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Introducao

Classificacao dosSinais

Analogico ×Digital

Sinais noTempoDiscreto

SinaisAleatorios

ProcessamentoDigital deSinais

ConversaoAnalogicoDigital

Disciplina: Processamento Digital de SinaisAula 01 - Introducao aos Sinais e Sistemas

Digitais

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Departamento de Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia

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Introducao


Analogico ×Digital


SinaisAleatorios



Conteudo

1 IntroducaoClassificacao dos SinaisAnalogico × Digital

2 Sinais no Tempo Discreto

3 Sinais Aleatorios

4 Processamento Digital de Sinais

5 Conversao Analogico Digital

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Introducao

Definicao: O que e um sinal ?

1 - “Um sinal e a representacao de um fenomeno variavel quepode ser medido.” (M. Weeks);

2 - “Um sinal e uma funcao de uma variavel independente como otempo, a pressao, a posicao, a temperatura, etc.” (S. Mitra);

Exemplos de sinais:

- s(t) =∑N

i=1 AN sin(ωNt + φN);

- A fala de uma pessoa (sinal acustico variavel com o tempo),que pode ser convertido num sinal eletrico usando um microfone(transdutor);

- Uma imagem digital em preto e branco (sinal com amplitudevariavel com a posicao do ponto, ou “pixel”, medido; aamplitude e proporcional ao tom de cinza);

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Exemplos de sinais:

Fala(variavel no tempo)

Imagem(variavel com a posicao)

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Classificacao dos Sinais

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Os sinais podem ser classificados quanto a sua natureza em:

Determinısticos - quando sua forma de onda ou equacaomatematica sao conhecidos para qualquer valorda variavel independente.

Aleatorios - quando existe algum fenomeno de naturezaaleatoria (ex: ruıdo aditivo, variacoes no meio detransmissao, etc), que nao permite que o sinalseja completamente determinado. Neste caso hasempre uma incerteza associada ao valoresperado do sinal.

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Os sinais sao classificados tambem de acordo com ascaracterısticas da variavel independente (em geral o tempo) edos seus valores medidos:

- Tempo contınuo ou tempo discreto;

- Amplitude contınua ou amplitude discreta.

Deste modo, existem quatro classificacoes possıveis para umsinal (ver Figura a seguir):

a) Amplitude e tempo contınuos (sinal analogico);

b) Amplitude contınua e tempo discreto (sinal amostrado);

c) Amplitude discreta e tempo contınuo (sinal quantizado);

d) Amplitude e tempo discretos (sinal digital);

Em geral e utilizada a notacao x(t) para um sinal no tempocontınuo e x(nT ), x [n] ou x(n) para um sinal no tempodiscreto.

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Exemplos de sinais

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Em alguns casos praticos, para a adequada descricao dofenomeno fısico de interesse e necessario o conhecimentosimultaneo de diversos sinais (Ex: Vıdeo digital, sistemas deinstrumentacao com multiplos sensores).

Neste caso, os sinais podem ser agrupados de forma vetorial (oumatricial), dando origem aos sinais multidimensionais.

Assim, os sinais podem ser classificados em:

- Monodimensionais

- Multidimensionais

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Analogico × Digital

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Analogico × Digital

O termo “analogico” esta relacionado a palavra analogo, pois osinal que ele representa tenta representar de modo fiel oprocesso fısico correspondente.

Para a obtencao de um sinal digital a partir de suarepresentacao analogica e preciso realizar um processo conhecidocomo conversao analogico-digital(embora existam sinaisnaturalmente discretos no tempo, i.e. a temperatura diaria, ovalor de uma acao no fechamento da bolsa de valores, etc).

Considerando que:

- Grande parte dos fenomenos e sinais existentesnaturalmente sao analogicos.

- A conversao analogico-digital sempre introduz erros dequantizacao ao sinal digitalizado.

Entao, porque o processamento digital e tao difundidoatualmente ?

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Porque usar o Processamento Digital?

Os circuitos digitais sao mais tolerantes a variacoes noscomponentes eletronicos;

O sinal digital e mais imune ao ruıdo aditivo na transmissao(mais simples de minimizar o erro em cada bit→0 ou 1);

A crescente disponibilidade de dispositivos para oprocessamento digital (computadores pessoais, equipamentosmoveis, hardware dedicado, etc);

A crescente disponibilidade de sinais digitais (internet, colecoespessoais de audio, imagem e vıdeo, etc);

=> Desvantagens:- Sao necessarias duas etapas adicionais para o

processamento de um sinal analogico (conv. AD e DA).

- Os circuitos de processamento digital, em geral, consumemmais energia que os analogicos, pois utilizam sempredispositivos eletronicos ativos na sua construcao.

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Sinais e Sistemas no Tempo Discreto

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Sinais no Tempo Discreto

Um sinal no tempo discreto pode ser representado por umasequencia de numeros que pode ter duracao infinita ouduracao finita.

Exemplos:

- x1[n] = . . . , 2.3, 3.0, 0.7, 1.1, 1.9, . . . (duracao infinita);

- x2[n] = [0.7, 1.0, 2.1, 1.8, 1.3] (duracao finita).

Numa sequencia finita x [n] = 0 para N1 ≤ n ≤ N2.

Lembrando que, os valores de x [n] podem representar amostrasde um sinal analogico x(t) tomadas em intervalos de tempo T(perıodo de amostragem).

Neste caso: x [n] = x(nT ).

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Exemplo de um sinal no tempo discreto

As amostras do sinal analogico sao tomadas a intervalos detempo regulares T (perıodo de amostragem).

A frequencia de amostragem e definida como: f =1

T.

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Sinais Elementares

Alguns sinais elementares sao extremamente uteis nodesenvolvimento da teoria do PDS (embora nem sempre sejam“realizaveis” na pratica).

Entre eles temos:

a- Impulso unitario: δ[n] =

1, n = 00, n 6= 0

b- Impulso unitario deslocado: δ[n −m] =

1, n = m0, n 6= m

c- Degrau unitario: u[n] =

1, n ≥ 00, n < 0

d- Funcao cosseno: x [n] = cos[ωn]

e- Funcao exponencial: x [n] = ean

f- Funcao rampa unitaria: r [n] =

n, n ≥ 00, n < 0

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Sinais Elementares

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Energia e Potencia de Sinais

Energia:

Ex =∞∑

n=−∞|x [n]|2

Potencia media de um sinal nao-periodico num intervalo finito:

Px = limK→∞

1

2K + 1

K∑n=−K

|x [n]|2

Potencia media de um sinal periodico (de perıodo N):

Px =1

N

N−1∑n=0

|x [n]|2

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Sistemas no Tempo Discreto

Um sistema no tempo discreto realiza um mapeamento de umsinal de entrada x [n] para uma saıda y [n]:

y [n] = Hx [n]

sendo H. o operador que representa o sistema no tempodiscreto.

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Propriedades de Sistemas no Tempo Discreto

Linearidade: Hax1[n] + bx2[n] = aHx1[n]+ bHx2[n].

Invariancia no tempo:y [n] = Hx [n] → y [n − n0] = Hx [n − n0].

Causalidade: a saıda y [n0] depende apenas das entradas x [n]para n ≤ n0.

Funcao de Resposta ao Impulso: um sistema linear einvariante no tempo (SLIT) e completamente caracterizado porsua funcao de resposta ao impulso: h[n] = Hδ[n].

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Propriedades de Sistemas no Tempo Discreto

Soma de Convolucao: para um SLIT a resposta y [n] a umaentrada x [n] pode ser calculada a partir de:

y [n] =∞∑

k=−∞

x [k]h[n − k] =∞∑

l=−∞

x [n − l ]h[l ] = x [n] ∗ h[n].

De modo compacto podemos representar a convolucao usando:y [n] = x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n].

Estabilidade: um sistema e dito BIBO-estavel (BIBO -Bounded Input Bounded Output, ou seja, entrada limitada →saıda limitada) se e somente se:

∞∑k=−∞

|h[k]| <∞

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Equacoes de diferencas

Os sistemas no tempo discreto podem ser descritos porequacoes de diferencas (que sao a contrapartida discreta dasequacoes diferenciais).

Para um sistema linear generico podemos escrever:

N∑i=0

aiy [n − i ]−M∑l=0

blx [n − l ] = 0

Exemplos de sistemas descritos por equacao de diferencas:

1- y [n] = x [n] + x [n − 1]/2 + x [n − 2]/4

2- y [n] = x [n] + n

3- y [n] = 3x [n] + x [n + 1]

4- y [n] = x2[n] + x [n + 2]

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Exercıcio de Fixacao

Classifique os sistemas descritos no slide anterior quanto a:linearidade, invariancia no tempo e causalidade.

1- y [n] = x [n] + x [n − 1]/2 + x [n − 2]/4

2- y [n] = x [n] + n

3- y [n] = 3x [n] + x [n + 1]

4- y [n] = x2[n] + x [n + 2]

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Exercıcio de Fixacao - Resposta

Classifique os sistemas descritos no slide anterior quanto a:linearidade, invariancia no tempo e causalidade.

1- y [n] = x [n] + x [n − 1]/2 + x [n − 2]/4: linear, causal einvariante no tempo.

2- y [n] = x [n] + n: linear, causal e variante no tempo.

3- y [n] = 3x [n] + x [n + 1] linear, nao-causal e invariante notempo.

4- y [n] = x2[n] + nx [n + 2] nao-linear, nao-causal e varianteno tempo.

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Sinais Aleatorios

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Sinais Aleatorios

Em muitos casos praticos os sinais de interesse nao saocompletamente conhecidos, pois apresentam caracterısticasaleatorias.

Para o estudo apropriado desse tipo de sinal e necessario autilizacao de conceitos da estatıstica como:

- Variavel aleatoria;

- Processo aleatorio (ou estocastico);

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Variavel Aleatoria

Uma variavel aleatoria X (λ) e uma funcao cujo domınio e oconjunto de resultados λ ∈ S e X (λ) ⊂ R.

Para todo conjunto A ⊂ S existe um conjunto imagem T ⊂ Rdefinido por X .

A variavel aleatoria induz a uma medida da probabilidade noeixo real:

- P(X = x) = Pλ : X (λ) = x;

- P(X ≤ x) = Pλ : X (λ) ≤ x;

- P(x1 < X ≤ x2) = Pλ : x1 < X (λ) ≤ x2;

- Entao pode-se concluir que:P(X =∞) = P(X = −∞) = 0.

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Variavel Aleatoria - Exemplos

Valores de energia medidos num detector de partıculas paradiferentes objetos de interesse:

0 20 40 60 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Pro

ba

bili

da

de

(%

)

Energia (GeV)

E10

E15i

Partıculas eletromagneticas(eletrons e fotons)

0 20 40 60 800

2

4

6

8

10

12

14

Pro

ba

bili

da

de

(%

)

Energia (GeV)

E10

E15i

Partıculas hadronicas(protons, neutrons, etc)

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Processo Estocastico

Assim como as variaveis aleatorias mapeiam os resultados deum experimento no eixo real, os processos estocasticos (PE)mapeiam os resultados de um experimento num conjuntoamostral de sinais temporais x(t).

A notacao utilizada para definir um processo aleatorio e X (t,Λ),sendo que:

- a variavel t representa o tempo;

- a variavel Λ representa o resultado do evento aleatorio E ;

- para um resultado especıfico λi de E existe uma funcaotemporal xi (t) associada (chamada de funcao amostral ourealizacao do PE);

- para um valor especıfico de tempo t = t0, X (t0,Λ)representa uma colecao de valores numericos obtidos dasdiversas funcoes temporais avaliadas em t = t0, ou seja,X (t0,Λ) e uma variavel aleatoria.

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Exemplo de processo estocastico

=> As tecnicas de analise e processamento de sinais aleatorios saoestudadas na disciplina Processamento Estatıstico de Sinais(ENGA83), que sera oferecida no proximo perıodo (2013.1).

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Processamento Digital de Sinais

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Processamento Digital de Sinais

Definicao: “O processamento digital de sinais e adisciplina que estuda as regras que governam os sinais quesao funcoes de variaveis discretas, assim como os sistemasusados para processa-los” (Diniz, da Silva e Lima Netto).

Os sistemas de processamento digital de sinais podem serimplementados em diferentes plataformas como:

- Computadores (atraves de ambientes especializadas comoMatlab e Scilab ou utilizando alguma linguagem deprogramacao);

- Processadores digitais de sinais (as rotinas deprocessamento sao embarcadas na memoria doprocessador);

- Dispositivos de hardware digital (usando componentesdiscretos ou dispositivos programaveis como FPGA).

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Processamento Digital de Sinais - Aplicacoes

O processamento digital de sinais encontra diversas aplicacoespraticas, entre as quais podemos destacar:

- Filtragem: consiste no processamento de um sinal parapermitir a passagem apenas de faixas de frequenciaespecıficas.

- Extracao de Caracterısticas: visa a selecao dainformacao de interesse no sinal para um dado problema(Ex.: reconhecimento de padroes).

- Modulacao: para a transmissao eficiente de sinais debaixa frequencia atraves de um meio de transmissao (ar,cabo, fibra optica, etc), e necessario “mover” a informacaopara altas frequencias atraves da modulacao.

- Multiplexacao: processo pelo qual e possıvel transmitirdiversos sinais “simultaneamente” compartilhando omesmo meio de transmissao.

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Conversao Analogico Digital

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Conforme discutido anteriormente, em diversos problemaspraticos sistemas de processamento digital sao utilizados parasinais que sao originalmente analogicos.

Para isso e necessario realizar a conversao analogico-digital(AD) do sinal de interesse.

Um conversor analogico digital (ADC - Analog to DigitalConverter) e composto pelas etapas: amostragem, quantizacaoe codificacao.

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Esquemas das conversoes (a) AD e (b) DA.

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Amostragem

Atraves da amostragem e possıvel obter um sinal no tempodiscreto x [n] a partir de um sinal no tempo contınuo x(t), demodo que: x [n] = x(nT ).

O processo consiste em multiplicar o sinal analogico por um“trem de impulsos” defasados por um intervalo de tempo T :

x(nT ) = x(t)∞∑

n=−∞δ(t − nT )

Considerando a definicao da transformada de Fourier (TF):

F (jΩ) =

∫ ∞−∞

f (t)e−jΩtdt

E sabendo que a TF do produto de duas funcoes e proporcionala convolucao de suas transformadas de Fourier:

x(t) = a(t)b(t)→ X (jΩ) = A(jΩ) ∗ B((jΩ))

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Amostragem

Considerando a funcao “trem de impulsos”:

p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT )

Entao pode-se provar que:

P(jΩ) =2π

T

∞∑k=−∞

δ(Ω− 2π

Tk)

sendo Ωs =2π

Ta frequencia de amostragem (em rad/s).

Observando as figuras do slide a seguir, verifica-se que epossıvel obter x(t) = xa(t) de x(nT ) = xi (t) desde que:

- seja realizada uma filtragem passa baixas no sinal x(nT );- nao haja sobreposicao entre as “copias” adjacentes de

Xa(jΩ) existentes em Xi (jΩ) (aliasing).

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Amostragem

Esquemas das conversoes (a) AD e (b) DA.

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Limite de Nyquist

Para nao haver sobreposicao epreciso garantir que:

Ωs > 2Ωc

onde Ωc e a maximacomponente de frequenciaexistente no sinal a serdiscretizado.

Ω = 2Ωc e conhecida como afrequencia de Nyquist de x(t).

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Filtro Anti-Aliasing

Quando o sinal de interesse (a ser discretizado):- nao e de banda limitada ou pelo menos tem Ωc > Ωs/2;

- e composto por um sinal de banda limitada (Ωc < Ωs/2),porem ha ruıdo aditivo de banda larga,

e necessario utilizar um filtro passa-baixas analogico (FiltroAnti-Aliasing) antes do processo de amostragem para evitar asobreposicao dos espectros.

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Quantizacao e Codificacao

Ao final da conversao AD a saıda e, normalmente, um codigobinario.

Cada palavra do codigo representa o valor quantizado de umaamostra temporal de x [n].

O comprimento (ou numero de bits) da palavra binaria estaassociado com a resolucao do conversor AD.

A resolucao e determinada pelo numero de nıveis discretos quepodem ser atingidos apos a conversao (ou seja, o numero denıveis de quantizacao).

Usando a codificacao binaria natural, com N bits e possıvelobter QL = 2N nıveis de quantizacao.

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Quantizacao

Diagrama do processo de quantizacao:

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Quantizacao

O maximo erro de quantizacao QEmax e definido como:

QEmax =∆x

2(QL)=

∆x

2(2N)=

∆x

(2N+1)

sendo ∆x a faixa de excursao do sinal analogico x(t).

Nos conversores AD o processo de quantizacao em geral eimplementado utilizando comparadores analogicos (ajustadospara cada nıvel de quantizacao).

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Codificacao

Na codificacao, o nıvel de quantizacao associado a uma dadaamostra e convertido numa palavra binaria.

Existem diversas formas de codificacao, sendo uma das maissimples a “codificacao natural”.

Na codificacao natural, o nıvel de quantizacao (QL) k eassociado a palavra binaria que representa o numero inteiro k.Considerando uma codificacao a 4 bits (24 = 16 nıveis):

QL Rep. Binaria QL Rep. Binaria

00 0000 08 1000

01 0001 09 1001

02 0010 10 1010

03 0011 11 1011

04 0100 12 1100

05 0101 13 1101

06 0110 14 1110

07 0111 15 1111

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ADCs - Formas de implementacao

Os ADCs podem ser classificados quanto a forma deimplementacao em:

- ADC de Conversao Direta (ou Flash ADC) - utiliza umbanco de comparadores na entrada para realizar aquantizacao;

- ADC de aproximacao suscessiva (SAR ADC) - realiza aquantizacao de modo sequencial, realizando comparacoessuscessivas com os diversos nıveis de quantizacao possıveis.

- ADC Sigma-Delta - Utiliza a modulacao sigma-delta pararealizar a conversao analogico-digital.

- Etc...

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Conversao Analogico Digital - Diagrama Temporal

Diagrama temporal de um ADC de 8 bits e 30 ksps.(Observa-se que a taxa de bits e 8× 30 = 240 kHz).

sps→ samples per second (amostras por segundo).

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Diagrama de um ADC com saıda paralela: A cada amostra sao disponibilizados,ao mesmo tempo, todos os bits da palavra digital correspondente.

Diagrama de um ADC com saıda serial: Os bits da palavra digital sao dispostosem sequencia. Cada frame carrega a informacao correspondente a uma amostra.

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ADCs comerciais em circuito integrado

Existem diversos modelos de circuitos integrados comerciais(ASICS) que realizam a conversao AD.

A escolha depende de caracterısticas necessarias para aaplicacao como:

- Resolucao (o que vai implicar numa restricao para onumero de bits);

- Taxa de amostragem

- Potencia requerida

- Linearidade

- Offset (ou desvio)

- Relacao sinal-ruıdo

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Exemplo de ADC em Circuito Integrado

o ADC TLC1541 da Texas Instruments tem as caracterısticas aseguir:

- Resolucao de 10 bits;

- 32 ksps;

- 11 entradas analogicas;

- Saıda Serial;

- Potencia maxima: 6 mW;

Encapsulamento do TL1541.

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Exemplo de ADC em Circuito Integrado

Diagrama de blocos do TL1541.

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Bibliografia Consultada

Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

Algumas figuras foram retiradas na ıntegras das referenciasacima.

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