Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Cursos: Agronomia, Ciências Biológicas, Eng. Civil, Eng. Elétrica, Eng. Mecânica, Física, Matemática e Zootecnia.

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Prova do Processo Seletivo do PPGEM - 02 de dezembro de 2016

____________________________________________________________________________________________________

Código do candidato __________________________________________________________________________________________________________

Instruções

1. Resolver apenas 6 questões

Caso houver mais de 6 questões resolvidas, apenas as 6 primeiras

questões serão consideradas na correção

2. É permitido o uso de calculadoras simples, não programáveis

3. O tempo máximo da prova é de 3 horas

Código do candidato

Questão 1) Considere duas funções de campo:

I. T(x, y) = 2x + y2

II. U(x, y, z) = 3xex + y2ey + zxez

sendo ex ,ey ,ez vetores unitários normais entre si. Pede-se:

a) classifique as funções (I) e (II) como de campo escalar ou vetorial e exemplifique

que tipo de grandeza física estas funções poderiam representar em problemas de

engenharia;

A função I é um campo escalar, que poderia representar, por exemplo, uma

distribuição de grandezas escalares, como a pressão ou a temperatura, em um plano

x-y. Já a função II é um campo vetorial que poderia ser usado para descrever um

vetor deslocamento ou velocidade de uma partícula no espaço, por exemplo.

b) calcule o gradiente da função correspondente e interprete o que significa este

resultado;

O operador gradiente somente é aplicado no campo escalar, portanto:

∇ T(x, y) = 2 ex + 2y ey

Este resultado mostra qual a taxa de variação da informação presente no campo

escalar T(x, y) nas direções e sentidos dos vetores normais ex , ey .

c) calcule o divergente da função correspondente e interprete o que significa este

resultado.

O operador divergente somente é aplicado em um campo vetorial, portanto:

∇U(x, y, z) = 3 + 2y + x

O significado deste resultado mostra a magnitude da fonte ou sumidouro do campo

vetorial e funciona como uma medida da dispersão contida no campo U(x, y, z).

Código do candidato

Questão 2) Calcule a derivada da função abaixo em relação a x.

𝑦 = 𝑙𝑛√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥).𝑑(√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥))

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥).1

2.

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥).𝑑[1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥)]

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥).1

2.

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥). 2. 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑑[𝑡𝑔(cos 𝑥)]

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥).1

2.

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥). 2. 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥). 𝑠𝑒𝑐2(𝑐𝑜𝑠𝑥).

𝑑(cos 𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥).1

2.

1

√1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥). 2. 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥). 𝑠𝑒𝑐2(𝑐𝑜𝑠𝑥). (−𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑠𝑒𝑛𝑥

1 + 𝑡𝑔2(cos 𝑥). 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥). 𝑠𝑒𝑐2(𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥)

Código do candidato

Questão 3) Determine as dimensões de uma caixa sem tampa, que possua o maior volume

possível após ser montada, construída com uma chapa retangular de zinco de 2 cm por 4 cm

(a chapa aberta é mostrada na figura abaixo).

Devemos maximizar o volume da caixa depois de montada, que é dado por:

𝑉 = 𝑥. (4 − 2𝑥)(2 − 2𝑥)

O volume máximo é determinado por:

𝑑𝑉

𝑑𝑥= 4(3𝑥2 − 6𝑥 + 2) = 0

Cujas raízes são:

𝑥1 =3 + √3

3

𝑥2 =3 − √3

3

Como o intervalo de validade de x é 0<x<1, então, a solução é dada por:

𝑥2 =3 − √3

3

Como V(0)=V(1)=0 e V(x2)1,5, então as dimensões da caixa devem ser:

3−√3

3

2√3

3 2 + 2

√3

3

2

4

x

x

x

x

Código do candidato

Questão 4) Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, V0, passa através de um

recipiente que contém um líquido viscoso. Devido às forças viscosas a esteira transporta

uma lâmina de fluido de espessura h. A gravidade tende a drenar o fluido para baixo. Use

as Equações de Navier-Stokes para determinar uma expressão para a velocidade média da

lâmina de fluido à medida que ela é arrastada para cima pela esteira. Assuma que o

escoamento é laminar, permanente e uniforme.

x

u u u u p u u uu v w g

t x y z x x y z

2 2 2

2 2 2

y

v v v v p v v vu v w g

t x y z y x y z

2 2 2

2 2 2

z

w w w w p w w wu v w g

t x y z z x y z

2 2 2

2 2 2

Hipóteses:

p p p

x y z

0

u w ; v v x 0

yg g

Código do candidato

d vg

dx

2

20 (1)

condições de contorno

x v V

x h dv / dx

00

0 (2a,b)

d v g

dx

2

2

Integrando uma vez

dv gx c

dx

1

De (2b)

gc h

1

dv g gx h

dx

Integrando uma segunda vez

g g

v x x hx c

2

22

De (2a)

c V2 0

g

v x V x hx

2

0 22

h g h g h

v v x dx V h h Vh h

3 23

0 00

1 1

2 3 3

Código do candidato

Questão 5) Água deve ser aquecida de 10 ºC para 80 ºC à medida que escoa através de um tubo de

2 cm de diâmetro interno e 7 m de comprimento. O tubo está equipado com um aquecedor de

resistência elétrica que fornece aquecimento uniforme em toda sua superfície. A superfície externa

do aquecedor está bem isolada, de modo que, em funcionamento permanente, todo o calor gerado

pelo aquecedor é transferido para a água no tubo. Considerando que o sistema deve fornecer água

quente a uma vazão de 0,008 m3/min, determine a potência da resistência do aquecedor e a

temperatura da superfície interna do tubo na saída. As propriedades da água a 45ºC são:

, kg / m 3990 1 ; k , W.m .K 1 10 637 ; , m / s

6 20 602 10 ;

pc , kJ.kg K 1 14 18 .

, ,

D D

hDNu , Re Pr

k 0 8 0 40 023 ; D

uDRe

;

pcPr

k

Hipóteses:

Regime permanente

Escoamento completamente desenvolvido

T C

10 80

452

V , /u , m / s

D ,

2 2

4 4 0 008 600 424

0 02

m u D / , kg / s 2 4 0 132

p s ePot q mc T T , , kW 0 132 4180 80 10 38 627

sww ,s s s

q / AqT T T

h h

, ,

D

kh , Re Pr

D 0 8 0 40 023

Código do candidato

D

m ,Re

D , , ,

6

4 4 0 13214077

990 1 0 603 10 0 02 (escoamento turbulento)

pcPr ,

k

3 92

, ,

D DNu , Re Pr , 0 8 0 40 023 82 75

D

kh Nu , W / m .K

D 22635 4

w

Potq , kW / m

DL 287 824

ww ,s s

qT T , C

h

113 3

Código do candidato

Questão 6) Uma corrente de vapor entra numa câmara de mistura adiabática a 1500 kPa e

300°C. Outra corrente de vapor entra a 1500 kPa e título de 90%. As vazões mássicas das

duas correntes são iguais. A mistura deixa a câmara a 1500 kPa. Determine:

(a) a temperatura (ou título se ela é uma mistura líquido-vapor) da mistura;

(b) a irreversibilidade do processo por unidade de massa da mistura. p0=101,325kPa;

T0=300K.

l v

sat

l v

h , kJ / kg; h , kJ / kgp kPa T , C

s , kJ / kg.K; s , kJ / kg.K

844 8 2792 11500 198 3

2 31845 6 445

Vapor superaquecido

P[kPa] T[°C] 200 250 300

1500 h [kJ/kg] 2796,4 2923,2 3037,6

s [kJ/kg.K] 6,4536 6,7087 6,9177

Hipótese:

Regime permanente

Q=W=0

A corrente 1 é vapor superaquecido:

h , kJ / kg

s , kJ / kg.K

1

1

3037 6

6 9177

A corrente 2 é uma mistura líquido-vapor

l x v lh h x h h , kJ / kg

s , kJ / kg.K

2

2

2597 4

6 032

Balanço de massa

m m m 1 2 3

Como m m m m m / 1 2 1 2 3 2

Código do candidato

Balanço de energia

m h m h m h 1 1 2 2 3 3

h h h / , kJ / kg 3 1 2 2 2817 5

Segunda Lei

germ s m s S m s 1 1 2 2 3 3

Estado 3: p=1500kPa, h , kJ / kg3 2817 5 (vapor superaquecido)

Interpolando da tabela

T h ,T , C

, ,

3 33

200 2796 4208 6

250 200 2923 2 2796 4

s , Ts , kJ / kg.K

, ,

3 33

6 4536 2006 4973

6 7087 6 4536 250 200

gerSs s s , kJ / kg.K

m 3 1 2

3

10 0225

2

gerSIT , kJ / kg

m m 0

3 3

6 75

Código do candidato

Questão 7) Explique porque vibrações mecânicas é uma importante área de estudos para

engenheiros. Vibrações mecânicas são conhecidas por seus efeitos nocivos bem como por

seus benefícios. Descreva sucintamente cinco exemplos práticos de vibrações “boas” e

também cinco exemplos práticos de vibrações “ruins”.

Vibrações podem ocorrer naturalmente em um sistema de engenharia e pode ser

representativa de seu comportamento dinâmico livre e natural. Além disso, vibrações

podem ser forçadas em um sistema por meio de alguma forma de excitação. As forças de

excitação podem ser geradas internamente dentro do sistema dinâmico ou transmitidas ao

sistema por uma fonte externa. Quando a frequência da excitação forçada coincide com

aquela do movimento natural, o sistema responderá mais vigorosamente com amplitude

majorada. Esta condição é conhecida como ressonância e a frequência associada é chamada

de frequência de ressonância.

Existem “vibrações boas”, que servem a um propósito útil. Também existem “vibrações

ruins”, que podem ser desagradáveis ou prejudiciais. Para muitos sistemas de engenharia,

operação na ressonância seria indesejável e poderia ser destrutiva. Supressão ou eliminação

de vibrações ruins são os objetivos gerais da engenharia de vibração.

A ciência e a engenharia de vibração envolvem duas categorias abrangentes de aplicações:

1. Eliminação ou supressão de vibrações indesejáveis, com as seguintes possíveis

aplicações:

a) movimentos gerados por terremotos;

b) interações dinâmicas entre veículos e pontes;

c) ruído gerado por equipamentos de construção;

d) vibração transmitida por máquinas às suas estruturas de suporte ou ao ambiente;

e) dano, mau funcionamento e falha devido ao carregamento dinâmico;

f) movimentos inaceitáveis;

g) fadiga causada por vibração.

2. Geração de formas e quantidades necessárias de vibrações úteis, com as seguintes

possíveis aplicações:

a) vibração causada por instrumentos musicais;

b) dispositivos usados em terapias físicas (massageadores, por exemplo);

c) vibradores industriais (para concreto, por exemplo);

d) vaporizadores;

e) peneiras industriais.

Código do candidato

Questão 8) Considere a chapa fina carregada com tensões , com >0, estando em

estado plano e uniforme de tensões conforme a figura abaixo. As constantes elásticas do

material da chapa são conhecidas e descritas por Ee G e são válidas todas as hipóteses

da teoria da elasticidade linear. Pede-se:

(a) Calcule o tensor das tensões [ no sistema cartesiano (x, y, z) em um ponto qualquer

desta chapa em função de

(b) Calcule as tensões principais na chapa.

que tem como raízes 2, 0, 0.

(c) Calcule o tensor das deformações no sistema cartesiano (x, y, z) em função de E, e

G.

Código do candidato

Dados:

Tensões Principais: Solução do Problema de Auto-Valor e Auto-vetor descrito por:

([np = 0, sendo o tensor tensão [e a matriz identidade, Auto-Valor (tensões

principais) e np o Auto-vetor (direções principais).

Equações Constitutivas:

x= [x – y +z

yyxz

zzxy

xy= xyG

xz= xzG

yz= yzG

Código do candidato

Questão 9) Durante o instante mostrado na figura, a câmera de raio X está rotacionando

com relação ao eixo vertical com velocidade angular Omegaz e aceleração angular

Omegadotz e o braço da estrutura está girando em torno do eixo horizontal com velocidade

angular Omegarel e aceleração angular Omegadotrel. Determine a velocidade e a

aceleração do centro da câmera C para este instante.

Solução:

onde:

e

onde:

Código do candidato

Questão 10) Muitos fatores contribuem para a constituição das faixas de preço das

máquinas de solda existentes no mercado. O mais importante deles é o Ciclo de Trabalho

(@), ou seja, a capacidade da máquina operar antes de entrar em superaquecimento. As

máquinas do tipo hobby apresentam um ciclo de trabalho pequeno, enquanto as

profissionais têm grandes ciclos de trabalho, que se aproximam dos 100%. Considerando

uma Fonte de Soldagem de 400A com Ciclo de Trabalho de 60%, pede-se:

a) qual será a corrente máxima de saída (A) para um Ciclo de Trabalho de 100%.

b) por quanto tempo essa Fonte de Soldagem pode operar continuamente com correntes de

soldagem de 200 e 400A.

a) Normas internacionais definem como 10 min o ciclo de trabalho(@) de 100%.

Considerando que essa fonte opera a 400A com ciclo de trabalho de 60%, temos:

(I1)² x @1 = (I2)² x @2

(400)² x 0,60 = (I2)² x 1,00

I2 = 309,83 A

Isto é, a fonte pode operar a 100% de ciclo de trabalho, sem interrupção, se a corrente de soldagem

for inferior a 309,83 amperes.

b) Para corrente de 200 A, a fonte pode operar continuamente.

Para corrente de 400 A, onde o ciclo de trabalho é 60%, temos:

t = 10min x 0,60 = 6 min, isto é, a fonte deve operar com 400A por 6 min, parar por 4 min e assim

sucessivamente.

Código do candidato

Questão 11) Um clipe de papel é feito de ferro, metal com estrutura cúbica de corpo

centrado, e com peso de 0,59 g. Calcule (a) o número de células unitárias e (b) o número de

átomos de ferro no clipe de papel. Considere o parâmetro de rede para o ferro CCC igual a

0,2886 nanometro e a densidade do ferro sendo 7,87 g/cm3.

a) O volume da célula unitária cúbica do ferro é dada por:

32338 10354,210866,2 cmcmV

O volume do clipe de ferro pode ser calculado por:

321049,787,7

59,0cmVV

V

md

Logo o número de células unitárias n pode ser determinado por:

cúbicas células 1018,310354,2

1049,7

unitária célula da volume

clipe do volume 21

23

2

n

b) Existem 2 átomos de ferro por célula unitária do ferro CCC. Assim, o número total de

átomos de ferro N no clipe de papel será:

papel de clipe no ferro de átomos 1036,61018,32 2121 N

Código do candidato

Questão 12) Considere um componente mecânico submetido a um carregamento cíclico.

Considerando essa condição de carregamento responda o seguinte:

(a) um componente mecânico que será submetido a esse tipo de carregamento poderá ser

projetado baseado exclusivamente em propriedades mecânicas medidas no ensaio de

tração? Explique.

Desde a revolução industrial, período caracterizado por inúmeros acidentes no setor

ferroviário, ficou bem estabelecido que a maneira com que a força varia no tempo afeta

significativamente a resposta do material. O ensaio de tração é um ensaio monotônico no

qual o carregamento aumenta lentamente, diferente, portanto, de uma carregamento cíclico.

Por essa razão, não é recomendado projetar um componente que será submetido a um

carregamento cíclico com base exclusivamente nas propriedades mecânicas medidas no

ensaio de tração. Nesse caso, o mais apropriado é observar as propriedades mecânicas

resultantes de ensaios de fadiga.

(b) se esse componente for projetado para trabalhar somente no campo elástico, ou seja, se

for imposto que as tensões atuantes serão menores que o limite de escoamento, esse

componente poderá fraturar? Explique.

Se o carregamento impuser tensões acima do limite de fadiga, mesmo estando a baixo do

limite de escoamento, poderá sim acarretar em ruptura após certo tempo de carregamento

cíclico. O carregamento cíclico sendo superior ao limite de fadiga possibilita a nucleação de

trincas. Trincas são concentradores de tensão que alteram fortemente o estado de tensão

local. Resultando assim, na ruptura de componentes com um nível muito baixo de

tensionamento.