ela não é

uma transformação afim uma vez que as retas paralelas que delimitam a estrada

não são paralelas na imagem fotográfica. Isso mostra uma deficiência em se

utilizar a Geometria Afim para a Geometria da Computação Gráfica. A solução

para incluir a transformação de visualização, utilizada no processo de fotografia,

no grupo de transformações nos leva a Geometria Projetiva.

As subseções subseqüentes buscam caracterizar a geometria projetiva,

mas não exauri-la, uma vez que a Geometria Projetiva, como as demais, é um

campo bastante extenso. Tais subseções baseiam-se no trabalho de Jonas

Gomes e Luiz Velho (Gomes & Velho, 2003).

1.3.5.1. O ESPAÇO PROJETIVO

Utilizaremos o conceito de visualização para motivar a definição do espaço

projetivo.

Do ponto de vista matemático, essa transformação é definida por uma

projeção cônica. Considere o ponto 𝑂 do espaço euclidiano ℝ𝑛+1 e um hiperplano

∏ ⊂ ℝ𝑛+1 tal que 𝑂 ∉ ∏ (Figura 8). A projeção cônica de um ponto 𝑃 ∈ ℝ3 ,𝑃 ≠ 𝑂

no plano ∏ é o ponto 𝑃′ onde a reta 𝑟 que passa por 𝑂 e 𝑃 intersecta o plano ∏.

𝑃′

𝑄′ 𝑂

𝑄

𝑃 ∏

Figura 8: Projeção cônica


21

Note que todos os pontos da reta 𝑟 definida por 𝑂 e 𝑃, com exceção do

próprio ponto 𝑂, são projetados no mesmo ponto 𝑃′. Isso significa que com

relação à projeção cônica, todos os pontos da reta 𝑟 são iguais. Esse fato natural

considera a reta 𝑟, excluindo o ponto 𝑂, como sendo um ponto projetivo. Tomando

o ponto 𝑂 como sendo a origem de ℝ𝑛+1, definimos como o espaço projetivo de

dimensão 𝑛 o conjunto das retas passando pela origem de ℝ𝑛+1 (eliminando-se a

origem). Desejamos que a Geometria Projetiva seja uma extensão natural da

Geometria Afim pois a mesma possui diversas propriedades úteis a Computação

Gráfica. Indicamos esse espaço projetivo 𝑛-dimensional por ℝℙ𝑛 . É comum

representar o ponto (𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) desse espaço como (𝒙, 𝑥𝑛+1),𝒙 ∈ ℝ𝑛 .

Generalizando nosso modelo: os subespaços projetivos de dimensão 𝑚 em

ℝℙ𝑛 , 𝑚 < 𝑛 são subespaços de dimensão 𝑚 + 1 em ℝ𝑛+1. Em particular, as retas

projetivas são subespaços bidimensionais, ou seja, planos que passam pela

origem.

A correspondência natural de pontos do espaço afim com pontos do

espaço projetivo determina uma partição dos pontos de ℝℙ𝑛 em dois conjuntos

ℝℙ𝑛 = 𝒙, 1 ∪ 𝒙, 0 ,𝒙 ≠ 0.

Os pontos da forma (𝒙, 1) são os pontos do plano euclidiano 𝑧 = 1.

Eles são chamados de pontos afins do plano projetivo (Figura 9). Os

pontos do tipo (𝒙, 0) são chamados de pontos ideais ou pontos do infinito.


22

1.3.5.2. COORDENADAS HOMOGÊNEAS

Com base no nosso modelo de ℝℙ𝑛 no qual cada ponto é uma reta em

ℝ𝑛+1 − {0} passando pela origem podemos definir as coordenadas projetivas.

Dado um ponto 𝒑 ∈ ℝℙ𝑛 , tomamos o ponto 𝒑′ ∈ ℝ𝑛+1 na reta 𝑟 que representa o

ponto 𝒑. Se 𝒑′ = (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1), então tomamos as coordenadas euclidianas

(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) como sendo as coordenadas projetivas do ponto 𝒑. Ocorre que

se 𝜆 ∈ ℝ é um número não nulo, 𝜆𝒑′ representa o mesmo ponto projetivo 𝒑. Desse

modo, 𝜆(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) também representam coordenadas de 𝒑. Ou seja, as

coordenadas projetivas de um ponto são determinadas a menos de uma

multiplicação por um escalar não nulo, e por isso são chamadas de coordenadas

homogêneas.

Os hiperplanos projetivos de ℝℙ𝑛 são definidos pela equação linear

homogênea

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1 = 0.

Do ponto de vista do modelo proposto do espaço projetivo, um hiperplano é

um subespaço 𝑛-dimensional de ℝ𝑛+1, ou seja, um hiperplano de ℝ𝑛+1 que

passam pela origem. No caso do plano projetivo, 𝑛 = 2, o hiperplano de ℝ3, dado

pela equação

1

ℝ𝑛

𝑃

𝑃′

Figura 9: Plano Projetivo


23

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 = 0.

1.3.5.3. TRANSFORMAÇÕES PROJETIVAS

Uma transformação projetiva 𝑇: ℝℙ𝑛 → ℝℙ𝑛 deve transformar pontos do

espaço projetivo, portanto do ponto de vista euclidiano, 𝑇 deve transformar uma

reta pela origem de ℝ𝑛+1 noutra reta que também passa pela origem. Sendo

assim, concluímos que 𝑇 deve ser uma transformação linear invertível 𝑇: ℝ𝑛+1 →

ℝ𝑛+1, do espaço euclidiano ℝ𝑛+1.

Daí decorre que uma transformação projetiva ℝℙ𝑛 preserva os elementos

lineares do espaço projetivo e, além disso, é representada por uma matriz (de

ordem 𝑛 + 1).

Observe que se 𝑇: ℝℙ𝑛 → ℝℙ𝑛 é uma transformação projetiva e 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠

0, então usando a linearidade de 𝑇 temos 𝜆𝑇 𝑃 = 𝑇 𝜆𝑃 = 𝑇(𝑃). Ou seja, uma

transformação projetiva fica definida de forma a menos de um produto por um

escalar não nulo.

1.3.5.4. ANATOMIA DE UMA TRANSFORMAÇÃO PROJETIVA

PLANA

O objetivo dessa seção é de fornecer e compreender a anatomia dessa

transformação.

Uma transformação projetiva T: ℝℙ2 → ℝℙ2 do plano projetivo é dada por

uma transformação linear invertível T: ℝ3 → ℝ3. Portanto ele é representado por

uma matriz M de ordem 3 invertível. A importância do estudo da anatomia, isto é,

de sua compreensão se evidência nas aplicações realizadas no capítulo 3 e 5.

Essa seção está baseada no capítulo de Geometria do livro Introdução à

Computação Gráfica de Jonas Gomes e Luiz Velho (Gomes & Velho, 2003).

Para isso, considere a matriz M da transformação abaixo dividida em 4

blocos,


24

𝑀 =

a c | t1

b d | t2

− − | −p1 p2 | s

= A TP S

,

onde

A = a cb d

, P = p1 p2 , T = t1

t2 e S = s .

Suponha que

P = 0 0 T = 00 , e S = 1 .

Ou seja, a matriz da transformação é dada por

𝑎 𝑐 0𝑏 𝑑 00 0 1

.

Nesse caso, aplicando a transformação a um ponto do infinito (𝑥, 𝑦, 0),

temos

𝑎 𝑐 0𝑏 𝑑 00 0 1

𝑥𝑦0 =

𝑎𝑥 + 𝑐𝑦𝑏𝑥 + 𝑑𝑦

0 .

Portanto o ponto resultante também é um ponto do infinito (dizemos que a

transformação deixa a reta do infinito invariante).

Por outro lado, se (𝑥,𝑦, 1) é um ponto afim do plano projetivo, a sua

imagem pela transformação é dada por

𝑎 𝑐 0𝑏 𝑑 00 0 1

𝑥𝑦1 =


1 .

Isso mostra que o ponto resultante também é um ponto afim. Ou seja, o

plano projetivo também é deixado invariante pela transformação. Além disso, nos

dois casos acima as coordenadas afins do ponto transformado são dados por


25

𝑎 𝑐𝑏 𝑑

𝑥𝑦 =


.

Os resultados acima mostram que a transformação projetiva é

simplesmente uma transformação linear do plano euclidiano cuja matriz é o bloco

𝐴. Portanto o grupo das transformações projetivas do plano contém, de modo

natural, o grupo das transformações lineares do plano euclidiano (e em particular

o grupo dos movimentos rígidos da Geometria Euclidiana Plana).

É fato de que o grupo das transformações projetivas contém o grupo das

transformações lineares do plano euclidiano. Com efeito, sabemos que a matriz

𝑎 𝑐 t1

𝑏 𝑑 t2

0 0 1

representa uma transformação linear do plano seguida de uma translação (ver

seção de Geometria Afim). Para ver isso, considere as matrizes a seguir:

A = 1 00 1

, P = 0 0 , e S = 1 .

Obtemos então

M x, y, 1 = 1 0 t1

0 1 t2

0 0 1

xy1 =

x + t1

y + t2

1 .

Portanto a ação da transformação no plano afim é a translação pelo vetor

(t1, t2).

O efeito do elemento 𝑠, que constitui o bloco 𝑆 da matriz, corresponde a

uma homotetia2 do plano afim de fator 1 𝑠 , 𝑠 ≠ 0. De fato,

2 Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a

um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a

aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que: OP′ = k . OP .

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_%28matem%C3%A1tica%29

http://pt.wikipedia.org/wiki/Aplica%C3%A7%C3%A3o_afim


26

1 0 00 1 00 0 s

xy1 =

xys =

x s

y s 1

.

Dos casos estudados, podemos concluir que o grupo das transformações

projetivas contém o grupo das transformações afins (e, portanto os movimentos

rígidos da geometria Euclidiana).

Analisemos agora o bloco 𝑃 da matriz 𝑀 = A TP S

. Para isso, tomemos o

bloco 𝐴 como sendo a matriz identidade, o bloco 𝑇 nulo e 𝑠 = 1. Aplicando a

transformação em um ponto afim com coordenadas (𝑥,𝑦, 1), obtemos

1 0 00 1 0p1 p2 1

xy1 =

xy

p1x + p2y + 1 .

Se 𝑝1 ≠ 0 ou 𝑝2 ≠ 0, a equação p1x + p2y + 1 = 0 possui uma infinidade de

soluções. Isso mostra que pontos 𝑥,𝑦, 1 , do plano afim, são transformados em

pontos do infinito (𝑥,𝑦, 0) do plano projetivo.

Por outro lado, aplicando a transformação a um ponto ideal (𝑥, 𝑦, 0), obtém-

se:

𝑀 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑥, 𝑦, p1x + p2y .

Tomando na equação acima pontos (𝑥, 𝑦) de modo que 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≠ 0,

concluímos que pontos do infinito do plano projetivo são transformados em pontos

do plano afim.

Geometricamente, se um ponto ideal é transformado em um ponto 𝑃0 do

plano afim, então a família de retas paralelas, que se intersectam nesse ponto

ideal, é transformada em uma família de retas incidentes no ponto 𝑃0 (Figura 10).

O ponto 𝑃0 é chamado de ponto de fuga da transformação.


27

Um ponto de fuga correspondendo a uma direção paralela a um dos eixos

coordenados de ℝ𝑛 é chamado ponto de fuga principal. Como no plano afim

existem no máximo duas direções ortogonais, podem-se ter transformações

projetivas com no máximo dois pontos de fuga principais. Cada um desses pontos

de fuga é a imagem do ponto ideal que corresponde às direções (𝑥, 0,0) e (0,𝑦, 0).

A existência dos pontos de fuga é controlada pelos elementos 𝑝1 e 𝑝2, na

matriz 𝑀 da transformação projetiva. Se 𝑝1 ≠ 0 e 𝑝2 = 0, temos apenas um ponto

de fuga correspondente ao eixo-𝑥; se 𝑝1 = 0 e 𝑝2 ≠ 0, temos apenas um ponto de

fuga correspondente ao eixo-𝑦; se ambos 𝑝1 e 𝑝2 são não nulos temos dois

pontos de fuga principais. A Figura 11 mostra uma transformação projetiva de um

retângulo com dois pontos de fuga. Note que a imagem do retângulo é um

quadrilátero. Esse tipo de comportamento foi utilizado na aplicação descrita no

capitulo 5 para criar efeitos de deformação em objetos.

Figura 11: Transformação com dois pontos de fuga (D e B).

𝐷 𝐶

𝐵 𝐴

𝐶

𝐵

𝐴

𝐷

Figura 10: Ponto ideal transformado em ponto real.

𝑃0


28

Ao definir Geometria Projetiva, utilizamos como motivação a projeção

cônica de uma fotografia. Nas seções seguintes estaremos retornando essa linha

de raciocínio para mostrar que as projeções são de fato transformações

projetivas.

1.3.5.5. PROJEÇÃO PARALELA

Dados os planos Π e Π′ do espaço projetivo, e uma reta 𝑟 não paralela a

nenhum deles, definimos uma projeção paralela 𝑇: Π → Π′ do seguinte modo:

dado 𝑃 ∈ Π, seja 𝑠 a reta que passa pelo ponto 𝑃 e é paralela à reta 𝑟, então

𝑇 𝑃 = 𝑠 ∩ Π′ (Figura 12).

Quando a reta 𝑠 é ortogonal ao plano Π′, a projeção é chamada de

projeção ortogonal. Não é difícil mostrar que a projeção paralela é uma

transformação afim do plano Π no plano Π′. Na realidade, se os planos forem

paralelos a projeção paralela define uma isometria entre eles.

1.3.5.6. PROJEÇÃO CÔNICA OU PERSPECTIVA

Essa projeção que nos motivou ao estudo da Geometria Projetiva. Ela é

definida do seguinte modo: considere um ponto 𝑂 e dois planos projetivos Π e Π′

no espaço projetivo ℝℙ3 (Figura 13). Para todo ponto 𝑃 ∈ Π, a reta projetiva 𝑂𝑃

intersecta o plano Π′ em um ponto P′. Definimos 𝑇:Π → Π′, pondo T P = P′

Figura 12: Projeção paralela.

Π′ Π

𝑠

r

P′ P


29

conforme ilustrado na Figura 13. O ponto 𝑂 é chamado de centro de projeção. As

retas 𝑂𝑃 são chamadas de retas de projeção.

Queremos mostrar que a projeção cônica 𝑇 é uma transformação projetiva.

Para isso, tomemos uma transformação projetiva 𝐿 do espaço que transforma o

centro de projeção 𝑂 em um ponto do infinito do espaço projetivo.

Todas as retas de projeção são transformadas por 𝐿 em retas paralelas.

Portanto a transformação composta 𝐿𝜊𝑇 da projeção cônica 𝑇 com a

transformação projetiva 𝐿 é uma projeção paralela 𝑇′ entre os planos

transformados 𝐿(Π) e 𝐿(Π′). Segue-se daí que a projeção cônica é dada por

𝑇 = 𝐿−1𝜊𝑇′. Ou seja, ela é a composta de uma projeção paralela, que é afim, com

a transformação projetiva 𝐿−1, sendo pois uma transformação projetiva.

As projeções são importantes em Computação Gráfica como modelos de

transformações devido a transformação da câmera virtual. Como a imagem da

projeção é o plano Π′, ela pode ser pensada como uma transformação de ℝ3 em

ℝ2, ou, mais precisamente, de ℝℙ3 em ℝℙ2. Desse ponto de vista, a projeção

mais genérica possível é uma transformação projetiva 𝑇:ℝℙ3 → ℝℙ2 que, em

coordenadas homogêneas, é dada por

Figura 13: Projeção cônica

Π′ Π

𝑂

P′ P

𝑄

𝑄′


30

𝑦1

𝑦2

𝑦3

=

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14

𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24

𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

.

Temos 11 graus de liberdade para definir uma câmera virtual ou sintética

usando essa transformação, e diversos tipos de câmeras possíveis. Dentre elas

podemos citar: câmera de perspectiva (que usa a projeção cônica), câmera de

furo (―pinhole camera‖), câmera afim (projeção paralela), câmera de perspectiva

fraca (―weak-perspective‖) e a câmera ortográfica.

O estudo de câmeras não é o objeto principal desse texto e, portanto, não

terá ênfase nesse texto, todavia uma prévia será feita na seção 1.4.4.

1.3.6. A GEOMETRIA DA COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Nas seções anteriores, definimos alguns conceitos para determinar qual

seria a geometria mais adequada para a Computação Gráfica. Como vimos a

Geometria Projetiva é a mais adequada porque tanto a Geometria Euclidiana

quanto a Geometria Afim não possuíam estrutura geométrica ou Algébrica para

suportar algumas operações importantes para a Computação Gráfica. Na verdade

o espaço projetivo ainda tem suas limitações, principalmente do ponto de vista

algébrico.

Os aspectos computacionais da geometria não foram considerados nesse

capítulo introdutório. Aspectos computacionais da Geometria Afim são tratados na

Geometria Computacional e é um tópico de grande importância na Computação

Gráfica, todavia, ele não será tratado aqui, mas será utilizado em grande escala

nas aplicações apresentadas nos capítulos 3 e 5.


31

1.4. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE COMPUTAÇÃO

GRÁFICA

1.4.1. REPRESENTAÇÃO 3D

Em geral, a forma de representação determina a estrutura de dados a ser

utilizada, o custo do processamento de um objeto através do pipeline de

visualização 3D, a aparência final de um objeto e a facilidade para alterar a sua

forma.

Na literatura, encontramos geralmente quatro formas de representação, de

acordo com a importância e freqüência de utilização: (1)malha de polígonos; (2)

superfícies paramétricas; (3) Geometria Sólida Construtiva (CSG); (4)

enumeração de ocupação espacial. As representações 1 e 4 consistem numa

aproximação da forma do objeto que está sendo modelado.

A 2 e a 3, por sua vez, são representações exatas. Por outro lado, a 1 e a 2

representam apenas a superfície do objeto, sendo o volume inteiro representado

pela 3 e pela 4.

A forma mais comum de representar modelos 3D é através de uma malha

de polígonos. Ou seja, define-se um conjunto de vértices no espaço (geometria) e

como esses vértices devem ser ligados para formarem polígonos fechados,

chamados de face (topologia), que podem ser triângulos ou quadrados. O

armazenamento desse tipo de estrutura é usualmente realizado através de

vetores de estruturas, matrizes ou listas. Por exemplo, a Figura 14 apresenta a

lista de vértices e faces necessárias para desenhar uma casa simplificada.


32

1.4.2. SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS

Superfícies paramétricas são usadas quando se necessita trabalhar com

superfícies suaves na modelagem de objetos de forma livre (Free Form Objects).

Neste caso, uma representação muito utilizada são os patches paramétricos

bicúbicos, que permitem calcular as coordenadas de todos os pontos que formam

uma superfície curva através da definição de 16 pontos de controle e da utilização

de três equações, uma para x, uma para y e uma para z. Cada equação possui

duas variáveis (ou parâmetros) e termos para todo domínio dos parâmetros até o

seu cubo (daí as expressões bi e cúbico).

Em outras palavras, o patch é uma superfície curva na qual cada um dos

pontos que a formam deve ser processado. Para isto, inicialmente devem ser

definidos 16 pontos 3D, chamados pontos de controle. Quatro destes pontos que

determinam a forma do patch pertencem aos seus cantos. A partir da

especificação dos pontos de controle, são usadas três funções para calcular os

valores intermediários que, simplificadamente, são resultantes de uma

interpolação. Através de parâmetros passados para as funções, é possível

determinar a quantidade de valores intermediários calculados. Além disso,

sempre que um ponto de controle é alterado, os pontos que formam a superfície

devem ser gerados novamente.

𝑣1

𝑣4

𝑣8

𝑣9 𝑣6

𝑣2

𝑣3

𝑣7

𝑣5

Vértices (geometria)

1 𝑥1 𝑦1 𝑧1

2 𝑥2 𝑦2 𝑧2

3 𝑥3 𝑦3 𝑧3

4 𝑥4 𝑦4 𝑧4

5 𝑥5 𝑦5 𝑧5

6 𝑥6 𝑦6 𝑧6

7 𝑥7 𝑦7 𝑧7

8 𝑥8 𝑦8 𝑧8

9 𝑥9 𝑦9 𝑧9

Faces (topologia)

1 𝑣1 𝑣4 𝑣5

2 𝑣1 𝑣5 𝑣2

3 𝑣1 𝑣2 𝑣3

4 𝑣1 𝑣3 𝑣4

5 𝑣4 𝑣3 𝑣7 𝑣8

6 𝑣5 𝑣4 𝑣8 𝑣9

7 𝑣2 𝑣5 𝑣9 𝑣6

8 𝑣3 𝑣2 𝑣6 𝑣7

9 𝑣6 𝑣9 𝑣8 𝑣7

Figura 14: Exemplo de um objeto representado por uma malha de polígonos


33

1.4.3. VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA

Visualização Científica (Scientific Visualization ou SciVis), está relacionada

com a exploração de dados e informação de modo a haver ganho de

compreensão e percepção dos dados. O objetivo da Visualização Científica é

promover um nível mais profundo de entendimento dos dados sob investigação,

confiando na habilidade dos humanos de visualizar. Em muitos casos, as

ferramentas e técnicas de visualização têm sido usadas para analisar e mostrar

grandes volumes de dados multidimensionais, freqüentemente variantes no

tempo, de modo a permitir ao usuário extrair características e resultados rápida e

facilmente.

A Figura 15 mostra uma SciVis, em isolinhas(vide comentários em

Considerações Finais), de uma barra trapezoidal com tensões na direção 𝑋. A

SciVis foi gerada pelo software MEMEC que será objeto de estudo no Capítulo 5.

Figura 15: Exemplo de SciVis gerada pelo software MEMEC

1.4.3.1. TÉCNICAS DA VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA

Existem diversas técnicas aplicadas pela SciVis. Algumas são específicas

para tratar dados escalares, como temperatura, outras dados vetoriais, como

deslocamento, e outras ainda, tensoriais, como tensor de tensões.


34

Entre as que operam com dados escalares, há os gráficos de funções,

isolinhas e isosuperfícies, mapeamento de cores, renderização volumétrica,

desenho de superfícies elevadas, entre outras. Algumas técnicas trabalham com

dados dimensionais, enquanto outras trabalham com bi ou mesmo

tridimensionais. O mapeamento de cores, por exemplo, que consiste em associar

uma gama de cores a uma variação do valor do dado, pode ser usado em

análises em duas ou três dimensões.

Outras técnicas trabalham com dados vetoriais, como por exemplo, as

linhas e fitas de corrente, o uso de setas, e o desenho da posição das partículas.

Essas técnicas trabalham geralmente em duas ou três dimensões.

Não existem muitas técnicas eficientes para representar tensores. A

maioria delas usa glifos, ou ícones, para tentar representar os componentes dos

tensores. Entretanto, o que tem se mostrado mais eficiente, é a representação

dos componentes dos tensores de forma separada, utilizando técnicas para dados

escalares. O mesmo pode ser feito com dados vetoriais.

As diversas técnicas modernas de visualização nada mais são do que

variações das tradicionais. No entanto, as técnicas usadas precisam de alguns

cuidados para sua aplicação, e não apenas o uso simples dos algoritmos.

1.4.3.2. TOOLKITS DE VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA

As diversas técnicas da SciVis foram freqüentemente desenvolvidas e

reunidas em bibliotecas ou toolkits (pacotes) gráficos, como por exemplo, AVS,

VTK, OpenDX, VisAD, IRIS Explorer.

O AVS (Advanced Visual Systems), criado em 1989, é um dos pacotes

para visualização de dados mais antigos. Ele permite a utilização tanto por

programadores experientes quanto por usuários diretos, pois possui um ambiente

gráfico de desenvolvimento. Possui métodos de visualização para problemas em

diversos campos, incluindo ciências, administração, engenharia, medicina,

telecomunicações e meio ambiente


35

Outro pacote, ou biblioteca é o VisAD, constituído de uma série de

componentes para visualização interativa e colaborativa e análise numérica de

dados.

O nome VisAD é um acrônimo para Visualization for Algorithm

Development (Visualização para Desenvolvimento de Algoritmo) (VISAD Home

Page, 2007).

Um pacote bastante utilizado é o Open Visualization Data Explorer

(OpenDX). Ele é uma versão de código aberto do produto da IBM Visualization

Data Explorer. Existe há vários anos, e possui um conjunto de ferramentas para

manipulação, transformação, processamento, renderização e animação de dados.

Possui integrada uma interface gráfica orientada a objetos (IBM Research

Visualization Data Explorer, 2005).

O IRIS Explorer é uma ferramenta desenvolvida pelo NAG (Numerical

Algorithms Group) para desenvolvimento de aplicações de visualização. Possui

um ambiente de desenvolvimento visual (NUMERICAL ALGORITHMS GROUP,

2005).

O Visualization ToolKit (VTK) é um sistema gratuito de código aberto para

computação gráfica 3D, processamento de imagem e visualização muito usado.

Ele consiste de uma biblioteca de classes na linguagem de programação C++, e

algumas camadas de interface incluindo Tcl/Tk, Java e Python. Com diversas

técnicas, é influenciado pelo princípio da Orientação a Objetos (KITWARE, 2005).

O VTK provê uma variedade de representações de dados incluindo

conjuntos de pontos desorganizados, dados poligonais, imagens, volumes, e

também malhas estruturadas, retilíneas e não-estruturadas.

Existem, ainda, diversos outros pacotes de SciVis. Alguns deles são

específicos para determinadas áreas, enquanto outros são bastante genéricos.


36

1.4.4. CÂMERA

Um dos objetos mais importantes na construção de uma cena

tridimensional é a câmera sintética, que possibilita a visão de qualquer outro

objeto. Portanto, pelo menos uma câmera precisa ser definida em cada cena.

Uma câmera sintética pode ser caracterizada de diversas maneiras, como

por exemplo, como um ponto de visão e centro de interesse que define o centro

da imagem da câmera. Outra idéia é associar o ponto de visão com uma direção.

A Figura 16 mostra uma representação da projeção de uma imagem em uma tela

2D, de acordo com a câmera.

Figura 16: Projeção de Cena 3D em imagem 2D

O movimento de câmera é o mais utilizado para representar o observador

em sistemas gráficos e de visualização. O posicionamento e a animação de

objetos se dão tanto pela alteração da posição do objeto em relação a um sistema

de coordenadas global da cena, como pela alteração pura e simples da posição

da câmera.

As projeções mais comuns, para a criação de uma imagem, são a

perspectiva e a paralela.


37

1.4.5. ILUMINAÇÃO E COR

A maior parte do processo físico de iluminação pode ser simulado no

computador. Entretanto, sua utilização na obtenção de imagens de alta qualidade

implica em altos custos computacionais. A iluminação, de forma direta, não é

muito importante em análises numéricas. Mas, de forma indireta, pelo efeito de

sombreamento ou tonalização, ela pode dar a impressão de tridimensionalidade,

facilitando a análise de modelos 3D.

A cor é de fundamental importância na aplicação realizada no capítulo 5. A

aplicação mais comum consiste em associar cores a valores de dados. Por

exemplo, associar uma gama de cores, variando do vermelho ao azul, com os

valores de tensão em uma direção, da máxima tração à máxima compressão.

Além dessa aplicação, a utilização de cores é item obrigatório em aplicações de

Computação Gráfica

O processo de calcular a iluminação para cada ponto de uma superfície é

denominado tonalização (shading). Para superfícies coloridas, a intensidade de

cada componente da luz (vermelha, verde e azul, ou RGB), deve ser calculada

individualmente. Isso porque, em Computação Gráfica, a maioria dos sistemas

gráficos trabalha com o modelo de cores RGB, que é o mais próximo do hardware

gráfico, que trabalha com fósforo destas três cores. Esse modelo assume que a

cor de um pixel é determinada pela soma dos componentes vermelho, verde e

azul da cor, sendo que a quantidade de cada componente é expressa no intervalo

[0,1] ou [0,255].

1.4.6. TEXTURA

Objetos reais não são suficientemente caracterizados apenas por sua

geometria tridimensional, mas necessitam de informação adicional de sua

superfície. No caso mais simples, a superfície do objeto é coberta com uma cor

constante. Como regra, as superfícies de objetos não são desestruturadas, mas

possuem variação de cor dependente de posição, transparência, rugosidade, e

também geometria, que dão a característica de aparência de materiais. Essas

propriedades são sumarizadas no termo textura.


38

O objetivo de simulação de texturas em Computação Gráfica é gerar

imagens de textura num dispositivo visual final, que evoca uma sensação de

textura similar à causada pela original.

Em Computação Gráfica, além de representar objetos reais, as texturas

são usadas para dar suporte a aplicações científicas, para percepção do espaço e

forma de objetos tridimensionais, e como primitivas básicas de conjunto de dados

de visualização com parâmetros múltiplos. As texturas são tratadas como

parâmetros de aparência, como por exemplo, cor, rugosidade, reflexão e brilho.


39

Capítulo 2. Um problema na Educação Matemática

A educação ainda está fortemente ligada à sala de aula e, infelizmente,

muitas escolas ainda não têm se beneficiado pelas novas tecnologias da

informação e comunicação, visto que a capacitação docente enfrenta enormes

dificuldades neste campo.

Infelizmente recursos financeiros e humanos impossibilitam a implantação

maciça de TIC3s na educação para a melhoria de sua qualidade.

No entanto, mesmo com algumas limitações existem profissionais de

diversas áreas pesquisando e trabalhando para construir ambientes

informatizados que possibilitem ao educador uma gama de ferramentas em prol

da melhoria do ensino de matemática

Nesse capítulo é apresentado o Conjunto dos Números Complexos, são

apresentados fatores históricos dos números complexos e os números complexos

como objeto matemático, além de reflexões sobre o processo de ensino-

aprendizagem sobre os números complexos. Esse capítulo é baseado nos textos

de José Paulo (Carneiro, 2000) e, Marcos Alexandre Campos, Marlucio Barbosa e

Marcelo Almeida Bairral (Campos, Barbosa, & Bairral, 2007).

2.1. ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Analisando os livros didáticos que trazem o conteúdo dos números

complexos, podemos observar que a maioria propõe a equação do 2º grau para

ser resolvida, como por exemplo, x2 + 1 = 0, e dão como solução um número i tal

que i2 = -1. Essa maneira de abordar esses números dá-nos a impressão de que

na Matemática, tudo surge da inspiração de algumas pessoas que ―inventam‖ os

conceitos. Além disso, as equações do segundo grau não motivaram o

surgimento dos complexos, uma vez que quando a resolução de uma equação do

3 TIC – Tecnologia da Informação e Comunicação


40

segundo grau, proveniente de problema, apresentava um discriminante negativo,

isso apenas indicava que tal problema não tinha solução (Rosa, 1998).

Novos estudos vêm elaborando novas propostas para o ensino dos

números complexos, dentre essas propostas, temos o ensino dos Números

Complexos através da geometria que será explicitada no Capítulo 3.

2.2. UMA REVISÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS

COMPLEXOS

2.2.1. O Aparecimento do Número

O conceito de número tem sido preocupação constante para matemáticos e

filósofos, chegando a considerar-se que a complexidade de uma civilização se

reflete na complexidade dos seus números. Embora a idéia de número seja

anterior à criação da palavra para designá-lo, pode dizer-se que o

desenvolvimento da idéia caminhou a par com o da respectiva linguagem. Foi

após longa evolução que o Homem desenvolveu a técnica que consiste em fazer

corresponder a cada elemento de um conjunto, um elemento de outro conjunto.

Para os antigos Hindus a lua ou a terra representavam o número 1, as asas de

um pássaro o número 2, as folhas de um trevo o número 3, as patas de um cão o

número 4, os dedos da mão o números 5, o que reflete também a ligação da

criação de número com a própria Natureza. Segundo Bento de Jesus Caraça:

―Esta operação de "fazer corresponder" (...) é, sem dúvida, uma das idéias

basilares da matemática‖.

A numeração impôs-se desde o momento em que o homem primitivo

precisou contar às peças que apanhava da caça e os filhos que tinha. Nasce

assim o conceito de número natural (1, 2, 3,...). No conjunto dos números naturais

podem definir-se duas operações, soma e produto, mas não divisão ou subtração,

que só teria solução nos casos em que o diminuendo fosse menor que o


41

diminuidor: não existe nenhum número natural que seja igual a 3 menos 5. Foi

preciso criar outra classe de números que resolvesse este problema: os números

inteiros (0, 1, -1, 2, -2,...). Observe que no conjunto dos números inteiros ficam

incluídos os naturais. Mas no conjunto dos inteiros só é possível à divisão quando

o dividendo é múltiplo do divisor. Daí a necessidade de introduzir os números

fracionários. A reunião de inteiros e fracionários forma o conjunto dos números

racionais. Neste conjunto só não é possível à radiciação: 3 e 23

são exemplos

de raízes que não têm sentido nos números racionais. Aos números deste tipo

chamamos-lhes irracionais. Fica assim completo o campo dos números reais (a

união dos racionais com os irracionais). Só fica por resolver o caso das raízes de

índice par dos números negativos. Por isso há que introduzir a noção de números

complexos.

O digrama da Figura 17 representa os conjuntos numéricos com suas

relações de inclusão.

Figura 17: Diagrama dos Conjuntos Numéricos

Complexos

Reais

Racionais

Irracionais Inteiros

Naturais


42

2.2.2. As primeiras reações às raízes quadradas de números negativos

Aproximadamente em 850 DC Mahavira afirma: ―... como na natureza das

coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raiz quadrada‖.

Bhaskara (1114-1185 aprox.) afirma: ―O quadrado de um afirmativo [positivo] é

um afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa.

Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado‖.

O matemático Luca Paccioli (1445-1514) publica em 1494 que a equação

x2 + c = bx é solúvel se b2/4 c e o francês Nicola Chuquet (1445-1500) faz

observações semelhantes sobre "soluções impossíveis" em publicação de 1484.

Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízes

quadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que o

mesmo não tinha solução.

O primeiro exemplo de raiz quadrada de número negativo foi publicado,

aproximadamente em 75 DC por Heron, num cálculo sobre o desenho de uma

pirâmide onde surge o número 81− 144, que não provocando problemas de

maior o trocou por 144 − 81.

À volta do ano 275 DC Diophanto ao resolver um problema depara-se com

a equação 24x2 - 172x + 336 = 0, cujo descriminante é negativo, não tendo assim

raízes reais e portanto não vendo necessidade de dar sentido a −167.

2.2.3. O aparecimento das raízes quadradas de números negativos

Não podemos esquecer que nesta altura (sécs. XVI e XVII) nem os

irracionais nem os negativos tinham adquirido esta dignidade numérica. Qualquer

matemático desta altura classificaria as equações do tipo x2 + 1 = 0 ou x2 – 2 = 0

como absurdas, obviamente impossíveis, sem solução, não perderiam tempo com

elas. Os números negativos e os números complexos apareceram mais ou menos

simultaneamente.


43

Um grande passo no estudo dos números complexos, z = a + bi, foi a sua

representação visual. O dinamarquês Caspar Wessel, em 1797, foi o primeiro a

representar geometricamente os números complexos, estabelecendo uma

correspondência bijetiva entre números complexos e pontos do plano, que, de

certa forma, segue a linha da representação dos números reais numa reta.

Esta representação de Wessel vai um pouco mais além da simples

representação cartesiana, pois toma um eixo (regra geral o eixo das ordenadas)

como o eixo onde se encontram todos os imaginários puros. Este trabalho de

Wessel foi votado ao esquecimento, por ter sido publicado em dinamarquês, e só

anos depois, à volta de 1806, agora publicado em francês por Jean Robert

Argand que criava a mesma representação cuja glória, indevida, ficou ligada ao

seu nome até aos nossos tempos.

Ao homem de hoje as raízes quadradas de números negativos não

provocam nenhuma dificuldade de aceitação, ao contrário dos algebristas do séc.

XVI que, sugestionados pelo aspecto, as consideravam como um artifício e algo

fora das possibilidades numéricas, e não lhes conferiam qualquer dignidade

numérica. Este modo de ver instalou-se de tal maneira no espírito dos algebristas

que, já no séc. XVII, Descartes chamou imaginários a estes novos números.

As raízes quadradas de números complexos aparecem na resolução de

cúbicas e não na resolução de equações de segundo grau tal como, por vezes,

falaciosamente, se considera. É a obra de Cardano, Ars Magna, que despoleta o

aparecimento dos números imaginários. Esta obra basicamente tratava, entres

outros assuntos, das resolventes da cúbica e da quártica. Consideremos o

seguinte problema constante da Ars Magna "Determinar dois números cuja soma

seja 10 e o produto seja 40.". A resolução deste problema levou Cardano a

considerar as expressões 5 + −5 e 5− −5 como soluções do problema e tal

como pensou "Pondo de lado a tortura mental envolvida" não lhes dando

significado. A partir de um trabalho de Bombelli os números complexos

começaram a ser usados, apesar de se duvidar da sua existência.

2.2.4. A notação


44

Em 1629 Albert Girard utiliza, efetivamente, o símbolo −1 quando

enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação. O símbolo 𝑖 foi

usado pela primeira vez em 1794 por Leonard Euler para representar −1,

tornando-se aceite após o seu uso por Gauss em 1801.

Os termos real e imaginário foram empregues pela primeira vez em 1637

por René Descartes; a expressão número complexo foi introduzida por Gauss em

1832.

2.3. A IMPORTÂNCIA DA INFORMÁTICA NO ENSINO DA

MATEMÁTICA

Os computadores são instrumentos utilizados para diversos fins, desde o

uso mais simples como as máquinas de calcular à uso mais complexos como a

busca de solução para equações que levariam décadas ou até mesmo milênios

para serem resolvidas manualmente.

Outra característica dos computadores é o de instrumento de lazer, de fácil

manipulação e de aprendizagem fácil e prazerosa. Nesse sentido, o uso de

computadores no ensino de matemática busca motivar o aluno, retirando dele

atividades repetitivas que demandariam enorme tempo, fazendo com que assim o

aluno tenha mais tempo disponível para se dedicar aos seus pensamentos e

observações de suas idéias através de modelos matemáticos prontos ou a serem

gerados pelo aluno.

2.4. NÚMEROS COMPLEXOS: O OBJETO MATEMÁTICO

Um número complexo é um par ordenado (𝑎; 𝑏) de números reais. O

conjunto ℂ dos números complexos coincide, portanto, com o conjunto ℝ2 de

todos os pares ordenados de números reais e geometricamente, um complexo

pode ser visto como um ponto plano cartesiano. Por outro lado, existe uma


45

correspondência perfeita entre cada ponto 𝑃 do plano e o vetor definido pelo

segmento orientado 𝑶𝑷 , onde 𝑂 é a origem. Assim, identificamos: ponto 𝑷 =

(𝑎; 𝑏), número complexo (𝑎; 𝑏), e vetor 𝑶𝑷 = (𝑎; 𝑏). Comumente representa-se

um elemento do conjunto ℂ na forma 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são reais, por ora, pode-

se pensar em 𝑎 + 𝑏𝑖 como (𝑎; 𝑏). Portanto, 𝑖 se identifica com o ponto (0; 1), ou

com o vetor que vai da origem a (0; 1).

O módulo, ou valor absoluto de um complexo, como para qualquer vetor no

plano, é sua distância à origem, isto é: se 𝒛 = (𝑥; 𝑦), então |𝑧| = 𝑥2 + 𝑦2.

Veremos, no capítulo 3, através do software i-Complex como é fácil verificar o

módulo de um número complexo.

2.4.1. Adição

A adição de complexos é a adição usual de vetores no plano, ou seja: por

definição, (𝑎; 𝑏) + (𝑐; 𝑑) = (𝑎 + 𝑐; 𝑏 + 𝑑).

Observemos que geometricamente, esta adição traduz a chamada ―regra

do paralelogramo‖. Em outros termos, se a for um complexo fixo, a transformação

do plano em sim mesmo que a cada complexo (ponto) 𝒛 associa o complexo

(ponto) 𝒂 + 𝒛 é a translação definida pelo vetor (ou ponto, ou complexo) 𝒂. Como

será observado, no capitulo 3, o i-Complex utiliza a translação para somar dois

números complexos quaisquer.

2.4.2. Multiplicação de um real por um complexo

Se 𝑟 ∈ ℝ e z = a; b ∈ ℂ, então se define: 𝑟𝒛 = (𝑟𝑎, 𝑟𝑏).

O complexo 𝑟𝒛 é transformado de 𝒛 pela homotetia4 de centro na origem e

razão (ou fator) 𝑟.

4 Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a

um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro 𝑂 e pela razão k de homotetia e é a

aplicação afim tal que a cada ponto 𝑷 faz corresponder o ponto 𝑷′ tal que: 𝐎𝐏′ = k .𝐎𝐏 .

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_%28matem%C3%A1tica%29

http://pt.wikipedia.org/wiki/Aplica%C3%A7%C3%A3o_afim


46

2.4.3. Unitários, Argumento, Forma Trigonométrica

Sendo 𝒛 um complexo não nulo (isto é, diferente de (0; 0)), o complexo

𝒛 / |𝑧| têm módulo 1. Se pensado como vetor, 𝒛 / |𝑧| tem a mesma direção e

sentido que 𝒛. Se pensado como ponto, está na semi-reta de origem (0; 0) e que

contém 𝒛.

Qualquer complexo de módulo 1 é chamado unitário. Dado um complexo

não nulo 𝒛, o complexo 𝒛 / |𝑧| é o unitário de 𝒛.

Todo complexo unitário pertence ao circulo de centro na origem e raio 1, e,

portanto é da forma (cos𝜃; 𝑠𝑒𝑛 𝜃). A este ângulo 𝜃 se chama um argumento de 𝒛.

Qualquer outro ângulo da forma 𝜃 + 2𝑘𝜋 (em radianos) é também um argumento

do mesmo 𝒛.

Para todo complexo não nulo 𝒛, pode-se, portanto escrever: 𝒛

|𝑧|=

(cos𝜃 ; 𝑠𝑒𝑛 𝜃) ou 𝒛 = 𝑧 (cos𝜃; 𝑠𝑒𝑛 𝜃) = ( 𝑧 cos𝜃 ; 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝜃), onde 𝜃 é um

argumento de 𝒛. Cada uma destas expressões é chamada forma trigonométrica

ou forma polar do número complexo 𝒛.

2.4.4. Multiplicação de complexos

Cada complexo unitário (cos𝜃; 𝑠𝑒𝑛 𝜃) define uma rotação de centro na

origem, de amplitude α. Por definição, multiplicar dois complexos unitários

equivale a compor as rotações que eles definem isto é somar seus ângulos.

Portanto, o produto de dois complexos unitários é um novo complexo unitário cujo

argumento é a soma dos argumentos dos dois fatores:

(cos𝛼; 𝑠𝑒𝑛 𝛼) ∙ (cos𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛽) = (cos 𝛼 + 𝛽 ; 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)) = (cos𝛼 cos𝛽 −

𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽) .

Em termos algébricos, a definição de produto de complexos unitários

equivale, portanto, à fórmula: (𝑎; 𝑏) ∙ (𝑐; 𝑑) = (𝑎𝑐 – 𝑏𝑑; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐).


47

Por outro lado, o produto de dois números complexos não nulos quaisquer

𝒛 𝑒 𝒘 se obtém, por definição, multiplicando seus módulos e seus unitários. Assim,

o módulo do produto 𝒛𝒘 é o produto dos módulos de cada fator, e o unitário do

produto 𝒛𝒘 é o produto dos unitários dos fatores 𝒛 e 𝒘. Sendo então 𝒛 =

𝑧 (cos𝛼; 𝑠𝑒𝑛 𝛼) e 𝒘 = 𝑤 (cos𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛽), tem-se, por definição:

𝒛𝒘 = 𝑧𝑤 . 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝒛𝒘 = 𝑧 𝑤 . 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝒛 . 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝒘 =

𝑧 𝑤 (cos𝛼; 𝑠𝑒𝑛 𝛼) . (cos𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛽) = 𝑧 𝑤 (cos 𝛼 + 𝛽 ; 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽)) .

Em palavras: o modulo do produto é o produto dos módulos dos fatores, e

um argumento do produto é a soma dos argumentos dos fatores.

Em termos algébricos, se 𝒛 = (𝑎; 𝑏) e 𝒘 = (𝑐; 𝑑), teremos:

𝒛𝒘 = 𝑧 𝑤 𝑎

𝑧 ;𝑏

𝑧 .

𝑐

|𝑤;𝑑

𝑤 = 𝑧 𝑤

𝑎𝑐 − 𝑏𝑑

𝑧 𝑤 ;𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑧 𝑤 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑;𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

Esta expressão, válida inicialmente para unitários, vale também para

quaisquer complexos não nulos. Por isto, vamos torná-la como definição geral do

produto de dois complexos (inclusive se um deles for nulo, ou ambos o forem):

Definição: O produto de dois complexos quaisquer é definido por:

𝑎; 𝑏 . 𝑐;𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑;𝑎𝑑 + 𝑏𝑐).

Pode-se verificar algebricamente que a multiplicação de complexos é

comutativa, associativa e distributiva em relação à adição. O fato de que a

multiplicação de complexos não nulos equivale a multiplicar os módulos e somar

os argumentos dos fatores, sugere que (1; 0), que tem módulo 1 e argumento

zero, seja o elemento neutro para a multiplicação. E de fato, isto pode ser

verificado pela definição geral.

2.4.5. Conjugado, inverso e quociente

Sendo 𝒛 = (𝑎; 𝑏), o complexo 𝐳 = (a; −b) se chama o conjugado de

(𝑎; 𝑏). Geometricamente 𝐳 é o simétrico de 𝒛 em relação ao eixo 𝑋.


48

É imediato verificar que |z | = |z| e que se 𝜃 for um argumento de 𝒛, então

𝜃 é um argumento de 𝐳 .

O complexo nulo (0; 0) não tem inverso multiplicativo, já que seu produto

por qualquer outro complexo dá (0; 0), não podendo dar (1; 0). Se, porém, 𝒛 for

um complexo não nulo, com argumento 𝜃, e 𝒘 o complexo que tem módulo 1/|𝑧|

e argumento – 𝜃, é claro que 𝒛𝒘 tem um argumento 1 e argumento zero, ou seja,

𝒛𝒘 = (1; 0) e, portanto, 𝒘 é o inverso de 𝒛 para a multiplicação. Chamaremos

𝒘 = 1/𝒛. Pelo exposto, |𝑧|2𝒘 tem módulo |z| e argumento – 𝜃, ou seja, é o

conjugado de 𝒛. Logo: 1

𝐳=

𝐳

z 2. De um modo geral, a inversão em relação a uma

circunferência 𝐾 de centro 𝑂 é a transformação que a cada ponto 𝑃 (distinto de 𝑂)

associa o ponto 𝑷’ situado na semi-reta 𝑂𝑃 tal que |𝑂𝑃′ | = |𝑂𝑃 | = 𝑅2, onde 𝑅 é o

raio de 𝐾. Portanto, no plano complexo, a inversão em relação à circunferência

unitária (de centro na origem e raio 1) transforma o complexo não nulo 𝒛 em 1 𝒛 ,

ou seja, transforma 𝒛 em 1 𝒛 .

O quociente 𝐳

𝐰 de complexos (sendo 𝒛 ≠ 0) é definido como o produto de 𝒛

pelo inverso de 𝒘. Portanto, 𝐳

𝐰=

𝐳𝐰

|w|2.

2.4.6. Os complexos como extensão dos reais e o número i

No conjunto ℂ dos números complexos, já definimos as operações de

adição e multiplicação, de acordo com as regras: (a; b) + (c; d) = (a + b; b +

d) e (a; b) . (c; d) = (ac – bd; ad + bc). Pode-se verificar que estas operações

possuem as seguintes propriedades: são associativas e comutativas; a

multiplicação é distributiva em relação à adição; (0; 0) é neutro para a adição,

(1; 0) é neutro para a multiplicação; todo complexo 𝒛 = (𝑎; 𝑏) tem simétrico

– 𝒛 = (−𝑎; −𝑏) para a adição e, se for não nulo, tem inverso para a multiplicação

1 𝒛 = 𝒛 |𝑧|2 . Matematicamente, dizemos que ℂ munido das operações de adição

e multiplicação, isto é, (ℂ, +,∙) é um corpo (para mais detalhes sobre corpo veja

(Domingues & Iezzi, 2003)).


49

Se considerarmos agora os complexos situados no eixo 𝑋, isto é, os da

forma (𝑥; 0), pelas definições das operações, temos: 𝑎; 0 + 𝑏; 0 = 𝑎 + 𝑏; 0 +

0 = (𝑎 + 𝑏; 0) e 𝑎; 0 . 𝑏; 0 = 𝑎𝑏 − 0; 0𝑎 + 0𝑏 = (𝑎𝑏; 0).

Daí se vê que: (i) o eixo 𝑋 é fechado para as operações de adição e

multiplicação de complexos; (ii) os neutros (0; 0) e (1; 0) pertencem ao eixo 𝑋; (iii)

o simétrico (-a; 0) do complexo (a; 0) do eixo 𝑋 continua pertencendo ao eixo 𝑋;

(iv) o inverso 1 𝑎 ; 0 do complexo não nulo (𝑎; 0) do eixo 𝑋 continua

pertencendo ao eixo 𝑋.

Ou seja, o eixo 𝑋 é um subcorpo de ℂ.

Além disto, se 𝑓:𝑋 → ℝ for a função definida por 𝑓 𝑎; 0 = 𝑎, então 𝑓 é

uma bijeção de 𝑋 sobre ℝ tal que: 𝑓 𝑧 + 𝑤 = 𝑓 𝑧 + 𝑓(𝑤) e 𝑓 𝑧𝑤 = 𝑓 𝑧 𝑓(𝑤),

ou seja, 𝑓 é um isomorfismo do corpo 𝑋 sobre o corpo ℝ. Ou ainda: 𝑋 e ℝ são

isomorfos através da correspondência a; 0 ↔ a. Isto significa que o eixo 𝑋 é,

algebricamente, uma cópia perfeita do corpo dos reais, por isto mesmo chamada

de eixo real. Em vez de dizer ―ℂ contém uma cópia perfeita de ℝ‖, diz-se, por

abuso de linguagem: ℂ contém ℝ, isto é, põe-se a cópia no lugar do original. Com

isto, identificamos o eixo 𝑋 com ℝ e, conseqüentemente, de agora em diante, o

complexo (𝑎; 0) passa a ser identificado com o real a.

Com a identificação (a; 0) = a, obtém-se, em particular, (0; 0 ) = 0 e

(1; 0) = 1, ou seja, os neutros da adição e da multiplicação de complexos são,

felizmente os mesmos dos reais.

O número 𝑖 é definido como: 𝑖 = (0; 1), ou seja, é o complexo de módulo 1

e argumento 𝜋/2. Portanto, multiplicar um complexo por 𝑖 significa girá-lo de um

ângulo reto (positivo). Em particular, 𝑖2 tem módulo 1 e argumento 𝜋, isto é:

𝑖2 = −1; 0 = −1, como também pode ser verificado diretamente pela definição

da multiplicação. Por outro lado, para qualquer complexo 𝑎; 𝑏 = 𝑎; 0 + 0; 𝑏 =

𝑎 1; 0 + 𝑏 0; 1 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

Aqui recuperamos aquilo que às vezes é tomado como definição de

número complexo: todo número complexo (𝑎; 𝑏) pode ser escrito como 𝑎; 𝑏 =


50

𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑖2 = −1. Esta é a chamada forma algébrica do número complexo (a;

b), muito útil para deduzir e utilizar diversas propriedades do corpo dos

complexos.

Por razões históricas, usam-se os seguintes nomes: eixo 𝑋 = eixo real; eixo

𝑌 = eixo imaginário; a = 𝑅𝑒(a + bi) = parte real do complexo 𝑎 + 𝑏𝑖; b = parte

imaginária do complexo 𝑎 + 𝑏𝑖. Um complexo da forma 𝑏𝑖 (onde 𝑏 ∈ ℝ) é dito

―imaginário puro‖.


51

Capítulo 3. Computação Gráfica na Educação

Como vimos no capítulo 2, os Números Complexos possuem um grande

apelo geométrico. Todavia essa característica não explorada, na maioria das

vezes, no processo de ensino dos Números Complexos.

O conjunto dos números complexos possui destaque na 3ª série do Ensino

Médio e, a sua abordagem, na maioria das vezes, é de caráter puramente

algébrico.

Diante desse quadro, uma nova proposta educacional para os Números

Complexos está sendo desenvolvida no GEPETICEM5. Essa proposta constitui no

desenvolvimento de um software de geometria que se baseia no comportamento

geométrico dos Números Complexos.

O i-Complex é um software de Geometria que possibilita ao aluno dedicar-

se aos seus pensamentos e observações de suas idéias através de modelos

matemáticos prontos ou a serem gerados por ele, no contexto dos Números

Complexos.

O i-Complex está sendo desenvolvido por Marlucio Barbosa e Marcos A.

Campos sobre a orientação do Prof. Marcelo A. Bairral. Na sua versão atual (2.1)

é possível visualizar a representação geométrica das raízes complexas, dos

conceitos de rotação, preservação de ângulo e módulo, soma, subtração,

multiplicação e da representação de um número complexo no Plano Argand-

Gauss.

O uso do i-Complex no ensino de números complexos para alunos do

ensino médio tem-se mostrado bastante promissor, uma vez que, o uso do

software não está condicionado, a priori, a uma construção algébrica da teoria dos

números complexos. Na manipulação do software, os alunos conseguem

5 Grupo de Estudos e Pesquisas das Tecnologias da Informação e Comunicação em Educação

Matemática


52

determinar o comportamento geométrico de determinadas operações que

poderão ser enriquecidas, posteriormente, através de uma abordagem teórica.

(Barbosa, Campos, & Bairral, 2007)

Por outro lado, o uso do i-Complex com alunos que já possuem

conhecimento sobre a teoria dos números complexos faz com que os alunos

percebam fatos que antes passaram despercebidos devido a uma ênfase

excessiva em definições e cálculos, tornando assim, o processo de ensino-

aprendizagem mais completo e construtivo. Nesse sentido, o i-Complex visa

dinamizar a conceituação de um Número Complexo baseando-se no pensamento

de que o uso de computadores tornar-se-á o processo de ensino-aprendizagem,

dos números complexos, mais lúdico e dinâmico. (Barbosa, Campos, & Bairral,

2007)

Nas próximas seções estaremos mostrando o i-Complex do ponto de vista

da Educação Matemática como também da Computação Gráfica.

3.1. I-COMPLEX

O i-Complex (Figura 18) é desenvolvido na linguagem C++ e utiliza da API

OpenGL para geração de representações gráficas. Diversas bibliotecas

gráficas(VTK, VisAD, JAVA3D, GLUT) e linguagens (JAVA, C, TCL) foram

testadas antes da escolha da Linguagem C++ e da OpenGL em sua forma nativa,

todavia a escolha se deve ao fato de ser necessário gráficos que fossem gerados

dinamicamente de forma eficiente e bem elaborada e, também, visando a

portabilidade da aplicação.

O i-Complex possui compilações para os sistemas operacionais Microsoft

Windows XP (e posteriores) e para MAC OS. Uma versão para web está em

desenvolvimento para possibilitar o uso do i-Complex integrado a plataformas de

EAD6.

6 Educação à Distância


53

Figura 18: Tela de abertura do i-Complex 2.1

3.1.1. Introdução ao i-Complex

Na Figura 19, vemos o ambiente de trabalho do i-Complex. O layout do i-

Complex é bastante simples, objetivando que usuários com poucos

conhecimentos de informática possam utilizá-lo sem dificuldades.

Todas as operações no i-Complex se iniciam definindo um Complexo

Inicial. Um Complexo Inicial é o objeto que sofrerá todas as transformações de

acordo com as operações que o usuário definir. Para definir o Complexo Inicial,

coloca-se a parte real do Número Complexo na entrada R e a parte imaginária na

entrada I de Número complexo Inicial e clica-se no botão Definir Complexo Inicial.

Após definir o Complexo Inicial, é necessário definir o Complexo para operação.

Para definir o Complexo para operação procedesse da mesma forma que para

definir o Complexo Inicial. Após definir o complexo pra operação escolhe-se o tipo

de operação (multiplicar por 𝑖, somar, subtrair, multiplicar, raiz).

O i-Complex fora estruturado assim, para que o educador pudesse

trabalhar com os mais diversos elementos do Conjunto ℂ e, também para facilitar


54

a implementação do grupo de transformações sobre esse conjunto. Dentre as

transformações implementadas temos: rotação, translação e escala.

Figura 19: Ambiente de trabalho do i-Complex

3.1.2. Soma e Subtração no i-Complex

Para ilustrar a soma no i-Complex, consideremos 𝒛𝟏 e 𝒛𝟐 𝜖 ℂ tal que

𝒛𝟏 = 5 + 2𝑖 e 𝒛𝟐 = 1 + 4𝑖 e, tomemos a soma 𝐳𝟏 + 𝐳𝟐

(a) (b)

Figura 20: Soma de números complexos


55

Na Figura 20a, temos a definição de 𝐳𝟏 = 5 + 2i como Complexo Inicial e

na Figura 20b temos o resultado de 𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 = 6 + 6i.

O módulo de soma do i-Complex foi desenvolvido para que o aluno se

ambiente com o software e para a apresentação do Plano Argand-Gauss. Em

termos de Computação Gráfica, a operação de soma, no i-Complex, realiza uma

transformação de translação sobre o objeto. No nosso exemplo, o objeto

transformado é o ponto (ou vetor) 𝐳𝟐.

De fato, dado o complexo 𝐳𝟏 associa-se uma operação 𝑇1 𝒛 = 𝒛+ 𝐳𝟏, esta

operação claramente define uma translação no ponto 𝒛. Em particular, 𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 é

obtido transladando 𝐳𝟐 de 𝐳𝟏, isto é, 𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 é o transformado de 𝐳𝟐 definido pela

transformação 𝑇1.

A subtração no i-Complex é realizada de forma semelhante à soma. A

Figura 21, mostra o resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖 .

Figura 21: Resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖 .

Pode-se verificar visivelmente que a operação da soma e da subtração de

números complexos constitui a regra do paralelogramo. Portanto, o i-Complex


56

pode ser também utilizado para exercícios com soma e subtração de vetores do

ℝ2 e evidência que as operações geométricas no i-Complex são realizadas

através de transformações de ℂ → ℝ2. Ou ainda, se ℂ for tomado como o conjunto

de pares ordenados, podemos considerar que as transformações realizadas no i-

Complex são definidas de ℝ2 → ℝ2.

3.1.3. Multiplicação de um complexo por um real

Em termos de Computação Gráfica, a operação de multiplicar um complexo

por um real constitui uma situação de homotetia como visto no capítulo 2. No i-

Complex é realizada uma transformação de escala sobre o objeto.

A transformação de escala consiste da alteração do tamanho do modelo. A

fórmula de "escalamento" de um ponto é a seguinte:

𝑥𝑟 = 𝑥𝑜 ∗ 𝐸𝑥

𝑦𝑟 = 𝑦𝑜 ∗ 𝐸𝑦

Onde 𝐸𝑥 e 𝐸𝑦 são respectivamente os fatores de escala em relação aos

eixos X e Y.

Sobre a transformação de escala é importante ressaltar algumas

características:

a escala ocorre sempre em torno da origem do SRO7. Isto quer dizer

que todo o ponto que estiver sobre a origem, no SRO, permanece

nesta posição após a escala. Por outro lado, os pontos que não

estão sobre a origem sofrem um deslocamento em relação a esta

após a operação de escala. Este fato deve ser considerado na

construção do modelo, pois pode causar translações indesejáveis

quando da criação de instâncias;

7 Sistema de Referência do Objeto – espaço de coordenadas adequado para a criação do objeto


57

fatores de escala maiores do que 1 (um) aumentam o tamanho do

modelo enquanto que fatores menores que 1 e maiores que 0 (zero)

diminuem este tamanho. Fatores de escala negativos "invertem" o

modelo em relação aos eixos coordenados.

Tomemos o ponto (ou vetor) 𝐳𝟏 = 3 + 2i definido na seção anterior e o

número real 2. Sendo assim ao realizarmos a operação de multiplicação por um

real 𝐳𝟏 ∙ 2 (Figura 22) no i-Complex, na verdade, estamos realizando uma

transformação de escala sobre o objeto 𝐳𝟏 onde a razão de homotetia, nesse

caso, é 2. Em outras palavras, tomamos xo = 3 e yo = 2 e os fatores de escala Ex

e Ey são iguais a razão de homotetia, ou seja, Ex = Ey = 2.

Para realizar a operação 𝐳𝟏 ∙ 2 no i-Complex define-se 𝐳𝟏 como Complexo

Inicial e 2 + 0i como Complexo para Operação e executa-se a operação de

multiplicar.

Figura 22: Resultado de (3 + 2𝑖) ∙ 2 + 0𝑖 .


58

3.1.4. Multiplicação por 𝑖

A operação de multiplicação por 𝑖 motivou a construção do software i-

Complex. A operação de multiplicação por 𝑖 foi elaborada para a apresentação da

unidade imaginária. Em termos de Computação Gráfica, a multiplicação por 𝑖 é

realizada através de uma transformação de rotação.

A transformação de rotação define a orientação do modelo no universo.

A fórmula de rotação de um ponto (𝑥0,𝑦0) de um ângulo de 𝛼 é dada por:

𝑥𝑟 ∶= 𝑥0 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) − 𝑦0 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼)

𝑦𝑟 ∶= 𝑦0 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) + 𝑥0 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼)

Nesta fórmula deve-se dar especial atenção ao fato de que a maioria das

linguagens possui funções trigonométricas operando em radianos.

Da mesma forma que ocorre com a transformação de escala a rotação

também se processa em torno da origem.

Evidenciemos que a operação de multiplicação por i é realizada através de

uma rotação de 90° (ou 𝜋

2𝑟𝑎𝑑) no sentido anti-horário, como pode ser observado

na Figura 23.

Realizando operações no i-Complex, podemos verificar que multiplicar um

número complexo 𝒛 por 𝑖2 é idêntico a multiplicar 𝒛 por −1. Isto é, podemos

verificar a relação de 𝑖2 = −1 e portanto 𝑖 = −1.


59

Figura 23: Resultado de (5+5𝑖) ∙ 𝑖

3.1.5. Multiplicação

A operação de multiplicação de números complexos fora definida na seção

2.4.4.

Conforme apresentado a multiplicação de dois números complexos

constitui em um novo número complexo que pode ser obtido pela soma dos

argumentos e pelo produto dos módulos dos complexos envolvidos na operação.

O objetivo do i-Complex ao realizar multiplicação de complexos é de evidenciar

esse fato.

Considere 𝒛𝟏 = 3 + 3𝑖 e 𝒛𝟐 = 0 + 2𝑖 e, tomemos o produto 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 (Figura

24). Podemos observar através do i-Complex que o módulo do novo complexo é o

produto dos módulos e que seu ângulo é a soma dos ângulos.


60

Figura 24: Resultado de (3+3𝑖) ∙ (0 + 2𝑖)

Para obter esse resultado, o i-Complex faz uso de uma composição de

transformações.

De fato, sejam 𝒛 e 𝒘 dois números complexos quaisquer não nulos. Para

calcular 𝒛𝒘, o i-Complex primeiro realiza uma transformação 𝑇1 (𝒛,𝒘) que retorna

um unitário. A transformação 𝑇1 rotaciona o unitário de 𝒛 pelo argumento do

unitário de 𝒘. Em outras palavras, 𝑇1 resulta em um complexo 𝒓 = (𝑥𝑟 ,𝑦𝑟)

definido como se segue:

𝑥𝑟 ∶= 𝑢𝑥𝑧 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) − 𝑢𝑦𝑧 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼)

𝑦𝑟 ∶= 𝑢𝑦𝑧 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑢𝑥𝑧 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛼

onde uxz e uyz são respectivamente a parte real e a parte imaginária do unitário

de z e α é o argumento de w. Posteriormente, a transformação T2 (z, w, r) realiza

uma transformação de escala sobre r.


61

A transformação de escala T2 tem fatores de escala = Ex = Ey = z w e é

definida como T2 z, w, r = z| w|r. Sendo assim, a composta T2 ∘ T1 define o

produto complexo.

Para ilustrar, tomemos 𝒛𝟏 = 3 + 3𝑖 e 𝒛𝟐 = 0 + 2𝑖. Então 𝑇1 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 = −0,8 +

0,6𝑖. Tomemos agora T2 𝒛𝟏, 𝒛𝟐,𝑇1 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 , isto é, T2 𝒛𝟏, 𝒛𝟐,𝑇1 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 =

|𝒛𝟏| ⋅ |𝒛𝟐| ⋅ 𝑇1 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 = 5 ⋅ 2 ⋅ −0,8 + 0,6𝑖 = −8 + 6𝑖.

Com efeito, 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 3; 4 ⋅ 0; 2 = 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 2; 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 0 = (−8; 6), isto

é 𝒛𝟏𝒛𝟐 = −8 + 6𝑖.

3.1.6. Radiciação

A álgebra demonstra-nos que qualquer polinômio de grau 𝑛 em ℂ tem 𝑛

soluções. A equação 𝐱n − 1 = 0 admite 1 como solução, e, se desenharmos no

plano complexo um polígono regular com 𝑛 lados centrado na origem, com um

vértice no ponto 1, os números complexos que correspondem aos demais vértices

são as soluções da equação 𝑥𝑛 − 1 = 0, essas soluções são as raízes de índice 𝑛

da unidade. Aos números que são solução da equação chamamos de números

de Moivre.

De um modo geral as soluções da equação 𝒙𝑛 −𝒘 = 0 onde 𝑛 é um

número natural e 𝒘 um número complexo dado, formam um polígono regular de 𝑛

lados centrado na origem.

Na Figura 25, podemos observar as 3 raízes da equação 𝒙3 − (3 + 4𝑖) = 0.

Note que se ligarmos as raízes através de retas, obtemos um polígono com

centro na origem.


62

Figura 25: Resultado as da equação 𝒙3 − (3 + 4𝑖) = 0

No i-Complex, as raízes são calculadas através da fórmula de Moivre. Isto

é, seja z = ρ(cos θ + isen(θ)) as raízes índice n de z são dadas por:

zk = ρn cos

θ

n+

2kπ

n + i sen

θ

n+

2kπ

n , k ∈ {0,1,2,… , n − 1}

Em termos de Computação Gráfica, após calcular z0 as demais raízes são

obtidas através de 𝑛 − 2 rotações de z0.


63

Capítulo 4. Um problema na Engenharia Civil

Problemas na Engenharia geralmente são acompanhados por soluções,

quando essas existem, com uma densa quantidade de dados numéricos. Dessa

forma, nem sempre se tem uma fácil interpretação física do problema real através

dos dados numéricos.

A área de Visualização da Computação Gráfica é de grande valia na

interpretação visual de dados numéricos. Todavia, implementações de sistemas

de Visualização não são nada triviais.

Esse capítulo apresenta um problema na Engenharia Civil, problema esse

que já fora trabalhado por André Bulcão (Bulcão, 1999) através do Método de

Elementos de Contorno. Esse problema será o objeto de estudo do Capítulo 5,

onde apresentaremos um software para a interpretação visual dos resultados

obtidos por André Bulcão.

Bulcão (Bulcão, 1999) apresenta em seu trabalho soluções analíticas para

problemas no estudo de Tensões em Viga retangular de seção constante, Viga

retangular de altura variável e Barra trapezoidal. Nós iremos trabalhar em cima do

problema de Tensões em uma Viga retangular de seção constante. Todavia, os

resultados apresentados no Capitulo 5 podem ser aplicados aos outros problemas

que foram estudados por Bulcão.

Ao estudar tensões em uma viga retangular de seção constante

analisamos a distribuição de tensões em algumas seções ao longo de uma viga

retangular em balanço, sujeita a diversos tipos de carregamento. Os objetivos

desta análise são: a verificação da hipótese das seções planas permanecerem

planas após a flexão da viga, adotada em Resistência dos Materiais; a

comparação dos perfis de tensões obtidos usando o Método dos Elementos de

Contorno e as soluções analíticas existentes via Resistência dos Materiais e

Teoria da Elasticidade; e a comprovação, através dos perfis de tensões

levantados para determinado caso, da validade do princípio de Saint-Venant.


64

Este capítulo está estruturado da seguinte forma: Fundamentos da

Mecânica dos Sólidos, Critérios de Resistência, Teoria da Elasticidade, Introdução

ao Método dos Elementos de Contorno e a Apresentação do Problema.

O texto baseia-se nos trabalhos de André Bulcão (Bulcão, 1999) e Edivaldo

F. Fontes Junior, Marlucio Barbosa e Carlos Andres Reyna Vera-Tudela (Fontes

Jr, Barbosa, & Vera-Tudela, 2007).

4.1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS

Nessa seção apresentamos alguns conceitos em mecânica dos sólidos.

Esses conceitos são importantes para a compreensão das seções subseqüentes.

4.1.1. Tensão

Tensão é a grandeza que define a intensidade e a direção das forças

internas de um corpo, num ponto particular, agindo em determinado plano.

4.1.2. Deformação

Deformação é uma razão que mede a variação de distância entre pontos

de um corpo, ocasionada pela ação de esforços externos, entre duas

configurações de equilíbrio.

4.1.3. Componentes de Tensão

O estado de tensão em um cubo elementar é um diádico (tensor de 2a

ordem). Então, apresenta 9 componentes, sendo que, por simetria, 3 delas são

iguais, ficando, assim, reduzido a 6 componentes, como pode-se observar na

Figura 26. Através da notação indicial, temos que 𝑆𝑖𝑗 significa tensão no plano 𝑖 e

na direção 𝑗.


65

Figura 26: Cubo elementar de tensões

4.1.4. Forças de Volume

Forças de Volume são forças continuamente distribuídas no interior do

volume de um corpo. Têm-se como exemplos: as forças gravitacionais,

magnéticas e de inércia.

4.1.5. Forças de Superfície

Forças de superfície são forças distribuídas sobre a superfície de um

corpo. Tem-se como exemplo a ação mecânica de um corpo sobre o outro.

4.1.6. Estado Plano de Tensão

O cubo elementar de tensões não possui tensões em um determinado

plano coordenado. Assim, tem-se na representação matricial, as seguintes

componentes, como indicado abaixo:

𝑆 =

𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑥𝑦 0

𝑆𝑦𝑥 𝑆𝑦𝑦 0

0 0 0

(𝐸𝑞. 4.1− 1)


66

Na prática, para um problema estrutural ser enquadrado como um caso de

Estado Plano de Tensões ele deve possuir: (1) Características de chapa

(elemento estrutural que possui duas dimensões de mesma ordem, muito maiores

do que a terceira); (2) Carregamento situado no plano das maiores dimensões e

distribuído de forma suave.

4.1.7. Estado Plano de Deformação

O tensor das deformações não possui componentes em um determinado

plano, semelhante ao estado plano de tensão. Ressalta-se que a inexistência de

deformação em um determinado plano não implica necessariamente na ausência

de tensões neste plano. Têm-se a seguir alguns exemplos de problemas deste

tipo: um muro de arrimo com pressão lateral, um conduto de um túnel, um tubo

cilíndrico com pressão interna, etc. A representação mais simples deste caso é:

𝑆 =

𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑥𝑦 0

𝑆𝑦𝑥 𝑆𝑦𝑦 0

0 0 𝑆𝑧𝑧

(𝐸𝑞. 4.1 − 2)

4.2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS

Os critérios de resistência têm por finalidade relacionar a resistência de um

material, levantada através de testes feitos para tal fim - principalmente, o teste de

tração, onde o corpo de prova é submetido a um estado uniaxial de tração, em

que a carga é aplicada gradualmente e há tempo para o desenvolvimento de

deformações - com a resistência de uma peça, qualquer que seja o estado de

tensão ou a situação de carregamento a que ela esteja submetida.

Existem vários critérios de resistência, sendo uns mais

apropriados para os materiais dúcteis e outros para materiais frágeis. Dentre eles

destacam-se os seguintes:

a) Teoria da Máxima Tensão Normal - indicado para materiais frágeis;


67

b) Teoria da Tensão Cisalhante Máxima - indicado para materiais

dúcteis;

c) Teoria da Máxima Energia de Distorção - indicado para materiais

dúcteis.

Durante o curso desenvolvimento da aplicação descrita no

Capítulo 5, utilizou-se a Teoria da Máxima Energia de Distorção para obter-se a

tensão equivalente ao estado de tensão da peça a ser analisada por diferentes

métodos de análise.

4.2.1. Teoria da Máxima Energia de Distorção

É também conhecida por teoria da Máxima Energia de Cisalhamento e

teoria de Von Mises-Hencky. É empregada para definir o início do escoamento e

baseia-se na observação de que os materiais dúcteis tensionados

hidrostaticamente (tração ou compressão iguais) possuem limites de escoamento

muito acima dos valores dados pelos testes de tração.

Este fato pode ser explicado, pois o escoamento não é um simples

fenômeno de tração ou compressão, mas, ao contrário, está relacionado de algum

modo a distorção do elemento tensionado. O princípio deste critério é considerar

a energia total de deformação e subtrair dela qualquer energia usada somente

para produzir uma variação de volume. Assim, a energia resultante será a que

produz a deformação angular responsável pelo início do escoamento.

Relacionando-se então as equações de energia (Shigley, 1984), chega-se

as seguintes equações abaixo, onde s’ é a tensão equivalente de Von Mises e si

são as tensões principais.

Para o estado triaxial de tensões tem-se:

S′ = S12 + S2

2 + S32 − S1S2 − S1S3 − S2S3 (𝐸𝑞. 4.2− 1)


68

Simplificando-se esta equação chega-se a uma outra para o estado biaxial

de tensões, dada por:

S′ = S12 + S2

2 + S32 − S1S2 (𝐸𝑞. 4.2− 2)

Substituindo-se as equações das tensões principais, em função das

tensões nas direções dos eixos coordenados, para o estado biaxial, a tensão

equivalente de Von Mises é dada de acordo com a equação abaixo:

S′ = Sx2 + Sy

2 − SxSy + 3Sxy2 (𝐸𝑞. 4.2− 3)

Então se prevê a falha por escoamento, por meio da teoria da máxima

energia de distorção, sempre que a tensão equivalente de Von Mises igualar-se

ao limite de escoamento do material, conforme a equação:

𝑆′ = 𝑆𝑒

O coeficiente de segurança pode ser relacionado de acordo com a

expressão abaixo:

𝑆′ =𝑆𝑒𝑛

4.3. TEORIA DA ELASTICIDADE

As análise feitas a partir da Teoria da Elasticidade fornecem informações

mais detalhadas e mais precisas a respeito do estado de tensão, deformação e

distorção em qualquer ponto do corpo, do que a teoria simplificada da Resistência

dos Materiais. Entretanto, é necessário lidar com equações e problemas

matemáticos muito mais complexos na Teoria da Elasticidade do que aqueles

encontrados na Resistência dos Materiais.


69

A Teoria da Elasticidade oferece excelentes resultados para analisar o

estado de tensão e deformação na vizinhança de pequenos furos, entalhes e

cortes em um corpo elástico. Obviamente, tais efeitos não podem ser tratados

pela abordagem da Resistência dos Materiais. O estudo das concentrações de

tensões devido a furos ou outras irregularidades locais, é um aspecto importante

da Teoria da Elasticidade.

A solução de um problema via Teoria da Elasticidade consiste em

determinar componentes de tensões que satisfaçam às equações diferenciais do

equilíbrio, tensões e deformações que satisfaçam às condições de

compatibilidade, além das condições de contorno do problema. Como será visto,

trata-se de uma questão de complexidade matemática considerável.

4.3.1. Equações de equilíbrio

Um dos aspectos importantes desta teoria é levar em consideração a

variação das tensões entre as faces de um elemento diferencial, separadas por

uma distância infinitesimal. A Teoria da Elasticidade baseia-se em condições de

equilíbrio deste elemento infinitesimal (Figura 27). Aplicando as Leis de Newton

chega-se às seguintes equações:

∂S11

∂x1+∂S21

∂x2− f1 = 0 (Eq. 4.3.1− 1)

∂S21

∂x2+∂S12

∂x1− f2 = 0 (Eq. 4.3.1− 2)

Pode-se demonstrar, através da imposição do equilíbrio no somatório de

momentos, que as tensões cisalhantes S21 são iguais a S12.


70

As equações de equilíbrio precisam ser satisfeitas em todos os pontos do

corpo considerado. As componentes de tensão variam ao longo do volume do

corpo e, quando chega-se ao contorno, as tensões precisam estar em equilíbrio

com as forças externas. As forças externamente aplicadas podem ser vistas

como continuações das tensões internas determinadas pela Teoria da

Elasticidade.

Em certos problemas, não se consegue satisfazer precisamente a todas as

condições de contorno fornecidas e, em alguns problemas, a solução obtida

indica a presença de pequenas forças adicionais, aplicadas nas fronteiras do

corpo, além das forças realmente aplicadas. Entretanto, se estas forças

adicionais são equivalentes à zero no seu conjunto, sua presença não afeta

significantemente o perfil da distribuição de tensões, a não ser na vizinhança

imediata de seus pontos de aplicação. Esta idéia dá origem ao Princípio de Saint-

Venant.

4.3.2. Equações de Compatibilidade

𝑺𝟐𝟐

𝐒𝟐𝟏

𝐒𝟏𝟐

𝐒𝟏𝟏 𝐟𝟐

𝐟𝟏

𝐒𝟐𝟐 +𝛛𝐒𝟐𝟐𝛛𝐱𝟐

𝐝𝐱𝟐

𝐒𝟐𝟏 +𝛛𝐒𝟐𝟏𝛛𝐱𝟐

𝐝𝐱𝟐

𝐒𝟏𝟐 +𝛛𝐒𝟏𝟐𝛛𝐱𝟏

𝐝𝐱𝟏

𝑺𝟏𝟏 +𝝏𝑺𝟏𝟏𝝏𝒙𝟏

𝒅𝒙𝟏

Figura 27: Representação do cubo elementar de tensões para o estado plano de tensões


71

No problema bidimensional é necessário resolver as equações diferenciais

de equilíbrio e sua solução precisa ser tal que satisfaça às condições de contorno

do problema. Estas equações são obtidas pela aplicação das equações da

estática e, contendo as três componentes 𝑆11, 𝑆22 e 𝑆12, não são suficientes para

sua determinação, pois trata-se de um sistema estaticamente indeterminado.

Para obter-se sua solução, a deformação elástica do sólido deve ser também

considerada.

Para problemas bidimensionais, têm-se três componentes de deformação,

dadas por:

𝜀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜀𝑦 =

𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝛾𝑥𝑦 =

𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥 (𝐸𝑞. 4.3.2− 1)

Estas três componentes de deformação são expressas por duas funções 𝑢

e 𝑣; elas não podem ser tomadas de forma arbitrária, pois estão relacionadas de

acordo com seis equações de derivadas parciais. Para o caso de estado plano,

apenas uma delas permanece necessária, sendo dada a seguir:

𝜕2𝜀𝑥𝜕𝑦2

+𝜕2𝜀𝑦

𝜕𝑥2=𝜕2𝛾𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦 (𝐸𝑞. 4.3.2− 2)

Esta equação diferencial é denominada condição de compatibilidade,

precisa ser satisfeita pelas componentes de deformação para assegurar a

existência das funções 𝑢 e 𝑣. Usando-se a lei de Hooke, esta equação pode ser

transformada numa relação entre as componentes de tensão.

4.3.3. Função das Tensões de Airy

Sabe-se que a solução de problemas bidimensionais, via Teoria da

Elasticidade, se reduz à integração das equações diferenciais de equilíbrio de

modo a atender às equações de compatibilidade e às condições de contorno.

Este problema de satisfazer as equações de equilíbrio e de compatibilidade

pode ser simplificado introduzindo uma função, chamada função de Airy, definida


72

de tal maneira que o equilíbrio é automaticamente satisfeito, restando apenas as

condições de compatibilidade.

Definindo-se duas funções 𝜓 e Δ tais que:

𝜎11 =𝜕𝜓

𝜕𝑥2 𝜎12 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑥1 𝑒 𝜎22 =

𝜕Δ

𝜕𝑥1 𝜎12 = −

𝜕Δ

𝜕𝑥2 (𝐸𝑞. 4.3.3− 1)

Daí, conclui-se que:

𝜕𝜓

𝜕𝑥1=𝜕Δ

𝜕𝑥2 (𝐸𝑞. 4.3.3− 2)

com base nesta última relação, adota-se uma função Φ, onde Φ é chamada

função de tensão de Airy, tal que:

𝜕Φ

𝜕𝑥1= Δ

𝜕Φ

𝜕𝑥2= ψ (Eq. 4.3.3− 2)

daí, tira-se que:

𝑆11 =𝜕2Φ

𝜕𝑥22 𝑆22 =

𝜕2Φ

𝜕𝑥12 𝑆12 = −

𝜕2Φ

𝜕𝑥1𝜕𝑥2 (𝐸𝑞. 4.3.3− 3)

substituindo-se estas expressões nas equações de equilíbrio, encontra-se a

chamada de equação biarmônica:

𝜕4Φ

𝜕𝑥14 + 2

𝜕4Φ

𝜕𝑥12𝜕𝑥2

2 +𝜕4Φ

𝜕𝑥24 = 0 (𝐸𝑞. 4.3.3− 4)

4.3.4. Princípio de Saint-Venant

Considere-se um certo número de sistemas estaticamente equivalentes

que atuam sobre uma pequena parte da superfície de um corpo elástico. Os

sistemas equivalentes têm mesma resultante e mesmo momento. O princípio de

Saint-Venant afirma que, apesar de esses sistemas terem diferentes efeitos

locais, todos têm essencialmente o mesmo efeito sobre as distribuições de


73

tensões em pontos cuja distância é grande se comparada às dimensões da

superfície onde as forças são aplicadas.

A solução de qualquer problema via teoria da elasticidade é exata somente

se as forças superficiais têm, efetivamente, a distribuição indicada pela solução

por ela proposta. Se as forças realmente aplicadas não tiverem essa distribuição,

a solução pode ainda ser utilizada, mas para pontos afastados das vizinhanças

imediatas dos pontos de aplicação das forças externas, devido ao princípio de

Saint-Venant, acima anunciado.

4.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE

CONTORNO

O Método dos Elementos de Contorno (MEC) é uma técnica numérica que

trata da obtenção de soluções aproximadas, com elevado grau de precisão, para

problemas de campo vetorial ou escalar. O MEC é um método que compõe a

classe das denominadas técnicas de contorno, pois a discretização é feita

somente no contorno da geometria a ser modelada. A modalidade aqui

empregada, denominada de formulação direta do MEC, emprega funções de

ponderação assemelhada com o tipo de problema examinado e tem como

parâmetros nodais as variáveis físicas do problema.

Comparando-se o MEC em relação aos principais métodos numéricos,

como o Método das Diferenças Finitas, das Características, dos Volumes Finitos e

Elementos Finitos (MEF), dentre as principais vantagens têm-se: menor entrada

de dados; análise de regiões infinitas; captação precisa dos efeitos de

concentração de tensões; simplicidade na elaboração de problemas com fronteira

variável; maior correção no cálculo de tensões e deformações; cálculo simultâneo

de tensões e deslocamentos. Como principais desvantagens: maior

complexidade matemática; menor versatilidade para solução de problemas

setorialmente não-homogêneos; e, pequena difusão pela sua recentidade.


74

A dedução da formulação do MEC para problemas elásticos pode ser feita

de três formas, que evidentemente se equivalem: via equação de equilíbrio; via

teorema de Betti (reciprocidade); e, via método dos resíduos ponderados. É

apresentada a seguir a dedução do MEC via equação de equilíbrio.

Considere inicialmente um corpo elástico - de domínio e contorno - em

estado de equilíbrio, sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos. A

equação de equilíbrio desprezando-se a atuação das forças de campo, em

notação indicial, deste problema é:

𝑆𝑖𝑗 ,𝑖 = 0 (𝐸𝑞. 4.4− 1)

onde 𝑆𝑖𝑗 são as componentes de tensão.

A formulação tradicional do MEC consiste em ponderar a equação anterior

por uma função 𝑢∗, com características especiais, a solução fundamental (que é a

solução de um problema correlato, onde as forças de corpo são ações

concentradas no domínio, atuando nas direções coordenadas), e integrá-la no

domínio :

(𝑆𝑖𝑗 ,𝑖)𝑢𝑗∗𝑑Ω

Ω

(𝐸𝑞. 4.4− 2)

Através da aplicação de integrações por partes, do teorema da divergência

na equação 4.4-2 e da estratégica transformação de 𝑢𝑗∗ para a forma diádica 𝑢𝑖𝑗

∗ ,

chega-se assim, à seguinte expressão:

𝑢𝑖 𝜉 + 𝑢𝑗𝑝𝑖𝑗∗ 𝑑Γ =

Γ

𝑝𝑗𝑢𝑖𝑗∗ 𝑑Γ

Γ

(𝐸𝑞. 4.4− 3)

onde: 𝑝𝑖 - forças de superfícies;

𝑢𝑖 - deslocamento na direção i;


75

- ponto fonte.

Transformou-se a equação 4.4-2, onde a incógnita é integrada em todo o

domínio , para a equação 4.4-3, onde a incógnita é integrada somente no

contorno , o que justifica a denominação do método.

Uma expressão mais genérica pode ser estabelecida levando-se em

consideração a posição relativa do ponto fonte em relação ao contorno e ao

domínio do problema. Deste modo a equação 4.4-3 transforma-se em:

𝐶 𝜉 𝑢𝑖 𝜉 + 𝑢𝑗𝑝𝑖𝑗∗ 𝑑Γ

Γ

− 𝑝𝑗𝑢𝑖𝑗∗ 𝑑Γ

Γ

= 0 (𝐸𝑞. 4.4 − 4)

onde 𝐶() para contornos suaves é dado de acordo com:

𝐶 𝜉 =

1, 𝑠𝑒 𝜉 ∈ Ω1

2, 𝑠𝑒 𝜉 ∈ Γ

0, 𝑠𝑒 𝜉 ∉ Γ+ Ω

Obtida a equação integral, Equação 4.4-4, a etapa seguinte baseia-se na

formulação do MEC como técnica numérica propriamente dita. Isto consiste na

discretização desta equação integral e na formulação de um sistema matricial

preparado para sua posterior solução computacional.

A discretização de uma geometria considera o contorno composto por

elementos distintos, sobre os quais são definidas variações para o deslocamento

e a tensão em função de valores em determinados pontos (denominados nós ou

pontos nodais). Estes pontos podem variar em sua quantidade e em seu

posicionamento, dependendo do nível de refinamento desejado, da ordem de

interpolação, da geometria do elemento e de outros aspectos.

Matematicamente, essas interpolações dos valores nodais sobre cada

elemento podem ser caracterizadas por:

𝑢𝑖 = 𝑁 𝑢(𝑛) 𝑒 𝑝𝑗 = 𝑁 𝑝(𝑛)


76

onde 𝑁 contém as funções de interpolação e 𝑛 indica o ponto nodal ao longo do

elemento 𝑖.

Aplicando-se estas considerações na equação 4.4-4 e admitindo-se que o

contorno tenha sido discretizado em 𝑀 elementos, chega-se à seguinte

expressão:

𝐶 𝜉 𝑢𝑖 𝜉 + 𝑝𝑖𝑗∗ 𝑁 𝑑Γ

Γ𝑗

𝑀

𝑗=1

𝑢 (𝑛) − 𝑢𝑖𝑗∗ 𝑁 𝑑Γ

Γ𝑗

𝑀

𝑗=1

𝑝 (𝑛) − 𝑓𝑖𝑢𝑖𝑗∗ 𝑑Ω

Γ

= 0 (𝐸𝑞. 4.4− 5)

Expandindo-se esta equação através da aplicação dos pontos como

sendo coincidentes com todos os pontos nodais, pode-se escrever matricialmente

o seguinte sistema de equações lineares:

𝐻 𝑢𝑖 = 𝐺 𝑝𝑗 (Eq. 4.4− 6)

Como em cada ponto do contorno encontra-se bem definido o valor do

deslocamento ui ou do vetor tensão 𝑝𝑖 , pode-se rearranjar o sistema de equações

2.4-6 para expressá-lo de uma forma mais simples, onde tem-se apenas um único

vetor de incógnitas (deslocamentos ou tensões). E finalmente, este sistema de

equações pode ser resolvido através dos diversos métodos de resolução de

sistema de equações lineares.

Para a determinação dos valores das incógnitas nos pontos internos ao

contorno, aplica-se novamente a equação 4.4-4, considerando-os como ponto

fonte (). Destaca-se que agora já se encontram calculados os deslocamentos e

tensões em todo o contorno.

Analisando-se o MEC sobre o enfoque do Método dos Resíduos

Ponderados, no cálculo dos valores para os pontos internos está sendo realizada

uma nova ponderação dos resultados, razão pela qual estes resultados

apresentam uma maior precisão, se comparados aos valores obtidos para o

contorno da geometria.


77

4.5. VIGA RETANGULAR DE SEÇÃO CONSTANTE

André Bulcão (Bulcão, 1999) faz a análise da distribuição de tensões em

algumas seções ao longo de uma viga retangular em balanço, sujeita a diversos

tipos de carregamento.

Essa seção reproduz as soluções analíticas presentes no trabalho de

Bulcão. Essas soluções analíticas servirão de base para a construção software

MEMEC apresentado no Capítulo 5.

A obtenção dos perfis de tensões foi feita através da aplicação do Método

dos Elementos de Contorno na simulação de uma viga retangular em balanço,

isto é, com um bordo da viga engastado. Adota-se a viga em balanço, pois se

tivesse sido admitida a viga bi apoiada, ter-se-iam problemas para discretização

da região dos apoios, setor que apresentaria uma elevada concentração de

tensões, devido à característica pontual do apoio.

4.5.1. Viga de Seção Constante em Balanço Sujeita a uma Flexão Simples

As equações da Resistência dos Materiais, que são apresentadas neste

tópico, são válidas apenas para o problema de uma viga de seção constante em

balanço sujeita a uma flexão simples, isto é, momento fletor e esforço cortante

presentes ao longo da viga.

Tem-se que:

𝑆𝑥 =𝑀𝑦

𝐼 𝑆𝑥𝑦 =

3

2

𝑉

𝐴 1 −

𝑦2

𝑐2 (𝐸𝑞. 4.5.1− 1)

onde a expressão das tensões cisalhantes 𝑆𝑥𝑦 já se encontra particularizada para

o caso de a peça possuir uma seção reta retangular.

Considerando o caso particular de uma viga retangular, em balanço,

submetida a uma força resultante 𝑃 aplicada em sua extremidade livre, conforme

Figura 28. As equações das tensões 𝑆𝑥 e 𝑆𝑥𝑦 para este caso são (Johnston Jr. &

Beer, 1995):


78

𝑆𝑥 =𝑃𝑥𝑦

𝐼 𝑆𝑥𝑦 =

3

2

𝑉

𝐴 1 −

𝑦2

𝑐2 (𝐸𝑞. 4.5.1− 2)

A teoria simplificada da Resistência dos Materiais apresenta tensões 𝑆𝑦

nulas ao longo da viga.

Pode-se observar, de acordo com as equações expostas (Eqs. 4.5.1-2),

que a expressão da tensão 𝑆𝑥 é a equação de uma reta passando pelo centróide

da seção, e que a expressão da tensão 𝑆𝑥𝑦 é a equação de uma parábola

centrada na seção.

O mesmo caso de uma viga em balanço possuindo uma seção transversal

retangular delgada de largura unitária e fletida sob a ação de uma força 𝑃

aplicada em sua extremidade livre, analisado via Teoria da Elasticidade

(Timoshenko & Goodier, 1980), formula-se a partir do estabelecimento da função

de Airy;

Φ =𝐴

6𝑥 ∙ 𝑦3 + 𝐵𝑥 ∙ 𝑦 (𝐸𝑞. 4.5.1− 3)

tem-se, então, as seguintes equações para os perfis das tensões:

𝑆𝑥 = 𝐴𝑥 ∙ 𝑦 𝑆𝑦 = 0 𝑆𝑥𝑦 = −𝐵 −𝐴

2∙ 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.1− 4)

onde A e B são constantes definidas pelas condições de contorno do problema; a

orientação dos eixos é dada de acordo com a Figura 29.

Figura 28: Viga retangular em balanço.


79

Os resultados das equações obtidas coincidem completamente com as

soluções elementares encontradas via Resistência dos Materiais. Entretanto, a

Teoria da Elasticidade garante uma distribuição de tensões compatíveis com as

equações acima, aplicando-se o carregamento de acordo com a solução

proposta; para tal, aplica-se às tensões cisalhantes 𝑆𝑥𝑦 com uma distribuição

parabólica.

Se a distribuição das forças na extremidade não possuir uma distribuição

parabólica, como previsto nas equações, isto é, são distribuídas de outra forma,

as equações apresentadas não são corretas; mas, em virtude do princípio de

Saint-Venant, estas equações podem ser consideradas satisfatórias para seções

transversais não muito próximas das extremidades da viga.

4.5.2. Viga em Balanço com um Carregamento Uniformemente Distribuído ao Longo de seu Comprimento

São apresentadas as expressões das tensões, propostas pela Resistência

dos Materiais, para o caso particular de uma viga em balanço com um

carregamento uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento, de acordo

com a Figura 30.

Figura 29: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados.

Figura 30: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados.


80

Levando-se em conta o referencial dos eixos coordenados adotado de

acordo com a figura Figura 30, as equações para o esforço cortante e o momento

fletor ao longo da viga tornam-se:

𝑉 = 𝑞 𝑙 − 𝑥 𝑀 = 𝑞

2(𝑙 − 𝑥)2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.2− 1)

sendo 𝑙 o comprimento total da viga.

Substituindo-se estas expressões nas equações gerais para o caso de uma

viga em balanço sujeita a uma flexão simples (Eqs. 4.5.1-1), e organizando-as de

forma adequada, chegam-se às seguintes equações, para este caso particular, de

uma viga sob um carregamento uniformemente distribuído ao longo de seu

comprimento:

𝑆𝑥𝑦 =𝑞

2𝐼 𝑙 − 𝑥 𝑐2 − 𝑦2 𝑆𝑥 =

𝑞

2𝐼 𝑙 − 𝑥 2𝑦 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.2− 2)

Aplicando-se a expressão de 𝑆𝑥𝑦 na equação de equilíbrio, (vide seção

4.3.1, equação 4.3.1-2), e as condições de contorno para o problema, chega-se à

seguinte equação para a tensão normal 𝑆𝑦 :

𝑆𝑦 =𝑞

2𝐼 −

𝑦3

3+ 𝑐2𝑦 −

2𝑐3

3 (𝐸𝑞. 4.5.2− 3)

Este mesmo caso de uma viga em balanço possuindo uma seção

transversal retangular constante sujeita a um carregamento vertical distribuído ao

longo de seu comprimento, sob o enfoque da Teoria da Elasticidade - segundo

Timoshenko (mais detalhes em (Timoshenko & Goodier, 1980)) - as tensões

numa seção transversal situada a uma considerável distância das extremidades

podem ser calculadas aproximadamente pelas seguintes expressões:

𝑆𝑥 =𝑀𝑦

𝐼+ 𝑞

𝑦3

2𝑐3−

3𝑦

10𝑐 𝑆𝑦 = −

𝑞

2+ 𝑞

3𝑦

4𝑐−𝑦3

4𝑐3

𝑆𝑥𝑦 =𝑄

2𝐼 𝑐2 − 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.2− 4)


81

onde: 𝑀 e 𝑄 são o momento fletor e a força cortante calculados pelo método

usual e 𝑞 é a intensidade do carregamento distribuído na seção considerada.

4.5.3. Viga Retangular em Balanço Submetida a um Carregamento Linearmente Distribuído ao Longo de seu Comprimento

Para o caso particular de uma viga retangular em balanço submetida a um

carregamento linearmente distribuído ao longo de seu comprimento, como

indicado na Figura 31, tem-se que, as equações para o esforço cortante e o

momento fletor atuando em uma seção da viga são:

𝑉 =1

2𝑞𝑥2 𝑀 =

𝑞𝑥3

6 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3− 1)

Figura 31: Viga de seção constante sujeita a um carregamento uniformemente variável.

Substituindo-se estas expressões (Eqs. 4.5.3-1) nas equações gerais para

o caso de uma viga em balanço sujeita a uma flexão simples (Eq. 4.5.1-1) e,

organizando-as de forma adequada, chegam-se as seguintes equações da

Resistência dos Materiais, para este caso particular:

𝑆𝑥 =𝑞𝑥3𝑦

4𝑏𝑐3 𝑆𝑦 =

3𝑞𝑥2

8𝑏𝑐3 𝑐2 − 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3− 2)

Adotando-se um procedimento semelhante ao realizado anteriormente para

a determinação da expressão para a tensão normal 𝑆𝑦 , chega-se a seguinte

equação:

𝑆𝑦 = −3

4

𝑞𝑥

𝑏𝑐3 −

𝑦3

3+ 𝑐2𝑦 +

2𝑐3

3 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3− 3)


82

O caso de uma viga engastada de seção constante sujeita a um

carregamento continuamente variável pode ser resolvido pela Teoria da

Elasticidade aumentando-se os graus dos polinômios, função de Airy, que

representam soluções do problema bidimensional. Para o caso da viga sujeita a

um carregamento triangular, como mostrado na Figura 31, chega-se a solução

considerando-se uma solução na forma de um polinômio do sexto grau, e

combinando-se convenientemente com outras soluções elementares para o caso

da viga engastada (Timoshenko & Goodier, 1980).

Pode-se demonstrar que o sistema de tensões apresentado a seguir

satisfaz às condições de equilíbrio sobre os bordos longitudinais da viga

engastada sujeita a um carregamento triangular:

𝑆𝑥 =𝑞𝑥3𝑦

4𝑐3+

𝑞

4𝑐3 −2𝑥𝑦3 +

6

5𝑐2𝑥𝑦 𝑆𝑦 = −

𝑞𝑥

2+ 𝑞𝑥

𝑦3

4𝑐3−

3𝑦

4𝑐

𝑆𝑥 =3𝑞𝑥2

8𝑐3 𝑐2 − 𝑦2 −

𝑞

8𝑐3 𝑐4 − 𝑦4 +

𝑞

4𝑐3

3

5𝑐2 𝑐2 − 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3− 4)

Onde nestas expressões, q é o peso por unidade de comprimento, de tal

forma que a carga atuante a uma distância 𝑥 é 𝑞𝑥 e a força cortante e o momento

fletor, nesta mesma distância, são 𝑞𝑥2

2 e

𝑞𝑥3

6 , respectivamente.

Verifica-se que os primeiros termos das expressões de 𝑆𝑥 e 𝑆𝑥𝑦

correspondem a valores de tensão calculados pelas fórmulas elementares usuais.

Embora as tensões cisalhantes 𝑆𝑥𝑦 não sejam nulas sobre o bordo em 𝑥 = 0,

apresentam valores muito pequenos e têm resultante nula, o que permite,

aproximadamente, considerar esta expressão válida para representar o bordo

livre da ação de forças externas.


83

Capítulo 5. Computação Gráfica na Engenharia Civil

Nos capítulos anteriores, foram apresentados conceitos de Computação

Gráfica e sua aplicação na Educação Matemática através do Software i-Complex.

Ao descrever aspectos sobre o software i-Complex foi dada ênfase a geometria

da Computação Gráfica e algumas particularidades. Esse capítulo irá apresentar

o software MEMEC (Mecânica Elastostática - Método de Elementos de Contorno)

desenvolvido na Universidade Federal Rural do Rio Janeiro por Carlos Andres

Reyna Vera-Tudela, Edivaldo Figueiredo Fontes Junior e Marlucio Barbosa.

O MEMEC tem como base o software BEMEL desenvolvido por André

Bulcão (Bulcão, 1999) em linguagem FORTRAN com base na introdução teórica

apresentada no Capítulo 4. O software BEMEL é baseado no software BIZEP

escrito por José Cláudio de Faria Telles (Brebbia, Telles, & Wrobel, 1984) que

utiliza integração seletiva e possui muitos aspectos interessantes do ponto de

vista teórico do Método dos Elementos de Contorno. O MEMEC utiliza a eficiência

do BIZEP com novos aspectos utilizados na sua nova versão BEMEL, tendo como

agregado à melhoria da eficiência computacional (onde se entende eficiência por

otimizar tempo de CPU, memória e recursos gráficos), implementação de

problemas não suportadas e de algoritmos para SciVis, além de uma tentativa de

suportar geometrias gerais no âmbito de problemas da elasticidade.

No processo de desenvolvimento do MEMEC, várias frentes de trabalho

foram formadas objetivando a melhor geometria, a correta adaptação do BEMEL

e do BIZEP a linguagem JAVA e novas implementações eficientes, a melhor

Toolkit para desenvolvimento da SciVis entre outros aspectos de grande

importância na elaboração do software, tais como, complexidade das operações e

recursos de hardware.

Como foi feito no Capítulo 3, iremos nos ater mais a parte da Geometria da

Computação Gráfica ao descrever o MEMEC. Muitos outros aspectos poderiam

ser explorados sobre o software e serão descritos em trabalhos futuros, todavia


84

alguns desses aspectos podem ser encontrados em (Fontes Jr, Barbosa, & Vera-

Tudela, 2007).

Esse capítulo está organizado da seguinte forma. Inicialmente são

apresentados detalhes de hardware para a execução do software.

Posteriormente, é apresentado o software MEMEC e detalhes da entrada de

dados, da geometria, da SciVis e do algoritmo de interpolação utilizado na SciVis.

5.1. HARDWARE

Em Computação Gráfica o uso do hardware correto é tão importante

quanto à escolha dos algoritmos a serem utilizados. Sendo assim, para o uso do

MEMEC recomenda-se um computador com processador a partir de 1400 MHz,

com 512MB de RAM (recomendável 1,5GB se utilizado Microsoft Windows Vista®)

e placa de vídeo com 256MB de DDR2 e DirectX® 9.0 Shader Model 3.0 e ao

menos 4 Pixels per clock(peak) e RAMDACs de 400 MHz.

Para a elaboração desse texto foi utilizado um computador com

processador AMD® Atlhon® 1.8 GHz com 2GB de RAM, Sistema Operacional

Windows XP Professional SP2® e placa de vídeo Nvidia® GeForce 6200.

5.2. MEMEC

A importância da SciVis na engenharia é reconhecida e de consenso

comum. Muitas das vezes, interpretar um problema físico através de dados

numéricos é dispendioso e algumas vezes pouco qualitativo. A SciVis aplicada a

engenharia busca amenizar esse processo e dar uma interpretação mais

qualitativa a resultados obtidos por modelos analíticos.

O MEMEC (Figura 32) é uma tentativa nesse sentido. O MEMEC busca

aliar resultados numéricos a algoritmos sofisticados de Computação Gráfica para

a construção de uma SciVis para o problema em estudo.


85

O MEMEC está em sua versão 1.0 e está sendo desenvolvido em

linguagem JAVA com o auxilio da biblioteca gráfica VTK. Uma breve

apresentação da biblioteca VTK foi feita na seção 1.4.3.2, todavia, mais detalhes

sobre essa biblioteca gráfica pode ser encontrado em (KITWARE, 2005).

Figura 32: Tela inicial do MEMEC

O programa encontra-se estruturado com elementos retilíneos com uma

interpolação linear entre os valores calculados nos seus extremos (pontos nodais)

conforme descrito no Capítulo 4.

5.2.1. Entrada de Dados

A entrada de dados no MEMEC é feita através de um arquivo de texto de

extensão .txt que pode ser elaborado em qualquer editor de texto que utilize o

código ASCII ou UNICODE. Qualquer outra extensão de arquivo que esteja


86

padronizado nas codificações citadas também é suportado pelo MEMEC desde

que o arquivo possua sua estrutura montada corretamente.

O arquivo busca descrever a geometria do objeto em estudo. Conforme

visto no Capítulo 4, estamos interessados, a principio, na discretização do

contorno do objeto. Entretanto, pontos interiores também podem ser fornecidos

para que seja gerada uma malha mais refinada. Cabe salientar, que em MEC, os

pontos internos não fazem parte do sistema matricial global, os valores

correspondentes aos pontos internos (ou interiores) são calculados diretamente

através da identidade Somigliana, mais detalhes pode ser obtido em (Brebbia,

Telles, & Wrobel, 1984).

Para a compreensão da entrada de dados, observe a Figura 33.

A Figura 33, representa uma barra engastada e tracionada ao longo do seu

lado. Em termos de Computação Gráfica, a Figura 33, representa o Universo

Físico do problema. Estamos interessados em estudar o comportamento das

tensões ao longo da barra. O estudo analítico foi feito no Capítulo 4, esse será o

Universo Matemático. Sendo assim, para termos o paradigma das quatro fases

temos que formular o Universo da Representação e da Implementação.

Como vimos no Capítulo 4 a discretização de uma geometria considera o

contorno composto por elementos distintos, sobre os quais são definidas

variações para o deslocamento e a tensão em função de valores em

determinados pontos (denominados nós ou pontos nodais). Nesse sentido,

estamos interessados em discretizar o contorno da barra.

Figura 33: Representação física da barra engastada e tracionada

𝐹𝑋


87

A Figura 34 mostra uma discretização da barra em 12 nós, 1 ponto interior

e 12 elementos de conectividade. O elemento de conectividade que une o ponto 𝒂

ao 𝒃 pode ser visto como um vetor que tem origem em 𝒂 e destino em 𝒃. Como

dito, estamos interessados na discretização do contorno, mas pontos interiores

ajudam a suavizar a malha no processo de Visualização. Sendo assim, temos o

nosso Universo da Representação.

Apresentemos agora o Universo da Implementação, isto é, a estrutura da

entrada de dados para o correto processamento pelo software MEMEC. A seguir

são apresentadas as etapas para a construção do arquivo de entrada de dados:

1ª. Etapa - PARÂMETROS - 𝐼𝑁𝐹𝐵, 𝑁𝐸, 𝑁𝑁, 𝑁𝑃, 𝐼𝑃𝐿, 𝐼𝐷𝑆𝑌𝑀, 𝐸, 𝑃𝑂; onde:

𝐼𝑁𝐹𝐵 - indicativo do tipo de domínio (finito = 0; infinito = 1) [𝑖𝑛𝑡]

𝑁𝐸 - número de elementos de contorno [𝑖𝑛𝑡]

𝑁𝑁 - número de nós do contorno [𝑖𝑛𝑡]

𝑁𝑃 - número de pontos internos [𝑖𝑛𝑡]

𝐼𝑃𝐿 - indicador do tipo de estado: [𝑖𝑛𝑡]

estado plano de tensão = 1;

estado plano de deformação = 2

𝐼𝐷𝑆𝑌𝑀 - indicador de simetria: [𝑖𝑛𝑡]

não existe simetria = 0

simetria em relação ao eixo 𝑋 =1

simetria em relação ao eixo 𝑌 = 2

simetria em relação aos eixos 𝑋 e 𝑌 =3

𝐸 - módulo de elasticidade [𝑟𝑒𝑎𝑙]

Figura 34: Representação da discretização para a barra engastada

1 2 5

6

7 8 11

12

3

9 10

4

13


88

𝑃𝑂 - coeficiente do Poisson [𝑟𝑒𝑎𝑙]

2ª. Etapa - COORDENADAS DOS NÓS - 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘), 𝐼𝐷𝑈𝑃(𝑘), 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘);

onde:

𝑘 - número do nó sobre o contorno [𝑖𝑛𝑡]

𝑋𝑘), 𝑌(𝑘) - coordenadas X e Y do nó K [𝑟𝑒𝑎𝑙]

𝐼𝐷𝑈𝑃(𝑘) - número do nó que é no duplo com o nó K: [𝑖𝑛𝑡]

se o nó é nó-simples = 0

no caso de nó duplo, só deve ser colocado o número do outro

nó, se este já foi definido anteriormente ao nó 𝑘 = (n0 do nó que

é duplo de 𝑘)

𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘) - indica o posicionamento do nó 𝑘 sobre os eixos de simetria:[int]

nó 𝑘 não está sobre nenhum eixo de simetria = 0

nó 𝑘 está sobre eixo 𝑋 de simetria = 1

nó 𝑘 esta sobre eixo 𝑌 de simetria = 2

nó 𝑘 esta sobre os eixos 𝑋 e 𝑌 de simetria = 3

3ª. Etapa - COORDENADAS DOS PONTOS INTERNOS - 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘),

𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘); onde:

K - número do ponto interno [𝑖𝑛𝑡]

𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘) - coordenadas do ponto interno 𝑘 [𝑟𝑒𝑎𝑙]

𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘) - indica o posicionamento do ponto interno 𝑘 sobre os eixos de

simetria, os valores são os mesmos do item anterior.

4ª. Etapa - CONETIVIDADE - 𝑗, 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 1), 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 2); onde:

𝑗 - número do elemento de contorno

𝐼𝑁𝐶(𝑗, 1) - número do nó inicial do elemento 𝑗

𝐼𝑁𝐶(𝑗, 2) - número do nó final do elemento 𝑗

5ª. Etapa - NÚMERO DE NÓS COM CONDIÇÕES PRESCRITAS - 𝑁𝐹𝐼𝑃,

𝑁𝐷𝐹𝐼𝑃; onde:

𝑁𝐹𝐼𝑃 - número de nós com condição de deslocamento prescrito. [𝑖𝑛𝑡]

𝑁𝐷𝐹𝐼𝑃 - número de nós somente com condições de tensão prescrita. [𝑖𝑛𝑡]

OBS. - se um nó possui deslocamento prescrito numa direção e tensão

prescrita na outra, deve ser computado como 𝑁𝐹𝐼𝑃.


89

6ª. Etapa - NÓS COM CONDIÇÕES DE DESLOCAMENTO PRESCRITOS: 𝑘,

𝑃1(𝑘), 𝑃2(𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃1(𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃2(𝑘); onde:

𝑘 - número de nó com condições de deslocamento prescritas [𝑖𝑛𝑡]

𝑃1(𝑘) - valor prescrito na direção 𝑋. [𝑟𝑒𝑎𝑙]

𝑃2(𝑘) - valor prescrito na direção 𝑌. [𝑟𝑒𝑎𝑙]

𝐼𝐹𝐼𝑃1(𝑘) - indica o tipo de prescrição na direção 𝑋. [𝑖𝑛𝑡]

𝐼𝐹𝐼𝑃2(𝑘) - indica o tipo de prescrição na direção 𝑌. [𝑖𝑛𝑡]

OBS. - onde: 𝐼𝐹𝐼𝑃 = 0 tensão prescrita.

𝐼𝐹𝐼𝑃 = 1 deslocamento prescrito.

7ª. Etapa - NÓS COM CONDIÇÕES DE TENSÕES PRESCRITAS: 𝑘, 𝑃1(𝑘),

𝑃2(𝑘); onde:

𝑘 - número de nó com condições de tensão prescritas [𝑖𝑛𝑡]

𝑃1(𝑘) - valor da tensão prescrito na direção 𝑋. [𝑟𝑒𝑎𝑙]

𝑃2(𝑘) - valor da tensão prescrito na direção 𝑌. [𝑟𝑒𝑎𝑙]

Voltemos ao nosso caso de estudo, isto é, a barra engastada e tracionada.

Com base na discretização da Figura 34 vamos montar o nosso arquivo de

entrada. Considere além da discretização que a barra possua dimensões 20

unidades de comprimento por 10 unidades de altura e espessura desprezível.

Considere também que, o Módulo de Elasticidade seja igual a 1, o Coeficiente de

Poisson igual a 0.5 e que a força aplicada seja de um Newton. A distância dos

nós, exceto o ponto interior, é definida de forma que eles fiquem igualmente

espaçados em cada lado da barra. O ponto interior está centralizado na barra.

Dessa forma, a Tabela 1 mostra a estrutura arquivo barra.txt. Devemos

salientar que o separador de colunas (delimitador) é a vírgula (,) para o arquivo de

entrada de dados do MEMEC.

Salientamos também que números inteiros são convertidos

automaticamente para ponto flutuante se for necessário, mas o contrário não é

verdade. Sendo assim, a construção do arquivo de entrada deve ser feita de

forma criteriosa e cautelosa. Pois em arquivos muito densos, encontrar o erro é


90

oneroso. Devido a esse problema, o MEMEC possui rotinas que buscam detectar

erros comuns na montagem do arquivo de leitura e informar onde eles se

encontram, normalmente, as rotinas implementadas são suficientes para a

maioria dos erros encontrados na montagem de arquivos.

Recomenda-se que na construção dos arquivos que se elabore os dados

em algum aplicativo de planilha eletrônica ou banco de dados e que depois

exporte para o formato .txt.

Tabela 1: Exemplo de arquivo de Entrada de Dados para o MEMEC

Arquivo barra.txt Descrição dos Parâmetros

0 12 12 1 1 0 1 0.50 PARÂMETROS - 𝐼𝑁𝐹𝐵, 𝑁𝐸, 𝑁𝑁, 𝑁𝑃, 𝐼𝑃𝐿,

𝐼𝐷𝑆𝑌𝑀, 𝐸, 𝑃𝑂;

1 0 0 0 0

COORDENADAS DOS NÓS - 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘), 𝐼𝐷𝑈𝑃(𝑘), 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘)

2 5 0 0 0

3 10 0 0 0

4 15 0 0 0

5 20 0 0 0

6 20 5 0 0

7 20 10 0 0

8 15 10 0 0

9 10 10 0 0

10 5 10 0 0

11 0 10 0 0

12 0 5 0 0

13 10 5 0 COORDENADAS DOS PONTOS INTERNOS -

𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘), 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘)

1 1 2 CONETIVIDADE - 𝑗, 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 1), 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 2);

2 2 3


91

3 3 4

4 4 5

5 5 6

6 6 7

7 7 8

8 8 9

9 9 10

10 10 11

11 11 12

12 12 1

3 3 NÚMERO DE NÓS COM CONDIÇÕES

PRESCRITAS - 𝑁𝐹𝐼𝑃, 𝑁𝐷𝐹𝐼𝑃

11 0 0 1 1 NÓS COM CONDIÇÕES DE DESLOCAMENTO

PRESCRITOS: 𝑘, 𝑃1(𝑘), 𝑃2(𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃1(𝑘),

𝐼𝐹𝐼𝑃2(𝑘) 12 0 0 1 1

1 0 0 1 1

5 1 0

NÓS COM CONDIÇÕES DE TENSÕES PRESCRITAS: 𝑘, 𝑃1(𝑘), 𝑃2(𝑘)

6 1 0

7 1 0

Utilizando como entrada para o MEMEC o arquivo barra.txt gerado

obtemos, a SciVis representada na Figura 35.


92

Figura 35: SciVis, em surface, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com

tensão na direção 𝑋.

A tensão está orientada da cor azul para a vermelha, isto é, azul representa

tensão menos significativa e vermelha representa tensão mais significativa.

Podemos observar que, embora a SciVis represente corretamente o objeto

e sua deformação, a deformação não possui um aspecto muito esclarecedor e,

mais, pode dar a impressão de que a barra se rompe nas pontas. Estamos

trabalhando sobre a elasticidade dos objetos, isto é, em situações em que quando

cessado a força de deformação o objeto volte às condições inicias.

Mas por que a SciVis pode causar uma interpretação errônea? A

explicação é simples. A utilização de uma quantidade pequena de pontos na

discretização do objeto ou até mesmo o fornecimento de dados incorreto pode

levar a situações como a ilustrada na Figura 35. Todavia, o resultado numérico

(Figura 36) gerado pelo software é correto e pode sanar interpretações errôneas.


93

Figura 36: Resultado numérico gerado para o arquivo barra.txt através do MEMEC.

O MEMEC gera Visualizações em três estilos: surface, wireframe e pontos.

Em wireframe é apresentada a malha do objeto. Em surface é apresentado à

distribuição da tensão ao longo do objeto. Em pontos são apresentados a

discretização do objeto. Além disso, a tensão pode ser observada de três formas:

tensão na direção 𝑋, tensão na direção 𝑌, tensão equivalente. Todas as tensões

apresentam os três estilos de visualização. Além disso, pode ser observar as

tensões e deformações através de curvas de níveis ou isolinhas e campo escalar.

O objetivo de estruturar o MEMEC dessa forma é o de sanar, ou diminuir,

interpretações incorretas devido a uma má discretização do objeto. A Figura 37

mostra uma SciVis da barra através da malha gerada. Pode-se observar que

alguns dos pontos tracionados ficam, visualmente, alinhados e, é isso que leva a

um interpretação incorreta da SciVis. Uma discretização mais detalhada do objeto

resolveria esse problema.


94

Figura 37: SciVis, em wireframe, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com

tensão na direção 𝑋.

A Figura 38 mostra uma barra, de dimensão 100 x 50 unidades de medida,

discretizada com 301 nós e 100 pontos internos. Evidentemente, a malha está

muito melhor estruturada do que a da Figura 37. E mostra, claramente, a

distribuição da tensão na direção 𝑋 no objeto. Note, também, que os valores das

figuras nos pontos extremos da figura são bem representados nas duas malhas

apresentadas e fica evidente que o erro geométrico influencia significativamente

na visualização das tensões. Técnicas de visualização estão sendo desenvolvidas

para tirar proveito da precisão numérica do MEC mesmo trabalhando com erros

geométricos significativos.


95

Figura 38: SciVis, em wireframe, de uma barra com 301 nós e 100 pontos internos

gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑋.

Aspectos dos resultados numéricos gerados pelo software MEMEC não

serão tratados nesse texto (mais detalhes em (Fontes Jr, Barbosa, & Vera-Tudela,

2007)), entretanto façamos algumas colocações.

Dentre os resultados apresentados após processamento pelo MEMEC

encontram-se: o deslocamento dos nós (𝑈 = deslocamento em 𝑋 e 𝑉 =

deslocamento em 𝑌), as forças no contorno (𝑃𝑋 = força na direção 𝑋 e 𝑃𝑌 = força

na direção 𝑌), tensões nos nós e pontos internos (𝑆𝑋 = tensão na 𝑋, 𝑆𝑌 = tensão

na direção 𝑌, 𝑆𝑋𝑌 = tensão em 𝑋𝑌, 𝑆𝑍 = tensão na direção 𝑍 e 𝑆𝐸𝑄 = tensão

equivalente) e a posição final dos nós após o deslocamento.

O MEMEC possibilita a análise de geometria simétrica, problemas com

singularidades e problemas infinitos ou em meio-infinito utilizando eficientemente

o MEC. Em caso de simetria o MEC não inclui aproximações de domínio como é

comum em outros métodos, como o Método dos Elementos Finitos (ver (Brebbia,

Telles, & Wrobel, 1984)). Para problemas singularidades o recurso do uso de nós


96

duplos melhora, ou corrige, significativamente os resultados obtidos sem o

mesmo.

5.2.2. Algoritmo de interpolação da SciVis

O método numérico utilizado no MEMEC fornece informação da tensão no

objeto através do contorno, todavia, para a SciVis necessitamos mais que isso.

Precisamos construir uma malha para que através dela possam ser distribuídos

os escalares de tensão com o mapeamento correto de cores. O método numérico

gera resultados sobre pontos e não malhas. Sendo assim, como gerar a malha

adequada que represente o interior do objeto e que sirva para o processo de

coloração?

A resposta a essa pergunta chama-se triangulação. Mas antes de

descrever o que seria a triangulação façamos alguns questionamentos. Os

objetos do mundo real cujos fenômenos físicos se pretendem simular possuem

peculiaridades importantes, como formato irregular, lacunas e estrutura material

heterogênea.

Para possibilitar a construção automática da malha, esses objetos são

modelados por polígonos ou grafos planares de linhas retas — PSLG. A geração

de malhas é um procedimento complexo e custoso que resolve o problema de

decompor um domínio geométrico qualquer em partes menores denominadas de

elementos.

Assim, a dificuldade computacional inerente à construção da malha se

justifica, sobretudo, em virtude de ela ocorrer como que proliferando e ajustando

elementos geométricos, circunscritos às fronteiras do polígono e sob outras

restrições impostas pelas características do objeto real, que lhe foram, de algum

modo, transferidas.

As seções seguintes forneceram elementos necessários à compreensão do

porque da triangulação ser escolhida para gerar malhas no MEMEC.


97

5.2.2.1. TIPOS DE MALHAS

Existem três tipos de malhas: estruturadas, não-estruturadas e híbridas.

Uma malha estruturada (Figura 39 (a)) em duas dimensões é muitas vezes

uma grade quadrada deformada por algumas transformações de coordenadas.

Cada vértice da malha, exceto aqueles das bordas, tem uma vizinhança local

isomórfica. Em três dimensões, uma malha estruturada é normalmente uma grade

cúbica deformada. Não é estritamente necessário armazenar os valores das

coordenadas dos nós, pois eles podem ser implicitamente conhecidos pelo

número de cada elemento.

Uma malha não-estruturada (Figura 39 (b)) é, na maioria dos casos, uma

triangulação com vizinhança local variável.

Uma malha híbrida (Figura 39 (c)) é aquela resultante da combinação de

malhas estruturadas e não-estruturadas.

As malhas estruturadas oferecem certas vantagens e desvantagens sobre

as não-estruturadas. Elas são mais simples e também mais convenientes para

uso em métodos das diferenças finitas menos complexas. Elas requerem menos

memória de computador, pois suas coordenadas podem ser calculadas em vez de

explicitamente armazenadas.

Figura 39: Tipos de Malhas

( a ) estruturada ( b ) não-estruturada ( c ) híbrida


98

A maior desvantagem de uma malha estruturada é a falta de flexibilidade

em ajustar-se a um domínio com forma complicada.

5.2.2.2. PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UMA MALHA E DE

GERADORES DE MALHA

Na prática, quando um domínio de entrada e uma condição numérica são

dados, a geração de malha segue três passos (Teng, 1999):

1. Converter a geometria de entrada em uma representação padrão,

como PSLG;

2. Gerar uma malha construindo seu conjunto de pontos e elementos;

3. Aplicar um algoritmo de melhoramento e refinamento da malha

como uma maneira de aprimorar a qualidade da malha construída

no Passo 2.

O Passo 3 tem por objetivo melhorar a qualidade da malha e reduzir o erro

na aproximação provida pelo método dos elementos finitos e o mesmo pode ser

dito para o método dos elementos de contorno. Esse erro evolui com o tamanho

do elemento e está relacionado aos ângulos mínimo e máximo. Por essa razão, o

tamanho do elemento e dos ângulos mínimo e máximo são uma importante

medida de qualidade tanto para geração de malha como para interpolação de

superfície.

5.2.2.3. TRIANGULAÇÃO DE DELAUNAY

A triangulação de um conjunto de pontos consiste em encontrar segmentos

de reta que conectem estes pontos de tal modo que nenhum desses segmentos

cruze com nenhum outro e que cada ponto seja vértice de pelo menos um

triângulo formado por esses segmentos. Esses segmentos particionam o conjunto

de pontos em triângulos, daí o nome Triangulação.


99

A triangulação de Delaunay, semelhante às técnicas de integração ao

segmentar a área sob a curva produzida por uma função, particiona a região

interna de um polígono. Na integral, os fragmentos são retângulos ou trapézios;

na triangulação, esses fragmentos são triângulos.

Para um polígono ser decomposto deverá ter mais de três vértices (Figura

40), ou seja, ter no mínimo uma diagonal. Desse modo, o polígono será

particionado em triângulos pela adição de uma ou mais diagonais.

Por outro lado, se a entrada para o algoritmo de triangulação for um

conjunto de pontos no plano (Figura 41), a quantidade de triângulos e arestas é

dada como segue (Berg, 2002): Seja 𝑃 um conjunto de 𝑛 pontos no plano, não

todos colineares, e 𝑘 o número de pontos em 𝑃 que estão sobre a fronteira do

casco convexo de 𝑃. Então, em qualquer triangulação de 𝑃 há 2𝑛 − 2 − 𝑘

triângulos e 3𝑛 − 3 − 𝑘 arestas.

Figura 40: Triangulação de um polígono.


100

Figura 41: A triangulação de Delaunay sobre uma nuvem de pontos.

De fato, essas propriedades são interessantes. Mas qual é a importância

da triangulação de Delaunay para a geração de malhas no MEMEC?

Primeiro, a maioria dos polígonos que descreve objetos do mundo real tem

formato irregular e regiões pertencentes a diferentes domínios de interesse.

Nesse contexto, a triangulação de Delaunay, conceitualmente, pode ser vista

como uma estratégia de decompor um domínio em triângulos, respeitando suas

características geométricas, como um passo inicial do processo de discretização.

Desse modo, a triangulação de Delaunay funciona como uma espécie de gabarito

para delimitar o espaço de ocupação, o qual, posteriormente, será decomposto

até que sejam atendidos todos os critérios de qualidade referentes à área e

medida angular para cada triângulo.

Segundo, a triangulação de Delaunay contribui para a qualidade da malha

final, visto que, dado um conjunto de vértices, maximiza o ângulo mínimo entre

todas as maneiras possíveis de triangular aquele conjunto (Moura, 2006).

Formalmente, uma triangulação de um conjunto 𝑉 de vértices é um

conjunto 𝑇 de triângulos cujos vértices coletivamente são 𝑉, cujos interiores não

interceptam um ao outro e cuja união é o fecho convexo de 𝑉 e cada triângulo que

intercepta 𝑉 o faz somente nos vértices do triângulo.

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Delaunay_Triangulation_(100_Points).svg


101

A triangulação de Delaunay 𝐷 de 𝑉, introduzida, em 1934, pelo matemático

russo Boris Nikolaevich Delone — depois chamado Boris Delaunay —, é um grafo

definido como segue. Qualquer círculo no plano é tido como vazio se não cerca

nenhum vértice de 𝑉. Vértices são permitidos sobre o círculo. Sejam 𝑢 e 𝑣 dois

vértices de 𝑉. Um círculo-circundante da aresta 𝑣𝑤 é qualquer círculo que passa

através de 𝑢 e 𝑣. A aresta 𝑢𝑣 está em 𝐷 se e somente se existe um círculo-

circundante de 𝑢𝑣. Uma aresta que satisfaz essa propriedade é dita ser Delaunay.

Na Figura 42, é ilustrada uma triangulação de Delaunay sobre um conjunto de dez

pontos no plano.

Figura 42: Triangulação de Delaunay sobre um conjunto de 10 pontos no plano

Cada aresta que conecta um vértice ao seu vizinho mais próximo é

Delaunay. Se 𝑤 é o vértice mais próximo a 𝑣, o menor círculo que passa por 𝑣 e

𝑤 não circunda quaisquer outros vértices.

A definição de um triângulo de Delaunay servirá para garantir que o

conjunto de arestas de Delaunay de um conjunto de vértices coletivamente forme


102

uma triangulação. O círculo-circundante de um triângulo é o único círculo que

passa através de todos os seus três vértices. Um triângulo é dito ser de Delaunay

se somente se seu círculo-circundante tem seu interior vazio. Essa definição

característica dos triângulos de Delaunay, ilustrada na Figura 42, é chamada

propriedade do círculo-circundante vazio (Moura, 2006).

Existem diversos algoritmos para implementar triangulação de Delaunay

com diversas complexidades. Esses algoritmos não serão apresentados nesse

texto, mas alguns podem ser encontrados em (Moura, 2006).

O algoritmo utilizado no MEMEC é nativo do VTK e possui comportamento

bastante satisfatório para o problema trabalhado. Algoritmos incorporados a

biblioteca VTK são, por natureza, ótimos ou próximos do ótimo. Dessa forma, se

fez desnecessário uma nova implementação. O que é feito de forma continua é a

adaptação dos algoritmos implementados para o uso em problemas e métodos

específicos, tais como, problemas inerentes do estudo da Elasticidade e

aproveitamento das particularidades do Método dos Elementos de Contorno.


Considerações Finais

A visualização por meio do computador apoiada em técnicas de

Computação Gráfica tem proporcionado inúmeros benefícios para as mais

diversas áreas. Benefícios como o aumento de produtividade e maior eficiência na

tomada de decisões baseadas na análise de grandes conjuntos de dados.

Nesse texto, foram apresentadas duas propostas para aplicação da

Computação Gráfica. Uma proposta buscou integrar Computação Gráfica e

Educação Matemática através do software i-Complex. A outra buscou integrar

Computação Gráfica e Engenharia Civil através do software MEMEC.

No Capítulo 2, foi apresentado o conjunto dos números complexos sobre

um olhar geométrico. Tal olhar não é comum em se encontrar no processo de

ensino-aprendizagem o que justifica os esforços para o desenvolvimento de

novas ferramentas de ensino.

No Capítulo 3, apresentamos o software i-Complex, uma alternativa ao

ensino dos Números Complexos e sua geometria.

No capítulo 4, é apresentado o problema de elasticidade linear descrito

com uma visão sobre a engenharia civil. Foram feitas descrições analíticas sobre

o problema e a apresentação do método de elementos de contorno.

Nos Capítulos 5, apresentamos o software MEMEC que mostra a

versatilidade da Computação Gráfica e sua importância como objeto de estudo

nos dias atuais. A busca por algoritmos eficientes é constante e sua demanda se

torna cada vez maior. Uma das causas é a crescente número de áreas que

buscam auxilio na Computação Gráfica para resolução de problemas reais.

Tanto o i-Complex quanto o MEMEC são software em estado inicial e tem

muito a crescer. Nesse sentido, trabalhos futuros são importantes para melhoria

de algoritmos e para tratamento de situações novas.

104

Por exemplo, considere a situação (Figura 43) de uma barra com ambas as

extremidades fixas sendo tracionada para baixo.

Discretizando o objeto em 301 pontos e 100 pontos interiores. E utilizando

como dados de material o Módulo de Elasticidade igual a 1 e o Coeficiente de

Poisson igual 0.5. Aplicando uma força igual a -1 N temos a SciVis gerada pelo

MEMEC na Figura 44.

Figura 44: SciVis, em surface, de uma barra com duas extremidades fixas gerada

pelo MEMEC com tensões nas direções 𝑋 e 𝑌.

Figura 43: Barra com extremidades fixas e tracionada ao centro

𝐹𝑋

105

Apesar da visualização, em surface, das tensões nas direções 𝑋 e 𝑌 ser

coerente fisicamente e expressar o processamento numérico, a visualização em

curvas de nível (Figura 45) não apresenta a mesma qualidade.

Figura 45: SciVis, em curvas de nível, de uma barra com duas extremidades fixas

gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌.

Observe, na Figura 45, que as isolinhas do objeto não estão claras e o

aspecto não é suficientemente esclarecedor. Nesse sentido, é necessário

desenvolver novos algoritmos ou aperfeiçoar os existentes para tratar esse tipo de

problema. Salientamos que esse tipo de situação ocorre apenas em alguns

objetos.

Embora as curvas de nível não apresentem uma solução aceitável para o

problema da Figura 43, o resultado numérico gerado pelo MEMEC e os outros

estilos de visualização (como as tensões nas direções 𝑋 e 𝑌 em wireframe (Figura

46)) descreve uma solução para o problema e a visualização em surface dá uma

representação aceitável da distribuição das tensões.

A visualização de Isolinhas é um recurso valioso na visualização de

campos escalares, particularmente para o caso bidimensional onde o traçado de

isolinhas (isosuperfícies), em geral, fornece boa noção do comportamento do

campo. Para o caso 3D tem-se a dificuldade adicional da sobreposição visual de

superfícies o que pode exigir rotações ou mudanças de ponto de vista para

melhor compreensão do resultado.

106

Figura 46: SciVis, em wireframe, de uma barra com duas extremidades fixas

gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌.

Além das isolinhas, o MEMEC permite a visualização de campo de

escaleres, essa visualização permite o mapeamento do campo escalar de tensão

no objeto, visualizando assim como a tensão está distribuída. A Figura 47 mostra

o campo escalar do arquivo barra.txt descrito no Capítulo 5.

107

Figura 47: SciVis, em campo escalar, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC

com tensão na direção 𝑋

O uso de simetria e nós duplos tem se mostrado de grande valia para

redução do custo computacional e análise de tensões em um corpo com

singularidade. Para ilustrar considere o problema na Figura 48 descrito em

(Timoshenko & Goodier, 1951):

Conforme discutido em (Timoshenko & Goodier, 1951), se 2𝑟 =1

2𝑑 então a

tensão na direção 𝑋 é 𝑆𝑥 = 0,75𝑞 no ponto 𝑚. Sendo assim, se fizermos 𝑞 = 1,

𝑑 = 4 e portanto 𝑟 = 0,5 temos que por (Timoshenko & Goodier, 1951) a tensão

𝒅

𝒎

𝟐𝒓

𝒒

𝒏

Figura 48: Chapa com furo circular nos eixos de simetria

108

na direção 𝑋 no ponto 𝑚 deve ser igual a 0,75. Com apenas 40 elementos no

contorno e utilizando a simetria da geometria o MEMEC nos fornece 𝑆𝑥 = 0,75137

no ponto 𝑚. A SciVis para esse problema pode ser vista na Figura 49. Cabe

salientar que os resultados foram obtidos discretizando somente o contorno,

orientando a malha de forma que a normal em cada elemento aponte para fora do

domínio.

Figura 49: SciVis de chapa com furo sobre o eixo de simetria

Em se falando do i-Complex, situações como potência de complexos ainda

não estão implementadas e fazem parte de estudos futuros.

Para trabalhos futuros, estaremos desenvolvendo algoritmos para sanar

problemas ainda não resolvidos no software MEMEC, como o algoritmo para

geração de malhas não-estruturadas e problemas com malhas hibridas.

A técnica de isosuperfícies pode ser enriquecida pela utilização conjunta de

recursos para visualização de campos vetoriais ou mesmo pela utilização de

traçado de raios para mapear o comportamento de um campo escalar (Figura 47)

109

sobre uma isosuperfície de outro campo escalar. Para trabalhos futuros,

pretendemos, também, trabalhar mais as isosuperfícies no MEMEC.


Referências Bibliográficas

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111

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