Colecao Concursos Publicos - Nivel Medio - Damares Pavione

MATEMTICA ERACIOCNIO LGICO

Damares Pavione

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COLEOCONCURSOSPBLICOS


Damares Pavione

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Matematica_Concurso Publico_Frontis.indd 1 7/3/2012 17:12:41

D a m a r e s P a v i o n e

Formada em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Viosa (UFV). Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Viosa. Trabalhou como engenheira civil na Companhia de Sanea-mento Bsico do Estado de So Paulo (SABESP). Engenheira civil do Departamento de Cincia e Tecnologia Aeroespacial (DCTA). Professora da Universidade do Vale do Paraba (UNIVAP).

Coordenao

Lu i z F l v i o Go m e s

Jurista e cientista criminal. Fundador da Rede de Ensino LFG. Diretor-presidente do Instituto de Pesquisa e Cultura Luiz Flvio Gomes. Foi Promotor de Justia (1980 a 1983), Juiz de Direito (1983 a 1998) e Advogado (1999 a 2001).

F a b r c i o B o l z a n

Mestrando em Direito do Estado pela PUCSP. Palestrante exclusivo de Direito Administrativo e Direito do Consumidor da Rede de Ensino LFG. Consultor jurdico.


2 0 1 2


Damares Pavione

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COLEOCONCURSOSPBLICOSMATEMTICA E

RACIOCNIO LGICO

Damares Pavione

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Damares Pavione


Diretor editorial Luiz Roberto CuriaGerente de produo editorial Lgia AlvesEditor Roberto NavarroAssistente editorial Thiago FragaProdutora editorial Clarissa Boraschi Maria Preparao de originais Ana Cristina Garcia

Maria Izabel Barreiros Bitencourt Bressan Liana Ganiko Brito Catenacci

Arte e diagramao Cristina Aparecida Agudo de FreitasTavares Produes Grficas

Reviso de provas Rita de Cssia Queiroz GorgatiRegina Machado

Servios editoriais Elaine Cristina da SilvaKelli Priscila Pinto

Capa Guilherme P. PintoProduo grfica Marli Rampim

ISBN 978-85-02-16941-8

Pavione, DamaresMatemtica e raciocnio lgico / Damares

Pavione. So Paulo : Saraiva, 2012. (Coleo concursos pblicos : nvel mdio e superior).

1. Lgica - Concursos pblicos 2. Lgica simblica e matemtica - Problemas, exerccios etc. 3. Matemtica - Concursos pblicos 4. Raciocnio I. Ttulo. II. Srie.

Editado tambm como livro impresso em 2012.

ndices para catlogo sistemtico:

1. Concursos pblicos : Matemtica 510.762. Concursos pblicos : Raciocnio lgico 511.0763. Matemtica : Concursos pblicos 510.764. Raciocnio lgico : Concursos pblicos 511.076

Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prvia autorizao da Editora Saraiva.A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n. 9.610/98 e punido pelo art. 184 do Cdigo Penal.

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Dvidas? Acesse www.saraivajur.com.br

Data de fechamento da edio: 7-3-2012


Aos meus pais, pelo apoio incondicional em todas as etapas da minha vida.

Ao meu esposo, companheiro carinhoso e amigo.

E a Deus, que capaz de fazer infinitamente mais do que tudo o que pedimos ou pensamos,

conforme o Seu poder que atua em ns.

Matematica_Concurso Publico_005-118.indd 5 07/03/12 16:16

7Sumrio

APRESENTAO DA COLEO .............................. 13

CAPTULO 1 CONJUNTOS .................................... 151.1. RELAO ENTRE CONJUNTOS ............................ 15

1.1.1. Relao de pertinncia ........................................ 161.1.2. Relao de incluso ............................................ 16

1.2. OPERAES COM CONJUNTOS ........................... 171.2.1. Unio entre conjuntos ........................................ 171.2.2. Interseo entre conjuntos ................................... 171.2.3. Diferena entre conjuntos ................................... 18

1.3. CONJUNTOS NUMRICOS ..................................... 201.3.1. Conjunto dos nmeros naturais .................... 211.3.2. Conjunto dos nmeros inteiros ..................... 211.3.3. Conjunto dos nmeros racionais .................. 211.3.4. Conjunto dos nmeros irracionais .................. 231.3.5. Conjunto dos nmeros reais ......................... 251.3.6. Conjunto dos nmeros complexos ...................... 251.3.7. Operaes com nmeros complexos ................... 251.3.8. Notao de intervalo ........................................... 26

CAPTULO 2 MLTIPLOS E DIVISORES ............... 362.1. NMERO PRIMO ...................................................... 362.2. FATORAO .............................................................. 37

2.2.1. Fatorao em nmeros primos ............................. 372.2.2. Fator comum em evidncia ................................. 38

2.3. MNIMO MLTIPLO COMUM - MMC ................... 382.4. MXIMO DIVISOR COMUM - MDC ...................... 40


8Coleo ConCUrsos pbliCos nvel Mdio e sUperior MateMtiCa

2.5. CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE ............................ 412.5.1. Divisibilidade por 2 ............................................. 422.5.2. Divisibilidade por 3 ............................................. 422.5.3. Divisibilidade por 4 ............................................. 422.5.4. Divisibilidade por 5 ............................................. 422.5.5. Divisibilidade por 6 ............................................. 422.5.6. Divisibilidade por 8 ............................................. 432.5.7. Divisibilidade por 9 ............................................. 432.5.8. Divisibilidade por 10 ........................................... 432.5.9. Divisibilidade por 12 ........................................... 432.5.10. Divisibilidade por 15 ......................................... 44

CAPTULO 3 RAZO E PROPORO .................. 513.1. Grandezas diretamente proporcionais .............................. 523.2. Grandezas inversamente proporcionais ............................ 523.3. Regra de trs simples ...................................................... 523.4. Regra de trs composta .................................................. 53

CAPTULO 4 PORCENTAGEM E JUROS ................ 614.1. PORCENTAGEM ........................................................ 614.2. JUROS .......................................................................... 62

4.2.1. Juros simples ....................................................... 624.2.2. Juros compostos .................................................. 62

CAPTULO 5 POTNCIAS E RAZES ...................... 685.1. OPERAES COM POTNCIAS ............................. 68

5.1.1. Exemplos com expoentes inteiros ........................ 695.1.2. Exemplos com expoentes fracionrios ................. 69

5.2. OPERAES COM RAZES ..................................... 695.2.1. Exemplos de operaes com razes ...................... 715.2.2. Racionalizao de denominadores ....................... 71

5.3. POTNCIA DE DEZ NOTAO CIENTFICA .... 71

CAPTULO 6 GEOMETRIA ..................................... 776.1. NGULOS ................................................................... 77

6.1.1. ngulos congruentes e suplementares .................. 78


9sUMrio

6.2. CIRCUNFERNCIA .................................................. 806.2.1. Posies relativas entre retas e circunferncias ...... 816.2.2. O nmero pi () ................................................. 836.2.3. rea e permetro de circunferncias e arcos ......... 83

6.3. TRINGULO ............................................................... 886.3.1. Condio de existncia ....................................... 886.3.2. Classificao dos tringulos .................................. 896.3.3. Soma dos ngulos internos de um tringulo......... 896.3.4. Segmentos notveis de um tringulo ................... 906.3.5. Congruncia de tringulos .................................. 916.3.6. Semelhana de tringulo ..................................... 916.3.7. Tringulo retngulo ............................................. 926.3.8. Teorema de Pitgoras ........................................... 936.3.9. rea do tringulo ................................................ 94

6.4. TRIGONOMETRIA .................................................... 966.5. POLGONOS ............................................................... 99

6.5.1. Nomes dos polgonos .......................................... 1006.5.2. Nmero de diagonais de um polgono ................. 1006.5.3. Soma dos ngulos de um polgono ...................... 1016.5.4. Aptema de um polgono regular ........................ 1026.5.5. rea de um retngulo .......................................... 102

6.6. GEOMETRIA ESPACIAL ............................................ 1036.6.1. Esfera .................................................................. 1046.6.2. Cilindro .............................................................. 1046.6.3. Prisma ................................................................ 1056.6.4. Cone .................................................................. 1066.6.5. Pirmide ............................................................. 106

CAPTULO 7 UNIDADES DE MEDIDA ................... 1197.1. UNIDADES DE COMPRIMENTO ............................ 119

7.1.1. Mltiplos e submltiplos do metro ...................... 1197.2. UNIDADES DE REA ................................................ 120

7.2.1. Mltiplos e submltiplos do metro quadrado ....... 1207.3. UNIDADES DE VOLUME ........................................... 121

7.3.1. Mltiplos e submltiplos do metro cbico ........... 1217.3.2. Mltiplos e submltiplos do litro ......................... 121

7.4. GRAMA ....................................................................... 122


10

Coleo ConCUrsos pbliCos nvel Mdio e sUperior MateMtiCa

CAPTULO 8 EQUAES E FUNES .................. 1278.1. FUNES PAR E MPAR, CRESCENTE E DECRES- CENTE ....................................................................... 1288.2. EQUAO DE 1o GRAU ............................................ 1308.3. EQUAO DE 2o GRAU ............................................ 131

8.3.1. Produtos notveis ................................................ 1328.4. SISTEMAS DE EQUAES ........................................ 1328.5. FUNO DE 1o GRAU .............................................. 1348.6. FUNO DE 2o GRAU .............................................. 1358.7. FUNO EXPONENCIAL ........................................ 1388.8. FUNO LOGARTMICA ........................................ 141

8.8.1. Propriedades logartmicas .................................... 1428.9. INEQUAO DE 1o GRAU ....................................... 1458.10. INEQUAO DE 2o GRAU ..................................... 1468.11. DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO EM .. 1478.12. FUNES TRIGONOMTRICAS .......................... 154

CAPTULO 9 PROGRESSES ................................. 1649.1. PROGRESSO ARITMTICA - PA ........................... 164

9.1.1. Razo de uma PA ............................................... 1649.1.2. Termo geral de uma PA ....................................... 1659.1.3. Soma de uma PA ................................................ 165

9.2. PROGRESSO GEOMTRICA - PG ........................ 1669.2.1. Razo de uma PG ............................................... 1669.2.2. Termo geral de uma PG ...................................... 1679.2.3. Soma de uma PG ................................................ 167

CAPTULO 10 NOES DE ESTATSTICA ............. 17310.1. MDIA ARITMTICA, MEDIANA E MODA .......... 173

10.1.1. Mdia aritmtica simples ................................... 17310.1.2. Mdia aritmtica ponderada .............................. 17410.1.3. Mediana ............................................................ 17410.1.4. Moda ................................................................ 174

10.2. DESVIO PADRO E DISPERSO ........................... 17510.2.1. Desvio padro ................................................... 17510.2.2. Varincia ............................................................ 175

10.3. GRFICO DE FREQUNCIA ................................. 176


11

sUMrio

CAPTULO 11 MATRIZ E DETERMINANTE .......... 18511.1. MATRIZES ................................................................. 185

11.1.1. Matriz nula ....................................................... 18511.1.2. Matriz quadrada ................................................ 18611.1.3. Matriz identidade .............................................. 18611.1.4. Matriz transposta ............................................... 18611.1.5. Matriz simtrica ................................................ 18711.1.6. Soma de matrizes .............................................. 18711.1.7. Propriedades de soma ou subtrao de matrizes . 18811.1.8. Multiplicao de uma matriz por um escalar ...... 18811.1.9. Propriedades da multiplicao de matriz por escalar ...................................................................... 18811.1.10. Multiplicao de matrizes ................................ 18811.1.11. Propriedades da multiplicao de matrizes ....... 18911.1.12. Matriz inversa.................................................. 190

11.2. DETERMINANTES ................................................... 19111.2.1. Determinante de uma matriz de segunda ordem (2x2) .................................................................. 19111.2.2. Determinante de uma matriz de terceira ordem (3x3) .................................................................. 19111.2.3. Propriedades dos determinantes ......................... 192

CAPTULO 12 ANLISE COMBINATRIA E PRO- BABILIDADE ....................................................... 19912.1. PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.... 199

12.1.1. Nmero de possibilidades de ocorrncia simul- tnea de eventos ................................................. 19912.1.2. Nmero de possibilidades de ocorrncia no si- multnea de eventos ........................................... 199

12.2. PROBABILIDADE ...................................................... 20012.2.1. Unio de dois eventos ....................................... 20112.2.2. Probabilidade de dois eventos ............................ 202

12.3. COMBINAO, ARRANJO E PERMUTAO ..... 20312.3.1. Fatorial ............................................................. 20312.3.2. Combinao ..................................................... 20312.3.3. Arranjo ............................................................. 20412.3.4. Permutao ....................................................... 204


12


CAPTULO 13 RACIOCNIO LGICO ................... 21813.1. PROPOSIES.......................................................... 218

13.1.1. Negao ............................................................ 21913.1.2. Conjuno ........................................................ 22013.1.3. Disjuno .......................................................... 22113.1.4. Disjuno exclusiva ........................................... 22113.1.5. Condicional ...................................................... 22213.1.6. Bicondicional .................................................... 22813.1.7. Negao de proposies .................................... 22913.1.8. Nmero de linhas da tabela verdade ................... 23013.1.9. Tautologia e proposies contraditrias .............. 231

13.2. LGICA DA ARGUMENTAO ............................ 23213.2.1. Argumento ........................................................ 23213.2.2. Quantificadores ................................................. 23313.2.3. Negao de quantificadores ............................... 23413.2.4. Diagramas lgicos ............................................. 235

13.3. QUESTES DIVERSAS ............................................ 242


13

Cap. Con-Untos

Apresentao da Coleo

O maior objetivo da Coleo Concursos Pblicos Nvel Mdio e Superior dar acesso ao Direito para os candidatos que pretendem ocupar cargos pblicos mesmo sem possuir grau superior ou para aqueles que j cursaram uma universidade, mas em reas completa-mente distintas da carreira jurdica.

Tal finalidade ser alcanada certamente em razo da excelncia dos autores, que possuem larga experincia em ensinar o Direito para os alunos que almejam aprovao em concursos pblicos envolvendo carreiras no jurdicas. Assim, houve efetiva preocupao e compro-metimento de cada um dos autores no sentido de evitar o uso exces-sivo de terminologias tcnico-jurdicas, ou, quando necessria a utili-zao desses termos, ocorreu uma verdadeira traduo do famoso juridiqus.

muito difcil compreender uma lei com vrios termos jurdicos se o candidato no cursou graduao em Direito. Foi pensando nesse pblico que esta Coleo foi idealizada h algum tempo e agora con-cretizada com o propsito de simplificar o Direito. Muitos exemplos da vida cotidiana, esquemas e quadros sinticos foram utilizados para facilitar ao mximo a compreenso das mais variadas disciplinas jur-dicas solicitadas em concursos de nvel mdio e superior.

No entanto, nem s de conhecimento sobre o Direito vive o candidato a ocupar um cargo pblico. Dessa forma, alm das discipli-nas jurdicas, o leitor ir se deparar com uma Coleo que ter entre os seus volumes quatro matrias imprescindveis para a aprovao em qualquer concurso pblico, quais sejam: Portugus, Matemtica, Ra-ciocnio Lgico e Informtica.


14


Com o propsito de auxiliar os candidatos no ingresso em car-reiras: de Analista e Tcnico de Tribunais Estaduais e Federais e dos Ministrios Pblicos Estaduais e Federal; de Agente e Escrivo das Polcias Civis Estaduais e Federal e das Polcias Rodovirias Estaduais e Federal; em entidades e rgos da Administrao Pblica Municipal, Estadual, Distrital ou Federal como o INSS e a AGU, dentre outras, estamos convictos de que esta uma Coleo que ir revolucionar a metodologia de aprendizado para o xito no concurso pblico.

Se voc pensa num futuro melhor ocupando uma carreira pbli-ca, no perca mais tempo e comece j a sua preparao. Bons estudos e avante!

Os Coordenadores

Luiz Flvio Gomes e Fabrcio Bolzan


15

Cap. Con-Untos

1. CON-8NTOSConjunto uma unio de elementos que possuem caractersticas

em comum. Os conjuntos so normalmente representados fechando-se em chaves os seus elementos, ou atravs de diagramas. Veja os exemplos.

3 6 9

12 15

18

A

A o conjunto formado por mltiplos de 3 menores que 20.

B {Salvador, Aracaju, Macei, Recife, Joo Pessoa, Natal, Fortaleza, Terezina, So Lus}. B o conjunto formado pelas capitais nordestinas.

1.1. RELAO ENTRE CONJUNTOS

A tabela a seguir mostra os smbolos utilizados quando se traba-lha com conjuntos. Em seguida, os exemplos demonstraro melhor o uso de cada um.

ou^` Conjunto vazio

Pertence

No pertence

Est contido


16


No est contido

Contm

No contm

Unio

Interseo

Diferena

Considere os conjuntos A, B, C e D. Cada um deles est repre-sentado de duas formas diferentes.

3 6 9

12 15

18 21

A

6 12

2418

30

B

6 93

DC

A {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}

B {6; 12; 18; 24; 30}

C , ou C { }

D {3; 6; 9}

1.1.1. 5elaodepertinncia

O elemento 15 pertence ao conjunto A, mas no pertence ao Conjunto B. As notaes para estas afirmaes so:

15 A (leia-se: 15 pertence a A).

15 B (leia-se: 15 no pertence a B).

1.1.2. 5elaodeincluso

Todos os elementos do conjunto D tambm pertencem ao conjunto A. Portanto, o conjunto D est contido em A. Podemos tambm dizer que D no est contido em B. Neste caso, utilizamos as notaes:


17

Cap. Con-Untos

3 6

912

15

18 21

AD

D A (leia-se: D est contido em A).

D B (leia-se: D no est contido em B).

Outra forma de expressar que D est contido em A dizendo que A contm D. Semelhantemente, B no contm D.

A D (leia-se: A contm D).

B D (leia-se: B no contm D).

Podemos dizer ainda que D um subconjunto de A.

1.2. OPERAES COM CONJUNTOS

1.2.1. Unioentreconjuntos

A representao da unio de todos os elementos dos conjuntos A e B em um novo conjunto :

3

6

9

12

15 18 21

24 30

A B

A B 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 30 (leia-se: A unio com B)

1.2.2. Interseoentreconjuntos

A interseo entre dois conjuntos formada pelos seus elemen-tos comuns. Desta forma, tem-se:


18


369

121518

21

24

30

A B

A B

A B 6; 12; 18 (leia-se: A interseo com B)

1.2.3. Diferenaentreconjuntos

A diferena entre os conjuntos A e B formada pelos elementos pertencentes a A menos aqueles pertencentes a B. Logo,

A B

3

69

1215

1821

24

30

A B 3; 9; 15; 21 (leia-se: A menos B)

APLICAO EM CONCURSOS

CAIPIMES/2007/So Paulo Turismo A tabela abaixo represen-ta o resultado de uma pesquisa semanal em um restaurante sobre a preferncia entre 3 vinhos A, B e C: Considere as afirmativas:

VINHO PREFERNCIA

A 160

B 200

C 270

A e B 80


19

Cap. Con-Untos

B e C 90

A e C 100

A, B e C 60

Nenhum 160

I. 40 pessoas preferem somente o vinho A

II. 280 pessoas preferem o vinho A ou B

III. 140 pessoas preferem somente o vinho C

IV. 580 pessoas foram consultadas

So verdadeiras as alternativas:

a) II, III e IV apenas

b) I, II, III e IV

c) I, III e IV apenas

d) I, II e III apenas

Soluo:

Observe que existem quatro diferentes conjuntos; o conjunto das pessoas que gostam do vinho A, das pessoas que gostam do vinho B, das pessoas que gostam do vinho C e daquelas que no gostam de nenhum desses vinhos. Os conjuntos A, B e C possuem elementos em comum. Ou seja, quando a tabela acima diz que pessoas tm prefern-cia pelos vinhos A e B, por exemplo, essas pessoas pertencem tanto ao grupo A quanto ao grupo B.

Quando a tabela diz que 160 pessoas preferem o vinho A, quer dizer que a soma de todo o conjunto A tem que ser igual a 160. Cui-dado! A tabela no informou aqueles que preferem apenas o vinho A.

O conjunto daqueles que no gostam de nenhum dos trs vinhos ficar separado, sem nenhum elemento em comum.

Sabemos quantas pessoas preferem os trs vinhos concomitante-mente. Logo, a rea de interseo dos trs conjuntos dever conter 60 pessoas.

O nmero de elementos das reas comuns a dois conjuntos obtido por simples subtrao.


20


Por exemplo, o nmero de pessoas comum aos conjuntos A e B de 80 pessoas. Dessas 80 pessoas h aquelas que tambm gostam do vinho C, que so 60 pessoas. Assim, o nmero daqueles que gostam apenas dos vinhos A e B de 20 pessoas (80 - 60).

80-60

90-60100-60

160

Nenhum60

A B

160

Nenhum

20

3040

60

A B

CC

Para encontrar o nmero de pessoas que gostam apenas do vinho A, por exemplo: 160 (engloba todo o conjunto A) menos 20 (aqueles que gostam dos vinhos A e B), menos 40 (aqueles que gos-tam dos vinhos A e C), menos 60 (aqueles que gostam dos vinhos A, B e C).

Descobrindo-se o nmero de pessoas de cada rea isolada dos conjuntos, para se encontrar o nmero total de pessoas entrevistadas basta somar cada rea isolada (40 20 40 60 30 90 140 160 580).

60 60

160

Nenhum

A B

160

Nenhum

A B

CC

20 9040

40 30

20

40 30

140270-40-60-30

160-

20-6

0-40

200-20-60-30

(Resposta: letra b)

1.3. CONJUNTOS NUMeRICOS

Os nmeros podem ser agrupados em diferentes conjuntos, con-forme suas caractersticas.


21

Cap. Con-Untos

Irracionais

Racionais

Reais

Complexos

Inteiros

Naturais

1.3.1. Conjuntodosnmerosnaturais

So todos os nmeros inteiros e positivos, inclusive o zero.

0; 1; 2; 3; 4; ...; 100; 101; 102; ...

1.3.2. Conjuntodosnmerosinteiros

So todos os nmeros do conjunto N, acrescidos dos nmeros inteiros negativos.

... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; ...

1.3.3. Conjuntodosnmerosracionais

So todos os nmeros do conjunto , acrescidos dos nmeros fracionrios, inclusive as dzimas peridicas.

Exemplos: 0; 0,444; 12 ; 1; 2; 3,333333...; 5,5Dzimas peridicas

Dzima um nmero que, quando escrito no sistema decimal, possui infinitos algarismos. Por exemplo: 0,33333... . A quanti -dade de algarismos 3, depois da vrgula, infinita.

Essas dzimas possuem um PERODO. Isso significa que os al-garismos aps a vrgula, os chamados decimais, se repetem. Veja os exemplos:

0,44444... perodo: 4

2,184184... perodo: 184


22


0,53333... perodo: 3. Neste caso, o 5 a parte no peridica, pois s aparece uma vez, no se repete.

As dzimas peridicas podem ser escritas como uma razo entre dois nmeros inteiros (com denominador diferente de zero). Essa razo chama-se frao geratriz.

Frao geratriz

Quando temos uma dzima simples, ou seja, sem parte no peri-dica, coloca-se na frao geratriz um algarismo 9 para cada algarismo da dzima no denominador e o perodo no numerador. Acompanhe o exemplo a seguir.

2,184 2 0,184184 ...

Iremos determinar a fraogeratriz da parte decimal.

A dzima formada porum perodo de trsalgarismos (184).

Coloca-se o perodo no numerador.

Como o perodo formado por trsalgarismos, colocam-se trs algarismos9 no denominador.

0,184 184999

Agora basta juntar a parte fracionria parte inteira. A funo

geratriz do nmero 2,184184... 2 184999

1998 184

999

2182999

Quando h uma parte no peridica, o procedimento para se en-contrar a frao geratriz um pouco diferente. Acompanhe o exemplo.

Coloca-se no numerador um nmeroformado pelos algarismos da parte no peridica e da parte peridica: 53

Parte no peridica: 5Parte peridica: 3

0,5333 53 5

90 Diminui-se pela parte no peridica: 5

No denominador coloca-se um algarismo 9 para cada algarismo da parte peri-dica e um algarismo zero para cada algarismo da parte no peridica: 90

A frao geratriz da dzima 0,5333...

Dividimos por 6 para simplificar a frao.

53 590

4890

815

6

6


23

Cap. Con-Untos

Veja mais um exemplo.

0,90686868... 9068 90

9900

89789900

44894950

Parte peridica: 68

Parte no peridica: 90

importante ter em mente algumas caractersticas de operaes entre elementos do conjunto dos nmeros racionais.

Considere dois nmeros, x e y, ambos racionais (pertencentes ao conjunto Q).

(x y) Q A soma de dois nmeros racionais resulta em um nmero racional

(x y) Q A diferena entre dois nmeros racionais resul-ta em nmero racional

(x y) Q O produto de dois nmeros racionais resulta em um nmero racional

xy Q, y 0 O quociente de dois nmeros racionaisresulta em um nmero racional, desde que o denominador seja dife-rente de zero.

Podemos dizer ento que o conjunto dos nmeros racionais fechado para as operaes de adio, subtrao, multiplicao e divi-so (exceto por zero).

1.3.4. Conjuntodosnmerosirracionais

Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser escritos

na forma ab

com a e b inteiros. Ou seja, no existe uma frao que os

represente. So dzimas, mas no peridicas, ou seja, no existe um perodo que se repete infinitamente.

A dzima peridica 0,3333333... pode ser escrita com a frao 13

.

J para o nmero irracional PI (3,141592...) no existe uma frao de nmeros inteiros que o represente. (Veja nmero PI em circunfern-cia, geometria plana.)

Pela figura anterior, que expressa os conjuntos numricos exis-tentes, percebemos que no existe um nmero que seja irracional


24


(conjuntos I) e racional (conjunto Q) ao mesmo tempo, como ocorre com alguns nmeros em Z e N, por exemplo.

NOTA So irracionais todas as razes de nmeros naturais cujos resultados no so inteiros, isto , razes no perfeitas. Exemplos:

416 2

416 um nmero racional, pois sua raiz inteira

3 um nmero irracionalAgora, vejamos as operaes entre dois nmeros irracionais (per-

tencentes ao conjunto I).

A soma de dois nmeros irracionais nem sempre resulta em um nmero irracional.

Exemplo: 2 ( 2) 0 zero no est em . A diferena entre dois nmeros irracionais nem sempre resulta

em nmero irracional.

Exemplo: 2 2 0 zero no est em . O produto de dois nmeros irracionais nem sempre resulta em

um nmero irracional.

Exemplo: 2 2 2 2 no est em . O quociente de dois nmeros irracionais nem sempre resulta

em um nmero irracional.

Exemplo: 2 2

1 1 no est em .

Podemos dizer ento que o conjunto dos nmeros irracionais no fechado para as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso.

Vejamos agora operaes entre um nmero racional (a) e um nmero irracional (b).

(a b) A soma de um nmero racional com um nme-ro irracional resulta em um nmero irracional.

(a b) A diferena entre um nmero racional e um nmero irracional resulta em um nmero irracional.

(a b) O produto de um nmero racional por um nme-ro irracional resulta em um nmero irracional.


25

Cap. Con-Untos

ab

O quociente de um nmero racional por um nmero

irracional resulta em um nmero irracional.

ba Um nmero irracional elevado a um expoente racio-nal resulta em um nmero irracional.

1.3.5. Conjuntodosnmerosreais

So todos os nmeros do conjunto , acrescidos dos nmeros irracionais (conjunto ). A figura que ilustra a relao entre os conjun-tos mostra que o conjunto est dentro do conjunto , mas parte do conjunto .

1.3.6. Conjuntodosnmeroscomplexos

No conjunto dos nmeros reais, quando elevamos um nmero ao quadrado, positivo ou negativo, o resultado sempre ser positivo.

32 3 3 9(3)2 (3) (3) 9

Entretanto, o conjunto dos nmeros complexos traz o conceito dos nmeros com parte imaginria (i ), que possuem a propriedade de, quando elevados ao quadrado, resultar em um nmero negativo.

i 2 1

Um nmero complexo escrito na formaz x yi

em que x representa a parte real, enquanto yi representa a parte ima-ginria.

A cada nmero complexo podemos atribuir um nmero real equivalente, dado por z.

z x2 y2

1.3.7. Operaescomnmeroscomplexos

Adio e subtrao:

(a bi ) (c di ) (a c) (b d )i Somam-se as partes reais e somam-se as partes imaginrias.

(a bi ) (c di ) (a c) (b d )i Subtraem-se as partes reais e subtraem-se as partes imaginrias.


26


Multiplicao e diviso:

(a bi ) (c di ) (ac bd ) (ad cb)i Multiplicam-se todos os termos do primeiro parnteses por todos os termos do se-gundo parnteses.

(a bi )(c di )

(a bi )(c di )

(c di )(c di )

(a c) (b d )i

c2 (di)2

(a c) (b d )i

c2 d2 (Veja produtos notveis em equaes de 2o

grau, equaes e funes.) Multiplicam-se os dois termos por um nmero complexo que permitir eliminar a parte imaginria do de-nominador, semelhantemente ao que feito na racionalizao de denominadores. (Veja racionalizao de denominadores em potn-

cias e razes.)

(a bi )

di

(a bi )di

ii

ai bi2

di2

ai b1d

a id

bd

Quando o denominador possui apenas a parte imaginria (parte real igual a zero), basta multiplicar o numerador e o denominador por i para eliminar a parte imaginria do denominador.

NOTA Quando se deseja representar um conjunto excluindo-se o zero, coloca-se um asterisco (*) acompanhando a notao do conjunto.

Quando se deseja representar apenas os valores positivos ou nega-tivos de um conjunto, coloca-se o subscrito ou o subscrito acom-panhando a notao do conjunto.

* o conjunto dos nmeros naturais diferentes de zero. o conjunto dos nmeros inteiros positivos (inclui-se o zero). o conjunto dos nmeros racionais negativos (inclui-se o zero). * o conjunto dos nmeros reais positivos (exclui-se o zero).

1.3.8. Notaodeintervalo

Intervalos numricos so subconjuntos de um determinado con-junto. Na figura abaixo, a reta representa o conjunto dos nmeros reais. A distncia entre dois pontos quaisquer na reta real representa o intervalo.

0123 1 2 3


27

Cap. Con-Untos

A figura mostra uma reta numrica, onde se encontram, em ordem crescente, todos os nmeros do conjunto , inclusive aqueles fracion-rios e irracionais, apesar de no estarem todos os nmeros indicados. Como foi indicado que a reta numrica representa o conjunto dos nmeros reais, estes nmeros no escritos esto subentendidos.

Repare que as setas indicam que o conjunto continua com os nmeros menores que 3 e maiores que 3.

Se a reta numrica fosse representante do conjunto dos nmeros naturais, consideraramos apenas os nmeros inteiros positivos.

0 1 2 3

A linha mais espessa na primeira figura representa um intervalo numrico. No caso, este intervalo compreende todos os nmeros entre o nmero 1 e o nmero 1 (Por exemplo: 0,6543; 0,5; 0; 0,3333333; 0,8 etc.).

Na notao de intervalo colocamos uma bolinha cheia para indicar que o nmero no qual a bolinha se encontra tambm perten-ce ao intervalo (intervalo fechado). A bolinha vazia indica que o nmero no pertence ao intervalo (intervalo aberto). Ou seja, no caso em questo, os nmeros muito prximos de 1 (0,99; 0,9999; 0,9999999) pertencem ao intervalo. Mas o nmero 1 no pertence.

A seguir, so descritas outras formas de notao de intervalo.

Intervalos de todos os nmeros compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado direita e esquerda. Ou seja, os nmeros 2 e 5 pertencem ao intervalo.

[2; 5] ou

{x / 2 x 5}

Intervalos de todos os nmeros compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado apenas direita. Ou seja, o nmero 5 pertence ao intervalo, mas o nmero 2, no.

]2; 5] ou

(2; 5] ou

{x / 2 x 5}


28


Intervalos de todos os nmeros compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado apenas esquerda. Ou seja, o nmero 2 pertence ao intervalo, mas o nmero 5, no.

[2; 5[ ou

[2; 5) ou

{x / 2 x 5}

Intervalos de todos os nmeros compreendidos entre 2 e 5. Intervalo aberto direita e esquerda. Ou seja, os nmeros 2 e 5 no pertencem ao intervalo.

] 2; 5 [ ou

(2; 5) ou

{x / 2 x 5}

fcil perceber que, assim como a bolinha cheia, o colchete virado para dentro indica intervalo fechado. E o colchete virado para fora, ou o parnteses, indica o intervalo aberto. E ainda, o sinal de (menor que) denota intervalo aberto, enquanto o sinal de (menor ou igual) indica intervalo fechado.

NOTA Leia-se:

{x / 2 x 5}

x pertence a R, tal que, 2 menor que x, que menor ou igual a 5.


FUNRIO/2008/CBM Dada a dzima x 0,222... , ento o valor

numrico da expresso x

1x 1

x 1x 1

representado por

a) 67

103 c)

67105

e) 67

104

b) 65

103 d)

65104


29

Cap. Con-Untos

Soluo:

Vamos encontrar a frao geratriz da dzima 0,222... e substitu- -la na expresso.

0,222... 29

29

129

1

29

129

1

29

29

1

29

92

1

4 81 1818

4 81 1818

671810318

6718

18103

67103

(Resposta: letra a)

AOCP/2009/Casan Dados os intervalos [5; 8] e [3; 7], podemos afirmar que [5; 8] (3; 7) equivale a

a) (3; 8] c) [5; 7) e) [5; 8]

b) (3; 8) d) [5; 7]

Soluo:

Vamos expressar os intervalos sobre retas, para melhor visualiza-o. Lembrando que a interseo entre os intervalos so os elementos pertencentes aos dois intervalos ao mesmo tempo.

5 3 7 8

5 3 7 8

5 3 7 8

O nmero 7 no pertence ao intervalo (3; 7), pois este intervalo aberto nas duas extremidades. Logo, no resultado da interseo o 7 deve aparecer como intervalo aberto.

O nmero 5 pertence ao intervalo [5; 8], pois este intervalo fechado em ambas as extremidades. Logo, no resultado da interseo, o 5 deve aparecer como intervalo fechado.

[5; 8] (3; 7) [5; 7)

Outras formas de notao deste intervalo: [5; 7) [5; 7[ {x / 5 x 7}

(Resposta: letra c)


30


CESPE/2009/Fundao Hospitalar de Sade ES Julgue os itens que se seguem com relao aos nmeros reais.

Soluo:1. As razes da equao x2 4x 1 so nmeros irracionais.

(Veja equaes e funes.)

) (4)2 4 1 1 12

x (4) 2

2 1

4 22

Como 2 no uma raiz perfeita, podemos concluir que um nmero irracional. As operaes entre um nmero irracional e um n-mero racional resultam em um nmero irracional. Assim, conclumos que a soma/subtrao e a diviso do nmero irracional 2 pelos nmeros racionais 4 e 2, respectivamente, resultam em um nmero irracional. (Resposta: item certo)

2. O produto de dois nmeros racionais no inteiros um nmero racional no inteiro.

Soluo:Podemos afirmar que o produto de dois nmeros racionais ser um

nmero racional. Mas no podemos afirmar se sero inteiros ou no.Exemplo:

34

43

1212

1 Tanto o nmero 34

quanto o nmero 43

so

racionais no inteiros. Porm o seu produto igual a 1, que um nmero racional inteiro.(Resposta: item falso)3. Se a soma de dois nmeros reais um nmero irracional, ento um

desses nmeros , necessariamente, irracional.

Soluo:Os nmeros reais so formados pelos nmeros racionais e irra-

cionais. A soma entre dois nmeros racionais ser necessariamente um nmero racional. Assim, para que o resultado da soma entre dois n-meros reais seja um nmero irracional, ou os dois nmeros devem ser


31

Cap. Con-Untos

irracionais, ou um dos nmeros deve ser irracional e o outro racional.(Resposta: item certo)

CESGRANRIO/2001/Petrobras Distribuidora Os nmeros complexos z1; z2; z3 formam, nessa ordem, uma progresso geomtri-ca de razo i, onde i representa a unidade imaginria. Se z2 2 i, ento z1 igual aa) 2 i c) 1 2ib) 2 i d) 1 2i

Soluo:

z2 i z3 (Veja progresso geomtrica em progresses.)

z2 z3i

2 i

i

2 ii

ii

(2 i) ii2

2i i2 i1

2i (1)

1

1 2i1

1 2i

z1 i z2

z1 z2i

1 2i

i

1 2ii

ii

(1 2i) ii2

i 2i2

1

i (1 2)1

i 21

i 2 2 i

(Resposta: letra a)

PRATICANDO

1. FUNRIO/2008/CBM-RJ Na seleo de operrios da constru-o civil, foram entrevistados 80 candidatos e constatou-se que:

45 desses candidatos sabiam lidar com pintura;

50 deles sabiam lidar com instalaes eltricas;

50 sabiam lidar com instalaes hidrulicas;

15 tinham habilidades nas trs modalidades de servio.

Todos os operrios tinham habilidade em pelo menos uma das modalidades acima. Foram contratados todos os que tinham habilida-de em exatamente duas modalidades. Nessas condies, o nmero de candidatos contratados foi:a) 20 c) 35 e) 55b) 10 d) 60


32


CESPE/2011/TRE-ES Em uma pesquisa, 200 entrevistados foram questionados a respeito do meio de transporte que usualmente utilizam para ir ao trabalho. Os 200 entrevistados responderam indagao e, do conjunto dessas repostas, foram obtidos os seguintes dados:

35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e automvel prprio;

35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e bicicleta;

11 pessoas afirmaram que usam automvel prprio e bicicleta;

5 pessoas afirmaram que usam bicicleta e vo a p;

105 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo;

30 pessoas afirmaram que s vo a p;

ningum afirmou usar transporte coletivo, automvel e bicicleta; e o nmero de pessoas que usam bicicleta igual ao nmero de pes-soas que usam automvel prprio.

Com base nessa situao, julgue os itens subsequentes.

2. O nmero de pessoas que s usam bicicleta inferior ao nmero de pessoas que s usam automvel prprio.

3. O nmero de pessoas que usam apenas transporte coletivo para ir ao trabalho igual a 35.

4. O nmero de pessoas que usam transporte coletivo o triplo do nmero de pessoas que vo a p.

5. Caso se escolha, ao acaso, uma das pessoas entrevistadas, a probabi-lidade de essa pessoa ir para o trabalho a p ser inferior a 15%.

6. O nmero de pessoas que somente usam automvel prprio superior ao nmero de pessoas que s vo ao trabalho a p.

7. IDESPEM/2008/Prefeitura de Matias Cardoso MG Trito o maior satlite de Netuno. Sabe-se que a sua superfcie formada por metano e nitrognio congelados: a temperatura medi-da pela Voyager de 235 C. Sobre o nmero citado no enuncia-do, NO correto afirmar:

a) um nmero que faz parte do conjunto

b) um nmero maior 240 C

c) um nmero racional


33

Cap. Con-Untos

d) um nmero real

e) um nmero que faz parte do conjunto

8. CESGRANRIO/2011/Petrobras Conversando com os 45 alunos da primeira srie de um colgio, o professor de educao fsica verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vlei, sendo que 4 alunos no jogam nem futebol nem vlei. O nmero de alunos que jogam tanto futebol quanto vlei

a) 5 d) 11

b) 7 e) 13

c) 9

9. NCE/2005/Secretaria da Fazenda AM A frao que repre-senta a dzima 3,0121212 :

a) 301299

d) 2982990

b) 3012999

e) 2982999

c) 30129999

10. CESPE/2009/SEDUC-CE Julgue os itens subsequentes rela-tivos a nmeros reais.

I. 2

e 5

so, ambos, nmeros irracionais.

II. Se u e v so nmeros inteiros e se u2 v2, ento u v.

III. Se m e n so nmeros inteiros e se m n um nmero par, ento pelo menos um deles, m ou n, um nmero par.

IV. Se a e b so nmeros inteiros e se a 0, ento ab um nmero inteiro.

V. A dzima 0,2222... representa um nmero racional.

Esto certos apenas os itens

a) I e IV. c) I, II e III.

b) III e V. d) II, IV e V.


34


11. CONESUL/2008/Correios GO Na equao 6

x 2

95

13

, com x 2, o valor de x

a) uma dzima peridica. d) um nmero irracional.

b) um nmero inteiro negativo. e) um nmero imaginrio.

c) um nmero natural.

12. CESGRANRIO/2001/Petrobras Sendo i a unidade imagi-

nria e escrevendo o complexo z (3 i )2

1 i na forma z a bi

tem-se que a b igual a

a) 1 c) 2

b) 1 d) 6

13. CESGRANRIO/2001/Petrobras Os nmeros complexosz1; z2; z3 formam, nessa ordem, uma progresso aritmtica e so tais que z1 z2 z3 6 9i, onde i representa a unidade ima-ginria. Sendo assim, (z2)2 igual a

a) 5 d) 13 6i

b) 5 6i e) 13 12i

c) 5 12i

14. FCC/2010/TCE-SP Sabe-se que se i unidade imaginria do conjunto dos nmeros complexos, ento, para cada nmero natu-ral n, a potncia in igual a 1, i, 1 ou i. Usando essa informa-

o, correto afirmar que a soma 50

n 1 in igual a:

a) 0 d) 1 i

b) 1 i e) i 1

c) 1 i


35

Cap. Con-Untos

CESPE/2008/TRT 5a Regio No curso de lnguas Esperanto, os 180 alunos estudam ingls, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alu-nos estudam espanhol e que 40 estudam somente ingls e espanhol. Com base nessa situao, julgue os itens que se seguem.

15. Se 40 alunos estudam somente grego, ento mais de 90 alunos estudam somente ingls.

16. Se os alunos que estudam grego, estudam tambm espanhol e nenhuma outra lngua mais, ento h mais alunos estudando ingls do que espanhol.

17. Se os 60 alunos que estudam grego, estudam tambm ingls e nenhuma outra lngua mais, ento h mais alunos estudando so-mente ingls do que espanhol.

CESPE/2010/TRT 21a Regio Considere que todos os 80 alunos de uma classe foram levados para um piquenique em que foram servidos salada, cachorro-quente e frutas. Entre esses alunos, 42 come-ram salada e 50 comeram frutas. Alm disso, 27 alunos comeram ca-chorro-quente e salada, 22 comeram salada e frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 comeram os trs alimentos. Sabendo que cada um dos 80 alunos comeu pelo menos um dos trs alimentos, julgue os prximos itens.

18. Dez alunos comeram somente salada.

19. Cinco alunos comeram somente frutas.

20. Sessenta alunos comeram cachorro-quente.

21. Quinze alunos comeram somente cachorro-quente.

Gabarito:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C Certo Certo Certo Falso Falso A C D B A D C E Falso

16 17 18 19 20 21

Certo Falso Falso Certo Certo Falso


36


2. MLTIPLOS E DI9 ISORES2.1. NMERO PRIMO

Um nmero ser primo quando for divisvel por nenhum outro nmero alm de 1 e ele mesmo. Por exemplo, o nmero 13 s divi-svel por 1 e por 13, portanto, primo.

Os primeiros nmeros primos so fceis de serem identificados, que so 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 etc. Entretanto, para se identificar um nmero primo de alto valor pode-se seguir um critrio. H vrios m-todos para se reconhecer um nmero primo. Apresentaremos um aqui.

Divide-se o nmero pelos primeiros nmeros primos (2, 3, 5, 7, 11 etc.) at que:

Ou ocorra uma diviso com resto zero. Neste caso o nmero no primo.

Ou ocorra uma diviso com quociente menor ou igual ao di-visor com o resto diferente de zero. Neste caso o nmero primo.

Exemplo: verificar se o nmero 79 primo. 79 2 quociente 39, resto 1 79 3 quociente 26, resto 1 79 4 quociente 19, resto 1 79 5 quociente 15, resto 4 79 6 quociente 13, resto 1 79 7 quociente 11, resto 2 79 8 quociente 9, resto 7 79 9 quociente 8, resto 7


37

Cap. Mltiplos e divisores

Pronto! Aqui o quociente foi menor que o divisor: 8 9. Portan-to, o nmero 79 primo.

NOTA O nmero 1 no nmero primo, pois tem apenas um divisor, que ele mesmo. Para ser primo tem que haver 2 divisores.

2.2. FATORAO

A fatorao um recurso da matemtica que permite alterar a forma de uma expresso para facilitar os clculos, utilizando a multi-plicao.

2.2.1. Fatoraoemnmerosprimos

Todo nmero no primo pode ser decomposto em nmeros pri-mos. A esta decomposio chamamos fatorao em nmeros primos.

Para exemplificar, vamos fatorar o nmero 630.

Busca-se o menor nmero, maior que 1, que divida o nmero 630 e que a diviso no tenha restos. Ou seja, que o quociente (re-sultado da diviso) seja um nmero inteiro. Neste caso foi o nmero 2. Este nmero encontrado para a diviso ser um nmero primo.

Realizada a diviso do nmero 630 por 2 (630 2 315), busca-se agora o menor nmero primo que dividir o nmero 315 sem deixar restos.

Repete-se este processo at chegar ao nmero 1.

630 2 315 3 630 2 315 Menor nmero primo que o nmero 630 divisvel. 105 3 35 5 7 7 1

A decomposio do nmero 630 em nmeros primos ser: 630 2 32 5 7.

Note que, como o nmero primo 3 apareceu duas vezes na fa-

torao, colocamo-lo na forma de potncia (3 3 32). (Veja potn-

cias e razes.)


38


2.2.2. Fatorcomumemevidncia

Uma forma de fatorar uma expresso colocando-se um fator comum em evidncia. Para isso, basta identificar o fator comum das partes integrantes da expresso e destac-lo. Veja os exemplos.

x2 2x

1a parte x x 2a parte 2 x

Fator comum x

Agora colocaremos o fator comum x em destaque, fora dos pa-rnteses: x(x 2).

Perceba que se multiplicarmos o fator comum x pelos fatores internos aos parnteses, voltaremos expresso original.

x(x 2) x x x 2 x2 2x

6x3 9x2 3x 3x(2x2 3x 1) Fator comum: 3x

(Veja potncias e razes.)

x8 x2 x2(x6 1) Fator comum: x2

18x2 6x 12 6(3x2 x 2) Fator comum: 6

ab2 3a3b ab(b 3a2) Fator comum: ab

Em alguns casos, teremos grupos de fatores comuns. No primei-ro exemplo a seguir, o grupo (x y) comum a a e b.

ax ay bx by a(x y) b(x y) (a b) (x y)

x2 3x ax 3a x(x 3) a(x 3) (x a) + (x 3)

2.3. MNIMO MLTIPLO COMUM MMC

Observe os conjuntos a seguir. O primeiro conjunto descreve os primeiros mltiplos do nmero 4. Cada nmero do conjunto igual ao anterior mais 4. O segundo conjunto traz os primeiros mltiplos do nmero 6.

{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ...}

{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...}


39


Perceba que alguns mltiplos de 4 coincidem com os mltiplos de 6 (12, 24, 36, 48, 60 etc.). O menor mltiplo em comum o n-mero 12. Este chamado de MNIMO MLTIPLO COMUM.

Atravs do exemplo a seguir apresentaremos uma metodologia para encontrar o menor mltiplo comum entre dois ou mais nmeros.

MMC entre os nmeros 15; 20 e 40:

Busca-se o menor nmero maior que 1 que divida, sem deixar

restos, pelo menos um dos trs nmeros (com quociente inteiro). Neste caso foi o nmero 2.

15; 20; 40 2

Dividem-se os nmeros 40 e 20 por 2 e repete-se o nmero 15, pois ele no divisvel por 2.

15; 20; 40 2

15; 10; 20

Novamente o 2 o menor nmero que divide pelo menos um dos trs nmeros sem deixar restos. Novamente repete-se o n-mero 15.

15; 20; 40 2

15; 10; 20 2

15; 5; 10

Repete-se este processo at que todos os nmeros cheguem a 1.

15; 20; 40 2

15; 10; 20 2

15; 5; 10 2

15; 5; 5 3

5; 5; 5 5

1; 1; 1

O MMC ser o resultado da multiplicao dos nmeros di-reita da barra.

2 2 2 3 5 120

MMC (15; 20; 40) 120


40


Outra maneira de se encontrar o MMC :

realizar a fatorao dos nmeros desejados;

reunir os nmeros iguais, colocando-os sob a forma de potn-cias, e,

em cada nmero fatorado, retirar os nmeros de maior expoente.

20 2

10 2 22 5

5 5

1

15 3

5 5 3 5

1

40 2

20 2 23 5

10 2

5 5

1

Os nmeros de maior expoente so: 3 23 5 120 MMC (15; 20; 40) 120

Note que quando um nmero aparece apenas em uma fatorao, como o caso do nmero 3 que aparece na fatorao apenas do n-mero 15, este nmero deve entrar no clculo do MMC.

DICA Os problemas que envolvem MMC, em geral, referem--se a situaes cclicas, ou seja, que ocorrem de tempo em tempo.

Por exemplo: certo evento ocorre a cada 10 dias, enquanto outro, a cada 7 dias. Estes eventos iro coincidir de tempo em tempo. E essa coincidncia ocorrer a cada perodo t. Este perodo determinado pelo menor MMC entre 10 e 7 (MMC (10, 7) 70). (Veja o exemplo na Aplicao em concursos.)

2.4. M;IMO DIvISOR COMUM MDC

Os conjuntos a seguir descrevem todos os divisores de 48 e 36, res-pectivamente. Dividindo-se 48 por qualquer elemento do primeiro con-junto o resultado ser inteiro, pois todos os elementos so divisores de 48.

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Alguns divisores de 48 coincidem com os divisores de 36 (1, 2, 3, 4, 6 e 12). O maior divisor em comum o nmero 12. Este cha-mado de MXIMO DIVISOR COMUM.


41


Para encontrar o mximo divisor comum (MDC) entre nmeros primeiramente realiza-se a fatorao.

Na fatorao dividindo-se pelos menores nmeros possveis, maiores que 1, de forma que o resultado seja inteiro.

O produto dos fatores em comum ser o MDC entre eles.

MDC entre os nmeros 18; 36 e 90.

Fatorando:

36 2*

36 2*

18 2

9 3**

3 3***

1

18 2*

18 2*

9 3**

3 3***

1

90 2*

90 2*

45 3**

15 3***

5 5

1

Fatores em comum: 2; 3 e 3. Note que o fator 3 comum duas vezes.

2 3 3 18

MDC (18; 36; 90) 18

DICA Os problemas que envolvem MDC, em geral, requerem a diviso de coisas, objetos ou grupos de tamanhos diferentes em ta-manhos iguais e do maior tamanho possvel.

Por exemplo: tem-se duas cordas, uma com 12 metros e outra com 8 metros. Deseja-se dividir ambas as cordas em tamanhos iguais, com o maior tamanho possvel de maneira que no haja sobras. O tamanho que cada pedao dever ter ser o MDC entre 12 e 8, que igual a 4 metros. (Veja o exemplo na Aplicao em concursos.)

2.5. CRITeRIOS DE DIvISIBILIDADE

Muitas vezes precisamos saber se a diviso de um nmero por outro tem resto igual a zero. Ou seja, precisamos saber se um deter-minado nmero divisvel por outro nmero.

Para tal, possvel estabelecer algumas regras prticas para detec-tarmos um divisor. Ou pelo menos, a partir de um nmero muito grande, chega-se a um nmero menor, do qual mais fcil perceber a divisibilidade. Apresentaremos algumas destas regrinhas.


42


Conhecer os principais critrios de divisibilidade auxilia, por exemplo, no procedimento de fatorao em nmeros primos.

2.5.1. Divisibilidadepor

Um nmero divisvel por 2 quando ele par.

Exemplo: 2; 8; 18; 456


Para ser divisvel por 3, a soma dos algarismos que formam um determinado nmero tem que ser divisvel por 3.

Exemplos:

54 5 4 9 9 divisvel por 3, ento, 54 tambm di-visvel por 3.

354 3 5 4 12 novamente testa-se o nmero 12 quanto divisibilidade por 3.

12 1 2 3 3 divisvel por ele mesmo. Assim, 354 divisvel por 3.


Para detectar um nmero divisvel por 4 necessrio que o n-mero formado pelos dois algarismos da direita do nmero em questo seja divisvel por 4, ou que o nmero termine em 00.

Veja os exemplos.

2300 divisvel por 4, pois termina em 00; 6512 divisvel por 4, pois termina em 12, que divisvel

por 4.


Para ser divisvel por 5 basta o nmero terminar em 0 ou 5.

Exemplo: 5; 90; 650.


Quando um nmero divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo, este tambm divisvel por 6.


43


Confira os exemplos.

864 divisvel por 2, pois par. divisvel por 3, pois 8 4 6 18, e 18 divisvel por 3. Logo, 864 divisvel por 6.

82 divisvel por 2, pois par. Entretanto, no divisvel por 3, pois 8 2 10, e 10 no divisvel por 3. Assim, 82 no divis-vel por 6.


Para um nmero ser divisvel por 8, necessrio que ele termine em 000, ou que o nmero formado pelos trs ltimos algarismos seja divisvel por 8.

Exemplos:

1000 divisvel por 8, pois termina em 000. 54064 divisvel por 8, pois os trs ltimos algarismos so

064, e 64 divisvel por 8.


Semelhantemente ao que ocorre no critrio de divisibilidade por 3, para reconhecer um nmero divisvel por 9, basta a soma dos alga-rismos ser um nmero divisvel por 9.

891 8 9 1 18 18 divisvel por 9, ento, 891 divisvel por 9.


o critrio mais reconhecido. Basta o nmero terminar em zero que ele ser divisvel por 10.

Exemplo: 70; 110; 2340.


Semelhantemente ao que ocorre no critrio de divisibilidade por 6, para um nmero ser divisvel por 12 ele precisa ser divisvel por 4 e 3 ao mesmo tempo.

876 divisvel por 3, pois 8 7 6 21 e 21 divisvel por 3. Tambm 876 divisvel por 4, pois 76 divisvel por 4. Logo, 876 divisvel por 12.


44



necessrio que o nmero em questo seja divisvel por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

615 divisvel por 3, pois 6 1 5 12 e 12 divisvel por 3. Tambm 615 divisvel por 5, pois termina em 5. Logo, 615 divisvel por 15.


FUNRIO/2008/SUFRAMA Considere os maiores valores pos-sveis para os naturais a, b e c de modo que 2a 3b 5c seja divisor de 1800. Dessa forma, a b c valea) 6 c) 8 e) 10b) 7 d) 9

Soluo:

O resultado de 2a 3b 5c deve ser menor ou igual a 1800, pois seu resultado um divisor de 1800. Como se deseja que os nmeros naturais a, b e c sejam os maiores possveis, o resultado de 2a 3b 5c ser o maior possvel, ou seja, 1800, pois o maior divisor de um n-mero o prprio nmero.

Vamos fatorar o nmero 1800 para escrev-lo em forma de n-meros com expoentes.

1800 2 900 2 450 2 225 3 1800 = 23 32 52

75 325 5

5 5 1

Logo, os valores de a, b e c so iguais, respectivamente, aos expo-entes encontrados na fatorao. Ou seja:

2a 23 a 33b 32 b 25c 52 c 2

a b c 7

(Resposta: letra b)


45


FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ O mnimo ml-tiplo comum entre os nmeros 240, 800 e N 2k 1 32 igual a 14400. O valor de k

a) 2 c) 4 e) 6

b) 3 d) 5

Soluo:

O nmero N j se encontra fatorado. Iremos agora fatorar os nmeros 240, 800 e o resultado do MMC, 14400.

800 2 400 2 200 2 100 2 25 52

50 225 5

5 5 1

240 2 120 2 60 2 30 2 24 3 5

15 35 5

1

14400 2 7200 2 3600 2 1800 2 26 32 52

900 2450 2

225 3 75 3 25 5 5 5 1N 2k 1 32

Vamos selecionar os nmeros de maiores expoentes.

2k 1 32 52 26 32 52 k 1 6 k 5

(Resposta: letra d)

CESGRANRIO/2009/BNDES A figura ilustra um bloco de madeira no formato de um paraleleppedo com as medidas, em cen-tmetros, das suas arestas. Esse bloco dividido em cubos, todos do mesmo tamanho, de modo que a medida das arestas desses cubos seja a maior possvel. Sabendo-se que, nos cubos, as arestas tm a mesma medida e que, aps a diviso, no h sobra de madeira, a quantidade de cubos obtidos

a) 18 d) 48

b) 24 e) 60

c) 30 1230

18


46


Soluo:

Para que a medida das arestas dos cubos seja a maior possvel necessrio encontrar o MDC das medidas do paraleleppedo.

MDC (12; 18; 30) 6

Logo, cada aresta do paraleleppedo ser dividida de forma que cada cubo tenha arestas de tamanho 6.

18 6 3 trs cubos de tamanho 6

30 6 5 cinco cubos de tamanho 6

12 6 2 dois cubos de tamanho 6

Sero trinta (3 5 2 30) cubos ao todo.

(Resposta: letra c)

PRATICANDO

CESPE/2011/STM Acerca dos conjuntos A {6, 8, 10, 12} eB {4, 6, 10}, julgue os seguintes itens:

1. O mnimo mltiplo comum dos elementos do conjunto A/B {x A; x B} mltiplo de 5.

2. O mximo divisor comum dos elementos do conjunto A B um nmero primo.

3. CESGRANRIO/2008/Caixa Econmica Federal A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao semestre, capitalizada bimestralmente. O nmero de divisores inteiros positivos de i

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

4. FUNRIO/2008/Prefeitura de Coronel Fabriciano-MG A soma dos divisores positivos de 36 :

a) 83 d) 89

b) 85 e) 91

c) 87


47


5. FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ O mximo divisor comum entre os nmeros 350 e N 27 3k 11 igual a 24. O valor de k

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

6. FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ Dois nmeros inteiros positivos tm soma igual a 90 e mximo divisor comum igual a 10. Se o produto desses nmeros o menor possvel, este produto igual a

a) 600 d) 750

b) 650 e) 800

c) 700

7. CAIPIMES/2007/So Paulo Turismo Ao dividir-se 18 por um nmero natural, obteve-se um quociente 7 unidades menor que o divisor, ento esse divisor :

a) 9 c) 2

b) 2 d) 9

8. IPAD/2006/PM Buque Sejam os divisores positivos de 30. Sorteando um deles ao acaso, a probabilidade de sair um mltiplo de 6 de:

a) 60% d) 25%

b) 50% e) 15%

c) 30%

CESPE/2007/PM de Limeira Com relao a fatorao e di-visibilidade, cada um dos itens subsequentes apresenta um conjunto de informaes hipotticas ou no, seguida de uma assertiva a ser julgada.


48


9. Menor nmero natural que um quadrado perfeito e cuja decom-posio em fatores primos da forma 26 5m 7n, em que m e n so nmeros naturais estritamente positivos, o nmero 4.900.

10. Na diviso de um nmero natural D por 12, o resto o maior possvel e a diferena entre D e o quociente Q igual a 66. Nes-se caso, correto afirmar que a soma D Q igual a 78.

11. NCE/2007/ANAC Analise as afirmativas a seguir:

I Se um nmero N mltiplo de dois nmeros naturais p e q, ento N mltiplo de p.q.

II Se N um mltiplo de 3 ento a soma de seus algarismos um mltiplo de 3.

III Se o resto da diviso de um nmero N por 5 3, ento o ltimo algarismo de N 8.

IV Se N divisor de dois nmeros naturais p e q ento N2 divisor de p.q. Esto corretas as afirmativas:

a) I e II, apenas; d) II, III e IV, apenas;

b) I, II e III, apenas; e) I, II, III e IV.

c) I, II e IV, apenas;

12. CESPE/2008/UEPA Acerca de nmeros naturais, assinale a opo correta.

a) Em determinado pas da Amrica Latina as eleies presidenciais acontecem de 8 em 8 anos, as eleies para governadores das pro-vncias, de 6 em 6 anos e para prefeitos dos municpios, de 4 em 4 anos. Neste ano de 2008 acontecero as eleies para os 3 cargos. Dessa forma, depois desse ano, a prxima vez que novamente as eleies se realizaro em um mesmo ano ser em 2024.

b) Considere que A e B sejam nmeros naturais e que B seja mltiplo de A. Nesse caso, o MDC entre A e B o maior deles e o MMC entre A e B o menor deles.

c) Na diviso no exata de dois nmeros naturais D e d, o quociente q e o resto r. Se D 1 divisvel por d, ento o resto r o maior possvel, isto , r d 1.


49


d) Na diviso no exata de dois nmeros naturais, a soma do quocien-te com o divisor igual a 42, o quociente o quntuplo do divisor e o resto o maior possvel. Nesse caso, o dividendo um nmero inferior a 250.

13. CESGRANRIO/2008/Caixa Econmica Federal Quantos nmeros mltiplos de 7 ou de 11 h entre 1 e 1000?

a) 90 c) 220 e) 232

b) 142 d) 229

14. FCC/2010/TCE Sabe-se que N o menor nmero inteiro positivo que multiplicado por 7 resulta em um nmero inteiro cujos algarismos so todos iguais a 2. Nessas condies, correto afirmar que

a) N 30 000

b) N mltiplo de 11

c) produto dos algarismos que compem N 514

d) a soma dos algarismos que compem N 20

e) N 40 000

15. FCC/2011/TRT 14a Regio Seja N um nmero inteiro e positivo que multiplicado por 7 resulta em nmero composto apenas por algarismos iguais a 2. Assim sendo, a soma de todos os algarismos que compem N igual a

a) 12 c) 21 e) 27

b) 15 d) 24

16. FCC/2010/TRT 12a Regio Sejam x e y nmeros inteiros e

positivos tais que a frao xy

irredutvel, ou seja, o mximo divisor

comum de x e y 1. Se xy

0,00125 104

0,75 108, ento x y igual a

a) 53 c) 26 e) 8

b) 35 d) 17


50


17. FCC/2011/TRT 24a Regio Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantes ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no ltimo dia de Natal 25/12/2010 ambos estiveram de planto, ento, mantido o padro de regula-ridade, uma nova coincidncia de datas de seus plantes em 2011, com certeza, NO ocorrer em

a) 18 de janeiro.

b) 10 de fevereiro.

c) 31 de maro.

d) 24 de abril.

e) 18 de maio.

Gabarito:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Falso Certo A E A E D D Falso Falso C C C B C

16 17

A B


51

Cap. ra=o e proporo

3. RA=O E PROPOROA razo entre dois nmeros obtida pela simples diviso entre

eles. uma forma de se comparar duas grandezas. Por exemplo, a razo

entre os nmeros 30 e 6 5, pois 306

5.

Se em uma sala de aula existem 15 meninas e 10 meninos, a razo

entre meninas e meninos de 1510

, ou seja, simplificando a frao, 32

.

O que significa dizer que a cada 3 meninas h 2 meninos.

NOTA A razo entre duas grandezas de mesma espcie no possui unidade de medida. A razo entre duas grandezas de espcies diferentes possui unidade de medida.

Por exemplo, a largura de uma sala de 6 metros, enquanto a altura de 3 metros. A razo entre a largura e a altura 2, sem o uso de unidade, pois trata-se de duas medidas de comprimento. Se uma medida fosse dada em metros e a outra em centmetro, por exemplo, seria necessrio converter uma das duas medidas, antes de realizar a diviso para encontrar a razo. (Veja unidades de medida.)

Por outro lado, razo entre uma distncia percorrida e o tempo gasto para percorr-la necessita de uma unidade para defini-la. A ve-locidade de 100 km/h a razo entre 100 km (unidade de compri-mento) percorridos em 1 hora (unidade de tempo).


52


Quando duas ou mais grandezas possuem uma razo em comum dizemos que so proporcionais. Por exemplo, a distncia percorrida em 2 horas de viagem pode ser proporcional distncia percorrida em 5 horas de viagem. Para que isso ocorra, basta que haja uma razo em comum. Neste caso, a razo a velocidade.

3.1. GRANDE=AS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Quando duas grandezas so diretamente proporcionais, aumen-tando-se uma, aumenta-se a outra, diminuindo-se uma, diminui-se a outra.

Por exemplo: Um carro consome 10 litros de gasolina por qui-lmetro rodado. As duas grandezas, quantidade de gasolina e distncia percorrida, so diretamente proporcionais, pois, aumentando-se a distncia percorrida, aumenta-se a quantidade de gasolina gasta. Di-minuindo-se a distncia, diminui-se o gasto de gasolina.

3.2. GRANDE=AS INvERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumen-tando-se uma, diminui-se a outra e vice-versa.

Por exemplo: Um carro viaja a 120 km/h e chega a seu destino em 2 horas. As duas grandezas, velocidade e tempo, so inversamente proporcionais, pois, aumentando-se a velocidade, diminui-se o tempo. Diminuindo-se a velocidade, aumenta-se o tempo. Perceba que neste caso a distncia fixa, pois ela a razo entre a velocidade e o tempo.

3.3. REGRA DE TRS SIMPLES

Para realizar uma regra de trs, primeiramente preciso agrupar os parmetros da mesma espcie (tempo, rea, comprimento, peas, velocidade etc) em colunas. Nas linhas, ficaro os parmetros de esp-cies diferentes em correspondncia. Em seguida, necessrio identi-ficar se os parmetros so diretamente ou inversamente proporcionais. Se forem inversamente proporcionais, basta inverter a frao. Depois disto, basta multiplicar os termos cruzados.

Veja os exemplos.

Certa mquina capaz de produzir 21 fraldas descartveis em 3 minutos. Qual seria a produo em 10 minutos?


53

Cap. ra=o e proporo

Aumentando-se o tempo, aumenta-se a produo, logo os par-metros so diretamente proporcionais.

310

21x

Na mesma linha: 3 minutosequivalem a 21 fraldas.

Diretamente proporcional: frao no invertida.

Na mesma linha: 10 minutosequivalem a x fraldas.

Coluna de fraldas produzidas

Coluna de tempo

NOTA Leia-se: Trs minutos esto para 21 fraldas, assim como dez minutos esto para x fraldas.

3x 21 10 x 2103 x 70 fraldas

Um carro viaja a 120 km/h e chega a seu destino em 2 horas. Em quanto tempo ele chegaria ao mesmo destino se viajasse a 80 km/h?

Diminuindo-se a velocidade, aumenta-se o tempo da viagem, logo os parmetros so inversamente proporcionais.

12080

x2

Inversamente proporcional: frao invertida.

Coluna de tempoColuna de velocidade

80x 120 2 x 24080 x 3 horas

3.4. REGRA DE TRS COMPOSTA

Se a regra de trs composta, ou seja, se possui mais de dois pa-rmetros, a identificao dos parmetros direta ou inversamente pro-porcionais feita em relao ao parmetro que possui a incgnita x. Os parmetros da mesma espcie tambm so mantidos em colunas e o parmetro com a incgnita x permanece isolado depois da igualdade.

Exemplos:

Em um plano de sade empresarial a mensalidade de cada parti-cipante individual diretamente proporcional sua respectiva idade e inversamente proporcional ao nmero de participantes do grupo. Em um grupo com 45 participantes a mensalidade de um indivduo de


54


35 anos R$ 140,00. Se esse grupo tivesse 60 participantes, a mensa-lidade de um indivduo com 43 anos seria:

Quanto maior o nmero de participantes no grupo, menor ser o preo da mensalidade. Logo, o parmetro nmero de participantes inversamente proporcional ao preo da mensalidade. Quanto maior a idade do participante, maior ser o preo da mensalidade. Logo, a idade do participante diretamente proporcional ao preo da men-salidade.

No PARTICIPANTES IDADE MENSALIDADE45 35 140

60 43

Inversamente proporcional Diretamente proporcional

6045

3543

140x

Parmetro com incgnita isolado depois da igualdadeParmetro com frao invertida

60 350 x 45 43 140 x 45 43 140

60 35 x 129 reais


FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes RJ Em uma foto-grafia de satlite da f loresta amaznica, uma rvore de 25 metros aparece medindo 5 centmetros, e uma rea de queimada aparece com 16 centmetros quadrados. A rea real da queimada

a) 360 metros quadrados d) 560 metros quadrados

b) 400 metros quadrados e) 600 metros quadrados

c) 480 metros quadrados

Soluo:

Uma escala representa a proporo do tamanho de certo desenho em relao ao tamanho do objeto real.

Neste caso em questo, a fotografia est em uma escala de 5 cm25 m

5 cm

2.500 cm

1500

. Ou seja, cada unidade da fotografia repre-

senta 500 unidades da floresta amaznica.


55

Cap. ra=o e proporo

Agora, imagine uma rea de desenho representada por 1 cm2, formado por dois lados de 1 cm (1cm 1 cm 1 cm2). A rea de f loresta correspondente ser de 500 cm por 500 cm. Ou seja, ser uma rea de 5002 cm2, que igual a 250.000 cm2.

Por simples regra de trs encontra-se a rea de f loresta corres-pondente a 16 cm2 na fotografia.

1 cm2

16 cm2 250.000 cm2

x x 16 250.000

1 cm2 x 4.000.000 cm2

4.000.000 cm2 correspondem a 400 m2. (Veja unidades de medidas.)

(Resposta: letra b)

CESGRANRIO/2009/BNDES Um automvel parte para uma

viagem com o tanque cheio. Depois de percorrer 38

do percurso des-

sa viagem, seu tanque est com a metade do combustvel inicial. Nes-se momento, o motorista para em um posto de gasolina e coloca

combustvel correspondente a 13

da capacidade do tanque. Conside-

rando que o consumo diretamente proporcional distncia percor-rida, ao final da viagem o tanque estar

a) vazio d) com 13

da sua capacidade

b) com 16

da sua capacidade e) com 12

da sua capacidade

c) com 14

da sua capacidade

Soluo:

3858

12x

Trs oitavos do percurso esto para meio tanque de combust-

vel, assim como cinco oitavos do percurso restante de viagem 1 38 esto para a quantidade de combustvel requerida.


56


x

58

12

38

51638

5

168

88

3 52

13

56

So necessrios

mais 56

do tanque de combustvel para terminar a viagem.

O enunciado nos diz que em determinado momento o moto-

rista abasteceu o tanque com 13

da capacidade do tanque. O tanque j

estava com 12

de sua capacidade, ficando, portanto, com 13

12

2 3

6

56

do tanque.

Para que o motorista termine sua viagem so necessrios 56

do

tanque, a mesma quantidade existente. Logo, a viagem terminar com o tanque vazio.

(Resposta: letra a)

PRATICANDO

1. FCC/2009/TRT 15a Regio Trs Tcnicos Judicirios Alberico, Benivaldo e Corifeu devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em par-tes diretamente proporcionais s suas respectivas idades. Sabe-se que:

Alberico tem 36 anos;

Benivaldo o mais velho dos trs e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos;

caber a Corifeu arquivar 90 processos.

Nessas condies, correto afirmar que

a) as idades dos trs somam 105 anos

b) Benivaldo dever arquivar 110 processos

c) Corifeu tem 28 anos

d) Alberico dever arquivar 120 processos

e) Benivaldo tem 35 anos


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Cap. ra=o e proporo

2. ESAF/2008/CGU As idades de trs irmos encontram-se na razo 4:6:8. Sabendo-se que a soma das idades igual a 180 anos, ento a idade do irmo mais velho, em anos, igual a:

a) 40 d) 70

b) 45 e) 60

c) 80

3. FCC/2008/TRT 5a Regio Certa noite, dois tcnicos em segurana vistoriaram as 130 salas do edifcio de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente propor-cionais s suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O nmero de salas vistoriadas pelo mais jovem foi

a) 68 d) 62

b) 66 e) 60

c) 64

4. FCC/2011/TRT 1a Regio A figura indica uma caixa de fsforos utilizada em uma maquete para representar um galpo. A escala horizontal dessa maquete 1:1200, e escala vertical 1:250.

10 cm

2 cm

5 cm

As dimenses reais do galpo representado na maquete pela caixa de fsforo so

a) 5 m por 24 m por 48 m.

b) 5 m por 60 m por 120 m.

c) 12,5 m por 60 m por 120 m.

d) 50 m por 60 m por 120 m.

e) 50 m por 240 m por 480 m.


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5. FCC/2011/TRT 14a Regio Ao serem contabilizados os dias de certo ms, em que trs Tcnicos Judicirios de uma Uni-dade do Tribunal Regional do Trabalho prestaram atendimento ao pblico, constatou-se o seguinte:

a razo entre os nmeros de pessoas atendidas por Jaso e Moiss,

nesta ordem, era 35

;

o nmero de pessoas atendidas por Tadeu era 120% do nmero das atendidas por Jaso;

o total de pessoas atendidas pelos trs era 348.

Nessas condies, correto afirmar que, nesse ms

a) Tadeu atendeu a menor quantidade de pessoas.

b) Moiss atendeu 50 pessoas a mais que Jaso.

c) Jaso atendeu 8 pessoas a mais que Tadeu.

d) Moiss atendeu 40 pessoas a menos que Tadeu.

e) Tadeu atendeu menos que 110 pessoas.

6. FCC/2011/TRF 1a Regio Analisando o nmero de horas dedicadas consulta a banco de dados nas quatro semanas de certo ms, um Tcnico Judicirio verificou que o nmero de horas referente

primeira semana correspondeu a 310

do total de horas das quatro

semanas;

segunda semana correspondeu a 45

do referente terceira semana;

quarta semana foi igual a 5.

Se a soma das horas dedicadas a essa tarefa na primeira e na terceira semanas foi igual a 11, ento o nmero de horas referente segunda semana foi igual a

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5


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Cap. ra=o e proporo

7. FCC/2010 DPE-SP Com relao ao peso dos objetos A, B e C sabe-se que:

peso de A o triplo do peso de C;

peso de C a quarta parte do peso de B.

Nas condies dadas, correto dizer que o peso de B

a) 12 vezes o peso de A d) 12

do peso de A

b) 43

do peso de A e) 25% do peso de A

c) 34

do peso de A

8. FCC/2011/TRT 24a Regio Do total de pessoas que visita-ram uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho de segunda a

sexta-feira de certa semana, sabe-se que: 15

o fez na tera-feira

e 16

na sexta-feira. Considerando que o nmero de visitantes da

segunda-feira correspondia a 34

do de tera-feira e que a quarta-

-feira e a quinta-feira receberam, cada uma, 58 pessoas, ento o total de visitantes recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana um nmero

a) menor que 150. d) divisvel por 48.

b) mltiplo de 7. e) maior que 250.

c) quadrado perfeito.

9. FUNRIO/2008/SEDUC-RO Sejam x, y, z nmeros tais que x diretamente proporcional a 2, y diretamente proporcional a 3 e z inversamente proporcional a 4. Se x y z 210, o valor

de xyz

a) 720 d) 960

b) 810 e) 1010

c) 900


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10. FCC/2009/TRT 15a Regio Certo dia, Ala e Aimar, fun-cionrios de uma unidade do TRT, receberam 50 peties e 20 processos para analisar e, para tal, dividiram entre si todos esses documentos: as peties, em quantidades diretamente proporcionais s suas respectivas idades, e os processos, na razo inversa de seus respectivos tempos de servio no Tribunal. Se Ala tem 24 anos de idade e trabalha h 4 anos no Tribunal, enquanto Aimar tem 36 anos de idade e l trabalha h 12 anos, correto afirmar que

a) Ala deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar

b) Ala e Aimar devem analisar a mesma quantidade de documentos

c) Aimar deve analisar 20 peties e 5 processos

d) Ala deve analisar 10 peties e 20 processos

e) Aimar deve analisar 30 peties e 15 processos

Gabarito:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D C A B E B B D D B


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Cap. porCentageM e -Uros

4. PORCENTAGEM E -8ROS4.1. PORCENTAGEM

Porcentagem a centsima parte de um inteiro. Assim, assumin-do-se 1 como o inteiro, 10% ser 0,10. Ou seja, dez centsimos do inteiro 1.

Desta forma, quando se quer encontrar, por exemplo, 12% de um nmero qualquer, basta multiplicar este nmero por 0,12 (andam-se duas casas para a esquerda com a vrgula).

Veja mais alguns exemplos:

1% multiplica-se por 0,01; 5% multiplica-se por 0,05; 10% multiplica-se por 0,10; 74% multiplica-se por 0,74; 85,7% multiplica-se por 0,857Agora, quando se deseja saber um determinado valor, acrescido de

57%, basta multiplicar o valor por 1,57. Pois, tem-se o valor original que representa 100%, mais a porcentagem que se queira acrescer, no caso, 57% (1 0,57 1,57). Analogamente ao exemplo anterior tem-se:

1% multiplica-se por 1,01; 5% multiplica-se por 1,05; 10% multiplica-se por 1,10; 74% multiplica-se por 1,74; 85,7% multiplica-se por 1,857


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4.2. JUROS

4.2.1. -urossimples

Os juros simples nada mais so que o acrscimo de um valor percentual sobre um valor fixo a cada perodo de tempo.

Por exemplo, possuo R$ 10.000,00 e aplico-os por 3 meses a uma taxa de juros simples de 1% ao ms. Tem-se:

1% de 10.000 igual a 10.000 0,01 100 A cada ms, ser acrescido o valor de R$ 100,00

Ao final dos 3 meses teremos o valor inicial mais os juros rendidos: R$ 100,00 3 meses R$ 300,00 de juros R$ 10.000,00 R$ 300,00 R$ 10.300,00 valor inicial mais

o valor dos juros.Note que no clculo dos juros simples os juros so calculados

sempre sobre um mesmo valor fixo, no caso R$ 10.000,00.Este valor fixo (R$ 10.000,00) tambm chamado de capital

(C). O valor resultante, no caso R$ 10.300,00, chamado de mon-tante (M). E o 1% ou 0,01 representa a taxa de juros (i) aplicada em um determinado tempo (t). Assim, a frmula utilizada no clcu-lo de juros simples :

M C (1 i t)

NOTA Cabe lembrar que se a taxa de juros (i) aplicada fosse, por exemplo, diria, semanal ou anual, o tempo (t) passaria a ser dado em dias, semanas ou anos, respectivamente.

4.2.2. -uroscompostos

No clculo dos juros compostos, o acrscimo do valor percentual no dado sobre um valor fixo, e sim sobre a ltima montante. o famoso juros sobre juros. Tomando o mesmo exemplo anterior, teremos a seguinte situao:

Possuo R$ 10.000,00 e aplico-os por 3 meses a uma taxa de juros compostos de 1% ao ms.

1% de R$ 10.000,00 igual a R$ 10.000 0,01 R$ 100 No primeiro ms so acrescidos 100 reais

R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 10.100,00


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Cap. porCentageM e -Uros

1% de 10.100 igual a R$ 10.100 0,01 R$ 101 No se-gundo ms sero acrescidos 101 reais

R$ 10.100,00 R$ 101,00 R$ 10.201,00 1% de 10.201 igual a R$ 10.201 0,01 R$ 102,01 No

terceiro ms sero acrescidos 102,01 reaisR$ 10.201,00 R$ 102,01 R$ 10.303,01A frmula direta para determinao do montante nos clculos

de juros compostos :M C (1 i )t

Ao aplicarmos a frmula direta para o exemplo anterior encontra-remos o mesmo resultado: 10.000 (1 0,01)2 10.000 1,30301 R$ 10.303,01


CESGRANRIO/2008/Caixa Econmica Federal U

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