Cinemática vetorial (II)

Composição de movimentos

Considere um barquinho movendo-se nas águas de um rio. O movimento do

barquinho em relação às águas chama-se movimento relativo.

O movimento das águas que arrastam o barquinho em relação às margens é o

movimento de arrastamento.

O movimento do barquinho em relação às margens, isto é, em relação à Terra, é o

movimento resultante.

A velocidade do barquinho em relação às águas é a velocidade relativa

(vrel).

A velocidade das águas, isto é, a velocidade da correnteza é a velocidade de

arrastamento (varr).

A velocidade do barquinho em relação às margens é a velocidade resultante

(vres).

Tem-se a relação vetorial:

Portanto: a velocidade do movimento resultante é a soma vetorial das

velocidades dos movimentos relativo e de arrastamento.

Considere os casos:

Exercícios básicos

Exercício 1:

Um barco desce um rio com velocidade em relação às margens de módulo 20 m/s

e, a seguir, sobe o rio com velocidade de 8,0 m/s também em relação às margens.

Determine o módulo da velocidade do barco em relação às águas, considerado o

mesmo na subida e na descida e o módulo da velocidade da correnteza.

Exercício 2:

Um ônibus se desloca em movimento retilíneo e uniforme com velocidade de

módulo 72 km/h, em relação a uma estrada.

Um menino sai da parte traseira do ônibus e com passadas regulares se desloca até

à parte dianteira, percorrendo em 5 s a distância de 10 m em relação ao ônibus.

Determine:

a) O módulo da velocidade do menino em relação ao ônibus e em relação à estrada.

b) A distância que o menino percorre, em relação à estrada ao se deslocar da parte

traseira até à parte dianteira do ônibus.

Sugestão:

Exercício 3:

Um barco atravessa um rio de margens paralelas e de largura 2,0 km, com

velocidade em relação à correnteza de módulo 8,0 km/h. O barco sai de um ponto

A de uma margem e mantém seu eixo sempre perpendicular à correnteza,

atingindo a outra margem.

A velocidade da correnteza é constante e de módulo igual a 6,0 km/h. Determine:

a) o módulo da velocidade resultante do barco;

b) a duração da travessia;

c) o módulo da velocidade resultante do barco para que ele saia de A e atinja um

ponto B da margem oposta, exatamente em frente ao ponto A de partida.

Exercício 4:

Um avião possui em relação à Terra uma velocidade de 600 km/h, na direção

norte-sul e sentido de sul para norte. Repentinamente o avião enfrenta um forte

vento com velocidade, em relação à Terra, de 100 km/h, na direção oeste-leste e

no sentido de oeste para leste. Para que o avião continue em sua rota original, qual

deve ser o módulo da velocidade do avião em relação ao ar e qual é

aproximadamente o ângulo que o eixo longitudinal do avião deve fazer com a

direção norte-sul? É dada a tabela:

Sugestão:

Exercício 5:

A chuva cai verticalmente com velocidade de módulo 3,0 m/s, em relação ao solo.

Não há ventos. Uma pessoa caminha horizontalmente com velocidade de módulo

√3 m/s. Para não se molhar ela inclina seu guarda-chuva de um ângulo θ com a

horizontal. Qual é o valor de θ?

Sugestão:

Exercício 1: resolução

Vamos indicar por vres, vrel e varr os módulos das velocidades resultante, relativa e

de arrastamento. Podemos escrever:

Barco descendo o rio: vres = vrel + varr => 20 = vrel + varr (1)

Barco subindo o rio: vres = vrel - varr => 8,0 = vrel - varr (2)

De (1) e (2):

vrel = 14 m/s e varr = 6,0 m/s

Exercício 2: resolução

a) vrel = Δsrel/Δt = 10 m/5 s => vrel = 2m/s = 7,2 km/h

vres = vrel + varr => vres = 2 + 20 => vres = 22 m/s = 79,2 km/h

b) vres = Δsrel/Δt => 22 = Δsrel/5 => Δsrel = 110 m

Exercício 3: resolução

a) (vres)2 = (vrel)

2 + (varr)2 => (vres)

2 = (8,0)2 + (6,0)2 => vres = 10 km/h

b) vrel = Δsrel/Δt => 8,0 = 2,0/Δt => Δt = (1/4) h = 15 min

c) (vrel)2 = (vres)

2 + (varr)2 => (8,0)2 = (vres)

2 + (6,0)2 =>

vres = √28 km/h ≅ 5,3 km/h

Exercício 4: resolução

(vrel)2 = (vres)

2 + (varr)2 => (vrel)

2 = (600)2 + (100)2 =>

vrel = √37.102 km/h ≅ 608,3 km/h

tg θ = varr/vrel = 100/608,3 ≅ 0,17 => θ ≅ 10º

Exercício 5: resolução

tg θ = vres/varr = 3/√3 = √3 => θ = 60º

Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:

(U. Mackenzie-SP)

Uma lancha, subindo um rio, percorre em relação às margens, 2,34 km em 1 h 18

min. Ao descer o rio, percorre a mesma distância em 26 min. Observa-se que,

tanto na subida como na descida, o módulo da velocidade da lancha em relação á

água é o mesmo. O módulo da velocidade da correnteza em relação às margens é:

a) 5,4 km/h b) 4,5 km/h c) 3,6 km/h d) 2,7 km/h e) 1,8 km/h

Revisão/Ex 2:

(ITA-SP)

Um barco, com motor em regime constante, desce um trecho retilíneo de um rio

em 2,0 h e sobe o mesmo trecho em 4,0 h. Quanto tempo levará o barco para

percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado? Admita que a

velocidade da correnteza seja constante.

a) 3,0 h b) 4,0 h c) 6,0 h d) 8,0 h e) 10 h

Revisão/Ex 3:

(UFMT)

Uma pessoa tem velocidade, relativa a uma esteira, de módulo 1,5 m/s e direção

perpendicular à da velocidade de arrastamento da esteira. A largura da esteira é de

30 m e sua velocidade de arrastamento, em relação ao solo, tem módulo igual a

2,0 m/s. Calcule:

a) o módulo da velocidade da pessoa em relação ao solo.

b) a distância percorrida pela pessoa, em relação ao solo, ao atravessar a esteira.

Revisão/Ex 4:

(EFEI-MG)

Um barco atravessa um rio seguindo a menor distância entre as margens que são

paralelas. Sabendo que a largura do rio é de 2,0 km, que a travessia é feita em 15

min e que a velocidade da correnteza é 6,0 km/h, podemos afirmar que a

velocidade do barco em relação à água é:

a) 2,0 km/h

b) 6,0 km/h

c) 8,0 km/h

d) 10 km/h

e) 14 km/h

Revisão/Ex 5:

(Fatec-SP)

Sob chuva que cai verticalmente, uma pessoa caminha horizontalmente com

velocidade 1,0 m/s, inclinando o guarda-chuva a 30º (em relação à vertical), para

resguardar-se o melhor possível. Dado que tg 60º = 1,7, a velocidade da chuva em

relação ao solo:

a) é 1,7 m/s

b) é 2,0 m/s

c) é 0,87 m/s

d) depende do vento.

e) depende da altura da nuvem de origem.

Resolução dos exercícios de revisão

Revisão/Ex 1: resolução

Barco subindo o rio:

vres = vrel - varr => 2,34km/1,3h = vrel - varr => 1,8 km/h = vrel - varr (1)

Barco descendo o rio:

vres = vrel + varr => 2,34km/(26/60)h = vrel + varr => 5,4 km/h = vrel + varr (2)

De (1) e (2):

vrel = 3,6 km/h e varr = 1,8 km/h (velocidade da correnteza)

Revisão/Ex 2: resolução

Barco desce o rio: vres = vrel + varr => d/2,0 = vrel + varrr (1)

Barco sobe o rio: vres = vrel - varr => d/4,0 = vrel - varrr (2)

(1) – (2): d/4,0 = 2.varr (3)

Para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado, a velocidade do

barco é a mesma da correnteza, isto é, de arrastamento.

Assim, de (3), vem:

d/4,0 = 2.(d/Δt ) => Δt = 8,0 h

Revisão/Ex 3: resolução

a) (vres)2 = (vrel)

2 + (varr)2 => (vres)

2 = (1,5)2 + (2,0)2 => vres = 2,5 m/s

b) vrel = AB/Δt => 1,5 = 30/Δt => Δt = 20 s

vres = AC/Δt => 2,5 = AC/20 => AC = 50 m

Revisão/Ex 4: resolução

(vrel)2 = (vres)

2 + (varr)2 => (vrel)

2 = (2,0km/0,25h)2 + (6,0)2 => vrel = 10 km/h

Revisão/Ex 5: resolução

tg 60° = vres/varr => 1,7 = vres/1,0 => vres = 1,7 m/s