CIRCUITOS ELETROMAGNÉTICOS

Prof. Dr.: Edson Antonio Batista

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Ementa: Leis do eletromagnetismo e sua formulação. Magnetostática: materiais

condutores, meios magnéticos, campo magnético, Lei de Àmpere e Biot-Savart,

circuitos magnéticos, ímãs permanentes, indutância. Magnetodinâmica: Lei de

Faraday-Lenz. Efeitos: Gerador e Motor. Freio de Foucault.

Objetivo: Desenvolver habilidades essenciais ao profissional da área de

tecnologia em eletrotécnica industrial, conhecendo as potencialidades e riscos da

profissão; acostumar-se, em particular, com os aspectos abstratos típicos de

fenômenos magnéticos e eletromagnéticos. Conhecer os fundamentos de

eletromagnetismo essenciais ao estudo dos fenômenos físicos vinculados às disciplinas

específicas da eletrotécnica industrial. Entender aspectos conceituais e práticos da

magnetostática e magnetodinâmica. Análise preliminar de circuitos eletromagnéticos.

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Bibliografia: • Bastos, João Pedro Assumpção. Eletromagnetismo para Engenharia: Estática e

Quase-Estática. Ed. da UFSC, 1989, Florianópolis-SC. (621.34 B327e)

• Gussow, M. Eletricidade Básica, II Edição, São Paulo, Makron Books, 1996. (Cap 9)

• Boylestad, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 10. ed. Tradução: José

Lucimar do Nascimento. Rio de Janeiro: Pearson Education, 2004. (Cap 11 e 12)

• Edminister, Joseph A. Eletromagnetismo. 2. ed. Tradução: José Fabiano Rocha.

São Paulo: McGraw-Hill, 1991.

• Hayt, W. H. J., Eletromagnetismo, 3ª Ed., RJ: Livros Técnicos e Científicos, 1989-

1993. (621.316 H426e.3)

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Critério de Avaliação:

Sendo: MF = Média Final MP = Média de Provas MT = Média de Trabalhos P1 = Primeira Prova P2 = Segunda Prova T = Trabalhos

Datas de Avaliação: P1 20/Maio/2013

P2 24/Julho/2013

PS 31/Julho/2013

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O Eletromagnetismos: fornece conceitos para entender o

comportamento/fenômenos, como bússola, motores de indução, levitação

magnética, entre outros.

O Campo Magnético: Medida que a força magnética exerce sobre o

movimento das partículas de cargas.

• Força Magnética

• Linhas de Campo Magnéticos

Campo Elétrico & Campo Magnético

Analogia entre Circuitos Elétricos e Circuitos Magnético/Eletromagnéticos

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Campo magnético criado por um condutor retilíneo

Análise Vetorial: Força, corrente, campo magnético, densidade

de fluxo magnético, velocidade da carga, entre outros.

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Análise Vetorial • O tratamento de algumas grandezas, como por exemplo, velocidade, campo

elétrico, campo magnético são representado, por direção, sentido e a

magnitude/módulo (denominadas grandezas vetoriais).

• Os vetores indicam estes três parâmetros (direção, sentido e módulo). O

comportamentos das grandezas vetoriais são descritos por operações

vetoriais.

• Quando não existe a necessidade destes três parâmetros denomina-se

grandezas escalares, como por exemplo, comprimento e massa.

A análise vetorial depende do sistema de coordenada utilizada como referencial.

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Vetor: Os vetores são segmentos orientados que possui um ponto inicial e

um ponto final (ponta da seta) B (ponto final)

A (ponto inicial)

A direção e sentido do vetor indicam a direção e o sentido da

grandeza e o comprimento do vetor a magnitude da grandeza.

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Versor ou Vetor Unitário Vetor com módulo 1 com mesma direção de um dado vetor. Sendo que este vetor é

um múltiplo n vezes este versor e possui mesmo sentido se n for positivo e sentido

contrário se for negativo. Desta forma, um vetor pode ser representado como o

produto de um versor com um escalar

Sendo:

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Denotação: os vetores unitários (ax, ay, az) serão usados para o

sistema de coordenadas cartesianas.

De modo que o vetor A, escrito segundo suas componentes cartesianas será:

A = Axax + Ayay + Azaz

(ar, aθ, az) serão usados para o sistema de coordenadas cilíndricas.

(ar, aθ, aφ) serão utilizados para o sistema de coordenadas esféricas.

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Álgebra Vetorial 1. Os vetores podem ser somados ou subtraídos:

A ±B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz) = (Ax±Bx)ax + (Ay±By)ay

+ (Az±Bz)az

2. As leis associativas, distributivas e comutativa são válidas:

A + (B + C) = (A + B) +C

K(A + B) = kA + kB (k1 + k2)A = k1A + k2A

A + B = B + A.

3. O produto escalar de dois vetores é por definição:

A.B = ABcosθ (A escalar B) sendo θ é o menor ângulo entre A e B

4. Define-se o produto vetorial de dois vetores como:

AxB = (ABsenθ)na (A vetorial B) sendo θ é o menor ângulo entre A e B e an o versor normal

ao plano definido por A e B

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Produto Escalar: é o produto da magnitude de a pela magnitude da projeção de b sobre a.

Uma aplicação importante do produto escalar é a de encontrar a componente de um vetor numa direção.

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Exemplo: Dados A = 2ax + 4ay – 3az e B = ax - ay, determine:

a) A.B;

b) b) o ângulo entre A e B

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Produto Vetorial: a direção do versor normal ao plano definido por A e B é estabelecida pela “regra da mão direita”

AxB = (Axax + Ayay + Azaz) x(Bxax + Byay + Bzaz) =

(AyBz - AzBy)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy - AyBx)az

Pode-se observar que os versores são perpendiculares entre si em qualquer sistema de coordenadas.

cartesianas cilíndricas esféricas

Produto Vetorial

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Exemplo: Determine o produto vetorial AxB.

Sendo, A = 2ax – 3ay + az e B = -4ax – 2ay + 5az

Exercício: Se F = - 45ax + 70ay + 25az e G = 4ax – 3ay + 2az, determine:

a) F x G

b) ax x (ay x F)

c) (ax x ay) x F

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A soma geométrica de dois vetores a e b

Diferença entre dois vetores a e b

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Transformação “Os campos vetoriais que surgem nos diversos problemas, existem na realidade física, e o sistema de

coordenadas empregado para expressá-lo é uma questão de referencial. Quanto mais apropriada for

a escolha do sistema de coordenadas, mais direta será a solução e a expressão final, mais compacta

evidenciará a possível simetria presente no problema. Ás vezes, entretanto, torna-se necessário

transformar um campo vetorial de um sistema a outro.” Joseph A. Edminister

Campo Vetoriais É comum aparecerem expressões, no Eletromagnetismo, onde os coeficientes dos vetores unitários

contêm varáveis, de modo que tais expressões variam em módulo, direção e sentido

E = -xax + yay Ou seja para obter o valor real de E, em cada ponto, deve-se substituir as

coordenadas x e y. Um campo vetorial pode, também variar com tempo. Os campos elétricos e magnéticos serão todos

variáveis no tempo, podendo, ser diferenciados e integrados em relação ao tempo

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Exercícios 1) Produto Escalar

2) Produto Vetorial

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Tabelas de Transformação

. r θ z

x cosθ -senθ 0

Y senθ cosθ 0

Z 0 0 1

Cartesianas ↔ Cilíndricas

. ρ θ φ

x senφcosθ cosθcosφ -senφ

Y senφsenθ cosθsenφ cosφ

Z cosφ -senθ 0

Cartesianas ↔ Esféricas

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http://www.professores.uff.br/katia_frensel/aulasga2/ga2-aula11.pdf

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http://www.professores.uff.br/katia_frensel/aulasga2/ga2-aula11.pdf

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Transformação de Coordenadas Cartesiana para Cilíndricas

. r θ z

x cosθ -senθ 0

Y senθ cosθ 0

Z 0 0 1

zzxyarctg

=

=

=

=

=

+=

=⇔=

θ

xytanθ

senθry

cosθrx

yxr

z)θ,(r,Pz)y,(x,P

22

Utilizar como base as informações (cartesiana - cilindrica):

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. ρ θ φ

x senφcosθ cosθcosφ -senφ

Y senφsenθ cosθsenφ cosφ

Z cosφ -senθ 0

Utilizar como base as informações (cartesiana - esférica):

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Exemplo: Dado o vetor, B = yax – xay + zaz transformar para coordenadas cilíndricas

Exercício: Expresse o campo vetorial W = (x - y)ay em coordenadas cilíndricas

Exercício: Expresse o campo vetorial F = rcosφar em coordenadas cartesianas.

Exercício: Expresse o campo vetorial W = (x - y)ay em coordenadas esféricas

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Existem duas formas de se caracterizar o modo pelo qual um campo vetorial varia de

ponto a ponto através do espaço: divergência (ou divergente) e rotacional.

A divergência é escalar e carrega uma similaridade com a derivada de uma função (campo

elétrico). O rotacional de um campo vetorial A é um campo vetorial (campo magnético).

A integração é sobre a superfície de um volume infinitesimal ∆v que tende ao ponto P.

Campo Magnético: Transformadores Máquinas Elétricas

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Revisão de Integral dupla

Exemplo

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Ou seja, o fluxo depende do volume dxdydz. Uma alternativa para eliminar esta

dependência, isto é, para que o operador seja função de ponto, divide-se pelo volume, de

modo que o divergente seja dado pela seguintes densidade volumétrica de fluxo:

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Nos pontos do espaço onde existir divergente de um campo, diremos que há fonte

de fluxo desse campo.

Os casos de maior interesse no eletromagnetismo são aqueles em que o campo

vetorial sofre descontinuidade.

De um modo geral, sempre que um campo vetorial sofrer descontinuidade em sua

componente normal a uma superfície haverá um divergente de valor infinito

(positivo ou negativo) nessa superfície <==> fluxo nascendo nulo e a densidade de

fluxo infinita.

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TEOREMA DA DIVERGÊNCIA: Observamos que o divergente é um conceito

local, indicando o fluxo que nasce em um ponto. O teorema da divergência vai nos dar uma

ideia integral, indicando todo o fluxo que nasce no interior de um volume.

Multiplicando por dv e integrando

A integral do primeiro membro é o volume e significa calcular o divergente em todos os pontos de uma região, multiplicar pelo elemento de volume de cada ponto e somar. A integral do segundo membro é de superfície e significa que somaremos os fluxos nascem em todos os pontos do volume considerado

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Então o teorema da divergência é:

Solução:

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A expressão cartesiana resulta do rotacional é:

Solução:

Substituindo as coordenadas do ponto:

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• Em todos os pontos do espaço onde o rotacional exista, diremos que temos fonte

de circulação do campo vetorial, isto é, haverá linhas de campo circulando ao

redor do rotacional.

• Pode-se provar que só há dois tipos de fonte para um campo vetorial: a fonte de

fluxo e a fonte de circulação. Em outras palavras, dado o divergente e o rotacional

de um campo, esse campo fica definido em todo o espaço.

Teorema de Stokes: O rotacional nos dá uma visão microscópica

da circulação de um campo vetorial. O teorema de Stokes apresenta uma visão

macroscópica dessa circulação.

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O teorema de Stokes resulta:

Obter o fluxo do rotacional de um campo vetorial é o mesmo que calcular a integral de

linha desse campo no contorno da área considerada.

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Operador Vetorial Nabla: O operador nabla (símbolo ∇) foi criado

para facilitar a memorização do gradiente, do divergente e do rotacional.

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QUESTIONÁRIO – ENTREGAR NA PRÓXIMA AULA.

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Lei de Ampère e o Campo Magnético: Um campo magnético estático

pode ter como origem tanto uma corrente constante como um imã permanente (relação

fundamental entre eletricidade e magnetismo - Oersted).

Lei de Biot – Savart: um elemento diferencial de corrente Idl gera uma

intensidade incremental de campo magnético, dH. O campo varia inversamente com o

quadrado da distância, é independente do meio circunvizinho e possui direção e sentido

fornecido pelo produto vetorial de Idl por aR. Esta relação é conhecida como a lei de Biot-

Savart.

O sentido de R é do elemento de corrente para o ponto onde dH deve ser calculado (direção

e sentido é dado pelo vetor dl x aR ). E θ é o ângulo entre aR e dl

Observação: Joseph A. Edminister

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Elementos de corrente não têm existência isolada. Todos os elementos que formam o

filamento de corrente final contribuem para H (o campo de intensidade magnética) e

devem ser considerados. A soma destes filamentos constituem na integral da lei de

Biot-Savart:

Esta integral de linha fechada impõe simplesmente que todos os elementos de corrente

estejam incluídos no sentido de se obter o H total (o contorno pode fechar no infinito).

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Lei de Biot – Savart: O campo magnético B no ponto P é dado pela integral das

contribuições de cada elemento da distribuição

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Exemplo: Em um fio retilíneo longo, determine o campo magnético (B) existente,

quando percorrido por uma corrente i.

Solução:

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Exemplo: Na Figura mostra uma corrente filamentar retilínea, infinita, ao longo do eixo z

em coordenadas cilíndricas. Escolhe-se sem perda um ponto sobre o plano z = 0.

Determine H.

A variável de integração é z.

Como aφ não varia com z, pode ser retirado

do integrando antes da integração.

Este resultado mostra que H é inversamente proporcional à distância radial. Sua direção está em concordância com a

regra da mão direita: sendo que o polegar aponta na direção da corrente, enquanto que os demais dedos dessa mão

indicam a direção do campo quando o condutor é girado.

Lembrete:

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Lei de Ampère: A integral de linha da componente tangencial de H sobre um

percurso fechado é igual à corrente enlaçada por esse percurso.

A lei de Ampère é usualmente utilizada para calcular o campo magnético H. Para utilizar

a lei de Ampère com intuito de calcular H deve haver um considerável grau de simetria

no problema. Duas condições devem ser atendidas:

1. Em cada ponto do percurso fechado, H deve ser tangencial ou normal ao percurso.

2. H tem o mesmo valor em todos os pontos do percurso onde H é tangencial.

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Exemplo: Use a lei de Ampère para obter H devido a um filamento de corrente I

retilíneo e infinitamente longo.

Solução: A lei de Biot-Savart mostra que, em cada ponto do círculo (Figura), H é

tangencial e de mesmo módulo. Então

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Densidade de Fluxo Magnético B: O campo de intensidade

magnética H é independente do meio. O campo de força associado a H é a densidade

de fluxo magnético B, que é dado por:

O sinal de Φ pode ser positivo ou negativo, dependendo da escolha da normal à

superfície em dS. A unidade do fluxo magnético é o weber, Wb.

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Solução

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Forças Magnéticas : o campo magnético só é capaz de exercer

uma força sobre uma carga se ela estiver em movimento. Experimentalmente,

pode-se verificar que uma partícula, movimentando-se em um campo magnético

cuja densidade de fluxo é B, sofre a ação de uma força, cuja intensidade é

proporcional à carga, à velocidade v, à densidade de fluxo B, e ao seno do ângulo

entre os vetores v e B. A direção da força é perpendicular a ambos, v e B e é

dada pelo vetor unitário da direção de v x B.

A força pode ser portanto, expressa como

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Força sobre um Elemento Diferencial de Corrente

A força sobre uma partícula carregada, que se desloca através de um campo magnético

estacionário, pode ser escrita como uma força diferencial exercida sobre um elemento

diferencial de carga.

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As forças de coulombianas entre os elétrons e íons positivos, tendem a se opor ao

deslocamento.

A força elétrica é mais intensa que a força magnética nos bons condutores, de modo que

o real deslocamento dos elétrons é quase incomensurável.

Tais deslocamentos podem ser notados devido ao aparecimento de uma pequena

diferença de potencial.

A diferença de potencial é conhecida como d.d.p Halll e o seu efeito é chamado Efeito

Hall.

As forças sobre condutores percorridos por correntes.

A densidade de corrente quanto à velocidade da densidade volumétrica de carga é:

14/4/2014 56

O elemento diferencial de carga pode também ser expresso em termos de densidade

volumétrica de carga.

Portanto:

Como

A força de Lorentz aplicada a densidade superficial

Um filamento diferencial de corrente

Integrando as equações acima

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∴Um condutor retilíneo em um campo magnético

A magnitude da força é dada pela equação

o ângulo entre os vetores que representam a direção do fluxo de corrente e a

direção da densidade de fluxo magnético é θ. Estas equações aplica-se somente

a uma porção de circuito fechado.

Uma partícula carregada em movimento num campo magnético sofre a ação de

uma força perpendicular à sua velocidade, com módulo proporcional à sua

velocidade e à densidade de fluxo magnético. A expressão completa é dada pelo

produto vetorial

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Força e Torque em um Circuito Fechado: para definir torque

ou momento de uma força é necessário definir uma origem na qual ou em relação à qual o

torque é aplicado. Ao aplicar uma força F no ponto P e estabelecendo uma origem em O

com um braço de alavanca R estendendo-se de O a P. O torque em relação ao ponto O é um

vetor cujo módulo é o produto do módulo de F, de R e do seno do ângulo entre estes dois

vetores.

A direção do vetor torque T é normal ao plano definido por R e F e o seu sentido é orientado

no sentido de avanço de um para fuso de rosca direita, quando gira-se o braço de alavanca

até a direção de F pelo ângulo. O torque é expresso sob a forma de um produto vetorial:

14/4/2014 59

Suponhamos que as forças F1 e F2 com braços de alavanca R1 e R2 sejam aplicadas a

um objeto de forma fixa e que este objeto não sofra translação. Então

O vetor R21 = (R1 – R2 ) liga o ponto de aplicação de F2 ao ponto de aplicação de F1

e é independente da origem dos dois vetores R1 e R2

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Exemplo: Encontre o torque em relação ao eixo y para dois condutores de extensão l,

separados por uma distância fixa w, no campo uniforme B mostrado na figura.

Solução:

Força no condutor da esquerda

Torque correspondente

A força sobre o condutor da direita resultará no mesmo torque. A soma é,

14/4/2014 61

Circuitos Magnéticos: análise semelhante aos circuitos elétricos resistivos

de corrente contínua, porém, de natureza não linear devido as propriedades dos materiais

magnéticos.

Intensidade de Campo Elétrico Intensidade de Campo Magnético

A diferença de potencial elétrico

Sendo Vm a força magnetomotriz ou fmm (unidade: ampère-espiras)

Relacionamento entre fmm e o campo magnetostático.

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Densidade de Corrente Densidade de fluxo magnético

Corrente Total Fluxo magnético total

Resistência como a relação entre diferença do potencial e a corrente

Relutância como a relação entre a força magnetomotriz e o fluxo total

Sendo a relutância é medida em ampère-espira por weber(Ae/Wb)

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Definição de Resistência Definição de Relutância

A corrente total é usualmente obtida com base no número de espiras.

No circuito magnético, o enrolamento em que flui a corrente será envolvido pelo

circuito magnético. Pode-se afirmar que a corrente NI gera um fluxo Φ que

percorre toda a extensão do núcleo.

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A Lei de Ampère Aplicada aos Circuitos Magnéticos:

considerando uma bobina com N espiras e com corrente I, enrolada num núcleo de

ferromagnético, produz uma força magnetomotriz (fmm) dada por NI. Aplicando-se, a lei de

Ampère ao percurso no centro do núcleo (conforme figura).

Conhecida a relutância (com base na figura), pode-se escrever a equação:

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Núcleo com Entreferro de Ar: São comuns circuitos magnéticos com

pequenos entreferros de ar. Sendo que a queda NI através do entreferro a ar é quase

sempre maior que a queda ao longo do núcleo. Para um núcleo de seção reta retangular,

com dimensões a e b.

Sendo: le o comprimento do entreferro Se área aparente

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Como pode-se observar na Figura abaixo: Φ1 = Φ2 + Φ3

Caso haja materiais distintos para partes do núcleo, torna-se necessário analisar

diferentes curvas B-H. Havendo um entreferro em um dos ramos deverá usar Hnln + Hele

para fmm entre as junções.

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Na análise de circuitos magnéticos em paralelo, deve-se esboçar um diagrama

equivalente, marcando cada tipo de material, as áreas das seções retas e os

comprimentos médios. Na tabela abaixo apresenta-se os parâmetros que devem ser

utilizados para analisar um circuito magnético paralelo.

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Exemplo: Para o dispositivo da Figura I tem-se uma corrente I = 5 A, através de N = 100

espiras, fazendo circular um fluxo magnético por um retângulo cujos comprimentos

médios da base e da altura são respectivamente 10 cm e 8 cm e secção reta 2 cm2, feito de

um material de permeabilidade relativa µr = 1000. Calcular:

a) - A relutância do circuito magnético

b) - A intensidade de campo magnético no núcleo

c) - A densidade de fluxo magnético no núcleo

d) - O fluxo magnético no núcleo

Solução:

a)

d)

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Indutância: Na magnetostática, o conceito de indutância surge da linearidade

entre o fluxo magnético e a corrente que o criou. Os indutores (bobinas) são projetados

para estabelecer um forte campo magnético na unidade, enquanto os capacitores são

projetados para estabelecer um forte campo elétrico entre as placas.

A indutância é medida em henries (H), sendo que, 1 henry é o nível de indutância que

estabelecerá uma tensão de 1 volt através da bobina devido a uma variação na corrente

de 1 A/s através da bobina

14/4/2014 72

Construção de um Indutor Sendo: µ = permeabilidade (Wb/A.m) N = número de espiras A = m2 l = m L = henries (H)

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Tipos de Indutores: podem ser categorizados como fixos ou variáveis.

A indutância de um indutor com um núcleo ferromagnético é µr vezes a indutância

obtida com um núcleo de ar.

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A linearidade entre fluxo e corrente relacionada com a

indutância, pode-se observada na lei de Ampère e na lei de

Biot-Savart.

Lei de Faraday Lei de Lenz Queda de tensão no indutor

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Exercício

1) Calcular a indutância, por metro de comprimento, de um cabo coaxial de raio a e b.

Campo criado por um fio reto e infinito de corrente i

Solução:

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2) Calcular a indutância por metro de uma linha de transmissão paralela com fios de raio

a, distância d (d >> a), com base na figura abaixo.

Solução: O fluxo devido aos dois fios será o dobro do fluxo criado por um dos fios.

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3) Calcular a indutância do toróide ou solenóide longo, comprimento l, seção A, N voltas.

Solução: Fluxo envolvido N vezes pela corrente.

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4) Calcule a indutância do cabo coaxial da figura abaixo, se a = 1 mm e b = 3 mm.

Suponha µr = 1.

Com base nos resultados do exercício 1

Solução

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5) A corrente que atravessa uma bobina de 2 H é de dada por i = 5 t2 determine a tensão

gerada nos terminais desta bobina.

Solução:

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Indutância Mútua: Um circuitos acoplados é quando pode ocorrer troca de

energia entre eles. Diversos equipamento funcionam a base de acoplamento (elétrico,

eletromagnético, magnético) , como por exemplo, os transformadores, os motores de

indução, etc. A teoria de circuitos acoplados abordados nos cursos de engenharia e

tecnologia envolve os conceitos eletromagnético, magnéticos e as leis de Kirchoff.

Eletricamente um circuito está fisicamente conectado com outro circuito, quando que

esta ligação pode ser realizada por meio de componentes elétrico.

Magneticamente, a energia é transferida de um circuito para outros através de indução

magnética. O comportamento de circuitos acoplados magneticamente baseiam-se,

nas definições de, indutância mútua – acoplamento magnético,

• A indutância mútua ocorre quando vários enrolamentos ou bobinas de fio condutor

têm um fluxo de indução magnética em comum.

• A indutância mútua entre dois enrolamentos é proporcional à taxa de variação do

fluxo de um dos enrolamentos em função da taxa de variação da corrente no outro

enrolamento.

14/4/2014 82

Indutância Mútua em transformadores: “Um transformador é

constituído por dois enrolamentos dispostos de maneira que o fluxo magnético variável

produzido por um deles aja sobre o outro”

O enrolamento no qual a fonte é aplicada é denominado de primário, e o

enrolamento no qual a carga é conectada é chamado de secundário.

dtdi

Le

dtd

Ne

ppp

ppp

=

=φ

dtdNe m

ssφ

=

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14/4/2014 84

Secundário em aberto – i2 =0

dttdiM

dttdiLv )()( 21

11 +=De: dttdiLv )(1

11 =tem-se

11 LLO=

Sendo L1o a indutância vista do primário com secundário em aberto

Com o secundário em curto v2 = 0

)1()()( 1222 dt

tdiMdt

tdiLv +=De:

)3()()(

)2()()(0

1

2

2

122

dttdi

LM

dttdi

dttdiM

dttdiL

−=

+=

)4()()( 2111 dt

tdiMdt

tdiLv +=

Substituindo em (3) em (4) tem-se a equação (5)

( )

( ) )6()(

)5()()(

2

2

11

1

1

2

111

−=

∴

−+=

LML

dttditv

dttdi

LMM

dttdiLtv

Definição do Fator de Acoplamento: Quanto de fluxo é disperso da indução magnética.

)6(21LL

MK =

)7(2

2

12

LMLK =

Substituindo em (7) em (6) tem-se a equação (8)

( ) ( )

( ) ( ) )9( 1)(

)8( )(

121

1

12

11

1

LKdt

tditv

LKLdt

tditv

−=

−=

)1( 211 kLL

S−=

L1s impedância do primário com secundário em curto.

)'6(21LLkM =

A indutância mútua entre dois enrolamento é proporcional à taxa de variação do fluxo em um dos enrolamentos com a corrente no outro

14/4/2014 86

Se o fator de acoplamento for igual a 1 significa que não ocorreu dispersão de fluxo entre o primário e o

secundário... )1( 211 kLL

S−= 21LLkM =

14/4/2014 87

Quando o núcleo é feito de um material ferromagnético, como o ferro, k (fator de

acoplamento) é praticamente igual a 1, enquanto quando o núcleo é feito de um

material não-magnético, como o ar, k pode ser muito menor que 1. Quando o coeficiente

de acoplamento entre dois enrolamento é pequeno, dizemos que os enrolamentos estão

fracamente acoplados.

1φφφ+

=m

mK

Outra definição para o Fator de Acoplamento

14/4/2014 ‹nº›

14/4/2014 89

Quando dois circuitos magnéticos estão próximo um do outro, o fluxo de cada um deles

vai influenciar no vizinho – Indutância Mútua. Denominando de φ12 o fluxo dentro do

circuito 1 criado pela corrente no circuito 2. Se no circuito 1 tiver N1 espiras o fluxo

oriundo do circuito dois que representa a influência no circuito 1 devido a corrente 2

será

Já a influencia que o circuito 1 produz no circuito 2, devido a corrente 1 será:

14/4/2014 90

Exemplo: Calcular a indutância mútua entre um fio infinito e uma espira retangular, ambos

no mesmo plano.

Solução

14/4/2014 91

1. Um elétron tem uma velocidade de 106 m/s no sentido +ax em um campo

magnético. B = 0,2ax – 0,3ay + 0,5az Wb/m2. A) Qual é o campo elétrico presente se a

força resultante sobre o elétron é zero? B) Se E = E0 (ax + ay + az), sendo E0 > 0,

determine E0 de tal modo que a força resultante seja 0,2 N.

2. Explique o funcionamento de uma máquina de indução.

3. Descreva a diferença entre uma ação geradora e uma ação motora em máquinas

elétricas