ENGENHARIA ELTRICA CONVERSO ELETROMECNICA DE ENERGIA PROF ANDERSON DA SILVA JUC (apontamentos) Uma integrao de linha de H ao longo de algum percurso circular dado resulta em: Ampre [A] 8. Lei Circuital de Ampre 1r . 201I dlr . 2Idl H = -t= -} }tObs:aintegraldelinhausada porqueHtemdimensoporunidade de comprimento. Eq.09 Estaequaomostraqueaintegraldelinhafechadadaintensidadedocampo magnticoigualscorrentesenvolvidas(ouampre-espiras)queproduzemas linhasdecampomagntico.EstarelaodenominadadeLeideAmprede Circuito, e expressa por: I N dl H x = = -}Eq.10 Ondedesignaosampre-espirasenvolvidospelopercurso fechado assumido das linhas de fluxo. tambm conhecido como fora magnetomotriz e freqentemente abreviada como fmm. Agora que a intensidade de campo magntico (H) foi definida e demonstrada como tendounidadedeampre-espiras/metro,pode-sededuzirumaexpressomuito til.Sabe-sequeHumvetorquetemomesmosentidoeomesmolugar geomtrico circular que o do campo magntico B.8. Lei Circuital de Ampre lBl H x x= = Eq.11 As definies anteriores foram feitas a partir da experincia elementar deAmpre comdoiscondutoresconduzindocorrente.Pelamanipulaocorretadestas grandezas, outras frmulas teis podem ser obtidas. AequaoEq.08umaequaovetorialquedescreveaintensidadedocampo magntico para uma dada geometria e corrente. Se o comprimento total do percurso de uma linha de fluxo for suposto como sendo l, ento a fora magnetomotriz (fmm) associada linha de fluxo especificada : Agora,nassituaesondeBumaconstanteepenetraumareafixaeconhecida (A),ofluxomagnticocorrespondentepodeserescritodaequaoEq.07como sendo: A Bx = |Eq.12 8. Lei Circuital de Ampre ||.|

\|| == = AllBl Hxx x Eq.13 IntroduzindoaequaoEq.12na equao Eq.11, obtm-se: O termo entre parnteses mostra uma grandesemelhanacomadefiniode resistnciaemumcircuitoeltrico. UmexamedaequaoEq.13fornece umainterpretaosimilarparao circuito magntico.9 | = xEq.14 Jestclaroqueafmmquegerao fluxo|,quepenetraareadeseo transversalespecificadaA.Contudo,esse fluxolimitadoemmdulopeloque chamadoarelutnciadocircuito magntico, que definida como:AequaoEq.15tambmconhecida comoaLeideOhmdocircuitomagntico. somentevlidaseBeAforem quantidades fixas. Alx = 9Eq.15 Aplicando a equao acima no circuito magntico simples, temos:

A unidade da induo magntica (B) o Weber/metro2 (1 Wb=108 linhas de campo magntico. = permeabilidade magntica do ncleo = o . r (o = 4t x 10-7 Wb/A.m) r=permeabilidaderelativadomaterial,valorestpicosderestonafaixade2.000a6.000, para materiais usados em mquinas. 9. Circuitos Magnticos Aintensidadedecampomagntico(H),produzuma induomagntica(B)emtodaaregiosujeitaaocampo magntico. NI = H l , no caso: N I = Hn ln B=.Hou B=|/A [Wb/m2] Figura 21 Para o circuito magntico abaixo, temos: 9. Circuitos Magnticos +N I - Hab.lab - Hbc.Ibc - Hca.lca=0NI = Hab.lab + Hbc.Ibc + Hca.lca Todos os termos que aparecem nessa equao so conhecidos, com exceo dasforasmagnetizantesparaas diferentespartesdocircuito magntico,quepodemserobtidasa partir do grfico B-H se a densidade de fluxo (B) for conhecida. l H. = Onde H a fora magnetizante em uma seo do circuito magntico e l, o comprimento da seo. Figura 22 Os dispositivos de converso de energia que incorporam um elemento mvel exigem entreferrosnosncleos.Portanto,asestruturasmagnticasapresentamum entreferro (espao de ar inserido entre duas pores magnticas) em seu circuito magntico. Esteentreferropodeserinseridopropositalmente,comoocorrenosmotorese geradoreseltricoscomomostradonaFigura23,ouinvoluntariamentedevidoao processo construtivo, como indicado na Figura 24 Figura 23 Entreferro de um motor eltrico.

9. Circuitos Magnticos

Figura 24 Entreferro involuntrio.

Acolocaodechapasladoaladointroduzumpequenoentreferro involuntrio entre elas.Qualquerquesejasuaorigemetamanho,oentreferroparte importantedaestruturamagnticaedevesempreserconsideradono circuito magntico.

9. Circuitos Magnticos A Figura 25 mostra as linhas de campo magntico em uma estrutura com a presena de um entreferro, destacando o fenmeno do espraiamento dessas linhas na regio do entreferro Figura 25 - Espraiamento das linhas de campo.

O efeito do espraiamento das linhas de campo equivale a um acrscimo da rea de passagem do fluxo magntico no entreferro e como tal deve ser corrigida. Algumas frmulas empricas ajudam-nos a resolver, so elas:

9. Circuitos Magnticos A. Entreferro com faces paralelas e iguais Figura 26 Entreferro com faces paralelas e iguais.

Nestecaso,areaefetivadepassagemdofluxomagnticonoentreferrodada por:

9. Circuitos Magnticos XYg) ).( (g g gY X S + + =B. Entreferro com faces paralelas e diferentes Fig. 27 Entreferro com faces paralelas e diferentes.

Nesta condio, a rea efetiva de passagem do fluxo magntico estimada a partir da expresso: 9. Circuitos Magnticos XYg) 2 ).( 2 (g g gl Y l X S + + =Os dispositivos de converso de energia que incorporam um elemento mvel exigem entreferrosnosncleos.Umcircuitomagnticocomumentreferro(vcuo) mostrado a seguir: 9. Circuitos Magnticos N i = Hn ln + Hg lg

onde:B = H; H = B /

onde:B = | / A gognnnlBlBNI+=go ggnn nnlAlAI N|+|=||.|

\|+| =o ggn nnAlAlI N( )g nI N 9 + 9 | =( )g n 9 + 9 = |onde:|n = |g = |

onde: F = N . I onde: 9n = Relutncia magntica do ncleo; [A/Wb] 9g = Relutncia magntica do entreferro; [A/Wb] = fora magnomotriz; [Ae] Figura 28 Eq.16 9. Circuitos Magnticos Circuito Eltrico Anlogo: Figura 29 9. Circuitos Magnticos 9. Circuitos Magnticos 9. Circuitos Magnticos Circuito EltricoCircuito Magntico I:Corrente Eltrica (A)| : Fluxo Magntico (Wb) E:Fora eletromotriz (V) Ni F =:Fora magnetomotriz (Aesp) o:Condutividade (S/m) :Permeabilidade (H/m) SIJ = : Densidade de Corrente Eltrica (2/ Am) SB|= : Densidade de Fluxo Magntico (2/ Wb m) SlRo1= : Resistncia (O) Sl1= 9:Relutncia (/ AespWb) 1GR=:Condutncia ( S ) 1P =9:Permencia ( / Wb Aesp) Identifica-se as seguintes relaes entre as grandezas eltricas e magnticas: Note-se que a associao entre o circuito eltrico e o circuito magntico levou a denominao densidade de fluxo magntico como sinnimo do campo magntico.Exerccios 1.Dadaapeaabaixo,determinara densidade de fluxo B em Tesla. Soluo: T BmWbAB22 3510 . 510 . 2 , 110 . 6== = |2.Combasenafiguradoexerccio anterior, se a densidade de fluxo for 1,2 T eareadaseoretafor0,25pol.2, determinarofluxomagnticonointerior da pea. Soluo: Convertendo 0,25pol.2 em m2: A B. = |Wbm Txm Apolmpolmpol A42 42 4210 . 936 , 110 . 613 , 1 2 , 110 . 613 , 1. 37 , 391.. 37 , 391. 25 , 0===||.|

\|||.|

\|=||T BTmWbAB2 , 010 . 210 . 210 . 412 34== = =|Exerccios 3.Paraocircuitomagnticoemsrie visto na figura abaixo, pede-se: a)CalcularovalordeInecessriopara gerar um fluxo magntico |=4.10-4 Wb.

b)Determinarerparaomaterial nessas condies. Soluo:a) Do grfico BxH, temos: H(ao fundido) = 170A/m, logo: NI = Hl I = Hl/N = (170A/m x 0,16m)/400 I = 68mA b) = B/H =0,2(T)/1.709 (A.esp./m) = 1,176.10-3 (Wb/A.m) Logo a permeabilidade relativa : r = /0 =1,176.10-3/4.t.10-7 r=935,83Exerccios 4.OreatormostradonaFiguraabaixofoiconstrudocomummaterial magnticodepermeabilidaderelativa.Abobinadeexcitaopossui200 espiras.Calculemosacorrentenabobinadeexcitaonecessriaparaestabelecer uma densidade de fluxo magntico . dada a permeabilidade do vcuo. E as dimenses esto em cm. 3000 =R21, 2 / Wbm) / ( 10 470m H= t i200espiras5 5 20 102055Soluo: Asoluodoproblemaseresumeemmontarocircuito eltrico anlogo do problema magntico.Assim, para este caso temos:( ) ( ) 2 2,5 20 2,5 2 20 2 2,5 80ou0,8 cm m = + + + =2 4 25 10 50ou 50 10 S cm m= = Como conseqncia resulta:) / ( 10 . 44 , 4210 . 508 , 0.10 4 . 30001 134 7Wb AespSl= = = 9 t Sendo , obtm-se:2/ 2 , 1 m Wb B = Wb S B4 410 . 60 10 . 50 . 2 , 1 . = = = |Exerccios Dessa forma, o circuito eltrico anlogo dado por: ( ) ws Aesp R / 10 44 . 423 =wb410 60 = |i 200 = Da anlise do circuito eltrico anlogo, obtemos:

Substituindo pelos seus valores, obtm-se:

ou ainda: | 9 = Ni4 310 . 60 . 10 . 44 , 42 200= iA i 27 , 1 =Exerccios 5.AestruturamagnticadaFiguraabaixoconfeccionadadematerialmagnticodepermeabilidade relativa.Onmerodeespirasdabobinadeexcitao400espiras.Determineaf.m.m.ea corrente da bobina para estabelecer uma densidade de fluxo magntico no brao direito da estrutura. Obs.: todas as dimenses so expressas em cm. 4000 =R2/ 5 , 0 m Wbi400espiras5 10 20 5405530 53|Soluo: Oprimeiropassonaresoluodoproblema,consisteemmontarocircuitoeltricoanlogo,oqual possui a mesma geometria que a estrutura magntica. Assim, para o problema em questo, o circuito eltrico anlogo dado ao lado. R12R3R1|2|3|i 400Em seguida calculamos as relutncias de cada trecho. Para o problema em questo resultam:) / ( 10 . 6 , 7110 . 5 . 510 )]. 5 , 2 . 2 40 ( ) 5 20 5 , 2 .( 2 [.10 4 . 40001 13427111Wb AespSl= + + += = 9t ) / ( 10 . 9 , 1310 . 5 . 1010 )]. 5 , 2 . 2 40 [(.10 4 . 40001 13427222Wb AespSl== = 9t ) / ( 10 . 5 , 8710 . 5 . 510 )]. 5 , 2 . 2 40 ( ) 5 , 2 30 5 .( 2 [.10 4 . 40001 13427333Wb AespSl= + + += = 9t Exerccios No brao direito da estrutura dado , de modo que:

Da malha direita do circuito obtemos:

De modo que:

Aplicando-se a lei de Kirchoff para as correntes obtm-se:

Aplicando-se agora a lei de Kirchoff das tenses para a malha da esquerda, podemos escrever:

Resultando:

e tambm: 23/ 5 , 0 m Wb B =Wb S B4 43 3 310 . 5 , 12 10 . 25 . 5 , 0 . = = = |3 3 2 2| | 9 = 9Wb434 3210 . 7 , 7810 . 9 , 1310 . 5 , 12 . 10 . 5 , 87= = |Wb43 2 110 . 2 , 91= + = | | |2 2 1 1| | 9 + 9 = NiAesp Ni fmm 762 10 . 7 , 78 . 10 . 9 , 13 10 . 2 , 91 . 10 . 6 , 714 3 4 3= + = = ANfmmi 9 , 1400762= = =Exerccios 6. A Figura abaixo mostra uma estrutura magntica confeccionada com material magntico de permeabilidade relativa, na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as demais dimenses esto em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitao, a qual possui 500 espiras, necessria para estabelecer um fluxo magntico no entreferro de.2000 =RWb410 . 5i500 espiras1mm221222 2 6Soluo: Nocircuitoeltricoanlogo destaestrutura,almdafontedef.m.m. queproduzocampomagnticodevemos inserirduasrelutnciasemsrie;uma relativaporodoncleomagnticoe outradevidoaoentreferro,comomostra a Figura ao lado. R1R2|500iA partir da anlise de malhas obtm-se: | ) (2 19 + 9 = NiExerccios Na qual:

a relutncia do ncleo e:

a relutncia do entreferro.

Observequeapesardoentreferroterapenas1mm,suarelutncia,nestecaso,algoem torno de 5 vezes maior que a relutncia do ncleo.

Sendoobtemos:

Resultando: . Wb AespSl/ 10 . 8 , 3510 . 2 . 210 )]. 1 . 2 12 ( 2 ) 1 6 1 ( 2 [.10 . 4 . 20001.14427111= + + += = 9t Wb AespSl/ 10 . 18010 ). 1 , 0 2 )( 1 , 0 2 (10 . 1.10 . 41.144372202=+ += = 9t Wb410 . 5= |4 410 . 5 . 10 ) 180 8 , 35 ( 500+ = iA i 16 , 2 =Anexo 01:O Parmetro Indutncia Aindutnciaumacaractersticadoscamposmagnticosefoidescoberta primeiramenteporFaraday,em1831.Deummodogeral,indutnciapodeser caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia pode ser armazenada num campo de fluxo magntico.Umfatorimportanteediferenciadordaindutncia,contudo,queelaaparecenum circuito apenas quando h uma corrente varivel, ou mesmo um fluxo varivel. Para cobrir o assunto completamente, a indutncia ser analisada sob trs pontos de vista: a) de circuito; b) de energia e c) fsico. Noentanto,umelementodocircuitopossaterindutncia,emvirtudedesuas propriedades geomtricas e magnticas, sua presena no circuito somente poder ser sentida, desde que haja uma variao da corrente no tempo. O Parmetro Indutncia a) Anlise sob o ponto de vista de circuito Arelaoentretensoecorrentereferenteaoparmetroindutnciaexpressaa seguir: dtdi. L vL =AequaomostraadiferenadepotencialvLqueaparecenos terminaisdoparmetroindutncia,quandoumacorrentevarivel circula para o terminal c do circuito. Note-sequeapontadasetanavarivelvLest mostradanoterminalc,indicandoqueeste terminal,nesteinstante,positivoemrelaoao terminald,poisocoeficienteangular(di/dt),ou declividade,positiva,casocontrrio,apontada setaestariaapontandoparaopontod (coeficiente angular negativo). v(t)Lab cdVLI+-Figura 1 Eq.01 O Parmetro Indutncia Qualquerelementodocircuitoqueapresenteapropriedadedeindutncia denominadoindutoredesignadopelosmboloconstantenocircuitoanterior.Como elementoideal,oindutorconsideradocomonotendoresistncia,embora,na prtica, deve ter a resistncia do fio que constitui a bobina. dtdivLL= Volt. s / A ou Henrys (H) Arazoentreadiferenadepotencialnosterminaisdo indutornumdeterminadoinstantedetempoeaderivada correspondentedafunocorrente-tempo,expressao parmetro indutncia.} }==) t () 0 (iit0L dt . v .L1didt . vL .L1diExpressandoacorrentenoindutoremfunoda tenso,nota-sequeacorrenteemumindutor dependentedaintegraldatensoatravsdeseus terminais, assim como a corrente na bobina no incio da integrao i(0).) 0 ( i dt . vL1) t ( it0L + =}Eq.02 Eq.03 O Parmetro Indutncia Umaanlisenaequao(Eq.04)abaixorevelaumapropriedadeimportanteda indutncia:acorrentenumindutornopodevariarabruptamente,numtemponulo, pois uma alterao finita na corrente num tempo nulo requer que uma tenso infinita aparea no indutor, o que fisicamente impossvel.) 0 ( i dt . vL1) t ( it0L + =}Poroutrolado,aequao(Eq.05)revelaque,numtemponulo,acontribuioparaa correntenoindutordotermocomaintegralzero,deformaqueacorrente imediatamente antes (I-) e depois (I+) da aplicao da tenso no indutor a mesma. Portanto, pode-se considerar a indutncia como tendo a propriedade de inrcia. dtdi. L vL =Eq.04Eq.05 O Parmetro Indutncia b) Anlise sob o ponto de vista de energia Supondo que um indutor tenha corrente inicial nula (i(0)=0A) . Ento, se um corrente i circulanabobina,naqualexisteumadiferenadepotencialvL,aenergiatotal recebida no intervalo de tempo de 0 a t : }}}=|.|

\|= =i0t0t0Ldi . i . L Wdt . i .dtdi. L Wdt . i . v W ) J ( JouleConsiderandooindutorcomosendoideal,aequao anterior estabelece que o indutor absorve uma quantidade de energia que proporcional ao parmetro indutncia (L), bem como, ao quadrado do valor instantneo da corrente. Destaforma,aenergiaarmazenadapeloindutornum campo magntico, e de valor finito e recupervel.) J ( Joule2i . L .21W =Faceaofato,dequeaenergiaassociadacomoparmetroindutnciaaumentae diminuicomacorrente,podemosconcluirqueoindutortemapropriedadedeser capaz de retornar energia fonte da qual a recebe. Eq.06 O Parmetro Indutncia Aequaoanteriorrevelaque,umaformaalternativadeidentificaroparmetro indutncia em termos da quantidade de energia armazenada no seu campo magntico, correspondente sua corrente instantnea. Assim, pode-se escrever que:) H ( Henry2iW . 2L =Logo, uma corrente constante resulta em uma queda de tenso nula nos terminais do indutorideal.Isso no verdadeiro,emrelaoenergiaabsorvidaearmazenada no campo magntico do indutor.A equao acima, confirma imediatamente esse fato. Uma corrente constante resulta numaenergiaarmazenadafixa.Qualquertentativadesealteraresseestadode energiaencontraumaresistnciafirmedosefeitosdoarmazenamentoinicialde energia.Isso, novamente, reflete o aspecto inercial de indutncia. Jfoidemonstradoque,paraadiferenadepotencial existirnosterminaisdeumindutor,acorrentedeve variar.Eq.07 O Parmetro Indutncia c) Anlise sob o ponto de vista fsico Atensonosterminaisdeumindutorpodeserexpressa,sobopontodevistade circuito,emfunodacorrentequecirculanoindutor.Contudoessamesmatenso pode ser descrita pela Lei de Faraday em termos do fluxo produzido pela corrente e pelonmerodeespiras(N)dabobinadoindutor.Conseqentemente,pode-se escrever:dt . didt . d . NLdtd. Ndtdi. L vL|=|= =Nessescasos,ondeofluxo(|)diretamente proporcionalcorrenteiparatodososvalores(isto resistor linear), essa ltima expresso se torna:) H (At Wbi. NL =|.|

\||=Aqui,oparmetroindutnciatemumarepresentao hbrida,porqueemparteexpressoemfunoda variveldocircuito(correntei),eemparte,emfuno da varivel do campo (fluxo |). ) H (did . NL |=Eq.08 Eq.09 O Parmetro Indutncia Para se evitar essa representao hbrida, substitui o fluxo por seu equivalente: Onde a fmm a fora magnetomotriz que produz o fluxo | no circuito magntico que tem relutncia 9.9= = |i . NMagntica ' relutnciafmmSe o ncleo suposto como tendo um comprimento mdio de lm metros e uma rea deseotransversaldeAmmetrosquadrados,entoarelutnciamagnticapode ser escrita como:Am .lm= 9Ondeapermeabilidade,umapropriedadefsicado material magntico. Eq.10 Eq.11 O Parmetro Indutncia Manipulandoadequadamenteasequaesanteriores,resultanaexpressoparao parmetro indutncia, como sendo: Uma anlise da equao anterior revela alguns fatos interessantes sobre o parmetro indutncia que no esto facilmente disponveis quando essa varivel definida, tanto do ponto de vista de circuito como de energia.O que mais impressiona, o fato de a indutncia, como a resistncia, ser dependente dageometriadasdimensesfsicasedapropriedademagnticadomeio.Isso importanteporquenosdizoquepodeserfeitoparasealterarovalordeda indutncia L.Destaforma,oparmetroindutnciapodeseraumentadodequatroformas:a) aumentandoonmerodeespiras;b)utilizandoncleodeferrodemaior permeabilidade;c)reduzindoocomprimentomdiodoncleodeferro;ed) aumentando a rea de seo transversal do ncleo de ferro. 9==2 2NlmAm . . NLEq.12 Bibliografia 1. Fundamentos de Mquinas Eltricas. Autor: Vincent DEL TORO 2. Mquinas Eltricas. Autor: A. E. FITZGERALD3. Mquinas eltricas e Transformadores. Autor: Irving I. KOSOW 4. Apostila POLI/USP 5. Cincia e Engenharia de Materiais. Autor: W. D. CALLISTER