Geometria Analítica

CIRCUNFERÊNCIADEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA

A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS

FICH

A T

ÉCN

ICA FUMEC VIRTUAL - SETOR DE

EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Gestão PedagógicaCoordenaçãoGabrielle Nunes P. AraújoTransposição PedagógicaTâmara Santos Soares

Produção de Design MultimídiaCoordenaçãoRodrigo Tito M. ValadaresDesign MultimídiaPaulo Roberto Rosa JuniorRaphael Gonçalves Porto Nascimento

Infra-Estrututura e SuporteCoordenaçãoAnderson Peixoto da Silva

AUTORIA

Prof. Fernando Henrique

APRESENTAÇÃO

Olá aluno (a), seja bem-vindo (a)! Iniciaremos agora mais uma etapa de estudo. Aqui, você aprenderá conceitos da circunferência e como determinar suas equações. Você

verá que a circunferência possui equações em formas diferentes e entenderá algumas particularidades desta notável curva plana. Espero que você tenha um ótimo aprendizado, mas para isso conto com a sua dedicação! Bons estudos!

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo final deste módulo você será capaz de:

• Definir matematicamente uma circunferência;

• Reconhecer e determinar os elementos de uma circunferência;

• Determinar as equações da circunferência;

• Analisar a posição da circunferência no plano em relação a pontos, retas e outras circunferências.

BELO HORIZONTE - 2013

CIRCUNFERÊNCIA

Definição

A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um conjunto de infinitos pontos de R2. Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a seguinte:

Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são equidistantes de um ponto fixo deste plano.

Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência.

1M

2M

3M

nMr

cP

Qπ

Figura 1

Na figura 01, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um plano π. Os pontos M1, M2, M3, Mn pertencem à circunferência, se a distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio.

dc M1 = dc M2 = dc M3 = dc Mn = r

IMPORTANTE

A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio, portanto, ele não pertence à circunfe-rência, Q é um ponto exterior, assim como o ponto P também não pertence à circunferência, pois sua distância ao centro é menor que o raio, P é um ponto interior.

dc Q > r e dc Q < r

43Circunferência

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIAPara determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu centro e seu raio. Veja a figura 02, está representando no plano cartesiano uma circunferência de centro c (h, k) e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a distância de um ponto qualquer M (x, y) ao centro c (h, k) é igual ao raio r, correto?

r

( ),M x y

( ),c h k

Figura 02

Definição matemática: dcM = r

Então:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

22 2 2

2 2 2

− + − =

− + − =

− + − =

x h y k r

x h y k r

x h y k r Equação da circunferência na forma centro-raio.

Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é relativa-mente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.

Por exemplo, a equação 2

2 2( 3) 175

− + + =

x y representa uma circunferência de

centro 23,5

−

e raio 17 .

Exercício resolvido

Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(–3,4) e o raio r = 6.

Equação centro-raio

2 2 2

2 2

( ) ( )

( 3) ( 4) 36

− + − =

− + − =

x h y k r

x y É a equação pedida, através da qual podemos identificar facilmente o centro e o raio.

44 Circunferência

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Esta é a Equação Geral da circunferência.

A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral, como o desenvolvimento da equação centro-raio. Veja a explicação a seguir:

Seja a equação de centro c (h,k) e raio r2 2 2( ) ( )− + − =x h y k r

Desenvolvendo temos:

2 2 2 2 22 2− + + − + =x hx h y ky k r

Colocando em ordem:

2 2 2 2 22 2 0+ − − + + − =x y kx ky h k r

Fazendo:

2 2 2

22

− =− = + − =

h Dh E

h k r F

Temos:

2 2 0+ + + + =x y Dx Ey F

IMPORTANTE

É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.

Vamos desenvolver a equação do exercício anterior? Então, vamos lá!

Temos:

Esta equação está na forma Geral, não podemos identificar facilmente o centro e o raio ao olhar.

2 2

2 2

2 2

( 3) ( 4) 36

6 9 8 16 36 0

6 8 11 0

+ + − =

+ + + − + − =

+ + − − =

x y

x x y y

x y x y

45Circunferência

Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência

Raio

Centro

λ

Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Podemos fazer isso de duas maneiras:

1º MODO

Seja a equação geral: 2 2 0+ + + + =x y Dx Ey F

Para identificar o centro e o raio na equação apresentada utilizaremos os coeficientes D, E e F.

Centro: c (h,k)

22

2 ,2 2 2

= − ⇒ = −

= − ⇒ = − ∴ − −

DD h h

E D EE k k C

Raio: r2 2 2

2 22

2 22

2 2 2 22

2 2

4 44 4

4 2

= + −

= − + − −

= + −

+ − + −= ∴ =

F h k r

D Er F

D Er F

D E F D E Fr r

46 Circunferência

Obs:

se ( )2 2D E 4F 0+ − < ⇒ ∃⁄ circunferência (conjunto vazio)

se ( )2 2D E 4F 0+ − = ⇒ a circunferência é apenas um ponto

se ( )2 2D E 4F 0+ − > ⇒ a circunferência é real

Confira agora o exercício resolvido referente a este 1º modo de identificar o centro e o raio da circunferência. Veja como é fácil!

Exercício resolvido

Dada a equação da circunferência, 2 2 3 6 7 0+ − + − =x y x y , identifique o centro e o raio.

,2 2

3 6,2 2

3 , 32

− −

− − −

−

D EC

C

C

2 2 42

9 36 4 ( 7)2

9 36 282

732

+ −=

+ − × −=

+ +=

=

D E Fr

r

r

r

2º MODO

Podemos identificar o centro e o raio na equação geral de uma circunferência utilizando a técnica de “completar quadrados”. Isso equivale a, simplesmente, transformar a equação da forma geral para a forma centro-raio.

Quer um exemplo? Então pense em um quadrado perfeito, cuja expressão da

forma 2 22+ +a ab b pode ser reduzida para a forma 2( )+a b , isto quer dizer que, 2 2 22 ( )+ + = +a ab b a b . Vou usar a equação 2 2 4 6 3 0+ + − − =x y x y para exempli-

ficar esse processo.

Podemos reescrever a equação acima dessa forma:

2 24 6 3+ + ⋅⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ =x x y y

ATENÇÃO

Nos espaços pontilhados devemos inserir números com o objetivo de transformar o lado esquerdo da equação em uma soma de “quadrados perfeitos”, no caso desse nosso exemplo, esses números são 4 e 9 respectivamente.

A equação então ficará assim: 2 24 4 6 9 3 4 9+ + + − + = + +x x y y , note que ao somar 4 e 9 do lado esquerdo da equação tivemos que somar 4 e 9 também do lado direito, fizemos isto para não alterar o valor da equação.

Feito isso podemos concluir que 2 24 4 ( 2)+ + = +x x x e que 2 26 9 ( 3)− + = −y y y e ainda que 3 + 4 + 9 = 16. Então, a equação pode ser escrita na forma centro-raio

2 2( 2) ( 3) 16+ + − =x y , onde podemos identificar facilmente que o centro é o ponto (–2, 3) e o raio é 4.

47Circunferência

POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO

Posição relativa em relação a um pontoUm ponto P do plano em relação a uma circunferência pode ser:

• Interior à circunferência, quando a distancia de P ao centro C da circunferência for menor que o raio r, ou seja, dPC < r ;

• Pertencer à circunferência, quando a distância de P ao centro C for exatamente igual ao raio r, isto quer dizer que, dPC = r ;

• Exterior à circunferência, quando a distância de P ao centro C for maior que o raio r, assim, dPC > r .

Para verificar a posição relativa de um ponto P em relação a uma circunferência, ou seja, verificar se o ponto P é interior, pertence, ou é exterior à circunferência, basta calcular a distância de P ao centro da circunferência. Você se lembra da fórmula para calcular a distância entre dois pontos?

Então, para gravar, se a distância entre o ponto P e o centro C da circunferência der um valor menor que o raio, o ponto será interior: dPC < r. Agora, se a distância de P ao centro C for exatamente igual ao raio, o ponto pertencerá à circunferência: dPC = r . E, se a distância de P ao centro C for um número maior que o raio o ponto será exterior à circunferência: dPC > r. Para fixar estas informações vamos ver o exercício resolvido a seguir.

Exercício resolvido

Verificar a posição relativa entre a circunferência 2 2 2 2 7 0+ + + − =x y x y e os pontos A(–2,2), B(1,1) e D(–4,–1).

48 Circunferência

Antes de mais nada, usando as fórmulas que já vimos, podemos concluir que o centro da circunferência é o ponto C(–1,–1) e seu raio é 3. Então, vamos calcular a distância do ponto A ao centro C:

( )( ) ( )( ) ( )22 2 22 1 2 1 1 3 10 3= − − − + − − = − + = >dAC

Portanto, você pode verificar que o ponto A é exterior à circunferência.

Agora vamos calcular a distância do ponto B ao centro C:

( )( ) ( )( )22 2 21 1 1 1 2 2 8 3= − − + − − = + = >dBC

Note que neste caso o ponto B é interior à circunferência.

E finalmente calcularemos a distância do ponto D ao centro C:

( )( ) ( )( ) ( )22 2 24 1 1 1 3 0 9 3= − − − + − − − = − + = =dDC

Com base nesses cálculos veja que o ponto D pertence à circunferência.

Posição relativa em relação a uma retaUma reta r do plano em relação a uma circunferência pode ser:

• Secante à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta r for menor que o raio, ou seja, dC, reta < r ;

• Tangente à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta for exatamente igual ao raio, ou seja, dC, reta = r ;

• Exterior à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta for maior que o raio, ou seja, dC, reta > r.

49Circunferência

Para verificar a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência, ou seja, verificar se a reta r é secante, tangente, ou é exterior à circunferência, basta calcular a distância do centro C da circunferência à reta. Agora eu pergunto a você, qual é a fórmula utilizada para calcular a distância entre ponto e reta?

Então, para gravar, se a distância entre o centro C da circunferência e a reta r der um valor menor que o raio, a reta será secante: dC, reta < r . Mas, se a distância do centro C à reta for exatamente igual ao raio, a reta será tangente à circunferência: dC, reta = r. Agora, se a distância do centro C à reta for um número maior que o raio a reta será exterior à circunferência: dC, reta > r . Para fixar estas informações vamos ver o exercício resolvido a seguir.

Exercício resolvido

Vamos verificar a posição relativa entre a circunferência 2 2 2 6 0+ − + =x y x y em cada uma das retas:

a) 3x + y – 10 = 0b) 3x + 4y – 6 = 0c) 3x – 4y + 5 = 0

Acompanhe as resoluções, lembrando que o centro da circunferência é o ponto C (1,–3) e o raio é 10 . A distância do centro da circunferência e a reta pode ser calculada com

a fórmula, 0 0

2 2

+ +=

+

ax by cdPR

a b.

Letra a: ( )

( )3 1 1 3 10 10 10 10

9 1 10

⋅ + ⋅ − −= = = =

+dC, reta raio

Portanto a reta é tangente à circunferência.

Letra b: ( )( )

3 1 4 3 6 15 3 1059 16

⋅ + ⋅ − −= = = <

+dC, reta raio

Portanto a reta é secante à circunferência.

Letra c: ( )

( )3 1 4 3 5 20 4 10

59 16

⋅ − ⋅ − += = = >

+dC, reta raio

Portanto a reta é exterior à circunferência.

Bom, caro(a) aluno(a), existe outra maneira de verificar a posição relativa entre uma circunferência e uma reta que vale a pena ser vista.

a

50 Circunferência

Quando uma reta é secante a uma circunferência, significa que a reta intercepta a circun-ferência em dois pontos, ou seja, existirão dois pontos de interseção entre a reta e a circunferência:

Quando uma reta é tangente a uma circunferência, só haverá um ponto em comum entre as duas curvas, ou seja, apenas um ponto de interseção:

E quando a reta é exterior à circunferência não existirão pontos de interseção:

Sabendo disso, podemos determinar a posição entre as duas curvas, resolvendo um sistema com as equações de ambas, pois a solução de um sistema de equações nos fornece os pontos em comum às duas curvas. Encontrando duas soluções para o sistema, ou seja, dois pontos de interseção, a reta será secante à circunferência. Encontrando apenas uma solução para o sistema, a reta será tangente, com um ponto de interseção, e caso o sistema não tenha solução a reta será exterior à circunferência, e isto significa que não há ponto de interseção. Acompanhe mais um exercício resolvido e veja a determinação dos pontos de interseção dos exemplos a seguir.

Exercício resolvido

Para determinar os pontos de interseção da reta 5 0+ − =x y com a circunferência 2 2 2 4 1 0+ − − + =x y x y . Montamos o sistema com as equações das duas curvas:

2 2

5 02 4 1 0

+ − =

+ − − + =

x yx y x y

Explicitando o y na equação da reta e substituindo-o na equação da circunferência tere-

mos 2 2(5 ) 2 4(5 ) 1 0+ − − − − + =x x x x , e após simplificar será assim 2 4 3 0+ + =x x ,

lembrando que esta é uma equação do 2º grau.

51Circunferência

Calculando o discriminante “delta” desta equação, podemos final-mente saber a posição da reta em relação à circunferência, então:

2 4∆ = −b ac4 0∆ = >

Se 0∆ > a reta é secante à circunferência, pois a equação do 2º terá duas raízes e, consequentemente, o sistema terá duas soluções (dois pontos de interseção).

OBSERVAÇÃO

Caso encontremos ∆ = 0 concluiremos que reta é tangente à circunferência (uma solução), mas caso encontremos ∆ < 0 concluiremos que a reta é exterior à circunferência (sistema sem solução).

CIRCUNFERÊNCIA QUE PASSA POR TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES

Caro(a) aluno(a), você sabia que por três pontos quaisquer, não colineares (que não pertencem à mesma reta) sempre passa uma circunferência? Em outras palavras, sempre será possível determinar a equação de uma circunferência que passa por três pontos de um plano, desde que eles não sejam colineares.

Vou mostrar aqui três maneiras diferentes de determinar a equação de uma circunferência que passa por três pontos não colineares.

1ª maneiraObserve a figura:

PQ

R

52 Circunferência

Com os pontos P e Q definimos uma corda na circunferência, então o segmento PQ será uma corda, e com os pontos QR definimos outra corda QR.

PQ

R

Após desenhar as cordas PQ e QR encontramos os pontos médios das mesmas MPQ e MQR.

PQ

R

PQM

QRM

Traçamos então as retas mediatrizes dos segmentos PQ e PR.

Determinamos as equações dessas retas mediatrizes usando o ponto médio dos segmentos. Para determinar o coeficiente angular da mediatriz do segmento PQ, basta calcular o coeficiente angular de PQ e aplicar a regra do perpendicularismo, isto é, inverter e trocar o sinal. Idem para o coeficiente angular da mediatriz de QR.

mediatriz de PQ

mediatriz de PQ

PQ

R

As mediatrizes dos segmentos PQ e PR se interceptarão exatamente no centro C da circunferência. Então, para determinar o centro C da circunferência, resolvemos um siste-ma com as equações das mediatrizes.

PQ

R

Cr

Mediatriz É a reta que é perpendicular a um segmento traçada pelo seu ponto médio.

53Circunferência

IMPORTANTE

Determinando o centro, podemos calcular a distância deste centro C a qualquer ponto da circunferência que teremos o raio, por exemplo, o raio será a distância do centro C ao ponto P. Com o centro e o raio podemos, finalmente, determinar a equação da circunferência utilizando a fórmula que já deduzimos.

2ª maneiraPodemos determinar a equação de uma circunferência quando conhecemos o centro e o raio, então, é possível afirmar que quando conhecemos três pontos que pertencem à circunferência, é possível encontrar o centro da mesma resolvendo um sistema de equa-ções? É isto que você verá a seguir.

( ),P a b( ),Q c d

( ),C x y( ),R e f

Sabemos por definição que, a distância do centro C ao ponto P é igual à distância do centro C ao ponto Q, dCP = dCQ , e que a distância do centro C ao ponto P é igual à distância do centro C ao ponto R, dCP = dCR. Assim, podemos determinar as coorde-nadas do centro C resolvendo o sistema:

= =

dCP dCQdCP dCR

Encontrado o centro podemos calcular a distância do mesmo a qualquer ponto e teremos o raio r, por exemplo, r = dCP. Com o centro e o raio podemos finalmente determinar a equação da circunferência utilizando a fórmula que já deduzimos.

3ª maneira

Sabemos que a equação geral da circunferência é: 2 2 0+ + + + =x y Dx Ey F . Desta forma, se conhecemos três pontos que pertencem à circunferência, por exemplo, A(a1, a2 ), B(b1, b2 ) e C(c1, c2 ), podemos substituir cada um deles na equação geral acima e resolver um sistema de três equações para determinar os números D, E e F, assim, obteremos a equação da circunferência que contém os pontos A, B e C. Vejamos:

2 21 2 1 22 2

1 2 1 22 21 2 1 2

0

0

0

+ + + + =

+ + + + = + + + + =

a a a D a E Fb b b D b E Fc c c D c E F

Então aluno(a), chegamos ao final de mais um módulo. Há alguma dúvida sobre os elementos da circunferência e suas equações? Minha dica é que você pesquise um pouco mais sobre esse assunto na internet ou na bibliografia de referência. Que tal também estudar sobre as características reflexivas destas curvas e das curvas cônicas? São conceitos importantes para o estudo da Geometria Analítica. Bons estudos!

54 Circunferência

55

Síntese

Neste módulo você aprendeu a definição de uma circunferência no plano, viu que para determinar a equação de uma circunferência é necessário conhecer seu centro e seu raio. Você também compreendeu quais são os tipos de equações da circunferência e estudou sua posição no plano em relação a pontos e a retas.

Referências

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática – Campinas: Editora da Unicamp, 1997.

JÚDICE, Edson Durão. Elementos de Geometria Analítica – Belo Horizonte: Sistema Pitágoras de Ensino, 1976, 2ª edição.

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 2000.