MatemáticaJoão Marcos

Ângulos na CircunferênciaÂngulos na Circunferência

Ângulos na Circunferência

Esse capítulo é bem curto: trataremos apenas de ângulos que aparecem em circunferências. Dividiremos esses caras em cinco tipos para facilitar nossos estudos. Então, jogo rápido: vamos descobrir quem são eles e como calculá-los:

Ângulo central:

É o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Simples assim. A medida desse ângulo é dada pela medida do arco AB que ele determina. Veja só a figura:

Ângulo inscrito:

É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e seus lados são secantes à ela. A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente.

Ângulo excêntrico interior:

É um ângulo formado por duas retas secantes à circunferência e cujo vértice está no interior desta. A medida desse ângulo é metade da soma dos arcos que determina na circunferência. Observe a figura abaixo:

Ângulo excêntrico exterior:

É o ângulo formado por duas secantes ou tangentes à circunferência que se encontram em um ponto exterior à essa. Vale metade da diferença dos arcos que determina na circunferência. Veja:

Ângulo de segmento:

Aqui temos o vértice na circunferência e no encontro de uma tangente com uma secante. Vale metade do arco que determina.

Exemplos resolvidos

Vamos fazer um bom número de exercícios sobre o assunto para que você entenda direitinho como calcular esses ângulos

Ex1:Calcule α

Temos que α é ângulo inscrito, portanto α¿ AB /2

Mas o ângulo central AOB nos diz que AB=25 °

CASD Vestibulares Matemática 1

Rα

A

B

α A

B

C

B

D

A

α

α

A

B

C

D

Assim, α= AB2

=25 °2

=12,5 °

Ex2: Calcule x

Temos que x é ângulo inscrito, portanto x= ADC2

( I ).

Ainda, pelo ângulo inscrito de 110°, calculamos:

110°=¿ ABC2→ABC=220 °

Mas, ABC+ ADC=360 °, uma vez que determina toda a circunferência ( observe na figura!).

Sendo assim, ABC=360°-

ADC=360 °−220 °=140 °.

Por fim, da equação ( I ): x= ADC2

=140 °2

=70°.

Ex3: Determine x e y.

O ângulo de 60° é excêntrico interior, assim:

60°¿ x+ y2→x+ y=120 ° (1)

O ângulo de 25° é excêntrico exterior, assim:

25°¿ x− y2→x− y=50 ° (2)

E com as equações (1) e (2) em mãos podemos armar um sistema que nos dá o valor de x e y

(Resolvendo, você encontrará x=85 °e y=35 °).

Ex4: Encontre x

Começaremos calculando o valor do ângulo

C A B=N A M . Observe que N A M é ângulo

exterior à circunferência pequena, portanto:

N A M=200°−160°2

= 80°

(Pense bem de onde veio esse 160° usado na conta acima. É o valor do arco menor MN na circunferência pequena.)

Assim, a figura fica:

Observe na figura o triângulo APB:

A PB=110°(pois é suplemento de 70°).

Portanto, A BP=50 ° (Soma dos ângulos internos do triângulo).

Como A BP=50 ° e A BD=A B P , então

A BD=50 °.

Mas A BD é ângulo inscrito, e, da fórmula já vista:

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AB

CD

P

M

N

AB

CD

PM

N

20°

A BD= AD /2 →AD=100°

Observe que x+ AD=180 ° , pois determinam uma semicircunferência, uma vez que AC é diâmetro.

Dessa forma, x=180 °−100 °=80° .

Obs: é muito importante que você vá acompanhando a resolução enquanto faz o desenho com lápis e papel. Só ler não ajuda a entender o problema!

ProblemasNível I

1)(*)Calcule os valores de x.a) b)

c) d)

2)(*) Calcule os valores de x.

a) b)

c) d)

e) f)

3)(*) Se a corda AB da figura é de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro em C, a medida do ângulo α, em radianos, é:

a)2π3

b)3π2

c)3π4

d)π3

e)π6

4)(*) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. A soma, em radianos, dos ângulos α e β mostrados na figura é:

a)π4

b)π2

c) π d)3π2

e) 2π

Nível II5)(**) Na figura, AB diâmetro da circunferência. O menor dos arcos (AC) mede

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a)100o b)120o c)140o d)150o e) 160o

6) (**)(FUVEST)Os pontos A, B e C pertecem a uma circunferência de centro O. Sabe-se que OA é perpendicular a OB e forma com BC um ângulo de 70o. Então, a tangente a circunferência no ponto C forma com a reta OA um ângulo de:a)10o b)20o c)30o d)40o e) 50o

7)(**) Na figura, determine a medida do ângulo α, sabendo que o arco AB mede 100o e que a corda CD mede R, sendo R o raio do círculo

8)(ITA)(**)Numa circunferência de centro O, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero. Seja D um quarto ponto da circunferência, não coincidente com os demais. Sobre a medida x do ângulo ADC podemos afirmar que:a) 0o <x<30o ou 60o <x<120o

b) x=60o ou x=120o

c) x=45o ou x =150o

d) x=240o para qualquer posição de D na circunferência e) x=30o para qualquer posição de D na circunferência.

9)(**) Sendo, na figura, O o centro da circunferência, AC=10√3 e o raio da circunferencia igual a 10. A medida do ângulo CÂB é:

a) 45o b) 30o c) 75o d) 120o e) 60o

Nível III

10)(***) O pentágono ABCDE ao lado está inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central COD mede 60o. Então x+y mede:

a) 180o b) 185o c) 190o d) 210o e) 250o

11)(***) Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles e BD é a bissetriz do ângulo de vértice B. A medida de θ é:

a) 55o b) 50o c) 45o d) 40o e) 35o

12)(***)(UNICAMP) Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a 24 cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm.a) Calcule a área do triângulo eqüilátero.b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo.

Gabarito1)

a) 35o b) 100o

c) 20o d) 60o

2)a) 35 b) 10o

c) 98o d) 150o

e) 20o f) 20o

3) a4) c5) a

6) d7) 80o

8) b12) b

9) d10) d11) a) 16√3 b)5cm

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BIBLIOGRAFIAIEZZI, Gelson e Pompeu, José. Fundamentos de matemática elementar: Geometria Plana, volume 9, 7a.edição. São Paulo: Atual, 2002

Ja está pra fazer um ano de quando soube que tinha passado no curso e na faculdade que eu sempre sonhei. Dali em diante, foi só alegria (e também muita ralação com os trabalhos da faculdade), mas até hoje quando eu escrevo ‘Universidade Federal de Pelotas’ em algum cabeçalho de prova, eu ainda me pergunto: será um sonho ou tudo que eu estou vivendo é a mais pura realidade? Acredite que não há nada melhor do que dizer: ‘EU PASSEI!’ e trocar sua cidade atual e onde você estuda no facebook! Você está mais perto do que imagina! VAI CASDVEST!

Aline Cristina de MirandaAluna do CASDVest em 2011

Graduanda em Design Digital - UFPel

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