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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA PROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA
MECÂNICA - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
04. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS SEÇÕES – PARTE I. Momento de primeira ordem; centróide de áreas simples e compostas (plano); centróide de curvas; teorema de Pappus-Guldinus.
Resitência Distribuição de Tensões
Tensões =
Propriedade Geométrica da Seção SolicitaçõesÁrea Esforço Normal e Cortante
Momento estático Corte e FlexãoBaricentro Todas as solicitações
Momento Axial de Inércia Corte e FlexãoProduto de Inércia Flexo-Tração
Momento Polar de Inércia Torção
Determinação do ponto de aplicação do peso de um corpo: (sistema de forças paralelas)
P = P ; P Mx = yP ; My = xPMRx = yP ; MRy = xP
x P = MRy = xP y P = MRx = yP
y
x
y
x
PP
yx
Solicitações P. G. S.
SERGIO TRANZILLO FRANÇA
E. CIVIL - 01
x ; y baricêntro do corpo ( ou centro de gravidade)
Para uma placa homogênea, de espessura constante: P = e A ; P = e A
Eliminando e e, e fazendo A dA:
Para um arame:
Simetria:Um eixo de simetria centróide sobre o eixoDois eixos de simetria centróide no encontro dos eixosCentro de simetria centróide neste ponto
Figuras compostas (placas e arames): Divide-se em figuras simples, com x e y de cada figura conhecidos (tabela anexa)
Calcula-se x e y da figura composta:Para cada figura: Ai ; xi ; yi
Mix = Aiyi ; Miy = Aixi
Figura Ai xi yi xiAi yiAi
Σ A Σ xiAi Σ yiAi
Cuidado!!! Sinal (posição relativa dos eixos)Área VazadaPosição da figura na tabela
Superfície de revolução: gerada pela rotação de uma curva;Corpo de revolução: gerado pela rotação de uma área;
Teorema de Pappus-Guldinus: I – Área de uma Superfície de revolução: A = 2YL II - Volume de um Corpo de revolução: V = 2YA
x = ∫ xdA / ∫ dA
y = ∫ ydA/ ∫ dA
∫ xdA – momento estático ou de 1a ordem em relação a y∫ ydA - momento estático ou de 1a ordem em relação a x
x ; y centróide da área (centro geométrico) (superfície do corpo)
Valores da tabela
E. CIVIL - 02
x = ∫ xdL / ∫ dL ; y = ∫ ydL/ ∫ dL
x = Σ xiAi / Σ Ai ; y = Σ yiAi/ Σ Ai
SERGIO TRANZILLO FRANÇA
by
a
y
x
4r
3
r2
2
x
y
Y=kxn
x
y
a
y
x
h
r
2
x
y
y
x
b y
x
a
CENTRÓIDE DE FORMAS COMUNS
Forma da Superfície Área x yTriângulo RetânguloBase = bAltura = h
Quarto de Círculo
Raio = r
Semi-círculo
Raio = r
0
Quarto de elipse
Semi-elipse 0
Dois segmentos de reta e um arco de parábola de grau n
Setor Circular
Raio = rÂngulo total 2 (em radianos)
0
Forma da Curva Comprimento x yQuarto de CircunferênciaRaio = r
Semi-circunferênciaRaio = r r 0
Arco de circunferênciaRaio = rÂngulo total 2 (em radianos)
0
b
3
h
3bh
2
r2
4
4r
34r
3
ab
4
4a
3
4b
3
4b
3
ab
2
ah
n +1
n+1
n +2a
n+1
4n +2h
2rsen 3r2
2r
2r
2r
2rrsen
E. CIVIL - 03
SERGIO TRANZILLO FRANÇA
EXERCÍCIOS
E. CIVIL - 04
4m
4m
2mx
y
2m
1. Determine, por integração, o centróide da área limitada pelas curvas ilustradas:
Para as questões 2 e 3, determine o centróide dos arames ilustrados.
2.
3.
Para as questões de 4 a 11, determine o centróide das áreas indicadas: (distâncias em mm)4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
4
4
y
x
y = ¼ x2
y2 = 4x
120
100
60
100
100
100
150
m
m
33
3
R=15
3060R=30
mm
mm
1515
30
50
80
1200
3000
4006002400600
R=30
60º
60º
100
Y=4x
36
r
y
Y=x3 / 3
R=3
3x
SERGIO TRANZILLO FRANÇA
y= x2/k4
6
a
12. Determinar o centróide da área indicada, e o volume do sólido gerado por sua rotação em torno do eixo a (distâncias em centímetros).
13. A área indicada gira ao redor do eixo a, formando um sólido de volume 51,2 cm2. Determine a coordenada Y do centróide da área.
14. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área indicada, em torno do eixo x e do eixo b, bem como a área da superfície de cada sólido:
15. Determine, utilizando o teorema de Pappus, o volume do reservatório ilustrado, e a área de sua superfície lateral.
RESPOSTAS:
1. X = 1,8; Y = 1,82.X = 24,41 mm; Y = 40,64 mm3. X = 2,43 m ; Y = 1,31 m4. X = 55,38 mm; Y = 93,85 mm5. X = 5,26 mm; Y = 06. X = 0,22 mm; Y = 2,927. X = 3,91 mm; Y = 4,87 mm8. X = 59,26 mm; Y = 14,97 mm9. X = 27,92 mm; Y = 14,16 mm10.X = 4,96 mm ; Y = 3,22 mm11.X = 2,22 m ; Y = 1,41 m12. X = 3,55 cm ; Y = 1,61 cm; V = 131,62 cm3
13. 2,414. Eixo x: V = 210,08 m3 ; A = 250 m2 Eixo b: V = 1292,83 m3 ; A = 1487,86 m2
15. V = 207,35 m3; A = 160,22 m2
b
2,0m
= 6 m
4 m
6 m
4,0m
4,0m4,0m4,0m
a
6
y = x3 / 6
2 1
x
y
E. CIVIL - 05
SERGIO TRANZILLO FRANÇA