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COMENT ARIOS

, NOTA SOBRE "APLICACION APROXIMADADE LAS TEORlAS EMPIRICAS"

Juan Carlos Garcia-Bermejo OchoaUniversidad Autónoma de Madrid

En el artículo "Approximate Application of EmpiricalTheories: AGeneralExplication",delqueestanota no pretendesermás que un brevecomentario,C.UlisesMoulinesabordala incorpo-ración del concepto de aproximación(intrateórica) a losesquemasde reconstrucción lógica de teorías y nociones relacionadasde lalínea Suppes-Sneed.Su propuesta fundamental al respecto consis-te en aplicar el concepto topológico de espacio uniforme al con-junto de los modelos posibles de una teoría, Mp.l Lo que le llevaseguidamenteal análisisde cómo queda reflejadaesa aplicaciónenel conjunto de los modelos parcialesposibles,Mpp,ya que en suspropias palabras: "Nuestras expectativasintuitivasnos llevana su-poner que debe haber algunarelaciónentre una uniformidad2 so-bre Mp y una uniformidad correspondiente en Mpp, o en térmi-nos más intuitivos: la aproximaciónen el nivelde Mpse realizaenfunción de la aproximación en el nivel de Mpp".3 Moulinesre-suelve este análisis mediante un teorema en el que se estableceque toda 'estructura uniforme definida sobre Mp que satisfagacierta propiedad adicional, induce una estructura uniforme sobreMpp que es la restricción no-teórica de aquélla.4Pudiendo así pa-sar a explorar en la sección final del trabajo la formulaciónen tér-minos aproximativos de la afirmación empírica central de unateoría.

Para nuestra discusión convendrá detallar algunas de lasdefmicionesintroducidas por el autor.

(DI) Ú es una estructura uniforme o uniformidad sobre Mp,syss,

. 79

-- - --- -

80

(D2)

(D3)

(D4)

(TI)

Nota sobre Aplicación aproximada de teorias empiricas

(1) VI *Ú e B (Mp x Mp).(2) 1\U1 , U2 (U1 € Ú 1\ U1 e U2 ~ U2 € Ú).(3) 1\U1 , U2 {U1 € Ú 1\ U2 € Ú ~ U1 n U2 € Ú).(4) 1\ U (U € U ~ b.(Mp) e U).5(5) 1\ U (U € Ú ~ U-I € Ú).6(6) 1\ UI ,VU2 (UI € Ú ~ U~ e UI 1\ U2 € Ú).7

Ú es una unifonnidad empírica sobre Mp, syss,

(1) Ú es una unifonnidad sobre Mp,

(2) I\U,xI,x2 ,x3«x¡,x2) € U 1\r(x1)=r(x3)~(x3 ,x2)€U).8

Rs(UD =: {(y ,y') I Vx,x'(y= r(x) 1\y' = r(x') = <x,x') € Ui)}.

B(Ú) =:{ VI VU(U € Ú 1\ V =Rs(U))}.

A partir de estas defmiciones Moulines demuestra:

Si Ú es una unifonnidad empírica sobre Mp,B(U) es una unifonnidad (empírica) sobre Mpp.9

************

El problema que presenta (TI) es la restrictividad de lacondición (D2)-(2) que en él figura como premisa.

Una primera medida de esa restrictividad nos la da elhecho de que si Ú es una unifonnidad sobre Mp y la clase de losU que satisfacen(D2){2) es también una uniformidad, esta segun-da será siempremenos fina que Ú.10

(DS) Em(U¡) =: {<Xl,x2) IVX3,x4(r(X3)= r(xl) 1\ r(x4) =r(x2) 1\ <X3,x4) € Ui)}.

(D6) C(U) =: {G/ VU(U € Ú 1\ G =Em(U))}.

Puesbien,

(T2) Si Ú y <i(Ú)son uniformidadessobre Mp,G(U) es menos fma que Ú,y si Ú no es empírica,

--

Nota sobre Aplicación aproximada de teorías empíricas 81 ,entonces d(0) es estrictamente menos fma que 0.11

Asimismo, postular de una uniformidad sobre Mp quesea empírica, es garantizar que induce una uniformidad no teó-rica. Pero es también restringir su poder discriminadoro su capa-cidad informativa a la de esa uniformidad no teórica inducida porella. Pues la traducción de esa uniformidad no teórica a Mpcoin-cidirá con la uniformidad original.

(D7)

(D8)

F(V) =: {{x,x'}/ Vy,y'(y = r(x) /\ y' = r(x') /\ (y,y') € V)}.

F(B(Ú)) =: {F / VV (V € 13(0) /\ F =F(V)}.

Es fácil ver que:

(T3) Si Ú es una subclase de B(Mp x Mp) que satisface (D2)-(2), entonces Ú =F(B(O) ).12

En realidad el recurso a (D2)-(2) equivale en la práctica apostular la biunivocidad de r:

(T4) Si O es una uniformidad empírica sobre Mp que consta deal menos dos relaciones distintas, U 1=U',entonces r es una función biunívoca.13

Nótese que si Ú no contuviera dos relacionesdiferencia-das, perdería todo sentido el problema de reconstruir la nociónde aproximación. No podríamos hablar de grados de aproxima-ción, ni, en consecuencia, establecer ningún tipo de comparacio-nes salvo una: todo modelo posible se aproximaría a cualquierotro en igualmedida que a sí mismo.

Así pues, para todo caso de algún interés por mínimo queéste sea, la estipulación de (D2)-(2) conllevala biunivocidadder, o 10que es 10mismo, la completa y directa traducibilidadentreMp y Mpp.14 Por lo que sólo resuelve el problema para cuyasolución se introduce, cuando éste resulta trivialy prácticamenteinexistente, cuando da 10mismo defmir una uniformidad en Mpoen Mpp. Y lo que es más importante, eso 10consigueentrando en

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82 Nota sobreAplicaciónaproximadade teorías empíricas

contradicción con el diseño conceptual de esos dos conjuntos,diseño del que es rasgo esencial la caracterización de r comocorrespondenciameramente unívoca, no biunívoca.15

*************

Formalmente hay un camino sencillopara escaparde estasconsecuencias.Sea 1 la relaciónentre dos modelosposiblescon lamismarestricciónno teórica, es decir,

1 es una relación de equivalenciay entre el conjunto cocienteMp/I y Mpp existe una correspondenciabiunívoca aunque r no losea. Si suponemos definida una uniformidad sobre Mp/I en lugarde sobre Mp, queda inducida una uniformidad sobre Mppsin ne-cesidad de recurrir a condicionesadicionalesy, por tanto, sin con-secuenciasno deseables.Pero es dudoso que el planteamiento seaaceptable por razones análogasa las indicadas en relación con elrecurso a (D2){2). El procedimiento equivale a restringir la re-construcción a uniformidadesdefinidassobre Mpp, esto es, a rela-ciones de aproximación caracterizadas exclusivamente en térmi-nos de los componentes no teóricos de los modelos posibles deuna teoría. Y si bien la aplicaciónempírica de ésta es el contextodecisivo para la noción de aproximación y la idea de aplicaciónaproximada encuentra su expresión natural en Mpp, con ello nose agota el problema. Como el mismoMoulinespone de manifies-to16 ni es la aplicación de una teoría el único contexto en el quecobra sentido la comparación aproximativaentre los modelos po-sibles de aquélla, ni, por consiguente, las únicas comparacionesareconstruir son las definidas exclusivamentemediante los compo-nentes de los modelos parcialesposibles.

Esta idea de los diferentes usos y contextos asociadosconla noción de aproximación da pie a un planteamiento alternativoy aparentemente de más fácil resolución. Pues bien pudiera ocu-rrir que en la práctica se utilizaran diversos tipos o criterios de

~.,I

Nota sobreAP~~n aproximllda;;::~ empiricas~.,,":~8'"

aproximación relacionados cada uno de ellos con esos diversoscontextos. Y así a la hora de reconstruidos, más que partir deuna única uniformidad originaria defmida sobre Mp o Mpp, seajustaría más a los hechos suponer la coexistencia autónoma deuna uniformidad sobre Mp y otra sobre Mpp. Con 10que el pro-blema dejaría de ser si una uniformidad dada sobreMpinduceotrasobre Mpp o a la inversa. Sino si defmida una uniformidad sobreMp, Ú , y otra sobre Mpp V , las relacionesque se generan entreambas permiten trasvasar a una los criterios, convencioneso deci-siones adoptadas en términos de la otra. Y especialmente,si con-venidos unos criterios de aproximación aceptable en términos deV, se puede decidir de cualquier relación de Ú si los cumple o no.

A este respecto es cierto que para todo U e Ú hay un VI eV tal que Rs(U) e VI. 17 Es más, si no hay un V que coincidacon Rs(U) y V es suficientementefma,podemosaproximarnosaRs(U) en términos de V tanto como queramos.18Sin embargo,este planteamiento termina por tropezar con dificultades análo-gas a las que obligaban a Moulinesa recurrir a (D2)-(2), ya quesiendo U2 e Ú una relación tal que U; e U, no sabemos si Rs(U2)2 e Rs (U), por lo que no queda garantizado que Rs (U2)2e V1 como sería de desear.

Volvemos por tanto al planteamiento inicial. Se trata debuscar una condición para las unifornúdades teóricas más acepta-ble que (D2)-(2) e igualmente capaz de asegurarla existencia deuniformidades inducidas por ellas en Mpp.19 Una condición tales la siguiente:

(C1) AU,xl,x2,x3(U eÚ A <x1,x2)eU A r(x2)=r(x3)~

Vx4(r(X4)= r(xl) A <X4,x3) € U)).20

La lectura intuitiva de la condición es clara. Se postulasimplemente que si dos modelos parcialesposibles tienen sendasextensiones teóricas que guardan entre sí una cierta relación deaproximación, entonces para toda extensión teórica de uno deellos es posible construir una extensión del otro que guarde conaquéllala mismarelación.21

La pregunta es ahora si (Cl) no resulta también demasia-

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- - - - ___o __ - ~ ----

84 Nota sobreAplicación aproximadade teoríasempíricas

do restrictiva.De un lado es inmediato que si bien toda uniformidad em-

pírica cumple (C1), la afirmación inversa no es cierta. De otro,(C1) no impone la biunivocidadde r como lo hacía (D2){2).

y en cuanto a la amplitud con que los conjuntos unifor-mes de modelos posibles satisfaganla condición propuesta, no esfácil obtener resultados generalespor la gama tan vasta y diversade casos a cubrir. Es decir, por las mismasrazones que dificultanla defmición de "matriz para una teoría" a la vez generale infor-mativa sobre la naturaleza y requisitos de los componentes de susn-tuplos miembros, defmiciónde la que hay que partir en nuestroproblema.22 Pero las ideas que han inspirado las formulacionesde esa defmición, y la caracterización del conjunto de modelosposibles de una teoría como una matriz, permiten estimar que(C1) se cumplirá de ordinario. Pues la única condición impuesta alos componentes teóricos de los modelos posibles para formaréstos una matriz, se refiere a su mera categorizaciónmatemática,sin que se requiera su compatibilidad con los procedimientos decálculoo las restriccionesimpuestaspor las leyes de la teoría de laque se trate.23 Así, para que (C1) se cumpla bastará con la solaposibilidad lógica de extender teóricamente los modelos parcialesposibles afectados por ella mediante el diseño de conjuntos, rela-ciones, funciones, etc., con los element~s, pares o valoresdeseados.

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f Nota sobre Aplicación aproximada de teorías empíricas 85

NOTAS .

1 Al igual que Moulines y por las mismas razones (vide (2) p. 226.nota 11), no haremos referencia al replanteamiento propuesto por Sneeden (4) salvo indicación expresa.

2 Moulines utiliza como sinónimos "uniformidad tt y "estructura uni-forme tt.

3(2). p. 215.

4(2). pp. 219-20.

5 Para cualquier conjunto X por ~ (X) entenderemos su diagonal, es-to es, ~ (X) =:{( x,x) ¡ xe x}.

6 Si R es una relación diádica. por R-1 entenderemos su conversa.

7 Si R es una relación diádica, R2 ={(x,y) ¡ Vz «x.z)e R A.(z,y)e R)}.

8 r es la función de restricción de Mp sobre Mpp. (Vide (3) pp. 165-6,0(4) p. 124. o (5) p. 109).

9(2), pp. 219-20.

10 Si lI1 Y"U2 son dos estruct'!ras uniformes sobre un mismo conjun-to. se d~ce que U1 es más fina qU"eU2 s~empre y cuando to~o U que perte-nece a U 2 pertenece también a U l' Si U1 es m~ fina que U2 y distinta deella. se dice que es estrictamente más fina que U 2. (Vide (1), cap. II, p.7).

11 "Dadas (D5) y (D6), (D1}-(2) asegura que todo G pertenece a U. De

otra parte. es evidente que si U no es empírica, será distinta a G(U).12 " A A A

Demostremos primero que toda U pertenece a F(B(U». Si U esempírica, en virtud de (D3) y (D4) para toda Ui e D. Ui =:{(x,x') ¡Vy.y'(y = r(x) A. y'=r(x') A. (y,y') e Rs(UJ:: Yi}' perteneciendo Vi a B(U).Luego por (D7) y (D8), Ui ~er!e~ece a F(B(U».

y a la inversa. Si F. e F(B(U», por (D7) y (D8) hay un V y un U talesque V =~(U), Y Fi =: {tx,x') ¡ Vy ,y'(y =r(x) A.y' =r(x ') A.(y .y')e Rs(U)}.Luego si U es empírica, dada (D3) Fi =U.

13 Demostremos en primer lugar el lema siguiente:

(Ll) VXll).U,x2 (U e U~ (xl,x2) e U) ~ !\U,U1 (U e D A.U1 e U ~ U =U1)'

Sea (x,x') cualquier par perteneciente a U. Por el antecedente del lema h~y

u~ x.1 tal que (x¡,x) e Ul. (Xlox') € Ul. Por (Dl)-(6) hay un U2 e U,U2 ~ Ul. Por el ~ntecedente de (L1). (x¡,x') e U2. Por (Dl)-(5) l (Dl)-(3). U2 () U21 e U. Por el antec1edente de (Ll) (x 1.;ci e U2 () U-2.y porco!!siguiente, (X.xl) e U2 () U2. Luego (x,x') e U2 <; Ul' Por tanto,uC U 1. De la misma manera puede demostrarse que U1CU. Luego U =U1.

Corolario inmediato de (Ll) es:

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86 Nota sobreAplicación aproximadade teorías empíricas

(L2) VU,Ul (U E UA Ul E UA u:b Ul) ~/\Xl VU,X2 (U E U

A (x 1,X2) , U).

Pasemos ahora a la demostración del teorema:

(T4) Si a) Ues una uniformidad empírica sobre Mp,

y b) VU, U1 (U E UA U1 E U A U 1=U1)'entonces, r es biunívoca.

Supóngase que r no es biunívoca, esto es, hay un x 1 y un x? tales que.xI =i= x2 y r(xl) =r(x2)' Por (L2) hay un x3 tal que para alguna U<X1,x3);: U. Si ~2,x3> E U, U no sería empírica. Luego (x2'x~ f U. Sea U' =U U (x l,x3)' Por (D1)-(2) U' E U . Pero (X2,X3> ; U'. Luego U no es em-p írica.

14C

. b.'d l . t 1 .

omo es patente, SI r es lUnIVOCa a o mismo pos u ar una Uni-formidad en Mp o en Mpp.

15 Como el mismo Moulines subraya en (2), pp. 217-8. Véanse tam-bién las referencias de la nota 22.

16(2), pp. 204-5.

17 AYa que por (Dl)-(2), Rs{U) U V E V para toda V y toda U.

18 Ya sabemos por la nota anterior que para toda U hay una V 1 talque Rs(U) e V l' Pues bien, si no hay ninguna V =Rs(U) y para toda Vtal que Rs(U) e V hay una V' CV, entonces para toda U y toda V1 talesque Rs(U) CV 1hay una V tal que Rs(U) CV 011' En efecto, si Rs(U) 01:V'= V. Si Rs(U) t. V', Rs(U) U V' =V.

19 Por descontado, si esto se consigue el problema indicado en el pá-rrafo anterior queda resuelto, puesto que para toda U y toda V tales queRs(U) <; V, se garantizará que Rs(U 2)2 ~ V. Mas, 8(U) U Vserá una uni-formidad sobre Mpp.

20 Como Moulines recurre a (D2)-(2) sólo en relación con (Dl)-(6),bastará con demostrar que si U es una uniformidad que satisface (Cl), en-

tonces pa..ra toda Rs(U), Rs(U2)2 CRs(U), siendo ui una relación pertene-

ciente a U tal que U~ <; U Y que por (Dl)-(6) sabemos que existe. Por ~D3)y (D1)-(6) Rs(U~) <; Rs(U). Demostremos, por tanto, que Rs(U2) eRs(U~). Sea( y¡,yj un par perteneciente a Rs(U2)2. Por definición hay unY3 tal que (Yl'Y3> E Rs(U2),(Y3,Y2) E Rs(U2)' Por (D3) hay un xl, un

x2, un x3 y un x4 tales que(x¡,xJ>E U2 y(X4,XVE U2,siendo y¡ =r(xl),Y2 = r(x2), Y3 = r(x3), r(x3) = r(x4)' Si x3 =x4, (X¡'X2>E U~ Y\ Yl,yj ERs(u~). Supóngase por tanto que x3 r x4. Por (Cl) habrá un x5, r(xl) =r(xS), tal que (XS,X,1 E U2' Luego <XS,x2) E U~ y (y 1,Y2) E Rs(U~).

21 Para ilustrado de manera extremadamente simple, ref'uámonos amodelos posibles de la miniatura de teoría utilizada por Sneed y Stegmalleren sus exposiciones «3) p. 11 Y 17, (S) p. 38). Supongamos además, que Dpuede constar de un solo individuo. Dos posibles modelos de esa teoría se- I

~

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fI

i

Nota sobreAplicaciónaproximadade teoríasempíricas 87 1

rían los triplos xI =(a,1 ,2) Y x2 =(b,3,S), en los que a y b son constantespara dos individuos distintos, y los valores numéricos son los valores asig-nados a esos individuos para n y t respectivamente. Entre estos dos mode-los posibles podemos establecer una relación de aproximación como la ex-presada por It2 - tll < 4. Como la única limitación impuesta a los segun-dos y terceros componentes de triplos como los especificados para que és-tos constituyan modelos posibles de esa teoría, es que sean funciones rea-les, y dada nuestra hipótesis sobre D, x3 = (b,3,20) es también un modeloposible, y r(x3)= r(x2)' Lo que (CI) postula es que podamos construir untriplo tal como x4 =(a,1 ,17). Nótese que esa posibilidad existe. Se trata dela sola existencia de un número real que guarde la relación antes expuestacon 20. (Sobre el hecho de que lo único involucrado por (CI) es una cues-tión de mera existencia matemática, véase el párrafo final de este trabajo ylas referencias de las dos notas siguientes).

22 Vide (3) pp. 162-4, (5) pp. 108-9, Y(4) p. 123.

23 Como queda especialmente claro en (4), p. 123. Véase también (2)p.208.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

(1) BOURBAKI, N.: Topologie Generale. París: Hermann 1974.

(2) MOULINES, C.U.: "Approximate Application of Empirical Theories:A General Explication". Erkenntnis 10, n.2, Julio de 1976.

(3) SNEED, J.D.: The Logical Structure of Mathematical Physics. Dor-drecht: D. Reidel 1971.

(4) SNEED, J.D.: Problemas filosóficos en la ciencia empz'rica de la ciencia:Una aproximación formal. "Cuadernos Teorema" n. 39.

(5) STEGMÜLLER, W.: The Structure and Dynamics of Theories. NuevaYork: Springer Verlag 1976.

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