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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas
DAN IE LA SO U ZA DOS AN JOS
CLASSIFICAÇÃO DA CURVATURA DE VERTENTES EM PERFIL VIA THIN PLATE SPLINE E INFERÊNCIA FUZZY
Presidente Prudente
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas
DAN IE LA SO U ZA DOS AN JOS
CLASSIFICAÇÃO DA CURVATURA DE VERTENTES EM PERFIL VIA THIN PLATE SPLINE E INFERÊNCIA FUZZY
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas da Universidade Estadual Paulista – Campus de Presidente Prudente, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Cartográficas.
Orientadores: Prof. Dr. Messias Meneguette Jr.
Prof. Dr. João Osvaldo Rodrigues Nunes
Presidente Prudente 2008
Anjos, Daniela Souza dos.
A619c Classificação da curvatura de vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy / Daniela Souza dos Anjos. - Presidente Prudente: [s.n], 2008
xiv, 96 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista,
Faculdade de Ciências e Tecnologia Orientador: Messias Meneguette Júnior
Co-Orientador: João Osvaldo Rodrigues Nunes Banca: Nilton Nobuhiro Imai, Ricardo Luis Barbosa
Inclui bibliografia 1. Cartografia. 2. Modelo numérico de terreno. 3. Vertentes. I.
Autor. II. Título. III. Presidente Prudente - Faculdade de Ciências e Tecnologia.
CDD(18.ed. )623.71
Ficha catalográfica elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação –
Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação - UNESP, Câmpus de Presidente Prudente.
DEDICATÓRIA
Este trabalho é dedicado aos meus pais Jaime e Margarida e as minhas irmãs Camila e Fabrícia.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pelo dom da vida, pela sabedoria, discernimento e paciência
que mais do que nunca foram fundamentais.
A minha família, por estarem sempre presentes em minha vida, principalmente
nos momentos difíceis.
Aos meus orientadores Professores Doutores Messias Meneguette Jr e João
Osvaldo Rodrigues Nunes pelo aprendizado e pela confiança em mim depositada.
A todos os professores do departamento de matemática e de cartografia pela
fundamental importância em minha formação acadêmica durante a graduação e a pós-
graduação, em especial aos Professores Doutores Mônica Fürkotter pelo incentivo e
colaboração.
À Capes pela concessão da bolsa durante o desenvolvimento da pesquisa.
Aos colegas da sala de permanência do Programa de Pós Graduação em Ciências
Cartográficas pelas conversas, discussões e pelos cafés que tantas vezes resultaram em
valiosas sugestões, em especial a Priscila Midori e Maria Lígia Cherubim pela
disponibilidade que demonstraram durante esses anos de convívio.
A todos os funcionários da seção de pós-graduação, em especial a Erynat pela
competência e principalmente pelo carinho com que nos atendem.
Aos meus amigos Ana Carla, Amanda, Talita, Marcela, Mayra, Nívea e Luis
Otavio por todos os momentos de alegria e diversão, mas principalmente pela paciência
e companheirismo nos momentos de cansaço, apreensão e dificuldades.
Vocês são parte fundamental desse trabalho.
Obrigada.
EPÍGRAFE
“Por muito tempo tem sido um dos meus axiomas que as pequenas coisas são infinitamente mais importantes.”
Sir Arthur Conan Doyle
RESUMO
A representação do relevo ou terreno é uma componente fundamental no processo
cartográfico e dentre essas representações as que têm por objetivo analisar as diferentes
curvaturas de uma vertente, ou seja, classificar as vertentes de um determinado terreno
em retilíneas, côncavas ou convexas tem apresentado grande aplicabilidade em áreas
como a agricultura, a construção civil, o estudo de microbacias entre outros. Assim, o
desenvolvimento de algoritmos que classifiquem essas formas do relevo pode contribuir
muito para a produção de informações relevantes à tomada de decisões em diversas
áreas do conhecimento. Alguns algoritmos com esse intuito foram anteriormente
desenvolvidos, porém apresentam claras necessidades de melhoria por classificarem
apenas áreas pré-estabelecidas, não podendo ser utilizados para outras regiões. Visando
sanar a necessidade de implementações mais completas este trabalho apresenta a
metodologia utilizada na elaboração de um algoritmo para classificação de vertentes
através de ferramentas matemáticas até então pouco utilizadas nas Ciências
Cartográficas: a Thin Plate Spline (TPS) que será utilizada para adensar os dados de
vertentes do município de Presidente Prudente, gerando Modelos Numérico de Terreno
(MNTs) sob os quais a curvatura é calculada, e a Inferência Fuzzy que é uma ferramenta
utilizada para discriminar classes que por diversas razões não possuem limites rígidos
entre si, como é o caso das vertentes a serem analisadas, e, portanto, estará integrada a
um produto final que será parte do estudo, isto é, um sistema que forneça modelos de
classificação das vertentes em: retilíneas, côncavas e convexas e que possa ser
comparada ao mapa geomorfólogico existente.
Palavras chave: Curvatura de vertentes, Thin Plate Spline, Inferência Fuzzy.
ABSTRACT
The relief or terrain representation is an essential component in the cartographic
process. Representations which aim at classifying relief profiles of a certain terrain as
rectilinear, concave and convex have reached great applicability in areas such as
agriculture, civil construction, watershed studies, among others. Therefore, algorithms
that classify these forms of relief can much contribute to the production of relevant
information to the decision make in several areas of knowledge. The simplest algorithm,
based on curvature value only is clearly not sufficient, but the literature brings fairly
little in relation to a more adequate methodology. Attempting to contribute in the sense
to aggregate more information and intelligence into this kind of classification so to
achieve a more complete implementation, this work presents a methodology using two
mathematical tools of little use so far in the Cartographic Science: 1) Thin Plate Spline
(TPS) used to densify the existing data, for the Numerical Terrain Models on which the
curvature shall be calculated and, 2) Fuzzy Inference used to discriminate classes that
for several reasons do not possesses well defined boundaries, as is the curvature profile
case. The validation used known and previously chosen data from Presidente Prudente
so that a comparison with existing morphological map was possible.
Key words: Slope Curvature, Thin Plate Spline, Fuzzy Inference.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 8
Anjos, D.S. unesp
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - A inter-relação entre processos sociais e naturais é a base de compreensão
dos atuais estudos geomorfológicos. ................................................................................ 22
Figura 2 - Análise de vertentes no plano e em perfil. ..................................................... 24
Figura 3 – Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente – SP na
escal 1:25.000 e detealhe de uma área próxima a Vila Nova Prudente. ........................ 27
Figura 4 - Legenda do Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente
Prudente-SP na escala 1:25.000........................................................................................ 27
Figura 5 - Formas de aquisição: (a) dispersa (b) semi-regular (c) regular. ................... 31
Figura 6 - Modelo de superfície gerada via grade regular retangular. ...........................32
Figura 7 – Modelo de superfície gerada via grade triangular......................................... 33
Figura 8 - Lâmina fina de metal com pontos de pressão localizados na superfície ...... 36
Figura 9 – (a) 5 pontos de controle para interpolação; (b) Adensamento dos pontos
viaTPS. ............................................................................................................................... 38
Figura 10 – Função de Pertinência Triangular. ............................................................... 41
Figura 11 - Função de Pertinência Trapezoidal............................................................... 42
Figura 12 - Função de Pertinência Sigmoidal.................................................................. 42
Figura 13 – Função de pertinência Gaussiana. ................................................................ 42
Figura 14 - Funções sigmoidais........................................................................................ 43
Figura 15 - Funções Lineares. .......................................................................................... 43
Figura 16. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto união A B� . 44
Figura 17. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto intersecção
BA� ...................................................................................................................................45
Figura 18. (a) Diagrama do conjunto A (b) Diagrama do conjunto complementar de A
( A ). ..................................................................................................................................... 45
Figura 19 – Variável lingüística estatura de um homem adulto caracterizada pela
quíntupla <X,T(X), Ux,G,M>............................................................................................. 46
Figura 20 – Funções de pertinência associadas a variável lingüística estatura de um
homem adulto. ................................................................................................................... 47
Figura 21 – Modelo lingüístico tipo Mamdani................................................................ 51
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 9
Anjos, D.S. unesp
Figura 22 – Método de defuzzificação MM. ................................................................... 52
Figura 23 - Método de defuzzificação CA....................................................................... 53
Figura 24 – Método de defuzzificação MA. .................................................................... 53
Figura 25 - Fluxograma de atividades.............................................................................. 55
Figura 26 - Par estereoscópio contendo a área 1 (retilínea)............................................ 56
Figura 27 - Área de teste na Zona Oeste com o córrego São João em destaque (Área 1 -
retilínea). ............................................................................................................................ 57
Figura 28 - Par estereoscópio contendo as áreas de testes 2 (côncava) e 3 (convexa). 57
Figura 29 - Área de testes na Zona Leste do município (Área 2 - côncava). ............... 58
Figura 30 – Área de testes na Zona Leste do município ( Área 3 - convexa). .............. 58
Figura 31 – Base digital planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente
Prudente visualizada através do software MicroStation V8: (a) – visão total, (b) – visão
parcial. ................................................................................................................................ 59
Figura 32 - Ferramenta Element Information do software MicroStation V8: (a) –
Dados de criação na aba General, (b) -valores das coordenadas (x,y,z) de cada ponto de
uma curva de nível na aba Details.................................................................................... 60
Figura 33 – Exemplo de base digital planoaltimétrica georreferenciada local.............. 61
Figura 34 – (a) criação de uma base digital planoaltimétrica georreferenciada contendo
apenas os dados da área de interesse - (b) Acesso da base local pelo software dxf2xyz
2.0 - (c) transformação das coordenadas de interesse contidas na base local em um
arquivo .txt. ........................................................................................................................ 61
Figura 35 – Arquivo de armazenamento dos dados contendo coordenadas x,y,z de cada
ponto da área de interesse. ................................................................................................ 62
Figura 36 – Célula sobre a qual a curvatura em perfil é calculada para o ponto zi,j...... 66
Figura 37 – Ponto p1 pertencente a duas áreas de interesse............................................ 68
Figura 38 – Cálculo do valor da curvatura para o ponto p1 em duas interações
diferentes............................................................................................................................69
Figura 39 – Variação no valor da curvatura de acordo com a quantidade de pontos
analisadas para um mesmo terreno................................................................................... 70
Figura 40 – Fluxograma de um SIF. ................................................................................ 71
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 10
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Figura 41 – Interface do editor FIS (Sistema de Inferência Fuzzy) em ambiente Matlab.
............................................................................................................................................ 72
Figura 42 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada
variação do ângulo de inclinação...................................................................................... 73
Figura 43 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada sinal
da curvatura........................................................................................................................ 73
Figura 44 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de saída
curvatura............................................................................................................................. 74
Figura 45 – Regras Fuzzy relacionada as variáveis de entrada e saída do SIF.............. 74
Figura 46 – Área do município de Presidente Prudente em diversos representações: (a)
- mapa geomorfológico, (b) - base digital planoaltimétrica, (c) – MNT gerado pela
implementação................................................................................................................... 76
Figura 47 – Modelo Numérico de Terreno gerado via Thin Plate Spline...................... 77
Figura 48 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de
MNT com valor de incx = incy = 1m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava),
(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 78
Figura 49 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de
MNT com valor de incx = incy = 3m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava),
(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 78
Figura 50 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de
MNT com valor de incx = incy = 5m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava),
(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 79
Figura 51 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de
MNT com valor de incx = incy = 7m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava),
(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 79
Figura 52 – Legenda para classificação de curvatura através da variável visual cor.... 79
Figura 53 - Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste expandidas –
(a) retilinea (b) concava (c) convexa................................................................................ 81
Figura 54 – Associação entre as variáveis de entrada e de saída fornecidas ao sistema:
............................................................................................................................................ 82
Figura 55 – Legenda da variável visual cor utilizada para distinção entre as classes...83
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 11
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Figura 56 – Área A: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente
Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura
de vertentes. ....................................................................................................................... 84
Figura 57 - Área B: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente
Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura
de vertentes. ....................................................................................................................... 85
Figura 58 - Área C: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente
Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura
de vertentes. ....................................................................................................................... 86
Figura 59 - Área D: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente
Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura
de vertentes. ....................................................................................................................... 87
Figura 60 – Área E: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente
Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura
de vertentes. ....................................................................................................................... 88
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 12
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Classificação de vertentes em perfil............................................................... 16
Tabela 2 - Áreas de aplicabilidade do mapeamento geomorfológico. ...........................26
Tabela 3 – Intervalos de classificação da curvatura ........................................................ 82
Tabela 4 – Comparação dos resultados apresentados para a Área A no mapa
geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e
no MNT gerado. ................................................................................................................ 84
Tabela 5 - Comparação dos resultados apresentados para a Área B no mapa
geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e
no MNT gerado. ................................................................................................................ 85
Tabela 6 - Comparação dos resultados apresentados para a Área C no mapa
geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e
no MNT gerado. ................................................................................................................ 86
Tabela 7 - Comparação dos resultados apresentados para a Área D no mapa
geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e
no MNT gerado. ................................................................................................................ 87
Tabela 8 - Comparação dos resultados apresentados para a Área E no mapa
geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e
no MNT gerado. ................................................................................................................ 88
Tabela 9 - Comparação dos resultados apresentados para a todas as áreas no mapa
geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e
no MNT gerado. ................................................................................................................ 89
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 13
Anjos, D.S. unesp
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO................................................................................................................... 15
1.1 Objetivo ...........................................................................................................................18
1.2 Justificativa...................................................................................................................... 18
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.................................................................................... 21
2.1 Geomorfologia................................................................................................................. 21
2.1.1 Vertentes ................................................................................................................... 23
2.1.2 Geomorfologia Cartográfica.................................................................................... 25
2.1.3 Geologia e Geomorfologia do município de Presidente Prudente-SP.................. 28
2.2 Modelo Numérico do Terreno (MNT)........................................................................... 29
2.2.1 Aquisição dos dados (pontos de controle).............................................................. 30
2.2.2 Geração de Grades ................................................................................................... 31
2.2.2.1 Grades regulares retangulares .............................................................................. 31
2.2.2.2 Grades irregulares triangulares............................................................................. 32
2.3 Thin Plate Spline ............................................................................................................. 34
2.4 Inferência Fuzzy.............................................................................................................. 39
2.4.1 Funções de Pertinência ............................................................................................ 41
2.4.2 Operações com Conjuntos Fuzzy ............................................................................ 44
2.4.3 Variáveis Lingüísticas.............................................................................................. 45
2.4.4 Regras Fuzzy............................................................................................................. 47
2.4.5 Sistemas de Inferência Fuzzy................................................................................... 48
2.4.5.1 Sistema Mamdani..................................................................................................49
2.4.6 Defuzzificação.......................................................................................................... 51
3. MATERIAIS E MÉTODO................................................................................................ 54
3.1 Materiais Utilizados ........................................................................................................ 54
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3.2 Metodologia proposta ..................................................................................................... 55
3.2.1 Escolha das áreas de teste........................................................................................ 55
3.2.2 Coleta de dados topográficos................................................................................... 59
3.2.3 Modelo Numérico de Terreno via Thin Plate Spline ............................................. 62
3.2.4 Cálculo da Curvatura em Perfil ............................................................................... 66
3.2.5. Classificação da curvatura via Inferência Fuzzy ................................................... 70
3.2.6 Modelo Numérico de Terreno classificado de acordo com a curvatura ............... 75
3.2.7 Comparação com o Mapa Geomorfológico do município de Presidente Prudente
............................................................................................................................................ 76
4. RESULTADOS.................................................................................................................... 77
4.1 Geração do Modelo Numérico de Terreno.................................................................... 77
4.2 Classificação das áreas de teste...................................................................................... 78
4.3 Parâmetros das Funções de Pertinência......................................................................... 81
4.4 Áreas de Comparação ..................................................................................................... 83
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 90
5.1 Considerações e Conclusões...........................................................................................90
5.2 Recomendações............................................................................................................... 91
6 REFERÊNCIAS................................................................................................................... 92
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 15
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1. INTRODUÇÃO
Desde o conceito estabelecido em 1966 pela ICA (Associação Internacional de
Cartografia) a Cartografia apresenta-se como o conjunto de estudos e operações que tendo
por base os resultados de observações diretas e da análise de documentação, se volta para a
elaboração de mapas, cartas e outras formas de representação de objetos, elementos,
fenômenos e ambientes físicos e socioeconômicos.
Dentre as várias representações utilizadas pela cartografia como os mapas, as cartas
e as representações digitais, uma de grande importância é a representação digital de uma
superfície, que pode ser realizada de diferentes maneiras, levando em consideração o
objetivo que se deseja atingir.
As representações de superfície que tem por objetivo apresentar as diferentes
curvaturas verticais de uma vertente têm apresentado uma boa aplicabilidade, pois o estudo
dessas feições consideradas pela geomorfologia como unidades básicas do relevo e
fundamentais para explicar o desenvolvimento das paisagens, vêm sendo de grande
contribuição em diversas áreas do conhecimento como engenharia, defesa civil, construção
civil e agricultura, que se interessam pela usabilidade do solo de forma mais adequada e na
resolução e prevenção de problemas gerados pelos diferentes tipos de feições no sentido de
se obter melhores resultados no uso do solo, minimizando os impactos a ele associados
(VELOSO, 2002).
Como um elemento da superfície terrestre inclinado em relação à horizontal, as
vertentes apresentam um gradiente e uma orientação no espaço, e dessa forma podem ser
classificadas de acordo com sua curvatura que é dada pela proporção em que varia a
inclinação da tangente sobre dois pontos de um determinado arco. A classificação é feita
entre retilíneas, côncavas ou convexas e é uma variável que auxilia a tomada de decisões
nessas áreas, principalmente por estar relacionada aos processos de migração e acúmulo de
água, minerais e matéria orgânica no solo através da superfície.
Veloso (2002) classifica as vertentes, quando analisadas em perfil, como retilíneas
se possuem um ângulo constante, enquanto as que possuem variação angular são
consideradas côncavas ou convexas.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 16
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Já Silveira et al. (2005), que utilizou a classificação das vertentes para indicar os
locais onde os processos de deposição e de erosão são mais atuantes, descreve as
classificações desse tipo de feição geomorfológica, em relação ao perfil, de maneira mais
detalhada, como mostra a tabela 1. Tabela 1 – Classificação de vertentes em perfil.
Tipo de Vertente Características
Côncava O ângulo de inclinação decresce da parte
mais alta para a parte mais baixa da
vertente.
Retilínea Possui ângulo de inclinação constante. ou
seja, é um segmento que não apresenta
curvatura.
Convexa O ângulo de inclinação aumenta da parte
mais alta para a parte mais baixa da
vertente.
A concavidade/convexidade de uma determinada vertente é influenciada por
diversos fatores, dessa forma, muitos podem ser os métodos utilizados para obter essa
classificação.
As classes de solos, por exemplo, se apresentam intimamente ligadas com a
morfologia do relevo e essa relação com a Geomorfologia reside principalmente, no estudo
dos aspectos ligados aos problemas de erosão nas vertentes, causados na sua maioria, pelo
escoamento superficial e de subsuperfície, ambos relacionados à curvatura da vertente
(NUNES, 2005).
Por meio da análise da morfologia de uma determinada área também é possível
obter dados relevantes quanto à classificação da curvatura de suas vertentes, pois ainda
segundo Nunes (2005) vertentes convexas estão geralmente associadas aos segmentos com
maior comprimento de rampa, enquanto as côncavas estão relacionadas às cabeceiras de
drenagem em vales com uma bacia de recepção sensivelmente alargada.
Outro exemplo relevante com mais detalhamento foi desenvolvido por Modenesi e
Hiruma (2004) na área do planalto de Campos do Jordão que é parte do bloco principal da
Serra da Mantiqueira e sofreu nas ultimas décadas o impacto de uma expansão urbana
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 17
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continua e desordenada que aumentou as condições naturais de instabilidade próprias do
planalto. Para estudar esse problema foi realizado um mapeamento geomorfológico de
detalhes em três áreas do vale do Capivari/Sapucaí-Guaçu, com base em trabalhos de
campo, interpretação de fotografias aéreas e imagens de satélite, no qual as vertentes
retilíneas com declividade de 25º a 40º foram classificadas através de fotos aéreas na escala
de 1:8.000 e da carta de declividade com escala de 1:10.000, o que caracteriza uma
classificação visual, que apesar de muito utilizada por gerar bons resultados é uma maneira
de classificação cara e trabalhosa na qual o pesquisador deve se dirigir a área.
A classificação de vertentes também pode ser obtida matematicamente, gerando
bons resultados sem as desvantagens do método manual. Para esse tipo de classificação é
necessário considerar que as vertentes côncavas têm valores de curvatura negativos, as
convexas valores positivos e as retilíneas apresentam valor de curvatura nulo. Porém é
muito difícil encontrar na natureza vertentes que possuam um valor de curvatura realmente
nulo, assim aquelas que apresentam valores de curvatura muito próximos de zero também
são consideradas retilíneas (VALERIANO, 2003).
Com o intuito de diminuir a demanda de trabalho manual e os custos desse tipo de
classificação Valeriano (2002) utilizou a disponibilidade crescente de bases de dados
topográficos aliada ao uso de Sistemas de Informação Geográficas (SIG) e buscou gerar um
método de classificação semi-automático de vertentes para as áreas de 6 microbacias do
estado de São Paulo (Ribeirão Preto, rios Jacuí, Bangu e Grande Ubatuba e córregos São
Joaquim e Soturninha) com diferentes características de relevo.
Para gerar esse método, Valeriano (2002) utilizou a krigagem para interpolar os dados
topográficos das 6 microbacias e concluiu que o principal mérito do método de
classificação de curvatura de vertentes pela análise de Modelos Digitais de Elevação foi a
maior eficiência obtida no trabalho de campo, após a realização de uma classificação digital
preliminar que resultou em boa precisão.
Considerando os aspectos abordados, verifica-se a necessidade do desenvolvimento
de uma implementação capaz de classificar a curvatura de vertentes em perfil a partir de
Modelos Numéricos de Terreno (MNTs) de diferentes regiões com mais rapidez e menor
custo. Para tanto, serão apresentados conceitos teóricos necessários ao entendimento e
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 18
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desenvolvimento do trabalho, a metodologia utilizada e por fim as análises e conclusões
acerca dos resultados obtidos.
1.1 Objetivo
O objetivo geral do trabalho é gerar uma metodologia utilizando ferramentas
matemáticas que leve a uma implementação capaz de tratar situações menos definidas, ditas
nebulosas, para bem distinguir, em perfil, as vertentes de um terreno de maneira semi-
automática, classificando-as com precisão próxima à obtida através do contato do
pesquisador com a área, bem como a elaboração de uma representação cartográfica dessa
classificação para as áreas de estudo, do município de Presidente Prudente, como produto
final.
Além do objetivo geral são considerados os seguintes objetivos específicos:
- Analisar as vertentes por meio de estereoscopia e de Modelos Numéricos de
Terreno (MNTs)
- Utilização da ferramenta matemática Thin Plate Spline (TPS) para adensamento dos
pontos de controle obtidos através da base digital planoaltimétrica do município de
Presidente Prudente;
- Utilização da ferramenta matemática Inferência Fuzzy para tomada de decisões na
presença de incertezas na classificação.
- Fortalecimento da inserção das ferramentas TPS e Inferência Fuzzy no meio
cartográfico.
1.2 Justificativa
A forma da superfície terrestre é essencial ao conhecimento dos processos que
ocorrem em um terreno devido a influência no fluxo de água, no transporte de sedimentos e
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poluentes, na natureza e na distribuição do habitat de plantas e animais, além de ser uma
expressão dos processos geológicos e do intemperismo (BLASZCZYNSKI, 1997).
As vertentes, que são uma das muitas feições geomorfológicas da superfície terrestre,
apresentam sempre uma inclinação em relação ao plano horizontal e por isso têm
conseqüências quanto à rapidez com que as águas das chuvas escorrem e com o nível de
encharcamento de um determinado terreno. Assim a falta de planejamento quanto ao uso e
ocupação das vertentes, bem como o desconhecimento das características geomorfológicas
e geológicas de uma área podem ocasionar problemas de infiltrações no solo, gerando
erosões, deslizamentos ou quedas de barreiras (NUNES, 2005).
Devido a essas características, a obtenção de bons resultados no uso ou ocupação de
áreas que contenham vertentes está intimamente ligada a um planejamento prévio com uma
descrição cuidadosa da forma das mesmas, tornando possível a análise das implicações
desse uso a curto e longo prazo.
Analisando esse cenário, a classificação do tipo de vertente se torna um dado de
grande importância em projetos que tem por intenção utilizar grandes áreas, como por
exemplo, projetos de construção civil, agricultura, estudo de microbacias, estabelecimento
de aterro sanitário, entre outros.
A utilização da análise estereoscópica de fotografias aéreas para o delineamento
manual das unidades de solo/paisagem com posterior constatação no campo é usual, porém
a modelagem e análise digital do terreno se justificam por representarem uma alternativa
rápida e econômica que pode ser aplicada para a quantificação e classificação do relevo,
permitindo a definição, em geral de forma semi-automática, das unidades morfológicas da
paisagem, utilizando atributos topográficos como a elevação, a declividade, a orientação e a
curvatura da superfície terrestre (VALERIANO, 2002).
Assim a obtenção da classificação de curvatura de vertentes em perfil de uma
maneira semi-automática foi perseguida pelo uso da interpolação Thin Plate Spline (TPS) e
da Inferência Fuzzy. O uso da TPS como método de interpolação em substituição a
krigagem se deu mais em função de fortalecer a inserção de outra ferramenta matemática
no meio cartográfico e se justifica devido aos bons resultados apresentados ao ser utilizada
em Modelos Digitais de Terreno (MDT) por Barbosa et al. (2003), pois quando comparados
com os resultados apresentados através de outros métodos de interpolação como a
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 20
Anjos, D.S. unesp
interpolação quíntica, por exemplo, a interpolação que utilizou TPS apresentou uma
visualização do MNT mais suave, o que evita o uso posterior de um método de suavização.
Por outro lado, a curvatura de uma vertente não pode ser considerada uma
característica exata, pois uma mesma vertente pode apresentar valores de curvatura que a
caracterizem como um tipo de vertente em uma determinada extensão e como outro tipo em
outra. Dessa forma, o uso da Inferência Fuzzy, que é considerada como a parte da lógica
matemática dedicada ao raciocínio incerto ou aproximado (ZADEH, 1965), representa um
caminho natural a ser agregado ao sistema de classificação das vertentes no sentido de se
obter discriminação mais condizente com a classificação manual, gerando classes
intermediárias no produto final.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 21
Anjos, D.S. unesp
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Em função de ser uma aplicação menos comum dentro das Ciências Cartográficas,
decidiu-se como importante fazer um apanhado breve de conhecimentos mesmo que
aparentemente básicos na área. Assim o capítulo tem por objetivo apresentar os conteúdos
diretamente relacionados ao desenvolvimento do projeto e esta dividido em 4 seções. Na
Seção 2.1 são apresentados os conceitos relacionados a geomorfologia que estão
intimamente ligados a análise que se pretende realizar, a Seção 2.2 apresenta uma revisão
sobre Modelo Numérico de Terreno (MNT) e por fim as Seções 2.3 e 2.4 apresentam
respectivamente os conceitos referentes às ferramentas matemáticas Thin Plate Spline e
Inferência Fuzzy.
2.1 Geomorfologia
A geomorfologia é definida por Ab’Saber1 (1969, apud CASSETI, 2001) como uma
ciência que consiste em explicar as transformações do geo-relevo não apenas quanto à
forma, mas também quanto à função, pois os conhecimentos científicos advindos dessa
ciência têm contribuído técnica e metodologicamente para uma melhor compreensão das
dinâmicas e inter-relações entre os processos naturais e sociais que atuam sobre o relevo
como mostra a Figura 1.
1 Ab’ Saber, Aziz Nacib. Um conceito de geomorfologia a serviço das pesquisas sobre o quaternário. Geomorfologia, São Paulo, no 18, p. 1-23, 1969.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 22
Anjos, D.S. unesp
Figura 1 – A inter-relação entre processos sociais e naturais é a base de compreensão dos atuais estudos
geomorfológicos. Fonte: (AMORIN e NUNES, 2006)
Essas análises do relevo, feitas pela geomorfologia, são realizadas através do estudo
das diversas feições geomorfológicas que são de fundamental importância para essa
ciência. Como existem inúmeras feições geomorfológicas na natureza, são apresentados
apenas os conceitos relacionados às principais morfologia de acordo com Guerra (1993):
� Topos – São as partes mais elevadas de um morro ou elevação. Usa-se, algumas
vezes, como sinônimo de cume. É um termo descritivo sendo comum dizer-se: no
topo do morro, no topo da montanha, no topo do planalto, etc.
� Fundos de Vale – Um fundo de vale pode ser entendido como a região de menor
altitude ou como a parte mais baixa do relevo em estudo, onde naturalmente se
encontram as águas correntes.
� Planícies Aluviais – Determinados rios, que se encontram em fundos de vale,
formam em suas margens, devido aos seus depósitos, planícies alargadas que são
denominadas planícies aluviais.
� Divisores de Água – São as linhas separadoras das águas pluviais, normalmente se
pensa em divisores formados por altas montanhas, todavia um divisor de águas não é
sempre formado por elevadas cristas.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 23
Anjos, D.S. unesp
� Morros – São montes pouco elevados, cuja altitude é de aproximadamente 100 a
200m. Termo descritivo para o geomorfólogo e muito utilizado em topografia.
� Serras – É um termo usado na descrição da paisagem física de terrenos acidentados
com fortes desníveis, como escarpas de planaltos com altimetria de 50 a 100m,
escarpas de blocos falhados, escarpas de erosão, entre outros. Como é um vocábulo
usado com sentido muito amplo na linguagem corrente, vem sendo renegado pelos
geomorfólogos. Elas podem ser divididas devido a sua extensão em serras curtas e
serras longas.
Dentre todas as feições geomorfológicas existentes, a de grande importância nesse
trabalho é a vertente, e por esse motivo essa feição será apresentada de maneira mais
completa em uma seção específica.
2.1.1 Vertentes
As vertentes, que para a geomorfologia são unidades básicas do relevo e
fundamentais para explicar o desenvolvimento das paisagens, são descritas por Veloso
(2002) como um elemento da superfície terrestre inclinado em relação ao plano horizontal.
Guerra (1993) as define como planos de declives que divergem a partir das cristas
enquadrando o vale. Nas zonas montanhosas, elas podem ser abruptas e formarem
gargantas, estando mais próximas do leito dos rios. Quando as vertentes são relacionadas às
planícies fluviais, estas são de difícil delimitação, pois são mais afastadas do leito.
Essa é uma feição geomorfológica que pode apresentar formas muito variadas,
porém é possível classificá-las de acordo com a sua curvatura que pode ser analisada no
plano ou em perfil.
A curvatura no plano é a taxa de variação da declividade na direção ortogonal à da
orientação, enquanto a curvatura no perfil é a taxa de variação da declividade na direção da
orientação da vertente.
A análise dessa característica no plano está relacionada ao acúmulo de umidade e do
fluxo da água superficial e sub-superficial na vertente. A partir da curvatura no plano um
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 24
Anjos, D.S. unesp
terreno pode ser dividido em convergente, divergente ou reto. Terrenos convergentes são
aqueles em que as direções de maior declividade em diferentes pontos do terreno tendem a
se encontrar enquanto terrenos divergentes são aqueles em que as direções de maior
declividade em diferentes pontos tendem a separar-se. A convergência ou divergência no
plano pode ser observada numa carta em que a topografia está representada por curvas de
nível.
Já a curvatura em perfil é decisiva na aceleração ou desaceleração do fluxo da água
sobre o terreno e, portanto, influencia a erosão do solo. Sob o ponto de vista da curvatura
em perfil, um terreno pode ser côncavo quando apresenta valor de curvatura positivo,
convexo quando o valor é negativo ou retilíneo quando o valor de curvatura é nulo.
A Figura 2 apresenta uma ilustração dos possíveis tipos de vertentes, porém nessa
ilustração todos os perfis ortogonais e as linhas de topo são iguais, o que quase nunca
ocorre na natureza, onde geralmente são encontradas vertentes com convergência ou
divergência, dessa forma os limites de um corte são difíceis de serem determinados, sendo
significativa a intervenção do especialista.
Figura 2 - Análise de vertentes no plano e em perfil.
Fonte: Schimidt and Hewitt, 2004
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 25
Anjos, D.S. unesp
Também é praticamente impossível encontrar na natureza uma vertente que possua
um valor de curvatura literalmente nulo em relação ao perfil, assim são consideradas
vertentes retilíneas aquelas que apresentam valores muito próximos a zero.
2.1.2 Geomorfologia Cartográfica
O pensamento geomorfológico pode ser analisado através de duas escolas
diferentes, a anglo-americana e a alemã, a partir das quais passou a ser utilizada para
muitos fins, entre eles a geomorfologia cartográfica que tem por objetivo representar
através de mapas ou cartas as formas do relevo, ou seja, representar vertentes, topos, fundos
de vale, planícies aluviais, colinas, morros, serras entre outras feições, o que tem sido de
grande importância na elaboração de documentos cartográficos (CASSETI, 2001).
Para essa representação são utilizados mapas geomorfológicos que são definidos por
Tricart (1963) como um instrumento na pesquisa do relevo, sendo ao mesmo tempo o que
direciona a pesquisa e que quando concluído deve representar uma síntese como produto
desta.
Para Nunes et al. (2006) na elaboração de mapas geomorfológicos, o pesquisador
deve ter a preocupação de apresentar e demonstrar o mais didático possível, as
características de identificação e classificação (gênese e idade) do relevo, os processos
morfodinâmicos e morfogenéticos que nele ocorrem além considerar a fundamental
importância da escala de abordagem a ser utilizada, pois de acordo com a relação entre a
área mapeada e a escala, o documento apresentará um maior ou menor grau de
detalhamento.
Assim, os mapas geomorfológicos se caracterizam como uma importante
ferramenta, que contribui de forma fundamental em estudos de diagnósticos e prognósticos
tanto em áreas urbanas quanto rurais e que pode ser aplicada em diferentes categorias,
como apresenta a Tabela 2.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 26
Anjos, D.S. unesp
Tabela 2 - Áreas de aplicabilidade do mapeamento geomorfológico.
Categoria de Uso Exemplos de aplicações do mapeamento geomorfológico
Uso da Terra Planejamento e conservação territorial (áreas naturais e culturais da
paisagem)
Regiões Agrícolas e
Florestais
Potencial de uso;
Potencial à erosão (perda de solo);
Áreas de recuperação ambiental;
Drenagem e irrigação.
Engenharia Civil Construção e planejamento de projetos de instalações industriais;
Construção de represas, reservatórios e canalizações e portos;
Proteção da costa;
Regularização de níveis de canais navegáveis
Prospecção/Exploração
Mineral
Recuperação de áreas mineradoras;
Recuperação de áreas de desmoronamento;
Criação e manutenção de depósitos materiais residuais.
Fonte: modificado de COOKE e DOORNKAMP 1990.
Referente ao município de Presidente Prudente, ao qual pertencem as áreas
utilizadas no trabalho, já foram realizados estudos que geraram como produto mapas
geomorfológicos em diferentes escalas. Alguns documentos como IPT (1981a) destacam a
geomorfologia regional, enquanto outros, como o mapeamento geomorfológico realizado
por Nunes et al. (2006), destacam aspectos da geomorfologia local e apresentam as
principais características geomorfológicas presente no perímetro urbano e suas adjacências
(Figura 3). Para sua elaboração foram utilizadas fotografias aéreas, na escala 1:25.000, do
vôo de setembro de 1995, imagens de satélite e de ortofotos de 2003 (escalas de 1:8.000 e
1:20.000) e principalmente trabalhos de campo para averiguação das informações
mapeadas.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 27
Anjos, D.S. unesp
Figura 3 – Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente – SP na escal 1:25.000 e
detealhe de uma área próxima a Vila Nova Prudente.
Por ser uma ciência advinda de escolas diferentes, a geomorfologia cartográfica não
possui uma padronização dos símbolos utilizadas na elaboração dos mapas, dessa forma
cada pesquisador opta por utilizar símbolos mais próximos à realidade da área estudada,
aumentando assim a importância das legendas. A simbologia utilizada nesse mapeamento
para a interpretação das formas de relevo é apresentada na Figura 4.
Figura 4 - Legenda do Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala
1:25.000. Fonte: Nunes, Freire e Perez. (2006).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 28
Anjos, D.S. unesp
2.1.3 Geologia e Geomorfologia do município de Presidente Prudente-SP A geomorfologia de uma determinada área pode ser explicada, em grande parte,
pela geologia do local. Assim torna-se necessário descrever não só as características
geomorfológicas como também as características geológicas do município de Presidente
Prudente, área de estudo desse trabalho, mesmo que de maneira simplificada.
De acordo com o texto integrado ao mapa geomorfológico (NUNES et al., 2006), o
município de Presidente Prudente, morfoestruturalmente pertence à Bacia Sedimentar do
Paraná a qual é constituída por rochas sedimentares e ígneas (idade Mesozóica) e por
depósitos recentes (idade Cenozóica), tendo a formação Adamantina-Ka como a de maior
expressão e representatividade (62,2%).
Devido a sua representatividade a Formação Adamantina é a mais importante e
amplamente documentada pelas pesquisas geológicas desenvolvidas na região do Pontal do
Paranapanema, especialmente no município de Presidente Prudente. De acordo com o IPT
(1981b), é constituída por arenitos finos a muito finos, podendo apresentar cimentação e
nódulos carbonáticos com lentes de siltitos arenosos e argilítos ocorrendo em bancos
maciços, estratificação plano-paralela e cruzada de pequeno a médio porte.
O Mapa Geomorfológico do Estado de São Paulo na escala 1:500.000 (ROSS e
MOROZ, 1996), define que o município de Presidente Prudente além de pertencer
morfoestruturamente a Bacia Sedimentar do Paraná, pertence morfoesculturalmente ao
Planalto Ocidental Paulista, mais precisamente no Planalto Centro Ocidental.
Analisando a geomorfologia do Planalto Ocidental Paulista pertencente a 22a
Unidade de Gerenciamento de Recursos Hídricos do Pontal do Paranapanema (22ªUGRH),
os relevos foram classificados em três tipos básicos: Relevos de Agradação, em Planícies
Aluviais, Relevos colinosos e Relevos Residuais Suportados por Litologias Particulares e
especificamente no município de Presidente Prudente, predominam como formas de relevo
as colinas médias e baixas, cujas altitudes variam entre 300 a 480 m, e declividades médias
entre 5% a 20%.
Nunes et al. (2006) identificam em seu trabalho, três compartimentos de relevo no
município de Presidente Prudente que aproximadamente se associam, topograficamente,
com as seguintes formações geológicas e pedológicas:
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 29
Anjos, D.S. unesp
1. Topo suavemente ondulado das colinas convexizadas (430 a 480 metros),
com predomínio de formações de alteração do tipo manto de intemperismo ou regolito. Em
alguns setores, afloram os arenitos da Formação Adamantina, com ocorrência dos topos
para as médias altas vertentes de Latossolo Vermelho e, em alguns setores, Argissolo
Vermelho Amarelo;
2. Domínio das vertentes convexo-côncavas e retilíneas (420 a 450 metros),
com predomínio de depósitos coluviais (setor oeste) e afloramento da Formação
Adamantina (setor leste) e ocorrência de Argissolo Vermelho Amarelo e Neossolos
Regolíticos;
3. Planícies aluviais e alvéolos (380 a 420 metros), com predomínio de
Formações Aluviais Quaternárias e Planossolos Hidromórficos e Gleissolo.
De modo geral, conforme o Quadro apresentado no Anexo A foi possível
identificar que os compartimentos de relevo da área estudada apresentam diferenciações
morfológicas e de ocupação da paisagem.
2.2 Modelo Numérico do Terreno (MNT)
Modelos Numéricos de Terreno (MNT) vêm sendo muito utilizados em um grande
número de aplicações em ciências da Terra, ambientais e engenharias e são definidos por
Felgueiras (2001) como sendo uma representação matemática computacional da
distribuição de um fenômeno espacial que ocorre dentro de uma região da superfície
terrestre.
A elaboração de um MNT é indispensável para que uma superfície real seja
representada em meio digital e esse modelo pode estar representado por equações analíticas
ou uma rede de pontos, de modo a transmitir ao usuário as características espaciais do
terreno.
Diversas são as finalidades para as quais um MNT pode ser elaborado, entre estas,
destacam-se uma melhor visualização (em três dimensões) do local ou área de estudo, o
armazenamento de dados de altimetria para mapas topográficos, a análise de corte-aterro
para projeto de estradas e barragens, a facilidade na obtenção de cálculos volumétricos, a
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 30
Anjos, D.S. unesp
identificação explicita de divisores de água, a geração automática de vetores que
determinam as orientações das vertentes, entre outras não citadas.
Os dados de um MNT são representados pelas coordenadas xyz
� �� �� �� �
onde z, é o
parâmetro a ser modelado e é função de x e y, ou seja: ( , )z f x y� . Estes dados são
usualmente adquiridos segundo uma distribuição regular ou irregular no plano xy, ou ao
longo de linhas com mesmo valor de z (curvas de nível).
Em um processo de modelagem numérica de terreno pode-se distinguir três etapas
de grande importância: aquisição dos dados, geração de grades e elaboração de produtos
representando as informações obtidas.
2.2.1 Aquisição dos dados (pontos de controle)
A aquisição dos pontos de controle para a elaboração de um MNT pode ser
realizada através de levantamentos de campo, digitalização de mapas, medidas
fotogramétricas a partir de modelos estereoscópicos ou ainda através de dados altimétricos
adquiridos via GPS, aviões ou satélites. O cuidado na escolha desses pontos, bem como a
quantidade de dados amostrados está diretamente relacionada à qualidade do produto final,
logo em aplicações nas quais se requer um grau de realismo maior, a quantidade de pontos
de controle e o cuidado na escolha desses pontos são decisivos.
As formas de obter os pontos de controle necessários para a elaboração de um MNT
são classificadas em dispersa, semi-regular ou regular (BRITO; COELHO, 2002).
A forma dispersa não segue qualquer ordem de aquisição, ou seja, os pontos são
adquiridos livremente no espaço a ser representado no MNT, a forma semi-regular segue
algum arranjo específico, sem, no entanto, possuir espaçamento constante entre os pontos
enquanto a forma regular é aquela em que todos os pontos estão igualmente espaçados tanto
no eixo x quanto no eixo y (Figura 5).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 31
Anjos, D.S. unesp
(a) (b) (c)
Figura 5 - Formas de aquisição: (a) dispersa (b) semi-regular (c) regular. Fonte: adaptado Brito e Coelho, 2002.
2.2.2 Geração de Grades
As aplicações ou produtos de um MNT não são em geral elaborados sobre os dados
amostrados, mas sim sobre os modelos gerados no formato de grades. Este formato
simplifica a implementação dos algoritmos de aplicação e podem ser regulares ou
irregulares, tornando-os mais rápidos computacionalmente.
2.2.2.1 Grades regulares retangulares
Uma grade regular retangular é um modelo digital que aproxima superfícies através
de um poliedro de faces retangulares que consistem em estimar os valores de cota de cada
ponto da grade a partir do conjunto de amostras de entrada. Essas amostras de entrada
podem ser os pontos obtidos através de aquisição regular ou então um conjunto gerado
através de um método de interpolação quando os dados obtidos são irregularmente
espaçados (BRITO; COELHO, 2002). Assim os dados são arranjados como uma matriz de
linhas e colunas descrevendo dados planimétricos (x,y), onde os elementos das matrizes são
os valores de z (altimetria).
Quando se utiliza um método de interpolação no qual se faz uso de todas as
amostras para interpolar cada ponto da grade diz-se que a interpolação é global, porém
Felgueiras (2001) ressalta que é mais comum utilizar métodos de interpolação local, no
qual o valor de cota de cada elemento da grade é estabelecido a partir de uma quantidade
preestabelecida de elementos amostrais vizinhos ao ele, com os elementos mais afastados
perdendo importância na interpolação.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 32
Anjos, D.S. unesp
Esse tipo de grade (Figura 6) apresenta como principal vantagem o fato de, dado seu
arranjo regular, poder ser armazenada e representada sem maior esforço computacional.
Entretanto, como em geral é advinda de interpolação, perde-se a precisão dos pontos
originais. A grade regular também não permite a inserção de linhas de quebra (breaklines),
o que impede que certas feições descontínuas sejam representadas fielmente.
Figura 6 - Modelo de superfície gerada via grade regular retangular.
Uma grade regular retangular também pode ser obtida a partir de outra, objetivando
uma melhora na resolução. Esse processo é conhecido como refinamento da grade.
2.2.2.2 Grades irregulares triangulares
Como a amostragem de um terreno é normalmente irregular, a idéia do modelo TIN
(Triangular Irregular Network) é adaptar o modelo à amostragem descrevendo a superfície
por triângulos elementares, onde os vértices são as amostras. Ao contrário do modelo de
grade regular retangular as amostras não estão ordenadas e a localização das arestas exige
um maior custo computacional.
Os dados para geração desse tipo de grade podem ser obtidos através de pontos,
linhas e polígonos; dados de restituição; breaklines; malhas regulares de MNT entre outros
(Tommaselli; Santos, 2000).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 33
Anjos, D.S. unesp
Na modelagem da superfície por meio de grade irregular triangular, cada polígono
que forma uma face do poliedro é um triângulo. Os vértices do triângulo são geralmente os
pontos amostrados da superfície. Esta modelagem permite que informações morfológicas
importantes como as descontinuidades, representadas por feições lineares de relevo (cristas)
e drenagem (vales), sejam consideradas durante a geração da grade triangular,
possibilitando modelar a superfície do terreno preservando as feições geomorfológicas da
superfície. A Figura 7 apresenta um modelo de superfície gerado por meio de grade
triangular.
Figura 7 – Modelo de superfície gerada via grade triangular.
O modelo TIN apresenta a vantagem de possuir um pequeno número de
redundâncias se comparado à grade retangular, uma vez que a malha pode ser mais fina em
regiões de grandes variações e mais espaçada em regiões quase planas, além de modelar as
descontinuidades da superfície através de linhas e pontos característicos. Por utilizar os
próprios pontos amostrados para modelar a superfície, nesse método não existe a
necessidade de qualquer tipo de interpolação sobre os mesmos. A desvantagem da grade
irregular é que os procedimentos para obtenção de dados derivados de grades triangulares
tendem a ser mais complexos e conseqüentemente mais demorados e caros
computacionalmente que os da grade retangular (FELGUEIRAS, 2001).
Adotando-se critérios específicos para construção da rede triangular diversos
métodos de triangulação podem ser utilizados, entre eles a malha de Delaunay, mais
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 34
Anjos, D.S. unesp
conhecida como triangulação de Delaunay que utiliza o critério de maximização dos
ângulos para gerar a triangulação necessária e obter uma grade irregular triangular.
2.3 Thin Plate Spline
A Thin Plate Spline (TPS) é uma ferramenta matemática que também aparece na
literatura com outros nomes como spline de curvatura mínima, spline biharmônico e
superfície spline. O nome deriva de réguas flexíveis chamadas de splines que eram
utilizadas por empresas navais, de aviação e automobilísticas para desenhar curvas e
superfícies e pode ser ilustrada fisicamente como uma chapa fina de metal que se estende
para o infinito e se deforma de acordo com o deslocamento dos pontos de controle
estabelecidos (COSTA; CESAR, 2001).
O conceito TPS foi aplicado pela primeira vez, para análise de formas, por
Bookstein (1989) e é apresentado por Lancaster e Salkauskas (1990) como um método
alternativo para modelagem matemática de superfícies que possuam pontos de controle
obtidos de maneira dispersa.
Como essas funções modelam uma superfície infinita no qual pontos de carga
provocam uma deformação, a solução TPS é construída de modo a assegurar que a
superfície interpolante apresente mínima energia de deformação, com relação aos pontos de
carga impostos, sendo, portanto, suave (CASTANHO; TOZZI, 1996).
Thin Plate Splines são formadas através da combinação linear de funções radiais, o
que significa que os valores da função são obtidos pela diferença (ou distância) entre as
coordenadas do ponto onde a função deve ser avaliada e as coordenadas dos pontos de
referência, dessa forma a função apresenta um comportamento quase linear a medida que se
afasta dos pontos de carga. Assim, embora sejam funções de interpolação globais, as
influências de deformações locais tendem a diminuir a medida que se afasta do ponto de
deformação.
A função radial g(r) base do conceito TPS é dada pela Equação 1 (COSTA; CESAR,
2001):
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 35
Anjos, D.S. unesp
2 2
0 se 0( )
log( ) se 0r
g rr r r
���
��
(1)
na qual r é um valor real não negativo
2 2r x y� �
Assim uma TPS é gerada através de uma combinação linear de múltiplos termos
g(r). Como ilustração, para chegar a equação que define uma TPS, Castanho e Tozzi (1996)
usam os vértices k D ={(1,0); (0,1); (-1,0); (0,-1)} que definem um quadrado pois devido as
características apresentadas pela função g(r) uma combinação linear de múltiplos termos
dessa função, como apresenta Equação 2, pode ser usada para modelar uma lâmina de
metal delgada.
� � � � � � � �2 2 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)z x y g x y g x y g x y g x y� � � � � � � � � � � �
(2)
Logo:
� �4
1( , ) ( 1) ( , )k
kk
z x y g x y D�
� � ��
(3)
A Equação 3 pode ser interpretada fisicamente como uma lamina fina de metal com
pontos de pressão localizados na superfície e indicados pelos vértices do quadrado como
apresenta a Figura 8.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 36
Anjos, D.S. unesp
Figura 8 - Lâmina fina de metal com pontos de pressão localizados na superfície
e indicados pelos vértices (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Fonte: Castanho e Tozzi (1996).
Para uma lâmina delgada sujeita a uma curvatura suave, a energia de curvatura ou
deformação em um ponto é proporcional ao valor obtido pela Equação 4 para o próprio
ponto.
2 2 22 2 2
2 22z z zx x y y
� � � � � �� � �� �� � � � � �� � � �
(4)
O valor z(x,y) obtido na Equação 3 é o valor que garante a minimização da energia
de deformação dada pela Equação 5.
2
2 2 22 2 2
2 22R
z z z dxdyx x y y
� � � � � �� � �� �� � � � � �� � � �
��
(5)
Funções de mapeamento em x e em y podem ser descritas quando dados os pontos
de controle (xi,yi,zi), com i = 1,2,....n, as coordenadas x e y são conhecidas e z é o valor
desejado, assim o método para interpolação TPS pode ser descrito (Equação 6) através da
função bivariada z(x,y) apresentada por Bookstein (1989).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 37
Anjos, D.S. unesp
2 20 1 2
1( , ) ln
n
i i ii
z x y a a x a y F r r�
� � � ��
(6)
Com
( , )k k kz z x y� e 1,2,...,k n�
2 2 2( ) ( )i i ir x x y y� � � �
e
0 1 2, , e iF a a a
sendo os n+3 coeficientes.
A equação 3 garante a superfície de interpolação TPS como uma superfície
suave pois sua primeira derivada parcial é continua.
Para gerar uma nova superfície que passa pelos n pontos e tenha todas as derivadas,
o termo r 2 ln r 2 pode ser trocado por r 2 ln(r i 2 + �), obtendo assim a Equação 7:
2 20 1 2
1
( , ) ln( )n
i i ii
z x y a a x a y F r r ��
� � � � ��
(7)
Com o parâmetro � sendo usualmente tomado entre 10-2 e 10-6, dependendo do grau
da variação da curvatura da superfície (YU,2001).
A TPS também pode ser escrita na forma matricial sendo descrita pela Equação 8:
AX B� (8)
com
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 38
Anjos, D.S. unesp
� � � � � �� � � � � �� � � � � �
� � � � � �
2 2 2 2 2 212 12 13 13 1 1 1 1
2 2 2 2 2 212 12 23 23 2 2 2 2
2 2 2 2 2 213 13 23 23 3 3 3 3
2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3
1 2 3
0 ln ln ln 1
ln 0 ln ln 1
ln ln 0 ln 1
ln ln ln 10
1 1 1 1 1 0 0 00
n n
n n
n n
n n n n n n n n
n
r r r r r r x y
r r r r r r x y
r r r r r r x y
Ar r r r r r x y
x x x x
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
�� � �
�
�
�
� � � � � �� �
�
�
1 2 3
0 00 0 0ny y y y
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �
,
1
2
3
0
1
2
n
FFF
XFaaa
� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �
� e
1
2
3
000
n
zzz
Bz
� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �
�
Assim, a matriz A que é simétrica e inversível, apesar dos elementos da diagonal
principal serem nulos, pode ser utilizada para resolver o sistema e determinar os
coeficientes, consequentemente obtendo o valor interpolado em qualquer ponto (x,y).
Como exemplo, são apresentados cinco pontos de controle e o respectivo
adensamento dos pontos após a interpolação via TPS (Figura 9).
(a) (b)
Figura 9 – (a) 5 pontos de controle para interpolação; (b) Adensamento dos pontos viaTPS. Fonte: Costa; César (2001).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 39
Anjos, D.S. unesp
2.4 Inferência Fuzzy
Na teoria clássica dos conjuntos a pertinência de um elemento a um dado conjunto,
segundo algum critério, é baseada na função característica dada pela definição:
Seja U um conjunto universo, A um subconjunto de U ( A U� ), e x um elemento
particular de U, define-se a função característica como sendo uma função
� �: 0,1A U� � com
1, se ( )
0, se A
x Ax
x A�
��� ��
(9)
A definição de função característica, como apresentada na Equação 9, realiza a
associação de todos os elementos do conjunto U aos elementos do conjunto {0,1}, o que
divide o conjunto universo em duas classes distintas, pertencentes e não pertencentes ao
conjunto A, com fronteiras bem definidas.
Muitas situações, porém, não podem ser analisadas matematicamente através da
teoria clássica dos conjuntos, pois mesmo conhecendo as informações necessárias sobre a
situação não é apropriado responder simplesmente “sim” ou “não”, pertence ou não
pertence, mas sim algo como “talvez” ou “quase”.
Zadeh (1965) definiu uma lógica matemática dedicada ao raciocínio incerto ou
aproximado, chamada lógica fuzzy na qual um conjunto fuzzy é uma forma de caracterizar
classes que por diversas razões não possuem limites rígidos entre si, tendo como motivação
a rápida diminuição da qualidade da informação fornecida por modelos matemáticos
tradicionais, conforme o aumento da complexidade do sistema, ao perceber que essa
complexidade advinha do modo como as variáveis eram representadas e manipuladas, pois
desde que essas variáveis possam apenas representar o estado do fenômeno como existindo
ou não existindo, a matemática necessária para avalia-lo torna-se muito complexa (KLIR;
YUAN, 1996).
Segundo Moreira (2001), as vantagens dos modelos fuzzy são inúmeras quando
comparadas aos modelos convencionais que forçam os especialistas a definir regras rígidas
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 40
Anjos, D.S. unesp
que diminuem a habilidade de articular eficientemente soluções para problemas complexos,
tão comuns em processos naturais.
As análises baseadas em conjuntos fuzzy se diferenciam das análises booleanas que
normalmente estão disponível na maior parte dos softwares SIG, sendo necessária sua
implementação e segundo Burrough e Heuvelink 2(1992 apud MOREIRA, 2001) os
métodos booleanos estão muito mais sujeitos à propagação de erros em modelagens do que
os equivalentes fuzzy, e que a utilização da técnica fuzzy pode reduzir drasticamente a
propagação de erros através de modelos lógicos, fornecendo cenários mais confiáveis.
Matematicamente essa lógica, que também é conhecida como lógica nebulosa ou
lógica difusa, objetiva modelar, de modo aproximado, o raciocínio humano, manipulando
informações em um ambiente de incerteza e imprecisão, fornecendo resposta aproximada
baseada em conhecimento inexato, incompleto ou que não é totalmente confiável. Assim,
sua utilização é indicada sempre que se tiver que lidar com ambigüidade, abstração ou
ambivalência em modelos matemáticos.
Formalmente um conjunto fuzzy A é descrito por Zadeh (1965) como sendo:
AA ( , ( ))x x�� para todo, x U� (10)
onde, U denota um espaço definido de n objetos, e o conjunto nebuloso A em U; Aμ ( )x é a
função de pertinência conhecida como grade de associação de x em A, isto é, uma
graduação mapeável do membro x em A, que associe cada ponto de U a um número real no
intervalo [0,1] (Zadeh, 1965).
Nessa associação, o valor 1 representa o enquadramento perfeito ao conjunto difuso
e 0 corresponde ao membro que não pertence ao conjunto, por conseguinte, os valores entre
0 e 1 representam um enquadramento ao conjunto, porém esse enquadramento não é
totalmente perfeito. O valor da função de pertinência Aμ ( )x de um objeto x em A significa
2 Burrough, P. A.; Heuvelink, G. B. M. The sensitivity of boolean and continuous (Fuzzy) logical modelling to uncertain data. In: European Conference and Exhibition on Geographical Information Systems Munich, 3. (EGIS'92). Munich, Germany, 1992. Proceedings. Munich, Germany: EGIS'92. p. 1032-1041.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 41
Anjos, D.S. unesp
dizer o grau de compatibilidade de um parâmetro (variável) relacionado ao conjunto A e ao
objeto x, ou seja, Aμ ( )x avalia o quanto x pode pertencer ao conjunto A.
Para que essa relação seja estabelecida é necessário que haja uma função de
pertinência relacionando os conjuntos. Esta função é o componente crucial de um conjunto
fuzzy e muitas operações são definidas em conformidade com a mesma (ZADEH, 1965).
2.4.1 Funções de Pertinência
Seja U um conjunto universo não vazio (U � � ). Um conjunto fuzzy A em U é
caracterizado por sua função de pertinência:
!Aμ : 0,1 ( )A
Ux x�
�
�
sendo ( )A x� interpretado como o grau de pertinência do elemento x no conjunto fuzzy A
para cada x U� (ZADEH,1965).
Como qualquer função da forma !Aμ : 0,1U � pode ser associada a um conjunto
fuzzy, a literatura já dispõe de famílias de funções de pertinência que são geralmente
utilizadas, como as funções lineares (triangulares e trapezoidais), sigmoidais e gaussianas
(PEDRICZ; GOMIDE, 1998).
� Função Triangular
! !
!
0 ; se
; se , ( )
; se ,
0 ; se x b
A
x ax a x a mm axb x x m bb m
�
"�# �# �# �� �# �# �# $�
(12)
Figura 10 – Função de Pertinência Triangular.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 42
Anjos, D.S. unesp
� Função Trapezoidal
!
!
!
0 ; se
; se ,
( ) 1 ; se ,
; se ,
0 ; se x b
A
x ax a x a mm a
x x m nb x x n bb n
�
"�# �# �
�##� � # �# �
�## $�
(13)
Figura 11 - Função de Pertinência Trapezoidal
� Função Sigmoidal
! !
!
2
A 2
0 ; se
2 ; se , μ ( )=
1 2 ; se ,
1 ; se x b
x a
x a x a mb a
xx b x m bb a
"�#
�� �# % �� �# �#
�� �# � % �� �# � #$#�
(14)
Figura 12 - Função de Pertinência Sigmoidal.
� Função Gaussiana
� � � �2- - ; se 1k x mA x e x U k� � & � $
(15)
Figura 13 – Função de pertinência Gaussiana.
Todas essas funções de pertinência apresentam parâmetros ou pontos de controle
que melhor modelam o que se pretende representar em qualquer das variações existentes
para cada uma das funções apresentadas.
A função sigmoidal (Figura 14) pode ser apresentada como monótona crescente
(1a), onde são necessários apenas os parâmetros a e m, da mesma forma, a curva monótona
decrescente (1b) que apresenta os pontos n e b como parâmetros. Já na curva simétrica (1c)
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 43
Anjos, D.S. unesp
os pontos a e b estão associados ao valor de pertinência 0 e o ponto m recebe o valor
máximo 1, este mesmo raciocínio vale para a curva (1d) onde a e b são pontos de controle
associados ao valor 0 e, m e n ao valor numérico máximo da função (EASTMAN, 2001).
Figura 14 - Funções sigmoidais.
Fonte: adaptado de Eastman 2001.
As funções de pertinência lineares, nas quais se enquadram funções triangulares e
trapezoidais, também apresentam variações (Figura 15) e são as mais simples de serem
implementadas, sendo assim amplamente utilizadas (Eastman, 2001).
Figura 15 - Funções Lineares.
Fonte: adaptado de Eastman 2001.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 44
Anjos, D.S. unesp
A escolha do melhor formato de função de pertinência a ser utilizado em cada
aplicação nem sempre é obvia, e segundo Benini (2007) em sistemas fuzzy cujos parâmetros
podem ser completamente definidos por especialistas a escolha de funções triangulares e
trapezoidais é mais comum, pois a idéia de se definir regiões de pertinência total, média e
nula é mais intuitiva do que a especificação do valor médio e de dispersão, conceitos esses
ligados as funções gaussianas.
2.4.2 Operações com Conjuntos Fuzzy
Como na lógica clássica dos conjuntos, o processamento de informações fuzzy
também consiste de operações realizadas sobre os seus conjuntos. As operações básicas de
união, intersecção e complemento são definidas por Zadeh (1965) como:
Sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos em um universo de discurso U com
funções de pertinência Aμ ( )x e Bμ ( )x , respectivamente.
A união entre os conjuntos A e B é dada pelo valor máximo entre Aμ ( )x e Bμ ( )x ,
x U& � , formalmente:
( ) ( ) ( ) max( ( ), ( )) A B A B A Bx x x x x� � � � �� � � � , x U& �
(16)
(a) (b)
Figura 16. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto união A B� .
A intersecção entre os conjuntos A e B é dada pelo valor mínimo entre Aμ ( )x e
Bμ ( )x , x U& � , formalmente:
( ) ( ) ( ) min( ( ), ( ))A B A B A Bx x x x x� � � � �� � � � , x U& � (17)
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 45
Anjos, D.S. unesp
(a) (b)
Figura 17. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto intersecção BA� .
O complemento do conjunto A é dado pela subtração de Aμ ( )x do valor unitário 1
para todo x U� , formalmente:
( ) 1- ( )AA x x� �� , x U& � (18)
(a) (b)
Figura 18. (a) Diagrama do conjunto A (b) Diagrama do conjunto complementar de A ( A ).
2.4.3 Variáveis Lingüísticas
As variáveis lingüísticas são variáveis expressas qualitativamente, ou seja, são
variáveis cujos valores são fornecidos ao sistema através de palavras ou frases, ao invés de
números.
Formalmente, uma variável lingüística fuzzy é caracterizada através da quíntupla
<X, T(X), Ux, G, M>, na qual X é nome da variável lingüística; T(X) representa o conjunto
de termos lingüísticos, Ux é o universo de discurso da variável lingüística X; G é a
gramática utilizada para gerar os termos T(X) e M é a regra que associa cada elemento de
T(X) a um conjunto fuzzy no universo Ux. Cada variável lingüística (X) possui um conjunto
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 46
Anjos, D.S. unesp
de termos fuzzy associados a ela, esses termos são determinados pelo conjunto de valores
que a variável pode assumir.
Como exemplo, a variável estatura de um homem adulto pode ter o conjunto de
termos T(X) = {baixo, médio, alto} que fornecem conceitos qualitativos a variável.
Quantitativamente esses valores são expressos através de uma função de
pertinência que os associa ao universo de discurso U = [Emin,Emax].
Figura 19 – Variável lingüística estatura de um homem adulto caracterizada pela quíntupla <X,T(X),
Ux,G,M>.
A Figura 19 apresenta a variável lingüística com rótulo X = estatura de um homem
adulto, com os conjuntos de termos T(X) = {baixa, média, alta} e um universo de discurso
arbitrado [140 cm, 220 cm]U � . Assim cada um dos valores pertencentes ao universo de
discurso pode ser escrito como:
M(baixa) = {(x,� baixa(x))'x�[140cm, 220cm]}
M(média) = {(x,� média(x))'x�[140cm, 220cm]}
M(alta) = {(x,� alta(x))'x�[140cm, 220cm]}
A Figura 20 ilustra três possíveis funções de pertinência para a variável lingüística
com rótulo X = “estatura de um homem adulto”, cada uma referente a um termo lingüístico
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 47
Anjos, D.S. unesp
do conjunto T(X) = {baixo, médio, alto}, sendo duas retangulares (baixa e alta) e uma
triangular (média).
Figura 20 – Funções de pertinência associadas a variável lingüística estatura de um homem adulto.
Através dessas funções qualquer valor pertencente ao universo de discurso U pode
ser escrito, como por exemplo 180 cm, que possui um único valor de pertinência
relacionado a cada uma delas.
� �� �
� �
180 0,0
180 0,8
180 0, 2
baixa
média
alta
�
�
�
��#
� # ��
Assim a fuzzificação da medida 180cm, ou seja, a conversão em valores
compreensíveis para fuzzy é dada por:
180 0,0 " " 0,8 " " 0, 2 " "cm baixa média alta� ( � ( � (
2.4.4 Regras Fuzzy
Baseado nas variáveis lingüísticas, um processo de inferência fuzzy permite
elaborar sistemas através de um conjunto de regras fuzzy composto por proposições
condicionais.
As regras fuzzy descrevem situações específicas que podem ser submetidas à
análise de especialistas, e cuja a inferência conduz a algum resultado desejado. Cada regra
fuzzy, da mesma forma que uma afirmação clássica, é composta por uma parte antecedente
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 48
Anjos, D.S. unesp
ou premissa, proposições das quais saímos, e uma parte conseqüente ou de conclusão,
proposição final a qual chegamos como conseqüência das relações expressas nos
antecedentes (ORTEGA, 2001), e diferentemente da teoria clássica dos conjuntos, as regras
que envolvem as variáveis de entrada associadas a um conjunto fuzzy podem ser
parcialmente satisfeitas.
Segundo Benini (2007) uma inferência baseada em regras fuzzy pode ser
compreendida como uma função que mapeia um conjunto de uma ou mais variáveis de
entrada associadas a um conjunto fuzzy para uma ou mais variáveis de saída, também
associadas a um conjunto fuzzy, de um dado sistema.
Uma proposição fuzzy pode ser simples ou composta, dependendo do
comportamento da parte antecedente da regra, ou seja, quando a parte antecedente é do tipo
x é A a proposição é considerada simples porém quando é formada pela composição de
proposições simples através dos conectivos “e”, “ou” e “não” como por exemplo x é A ou x
é B é uma proposição considerada composta. Assim podem ser consideradas como
exemplos de regras fuzzy respectivamente simples e compostas as regras:
R1 – Se x A� então 1( )f x U� .
R2 – Se x A� ou x B� então 2( )f x U�
Em uma base de regras, quando mais de uma regra é acionada por um mesmo valor
do universo de discurso, as contribuições dessas diversas regras são combinadas por um
operador de agregação. Vários métodos podem ser utilizados para a agregação do conjunto
de regras, mas na maioria dos casos o antecedente é formado por proposições lingüísticas e
a distinção entre os modelos se dá de acordo com os conseqüentes das regras fuzzy (Benini,
2007).
2.4.5 Sistemas de Inferência Fuzzy
Os sistemas de inferência fuzzy são sistemas que mapeiam as entradas advindas de
um conjunto de dados resultante de medições ou observações experimentais em saídas
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 49
Anjos, D.S. unesp
� �y f x� , onde x é a entrada, y a saída do sistema de inferência fuzzy e f uma representação
quantitativa do mapeamento (BENINI, 2007).
Um sistema de inferência fuzzy possui estruturalmente quatro componentes
principais (JANG3 et al., 1997 apud DELGADO, 2002; AMENDOLA et al., 2005):
� um fuzzificador, que modele matematicamente as informações das variáveis de
entrada por meio de conjuntos fuzzy. É neste módulo que se mostra a grande
importância do especialista no processo a ser analisado, pois a cada variável de
entrada devem ser atribuídos termos lingüísticos que representem o estado desta
variável e a cada termo lingüístico, deve ser associado uma função de pertinência;
� uma base de conhecimentos, constituída por uma base de regras, que pode ser
considerada o núcleo do sistema, onde estão as declarações lingüísticas do tipo
“se...então” e uma base de dados composta pelas variáveis lingüísticas, as definições
dos respectivos universos de discursos e suas funções de pertinência.
� um método de inferência onde se definem quais são os conectivos lógicos usados
para estabelecer a relação fuzzy que modela a base de regras. É deste método que
depende o sucesso do sistema já que ele fornecerá a saída fuzzy a partir de cada
entrada fuzzy;
� um defuzzificador que converta a saída fuzzy para um valor numérico.
Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de inferência fuzzy que podem ser
implementados na lógica fuzzy: o tipo Mamdani e o tipo Takagi-Sugeno. Estes dois tipos
variam no modo em que as saídas são determinadas e são amplamente descritos no Fuzzy
Logic Toolbox do programa Matlab, ambiente que facilita sua implementação. O sistema
Mamdani, utilizado no trabalho, é descrito em uma secção específica.
2.4.5.1 Sistema Mamdani
Modelos lingüísticos tipo Mamdani são modelos cujas saídas são construídas pela
superposição das partes conseqüentes de regras individuais do tipo:
3 Jang, J.-S. (1993). ANFIS: Adaptive-Network-based Fuzzy Inference Systems. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 23, N. 3, pp 665–685.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 50
Anjos, D.S. unesp
Ri: Se x é Bi então y é Di
que podem ser interpretadas como o produto cartesiano dos conjuntos fuzzy Bi e Di
Ri = Bi × Di
ou seja, Ri é um subconjunto de x × y, cuja função de pertinência é dada por:
(19)
onde “min” (operador mínimo) é o operador de conjunção fuzzy.
Nesse modelo, a agregação dos conjuntos de regras é realizado através do operador
união sobre todas as n relações individuais. Assim,
1
n
ii
R R�
��
(20)
e a função de pertinência R (x,y)� da relação fuzzy R é dada por:
� � � �� �� �i i i
n
R Ri=1
(x,y) = (x,y)=max min ,B Dx y� � � ��
(21) Assim, para um dado conjunto fuzzy A de entrada, o conjunto fuzzy de saída F será obtido
através da regra de inferência max-min com a seguinte função de pertinência:
!( ) ( )mi i iF y D y)�*� + ,
(22) onde é o , operador de conjunção mínimo, + é o operador de disjunção máximo e �i é o
grau de ativação da i-ésima regra, chamado de dof (degree of firing), que denota a
possibilidade de Bi dado A (Yager, Filev4, 1994 apud Ortega, 2001).
4 Yager R.R. & Filev D.P. 1994. Essential of Fuzzy Modelling and Control. Editora John Wiley, USA.
� � � �� �i iR B(x,y) =min ,i Dx y� � �
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 51
Anjos, D.S. unesp
!( ) ( )i i x iposs B A B x A x) � - . � + ,/ 0
(23)
A figura 21 apresenta as entradas e saídas em um Modelo lingüístico tipo Mamdani.
Figura 21 – Modelo lingüístico tipo Mamdani.
Fonte: Ortega (2001).
2.4.6 Defuzzificação
Tanto os modelos lingüísticos tipo Mamdani quanto os tipo Takagi-Sugeno
fornecem como saída para o sistema um conjunto fuzzy. Em algumas situações os
resultados podem ser analisados como conjuntos fuzzy, porém muitas vezes é necessário
que essas saídas sejam apresentadas de forma numérica. Esse objetivo é alcançado pela
defuzzificação do sistema que consiste na determinação de um valor de estimação não
fuzzy. Existem muitas técnicas de realização desse processo e entre as mais utilizadas estão
o método da média dos máximos e o método do centro de área (centróide) e o método das
alturas (ORTEGA, 2001).
O método das médias dos máximos (MM) calcula a média de todos os valores de
saída que tenham os maiores graus de pertinência. Supondo que “y é B” é uma conclusão
fuzzy que deve ser defuzzificada, o MM pode se expresso como:
(24)
10
m
ii
yy
m���
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 52
Anjos, D.S. unesp
onde yi é cada um dos valores do universo de discurso que contém grau de pertinência
máximo e m é a quantidade de elementos que possui essa característica. Esse método
fornece como resultado o ponto médio do intervalo que contém o maior grau de pertinência
(figura 22).
Figura 22 – Método de defuzzificação MM.
Fonte: Ortega (2001).
O método do Centro de Área (CA) é a técnica de defuzzificação mais comumente
utilizada (Klir; Yuan, 1995; Yen; Langari, 1999 apud Ortega, 2001) e pode ser
compreendida como uma média ponderada onde ( )A x� funciona como o peso do valor x.
Para expressar a defuzzificação da conclusão fuzzy pelo método CA é necessário levar em
consideração se x é contínuo ou discreto, assim:
O método apresenta como desvantagem o seu alto custo computacional,
principalmente nos casos em que x é contínuo (Ortega, 2001). A figura 23 exemplifica o
resultado obtido através do método de defuzzificação do Centro de Área.
� �� �
� �� �
0
se discreto
( )se continuo
Ax
Ax
Ax
Ax
x xx
xy
x x dxx
x dx
��
�
�
� %###� %###�
����
(25)
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 53
Anjos, D.S. unesp
Figura 23 - Método de defuzzificação CA.
Fonte: Ortega (2001).
O método das alturas (MA) pode ser entendido como uma aproximação do método
do Centro de Área e é realizado em duas etapas distintas. A primeira etapa converte a
função de pertinência utilizada e os conseqüentes das regras para a teoria clássica, obtendo
o centro de gravidade respectivo, e posteriormente aplica a defuzzificação do centróide para
as regras com os conseqüentes clássicos, o que facilita os cálculos e reduz o custo
computacional. A Figura 24 ilustra um exemplo desse método de defuzzificação.
Figura 24 – Método de defuzzificação MA.
Fonte: Ortega (2001).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 54
Anjos, D.S. unesp
3. MATERIAIS E MÉTODO
O presente capítulo apresenta os materiais utilizados, bem como a descrição dos
métodos para o cálculo da curvatura em perfil de vertentes do município de Presidente
Prudente e posterior classificação, utilizando as ferramentas matemáticas Thin Plate Spline
e Inferência fuzzy.
3.1 Materiais Utilizados
Para executar a pesquisa foram utilizados os seguintes materiais:
� Microcomputador Athlon 64;
� Estereoscópio de espelhos;
� Software MicroStation V8;
� Software Dxf2xyz 2.0;
� Compilador Borland Delphi 7.0;
� Fuzzy Logical Toolbox - Matlab 7;
� Fotografias aéreas do município de Presidente Prudente em uma escala de 1:25.000,
de um levantamento aerofotogramétrico de setembro de 1995 (vôo realizado pela
empresa Base aerofotogrametria e projetos s/a);
� Base digital planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente Prudente com
escala de 1.10.000.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 55
Anjos, D.S. unesp
3.2 Metodologia proposta
Nesse capítulo são descritos os métodos utilizados no desenvolvimento do trabalho.
O fluxograma da Figura 25 apresenta a seqüência dos procedimentos metodológicos que
serão posteriormente detalhados em seções específicas.
Figura 25 - Fluxograma de atividades.
3.2.1 Escolha das áreas de teste
Para o desenvolvimento da pesquisa foram escolhidas áreas modelos sobre as quais
foram geradas as primeiras implementações. Os procedimentos relacionados à escolha
dessas áreas foram de fundamental importância para o bom resultado obtido no trabalho e
estão intimamente ligados ao conhecimento, análise e distinção das feições
geomorfológicas presentes na superfície terrestre através de estereoscopia (ANJOS, 2006).
Após a obtenção do conhecimento teórico um primeiro trabalho de campo foi
realizado para verificar a possibilidade de utilizar vertentes do município de Presidente
Prudente, por ser uma área com disponibilidade de fotografias aéreas, base digital de dados,
bem como a possibilidade de visitas freqüentes para coleta de dados, análises visuais e
validação dos resultados.
Convexa, Conv/Ret Retilínea, Ret/Conc
Côncava
Área 3 - convexa
Área 2 - côncava
Área 3. .txt
Área 2..txt
Área 1.txt
Coleta dos dados topográficos
Leitura dos dados (arquivos .txt)
Implementação em Delphi
Interpolação via Thin Plate Spline
MNT – qualquer área
MNT - Área 1, 2 e 3
Modelos Numéricos de Terreno
Sistema Fuzzy (SIF) - Matlab
Grau de curvatura
Tipo de curvatura
Classificação da Curvatura
MNT classificado de acordo com SIF (5 classes)
Espaçamento dos pontos em x e y
Validação dos resultados para as áreas de teste
Cálculo da Curvatura
MNT classificado (3 classes)
Novas áreas/ coletas de dados
topográficos
Comparação com o mapa
geomorfológico
Área 1 - retilínea
Escolha das áreas de teste
entrada saída
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 56
Anjos, D.S. unesp
Constatando a possibilidade de se trabalhar nessa área, foram realizadas análises de
fotografias aéreas do município de Presidente Prudente, em uma escala de 1:25.000, de um
levantamento aerofotogramétrico de setembro de 1995 (vôo realizado pela empresa Base
aerofotogrametria e projetos s/a) através de visão estereoscopica.
Essa etapa foi de fundamental importância para o desenvolvimento do trabalho, pois
definiu previamente áreas retilíneas, côncavas e convexas do município e para tanto foi
considerado que apesar de as vertentes, feições geomorfológicas analisadas no trabalho,
serem características em constantes modificações, essas não ocorrem com tamanha rapidez,
o que permitiu o uso de fotografias aéreas obtidas a mais de 10 anos, sem que houvesse
perda de informação relevante.
Em uma primeira análise, foram separadas duas grandes áreas do município de
Presidente Prudente, a Zona Leste e a Zona Oeste, que continham todos os tipos de
vertentes consideradas necessárias para a execução deste trabalho. Em uma segunda análise
das fotografias foram determinadas áreas menores, já definindo quais áreas seriam visitadas
durante o trabalho de campo, no qual as áreas de teste foram definidas.
A primeira área de estudo (Área 1), é uma vertente considerada retilínea de acordo
com a classificação visual de um especialista, se encontra na Zona Oeste do município, tem
como fundo de vale o córrego São João e esta localizada na zona rural próximo ao córrego do
Limoeiro. Essa área está contida nas fotografias aéreas nº 04 e nº 05 da faixa 02 do levantamento
fotogramétrico utilizado, como mostra a Figura 26.
Figura 26 - Par estereoscópio contendo a área 1 (retilínea).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 57
Anjos, D.S. unesp
Durante o trabalho de campo para definição das áreas, foram coletadas imagens do
local, como mostra a Figura 27, que destaca o córrego São João.
Figura 27 - Área de teste na Zona Oeste com o córrego São João em destaque (Área 1 -retilínea).
Já a área 2 e a área 3, que são classificadas visualmente como vertentes côncava e
convexa respectivamente, estão localizadas na Zona Leste do município, próximo a uma
área residencial do bairro Vila Operária, e estão contidas nas fotografias aéreas de nº 10 e
nº 11 da faixa 04 do levantamento aerofotogramétrico utilizado, como mostra a Figura 28.
Figura 28 - Par estereoscópio contendo as áreas de testes 2 (côncava) e 3 (convexa).
A área escolhida como modelo de vertente côncava, é a que visualmente apresenta
maiores problemas, pois é uma vertente que sofreu ocupação desordenada e durante algum
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 58
Anjos, D.S. unesp
tempo foi utilizada como depósito de lixo pelos moradores da área. A Figura 29 apresenta
uma fotografia da vertente, obtida durante o trabalho de campo para escolha das áreas.
Figura 29 - Área de testes na Zona Leste do município (Área 2 - côncava).
Já a área escolhida como modelo de vertente convexa não é uma área ocupada por
moradias, porém se encontra muito próxima a vertente côncava citada, sendo assim um
provável local de ocupação, dentro de alguns anos, devido a natural expansão do município.
Uma fotografia da área é apresentada na Figura 30.
Figura 30 – Área de testes na Zona Leste do município ( Área 3 - convexa).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 59
Anjos, D.S. unesp
3.2.2 Coleta de dados topográficos
Os dados topográficos necessários para calcular a curvatura das vertentes através de
um Modelo Numérico de Terreno são as coordenadas geográficas (x,y) e a coordenada z
(altimetria) referente a cada ponto (x,y) da área a ser analisada.
A coleta desses dados para o município de Presidente Prudente, área analisada neste
trabalho, foi realizada a partir da base digital planoaltimétrica georreferenciada do
município, em uma escala de 1:10.000, de propriedade da Secretaria de Planejamento da
Prefeitura Municipal de Presidente Prudente e elaborada a partir do levantamento
aerofotogramétrico da região, realizado em setembro de 1995 pela empresa Base
aerofotogrametria e projetos s/a, responsável também pela elaboração da base digital
planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente Prudente, que já passou por
atualizações, sendo que a ultima foi realizada no ano de 2003 pela empresa Engemap.
A visualização dessa base e o acesso aos dados nela contidos foram realizados através
do software MicroStation V8, que devido as suas ferramentas permite a visualização
integral ou parcial da base, bem como a seleção das áreas de interesse (Figura 31).
(a) (b)
Figura 31 – Base digital planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente Prudente visualizada através do software MicroStation V8: (a) – visão total, (b) – visão parcial.
Apesar da possibilidade de visualizar instantaneamente as coordenadas de cada um
dos pontos através da janela AccuDraw, visível no canto superior esquerdo da tela, o
MicroStation V8 também dispõe da ferramenta Element Information, que fornece
informações gerais da curva de nível selecionada na aba General e as coordenadas
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 60
Anjos, D.S. unesp
geográficas (x,y) e a altimetria z para cada um dos vértices da curva analisada na aba
Details (Figura 32).
(a) (b)
Figura 32 - Ferramenta Element Information do software MicroStation V8: (a) – Dados de criação na aba General, (b) -valores das coordenadas (x,y,z) de cada ponto de uma curva de nível na aba Details.
Como os dados apresentados pela ferramenta Element Information são referentes a
todos os vértices de uma única curva de nível e possuem caráter apenas informativo, para
realizar a coleta dos dados de cada área de maneira independente e gerar os arquivos de
armazenamento dos dados referentes a cada uma delas, tornou-se necessário gerar bases
digitais planoaltimétricas georreferenciadas locais, ignorando todas as informações
referentes às outras áreas do município como mostra a Figura 33.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 61
Anjos, D.S. unesp
Figura 33 – Exemplo de base digital planoaltimétrica georreferenciada local.
A partir dessas bases locais o programa dxf2xyz2.0 foi utilizado para exportar os
dados dos arquivos .dwg para arquivos .txt contendo as coordenadas geométricas x,y e a
coordenada z de altimetria de toda a área analisada.
A seqüência de ações realizadas para gerar os arquivos de armazenamento dos dados
é apresentada na figura 34.
(a)
(b)
(c) Figura 34 – (a) criação de uma base digital planoaltimétrica georreferenciada contendo apenas os
dados da área de interesse - (b) Acesso da base local pelo software dxf2xyz 2.0 - (c) transformação das coordenadas de interesse contidas na base local em um arquivo .txt.
Após a realização dessas ações as coordenadas de cada área de interesse são
armazenadas em seu respectivo arquivo de dados sendo a primeira coluna referente à
coordenada geográfica x, a segunda referente à coordenada geográfica y e a terceira
referente à coordenada z contendo os dados altimétricos de cada ponto (x,y) como mostra a
Figura 35.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 62
Anjos, D.S. unesp
Figura 35 – Arquivo de armazenamento dos dados contendo coordenadas x,y,z de cada ponto da área
de interesse.
3.2.3 Modelo Numérico de Terreno via Thin Plate Spline
Para representar as áreas de teste em meio digital foi gerada uma implementação em
ambiente Delphi, capaz de ler os dados coletados na base digital planoaltimétrica
georreferenciada do município e utilizá-los como pontos de controle para gerar uma grade
regular através do método de interpolação Thin Plate Spline.
Nessa implementação os valores ,i jr são obtidos através da distância de cada um dos
pontos de controle em relação a todos os outros pontos de acordo com a equação (26).
(26)
Após a obtenção dos dados referentes a distância entre os pontos de controle uma
matriz quadrada A de ordem n+3 é gerada, com n sendo o total de pontos amostrados, que
varia de acordo com o tamanho de cada área, e cada elemento ,i ja sendo dado por:
� �2 2, , ,lni j i j i ja r r �� �
(27)
2 2, ( ) ( )i j i j i jr x x y y� � � �
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 63
Anjos, D.S. unesp
De acordo com a forma matricial para a interpolação via Thin Plate Spline
( AX B� ), os coeficientes necessários para interpolação podem ser obtidos, com:
12 13 1 1 1
21 23 2 2 2
31 32 3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 10 1
0 1
101 1 1 1 1 0 0 0
0 0 00 0 0
n
n
n
n n n n n
n
n
a a a x ya a a x ya a a x y
Aa a a x y
x x x xy y y y
� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �
�
�
�
� � � � � �� �
�
�
�
,
1
2
3
0
1
2
n
FFF
XFaaa
� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �
� e
1
2
3
000
n
zzz
Bz
� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �
�
Como a matriz A é uma matriz não singular, ou seja, possui determinante não nulo
pode se determinar cada um dos coeficientes ( 0, 1, 2, iF a a a ) e conseqüentemente interpolar
todos os pontos (x,y) através do cálculo da matriz inversa, pois 1X A B�� . Na
implementação esses cálculos são realizados através do método da Eliminação de Gauss
Jordan.
O método de Eliminação de Gauss Jordan (EGJ), que é uma variação do método de
Eliminação de Gauss, consiste em realizar operações básicas que não alteram a solução do
sistema AX B� , como por exemplo:
� multiplicação de uma equação (linha) por uma constante não nula;
� soma uma equação à outra;
� troca de posição de duas ou mais equações.
Primeiramente cada elemento ,i ja da matriz A (forma matricial da interpolação via
TPS) deve ser escrito como:
, , -1, - i j i j i ja a m a� % (28)
com , ,j i i im a a�
i = 1,2,3,...,n+3
j = i+1, i+2, .... ,n+3
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 64
Anjos, D.S. unesp
o que transforma a matriz A em uma matriz triangular equivalente da forma:
1, 1 1, 2 1, 3
2, 2 2, 3
11 12 13 1 1 1
22 23 2 2 2
33 3 ' 3 3
' ' ' ' 1 ' '0 ' ' ' 1 ' '0 0 ' 1 ' '
1 '
' 1 ' '0 0 00 0 0 0 0 ' ' '0 0 0 0 0 ' '0 0
n n n n n n
n n n n
n
n
n
nn n n
a a a a x ya a a x y
a a x y
Aa x y
a a aa a
� � � � � �
� � � �
�
�
�
�
� � �� � � �
�
�
3, 30 0 0 0 'n na � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �
Posteriormente cada elemento ,'i ja da matriz triangular A’ deve ser escrito como:
, , 1,' ' - * 'i j i j i ja a m a �� j (29)
com -1, , ' / 'i i i im a a�
i = n, n-1, ..., 1
j = n, ..., i
transformando a matriz triangular A’ em uma matriz diagonal equivalente da forma:
1, 1
2, 2
3, 3
11
22
33
'' 0 0 0 0 0 00 '' 0 0 0 0 00 0 '' 0 0 0 0
''0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 '' 0 00 0 0 0 0 '' 00 0 0 0 0 0 ''
n n
n n
n n
nn
aa
a
Aa
aa
a
� �
� �
� �
������� ���
�
�
�
�� � � � � � �
�
�
�
���������
� �� �� �
Porém nesse método que permite o cálculo direto da matriz inversa essas operações
devem ser realizadas ao mesmo tempo para a matriz A e para uma matriz identidade de
mesma ordem para que ao fim do processo a matriz inversa de ordem 3n � seja obtida
através das seguintes passagens:
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 65
Anjos, D.S. unesp
12 13 1 1 1
21 23 2 2 2
31 32 3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 1 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0
10 0 0 0 1 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1
n
n
n
n n n n n
n
n
a a a x ya a a x ya a a x y
a a a x y
x x x xy y y y
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� �
� �
� �
� � � � � �� � � � � � � � � �
� �
�
� �
� �
EGJ
11 12 13 1 1, 1 1 1
11 11 2 2, 1 2 2
11 3 3, 1 3 3
, 1
1, 1 1, 2 1, 3
2, 2 2, 3
' ' ' ' ' ' '0 ' ' ' ' ' '0 0 ' ' ' ' '
' ' '0 0 0
0 0 0 0 0 ' ' '0 0 0 0 0 ' '0 0 0
n n
n n
n n
n n nnn n
n n n n n n
n n n n
a a a a a x ya a a a x y
a a a x y
a xa y
a a aa a
�
�
�
�
� � � � � �
� � � �
�
�
�
� �� �� � � �
�
�
11 12 13 1 1, 1 1, 2 1, 3
21 22 23 2 2, 1 2, 2 2, 3
31 32 33 3 3, 1 3, 2 3, 3
, 1 , 2 , 31 2 3
1,1 1,2 1,3 1,
3, 3
0 0 0 '
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n nn n n nn
n n n n n
n n
c c c c c c cc c c c c c cc c c c c c c
c c cc c c c
c c c c c
a
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� � �� � � ��
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�
1, 1 1, 2 1, 3
2,1 2,2 2,3 2, 2, 1 2, 2 2, 3
3,1 3,2 3,3 3, 3, 1 3, 2 3, 3
n n n n n n
n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
c cc c c c c c cc c c c c c c
� � � � � �
� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
�
�
EGJ
1, 1
2, 2
3, 3
11 12 1311
22
33
' ' ''' 0 0 0 0 0 00 '' 0 0 0 0 00 0 '' 0 0 0 0
''0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 '' 0 00 0 0 0 0 '' 00 0 0 0 0 0 ''
n n
n n
n n
nn
c c cdd
d
d
dd
d
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�� � � � � � �
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�
�
1 1, 1 1, 2 1, 3
21 22 23 2 2, 1 2, 2 2, 3
31 32 33 3 3, 1 3, 2 3, 3
, 1 , 2 , 31' 2 3
1,1 1,2 1,3 1, 1, 1
' ' ' '' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' '
' ' '' ' '
' ' ' ' '
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n nn n n nn
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c c c cc c c c c c cc c c c c c c
c c cc c c c
c c c c c c
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� � �� � � ��
�
� 1, 2 1, 3
2,1 2,2 2,3 2, 2, 1 2, 2 2, 3
3,1 3,2 3,3 3, 3, 1 3, 2 3, 3
' '' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' '
n n n
n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
cc c c c c c cc c c c c c c
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� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
�
�
EGJ
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 66
Anjos, D.S. unesp
11 12 13 1 1, 1 1, 2 1, 3
21 22 23 2 2, 1 2, 2 2, 3
31 32 33 3 3, 1 3, 2 3, 3
'' '' '' '' '' '' ''1 0 0 0 0 0 0'' '' '' '' '' '' ''0 1 0 0 0 0 0'' '' '' '' '' '' ''0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
n n n n
n n n n
n n n n
c c c c c c cc c c c c c cc c c c c c c
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��
��
��
�� � � � � � � �
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, 1 , 2 , 31 2 3
1,1 1,2 1,3 1, 1, 1 1, 2 1, 3
2,1 2,2 2,3 2, 2, 1 2, 2 2, 3
3,1
'' '' '''' '' '' ''
'' '' '' '' '' '' '''' '' '' '' '' '' ''''
n n n n n nn n n nn
n n n n n n n n n n n
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c c cc c c c
c c c c c c cc c c c c c cc c
� � �
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� � �� � ��
�
�
�
3,2 3,3 3, 3, 1 3, 2 3, 3'' '' '' '' '' ''n n n n n n n n nc c c c c� � � � � � � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �
Assim cada elemento , ''i jc da matriz C corresponde ao elemento da linha i e coluna j da matriz 1A� .
O que finalmente possibilita a interpolação dos pontos (x,y) de acordo com o
adensamento TPS e a elaboração do MNT na forma de grade regular utilizando as
ferramentas gráficas do ambiente Delphi.
3.2.4 Cálculo da Curvatura em Perfil
Dentre os muitos produtos derivados de um Modelo Numérico de Terreno se
encontra o valor da curvatura de vertentes, que é parte fundamental no desenvolvimento
deste trabalho e é dado por uma relação entre as derivadas de primeira e segunda ordem da
variável altitude e calculado para cada elemento ,i jz de acordo com os valores de seus
vizinhos como mostra a figura 36.
Figura 36 – Célula sobre a qual a curvatura em perfil é calculada para o ponto zi,j.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 67
Anjos, D.S. unesp
A relação que expressa o valor da curvatura para cada ponto ,i jz é dada por
(MENDES, 1998):
(30)
com 2
2
12
ZDx
11
� % 2
2
12
ZEy
11
� % 2ZFy x
11 1
� ZGx
11
� ZHy
11
�
e , 1 , 1
2i j i jz zZ
x incx11
� ���
%
1, 1,
2i j i jz zZ
y incy11
� ���
%
2
, 1 , , 12 2
2i j i j i jz z zZx incx
11
� �� ��
2
1, , 1,2 2
2i j i j i jz z zZy incy
11
� �� ��
2
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
4i j i j i j i jz z z zZ
x y incx incy11 1
� � � � � � � �� � ��
% %
Esse valor está diretamente ligado aos parâmetros incx e incy, distância entre um
ponto e o seu vizinho nos eixos x e y, obtidos em metros através das equações 31 e 32:
� �2 2
2 2
2 2 2pe
D G E H F G HCG H
% % � % % � % % %�
�
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 68
Anjos, D.S. unesp
_ _maior x menor xincxnp�
�
(31)
(32)
sendo np o número de pontos utilizados para gerar a grade regular do MNT.
A implementação utilizada gera Modelos Numéricos de Terreno para áreas de
vários tamanhos, assim um mesmo ponto p1 pode estar contido em duas diferentes áreas de
interesse como mostra a Figura 37.
Figura 37 – Ponto p1 pertencente a duas áreas de interesse.
A única maneira de fazer com que a diferença entre os valores de curvatura obtidos
para o ponto p1 em ambas as interações não seja significativo é fixar os valores de incx e
incy e fazer com que o número de pontos utilizados para gerar a malha varie de acordo com
o tamanho da mesma, para isso deve-se utilizar as variações das equações 31 e 32 dadas
por:
_ _maior y menor yincynp�
�
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 69
Anjos, D.S. unesp
(33)
(34)
Assim o valor da curvatura no ponto p1 será calculado de acordo com os mesmo
vizinhos ,i jz para ambas as áreas, como mostra a Figura 38, que por motivos didáticos
apresenta apenas os vizinhos no eixo y, obtidos através do valor incy.
Figura 38 – Cálculo do valor da curvatura para o ponto p1 em duas interações diferentes.
Fixando os valores de incx e incy a igualdade no valor da curvatura para cada ponto
é alcançada em detrimento da possibilidade de analisar a curvatura de vertentes de acordo
com o tamanho da mesma, pois a variação da distância entre os pontos através dos quais a
curvatura é calculada define se o resultado obtido expressa uma característica regional ou
uma característica local. A Figura 39 apresenta o resultado visual da convexidade ou
concavidade para pontos de uma mesma vertente de acordo com a proximidade dos
vizinhos analisados, ou seja, de acordo com a quantidade de pontos da malha sobre a qual o
MNT (de uma mesma área) é gerado. Através dessa figura é possível perceber que um
pequeno número de pontos para a grade consegue captar apenas grandes variações na
curvatura do terreno, enquanto valores menores conseguem captar variações menos
significativas, porém é importante ressaltar que o excesso de pontos para a grade não é
_ _maior x menor xnpxincx�
�
_ _maior y menor ynpyincy�
�
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 70
Anjos, D.S. unesp
interessante por tornar os pontos muito próximos e fazer com que os valores de curvatura
tendam a zero.
Figura 39 – Variação no valor da curvatura de acordo com a quantidade de pontos analisadas para um
mesmo terreno. A partir dessa constatação e da classificação manual existente para as áreas de teste
1, 2 e 3 foram realizados testes para definir valores para inc_x e inc_y capazes de fornecer
resultados condizentes com a classificação de um especialista.
3.2.5. Classificação da curvatura via Inferência Fuzzy
O valor da curvatura para um determinado ponto da vertente pode ser negativo, nulo
ou positivo caracterizando uma curvatura respectivamente convexa, retilínea ou côncava,
porém na prática os limites entre uma classe e outra não podem ser definidos de maneira
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 71
Anjos, D.S. unesp
tão rígida, pois uma mesma vertente pode apresentar curvatura negativa para um
determinado ponto e positiva para outro com uma transição suave entre as classes. Outra
dificuldade em modelar matematicamente os valores de curvatura de uma vertente é o fato
de ser praticamente impossível encontrar na natureza uma vertente que possua um valor de
curvatura literalmente nulo em relação ao perfil, assim são consideradas vertentes retilíneas
aquelas que apresentam valores muito próximos a zero, o que tornou necessária a obtenção
de um intervalo de valores de curvatura na vizinhança do valor zero que passou a ser
considerado como retilíneo.
Assim a inferência fuzzy se apresentou como um caminho natural a ser agregado ao
sistema de classificação das vertentes no sentido de se obter discriminação mais condizente
com a classificação manual.
O sistema de inferência fuzzy utilizou diferentes características da variável
curvatura, buscando obter uma classificação mais condizente com a realidade como saída
do sistema. Assim as varáveis lingüísticas de entrada do sistema foram definidas como o
grau da curvatura com o conjunto de termos T(X) ={inexpressivo, baixo e alto} e o tipo de
curvatura com os termos lingüísticos T(Y)={negativa, nula e positiva}. Essas variáveis
foram submetidas aos processos inerentes ao SIF com modelo lingüístico de Mamdani
através do software Matlab 7 como mostra o fluxograma da Figura 40 apresentando como
variável de saída a curvatura final com o conjunto de termos T(Z)={convexa,
convexa/retilínea, retilínea, retilínea/côncava, côncava}.
Figura 40 – Fluxograma de um SIF.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 72
Anjos, D.S. unesp
Para analisar esse sitema fuzzy em ambiente Matlab primeiramente foi necessário
determinar o número de variáveis de entrada e de saída a serem utilizadas. A Figura 41
apresenta a interface inicial do toolbox fuzzy, na qual as variáveis foram nomeadas e os
métodos de agregação e defuzzificação foram escolhidos.
Figura 41 – Interface do editor FIS (Sistema de Inferência Fuzzy) em ambiente Matlab.
Posteriormente cada variável de entrada e de saída teve os seus termos associados a
funções de pertinência com os coeficientes a, m, n e b das funções de pertinência
trapezoidais associadas aos termos lingüísticos de cada variável de entrada e de saída
utilizadas nesse trabalho sendo fornecidos ao sistema de acordo com as classificações
existentes para as áreas de testes e dos dados obtidos na bibliografia.
A variável lingüística de entrada “grau da curvatura” que possui os termos
lingüísticos inexpressivo, baixo e alto é apresentada ao sistema de acordo com as funções
de pertinência apresentadas na Figura 42 e possui fundamental importância, pois é ela quem
determina os coeficientes que limitam os pontos da vizinhança do valor zero a serem
considerados como pontos de curvatura nula.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 73
Anjos, D.S. unesp
Figura 42 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada variação do ângulo de
inclinação.
Já a variável “tipo de curvatura” é apresentada como mostra a Figura 43 e é a
variável que diferencia vertentes côncavas, associadas a variações angulares negativas, de
vertentes conexas, associadas a variação angular positiva.
Figura 43 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada sinal da curvatura.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 74
Anjos, D.S. unesp
A variável de saída também deve ter cada um de seus termos associados a uma
função de pertinência como mostra a Figura 44.
Figura 44 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de saída curvatura.
Após a etapa de fuzzificação, foram fornecidas as regras fuzzy compostas
com antecedentes relacionados as variáveis de entrada e consequentes relacionados a
variável de saída. (Figura 45).
Figura 45 – Regras Fuzzy relacionada as variáveis de entrada e saída do SIF.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 75
Anjos, D.S. unesp
Através dessas regras e dos possíveis valores de entrada o SIF forneceu novos
limites para as cinco classes da variável de saída curvatura para que os mesmo pudessem
ser utilizados na implementação gerando os MNTs classificados de acordo com a curvatura
das vertentes.
3.2.6 Modelo Numérico de Terreno classificado de acordo com a curvatura
Após a classificação dos valores de curvatura em cinco classes distintas (convexa,
convexa/retilínea, retilínea, retilínea/côncava, côncava) através do Modelo Linguístico
Mamdani, utilizado em ambiente Matlab, as relações obtidas foram implementadas no
programa já desenvolvido em ambiente Delphi, capaz d elaborar Modelos Numéricos de
Terreno e calcular os valores de curvatura para cada um dos pontos. Assim cada ponto foi
classificado de acordo com a classe a que pertence possibilitando a apresentação dos MNT
em cinco cores diferentes, cada uma delas representando uma classe como produto final
desse trabalho.
Para essa representação foi realizado um breve estudo da variável visual cor,
utilizada na cartografia temática e segundo Slocum (1999) essa variável pode ser divida em
três tipos: Cor valor (lightness), Cor matiz (hue) e Cor saturação (saturation).
Cor valor é o termo aplicado para descrever a variação do mais claro para o mais
escuro de cada cor, é uma variável com escala finita de elementos que variam entre o
branco puro e o preto puro que podem ser distinguidas pelo olho humano. Por apresentar
essa variação do claro para o escuro, essa variável quando bem utilizada apresenta a nítida
sensação de ordem. Assim como cor valor, a cor saturação também apresenta a sensação de
ordem, pois está relacionada à pureza de cada cor.
Já Cor matiz é o termo utilizado para definir as sensações geradas pelas diferentes
cores e especificamente é a medida do comprimento de onda refletido ou emitido por cada
uma delas.
Como o objetivo da utilização da variável lingüística cor nesse trabalho é apenas de
distinção entre as classes, a variável cor matiz foi escolhida por ser considerada um dos
melhores tipos de variáveis para diferenciar espécies ou objetos. Porém como cores muito
claras e muito escuras ao serem utilizadas apenas para diferenciação podem ocasionar
erradamente a sensação de ordem, por isso a utilização dessa variável apresentou a
necessidade de muitos cuidados e alguns testes até a obtenção de um bom resultado.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 76
Anjos, D.S. unesp
3.2.7 Comparação com o Mapa Geomorfológico do município de Presidente Prudente
Para realizar essa comparação foram selecionadas no mapa geomorfológico do
município de Presidente Prudente as mesmas áreas que anteriormente foram utilizadas para
gerar os MNTs utilizados para o cálculo da curvatura. Isso foi possível devido ao
georreferenciamento, tanto da base digital planoaltimétrica, na qual as coordenadas
geográficas e os dados de altimetria foram coletados, quanto do mapa geomorfológico.
Uma dessas áreas é apresentada primeiramente no mapa geomorfológico do
município, posteriormente na base de dados planoaltimétrica e por fim no MNT gerado pela
implementação via Thin Plate Spline e classificada de acordo com as saídas do sistema de
inferência fuzzy (Figura 46).
(a)
(b) (c)
Figura 46 – Área do município de Presidente Prudente em diversos representações: (a) - mapa geomorfológico, (b) - base digital planoaltimétrica, (c) – MNT gerado pela implementação.
Os resultados obtidos através da aplicação dessa metodologia e principalmente a
partir da comparação do MNT obtido com o mapa geomorfológico das áreas urbanas do
município de Presidente Prudente serão discutidos vis-á-vis em um capítulo específico.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 77
Anjos, D.S. unesp
4. RESULTADOS Nesse capítulo são apresentados os testes realizados, bem como os resultados
obtidos para a classificação da curvatura de vertentes pela implementação gerada através da
conceituação teórica e da metodologia apresentadas nos capítulos anteriores.
4.1 Geração do Modelo Numérico de Terreno
A curvatura de uma vertente pode ser analisada como um produto derivado de um
Modelo Numérico de Terreno, dessa forma o primeiro resultado obtido pela implementação
foi a geração de MNTs de grades regulares com os pontos adensados via Thin Plate Spline,
de acordo com o proposto e analisado por Barbosa et al (2003), possibilitando a obtenção
de modelos mais suaves, sem linhas de quebra e próximos da realidade, facilitando assim a
visualização das áreas de interesse. A geração do MNT da área analisada também é uma
opção oferecida ao usuário na implementação final. Um exemplo é apresentado na Figura
47.
Figura 47 – Modelo Numérico de Terreno gerado via Thin Plate Spline.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 78
Anjos, D.S. unesp
4.2 Classificação das áreas de teste
Após a geração correta dos MNTs, os primeiros resultados referentes a classificação
da curvatura de vertentes foram obtidos para as áreas de teste (Área 1, Área 2 e Área 3),
classificando-as apenas como côncava, retilínea ou convexa de acordo com intervalos
existentes na literatura. Para a classificação dessas áreas foram utilizados diferentes valores
de incrementos (1m, 3m, 5m e 7m) na busca por resultados condizentes com a realidade
observada em campo. Esses testes foram fundamentais para a escolha dos valores de
incremento (incx e incy) a ser utilizados para o adensamento e geração da grade dos MNTs.
Os resultados obtidos nessa primeira etapa são apresentados a seguir para as três
áreas de teste de acordo com a distância adotada entre os pontos do adensamento em:
� 1º teste (incx = incy = 1m)
(a) (b) (c)
Figura 48 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de MNT com valor de incx = incy = 1m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava), (c) – Área 3 (convexa).
� 2º teste (inc_x = inc_y = 3m)
(a) (b) (c)
Figura 49 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de MNT com valor de incx = incy = 3m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava), (c) – Área 3 (convexa).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 79
Anjos, D.S. unesp
� 3º teste (incx = incy = 5m)
(a) (b) (c)
Figura 50 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de MNT com valor de incx = incy = 5m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava), (c) – Área 3 (convexa).
� 4º teste (incx = incy = 7)
(a) (b) (c)
Figura 51 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de MNT com valor de incx = incy = 7m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava), (c) – Área 3 (convexa).
Como nessa etapa de teste cada área foi classificada entre côncava, convexa e
retilínea foram utilizadas cores diferenciar as classes de curvatura na saída dos MNTs.
Essas cores são apresentadas na legenda da Figura 52:
Figura 52 – Legenda para classificação de curvatura através da variável visual cor.
De acordo com os experimentos realizados nessa etapa, o valor de inc x e inc y que
apresentou Modelos Numéricos de Terreno mais condizentes com a realidade conhecida em
campo e com as classificações visuais feitas pelo especialista foi o valor de incremento
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 80
Anjos, D.S. unesp
intermediário de 5 metros, ou seja, a geração das grades regulares sobre as quais os MNTs
são elaborados é realizado utilizando pontos com distancia de 5 metros entre si.
Como esperado valores de incremento muito pequenos apresentaram forte tendência
a retilinização da curvatura das vertentes, devido a pequena distancia existente entre o
ponto da grade analisado e seus vizinhos, dessa forma áreas com curvaturas expressivas
foram classificadas como retilíneas, o que possibilitou o descarte dos valores 1m e 3m
Já grades geradas com valores de incremento superiores a 5m apresentaram como
resultado a classificação incorreta de áreas retilíneas, pois a grande distancia entre dois
pontos da grade levou a implementação a obter valores expressivos de curvatura para essas
áreas que sabidamente apresentam valores de curvatura inexpressivos.
Para a verificação dos resultados obtidos nessa etapa foram geradas e classificadas
três novas superfícies, cada uma delas referente a uma expansão das áreas de teste, ou seja,
para áreas que continham as vertentes de teste e sua vizinhança, e que devido as analises
estereoscópicas, os trabalhos de campo e a classificação visual possuíam características
geomorfológicas conhecidas. Os MNTs classificados de acordo com a curvatura para essas
áreas são apresentados na Figura 53.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 81
Anjos, D.S. unesp
� Teste para áreas expandidas (incx = incy = 5 m)
(a) (b)
(c) Figura 53 - Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste expandidas – (a) retilinea (b)
concava (c) convexa.
Os resultados apresentados para as áreas expandidas se mostraram de acordo com a
realidade vista em campo, o que fortaleceu o uso do valor fixado para a distância entre dois
pontos de controle no adensamento, possibilitando a realização de novos testes para a
definição de um novo intervalo para cada uma das classes levando em consideração as
áreas de incerteza e a falta de limites rígidos entre uma classe e outra.
4.3 Parâmetros das Funções de Pertinência
Os resultados obtidos através da associação entre as variáveis de entrada (grau de
curvatura e tipo de curvatura) e a variável de saída (curvatura) oferecidas ao Sistema de
Inferência Fuzzy se mostraram valiosos na obtenção de uma classificação mais condizente
com a realidade devido ao fato de serem consideradas vertentes retilíneas aquelas que
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 82
Anjos, D.S. unesp
possuem um valor de curvatura próximo ao valor zero e principalmente ao fato dos limites
entre uma classe e outra não serem rígidos o que é uma característica fundamental para o
tratamento dos dados através de Inferência Fuzzy.
As saídas do SIF para essas variáveis foram apresentadas de duas maneiras distintas,
a primeira gerada pelas regras fuzzy utilizadas e a segunda em forma de uma superfície de
associação entre as classes de entrada e saída como mostra a Figura 54.
Figura 54 – Associação entre as variáveis de entrada e de saída fornecidas ao sistema:
(a) – via regras fuzzy, (b) – via superfície de associação.
A analise dessas saídas possibilitou a classificação da curvatura em cinco classes
diferentes: convexa, convexa/retilínea, retilínea, retilínea/côncava e côncava, levando em
consideração também as áreas de transição entre uma classe e outra que foram consideradas
como áreas de incerteza. Os resultados obtidos para os limites dessas classes são
apresentados na Tabela 3.
Tabela 3 – Intervalos de classificação da curvatura
Classes Intervalo
Convexa ,-0.006[-] 2
Convexa/Retilínea !005.0,006.0 ��
Retilínea ! 005.0,005.0�
Retilínea/Côncava !006.0,005.0
Côncava ,-0.006[-] 2
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 83
Anjos, D.S. unesp
4.4 Áreas de Comparação
Após a definição dos parâmetros utilizados nas funções de pertinência associadas a
cada termo lingüístico das variáveis de entrada e saída utilizadas no SIF, as respostas
obtidas foram utilizadas na implementação para a classificação da curvatura de vertentes
em perfil, passando essa a apresentar modelos classificados em cinco classes e não mais em
três como anteriormente. A variável lingüística cor é associada a cada termo de acordo com
a legenda apresentada na Figura 55.
Figura 55 – Legenda da variável visual cor utilizada para distinção entre as classes.
A partir dessa classificação a implementação passou a ser utilizada para outras áreas
do município de Presidente Prudente, apresentando como resultado três classes de certeza
(convexa, retilínea e côncava), de acordo com os valores obtidos através dos testes
realizados, e duas classes de incerteza (convexa/retilínea e retilínea/côncava).
A seguir são apresentados os resultados obtidos entre a comparação das informações
contidas no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente – SP na
escala 1:25.000 com as obtidas na implementação para classificação da curvatura de
vetentes em perfil via Thin Plate Spline e inferência fuzzy realizada nesse trabalho para
cinco áreas distintas do município, escolhidas de maneira arbitrária.
Considerando que os dados do mapa geomorfológico, utilizado como fonte de
comparação, são apresentados como uma tendência para cada uma das áreas enquanto o
MNT classifica cada ponto do terreno de acordo com a sua curvatura.
Assim a comparação entre as duas representações é realizada de acordo com a
localização, no mapa geomorfológico, dos símbolos que caracterizam vertentes côncavas,
retilíneas e convexas, mas também através da percepção dos fundos de vale para os quais as
vertentes se dirigem (direção da vertente).
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 84
Anjos, D.S. unesp
- Área A: (445 pontos de controle)
Figura 56 – Área A: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na
escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.
Tabela 4 – Comparação dos resultados apresentados para a Área A no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado.
MNT gerado Mapa geomorfológico Classificação
correta Classificação
incorreta
Área de incerteza
% correta
% incorreta
% incerteza
Vertentes côncavas
2 1 1 0 50% 50% 0%
Vertentes retilíneas
5 5 0 0 100% 0% 0%
Vertentes convexas
- - - - - - -
Total 7 6 1 0 83,33% 16,67% 0%
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 85
Anjos, D.S. unesp
- Área B: (396 pontos de controle)
Figura 57 - Área B: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na
escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.
Tabela 5 - Comparação dos resultados apresentados para a Área B no mapa geomorfológico do
perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado. MNT gerado Mapa
geomorfológico Classificação correta
Classificação incorreta
Área de incerteza
% correta
% incorreta
% incerteza
Vertentes côncavas
5 3 1 1 60 20 20
Vertentes retilíneas
5 5 0 0 100% 0% 0%
Vertentes convexas
- - - - - - -
Total 10 8 1 1 80% 10% 10%
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 86
Anjos, D.S. unesp
-Área C: (436 pontos de controle)
Figura 58 - Área C: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na
escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.
Tabela 6 - Comparação dos resultados apresentados para a Área C no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado.
MNT gerado Mapa geomorfológico Classificação
correta Classificação
incorreta
Área de incerteza
% correta
% incorreta
% incerteza
Vertentes côncavas
4 2 1 1 50% 25% 25%
Vertentes retilíneas
4 3 0 1 75% 0% 25%
Vertentes convexas
- - - - - - -
Total 8 5 1 2 62,5% 12,5% 25%
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 87
Anjos, D.S. unesp
- Área D: (330 pontos de controle)
Figura 59 - Área D: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na
escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.
Tabela 7 - Comparação dos resultados apresentados para a Área D no mapa geomorfológico do
perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado. MNT gerado Mapa
geomorfológico Classificação correta
Classificação incorreta
Área de incerteza
% correta
% incorreta
% incerteza
Vertentes côncavas
3 2 1 0 66,7% 33,3% 0%
Vertentes retilíneas
- - - - - - -
Vertentes convexas
1 1 0 0 100% 0% 0%
Total 4 3 1 0 75% 25% 0%
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 88
Anjos, D.S. unesp
- Área E: (417 pontos de controle)
Figura 60 – Área E: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.
Tabela 8 - Comparação dos resultados apresentados para a Área E no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado.
MNT gerado Mapa geomorfológico Classificação
correta Classificação
incorreta
Área de incerteza
% correta
% incorreta
% incerteza
Vertentes côncavas
4 2 2 0 50% 50% 0%
Vertentes retilíneas
1 1 0 0 100% 0% 0%
Vertentes convexas
3 3 0 0 100% 0% 0%
Total 8 6 2 0 75% 25% 0%
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 89
Anjos, D.S. unesp
Conforme os resultados obtidos para as cinco áreas de comparação uma nova tabela
com resultados gerais pode ser apresentada (Tabela 9).
Tabela 9 - Comparação dos resultados apresentados para a todas as áreas no mapa geomorfológico do
perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado. MNT gerado Mapa
geomorfológico Classificação correta
Classificação incorreta
Área de incerteza
% correta
% incorreta
% incerteza
Vertentes côncavas
18 10 6 2 56% 33% 11%
Vertentes retilíneas
15 14 0 1 93% 0% 7%
Vertentes convexas
4 4 0 0 100% 0% 0%
Total 37 28 6 3 76% 16% 8%
Comparando-se os resultados obtidos pode-se observar que as vertentes retilíneas
apresentam um maior grau de classificações condizentes com o mapa geomorfológico,
obtendo apenas classificações corretas ou em áreas de incerteza, enquanto as áreas com
valores de curvatura mais expressivos apresentam um grau menor de classificações
condizentes além de obter classificações consideradas incorretas pelo método de
comparação utilizado.
Apesar da não obtenção de resultados condizente para a totalidade dos dados ao
metodologia utilizada se mostra capaz de classificar Modelos Numéricos de Terreno de
acordo com a sua curvatura em perfil, pois a incompatibilidade de parte dos resultados pode
ser explicada devido a diferença na quantidade de informação das duas representações, já
que no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP em escala
1:25.000 apresenta uma quantidade de informações extramente menor que as obtidas por
essa metodologia. Dessa forma as informações pontuais para a curvatura em perfil obtidas
nessa trabalho se apresentam como uma possibilidade para as aplicações já realizadas com
os mapas bem como para novas aplicações, mais locais e que necessitam de maior
quantidade de informação quanto a característica curvatura de vertentes em perfil.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 90
Anjos, D.S. unesp
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1 Considerações e Conclusões
Sendo a classificação da curvatura de vertentes em perfil um dado de grande
importância para diversas áreas do conhecimento que se interessam pela usabilidade do
solo e pela minimização dos impactos a ele associados, é possível concluir que a
metodologia apresentada, mostrou se capaz de classificar um Modelo Numérico de Terreno
de acordo com a curvatura de suas vertentes, vem contribuir de maneira relevante para a
automatização desse processo de classificação, possibilitando a obtenção de informações a
respeito da curvatura vertical de vertentes para qualquer área de um município que possua
uma base digital planoaltimétrica, o que até o momento só poderia ser realizado através de
estereoscopia para áreas mapeadas por fotografias aéreas ou através da visita de um
especialista a área analisada.
De acordo com os testes realizados para classificação das áreas de estudo foi
determinado a distância de 5 metros entre os pontos adensados pelo método Thin Plate
Spline e o uso da inferência fuzzy se mostrou eficaz na obtenção das cinco classes de
classificação, porém automatizar um processo como a classificação de vertentes em perfil,
que esta intimamente ligado as percepções de um especialista, requer muito cuidados, pois
muitas são as características que influenciam a concavidade/convexidade de uma vertente,
além das constantes modificações causadas nessas feições pelo homem e pelo tempo, assim
os bons resultados obtidos nesse trabalho se apresentam como uma possibilidade de
obtenção de informações relevantes quanto a essa característica para uma determinada área,
o que apenas otimiza os trabalhos de campo que continuam sendo de fundamental
importância para qualquer análise de terreno.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 91
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5.2 Recomendações
Em face da metodologia e dos resultados obtidos recomenda-se para trabalhos
futuros:
� Investigar a possibilidade do uso de outras variáveis que também exerçam influência
sobre a curvatura vertical de vertentes, tornando o uso da ferramenta matemática
inferência fuzzy mais robusto;
� Buscar uma integração entre a implementação e a base digital planoaltimétrica do
município, facilitando o processo de coleta de dados e eliminando a possibilidade de
erros durante esse processo;
� Delimitar topos e fundos de vale no MNT, facilitando sua compreensão e a
comparação com outras representações da área;
� Buscar métodos menos visuais e mais técnicos para a realização de comparação com
os mapas geomorfológicos já existentes;
� Utilizar a teoria Neuro – fuzzy para aquisição dos parâmetros das funções de
pertinência;
� Investigar a possibilidade de normalização das coordenadas x, y dos pontos de
controle.
Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 92
Anjos, D.S. unesp
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ANEXO A – Identificação dos compartimentos de relevo do município de Presidente Prudente.