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2º Simulado Comentado –

EEAR

Matemática

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Questões Resolvidas

Questão 49

Sabendo que Q é o ponto de encontro da reta 𝒔: 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟕 = 𝟎 com a reta r que é perpendicular à s e passa por P (1,1). Determine a distância entre os pontos P e Q.

a) 7√58

29

b) 5√58

29

c) 7√29

29

d) 5√29

29

Comentário:

𝑟: 𝑦 = −5

2𝑥 + 𝑐

Mas P (1,1) passa por r, então:

1 = −5

2+ 𝑐 ∴ 𝑐 =

7

2

Agora iremos determinar o ponto Q.

Basta encontrarmos o ponto de encontro de:

{2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 02𝑦 + 5𝑥 − 7 = 0

Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 5, obtemos:

29x – 21 = 0 ∴ 𝑥 = 21

29

E assim, 5𝑦 = 42

29+ 7 ∴ 𝑦 =

49

29

Portanto, a distância entre os pontos é de:

𝑑 = √(21

29)2 + (

49

29)2 = 7

√58

29

Gabarito: A

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Questão 50

Considere o sistema a seguir:

{𝑎 = 𝑥3 − 3𝑦2𝑥

𝑏 = 3𝑥2𝑦 − 𝑦3

Determine, o valor de x+yi em função de “a” e de “b”.

a) √𝑎 − 𝑏𝑖

b) √𝑎 + 𝑏𝑖

c) √𝑎 − 𝑏𝑖3

d) √𝑎 + 𝑏𝑖3

Comentário:

Perceba que ao fazermos a operação: a + bi, obtemos:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦𝑖 + 3𝑥(𝑦𝑖)2 + (𝑦𝑖)3

Ou seja, 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑥 + 𝑦𝑖)3

Portanto, 𝑥 + 𝑦𝑖 = √𝑎 + 𝑏𝑖3

Gabarito: D

Questão 51

Seja a = log3 2 e b = log3 100. Determine o resultado da expressão: (log 2)+2

log 3 em função de “a” e “b”.

a) 𝑎 ∙ 𝑏

b) 𝑎 − 𝑏

c) 𝑎 + 𝑏

d) 𝑎+2

𝑏

Comentário:

Perceba que a expressão possui os logaritmos na base 10, então devemos mudar a base dos

logaritmos existentes em “a” e em “b”.

Assim,

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𝑎 = log 2

log 3 𝑒 𝑏 =

2

log 3

Portanto, a expressão vale: a + b.

Gabarito: C

Questão 52

Calcule o determinante da matriz abaixo:

(

1 2 4 81 3 9 271 4 16 641 5 25 125

)

a) 2

b) 3

c) 6

d) 12

Comentário:

Perceba que a matriz é uma matriz de vandermonde, cujo determinante é facilmente calculado

com a diferença entre os termos, dois a dois, da segunda coluna. Assim,

Det = (3-2)(4-2)(4-3)(5-2)(5-3)(5-4) = 12

Gabarito: D

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Questão 53

Determine o conjunto solução da inequação a seguir:

3𝑥2 − 21𝑥 + 30

𝑥2 − 11𝑥 + 28 ≤ 0

a) {[2,4[ ∪ [5,7[ }

b) {(2,5)}

c) {(2,4) ∪ (7, ∞)}

d) {(−∞, 2) ∪ (4,5)}

Comentário:

Devemos resolver separadamente os componentes da inequação e depois fazer a união das

condições.

Assim,

3𝑥2 − 21𝑥 + 30 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 2 𝑒 5.

𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 5 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒

𝑝𝑎𝑟𝑎 2 < 𝑥 < 5 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜.

𝐴𝑖𝑛𝑑𝑎, 𝑥2 − 11𝑥 + 28 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 4 𝑒 7.

𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 7 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒

𝑝𝑎𝑟𝑎 4 < 𝑥 < 7 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜.

𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑎 𝑓𝑖𝑚 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑖ã𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠,

𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜: { [2,4[ } ∪ { [5,7] }

Gabarito: A

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Questão 54

Determine o valor do segmento BD, sabendo que o segmento AB vale 8 unidades de comprimento, o segmento AC vale 12 unidades de comprimento e o segmento BC vale 15 unidades de comprimento e que os ângulos assinalados em vermelho são iguais.

a) 4

b) 6

c) 9

d) 12

Comentário:

Utilizaremos o teorema da bissetriz interna. Assim,

Chame BD = x, então:

8

𝑥=

12

15 − 𝑥∴ 𝑥 = 6

Gabarito: B

Questão 55

Determine a quantidade de anagramas para a palavra REAÇÃO. Considere que o “ã” é diferente do “a”.

a) 120

b) 240

c) 360

d) 720

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7 20

Comentário:

Como há diferença entre o “ã” e o “a”, então devemos fazer a permutação como se todas as letras

fossem diferentes, então há 6! anagramas, ou seja, 720.

Gabarito: D

Questão 56

Determine o volume de um prisma hexagonal regular sabendo que sua altura é igual a raiz positiva da equação a seguir: 5𝑥2 − 13𝑥 − 6 = 0 e que o circulo inscrito ao hexágono da base possui diâmetro igual a 12.

a) 64√3

b) 90√3

c) 162√3

d) 256√3

Comentário:

A equação dada possui como raízes 3 e −2

5, assim o valor da altura do prisma é 3.

Como há um circulo inscrito ao hexágono da base, temos que o lado do hexágono é igual ao raio

da circunferência, pois os triângulos formados ligando os pontos do hexágono ao centro da

circunferência são todos equiláteros. Assim, o lado do hexágono é igual a 6.

Portanto, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura do prisma. A área da base pode

ser entendida como 6 triângulos equiláteros de lado igual a 6. De modo que:

𝑉 = 66∙6∙√3

4∙ 3 = 162√3

Gabarito: C

Questão 57

Sabendo que 𝑧3 = 1 e que 𝑧 ≠ 1. Determine o valor de: 𝑧 + 𝑧−1 + 𝑧2 + 𝑧−2.

a) 0

b) 1

c) -1

d) -2

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Comentário:

𝑧3 − 1 = (𝑧 − 1)(𝑧2 + 𝑧 + 1) = 0

Como 𝑧 ≠ 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0.

Assim, a expressão é dada por: 𝑧3+𝑧1+𝑧4+1

𝑧2=

2(𝑧+1)

𝑧2= 2

(−𝑧2)

𝑧2= −2

Gabarito: D

Questão 58

Seja um triângulo ABC tal que o segmento AB é igual a 12√3 unidades de comprimento e o segmento AC é igual a 12 unidades de comprimento, bem como o ângulo B é igual a 30°. Determine a área desse triângulo.

a) 144√3 𝑢. 𝑎.

b) 72√3 𝑢. 𝑎.

c) 48√3 𝑢. 𝑎.

d) 36√3 𝑢. 𝑎.

Comentário:

Seja BC = x

Aplicando lei dos cossenos temos que:

122 = (12√3)2 + 𝑥2 − 2𝑥 ∙ 12√3 cos 30°

Assim, obtemos:

𝑥2 − 36𝑥 + 288 = 0

De modo que, x = 24, pois x = 12 ocasionaria em um absurdo entre os ângulos e os lados do

triângulo.

Perceba então que temos um triângulo retângulo e que a área pode ser dada por:

𝑆 = 12 ∙ 12√3

2= 72√3

Gabarito: B

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Questão 59

Calcule o valor da expressão:

𝑆 = cos 10° ∙ cos 50° ∙ cos 70°

a) √3

8

b) 1

8

c) √2

8

d) √6

8

Comentário:

Perceba que temos um exemplo do resultado clássico:

cos 𝑥 cos(60 − 𝑥) cos(60 + 𝑥) =cos 3𝑥

4

É fácil perceber, pois:

cos(60 − 𝑥) = cos 60 cos 𝑥 + sin 60 sin 𝑥 = cos 𝑥

2+

√3 sin 𝑥

2

cos(60 + 𝑥) = cos 60 cos 𝑥 − sin 60 sin 𝑥 =cos 𝑥

2−

√3 sin 𝑥

2

Cujo produto tem como resultado: (cos 𝑥)2

4−

3(sin 𝑥)2

4=

(3−4 (cos 𝑥)2)

4

Ao multiplicar por cosx, obtemos no numerador exatamente o valor de cos3x.

Assim, o resultado esperado é: 𝑐𝑜𝑠30°

4=

√3

8

Gabarito: A

Questão 60

A respeito do sistema de equações a seguir, marque a alternativa correta.

{3𝑥 + 𝑎𝑦 = 5𝑥 + 2𝑦 = 𝑏

a) Se a = 6 e b = 5

2, então o sistema é impossível.

b) Se a = 6 e b = 5

2, então o sistema é possível e determinado.

c) Se a = 6 e b ≠5

2, então o sistema é possível e indeterminado.

d) Se a ≠ 6 e b ≠5

2, então o sistema é possível e determinado.

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Comentário:

A fim de analisar a classificação do sistema, devemos observar a matriz dos coeficientes:

D = (3 𝑎1 2

)

Se 𝑑𝑒𝑡𝐷 ≠ 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

Se detD = 0, temos um sistema impossível ou um sistema possível e indeterminado,

dependendo do valor de b.

Assim, para 𝑎 ≠ 6, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑆. 𝑃. 𝐷, o que torna a afirmativa D correta.

Gabarito: D

Questão 61

Seja tan (𝑥

2) =

1

3, defina o valor da expressão: sen²x –

16

25 tan²x:

a) 1

b) -1

c) 0

d) 2

Comentário:

sen x = 2sen (𝑥

2)cos(

𝑥

2) = 2[

𝑠𝑒𝑛(𝑥

2)

cos(𝑥

2)]×[cos²(

𝑥

2)] =

[2𝑡𝑎𝑛(𝑥

2)]

1+tan²(𝑥

2)

Substituindo o valor de tan(𝑥

2) na fórmula anterior e na equação do arco duplo da tangente,

temos que sen x = 3

5 e tan x =

3

4.

Logo o valor da expressão é (3

5)² - (

16

25)∙ (

3

4)2 = 0.

Gabarito: C

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Questão 62

Na figura a seguir, A, B, C, D e E são pontos da circunferência, com o segmento PA tangente à circunferência. Sabe-se que P, E e C estão alinhados, bem como os pontos D, O e B. Determine o

valor da operação 𝑥

𝑦.

a) 3

2

b)3

c) 9

2

d) 9

Comentário:

Das propriedades das secantes e tangentes aos círculos, temos que:

PA² = PE × PC ↔ (2√6)² = 3 × (x+3) ↔ x = 5

Ainda por essas propriedades, temos:

EO × OC = DO × OB ↔ 5 × 3 = y × 27 ↔ y = 5

9

Portanto: 𝑥

𝑦=

55

9

= 9

Gabarito: D

Questão 63

Sendo f(x) = x² + 8x – 1 e g(x) = x - 3 funções definidas no conjunto dos reais, determine os valores de b e c, respectivamente, de modo que f(g(x)) = x²-bx +c.

a) -2 e -16

b) 2 e -16

c) -2 e 16

d) 2 e 16

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Comentário:

f(g(x)) = (x-3)² +8(x-3) – 1 ↔ f(g(x)) = x² + 2x -16 ; mas f(g(x)) = x² - bx + c.

Logo, por assimilação de coeficientes, temos que b = -2 e c = -16.

Gabarito: A

Questão 64

Em uma determinada urna, são inseridas 13 bolas numeradas de 1 a 13. Sabendo disso, determine qual dos casos a seguir apresenta maior probabilidade de ocorrência, quando uma das bolas é retirada da urna.

a) número primo par

b) número primo

c) múltiplo de 5

d) múltiplo de 3

Comentário:

a) números primos pares = {2} ↔ P(a) = 1

13

b) números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13} ↔ P(b) = 6

13 (Maior probabilidade)

c) múltiplos de 5 = {5, 10} ↔ P(c) = 2

13

d) múltiplos de 3 = {3, 6, 9, 12} ↔ P(d) = 4

13

Gabarito: B

Questão 65

Se 4𝑎 + 18, 30 𝑒 6𝑎 − 30 são as três medidas, em unidades de comprimento, dos lados de um triângulo, assinale a alternativa que apresenta intervalo com todos os valores que 𝑎 pode assumir:

a) ]15, 32[

b) ]42

10, 39[

c) ]9, 39[

d) ]9, 16[

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Comentários

Se essas são as medidas dos lados de um triângulo, então a desigualdade triangular nos garante que qualquer lado é menor que a soma dos outros dois:

4𝑎 + 18 < 30 + 6𝑎 − 30 ⇒ 6𝑎 − 4𝑎 > 18 ⇒ 2𝑎 > 18 ⇒ 𝑎 >18

2⇒ 𝑎 > 9

30 < 4𝑎 + 18 + 6𝑎 − 30 ⇒ 6𝑎 + 4𝑎 > 30 + 30 − 18 ⇒ 10𝑎 > 42 ⇒ 𝑎 >42

10⇒ 𝑎 > 4,2

6𝑎 − 30 < 30 + 4𝑎 + 18 ⇒ 6𝑎 − 4𝑎 < 30 + 30 + 18 ⇒ 2𝑎 < 78 ⇒ 𝑎 < 39

Assim, fazendo a interseção dos intervalos de 𝑎 emoldurados acima, o intervalo permitido de 𝑎 é:

9 < 𝑎 < 39 = ]9, 39[

Gabarito: C

Questão 66

Um triângulo isósceles de base 5cm e perímetro 18cm mede ______ cm² de área.

a) 15

b) 21

c) 18

d) 24

Comentários

O triângulo é isósceles de base 5, o que significa que os dois outros lados medem o mesmo valor, que iremos chamar de 𝑥. Portanto, pelo perímetro dado:

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 18 = 5 + 2𝑥 ⇒ 2𝑥 = 18 − 5 = 13 ⇒ 𝑥 =13

2

Portanto, fazendo o desenho desse triângulo isósceles, e traçando a sua altura, sabemos que toca no ponto médio da base, por ser um triângulo simétrico, como mostra a figura:

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Portanto, podemos achar a altura 𝐵𝐻 relativa à base 𝐴𝐶 do triângulo usando o teorema de Pitágoras em 𝐴𝐵𝐻 (ou em 𝐵𝐻𝐶):

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2 ⇒ (13

2)

2

= (5

2)

2

+ 𝐴𝐻2

⇒ 𝐴𝐻2 =169

4−

25

4=

144

4⇒ 𝐴𝐻 = √

144

4=

12

2= 6

Portanto, a base mede 𝐴𝐶 = 5 e a altura mede 𝐵𝐻 = 6. Portanto, sua área é:

Á𝑟𝑒𝑎 =𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐻

2=

5 ⋅ 6

2= 15 𝑐𝑚²

Gabarito: A.

Questão 67

Seja um triângulo equilátero de apótema medindo 3√3 cm. A área do círculo cujo raio é igual ao lado desse triângulo é:

a) 144𝜋

b) 81𝜋

c) 324𝜋

d) 256𝜋

Comentários

Sabemos que o apótema é o segmento que parte do centro do triângulo equilátero e vai até o ponto médio de um lado do triângulo, sendo perpendicular a esse lado. O centro do triângulo é também incentro (encontro das bissetrizes) e, portanto, podemos construir a seguinte figura:

Veja que 𝑂𝐴 é bissetriz, por isso divide o ângulo interno ∠𝐵𝐴𝐶 = 60° em dois ângulos iguais a 30°. Sendo assim, no triângulo 𝑂𝐴𝐻:

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15 20

tan 30° =3√3

𝐿2

=6√3

𝐿⇒ tan 30° , =

6√3

𝐿

⇒ tan 30° =√3

3=

6√3

𝐿⇒ 𝐿 = 18

Assim, o lado do triângulo mede 18 cm. Assim a área do círculo de raio igual a 18 é:

Á𝑟𝑒𝑎𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋182 = 324𝜋

Gabarito: C

Questão 68

O conjunto solução em 𝑥 para a inequação:

1

4< sin2 𝑥 <

3

4

Para 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, é:

a) ]−√3

4, −

1

2[ ∪ ]

1

√2,

√3

2[

b) ]−√3

2, −

1

4[ ∪ ]

√2

2,

√3

2[

c) ]−√3

2, −

1

√2[ ∪ ]

1

2,

√3

4[

d) ]−√3

2, −

1

2[ ∪ ]

1

2,

√3

2[

Comentários

Resolvendo a inequação da esquerda:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 >1

4⇒ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −

1

4> 0 ⇒ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

1

2) (𝑠𝑒𝑛 𝑥 +

1

2) > 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −

1

2 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑥 >

1

2

Pois os termos do produto acima precisam ser ambos de mesmos sinais. Daí:

⇒ −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −1

2 𝑜𝑢

1

2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 1

Resolvendo a inequação da direita:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 <3

4⇒ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −

3

4< 0 ⇒ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

√3

2) (𝑠𝑒𝑛 𝑥 +

√3

2) < 0

⇒ −√3

2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 <

√3

2

Pois o produto dos termos entre parênteses tem que ser negativo e, por isso, eles precisam ter sinais diferentes.

Como as desigualdades da direita e da esquerda precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo:

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16 20

−√3

2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −

1

2 𝑜𝑢

1

2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 <

√3

2

Escrevendo em notação de união de intervalos:

]−√3

2, −

1

2[ ∪ ]

1

2,√3

2[

Gabarito: D

Questão 69

Uma pirâmide regular de base hexagonal tem altura de 6 cm e volume igual a 18 cm³. Sabendo que uma esfera possui um raio de mesma medida que a base hexagonal da pirâmide, então a área total da superfície dessa esfera é:

a) 8√3𝜋

b) 4√3𝜋

c) 6√3𝜋

d) 2√3𝜋

Comentários

O volume de uma pirâmide é dado por:

𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =1

3⋅ Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Sendo que, nesse caso, a base é um hexágono regular e a altura é dada, mede 6cm. Sabemos que um hexágono regular (polígono de 6 lados iguais e ângulos internos iguais) é composto por 6 triângulos equiláteros de mesmo lado que o hexágono. A área de um triângulo equilátero de lado 𝐿 é:

Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜=

𝐿2√3

4

Portanto, a área do hexágono regular será 6 vezes essa área acima:

Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 = 6 ⋅ Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜=

6𝐿2√3

4=

3𝐿2√3

2

Portanto, como o volume é dado, temos:

𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =1

3⋅ Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ⇒ 18 =

1

3⋅

3𝐿2√3

2⋅ 6 ⇒ 𝐿2√3 = 6 ⇒ 𝐿2 = 2√3

⇒ 𝐿 = √2√3

Assim, sabendo que a área de uma esfera é dada por:

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17 20

Á𝑟𝑒𝑎𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑅2

Como 𝑅 = 𝐿, então 𝑅2 = 𝐿2 = 2√3. Portanto:

Á𝑟𝑒𝑎𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑅2 = 4𝜋2√3 = 8√3𝜋

Gabarito: A

Questão 70

Considere 𝑥 um arco do 2º quadrante e que a cotangente de 𝑥 é 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 e a cossecante de 𝑥 é

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥. Se sen 𝑥 =√6−√2

4, então o valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 2 sen 2𝑥 é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

Comentários

O enunciado fala que 𝑥 pertence ao segundo quadrante. Isso significa que suas coordenadas no círculo trigonométrico (cos 𝑥 , sem 𝑥) são de abcissa (cos x) negativa e ordenada (sen x) positiva. Calculando o valor de cos 𝑥:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 ⇒ (√6 − √2

4)

2

+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − (√6 − √2

4)

2

= 1 − ((√6

4)

2

− 2 (√6

4) (

√2

4) + (

√2

4)

2

)

⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 −6

16−

2

16+

4√3

16=

8

16+

4√3

16⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

4 + 2√3

8=

1 + 2√3 + 3

8

⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =12 + 2√3 + (√3)2

8=

(1 + √3)2

(2√2)2 ⇒ cos 𝑥 = ±

1 + √3

2√2

Entretanto, como 𝑥 pertence ao segundo quadrante, então cos 𝑥 < 0:

cos 𝑥 = −1 + √3

2√2= −

√6 + √2

4

Queremos agora calcular a expressão 𝐸 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 2 sen 2𝑥. Sabemos que os dois primeiros termos fazem parte de uma das equações principais da trigonometria:

𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 ⇒ 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ

Portanto, a expressão fica:

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18 20

𝐸 = 1 + 2 sen 2𝑥

Sabemos que sen 2𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥, portanto:

𝐸 = 1 + 4 sen 𝑥 cos 𝑥

Substituindo os valores de sen 𝑥 𝑒 cos 𝑥:

𝐸 = 1 + 4 ⋅ (√6 − √2

4) ⋅ − (

√6 + √2

4)

Observe que a multiplicação dos termos em parênteses é do tipo (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏². Logo:

𝐸 = 1 −4 ((√6)

2− (√2)

2)

16= 1 −

4(6 − 2)

16= 1 −

4 ⋅ 4

16= 1 − 1 = 0

Gabarito: A

Questão 71

Ao somar sen 315° com cos 780°, obtém-se:

a) 1−√2

4

b) 1−√2

2

c) 2−√3

2

d) 2−√2

2

Comentários

Veja que o arco de 315° não passou de 360° (1 volta completa). Assim, veja:

315° = 270° + 45°

Portanto, esse arco pertence ao quarto quadrante. Vejamos ele no círculo trigonométrico:

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19 20

Portanto, vemos que 315° é o ângulo em vermelho. Queremos trabalhar com o sen 315° que, é a ordenada do ponto 𝑃 no círculo trigonométrico. Assim, pela imagem vemos que:

𝑠𝑒𝑛 315° = − cos 45° = −√2

2

Agora, analisando o arco de 780°, vemos que ele é maior que duas voltas completas de 360°:

780° = 360° + 360° + 60°

Assim, sua representação no círculo trigonométrico seria, obviamente no arco de 60°. Portanto:

cos 780° = cos 60° =1

2

Assim, a expressão pedida é:

𝑠𝑒𝑛 315° + cos 780° = −√2

2+

1

2=

1 − √2

2

Gabarito: B

Questão 72

Da figura, sabe-se que 𝑂𝐵 = 4 é raio do semicírculo de centro 𝑂 de diâmetro 𝐴𝐶. Se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, determine a razão entre a área hachurada e a área do triângulo 𝑂𝐵𝐶, em unidades de área. Considere 𝜋 = 3,14.

a) 2,26

b) 2,14

c) 1,14

d) 0,86

Comentários

A área hachurada é igual a área total do semicírculo subtraída da área do triângulo isósceles 𝐴𝐵𝐶.

Como 𝐴𝐵𝐶 é isósceles, a projeção do ponto 𝐵 na base 𝐴𝐶 (altura do triângulo) toca no ponto médio da base 𝐴𝐶 (ponto 𝑂). Assim, o segmento 𝐵𝑂 = 4 (raio do semicírculo) é também altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶. Lembrando que 𝐴𝐶 é o diâmetro e, por isso, 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 4, a imagem fica:

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20 20

Portanto, a área hachurada é:

Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑎𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 =𝜋𝑟2

2−

𝐴𝐶 ⋅ 𝑂𝐵

2=

𝜋42

2−

8 ⋅ 4

2= 8𝜋 − 16

A área do triângulo 𝐵𝑂𝐶 é:

Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑂𝐶 =𝑂𝐶 ⋅ 𝑂𝐵

2=

4 ⋅ 4

2= 8

Assim, a razão pedida é:

𝑟 =Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑎𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎

Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑂𝐶

=8𝜋 − 16

8= 𝜋 − 2 = 3,14 − 2 = 1,14

Gabarito: C