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Cálculo das Probabilidades I

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 1 / 41

Distribuição Normal

LEMBRANDO: Variável Aleatória Contínua

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

• Assume valores num intervalo de números reais.

• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de

uma v.a. contínua.

x



Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas

selecionadas ao acaso em uma população.

0 .01

0 .02

0 .03

0 .04

De

ns

ida

de

3 0 4 0 50 60 7 0 8 0 90 1 00

0 .00

P eso

- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em

torno de 70kg;

- a maioria dos valores encontra-se no intervalo (55;85);

- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e

acima de 92kg (1%).



Vamos definir a variável aleatória:

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a

distribuição de probabilidades de X ?

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso.

A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

3 0 40 50 6 0 70 80 90 10 0

0.00 0

0.01 5

0 .03 0

P es o

De

nsid

ad

e



A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições

contínuas de probabilidade pois:

• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa

distribuição.

• Serve como excelente aproximação para uma grande classe de distribuições

que têm enorme importância prática.

• Apresenta algumas propriedades matemáticas muito desejáveis, que

permitem concluir importantes resultados teóricos.

A distribuição Normal foi estudada pela primeira vez no século

XVII, quando se observou que os padrões em erros de medida

seguiam uma distribuição simétrica em forma de sino.

Foi apresentada pela primeira vez em forma matemática por

DeMoivre em 1733.

A distribuição era, também, conhecida por Laplace antes de 1775.

Gauss, publicou a primeira referência relativa a essa distribuição

em 1809.



Distribuição Normal ou Gaussiana

Personagens ilustres

1

De Moivre Laplace GaussGauss



Exemplo:

Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.

A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande

proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de

valores acima de 1500 horas.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.



Distribuição Normal ou Gaussiana

Definição: A variável aleatória X tem uma distribuição normal com

média µ e variância σ2, se sua função densidade de probabilidade édada por:

21

21( )

x

f x e

µ

σ

σ π

− −

=( )2

f x eσ π

=

Os parâmetros µ e σ devem satisfazer às condições:

-∞ < µ < ∞ e σ > 0.

para todo – ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞.


ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M.



Propriedades da distribuição normal

(a) E(X)= µ e Var(X)= σ 2

(b) A distribuição é simétrica em torno de sua média.

(c) A área total sob curva é igual a um.

(d) f (x) → 0 quando x → ±∞

(e) x = µµµµ é ponto de máximo de f (x)

(f ) µµµµ - σ e µµµµ + σ são pontos de inflexão de f (x)

(g) A moda, a mediana e a média são iguais.



Propriedades da distribuição normal

(h) 68,2% dos valores estão localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre

µ - 2σ e µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ.

(i)



Influência de µµµµ na curva Normal

N( µµµµ1; σσσσ 2) N( µµµµ

2; σσσσ 2)

Curvas Normais com mesma variância σ2

mas médias diferentes (µ2

> µ1).

µµµµ1

µµµµ2

x



Influência de σσσσ2 na curva Normal

N(µ;σ12)

N(µ;σ22)

σ22 > σ1

2

Curvas Normais com mesma média µ,µ,µ,µ,

mas com variâncias diferentes (σσσσ22 > σσσσ1

2 ).

N(µ;σ2 )

µ



Cálculo de probabilidades

P(a < X < b)

Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre a e b.

a bµµµµ

(I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos).

entre a e b.

PROBLEMAS:



(II) Qual Tabela usar?

Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par σ e µ!



Cálculo de probabilidades

SOLUÇÃO:

Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades.



Se X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2),

E(Z) = 0

Var(Z) = 1

f(x)X ~ N(µµµµ ; σσσσ2)

definimos

0 z

f(z)

a – µµµµ

σσσσ

b – µµµµ

σσσσ

Z ~ N(0 ; 1) a µµµµ b x



Z é uma variável aleatória contínua que terá distribuição normal

padrão com µ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função

densidade de probabilidade definida por:

2

21

( )2

z

z eϕπ

−

=

Se X tiver a distribuição N(µ, σ2), e se Y = aX + b,

então Y terá distribuição N(aµ + b, a2σ2).

Se X tiver distribuição N(µ, σ2), e se Z = (X - µ)/σ, então

Z terá distribuição N(0,1).

IMPORTANTE:




Curva normal padrão. Z = N(0, 1)2

21

( )2

z

z eϕπ

−

=

1



Tabulação da Distribuição Normal reduzida

Suponha que Z tenha distribuição N(0, 1). Nesse caso:

2

21

( )2

b z

a

P a Z b e dzπ

−

≤ ≤ = ∫

A função de distribuição da distribuição normal reduzida é

2

21

( )2

z s

s e dsπ

−

−∞

Φ = ∫

1

Desta forma, P(a ≤ Z ≤ b)

pode ser calculada:( ) ( ) ( )P a Z b b a≤ ≤ = Φ − Φ

Os valores de Φ(z), para -3 ≤ z ≤ 3 estão tabelados.



Distribuição Normal Tabulação da Distribuição Normal reduzida

Característica da distribuição N(0, 1)




Então para determinar a probabilidade P(a ≤ X ≤ b), basta

proceder da seguinte maneira.

Se X =N(µ, σ2) então Z = (X - µ)/σ terá distribuição N(0, 1).

Portanto:

( ) ( )

( )

a X bP a X b P

a bP Z

µ µ µ

σ σ σ

µ µ

σ σ

− − −≤ ≤ = ≤ ≤

− −= ≤ ≤

1



USO DA TABELA NORMAL PADRÃO

P(Z ≤≤≤≤ z)

Obs.: P(Z > z) = P(Z < -z)

P(Z > z) = 1 - P(Z < z).

P(Z < -z) = 1-P(Z < z).



z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903

0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495

0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420

0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309

0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822

0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661

0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571

0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350

0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805106 0,807850

0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977

1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690

1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999

1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958

1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656

1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219

1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792

1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540

1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636

1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258

Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0

1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258

1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581

2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774

2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997

2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396

2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106

2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244

2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915

2,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207

2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197

2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948

2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511

3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930

3,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238

3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462

3,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624

3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740

3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999821

3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879

3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918

3,8 0,999928 0,999930 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946

3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964



Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular

a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)



Encontrando o valor na Tabela N(0;1):

z 0 1 2

0,0 0,5000 0,5039 0,5079

0,1 0,5398 0,5437 0,5477

0,2 0,5792 0,5831 0,5870

0,3 0,6179 0,6217 0,6255

M M MM



Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular

a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)

P(Z ≤≤≤≤ 0,32) = Φ(0,32)=0,6255.



b) P(Z ≥≥≥≥ 1,5)

P(Z ≥ 1,5) = 1 – P(Z < 1,5) = 1 – Φ(1,5) = 1 – 0.9332 =

0,0668.



c) P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71)

P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71) = P(Z ≤≤≤≤ 1,71) – P(Z < 0) = Φ(1,71) – Φ(0) = 0,9564 –

0,5 = 0,4564



d) P(-1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5)

P(–1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5) = P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – P(Z ≤≤≤≤ –1,5) = Φ(1,5) – Φ(1,5) =

0,9332 – 0,0668 = 0,8664



Exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64)

Calcular: (a) P(6 ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ 12)

(b) P( X ≤≤≤≤ 8 ou X > 14)



Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que:

(i) P(Z ≤≤≤≤ z) = 0,975

A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é,

dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a

originou.

z é tal que A(z) = 0,975.

Pela tabela, z = 1,96.

Zz



(ii) Qual o valor de z tal que P(0 ≤≤≤≤ Z≤≤≤≤ z)= 0,4975 ?

ZzP(0 < Z ≤≤≤≤ z) = 0,4975

P(Z ≤≤≤≤ z) – P(Z < 0) = 0,4975

Φ(z) – Φ(0) = 0,4975

Φ(z) – 0,5 = 0,4975

Φ(z) = 0,9975

z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975. Pela tabela z = 2,81.



(iii) P(Z ≥≥≥≥ z) = 0,3

z é tal que A(z) = 0,7.


Zz



(v) P(– z ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ z) = 0,80

z é tal que P(Z ≤ –z) = P(Z ≥ z) = 0,1.

Zz– z

Isto é, P(Z ≤ z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28.



No exemplo 2, obtenha k tal que P( X ≤≤≤≤ k) = 0,025



Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição Normal, com média 120 min edesvio padrão 15 min.

a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o

exame antes de 100 minutos?

X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)

0918,0)33,1(15

120100)100( =−<=

−<

−=<= ZP

XPXP

σ

µ

Z



b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos

terminem no prazo estipulado?

120( ) 0,95 0,95

15

xP X x P Z

−−−− < =< =< =< = ⇒⇒⇒⇒ ≤ =≤ =≤ =≤ =

z = ? tal que A(z) = 0,95.

X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)

.

z = ? tal que A(z) = 0,95.

Pela tabela z = 1,64.

120Então , 1,64

15

x −−−−====

⇒x = 120 +1,64 ××××15

⇒ x = 144,6 min.

Z



c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para

completar o exame?

1 21 2

120 120P( ) 0,80 P 0,80

15 15

x xx X x Z

− −− −− −− − ≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ = ⇒⇒⇒⇒ ≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =

z = ? tal que A(z) = 0,90

X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120, 152)

.


1 1201,28

15

x −−−−= −= −= −= −

2 1201,28

15

x −−−−====

⇒⇒⇒⇒ x1= 120 - 1, 28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x1 = 100,8 min.

⇒⇒⇒⇒ x2 = 120 +1,28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x2 = 139,2 min.

Z



Exemplo 5: O tempo gasto com todas as etapas da produção de um novo produtotem distribuição Normal, commédia 6 minutos e desvio padrão 1,5 minutos.

a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando otempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos.Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executaressa tarefa?

b) Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários com tempototal gasto com a produção superior a 7 minutos. Qual a probabilidade de umfuncionário ser penalizado ao executar essa tarefa?

c) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa queestabelece-se um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefaentre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário executar essatarefa no intervalo de tempo sugerido?

d) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20% dosfuncionários recebessem a gratificação?



Exemplo 6: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos aum tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por umadistribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias).

a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para serecuperar?

b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?

c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dospacientes?

d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qualseria o número esperado de doentes curados em menos de 11dias?


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