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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP

ESCOLA DE MINAS – EM

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MINERAL –PPGEM

Dissertação de Mestrado

“COMINUIÇÃO SELETIVA DE MESCLAS BINÁRIAS E SUA SIMULAÇÃO POR

REDES NEURAIS ARTIFICIAIS”

Autor: Germano Mendes Rosa

Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz

Junho/2009

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I

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP

ESCOLA DE MINAS – EM

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MINERAL – PPGEM

Dissertação de Mestrado

“COMINUIÇÃO SELETIVA DE MESCLAS BINÁRIAS E SUA SIMULAÇÃO POR

REDES NEURAIS ARTIFICIAIS”

Autor: Germano Mendes Rosa

Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação do

Departamento de Engenharia de Minas

da Escola de Minas da Universidade

Federal de Ouro Preto, para a obtenção

do Título de Mestre em Engenharia

Mineral, Área de Concentração:

Tratamento de Minérios.

Ouro Preto, junho de 2008.

II

SUMÁRIO

ÍNDICE DE TABELAS IV

ÍNDICE DE FIGURAS V

ÍNDICE DE QUADROS VIII

1. INTRODUÇÃO 1

2. OBJETIVOS 4

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5

3.1 Princípios Básicos de Moagem .........................................................................................5

3.1.1. Objetivos da cominuição 5

3.1.2. Equipamentos de moagem e regimes de operação 6

3.1.3 Eficiência do processo de cominuição 10

3.1.4 Energia consumida versus granulometria do produto 12

3.1.5 Mecanismos de quebra em partícula individual 14

3.1.6 O problema da moagem mista de componentes sólidos 15

3.1.7 Modelos matemáticos de moagem 16

3.2 Simulação .........................................................................................................................24

3.2.1 Origem 25

3.2.2 Conceitos fundamentais 26

3.2.3 Classificação dos modelos de simulação 30

3.2.4 Simulação: vantagens versus limitações 31

3.2.5 Planejamento de experiências de simulação 36

3.2.6 Estimação da variabilidade do processo de simulação 37

3.3 Números e Variáveis Aleatórias .....................................................................................39

3.3.1 Pseudo-aleatoriedade 39

3.3.2 Características importantes 39

3.3.3 Geração de números aleatórios 40

3.4. Modelos de Otimização ..................................................................................................42

3.4.1 Padrões para formulação de modelos de otimização 42

3.4.2 Modelagem matemática de modelos de otimização 43

3.5. Inteligência Artificial......................................................................................................45

3.5.1 Redes neurais artificiais (RNAs) 46

3.5.1.1 O neurônio biológico 47

III

3.5.1.2 O perceptron 48

3.5.1.3 Treinamento das RNAs 50

3.5.1.4 Arquitetura das RNAs 52

3.5.1.5 RNA com retropropagação 55

3.5.1.6 Algoritmo retropropagação com momento 62

4. METODOLOGIA 64

4.1 Experiências de Moagem Física em Escala de Laboratório ........................................64

4.1.1 Preparação dos minerais componentes da alimentação 65

4.1.2 Realização da moagem mista 68

4.1.3 Método de calcinação para determinação das massas de dolomita e quartzo no

produto 72

4.2 Simulação de Moagem Mista Utilizando RNA ............................................................74

4.2.1 O Sistema de simulação SiMoMix 75

5. RESULTADOS E DISCUSSÕES 81

5.1 Resultado dos Testes Físicos ...........................................................................................81

5.2 Resultados da Simulação de Moagem Mista utilizando Rede Neural Artificial........97

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 115

IV

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Distribuição dos tamanhos de bolas utilizadas como corpos moedores nos ensaios

de moagem mista binária.............................................................................................. 68

Tabela 2 – Conjuntos de dados utilizados como padrões para treinamentos e como padrões

para testes da RNA. *Conjunto de dados estimados...................................................... 98

Tabela 3 – Resultados das 30 simulações realizadas para simulações utilizando 5 neurônios na

camada oculta opcional e 5000 corridas........................................................................ 99

V

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Representação da distribuição granulométrica após moagem de dois produtos

minerais hipotéticos A e B.............................................................................................. 2

Figura 2- Forças que figuram sobre a bola num moinho. ........................................................ 7

Figura 3- Trajetórias das bolas no moinho.............................................................................. 8

Figura 4 – Efeito da velocidade do moinho em sua potência................................................... 9

Figura 5- Moinho operando em regime de catarata. ................................................................ 9

Figura 6- Moinho operando em regime de cascata................................................................ 10

Figura 7 – Simulação como experimentação. ....................................................................... 25

Figura 8- Exemplo de sistema representando circuito FAB (moinho autógeno seguido de

moinho de bolas).......................................................................................................... 27

Figura 9- Fluxograma para o planejamento de experiências de simulação. ........................... 36

Figura 10 – Esquema simplificado de neurônio biológico..................................................... 47

Figura 11 – Modelo de um neurônio perceptron de Rosenblatt............................................. 48

Figura 12 – Representação gráfica da convergência do peso de uma sinapse para um valor

correspondente a um erro mínimo. ............................................................................... 51

Figura 13 – Representação de uma RNA típica. ................................................................... 53

Figura 14 – Atualização de pesos efetuada no processo de backpropagation. ....................... 57

Figura 15- Representação do algoritmo descendente no espaço de pesos, onde: (a) taxa de

treinamento pequena (convergência lenta), (b) taxa de treinamento grande (muitas

oscilações) e (c) taxa de treinamento grande, com o termo momento acrescentado (mais

rápida convergência) .................................................................................................... 63

Figura 16 – Representação esquemática da preparação granulométrica dos minerais

componentes da alimentação. ....................................................................................... 66

Figura 17 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral dolomita), destacando-se o

tamanho d50 da distribuição de tamanhos...................................................................... 67

Figura 18 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral quartzo) , destacando-se o

tamanho d50 da distribuição de tamanhos...................................................................... 68

Figura 19 – Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das

variáveis derivada da calcinação de 30g de minério composto por dolomita e quartzo

para o tempo de 1 hora de calcinação ........................................................................... 73

VI

Figura 20 - Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das

variáveis derivada da calcinação de 5g de minério composto por dolomita e quartzo para

o tempo de 1 hora de calcinação ................................................................................... 73

Figura 21 – Janela “Parâmetros” do Sistema SiMoMix. ....................................................... 76

Figura 22 – Janela “Dados de Entrada” do Sistema SiMoMix. ............................................. 77

Figura 23 – Janela “Treinamento” do Sistema SiMoMix. ..................................................... 78

Figura 24 – Janela “Dados de Teste” do sistema SiMoMix................................................... 79

Figura 25 – Janela “Teste” do Sistema SiMoMix. ................................................................ 80

Figura 26 – Comparações dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d50 (b) entre

as distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T25D/75Q,

segundo a função Sigmóide de Hill. ............................................................................. 82

Figura 27 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d50 (b) entre



Figura 28 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d50 (b) entre



Figura 29 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as

moagens da mistura T25D/75Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das

frações retidas simples estimada para o ciclo de moagem de 22 minutos. ..................... 86







Figura 32 – Evolução do indicador de contraste granulométrico total para os padrões de

mistura T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/50Q................................................................. 91

Figura 33 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao

mineral quartzo nas moagens mistas e a sua moagem isolada. ...................................... 93

Figura 34 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao

mineral dolomita nas moagens mistas e a sua moagem isolada. .................................... 95

VII

Figura 35 – Testes de aderência realizados a partir dos erros totais gerados em relação aos

parâmetros simulados com relação à Distribuição Normal. ......................................... 102

Figura 36 - Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao tamanho

d50, obtido no processo de simulação. ......................................................................... 103

Figura 37 – Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao coeficiente

de agudeza, obtido no processo de simulação. ............................................................ 104

Figura 38 – Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às

simulações de números 14, 17 e 19, para o erro total dos tamanhos d50 simulados....... 106

Figura 39 - Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às

simulações de números 14, 17 e 19, para o erro total dos coeficientes de agudezas d50

simulados. .................................................................................................................. 107

Figura 40 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado

da simulação de menor erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação

número 12) com as curvas das distribuições estimadas, para o mesmo tempo de moagem

e padrão de mistura. ................................................................................................... 109

Figura 41 - Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado

da simulação de menor erro total relativo aos tamanhos d50 (simulação número 24) com

as curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo de moagem e padrão de

mistura. ...................................................................................................................... 110


da simulação de maior erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação

número 5) com as curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo e padrão de

mistura. ...................................................................................................................... 111


da simulação de maior erro total relativo aos tamanhos d50 (simulação número 6) com as

curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo............................................. 112

Figura 44 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das

simulações de menor e maior erro total em relação aos coeficientes de agudezas para os

produtos das moagens dos três padrões testados. ........................................................ 113

Figura 45 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das

simulações de menor e maior erro total em relação aos tamanhos d50 para os produtos da

moagem dos padrões testados..................................................................................... 113

VIII

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Resumo das variáveis de moagem ...................................................................... 17

Quadro 3 – Principais funções de ativação utilizadas no perceptron. .................................... 50

Quadro 4- Relação de peneiras da série ABNT utilizadas nas análises granulométricas. ....... 67

Quadro 5 - Especificação das etapas de realização de moagem física. .................................. 70

Quadro 6 – Sistema de nomenclatura utilizado para identificação dos diversos produtos das

moagens físicas das misturas. ....................................................................................... 71

IX

RESUMO

O presente trabalho divide-se em duas partes: estudo da moagem mista binária de minerais com diferentes moabilidades e simulação da moagem mista binária por meio de uma rede neural artificial retropropagação perceptron multicamada com momento. Na primeira etapa, realizou-se o estudo do comportamento dos principais fatores relacionados ao caso de moagem mista binária em batelada dos minerais dolomita e quartzo, visando estabelecer condições ideais para obtenção de um maior contraste granulométrico entre tais espécies minerais. Por meio de vários testes físicos contemplando diferentes proporções volumétricas desses minerais para diferentes ciclos moagem, acompanhou-se a evolução da granulometria dos produtos. Os resultados das análises granulométricas dos produtos provaram que os mesmos aderiram satisfatoriamente à função densidade de probabilidades Sigmóide de Hill, a qual foi adotada para apoiar a analise comparativa dos resultados, conjuntamente com o indicador de contraste granulométrico total (ICGT), definido neste trabalho. Na segunda etapa, os resultados obtidos na primeira foram utilizados para treinar uma rede neural artificial retropropagação, baseada em perceptron multicamada com momento, a qual foi capaz de prever bons resultados de saída a partir de padrões de entrada que não fizeram parte do conjunto de treinamento. Palavras-chave: moagem mista binária, dolomita, quartzo, função densidade de probabilidades Sigmóide de Hill, indicador de contraste granulométrico total, rede neural artificial retropropagação perceptron multicamada com momento.

X

ABSTRACT The present work becomes separated in two parts: the study of the binary mixed grinding of minerals with different moabilities and simulation of the binary mixed grinding through a artificial neural network retropropagation perceptron multilayer with momentum. In the first stage took place the study of the behavior of the principal factors related to the case of batch mixed binary grinding of the minerals dolomite and quartz, seeking to establish the ideal conditions for obtaining a larger size contrast among such mineral species. Through several physicists tests contemplating different volumes proportions of those minerals for different grinding cycles, the size evolution of the products was checked. The results of the size analyses of the products proved that the same ones stuck to the Sigmóide of Hill probabilities density function satisfactorily, which was adopted to give analyzes support to compare the results, jointly with the indicator of total size contrast, defined in this work. In the second stage, the results obtained in the first one were used to train an artificial neural network retropropagation, based on perceptron multilayer with moment, which was capable to foresee good exits results starting from entrance patterns witch were not part of the training group. Key-words: binary grinding, dolomite, quartz, Sigmoid of Hill density distribution function, total size contrast indicator, artificial neural network retropropagation perceptron multilayer with momentum.

XI

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas C.C. - Carga Circulante IA - Inteligência Artificial ICGT - Indicador de Contraste Granulométrico Total PO - Pesquisa Operacional PMC - Perceptron Multicamada RNA - Rede Neural Artificial OS - Oversize US - Undersize Wi - Work Index

1

1. INTRODUÇÃO

A separação entre espécies minerais constituintes de determinado agregado mineralógico na

maioria dos casos é imprescindível para atingir-se o objetivo final de utilização industrial de

uma ou mais espécies minerais, sendo muitas vezes necessário descartar outras espécies sem

valor agregado (ganga).

O processo de moagem é precedido normalmente por uma ou mais etapas de britagens,

podendo ser alimentado com partículas na faixa de 5 a 250 mm, reduzindo-as a tamanhos na

faixa de 10 a 300 µm (WILLS, 1992), condicionando desta forma a liberação química entre as

fases minerais (se necessário), estas que podem ser isoladas em processos subseqüentes

(quando for o caso).

Para prover o isolamento das espécies componentes do minério em processos posteriores à

moagem é extremamente desejável que as partículas individuais apresentem, dentre outras

características, granulometrias distintas para serem exploradas em processos de concentração

gravimétrica, por exemplo.

Por outro lado o processo de moagem caracteriza-se por se tratar de um dos processos mais

dispendiosos na planta de beneficiamento industrial, devido ao seu baixo aproveitamento

energético e aos altos esforços mecânicos aos quais são submetidos (CHAVES e PEREZ,

1999; DELBONY JUNIOR, 2007; GALÉRY, 1995; LUZ et alii, 2004), justificando de

sobremaneira empenho neste campo de estudo.

Uma das medidas mais amplamente utilizadas no estudo de cominuição mineral é a

moabilidade, compreendida como resistência à cominuição, que depende basicamente da

variedade de minerais que constituem o minério considerado e de suas proporções (TURGUT

e AROL, 1996), além do grau de redução das partículas (WILLS, 1992; STAMBOLIADIS,

2006), levando em conta que um mineral pode ser fraturado com certa facilidade até

determinado limite de granulometria, porém, a moagem individual dos grãos pode ser mais

difícil, aumentando o valor da moabilidade.

2

Por existirem normalmente diferenças de moabilidade entre as espécies minerais componentes

do minério processado, diferentes distribuições granulométricas dos produtos também podem

ser obtidas a partir de uma determinada distribuição de tamanho dos componentes da

alimentação, que por sua vez são afetados pelos parâmetros de operação na moagem.

Pode-se analisar tal situação através de um gráfico contendo as distribuições de tamanhos

(diâmetros) das partículas dos produtos. Presume-se que, quanto menor a área de interseção

(ou, no caso ideal, na ausência de interseção) entre as curvas que representam graficamente as

respectivas distribuições granulométricas, maior será a facilidade e melhor será a eficiência de

separação entre as espécies no(s) processo(s) subseqüente(s). Ver Figura 1.

Figura 1 - Representação da distribuição granulométrica após moagem de dois produtos minerais

hipotéticos A e B.

A simulação é uma ferramenta que possibilita estimar o comportamento de um modelo de

sistema discreto, contínuo ou misto de operação, permitindo estudar e posteriormente prever o

comportamento do mesmo através da sua modelagem lógico-matemática. A principal

vantagem que pode ser citada é que o modelo de simulação permite manipular as condições

de operações das entidades que o mesmo representa quando, na prática, seriam muito difíceis

de serem realizadas, devido a várias limitações de naturezas diversas.

Através do estudo da moagem mista binária, pretende-se descrever o comportamento da

distribuição granulométrica dos produtos a partir das principais características do material de

Área de interseção (minimizar!)

3

alimentação e do tempo de processamento. Os resultados revelaram que tais distribuições

granulométricas aderiram satisfatoriamente à função distribuição de tamanhos Sigmóide de

Hill, representada pela equação 1.0, de modo que o estudo se baseou apoiado nesta função.

aa

i

a

ii

dx

xY

50+= (1.0)

Onde,

Yi: fração do material na classe granulométrica i [-];

xi: tamanho (diâmetro) da classe i [µm];

a: coeficiente de agudeza [-];

d50: tamanho mediano da distribuição [µm].

A função distribuição Sigmóide de Hill, bem como as funções de distribuição de Gates-

Gaudin-Schuhmann e a de Rosin-Rammler, pode predizer a distribuição de tamanhos das

partículas e calcular com precisão satisfatória o tamanho d50, comumente utilizados para

caracterizar a finura dos produtos do moinho (STAMBOLIADIS, 2006).

Este estudo permitiu acompanhar a evolução do comportamento das agudezas das

distribuições de tamanhos dos produtos, bem como dos respectivos tamanhos d50, com

referência a função de distribuição de probabilidades Sigmóide de Hill e, por meio da análise

dos resultados, pôde-se averiguar o tempo de moagem correspondente à separação ótima dos

produtos da moagem mista.

4

2. OBJETIVOS

Este trabalho teve como objetivos:

i. Estudar o comportamento da moagem mista binária utilizando-se minerais com

moabilidades diferentes, visando estabelecer parâmetros para uma moagem mais

seletiva e econômica;

ii. De posse dos resultados, verificar o desempenho da simulação da moagem mista

binária por meio de uma RNA PMC retropropação com momento.

5

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

3.1 Princípios Básicos de Moagem

A moagem encerra o último estágio do processo de fragmentação de minérios, objetivando

alcançar o tamanho ideal necessário a alguma aplicação ou até atingir a liberação dos seus

minerais componentes. A malha ideal de moagem depende de cada minério, distribuição do

mineral útil na ganga, processos de separação subseqüentes e outros fatores (LUZ et alii,

2004), além da priorização de uma maior separabilidade dos minerais constituintes em cada

etapa de moagem e melhor aproveitamento energético nos processos de tratamento.

3.1.1. Objetivos da cominuição

É de grande utilidade e importância o processo de cominuição como meio de redução de

diâmetro de partículas de materiais sólidos. O processo de cominuição de sólidos presta-se a

vários objetivos, podendo citar alguns (BERALDO, 1987):

• Processos de beneficiamento de minérios, objetivando atingir uma granulometria ideal

ao processo de concentração utilizado e/ou para liberar adequadamente as espécies

minerais a serem separadas;

• processos hidrometalúrgicos, pretendendo alcançar também uma determinada

granulometria (não necessitando, porém, chegar-se ao ponto de liberação das espécies

minerais) que exponha adequadamente os minerais que serão lixiviados;

• na indústria química, constituindo um processo necessário para aumentar a área

superficial de um sólido, pretendendo aumentar a velocidade de reação;

• na produção de produtos comerciais, tais como agregados para uso em concreto;

• na preparação da matéria-prima para processos subseqüentes, tal como no processo de

pelotização de minério de ferro; etc.

6

3.1.2. Equipamentos de moagem e regimes de operação

De acordo com Chaves e Peres (1999), os equipamentos de moagem que representam os de

maior importância para utilização industrial são os chamados moinhos de carga cadente,

encerrando os moinhos de barras, de bolas e de seixos. Outros tipos de moinhos têm suas

aplicabilidades restritas a determinados materiais específicos (ex. moinho de martelos) ou

para aplicações especiais de moagem (ex. moinhos vibratórios, de impacto de partículas, de

discos etc.).

Segundo Luz et alii (2004), os moinhos de carga cadente se constituem de corpo cilíndrico de

ferro, revestido internamente com placas de aço ou de borracha, que gira em torno de seu eixo

sobre mancais e possui no interior carga solta de barras ou bolas de ferro ou aço.

Convergindo as atenções ao moinho de bolas, quando o corpo cilíndrico gira, os corpos

moedores são elevados por força do movimento da carcaça até certo ponto a partir do qual

caem segundo uma trajetória parabólica sobre outras bolas situadas na parte inferior do

cilindro e sobre o minério alojado nos interstícios das bolas. As bolas são elevadas

impulsionadas pelo movimento da carcaça e impelidas através da força centrífuga,

descrevendo uma trajetória circular. A condição necessária para permanência das bolas nesta

trajetória é que a força centrífuga seja maior que a força da gravidade que age sobre as

mesmas, caso contrário, elas abandonam esta trajetória passando a seguir uma trajetória

parabólica até a parte inferior do cilindro.

O início da queda das bolas é dado quando a força centrífuga se iguala a força da gravidade,

caracterizando o seguinte:

Fc = F.cosα

Onde,

Fc: força centrífuga [N];

Fcosα: componente da gravidade [N].

7

Figura 2- Forças que figuram sobre a bola num moinho. Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 154) Sabendo-se que:

R

mvcF

2

= e F = mg

Onde,

m: massa da bola [kg];

v: velocidade linear da bola [m/s];

R: raio interno do moinho[m];

g: aceleração da gravidade [m/s2].

Igualando-se as duas equações anteriores, tem-se o seguinte:

αcos2

mgR

mv=

Sendo que o valor da velocidade pode ser expresso da seguinte forma:

v = 2πRN

Onde,

N: número de rotações por minuto.

Portanto, N pode ser escrito da seguinte forma:

8

D

gN

22

cos

π

α=

Ao aumentar-se a velocidade do moinho, um momento é alcançado no qual a bola adere à

carcaça por ação da força centrífuga durante a volta completa do cilindro. Isto acontece

quando se tem α = 0, indicando que nenhum trabalho foi exercido pela bola e que, portanto,

não ocorreu moagem. Tal velocidade que admite este comportamento se chama velocidade

crítica do moinho e pode ser calculada, para qualquer moinho, por meio da seguinte

expressão, quando r for dado em metros:

DN c

305,42=

Onde,

Nc: velocidade crítica do moinho [rpm];

D: diâmetro do moinho [m].

Figura 3- Trajetórias das bolas no moinho.

Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 153) Devido à importância da velocidade crítica para a operação da moagem (ver Figura 4), a

velocidade de operação do moinho é sempre dada em termos de sua percentagem e pode ser

calculada através da seguinte fórmula:

DNCs ∗∗= 364,2%

9

Figura 4 – Efeito da velocidade do moinho em sua potência.

Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 161)

Podem-se caracterizar dois tipos de regime de operação para moinhos, a depender da

velocidade de rotação do moinho e do seu fator de enchimento. São eles:

a) Catarata

Caracteriza-se por alta velocidade e baixo fator de enchimento. Neste caso a velocidade

do moinho é tal que carrega as bolas até uma posição elevada e estas caem sobre outras

bolas e minério alojado nos seus interstícios, proporcionando fragmentação por impacto

(ideal para fragmentar material mais grosso e inibir produção de finos). Para aumentar a

eficácia e eficiência neste regime, devem-se utilizar bolas maiores.

Figura 5- Moinho operando em regime de catarata.


b) Cascata

Caracteriza-se por baixa velocidade e alto fator de enchimento. As bolas, a partir de certa

altura, rolam umas sobre as outras, favorecendo moagem por abrasão e atrito (ideal para

obtenção de produto fino). Devem-se utilizar bolas de diâmetros menores.

10

Figura 6- Moinho operando em regime de cascata.


3.1.3 Eficiência do processo de cominuição

A relação de redução entre o diâmetro da alimentação e do produto é relativamente pequena

em cada estágio de cominuição (BERALDO, 1987). Por isso, normalmente utilizam-se

diversas etapas ou estágios neste processo para atingir uma redução significativa do tamanho

do material, lançando mão da utilização de vários equipamentos trabalhando em série, em

regime de circuito aberto, fechado ou misto.

Cabe ressaltar que, devido ao alto custo do processo de moagem, principalmente em relação

às moagens fina à ultrafina, a intensidade de cominuição aplicada a determinado sólido é

definida por meio de uma função de cunho econômico onde se avaliam os custos do processo

de moagem, a taxa de produção, a recuperação e o teor do material útil (quando for o caso).

Para efeito de comparação entre diversas operações mineiras, em termos de consumo

energético, pode-se apoiar nas seguintes informações:

“...enquanto operações de desmonte de rocha, por explosivo, consomem cerca de 0,1 kWh/t, em britadores o índice eleva-se para magnitudes de 1 kWh/t, atingindo valores da ordem de 10 kWh/t em circuitos de moagem. Em etapas conhecidas como pulverização, moagem fina ou micronização, o consumo especifico pode atingir até 100 kWh/t.” (DELBONI JUNIOR, 2007, p. 103)

11

De forma pessimista, acreditava-se que a eficiência energética da moagem não chegava a 1 %

(WILLS, 1992) e de forma um pouco otimista, que não alcançava a marca dos 3 % (AUSTIN

apud LYNCH, 1977) em relação à geração de novas áreas superficiais, ou seja, supunha-se

que entre 97 a 99 % da energia fornecida ao moinho seria dissipada sob forma calor e de som.

Porém, um estudo recente revelou por meio de uma nova metodologia que este

aproveitamento localiza-se tipicamente em torno de 8 a 23%, a depender do material sólido

cominuído (TAVARES, 2003).

O último estudo citado embasou-se na premissa de que a quebra individual de partículas

constitui a forma mais eficiente de cominuir materiais sólidos, em razão de minimizarem-se

perdas originadas por atrito e colisões mal sucedidas através desse método. A eficiência,

portanto, estaria relacionada à energia mecânica mínima responsável por reduzir materiais até

determinada granulometria. O autor chegou a esses resultados a partir de ensaios

experimentais realizados em célula de carga de impacto e posteriormente utilizando

simulação.

Apesar dessa nova ponderação, o estudo de soluções que tornem mais eficiente a operação de

moagem é interessantíssimo para a indústria mineral, uma vez que isto refletirá em melhor

aproveitamento energético e, consequentemente, em redução de custos de operação, aumento

da margem de lucro e diminuindo a demanda energética.

Cabe destacar que este último benefício citado tem um significado maior tanto para a

indústria quanto para a sociedade em geral, pois reside nele um apelo de ganho em termos de

aproximação do tão discutido “desenvolvimento sustentável” que, segundo Shields et alii

(apud BÔAS et alii, 2005), se refere ao efetivo comprometimento em atender às necessidades

presentes e futuras da humanidade, tendo que alinhar rumo a este objetivo políticas e

desenvolvimento de estratégias que possam poupar e/ou favorecerem, tanto quanto possível,

os recursos naturais dos quais provêem os serviços necessários de suporte à vida.

12

3.1.4 Energia consumida versus granulometria do produto

Em razão do consumo energético demandado pela operação de moagem representar uma

parcela representativa do custo total dessa operação, este assunto tem sido tema de inúmeros

estudos. Uma das constatações empíricas deste assunto foi que a relação entre a variação de

diâmetro e a energia consumida é inversamente proporcional a uma função-potência do

diâmetro. Pode-se escrevê-la da seguinte forma (BERALDO, 1987):

nx

dxKdE −= (3.1.0)

onde,

E: energia aplicada a uma massa unitária de minério [J];

x: diâmetro das partículas [m];

K e n: constantes dependentes do material [-].

Seguindo esse raciocínio, muitos estudiosos investigaram e descreveram diferentes

interpretações a esta relação, cuja qual, integrada, fornece duas outras expressões:

1) para x≠1, tem-se:

[ ])1(1

)1(2

−−−−−= nn

xxKE (3.1.1)

Essa expressão é conhecida como expressão de Charles.

2) para n = 1, temos:

=

2

1lnx

xKE (3.1.2)

Essa expressão é conhecida como Lei de Kick e propõe que a energia consumida na

cominuição depende unicamente da relação de redução, independendo da granulometria de

alimentação.

Considerando-se valores de n = 2 e n = 1,5 , respectivamente, e levando-os à expressão de

Charles, equação 3.1.1, chega-se às expressões:

3) Para n = 2, tem-se:

13

−=

12

11

xxKE (3.1.3)

Essa expressão é conhecida como lei de Rittinger e considera que a energia consumida é

proporcional à nova superfície produzida.

4) Para n = 1,5, tem-se:

−=

12

11

xxKE (3.1.4)

Essa expressão é conhecida como Lei de Bond, tratando-se de uma lei empírica que sugere

que a energia consumida na cominuição seja proporcional ao comprimento das fissuras

iniciais que se desencadeiam no fraturamento. A Lei de Bond se tornou muito popular e

passou a ser escrita da seguinte forma:

102,1.11

10

−=

FPWiW (3.1.5)

onde:

W : energia aplicada [kWh/t];

Wi: constante do material que representa a energia necessária à sua redução de uma

granulometria de diâmetro infinito a outra, representada por 80% passante na malha de 100

mícrons [kWh/t curta];

P,F: diâmetro no qual passam 80% da massa do produto e da alimentação, respectivamente

[µm].

14

3.1.5 Mecanismos de quebra em partícula individual

Para que uma partícula se quebre, é necessário que atue sobre ela uma força que exceda sua

resistência. Segundo Galéry (1995) há três maneiras mais comuns segundo as quais as

partículas podem ser fraturadas:

a) Abrasão por cisalhamento

Ocorre quando a força aplicada não é suficiente para provocar uma fratura em toda a

partícula, ocorrendo concentração local de esforços e, conseqüentemente, o surgimento de

minúsculas fraturas que resultarão na geração de uma distribuição granulométrica de

partículas finas a partir da original, cujo diâmetro é pouco afetado. Normalmente, este tipo

de fraturamento ocorre mediante atrito entre as partículas ou entre bolas e partículas.

b) Compressão ou esmagamento

Neste caso, a força é aplicada de maneira lenta, propiciando o aparecimento da fratura, a

partir da qual, o esforço é cessado, caracterizando que a força aplicada é minimamente

maior que a resistência da partícula. Neste tipo de fratura, geram-se alguns fragmentos de

grande diâmetro. Normalmente, este tipo de fratura é comum em britadores de mandíbula,

giratórios e cônicos, e quando as partículas são comprimidas entre corpos moedores ou

partículas maiores.

c) Impacto ou choque

Neste caso, a aplicação da força é realizada de maneira abrupta e de magnitude muito

superior à resistência da partícula, gerando-se uma distribuição granulométrica de

partículas finas. Este tipo de fratura ocorre principalmente em britadores de impacto ou na

zona de queda de bolas ou de barras em moinhos.

15

3.1.6 O problema da moagem mista de componentes sólidos

Justifica-se a preocupação com a moagem mista de minerais componentes de um determinado

minério no sentido de se compreender quais influências estão relacionadas aos diversos

fatores ligados à alimentação do sistema, tais como composição da mistura, moabilidades

individuais dos minerais componentes e outros, combinados aos parâmetros de operação de

moagem, em relação à dinâmica de quebra, para criar soluções que possam diminuir perdas de

eficiência energética na cominuição do mesmo.

Bozkurt e Özgür (2007) estudaram sob as mesmas condições a taxa específica de quebra da

colemanita durante a moagem a seco em comparação ao quartzo e concluíram que a

colematita é cominuída muito mais rapidamente do que o quartzo (devido a uma menor

moabilidade da primeira), produzindo grande quantidade de finos. Neste caso, o estudo da

cominuição conjunta desses dois minerais sugeriu que se fizesse uma classificação, em

determinada altura do processo, para se evitar a sobremoagem da colemanita e,

consequentemente, a perda energética derivada da compactação de seus finos.

De acordo com Ray e Szekely (1973), pesquisas realizadas focadas no estudo de moagem

mista binária de componentes minerais em moinho de bolas mostraram que a eficiência da

moagem é diminuída, uma vez que se constatou que a taxa de moagem de cada material

decresceu em comparação aos resultados da moagem alimentada com estes componentes

isoladamente. Essa conclusão se baseou no estudo da moagem composta pelos minerais

calcário e quartzo. Outros minerais foram objetos de estudo como arenito, dolomita e calcário,

os quais foram moídos, um a um, com o mineral dicromato de potássio, demonstrando que o

mesmo fenômeno ocorreu também nestes casos.

Holmes e Patching (apud RAY e SZEKELY, 1973) observaram em seus experimentos nesta

linha que a taxa de produção de novas superfícies foi inibida para os materiais que os mesmos

examinaram, para uma dada mistura, em cerca da mesma razão para cada componente da

mistura.

Tanaka (apud RAY e SZEKELY, 1973) que também realizou experimentos com material

finíssimo, não confirmou tal fenômeno. Porém, observou que, para tamanhos muito pequenos

16

de partículas, a relação foi cíclica, onde no intervalo entre 5 a 30 µm perceberam-se de dois a

quatro ciclos de valores. Por meio desse estudo, notou-se também a existência uma

dependência diretamente proporcional entre relação de dureza e o número de ciclos.

A taxa de moagem relativa, segundo autor supracitado, também é afetada pela relação de

dureza onde, quando esta é baixa, há uma tendência de ocorrer maior inibição da taxa de

moagem do material duro na mistura, em comparação a sua moagem isolada. Porém, quando

a relação de dureza é alta, o efeito tende a ser contrário, principalmente quando o material

duro estiver presente em menor proporção.

Sener, Bilgen e Ozbayoglu (2003) também pesquisaram acerca da moagem mista, objetivando

atingir máxima separação dos componentes de uma mistura composta pelos minerais celestita

e gipsita. Entretanto, utilizaram-se do aquecimento da mistura para decompor por calcinação a

segunda substância – a partir de 200°C até 900°C – obtendo uma queda significativa da

moabilidade da mesma, sem entretanto alterar as características de moabilidade da primeira.

O aumento do contraste entre as moabilidades contribuiu para uma separação mais eficiente

entre as duas espécies minerais. Segundo os autores, este estudo contribuiu significativamente

para o beneficiamento do minério composto por esses dois minerais, sendo possível ser

realizado inclusive em um único estágio.

3.1.7 Modelos matemáticos de moagem

Segundo Beraldo (1987), há muito tem-se procurado tratar o processo de cominuição baseado

em modelos relacionados à cinética de fraturamento das partículas. O estudo das relações dos

parâmetros desses modelos com as variáveis operacionais permitiu sua aplicação nos

trabalhos de otimização e controle de processos, bem como no dimensionamento de

instalações.

De acordo com Paulo (1996), o modelo matemático de um processo contém as equações

necessárias para estimarem-se os valores das variáveis de interesse. Essas se apresentam

segundo três tipos: insumos (variáveis de entrada ou exógenas), variáveis de estado e

17

variáveis de saída (ou endógenas). O Quadro 1 lista as principais variáveis relacionadas ao

processo de moagem.

Quadro 1 - Resumo das variáveis de moagem

Fonte: Adaptado de PAULO (1996) King (2001) ressalta que a grande dificuldade para estabelecerem-se modelos matemáticos

para representar sistemas de moagem é que o comportamento dos equipamentos de

cominuição depende da natureza das partículas individuais processadas, cujo número é muito

grande para serem estabelecidos procedimentos computacionais que levem em conta tal

volume de informações. Nesse caso, geralmente os modelos usuais estabelecem

procedimentos relacionados a propriedades médias da população de partículas e/ou classes

que dividem a população em função geralmente da granulometria.

TIPO DE VARIÁVEL DESCRIÇÃO

Entrada ou exógena

• Vazão de alimentação nova

• Adição de água para o moinho

• Adição de água para a caixa

• Taxa de bombeamento de polpa

• Granulometria da alimentação

• Moabilidade da alimentação

• Taxa de alimentação

• Abrasividade do minério

Estado

• Granulometria no moinho

• Taxas específicas de quebra

• Distribuição dos fragmentos

• Características do transporte

Saídas ou endógenas

• Granulometria de saída

• Carga circulante

• Desgaste da carga moedora

• Desgaste de revestimento

18

Os modelos matemáticos de moagem podem se dividir em dois tipos, a depender das

características de operação: modelos de moagem em batelada e modelos de moagem em

regime contínuo.

a) Modelos de moagem em batelada

A moagem industrial é geralmente realizada em circuitos contínuos de produção, de forma

que, modelos em bateladas não podem ser diretamente aplicados como meio de estimar

resultados em aplicações industriais. Contudo, os modelos em batelada se fazem necessários

por dois motivos:

• os resultados da moagem industrial são parcialmente funções da cinética de quebra; e

• os modelos em batelada servem para estimar valores dos parâmetros de quebra através

de ensaios em escala de bancada.

O primeiro passo na formulação desse modelo é realizar a determinação das características

intrínsecas de quebra do material. De acordo com Paulo (1996), testes já realizados em

laboratórios para muitos minérios em moinhos de bolas por via seca revelaram que, para

muitos minérios, a cinética de quebra é de primeira ordem, ou seja, a taxa de quebra para uma

determinada faixa granulométrica é proporcional à massa do material que não sofreu quebra.

Essa constatação pode ser escrita a partir da seguinte equação diferencial:

111 HmS

dt

dHm=− (3.1.6)

onde,

H : massa de material no moinho [kg];

m1 : fração do material contido na faixa granulométrica 1 [-];

S1: taxa específica de quebra para a faixa 1[s-1].

Inicialmente, admite-se que todo o material se encontra na faixa granulométrica 1

(sobretamanho, ou top size) e o processo de quebra diminui a massa do material na faixa com

o tempo. A solução da equação 3.1.6 é:

tSemtm 1)0()( 11−= (3.1.7)

19

Onde,

m1 : fração do material contido na faixa granulométrica 1[-];

m1(t): fração do material contido na faixa granulométrica 1, transcorrido o tempo t [-];

t: tempo de moagem [s];

S1: taxa específica de quebra para a faixa 1[s-1].

Traçando-se o gráfico de ln[m1(t)] em função do tempo, obter-se-á uma linha reta com

inclinação constante igual a - S1, considerando-se a quebra de primeira ordem.

Considerando-se que naturalmente a dinâmica de quebra atua sobre partículas de todas as

faixas granulométricas simultaneamente, têm-se dois subprocessos ocorrendo, ou seja, além

da quebra no intervalo considerado, há migração de material adicionado como produto de

quebra, oriundo de intervalos superiores.

Exemplificando, para o intervalo granulométrico 2, tem-se a seguinte equação diferencial:

1121222 HmSbHmS

dt

dHm+−=− (3.1.8)

onde,

b21: fração do material quebrado no intervalo granulométrico superior 1 que produziu

fragmentos no intervalo granulométrico inferior 2 [-].

A equação 3.1.8 tem como solução:

[ ]tStStSee

SS

mSbemtm 212

12

112122

)0()0()( −−− −

−+= (3.1.9)

Generalizando-se para um intervalo i, a taxa de material acumulado devido à quebra é:

∑−

=

+−=1

1

i

j

jjijiii HmSbHmS

dt

dHm (3.1.10)

Onde o somatório da equação 3.1.10 representa a contribuição dos tamanhos superiores para a

acumulação de material no intervalo granulométrico i.

20

Cabe-se ressaltar que, o número de equações é ditado pelo número de intervalos

granulométricos considerados, ou seja, para cada intervalo tem-se a sua respectiva equação. A

notação matricial para o sistema de equações é:

SHmBIdt

dHm)( −=− (3.1.11)

onde,

m: vetor de distribuição granulométrica [-];

S: matriz das taxas específicas de quebra [s-1];

B: matriz da distribuição dos fragmentos [-];

I: matriz identidade [-].

No caso de taxas de quebra (S) constantes, tem-se a seguinte solução para a equação 3.1.11:

∑=

−=

n

j

tS

iji

jeAtm1

)( (3.1.12)

onde,

0, para i < j

∑=

−=

n

j

tS

iji

jeAtm1

)( , para i = j

∑=

= −

1i

jk ji

kik

SS

Sb, para i > j

Considerando-se N o número de faixas granulométricas consideradas, o sistema acima possui

N-1 taxas de quebra e N(N-1)/2 componentes da distribuição de fragmentos. Esse resultado

significa que, no caso típico de 10 faixas granulométricas, obter-se-iam 54 parâmetros, dentre

os quais 9 taxas de quebra e 45 elementos da distribuição de fragmentos. Na prática, esses 54

parâmetros se reduzem a 5 ou 6 por meio de correlações entre os parâmetros dos intervalos.

Como ilustração, pode-se plotar S em função do tamanho da partícula, encontrando a seguinte

equação de correlação:

Aij=

21

1

1

11

a

jj

iii

xx

xxSS

=

+

+ (3.1.13)

onde,

xi: limite superior do intervalo i [µm].

Notoriamente, a distribuição de fragmentos muitas vezes pode ser reduzida a uma única curva

para todos os tamanhos, de acordo com a seguinte equação de correlação:

32

11

11 )1(

c

jj

i

c

jj

iij

xx

xc

xx

xcB

−+

=

++

(3.1.14)

onde,

Bij: distribuição acumulada de fragmentos [-].

Os valores dos parâmetros S1, a1, c1, c2 e c3 são obtidos através de ensaios de moagem em

batelada.

O modelo de equações representadas é capaz de estimar, com exatidão, as distribuições

granulométricas do material cominuído em vários intervalos de tempo (PAULO, 1996).

b) Modelos de moagem em regime contínuo

De acordo com Paulo (1996), a moagem contínua se diferencia da moagem em batelada em

razão do fluxo de material entrar e sair do moinho. Desse modo, os resultados da moagem em

batelada não servem para serem aplicados diretamente sobre o regime de moagem contínuo

devido ao fato de que o tempo de residência das partículas no interior do moinho não é o

mesmo para todas.

Ao se estudar o comportamento da moagem em regime contínuo, tem-se que levar em

consideração a forma como as partículas são transportadas ao longo do moinho, ou seja,

torna-se necessário determinar quais fenômenos de transporte regem tal movimento.

Segundo Paulo (1996), estudos do transporte em moinhos rotativos revelaram que as

partículas se deslocam ao longo do interior do moinho regidas por uma combinação de

22

convecção e dispersão, significando que o deslocamento do material é parcialmente composto

de velocidade constante e mistura.

Dentro do moinho estão as entidades: carga moedora e a polpa, composta de água e sólidos. A

carga moedora contém parte da polpa em seus interstícios e o restante da mesma permanece

separada da carga numa espécie de “bacia”. Essa “bacia” se comporta como um rio em regime

de escoamento lento, carreando os sólidos e a água por todo o comprimento do moinho.

Simultaneamente, por influência da rotação do moinho, os sólidos que permaneceram em

contato com o revestimento são levados para a região da carga. Por influência da aceleração

gravitacional, há uma maior taxa de sedimentação das partículas grossas na bacia, implicando

no transporte preferencial destas partículas para a região da carga, onde elas sofrem o

processo de quebra.

Genericamente, pode-se concluir que o fenômeno de transporte dos sólidos depende da

granulometria. Nesse caso, os fenômenos de transporte e cominuição não são independentes.

Para descrever o fenômeno de transporte de partículas no moinho são utilizados modelos

aproximados, devido à dificuldade de se descrever, com devido rigor, o fenômeno de

transporte.

Os modelos de transporte são estudados segundo o conceito de distribuição de tempo de

permanência, respeitando as seguintes hipóteses (PAULO, 1996):

1. Para as partículas que permaneceram no moinho um tempo t em regime contínuo,

estas sofreram o mesmo grau de quebra comparado à partículas que permaneceram o

mesmo tempo t em batelada;

2. Todas as partículas têm a mesma distribuição de tempo de permanência;

3. A granulometria do material no moinho em regime contínuo é calculada a partir da

ponderação do tempo de permanência com os resultados da moagem em batelada.

Define-se a distribuição de tempo de permanência das partículas em termos de função de

densidade, indicada por E. A expressão E(t)dt corresponde a fração de partículas que

permanece no moinho entre o intervalo de tempo [t, t+dt]. Nos moinhos rotativos,

caracterizam-se suas distribuições de tempo de permanência de vários misturadores perfeitos

em série, com a função de densidade escrita da forma:

23

( )!1

1

−

=

−−

N

eT

tN

T

tE

T

NtN

N

(3.1.15)

onde,

N: número de misturadores em série [-];

T: tempo médio de permanência [s];

(.)!: função fatorial [-].

Quanto à granulometria do produto de descarga do moinho, esta pode ser calculada

ponderando-se E(t) juntamente com os resultados em regime de batelada:

( ) ( )∫∞

=0

)( dttmtETm BC (3.1.16)

onde,

mC: vetor da granulometria do produto do moinho operando em regime contínuo[µm];

mB: vetor da granulometria do produto do moinho operando em regime de batelada [µm].

Paulo (1996) afirma que através da equação 3.1.16 é possível simular a operação de moagem

em circuito aberto, sob condições estacionárias. Porém, para utilizá-la, há necessidade de se

conhecer os valores dos parâmetros de quebra (taxas de quebra e distribuição de fragmentos)

e de transporte (número de misturadores em série e tempo médio de permanência). Unindo-se

os modelos de classificadores com os de moagem contínua, pode-se simular a operação em

circuitos fechados, prevendo, inclusive, a variação de granulometria de todos os fluxos do

circuito em função das condições de operação, propriedades da alimentação e configuração do

circuito.

As principais variáveis que influenciam o processo de moagem são as seguintes:

• capacidade do circuito;

• granulometria da alimentação;

• carga e distribuição de meio moedor;

• porcentagem de sólidos na polpa;

• velocidade de rotação;

24

• configuração do circuito;

• características do classificador.

3.2 Simulação

Segundo Shubik (apud NAYLOR et alii,, 1971) a simulação de um sistema ou de um

organismo consiste na manipulação de um modelo (ou simulador) que se assemelhe e

represente aquele sistema ou aquele organismo de forma que estas manipulações sejam

possíveis de serem simuladas quando, na prática, seriam difíceis de serem realizadas, seja

pelo custo, pela impraticabilidade ou pela impossibilidade.

Um modelo seria a representação do sistema de interesse, cujo qual tem sua utilidade voltada

para o estudo de possíveis melhorias no sistema real ou para observar o efeito de diferentes

políticas sobre o mesmo (PIDD, 1998). Normalmente modelos tratam de representações

simplificadas do mundo real que mantêm, para determinadas situações e enfoques, graus

aceitáveis de equivalência (GOLDBARG, 2000).

Prado (1999, p. 93) contribui para a definição de simulação dizendo que “Simulação é a

técnica de solução de um problema pela análise de um modelo que descreve o comportamento

do sistema usando um computador digital.”

Portanto, ao incluir-se o computador também como uma ferramenta da simulação, pode-se

falar de simulação computacional, englobando um processo de experimentação baseado em

dados de algum sistema e, o modelo fundamentado neste, funciona como um dispositivo

experimental do tipo “tentativa e erro” a fim de avaliarem-se os efeitos gerados por diversas

políticas sobre o sistema simulado,preservando-se o sistema real (PIDD, 1998). Uma

representação interessante de modelo de simulação é mostrada na Figura 2.

25

Figura 7 – Simulação como experimentação. Fonte: PIDD (1998)

A justificativa para utilizarem-se de recursos de modelagem e simulação de sistemas se apóia

no fato de que as mesmas constituem as mais poderosas ferramentas computacionais

dedicadas a avaliação, em termos de performance, de implementações de novas idéias,

processos e ações, que objetivam melhorias em termos de qualidade e produtividade desses

sistemas (FREITAS FILHO, 2008), se mostrando especialmente úteis no projeto de processos

de operações muito complexas (SLACK, CHAMBERS e JOHNSTON, 2002).

3.2.1 Origem

Segundo Saliby (1989) a simulação probabilística ou, simplesmente simulação, originou-se de

uma extensão do método de Monte Carlo, cujo qual, foi um método elaborado e proposto por

von Neumann e Ulam, durante a Segunda Guerra Mundial, para solução de problemas

matemáticos de difícil tratamento analítico. Esses estudos, ao que tudo indica, contribuíram

para a construção da primeira bomba atômica da história.

O chamado método de Monte Carlo consiste basicamente em transformar um conjunto de

números aleatórios em outro com a mesma distribuição de probabilidades da variável em

estudo (PRADO, 1999), o que tornou viável o estudo de sistemas baseados em variáveis de

natureza estocástica.

No início de 1950, com a disponibilidade dos primeiros computadores, a idéia do método de

Monte Carlo pode ser ampliada para a aplicação em problemas mais gerais de caráter

probabilístico, tomando como exemplo, o caso das filas.

modelo de simulação

entradas

(políticas)

saídas

(respostas)

26

Despontou-se a partir daí a idéia de se simular um processo, estimando seus parâmetros

operacionais, de forma que, assim, surgia a simulação por Monte Carlo.

Por meio do crescente aumento da acessibilidade e melhoria dos recursos computacionais e

com o desenvolvimento de programas e linguagens de simulação específicas, a técnica de

simulação tornou-se cada vez mais utilizada.

De acordo com Bôas (in CARRISSO e POSSA, 1993), os trabalhos de modelagem e

simulação de circuitos mínero-metalúrgicos tiveram seu início de desenvolvimento na

Austrália, pela Mount Isa, dando origem ao JK Mineral Research por volta de 1960. A partir

disso, a simulação vem sendo estudada e aplicada pela indústria mineral em todo o mundo.

Segundo Alves et alii (2004), as técnicas de simulação de processos de cominuição

fundamentadas nos modelos de balanço populacional têm obtido grande êxito em diversos

projetos de aplicação. Segundo os autores, os parâmetros obtidos fornecem condições de

simulação global do circuito, gerando ganhos em vários aspectos acerca de auditoria de

plantas de beneficiamento mineral.

3.2.2 Conceitos fundamentais

Para se entender de maneira eficiente o processo de simulação, é necessário que se faça

menção a alguns conceitos necessários ao seu melhor entendimento. São eles: sistema,

ambiente, entidade, atributo, atividade, estado do sistema, progresso do sistema, variáveis

endógenas, variáveis exógenas, variáveis de estado e corrida de simulação.

a) Sistema

Segundo Gordon (1978) uma simples definição de sistema seria: uma agregação ou

composição de objetos que estão unidos em alguma interação regular ou interdependência. Ou

seja, um sistema seria uma parte do Universo a qual se queira estudar suas políticas de

relações internas e, naturalmente, interações com o ambiente. A Figura 8 apresenta um

exemplo de sistema que encerra moagens e classificações em circuitos fechados.

27

Figura 8- Exemplo de sistema representando circuito FAB (moinho autógeno seguido de moinho de bolas) Fonte: ALBONY JUNIOR (in FERNADES et alii, 2007, p. 115)

b) Ambiente

Segundo Gordon (1978) ambiente do sistema é o ambiente externo ao sistema cujas mudanças

sofridas podem ou não afetar o sistema e vice-versa. Uma tarefa importante na simulação é

determinar as fronteiras entre o sistema e o seu ambiente.

c) Entidade

Termo utilizado para denotar algum objeto de interesse que pertença ao sistema. Exemplo:

moinho, mineral, carga moedora, etc.

d) Atributo

Este termo denotará a propriedade de uma entidade (uma entidade poderá possuir vários

atributos). Por exemplo, com relação à carga moedora, poder-se-ia definir vários atributos tais

como diâmetro, dureza, resistência mecânica, distribuição de tamanhos, material(is) de

composição etc.

e) Atividade

28

É qualquer processo que possa promover mudanças no sistema, citando como exemplo, a

atividade de quebra no processo de moagem, que por sua vez provoca mudança na

granulometria do produto processado.

f) Estado do sistema

Usado para dar significado descritivo a todas as entidades, atributos e atividades em algum

ponto do tempo.

g) Progresso do sistema

Descreve as mudanças ocorridas em termos de estado do sistema. Por exemplo, no processo

de moagem, o progresso do sistema pode estar relacionado com a quebra de partículas do

material sólido, alterando, portanto, a granulometria do material em determinado ponto do

tempo.

h) Variáveis exógenas

Segundo Naylor et alii, (1971) variáveis exógenas são aquelas variáveis de caráter

independente ou de entrada do modelo, previamente determinadas e fornecidas, não existindo

relações de dependência entre as variáveis exógenas e o sistema, ou seja, a relação causa-

efeito é admitida unidirecionalmente das variáveis exógenas para o sistema, não ocorrendo

nunca o contrário.

As variáveis exógenas podem ser classificadas em controláveis (ou instrumentais) e não

controláveis. As variáveis exógenas controláveis são variáveis ou parâmetros passíveis de

controle e manipulação pelos elementos que detêm poder de decisão. Por exemplo, num

processo experimental de moagem, pode-se decidir previamente trabalhar com seixos ou com

bolas de aço, dependendo do tipo de material processado e dos resultados requeridos.

Quanto à utilização das variáveis exógenas, esta pode ser realizada de duas maneiras distintas

em processo de simulação: como parâmetros (ditadas pelas condições do modelo ou

29

elementos encarregados por decisões) sendo lidas como dados de entrada; ou por meio de

geração de números aleatórios, no caso de serem variáveis de natureza estocástica.

i) Variáveis endógenas

Segundo Naylor et alii, (1971) variáveis endógenas são aquelas variáveis de caráter

dependente ou de saída do sistema. Estas variáveis se originam a partir do processo de

interação das variáveis exógenas e de estado, a depender das características operacionais do

sistema. Uma exemplificação seria a distribuição granulométrica final do produto da moagem,

cuja origem tem haver com a interação da granulometria de alimentação, taxa de seleção e de

quebra de partículas, velocidade de rotação do moinho, massa e distribuição de tamanhos do

meio moedor etc.

j) Variáveis de estado

São variáveis que medem o estado de um sistema ou de um de seus componentes, seja no

início de um determinado período de tempo, seja no decorrer de um certo período de tempo.

Exemplificando, pode-se citar como variáveis de estado no processo de moagem a rotação do

moinho, o nível de desgaste dos corpos moedores ou do revestimento do moinho etc.

k) Corrida de simulação

De acordo com Saliby (1989), corrida de simulação corresponde à unidade mínima de

empenho computacional que gere uma única estimativa relacionada a cada parâmetro em

observação. Por exemplo, no estudo de simulação do processo de moagem, para determinado

intervalo de tempo, estas estimativas podem ser a média e o desvio-padrão do tamanho d50

dos produtos, descrita por determinada função de densidade.

Dois pontos importantes podem ser destacados: o primeiro é que uma corrida de simulação

pode ser definida pelo número de observações realizadas ou pela duração da observação

(como acontece, normalmente, no caso da moagem); o segundo é que a definição de corrida

se associa a uma única estimativa, o que se faz necessário estimar corretamente o tamanho da

amostra de entrada.

30

3.2.3 Classificação dos modelos de simulação

De acordo com Naylor et alii, (1971), os modelos de simulação podem ser classificados

como: determinísticos ou estocásticos, estáticos ou dinâmicos e discretos ou contínuos.

a) Modelos determinísticos

Nesse tipo de modelo admite-se que as variáveis exógenas e endógenas não são de natureza

randômica. Além disso, as características operacionais seguem relações exatas e nunca

funções de densidade de probabilidade. Uma característica marcante deste tipo de modelo é

que eles são menos exigentes computacionalmente falando, e podem ser resolvidos por

técnicas analíticas de cálculo.

b) Modelos estocásticos

São caracterizados como estocásticos os modelos que possuem ao menos uma das suas

características operacionais ditada por uma função de probabilidade. Estes tipos de modelos

são de natureza bem mais complexa comparados aos modelos determinísticos, portanto sua

resolução por técnicas analíticas se torna muito limitada. Nesse caso, a simulação se torna

uma técnica muito mais apropriada como método de solução e análise.

c) Modelos estáticos

São modelos nos quais a variável tempo não implica em grande importância explícita. A

maioria dos trabalhos realizados nas áreas de programação linear e teoria dos jogos, por

exemplo, se relacionam com modelos estáticos.

d) Modelos dinâmicos

São ditos dinâmicos aqueles modelos cuja modelagem matemática leva em conta interações

variáveis com o tempo. Neste caso, uma variável denominada relógio da simulação existe

para controlar o avanço do tempo.

31

e) Modelos discretos

No processo de simulação discreta, a evolução do tempo é realizada em intervalos de tempo

entre um evento e outro, de forma que o estado do sistema não seja alterado ao longo do

intervalo entre dois eventos consecutivos. Cabe esclarecer que, a discretização mencionada se

aplica apenas ao intervalo de tempo, não tendo relação com o valor das demais variáveis do

sistema que podem, inclusive, assumir valores contínuos.

No processo de simulação contínua, a evolução do tempo é caracterizada como se fosse

verdadeiramente contínua (na realidade, é feita em pequenos intervalos de tempo, por

imposição do método ou recurso utilizado). Este tipo de simulação é muito aproveitável na

aplicação em modelos dinâmicos, como por exemplo, simulação de processos contínuos

(refinaria de petróleo, por exemplo) e modelos desenvolvidos por Forrester (apud SALIBY,

1989).

3.2.4 Simulação: vantagens versus limitações

De acordo com Saliby (1989) a simulação, enquanto abordagem de estudo, vem sendo

crescentemente utilizada nas mais diversas áreas de conhecimento. Dois fatores podem ser

citados para explicar isso:

• a crescente complexidade dos problemas com os quais se defronta; e

• a maior disponibilidade de recursos computacionais (hardware e software).

Em termos de principal vantagem, o que a simulação tem a oferecer de melhor é sua grande

flexibilidade, sendo empregada aos mais variadas naturezas de problemas. Citando:

a) simulação de sistemas de atendimento (filas);

b) simulação de sistemas de estoques e compras;

c) simulação financeira;

d) simulação de sistemas macroeconômicos;

e) simulação de sistemas de transporte público;

f) simulação de operações militares;

g) simulação de operações mineiras.

32

As características que tornaram os modelos de simulação mais populares segundo SALIBY

(1989) são as seguintes:

a) Realismo dos modelos

A grande liberdade disponibilizada na construção de um modelo de simulação é,

indubitavelmente, um dos mais fortes motivos da sua popularização. A simulação não impõe

o enquadramento de um problema em determinado molde para chegar-se a uma solução,

como acontece, por exemplo, no caso da programação linear. Portanto, em troca de soluções

exatas para “problemas aproximados”, ter-se-ão soluções aproximadas para “problemas mais

reais”.

b) Evolutibilidade dos processos de modelagem

Um dos grandes benefícios da metodologia do processo de modelagem em simulação é a sua

dimensão evolutiva. Ou seja, parte-se de um modelo a priori simples, e, aos poucos, vai se

estudando e observando de maneira distinta as particularidades do problema em estudo. Por

meio desta característica de aprendizagem, o modelo pode ser aperfeiçoado, absorvendo

novas variáveis, relações e/ou condições.

c) Flexibilidade dos modelos

O modelo de simulação torna possível avaliar conseqüências de um conjunto de decisões,

sendo, desta forma, propícia à formulação de perguntas do tipo “o que se...?” (PIDD, 1998;

FREITAS FILHO, 2008; SALIBY, 1989) que dão margem para avaliar, baseado no modelo, a

repercussão de elegíveis mudanças de cenário ou diferentes decisões e políticas.

d) Tratabilidade de problemas pouco estruturados

Não raramente há oportunidade de se deparar com problemas pouco estruturados, ou seja, que

fazem menção a situações pobres quanto a informações que dizem respeito às suas variáveis

e/ou interações. A simulação é uma das poucas metodologias capazes de oferecer meios para

tornar possível o estudo deste tipo de problema. Porém, há de se ter cuidado na etapa de

33

avaliação dos resultados. De acordo com Simon (apud SALIBY, 1989), existe dependência

direta entre o resultado da simulação e as premissas que a geraram, ou seja, a qualidade dos

resultados varia em função da qualidade e precisão dos argumentos nos quais o modelo se

apoiou.

e) Facilidade de comunicação

Como a modelagem de simulação não se restringe a moldes rígidos, como um conjunto de

complicadas equações matemáticas, isto torna o modelo muito mais acessível em termos de

compreensão por parte do usuário. Paralelamente, muitas pesquisas vêm sendo dedicadas ao

desenvolvimento da simulação visual, cuja principal característica é permitir a comunicação

com os demais elementos interessados ou que venham a ser afetados de alguma forma pelas

decisões tomadas.

f) Controle sobre rapidez e qualidade da solução

Em diversas situações, não há necessidade de obter a solução precisa para determinado

problema e/ou situação. Ou seja, preza-se mais, em determinados momentos, pela ordem de

grandeza da variável, obtida num curto espaço de tempo, do que seu valor exato, obtido por

meio de procedimentos que exigem um grande tempo de execução. Nesta chamada “Era da

Globalização”, na qual os cenários mudam muito rapidamente, esse tipo de ferramenta pode

representar grande vantagem competitiva a quem a detém.

Segundo Saliby (1989) as principais dificuldades relacionadas à simulação são as seguintes:

a) Dificuldade de modelagem

A tradução de um problema real num modelo de simulação é uma etapa rigorosa para a qual

se tem procurado obter maior apoio computacional. O uso de diagramas – como o ciclo de

atividades proposto por Pidd (apud SALIBY, 1989) – como metodologia de representação da

evolução das entidades de um sistema ao longo do tempo tem sido cada vez mais utilizada.

Simultaneamente, o desenvolvimento de facilidades computacionais interativas de apoio à

34

modelagem também representa grande progresso, pois permitem simplificar a tarefa de

programação.

b) Dificuldade de programação

A maior dificuldade relacionada a etapa de programação de um modelo de simulação se

relaciona à especificidade de recursos de software, ou seja, a inexistência de uma biblioteca

de rotinas pré-programadas, o uso de linguagens gerais de programação resultará num elevado

custo de programação e, dessa forma, comprometer a extensão prejudicial o prazo de

conclusão de determinado estudo.

Os principais investimentos relacionados à melhoria desta etapa têm se concentrado no

desenvolvimento de programas geradores de linguagens de simulação, tais como: ARENA,

PROMODEL, SIMAN, SIMIN, GASP, SCICOS (módulo do SCILAB) etc.

c) Tempo de processamento e baixa precisão dos resultados

Muitos autores recomendam a abordagem de um problema através de simulação como um

último recurso, devido à baixa precisão dos seus resultados. Tal imprecisão advém do

processo de amostragem, relacionado geralmente com o tamanho da amostra. Daí, uma

alternativa possível para minimizar esse problema seria trabalhar com amostras maiores. Mas,

por outro lado, aumentaríamos a demanda de esforço computacional, aumentando, também, o

tempo de processamento, que depende do porte dos recursos computacionais disponíveis.

d) Validação dos modelos de simulação

As soluções geradas a partir do modelo de simulação têm uma relação indireta com o

problema real. Daí, estas soluções geradas têm relação com o modelo representativo da

realidade, devendo servir, também, como respostas adequadas em relação ao problema real.

A validação das respostas tem que ser realizadas e poderão ser feitas em dois níveis:

• na verificação do modelo computacional (modelo livre de erros, etapa trabalhosa,

mas que não deve ser negligenciada); e

35

• na validação do modelo conceitual (correspondência que deve existir entre o modelo

e a realidade, isto é uma tarefa árdua).

36

3.2.5 Planejamento de experiências de simulação

Naylor et alii, (1971) sugere que o planejamento de experiências de simulação siga nove

etapas, esquematizadas na forma de fluxograma mostrado na Figura 9.

Figura 9- Fluxograma para o planejamento de experiências de simulação. Fonte: NAYLOR et alli (1971).

Apesar do fluxograma supracitado ter sido proposto no início da década de 70, Freitas Filho

(2008) o considera válido, visto que as conduções do processo de simulação atuais pouco

diferem dos passos definidos no mesmo.

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

COLETA E PROCESSAMENTO DE DADOS

FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS

AVALIAÇÃO DO MODELO

FORMULAÇÃO DO PROGRAMA DE COMPUTADOR

PROJETO DE EXPERIÊNCIAS

ANÁLISE DOS DADOS DA SIMULAÇÃO

MODELO

REJEITADO

MODELO ACEITO

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

VALIDAÇÃO

37

3.2.6 Estimação da variabilidade do processo de simulação

Por definição, a cada corrida de simulação obtemos uma única estimativa, que pode ser

representada, para cada parâmetro estudado, por:

xi, i = 1,..., k.

Essas estimativas podem ser, por exemplo, a média e variância, relativos ao parâmetro,

portanto:

xx =1 e x2 = s2x

Diferentes amostras oriundas de uma mesma população podem dar origens a estimativas

diferentes e, neste caso, pode-se falar em “distribuição das estatísticas da amostra”,

originando por conseqüência uma função de distribuição de probabilidades (FDP) das médias

e variâncias (DALMOLIN, 2002).

Assim as estimativas variarão de corrida para corrida. É comum adotar-se o erro médio

quadrático como critério de medida de variabilidade, assim definido:

EMQ(xi) = E(xi - x )2

que pode ser expresso da seguinte forma:

EMQ(xi) = s2(xi) +[E(xi) – x ]

2

Este termo escrito acima leva em consideração o viés da estimativa, o qual pode ser

desprezado caso:

E(xi) ≅ x i

Pois, assim:

EMQ(xi) ≅ s2(xi)

38

Assim, apesar da variância servir como medida de precisão no caso de estimativas não

tendenciosas, ela poderá também ser empregada para estimativas tendenciosas, desde que o

viés seja pequeno o suficiente, ou seja:

[E(xi) x i]2/s

2(xi)] ≅ 0

O estudo de modelos de simulação envolve a busca de uma estimativa para cada parâmetro

em foco, além de fornecer uma medida para sua precisão. Em princípio, dois fatores

determinam a precisão das estimativas em foco: o tamanho ou duração da corrida (empenho

computacional) e o método de amostragem utilizado (distribuição representada).

a) O tamanho ou duração da corrida (empenho computacional)

Este fator de tamanho ou duração da corrida terá efeito no tempo de processamento da

informação, ou seja, quanto maior o tamanho da corrida ou de sua duração – a depender do

tipo de modelo abordado – o número de dados processados será maior ou menor, implicando

respectivamente num maior ou menor empenho (esforço) computacional.

b) O método de amostragem utilizado (empenho amostral)

A depender da quantidade de valores amostrais gerados numa corrida – sem levar em

consideração o tipo de distribuição considerado – o empenho amostral será maior ou menor,

apresentando uma idéia do volume de processamento por corrida, em termos de ordem de

grandeza.

Em termos de convergência, quanto maior o esforço de amostragem, ou seja, quanto mais

valores do parâmetro forem gerados numa corrida, maior será a precisão do parâmetro de

forma que, a limitação para a obtenção do valor exato do parâmetro reside na limitação de

recursos computacionais. Essa conclusão vem a ter estrito relacionamento com a propriedade

geral das estimativas:

iin

xxE =∞→

)(lim e ,,...,1,0)(lim 2 Ljxs in

==∞→

39

3.3 Números e Variáveis Aleatórias

A geração de números e variáveis aleatórias constitui uma função primordial em muitos

processos de simulação. A grande maioria dos software de simulação possuem um gerador de

números pseudo-aleatórios.

Na prática, através de uma seqüência de números uniformemente distribuídos entre 0 e 1,

geram-se novas seqüências com distribuições arbitrárias, em acordo com os objetivos e

natureza do objeto de simulação.

3.3.1 Pseudo-aleatoriedade

Uma das mais poderosas ferramentas que se dispõe atualmente e que vem sendo aperfeiçoada

a cada dia é o computador digital. Sem este recurso não seria possível realizar muitas

atividades importantes, dentre elas, uma simulação complexa.

Com o auxílio do computador digital, pode-se gerar deterministicamente uma seqüência de

números que classificamos como pseudo-aleatórios. Esta classificação se deve ao fato de que

o comprimento do ciclo que determina a repetição da mesma seqüência de números é finita, e,

na prática, depende do maior inteiro representável no computador digital utilizado.

3.3.2 Características importantes

Na geração de números pseudo-aleatórios deve-se estar atento a evitar alguns prováveis

problemas:

− Geração não-uniforme da distribuição dos números;

− Números gerados assumindo valores discretos ao invés de contínuos;

− Desvio na média;

− Desvio na variância;

− Ocorrência de variações cíclicas (autocorrelação, números crescentes ou decrescentes,

muitos números acima da média seguidos de muitos números abaixo da média).

40

Quanto às características positivas, pode-se primar por:

− maior rapidez na geração da seqüência numérica;

− portabilidade;

− ciclo mais longos quanto possível;

− reprodutibilidade;

− uniformidade da distribuição e independência entre os valores numéricos.

3.3.3 Geração de números aleatórios

Existem diversos métodos de geração de números aleatórios. Um dos mais simples, porém

não menos poderoso (se escolhidos de forma correta os parâmetros), denominado método

congruencial linear.

O método congruencial linear parte da seguinte relação de recorrência:

m

XR

mcaXX

ii

ii

=

+=+ mod)(1

i = 1, 2,...n

Onde,

X0: semente da geração (ponto inicial da seqüência) [-];

a: constante multiplicativa[-];

c: incremento[-];

m: módulo (indica que de m em m valores a seqüência se repetirá) [-];

Ri: seqüência dos valores normalizados no intervalo [0,1].

Observações:

1) c=0 implica em método congruencial multiplicativo;

2) c≠0 implica em método congruencial misto.

41

As escolhas dos valores de a, c, m e X0 modificam fortemente as propriedades estatísticas e o

comprimento do ciclo.

A seqüência Ri serve para normalizar os resultados e contém exclusivamente valores no

conjunto:

−

=m

m

mmI

1,...,

2,

1,0

Onde m determina o máximo comprimento do ciclo e a maior densidade.

Como a eficiência do método depende diretamente da escolha dos parâmetros, deve-se

estabelecer uma forma de determiná-los corretamente.

Segundo Rosa e Pedro Júnior (2002), a escolha deve começar pelo módulo m, que determina

o tamanho do ciclo de números gerados. O módulo deve ser escolhido adequadamente de tal

sorte que seja suficientemente maior do que n valores que o usuário necessita gerar e,

também, que não seja muito maior, como meio de poupar recursos computacionais de

processamento e memória. Estabelecendo m em função de n, pode-se chegar a seguinte

relação:

( )[ ]210_ nprimomenorm =

A função estabelecida como menor_primo(x) deve retornar o menor primo d, de tal sorte que

d < x.

Através da relação estabelecida, pode-se garantir que m seja suficientemente maior do que n e

que m é da forma m = p2, sendo p um número primo. Portanto, segue que os únicos divisores

de m serão 1, p e m. Para escolher o valor mais conveniente para a, far-se-á uso da seguinte

relação:

( ) 110_ += nprimomenora

É conveniente que o parâmetro c seja escolhido no intervalo entre 0 e 10

m, c diferente de q.

42

Para a escolha da semente, esta pode ser escolhida entre 0 e m.

3.4. Modelos de Otimização

Como visto no capítulo anterior, um modelo não é uma tradução idêntica da realidade, mas se

possuir similaridade suficiente, este pode ser utilizado para se formar conclusões a partir de

sua análise e/ou operação.

Para Goldbarg (2000), um modelo de otimização de sucesso depende de um processo que o

mesmo denomina por “tradução” ou “formulação”, que consta da construção do modelo de

otimização que traz consigo uma carga de natureza quantitativa e matemática.

Apesar da formulação do modelo possuir um caráter rigoroso, sua obtenção parte de

processos poucos rigorosos ou conhecidos tais como intuição, experiência, criatividade, poder

de síntese etc., ou seja, qualidades intrínsecas de quem constrói o modelo.

3.4.1 Padrões para formulação de modelos de otimização

Segundo Ackoff (apud GOLDBARG, 2000) existem cinco padrões de construção de modelos

de otimização:

• Padrão 1: a estrutura do sistema é suficientemente simples e evidente, podendo ser

compreendida por inspeção, caracterizando a possibilidade de facilidade de

formulação, a depender do número e porte de avaliação das variáveis não controláveis

e outros parâmetros;

• Padrão 2: quando a estrutura do sistema é relativamente aparente, mas sua

representação simbólica não é tão aparente, configurando necessidade de busca de um

sistema análogo que possua estrutura conhecida (ex. emprego do algoritmo heurístico

simulated annealing para determinação de máximo e mínimo de uma função

complexa);

43

• Padrão 3: quando a estrutura do sistema não é aparente (caixa preta), porém as

necessidades de informação a respeito do mesmo podem ser supridas através de uma

análise estatística, onde se tem respostas seguras para determinados estímulos;

• Padrão 4: quando a estrutura do sistema não é aparente e não é possível isolar os

efeitos das diversas variáveis através de uma análise estatística. Nessa situação o

projeto de experiências será determinante para reduzir o problema ao padrão 3 por

meio da determinação das variáveis e correlações relevantes;

• Padrão 5: quando se verifica as situações descritas no padrão 4, porém com

limitações em termos de experimentações possíveis para o objetivo. Nesse caso, pode-

se apelar para modelos de conflitos e jogos de operações, além da modelagem criativa.

A determinação do tipo de padrão referente ao modelo é importante para se estipular o grau

de dificuldade de formulação, bem como estabelecer o rumo das investigações.

3.4.2 Modelagem matemática de modelos de otimização

A modelagem matemática, assim como a simulação, pertence ao campo de conhecimento da

chamada pesquisa operacional (PO) e trata do desenvolvimento das equações que, apoiadas a

uma estrutura lógica, permitirá a correta formulação do modelo de otimização (GOLDBARG,

2000).

A programação matemática reúne os principais modelos quantitativos da PO e são divididos

nas seguintes subáreas:

a) Programação linear

Representam o caso particular dos modelos de programação no quais as variáveis são

contínuas e suas restrições e função objetivo se comportam de forma linear.

b) Programação não-linear

44

Ocorre quando existir qualquer tipo de não-linearidade em alguma de suas restrições ou na

função objetivo. Em alguns casos modelos de programação não-linear podem ser

transformados em modelos de programação linear.

c) Programação inteira

Caracteriza modelos nos quais alguma variável não pode assumir valores contínuos, ficando

limitada a assumir somente valores discretos. Este tipo de modelo assume maior grau de

complexidade computacional.

45

3.5. Inteligência Artificial

Não se tem uma definição única de IA, porém, de acordo com Luger (2004), ela pode ser

definida como um ramo da ciência da computação voltado para a automação do

comportamento inteligente, se preocupando em fundamentar em sólidas bases os princípios

teóricos e práticos desta área, incluindo para tanto as estruturas de dados para representação

do conhecimento, os algoritmos de aplicação e as linguagens e técnicas de programação

necessárias a sua implementação.

Embora possam ser encontrados vestígios de tentativas de compreensão do funcionamento da

inteligência humana nas reflexões de alguns filósofos desde a Grécia Antiga (tal como

Aristóteles), segundo Nascimento Jr. e Yoneyama (2000), historicamente o surgimento da IA

data de 1948, quando N. Wiener definiu o termo cibernética, que engloba, entre outros

assuntos, o estudo da inteligência de máquinas. A partir daí, outros pesquisadores foram

dando corpo e maior importância a essa área do conhecimento, tal como Alan Turing, que

propôs em 1950 o denominado Turing Test para avaliar comparativamente a inteligência de

uma máquina (computador digital) em contraste com a inteligência de um ser humano.

Em 1956, os estudos sobre a construção de inteligência se intensificaram nos Estados Unidos

e começaram a ser denominados por IA a partir da conferência proferida ao Darmouth

College, na Universidade de New Hampshire, evento que reuniu diversos pesquisadores

interessados no assunto (MAIA, 1998 apud ROCHA, 2006).

Em 1970 vários protótipos de sistemas especialistas obtiveram sucesso para interpretação de

espectogramas de massa (DENTRAL), análise de dados geológicos para pesquisa de

depósitos de petróleo (DIPMETER) e minerais (PROSPECTOR) e sistemas de configuração

de computadores (XCON/R1) (ROCHA, 2006).

A IA abrange diversas subáreas com foco em diferentes estudos e ferramentas, podendo citar

os sistemas especialistas, compreensão da linguagem natural e modelagem semântica,

modelamento do desempenho humano, planejamento, robótica, aprendizagem de máquina e

representações alternativas. Essa última se preocupa com a representação explicita do

46

conhecimento e algoritmos de busca. Destacam-se nesse âmbito as redes neurais e os

algoritmos genéticos

3.5.1 Redes neurais artificiais (RNAs)

A concepção de RNA ocorreu na década de 40 pelo neurofisiologista Warren McCulloch e

pelo matemático Walter Pitts, que estabeleceram uma analogia entre as células nervosas vivas

e o processamento eletrônico. A partir da década de 80 surgiram inúmeros modelos para

desenvolver e aplicar essa tecnologia (TAFNER, 2006 apud PAULA, 2006).

As RNAs representam uma abordagem em IA utilizada para implementar a inteligência em

máquinas (computadores digitais) embasada em modelos que emulam a estrutura de

funcionamento dos neurônios no cérebro humano (LUGER, 2004). Sua origem remonta aos

modelos matemáticos e de engenharia de neurônios biológicos (KOVÁCS, 2006).

De acordo com Haykin (2001) (apud PAULA, 2006), uma RNA consta de um processador

distribuído paralelamente, composto de unidades simples de processamento, possuindo

tendência natural de acumular conhecimento empírico (aprendizagem) e disponibilizar

mecanismos de recuperação (memorização).

Segundo Ezugwu et alii (2005) (apud PONTES, 2006), as RNAs representam uma poderosa

técnica de modelagem, permitindo-se modelar relações cuja descrição com a utilização de

modelos físicos seria difícil.

Porém, de acordo com Medeiros (1999), para que as soluções derivadas do uso de RNA

tenham desempenho satisfatório, os problemas devem ser tolerantes a uma determinada

imprecisão, dispor de uma grande quantidade de dados de treinamento e não necessitar de

regras de decisão discretas (por exemplo, 0 ou 1, sim ou não). Algumas aplicações das RNA

são: o reconhecimento de padrões em imagens, processamento de voz, processamento de

sinais, análise de séries temporais, simulação de sistemas biológicos, diagnósticos médicos e

previsões no mercado financeiro.

47

Mello (2004) (apud PAULA, 2006) destaca que uma RNA é capaz de reconhecer padrões,

obter regularidades e perceber relações subjacentes em uma massa de dados a priori

desconexa, apresentando inclusive habilidades de trabalhar com dados incompletos, com

interferência ou imprecisos e de prever sistemas não-lineares.

3.5.1.1 O neurônio biológico

Conforme Luger (2004), o neurônio biológico é uma célula delimitada por uma fina

membrana celular que possui determinadas propriedades que permitem o funcionamento

elétrico da célula nervosa. Um esquema simplificado de neurônio (Fig. 10), é composto de um

corpo celular que possui diversas saliências ramificadas, denominadas dendritos, e de um

único ramo chamado de axônio. Os neurônios se comunicam com os vizinhos através de

sinais na forma de impulsos elétricos que se propagam por meio do axônio. As sinapses são

pontos de contato entre as terminações do axônio de um neurônio com os dendritos de outros,

podendo ser excitatórias ou inibitórias, dependendo se contribuem para elevar ou diminuir o

sinal global do neurônio receptor.

Figura 10 – Esquema simplificado de neurônio biológico.

Fonte: TAVARES, 2001.

48

3.5.1.2 O perceptron

Uma RNA, similarmente ao seu paralelo biológico, é composta por um determinado número

de neurônios conectados por conexões sinápticas. Cada conexão sináptica possui um peso

associado, onde o conhecimento acumulado na rede depende diretamente da atualização

desses pesos. Alguns desses neurônios são conectados ao ambiente externo, tratando-se das

entradas e das saídas da rede. Cada neurônio possui um conjunto de entradas e de saídas

ligadas a outros neurônios, exceto os neurônios de entrada e de saída que possuem um ou

outro. Um neurônio possui um patamar atual de ativação que deriva da conjugação das

entradas atuais recebidas com os pesos sinápticos das conexões, cujo valor resultante poderá

ativar ou não as saídas deste neurônio (MEDEIROS, 2006).

A Figura 11 apresenta um modelo de neurônio chamado de perceptron, pesquisado e

desenvolvido por Rosenblatt nas décadas de 50 e 60.

Figura 11 – Modelo de um neurônio perceptron de Rosenblatt. Fonte: Adaptado de Medeiros (2004, p. 3)

Nesse modelo de neurônio apresentado, o perceptron, as variáveis apresentadas são as

seguintes:

xi: entradas do neurônio;

wi: pesos das sinapses;

∑∑∑∑

-1 Saída

x1

x2

x3

x4

xn

w1

w2

w3

w4

wn

w0

s o

Função de ativação E

NTRADAS

Pesos

Função soma

49

wo: bias;

d: saída intermediária; e

o: saída ativada.

Através das entradas xi são apresentados os valores que se desejam processar. Os pesos das

sinapses wi (que representam o aprendizado da rede) assumirão valores que, aplicados aos

valores de entrada, resultarão numa saída intermediária s. Tais pesos são atualizados por meio

de um processo de treinamento prévio. A variável wo, denominada por bias, não multiplica

nenhuma entrada, possui valor fixo e funciona como uma espécie de ajuste fino (MEDEIROS,

2006).

Para obter o valor da saída intermediária s, realiza-se o somatório da multiplicação entre as

entradas e seus respectivos pesos numa função denominada soma, ou seja:

s = ∑∑∑∑(xjwij) + wo (3.5.0)

A função denominada função de ativação ou de transferência limita a amplitude do intervalo

do sinal de saída do neurônio para algum valor finito, normalmente no intervalo [-1,1] ou

[0,1].

Os principais tipos de funções de ativação são apresentados no Quadro 3.

50

Quadro 2 – Principais funções de ativação utilizadas no perceptron.

Fonte: Paula (2006, p. 49)

Das funções de ativação apresentadas, a de uso mais comum é a sigmóide, por apresentar

algumas características vantajosas tais como: continuidade, monotonicidade, não linearidade e

diferenciabilidade em qualquer ponto.

3.5.1.3 Treinamento das RNAs

De acordo com Mendes Filho e Carvalho (1997) e Warsseman (1989) (apud LOPES, 2005),

uma característica muito importante das RNAs é a capacidade de aprender por meio de

treinamento e, com isso, poder melhorar seu desempenho de reproduzir uma saída desejada

por meio de um conjunto de entrada. A aprendizagem se completa quando a RNA chega a

uma solução generalizada para uma classe de problemas.

51

Segundo Medeiros (2004), o ajustamento dos pesos das sinapses deve ocasionar a

convergência de erro para um valor mínimo. Esse processo pode ser visualizado na forma de

um gráfico (Fig. 12) no qual o erro global E (diferença média quadrática entre as saídas

desejadas e saídas calculadas) é representado no eixo vertical e, no eixo horizontal, estão

representados os valores que um peso w pode assumir.

Figura 12 – Representação gráfica da convergência do peso de uma sinapse para um valor correspondente a um erro mínimo.

Fonte: Adaptado de Medeiros (2004, p. 15)

Os principais modelos de aprendizagem são:

a) Aprendizagem supervisionada ou associativa

Este modelo de aprendizagem se caracteriza por possuir um agente externo (tutor ou

professor) que indica à rede a saída desejada para o padrão de entrada, onde o ajustamento dos

pesos é realizado por comparação da saída da rede com a saída desejada. Para executar esse

tipo de treinamento é preciso que se tenha um conjunto de entrada pré-classificado (conjunto

de treinamento). O ajustamento dos pesos será realizado até que as respostas geradas pela rede

possam classificar os dados de forma suficientemente correta.

Deve-se ter cuidado durante a fase de treinamento para que não ocorra treinamento excessivo

da rede, processo conhecido como overfitting, situação que ocasiona a memorização dos

w

winicial E

Emin

wfinal

52

dados pela rede e a conseqüente perda de capacidade para reconhecer padrões diferentes do

conjunto de entrada.

b) Aprendizagem não supervisionada

Consiste no treinamento autônomo da rede utilizando-se apenas do vetor de valores de

entrada. Parte-se do princípio que a rede seja capaz de obter, pelo seu próprio esforço,

características importantes dos dados de entrada estatisticamente. São exemplos de rede que

possuem esse tipo de treinamento as redes de Hopfield, Kohonen e ART (convencional e

nebulosa) (KROSE e SMAGT, 1996; WASSERMANN, 1989 apud LOPES, 2005).

c) Treinamento híbrido

Neste modelo de treinamento adotam-se ambos os tipos de treinamento supervisionado e não

supervisionado, de modo alternado.

3.5.1.4 Arquitetura das RNAs

Segundo Menezes (2004) (apud ROCHA, 2006) a sistematização dos neurônios numa RNA

está diretamente relacionada ao problema que se deseja resolver, sendo esse um aspecto muito

importante também para a definição do algoritmo de aprendizagem a ser utilizado.

De acordo com Lopes (2005), as RNAs são compostas basicamente por três camadas: camada

de entrada, camada intermediária (ou camada oculta) e camada de saída, como ilustrado pela

Figura 13.

53

Figura 13 – Representação de uma RNA típica.

Fonte: Lopes (2005, p. 32)

Existem diversos tipos de RNAs para os mais diversos tipos de aplicações. Alguns tipos são

apresentados:

a) Perceptron de camada única

O perceptron é a forma mais simplificada de uma RNA usada para classificação de padrões

ditos linearmente separáveis, citando como exemplo padrões que se encontram em lados

opostos de um hiperplano (HAYKIN, 2001 apud ROCHA, 2006).

b) Perceptron multicamada (PMC)

Segundo Lima (2006), quando muitos neurônios se ligam, forma-se uma rede e, o efeito

combinado da mesma, é a capacidade de tomar decisões complexas.

54

O denominado perceptron multicamadas consiste numa generalização do perceptron de

camada única. Segundo Cybenko (1989) (apud ROCHA, 2006) uma RNA com uma camada

oculta é capaz de implementar qualquer função contínua. Com duas camadas ocultas a rede é

capaz de aproximar de qualquer função.

Segundo Rossomando (2006), a capacidade que as RNA possuem de aproximar funções com

grau arbitrário de precisão provavelmente justifica sua ampla aplicabilidade no campo da

identificação e controle de processos.

c) Rede neural ADALINE

Desenvolvida por Widrow e Hoff em 1959, é utilizada para o reconhecimento de padrões,

porém apenas reconhece os padrões nos quais foi treinada. Após ser generalizada para uma

RNA multicamada, passa a ser denominada MADALINE, apresentando grande tolerância a

falhas (WIDROW E HOFF, 1960 apud LOPES, 2005)

d) Rede neural feedforward

Consiste de uma RNA multicamada utilizada normalmente para classificação e controle de

robôs (MINSKY e PAPERT, 1969 apud LOPES, 2005).

e) SOM de Kohonen

A rede SOM (Self Organizing Map) de Kohonen, consiste numa rede competitiva com

habilidade de realizar mapeamento entre dados de entrada e de saída (KOHONEN, 1972

apud LOPES, 2005).

f) Rede neural retropropagação

Werbos apresentou a primeira concepção do algoritmo de retroprogação (backpropagation),

em 1974. Em 1986, Rumelhart, Hinton e Williams tiveram a idéia de utilizar o algoritmo de

Werbos para ajustar os pesos de uma RNA das unidades de entrada para as unidades de saída

55

e propagar o erro no sentido inverso. Essa rede é utilizada em operações lógicas complexas e

classificação de padrões (RUMELHART et alli, 1986 apud LOPES, 2005).

3.5.1.5 RNA com retropropagação

A rede neural do tipo retropropagação consiste numa rede neural tipo feedforward treinada

com o algoritmo retropropagação. Motivada pela grande popularidade desse método para o

treinamento de RNAs, as redes treinadas por meio desse método são denominadas de redes

retropropagação.

De acordo com Paula (2007), a grande vantagem da utilização do método retropropagação

reside no fato de existirem uma quantidade de equações bem definidas e explícitas voltadas

para a correção dos pesos na rede. A correção do erro nos pesos das sinapses é realizada por

meio da retropropagação do erro obtido na comparação entre a saída gerada pela rede e a

desejada, objetivando diminuir o erro total da saída gerada pela rede.

Segundo Fausset (1994) (apud PAULA, 2007), o método retropropagação consiste de três

etapas: a propagação dos dados da camada de entrada para a camada de saída da rede, o

cálculo e a retropropagação relativa ao erro gerado na rede, e a correção dos pesos sinápticos.

Na primeira etapa, os dados de entrada são apresentados à rede e as ativações são conduzidas

até alcançarem a camada de saída, obtendo o resultado. Nas segunda e terceira etapas, o

resultado obtido na camada de saída é comparado com a resposta desejada e o erro gerado é

calculado para as unidades de saída. A partir disso, os pesos das unidades de saída são

corrigidos para diminuir o erro. Na seqüência, o erro da camada de saída é utilizado para

derivar estimativas de erro para as unidades das camadas ocultas e, assim, o erro é propagado

para trás até atingir a conexão da camada de entrada.

O método retropropagação corrige os pesos sinápticos incrementalmente, tendo como critério

a análise entrada-saída. Após concluir a análise de todos os pares de entrada-saída, é dito que

se concluiu uma corrida. No entanto, esse processo requer diversas corridas.

56

O processo de atualização de pesos efetuado pelo método retropropagação é ilustrado por

meio da Figura 14.

57

Figura 14 – Atualização de pesos efetuada no processo de backpropagation. Fonte: Adaptado de PAULA (2007, p. 60)

Camada 1 (Camada de Entrada)

Pesos

w1j

Camada 2 (Camada Oculta)

Pesos

W2j

Camada n (Camada Oculta)

Pesos

Wnj

Camada m (Camada de Saída)

Saída

Saída desejada

Erro

Novos pesos

Novos pesos

Novos pesos

Corrigir

wnj

Corrigir

w2j

Corrigir

w1j

58

Segundo Paula (2007), a correção dos pesos realizada no método de retropropagação é

embasada na regra Delta de Widrow-Hoff, que foi desenvolvida para ajustar os pesos

sinápticos na entrada de cada neurônio, tendo por referência o erro calculado entre a saída real

produzida pela rede e a saída desejada para algum vetor de entrada. A correção dos pesos é

realizada pelo método de otimização LMS (Least Mean Square), ou mínimos quadrados, cujo

objetivo é determinar um valor para o peso que minimize o erro de saída da rede.

Considerando uma rede com retropropagação, o ajuste do erro é feito pela retropropagação do

erro, realizando uma distribuição do erro referente aos neurônios de saída para os demais

neurônios da rede. Porém, apesar de ser possível conhecer o erro global, não há meio de se

determinar os pesos, com exatidão, para corrigi-los. Entretanto, com base no erro global, é

possível determinar as direções nas quais os pesos precisam ser ajustados no sentido de

minimizar o erro quadrático total na saída da rede. De posse dessas direções, torna-se portanto

possível regular os pesos no sentido de atingir o menor erro global.

A soma do erro quadrático instantâneo de cada neurônio disposta na última camada (camada

de saída da rede) é dada por (VILLALBA e BEL, 2000 apud LOPES, 2005, p. 41):

Onde,

εεεεi = di - yi;

di: saída desejada para o i-ésimo elemento da última camada da rede;

yi: saída do i-ésimo elemento da última camada da rede;

ns: número de neurônios da última camada da rede.

Tomando o neurônio de índice i da rede e utilizando o método do gradiente descendente

(SIMPSON, 1989; VILLALBA e BEL, 2000 apud LOPES, 2005), o ajuste dos pesos pode se

dar como:

(3.5.1)

(3.5.2)

59

Onde,

γγγγ: parâmetro de controle da estabilidade ou taxa de aprendizagem;

h: índice de iteração;

∇∇∇∇i (h) : gradiente do erro quadrático com relação aos pesos do neurônio avaliado em h;

Vi: vetor contendo os pesos do neurônio i.

Da equação 3.5.1, a direção adotada para minimizar a função do erro quadrático se refere a

direção contrária ao gradiente. O gradiente ∇∇∇∇i (h) pode ser expresso por (KROSE e SMAGT,

1996, apud LOPES, 2005):

A função de ativação considerada é a função sigmóide definida por:

Onde,

ρρρρ : constante de determinação de translação da curva yi;

λλλλ : constante de determinação da inclinação da curva yi.

Diferenciando a equação 3.5.1 com relação ao vetor Vi, tem-se:

A partir da equação acima, obtem-se:

(3.5.3)

(3.5.4)

(3.5.5)

(3.5.6)

60

Onde,

Derivando a equação 3.5.0, tem-se:

Sendo:

Xi : vetor padrão.

Substituindo-se a equação 3.5.8 em 3.5.7, tem-se:

Inserindo-se a equação 3.5.10 na equação 3.5.4, tem-se:

Empregando o gradiente estimado através da equação 3.5.11 no método do gradiente

descendente, equação 3.5.2, obtém-se o seguinte:

Caso o elemento i se encontre na última camada, então:

Caso o elemento i se localize nas demais camadas, então:

(3.5.7)

(3.5.9)

(3.5.10)

( 3.5.11)

( 3.5.12)

( 3.5.13)

(3.5.8)

61

Onde:

sgm'(si): derivada da função sigmóide dada pela equação 3.5.5;

R(j): conjunto dos índices dos elementos que se encontram na fileira seguinte à fileira do

elemento i e que estão interligados ao elemento i.

A derivada parcial da função sigmóide pode ser expressa por:

Em resumo, o algoritmo de retropropagação segue os seguintes passos (LOPES, 2005):

a) Apresentação de uma entrada X à rede, que fornecerá uma saída Y;

b) Cálculo do erro para cada saída da rede;

c) Determinação do erro retropropagado pela rede associado à derivada parcial do erro

quadrático de cada elemento relacionado aos pesos;

d) Ajuste dos pesos referentes a cada elemento;

( 3.5.14)

( 3.5.15)

62

e) Apresentação de uma nova entrada à rede, repetindo o processo até que haja

convergência da rede, ou seja, quando o erro obtido por meio do treinamento da rede

for menor que um valor preestabelecido.

3.5.1.6 Algoritmo retropropagação com momento

Com vistas a melhorar o desempenho do algoritmo retropropagação, vários esforços na

literatura foram feitos neste sentido, abordando o método de várias formas. Uma delas foi a

consideração do termo momento (WIDROW e LEHR, 1990, apud LOPES, 2005).

De acordo com Krose e Smaght (1996) (apud LOPES, 2005), o processo de aprendizagem

impõe que alterações nos pesos das sinapses sejam proporcionais a ∂∂∂∂ εεεεi/∂∂∂∂ Vi. Isto garante que

não haja oscilações muito grandes para γγγγ, evitando a falta de direcionamento. Uma forma de

estabelecer isso é fazer com que a atualização dos pesos dependa da variação dos pesos

anteriores por meio do acréscimo do termo momento.

O ajuste dos pesos, nesse caso, pode ser formulado da seguinte forma (WIDROW e LEHR,

1990 apud LOPES, 2005):

Onde,

υυυυij: peso correspondente à interligação entre o i-ésimo e j-ésimo neurônio;

γγγγ: taxa de treinamento;

ηηηη: constante momento (0 ≤ηηηη <1).

Se o elemento j se encontrar na última camada, então:

( 3.5.16)

63

Onde,

σ1: derivada da função sigmóide com relação a s1.

No caso do elemento j se encontrar nas demais camadas, tem-se:

Onde:

R(j): conjunto de índices dos elementos localizados na fileira seguinte à fileira do elemento j e

que estão interligados ao elemento j.

A Figura 15 ilustra o efeito do termo momento.

Figura 15- Representação do algoritmo descendente no espaço de pesos, onde: (a) taxa de treinamento

pequena (convergência lenta), (b) taxa de treinamento grande (muitas oscilações) e (c) taxa de treinamento grande, com o termo momento acrescentado (mais rápida convergência)

Fonte: LOPES (2005, p. 68).

( 3.5.17)

( 3.5.18)

64

4. METODOLOGIA

A metodologia utilizada neste trabalho divide-se em duas partes:

− Experiências de moagem física em escala de laboratório; e

− Simulação de moagem mista baseada em RNA.

4.1 Experiências de Moagem Física em Escala de Laboratório

O objetivo desta fase foi emular o comportamento da moagem a seco de um minério binário

liberado e muito friável, cujos minerais componentes apresentassem contraste em termos de

moabilidade. Para tanto, foi estabelecida uma rotina experimental de moagem a seco, em

escala de laboratório, para suprir as necessidades de obtenção de dados relacionados ao

comportamento dos principais parâmetros da moagem mista relacionados à distribuição

granulométrica da alimentação e dos produtos. Os resultados foram ajustados pela função de

densidade, Sigmóide de Hill, tomando os parâmetros agudeza, a, e tamanho d50 das

distribuições granulométricas.

Tal descrição do comportamento dos parâmetros dos produtos da moagem mista depende da

interação entre diversas variáveis exógenas e endógenas ao processo, tais como granulometria

da alimentação, moabilidade individual das espécies minerais componentes, composição em

massa dos componentes minerais, dimensionamento de carga de bolas, tempo de moagem,

velocidade e potência do moinho, entre outras. Adotou-se, portanto, medidas simplificadoras

para o problema. Foram elas:

a) definição de uma condição padrão de operação do moinho (carga de bolas, volume de

minério, velocidade e potência de operação do moinho);

b) granulometria padrão de alimentação (100% passante na peneira de 6 malhas) ;

c) utilização de minério sintético homogeneizado e totalmente liberado (emulando um

minério liberado muito friável) ;

d) experimentos realizados utilizando-se na alimentação diferentes combinações pré-

estabelecidas em termos de composição volumétrica das espécies minerais do minério;

e) moagens realizadas em tempos pré-estabelecidos.

65

Os minerais escolhidos para os experimentos foram:

• Dolomita (originalmente na granulometria de brita zero, Wi = 12,6 kWh/t), fornecido

pela empresa Bemil Beneficiamento de Minérios Ltda (coletada no pátio de obras da

Universidade Federal de Ouro Preto) – região de Ouro Preto/MG;

• Quartzo (originalmente na forma de blocos médios, iW ≅ 14,4 kWh/t), obtido na

própria região de Ouro Preto.

4.1.1 Preparação dos minerais componentes da alimentação

Partindo-se de uma massa de aproximadamente 100kg de cada mineral componente da

mistura (quartzo em blocos e dolomita como brita zero), as mesmas foram reduzidas em

100% passante na peneira de 6 malhas, conferindo um diâmetro inferior a 3,35 mm às

partículas dos minerais.

Para tanto, foram utilizadas duas etapas de britagem onde, na britagem primária, utilizou-se

de um moinho de mandíbulas, cuja abertura do set foi ajustada para o diâmetro pretendido. Na

seqüência, o produto da britagem primária foi peneirado segundo a peneira de 6 malhas para

separar os finos, sendo que o oversize alimentou a britagem secundária, onde se utilizou de

um britador de rolos, cuja distância entre os rolos foi regulada para o diâmetro pretendido. O

produto da britagem secundária foi peneirado segundo a peneira de 6 malhas e o oversize

retornado como carga circulante na etapa de britagem secundária, repetindo esse

procedimento até que todo o material se reduzisse em 100% passante na referida malha. Tal

procedimento pode ser visualizado através do fluxograma mostrado na Figura 16.

66

Figura 16 – Representação esquemática da preparação granulométrica dos minerais componentes da alimentação.

Adicionados os undersizes da britagem primária e secundária de cada mineral em separado,

esses foram homogeneizados através do método de pilhas cônicas e, na seqüência, pilha

longitudinal. De cada pilha longitudinal, referente a cada mineral, foram retiradas duas

amostras para caracterizar a granulometria da alimentação, e, o restante, foi armazenado em

sacos plásticos contendo, aproximadamente, três quilogramas e meio (dolomita) e dois quilos

e meio (quartzo). Essas massas ensacadas foram utilizadas, conforme a necessidade, para

compor a alimentação nos ensaios de moagem mista binária.

As análises granulométricas se procederam com o peneiramento das massas de cada

componente da alimentação na seqüência de peneiras da série ABNT, indo da malha número

8 à malha número 400, conforme mostrado no Quadro 4. Os resultados das médias das

análises granulométricas de cada mineral componente da alimentação na mistura são

apresentados nas Figuras 17 e 18.

Britagem Primária (BRITADOR DE MANDÍBULAS)

Peneiramento Primário (PENEIRA DE 6 MALHAS)

Britagem Secundária (BRITADOR DE ROLOS)

Peneiramento Secundário (PENEIRA DE 6 MALHAS)

Mineral com granulometria abaixo de 6 malhas

Alimentação

US1 OS1 OS2

US2

Legenda: OS1: oversize peneiramento primário

US1: undersize peneiramento primário

OS2: oversize peneiramento secundário

US2: undersize peneiramento secundário

67

Número de Malhas Abertura (µm)

8 2380

10 1680

12 1410

14 1190

16 1000

20 840

28 590

35 425

48 297

65 210

100 150

140 106

200 75

270 53

325 45

400 38

Quadro 3- Relação de peneiras da série ABNT utilizadas nas análises granulométricas.

DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICAALIMENTAÇÃO - DOLOMITA

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

10 100 1000 10000

DIÂMETRO (MICROMETROS)

% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DO

Figura 17 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral dolomita), destacando-se o tamanho d50

da distribuição de tamanhos

d50 = 1270 µµµµm

68

DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICAALIMENTAÇÃO - QUARTZO

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DO

Figura 18 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral quartzo) , destacando-se o tamanho d50

da distribuição de tamanhos

4.1.2 Realização da moagem mista

Para a realização dos ensaios de moagem mista binária, foi escolhido um moinho tubular tipo

jarro, revestido internamente de borracha, cujas medidas internas foram 19,5cm (diâmetro) e

19,5cm (comprimento), encerrando um volume de 5.823,6cm3. A operação do moinho foi

realizada a uma velocidade de 59 rpm (62% da velocidade crítica) com uma carga fixa de

bolas e minério, cuja qual ocupou aproximadamente 46% do volume total do moinho.

A carga de bolas foi estabelecida segundo os tamanhos descritos na Tabela 1.

Tabela 1 – Distribuição dos tamanhos de bolas utilizadas como corpos moedores nos ensaios de moagem mista binária.

Tamanho (mm) Quantidade Massa Total (g) % Relativa (massa)

39,5 14 3.600 40,3

30,0 31 3.610 40,5

17,0 87 1.710 19,2

Total 132 8.920 100,0

d50 = 1423 µµµµm

69

Os ensaios de moagem foram realizados segundo a sistemática mostrada na Quadro 5,

totalizando 25 experimentos, variando a proporção na mistura dos minerais dolomita e

quartzo em volume, onde o volume total de minério foi fixado em 1560cm3, o qual foi

determinado por adição de água até o recobrimento total da carga de bolas dentro do moinho.

70

PROPORÇÃO NA MISTURA (em volume)

ENSAIO

MASSA (g)

TEMPO DE

MOAGEM (minutos)

1 5 2 15 3 30 4 50

100% DOLOMITA (moagem isolada)

5

3345

75 1 5 2 15 3 30 4 50

100% QUARTZO (moagem isolada)

5

2655

75 1 5

25% DOLOMITA 2 835 15 75% QUARTZO 3 1990 30

4 50 5 75 1 5


4 50 5 75 1 5


4 50 5 75

Quadro 4 - Especificação das etapas de realização de moagem física. Para determinar a massa a ser utilizada de cada mineral em função da composição

volumétrica estabelecida para cada experimento, foi utilizada uma proveta graduada de dois

litros, onde cada mineral foi adicionado separadamente dentro da mesma até ser completado o

volume desejado para cada teste. Em seguida, o material no interior da proveta era

compactado, colocando-se a proveta sobre uma mesa vibratória durante o tempo de dois

minutos. Tendo sido averiguada alguma compactação de volume, o mesmo era completado e

o procedimento de compactação se repetia até não haver mais variação volumétrica no tempo

de compactação estabelecido, obtendo-se o peso da massa do mineral nesse instante. Esse

71

procedimento repetiu-se por três vezes, para cada volume pretendido para cada mineral,

tomando-se a média aritmética dos pesos como referência em massa para aquele volume.

As massas dos minerais eram adicionadas no moinho, já com a carga de bolas, na proporção

definida para cada teste. A operação de moagem se procedia cronometrando-se o tempo de

moagem definido. Na seqüência, a massa de minério era retirada do moinho e, após

homogeneização em lona, quarteava-se a mesma utilizando um quarteador tipo jones até a

obtenção de duas amostras representativas para análise granulométrica de mais ou menos

350g cada uma. As massas eram peneiradas por vinte minutos na seqüência de peneiras

relacionadas no Quadro 4.

Para o caso de moagem isolada dos minerais, as massas das amostras retidas em cada peneira

foram pesadas e registradas em planilhas próprias e, no caso de moagem mista, as massas das

amostras retidas do minério para cada teste foram juntadas e identificadas, para cada peneira,

em sacos plásticos para posterior análise de teor. Tal análise de teor foi feita utilizando o

método de perda de massa por calcinação.

A identificação dos produtos dos diversos testes de moagem realizados foi estabelecida

segundo critérios de nomenclatura que levaram em conta a proporção dos minerais na mistura

e o tempo de moagem. O critério utilizado segue o modelo apresentado no Quadro 6.

T ### D / ### Q - ##

Quadro 5 – Sistema de nomenclatura utilizado para identificação dos diversos produtos das moagens físicas das misturas.

Para exemplificação, uma mistura composta por 25% em volume do mineral dolomita e 75%

em volume do mineral quartzo, submetida a um ciclo de moagem de 5 minutos, a

nomenclatura, segundo o padrão adotado, seria: T25D/75Q-5.

Campo para percentual, em

volume, do mineral dolomita

Campo para tempo de moagem, em

minutos

Campo para percentual, em volume,

do mineral quartzo

72

4.1.3 Método de calcinação para determinação das massas de dolomita e quartzo no

produto

A determinação da massa de dolomita e quartzo presentes em cada faixa granulométrica após

a moagem foi feita através do método de calcinação do minério.

A calcinação é o processo endotérmico no qual se eleva a altas temperaturas uma substância

sólida, porém sem atingir seu ponto de fusão, provocando a liberação de substâncias voláteis e

água de cristalização por decomposição química, obtendo como produto seus óxidos.

Segundo Soares Filho (1990), a dolomita consiste de um carbonato duplo de cálcio e

magnésio cristalizado em romboedros. Sua fórmula química é CaMg(CO3)2.

A decomposição por calcinação do mineral dolomita em óxidos de cálcio e de magnésio e gás

carbônico (CO2) ocorre acima de 900°C em muflas de laboratório ou, no caso industrial, em

fornos calcinadores, obedecendo a seguinte equação química já balanceada:

CaMg(CO3 )2(s) + calor(+900°C) CaO(s) + MgO(s) + 2CO2(g)

Através da determinação da massa de CO2 liberada (massa perdida) no processo de queima de

uma amostra dolomítica desconhecida, pode-se calcular o teor de CaMg(CO3)2 presente.

Neste trabalho, o cálculo do teor de dolomita presente na amostra foi determinado por meio

de equações lineares obtidas através de regressão de curvas de calibração confeccionadas por

meio de experimentações controladas de calcinação para massas fixas de minério. Para isso,

amostras preparadas de granulometria predominantemente fina de 30g e 5g, contendo

diferentes proporções pré-estabelecidas dos minerais dolomita e quartzo, foram calcinadas por

uma hora em mufla, cuja temperatura foi ajustada para 1.100°C. Após o resfriamento das

massas do minério durante 15 minutos à temperatura ambiente, pesaram-se as massas de

amostras de minério calcinado, obtendo-se por diferença as respectivas perdas de massa.

Plotando-se os pares ordenados de dados (perda de massa no eixo das abscissas e o respectivo

teor de dolomita no eixo das ordenadas) duas curvas de calibração foram construídas, uma

73

para a massa de 30g (Fig. 19) e outra para a massa de 5g (Fig. 20). Para ambas as regressões,

obteve-se uma correlação positiva perfeita entre as variáveis.

CURVA DE CALIBRAÇÃO PERDA DE MASSA POR

CALCINAÇÃO X TEOR DE DOLOMITA (MASSA DE AMOSTRA: 30 g TEMPO DE CALCINAÇÃO: 1 h)

y = 0,0731x - 0,0013

R2 = 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00

PERDA DE MASSA

TE

OR

DE

DO

LO

MIT

A

Figura 19 – Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das variáveis derivada

da calcinação de 30g de minério composto por dolomita e quartzo para o tempo de 1 hora de calcinação

CURVA DE CALIBRAÇÃO PERDA DE MASSA POR

CALCINAÇÃO X TEOR DE DOLOMITA (MASSA DE AMOSTRA: 5 g TEMPO DE CALCINAÇÃO: 1 h)

y = 0,4411x - 0,0033

R2 = 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

PERDA DE MASSA (g)

TE

OR

DE

DO

LO

MIT

A

Figura 20 - Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das variáveis derivada

da calcinação de 5g de minério composto por dolomita e quartzo para o tempo de 1 hora de calcinação

74

Para determinar o teor de calcita presente em cada faixa granulométrica do produto misto

moído, pesaram-se as massas retidas em cada peneira que já haviam sido previamente

ensacadas e identificadas e, conforme o peso auferido, recolheu-se amostras de 30g ou de 5g

após homogeneização, sendo as mesmas calcinadas durante 1 hora, com temperatura da mufla

ajustada para 1.100°C. Após resfriamento de 15 minutos à temperatura ambiente, as massas

foram pesadas e os valores registrados em planilhas próprias para a determinação do teor de

dolomita, utilizando-se da respectiva equação relativa à curva de calibração correspondente,

obtendo como saída as massas retidas de cada mineral.

Mediante os resultados obtidos, foram confeccionados gráficos do percentual de massa

passante de cada mineral, obtendo-se o tamanho d50 de cada distribuição, bem como

coeficiente de agudeza a, através de ajustamento dos dados à função densidade Sigmóide de

Hill, utilizando para tanto do software EasyPlot ®, versão Free Trial da Spiral Software.

Todos os ajustamentos tiveram bons coeficientes de correlação (acima de 97%), indicando

aderência dos dados à função densidade de probabilidades Sigmóide de Hill. Através desse

procedimento, pôde-se obter os parâmetros de interesse para utilização no processo de

simulação.

4.2 Simulação de Moagem Mista Utilizando RNA

Para simular a moagem mista baseada em RNA, utilizou-se de programação em ambiente

Delphi 7 ®, fazendo uso de uma componente desenvolvida especificamente para esse fim por

Medeiros (2006), embasada em PMC, supervisionada e treinada com o algoritmo

retropropagação com momento.

O simulador construído foi concebido para funcionar segundo três fases:

a) Configuração da RNA

Nesta fase configuram-se, em tempo de projeto, o número de neurônios para as camadas

de entrada, de processamento obrigatória e de saída da rede. Estabelecem-se os valores

75

máximo e mínimo para cada variável referente a cada dado, tanto de alimentação (entrada)

quanto dos produtos (saída), além da taxa de aprendizagem e o momento.

b) Carregamento de dados e Treinamento da RNA

Nesta fase, define-se em tempo de execução, o número de corridas para o treinamento e o

número de neurônios na camada oculta opcional. A partir da introdução desses

parâmetros, a RNA estará apta a carregar os dados de entrada (alimentação) e de saída

(produtos), constantes em arquivos de banco de dados. A partir do carregamento desses

dados, a RNA é treinada segundo o número de corridas estabelecido. Ao final de cada

corrida, os resultados obtidos na saída são comparados com seus respectivos valores reais

e, a partir disso, o algoritmo de retropropagação corrige os pesos sinápticos no sentido de

diminuir o erro quadrático global, segundo parâmetros previamente definidos para taxa de

aprendizagem e de momento. Ao final do número de corridas estabelecido, os pesos

sinápticos atualizados são armazenados em arquivo, denominado arquivo de

conhecimento, o qual será utilizado fase de teste da rede.

c) Teste da RNA

Nesta fase será testada a capacidade da rede de prever resultados para o processo de moagem

mista, cujos dados de entrada são desconhecidos para a mesma, ou seja, não fizeram parte do

conjunto de dados de treinamento. Para esse fim, apenas os dados de entrada são apresentados

à rede, a qual os processará segundo informações recuperadas do arquivo de conhecimento

gerado na fase de teste, apresentando uma resposta na saída.

Executada a simulação, a avaliação da eficácia da mesma se baseará na proximidade da

resposta gerada em relação à desejada.

4.2.1 O Sistema de simulação SiMoMix

76

O sistema baseado em RNA PMC para aplicação em processo de moagem mista, consistiu em

uma adaptação do sistema construído por Medeiros (2006), originalmente elaborado para

previsão de acessos a homepage.

Para utilização básica do sistema SiMoMix, seguem os seguintes passos:

1º) Executar o arquivo SiMoMix.exe.

2º) O sistema apresentará a primeira janela, conforme mostrado na Figura 21, denominada

“Parâmetros”, para a entrada das seguintes informações: número de neurônios na

camada oculta opcional e número de corridas de treinamento. Por default, esses valores

estão definidos com os valores 5 e 1000, respectivamente. Essa janela pode ser acessada

também através do menu Geral/Parâmetros. O usuário confirma as informações

inseridas pressionando o botão OK. Nesta janela, também são exibidos a taxa de

aprendizagem e de momento adotados.

Figura 21 – Janela “Parâmetros” do Sistema SiMoMix.

77

3º) O usuário pode visualizar e até mesmo inserir/excluir elementos no conjunto de

treinamento da rede, acessando a janela denominada “Dados de Entrada”, no menu

Simulação/Dados de Entrada. A janela exibe o conjunto de dados a serem testados

organizados numa tabela, conforme mostra a Figura 22. Nesta tabela, os dados

correspondem às seguintes informações: número da amostra (de acordo com a seqüência

de obtenção), percentual em volume do mineral dolomita (PercDolomita), percentual em

volume do mineral quartzo (PercQuartzo), tamanho d50 e o coeficiente de agudeza da

alimentação (D50Alim e CAAlim, respectivamente), tempo de moagem, tamanho d50 e o

coeficiente de agudeza do mineral dolomita no produto (D50Dolomita e CADolomita,

respectivamente), tamanho d50 e o coeficiente de agudeza do mineral quartzo no produto

(D50Quartzo e CADolomita). Tais parâmetros foram considerados pertinentes para a

simulação da moagem binária mista.

Figura 22 – Janela “Dados de Entrada” do Sistema SiMoMix.

4º) Para carregar os dados de alimentação e de saída e realizar o treinamento da rede, o

usuário deve acessar a janela denominada “Treinamento” (Fig. 23), por meio do menu

78

Simulação/Treinamento. Em seguida, o usuário deve pressionar o botão “Construir Rede

PMC” para estabelecer a rede e, na seqüência, pressionar o botão “Treinar Rede PMC”.

Figura 23 – Janela “Treinamento” do Sistema SiMoMix.

4º) O usuário pode inserir ou excluir dados a serem testados pela rede. Basta acessar a janela

denominada “Dados de Teste” no menu Simulação/Dados de Teste. A janela exibe os

dados a serem testados pela rede na forma de uma tabela, conforme mostra a Figura 24.

79

Figura 24 – Janela “Dados de Teste” do sistema SiMoMix.

5º) Após o fim do treinamento da rede (indicado pelo total preenchimento da barra de

progresso), o usuário poderá testar a rede. Esse processo é feito acessando a janela

denominada “Teste” (Fig. 25) pelo menu Simulação/Teste. Nesta janela é exibida uma

tabela contendo os dados que serão testados. Após o usuário clicar no botão “Testar Rede

PMC” uma segunda tabela é exibida na janela com o resultado da simulação. Algumas

informações são exibidas como o número de corridas de teste e o erro total, o número de

neurônios da camada oculta opcional, os erros totais dos coeficientes de agudeza e dos

tamanhos d50.

80

Figura 25 – Janela “Teste” do Sistema SiMoMix.

81

5. RESULTADOS E DISCUSSÕES

5.1 Resultado dos Testes Físicos

Os testes físicos de moagem mista em regime de batelada utilizando os minerais dolomita e

quartzo foram executados segundo a metodologia descrita no Subcapítulo 5.1. Por meio dos

diversos testes executados, pôde-se acompanhar a evolução dos parâmetros de interesse

pertinentes às distribuições de tamanho da alimentação e dos produtos, segundo a função

densidade Sigmóide de Hill: coeficiente de agudeza, a, e tamanho d50. A partir da análise de

tais parâmetros pôde-se estimar o tempo ideal de moagem dentro da amplitude de tempo de

operação testado para as diversas misturas, obtendo um maior contraste granulométrico nos

seus produtos.

As Figuras 26, 27 e 28 apresentam a evolução dos parâmetros a e d50 para os minerais

dolomita e quartzo, presentes nos produtos das misturas testadas T25D/75Q, T50D/50Q e

T75D/25Q, respectivamente, para os tempos de moagem de 5, 15, 30, 50 e 75 minutos.

82

Comparação do Coeficiente de Agudez a Mistura T25D/75Q

0,75

1,25

1,75

2,25

2,75

3,25

0 20 40 60 80

Tempo [minutos]

a [

-]

Dolomita Quartzo

Comparação do Tamanho d 50

Mistura T25D/75Q

0

200

400

600

800

1000

0 20 40 60 80

Tempo de moagem [minutos]

d5

0 [m

icro

met

ros]

Dolomita Quartzo

Figura 26 – Comparações dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d50 (b) entre as

distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T25D/75Q, segundo a função Sigmóide de Hill.

(a)

(b)

83

Comparação do Coeficiente de Agudez aMistura T50D/50Q

0,75

1,25

1,75

2,25

2,75

3,25

0 20 40 60 80

Tempo [minutos]

a [

-]

Dolomita Quartzo


T50D/50Q

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80


d5

0 [m

icro

met

ros]

Dolomita Quartzo

Figura 27 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d50 (b) entre as distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T50D/50Q, segundo a função Sigmóide

de Hill.

(b)

(a)

84

Comparação do Coeficiente de Agudez a Mistura T75D/25Q

0,75

1,25

1,75

2,25

2,75

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo [minutos]

a [

-]

Dolomita Quartzo


Mistura T75D/25Q

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50 60 70 80


d50

[mic

rom

etro

s]

Dolomita Quartzo

Figura 28 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d50 (b) entre as distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T75D/25Q, segundo a função Sigmóide

de Hill.

(a)

(b)

85

Para todas as misturas testadas, houve interseção das curvas representativas dos fatores de

agudezas dos produtos nos pontos cujos tempos de moagem equivalem aproximadamente a

22, 23 e 25 minutos para as misturas T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/25Q, respectivamente.

Nota-se que, para esses mesmos tempos de moagem, ocorrem um dos maiores

distanciamentos entre os pontos das curvas que representam a evolução do parâmetro

tamanho d50 dos produtos da moagem. Esse fato levou à suposição de que nesses intervalos de

tempo de moagem observar-se-iam contrastes ótimos em termos granulométricos para os

componentes das misturas. Essa hipótese se apoiou na idéia de que um maior distanciamento

entre os centros das distribuições comparadas (diferenças entre os tamanhos d50) com igual

fator de agudeza (dispersões semelhantes) conferiria uma menor interseção entre as mesmas,

comparada às demais distribuições para outros ciclos de tempo, dentro da amplitude de tempo

testada.

As Figuras 29, 30 e 31 mostram as diferentes distribuições das frações retidas simples para os

produtos da moagem, segundo os ciclos de tempos testados, montadas a partir dos parâmetros

de ajustes das distribuições das frações retidas simples à função de densidade adotada,

Sigmóide de Hill, para os produtos das misturas T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/25Q,

respectivamente. Desse modo, o tempo ótimo de moagem foi determinado para cada uma

dessas misturas, dentro da amplitude de tempo de operação testada, estimando-se inclusive os

tempos onde houve interseção das curvas representativas dos coeficientes de agudezas para

cada padrão de mistura. Essa estimativa realizada para os tempos de interseção entre as curvas

dos fatores de agudezas foi feita para avaliar a hipótese levantada no parágrafo anterior.

86

Figura 29 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as moagens da mistura T25D/75Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das frações retidas simples

estimada para o ciclo de moagem de 22 minutos.

Distribuições das Frações Retidas Simples

Produtos da Moagem T25D/75Q-15

ICGT = 0,538

0

0,05

0,1

0,15

10 100 1000 10000

Tamanho Médio [micrometros]

Fra

ção

Re

tida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO

Distribuições das Frações Retidas Simples

Produtos da Moagem T25D/75Q-5

ICGT = 0,35

0

0,05

0,1

0,15

10 100 1000 10000


Fra

ção

Ret

ida

Sim

ple

s [-

]

Dolomita Quartzo

Distribuições das Frações Retidas SimplesProdutos da Moagem T25D/75Q-30

ICGT = 0,467

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000Tamanho Médio [micrometros]

Fra

çã

o R

eti

da

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,451

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção

Re

tid

a S

imp

les

[-]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,399

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

10 100 1000 10000


Fra

çã

o R

etid

a S

imp

les

[-]

DOLOMITA QUARTZO

Distribuições das Frações Retidas SimplesProdutos da Moagem T25D/75Q-22*

ICGT = 0,572

(*Moagem Estimada)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção

Ret

ida

Sim

ple

s [

-]

DOLOMITA QUARTZO

87




ICG = 0,367

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

çã

o R

eti

da

Sim

ple

s [

-]

DOLOMITA QUARTZO


ICG = 0,53

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção

Re

tida

Sim

ple

s [

-]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,59

(*Moagem Estimada)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000

Tamanho [micrometros]

Fra

ção

Re

tida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO


ICG = 0,637

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção

Re

tida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,62

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

10 100 1000 10000


Fra

çã

o R

eti

da

Sim

ple

s [

-]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,532

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

10 100 1000 10000


Fra

çã

o R

etid

a S

imp

les

[-]

DOLOMITA QUARTZO

88




ICGT = 0,401

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

çã

o R

eti

da

Sim

ple

s [

-]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,51

0

0,05

0,1

0,15

10 100 1000 10000


Fra

ção

Ret

ida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,586

(*Moagem Estimada)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção

Ret

ida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,614

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção

Re

tid

a S

imp

les

[-]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,563

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

10 100 1000 10000


Fra

ção

Ret

ida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO


ICGT = 0,624

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

10 100 1000 10000


Fra

ção

Re

tida

Sim

ple

s [-

]

DOLOMITA QUARTZO

89

Para estabelecer um critério de comparação entre as diversas distribuições obtidas, utilizou-se

do cálculo do Indicador Contraste Granulométrico Total (IGCT), cuja equação é a seguinte:

∑=

−⋅=n

i

ii xxICGT1

215,0

Onde,

1ix : fração retida simples do mineral da espécie 1 na faixa granulométrica i;

2ix : fração retida simples do mineral da espécie 2 na faixa granulométrica i;

n: número de faixas granulométricas.

O valor do ICGT se localiza no intervalo [0,1] e seu significado físico equivale à fração das

áreas de não interseção entre as curvas que representam as distribuições das frações retidas

simples dos produtos da moagem. Isso significa que, quanto maior for o valor do ICGT,

menor será a área de interseção entre as curvas das distribuições granulométricas

consideradas.

Mediante os resultados obtidos, pôde-se chegar às seguintes conclusões:

1. O tempo de moagem correspondente à interseção das curvas representativas dos

fatores de agudezas foi observado como ótimo apenas para o padrão de mistura

T25D/75Q, dentro da amplitude de tempo testada. Portanto, rejeita-se a hipótese

levantada de que o instante de ocorrência da interseção das curvas representativas dos

fatores de agudezas corresponde ao tempo que determina a separação ótima entre as

espécies minerais.

2. O maior ICGT dentre os testes realizados ocorreu no padrão de mistura T50D/50Q no

ciclo de moagem de 30 minutos, cujo valor foi de 0,635. Esse valor indica que houve

interseção de, aproximadamente, 36,5% da área total entre as curvas.

3. O menor ICGT ocorreu no padrão de mistura T25D/75Q correspondendo ao ciclo de

moagem de 5 minutos, cujo valor foi de 0,35. Esse valor indica que houve interseção

de, aproximadamente, 65% da área total entre as curvas.

4. O ICGT se comportou, em geral, diretamente proporcional ao percentual do mineral

de maior moabilidade.

90

5. O ICGT se mostrou eficaz para estimar a área de não interseção entre as distribuições

dos produtos das moagens.

6. O ICGT não apresentou linearidade para nenhum dos padrões de mistura, como pode

ser visto pela Figura 32.

91

Evolução do ICGT

Mistura T25D/75Q

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo [minutos]

Co

ntr

aste

Gra

nu

lom

étri

co [-

]

Evolução do ICGT

Mistura T50D/50Q

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo [minutos]

Co

ntr

aste

Gra

nu

lom

étri

co [-

]

Evolução do ICGT

Mistura T75D/25Q

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo [minutos]

Co

ntr

aste

Gra

nu

lom

étri

co [-

]

Figura 32 – Evolução do indicador de contraste granulométrico total para os padrões de mistura T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/50Q.

92

Os resultados dos testes também revelaram diferenças entre moagem isolada do quartzo em

relação à sua moagem sob diferentes proporções de dolomita, onde nestas pôde-se perceber

uma sutil, porém, evidente inibição na produção de finos para os tempos de moagem de 15,

30, 50 e 75 minutos, conforme Ray & Szekely (1973) também averiguaram em seus

experimentos.

A Figura 33 mostra de forma clara que as curvas representativas do passante acumulado do

mineral quartzo nas moagens mistas estão todas ligeiramente deslocadas para a direita em

relação à curva do passante acumulado da sua moagem isolada, evidenciando moagem

ligeiramente mais grosseira na moagem mista. Na moagem executada para o ciclo de 5

minutos, não se verifica diferenças significativas entre as curvas.

Pôde-se analisar também que um maior percentual de dolomita (mineral de maior

moabilidade) na mistura determina uma maior inibição na produção de finos do quartzo.

Levanta-se a hipótese de que a compactação dos finos provenientes do mineral dolomita

diminui o efeito do impacto da carga de bolas sobre as partículas de quartzo (mineral de

menor moabilidade), resultando na diminuição da produção de novas áreas em comparação a

sua moagem isolada.

93

Figura 33 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao mineral quartzo

nas moagens mistas e a sua moagem isolada.

TEMPO DE MOAGEM: 5 MINUTOS

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA

QUARTZO PURO QUARTZO T25D/75Q

QUARTZO T50D/50Q QUARTZO T75D/25Q


0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA




0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA




0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA

QUARTZO PURO QUARTZO T25D75Q

QUARTZO T50D50Q QUARTZO T75D25Q


0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

10 100 1000 10000DIÂMETRO (MICROMETROS)

% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA



94

Com relação ao comportamento da moagem do mineral dolomita nas misturas, não se percebe

uma diferenciação significativa das curvas representativas dos seus percentuais passantes

acumulados em relação a sua moagem isolada, a não ser no tempo de moagem de 75 minutos,

no qual se percebe alguma diferenciação, porém não se identifica uma tendência explícita,

como mostra a Figura 34.

95

Figura 34 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao mineral dolomita

nas moagens mistas e a sua moagem isolada.


0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA

DOLOMITA PURA DOLOMITA T25Q/75Q

DOLOMITA T50D/50Q DOLOMITA T75D/25Q


0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA

DOLOMITA PURA DOLOMITA T25D/75Q



0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA

DOLOMITA PURA DOLOMITAT25D/75Q



0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA




0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

10 100 1000 10000


% P

AS

SA

NT

E A

CU

MU

LA

DA



96

Portanto, conclui-se que, segundo os ensaios de moagens mistas e isoladas realizados

utilizando os minerais dolomita e quartzo, em comparação à moagem isolada de cada mineral,

a moabilidade do quartzo diminuiu conforme se aumentou a proporção volumétrica do

mineral dolomita na mistura, sendo que, a moabilidade desta pouco foi influenciada pela

presença desse.

97

5.2 Resultados da Simulação de Moagem Mista utilizando Rede Neural Artificial

Tendo como base de dados os resultados dos ensaios de moagens mistas realizados, simulou-

se o comportamento granulométrico dos produtos cominuídos, utilizando para tanto da

ferramenta da área de conhecimento da IA, denominada RNA, descrita com detalhes no

capítulo 3.x deste trabalho.

A base de dados relativa à moagem mista utilizada foi dividida em duas partes: dados de

treinamento da rede e dados para teste da rede. Em outras palavras, a RNA utilizada foi

treinada com os dados de treinamento para se chegar a um nível de generalização que

permitiu obter boas respostas para o padrão apresentado na entrada. Tal generalização foi

averiguada em relação ao erro quadrático total obtido ao final de cada corrida. Ou seja,

teoricamente, quanto menor o erro, maior a adaptação da rede aos dados de treinamento.

Os conjuntos de dados, que representam um total de 18 padrões (15 conjuntos obtidos por

meio dos experimentos físicos e 3 conjuntos obtidos por estimativa) estão listados por meio

da Tabela 2. Os dados obtidos por meio de ensaios físicos foram utilizados como padrões para

treinamento da rede, enquanto que os dados estimados para os ciclos de tempo que

corresponderam à interseção das curvas representativas dos coeficientes de agudeza, para

cada padrão de mistura, foram utilizados como padrões para teste. A ordem de inserção dos

padrões para teste foi feita de forma aleatória, ou seja, não seguiu a ordem seqüencial de

obtenção, o que facilita o poder de generalização da RNA durante o processo de treinamento.

98

Tabela 2 – Conjuntos de dados utilizados como padrões para treinamentos e como padrões para testes da RNA. *Conjunto de dados estimados.

a D50 Padrão de

Mistura

Tempo de

moagem (min) Dolomita Quartzo Dolomita Quartzo

Classificação dos Dados

T25D/75Q 5 1,3625 1,7361 397 1010 TREINAMENTO T25D/75Q 15 1,3774 1,7659 174 808 TREINAMENTO

T25D/75Q 30 1,5776 1,8611 156 507 TREINAMENTO

T25D/75Q 50 1,7810 2,0406 142 397 TREINAMENTO

T25D/75Q 75 2,2669 2,4255 158 330 TREINAMENTO

T50D/50Q 5 1,0712 1,7424 382 1090 TREINAMENTO

T50D/50Q 15 1,4470 1,8145 200 860 TREINAMENTO

T50D/50Q 30 2,2180 1,8640 138 625 TREINAMENTO

T50D/50Q 50 2,4680 1,8101 112 449 TREINAMENTO

T50D/50Q 75 3,1389 2,2308 145 355 TREINAMENTO

T75D/25Q 5 1,0689 1,7967 364 1150 TREINAMENTO

T75D/25Q 15 1,3862 1,7100 195 839 TREINAMENTO

T75D/25Q 30 2,0301 1,8767 140 625 TREINAMENTO

T75D/25Q 50 2,4957 1,8168 124 412 TREINAMENTO

T75D/25Q 75 2,8430 2,1324 111 373 TREINAMENTO

*T25D/75Q 22 1,8154 1,8154 166 663 TESTE *T50D/50Q 23 1,8512 1,8512 170 735 TESTE *T75D/25Q 25 1,8244 1,8244 159 667 TESTE

Para fins de avaliação da adequação da ferramenta RNA para simulação, foram feitos diversos

testes preliminares para averiguação de parâmetros mais adequados para serem utilizados nas

simulações. Chegou-se à conclusão de que a definição do número de corridas igual a 5000,

com 5 neurônios na camada oculta opcional, apresentou-se adequada para a natureza e

características da simulação pretendida.

Os resultados gerados pela rede variaram de teste para teste, fato este ocasionado pela

utilização de números randômicos para definir os pesos sinápticos iniciais da rede, o que

incide diretamente na convergência do método de gradiente descendente.

Portanto, realizou-se um número de 30 simulações consecutivas para os parâmetros de

simulação definidos, a fim de obter dados para testar estatisticamente o desempenho do

processo de simulação. Utilizou-se, nesse caso, como critério de avaliação, o somatório dos

99

módulos dos erros dos parâmetros simulados, fator de agudeza e tamanho d50, conforme

apresentado na Tabela 3.

Tabela 3 – Resultados das 30 simulações realizadas para simulações utilizando 5 neurônios na camada oculta opcional e 5000 corridas.

ERRO TOTAL SIMULAÇÃO AGUDEZA [-] d50 [µm]

1 0,6359 187,95 2 0,7799 248,88 3 0,6331 133,88 4 0,7717 182,12 5 0,9176 232,48 6 0,8510 273,89 7 0,6750 266,66 8 0,7468 189,28 9 0,6493 131,39

10 0,5755 137,67 11 0,5755 137,67 12 0,5324 116,41 13 0,6006 108,66 14 1,1162 270,88 15 0,6698 136,33 16 0,7748 137,93 17 0,8711 323,28 18 0,6597 95,79 19 0,7295 283,23 20 0,7660 112,66 21 0,8662 225,45 22 0,6595 236,99 23 0,7016 167,41 24 0,5424 81,84 25 0,6111 135,43 26 0,5683 201,13 27 0,5527 213,11 28 0,8884 228,11 29 0,5636 95,23 30 0,5667 160,00

MÉDIA 0,7017 181,7247

Para avaliar os resultados da simulação, considerou-se a que a simulação funciona como um

processo produtivo, no qual os resultados obtidos por meio da simulação equivalem a medidas

de alguma característica da qualidade de um processo industrial.

100

Portanto, dentro desse raciocínio formado, foi possível avaliar a estabilidade estatística do

processo de simulação por meio de uma ferramenta da qualidade denominada carta de

controle, a qual determina, por meio do sistema 3σ, limites máximos dentro dos quais os

valores gerados pelo processo podem oscilar de forma aleatória em torno de uma linha

central, que representa a média para esses valores.

Devido ao fato dos erros relativos aos parâmetros simulados serem gerados em paralelo,

considera-se mais adequada a utilização da Carta de Controle de Shewhart para Medidas

Individuais. Segundo Montgomery (2004), os limites de controle para a ferramenta citada são

determinados pelos seguintes cálculos:

− Para o gráfico de controle das medidas individuais, tem-se:

2

3d

MRxLSC +=

Linha central = x

2

3d

MRxLIC −=

− Para o gráfico de controle das amplitudes móveis, tem-se:

MRDLSC 4=

Linha central = x

MRDLSC 3=

Onde:

RM = 1

||1

11

−

−∑−

=−

m

xxm

i

ii

;

LSC: limite superior de controle;

LIC: limite inferior de controle;

x : média dos valores individuais;

xi: valor individual da amostra i;

RM : média das amplitudes móveis;

m: número de amostras;

101

d2, D4 e D3: fatores de correção tabelados em função do tamanho da amostra. Para este caso,

onde tomar-se-á a amplitude média dos valores individuais de dois a dois, d2 = 1,128, D4 =

3,267 e D3 = 0.

Essa ferramenta estatística pode ser utilizada desde que alguns requisitos sejam cumpridos.

Esses requisitos exigem que a distribuição de probabilidades dos valores obtidos a partir do

processo (amostras) siga o padrão da Distribuição Normal. Para fazer essa avaliação, testou-se

a aderência dos conjuntos de dados à Distribuição Normal. Conforme mostra a Figura 35,

houve uma aderência satisfatória dos valores amostrados à Distribuição Normal. Para realizar

o teste, utilizou-se o software estatístico MiniTab ®, versão 15.

102

Figura 35 – Testes de aderência realizados para os valores dos erros totais gerados em relação aos parâmetros simulados com relação à Distribuição Normal.

Neste caso, optou-se por elaborar cartas de controle de Shewhart para medidas individuais

para avaliar o erro total dos coeficientes de agudezas e para avaliar o erro total dos tamanhos

d50. Cada carta de controle se compôs de dois gráficos, um para avaliação da locação da

média e outro para avaliação da dispersão dos valores. As cartas de controle são exibidas na

Figura 36, para avaliação do erro total dos tamanhos d50, e, na Figura 37, para avaliação do

erro total dos coeficientes de agudezas.

1,21,11,00,90,80,70,60,50,40,3

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Erro Total (a)

Percentual

Mean 0,7017

StDev 0,1381

N 30

AD 0,725

P-Value 0,052

Normal - 95% CI

Probabilidade para o Erro Total - Coeficiente de Agudez

4003002001000

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Erro Total D50

Percentual

Mean 181,7

StDev 65,49

N 30

AD 0,564

P-Value 0,132

Normal - 95% CI

Gráfico de Probabilidade para o Erro Total - Tamanho D50

103

Carta de Controle para Amplitude Móvel

Avaliação do Erro Total - Tamanho d 50

0

50

100

150

200

250

300

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

SIMULAÇÕES

ER

RO

TO

TA

LAmplitude Móvel LSC LM

Figura 36 - Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao tamanho d50, obtido no processo de simulação.

Carta de Controle para Medidas Individuais

Avaliação do Erro Total - Tamanho d 50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

SIMULAÇÕES

ER

RO

TO

TA

L

LSC LM Erro Total d50

104

Carta de Controle para a Amplitude Móvel

Avaliação do Erro Total Coeficiente de Agudeza

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

SIMULAÇÕES

ER

RO

TO

TA

LLSC LM Erro Total a

Carta de Controle para Valores Individuais


0,25000

0,35000

0,45000

0,55000

0,65000

0,75000

0,85000

0,95000

1,05000

1,15000

1,25000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

SIMULAÇÕES

Err

o T

ota

l

Erro Total (a) LSC LM LIC

Figura 37 – Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao coeficiente de agudeza, obtido no processo de simulação.

105

Observa-se que, segundo a carta de controle para o erro total dos tamanhos d50, o processo se

apresenta sob controle estatístico, apesar de apresentar uma alta dispersão dos valores

produzidos pelo processo, ou seja, o processo tende a gerar erros totais para essa variável em

torno da linha média (LM) dentro dos limites de controle estabelecidos, conferindo

previsibilidade.

Por outro lado, a cartas de controle para o erro total dos coeficientes de agudezas apresentam

pontos acima do limite superior de controle, tanto para o gráfico da média quanto para o

gráfico da dispersão. Nesse caso, houve instabilidade estatística no processo de simulação

referente às simulações correspondentes aos pontos fora de controle. Como medida usual

nesses casos, pode-se considerar que tais pontos representam uma exceção, uma vez que são

poucos e sua subtração no conjunto de dados não incidirá em grandes distorções, além de

diminuir a amplitude de variação entre os limites de controle.

As novas cartas de controle para o erro total dos tamanhos d50 e dos coeficientes de agudezas,

tendo-se excluídos os dados referentes às amostras correspondentes às amostras números 14,

17 e 19 são apresentadas por meio das Figuras 38 e 39, respectivamente.

106

Carta de Controle para Amplitude Móvel

Avaliação do Erro Total Tamanho d50

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 3 5 7 9 11 13 16 20 22 24 26 28

SIMULAÇÕES

ER

RO

TO

TA

L [m

icro

met

ros]

Amplitude Móvel LSC LM

Carta de Controle para Medidas Individuais

Avaliação do Erro Total Tamanho d 50

0

50

100

150

200

250

300

350

1 3 5 7 9 11 13 16 20 22 24 26 28 30

SIMULAÇÕES

ER

RO

TO

TA

L [m

icro

met

ros]

LSC LM LIC ETD50

Figura 38 – Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às simulações de números 14, 17 e 19, para o erro total dos tamanhos d50 simulados.

107

Carta de Controle para a Amplitude Móvel


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

1 3 5 7 9 11 13 16 20 22 24 26 28 30

SIMULAÇÕES

ER

RO

TO

TA

LLSC LM Erro Total a

Carta de Controle para Valores Individuais


0,25000

0,35000

0,45000

0,55000

0,65000

0,75000

0,85000

0,95000

1,05000

1 3 5 7 9 11 13 16 20 22 24 26 28 30

SIMULAÇÕES

Err

o T

ota

l

Erro Total (a) LSC LM LIC

Figura 39 - Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às simulações de números 14, 17 e 19, para o erro total dos coeficientes de agudezas d50 simulados.

Pôde-se ver que a cartas de controle recalculadas indicam estabilidade do processo de

simulação, ou seja, não há presença de pontos fora dos limites de controle e não se verifica

108

sinas de não aleatoriedade para os valores plotados. Isso indica previsibilidade para o e erro

total relativo, tanto para os tamanhos d50 quanto para aos coeficientes de agudezas do sistema

de simulação.

Para uso dos limites de controle calculados por meio das cartas de controle, na prática, os

mesmos devem funcionar como indicadores para aceitação ou rejeição dos valores de erros

gerados na determinação dos parâmetros simulados. Ou seja, ao final do processo de

simulação, o sistema deve comparar os erros gerados em relação aos parâmetros simulados,

caso tais erros estejam dentro da faixa de variação permitida pelos limites, aceita-se a

atualização dos pesos da simulação, caso contrário, repete-se a simulação até que a condição

para aceitação seja satisfeita.

Tendo-se como referência os valores dos erros totais gerados pelo processo de simulação para

os parâmetros avaliados, compararam-se os resultados das simulações realizadas com os

maiores e os menores erros totais para cada parâmetro em relação aos valores estimados. Os

resultados podem ser vistos por meio das Figuras 40 e 41, para os menores valores de erros

totais dos parâmetros coeficiente de agudeza e tamanho d50, respectivamente, e Figuras 42 e

43, para os maiores valores de erros totais dos parâmetros coeficiente de agudeza e tamanho

d50, respectivamente.

109

Comparação das Curvas de Distribuições da Fração Retida Simples

Produtos T25D/75Q-22

0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000

Tamanho Médio [micrometro]

Fra

ção R

etid

a S

imple

s

DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)

DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)



0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a S

imple

s





0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a S

imple

s



Figura 40 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da simulação de menor erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação número 12) com as curvas

das distribuições estimadas, para o mesmo tempo de moagem e padrão de mistura.

110



0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a S

imple

s





0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a S

imple

s





0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a Sim

ple

s



Figura 41 - Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da simulação de menor erro total relativo aos tamanhos d50 (simulação número 24) com as curvas das

distribuições estimadas para o mesmo tempo de moagem e padrão de mistura.

111



0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a Sim

ple

s





0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a S

imple

s



Comparação das Curvas de Distribuições da

Fração Retida Simples


0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a Sim

ple

s



Figura 42 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da

simulação de maior erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação número 5) com as curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo e padrão de mistura.

112

Figura 43 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da simulação de maior erro total relativo aos tamanhos d50 (simulação número 6) com as curvas das

distribuições estimadas para o mesmo tempo.



0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a S

imple

s





0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a Sim

ple

s





0

0,05

0,1

0,15

0,2

10 100 1000 10000


Fra

ção R

etid

a Sim

ple

s



113

Como forma de facilitar a comparação entre as distribuições obtidas por simulação em

relação às curvas obtidas por estimação, utilizou-se do indicador de contraste granulométrico,

como mostram as Figuras 44 e 45.

Comparação do Contraste Granulométrico Entre as Simulações de Menor e Maior Erro Total em Relação ao

Coeficiente de Agudeza

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

T25D/75Q-22 T50D/50Q-23 T75D/25Q-25

Co

ntr

aste

Gra

nu

lom

étri

co [

-]

DOLOMITA (menor erro) QUARTZO (menor erro)

DOLOMITA (maior erro) QUARTZO (maior erro)

Figura 44 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das simulações de menor e maior erro total em relação aos coeficientes de agudezas para os produtos das moagens dos três padrões

testados.

Comparação do Contraste Granulométrico Entre as Simulações de Menor e Maior Erro Total em Relação ao

Tamanho D50

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

T25D/75Q-22 T50D/50Q-23 T75D/25Q-25

Co

ntr

aste

Gra

nu

lom

étri

co [

-]

DOLOMITA (menor erro) QUARTZO (menor erro)

DOLOMITA (maior erro) QUARTZO (maior erro)

Figura 45 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das simulações de menor

e maior erro total em relação aos tamanhos d50 para os produtos da moagem dos padrões testados.

114

Através da análise dos últimos gráficos foi possível deduzir que, de modo geral, os menores

contrastes granulométricos ocorreram nas simulações que apresentaram o menor erro total,

como era de se esperar, tanto quando se prioriza o menor erro total das agudezas quanto

quando se prioriza o menor erro total dos tamanhos d50. Porém, os indicadores de contraste

granulométrico não apresentam, de modo geral, o mesmo comportamento para as duas

espécies minerais.

A partir da análise geral dos resultados, pode-se dizer que obtiveram-se boas aproximações

das distribuições cujos parâmetros foram obtidos por simulação, especialmente para o mineral

quartzo. Considerando-se que os padrões simulados possuíam características bem distintas aos

padrões de treinamento – que inclusive eram escassos – pode-se afirmar, sob uma ótica

otimista, que as experiências de simulação da moagem mista utilizando RNA PMC com

momento obtiveram um bom desempenho, indicando que essa ferramenta possui aplicações

para a simulação ligada à moagem de minérios, quando existirem padrões que possam ser

explorados com alguma precisão.

115

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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