Circuitos Digitais CIC - UnB Soma de Produtos Soma de produtos é uma forma padrão de...

Circuitos Digitais CIC - UnB

Soma de ProdutosSoma de Produtos

• Soma de produtos é uma forma padrão de representação de funções Booleanas constituida pela aplicação da operação lógica OU sobre um conjunto de termos formados pela operação E:

ABACFDZ

Z = AB AC D’F

Termo produto

Soma de produtos

2 níveis lógicos


Produto de SomasProduto de Somas

• O produto de somas é outra forma padrão de representação de funções Booleanas caracterizada pela aplicação da operação E sobre um conjunto de operações OU sobre as entradasABACFDZ

2 níveis lógicos

Z = (A B)(A C)(D’ F)

Termo soma

Produto de Somas


MintermosMintermos

• Um mintermo é um termo produto que vale 1 em apenas um ponto do domínio de uma função Booleana• É definido por um produto (AND) onde cada variável aparece apenas uma vez, direta ou

complementada

F = A’BC 00010000

C01010101

B00110011

A00001111

Mintermo A’BC


MaxtermosMaxtermos

• Um maxtermo é um termo soma que vale 0 (zero) em apenas um ponto do domínio da função

• É determinado por uma disjunção (OR) onde cada variável aparece apenas uma vez, direta ou complementada

F 11101111

C01010101

B00110011

A00001111

Maxtermo (A’ B C)


Formas CanônicasFormas Canônicas

• Uma tabela verdade é uma assinatura que identifica unívocamente uma função Booleana

• Espressões Booleanas diferentes podem representar uma mesma função Booleana

F00011111

F11100000

C01010101

B00110011

A00001111

F = A C

F = A B A B’ C

F = A B C B’ C’) C

Tabela Verdade Espressões Booleanas


Formas Canônicas Dois NíveisFormas Canônicas Dois Níveis

• Formas Canônicas são representações (assinaturas) únicas de funções Booleanas– Ex: uma soma de produtos é uma forma canônica

F = A' B C A B' C' A B' C A B C' A B C0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

F' = A' B' C' A' B' C A' B C'

F00011111

F11100000

C01010101

B00110011

A00001111

OR de 1’s



• Formas Canônicas são representações (assinaturas) únicas de funções Booleanas– Ex: produto de somas é outra forma canônica

F = (A B C) (A B C’) (A B’ C)0 0 0 0 0 1 0 1 0

F' = (A B’ C’) (A B’ C’) (A B’ C) (A B C’) (A B C)

F00011111

F11100000

C01010101

B00110011

A00001111

AND de 0’s



• Notação para soma de mintermos:– F(A,B,C) = (1, 3, 5, 7)

= m1 m3 m5 m7

= A B C’ A B' C' A B’ C A B C

• Notação para produto de maxtermos:– F(A,B,C) = (0, 2, 4, 6)

= M0·M2·M4·M6

= (A B C) (A B’ C) (A’ B C) (A’ B’ C)


Simplificação de Soma de MintermosSimplificação de Soma de Mintermos

• Usando métodos algébricos:

– F(A,B,C) = ∑(3,4,5,6,7)

= m3 m4 m5 m6 m7

= A' B C A B' C' A B' C A B C' A B C= A B' (C C') A' B C A B (C' C)= A B' A' B C A B= A (B' B) A' B C= A A' B C= A B C B

C

A

FImplementação


Mintermos x MaxtermosMintermos x Maxtermos

• É possível obter um produto de maxtermos a partir de uma soma de mintermos e vice-versa aplicando De Morgan sobre o complemento da função

– F(A,B,C) = (1, 2, 3, 5, 7) = A’ B’ C A’ B C’ A B’ C A B C

F ’ (A,B,C) = (0, 4, 6) = A’ B’ C’ A B’ C’ A B C’

F (A,B,C) = (F ’ (A,B,C) )’ = (A’ B’ C’ A B’ C’ A B C’)’

= (A B C’)(A B’ C’)(A’ B’ C’)

= (1, 3, 7)


Funções IncompletasFunções Incompletas

• São funções para as quais algumas combinações de valores das entradas nunca ocorrem– Ex: acionador de display de 7 segmentos para dígitos BCD

A0000000011111111

B0000111100001111

C0011001100110011

D0101010101010101

S11011011111XXXXXX

x1x2x3x4

s1

s2

s 3s4

s5

s6 s 7

• 4 entradas -> 16 combinações• apenas 10 utilizadas• 6 combinações nunca ocorrem

• são denominadas irrelevantes(don’t cares)

• podem ser utilizadas para simplificar a lógica

• 4 entradas -> 16 combinações• apenas 10 utilizadas• 6 combinações nunca ocorrem

• são denominadas irrelevantes(don’t cares)

• podem ser utilizadas para simplificar a lógica


Funções IncompletasFunções Incompletas

• Funções incompletas mapeiam pontos do domínio da função em 3 valores possíveis:– F(A, B, C, D) { 0, 1, X }

• Os domínios de pontos onde F vale { 0, 1, X} são denominados, respectivamente, de:

F1 = {m0, m2, m3, m5, m6, m7, m8, m9 }

Fx = {i10, i11, i12, i13, i14, i15 }

F0 = {M1, M4 }

• F pode ser descrita definindo-se dois desses três conjuntos:– F (A, B, C, D) = F1 Fx ou F1 F0 ou F0 Fx


Minimização Lógica Dois NíveisMinimização Lógica Dois Níveis

• Manipulação algébrica: – Difícil determinar a ordem e quais transformações aplicar

– Como saber se atingiu-se a melhor solução ?

• Ferramentas de auxílio:– Não conseguem tratar problemas grandes de forma exata

– Baseiam-se em heurísticas e critérios de custo

– Resultados bastante bons em lógica dois níveis

• Métodos manuais apenas para fins didáticos ou funções muito simples


Minimização Lógica Dois NíveisMinimização Lógica Dois Níveis

• Idéia base: aplicação de distribuição e complemento

A(B A(B B’) = A B’) = A

Dentro de F1:

B varia enquanto

A não muda

Resultado: B é eliminado!Resultado: B é eliminado!

A0011

B0101

F0011

F = A B' + A B = A (B' + B) = A G = A' B' + A B' = (A' + A) B' = B'

Dentro de G1:

A varia enquanto

B não muda

Resultado: A é eliminado!Resultado: A é eliminado!

A0011

B0101

G1010


CubosCubos

• O espaço Booleano n-dimencional pode ser visualizado espacialmente• Produtos de literais são chamados de cubos

Cubo 4

WXYZ

01110011

0010

0000

0001

0110

1010

0101

0100

1000

1011

1001

1110

1111

1101

1100

YZ

W

X

XY

X

01

00

11

10

Y

Cubo 3

XYZ

X

011

010

000

001

111

110

100

101Y Z

Cubo 1X

0 1

Cubo 2


Visualização de CubosVisualização de Cubos

Cubo 3

XYZ

X

011

010

000

001

111

110

100

101Y Z• Pontos adjacentes diferem em 1 bit• Todos os pontos da função estão dispostos sobre uma face• Y e Z variam enquanto X permanece inalterado: Y e Z podem ser eliminados da expressão

F(X, Y, Z) = ∑(4,5,6,7) = XF(X, Y, Z) = ∑(4,5,6,7) = X


Mapas de KarnaughMapas de Karnaugh

• Visualização do domínio de uma função na forma matricial

• Pontos do domínio estão dispostos seguindo o código Gray, pares adjacentes diferem em 1 bit

AB 0 1

0

1

0

1

2

3

0

1

2

3

6

7

4

5

ABC

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

A

B

AB

CD

A

00 01 11 10

0

1

00 01 11 00

00

01

11

10C

B

D


Adjacências no Mapa de KarnaughAdjacências no Mapa de Karnaugh

000

001

010

011

110

111

100

101

00 01 11 10

0

1

ABC

A

B

011

010

000

001

100

110

101

111

B

C

A

• Os elementos nas extremidades das linhas e colunas são também adjacentes



• O cubo obtido é definido pelas variáveis que não mudam de fase ao longo de seus mintermos

A

B 0 1

0 1

0 1

0

1

A

B 0 1

1 1

0 0

0

1

B é eliminadoA permanece

A é eliminadoB’ permanece

F = ?F = ?

F = ?F = ?

ABC

A

00 01 11 10

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

B

F = ?F = ?



• O cubo obtido é definido pelas variáveis que não mudam de fase ao longo de seus mintermos

A

B 0 1

0 1

0 1

0

1

A

B 0 1

1 1

0 0

0

1

B é eliminadoA permanece

A é eliminadoB’ permanece

F = A B’ AB = AF = A B’ AB = A

F = A’ B’ AB’ = B’F = A’ B’ AB’ = B’

ABC

A

00 01 11 10

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

B

F = A B C’ A B C AB’C A B’ C’ = A(B(C C’) B’(C C’)) = A

F = A B C’ A B C AB’C A B’ C’ = A(B(C C’) B’(C C’)) = A


Adjacências no Mapa-KAdjacências no Mapa-K

00C

AB01 11 10

1001

1100

A

B

0

1•Adjacência nas extremidades das linhas

00C

AB01 11 10

0101

1 10 0

A

B

0

1•Adjacência nas extremidades das colunas


Complemento de uma FunçãoComplemento de uma Função

00C

AB01 11 10

1001

1100

A

B

0

1

00C

AB

01 11 10

0110

0011

A

B

0

1

F = ? F = ?

F’ = ?F’ = ?

Trocar 0’s por 1’s


Complemento de uma FunçãoComplemento de uma Função

00C

AB01 11 10

1001

1100

A

B

0

1

00C

AB

01 11 10

0110

0011

A

B

0

1

F = A C B’ C’ F = A C B’ C’

F’ = A’ C B C’ F’ = A’ C B C’

Trocar 0’s por 1’s


Karnaugh de 4 variáveisKarnaugh de 4 variáveis

AB00 01 11 10

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

00

01

11

10C

CD

A

D

B

F = ?F = ?


Karnaugh de 4 variáveisKarnaugh de 4 variáveis

F = C + A' B D + B' D'F = C + A' B D + B' D'

AB00 01 11 10

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

00

01

11

10C

CD

A

D

B


Minimização com IrrelevânciasMinimização com Irrelevâncias

• Os pontos irrelevantes podem ser considerados como 1 ou 0 no mapa de Karnaugh

• São utilizados para formar cubos maiores, simplificando a função

00C

AB01 11 10

1x01

x1x0

A

B

0

1

Os pontos irrelevantes deste cuboestão sendo computados como 1’s

Este ponto irrelevante é considerado como 0


Exemplo: comparador de 2 bitsExemplo: comparador de 2 bits

F11000010000100001

F20111001100010000

F30000100011001110

D0101010101010101

C0011001100110011

B0

1

0

1

A0

0

1

1

=, >, <F1 A B = C DF2 A B < C DF3 A B > C D

AB

CD

N1

N2

• 3 funções de 4 variáveis• 3 mapas de Karnaugh• 3 funções de 4 variáveis• 3 mapas de Karnaugh

© R.H. Katz



AB00 01 11 10

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

00

01

11

10C

CD

A

D

B

K-map for F1

AB00 01 11 10

0 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 0

00

01

11

10C

CD

A

D

B

K-map for F2

AB00 01 11 10

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 1 0

00

01

11

10C

CD

A

D

B

K-map for F3

F1 = ?

F2 = ?

F3 = ?

F1 = ?

F2 = ?

F3 = ?

© R.H. Katz



F1 = A' B' C' D' + A' B C' D + A B C D + A B' C D'

F2 = A' B' D + A' C

F3 = B C' D' + A C' + A B D'

A xnor B xnor C xnor D

AB00 01 11 10

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

00

01

11

10C

CD

A

D

B

K-map for F1

AB00 01 11 10

0 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 0

00

01

11

10C

CD

A

D

B

K-map for F2

AB00 01 11 10

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 1 0

00

01

11

10C

CD

A

D

B

K-map for F3

© R.H. Katz

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