Circuitos De Corrente ContíNua

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] ltima atualizao: 30/08/2005 13:07 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FSICA 3

Captulo 33 - Circuitos de Corrente Contnua

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

Problemas Resolvidos 20. Uma fonte de potncia de 120 V protegida por um fusvel de 15 A. Qual o nmero mximo de

lmpadas de 500 W que podem ser simultaneamente alimentadas, em paralelo, por esta fonte? (Pg. 127)

Soluo. Considere o esquema abaixo, onde F um fusvel e L lmpada:

V

Fi0

P P PLNL2L1

i i i

Como as lmpadas L1, L2, ... , LN esto associadas em paralelo, todas esto sujeitas mesma diferena de potencial V. Logo, a corrente eltrica em cada uma delas vale:

PiV

= (1) A soma das correntes que abastecem as lmpadas deve ser, no mximo, igual a i0: (2) 0 1 2 Ni i i i N= + + + =" iSubstituindo-se (1) em (2):

0Pi NV

=

0i VNP

= lmpadas

(15 A)(120 V) 3,6

(500 W)N = = lmpadas

Como no pode haver nmero fracionrio de lmpadas: N = 3 lmpadas

[Incio] 26. No circuito da Fig. 23, , R1 e R2 tm valores constantes, mas R pode variar. Ache uma

expresso para R que torne mximo o aquecimento deste resistor.

(Pg. 128)

Soluo. Considere o esquema abaixo, que representa a parte superior central do circuito, onde 1 e 2 representam as malhas da esquerda e da direita, respectivamente, e in representam as correntes eltricas:

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2


i0 i2

i11 2

Potncia dissipada por R: (1) 2( ) 2RP i= RClculo de i2 (leis de Kirchhoff): (2) 0 1 2i i i= + 1 0 2 1 0R i R i = (3) (4) 2 2 1 0Ri R i + =Resolvendo-se o sistema (2), (3) e (4):

( )22 1 2 1 2Ri

R R R R R= + + (5)

Substituindo-se (5) em (1):

( )2 2

2( ) 2

1 2 1 2

RR RP

R R R R R= + +

Valor de R que maximiza a dissipao de calor em R:

( ) 0RdPdR

=

( )

( )2 2

2 1 2 1 23

1 2 1 2

0R R R R R R

R R R R R

+ =+ +

Como todas as grandezas que aparecem no primeiro membro desta equao so positivas, ela s ser verdadeira se: ( )1 2 1 2 0R R R R R + = Logo:

1 21 2

R RRR R

= +

[Incio] 33. Qual a leitura no ampermetro A, Fig. 27, e R? Suponha que A tenha resistncia interna nula.

(Pg. 128)

Soluo.


3Considere o esquema simplificado da Fig. 27 abaixo:


i1 i2

i3

i6

i4

i5

AB

C

a

b c

d Equaes de Kirchhoff para o circuito. N a:

1 2i i i= + 3

4

5

N b:

6 3i i i= +N c:

2 4i i i= +Malha A:

3 62 0Ri Ri = Malha B:

3 22 0Ri Ri =Malha C:

6 5 0Ri Ri =As equaes acima formam um sistema com seis incgnitas. A soluo laboriosa e tem o seguinte resultado:

167

iR=

, 247

iR=

, 327

iR=

, 4 7i

R=

, 537

iR=

, 637

iR=

A corrente que passa pelo ampermetro i4. Logo, a resposta do problema :

4 7

iR=

[Incio] 34. Quando as luzes de um carro so ligadas, um ampermetro em srie com elas marca 10,0 A e um

voltmetro em paralelo marca 12,0 V. Veja a Fig. 28. Quando o motor de arranque eltrico ligado, a leitura no ampermetro baixa para 8,00 V e as luzes diminuem um pouco seu brilho. Se a resistncia interna da bateria for 50 m e a do ampermetro for desprezvel, quais so (a) a fem da bateria e (b) a corrente que atravessa o motor de arranque quando as luzes esto acesas?


4


(Pg. 128)

Soluo. (a) Quando as luzes so ligadas, mas o motor de arranque ainda est desligado, o circuito pode ser representado pela figura abaixo, onde a fem da bateria, R a resistncia interna da bateria, i0 a corrente eltrica e L representa as luzes do carro:

LR

i0 Aplicao da regra das malhas de Kirchhoff a este circuito, onde V a diferena de potencial nos terminais das luzes:

0 0V Ri =

0V Ri = + 3(12,0 V) (50 10 )(10,0 A) = + 12,5 V = (b) Quando o motor de arranque ligado, o circuito passa a ser representado pela figura abaixo, onde M representa o motor de arranque:

LR

i1M

i2 i 3

Aplicao das regras de Kirchhoff a este circuito, onde RM a resistncia eltrica do motor e RL a resistncia das luzes:

2 1 0MR i Ri = (1) (2)

3 2 0L MR i R i + = (3)

1 2i i i= + 3(1) + (2):

1 3 0LRi R i = (4) Resistncia das luzes, obtida do circuito analisado no item (a):

0

LVRi

= (5) Resolvendo-se (4) para i1 e substituindo-se (5):


5


1 30

1Vi ii R

=

1 3

(12,0 V) 1(12,5 V) (8,00 A) 58,0 (10,0 A) (50 10 )

i = =

3

Resoluo de (3):

2 1i i i=

2 (58,0 A) (8,00 A)i = 2 50,0 Ai =

[Incio] 35. A Fig. 29 mostra uma bateria ligada a um resistor uniforme R0. Um contato deslizante pode

mover-se sobre o resistor de x = 0 esquerda, at x = 10 cm direita. Ache uma expresso para a potncia dissipada no resistor R como uma funo de x. Trace o grfico desta funo para = 50 V, R = 2.000 e R0 = 100 .

(Pg. 128)

Soluo. Considere o esquema simplificado da Fig. 29 abaixo:

i1

i2

i3

A

Ba

L

x

Potncia dissipada no resistor R: (1) 2

3P Ri=O clculo da potncia est na dependncia de i3, que ser calculado por meio da aplicao equaes de Kirchhoff ao circuito. N a: (2)

1 2 3i i i =Malha A:

2 0 1 0 0

x L xi R i RL L

= ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 33 - Circuitos de Corrente Contnua

6


( )1 2 0 1 0 0xi i R i RL + = (3) Substituindo-se (2) em (3):

30 1 0 0

i x R i RL

+ = (4) Malha B:

3 1 0 0

L xi R i RL

= (5)

Multiplicando-se ambos os membros de (5) por LL x

3 1 0

L Li R i RL x L x

+ + 0 = (6) (4) + (6):

30 3 1 0 1 0 0

i xL LR i R i R i RL x L L x

+ + + =

3 01 0

L x Li R RL x L L x

+ + =

2

03

( ) ( )( )

L x xR L R L L xiL L x L x

+ =

3 2

0 ( )Lxi

L R R L x x= + (7)


2 2 2

220 ( )

L RxPL R R L x x

= +

(b)

x

P(x)

[Incio] 37. (a) Calcule a intensidade das trs correntes que aparecem no circuito da Fig. 31. (b) Calcule o

valor de Vb Va. Suponha que R1 = 1,20 , R1 = 2,30 , 1 = 2,00 V, 2 = 23,80 V e 3 = 5,00 V.


7


(Pg. 129)

Soluo. (a) Considere o esquema simplificado da Fig. 31 abaixo:

i1

i2

i3

A B

a

b

c

Equaes de Kirchhoff. Malha A:

1 1 1 2 2 2 1 1 0R i R i R i =

1 2 1 1 2 22R i R i 0 = (1) Malha B:

3 1 3 2 2 2 1 3 0R i R i R i =

3 2 1 3 2 22R i R i 0 = (2) N a: (3)

1 2i i i= 3

0Substituindo-se (3) em (1):

1 2 1 2 1 3 2 22 2R i R i R i + = (4) (2) + (4): ( )1 2 3 1 2 22 2 R R i + + = 0 ( )1 22 1 2

22

i 3R R

+= + (5)

[ ]2(2,00 V) 2(3,80 V) (5,00 V) 0,085714 A

2 (1,20 ) (2,30 )i += = + "

2 85,7 mAi Logo, a corrente i2 tem o sentido para cima. Substituindo-se (5) em (2):

( )2 1 3 1 1 2 3 23 1 1 22 2

4R R R Ri

R R R += + (6)

3 0,582 Ai Logo, a corrente i3 tem o sentido para cima. ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 33 - Circuitos de Corrente Contnua

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( )1 1 2 1 1 2 3 21 1 1 22 2

4R R R Ri

R R R + = +

1 0,668 Ai Logo, a corrente i1 tem o sentido para baixo. (b) Contabilidade de ganhos e perdas de potencial eltrico no caminho ab, considerando-se o sentido correto da corrente i2 (para cima): 2 2 2b aV R i V+ = 2 2 2b aV V R i = (2,30 )(0,668 A) (3,80 V) 3,60285 Vb aV V = = " 3,60 Vb aV V

[Incio] 46. A resistncia varivel da Fig. 36 pode ser ajustada de modo que os pontos a e b tenham

exatamente o mesmo potencial. (Verificaremos essa situao ligando momentaneamente um medidor sensvel entre os pontos a e b. No havendo diferena de potencial, no haver deslocamento no ponteiro do medidor.) Mostre que, aps essa ajustagem, a seguinte relao torna-se verdadeira:

21

X SRR RR

= , A resistncia (Rx) de um resistor pode ser medida por este processo (chamado de Ponte de Wheatstone), em funo das resistncias (R1, R2 e R3) de outros resistores calibrados anteriormente.

(Pg. 130)

Soluo. Considere o esquema abaixo:


9


i 1

i0 i 2

a

c d

b

R R

R xRs

Contabilidade de ganhos e perdas de potencial eltrico no caminho adb: 1 1 2a S bV R i R i V V+ = = a 1 1 2SR i R i= (1) Contabilidade de ganhos e perdas de potencial eltrico no caminho acb: 2 1 2a X bV R i R i V V + = = a 2 1 2XR i R i= (2) Dividindo-se (1) por (2):

12

S

X

RRR R

=

21

X SRR RR

=

[Incio] 47. Mostre que se os pontos a e b da Fig. 36 forem ligados por um fio de resistncia r este ser

percorrido por uma corrente igual a

( )

( )( )2 2s xs x sR R

iR r R R R R

= + + + x , onde fizemos R1 = R2 = R,R0 = 0, e o valor da fem da bateria. Esta frmula consistente com o resultado do problema 46?


10


(Pg. 130)


i2

i1

i3

i5i4

i6

B C

A

a

c d

b

R R

RxRs

r

Equaes de Kirchhoff. N a: 2 3i i i= + 6

6

4

N b: 5 4i i i= +N c: 1 2i i i= +Malha A: 5 4 52 0xR i R i = Malha B: 2 6 5 4 0Ri ri R i =Malha C: 3 5 6 0xRi R i ri + + =As equaes acima formam um sistema com seis incgnitas. A soluo laboriosa e tem o seguinte resultado:

( )( ) ( )

( ) ( )12

2 2s x s x

s x s x

R R R R r R R Ri

R R R r R R R+ + + + + = + + +


11


( ) ( )

( )( )2 2 2s x s x

s x s x

R R R r R Ri

R R R r R R R+ + + = + + +

( )( ) ( )3 2 2

s s x

s x s x

rR r R R Ri

R R R r R R R+ + + = + + +

( )

( ) ( )42

2 2x

s x s

r R Ri

R R r R R R+ += + + + x

( )

( ) ( )52

2 2s

s x s

r R Ri

R R r R R R+ += + + + x

( )( )( )6 2 2s xs x sR R

iR R r R R R

= + + + x A corrente que passa por r i6. Logo, a demonstrao est completa.

[Incio] 51. Um capacitor descarregado, atravs de um circuito RC, fechando-se a chave no instante t = 0.

A diferena de potencial inicial atravs do capacitor igual a 100 V. Se a diferena de potencial baixou para 1,06 V aps 10,0 s, (a) qual a constante de tempo do circuito? (b) Qual ser a diferena de potencial no instante t = 17 s? (Pg. 130)


C R

(a) Equao de descarga do circuito RC, onde q(t) a carga eltrica nas placas do capacitor em funo do tempo e q0 a carga inicial nas placas: (1) /( ) 0

t RCtq q e

=Diferena de potencial nas placas do capacitor em funo do tempo:

( )( )t

t

qV

C= (2)


/0( )t RC

tqV eC

= (3) /( ) 0

t RCtV V e

=

( ) /0

t t RCV eV

=

( )0

ln tV tV R

= C


12


( )

0

ln ttRCVV

=

(10,0 s) 2,1993 s

1,06 Vln100 V

RC = = "

2,20 RC s (b) Partindo-se de (3): /( ) 0

t RCtV V e

= (17 s) /(2,1993 s)(17 s) 0(100 V) 0,043956 VV e

= =" " (17 s) 0,0440 VV

[Incio]


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