Colecção de Problemas de Electromagnetismo e Óptica · Segue-se um conjunto de exercícios...

Colecção de Problemas de

Electromagnetismo e ÓpticaIntrodução teórica, problemas resolvidos e problemas propostos com soluções

Mestrado em Engenharia Electrotécnica e Computadores (MEEC)

Fernando Carvalho Barão, Luís Filipe MendesDepartamento de Física do Instituto Superior Técnico

Versão: Abril/2013

Preâmbulo

Esta colectânea de problemas resulta da experiência dos autores na docência da disciplina de Electro-magnetismo e Óptica no mestrado integrado de Electrotecnia e Computadores, no Instituto SuperiorTécnico ao longo de vários anos. O conjunto de problemas aqui apresentado, beneficiou do traba-lho de inúmeros colegas, quer pela contribuição directa para a disciplina em causa, quer pela viade problemas herdados. A todos devotamos os nossos agradecimentos. Adicionalmente, destaca-mos também a contribuição dos alunos para esta colectânea de problemas, quer pelo apontar deincorrecções ou incongruências quer pelo estímulo que nos foi dado para a sua execução.

A colectânea de problemas encontra-se dividida em vários capítulos. Nestes, faz-se uma breveintrodução teórica que pretende resumir a matéria necessária à resolução dos problemas propostos.Segue-se um conjunto de exercícios resolvidos que pretende ser um guia da metodologia a seguir naresolução dos exercícios propostos. Por último, todos os problemas apresentados possuem soluções.

Este documento encontra-se ainda a ser trabalhado, nomeadamente no que respeita às intro-duções teóricas de alguns dos capítulos. No entanto e apesar de provisório, achámos útil a suadisponibilização aos alunos. Resta o desejo de que ele cumpra os objectivos de permitir uma melhorassimilação dos conteúdos ensinados na disciplina de Electromagnetismo e Óptica.

Lisboa, 16 de Dezembro de 2009

Fernando Carvalho BarãoLuís Filipe Mendes

Índice

Constantes Físicas 1

Formulário Matemático 3

Formulário de Electromagnetismo e Óptica 5

1 Electrostática 71.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Distribuição discreta de carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2 Distribuição contínua de carga eléctrica num fio . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Distribuição contínua de carga eléctrica num plano infinito . . . . . . . . 241.2.4 Condutores em equilíbrio electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.5 Campo eléctrico num dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.6 Condensador plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.7 Associação de condensadores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.8 Condensador cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.4 Soluções dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Corrente eléctrica 492.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Velocidade de deriva dos electrões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.2 Resistência de um condutor cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.3 Adição de resistências em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.4 Adição de resistências em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.5 Corrente eléctrica numa coroa esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Magnetostatica 633.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1 Força entre dois fios rectilíneos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Motor de corrente contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.3 Campo magnético dentro e fora de um fio infinito . . . . . . . . . . . . 733.2.4 Campo magnético numa bobine infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.5 Cabeça de gravação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Partículas e campos 814.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1 Partículas aceleradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Condutor em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.3 Efeito de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Campo Magnético Variável 915.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2 Resoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Circuitos eléctricos 1016.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.2 Resoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7 Equações de Maxwell e ondas electromagnéticas 1097.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2 Resoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 Óptica 1178.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.4 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Constantes Físicas

massa do electrão me 9, 10 × 10−31 kg

massa do protão mp 1, 67 × 10−27 kg

carga elementar e 1, 6 × 10−19 C

permitividade eléctrica do vácuo 14πε0

9 × 109 N.m2.C−2

permitividade magnética do vácuo µ0

4π10

−7 N.A−2

constante de Planck h 6, 6 × 10−34 J.s

número de Avogadro NA 6, 022 × 1023

velocidade da luz no vácuo c 3 × 108 m.s−1

Formulário matemático

Formulário de Matemática para Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013)

Algumas Primitivas

∫

dx

(x2 + b)3/2=

1

b

x√

x2 + b

∫

xdx

(x2 + b)3/2= − 1

√

x2 + b∫

xdx√

x2 + b=

√

x2 + b

∫

dx√

x2 + b= ln

(

x +√

x2 + b)

∫

dx

x(x + a)=

1

aln(

x

x + a)

Para o cálculo analítico de integrais pode ser consultado o endereço web: http://integrals.wolfram.com

Coordenadas cartesianas (x, y, z)

d~ℓ = dx ~ux + dy ~uy + dz ~uz

dS = dx dy

dV = dx dy dz

~∇F =

(

∂F

∂x,∂F

∂y,∂F

∂z

)

~∇ · ~A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

~∇ × ~A =

(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

× (Ax, Ay, Az)

Coordenadas polares (r, θ)

d~ℓ = dr ~ur + r dθ ~uθ

dS = r dr dθ

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

d~ℓ = dr ~ur + r dθ ~uθ + dz ~uz

dV = r dr dθ dz

~∇F =

(

∂F

∂r,1

r

∂F

∂θ,∂F

∂z

)

~∇ · ~A =1

r

∂(r Ar)

∂r+

1

r

∂Aθ

∂θ+

∂Az

∂z

~∇ × ~A =

(

1

r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z

)

~ur +

(

∂Ar

∂z− ∂Az

∂r

)

~uθ +

(

1

r

∂(r Aθ)

∂r− 1

r

∂Ar

∂θ

)

~uz

Coordenadas esféricas (r, θ, φ)

d~ℓ = dr ~ur + r dθ ~uθ + r senθ dφ ~uφ

dV = r2 dr senθ dθ dφ

~∇F =

(

∂F

∂r,1

r

∂F

∂θ,

1

rsenθ

∂F

∂φ

)

~∇ · ~A =1

r2

∂

∂r

(

r2Ar)

+1

rsenθ

∂

∂θ(senθAθ) +

1

rsenθ

∂

∂φ

(

Aφ

)

~∇ × ~A =

[

1

rsenθ

∂(senθAφ)

∂θ− ∂(senθAθ)

∂φ

]

~ur +1

r

[

1

senθ

∂Ar

∂φ− ∂(rAφ)

∂r

]

~uθ +1

r

[

∂(rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ

]

~uφ

Teorema da Divergência∫

V

~∇ · ~A dV =

∮

S

~A · ~n dS

3

Teorema da Stokes

∫

S

~∇ × ~A · d~S =

∮

Γ

~A · d~ℓ

Identidades vectoriais

~∇ · ( ~A × ~B) = ~B · (~∇ × ~A) − ~A · (~∇ × ~B)

~∇ · (~∇ × ~A) = 0

~∇ × (~∇ × ~A) = ~∇(~∇ · ~A) − ∇2 ~A

F.Barao, L.F.Mendes Dep. de Física, IST

4

Formulário de Electromagnetismo eÓptica

Formulário de Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013)

5

Electrostática

• ~E =1

4πε0

q

r2~ur

• 1

4πε0= 9 × 109N.m2.C−2

•∮

Γ

~E · d~ℓ = 0

∇ × ~E = 0

•∮

S

~D · ~n dS =

∫

Vρliv dv

~∇ · ~D = ρliv

•∮

S

~P · ~n dS = −∫

Vρpoldv

ρpol = −~∇ · ~P

σpol = ~P · ~next

• φP =

∫ Ref

P

~E · d~ℓ

~E = −~∇φ

• ~D = ~P + ε0 ~E

~D = ε0(1 + χE)~E = ε ~E

• Q = CV

• UE =

[

1

2

]

∑

i

qi φi

• uE =1

2εE2

UE =

∫

VuEdv

• ~Fs = ±dUE

ds~us

Corrente eléctrica estacionária

• ~J = Nq~v

• ~J = σc ~E

• I =

∫

S

~J · ~n dS

• p = ~J · ~E

•∮

S

~J · ~n dS = − d

dt

∫

Vρdv

~∇ · ~J = −dρ

dt

Magnetostática

• ~B =

∫

Γ

µ0

4π

Id~ℓ × ~ur

r2

µ0

4π= 10−7H/m

• d~F = Id~ℓ × ~B

•∮

S

~B · ~n dS = 0

~∇ · ~B = 0

•∮

Γ

~H · d~ℓ =

∫

S

~J · ~n dS

~∇ × ~H = ~J

• ~B = µ0( ~M + ~H)

~B = µ0(1 + χm) ~H = µ ~H

•∮

Γ

~M · d~ℓ =

∫

S

~JM · ~n dS

~JM = ~∇ × ~M

~J′

M = ~M × ~next

Interacção de partículas e campos

• ~F = q(

~E + ~v × ~B)

Campos variáveis e indução

•∮

Γ

~E · d~ℓ = − d

dt

∫

S

~B · ~n dS

~∇ × ~E = −∂ ~B

∂t

• Φi = LiIi + MijIj

• UM =

[

1

2

]

∑

i

ΦiIi

• uM =1

2

B2

µ

UM =

∫

VuMdv

• ~Fs = ±dUM

ds~us

•∮

Γ

~H · d~ℓ =

∫

S

~J · ~n dS +d

dt

∫

S

~D · ~n dS

~∇ × ~H = ~J +∂ ~D

∂tOndas electromagnéticas

• ~S = ~E × ~H

• ~n =~κ

κ=

~E

E×

~B

B

• E

B= v

• v =1

√εµ

• u = uE + uM

• I =⟨

~S · ~n⟩

Óptica

• n1senθ1 = n2senθ2

• tgθB =n2

n1

interferência entre fendas

• dsenθmax = mλ

• dsenθmin = mλ +λ

m′(m

′ ≤ N e par)

difracção

• asenθmin = mλ

F.Barao, L.F.Mendes Dep. de Física, IST

6

Capítulo 1

Capítulo 1

Electrostática

1.1 Introdução

A interacção electromagnética, uma das quatro interacções fundamentais da Na-tureza, está associada à presença de cargas eléctricas. A existência de interacçõestraduz-se no aparecimento de forças a actuar os corpos. As quatro forças são a forçagravítica, que rege o movimentos dos planetas por exemplo, a força fraca, respon-sável pelas desintegrações radioactivas, a força electromagnética, que é dominanteao nível atómico (ligações químicas) e a força forte, responsável pela coesão dosnúcleos onde existem protões a repelir-se electromagneticamente.

Interacções

Tal como foi experimentalmente constatado por Coulomb em 1784, a força entreduas cargas eléctricas Q1 e Q2 separadas por uma distância r é proporcional aoproduto das cargas Q1 Q2, inversamente proporcional ao quadrado da distância r2

e a sua direcção encontra-se ao longo da linha que une as duas cargas:

~F =1

4πε0

Q1 Q2

r2~ur =

1

4πε0

Q1 Q2

r3~r (1.1)

O vector ~r aponta da carga Q1 para a carga Q2 no caso de se querer aforça aplicada pela carga 1 sobre a 2, ou vice-versa no caso contrário. Ofactor 1

4πε0aparece devido ao sistema SI de unidades escolhido (MKSA),

onde a carga se expressa em Coulomb (C) e a distância em metros (m).

Esta lei experimental é a lei fundamental da electrostática no sentido em queas outras leis são dela derivadas.

Lei de Coulomb

A constante ε0 é conhecida como constante dieléctrica ou permitividade dovácuo. O seu valor poderia ser determinado a partir da medição da força entreduas cargas pontuais colocadas a uma distância conhecida, mas isso não é prático.Podemos mais facilmente fazer a sua determinação experimental a partir da medidada capacidade de um condensador, como se verá mais adiante.

ε0 = 8, 8542× 10−12 [F.m−1]

4πε0 ≃ 1

9× 109[F.m−1]

Permitividade eléctrica

F.Barão, L.F.Mendes Electromagnetismo e Óptica (MEEC-IST) 7

Capítulo 1

Quando existem mais que duas cargas, a força total sentida por uma das cargas Qresulta da soma vectorial das forças aplicadas por cada uma das cargas existentes àsua volta Qi (princípio da sobreposição):

~F = ~F1 + ~F2 + ~F3 + · · · = 1

4πε0

Q Q1

r21

~ur1 +1

4πε0

Q Q2

r22

~ur2 + · · ·

= Q∑

i

1

4πε0

Qi

r2i

~uri (1.2)

Princípio da Sobreposição

É útil passar da ideia de força eléctrica entre cargas para a noção de campo eléctricoproduzido por cargas. Admitamos que uma carga de teste estacionária Q0 colocadanuma dada região do espaço sente uma força ~F (aqui o facto da carga estar emrepouso é importante porque evita a existência da força magnética como se verámais adiante). Pode-se então afirmar que nessa região do espaço existe um campoeléctrico definido por:

~E =~F

Q0

[V.m−1] ≡ [N.C−1] (1.3)

As cargas eléctricas são pois as responsáveis pela existência do campo eléctrico. Ocampo eléctrico produzido por uma carga Q1 situada à distância r da carga de teste,é então dado por:

~E1 =1

4πε0

Q1

r2~ur (1.4)

Um conjunto de cargas pontuais Q1,Q2, · · · ,Qi colocadas à distânciar1, r2, · · · , ri de um ponto P produzirão o seguinte campo eléctrico, obtido apartir do princípio da sobreposição:

~E =1

4πε0

(Q1

r21

~ur1 +Q2

r22

~ur2 + · · ·)

=1

4πε0

∑

i

Qi

r2i

~uri (1.5)

Campo Eléctrico

A visualização do campo elétrico pode ser feita recorrendo a uma representaçãográfica com linhas de campo, inventada por Faraday. Estas linhas são desenhadasde forma a que em cada ponto o campo eléctrico seja tangente à linha de campo.São também chamadas linhas de força uma vez que uma carga de teste colocadanuma linha de campo, sentirá uma força também tangente à linha. A representaçãográfica do campo eléctrico permite-nos ter quer uma visão da magnitude do campo,através da densidade de linhas de campo, quer uma visão da sua direcção, atravésda orientação das linhas. As linhas aproximam-se em regiões de campo mais intensoe afastam-se em regiões onde o campo seja menor.

Linhas de Campo

E


Capítulo 1

Quando a carga eléctrica se distribui de forma contínua, seja ao longo de um fio (λ[C.m−1]), de uma superfície (σ [C.m−2]) ou de um volume (ρ [C.m−3]), o campoeléctrico pode ser calculado dividindo a carga em pequenos elementos dq. Cada umdestes elementos de carga, à distância r de um ponto P, produz um campo eléctricoinfinitesimal nesse ponto:

d~E =1

4πε0

dq

r2~ur (1.6)

Para se obter o campo eléctrico total no ponto P, devem ser adicionados vectorial-mente os campos eléctricos infinitesimais (d~E) criados por todos os elementos decarga dq (isto é, integrados): ~E =

∑

i d~Ei →

∫d~E.

~E =1

4πε0

∫dq

r2~ur com : dq = λ dx, σ dS, ρdV (1.7)

A simplicidade da resolução de problemas com distribuição contínua de cargas passapor uma escolha criteriosa do sistema de coordenadas a usar nas definições dasdistâncias e carga.

Distribuição contínua decarga

dq

r

P

Como a força electrostática só depende da posição, o campo electrostático é dotipo conservativo. Isto pode ser facilmente verificado calculando o trabalho da forçaeléctrica que uma carga +Q realiza sobre uma carga de teste +Q0 num caminhofechado:

W =

∮

Γ

~F · d~ℓ =

∮

Γ

Q0

Q

4 π ε0

1

r2d~ℓ = Q0

Q

4 π ε0

∫ P

P

dr

r2

= Q0

Q

4 π ε0

[

−1

r

]P

P

= 0

O princípio da sobreposição permite-nos generalizar esta conclusão para o campoelectrostático criado por um conjunto arbitrário de cargas. Assim para um caminhomacroscópico fechado podemos escrever,

∮

Γ

~F · d~ℓ = 0 ⇒∮

Γ

~E · d~ℓ = 0

e localmente (em cada ponto do espaço), utilizando o teorema de Stokes,

~∇ × ~E = 0

É precisamente o facto de o campo electrostático ser conservativo que nos permitiráfalar de energia potencial electrostática e de potencial eléctrico.

Campo conservativo

A energia potencial electrostática associada a um sistema de cargas eléctricas cor-responde ao trabalho realizado para o constituir. Considera-se habitualmente que ascargas são trazidas do infinito. Nesta situação não há interacção entre as cargas e,portanto, a energia potencial electrostática é nula. No entanto, a escolha do infinitocomo ponto de refência é arbitrária, isto é, pode-se escolher um outro ponto doespaço e aí considerar a energia potencial nula. Em termos físicos o que é relevanteé a variação da energia potencial do sistema.

Energia Potencial


Capítulo 1

Comecemos por considerar uma carga pontual estacionária +Q1 colocada numaregião livre de campo eléctrico. Esta pode ser deslocada desde o ponto de referênciasem necessidade de aplicar uma força. A sua energia electrostática é portanto nula.Uma segunda carga, +Q2, é trazida até um ponto P a uma distância rP da primeira.Neste caso foi necessário vencer a força de repulsão existente entre as cargas e aplicaruma força contrária à força eléctrica ~Fa = −Q2

~E. A energia do sistema de duascargas corresponde então à energia gasta para trazer a segunda carga desde infinito:

UE = W =

∫ P

∞

~Fa · d~ℓ = −Q1Q2

4πε0

∫ rP

∞

dr

r2= +Q2

Q1

4πε0

1

rP(1.8)

A expressão da energia potencial associada ao sistema de duas cargas dada pelaexpressão 1.8 pode ser escrita em termos de um potencial eléctrico φ criado pelacarga Q1 e da carga Q2:

UE = Q2φ (1.9)

Assim, em geral, o potencial eléctrico num dado ponto P do espaço corresponde aotrabalho (por unidade de carga) que teria que ser realizado para trazer uma cargaaté aí desde um ponto de referência:

φP =

∫ P

Ref

−~E · d~ℓ =

∫ Ref

P

~E · d~ℓ (1.10)

O ponto de referência do potencial é o ponto onde se considera que este se anula(φ(Ref) = 0). Para cargas pontuais ou localizadas em regiões finitas do espaço,a escolha do inifinito como ponto de referência é conveniente; a escolha de umoutro ponto implicaria o aparecimento de uma constante na expressão do potencial.

O potencial eléctrico num ponto P a uma distância r de uma carga pontualQ é dado por:

φP =

∫ ∞

r

~E · d~ℓ =

∫ ∞

r

1

4πε0

Q

r2dr =

1

4πε0Q

[

−1

r

]∞

r

(1.11)

=1

4πε0

Q

r

Da mesma forma que para o campo eléctrico, se tivermos uma distribuição de car-gas discreta ou contínua, aplicaremos o princípio da sobreposição para se obter opotencial eléctrico:

φP =∑

i

φi →∫

1

4πε0

dq

r(1.12)

Potencial eléctrico

A diferença de potencial entre dois pontos A e B é dada por:

VAB ≡ φA − φB

=

∫ Ref

A

~E · d~ℓ −∫ Ref

B

~E · d~ℓ

=

∫ Ref

A

~E · d~ℓ +∫ B

Ref

~E · d~ℓ

Diferença de Potencial


Capítulo 1

VAB =

∫ B

A

~E · d~ℓ (1.13)

Note-se que a escolha do ponto de referência não é relevante uma vez que nãocontribui para a diferença de potencial.

Tendo em conta a definição de diferença de potencial entre dois pontos A e B,

∫ B

A

~E · d~ℓ = φA − φB = −∫ B

A

dφ = −∫ B

A

dφ

d~ℓ· d~ℓ

obtém-se uma relação entre o campo eléctrico e o potencial eléctrico:

~E = −dφ

d~ℓ≡ −~∇φ (1.14)

As superfícies equipotenciais definem-se então como conjuntos de pontos ao longodos quais o potencial se mantém constante: dφ = 0. Conhecendo as linhas decampo eléctrico, as equipotenciais constróem-se facilmente unindo pontos vizinhos(d~ℓ) em direcções perpendiculares ao campo eléctrico (d~ℓ ⊥ ~E).

Relação entre o campo epotencialeléctrico

E

dl

As moléculas são bons exemplos de objectos electricamente neutros mas que noentanto produzem um campo eléctrico e interagem com campos eléctricos externos.O sistema mais simples deste tipo é o dipolo eléctrico que consiste em duas cargasiguais de sinal oposto ±Q e distanciadas de d. Uma aproximação habitualmentefeita ao dipolo eléctrico é a de que a distância entre as cargas d é desprezávelface à distância onde se pretende calcular o campo eléctrico (aproximação dipolar).Esta configuração de cargas pode ser caracterizada através do seu momento dipolar,definido como:

~p =∑

i

Qi~di = Q

(

~d+ − ~d−

)

= Q~d (1.15)

O cálculo do campo eléctrico produzido por um dipolo num ponto P qualquer a umadistância r >> d, pode ser feito a partir da expressão do potencial eléctrico em Pproduzido por ambas as cargas:

φP = φ+ +φ− =Q

4πε0

(1

r+− 1

r−

)

≃ Qd cos θ

4πε0r2=

1

4πε0

~p · ~rr3

(1.16)

O campo eléctrico pode ser obtido tendo em conta a relação entre o potencialeléctrico e o campo eléctrico, dada por 1.14:

{

Er = ∂φ(r,θ)∂r

= 14πε0

2p cos θr3

Eθ = ∂φ(r,θ)r∂θ

= 14πε0

psenθr3

(1.17)

Trata-se pois de um campo que, não se podendo considerar já nulo (quem estiverrealmente distante vê uma carga eléctrica nula!), decresce no entanto mais rapida-mente que o campo eléctrico criado por cada uma das cargas pontuais.

Dipolo eléctrico

d −d+

r + r −

P

r

θ

Q Qp


Capítulo 1

Quando um dipolo eléctrico é colocado na presença de um campo eléctrico uniforme~E = E0~ux, sente uma força total nula. Existe, no entanto, um momento da forçaeléctrica ~N =

∑

i=± ~ri × ~Fi que o tenderá a alinhar com o campo eléctrico. Aenergia potencial do dipolo, calculada como sendo o trabalho realizado por umaforça externa (contra o campo, portanto!) para levar o dipolo da posição angularθ = 90◦ até uma posição angular qualquer (θ), é:

UE =

∫ θ

90◦

(

−~FE

)

· d~ℓ = 2

∫ θ

90◦

QE0 cosαℓ

2dθ

=

∫ θ

90◦

Q E0 senθ ℓ dθ = −Q ℓ E0 cosθ = −~p · ~E

O ponto de partida θ = 90◦ é escolhido uma vez que para esse ângulo a energiapotencial do dipolo é nula: as cargas, simétricas, encontram-se ao mesmo potencialeléctrico (ver equação 1.12). O sinal negativo significa que o dipolo ao alinhar-secom o campo, diminui a sua energia potencial; esta energia é mínima quando omomento dipolar eléctrico se encontra paralelo ao campo eléctrico externo.

Energia potencial de umdipolo eléctrico num

campo eléctrico exteriorFE

FE

θ E

−Q

+Q

p

A lei de Gauss é uma consequência da lei de Coulomb e resulta do facto do campoeléctrico criado por um elemento de carga dq diminuir com 1/r2, enquanto queo elemento de área (em coordenadas esféricas) aumenta com r2. Desta forma, oproduto da carga pela área é independente da distância do elemento de área à cargaeléctrica. Esta lei relaciona o fluxo do campo eléctrico (ΦE) que atravessa umasuperfície fechada com a carga eléctrica total existente no seu interior (Qint):

∮

~E · ~n dS =Qint

ε0(1.18)

Esta lei pode ser escrita na forma local como:

~∇ · ~E =ρ

ε0(1.19)

A lei de Gauss permite:

• determinar a carga eléctrica contida numa superfície fechada, se conhecermoso fluxo do campo eléctrico que a atravessa.

• determinar o módulo do campo eléctrico para distribuições de carga comsimetria espacial, usando para tal uma superfície fechada conveniente.

No cálculo do campo eléctrico, a aplicabilidade da lei de Gauss encontra-se reduzidaa três geometrias tipo, tal como se mostra adiante nos exemplos de aplicação:

• simetria esférica

• simetria cilíndrica

• plano infinito

Lei de Gauss


Capítulo 1

No interior de um condutor em equilíbrio electrostático, o campo eléctrico tem de sernulo (~E = 0), caso contrário ter-se-ia uma força eléctrica aplicada às suas cargaslivres e estas mover-se-iam. Como se pode verificar facilmente com recurso à leide Gauss, um fluxo nulo do campo eléctrico através de qualquer superfície fechadadefinida no interior do condutor implica a não existência de carga eléctrica no seuinterior. Desta forma, uma carga eléctrica introduzida num meio condutor em equilí-brio electrostático desloca-se para a sua superfície exterior. Os tempos de relaxaçãoda carga dependem da condutividade eléctrica do meio, sendo da ordem de 10−18

segundos num material bom condutor. O campo eléctrico é normal à superfíciedo condutor, dependendo a sua intensidade da densidade de carga superficial (σ) epode ser derivado a partir da lei de Gauss como:

~E ≡ ~E⊥ =σ

ε0~u⊥ (1.20)

Equilíbrio electrostáticonos condutores

Nenhum material é um isolante perfeito. Os materiais que se caracterizampor muito baixas condutividades eléctricas são chamados materiais dieléctri-cos. Um campo eléctrico aplicado a um dieléctrico causa um deslocamentoespacial da carga eléctrica positiva e negativa associada aos átomos ou mo-léculas (em sentidos opostos!), fazendo aparecer dipolos eléctricos. O vectorpolarização ~P descreve a polarização do material num dado ponto do es-paço e corresponde ao momento dipolar por unidade de volume (d~p/dV ).

Um material dieléctrico é caracterizado pela sua susceptibilidade eléctrica χE

(grandeza adimensional) e é do tipo linear se a susceptibilidade não depender docampo aplicado, do tipo homogéneo se a susceptibilidade não depender da posiçãono dieléctrico e do tipo isotrópico caso a susceptibilidade não dependa da direcção.A polarização no dieléctrico é proporcional ao campo eléctrico a que este estásujeito (~E) e que resulta da soma do campo exterior com o campo produzido peladistribuição de carga dipolar:

~P =d~p

dV=

∑

i ~pi |dVd V

= ε0 χE~E [C.m−2] (1.21)

Em geral, existe carga de polarização à superfície de um dieléctrico. A densidadede carga de polarização superficial existente num dado ponto da superfície é dadapor:

σpol = ~P · ~next (1.22)

sendo ~next a normal exterior um vector unitário que aponta para o exterior dodieléctrico.

Pode também existir carga de polarização em volume no caso de o dieléctrico não seruniforme ou no caso de existir carga eléctrica introduzida (que não é de polarização)no interior do dieléctrico. A densidade de carga de polarização em volumeexistente numa dada região do dieléctrico é dada por:

ρpol = −~∇ · ~P (1.23)

e a carga de polarização contida numa superfície fechada é dada por,

Qpol =

∫

V

ρpol dV = −∮

S

~P · ~n dS (1.24)

Campo eléctrico em mate-riais dieléctricos


Capítulo 1

Portanto, um campo eléctrico ~E0 aplicado a um dieléctrico origina uma polarizaçãodo dieléctrico, isto é, induz uma dada carga de polarização seja em superfície, sejaem volumezação induzida no material.Recorrendo à lei Gauss, podemos calcular o campo eléctrico separando as cargaseléctricas em termos de cargas livres (Qliv) e cargas de polarização (Qpol):

∮

S

~E · ~n dS =

∑

i Qi

ε0=

Qliv + Qpol

ε0(1.25)

O cálculo do campo eléctrico através da expressão 1.25 implica o conhecimento prévioquer das cargas livres, quer das cargas de polarização. No entanto, se substituirmosna equação 1.25 a carga polarização expressa em 1.24, obtem-se:

∮

S

(ε0 ~E + ~P ) · ~n dS = Qliv (1.26)

Definindo o vector Deslocamento do Campo Eléctrico ~D como:

~D = ε0 ~E + ~P = ε0(1 + χE)~E = ε ~E (1.27)

obtém-se a lei de Gauss generalizada na forma integral:∮

S

~D · ~n dS = Qliv (1.28)

e na forma local:

~∇ · ~D = ρliv (1.29)

A permitividade eléctrica do meio, ε, caracteriza a polarizabilidade do material.

Lei de Gauss generalizada

A energia associada a um sistema de múltiplas cargas é, como se referiu anterior-mente, o trabalho necessário para o constituir. Por exemplo, a energia de um sistemade três cargas pode ser calculada como se fez para o sistema de duas cargas (equação1.8) tendo agora em conta que a terceira é trazida contrariando a repulsão exercidapelas outras duas:

UE =1

4πε0

(

Q2

Q1

r12+ Q3

Q1

r13+ Q3

Q2

r12

)

= Q2φ12 + Q3 (φ13 + φ23)

Este resultado pode ser reescrito em termos das cargas (Qi) e dos potenciais a quecada uma se encontra (φi) devido à presença das outras duas:

UE =1

2(Q1φ1 + Q2φ2 + Q3φ3)

Generalizando para um sistema de N cargas:

U =1

2

∑

i

Qi φi (1.30)

Energia Potencial electros-tática de um sistema de car-gas


Capítulo 1

Um condutor carregado gera um campo eléctrico à sua volta ficando a um certopotencial φ em relação ao infinito. Define-se a capacidade do condutor como arelação entre a sua carga eléctrica Q e o potencial a que se encontra:

C =Q

φ[F ] (1.31)

Esta expressão traduz a relação de linearidade entre o campo eléctrico e a carga quelhe dá origem.

Num condensador, sistema de dois condutores ou armaduras que se encontram auma diferença de potencial V , a capacidade é definida por:

C =Q

V(1.32)

sendo Q a carga armazenada em cada um dos condutores (+Q e −Q). A capacidadede um condensador só depende da sua geometria e do meio que os separa.

Condensadores

A energia (potencial electrostática) de um condensador corresponde ao trabalhonecessário para o carregar. Para a calcular, tem que se contabilizar o trabalhorealizado sobre cada elemento de carga dq para o transportar de uma armadura paraa outra, contra a força eléctrica existente (cada vez maior, à medida que se carregao condensador!).

UE =

∫

~F · d~ℓ =

∫

dq ~E · d~ℓ︸︷︷︸

V

=

∫ Q

0

V (q) dq =

∫ Q

0

q

Cdq (1.33)

Daqui resulta:

UE =1

2

Q2

C=

1

2C V 2 (1.34)

Energia armazenada porum condensador

E+Q −Q

dq

V

A capacidade equivalente de uma associação em série de n condensadores é dadapor:

1

Ceq

=1

C1

+1

C2

+ · · ·+ 1

Cn

(1.35)

e uma associação em paralelo de condensadores é dada por:

Ceq = C1 + C2 + · · · + Cn (1.36)

Associação de condensado-res


Capítulo 1

Sendo a carga eléctrica a criadora do campo electrostático e sendo necessária arealização de trabalho para constituir as distribuições de carga, ou seja, para criaros campos eléctricos, é natural que a própria expressão do campo eléctrico nos dêinformações sobre a energia de um sistema. Com efeito, associado a um campoeléctrico ~E existe associada uma densidade de energia dada por

uE =1

2ε E2 [J/m3] (1.37)

e num volume V existe uma energia

UE =

∫

V

uE dV [J] (1.38)

Energia do campo eléctrico

Consideremos um sistema de cargas isoladas e o campo eléctrico por estas produzido.Para se modificar a geometria do sistema movendo d~ℓ uma certa quantidade de carga,é necessário realizar trabalho contra a força eléctrica ~FE que actua essa carga:

dW = ~Fa · d~ℓ = −~FE · d~ℓ

Sendo o campo eléctrico conservativo e não havendo variação de energia cinética,esse trabalho traduz-se necessariamente na variação da energia potencial do sistema:

dU = −~FE · d~ℓ ⇒ ~FE = −dU

d~ℓ

De forma mais simplificada, a força eléctrica numa dada direcção ~us pode ser cal-culada por:

(

~FE

)

s= −dU(s)

ds~us (1.39)

Força e Energia Potencial

Consideremos agora que o sistema não está isolado e que existem fontes que man-têm as diferenças de potencial entre os componentes do sistema. Neste caso, aomodificar-se a geometria do sistema, as fontes realizam trabalho pondo e retirandocarga de forma a manter os potenciais eléctricos. Contabilizando este trabalho adi-cional das fontes obtém-se:

(

~FE

)

s= +

dU(s)

ds~us (1.40)

Estas expressões são um modo alternativo para calcular forças eléctricas quando seconhece a energia potencial do sistema. A uma alteração da geometria do sistemasegundo a direcção em que se pretende calcular a força eléctrica corresponde umavariação da energia potencial. Sendo este um método de deslocamentos virtuais,qualquer uma das expressões anteriores 1.39, 1.40 conduzirá ao mesmo resultado.


Capítulo 1


Capítulo 1

1.2 Exercícios Resolvidos

1.2.1 Distribuição discreta de carga eléctrica

Duas cargas eléctricas positivas Q1 e Q2 encontram-se a uma distância d umada outra. Na sua vizinhança existe uma carga eléctrica de teste q0 num ponto P ,de coordenadas (x, 0).

• Campo eléctrico produzido pela carga Q1 no ponto PPela lei de Coulomb, o campo eléctrico vem:

~E1 =Q1

4πε0

~r1

r31

com o vector posição ~r1, que une a carga Q1 ao ponto P , a ser dado por:

~r1 = x~ux +d

2~uy

Desta forma, vem para o campo eléctrico:

~E1 =Q1

4πε0

x~ux + d2~uy

[

x2 +(d2

)2] 3

2

• Campo eléctrico total em PO campo eléctrico total existente em P resulta da soma dos campos eléc-tricos produzidos pelas cargas Q1 e Q2 em P . Tem-se então:

~E = ~E1 + ~E2 =Q1

4πε0

x~ux + d2~uy

[

x2 +(d2

)2] 3

2

+Q2

4πε0

x~ux − d2~uy

[

x2 +(d2

)2] 3

2

=1

4πε0

(Q1 + Q2)

x[

x2 +(d2

)2] 3

2

~ux +

+ (Q1 − Q2)d2

[

x2 +(d2

)2] 3

2

~uy

Vemos portanto que o campo eléctrico tem componentes Ex e Ey. Noentanto, no caso em que Q1 = Q2, o campo eléctrico reduz-se umaexpressão mais simples, possuindo somente componente Ex:

~E =Q

2πε0

x[

x2 +(d2

)2] 3

2

~ux

• Força sobre a carga de teste quando Q1 = Q2

~F = q0 ~E = q0Q

2πε0

x[

x2 +(d2

)2] 3

2

~ux

++

Q1 Q2

r1 r 2

d/2d/2

P

x

y


Capítulo 1

• Linhas do campo eléctrico quando Q1 = Q2

As linhas do campo eléctrico associadas a cada uma das cargas positivas,caso estas estivessem isoladas, corresponderiam a linhas radiais representa-das na figura a traço interrompido. O campo eléctrico resultado das duascargas, será diferente, tal como se calculou anteriormente. As linhas decampo eléctrico devem reflectir o facto de o campo eléctrico ser muitopequeno ou nulo, na região entre as duas cargas.

• Trabalho realizado contra o campo eléctrico para trazer a carga q0para o ponto PAs interacções existentes no campo eléctrico estão associadas a variações deenergia. O trabalho realizado contra o campo eléctrico produzido pela duascargas positivas +Q, para transportar a carga de teste q0 desde infinitoaté uma distância x do eixo das cargas por um caminho ao longo do eixodos XX, calcula-se da seguinte forma:

W =

∫ x

∞

(

−~F)

· d~ℓ = −q0

∫ x

∞

~E · d~ℓ

= −q0Q

2πε0

∫ x

∞

x[

x2 +(d2

)2] 3

2

~ux · d~ℓ

= −q0Q

2πε0

∫ x

∞

x[

x2 +(d2

)2] 3

2

dx

= −q0Q

2πε0

− 1√

x2 +(d2

)2

x

∞

= q0Q

2πε0

1√

x2 +(d2

)2

Vemos então que foi necessário realizar trabalho no transporte da cargaq0 para contrariar a força eléctrica aplicada. Desta forma, a carga deteste adquiriu energia potencial, que pode ser recuperada (sob a forma deenergia cinética, por exemplo) caso fosse largada. De notar que o trabalhorealizado não depende do caminho seguido; isto é característico de umaforça conservativa, como é o caso da força eléctrica.

• Potencial eléctricoEscolhendo o infinito como ponto de referência, o potencial eléctrico emP é dado por:

φP =

∫ ∞

P

~E · d~ℓ =

∫ ∞

x

Q

2πε0

x[

x2 +(d2

)2]3/2

dx

=Q

2πε0

− 1√

x2 +(d2

)2

∞

x

=Q

2πε0

1√

x2 +(d2

)2

De notar que o potencial eléctrico em P se poderia ter calculado utilizandoo princípio da sobreposição; isto é, somando os potenciais criado em Pquer pela carga +Q1, quer pela carga +Q2:


Capítulo 1

φ = φ1 + φ2 =

∫ ∞

P

~E1 · d~ℓ+∫ ∞

P

~E2 · d~ℓ

• Energia potencial da carga q0Dado que o trabalho calculado anteriormente corresponde ao ganho deenergia potencial da carga e que no infinito (ponto de referência) a energiapotencial é nula, vem para a energia potencial da carga q0:

UE = W = q0Q

2πε0

1√

x2 +(d2

)2

De notar que a energia potencial poderia ter sido calculada com recursodirecto ao potencial eléctrico calculado anteriormente: UE = q0 φ.


Capítulo 1

1.2.2 Distribuição contínua de carga eléctrica num fio

Considere uma distribuição contínua de carga positiva existente ao longo de um fiocuja densidade de carga é λ (C/m). Num ponto P , a uma distância d, encontra-seuma carga de teste q0.

• Campo eléctrico produzido pelo fio de carga no ponto PA determinação do campo eléctrico produzido por uma distribui-ção contínua de carga num ponto P é feita tendo um conta oprincípio da sobreposição, isto é, determina-se em primeiro lugaro campo eléctrico infinitesimal (d~E) produzido por ume elementoinfinitesimal de carga (dq) e depois somam-se (integram-se!) ascontribuições dos diferentes elementos de carga ao longo do fio.

Os elementos infinitesimais de carga e campo eléctrico expressam-sepor:

dq = λdy

d~E =dq

4πε0

~r

r3=

λdy

4πε0

d~ux − y~uy

(d2 + y2)3/2

E portanto, o campo eléctrico obtém-se por integração ao longo do fio delimites −L1 e +L2:

~EP =

∫

d~E =λ

4πε0

∫ +L2

−L1

d~ux − y~uy

(d2 + y2)3/2

dy

=λ

4πε0

[

d

∫ +L2

−L1

dy

(d2 + y2)3/2~ux −

∫ +L2

−L1

ydy

(d2 + y2)3/2~uy

]

=λ

4πε0

d

[

1

d2

y√

d2 + y2

]+L2

−L1

~ux −[

− 1√

d2 + y2

]+L2

−L1

~uy

=λ

4πε0

[1

d

(L2√

d2 + L22+

L1√d2 + L1

2

)

~ux+

(

1√

d2 + L22− 1√

d2 + L12

)

~uy

]

Como se vê, no caso de a carga se distribuir assimetricamente no fio emrelação ao ponto P , o campo eléctrico possui componentes segundo x (Ex)e segundo y (Ey). No entanto, caso a carga se distribua simetricamenteem relação ao ponto P , o que significa o fio ter limites ±L, o campoeléctrico possui somente componente segundo x e vem:

~E =λ2L

4πε0

1

d√d2 + L2

~ux =λL

2πε0

1

d

1√d2 + L2

~ux

Podemos agora analisar o que acontece nos casos extremos em que o fio émuito comprido (L >> d) e muito pequeno (L << d), quando compa-rado com a distância ao ponto P :

q0

++

+++

+

+

+

+

+

+

dq

P

r

dx

y

dE


Capítulo 1

– Fio muito longo (L >> d)

~E =λ

2πε0

1

d

L√d2 + L2

~ux =λ

2πε0

1

d

√

L2

d2 + L2~ux

=λ

2πε0

1

d

√1

1 +(dL

)2 ~ux → λ

2πε0

1

d~ux

– Fio muito pequeno (L << d)

~E =λ

2πε0

1

d

L√d2 + L2

~ux

=λL

2πε0

1

d

1

d

√

1 +(Ld

)2~ux → λL

2πε0

1

d2~ux

Neste caso, o campo eléctrico obtido corresponde ao campo produ-zido por uma carga pontual de valor q = 2λL. Isto era de esperaruma vez que um fio muito pequeno é em boa aproximação uma cargapontual.

• Força eléctrica sobre a carga de teste q0A força que actua a carga de teste q0 é dada por: ~F = q0 ~E.

• Potencial eléctrico criado pelo fioO potencial eléctrico produzido pelo fio carregado pode ser determinado re-correndo à relação entre o campo e o potencial, ~∇φ = −~E; isto é, poder-se-ia obter o potencial por integração do campo eléctrico. No entanto,vamos fazer o cálculo do potencial, usando o princípio da sobreposição.

Comecemos por determinar o potencial produzido por um elemento infi-nitesimal de carga dq, utilizando o infinito como ponto de referência, eintegre-se ao longo de todo o fio:

dφ =1

4πε0

dq

r

φ =1

4πε0

∫ +L2

−L1

λdy√

x2 + y2=

λ

4πε0

[

ln(

y +√

x2 + y2)]+L2

−L1

=λ

4πε0

[

ln

(

L2 +√

x2 + L22

)

− ln

(

−L1 +√

x2 + L21

)]

=λ

4πε0ln

(

L2 +√

x2 + L22

−L1 +√

x2 + L21

)

=λ

4πε0ln

(

L2 +√

x2 + L22

) (

+L1 +√

x2 + L21

)

(

−L1 +√

x2 + L21

) (

+L1 +√

x2 + L21

)

=λ

4πε0ln

(

L2 +√

x2 + L22

) (

+L1 +√

x2 + L21

)

x2

No caso de termos um fio com uma distribuição de carga simétrica emrelação ao ponto, vem:


Capítulo 1

φ =λ

4πε0ln

(

L +√x2 + L2

)2

x2

=λ

2πε0ln

(

L +√x2 + L2

x

)

• Energia potencial da carga de testeA energia potencial da carga de teste q0 num ponto P a uma distância x dofio, corresponde à energia gasta (ou recebida) para a lá colocar, partindo deum ponto de referência onde a energia potencial seja nula (habitualmenteo infinito, mas nem sempre!). No nosso caso, esta pode ser calculadaconhecendo o potencial eléctrico no ponto P :

U = q0 φP

• Campo eléctrico calculado pela Lei de GaussPara o caso do fio muito comprido (também dito vulgarmente infinito), adeterminação do campo eléctrico no ponto P pode ser feita recorrendo àlei de Gauss. Para tal, recorre-se a uma superfície cilíndrica que passe porP e tira-se partido do facto do campo eléctrico (que para o fio infinito, sódepende da distância radial) ser constante em toda a superfície da superfícielateral do cilindro. Calculemos primeiro o fluxo do campo eléctrico. Esteresulta da integração do campo eléctrico ao longo das diferentes superfícies(duas tampas mais superfície lateral) que compôem o cilindro.

∮

S

~E · ~n dS =

∫

tampas

~E · ~n dS +

∫

lateral

~E · ~n dS

Uma vez que as linhas de campo eléctrico não atravessam as tampas docilindro, o fluxo do campo aí é nulo, vindo portanto:

∮

S

~E · ~n dS =

∫

lateral

~E · ~n dS

A lei de Gauss pode então escrever-se como:∫

lateral

~E · ~n dS =Qint

ε0

E

∫

dS = E2πrL =λ L

ε0

E =λ

2πε0

1

r

~E =λ

2πε0

1

r~ur


Capítulo 1

1.2.3 Distribuição contínua de carga eléctrica num plano infinito

Considere-se um plano muito grande (plano infinito) carregado com uma densidadede carga σ [C.m−2].

• Campo eléctrico pela lei de GaussO campo eléctrico pode ser facilmente calculado utilizando a lei deGauss (o plano infinito é uma das três geometrias em que a aplicação dalei de Gauss é o método mais simples para calcular o campo eléctrico).

Como primeiro passo é necessário verificar que as linhas de camposão perpendiculares ao plano. Para chegar a esta conclusão bastapensar que todos os pontos do plano infinito são o seu centro. Eno centro as componentes do campo eléctrico no plano do próprioplano infinito anulam-se devido à simetria do problema. Resta-nosassim a componente perpendicular ao plano (em todos os pontos!).

Conhecida a direcção do campo há que escolher a superfície apro-priada para aplicar a lei de Gauss. Neste caso pode utilizar-se umasuperfície cilíndrica, tal como se mostra na figura. Na superfície lateraldo cilindro (superfície S1) a normal é perpendicular ao campo enquantoque nas "tampas" (superfícies S2 e S3, de área A) a normal é paralela aocampo. Assim sendo, e constatando que esta superfície fechada contémno seu interior uma carga Qint = σ A, tem-se:

∮

S

~E · ~n dS =Qint

ε0∫

S1

~E · ~n dS +

∫

S2

~E · ~n dS +

∫

S3

~E · ~n dS =σ A

ε0∫

S1

0 dS +

∫

S2

E dS +

∫

S3

E dS =σ A

ε0

E

∫

S2

dS + E

∫

S3

dS =σ A

ε0

2 E A =σ A

ε0

E

∫

S2

dS + E

∫

S3

dS =σ A

ε0

E =σ

2 ε0

Agora que calculámos o módulo do campo eléctrico podemos escrever asua expressão final:

~E =

{+ σ

2 ε0~uz z > 0

− σ2 ε0

~uz z < 0


Capítulo 1

1.2.4 Condutores em equilíbrio electrostático

Um condutor cilíndrico de raio R, comprimento ℓ (ℓ >> R) e que se encontraimerso no ar, está uniformemente carregado e possui uma carga total Q.

• Densidade de carga no condutorTratando-se de um condutor em regime electrostático, a sua carga estádistribuída na sua superfície, pois só deste modo o campo eléctrico seanula no seu interior. A densidade de carga será:

σ =Q

A=

Q

2πRℓ

ou, se preferirmos utilizar uma densidade de carga linear já que o condutortem a forma de um fio,

λ =Q

ℓ

• Campo eléctricoDentro do condutor o campo é nulo, como já se referiu. Fora do condutor,tratando-se de uma distribuição de carga com geometria cilíndrica, as linhasde campo são radiais em coordenadas cilíndricas. Deste modo, utiliza-seuma superfície também cilíndrica para a aplicação da lei de Gauss. Nessasuperfície, a normal tal como o próprio campo, é radial, excepto nos toposda superfície cilíndrica onde a normal é perpendicular ao campo e o integralse anula (~E ⊥ ~n ⇒ ~E · ~n = 0). Além disso, como o problema temsimetria cilíndrica, o módulo do campo é constante para a superfície emque o integral não se anula.

r < R

~E = ~0

r > R∮

S

~E · ~n dS =Qint

ε0

E2πrL = Lλ

ε0

~E =1

2πε0

λ

r~ur

• Influência de um condutor externo de forma cilíndricaO condutor cilíndrico externo não se encontra carregado. No entanto,na presença do campo eléctrico do cilindro condutor interno, existe carganegativa na sua superfície interna e carga simétrica positiva na superfícieexterna. De notar, que a carga existente em ambas as superfícies (interna eexterna) é em módulo igual à carga existente no cilindro condutor interior+Q; isto resulta do facto do campo eléctrico ser nulo no interior doscondutores. Como o condutor exterior não destruiu a simetria cilíndrica doproblema e não está carregado, o campo permanece igual, quer no espaçoentre os condutores quer na região exterior aos condutores.


Capítulo 1

• Influência de um condutor externo de forma paralelipipédicaNeste caso o condutor exterior destruiu a simetria cilíndrica do problema,apesar de não estar carregado. O campo altera-se de forma a garantir queas linhas de campo são perpendiculares à superfície do condutor exteriore anula-se no seu interior. Longe (com rigor matemático, no infinito) doscondutores o campo recupera a sua forma radial uma vez que o conjuntovolta a parecer um fio com densidade de carga λ.


Capítulo 1

1.2.5 Campo eléctrico num dieléctrico

Uma esfera de material isolante, de constante dieléctrica ε e raio R, está unifor-memente carregada em volume, com uma densidade de carga ρ, encontrando-seimersa no vácuo.

• Campo eléctricoPara determinar o campo eléctrico no interior do material dieléctrico vamosusar a lei de Gauss generalizada. Uma vez que o campo eléctrico produzidopela esfera é radial e o seu módulo só depende da distância ao seu centro,pode-se utilizar uma superfície de Gauss esférica de raio r. Nesta superfícieo vector ~D será sempre paralelo à normal e terá módulo constante.

r < R∮

S

~D · ~n dS =

∫

ρdV

D4πr2 = ρ4

3πr3

D =ρr

3

~E =ρr

3ε~ur

r > R∮

S

~D · ~n dS =

∫

ρdV

D4πr2 = ρ4

3πR3

D =ρR3

3r2

~E =ρR3

3ε0r2~ur

• Potencial eléctricoConsideremos como ponto de referência o infinito já que neste caso o po-tencial se vai naturalmente anular naquele ponto.

para r>R:

φ =

∫ ∞

r

~E · d~ℓ =

∫ ∞

r

ρR3

3ε0r2dr =

ρR3

3ε0r

para r=R:

φ =ρR2

3ε0

para r<R:

φ =

∫ R

r

~E · d~ℓ +∫ ∞

R

~E · d~ℓ =

∫ R

r

ρr

3εdr +

∫ ∞

R

ρR3

3ε0

dr

r2

=ρr

3ε

(R2 − r2

2

)

+ρR2

3ε0

• Cargas de polarizaçãoem volume:

ρpol = −~∇ · ~P = −~∇ ·(

ε0χe~E)


Capítulo 1

= −ε0χe

(1

r2

∂

∂r

(

r2ρr

3ε

))

= −(ε − ε0

ε

)

ρ

Note que em alternativa poderia ter chegado a este resultado de uma formamais simples, tendo em conta que ~D = ε ~E:

ρpol = −~∇ · ~P = −~∇ ·(

ε0χe~E)

= −~∇ ·(

ε0χe

~D

ε

)

= −ε0

εχe

~∇ · ~D = −(ε − ε0

ε

)

ρ

em superfície:

σpol = ~P · ~next = ε0χe~E · ~next = ε0χe

ρR

3ε=

(

1 − ε0

ε

)ρR

3

Nota: 43πR3ρpol + 4πR2σpol = 0


Capítulo 1

1.2.6 Condensador plano

Dois planos paralelos condutores com com uma área A muito maior do que adistância d que os separa, estão ligados a uma bateria de diferença de potencialV .

• O campo eléctrico entre as placasA ligação à bateria induz transferência de carga de um plano para outro,ficando os planos com uma distribuição uniforme de carga (σ). Na aproxi-mação do plano infinito, o campo eléctrico criado pelo plano não dependeda distância ao plano. Desta forma e tendo em conta que uma das placas secarrega com carga positiva (+Q) e a outra com carga negativa (−Q), naregião entre os planos o campo eléctrico será uniforme. Fora desta região,o campo eléctrico anula-se.

V =

∫ d

0

~E · d~ℓ =

∫ d

0

~Edℓ = E d

E =V

d

• A carga armazenada pelas placasO campo eléctrico existente entre as placas condutoras é função da cargaexistente. Uma vez que o campo eléctrico entre as placas é conhecido,pode-se utilizar a lei de Gauss para determinar a densidade de carga nasplacas. Para superfície de Gauss considera-se uma superfície cilíndrica comuma das “tampas” situada no interior da armadura (onde o campo eléctricoé nulo) e a outra na região entre as armaduras (ver figura). O fluxo docampo eléctrico que atravessa a superfície de Gauss é somente aquele queatravessa a “tampa” situada na região entre as armaduras.

∮

S

~E · ~n dS =Qint

ε0

ES =σS

ε0

E =σ

ε0

Como Q = σA, tem-se:

E =Q

ε0 A= V d

Q = Aε0V

d

• A capacidade do condensadorA capacidade do condensador vem:

C =Q

V=

A ε0

V

V

d= ε0

A

d

• A energia armazenada pelo condensadorA energia armazenada pelo condensador corresponde ao trabalho realizadopara o carregar com uma carga Q. De acordo com a equação 1.34, tem-se:

+Q −Qd

E

V

n

n


Capítulo 1

UE =1

2C V 2 =

1

2ε0

A

dV 2


Capítulo 1

1.2.7 Associação de condensadores em série

Dois condensadores (1 e 2) de faces paralelas associados em série encomtram-se ligados a uma diferença de potencial V . Ambos os condensadores possuemarmaduras de área A, espessura a e distanciadas entre si de d. O espaço entre asarmaduras está preenchido por ar num dos condensadores e por material dieléctricode permitividade eléctrica ε, no outro.

• Campo eléctricoSubmetidas à diferença de potencial V , as placas extremas carregam-secom uma carga Q (+Q de um lado e −Q do outro). A placa intermédiapossui uma carga total nula, existindo no entanto uma carga negativa−Q de um lado e uma carga positiva +Q no outro. A carga existentena placa intermédia situa-se à superfície (condutor em equilíbrio!) epode ser determinada a partir da lei de Gauss. Para tal fazemos passaruma superfície cilíndrica com as “tampas” colocadas no interior deduas das armaduras. Dado que o campo eléctrico é nulo no interiordas armaduras condutoras e que o campo eléctrico existente entre asarmaduras é paralelo à superfície lateral do cilindro, tem-se um fluxodo campo eléctrico nulo. Ou seja, a lei de Gauss permite concluirque a carga total contida no cilindro é nula. Isto significa que cargasopostas (+Q e −Q) se encontram nas superfícies interiores das armaduras.

O determinação do campo eléctrico no interior dos condensadores(entre as armaduras) pode fazer-se com o auxílio da lei de Gaussgeneralizada, utilizando a metodologia empregue no exemplo 1.2.6:

∮

S

~D · ~n dS = Qliv

D =Q

A

O vector Deslocamento eléctrico ( ~D) é igual em ambos os condensadores,pois só depende das cargas livres existentes nas armaduras:

D1 = D2

O campo eléctrico em cada um dos condensadores obtém-se como:

E1 =Q

ε0 A

E2 =Q

ε A=

ε0

εE1

A diferença de potencial pode ser escrita como:

V =

∫ d

0

~E1 · d~ℓ+∫ d+a

d

~0 · d~ℓ+∫ 2d+a

d+a

~E2 · d~ℓ

=

∫ d

0

E1 dℓ+

∫ 2d+a

d+a

ε0

εE1

= E1 d

(

1 +ε0

ε

)

��

��

��

��

ε0

2

1

− − − − − − − − − −−+ + + + + + + + +

ED P ε

d

d

a

−

+

−+


Capítulo 1

Pelo que,

E1 =V

d(1 + ε0

ε

)

E2 =V

d(

1 + εε0

)

• Carga eléctrica armazenadaA carga eléctrica armazenada nas placas condutoras obtém-se como:

Q = A ε0 E1

Q =Ad

V1ε0

+ 1ε

• Capacidade do condensadorA capacidade do condensador calcula-se a partir da carga armazenada Q eda diferença de potencial a que está sujeito V , como sendo:

C =Q

V=

Ad

1ε0

+ 1ε

Note-se que poderíamos ter obtido a capacidade do condensador, a partirda associação em série de duas capacidades C1 e C2. Relembrando oresultado obtido no exemplo 1.2.6, tem-se:

1

C=

d

A ε0+

d

A ε=

1

C1

+1

C2


Capítulo 1

1.2.8 Condensador cilíndrico

Um cabo coaxial é constituído por um condutor cilíndrico interior de raio R1, euma película exterior condutora de raio R2, existindo no espaço que separa oscondutores um material dieléctrico de permitividade ε. O cabo está ligado a umafonte de tensão V . Consideremos o comprimento do cabo, ℓ, muito maior queR2.

• Campo eléctrico no espaço entre os condutoresTal como se viu no exemplo 1.2.4 pode-se aplicar a este problema a lei deGauss para uma geometria cilíndrica. Neste caso iremos aplicar a lei deGauss generalizada já que existe um dieléctrico a separar os condutores.Como superfície de Gauss utilizamos uma superfície cilíndrica que envolveum pedaço de condutor interior de comprimento L. As linhas de campodo vector deslocamento eléctrico serão radiais em coordenadas cilíndricas,sendo o campo paralelo às normais na superfície lateral do cilindro e per-pendicular às normais nas “tampas”. Na superfície lateral do cilindro omódulo de ~D é constante.

Neste problema, como não se conhece a carga que está nos condutoresvamos assumir que existe uma densidade de carga por unidade de com-primento do condutor interior λ. A lei de Gauss generalizada escreve-seentão:

∮

S

~D · ~n dS = Qint

∫

S1

~D · ~n dS +

∫

S2

~D · ~n dS +

∫

S3

~D · ~n dS = λ L

∫

S1

0 dS +

∫

S2

0 dS +

∫

S3

D dS = λ L

D

∫

S3

dS = λ L

D2πrL = λ L

D =λ

2πr

pelo que,

E =λ

2πεr

Agora que se conhece a expressão do módulo do campo eléctrico pode-serelacioná-lo com a diferença de potencial entre os condutores e calcular adensidade de carga:

V =

∫ R2

R1

~E · ~dl =∫ R2

R1

Edr =

∫ R2

R1

λ

2πεrdr

=λ

2πε[ln(r)]R2

R1=

λ

2πεln

(R2

R1

)

λ =2πεV

ln(

R2

R1

) (1.41)


Capítulo 1

Substituindo na expressão do campo eléctrico obtém-se:

E =V

r ln(R2

R1)

• Capacidade do cabo coaxialA capacidade é dada por:

C =Q

V

Multiplicando pelo comprimento do cabo a equação 1.41, temos uma rela-ção entre a carga do cabo coaxial e a tensão aplicada:

Q = λℓ =2πεV ℓ

ln(R2

R1)

C =2πεℓ

ln(R2

R1)

• Energia potencial electrostática armazenada no cabo coaxial

Conhecida a capacidade do cabo, a energia armazenada por este vem:

UE =1

2CV 2 =

πεℓ

ln(R2

R1)V 2

A energia potencial armazenada pelo cabo poderia ter sido calculada, de-terminando a densidade de energia potencial electrostática associada aocampo eléctrico que existe dentro do cabo coaxial e integrando em todo ovolume onde existe campo (volume do cabo):

uE =1

2εE2 =

1

2ε

(

V

r ln(R2

R1)

)2

UE =

∫

v

uEdv =

∫ ℓ

0

∫ 2π

0

∫ R2

R1

1

2ε

(

V

r ln(R2

R1)

)2

r dr dθ dz

=1

2

εV 2

ln2(R2

R1)

∫ ℓ

0

∫ 2π

0

∫ R2

R1

1

rdrdθdz

=1

2

εV 2

ln2(R2

R1)2πℓ ln(

R2

R1

)

=πεℓV 2

ln(R2

R1)


Capítulo 1

• Pressão sobre a película condutora exteriorA força atractiva entre o condutor interior e a película exterior é radial peloque a força total é nula (o centro de massa, em caso de colapso, não semoveria). No entanto existe uma pressão que pode ser calculada como omódulo da força por unidade de área de película:

P =Fpel ícula

2πR2ℓ

A força sobre a película pode ser calculada utilizando a expressãoda energia potencial electrostática e o método do deslocamentovirtual: a força radial será igual à variação da energia potencialelectrostática do sistema quando a película sofre um deslocamentovirtual, no nosso caso, quando R2 sofre um acréscimo infinitesimal dr .

Observando a expressão disponível para realizar o cálculo verifica-mos que a tensão aparece explicitamente pelo que será mais simples fazeras contas considerando o sistema ligado à fonte e, portanto, não isolado(V = cte). Nesse caso,

Fpel ícula ≡ Fr = +dUE

dR2

=d

dR2

(

πεℓ

ln(R2

R1)V 2

)

= − πεℓV 2

R2 ln2(R2

R1)

P = − πεℓV 2

(2πR2l)(R2 ln2(R2

R1))

= − εV 2

2R22 ln

2(R2

R1)

A pressão é negativa pois a força é "para dentro".


Capítulo 1

1.3 Exercícios Propostos

Campo eléctrico no vácuo

Exercício 1.1 : Dois pêndulos de comprimento ℓ, massam e carga Q, encontram-se suspensos num mesmo ponto.Considere que os pêndulos se encontram na sua posiçãode equilíbrio e que o ângulo que os fios fazem com avertical do lugar, θ, é muito pequeno. Determine:

a) as forças que actuam as duas massas.

b) a distância entre as duas massas.

Exercício 1.2 : Uma carga Q1 de −3 µC é colocadanum ponto de posição ~r1 = (1, 3, 0) cm num dadoreferencial e uma segunda carga Q2 de 5 µC é colocadana origem desse referencial.

a) Qual a força exercida pela carga Q1 sobre a cargaQ2?

b) Qual o ponto do espaço em que o campo eléctricocausado pela duas cargas é nulo? Existe maisalgum ponto nessas condições?Sugestão: comece por mudar de sistema de eixos.

c) Que valor de massa colocada à superfície da Terrasofreria uma força gravítica de módulo igual à daforça sofrida pela carga Q2?

Exercício 1.3 : Determine o trabalho necessário paratransportar uma carga eléctrica q desde um ponto A(0, yA) a um ponto B (xB, 0), na presença de umcampo eléctrico uniforme ~E = E0~ux (ver figura).

x

y

A

B

Exercício 1.4 : Dois protões estão separados de umadistância d = 4 fm, tal como é mostrado na figura.

y

xd

a) Qual é a direcção do campo eléctrico em qualquerponto do eixo yy?

b) Determine o potencial eléctrico num ponto situ-ado entre os protões no eixo xx.

c) Esboçe as linhas do campo eléctrico.

d) Determine o ponto de equilíbrio de um outro pro-tão que se traz para a vizinhança dos dois pro-tões, considerando que as três cargas estão con-finadas ao eixo xx. Trata-se de um ponto deequilíbrio estável ou instável?

Exercício 1.5 : Um dipolo eléctrico é definido por umconjunto de duas cargas eléctricas simétricas (+q e −q)separadas de uma distância d.

a) Determine a expressão do potencial criado pelascargas em qualquer ponto do espaço.

b) Determine a expressão do campo eléctrico criadopelas duas cargas em qualquer ponto do espaço.


Capítulo 1

c) Particularize a expressão obtida na alínea b) paraos pontos situados ao longo do eixo xx e doeixo yy e obtenha as expressões válidas parax, y >> d.

d) Sabendo que o momento dipolar eléctrico de umadistribuição de N cargas qi é definido por~p =

∑Ni=1 ~riqi, sendo ~ri o vector posição da

carga qi, calcule o momento dipolar eléctrico eescreva as equações obtidas na alínea c) em fun-ção de ~p.

e) Esboce as linhas do campo eléctrico e as equipo-tenciais.

Exercício 1.6 : Um quadripolo eléctrico é constituídopor dois dipolos eléctricos de igual momento dipolar esentidos opostos.

−−

+

+

+q

+q

−q−q

y

d

d

P

a) Calcule o momento dipolar do quadripolo.

b) Determine o campo eléctrico no ponto P situ-ado a uma distância x do centro do quadripolo(origem dos eixos).

c) Determine o campo eléctrico para pontos no eixodos xx muito afastados da origem (x >> d) .

Exercício 1.7 : Um aro circular de raio R encontra-se linearmente carregado com uma densidade de cargaλ(C.m−1).

a) Determine, a partir da lei de Coulomb, a expres-são do campo eléctrico num qualquer ponto darecta perpendicular ao plano definido pelo aro eque passa no seu centro.

b) Determine a expressão do potencial eléctrico φnum qualquer ponto da mesma recta.

c) Determine a expressão do campo eléctrico a par-tir do potencial calculado na alínea anterior.

Exercício 1.8 : Um disco de raio a encontra-se unifor-memente electrizado em superfície, com uma densidadede carga σ(C.m−2).

a) Determine a expressão do potencial num pontoqualquer do eixo perpendicular ao disco que passapelo seu centro.

b) Determine a expressão do campo eléctrico numponto qualquer do eixo perpendicular ao discoque passa pelo seu centro.

c) Utilizando o resultado da alínea anterior, deter-mine a expressão do campo eléctrico criado porum plano infinito uniformemente electrizado emsuperfície, com uma densidade de carga σ. Co-mente se poderia utilizar a mesma estratégia parao cálculo do potencial criado pelo plano infinito.

Exercício 1.9 : Um fio de comprimento 2a, encontra-se carregado com uma densidade de carga λ (C.m−1).Determine:

a

XP

Y

Xa

a) a expressão do campo eléctrico num ponto P auma distância y do fio e situado no eixo que odivide ao meio.

b) a expressão do campo eléctrico no caso de o fioser infinito.

Exercício 1.10 : Uma barra de comprimento a cm edensidade linear de carga λ C/m é colocada alinhadacom o eixo xx. Determine:

Y

XX

−aO

Px


Capítulo 1

a) a expressão do potencial eléctrico no ponto P.

b) a expressão do campo eléctrico no ponto P.

c) a expressão aproximada do campo eléctrico parapontos do semi-eixo positivo xx muito afasta-dos da barra (x >> a). Comente a expressãoobtida.

Exercício 1.11 : Uma barra carregada de comprimentoa=3 cm e densidade linear de carga λ = 2 C/m écolocada alinhada com o eixo xx. A uma distânciad=4 cm e ao longo do mesmo eixo, é colocada umabarra isolante de comprimento ℓ=2 cm com duas cargaspontuais Q1 e Q2 nas extremidades.

Q1 Q2

l

Y

XO−a

d

a) Sabendo que Q2 = 1 µC, determine o valorde Q1 que permite à barra isolante permanecerimóvel.

b) O movimento da barra isolante poderia ser estu-dado considerando todas as forças aplicadas noseu centro de massa e toda a massa do sistemaaí concentrada. Atendendo ao resultado da alí-nea anterior, indique justificando se faz sentidodefinir um centro de cargas.

Exercício 1.12 : O campo eléctrico numa vasta regiãoda atmosfera terrestre é vertical e dirigido para baixo,sendo o seu valor 60 V.m−1 a 300 m de altitude e 100V.m−1 a 200 m. Determine a carga total existente numcubo de 100 m de lado, localizado entre 200 m e 300m de altitude. Despreze a curvatura da Terra.

Exercício 1.13 : Considere um plano infinito carregadouniformemente com uma densidade de carga σ.

a) Determine, usando a lei de Gauss, o campo eléc-trico a uma distância r do plano.

b) Considere agora o plano infinito inicial com umburaco circular de raio R (ver figura). Calculeo campo eléctrico num ponto qualquer do eixodesse buraco (eixo zz).NOTA: recorra também ao resultado do exercício8.

��

��

��

��

Rσ

Condutores em equilíbrio electrostático

Exercício 1.14 : Utilizando a lei de Gauss e a lei dasmalhas (

∮~E · ~dℓ = 0) verifique que junto à superfície

de um condutor se tem:

a) a componente tangencial do campo eléctrico (E‖)é nula.

b) a componente perpendicular do campo eléctricoé dada por: E⊥ = σ

ε0

Exercício 1.15 : Considere uma esfera condutora deraio a, carregada uniformemente em superfície com umadensidade de carga σ.

a) Obtenha a expressão do campo eléctrico nas di-ferentes regiões do espaço (r < a e r > a).

b) Calcule a energia necessária para trazer uma carga+q desde o infinito até ao centro da esfera.

Exercício 1.16 : Considere duas esferas condutoras deraios RA e RB e relativamente afastadas uma da ou-tra pelo que a influência recíproca dos campos pode serdesprezada. Cada uma das esferas tem uma carga Q.

a) Diga como está distribuída a carga nas esferascondutoras e calcule a sua densidade em funçãode Q e dos seus raios.

b) Calcule o campo eléctrico junto à superfície dasduas esferas em função de Q e dos seus raios.

c) Suponha que se ligavam as esferas através de umfio condutor. Calcule a carga que existiria emcada esfera após se atingir a situação de equi-líbrio, QA e QB, em função de Q e dos seusraios.

Exercício 1.17 : Um condutor esférico oco de raiosinterior e exterior respectivamente R2 e R3, tem noseu interior um outro condutor esférico maciço de raioR1. As duas esferas estão inicialmente ligadas por umfio condutor. Coloca-se uma carga positiva Q na esferaexterior e, passado algum tempo, retira-se o fio condutorque unia as duas esferas.


Capítulo 1

x

R3

R2

R1

a) Qual a diferença de potencial entre as duas esfe-ras?

b) Qual a distribuição de carga nas duas esferas apósse ter retirado o fio? Justifique.

c) O resultado da alínea anterior modificava-se seinicialmente se tivesse carregado a esfera interiorem vez da exterior? Justifique.

Exercício 1.18 : O campo eléctrico máximo que o ar su-porta sem se ionizar e sem que haja disrupção é 3 × 106

V.m−1. Determine o raio mínimo de uma esfera metá-lica que possa estar ao potencial de 1 milhão de Voltssem que haja disrupção do ar.

Exercício 1.19 : Um cabo coaxial de comprimentomuito grande quando comparado com a sua espessura(infinito), é constituído por um condutor cilíndrico deraio R1 e por uma malha cilíndrica condutora, de raiosinterno e externo respectivamente R2 e R3 (R3 >R2 > R1). O cabo foi ligado a uma bateria quecarregou o cabo interior com uma densidade de cargaλ (C.m−1), sendo a malha ligada à terra.

a) Determine o campo eléctrico nas várias regiõesdo espaço. Esboce o gráfico de E(r).

b) Calcule a diferença de potencial entre os cabos edesenhe as linhas equipotenciais.

c) Calcule a diferença de potencial entre o condutorexterior do cabo e um ponto a uma distânciaradial R4 do centro do cabo (R4 > R3)

Exercício 1.20 : O gerador de Van der Graaf foi inven-tado para produzir um potencial eléctrico elevado e destaforma funcionar como acelerador de partículas (electros-tático). O gerador é formado por uma coroa esféricametálica que é carregada a partir do seu interior. A co-roa esférica possui raios interno e externo R1 = 0, 25m e R2 = 0, 30 m. Uma correia de borracha é accio-nada por um motor e transporta cargas até ao interior

da coroa esférica onde são recolhidas por um fio con-dutor que liga a correia à coroa. Considere que, apesarda abertura na parte inferior do gerador para passar acorreia, é uma boa aproximação considerar que no pro-blema há simetria esférica, desde que não se esteja juntoà abertura.

a) Determine o campo eléctrico num ponto A, auma distância r > R2 do centro da coroa es-férica condutora, em função da carga depositadana coroa, Q.

b) Sabendo que o campo eléctrico máximo que o arsuporta sem que haja disrupção é Ear = 3 × 106

V.m−1, calcule o potencial máximo a que podeficar a coroa metálica.

c) Calcule a diferença de potencial entre os pontosB e C e explique resumidamente porque razãoas cargas se dirigem da correia para o exterior dacoroa esférica.

Exercício 1.21 : Uma carga pontual q encontra-se auma distância d de um condutor semi-infinito, que seencontra ligado à Terra (φ = 0) e portanto todos ospontos do plano (x = 0, y, z) estão a um potencialnulo. A resolução deste problema pode ser feita com odenominado método das imagens que consiste em subs-tituir o condutor por uma carga imagem, q

′

, colocadasimetricamente em relação à superfície do condutor. Osdois problemas serão equivalentes do ponto de vista dopotencial criado no exterior do condutor desde que opotencial na superfície do condutor seja tambémnulo.


Capítulo 1

a) Determine a carga imagem, q′

.

b) Determine o potencial criado pela carga q e pelocondutor num ponto P fora do condutor, na suaproximidade φP (x < d, y, 0).

c) Determine o campo eléctrico no mesmo ponto,~EP . Particularize para x = 0, ou seja, para asuperfície do condutor.

d) Determine a densidade de carga na superfície docondutor, σ(y), e esboce as linhas de campoeléctrico.

e) Calcule a força exercida pelo condutor sobre acarga q.

Exercício 1.22 : Uma nuvem num dia de tempestadepode ser representada por um dipolo eléctrico com umacarga de ±10 C. A parte inferior da nuvem está a umaaltura de h1 = 5 km acima do solo e a parte superiora h2 = 8 km acima do solo. O solo está molhadoe pode-se considerar um bom condutor. Utilizando ométodo descrito no problema 21, determine:

a) a expressão do potencial eléctricoφ(x, y, z), na região 0 < z < h1;

b) o campo eléctrico na vizinhança da Terra;

c) a densidade de carga induzida na Terra.

Exercício 1.23 : Utilizando a lei de Gauss generalizadae a lei das malhas (

∮

Γ~E · d~ℓ = 0) verifique que junto

à superfície de separação entre dois materiais de cons-tantes dieléctricas ε1 e ε2:

a) a componente do campo paralela à superfície écontínua: E1‖ = E2‖

b) componente do campo perpendicular à superfí-cie não é contínua e, se existir uma densidade decarga σ, verifica-se a relação: ε1E1⊥−ε2E2⊥ =σ.

Campo eléctrico nos materiais dieléctricos

Exercício 1.24 : Uma molécula de água é compostapor dois grupos OH. Num grupo OH um átomo deHidrogénio (H) liga-se a um átomo de Oxigénio (O)comportando-se o conjunto como um dipolo eléctrico,com uma carga +q no hidrogénio e uma carga -q nooxigénio, em que q = 0, 316 e.

1040

H H

O

a) Calcule o momento dipolar do conjunto OH for-mado pelos átomos, sabendo que a distância en-tre os dois núcleos é d=0,97Å.

b) Uma molécula de água é constituída por dois gru-pos OH fazendo um ângulo de 104◦. Calcule omomento dipolar da molécula da água.

c) Determine o campo eléctrico criado pela molé-cula para distâncias (r) muito maiores que as dis-tâncias internucleares e na direcção do momentodipolar. Calcule o seu valor a 10 Å de distância.

Exercício 1.25 : Uma esfera condutora de raio R1 érevestida com material isolante de constante dieléctricarelativa εr = 5, de forma a obter-se uma esfera de raioR2. Durante o processo de fabrico a superfície interiordo isolante adquiriu uma carga electrostática Q.

a) Determine o campo ~D em função da distânciaao centro da esfera, r.


Capítulo 1

b) Determine o campo ~E em função da distância aocentro da esfera, r.

c) Represente graficamente ~D e ~E.

d) Determine as cargas de polarização nas superfí-cies do isolante.

Exercício 1.26 : Uma esfera de material isolante deconstante dieléctrica ε e raio a está uniformemente car-regada em volume, com uma densidade de carga ρ eimersa no vácuo.

a) Determine, explicando detalhadamente todos oscálculos efectuados, o campo eléctrico ~E dentroe fora da esfera.

b) Determine a expressão do potencial eléctrico den-tro e fora da esfera.

c) Calcule as cargas de polarização (em volume esuperfície) existentes na esfera.

Exercício 1.27 : A permitividade eléctrica de um meioinfinito depende da distância radial (r) a um centro desimetria segundo a expressão ε = ε0(1 + a/r) coma > 0. Uma esfera condutora de raio R e carga Q écolocada naquele meio e centrada em r = 0. Deter-mine:

a) o campo eléctrico em função de r;

b) o potencial eléctrico em função de r;

c) o vector de polarização, ~P , em função de r;

d) a densidade volúmica de carga de polarizaçãoexistente no dieléctrico;

e) a densidade de carga superficial de polarizaçãono dieléctrico;

f) a carga total de polarização existente no dieléc-trico.

Condensadores

Exercício 1.28 : Um condensador plano tem armadu-ras quadradas de lado ℓ separadas de uma distância d,sendo ℓ >> d. No seu interior existe um dieléctricolinear e não homogéneo com uma constante dieléctricarelativa εr = 1+ay , sendo a uma constante positiva.Determine:

a) o campo eléctrico dentro do condensador, ~E, su-pondo que o condensador está ligado a uma bate-ria de tensão V (armadura positiva em y = 0);

b) a capacidade do condensador;

c) as densidades de carga de polarização em funçãoda tensão da bateria, V .

Exercício 1.29 : Considere um condensador esféricoconstituído por duas superfícies condutoras concêntri-cas. O condutor interior tem um raio R1 e condutorexterior com a forma de uma coroa esférica, tem raiosR2 e R3. Antes de se colocar o condutor exterior, quese encontra neutro, carregou-se o condutor interior comuma carga Q.

a) Determine a capacidade do condensador.

b) Determine o potencial do condutor exterior emrelação à terra.

c) Admita agora que se liga o condutor exterior àterra.

c.1) Determine a carga total existente no con-dutor externo e o campo eléctrico na regiãoexterior do dispositivo.

c.2) A capacidade do condensador altera-se? jus-tifique.

Exercício 1.30 : Os iões no interior e no exterior deum neurónio estão separados por uma membrana planade 10−8 m de espessura, que se comporta como umisolante com uma permitividade eléctrica ε = 8ε0.

a) Qual é a capacidade de 1 cm2 desse neurónio?

b) Qual a capacidade de 1 cm2 de neurónio no casode a membrana ter uma permitividade eléctricaigual à do ar.

c) Sabendo que o campo eléctrico devido aos iõesque se acumulam à superfície da membrana neu-ronal é da ordem 106 N/C, calcule a diferençade potencial a que está sujeito o neurónio.


Capítulo 1

d) Determine a carga por unidade de superfície damembrana neuronal.

Exercício 1.31 : Um condensador de faces paralelasde área A e separadas de uma distância d (d << A)encontra-se carregado com uma carga eléctrica Q. Doismateriais dieléctricos de permitividades eléctricas ε1 eε2 são colocados entre as placas condutoras, de acordocom a figura.

ε1 ε2

+Q −Q

d/3 2/3d

a) Determine os vectores deslocamento eléctrico, ~D,e campo eléctrico, ~E, no interior dos dois dieléc-tricos do condensador.

b) Determine a capacidade do condensador.

c) Determine a densidade de carga de polarizaçãonas superfícies dos dieléctricos.

Exercício 1.32 : Um condensador plano é constituídopor duas armaduras paralelas de lado ℓ separadas de umadistância d. O espaço entre as placas está preenchidopor dois dieléctricos lineares e homogéneos de permitivi-dades ε1 e ε2, de acordo com a figura. O condensadorestá ligado a uma fonte de tensão cuja diferença de po-tencial aplicada é V .

ε2

ε1

l/2

d

V

a) Determine o campo eléctrico no espaço entre asarmaduras.

b) Determine a distribuição de carga na superfíciedas armaduras.

c) Determine a densidade de carga de polarizaçãona superfície dos dieléctricos.

d) Determine a capacidade do condensador.

Exercício 1.33 : Um condensador esférico é constituídopor um condutor de raio R1 e uma cavidade esféricacondutora de raio interno R2 e externo R3. O espaçoentre as armaduras metálicas está preenchido por doisdieléctricos de permitividade ε1 e ε2 (ε1 > ε2), cuja su-perfície esférica de separação possui raio Rd. Suponhaque a armadura interna do condensador foi carregadainicialmente com uma carga +Q.

ε1

ε2

R1

R3

R2Rd

a) Determine o campo eléctrico existente em todasas regiões do espaço e esboce num gráfico a suamagnitude em função de r.

b) Determine o potencial eléctrico existente nas vá-rias regiões e faça a sua representação gráfica.

c) Determine a capacidade do condensador.

d) Calcule o vector polarização nas várias regiões.

e) Identifique as regiões onde existe carga de po-larização e determine as densidades de carga depolarização.

Exercício 1.34 : Um cabo coaxial é constituído porum condutor cilíndrico interior de raio R1, e uma coroacilíndrica condutora de raios R2 e R3, existindo no es-paço que separa os condutores um material dieléctricode permitividade ε. Consideremos o comprimento docabo , ℓ, muito maior que R3.

a) Determine a capacidade do cabo por unidade decomprimento.

b) Determine as distribuições de carga de polariza-ção por unidade de comprimento no caso de ligaro cabo a uma fonte de tensão V.


Capítulo 1

Energia electrostática e Forças

Exercício 1.35 : Considere uma gota de chuva de formaesférica, com um raio R = 2 mm e uma carga Q = 10−9

C uniformemente distribuída pela sua superfície.

a) Calcule o potencial eléctrico a que se encontra agota em relação ao infinito e a sua energia po-tencial electrostática.

b) Suponha que em determinado momento a gota sedivide em duas gotas iguais, igualmente esféricase que estas se afastam muito. Averigue se estanova situação corresponde a um ganho ou umaperda de energia electrostática.

Exercício 1.36 : Duas cargas q1 e q2 são colocadas res-pectivamente em dois pontos A e B que estão separadospor uma distância d.

a) Determine o potencial eléctrico nos pontos A eB, assumindo o potencial nulo no infinito.

b) Determine a energia potencial electrostática dosistema de duas cargas.

c) Utilizando o resultado da alínea b) determine aforça eléctrica que a carga q1 exerce sobre a cargaq2.

d) Diga, justificando a sua resposta, no caso de ter-mos q1 = −q2, como poderíamos adicionar umaterceira carga q3 ao sistema sem realizar traba-lho.

Exercício 1.37 : Os ossos humanos são piezoeléctri-cos, ou seja, quando sujeitos a uma pressão produzemuma diferença de potencial. Esta diferença de potencialé fundamental no processo de fixação do cálcio. Porexemplo, para não descalcificarem quando estão em ór-bita, os astronautas fazem exercício físico. Pessoas comossos partidos não os podem exercitar e uma terapia uti-lizada para promover a fixação do cálcio nestas situaçõesé a aplicação de uma diferença de potencial exterior.Considere a aplicação de uma diferença de potencial aum braço, de acordo com a figura. Embora a aproxima-ção só seja válida na zona central dos eléctrodos, paraefeitos deste problema vamos considerar a aproximaçãodo condensador de placas infinitas. Os eléctrodos estãoisolados mas a espessura do isolante pode ser despre-zada.

a) Sabendo que a tensão aplicada aos eléctrodos é45 V, calcule o campo eléctrico no interior doosso.

b) Sabendo que a área dos eléctrodos é 45cm2, cal-cule a capacidade do sistema.

c) A densidade de energia eléctrica é maior no ossoou nos tecidos? Justifique.

Exercício 1.38 : Uma placa condutora de lado ℓ é car-regada com uma carga Q.

a) Determine o campo eléctrico num ponto a umadistância d muito próximo da placa.Nota: Pode considerar a aproximação do planoinfinito.

b) Uma segunda placa condutora, também de ladoℓ e carregada com uma carga −Q, é colocada auma distância d da primeira, formando um con-densador de faces paralelas. Determine a forçaexercida sobre esta segunda placa.

Exercício 1.39 : Um condensador plano com armadu-ras quadradas de lado ℓ e distanciadas de d (d << ℓ),é ligado a uma fonte de tensão V . O espaço entreas armaduras do condensador encontra-se parcialmentepreenchido com uma material dieléctrico de permitivi-dade ε. O material dieléctrico pode mover-se segundoa direcção do eixo dos xx.


Capítulo 1

a) Determine a capacidade do condensador em fun-ção da posição do dieléctrico.

b) Determine a energia armazenada pelo condensa-dor em função da posição do dieléctrico. Esbocea curva da energia em função da posição do die-léctrico.

c) Determine a força exercida sobre o dieléctrico.

Exercício 1.40 : Um condensador esférico é compostopor um condutor de raio R1 envolvido por uma películacondutora deforma esférica deraio R2. O espaço entreos condutores está preenchido por um material dieléc-trico de permitividade eléctrica ε. O condensador estáligado a uma fonte de tensão que carrega o condutorinterior com uma carga Q.

a) Calcule a energia armazenada no condensador.

b) Calcule a pressão exercida sobre a película exte-rior devido ao campo eléctrico.


Capítulo 1

1.4 Soluções dos exercícios propostos

1.1 a) ~P = m~g

~Fe = 116πε0

Q2

ℓ2sen2θ~ux

~T + ~Fe + ~P = 0

b) sen3θcos θ

= 116πε0

1mg

(Qℓ)2

no caso de pequenos ângulos, x =(

Q2ℓ2πε0mg

)1/3

1.2 a) ~F = +42, 7(~ux + 3~uy) [N]

b) Ponto que dista 14 cm da origem segundo a di-recção ~r = ~ux + 3~uy

c) 13, 8 kg

1.3 W = −qE0xB

1.4 a) ~E = E~uy

b) φ(x) = q2πε0

d2/

(

(

d2

)2− x2

)

d) x = 0, equilíbrio estável

1.5 a) φP = q4πε0

{

[

x2 + (y − d/2)2]−1/2 −

[

x2 + (y + d/2)2]−1/2

}

b) ~E(x, y) = q4πε0

(

~r+

r3+

− ~r−

r3−

)

~r+ = x~ux + (y − d2)~uy

~r− = x~ux + (y + d2)~uy

c) ~E(x, 0) = − q4πε0

d(

x2+( d2 )

2)3/2 ~uy

~E(x >> d, 0) = − q4πε0

dx3 ~uy

~E(0, y) = q4πε0

(

1

(y−d2 )

2 − 1

(y+d2 )

2

)

~uy

~E(0, y >> d) = q2πε0

dy3 ~uy

d) ~p = q ~d~E(x >> d, 0) = − 1

4πε0

~px3

~E(0, y >> d) = 12πε0

~py3

1.6 a) ~p = ~0

b) ~E = q2πε0

1x2

[

1

[1+( dx)2]3/2 − 1

]

~ux

c) ~E − 34πε0

qd2

x4 ~ux

1.7 a) ~E = E~uz

E(z) = λ2ε0

R z (z2 + R2)−3/2

b) φ(z) = λ2ε0

R (z2 + R2)−1/2

c) ~E = −~∇ φ

1.8 a) φ(z) = σ2ε0

(

√

a2 + z2 − |z|)

b) Ez = −∂φ∂z

= σ2ε0

(

z|z| − z√

a2+z2

)

c) lima→∞

Ez = σ2ε0

z|z| ;

Não, porque o potencial da solução anteriormenteapresentada tem o ponto de referência no ∞.

1.9 a) ~E = λ2πε0

a

y√

a2+y2~uy

b) ~E = λ2πε0

1y~uy

1.10 a) φ = λ4πε0

ln x+ax

b) ~E = λa4πε0

1x2

(

11+a

x

)−→ex

c) ~E = λa4πε0

1x2

−→ex

1.11 a) Q1 = −Q2

(

dd+ℓ

) (

d+ad+a+li

)

Q1 ≃ −0.5 × 10−6 [C]

b) Não faz sentido.

1.12 Q = 3, 6 µC

1.13 a) ~E = σ2ε0

z|z|~uz

b) ~E = σ2ε0

z√a2+z2

~uz

1.15 a) r < a : ~E = ~0

r > a : ~E = σε0

(

ar

)2~ur

b) UE = qφ(r = a) = qσaε0

1.16 a) σA = Q

4πR2A

σB = Q

4πR2B

b) ~EA = Q4πε0

1R2

A

~urA

~EB = Q4πε0

1R2

B

~urB

c) QA = RAQRA+RB

QB = RBQRA+RB

1.17 a) ∆φ = 0

b) Na superfície exterior do condutor ôco.

c) Não.

1.18 R = 33 cm.

1.19 a) r < R1 : E = 0

R1 < r < R2 : ~E = λ2πε0r

~ur

R2 < r < R3 : E = 0r > R3 : E = 0

b) V = λ2πε0

ln R2R1

c) V = 0

1.20 a) ~EA = Q4πε0

1r2 ~ur

b) φ(R2) = 900 KV

c) φB − φC = 0; para r < R2 tem-se E = 0 (eportanto φ =constante) sendo o comportamentodo sistema é idêntico ao de um condutor esféricode raio R2.

1.21 a) q′

= −q

b) φ(x, y, z) = q4πε0

(

1√(d−x)2+y2

− 1√(d+x)2+y2

)

c) ~E = − q4πε0

[(

d−x

((d−x)2+y2)3/2 + d+x

((d+x)2+y2)3/2

)

~ux

−(

y

((d−x)2+y2)3/2 − y

((d+x)2+y2)3/2

)

~uy

]

Para x = 0, ~E(y) = qd2πε0

1(d2+y2)3/2 ~ux

d) σ(y) = ε0E(y)

e) ~F = − 14πε0

q2

(2d)2~ux


Capítulo 1

1.22 a) φ(x, y, z) = Q4πε0

[

(

x2 + y2 + (h2 − z)2)−1/2 −

(

x2 + y2 + (h1 − z)2)−1/2

+(

x2 + y2 + (h1 + z)2)−1/2 −

(

x2 + y2 + (h2 + z)2)−1/2

]

b) ~E = Q2πε0

[

h1(

x2 + y2 + h21

)−3/2 −

h2(

x2 + y2 + h22

)−3/2]

~uz

c) σ = ε0E

1.24 a) p = 5 × 10−30 C.m

b) ~p = 6 × 10−30~uy C.m; vectorialmente, corres-ponde à soma dos momentos dipolares das duasligações OH.

c) ~E = 10−19

r3 V/m ; ~E (r = 10 A) = 108 V/m

1.25 a) D = 0 (r < R1)~D = Q

4πr2 ~ur (r > R1)

b) r < R1 : E = 0

R1 < r < R2 : ~E = Q4πεr2 ~ur

r > R2 : ~E = Q4πε0r2 ~ur

d) Qpol(R1) = −45Q

Qpol(R2) = +45Q

1.26 a) r < a : ~E = ρr3ε

~ur

r > a : ~E = ρa3

3ε0r2 ~ur

b) r > a : φ = ρa3

3ε0r

r = a : φ = ρa2

3ε0

r < a : φ = ρ3ε

(

a2−r2

2

)

+ ρa2

3ε0

c) σpol =(

1 − ε0ε

) ρa3

ρpol = −(

ε−ε0ε

)

ρ

1.27 a) r < R : E = 0

r > R : ~E = Q4πε0

1r(r+a)

~ur

b) r < R : φ = Q4πε0

1aln

(

R+aR

)

r > R : φ = Q4πε0

1aln

(

r+ar

)

c) ~P = Q4π

ar2(r+a)

~ur r > R

d) r > R : ρpol = Q4π

ar2(r+a)2

e) r = R : σpol = − Q4π

aR2(R+a)

f) Qpol = 0

1.28 a) ~E = V a(1+ay) ln (1+ad)

~uy

b) C = ℓ2aε0ln (1+ad)

c) ρpol = − a2ε0V(1+ay)2 ln (1+ad)

σpol(0) = 0

σpol(d) = a2ε0V d(1+ad) ln (1+ad)

1.29 a) C = 4πε0R1R2

R2−R1

b) φ = Q4πε0

1R3

c.1) Qext = −QE = 0

c.1) Não se altera.

1.30 a) C = 710 nF

b) C = 89 nF

c) V = 10−2 V

d) σ = 7 nC.cm−2

1.31 a) ~D = QA~ux

~E1 = QAε1

~ux

~E2 = QAε2

~ux

b) C = 3Ad

ε1ε22ε1+ε2

c) σpol(0) = −QA

ε1−ε0ε1

σpol(d) = +QA

ε2−ε0ε2

σpol(d/3) = +QA

(

ε1−ε0ε1

− ε2−ε0ε2

)

1.32 a) E1 = E2 = Vd

b) σ1 = ε1Vd

σ2 = ε2Vd

c)(

σ1pol

)−= −(ε1 − ε0)

Vd

(

σ2pol

)−= −(ε2 − ε0)

Vd

d) C = ℓ2

d

( ε12

+ ε22

)

C = C1 + C2

1.33 a) ~E = ~0, r < R1

~E = Q4πε1

1r2 ~ur, R1 < r < Rd

~E = Q4πε2

1r2 ~ur, Rd < r < R2

~E = ~0, R2 < r < R3~E = Q

4πε01r2 ~ur, r > R3

b) (r < R1) : φ = Q4π

[

1ε0

1R3

+ 1ε2

(

1Rd

− 1R2

)

+

1ε1

(

1R1

− 1Rd

)]

(R1 < r < Rd) : φ = Q4π

[

1ε0

1R3

+ 1ε2

(

1Rd

− 1R2

)

+

1ε1

(

1r− 1

Rd

)]

(Rd < r < R2) : φ = Q4π

[

1ε0

1R3

+ 1ε2

(

1r− 1

R2

)]

(R2 < r < R3) : φ = Q4π

1ε0

1R3

(r > R3) : φ = Q4π

1ε0

1r

c) C = 4π1ε1

(

1R1

− 1Rd

)

+ 1ε2

(

1Rd

− 1R2

)

d) ~P = (ε1 − ε0)~E, no dieléctrico 1;~P = (ε2 − ε0)~E, no dieléctrico 2.

e) σpol(r = R1) = −(

1 − ε0ε1

)

Q

4πR21

σpol(r = R−d ) = +

(

1 − ε0ε1

)

Q

4πR2d

σpol(r = R+d ) = −

(

1 − ε0ε2

)

Q

4πR2d

σpol(r = R2) = +(

1 − ε0ε2

)

Q

4πR22

1.34 a) C′

= 2πε

ln(

R2R1

)

b) λpol(R1) = − 2πV

ln(

R2R1

) (ε − ε0)

λpol(R2) = −λpol(R1)

1.35 a) φ = Q4πε0

1R

UE = 2, 2 µJ


Capítulo 1

b) A uma perda.

1.36 a) φA = q24πε0

1d

φB = q14πε0

1d

b) UE = q1q24πε0

1d

c) ~F = q1q24πε0

1d2 ~ur

d) Trazendo a carga para um ponto da superfícieequipotencial φ = 0, constituída pelos pontosequidistantes das duas cargas.

1.37 a) E = 600 V/m.

b) C = 1 pF.

c) uE = σ2

4ε0, osso.

uE = σ2

8ε0, tecido.

1.38 a) E = Q2ℓ2ε0

b) F = Q2

2ℓ2ε0(atractiva)

1.39 a) C = ε0ℓd

(εrx + (ℓ − x))

C = ε0ℓd

(ℓ + x(εr − 1))C = C1 + C2

b) UE(x) = 12C(x)V 2

c) Fx = 12V 2 ℓ

dε0(εr − 1)

1.40 a) UE = 2πε R1R2R2−R1

V 2

b) P = − ε2V 2

(

R1R2

)21

(R2−R1)2(para dentro)


Capítulo 1


Colecção de Problemas de Electromagnetismo e Óptica · Segue-se um conjunto de exercícios...

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