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Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES
CIRCUITOS RC E RL INTEGRADORES E DIFERENCIADORES. RESPOSTA ÀS FUNÇÕES SINGULARES.
CAPITULO 06
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
Professor Silvio Lobo Rodrigues 2
6.1 INTRODUÇÃO Destina-se o presente capítulo ao estudo da resposta a uma excitação de entrada dos circuitos RC e RL. Abordaremos inicialmente os circuitos RC e RL atuando como filtros passa-baixa e passa-alta bem como as condições em que atuam como circuitos integradores e diferenciadores. O passo seguinte destina-se ao estudo da resposta às principais funções singulares, tais como o degrau unitário, o impulso unitário, a rampa e o dublê unitário. 7.2 CIRCUITO PASSA-ALTA
Um circuito é dito passa-alta quando as componentes de alta freqüência da função de excitação vs(t) ou is(t) são menos atenuados do que as de baixa freqüência. No caso extremo, CC(freqüência nula), o sinal é completamente suprimido e ausente na saída. Circuitos passa-alta são, pois, eliminadores de corrente contínua. Como primeiro exemplo, observemos o circuito da figura 6.1, no qual o capacitor C é um circuito aberto para baixas freqüências.
Figura 6.1 - Circuito passa-alta RC.
Façamos a análise matemática do circuito usando a lei de Kirchhoff de tensão:
(6.1) A constante de tempo do circuito é:
(6.2) Em termos da corrente i(t):
S c ov v v= += += += +
s
s o o
1v i dt RiC1 1v Ri dt Ri v dt v
RC
= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +
= ⋅ + = ⋅ += ⋅ + = ⋅ += ⋅ + = ⋅ += ⋅ + = ⋅ +γγγγ
∫∫∫∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
RC sγ =γ =γ =γ =
vs(t)
vC
vo(t) i(t)
C
+
+
-
-
R
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Derivando a igualdade: Utilizando a linearidade: Quando vs>>vo (6.3)
(6.4) Logo. Se a tensão de entrada vs >> vo teremos a saída vo(t) proporcional à derivada da entrada. Esta condição será satisfeita quando quase toda tensão de entrada estiver sobre o capacitor. A condição física necessária é que R e C tenham valores pequemos, tais que, a constante de tempo RC do circuito, seja muito menor que o período T da tensão de entrada. Em temos práticos, considera-se:
(6.5) Um circuito passa-alta sendo utilizado nestas condições é um circuito diferencial.
Um outro exemplo de circuito passa-alta pode ser observado na digura 6.2.
Figura 6.2 – Circuito RL passa-alta.
A constante de tempo é:
(6.6)
T 10 ou T 10RC ≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥
s R ov v v= += += += +
LR
γ =γ =γ =γ =
(((( ))))
s oo
s oo
dv dv1 vdt dt
dv dvv tdt dt
= += += += +γγγγ
= γ −= γ −= γ −= γ −
(((( )))) (((( ))))s o so
d v v vv t
dt−−−−
= γ= γ= γ= γ
(((( )))) so
dvv tdt
≅= γ≅= γ≅= γ≅= γ
vs(t) L
R
-
+
vo(t)
i(t)
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Como: Então:
Derivando:
Usando a linearidade: Quando vs >> vo:
(6.7) Logo, se a tensão de entrada vs>>vo, teremos a saída vo(t) proporcional à derivada da entrada. Esta consição será satisfeita quando quase toda tensão de entrada estiver sobre o resistor. A condição física necessária é que L/R seja pequeno, isto é, a constante de tempo do circuito
seja muito menor que o período da tensão de entrada. Em termos práticos considera-se:
(6.8) Um circuito RL passa-alta usado nestas condições é um circuito diferenciador.
(((( )))) o1i t v dtL
==== ∫∫∫∫
s o o o oR 1v v dt v v dt vL
= + = += + = += + = += + = +γγγγ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
(((( )))) s oo
dv dvv tdt dt
= γ −= γ −= γ −= γ −
LT 10 ou T 10R
≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥
(((( ))))s ov R i t v= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +
(((( )))) (((( ))))s oo
d v vv t
dt−−−−
= γ= γ= γ= γ
(((( )))) so
dvv tdt
= γ= γ= γ= γ
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6.3 CIRCUITOS PASSA-BAIXA Um circuito é dito passa-baixa quando as componentes de baixa freqüência da função de
excitação vs(t) ou is(t) são menos atenuadas do que as alta freqüência. Como primeiro exemplo observemos o circuito da figura 7.3,
Figura 6.3 – Circuito RL passa-baixa.
Pela lei de Kirchhoff de correntes:
(6.9) Porém: Logo:
Para is >> io:
(6.10)
(6.11)
Nestas condições a saída é proporcional à integral da entrada do circuito.
s R o
os o
i i ivi iR
= += += += +
= += += += +
oo
div Ldt
====
oo o
oo s
diLi iR dt
di Li i =dt R
= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +
− = γ γ− = γ γ− = γ γ− = γ γ
(((( ))))
os
t
o s0
diidt
1i i t dt
≅ γ≅ γ≅ γ≅ γ
====γγγγ ∫∫∫∫
is(t) iR io vo
+
-
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Para que is >> io a maior parte da corrente tem que estar sobre o resistor. A condição física necessária é que a constante de tempo do circuito tenha um valor vem maior que o período do circuito.
Em termos práticos podemos considerar que a saída é proporcional à integral da entrada durante todo o período da onda de entrada quando:
(6.12)
Nestas condições o circuito age como integrador. O circuito é chamado passa-baixa porque o indutor oferece baixa reatância às correntes de
baixa freqüência e dificulta a passagem das correntes de alta freqüência. Outro exemplo de circuito passa-baixa pode ser observado na figura 6.4.
Figura 6.4 – Circuito RC passa-baixa. Quando vs >> vo : Então: Logo, a saída é proporcional à integral da entrada. Para que vs>>vo quase toda a tensão da fonte
deve estar aplicada no resistor.
L10T ou 10TR
γ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥
s R o
s o
os o
os o
v v vv Ri v
dvv RC v RCdx
dvv vdx
= += += += += += += += +
= + γ == + γ == + γ == + γ =
− = γ− = γ− = γ− = γ
o s1v v dt====γγγγ ∫∫∫∫
os
dvvdx
≅ γ≅ γ≅ γ≅ γ
vs(t) vo(t)
vR + -
-
+ R
C
x(t)
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Isto será possível se a constante de tempo do circuito for elevada em relação ao período da onda de entrada.
Em termos práticos:
(6.13) Nestas condições, o circuito age como integrador durante todo o período da onda de entrada. O circuito é chamado passa-baixa porque o capacitor oferece alta reatância às correntes de
baixa freqüência e dessa forma desenvolve sobre si quase toda a tensão da fonte. OBS: Para maiores informações sobre os itens 6.2 e 6.3, ver TÉCNICAS DE PULSOS de
Contantine H. Houpis, e Jerzy Lubelfeld, CAPÍTULO 1. EX1. Para o circuito abaixo C = 1µF, R = 1 MΩ e o período da forma de onda de entrada é T = 1s. Para esses valores , o circuito age como um passa-alta diferenciador satisfatório? Solução: A constante de tempo do circuito é
4 6 2cT RC 10 x10 10 segundos− −− −− −− −= = == = == = == = =
Assim,
c2c
T 1 100 ou T 100TT 10−−−−= = == = == = == = =
Portanto, a condição T >> Tc, para um circuito passa-alta satisfatório, foi conseguida.
10T ou RC 10Tγ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥
C
R vi(t) vo
+
-
- + vc
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EX2. a) Para o circuito abaixo, C = 10µF, R = 1 MΩ e o período da forma de onda de entrada é T = 1s. O circuito age como um passa-alta diferenciador satisfatório?
b) Repita (a) para R = 1 0kΩ.
Solução: a) Constante de tempo do circuito é
6 5cT RC 10 x10 10 segundos−−−−= = == = == = == = =
ou,
cc
T 1 0,1 ou T 0,1TT 10
= = == = == = == = =
A condição T >> Tc, para a operação satisfatória não foi alcançada. b) Constante de tempo do circuito agora se torna
4 5cT RC 10 x10 0,1 segundos−−−−= = == = == = == = =
ou,
cc
T 1 10 ou T 10TT 0,1
= = == = == = == = =
A condição T ≥ 10 Tc foi satisfeita no limite para a operação como passa-alta.
C R ii(t)
io iR +
vo
-
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EX3. Para o circuito abaixo, L = 100mH, R = 1kΩ e o período da forma de onda da entrada é T = 0,5s. O circuito age como um passa-alta integrador satisfatório?
Solução: a) Constante de tempo do circuito é
2
4c 3
L 10T 10 segundosR 10
−−−−−−−−= = == = == = == = =
ou,
3c4
c
T 0,5 5x10 ou T 5000TT 10−−−−= = == = == = == = =
A condição T >> Tc, para a operação como passa-alta diferenciador é alcançada.
EX4. a) Para o circuito abaixo, C = 1µF, R = 10kΩ e o período da forma de onda de entrada é T = 1s. O circuito age como um passa-baixa diferenciador satisfatório?
c) Repita (a) para C = 10µF, R = 1MΩ.
Para ser diferenciador a maior parte da tensão deve estar no resistor e isto acontece quando T << Tc.
R L ii(t) vo
+
-
iL io
R
C vi(t) vo
vR + -
-
+
i(t)
1
i R o
i o
oi o
oi o
i o
oi
io
v = v + vv = R.i +v
dvv = R.C + vdt
dvv - v = dt
v vdvvdtdvvdt
Se
γ
γ
γ
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Solução: a) Constante de tempo do circuito é
4 6 2cT RC 10 x10 10 segundos− −− −− −− −= = == = == = == = =
ou,
2c2
c
T 1 100 ou T 10 TT 10
−−−−−−−−= = == = == = == = =
Como Tc ≥ 10 T, a condição para a operação satisfatória como passa-baixa não foi alcançada. b) Constante de tempo do circuito agora se torna
6 5cT RC 10 x10 10 segundos−−−−= = == = == = == = =
ou,
cc
T 1 0,1 ou T 10TT 10
= = == = == = == = =
Portanto, a condição Tc ≥ 10 T para a operação satisfatória como passa-baixa diferenciador foi alcançada. EX5. a) Para o circuito abaixo, L = 0,01H, R = 100Ω e o período da forma de onda da entrada é T = 1µs. O circuito age como um passa-baixa satisfatório? b) Qual é o maior valor que o período da forma de onda de entrada pode ter e ainda manter uma operação satisfatória como passa-baixa?
L R ii(t) vo
+
-
iR iL
1
0
1
i R o
oi o
oi o
oi o
i o
oi
o i
i = i + ivi = + i R
di Li = + iR dt
dii - i = dt
i idiidt
i i dt
Se
γ
γ
γ ∫
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Para ser integrador a maior parte da corrente deve estar sobre o resistor. Isto acontece se γ >> T. Solução: a) Constante de tempo do circuito é
2
4c
L 10T 10 segundosR 100
−−−−−−−−= = == = == = == = =
ou,
6
2c4
c
T 10 10 ou T 100TT 10
−−−−−−−−
−−−−= = == = == = == = =
A condição Tc = 10T para a operação como passa-baixa foi alcançada. b) O maior valor que o período da forma de onda de entrada pode ter para operação satisfatória é
4
5cmáx
T 10T 10 10 s10 10
−−−−−−−−= = = = µ= = = = µ= = = = µ= = = = µ
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6.4 O DEGRAU UNITÁRIO
A função degrau é por definição uma função que e nula para todos os valores de seu argumento
que sejam menores do que zero e que é 1(um) para todos os valores positivos do argumento.
Figura 6.5 – Degrau Unitário.
(6.14) Para t = 0 u(t) muda de 0 para 1 e seu valor não é definido. Porém, em t = 0-, u(0-) = 0 e em t
= 0+, u(0+) = 1. Um degrau retardado no tempo de to segundos é representado por:
(6.15)
Figura 6.6 – Degrau retardado no tempo. Um degrau adiantado no tempo de to segundos é representado por:
(6.16)
(((( )))) 0 t 0u t
1 t 0<<<<==== >>>>
(((( )))) o oo
o o
0 t t 0 t tu t t
1 t t 0 t t− < ⇒ <− < ⇒ <− < ⇒ <− < ⇒ <
− =− =− =− = − > ⇒ >− > ⇒ >− > ⇒ >− > ⇒ >
(((( )))) o oo
o o
0 t t 0 t tu t t
1 t t 0 t t+ < ⇒ < −+ < ⇒ < −+ < ⇒ < −+ < ⇒ < −
+ =+ =+ =+ = + > ⇒ > −+ > ⇒ > −+ > ⇒ > −+ > ⇒ > −
1 u(t)
t
1
t t0
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Figura 6.7 – Degrau adiantado no tempo. Um degrau com argumento negativo tem uma configuração invertida.
(6.17)
Figura 6.8 – Degrau invertido. Como exercício obtenha os gráficos para: A função degrau quando multiplicada com qualquer outra função tem uma função de
apagamento para t < 0. Como por exemplo:
Figura 6.9 – Exemplo de aplicação do degrau como função pagamento.
(((( )))) 0 -t 0 t 0u t
1 -t 0 t 0< ⇒ >< ⇒ >< ⇒ >< ⇒ >− =− =− =− = > ⇒ <> ⇒ <> ⇒ <> ⇒ <
(((( ))))(((( ))))
a) u 2 t
b) u 2 t
− −− −− −− −
−−−−
(((( )))) 2x t t==== (((( )))) (((( )))) (((( ))))f t u t x t= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
1
t -t0
1
t
x(t) f(t)
t t
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Outra aplicação importante da função degrau é a obtenção de outras formas de onda pela soma e subtração de degraus. Vejamos dois exemplos:
Figura 6.9 – Subtração de degraus.
Figura 6.10 – Soma e subtração de degraus.
(((( )))) (((( )))) (((( ))))f t u t u t 2= − −= − −= − −= − −
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x t 5u t 2u t 2 3u t 4 u t 5= − − − − + −= − − − − + −= − − − − + −= − − − − + −
t t t
1
-1
2 2
1
u(t) -u(t-2) f(t)
5
4
3
2
1
5 6 4 3 2 1 t
x(t)
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6.5 RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CKT RL
Vamos considerar agora um circuito série RL ao qual é aplicada uma tensão Vu(t).A corrente inicial no indutor é nula.
Figura 6.11 – Aplicação do degrau ao CKT RL série.
(6.18)
i(t) = 0 para t < 0 Para t > 0: A resposta em corrente terá duas componentes, uma natural, e outra forçada, uma vez que o
indutor não permite uma variação instantânea de corrente:
(6.19) A componente natural para um CKT RL já é nossa conhecida e podemos escrever:
(6.20) A componente forçada é fácil de ser obtida e podemos escrever até por simples inspeção uma
vez que após algum tempo a corrente sobre o indutor será um curto.
(6.21)
(((( )))) diVu t Ri Ldt
= += += += +
diV Ri Ldt
= += += += +
(((( )))) n fi t i i= += += += +
R tL
ni Ae−−−−
====
fViR
====
v
i(0) = 0
t = 0 R
L L
R
v.u(t) i(t)
i(t)
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A solução completa é: Aplicando a condição inicial i(0) = 0:
(6.22) Então:
(6.23)
Figura 6.12 – Resposta ao degrau de um circuito RL.
6.6 RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CKT RC Consideremos o CKT da figura 6.13.
Figura 6.13 – Circuito RC excitado por um degrau.
(((( ))))R tL Vi t Ae
R−−−−
= += += += +
V V0 A AR R
= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −
(((( )))) (((( ))))R tLVi t 1 e t
R−−−−
= − µ= − µ= − µ= − µ
i(t)
t
V0,632R
VR
γ 4γ
R C I.u(t)
iR iC
v(t)
+
- v(0)=0
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(6.24) Para t < 0 v(t) = 0. Para t > 0:
(6.25) A tensão v(t) será obtida pela soma de duas componentes: A solução natural é obtida por:
(6.26) A solução forçada é obtida por inspeção uma vez que após algum tempo toda a corrente estará
sobre o resistor.
(6.27) A solução completa: Aplicando a condição inicial v(0) = 0:
(6.28) Logo:
(6.29)
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))R cI t i i
v t dv tI t C
R dt
µ = +µ = +µ = +µ = +
µ = +µ = +µ = +µ = +
(((( )))) (((( ))))v t dv tI C
R dt= += += += +
(((( )))) n fv t v v= += += += +
tRC
nv Ae−−−−
====
fv R I= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
(((( ))))t
RCv t Ae R I−−−−
= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅
0 A R I A R I= + ⋅ ⇒ = − ⋅= + ⋅ ⇒ = − ⋅= + ⋅ ⇒ = − ⋅= + ⋅ ⇒ = − ⋅
(((( )))) (((( ))))t
RCv t RI 1 e t−−−−
= − µ= − µ= − µ= − µ
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Figura 6.14 – R
6.7 OUTRAS FUNÇÕES SINGULAR 6.7.1 Função Pulso P∆(t)
Figu Observe que a função pulso possu
da função no limite quando ∆ 0. Em termos da função degrau pod
(((( ))))0 t 01p t 0 t
0 t ∆∆∆∆
<<<<
< < ∆< < ∆< < ∆< < ∆ ∆∆∆∆> ∆> ∆> ∆> ∆
(((( )))) (((( )))) (((( ))))u t u tp t∆∆∆∆
− − ∆− − ∆− − ∆− − ∆====
∆∆∆∆
v(t)
t
0,632.RI
RI
γ 4γ
esposta ao degrau de um CKT RC.
ES
(6.30)
ra 6.15
i área un
emos aind
1/∆
p∆(t)
∆– Função Pu
itária qualqu
a definir a fu
t
18
lso.
er que seja ∆. Observe o comportamento
nção pulso como:
(6.31)
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6.7.2 Impulso Unitário δ(t) É também chamado de função delta-Dirac. Não é uma função no sentido matemático do termo. É definido como:
(6.32) A singularidade é tal que:
(6.33) Veja que a área sob a curva é unitária.
Figura 6.16 – Impulso Un Intuitivamente nós podemos pensar que a função im
∆ 0. Isto equivale a um pulso de amplitude infinita e duraçFisicamente podemos pensar que δ(t) representa a d
unitária localizada em t = 0. Da definição de δ(t) e u(t) conclui-se que:
Logo:
(((( )))) 0 t 0t
singular em t 0≠≠≠≠δ =δ =δ =δ = ====
(((( ))))t dt 1 0+ε+ε+ε+ε
−ε−ε−ε−εδ = δ >δ = δ >δ = δ >δ = δ >∫∫∫∫
(((( )))) (((( ))))du tt
dt= δ= δ= δ= δ
(((( )))) (((( )))) tu t t dt
−∞−∞−∞−∞= δ= δ= δ= δ∫∫∫∫
δ(t)
t
1
19
itário.
pulso é a função pulso no limite quando ão instantânea. ensidade de carga de uma carga puntal
(6.34)
(6.35)
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6.7.3 Rampa Unitária A rampa unitária é definida como:
(6.36)
Figura 6.17 – Rampa Unitár
Uma conclusão imediata pode ser retirada da equação de
Logo:
6.7.4 Dublê Unitário É uma função singular definida como:
A singularidade é tal que:
Ou ainda:
(((( )))) (((( ))))r t tu t====
(((( )))) (((( ))))dr tu t
dt====
(((( )))) (((( )))) tr t u t dt
−∞−∞−∞−∞==== ∫∫∫∫
(((( ))))' 0 t 0t
singular em t 0≠≠≠≠δ =δ =δ =δ = ====
(((( )))) (((( )))) t 't t dt−∞−∞−∞−∞
δ = δδ = δδ = δδ = δ∫∫∫∫
(((( )))) (((( ))))' d tt
dtδδδδ
δ =δ =δ =δ =
r(t)
t1
1
20
ia.
definição:
(6.37)
(6.38)
(6.39)
(6.40)
(6.41)
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Figura 6.18 – D
6.8 RESPOSTA AO IMPULSO δ(t) Existem três métodos práticos para obten
DESOER). O mais poderoso, entretanto, consiste em s
derivação obter-se a resposta ao impulso. Já vimos que:
Denotando por h(t) a resposta ao impulso d
de tensão ou corrente, temos por extensão da propri
6.9 RESPOSTA AO IMPULSO PARA UM CKT
Consideremos o circuito RL da figura 6.19 a
Figura 6.19 – Impulso
(((( )))) (((( ))))du tt
dtδ =δ =δ =δ =
(((( )))) (((( ))))ds th t
dt====
vδ(t)
i(t
R
ublê Unitário
ção da respos
e obter primei
e tensão ou coredade para um
RL
o qual é aplica
aplicado a CK
(((( ))))' tδδδδ
)
L
t
21
.
ta ao impulso. (ver capítulo 4.6 –
ramente a resposta ao degrau e por
(6.42)
rente e por s(t) a resposta ao degrau CKT linear:
(6.43)
do um impulso de tensão Vδ(t).
T RL.
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A resposta ao degrau de amplitude V obtida para o mesmo CKT RL, foi: A resposta ao impulso Vδ(t) será, pois: A segunda parcela é identicamente nula uma vez que δ(t) só existe em t = 0 e neste instante
(1-e-(R/L)t) = 0. Então,
(6.44)
Figura 6.20 – Resposta ao impulso CKT RL. Para um impulso unitário V = 1:
(6.45)
(((( )))) (((( )))) (((( ))))R tLVi t s t 1 e u t
R−−−−
= = −= = −= = −= = −
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))R Rt tL L
ds t V Vi t h t e u t 1 e tdt L R
− −− −− −− − = = = + − δ= = = + − δ= = = + − δ= = = + − δ
(((( )))) (((( )))) (((( ))))R tLVi t h t e u t
L−−−−
= == == == =
(((( )))) (((( ))))R tL1h t e u t
L−−−−
====
h(t)
t
V/L
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6.10 RESPOSTA AO IMPULSO PARA UM CKT RC
Consideremos o circuito RC da figura 6.21 ao qual é aplicado um impulso de corrente Iδ(t).
Figura 6.21 – Impulso aplicado a um CKT RC. A resposta ao degrau de amplitude I obtida para o mesmo CKT RC, foi: A resposta ao impulso Iδ(t) será, pois: O segundo membro é identicamente nulo. Teremos então:
(6.46) Para um impulso unitário I = 1:
(6.47)
Figura 6.22 – Resposta ao impulso CKT RC.
(((( )))) (((( )))) (((( ))))t
RCv t s t RI 1 e u t−−−−
= = −= = −= = −= = −
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))t t
RC RCds t Iv t h t e t RI 1 e t
dt C− −− −− −− −
= = = µ + − δ= = = µ + − δ= = = µ + − δ= = = µ + − δ
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))t
RCds t Iv t h t e u t
dt C−−−−
= = = ⋅= = = ⋅= = = ⋅= = = ⋅
(((( )))) (((( ))))t
RC1v t e u tC
−−−−= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
iδ(t)
R
C
v
+
-
I/C
t
h(t)
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Veja ainda capítulo 4 TEORIA BÁSICA DE CIRCUITOS – Charles Dosoer e Ernest Kuh, tabela 4.1, página 142 do livro em português.
6.11 RESPOSTA À RAMPA – CIRCUITOS RL E RC Para obtenção da resposta a uma rampa r(t) na entrada, escrevem-se as equações de malha ou
de nó para os circuitos RL e RC e resolve-se a equação diferencial, pelos métodos normais de solução. Veja exemplo a seguir.
Vamos determinar à resposta a rampa para o circuito RL da figura 6.23 considerando que a corrente inicial no indutor em t = 0 é 3A.
Figura 6.23 – Exemplo circuito RL. A equação de malha fornece:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
n f
20tn
f 1 2
1 2 1
1
2 1
1 2
f20t
di t3tu t 10i t 0,5
dti t i i
i AePara t 0
di t3t 10i t 0,5
dti K t K3t 10 K t K 0,5 K3 10K0 10K 0,5KK 0, 3 K 0,015i 0, 3t 0,015i t Ae 0,3t 0,015
−−−−
−−−−
= += += += +
= += += += +
====>>>>
= += += += +
= += += += +
= + + ⋅= + + ⋅= + + ⋅= + + ⋅ ===== += += += += = −= = −= = −= = −= −= −= −= −
= + −= + −= + −= + −
3.r(t)
10Ω
0,5H
i(t)
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Aplicando a condição inicial i(0) = 3A:
6.12 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1. Para o circuito abaixo determine a resposta i(t), i1(t), i2(t) e v(t) sendo i2(0) =0. Solução: Aplicando (1) em (2):
(((( ))))(((( ))))
20t
3 A 0,015A 3,015i t 3,015e 0,3t 0,015 para t 0
i t 3A para t 0
−−−−
= −= −= −= −===== + − ≥= + − ≥= + − ≥= + − ≥
= <= <= <= <
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
1 2
1
22
i t i t i t 1
v t 6i t 2
di tv t 4i t 10 3
dtv t 18 1, 2i t 4
= += += += +
====
= += += += +
= −= −= −= −
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
2
2
v t 6 i t i t
v t 6i ti t 5
6
= −= −= −= −
++++====
i1(t)
i2(t)
i(t)
1Ω
5Ω
4Ω
10H
1,2Ω
v(t)
18u(t)
+
-
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Substituindo (5) em (4): Levando a equação (6) na equação (3): Aplicando a condição inicial:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
2
2
2
2
v t 6i tv t 18 1, 2
6
v t 18 0, 2v t 1, 2i t
18 1, 2i tv t
1, 2v t 15 i t 6
++++= −= −= −= −
= − −= − −= − −= − −
−−−−====
= −= −= −= −
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
22 2
22
22
2 2n 2f
1 t2
2n
2f
2f1 t2
2
di t15 i t 4i t 10
dtdi t
10 5i t 15dt
di t2 i t 3 7
dti t i i
i Aei K Aplicando na equação 7
dK2 K 3 K 3dt
i 3
i t 3 Ae
−−−−
−−−−
− = +− = +− = +− = +
+ =+ =+ =+ =
+ =+ =+ =+ =
= += += += +
===== ⇒= ⇒= ⇒= ⇒
+ = ⇒ =+ = ⇒ =+ = ⇒ =+ = ⇒ =
====
= += += += +
(((( )))) (((( ))))1t2
2
0 3 A A 3
i t 3 1 e u t−−−−
= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −
= −= −= −= −
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Para v(t) : t > 0 2. Para o circuito que segue determine iL(t), Ø(t), i(t) e v(t).
Solução:
(((( ))))1 1t t2 2 2
2di 10 3v t 4i 12 12 12e edt 2
− −− −− −− −××××= + = − += + = − += + = − += + = − +
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
1t2
1t2
1
1 t2
1 2
1t2
2
v t 12 3e u t
v ti t 2 0,5e u t
6
i t i t i t 5 2,5e u t
i t 3 1 e u t
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅
= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅
= + = − ⋅= + = − ⋅= + = − ⋅= + = − ⋅
= − ⋅= − ⋅= − ⋅= − ⋅
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
L
L
LL
6u t i t i t 1
t 12i t 2
tv6u t 32 12
4 tdi 1 dv 4i 12 12 dt 12 12 dt
= += += += +
φ =φ =φ =φ =
φφφφ= += += += +
φφφφ φφφφ= + = + ⋅ ⋅= + = + ⋅ ⋅= + = + ⋅ ⋅= + = + ⋅ ⋅ (((( ))))(((( )))) (((( ))))
4
t dv 53 dt
φφφφ φφφφ= += += += +
4Ω
2Ω
12H 6u(t)
v(t)
+
-
i(t)
iL(t)
iL(0)=0
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Aplicando (5) em (3): Como: Então A = -24:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
1
n f
1 ts t 2n 1
f
1 t2
t t1 d6u t + +6 2 dt 12
d d72u t 3 t 6 para t 0 24 2 tdt dt
t
1Ae Ae s 2dkk 24 k 2 k 24dt
t Ae 24
−−−−
−−−−
φ φφ φφ φφ φφφφφ====
φ φφ φφ φφ φ= φ + > ⇒ = + φ= φ + > ⇒ = + φ= φ + > ⇒ = + φ= φ + > ⇒ = + φ
φ = φ + φφ = φ + φφ = φ + φφ = φ + φ
φ = = = −φ = = = −φ = = = −φ = = = −
φ = ⇒ = + ⇒ =φ = ⇒ = + ⇒ =φ = ⇒ = + ⇒ =φ = ⇒ = + ⇒ =
φ = +φ = +φ = +φ = +
(((( )))) (((( ))))Li t 0 0 0= ⇒ φ == ⇒ φ == ⇒ φ == ⇒ φ =
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
1 t2
1t2
L
L
1 t2
1t2
t 24 1 e u t
ti t 2 1 e u t
12
i t 6u t i t
i t 4 2e u t
v 2i t 8 4e u t
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
φ = − ⋅φ = − ⋅φ = − ⋅φ = − ⋅
φφφφ
= = − ⋅= = − ⋅= = − ⋅= = − ⋅
= −= −= −= −
= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅
= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅
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3. Represente graficamente a seguinte operação: Resposta:
1
1
t.u(t)
u(t-1,5)
1
1,5
1,5
1,5
2,5
45o
45o
t u(t)+u(t-1,5)
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))f t t.u t u t 1,5 t 3 u t 3 4u t 6= + − − − − − −= + − − − − − −= + − − − − − −= + − − − − − −
-3
3
3
3
(t-3).u(t-3)
-(t-3).u(t-3)
3
2
1
4
5
6
4
3
2
1
45o
45o
t.u(t)+ u(t-1,5)-(t-3).u(t-3)
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4. Determine e esboce a corrente i(t) para o circuito abaixo: Solução: Para a resposta natural; com as fontes em curto: A corrente forçada é obtida com as duas fontes em operação e o indutor em curto.
(((( )))) n fi t i i= += += += +
eq
eq
t2
n
R 2 // 6 1,5
L 2sR
i Ae−−−−
= == == == =
γ = =γ = =γ = =γ = =
====
(((( ))))
f
t2
100i 50A2
i t 50 Ae−−−−
= == == == =
= += += += +
2
4
1
3
5
6
4
3
2
1
f(t)
3H
6Ω
2Ω
50u(t)
50V
i(t)
45º
45º
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Para determinar a constante A devemos obter a corrente no indutor em t= 0-.
Então: Escrevendo uma única equação para todo t: 5. Para o CKT que segue determine vc(t) e v1(t). Solução: Da equação (3):
(((( ))))L50i 0 25A t 02
−−−− = = <= = <= = <= = <
(((( ))))t2
25 50 A A 25
i t 50 25e t 0−−−−
= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −
= − >= − >= − >= − >
(((( )))) (((( ))))t2i t 25 25 1 e u t A
−−−− = + −= + −= + −= + −
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
c c 1
5 cc
31 c
30u t v 20000i v 1dvi 10 2dt
v 10000 i 3u t 10 3
−−−−
−−−−
= + += + += + += + + ==== = − ×= − ×= − ×= − ×
(((( )))) (((( )))) (((( ))))5 c c1
dv dvv 10000 10 30u t 0,1 30u t 4dt dt
−−−−= × − = −= × − = −= × − = −= × − = −
30u(t)
20kΩ
10kΩ
10µF
3u(t)mA
v1
+
-
i1
ic
+
-
vc
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Aplicando (2) e (4) em (1):
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
c cc
cc
c n f
10t3
n
f
f10t3
c
c
c
10t5 5c 3c
dv dv30u t v 0,2 0,1 30u tdt dt
dv60u t 0, 3 v
dtv v v
v Aev k60 kv 60V
v t 60 Ae
v 0 00 60 A A 60v t 60 Ae volts
dvi t 10 10 200e u tdt
−−−−
−−−−
−−−−− −− −− −− −
= + + −= + + −= + + −= + + −
= += += += +
= += += += +
================
= += += += +
===== + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −
= += += += +
= = ⋅= = ⋅= = ⋅= = ⋅
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
10t3
c
10t3
1 c
i t 2e u t mA
i t i 3u t 2e 3 u t mA
−−−−
−−−−
====
= − = −= − = −= − = −= − = −
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
10t3
c
10t3
1
v t 60 1 e u t volts
v t 10 2e 3 u t Volts
−−−−
−−−−
= −= −= −= −
= −= −= −= −
(((( )))) 520000 10000 10 0, 3 3 10−−−−γ = + = =γ = + = =γ = + = =γ = + = =
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6. Para o circuito abaixo determine a tensão de saída quando: a) is = u(t) b) is = δ(t) c) Trace os gráficos de v(t) para os resultados obtidos nos itens a) e b).
Solução:
a) resposta ao degrau b) resposta ao impulso
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
s
s L R
200t
200t
200t 200t
i u tV 1 di i i
L R L R dtdu t 2 0,01dt
t Ae 0,5
0,5 1 e u t
dv t 0,5 200e u t 0,5 1 e tdt
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
====φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ= + = + = += + = + = += + = + = += + = + = +
φφφφ= φ += φ+= φ+= φ+
φ = +φ = +φ = +φ = +
φ = −φ = −φ = −φ = −
φφφφ= = × + − δ= = × + − δ= = × + − δ= = × + − δ
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
s
200t 200t
i t
ds th t v t
dtv t 100e t 20000e u t− −− −− −− −
= δ= δ= δ= δ
= == == == =
= δ −= δ −= δ −= δ −
(((( )))) (((( )))) (((( ))))200ts t v t 100e u t−−−−= == == == =
is(t)
0,5H
100Ω
v(t)
+
-
(((( )))) n f ft 0,5 x 1 = 0,5wbφ = φ + φ φ =φ = φ + φ φ =φ = φ + φ φ =φ = φ + φ φ =(((( ))))0 0φ =φ =φ =φ =
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c)
7. A chave do circuito abaixo está em A por muito tempo. Em t = 0 ela é movida para B e, em
t = 1 segundo, é movida para C. Para que valor de t, v = 1V?
5
10
15
20
t(ms)
5
10
15
20
t(ms)
100
v(t)
v(t) 100
-20000
25kΩ
100kΩ
10µF
100kΩ
5V
A
B
C
v
+
-
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Solução: (divisor de tensão) Como ficou 1s na posição B. 8. Para o circuito abaixo determine vc(t) e ic(t) para todo t.
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 5
3
3
ttRC
o
1
t2t100k //100k 10
2t
2t
t 0100 10v 0 5 4V125 10
0 t 1 posição B
v t V e 4e
v 1 4e 4 0,368 1,472Volts1 t posição C
v t V 1 e 1,472e
1 1,472e1 e
1,4721ln 2t
1,472t 0,1933
−−−−
−−−−
−−−− −−−−
−−−−
−−−− −−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−
−−−−
<<<<××××= × == × == × == × =××××
< << << << <
= == == == =
= = × == = × == = × == = × =<<<<
= == == == =
====
====
= −= −= −= − ====
t 1 0,1933 1,1933 segundos= + == + == + == + =
5µF
8k
10+15u(t)mA
ic2 Ω
vc
+0kΩ
-
i'
35
12kΩ
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Solução: (divisor de corrente) (divisor de corrente) t >>> 0 (com a fonte em aberto) 9. A chave no circuito abaixo esteve aberta por um longo tempo antes de fechar em t = 0. Para
o intervalo -0,5 < t < 0,5 seg. encontre e esboce o gráfico de i(t) e v(t):
(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
4 6
3' 3 3
3
3 3c
c cn cf
33
f 3
3 3cf
eq
t20t10 5 10
cn20t
c
t 08000 10 10 80i 0 10 2 10 A8 20 12 10 40
v 0 20 10 2 10 40V
v t v v
25 10 8000 200i 10 5mA8 20 12 10 40
v 20 10 5 10 100VR 20k // 20k 10k
v Ae Aev t 100 AeC
−−−−
−−−−− − −− − −− − −− − −
− −− −− −− −
−−−−−−−−
−−−−
−−−− −−−−× ×× ×× ×× ×
−−−−
<<<<× ×× ×× ×× ×= = × = ×= = × = ×= = × = ×= = × = ×
+ ++ ++ ++ +
= ⋅ × × == ⋅ × × == ⋅ × × == ⋅ × × =
= += += += +
× ×× ×× ×× ×= = × == = × == = × == = × =
+ ++ ++ ++ +
= × × × == × × × == × × × == × × × == = Ω= = Ω= = Ω= = Ω
= == == == =
= += += += +
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))
20tc
6 20tc
20tc
I 40 100 AA 60
v t 40 60 1 e u t
i t 1200 5 10 e u t
i t 6e u t mA
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
⇒ = +⇒ = +⇒ = +⇒ = += −= −= −= −
= + −= + −= + −= + −
= × × ⋅= × × ⋅= × × ⋅= × × ⋅
====
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))
20tc
20tc
v t 40 60 1 e u t
i t 6e u t mA
−−−−
−−−−
= + −= + −= + −= + −
====
15Ω
5Ω
4H
1A
24V
t=0
v
+
-
i
i’
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Solução:
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
L Ln Lf
eq
' '
'
'
'
'Lf
Lf5t
Ln5t
L
L L
i 0 1A
i t i iR 20
L 4 1 0, 25R 20 5
24 5i 15 1 i 0
24 15 20i 09 20i
9i 0,4520
i 1 ii 1 0,45 1,45Ai Aei t 1,45 Ae
i 0 1A i 0
1 1,45 AA 0,45
−−−−
−−−−
−−−−
+ −+ −+ −+ −
====
= += += += += Ω= Ω= Ω= Ω
γ = = = =γ = = = =γ = = = =γ = = = =
− + + + =− + + + =− + + + =− + + + =
− + + =− + + =− + + =− + + =− = −− = −− = −− = −
= == == == =
= += += += += + == + == + == + =
====
= += += += +
= == == == =
= += += += += −= −= −= −
(((( )))) (((( ))))5tLi t 1 0,45 1 e t 0−−−−= + − >= + − >= + − >= + − >
1,66
1,33
1
0,2 0,4 0,6 0,8 t
iL(t)
1,45
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
Professor Silvio Lobo Rodrigues 38
10. Para o circuito abaixo determine i1(t) e iL(t) para todo t.
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
5t5t
L
5tL
L
5t 5t
5t 5t
d 1 0,45 1 ediv t 4 4 4 0,45 5edt dt
v t 9e Vv 15i v
v 15 1 0,45 1 e 9e
v 15 6,75 6,75e 9e
−−−−
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
− −− −− −− −
+ −+ −+ −+ − = = = × ×= = = × ×= = = × ×= = = × ×
====
= += += += +
= + − += + − += + − += + − + = + − += + − += + − += + − +
(((( )))) 5tv t 21,75 2, 25e t 0−−−−= + >= + >= + >= + >
25
20
15
0,2 0,4 0,6 -0,6 t
v(t)
-0,2 -0,4
30Ω
60Ω
0,2H
60u(t)V
2u(t)A
i1
iL
24
vR
vL
+
-
-
+
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Professor Silvio Lobo Rodrigues 39
Solução: Condições iniciais: iL(0-) = iL(0+) = 0
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
L n f
f
eq
100tn
100t
100tL
1 L
100t1
100tR
1
1001
i t i i60i 2 4A30
R 60 // 30 20
L 0, 2 0,01R 20
i Ae
i t 4 AePela condição inicial 0 4 A A -4
i t 4 1 e u t
60u t 30i v
60u t 30i 0, 2 400e u t
v t60 80ei30 30
8i 2 e3
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
= += += += +
= + == + == + == + =
= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω
γ = = =γ = = =γ = = =γ = = =
====
= += += += += + ⇒ == + ⇒ == + ⇒ == + ⇒ =
= −= −= −= −
= += += += +
= + ×= + ×= + ×= + ×
−−−−= == == == =
= −= −= −= − (((( )))) (((( ))))t 100t2 8 1 e u t3 3
−−−−= − + −= − + −= − + −= − + −
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
100tL
100t1
i t 4 1 e u t
2 8i 1 e u t3 3
−−−−
−−−−
= −= −= −= −
= − + −= − + −= − + −= − + −