COMO RESOLVER PROBLEMAS - UM PEQUENO GUIA.

(ou COMO ESTUDAR COM MAIS EFICIÊNCIA)

Prof.Nirzi Gonçalves de Andrade

EEIMVR - PUV - UFFVolta Redonda.

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Apresentação

Esta pequena monogra�a tem como objetivo, na medida do possível, ap-resentar algumas sugestões de como estudar corretamente e de como resolverproblemas. O título parece pretensioso e de fato o é. Mas não temos a intençãode fornecer receitas milagrosas e nem de esgotar o assunto. É uma tarefa difíciluma vez que cada um tem já arraigados seus hábitos de estudo e, além disso, ascondições de cada estudante são diversas. No entanto, existem certas normasou sugestões que são gerais no sentido de que podem ser utilizadas por qualquerestudante e podem ser aplicadas na resolução de problemas variados, sejam elesde Matemática, Física, Química, Economia Doméstica, etc.Nada há de original nestas notas. Estas normas são encontradas em vários

manuais ou livros escritos com o objetivo de auxiliar o estudante a obter mel-hor rendimento em seus estudos. Um destes livros, em particular, se destacapelo fato de sintetizar e conseguir , de maneira clara, apresentar estas sugestõese propostas. Re�ro-me ao pequeno livro de G. Polya �How to solve It � ANew Aspect of Mathematical Method�editado pela Princeton University Press,traduzido para o português com o título � A Arte de Resolver Problemas�e pub-licado pela Editora Interciência [1]. Existem outras referências sobre o assuntoe algumas delas são mencionadas na pequena bibliogra�a,no �nal. Advertimosque a intenção ao apresentar este pequeno texto é mostrar ao estudante comodar o pontapé inicial na difícil/fácil arte de resolver problemas. Aos que quis-erem ir adiante, se aprofundarem no assunto, sugerimos a leitura cuidadosa dolivro do Polya [1] :A decisão de escrever e compartilhar estas sugestões resultou da constatação

das di�culdades que a maioria dos alunos enfrenta no ato, ou frente à tarefa,de resolver um problema. Isto a�orou e �cou patente durante as sessões deatendimento pelos monitores do Projeto de Monitoria �Como Resolver Prob-lemas � Roteiro e Normas� implementado nos 1o e 2o períodos de 2007, naEEIMVR. Este programa foi coordenado por mim e pelo colega Prof. Alexan-dre da Silva Galvão e contou com a participação dos monitores Kelly Osório deBarros , Rafael de Almeida Leite, Rodrigo Augusto Barbosa e Neyviton de Car-valho Candido. Cabe mencionar aqui que este Projeto de Monitoria participouda �Semana de Monitoria -2007�, realizada pela UFF. Foi escolhido numa se-leção preliminar, realizada localmente na EEIMVR, para participar da seleção�nal, na UFF em Niterói onde concorreu com �nalistas de toda a Universidade.Quem o apresentou foi a monitora Kelly Osório de Barros que foi contemplada,ela e o Projeto apresentado, com o primeiro lugar em sua categoria. À Kellyfoi ofertado, ainda, um pequeno prêmio em dinheiro. Infelizmente, este fato, apremiação do Projeto, não mereceu nenhuma divulgação na EEIMVR.Ficam aqui registrados, ao Prof. Alexandre da Silva Galvão e aos monitores,

os meus agradecimentos pela colaboração e pelo trabalho desenvolvido. Sem aparticipação efetiva deles a escritura destas notas teria sido bem mais difícil.

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AGRADECIMENTOS

Meu "muito obrigado" ao colega, Prof. Alexandre da Silva Galvão que tevea paciência de ler o primeiro rascunho destas notas e pelas sugestões e críticasfeitas.

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CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Considerações Iniciais I

O que é um " problema " ? Você já viu a de�nição de " problema "? Podemos dizer, de maneira geral, sem a preocupação de sermos precisosou rigorosos que um problema é " qualquer situação em que você tem quetomar uma decisão, dar uma resposta a uma pergunta ou responder a umasolicitação posta por um conjunto de dados e condições ". Embora os exemplos,que serão apresentados, sejam exemplos de problemas matemáticos o que seráaqui discutido poderá ser aplicado, mutatis mutandi, em problemas de outranatureza.Foi observado durante as sessões de atendimento de monitoria que os estu-

dantes tinham di�culdades em resolver um problema, na maioria das vezes, pornão ter entendido, ou entendido parcialmente, o enunciado do problema a serresolvido. Percebeu �se que o aluno faz uma leitura muito rápida, desatenta, doenunciado e já parte para uma tentativa de solução. Se o problema for numérico,isto é, os dados e a resposta são representados por números então saca-se a cal-culadora e começa �se a fazer contas, a esmo, como se fosse uma experiência detentativa e erro. Ele não sabe o que o problema pede (a incógnita) ou o que édado, conhecido ou, pelo menos, não tem uma idéia clara destas informações. Seuma tentativa é feita e acha-se uma resposta que coincide com aquela fornecidapelo livro então dá-se por satisfeito, mesmo que a resposta dada pelo livro es-teja incorreta ( o que as vezes acontece). E assim continua com os problemasseguintes.Não há preocupação em explorar o problema, analisá-lo, esquadrinhá - lo,vê-

lo sob outros aspectos,ou seja, aprender mais com ele. É como se a resolução doproblema fosse uma obrigação a ser cumprida: resposta encontrada, tarefa feita! Alertamos, então, que aprender a resolver problemas envolve uma mudançade hábitos, atitudes, postura, que o aluno traz, as vezes, desde o ensino básico;e sabemos que mudar hábitos pode ser difícil e demorado. Daí, chamarmos aatenção do estudante, do leitor destas notas, que o que vai sugerido e apresentadoaqui não opera milagres, os resultados não aparecem de imediato e demandamdisciplina e força de vontade. Sem disciplina e persistência resultado nenhumserá obtido a não ser frustração.

Considerações Iniciais II

Antes de começarmos com as indicações de como estudar (ou de como nãoestudar), gostariamos de fazer algumas ponderações, a nosso ver, relevantes.Certamente, há pelo menos dois grupos de estudantes que podem estar lendo

este documento; o primeiro grupo é formado por aqueles que estao contentescom seu desempenho nos estudos mas estao curiosos ou interessados em ver

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o que, de novidade, será dito aqui; o segundo grupo constitui-se daqueles quenão estao contentes com os resultados obtidos e procuram alguma indicação ousugestao de como melhorar. A seguir, alguns comentarios que poderão ser úteisa cada um destes grupos.Se voce tem uma rotina de estudo, com a qual esteja acostumado, e se sente

bem, mesmo assim, certamente achará interessante o que vai ler aqui.Se voce nao esta contente com seu desempenho nos estudos e está procurando

meios de melhorar entao algumas observações podem ser feitas para limpar ocaminho, por assim dizer, ou seja para tornar mais claro o que queremos dizer..Por outro lado, a maior parte dos alunos que não vao bem nos estudos estaonuma das tres categorias a seguir:i) A primeira categoria é formada pelo maior grupo. São dos estudantes que

não tem bons habitos de estudo e/ou não sabem como estudar, na maioria dasvezes. Os alunos nesta categoria certamente acharão úteis as dicas e mesmo quenão consiga seguir todas elas espera-se que melhorem mesmo seguindo apenasalgumas.ii) A outra categoria é daqueles alunos que mesmo dispensando algumas ho-

ras ao estudo,diariamente, ainda assim não conseguem resultados satisfatórios.A maior parte dos alunos neste grupo padece de maus habitos ao estudar, isto é,estudam de maneira ine�ciente e perdem tempo. Estes, se tiverem boa vontadee persistência , poderão fazer bom proveito das indicações aqui feitas.iii) A última categoria é daqueles que, simplesmente, nao dispensam tempo

su�ciente aos estudos. Isto pode acontecer por vários motivos. Alguns estu-dantes possuem um trabalho, um emprego, ou tem compromissos familiaresque os impedem de dedicar o tempo que seria necessario aos estudos. Para serfranco, não há muito que dizer ou fazer nestes casos. Infelizmente, a maioriadaqueles nesta situacao não percebem que estao nesta categoria e tambem nãotêm ideia de quanto tempo deveriam dedicar aos estudos. Há, inclusive, aquelesque estao estudando, ou indo à escola, apenas para passar o tempo, pois, hácoisas mais importantes a fazer na vida. Para estes, ir à escola é uma de suasatividades -sociais - passatempo.Após estes comentários iniciais, faremos, a seguir, algumas observações.

Observações Importantes

Estas podem ser divididas em tres grupos, ou tópicos, bem gerais.

I) Nao estude sendo apenas um espectador

Voce não aprenderá Matemática, Física, Química, Ingles, Economia, VisualBasic ou qualquer outra coisa apenas assistindo aulas e �car olhando o professorescrever o resumo da aula no quadro ou assistindo à projecao de transparen-cias ou, ainda, à projeção de algum video sobra o assunto. Para aprender

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voce tem que estar ativamente (em contraposição à passivamente) envolvido noprocesso de aprendizado.Além de assistir às aulas voce deve fazer anotacoes edeve trabalhar depois, àrduamente, no conteúdo apresentado em aula mesmoque o professor não o tenha pedido ou sugerido. Deve estudar todos o dias,com disciplina, e não apenas na véspera das provas. É isto que quero dizer com�estar envolvido com o processo de aprender�. Na verdade, o que acontece éque a maioria acha que para aprender ( para muitos aprender é sinônimo de�passar�, �ser aprovado�) bastam algumas horas de estudo antes de cada prova.Os resultados podem ser catastró�cos.Esta atitude, postura, ou crença é umaboa forma de enganar a si mesmo.

II) Procure entender o que está estudando

Não basta memorizar, ao contrário do que muitos pensam . E se você insistirem memorizar logo vai perceber que há tanta coisa a ser memorizada, tantosresultados e fórmulas para serem lembrados que você não vai conseguir. O queacontecerá, certamente, é uma grande confusão. O que é importante é quevocê entenda o que as fórmulas signi�cam, quais condicões devem ser satisfeitaspara poderem ser usadas, que respostas ou informações elas dão. É importanteentender o que está sendo estudado, entender o que dizem e quais as implicaçõesdos teoremas, no caso da Matemática, entender e saber aplicar as leis e principiosnos casos de Física e Química; buscar ter uma compreensão mais aprofundadaindo além do que o autor expõe e propõe seja qual for a área de conhecimentoque você esteja estudando; compreender, claramente, o enunciado o que estásendo proposto, o que está sendo pedido, etc.

III) O aprendizado (o estudo) é um processo cumulativo

Qualquer que seja o assunto ou disciplina que for estudar irá perceber queprecisa usar resultados já aprendidos prèviamente, neste ou em outros assuntosa�ns, ou seja, vai ter que se apoiar em conhecimentos anteriores. Por istoserá práticamente impossível você enfrentar, com proveito, geometria e álgebrana Universidade se você não aprendeu Álgebra e Geometria elementares noSegundo Gráu.Como vai aprender Cálculo I se não aprendeu bem Àlgebra eTrigonometria no Segundo Gráu ? O que se está querendo dizer é que , além decumulativo, existe uma sequencia, uma ordem no processo de aprendizado : paraestudar e aprender B é preciso, primeiro, estudar e aprender A, que precede B,isto é, para resolver um determinado problema, demonstrar um teorema, decidirse uma informação é falsa ou verdadeira, você precisa se apoiar em informaçõesou conhecimentos adquiridos anteriormente, em ferramentas que já lhe foramdadas. Podemos usar uma imagem rústica,simples, mas que, acho, esclarece oque está sendo a�rmado. Suponha que você seja incubido de quebrar pedras,numa pedreira. A primeira coisa que você vai perguntar é que meios ou que

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�ferramentas�vai usar. Se não for dada nenhuma ferramenta vai ter que usarapenas as próprias mãos. É claro que irá conseguir apenas umas lasquinhasde pedra, feridas nas mãos e gerar algum calor !. Se dispuser de uma marretade ferro, o resultado vai ser melhor. Se lhe derem uma broca perfuratriz ebananas de dinamite entao o seu rendimento (produção) será muito maior. Ouseja, seu rendimento, qualitativo e quantitativo, depende das �ferramentas�dasquais você dispõe o que, no nosso caso, são as informaçoes e conhecimentos jáadquiridos,aprendidos e acumulados.

CAPÍTULO 1

Seguindo o que aconselha G. Polya [1], um roteiro para resolver ou estu-dar um problema pode ser dividido, básicamente, em quatro etapas ou fases. Cada uma destas pode,eventualmente, ser dividida em sub-etapas ou sub-fases. Trataremos destas sub-etapas, posteriormente. Vamos, inicialmente, in-dicar quais são as etapas tecer alguns comentários sobre cada uma delas e ,em seguida, estudaremos quatro exemplos modelos cujo objetivo é ilustrar ométodo e mostrar ao estudante o caminho a ser percorrido. Este caminho podeser diferente ou variar conforme as características ou natureza do problema queestá sendo estudado mas, via de regra, as linhas gerais são comuns a todos eles.

As quatro etapas

Etapa 1: Compreensão do Problema.

Etapa 2: Construção de um Roteiro ou Estabelecimento de um Plano deAção.

Etapa 3: Implementação do Plano ou Execução do Roteiro.

Etapa 4: Retrospecto do que foi Feito ou Análise da Solução.

Etapa 1.

Nesta primeira etapa o que se faz, ou que se aconselha a fazer, é umaprimeira leitura ligeira, super�cial, do problema. Mas, nesta primeira leiturajá dará para perceber, talvez, detalhes do problema. Qual é sua natureza, istoé, trata-se de um problema de cálculo (contas numéricas) ou é um problemade demonstração.De qualquer modo, uma segunda leitura deve ser feita, agoracom mais vagar ,com mais cuidado, e anotando por escrito, ou mentalmente,detalhes sobre o que é dado, o que é conhecido,ou seja, o que pode ser assumido

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como conhecido, quais são as condições e o que está sendo pedido. Sòmentedepois de se ter certeza de que o problema foi entendido é que se deve passarpara a segunda etapa. Caso contrário, corre-se o risco de pegar um caminhotortuoso, equivocado, o que vai acarretar perda de tempo e frustração.

Etapa 2.

Esta é, certamente, a fase mais delicada e talvez a mais difícil para quemestá começando. É agora que você vai traçar um plano de ação para obter asolução. E vai depender, primeiramente, da perfeita compreensão do problemaobtida na primeira etapa. Vai depender, também, do conhecimento e domíniodas ferramentas necessárias, isto é, dos seus conhecimentos prévios, o que vocejá estudou ou já aprendeu a respeito do assunto abordado.

Etapa 3.

A mais tranquila das quatro fases. Se você compreendeu bem o problemaproposto, já tem um plano de ação para resolvê-lo e conhece as ferramentasnecessárias então só resta executar o plano traçado. Executar o plano aqui sig-ni�ca que através de argumentos consistentes e usando as informações forneci-das, os dados, você vai percorrer o caminho que une estes dados à solução, sejaela representada pela determinação de uma incógnita, seja ela representada poruma a�rmação do tipo "Falsa" ou "Verdadeira", seja ela numérica ou literal.

Etapa 4.

É a etapa da exploração.Explicando melhor, é o momento de você apren-der mais com o problema resolvido, de "arrancar" mais informações dele. Emgeral, a maioria dos estudantes dá a tarefa por terminada ao �m da etapa 3.Resposta encontrada, coincide com a resposta dada pelo texto ? Ufa... menosum !!! E passa- se ao problema seguinte.E por aí vai. Mas podemos perguntarvárias coisas, agora. Por exemplo, a resposta obtida é consistente com os dadosfornecidos ou é pelo menos razoável ? Pode acontecer de a resposta obtida serabsurda em relação aos dados e o estudante, na pressa, nem se aperceber disto.Veja se sua resposta está condizente com os dados. Em seguida, você que écurioso, pode perguntar coisas do tipo: existe algum caso particular deste prob-lema que pode ser resolvido da mesma maneira ? posso considerar este problemanum contexto mais geral ? o método de solução que usei continua valendo ?como varia a solução se os dados mudarem, isto é, se os dados variarem ? Asperguntas, que podem e devem ser feitas e respondidas, nesta etapa, variam deum problema para outro, dependem da natureza do problema.

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Podemos, agora, apresentar os exemplos mencionados. Começaremos comum exemplo bem simples e chamamos atenção do estudante para o fato de queos modelos que serão apresentados são problemas de fácil solução e estão aquicom o único objetivo de ilustrar e exempli�car o método.

EXEMPLO 1

O produto do número 16 pela metade de um outro número éigual a 136 . Qual é este número ?

Como proposto, vamos resolver o problema seguindo as quatro etapas queforam sugeridas.

Etapa 1.

Como já foi dito e enfatizado não é possível resolver qualquer problema, sejade que natureza for, se não tivermos uma perfeita compreensão dele. Assim, oprimeiro passo é "traduzir" o problema proposto, reescrevê-lo de forma difer-ente, fazer perguntas e respondê-las até que seu enunciado �que perfeitamenteclaro.Quais são os dados ? São dados dois números: 16 e 136. Qual é a incognita? O que está sendo pedido ? O que está sendo pedido é um número. Há, ainda,outra informação que poderia ser considerada como um dado:esta informaçãodiz que a operação feita para obter o terceiro número, o número que está sendopedido, é um produto ou multiplicação. Está se fazendo a multiplicação de umnúmero, no caso, 16 pela metade de outro número desconhecido, a incognita,para se obter o número 136. Em outras palavras, queremos determinar umnúmero tal que o produto de sua metade por 16 é igual a 136.

Etapa 2.

Provavelmente, a primeira coisa que lhe ocorreu foi resolver o problemausando álgebra ! Chamamos o número desconhecido de x , a incognita, faze-mos uma continha e o problema está resolvido ! Mas vamos tentar a soluçãosem álgebra. Podemos argumentar assim : como o produto da metade de um"certo número" por 16 é igual a 136 então (inversa da multiplicação) isto querdizer que a metade deste "certo número" é igual a 136 dividido por 16. Dai,multiplicando-se o resultado por 2 obtém-se o " certo número" que é a incognitabuscada. Está aí o que chamamos de "plano de ação" na etapa 2. Estabelece-mos um caminho, partindo dos dados ou usando os dados, que conduz á solução.Agora é só fazer as contas.

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Etapa 3.

136 �16 = 8; 5: Este número, 8; 5 é igual à metade do número procurado.Logo, o número procurado é igual a duas vezes 8; 5; ou seja, 8; 5 � 2 = 17:

Etapa 4.

Veri�cando a solução encontrada : 16 � (17=2) = 16 � 8; 5 = 136: É re-comendável sempre veri�car se a "solução" encontrada é, de fato, a solução doproblema.

Observamos que o que foi feito nas quatro etapas, neste primeiro exemplo,pode variar dependendo da natureza do problema. Recomenda-se que tenhasempre papel e lápis à mão. Faça um desenho, um esquema, um grá�co ou umdiagrama que represente, para você, a situação do problema. Isto o ajudará acompreender melhor as relações entre as suas partes.

EXEMPLO 2

Suponha a e b numeros reais, positivos. Mostre que

ab � (12)a2 + (

1

2)b2

:

Etapa 1.

Quais são os dados ? Qual é a incognita ? Os dados são os númerosreais a e b. São dados, conhecidos, dois números a e b . Deve-se notarque há uma outra informação importante sobre os números dados: eles sãopositivos. O que está sendo pedido ? Desta vez não se pede um número e simuma relação. Uma relação que deve ser mostrada, isto é, demonstrada, provada.E a relação não é de igualdade. É uma relação de desigualdade !! Resumindo,então, devemos demonstrar que se a e b forem dois números reais positivosentão a desigualdade apresentada é verdadeira.

Etapa 2.

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Podemos dizer que temos um plano de ação no momento em que conhece-mos ou vislumbramos um caminho que nos leve até a solução. Vale dizer quesabemos quais contas ou cálculos devem ser feitos e em que sequencia devemser feitos. Você poderia, neste caso, começar se perguntando se já viu algumproblema parecido; se conhece alguma desigualdade semelhante; ou mesmo al-guma igualdade relacionada ! Se já viu escreva-as. Veja o que você pode fazercom elas ou obter delas. Você pode reescrever a desigualdade dada de modoa obter outra que lhe seja equivalente ? Por exemplo: pode multiplicá-la por2. Obtém-se que : 2ab � a2 + b2: Esta lhe lembra alguma relação envolvendodois números a e b ? . Podemos reescrevê-la ainda, mais uma vez, como: a2 + b2 � 2ab � 0 Ou seja, mostrar a desigualdade pedida é equivalente amostrar esta última ! Mas esta última todos a conhecem desde o curso do 2o

gráu. Pronto, podemos agora fazer as contas e obter o que é pedido.

Etapa 3.

Sejam,então, dados os dois números reais positvos a e b:Sabe-se que (a�b)2 = a2 + b2 � 2ab: Por outro lado sabe-se que o quadrado de um número realnunca será negativo, logo (a � b)2 � 0 donde a2 + b2 � 2ab = (a � b)2 � 0.Segue-se dai que a2 + b2 � 2ab � 0 o que é o mesmo que 2ab � a2 + b2: Adesigualdade está demonstrada.

Etapa 4 .

Aqui você poderia se perguntar se a desigualdade continuaria verdadeira seos dois números fossem negativos . E se tivessem sinais contrários , um positivoe outro negativo ? Os mesmos argumentos poderiam ser usados para generalizareste resultado, isto é, será que poderíamos provar que uma desigualdade análogavale no caso de tres números ? Explicando melhor: será verdade que 2abc �a2+ b2+ c2 ? . Observe que se esta desigualdade for verdadeira não poderemosobter a anterior como caso particular desta ! Isto é ruim ? Ou será que ela nãovale ?Veja que se você responder a estas perguntas terá aprendido várias coisasalém daquela que o problema lhe pediu. É isto que queremos dizer com "exploraro problema" ou "estudar o problema" . Não se satisfaça apenas com a tarefa de"obter a resposta que é dada pelo livro".Aliás, sempre que possível, veri�quese a resposta que você encontrou está correta, se é razoàvel, se é consistente oucompatível com os dados.

EXEMPLO 3.

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Etapa 1

Quais são os dados ? São dados dois pontos. Os pontos A e P: É dadamais alguma informação que possa ser usada ? Aparentemente, não. O quese pode fazer com dois pontos ? Obter um segmento de reta, claro ! Imagine

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O sr. Roberto Pires possui um sítio no município de Biscoito Duro e estádando "tratos à bola" para resolver um problema que lhe vem tirando o sono hávarios dias. Num trecho do seu sítio passa um rio de razoável largura, sinuoso,e sua largura é variável. O problema que seu Roberto tem que resolver é o decalcular a distância entre dois pontos A e P , situados em lados diferentes do rio.Estes pontos estão localizados por duas estacas. Você já deve estar pensando: calcular distância entre dois pontos é moleza ! E é, de fato !. Abaixo estáuma �gura que representa o trecho do rio e os dois pontos A e P: O sr.Roberto precisa saber qual é a distância entre estes dois pontos. Será quevamos conseguir ajudá-lo ? Ah, tem mais uma informação importante : como orio está cheio de jacaré papo-amarelo nem pense em pegar uma corda atravessaro rio, a nado, levando a corda , amarrá-la numa estaca e voltar com a outraponta até a outra estaca. Se você pudesse fazer isso era só medir o comprimentoda corda, não é ? Além disso, o sr. Roberto ainda não tem internet no sítioe, assim, está fora de cogitação usar o São Google para estimar a distância.Resumindo, o problema é :

"Calcular a distância entre os pontos A e P; mostrados nafigura a seguir".

O sr. Roberto Pires possui um sítio no município de Biscoito Duro e estádando "tratos à bola" para resolver um problema que lhe vem tirando o sono hávarios dias. Num trecho do seu sítio passa um rio de razoável largura, sinuoso,e sua largura é variável. O problema que seu Roberto tem que resolver é o decalcular a distância entre dois pontos A e P , situados em lados diferentes do rio.Estes pontos estão localizados por duas estacas. Você já deve estar pensando: calcular distância entre dois pontos é moleza ! E é, de fato !. Abaixo estáuma �gura que representa o trecho do rio e os dois pontos A e P: O sr.Roberto precisa saber qual é a distância entre estes dois pontos. Será quevamos conseguir ajudá-lo ? Ah, tem mais uma informação importante : como orio está cheio de jacaré papo-amarelo nem pense em pegar uma corda atravessaro rio, a nado, levando a corda , amarrá-la numa estaca e voltar com a outraponta até a outra estaca. Se você pudesse fazer isso era só medir o comprimentoda corda, não é ? Além disso, o sr. Roberto ainda não tem internet no sítioe, assim, está fora de cogitação usar o São Google para estimar a distância.Resumindo, o problema é :

"Calcular a distância entre os pontos A e P; mostrados nafigura a seguir".

um desenho do "mapa" do rio com os dois pontos. Sempre que for resolver umproblema faça um desenho, um diagrama, um esboço da situação, mesmo queseja mal feito. Faça um esquema. Um desenho o ajudará a perceber melhor asrelações entre os dados e o que se procura. No caso, já temos o desenho!. Que�gura pode ser construida usando os dois pontos dados ? Um retângulo ? Umtrapézio ? Quais relações associadas a estas �guras poderiam ser usadas para"resolver" o problema ? Relembre as relações que conhece associadas a estasduas �guras geométricas, o retângulo e o trapézio ? Alguma delas poderia serusada ? Mas, olha só, para construir um retângulo ou um trapézio é precisooutro ponto do outro lado do rio ! Não vai dar certo ! Que �gura poderia serconstruida usando apenas mais um ponto, além dos pontos A e P ?.

Etapa 2.

Respondendo à última pergunta da etapa anterior: é evidente que poderíamosconstruir um triângulo, a �gura mais simples que pode ser obtida com tres pon-tos distintos. Seja, então, um terceiro ponto , ponto B; que com P e Aformam o triângulo �APB: Temos, assim, uma terceira estaca �ncada no pontoB. Este ponto B, pode ser escolhido, para facilitar o desenho, de modo queo segmento AB seja, aproximadamente, paralelo à margem do rio, na regiãopróxima. Temos, então, um triângulo. Que tipo de informação pode nos dar umtriângulo? Podemos obter relações métricas ! Mas, no caso, não sabemos quetipo de triângulo é o da �gura. Se fosse um triângulo rertângulo ou isósceles !Mas não sabemos. È um triângulo qualquer. Num triângulo qualquer podemos,sempre, trabalhar com proporcionalidade entre os dados, semelhança. Mas, vemcá, para falar de semelhança não se precisa de mais um triângulo ? e que sejasemelhante ao anterior!. È claro que você sabe como construí-lo ! Veja a �gura,a seguir:

Vamos marcar mais dois pontos e para isso você precisa de mais duas estacas.Mirando com os olhos, um deles quase fechado, para delinear melhor a estaca dooutro lado, determine com uma das estacas o ponto D de modo que o pontoB �que entre D e P: Pegue a outra estaca e, com o mesmo procedimento,marque o ponto C de modo que A se situe entre C e P:Como você pretendeusar semelhança de triângulos os lados AB e CD devem ser paralelos.Como vai haver erros nas suas medições vamos dizer, então, que eles devem ser,aproximadamente, paralelos.É claro que você sabe como marcar o ponto C demodo que eles sejam paralelos (ferramenta do segundo gráu !!).Com o que vocêaprendeu, também no segundo gráu, sobre semelhança de triângulos, Teoremade Tales, etc, agora é só fazer umas continhas !

Etapa 3.

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Com a construção feita dispomos de dois triângulos semelhantes. Por que ?Ora, porque eles possuem um vértice comum, ângulo bP e tem -se bB = bD ebC = bA por serem ângulos correspondentes ( retas paralelas determinam ângulosiguais sobre uma reta oblíqua) e triângulos que possuem tres ângulos iguais sãosemelhantes. Além disto, você pode pegar uma �ta métrica, uma trena, e mediros comprimentos dos segmentos AB; CD; BD e AC: Agora, eles são dadosdo problema. Observe que você não dispunha destes dados antes, não eramfornecidos no enunciado do problema. Foram obtidos, ou melhor construidos, naprocura de um caminho para se chegar à solução. São dados auxiliares. Uma vez

que �APB � �CPD temos quePA

PC=AB

CD, onde os termos de cada fração

são os comprimentos dos segmentos respectivos. Notando que PC = PA+AC

segue-se quePA

PA+AC=AB

CD: Daí, resulta que : (PA)�(CD) = (AB)�(PA)+

(AB) � (AC): Logo, obtém-se que : (PA)[(CD)� (AB)] = (AB) � (AC): Sendo(CD) 6= (AB) (o retân- gulo não seria uma boa escolha !!) podemos escreverque:

(PA) =(AB) � (AC)(CD)� (AB)

Os comprimentos de cada um dos segmentos, do lado direito da igualdade

acima, são conhecidos logo conhece-se o comprimento do segmento PA queera o que o sr. Roberto queria. Problema resolvido !

Etapa 4.

Você acabou de usar um método, ou uma sequência de construções e oper-ações, para resolver um problema no plano. Este mesmo método poderia ser

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usado, por exemplo, para calcular a altura de uma palmeira, muito grande, queo sr. Roberto tem lá no sítio dele ? Ou para calcular a altura de uma daspirâmides do Egito, a mais alta delas ? Como você faria isto ? Saiba que aprimeira estimativa do comprimento do diâmetro da Terra, com um erro pe-queno em relação ao valor hoje conhecido, foi calculado usando estes mesmosargumentos alguns anos antes de Cristo !!!. Na verdade foi calculado por Er-atóstenes por volta de 250 antes de Cristo. Ele o fez sem sair do interior dabiblioteca de Alexandria onde "trabalhava". Apenas usou informações dadaspor viajantes, conhecimentos de trigonometria, proporções ( regra de tres) esemelhança de triângulos. O valor obtido por ele foi de, aproximadamente,40.000 Km e o valor hoje conhecido é de 39.830 Km. O que se faz, é usar estemétodo quando se precisa calcular a distância entre dois pontos em que umdeles é inacessível. Faz-se o cálculo indiretamente.

Observação: A idéia do problema e as duas �guras que usamos foram reti-radas do livro de Matemática elementar do segundo gráu " Matemática Aplicada" [2] :

EXEMPLO 4.

Este último exemplo é retirado do livro do Polya [1] e é muito interessante.

Pede-se:

Inscrever um quadrado num triângulo.

Etapa 1.

Dos quatro exemplos, este é o que tem enunciado mais conciso.

Quais são os dados ? Qual é a incognita ?

O que é dado é apenas um triângulo. Deve-se achar um quadrado, istoé, deve-se construir um quadrado. Logo, a incognita é uma �gura, neste caso,a incognita é um quadrado. Há outra informação: o quadrado não é umquadrado qualquer mas deve estar inscrito no triângulo dado. Esta é uma in-formação (um dado) restritiva. É uma restrição, uma condição, que deve sersatisfeita. È chamada de "condicionante" pelo Polya. Qual é a "condicio-nante" neste problema ? A "condicionante" é que o quadrado tem que estarinscrito no triângulo.

Etapa 2.

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Isto signi�ca que o quadrado deve estar no interior do triângulo. Só isto? Claro que não ! Relembrando o que aprendemos sobre �guras inscritas oucircunscritas em outras �guras, sabemos que : para que um quadrado esteja in-scrito num triângulo é preciso que um dos lados do quadrado esteja apoiado numdos lados do triângulo(sua base, por exemplo) e que dois vértices do quadradoestejam apoiados nos dois outros lados do triângulo.Como fazer isto ? Difícil ? É, este parece ser mais difícil ! Mas, será possível

resolver um caso "particular" ? Por exemplo: "resolver o problema de modo queapenas uma parte da condicionante seja satisfeita". Para que o quadrado estejainscrito no triângulo é preciso que os quatro vértices do quadrado toquemos lados do triângulo. Voce consegue construir um quadrado, no interior dotriângulo dado, de modo que tres dos vértices do quadrado toquem os lados dotriângulo ? Esta construção é mais fácil, não é mesmo? A esta altura você jápegou uma folha de papel e lápis! Se ainda não está com uma folha de papele um lápis, pegue-os. Desenhe uma �gura representando a situação descrita .Pode ser semelhante à �gura abaixo : ( e não precisa ser um desenho caprichado,é só para voce visualizar e observar melhor o problema).

Está claro que o quadrado, que você desenhou, não está inscrito no triângulo !Ele satisfaz apenas uma parte da "condicionante". Está no interior do triângulomas não inscrito, pois um dos vértices não está apoiado em um dos lados dotriângulo.Vamos chamar, de agora em diante, este vértice, que nao toca umdos lados do triângulo, de "vértice livre". E agora, o que podemos fazer paraque isto aconteça? Pensou em "deformar" o quadrado para que o vértice livretoque o triângulo? Mas se você deformar o quadrado ele deixa de ser quadrado,não é mesmo? Mas pode-se variar o quadrado, isto é, podemos construir outroquadrado ( ou outros quadrados) em outra posição ? Um quadrado maiorou menor ! A condiconante estaria satisfeita ? Ainda não! Se, por acaso, vocêconseguiu foi por pura sorte e não saberia explicar como o conseguiu e porque. Épossível observar alguma propriedade, algum "padrão"? Você já deve ter ouvido

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falar de algo relacionado com "reconhecimento de padrões", não? Grosso modo,é a percepção de alguma coisa que se repete ou que se apresenta várias vezessempre satisfazendo uma mesma condição ou um mesmo grupo de condições.O seu "problema" aqui é o vértice livre, não é? Observe-os nos quadrados quevocê desenhou ! Nota algo interessante, algum "padrão", alguma propriedadecomum? É possível saber ou descobrir qual é o lugar geométrico dos pontos quesão os vértices livres? Ah, não se lembra do que é "um lugar geométrico"? Vocêaprendeu isto no segundo gráu e se não se lembra é bom recordar . Lembra-sedo que dissemos, antes, sobre ter as ferramentas adequadas para se resolver umproblema? Mas, se você não for muito "desligado", for um pouquinho perspicazjá deve ter percebido! O que fazer para que a condicionante seja satisfeita?Aparentemente, parece que se �zéssemos um quadrado um pouquinho maiordo que o segundo quadrado, na �gura abaixo, a condicionante seria satisfeita.Poderia ir desenhando estes quadrados, sucessivamente, até conseguir o quequeremos? Sim, mas como seria determinado o lado deste quadrado? Umquadrado só �ca determinado no momento em que você souber dizer como éobtido ou como é determinado o seu lado! Imagine, só imagine, que você tivessedesenhado mais alguns destes quadrados auxiliares.

Observe, novamente, que em cada um dos quadrados, dois vértices estãoapoiados na base do triângulo e o terceiro vértice está no outro lado. O quartovértice está solto, é o vértice livrre. Notou alguma particularidade comum atodos os quadrados? O que estou perguntando é se não percebeu alguma pro-priedade que parece ser satisfeita pelos vértices livres dos quadrados desenhados! Repetindo : é importante estar atento para perceber regularidades, ou pro-priedades comuns, apresentadas por um conjunto de �guras ou um conjunto deobjetos sejam eles de que natureza for : matemáticos, físicos, econômicos,etc. Éimportante saber reconhecer padrões ! Tente visuallizar apenas os pontos quesão os vértices livres, se abstraindo do restante da �gura, o que você perceberia? Eles não estão satisfazendo alguma condição ? Parecem ser pontos de umacircunferência ? de uma espiral ? Caramba, parece que estão todos eles sobre

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uma reta !!! E esta reta passa também pelo vértice esquerdo do triângulo ( seriaum quadrado de lado nulo ) !!.

É possível traçar uma reta que passe pelos vértices livres dos quadradosdesenhados?

Etapa 3.

Logo, traçando uma reta que passe por dois vértices livres de dois dos quadra-dos desenhados ou por um dos vértices livres e pelo vértice esquerdo do triânguloesta reta irá interceptar o terceiro lado do triângulo no ponto que dará a soluçãodo problema, ou seja, este ponto determinará o lado do quadrado inscrito. Con-�ra a �gura, a seguir:

Etapa 4.

Será que esta propriedade, ou este método, que acabamos de "descobrir"pode ser utilizado em problemas semelhantes mas com outras �guras ? O queserá que está por trás deste resultado ? Pode ser um princípio ou propriedademais geral ! Não valeria a pena investigar, analisar, estudar mais a fundo esteproblema ? Você pode, por exemplo, com o que sabe de Geometria Analítica,achar a equação da reta que contém todos os vértices livres dos quadradosauxiliares desenhados. Terá demonstrado,então, que "o lugar geométrico dospontos - vértices de quadrados que possuem um lado apoiado na base de umtriângulo e outro vértice apoiado em outro lado do mesmo triângulo é uma

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reta". Observe que isto é verdadeiro para qualquer triângulo. Não supusemos,por hipótese, que o triângulo fosse isósceles ou retângulo. Aliás, recomenda-senão fazer isso quando for resolver um problema, isto é, procure não partir decasos particulares. Exempli�cando: poderiamos ter suposto que o triângulo doproblema era um triângulo retângulo. Teríamos resolvido o problema mas, no�nal, iríamos nos perguntar se o resultado seria verdadeiro caso o triângulo nãofosse retângulo. Há apenas uma situação em que isto é aconselhado. É quandovoce não tem nenhuma sugestão de como encontrar o caminho para a soluçãosatisfazendo todas as condições do problema proposto. Aí sim, você se pergunta: conheço, ou sei resolver um caso particular deste problema? Veja que foi istoque �zemos, neste exemplo, com relação à condicionante: resolvemos primeiroum problema particular em que a condicionante estava apenas parcialmentesatisfeita. Mas isto com relação ao quadrado e à condicionante ! Não supusemosque o triângulo fosse particular, retângulo, isósceles, etc.Muitas vezes um método para resolver um problema pode ser generalizado,

isto é, pode ser usado para resolver um caso mais geral ou, ainda, este métodoparticular pode lhe permitir enxergar um caminho que leve à solução do casomais geral. Finalizando, a propriedade que usamos ("descobrimos") para re-solver o problema proposto é conhecida por "Homotetia" e era estudada, até hápouco tempo, numa disciplina do segundo gráu chamada "Desenho Geométrico"que era, na verdade, um curso de "construções geométricas com régua e com-passo". Era uma disciplina que forçava o aluno a pensar, a raciocinar lògica-mente. Na década de 60, os "çábios" de plantão no Ministério da Educaçãoeliminaram ( será por que, hein?) algumas disciplinas do primeiro e segundográus, entre elas o "Desenho Geométrico".

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CAPÍTULO 2

A resolução de cada um dos problemas acima foi dividida em quatro etapas.Isto é apenas para facilitar a organização de nossas idéias, para que �quem maisclaros os passos a serem seguidos. Uma vez que você tenha adquirido um poucode experiência você pode modi�cá-las ou juntá-las, se isto for conveniente. Emcada uma das etapas, avançamos na busca da solução fazendo perguntas e procu-rando respondê-las. É claro que as perguntas vão mudar em cada problema. Asque são feitas em um determinado problema não serão feitas, necessàriamente,em outro. Quais são as perguntas a serem feitas, de que tipo ou natureza, istovai depender de sua experiência, criatividade e bom senso. Você vai perceberque, as vezes, não �ca claro a divisão , a fronteira , entre as sub-etapas e mesmoentre as etapas.Você poderá dividir cada etapa, se quiser ou for conveniente, em sub-etapas.

Abaixo, à guisa de sugestão, estão listadas algumas possiblidades.

Sub-etapas da Etapa 1.

(a) Qual é a natureza dos dados ? são numéricos ? são mistos ?(b) Qual é a natureza da incognita ? è numérica ? è uma a�rmação ou uma

negação ? é consequência de uma demonstração ?

Sub-etapas da Etapa 2.

(a) Já vi algum caso parecido ou semelhante ? conheço algum resultado,teorema, lei ou princípio relacionado ao problema ?(b) É possível resolver um problema parecido usando apenas parte dos dados

? é possível fazer "engenharia reversa", isto é, resolver o problema de trás parafrente supondo a incognita conhecida e considerando algum dado como incognita?

Sub-etapas da Etapa 3.

(a) Tenho condições de veri�car se o que estou fazendo está correto ? tenhocomo monitorar ou controlar cada passo do roteiro traçado ? como ?(b) O roteiro planejado pode ser modi�cado de modo que �que mais conciso,

mais curto ou mais elegante ? (uma rotina de cálculo ou uma demonstração podeser mais elegante que outra).

Sub-etapas da Etapa 4.

(a) Tenho como veri�car se a resposta encontrada é razoável ou compatívelcom os dados ? posso obter mais informações além da que foi pedida ?(b) Posso resolver algum caso particular, por exemplo, restringindo alguma

hipótese ou tornando nulo algum dos dados ?(c) É possível resolver algum caso mais geral mudando ou enfraquecendo

alguma hipótese ?(d) Não haveria uma maneira mais fácil de resolver o problema ?

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Para encerrar esta parte, vai uma sugestão ou "dica" que considero impor-tante e conveniente: sempre, mas sempre mesmo, que for resolver um problemaenvolvendo dados e/ou incógnita numéricos não comece usando ou substituindoos dados numéricos. Resolva o problema usando letras, simbolos; resolva-o lit-eralmente e somente substitua os dados, pelos seus valores numéricos, no �nal.Fazendo assim você terá condições de manipular, simular outras situações, alémde diminuir erros numéricos devidos a arrendodamentos e truncamentos: porexemplo, poderá fazer simulações para ver como varia a solução fazendo variaros dados, ou seja, veri�car como a solução depende dos dados.Há vários roteiros, "dicas" ou sequencias de passos a serem percorridos na

busca da solução de um problema. Se examinados com atenção, nota-se quepossuem muita coisa em comum. Os autores podem ser de escolas diferentes,as palavras usadas podem ser outras mas, no �m, o objetivo e os resultados sãoequivalentes. Veja, a seguir, uma adaptação de um roteiro sugerido pelo Prof.Miguel Guzman em "Aventuras Matemáticas". [3] .

Algumas estratégias gerais para resolução de problemas

A - Antes de resolver, procure entender.B - Busque estratégias.

1. Procure semelhanças com outros problemas. (Já resolvi algum problema

semelhante ou parecido ?)2. Tente reduzir o problema a um problema mais fácil - a resolução do

problema fácil talvez indique o caminho para resolver o mais difícil.(Consigoresolver um caso particular? Por exemplo, satisfazendo apenas parte das condi-

cionantes!)3. Experimente e procure regularidades. ( percebe propriedades comuns ou

a existência de algum padrão ?)4. Faça um esquema e, se achar conveniente, pinte-o com lápis de cor. ( Faça

um desenho, um diagrama. Isto o ajudará a perceber as relações entre partesdo problema)5. Modi�que o problema. Altere qualquer dado no enunciado para ver

se assim consegue encontrar um caminho para resolvê-lo.(Todos os dados são

necessários ? Se um dado for eliminado, consigo resolver o problema ?)

6. Escolha uma boa notação. Isso facilitará a organização dos dados e acompreensão.

7. Se for possível, explore simetrias.

8. Suponha a negação de algum fato. Veja aonde isso o levará.( Se você

negar uma hipótese, ou eliminar uma hipótese o que acontece ?)9. Suponha o problema resolvido.( Esta tática as vezes ajuda bastante ! No

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exemplo 4, isto teria ajudado?)10. Pense em técnicas gerais: no princípio de indução de Pascal, no princípio

de descida de Fermat, no processo diagonal de Cantor, princípio do pombal deDirichlet... (Se você não conhece estes principios talvez seja interessante ser umpouco curioso e procurar saber que "princípios" são esses !)

C - Explore sua estratégia.

1. Explore as melhores idéias que lhe ocorreram na fase B. Explore uma auma e não misture os princípios. ( ou leis )

2. Não desista facilmente. Mas também não insista em uma única idéia. Sea resolução se complicar demais, provavelmente haverá outro caminho.

3. Chegou a um resultado? Tem certeza? Analise sua solução com maiscuidado.

D - Explore mais o problema, extraia mais informações dele usando suaexperiência..Seja curioso!

1. Examine a fundo o caminho que seguiu. Como chegou à solução? Ou porque não conseguiu chegar a ela?

2. Tente entender a resolução do problema e por que essa resolução(estecaminho) o levou à solução.

3. Agora, tente resolver de uma forma mais simples.

4. Analise até que ponto pode chegar com o método que escolheu e veri�quese poderá utilizá-lo em outros problemas.( O método que você usou pode ser

generalizado ?)5. Re�ita sobre seu raciocínio e tire conclusões para o futuro.

[GUZMÁN, Miguel. Aventuras matemáticas. Trad. João Filipe Queiró. 2.ed. Lisboa: Gradiva, 1991. p. 21.]

Embora os quatro exemplos apresentados estejam relacionados comMatemática,chamamos atenção para o fato de que, via de regra, estes roteiros podem serusados na procura de soluções de problemas de outras áreas. É apenas umaquestão de adaptar as perguntas, indagações ou mudar sua ordem.Muitas vezes a resolução de um problema na área de Ciências Exatas, princi-

palmente em Matemática, envolve um pouco de lógica. Não cabe aqui, devidoao espaço e à natureza deste texto, apresentar uma mini-apostila de lógica.No entanto, vamos oferecer, na medida do possível, o signi�cado de algumasexpressões ou conectivos, aqueles mais usados. Para isto, vou fazer uso, comadaptações minhas, de uma parte de um ótimo texto do Prof. Ricardo Bianconi,"Como ler e estudar Matemática" [4].

Vamos revisar os signi�cados das expressões "se", "e","ou", "então","sempreque", "se,e sómente se", "condição necessária","condição su�ciente", "condição

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necessária e su�ciente","equivalente", todas já encontradas, vistas ou ouvidaspor você pelo menos alguma vez. E lembre-se de que, em matemática, aspalavras ou expressões possuem um sentido, um signi�cado preciso e de�nido.Não podem ser mudados ou entendidos de forma diversa.a) Os conectivos, ou conjunções, "e" e "ou" são os mais simples.È fácil

perceber a distinção entre as a�rmações "A e B" e "A ou B". Suponha queA e B sejam propriedades. Quando se diz "A e B" isto quer dizer que valemambas as propriedades, simultanneamente, a propriedade A e a propriedade B.Quando se diz "A ou B" quer se dizer que vale pelo menos uma das propriedades,ou A, ou B, ou ambas.b) Todos os outros conectivos, acima, estão associados à idéia de "impli-

cação", no sentido de uma coisa implica outra. Suponha a expressão " A implicaB". Ela signi�ca que se A for verdadeira então B tambem será verdadeira ou,da mesma forma, que se A for satisfeita então posso concluir B. Signi�ca quea propriedade A é mais restritiva que a propriedade B no sentido de que oconjunto de elementos que tem a propriedade A está contido no conjunto doselementos que possuem a propriedade B. Resumindo: "Se A então B". Mas,aqui, deve -se ter cuidado ! Se A não for verdadeira não se pode concluir queB também não seja verdadeira !Vejamos o seguinte exemplo :

Exemplo 1.

Este exemplo, de Cálculo I, foi retirado do texto mencionado do Prof. Bian-coni [4] e é o seguinte:

" Se g for uma função derivável num ponto x0 então g será contínuaneste ponto x0 "A condição de g ser derivável num ponto é mais restritiva do que a condição

de g ser continua neste ponto. De fato, g pode ser continua num ponto x0e não ser derivável neste ponto como, por exemplo, a função g(x) = jxj queé continua na origem mas não derivável. O que está sendo a�rmado é que : "se g derivável" então "g contínual". Observe, de novo, que a negação de Anão implica a negação de B, neste caso, se " g não é derivável no ponto x0"isto não implica, necessàriamente que " g não seja contínua neste ponto x0": E poderia acontecer de g não ser contínua no ponto x0 e ser aí dervável? Claro que não pois o teorema diz que se g for derivável num ponto elaserá aí continua. Dai, conclui-se que : " se A então B " ou " se não Aentão não B ".E a expressão " condição necessária e su�ciente " ? O que signi�cam "

condição necessária " e " condição su�ciente " ? Dizer que " A é condiçãosu�ciente para B" é a mesma coisa que dizer que " para que B aconteçabasta que se tenha A " ou " basta A para concluirmos B " ou, ainda, que" A implica B ". Dizer que " D é condição necessária para E " signi�ca "se D não ocorrer E não pode ocorrer " ou, o que é a mesma coisa, " não

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D implica não E ", ou seja, " E implica D ". Bem, juntando as partes,sabemos agora o que quer dizer " condição necessária e su�ciente ". Vamos aoexemplo anterior. Poderíamos dizer de forma equivalente que " g derivávelno ponto x0 é condição su�ciente para que g seja continua neste ponto "e que " g continua no ponto x0 é condição necessária para que g seja aíderivável ". Mas , cuidado, " g continua no ponto x0 é condição necessáriamas não su�ciente para que g seja derivável neste ponto x0" !Suponha, agora, que tivéssemos as expressões " 3+2 = 5 " e " 3 = 5�2 ".

São diferentes ? Sim, são diferentes mas querem dizer a mesma coisa. Dizemos,então, que são equivalentes. Poderíamos dizer : " 3 + 2 = 5 se, e sòmente se,3 = 5 � 2 ". Daí, " A se, se e sómente, B " traduz-se por " A ocorre seB ocorrer e A ocorrerá sòmente se B ocorrer ". Então, dizer " A se, esòmente se , B " é o mesmo que " A implica B e B implica A " .Você deve ter percebido que �A se, e somente se, B � é o mesmo que �A

é equivalente a B �, ou ainda, " A é condição necessária e su�ciente para B�.Para encerrar, relembramos,repetindo, que os conectivos " e " e " ou "

são simples. se é dito que "A e B,� isto quer dizer que valem ambas aspropriedades A e B. Se é dito que �A ou B,� então quer-se dizer que valepelo menos uma das duas propriedades : ou A, ou B, ou ambas.

Sugerimos, agora, que você busque exemplos de problemas e procure aplicar,usar, o que aqui foi feito. Busque nas disciplinas que voce está cursando, emtextos do segundo gráu, etc. Problemas é que não faltam !

Esperamos que estas notas, sugestões ou idéias, possam ser proveitosas. Eacreditamos, sinceramente, que o estudante que procurar seguir seriàmente asindicações aqui apresentadas, com persistência, verá os resultados aparecerem.Neste sentido, lembramos que esta pequena apostila não é uma apostila de "auto-ajuda" : sem o seu esforço, comprometimento e muito trabalho (estudo)nada acontecerá !

Finalizando, vale a pena recordar tres trechos do livro do Polya: o primeirotrecho é do prefácio da segunda edição de seu "How to Solve It" [1] e o se-gundo e terceiro pertencem à Parte 1 do mesmo livro: ""......a Matemática tema duvidosa honra de ser a disciplina menos apreciada em um curso........Os fu-turos professores (de Matemática) passam pelas escolas elementares a aprendere a detestar a Matemática......Depois voltam à escola elementar para ensinaruma nova geração a detestá-la. Tenho a esperança, porém, de que a presenteedição (de "How to Solve It"), destinada a uma difusão mais ampla , con-vença algum de seus leitores de que a Matemática, além de indispensável aospro�ssionais de Engenharia e ao conhecimento cientí�co, pode ser divertida edescortinar um panorama de atividade mental no mais alto nível."" ""....Todasas indagações e sugestões apresentadas são naturais, simples e óbvias, apenaso bom senso comum, mas elas formulam este bom senso em termos gerais.......elas têm em comum duas características: bom senso e generalidade. Como se

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originam no bom senso comum, muitas vezes surgem naturalmente. Elas bempoderiam ter ocorrido ao próprio aluno. Por serem genéricas, auxiliam discreta-mente: apenas indicam a direção geral, deixando muito para o estudante fazer.........A resolução de problemas é uma habilitação prática como, digamos, o é anatação. Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática; ao tentarmosnadar, imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés para manteremsuas cabeças fora dágua e, a�nal, aprendemos a nadar pela prática da natação......aprendemos a resolver problemas resolvendo-os."�

E, por último, lembro que qualquer sugestão ou crítica, de qualquer natureza,será muito benvinda.

Bibliogra�a.

1. Polya, G. - A Arte de Resolver Problemas - Editora Interciência Ltda ; Riode Janeiro.(1978).. Este texto é tradução de "How to Solve it" do mesmoautor, G. Polya, e publicado pela Princeton University Press em1954.

2. Trotta, F - Jakubovic, J. - Imenes, L.M.P. - Matemática Aplicada - 1a

série, 20 gráu - Ed. Moderna - São Paulo (1980).

3. Miguel Guzman - Aventuras Matemáticas - Trad. João Filipe Queiró. 2a.ed.- Lisboa: Ed. Gradiva (1991).

4. Bianconi, Ricardo.- Como ler e estudar matemática ? ( artigo disponívelna web) Quem visitar a página web do Prof. Ricardo Bianconi vai encon-trar muita coisa interessante ! - http://www.ime.usp.br/~bianconi

UFF - Volta Redonda - Dezembro / 2008.

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