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Implementação do Programa de Matemática do Ensino Básico - Formação para Acompanhantes

Calculo algorítmico e

outras formas de cálculo

Fátima Mendes

Catarina Delgado

Joana Castro

Lurdes Serrazina

Cálculo algorítmico e outras formas de cálculo

Implementação do PMEB – Formação para Acompanhantes – 20.11.09 FM_CD_JC_LS

Sumário

• O que se entende por algoritmo?• O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos

algoritmos?• Cálculo associado à aprendizagem da subtracção• ‘Caminhar’ progressivamente para o algoritmo da

subtracção• Cálculo associado à aprendizagem da divisão• ‘Caminhar’ progressivamente para o algoritmo da

divisão• A estimação no PMEB• A calculadora no PMEB

2



O que se entende por algoritmo?

– Existem muitas definições, nem sempre consensuais.

Um algoritmo de uma operação é um conjunto de procedimentos ordenados relativos a dígitos.

– No caso da adição, subtracção e multiplicação trabalha-se da direita para a esquerda.

536+ 182 718

153- 42 111

23 x 17 161

23 391

3



O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos?

A aprendizagem dos algoritmos deveser realizada com compreensão

Valorizar o sentido de número

4



Foco na compreensão e no

uso flexível de procedimentos




5








Desenvolver gradualmente

6








Calcular mentalmentede modo flexível

Calcular em coluna com

compreensão

‘Chegar’ ao algoritmo

convencional

7



Calcular em coluna com compreensão



compreensão


convencional

204 3

x 2 7

8 0 0

2 8 0

6 0

2 1

1 1 6 1

4 3

x 2 7

3 0 1

8 6 0

1 1 6 1

4 3

x 2 7

3 0 1

8 6

1 1 6 1

7

40 3

20 20x40 =800

20x3=60

7 7x40=280 7x3=21

Um exemplo: calcular 27 x 43

8




1.º ciclo

1.º e 2.º ano 3.º e 4.º ano

Números naturais

Compreender e memorizar factos básicos da adição e relacioná-los com os da subtracção

Utilizar estratégias de cálculo mental e escrito para as quatro operações usando as suas propriedades.

Estimar somas, diferenças e produtos Compreender e realizar algoritmos para as operações de adição e subtracção

Adicionar, subtrair e multiplicar utilizando a representação horizontal e recorrendo a estratégias de cálculo mental e escrito

Compreender e realizar algoritmos para as operações multiplicação e divisão (apenas com divisores até dois dígitos)

Números racionais não negativos

Estimar e calcular mentalmente com números racionais não negativos representados na forma decimal

9



Cálculo associado à aprendizagem da subtracção



compreensão


convencional

500 – 250 =500 – 240 =510 – 250 =500 – 260 =520 – 250 =

61 – 20 =61 – 19 =60 30 =60 – 31 =61 29 =

Manter o foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos

Relacionar a subtracção com a adição

10



Caminhar progressivamente para o algoritmo da subtracção

Calcular em coluna com compreensão‘Chegar’ ao algoritmo

usual

3 2 5

- 1 6 7

1 5 8

160

158

3 2 5

- 1 6 7

2 0 0

- 4 0

- 2

1 5 8

11



Algoritmos ‘usuais’ da subtracção

Algoritmo da compensação

12

3 2 5

- 1 6 7





(325 +10) – (167 +10)

13

+10

3 2 5

- 1 6+1 7





(325 +10) – (167 +10)

14

3 2 15

- 1 7 7

8





(325 +10+100) – (167 +10+100)

15

+10

3 2 15

- 1 +1 7 7

8





(325 +10+100) – (167 +10+100)

16

3 12 15

- 2 7 7

5 8





Realizámos a diferença 435-277 em vez de 325-167

(325 +10+100) – (167 +10+100)435 – 277

Uso da propriedade da invariância do resto, na subtracção

17

3 2 5

- 2 7 7

1 5 8




Algoritmo da decomposição

(300 + 20 + 5)3 2 5

- 1 6 7

18





19





(300 + 20 + 5)

(300 + 10 + 15)

3 1 15

- 1 6 7

8

20





21





(300 + 20 + 5)

(300 + 10 + 15)

(200 + 110 + 15)

2 11 5

- 1 6 7

5 8

22





2 11 15

- 1 6 7

1 5 8

23



Cálculo associado à aprendizagem da divisão



compreensão


convencional

Manter o foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos

Relacionar a divisão com a multiplicação

64 : 4 =

64 : 8 =

32 : 8 =

32 : 4 =

21:3=

30:3=

51:3=

60:3=

81:3=

24



Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão



compreensão


convencional

Um exemplo – calcular 81:3 a partir da disposição rectangular

Qual é o número que multiplicado por 3 é igual a

81?

3

? 81

25






compreensão


convencional


Eu sei que 10x3=30, que

20x3=60 e que 30x3=90 (já ultrapassa!)

3

20 20 x 3=60

81

26






compreensão


convencional


60 para 81 ainda faltam 21.

Qual é o número que multiplicado

por 3 é 21?É o 7.

3

20 20 x 3=60

7 7 x 3=21

81

27






compreensão


convencional


81:3=27 porque 27x3=81

3

27

20 20 x 3=60

7 7 x 3=21

81

28






compreensão


convencional

Um exemplo – calcular 81:3

3

20 20 x 3=60

81

81 3

- 60 20 (20x3=60)

21

29






compreensão


convencional


3

27

20 20 x 3=60

7 7 x 3 = 21

81

81 3

- 60 20 (20x3=60)

21 + 7 (7x3=21)

- 21 27

00

30






compreensão


convencional


81 3

- 60 20 (20x3=60)

21 + 7 (7x3=21)

- 21 27

00

81 3

- 30 10 (10x3=30)

51

- 30 10 (10x3=30)

21

- 21 + 7 (7x3=21)

00 2731






compreensão


convencional

Um exemplo – calcular 81:3 81 3

- 6

27

21- 21

00 32





compreensão

Um exemplo com números maiores Calcular 4523:27

4523 27 -2700 100 (100x27=2700)

1823- 1350 50 (50x27=1350)

0473(10x27=270)10- 270

203- 135 5 (5x27=135)

68

- 54 +

2(2x27=54)

14 167

33



Formas de cálculo

Cálculo mental

Cálculo em coluna

Cálculo algorítmico

34



Formas de cálculo

Cálculo mental Estimação

Cálculo em coluna

Cálculo algorítmico

35



Tipos de estimação (mais usuais)

Cálculo usando valores estimados, porque os dados necessários estão incompletos ou indisponíveis

Cálculo usando números arredondados, apesar dos dados serem valores exactos

Adaptado de van den Heuvel-Panhuizen (2001)

Estimação

36




Cálculo usando números arredondados, apesar dos dados serem valores exactos


Estimação

Transformar os dados numéricos em números ‘redondos’ ou mais ‘fáceis’ e realizar um cálculo exacto com esses números.

Preciso de comprar quatro garrafas de sumo, a 1,98 € cada.

Só tenho uma nota de 10 €. Será que o dinheiro é suficiente?

Não é necessário o cálculo exacto do preço de quatro

garrafas, basta calcular 4x2 e comparar com 10.

37




Cálculo com valores estimados porque os dados necessários estão incompletos ou indisponíveis

Estimação

A grandeza dos números é determinada aproximadamente. São dados os limites ou podem ser estabelecidos.

É necessário, também, conhecimento sobre como arredondar números e como calcular com números ‘redondos’.

Um Cd de música custa entre 12 € e 14 €. Quanto podem custar cinco Cds?

O preço dos Cds varia entre dois valores.

38




Cálculo com valores estimados porque os dados necessários estão incompletos ou indisponíveis

Estimação

Requer o conhecimento de grandezas, antes do cálculo aproximado.

É necessário, também, conhecimento sobre como arredondar números e como calcular com números ‘redondos’.

Aproximadamente, quantos minutos tem uma semana?

É preciso saber as relações entre semanas, dias, horas e minutos.

39



A estimação no PMEB

1.º Ciclo 2.º Ciclo 3.º Ciclo

1.º e 2.º anos

3.º e 4.º anos 5.º e 6.º anos 7.º, 8.º e 9.º anos

Operações com números naturais

Estimar somas, diferenças e produtos

Realizar estimativas e avaliar a razoabilidade de um dado resultado em situações de cálculo

Números racionais não negativos

Estimar e calcular mentalmente com números racionais não negativos representados na forma decimal

Determinar o valor aproximado de um número e estimar a resposta a problemas envolvendo números inteiros e racionais não negativos

Números reais

Determinar valores aproximados por defeito (excesso) da soma e do produto de números reais, conhecidos valores aproximados por defeito (excesso) das parcelas e factores

40



A decisão pela forma de cálculo perante um problema

Problema

Estimação é suficiente

Estimar antes de calcularEstimar a resposta

mentalmente

Organização do cálculoOrganização do cálculo

É necessária uma resposta exacta

Feito Feito Feito

Uso de cálculos com papel e lápis

ou uso da calculadora

Cálculo mental


41



A calculadora no PMEB

• Nos programas anteriores e no PMEB:

– a calculadora é um dos recursos, considerado

importante, no trabalho com os números e as operações

durante os três primeiros ciclos de escolaridade

– referem-se aspectos globais sobre a importância do uso

da calculadora e identificam-se situações gerais que

justificam a sua utilização.

• No PMEB identificam-se situações concretas, ao longo

dos três ciclos, em que é fundamental usar a calculadora, e

outras em que não é.

42



• Nos programas anteriores e no PMEB:

– a calculadora é um dos recursos, considerado

importante, no trabalho com os números e as operações

durante os três primeiros ciclos de escolaridade

– referem-se aspectos globais sobre a importância do uso

da calculadora e identificam-se situações gerais que

justificam a sua utilização.

• No PMEB identificam-se situações concretas, ao longo

dos três ciclos, em que é fundamental usar a calculadora, e

outras em que não é.

A calculadora no PMEB

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Calculo algorítmico e

outras formas de cálculo

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