Centroides

Seco de Mecnica Estrutural e Estruturas Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

ESTTICA Arquitectura 2006/07

4. Foras Distribudas: Centrides de Centros de Gravidade4.1 Generalidades

A atraco da Terra sobre um determinado corpo constituda por um sistema de foras distribudas aplicadas em cada partcula do corpo. Considerando tratar-se de um corpo rgido, a aco gravtica pode ser substituda pela aco da sua resultante o peso P do corpo, aplicada no centro de gravidade do corpo.

Exemplos de cargas (aces) gravticas em edifcios.



O mesmo se passa com outras foras distribudas como, por exemplo, a aco do vento sobre uma superfcie, a aco da presso hidrosttica sobre superfcies submersas, etc..

Aco do vento (presso).

Aco da presso hidrosttica. Substituio pela resultante.



Outras aces (uniformemente) distribudas.



4.2 Centro de Gravidade e Centride de Corpo Bidimensional Centro de Gravidade Considere-se o caso restrito de superfcies planas (placas) ou de linhas (arames) no plano. No caso duma placa, subdividindo-a em N pequenos elementos cuja posio descrita por (xi, yi) e cujo peso dado por Pi, o peso total P da placa :

P = Pii =1

N

O ponto de aplicao da resultante (peso) pode ser determinado igualando os momentos produzidos por ambos os sistemas de foras (distribudas e concentrada) relativamente aos eixos ordenados x e y do plano da placa, ou seja:

My = s Mx = s

P x = Pi xii =1

N

P y = Pi y ii =1

N

No limite, decompondo a placa em elementos infinitesimais, terse-ia:

P = dPe

P y = ydP

P x = xdP

em que (x, y ) descrevem as coordenadas do centro de gravidade da placa.



As equaes anteriores podem ser generalizadas a um arame (neste caso o domnio de integrao a linha que descreve o arame). Centride Tratando-se duma placa delgada homognea com espessura uniforme t, tem-se:

Pi = tAi pelo que

P = Pi = tAi =1

N

em que as equaes anteriores que permitiam a determinao do centro de gravidade degeneram em:

My = s My = s

Ax = Ai xii =1 N

N

Ay = Ai y ii =1

Neste caso, o ponto de coordenadas (x, y ) designado por centride da placa. Estes resultados podem ser generalizados a placas decompostas em elementos infinitesimais. A = dA e Ay = ydA Ax = xdA

No caso da placa no ser homognea o centride deixa de coincidir com o centro de gravidade.



As equaes anteriores definem os chamados momentos estticos (ou momentos de primeira ordem) da superfcie relativamente aos eixos ordenados. Estes so referenciados por Sx e Sy e determinam-se atravs de: Sx = Ay = ydASy = Ax = xdA

Das equaes anteriores se conclui que as coordenadas do centride duma superfcie podem ser determinadas dividindo os momentos estticos relativamente aos eixos ordenados pela rea da superfcie. Como consequncia, se o centride duma superfcie se situa sobre um determinado eixo, nulo o seu momento esttico relativamente ao mesmo eixo. De igual forma se conclui que se o momento esttico relativamente a um determinado eixo nulo, ento o centride da superfcie situa-se sobre o eixo. As concluses anteriores podem ser generalizadas para o caso de linhas no plano (arames). Simetria Simetria relativamente a eixo. Quando uma superfcie simtrica relativamente a um eixo, o seu momento esttico relativamente ao eixo nulo e o seu centride situa-se sobre o eixo.



Caso a superfcie apresente dois eixos de simetria, o centride situa-se no ponto de interseco destes eixos.

Simetria relativamente a ponto. Quando uma superfcie simtrica relativamente a um ponto, o seu centride situa-se nesse ponto.



4.3 Determinao de Centrides por Integrao

Quando se trate da determinao do centride de uma superfcie delimitada por curvas cujas expresses analticas so conhecidas, torna-se possvel proceder integrao com vista determinao dos momentos estticos e da rea. A integrao pode ser realizada por trs processos diferentes: Integrao dupla em coordenadas cartesianas dA = dxdy

Ex: tringulo rectngulo

S y = xdA = xdxdy0 By / H

H

B

y =H

A = dA = dxdy0 By / H

H

B

x =B

x=

Sy A

Integrao dupla em coordenadas polares dA = rdrd

Ex: quarto de crculo

S y = xdA = (r cos )rdrd0 0

/2R

A = dA = rdrd0 0

/2R

R x =B x= Sy A



Integrao simples considerando o mtodo das fatias (ou das faixas)H

H dy

x = g (y )

S y = x el dA = g ( y ) / 2(g ( y )dy ) 0H 0

A = dA = g ( y )dy

xel = g (y ) / 2

x=

Sy A

Exerccio: determinar a posio do centride sob um arco parablico pelo mtodo das faixas.No caso de uma linha, a posio do centride pode ainda ser determinada por integrao atravs de

S y = xdL

L = dL

x=

Sy L

Cuja integrao pode ser realizada coordenadas cartesianas ou polares

indistintamente

em

dL = dx 2 + dy 2

dL = dr 2 + (rd )

2

que podem ser explicitados em termos da varivel considerada como independente (em relao qual a integrao realizada)

dy dL = 1 + dx dx

2

dx dL = + 1dy dy

2

d dL = 1 + r dr dr 2 2

dr 2 dL = + r d d

2





4.4 Placas e Arames Compostos

Uma forma eficiente de determinar a posio do centro de gravidade (ou do centride) duma superfcie consiste em decompor esta em formas simples (tringulos, crculos, rectngulos, etc.) cujas caractersticas (rea e centride ou centro de gravidade) sejam previamente conhecidas. Com efeito,

Sy = Ax = xdA = xdA + xdA + .. + xdA = A1 x1 + A2 x2 + ..AN xN 1 2 N

pelo quex=n =1

An xnA

N

=

n =1 N

An xnn =1

N

An

o mesmo se passando com a determinao de y , ou sejay =n =1

An y nA

N

=

n =1 N

An y nn =1

N

An

As equaes anteriores so extensveis, com as devidas adaptaes determinao do centride de curvas compostas.x=n =1

Ln x nL

N

=

n =1 N

Ln x nn =1

N

Ln

y=

n =1

Ln y nL

N

=

n =1 N

Ln y nn =1

N

Ln

Para a determinao das reas (ou comprimentos) e posies dos centrides dos elementos que compe a superfcie (ou linha) devero consultar-se Tabelas (por exemplo, as tabelas do Beer&Jonhston, 7 Edio, Figs. 5.8A e B, anteriormente apresentadas).



4.5 Teoremas de Pappus-Guldinus

Definies: Superfcie de revoluo superfcie gerada pela rotao duma curva plana (curva geratriz) em torno dum eixo fixo (eixo de revoluo)

Exemplos

Superfcie esfrica

Superfcie cnica

Superfcie de toro

Corpo de revoluo corpo gerado pela rotao duma superfcie plana (superfcie geratriz) em torno dum eixo fixo (eixo de revoluo)

Exemplos

Esfera

Cone

Toro



Teorema I . A rea duma superfcie de revoluo igual ao produto do comprimento da curva geratriz pelo caminho percorrido pelo centride da curva durante o movimento de rotao que gera a superfcie.

Demonstrao: considerando a superfcie dA gerada por um segmento dL da curva geratriz

dA = 2 z dLConsiderando agora a totalidade da superfcie de revoluo

A = dA = 2 z dL = 2Sy = 2 z LNota: a curva geratriz no pode intersectar o eixo (geraria rea negativa) Aplicaes: Determinar a rea duma superfcie de revoluo conhecida a posio do centride da curva geratriz; Determinar a posio do centride, conhecida a rea da superfcie de revoluo.



Teorema II. O volume de um corpo de revoluo igual ao produto da rea da superfcie geratriz pelo caminho percorrido pelo centride da superfcie durante o movimento de rotao que gera o corpo.

Demonstrao: considerando o volume dV elemento dA da superfcie geratrizdV = 2 z dA

gerado por um

Considerando agora a totalidade do volume de revoluoV = dV = 2 z dA = 2 S y = 2 z A

Nota: a superfcie geratriz no pode intersectar o eixo (geraria volume negativo) Aplicaes: Determinar o volume dum corpo de revoluo, conhecidas a rea e a posio do centride da superfcie geratriz; Determinar a posio do centride da superfcie geratriz, conhecido o volume do corpo de revoluo.



Nota final: Ambos os teoremas (I e II) so aplicveis superfcies/volumes de revoluo incompletos (com rotao 0

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