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MATEMÁTICA 2ª Série − Ensino Médio

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2º BimestreEste bimestre abordará conteúdos que apresentam extensa aplicabilidade no cotidiano, dividido em dois campos conceituais: Campo Numérico Aritmético e Campo Geométrico. O objetivo deste bimestre, no que se refere ao Campo Numérico Aritmético, é que os alunos sejam capazes de reconhecer as regularidades numéricas existentes em uma determinada sequência de números, e que adquiram conhecimentos básicos de Matemática Comercial e Financeira. No que se refere ao Campo Geométrico destacamos o reconhecimento dos Prismas e dos Cilindros e a possibilidade de resolverem problemas envolvendo o cálculo de áreas lateral e total e o volume destes sólidos.

Regularidades numéricas

O estudo as regularidades numéricas no 2° ano do ensino médio se inicia com uma introdução so-bre o conceito de Sequências. O objetivo desta seção é fazer com que o aluno desenvolva o racio-cínio lógico e seja capaz de identificar padrões em determinadas sequências numéricas. Após os estudantes serem capazes de reconhecer esses padrões, o professor deverá abordar as principais sequências estudadas no ensino médio: as progressões aritméticas e as progressões geométricas.

Sequências

Identificar sequências numéricas e obter, quando possível, a expressão algébrica do seu termo geral – Reconhecer uma sequência numérica identificando seu padrão, e a sua lei de formação, quando for possível.

Utilizar o conceito de sequência numérica para resolver problemas significativos – Resolver pro-blemas de raciocínio lógico utilizando o conceito de sequências.

As noções de sequências numéricas nos fornecem condições de entendermos que os movimentos que nos margeiam seguem um padrão, como por exemplo o do sol que nasce todas as manhãs e se põe ao final do dia. Também podemos perceber que outros movimentos, apesar de parecerem desordenados, tais como o rolar ou atirar de uma pedra no ar , descrevem um movimento regular, seguindo uma determinada ordem. Já os padrões representados por números são mais abstratos tais como é o caso das progressões aritméticas e das geométricas.

Vídeos

1. Sequência de Fibonacci e Número de Ouro

Descrição: O vídeo relata um pouco da biografia de Fibonacci, e explica a relação da Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro.

Endereço eletrônico: http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001034.mp4

Tempo de duração: 5:54min

Softwares

1. JOGO ON-LINE – Torre de Hanoi

Descrição: Este jogo trabalha sequências numéricas, à medida que o objetivo do jogo é mover todos os discos para a estaca da direita, utilizando uma única regra: mover um disco de cada vez, sendo que deve ser obedecida a ordem crescente do tamanho dos discos.

Endereço eletrônico: http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi

Conexões com Habilidades e Competências

Sugestões de atividades

Material de apoio

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2ª Série − Ensino Médio MATEMÁTICA

Sites e links relacionados

1. Estratégia de generalização de padrões de alunos do ensino fundamental do ponto de vista de seus professores

Descrição: O estudo desenvolvido pela professora Maria Margarida Massignan de Almeida teve o objetivo de analisar se os professores da educação básica de escolas localizadas em uma cidade do interior do Estado de São Paulo trabalhavam com atividades que envolviam a observação de regularidades e de generalização de padrões gerais.

Endereço eletrônico: www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/maria_margarida_massignan_almeida.pdf

Artigos, Dissertações e Teses

VALIM, J.C.M. Geometria Fractal no ensino fundamental e médio. In: XXII Semana Acadêmica da Matemática do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade do Oeste do Paraná. Cascável, 2008.

Descrição: Neste artigo o Professor João César Maciel Valim apresenta um resumo de seu trabalho final de curso onde apresenta várias atividades envolvendo o estudo da teoria dos fractais e suas aplicações ao estudo das sequências numéricas.

PAIVA, M. Matemática. Editora Moderna. O estudo das sequências numéricas é feito no capítulo 11 do primeiro volume da coleção nas páginas 196 e 197. Apresenta uma pequena introdução do conceito de sequências numéricas.

IEZZI, G. e outros. Matemática Ciência e Aplicações. Editora Saraiva. O estudo das sequências numéricas , é feito no capítulo 10 do primeiro volume da coleção , localizado entre as páginas 194 e 195. O autores dão destaque à Sequência de Fibonacci que poderia, ao nosso modo de ver, ser um fator introdutório ao estudo dos conteúdos relacionados acima. O livro disponibiliza uma boa quantidade de exercícios propostos, porém uma pequena quantidade de questões resolvidas.

RIBEIRO, J. Matemática Ciência, Linguagem e Tecnologia. Editora Scipione. O estudo das sequên-cias numéricas é feito no capítulo 8 pertencente ao primeiro volume da coleção, localizando-se entre as páginas 251 e 253. O autor inicia o capítulo com um problema relacionado ao futebol brasileiro, procurando relacionar o assunto ao cotidiano dos alunos. Apresenta comentários na seção que poderá ajudar ao desenvolvimento dos exercícios.

SMOLE, K.S; DINIZ, M.I; Matemática no ensino médio. Editora Saraiva. O estudo das sequências numéricas é feito na unidade 8 do volume 1 da coleção, situando-se entre as páginas 141 e 143. As autoras iniciam o capítulo com alguns problemas práticos de boa qualidade, apresentando ainda uma boa quantidade de exercícios resolvidos e algumas seções extras distribuídas entre a unidade tais como ler para resolver e cálculo rápido que podem despertar o interesse do aluno.

DANTE, L.R. Matemática – contexto e aplicações. Editora Ática. Os estudos sobre as sequências numéricas estão localizados no capítulo 9 do volume 1 da coleção, situando-se entre as páginas 292 e 294. O autor nos oferta a introdução do capítulo destacando a sequência de Fibonacci apre-sentando em seguida uma sequência de atividades bem simples, porém envolventes.

BARROSO, M.B. Conexões com a Matemática. Editora Moderna. O estudo das sequências numéricas é feito no capítulo 8 da coleção, localizando-se entre as páginas 324 e 325. No início do capítulo a autora nos oferta questões que procuram valorizar os conhecimentos adquiridos pelos alunos.

ARTE – A razão áurea está diretamente relacionada a sequência de Fibonacci, e pode ser obser-vada por vários aspectos: na natureza, nas pinturas, nas arquiteturas, na anatomia, na indústria, etc estando presente praticamente em todos os conteúdos a serem desenvolvidos por esta disci-plina nas séries do ensino fundamental e médio. O vídeo ARTE E MATEMÁTICA – Matemática na Música, retrata os padrões existentes nos ritmos musicais. Link: http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4945 ( Duração: 26min)

Conexão com livro PNLD

Interdisciplinaridade

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BIOLOGIA – As sequências de Fibonacci podem ser observadas em alguns padrões da natureza. Al-gumas flores apresentam esta sequência em sua estrutura, conforme descreve o link: http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html. Tal conteúdo se relaciona ao estudo desenvolvido no 1º bimestre da terceira série do ensino médio onde são estudadas as características da humanidade e o ambiente. Neste momento o professor pode destacar o desequilíbrio encontrado no crescimento e desenvolvimento de algumas espécies de arvores que seguem a um padrão diferente de outras de sua espécie.

As questões que envolvem sequências numéricas geralmente estão relacionadas a raciocino lógi-co dedutivo. Sugerimos ao professor, propor questões que façam os alunos buscar a lógica exis-tente na situação-problema. Este tipo de questões são usualmente avaliadas em Olimpíadas e concursos em geral.

1. ESPM (2007) – O 15º termo da sequência de frações (1/2 2/3; 4/4; 8/5; 16/6;...) vale:

a. 2048

b. 1024

c. 832

d. 768

e. 513Solução:

• Podemos determinar o termo geral desta sequência, ou seja, an = 2n-1 / n + 1.

Sendo assim, o seu décimo quinto termo será dado por

a15 = 214 / 15 + 1 = 210 = 1024, ou seja, a letra B.

Artigos, monografias e teses

1. Almeida, M.M.M de. Estratégia de generalização de padrões de alunos do ensino fundamental do ponto de vista de seus professores. Dissertação de Mestrado apresentada ao programa de pós graduação em educação matemática da PUC/SP, 2006, 97 p.

2. Valim, J.C. M. Geometria Fractal: atividades para o ensino fundamental e médio. Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Cascavel, 2008.

3. Fiorentini, D; Miorim, M.A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino de matemática. In: Boletim SBEM/SP, ano 4, número 7, 2003.

4. História das sequências e séries

Descrição: Este texto conta a histórias das sequências desde Zenão de Eléa (490--425 a.C.) até Godfrey Harold (G.H.) Hardy (1877--1947) e John Littlewood (1885--1977).

Endereço Eletrônico: http://www.mat.ufmg.br/calculoII/h1sese.html

SEQUENCIA DE FIBONACCI – A sequência de Fibonacci recebe este nome em homenagem a Leo-nardo de Pisa, que era conhecido como Fibonacci. Seu livro de 1202 intitulado Liber Abaci introdu-ziu a sequência na matemática da Europa Ocidental, embora ela já tivesse sido descrita anterior-mente na Matemática Indiana. A sequência de Fibonacci tem aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos. Também aparece em configurações biológicas, como por exemplo, na disposição de galhos das árvores ou das folhas em uma haste, no arranjo do cone do abacaxi, ou no desenrolar da samambaia.

Sugestão de avaliação

Material de apoio ao professor

Seção saber mais para nossos alunos

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Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas

Diferenciar Progressão Aritmética de Progressão Geométrica – Reconhecer uma sequencia arit-mética diferenciando-a de uma sequência geométrica.

Utilizar as fórmulas do termo geral e da soma dos termos da P.A. e da P.G. na resolução de pro-blemas significativos – Resolver problemas do cotidiano utilizando as fórmulas da P.A. e da P.G.

1. Dada a tabela abaixo, calcule (sem enumerar) todos os elementos:

a. O elemento da 3ª coluna na 15ª linha

b. O elemento da 2ª coluna na 58ª linha

c. O elemento da 1ª coluna na 100ª linha 3 5 7 9

11 13 15 17

19 21 23 25

... ... ... ...

Vídeos

1. AULA 33 – Progressões Aritméticas

Descrição: Esta aula aborda razão e termo geral da P.A. Interpretação gráfica e aplicações.

Endereço eletrônico: http://www.telecurso.org.br/matematica

Tempo de duração: 14:27 min

2. AULA 34 – Somando os termos de uma progressão aritmética

Descrição: Esta aula apresenta a dedução da fórmula de cálculo da soma de n termos de uma P.A. e aplicações.



Material Concreto

1. Jogo do Nim

Descrição: O Jogo do Nim é um jogo de raciocínio jogado com palitinhos por dois jogadores. Co-loca-se três ou quatro fileiras de palitos de no máximo 9 palitos cada – no nosso caso iniciaremos nosso jogo com 13 palitos. A regra do jogo consiste na retirada, cada um em sua vez, de 1,2 ou 3 palitos. Perde o jogo o jogador que retirar o último palito. Após jogarem livremente, sem utilizar nenhum conceito ou procedimento matemático, o professor propõe atividades voltadas para o estabelecimento de padrões que explicitem situações vencedoras sobre sequências numéricas e, em seguida são introduzidas atividades que visam abstrair e generalizar padrões aritméticos.

Endereço Eletrônico: http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450/mat450-2001242- seminario-2-jogo_do_nim.pdf



Material de apoio

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Softwares

1. Shapari

Descrição: o shapari é um software através do qual podemos selecionar novas formas geomé-tricas no plano e manipulá-las, seja através de transformações já prontas, seja através de novas transformações criadas utilizando-se matrizes quadradas de ordem 2.

Endereço eletrônico: http://www.edumatec.ufrgs.br/atividades_guiadas/shapari/shaparindex.php

2. Software: Sketchup

Tutorial de Download do Software:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/tecnologias/minicursos/geometriaespacial/tuto-rial_download.html

Tutorial XX – Construção, com as ferramentas siga-me e retângulo, de um cilindro com base no plano xy, centro na origem, com 2 m de raio e 5 m

Descrição: Este tutorial ensina como construir um cilindro utilizando o programa Sketchup, que possibilita realizar uma série de manipulações na abordagem dos conceitos matemáticas relacio-nados ao cilindro. Nesta página

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/tecnologias/minicursos/geometriaespacial/tuto-riais_sketchup.html, existem outros tutorias sobre os comandos básicos do Sketchup.

Endereço eletrônico:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/tecnologias/minicursos/cp2/tutoriais/videos_sketchup/tutorial_20.html

Sites e links relacionados

1. Nunes, R.S.R. Geometria Fractal e Aplicações. Dissertação de Mestrado. Departamento de Ma-temática Pura – Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 2006. Disponível em: http://www.fc.up.pt/pessoas/jfalves/Teses/Raquel.pdf

Descrição: A autora destaca os fractais clássicos explorando sua construção em sala de aula evi-denciando sua aplicabilidade no dia-a-dia, proporcionando aos alunos a criação e a elaboração de conceitos relacionados as progressões geométricas e de outros tópicos da matemática a partir de uma visão diferente da tradicional.

PAIVA, M. Matemática. Editora Moderna. O estudo das progressões aritméticas e geométricas é feito no capítulo 11 do primeiro volume da coleção, entre as páginas 198 e 217 apresentando exercícios tradicionais, pouco contextualizados e uma pequena quantidade de exercícios resolvi-dos porém, oferece uma quantidade razoável de exercícios propostos e complementares.

IEZZI, G. e outros. Matemática Ciência e Aplicações. Editora Saraiva. Nesta obra o estudo das pro-gressões aritméticas e geométricas é feito no capítulo 10 do primeiro volume da coleção, entre as páginas 196 e 221. Temos a nossa disposição uma boa quantidade de exercícios propostos porém uma pequena quantidade de questões resolvidas.

BARROSO, J.M. Conexões com a Matemática. Editora Moderna. O estudo e análise das progressões aritméticas e geométricas é feito no capítulo 8 do volume 1 da coleção entre as páginas 325 e 360. A autora dá ênfase ao iniciar o capítulo a apresentar questões relacionadas ao cotidiano do aluno.

DANTE, L.R. Matemática – Contexto e Aplicações. O estudo das progressões aritméticas e geomé-tricas é feito no capítulo 9, entre as páginas 294 e 333. O autor introduz o conceito de progressões aritméticas e geométricas relacionando o conteúdo a problemas vivenciados no nosso dia-a-dia. Apresenta, em seguida, de forma tradicional, a resolução de exercícios tradicionais relacionados ao conteúdo. Relaciona o estudo das progressões aritméticas ao ensino das funções do primeiro grau, e das progressões geométricas ao estudo da função exponencial. apresentando ainda alguns fatos históricos relacionados ao estudo das progressões. No final do capítulo o autor apresenta algumas atividades complementares relacionadas a questões retiradas do exame nacional do en-sino médio e de vestibulares recentes separados por regiões.


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RIBEIRO, J. Matemática Ciência, Linguagem e Tecnologia. Editora Scipione. O estudo das progres-sões aritméticas e geométricas é feito no capítulo 8 do primeiro volume da coleção, situado entre as páginas 253 e 302. Apresenta uma seção pedagógica que nos oferece, no decorrer do capí-tulo, sugestões complementares que podem vir a ajudar na resolução dos exercícios propostos. Apresenta uma boa quantidade de exercícios propostos e uma pequena quantidade de exercícios resolvidos. Faz alusão a fatos relacionados a historia da matemática, relacionando o estudo das progressões aritméticas ao estudo das funções do primeiro grau e das progressões geométricas ao estudo da função exponencial.

SMOLE, K.S. DINIZ, M.I. Matemática no ensino médio. O estudo das progressões aritméticas e geométricas é feito no capítulo 8 da coleção, entre as páginas 143 e 156. Apresenta uma boa quantidade de exercícios resolvidos, uma seção chamada saber mais onde são aprofundados os temas em estudo e uma seção chamada seção conexão onde os temas são relacionados ao estudo da economia e a relação dos padrões matemáticos ao comportamento da bolsa de valores.

SOUZA, J. Matemática – Novo olhar. Editora FTD. O estudo das progressões aritméticas e geomé-tricas é feito no capítulo 8 do primeiro volume da coleção, localizando-se entre as páginas 171 e 173. O autor apresenta os conteúdos de forma contextualizada com sugestões de como podemos relacionar os conteúdos matemáticos a situações que venham a surgir no nosso dia-a-dia.

SAERJINHO ( 2011 ) – Os canos de PVC de uma empresa foram empilhados em sequência confor-me a figura. Na primeira linha tem 1 cano e na 21ª linha foi empilhado 21 canos de PVC.

O número total de canos empilhados será igual a:

a. 210

b. 231

c. 420

d. 441

e. 462Solução: aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética , temos que:

Sn = (a1 + an) x n / 2

Considerando-se a1 = 1, a21 = 21 e n = 21, temos que:

SN = ( 1 + 21 ) x 21 / 2 = 22 x 21 / 2 = 462/2 = 231

Portanto , a alternativa correta é a letra B

ENEM ( 2008 ) – Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:


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1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);

2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

Figura 1 Figura 2 Figura 3

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é

a.

b.

c.

d.

e.

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Solução:

• encolhendo os triângulos pretos sempre pela metade teremos como figura 4 o triângulo da opção C.

1. UFF (2004) – A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinquenta anos (em 1953).

Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.

Newsweek, 26 de maio de 2003.

Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproxima-damente:

a. 10% da população existente em 1953

b. 20% da população existente em 1953

c. 30% da população existente em 1953

d. 45% da população existente em 1953

e. 65% da população existente em 1953Solução:

Temos que: a1 = 100 a51 = 20 a26 = x

Aplicando-se a fórmula do termo geral das progressões geométricas, temos que:

a51 = a1 x q50

20 = 100 x q50

de onde se conclui que q = 0,968323786. Determinando-se o valor de a26, temos:

a26 = 100 x 0,96832378625 = 44,72135987 que nos dá como resposta um valor aproximado de 45, ou seja, a letra D

4. ENEM (2011) – O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em feverei-ro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado

a. 38.000

b. 40.500

c. 41.000

d. 42.000

e. 48.000

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Solução: a sequência (33000; 34500; 36000; ...) é uma P.A com a1 = 33000 e r = 1500.

Assim. Em julho, o sétimo termo é dado por

a7 = 33000 + 6 x 1500 = 42000, ou seja, a letra D.

Artigos, monografias e teses:

1. Almeida, M.M.M de. Estratégia de generalização de padrões de alunos do ensino fundamental do ponto de vista de seus professores. Dissertação de Mestrado apresentada ao programa de pós graduação em educação matemática da PUC/SP, 2006, 97 p.

Endereço eletrônico: www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/maria_margarida_massignan_almeida.pdf

2. Carvalho, C.A.S. Generalizações e Progressões Aritméticas. Uma experiência com alunos do ensino médio.

Endereço eletrônico: www.incepg.univap.br/cd/inic_2008/anaisepg00899_06_A.pdf

3. Torre de Hanói, uma proposta de atividades para o ensino médio

Descrição: o artigo da uma aplicação da relação existente entre o jogo e a construção das ideias fundamentais relacionadas ao ensino da progressões geométricas.

Endereço Eletrônico: www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2alexandredacosta.pdf

Roteiros de Aulas e História da Matemática:

1. GAUSS, O PRÍNCIPE DA MATEMÁTICA.

Descrição: Este link aborda um pouco de História da Matemática, relata como Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritmética.

Endereço Eletrônico: http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosida-desmatematicas-html/audio-gauss-br.html

2. CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL – Orientações Pedagógicas: Progressões Aritméticas

Endereço Eletrônico: http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/documentos/op/em/matemati-ca/2010-08/op-em-ma-22.pdf

3. CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL – Orientações Pedagógicas: Progressões Geométricas


Matemática financeira

Este tema irá revisar o conceito de porcentagens tendo como principal objetivo fazer com que o aluno compreenda a diferença entre juros simples e compostos. A matemática financeira está presente em diversas situações do nosso cotidiano, fornecendo diversas situações-problema que podem enriquecer a discussão sobre esse tema em sala de aula. O principal objetivo dessa seção é apresentar os conceitos básicos de matemática financeira, tais como juros e descontos, simples e compostos à luz do que já foi discutido sobre sequências numéricas na unidade anterior.



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Juros simples e compostos; resolução de problemas

Distinguir os juros simples dos compostos, aplicando em situações problemas – Reconhecer uma aplicação de juros simples e uma aplicação de juros compostos, e ser capaz de compreender a distinção entre ambas aplicações.

Utilizar os conceitos de matemática financeira para resolver problemas do dia a dia – Reconhe-cer os juros aplicados em uma situação-problema qualquer, e ser capaz de resolver o problema abordado.

1. pesquisa sobre a história do dinheiro;

2. trabalhar de forma interdisciplinar com a História. Sugere-se que seja feita uma pesquisa pelos alunos sobre os antigos nomes do dinheiro brasileiro e seu período de vigência.

Vídeos

1. AULA 37 – A Matemática e o dinheiro

Descrição: Esta aula introduz o conceito de Matemática financeira, abordando os conceitos de aumentos e descontos (juros simples), aumentos e descontos sucessivos ( juros compostos). En-dereço eletrônico: http://www.telecurso.org.br/matemática


2. AULA 38 – À vista ou a prazo?

Descrição: Esta aula trata das aplicações simples de Matemática Financeira e dos cálculos de taxas de juros.



3. MATEMÁTICA EM TODA PARTE – Matemática nas Finanças

Descrição: Nesse episódio o programa mostra como trabalhar com frações, porcentagens e razão. Fala das medidas do retângulo áureo e apresenta a história e os usos que dele se fazem, partindo das medidas de um cartão de crédito. Neste programa, os professores são estimulados a levar para sala de aula noções de planejamento de gastos para a tomada de decisões.

Endereço eletrônico: http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=2256

Tempo de duração: 26’00’’ min

Softwares:

1. Software de matemática financeira 1.0

Descrição: o software de matemática comercial e financeira 1.0 é um software destinado ao uso em disciplinas de matemática financeira ou em uso geral; nele encontramos tópicos relacionados as operações comerciais, ao cálculo de acréscimos, ao cálculo de juros simples, compostos e os seus respectivos montantes.

Endereço eletrônico: www.baixar1.com/download/12939/software-de-matematica-financeira-10-html

Artigos, dissertações e teses:

1. A formação do aluno e a visão do professor do ensino médio em relação à matemática financeira.



Material de apoio

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Descrição: o autor procurou refletir sobre o que sabem os alunos e o que pensam os professores do ensino médio sobre a matemática financeira nesta etapa de escolaridade, analisando documentos oficiais relativos ao ensino da matemática e alguns livros didáticos disponíveis no mercado.

Endereço eletrônico: www.pucsp/pos/edmat/ma/dissertacao_2004.html

IEZZI, G. e outros. Matemática Ciência e Aplicações. Editora Saraiva. Nesta obra o estudo da ma-temática comercial e financeira é feito no capítulo 11 do primeiro volume da coleção – entre as páginas 221 e 241. Os autores nos oferecem exemplos de problemas que aparecem com certa frequência no cotidiano dos nossos alunos. Temos a nossa disposição uma boa quantidade de exercícios propostos porém uma pequena quantidade de questões resolvidas.

BARROSO, J.M. Conexões com a Matemática. Editora Moderna. Nesta coleção o estudo da mate-mática comercial e financeira é feito no primeiro capítulo do terceiro volume entre as páginas 1 e 20. A autora nos oferece várias situações-problema que valorizam os conhecimentos adquiridos pelos alunos em sua vida diária.

DANTE, L.R. Matemática – Contexto e Aplicações. Editora Ática. Nesta coleção o estudo da ma-temática comercial e financeira é realizado no capítulo 10 do primeiro volume, entre as páginas 336 e 358. O autor inicia o capítulo com uma boa revisão de assuntos aprendidos no ensino fun-damental e, em seguida dá continuidade ao estudo dos juros simples e compostos, relacionando o os juros simples às s funções de primeiro grau, e o os juros compostos às funções exponenciais.

RIBEIRO, J. Matemática, Ciência, Linguagem e Tecnologia. Editora Scipione. O estudo e análise dos fundamentos da matemática financeira é feito no segundo volume da coleção, no primeiro capítulo, entre as páginas 1 e 37. O autor nos fornece uma assessoria pedagógica interessante, destacada no capítulo onde fornece comentários e sugestões para a resolução dos diversos exer-cícios propostos e complementares do capítulo.

DINIZ, M.I; SMOLE, K.S. Matemática Ensino Médio. Editora Saraiva. O estudo da matemática finan-ceira é feito no terceiro volume da coleção, no primeiro capítulo entre as páginas 10 e 18. As au-toras iniciam o capítulo fazendo uma revisão sobre porcentagem e, em seguida iniciam o estudo dos juros simples e dos juros compostos. O capítulo apresenta uma boa quantidade de exercícios propostos e complementares.

SOUZA, J. Matemática – Novo Olhar. Editora FTD. O estudo da matemática financeira é feito no segundo volume da coleção, no terceiro capítulo, entre as páginas 46 e 78. Apresenta uma boa quantidade de exercícios propostos, em sua grande maioria retirados do exame nacional do ensi-no médio e de vestibulares diversos.

[História] – A crise econômica de 1929

Link: http://www.brasilescola.com/historiag/crise29.htm. Tais conteúdos estão relacionados ao segundo bimestre da terceira série do ensino médio quando for desenvolvido o assunto relacio-nado aos sistemas totalitários na Europa do século XX: Nazifascismo, ditaduras na América Latina e Estado Novo no Brasil, levando o aluno a avaliar criticamente os conflitos culturais, sociais, polí-ticos, econômicos e ambientais do século XX.

(SAERJINHO – 2011) Mara tomou emprestado R$ 1.500,00 de sua amiga. Combinou de pagar em 2 meses, a uma taxa de 3% ao mês, no regime de capitalização simples. Quanto Mara deverá pagar à sua amiga?

a. R$ 90,00

b. R$ 1.414,42

c. R$ 1.590,00

d. R$ 1.591,35

e. R$ 1.950,00




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Solução: aplicando-se a fórmula de cálculo dos juros simples, temos que:

J = Cxixt, onde:

C= R$ 1.500,00 n= 2 meses e i = 0,03 ao mês, ou seja:

J = 1500 x 0,03 x 2 = R$ 90,00

Como o montante de uma transação financeira é dado pela soma do capital com o juros produzi-dos, temos que:

M = 1500,00 + 90,00= R$ 1590,00, ou seja, letra C

ENEM – 2012 – Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30 % do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20 % do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.

A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de

a. R$ 4 222,22.

b. R$ 4 523,80.

c. R$ 5 000,00.

d. R$ 13 300,00.

e. R$ 17 100,00.Solução:

Como o investidor perdeu 30% do seu capital, passou a ter 70% do mesmo. Em seguida recuperou 20% daquilo que havia perdido, ou seja, 20% x 30%, oque equivale a 600% / 100% = 6%

Sendo assim, chamando o capital inicial do investidor de x, podemos dizer que

70% x + 6% x = R$ 3.800,00

76% x = 3800,00

Transformando estes 76% em 0,76, temos que

x = 3800,00 / 0,76 o que equivale a dizer que x = R$ 5.000,00, ou seja, a letra D.

Artigos, monografias e teses:

1. A formação do aluno e a visão do professor do ensino médio em relação à matemática financeira.

Descrição: o autor procurou refletir sobre o que sabem os alunos e o que pensam os professores do ensino médio sobre a matemática financeira nesta etapa de escolaridade, analisando documentos oficiais relativos ao ensino da matemática e alguns livros didáticos disponíveis no mercado.

Endereço eletrônico: http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/pedro_lopes_nascimento.pdf

Roteiros de Aulas e História da Matemática:1. CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL – Orientações Pedagógicas: Matemática Financeira

Descrição: Nos planejamentos de aula citados a seguir, o professor poderá ter todas as informa-ções necessárias sobre como ensinar, o que ensinar, condições para ensinar, por que ensinar, como avaliar o assunto.


http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/documentos/op/em/matematica/2010-08/op-em-ma-13.pdf

NÚMERO “ e “ – Após a abordagem bimestral sobre juros simples e compostos, o professor que desejar aprofundar o conceito de juros compostos pode trabalhar o vídeo, que apresenta inclu-sive o conceito do número e (número de Euler): Matemática Financeira – E Agora José. Endereço eletrônico: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=23025. (Duração: 11:59 Minutos)



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Geometria espacial

No tema “Geometria Espacial”, após introduzir os conceitos básicos relacionados ao assunto no decorrer do 1° bimestre, iremos dar inicio ao estudo dos Sólidos Geométricos. Os primeiros só-lidos a serem abordados serão os prismas e os cilindros. Os prismas e cilindros estão presentes em diversas situações do cotidiano: na arquitetura, nas formas dos objetos, nas embalagens de produtos e etc . Um bom entendimento dos seus elementos e de suas relações certamente nos ajudarão a entender o mundo que nos cerca.

Prismas e Cilindros

Reconhecer e nomear prismas e cilindros – Identificar um prisma e um cilindro e suas respectivas planificações.

Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas lateral e total de prismas e cilindros – Iden-tificar os elementos e as relações existentes nos prismas e nos cilindros e aplicá-los na resolução de problemas do dia a dia.

Resolver problemas envolvendo cálculo do volume de prismas e cilindros – ser capaz de calcular o volume de prismas e cilindros através da fórmula, e resolver situações-problemas envolvendo volume.

Propor atividades diagnóstica para verificar a necessidade de revisão de pré-requisitos fundamen-tais para as aulas, tais como áreas de figuras planas.

Propor atividades que instiguem o desenvolvimento do raciocínio e do cálculo mental dos alunos.

Propor atividades que levem o aluno reconhecer e conceituar prismas e cilindros, além de distin-guir os diferentes tipos de prismas

Vídeos:

1. AULA 63 – Cubo, prismas e cilindros

Descrição: Esta aula aborda os conceitos da geometria métrica espacial dos prismas e cilindros.



2. AULA 64 – Observando embalagens

Descrição: Esta aula apresenta aplicações de cálculo de área e volume em situações cotidianas.


Tempo de duração: 12:22min

Softwares:

CONSTRUFIG 3D

Descrição: Trata-se de um software livre e código aberto, de interface bastante simples que permi-te a composição e visualização de figuras espaciais a partir de figuras planas selecionadas pelo alu-no. Desenvolvido para alunos que estão iniciando o estudo da geometria, o CONSTRUFIG3D auxi-lia na identificação das figuras planas e espaciais. O sistema é bastante interativo, possibilitando aos alunos uma postura dinâmica em relação à aprendizagem e composição de figuras espaciais.

Endereço eletrônico: www.cvac.eng.br/construfig3d.html



Material de apoio

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Artigos, monografias e teses

1. Áreas e volumes de corpos redondos na educação básica

Descrição: O professor José Carlos Gonçalves Gaspar em sua Monografia, apresentada ao Curso de Especialização em Matemática para professores do ensino fundamental e médio ofertado pela Universidade Federal Fluminense, procurou discutir sobre o ensino e o aprendizado de área e volumes de corpos redondos destacando a metodologia aplicada na educação básica desvincula-da do ensino de cálculo diferencial e integral já que este conteúdo não faz parte do currículo da educação básica.

Endereço eletrônico: http://www.professores.uff.br/wmrezende/uploads/Monografia_Verso_Final.pdf

2. O ensino de Geometria nas escolas de nível médio da rede pública da cidade de Guaratinguetá

Descrição: As professoras Liliane Lelis de Oliveira e Ângela Dias Velasco procuraram diagnosticar como anda o ensino de Geometria Espacial e Plana nas escolas da rede pública da cidade de Gua-ratinguetá. Para isto realizaram um trabalho de campo com o objetivo de coletar dados o que as possibilitou chegar a resultados interessantes sobre o tema proposto.

Endereço Eletrônico: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/OENSINO.pdf

PAIVA, M. Matemática. Editora Moderna. O estudo dos prismas e feito no capítulo 13 do segundo volume da coleção as páginas 187 e 196.. È apresentado de forma ampla, apresentando um bom número de exercícios resolvidos e propostos trazendo também uma boa quantidade de exercícios aplicados nos diversos vestibulares espalhados pelo Brasil. Já o estudo dos cilindros é feito no capítulo 14, entre as páginas 197 e 203 sendo levadas em consideração as mesmas observações levantadas quando do estudo dos primas.

IEZZI, G. e outros. Matemática Ciência e Aplicações. Editora Saraiva. Nesta obra o estudo dos pri-mas é feito no capítulo 10 do segundo volume da coleção, entre as páginas 184 e 198. Já o estudo dos cilindros é feito no capítulo 12, entre as páginas 217 e 220. Os autores iniciam os capítulos chamando a atenção para alguns objetos pertencentes ao nosso dia-a-dia que podem ser clas-sificados como prismas e alguns que podem ser classificados como cilindros. Apresenta poucos exercícios resolvidos e uma boa quantidade de exercícios propostos.

BARROSO, J.M. Conexões com a Matemática. Editora Moderna. Nesta coleção, o estudo dos pri-mas é feito no capítulo 6, no segundo volume da coleção nas páginas localizadas entre 47 e 55, enquanto que o estudo dos cilindros é feito entre as páginas 87 e 90. A autora dá ênfase aos conhecimentos adquiridos pelos alunos anteriormente, fornecendo uma boa quantidade de exer-cícios propostos.

DANTE, L.R. Matemática Contexto e Aplicações. Editora Ática. Nesta coleção o estudo dos prismas é feito em conjunto com o estudo dos poliedros e das pirâmides no capítulo 11 do segundo volume entre as páginas 204 e 243. Já o estudo dos corpos redondos – onde estão alocados os cilindros – é feito no capítulo 12, entre as páginas 244 e 273. O autor relaciona o estudo dos primas a figuras encontradas no cotidiano dos alunos; apresenta a planificação dos primas, classificando-os de forma tradicional. Oferece poucos exercícios resolvidos e uma quantidade razoável de exercícios propos-tos. As mesmas considerações podem ser levantadas no que se refere ao estudo dos cilindros.

RIBEIRO, J. Matemática, Ciência, Linguagem e Tecnologia. Editora Scipione. O estudo dos prismas é feito no capítulo 3, juntamente com o estudo das pirâmides, enquanto que o estudo dos cilin-dros é feito no capítulo 4, juntamente com estudo dos cones e das esferas no segundo volume da coleção. O autor apresenta os conteúdos de forma tradicional com exercícios resolvidos e uma boa quantidade de exercícios retirados dos vestibulares recentes.

DINIS, M.I; SMOLE, KK.S. Matemática no ensino médio. Editora Saraiva. O estudo dos prismas é feito no capítulo 9 entre as páginas 225 e 228 , enquanto que o estudo dos cilindros é feito no capítulo 10 , entre as páginas 252 e 255 no segundo volume da coleção. O autor oferece exercícios tradicionais sobre os conteúdos, capítulos curtos e poucos exercícios resolvidos e propostos.

SOUZA, J. Matemática – Novo Olhar. Editora FTD. O estudo dos prismas é feito no capítulo 3, entre as páginas 66 e 70, enquanto que o estudo dos cilindros é feito no capítulo 4 , entre as páginas 103 e 107 no terceiro volume da coleção. O autor apresenta os conteúdos de forma contextualizada apresentando sugestões de como relacionar os conteúdos a assuntos que fazem parte do cotidiano.


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FÍSICA – Através o link: http://efisica.if.usp.br/otica/basico/prisma/ você poderá saber tudo sobre os prismas ópticos. Este assunto abordado na física está diretamente relacionado aos elementos dos prismas.

[Biologia/Educação Ambiental] – Através do link

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/cubagem/index.html você poderá analisar um projeto criado com o objetivo de analisar o crescimento do tronco de árvores de uma comunidade com o objetivo de analisar os fatores que influenciam o crescimento ou não de um conjunto de arbustos. Relacionado ao segundo bimestre da terceira série do ensino médio quan-do da apresentação dos conteúdos relacionados a humanidade e ao ambiente.

(SAERJINHO – 2011) Uma empresa comercializa embalagens de suco na forma de um prisma reto, cuja base é um quadrado de lado 6 cm e a altura é 10 cm. Qual o volume máximo para esta embalagem?

a. 16 cm3

b. 36 cm3

c. 60 cm3

d. 240 cm3

e. 360 cm3

Solução: o volume do prisma é dado pelo produto de suas três dimensões. Sendo assim, temos que:

V = axbxc, ou seja,

V = 6 x 6 x 10 = 360 cm3, ou seja, a letra E

ENEM (200 ) – Uma editora pretende despachar um lote de livros agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionara esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:

a. 9

b. 11

c. 13

d. 15

e. 17Solução:

Ao dividirmos o volume da caixa pelo volume de um pacote teremos o número de pacotes que cabem em uma embalagem, ou seja:

40 x 40 x 60 / 20 x 20 x 30 = 96 / 12 = 8.

Como são 100 pacotes, temos que 100 / 8 = 12,5. Como queremos a quantidade mínima de caixas,

tem-se como resposta a letra C.

CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL – Prismas e Cilindros


CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL – Volume de Sólidos





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