Colégio Equipe de Juiz de Fora-MG - Turma 2º Série /Prof ......2- Sabendo-se que um cilindro...

Turma 2º Série /Prof: Jaime Barizon

Educação para vida !

6 – Cilindro

Definição: É o sólido de revolução obtido pela rotação de um retângulo em torno de um eixo fixo.

Atribuições

I- Paralelogramo abcd é a seção meridiana.

II. Altura (h) distância entre os planos que contém os círculos.

IV. AL = área lateral = 2Rh

V. AB = área da base = R2 VI. AT = área total = 2Rh + 2R2 ST = 2R ( R + h)

VII. Volume (V) V = AB.h = R2h.

Sua palnificação:

6.1. - Cilindro Reto Definição: É aquele em que as geratrizes são perpendiculares ao plano da base.

O retângulo ABCD é dito seção meridiana

Obs: Cilindro equilátero: é um cilindro reto cuja seção meridiana é um quadrado ou seja h =2R.

B A

D C

A B

D C

h

2R

R



Exercícios

1- Calcule o raio da base e a altura de um cilindro equilátero de 16m3 de volume.

2- Sabendo-se que um cilindro possui 8cm de comprimento da circunferência da base e 10cm de altura. Calcule o seu

volume.

3- A secção meridiana de um cilindro de altura 5 cm é 30 cm2. Qual a superfície lateral desse cilindro?

4- Considere dois canos, A e B, de PVC, cada um com 10 metros de comprimento, A possuindo r = 5cm de raio, e B, R = 15cm. O cano A é colocado no interior de B de forma que os centros coincidam, conforme a figura, e o espaço entre ambos é preenchido com concreto.

Considerando PI = 3,14,

a) calcule a área de uma das superfícies de concreto expostas, em cm2, quando um corte perpendicular ao comprimento do cano for feito;

b) encontre o volume de concreto, em m3, para preencher toda a extensão de 10 metros entre os dois canos.

5- Considere um cilindro circular reto de altura xcm e raio da base igual a ycm.

Usando a aproximação PI = 3, determine x e y nos seguintes casos:

a) o volume do cilindro é 243cm3 e a altura é igual ao triplo do raio;

b) a área da superfície lateral do cilindro é 450cm2 e a altura tem 10cm a mais que o raio.

6-O diretor de um clube deseja construir um poço, com formato cilíndrico, de 10,0 m de profundidade e diâmetro interior igual a 1,0 m. Se a parede desse poço for construída com alvenaria na espessura de 0,2 m, o volume desta alvenaria será

igual a:

a) 2,4 PI m3 b) 5,6 PI m3 c) 6,5 PI m3 d) 7,0 PI m3 e) 8,0 PI m3

7-Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Sua superfície lateral mede:

a) 6 π cm² d) 15 π cm²

b) 9 π cm² e) 16 πcm²

c) 12 πcm²

8-Quantos litros comporta, aproximadamente, uma caixa d’água cilíndrica com 2 metros de diâmetro e 70 cm

de altura?

a) 1.250 d) 3.140

b) 2.200 e) 3.700

c) 2.450

9- Quantos mililitros de tinta podem ser acondicionados no reservatório cilíndrico de uma caneta esferográfica,

sabendo que seu diâmetro é 2 mm e seu comprimento é 12 cm?

a) 0,3768 d) 37,68

b) 3,768 e) 0,003768

c) 0,03768

10-Para encher um reservatório de água que tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas.

Se o raio da base é 3 m e a altura 10 m, o reservatório recebe água à razão de:

a) 18 π m³ por hora. b) 30 π m³ por hora. c) 6 π m³ por hora.

d) 20 π m³ por hora. e) 10 π m³ por hora.



11-Um copo cilíndrico tem 18 cm da altura, raio de base 2 cm e metade de seu volume ocupado por uma bebi-da. Colocando-

se no copo uma pedra de gelo com a forma de um cubo de 2 cm de aresta e ficando o gelo completamente submerso, de quanto subirá o nível da bebida? Considere π= 3,14

12- Uma artesã construiu quatro caixas com, aproximadamente, a mesma capacidade (1 litro) e com as seguintes formas e dimensões:

A caixa que necessita de menor quantidade de papel-fantasia para cobri-la é a que tem a forma de

a) cilindro.

b) cubo.

c) paralelepípedo.

d) prisma triangular regular.

13- Pretende-se construir um cubo e um cilindro de mesma altura. Sabendo-se que o contorno da base de cada sólido tem comprimento igual a 4 π cm, é correto afirmar que:

a) os dois sólidos têm o mesmo volume.

b) o volume do cubo é maior que o volume do cilindro.

c) os dados do problema são insuficientes para se chegar a uma conclusão.

d) o volume do cilindro é maior que o volume do cubo. 14- Um tanque, com a forma de um cilindro circular reto, tem 2,40 m de altura e raio da base igual a 2 m, estando com a base apoiada num plano horizontal. Ao longo de uma geratriz (vertical), de baixo para cima, esse tanque possui três torneiras iguais, espaçadas de 60 cm, como mostra a figura a seguir. Cada torneira proporciona uma vazão de 20 π litros

por minutos. Estando completamente cheio de água e abrindo-se as três torneiras, o tempo necessário para o esgotamento

completo do tanque será de:

15- Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura 6, têm para perímetro de suas bases 6 e 4, respectivamente. Se V1é o

volume do primeiro e V2 o volume do segundo, então: a) V1= V2 d) 2V1= 3V2



b) V1= 2V2 e) 2V1= V2 c) V1= 3V2

16- Inclinando-se em 45° um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio da base 3,6 cm, derrama-se parte do líquido que

completava totalmente o copo, conforme indica a figura.

Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de:

a) 48% d) 24% b) 36% e) 18% c) 28% 17- Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras.

Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m³, é igual a: a) 2(14 + 2π) d) 2(21 – π) b) 2(14 + π) e) 2(21 – 2π)

c) 2(14 – π) 18- Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios 41 m e 45 m. A profundidade da vala é constante e igual a 3 m. O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de 1,5 m e altura igual a 8 m.

Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala.

19- Para se proteger da dengue, Marta resolveu encher com areia, até a borda, o prato de aparar a água que escorre do

seu vaso de planta. Para calcular o volume de areia de que iria necessitar, Marta considerou que tanto o prato como o vaso eram cilíndricos, como esquematizados na figura a seguir. Ela mediu a altura h do prato, encontrando 4 cm, e os diâmetros das bases, encontrando 22 cm para o prato e 20 cm para o vaso.

O volume de areia, em litros, de que Marta necessita para encher o prato é, aproximadamente: a) 0,3 d) 1,2

b) 0,6 e) 1,5

c) 0,8



20 - Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por

a) 16. b) 12. c) 8. d) 4. e) 4 PI.

21- Um cilindro circular reto tem volume igual a 250 cm3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à distância de

x cm desse eixo, determina uma seção retangular de área igual a 60 cm2. Se a medida da altura do cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x é igual a

a) 2

9

b) 4 c) 32 d) 4

13

e) 10

22- Um cilindro oblíquo tem raio das bases igual a 1, altura 2 3 e está inclinado de um ângulo de 60° (ver figura). O plano beta é perpendicular às bases do cilindro, passando por seus centros. Se P e A são os pontos representados na figura, calcule PA.

23- Um produto (creme de leite) pode ser embalado em dois tipos de latas, A e B, ambas com formato de cilindro reto. Suas

características são:

Tipo A: raio da base 8cm e altura 2cm,

Tipo B: altura igual ao diâmetro da base.

As duas latas devem ter o mesmo volume. Uma delas gasta de material na sua construção, x% a mais em relação à outra.

O valor de x é aproximadamente igual a:

a) 33,4 b) 44,5 c) 66,7 d) 55,6 e) 77,8

24- Um retângulo de medidas 3cm e 4cm faz uma rotação completa em torno de seu lado maior, conforme a ilustração. Adotando PI = 3,14,

a) encontre a área total da figura gerada;

b) encontre o volume da figura gerada.

25- Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo.

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é



a) 2 b) 7. c) 7

3

d) 8. e)

8

3

26- Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel

retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será

a) o triplo.

b) o dobro.

c) igual.

d) a metade.

e) a terce parte.

27- Uma empresa usa, para um determinado produto, as embalagens fechadas da figura, confeccionadas com o mesmo

material, que custa R$ 0,10 o cm2. Supondo = 3, a diferença entre os custos das embalagens A e B é de

a) R$9,00

b) R$7,00

c) R$10,00

d) R$8,00

e) R$0,00

28- Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado ao lado.

Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se:

a) VA = 2VB

b) VB = 2VA

c) VA = VB

d) VA = 4VB



e) VB = 4VA

29- Uma tora de madeira, em forma de um cilindro circular reto, com 4m de altura e 2m de diâmetro, foi serrada, formando

uma secção plana ABCD, conforme ilustra a figura ao lado. Se AB e CD são, respectivamente, diâmetros das bases inferior e superior, a área da região ABCD, em m2, é igual a:

a) 6

b) 8

c) 10

d) 20

e) 40

30- A capacidade aproximada de um aterro sanitário com a forma apresentada na figura a seguir é:

a) 1135 m3

b) 1800 m3

c) 2187 m3

d) 2742 m3

e) 3768 m3

31- A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com

uma base no solo, e de um semicilindro. Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 10cm, o volume do bloco de concreto, em cm3, é

a) 11000 . b) 10000 . c) 5500 . d) 5000 . e) 1100 .



32- Considerando-se C1 , C2 , C3 , ... cilindros com o mesmo volume, de modo que os respectivos raios das bases, medidos

em centímetros, formem uma progressão geométrica com o primeiro termo e razão iguais a 5 , é correto afirmar:

01. O número real 561 5 é o termo de ordem 122 da seqüência dos raios.

02. O termo geral da seqüência dos raios pode ser escrito como rk = 52

k

04. Considerando-se apenas os termos de ordem par da seqüência dos raios, obtém-se uma

progressão geométrica de razão 5, em que todos os termos são números inteiros positivos.

08. A seqüência formada pelas alturas dos cilindros é uma progressão geométrica de razão 5

1

.

16. Sendo o volume dos cilindros igual a PI 20 cm3 , a área total do primeiro cilindro, expressa em cm2, é um número

menor que 42.

33- Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume.

A ilustração que melhor representa a distribuição na vara é:

34- A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone

no interior de um cilindro.

Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é:

a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 15 cm



35- Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo apóie-se sobre um suporte circular feito de chocolate que, por sua vez, encontra-se sobre uma mesa de madeira de tampo retangular, cujas dimensões são 0,90 m de comprimento, 0,80 m de

largura e 0,02 m de espessura. Assim, a parte dura que o Cebolinha mordeu diz respeito apenas a um pedaço do tampo da mesa.

Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma regular triangular, cuja aresta da base mede 6 cm, o volume

de madeira do pedaço equivale a que porcentagem do volume do tampo da mesa? (Use 3 = 1,7.)

a) 0,2125% b) 0,425% c) 2,125% d) 4,25% e) 21,25%

36- Um empresário paraense, querendo aproveitar o estoque de caixas de papelão existente no almoxarifado, contratou uma empresa para produzir embalagens cilíndricas de tal forma que cada caixa contivesse 12 unidades do produto, conforme secção reta abaixo. Sabendo-se que a altura das caixas de papelão é de 30 cm e que a altura das embalagens deve coincidir com a altura dessas caixas, pergunta-se: a) Qual o raio da embalagem cilíndrica a ser produzida? b) Qual o volume da embalagem cilíndrica a ser produzida?

37- Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base é igual à área de uma seção por um plano que contém o eixo do cilindro,

tal como a seção ABCD na figura abaixo.

O volume desse cilindro é de:

a)

250 cm3

b)

500 cm3

c)

625 cm3

d)

125 cm3

38-Um vazamento, em um navio-tanque, provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em

metros, pela relação r(t) = 5

t.



Adotando = 3, o volume, em m3, de óleo vazado, após 4 minutos do início do vazamento, é:

a) 0,014

b) 0,016 c) 0,08 d) 0,02 e) 0,012 39- (ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo

com uma prática dessas regiões: I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de: a) 30% b) 22%

c) 15%

d) 12% e) 5% 40- O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (2;8), B = (4;8), C = (4;0) e D = (2;0).

Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é: a) 24 π d) 48 π b) 32 π e) 96 π c) 36 π

Gabaritos: 1-4 m 2-160cm3

3-30 cm2.

4- a) 628cm2

b) 0,628m3

5- a) x = 9 e y = 3

b) x = 15 e y = 5

6- A

7- C

8-B



9-A

10-A

11-0,64 cm

12-A

13-D

14-D

15- D

16-D

17-E

18-58

19-A

20-A

21-B

22- PA = 14

Resolução:

Da figura, calcula-se a geratriz, encontrando-se o valor 4. O que se busca é a diagonal do prisma oblíquo da figura abaixo.

Pela lei dos cossenos, obtém-se o valor do segmento azul, que é 13 . Com o teorema de Pitágoras, obtém-se a hipotenusa

PA, que é 14 .

23-C

24- a) 131,88cm2

b) 113,04cm3

25-B

26-B

27-D

28- A

Pode-se calcular os raios em função de a e calcular os volumes, para depois compará-los; ou pode-se perceber que o raio é proporcional ao comprimento da circunferência da base, enquanto o volume é proporcional ao quadrado do raio e proporcional à altura. Assim, o volume é proporcional ao quadrado da circunferência da base

e proporcional à altura, de forma que duplicar a circunferência da base acarreta em quadruplicar o volume, enquanto duplicar a altura acarreta em duplicar o volume.

29-B

30-D

31-A

32-14

33-

Considere um corte vertical nesse cilindro, por onde passa a vara de medição, de modo a obter um círculo. A vara ocupa um diâmetro. As graduações têm de ser simétricas em relação ao centro desse círculo. Considerando

ainda o centro do círculo como referência, as distâncias entre as graduações vão aumentando.



34- Sejam VA a capacidade total de azeite e VV a capacidade total de vinagre, em centímetros cúbicos. De acordo com a finura a altura do cone é (h – 5) cm e os raios das bases do cilindro e do cone medem 5 cm.

Assim, de acordo com o enunciado, temos:

3

5h225

3

125h505h5

3

1h5VVV

22

conecilA

3

5h255h5

3

1V

2

V

cm10h30h325h55h25

5h

5h25

3

5h25

3

5h225

V

V

V

A

35- Sejam VT e VP, respectivamente, os volumes do tampo da mesa e do pedaço de madeira, em centímetros cúbicos. Supondo que o tampo da mesa tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo, temos: a) VT = 90 . 80 . 2 = 14 400

b) VP = 4

362

. 2 = 9 . 1,72 = 30,6

Assim, o volume de madeira do pedaço equivale a 40014

6,30 = 0,002125 = 0,2125% do volume do tampo da mesa.

36- a) Cada embalagem cilíndrica terá 0,8 : 4 = 0,6 : 3 = 0,2 m de diâmetro, portanto, 0,1 m = 10 cm de raio. b) Vcil = . r2 . h = . 102 . 30 = 3 000 cm3 = 0,003 m3

37- 3

2

2

2

cm500

5.100

.5.10

V

10r5.r2rSS

cil

ABCDB

38- Após 4 minutos do início do vazamento, o raio da mancha será:

m4,05

44r

Adotando = 3, o volume de óleo vazado é o de um cilindro de raio da base 0,4 m e altura 2,5 cm = 0,025 m.

Portanto, Vóleo = . (0,4)2 . 0,025 = 0,012 m3

39- Sendo V o volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito de raio r e V’ o volume do tronco, calculado de acordo com essa prática regional, tem-se: V = r2h

V’ = 4

hr'Vh.

4

r2.

4

r2 22

Diferença entre as medidas: V - V’ = r2h - 4

4hr

4

hr 222

40- E

Colégio Equipe de Juiz de Fora-MG - Turma 2º Série /Prof ......2- Sabendo-se que um cilindro...

Documents

Transcript of Colégio Equipe de Juiz de Fora-MG - Turma 2º Série /Prof ......2- Sabendo-se que um cilindro...