Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

2

APRESENTAÇÃO

Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 2ª série do Ensino Médio (2º Grau).

Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios.

As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática.

Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor.

Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente.

No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado.

Não escreva na apostila, use seu caderno

META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM “Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus

valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”

OBJETIVOS ( Módulos 6 e 7 ) Nesta U.E. você será capaz de:

- Construir um gráfico no plano cartesiano, analisar e interpretar as coordenadas e sua divisões;

- Localizar os pontos ( pares ordenados ) no plano cartesiano; - Fazer análise de gráficos e tabelas; - Transpor o conceito de função na resolução de situações-problemas do

cotidiano; - Fazer uso do plano cartesiano, localizar dois ou mais pontos e traçar a reta que

representa a função do 1º grau e da parábola na função do 2º grau; - Determinar o ponto de máximo ou de mínimo de uma parábola e suas

aplicações em problemas;

3

MÓDULO 6

COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

Você percebeu que cada vez mais os gráficos e tabelas são usadas nos meios de comunicação (jornais, revistas, etc.) e ocupam lugar de destaque nas ciências exatas.

Além disso tem aplicações importantes na medicina, engenharia, economia, etc. O gráfico mais usado no estudo das ciências é o gráfico cartesiano formada por duas retas numeradas ( ou eixos ), que se cruzam num ponto zero ( a origem ) .

Considerando:

1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ) 2º A mesma unidade de medida nos eixos

O eixo horizontal é chamado eixo X (abscissas) O eixo vertical é chamado eixo Y (ordenadas) Para localizar um ponto P (na figura), traçam-se por esse ponto paralelas aos

eixos x e y, respectivamente. Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais

(3,2), sendo 3 no eixo x e 2 no eixo y, obedecendo rigorosamente essa ordem. Dessa maneira fica determinado o ponto P, como a intersecção ou junção das retas paralelas aos eixos x e y.

Veja mais alguns exemplos:

Localize os pontos no plano cartesiano lembrando que o 1º número é a abscissa (X) e o 2º é a coordenada (Y)

A (-1,3) C (-2,-2) B (2,-1) D (1, 4)

X Y

-6 -5 -4 -3 – 2 -1 1 2 3 4 5 6

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

.

P ( 3 , 2)

eixo X

eixo Y

Observe que os dois eixos estão divididos em partes iguais

4

O 1º nº do par ordenado pertence a abscissa (eixo x) e o 2º nº pertence a ordenada (eixo y). Os dois eixos formam as coordenadas cartesianas.

Os eixos cartesianos dividem o plano em 4 regiões chamadas quadrantes, que são numeradas no sentido anti-horário (contrário ao movimento do relógio)

I

III

EXERCÍCIO:

1) Faça em seu caderno o plano cartesiano e localize os seguintes pontos, lembrando que 0 1º nº é do eixo X e o 2º do eixo Y

P (3 , 4) Q (-1 , -3) R (-2 , 5)

-6 –5 –4 –3 –2 -1 0

1 2 3 4 5 6

4

3 2

1

-1

eixo X

eixo Y

-2

-3

-4

-5

A

B C

D •

•

•

•

II

IV

- +

+

-

5

COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU.

A função do 1º grau é escrita na forma y = ax + b, onde a é o coeficiente

numérico (nº).

Exemplo 1 Vamos construir o gráfico para a seguinte função do 1º grau: y = x + 1, seguindo

os passos abaixo:

1º passo: Você vai escolher, no mínimo, dois números quaisquer para colocar no lugar da letra x, e construir uma tabela igual a esta:

X X + 1 Y 1 1 + 1 2 ( 1, 2 ) 2 2 + 1 3 ( 2, 3 )

Observe que no lugar da letra X coloca-se o número que foi escolhido.

2º passo: Agora você vai construir o plano cartesiano traçando uma reta vertical ( eixo Y) e outra horizontal ( eixo X) que se interceptam (cruzam) no ponto zero (origem).

3º passo: A partir do “zero” dividir as retas em partes iguais correspondendo os pontos com os números.

4º passo: Localizar no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) obtidos na tabela.

5º passo: Traçar uma reta unindo os pontos obtidos.

Agora, observe o gráfico, onde estão localizados os pontos e a reta que passa por esses pontos.

Nºs que você escolhe para X

1

• (2 , 3)

• (1 , 2)

6

Exemplo 2: Como será o gráfico dos pontos (x,y), tais que y seja o nº que mede a área de um

terreno quadrado de lado x, ou seja, y = x²? X X² y -2 (-2) ² 4 Lembre-se ( -2)2 = -2 . -2 = +4 -1 (-1) ² 1 0 0² 0 1 1² 1

2 2² 4

O gráfico da relação y = x² é uma curva chamada parábola e é importante na geometria e na física.

Você já deve ter ouvido falar em antena parabólica: sua forma arredondada é derivada da parábola.

Agora é com você:

EXERCÍCIOS:

2) Faça a tabela, marque os pontos e trace a reta no plano cartesiano

a) y = x – 2 b) y = 3 . x

Você sabe que deve substituir os valores atribuídos para X na função Y = X²

•

•

•

•

•

7

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Você viu que atribuindo (dando) valores para uma variável (X) na equação você pode representá-la através de uma reta no plano cartesiano. O mesmo acontece quando você tem um sistema de equações (duas equações e duas variáveis).

Esse sistema pode ser resolvido calculando o valor das duas variáveis usando o método algébrico (ver exemplo abaixo), como também através do gráfico no plano cartesiano.

Observe atentamente o exemplo:

Exemplo 1:

A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais são esse números?

X = um número Y = outro número Traduzindo para a linguagem matemática você tem:

X + Y = 15 (a soma de dois números) X – Y = 3 (a diferença de dois números)

1º Passo: “Juntando” os termos semelhantes:

X + Y = 15 (1ª equação) X – Y = 3 (2ª equação)

2X = 18 Da equação resultante, você determina o valor de uma incógnita (neste caso o X ).

2X = 18 X = 18

2

2º Passo: substituir o valor da letra encontrado na 1ª ou 2ª equação.

X + Y = 15 (1ª equação) 9 + Y = 15 Y = 15 – 9

Logo, os números procurados são 9 e 6 e o conjunto verdade

é representado por : V = {(9 , 6)} X , Y

X =

9

Y = 6

Adicionam-se as duas equações reduzindo os termos semelhantes

8

A INTERSECÇÃO DE RETAS E A SOLUÇÃO DE SISTEMAS

Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto algebricamente como geometricamente?

Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo os cálculos com números e variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico.

X + Y = 15 1ª equação X – Y = 3 2ª equação

Para encontrar a solução geométrica você deve escolher dois números quaisquer para x, substituir na 1ª equação e descobrir que número deve ser a letra y para que a operação fique correta.

Por exemplo, se escolher os números 6 e 7 para x na primeira equação:

X + Y = 15 6 + Y = 15, se x vale 6 então y deve ser 9, pois 6 + 9 = 15 7 + y = 15, se x vale 7 então y deve ser 8 , pois 7 + 8 = 15

Então para a primeira equação você tem os pontos ( 6,9) e ( 7,8).

Agora escolha mais dois números quaisquer para x na segunda equação. Por exemplo os números 3 e 4, veja:

X – Y = 3 3 - y = 3 Se x vale 3 então y vale 0, pois 3 – 0 = 3 4 – y = 3 Se x vale 4 então y vale 1, pois 4 – 1 = 3

Então você tem os pontos (3,0) e ( 4, 1) para a segunda equação.

Marque os pontos encontrados na 1ª equação no plano cartesiano e trace a respectiva reta .Em seguida marque no mesmo plano cartesiano os pontos encontrados na 2ª equação e trace a respectiva reta. As duas retas se cruzam num ponto que é o resultado do sistema. Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as duas equações

verdadeiras:

X + Y = 15 X – Y = 3 9 + 6 = 15 9 – 6 = 3

9

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8

7 65

4 3 2

1

.

x .

.

P (9 , 6 )

(X, Y)

-2

-3

-1

-4

EXERCÍCIOS:

3) Resolva geometricamente o sistema abaixo:

X - y = 3 X + y = 7

A utilização do método cartesiano muito contribuiu para o progresso das ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, nos permite avaliar, por uma análise simples de eixos coordenados, trajetória de uma transformação e prever seu desenvolvimento com certa precisão. Mostram, entre outros exemplos a importância do método de Descartes (matemático) para o desenvolvimento dos conhecimentos humanos.

ANÁLISE DE GRÁFICOS Para você interpretar um gráfico é necessário observar alguns elementos que

fazem parte dele tais como:

Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. Legenda: identifica quais os elementos que foram pesquisados. Títulos dos eixos: vertical e horizontal e suas divisões.

Observe o gráfico abaixo e responda em seu caderno:

10

EXERCÍCIO:

4) Responda as perguntas abaixo em seu caderno:

a) Qual o assunto tratado no gráfico?

b) Quais os elementos que foram pesquisados?

c) Qual é o título do eixo vertical?

d) E o eixo horizontal?

e) Como está sendo graduado (dividido) o eixo vertical?

f) Quantos alunos têm entre 156 à 160cm de altura?

Altura de Alunos da 5ª Série

0

2

4

6

8

10

12

14

A) 135 à140

B) 141 à145

C) 146 à 150

D) 151 à 155

E) 156 à160

F) 161 à165

G) 166 à 170

Intervalos de Alunos

Nº

de

Alu

no

s

11

TIPOS DE GRÁFICOS ( MAIS UTILIZADOS )

1 – BARRAS

EXERCÍCIO:

5- Observando o gráfico, responda: a) Quantas pessoas fumam 15 cigarros/dia?

b) Qual o nº de pessoas que fumam 25 cigarros/dia e morrem por doenças pulmonares e as que são não fumantes? De quanto é essa diferença? ATE AQUI

2 - LINHA

PADRÕES DO CRESCIMENTO DO SER HUMANO

EXERCÍCIO: 6- Responda: Quanto essa pessoa cresceu de 1 a 5 anos?

MORTES POR DOENÇAS PULMONARES

0

20

40

60

80

100

120

não fumantes 5 cigarros/dia 15 cigarros/dia 25 cigarros/dia

Cigarros por dia

100

Milh

ões

de

Pes

soas

t (anos) 1 5 10 12 15 16 20

h (altura/cm)

180 160 140 120 100 80 60 40 20

12

GRÁFICO DE SETORES CIRCULARES – a unidade de medida mais usada

é a porcentagem

PREFERÊNCIAS MUSICAIS

30%

17% 25%

28%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS MPB30%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK INTERNACIONAL17%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS SERTENEJOS25%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK NACIONAL28%

Como você calcula a quantidade de pessoas que preferem MPB sabendo que foram entrevistadas um total de 240 pessoas?

Fácil! Você sabe que o círculo inteiro mede 360º e que esse valor corresponde ao

total de pessoas entrevistadas ( 240 ). O setor que corresponde a preferência à MPB é de 30º , então: usando a regra de três, você tem:

100% = 240 30% = X ( multiplicando e dividindo)

X = 30 . 240 = 7200 = 72 pessoas 100 100

EXERCÍCIO:

7) De acordo com o exemplo acima, calcule a quantidade de pessoas que preferem a música sertaneja.

13

GABARITO - MÓDULO 6

1)

b) y= 3X

X Y 0 0 1 3 2 6

2) a ) y = x - 2

X Y

2 0 1 -1 0 -2

14

3) x - y = 3 x + y = 7

4 ) a ) altura dos alunos da 5ª série b ) alunos, alturas

c ) nº de alunos d ) intervalo de alturas e ) de 2 em 2

5 ) 60 milhões de pessoas pois o eixo vertical é “milhões de pessoas”

6 ) 20 cm

7 ) x = 60

15

A B

MÓDULO 7

NOÇÃO DE FUNÇÃO:

Você já aprendeu que uma equação do 1º grau ( y = ax + b ) pode ser representada no plano cartesiano através de uma reta e, que a equação do 2º grau ( y = ax² + bx + c ) por uma parábola. Essas equações são exemplos de funções.

Para você entender o conceito (idéia) de função é só pensar em duas grandezas cujos valores variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra.

Coloque-se no lugar de um fornecedor que pretende estudar a variação de preço de acordo com a quantidade de açúcar vendido. Ele deseja saber quanto deverá receber pela quantidade de açúcar vendido.

Exemplo - 1 Considere a tabela abaixo:

N.º de quilos de açúcar Preço a receber

1 R$ 0,80 2 R$ 1,60 3 R$ 2,40 4 R$ 3,20 5 R$ 4,00 ... ...

Esta tabela também pode ser representada através de um diagrama onde a flexa representa a correspondência entre os valores

Diagrama ou esquema

1 0,80 2 1,60 4 3,20 3 2,40 5 4,00

Observe que há uma correspondência entre o n.º de quilos de açúcar e o valor a receber. O valor a receber é função (depende) do n.º de quilos vendidos. Isto significa que uma função tem duas grandezas onde uma depende da outra.

16

Definição de função:

No exemplo acima observe que há uma relação ou correspondência entre 2

conjuntos os quais foram chamados de A e B. A representou a quantidade de quilos e B o valor a receber:

Portanto: uma função de A em B é toda relação entre A e B, onde a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

Matematicamente é representada assim:

F: A B ( lê-se: f de A em B )

No exemplo dado um quilo de açúcar custa R$ 0,80. Chamando a quantidade de açúcar de X e o valor a receber de Y, você tem a função que representa o valor a receber. Para calcular basta substituir os valores de X na equação dada e resolver as operações indicadas.

Y = 0,80 . X

X - Quantidade de quilo Y - Valor a pagar

1 0,80 . 1 = 0,80 2 0,80 . 2 = 1,60 3 0,80 . 3 = 2,40 4 0,80 . 4 = 3,20 5 0,80 . 5 = 4,00 ... ...

Domínio e Imagem

No exemplo anterior o conjunto A (quantidade de quilos) é chamado Domínio da função.

O conjunto B ( valor a pagar ) é chamado Imagem da função e é obtido substituindo os valores de X na equação.

Exemplo 2

Um vendedor recebe uma comissão de 5 reais a cada tênis vendido. Pergunta-se:

a) Qual a função que representa seu lucro? b) Construa uma tabela que representa a função c) Construa um diagrama que representa essa situação d) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem

17

Resolvendo:

a) Y = 5 . X onde 5 é o valor a receber de cada tênis e X a quantidade de tênis vendido. Observe que Y é o resultado da quantidade vendida ( X ) multiplicado por 5

reais, que é a comissão. Portanto Y “depende” de X

b) Tabela Y = 5 . X

Substituindo valores de X na função dada e efetuando as operações (contas), você vai achar os valores de Y. Dessa forma você obtém os pares ordenados (X , Y). Domínio Função Imagem pares ordenados X Y=5 . X Y (X , Y ) 1 Y=5 . (1) = 5 5 (1 , 5 ) 2 Y=5 . (2) = 10 10 (2 . 10 ) 3 Y=5 . (3) = 15 15 (3 . 15 ) ....

ATENÇÃO! neste exemplo não foi usado nº negativo no domínio porque não existe venda negativa com comissão.

C) Diagrama Tênis lucro

1 5 2 10 . . 4 20 . .

10 50

D) Domínio (D) = 1, 2 . . 4, . . . 10...

Imagem (I) = 5, 10 . . . 20 . . . 50...

Exemplo - 3

Dada a função Y = 2X - 1 determine: 1-) O domínio e a imagem observando a tabela abaixo. 2-) Os pares ordenados ( X , Y ) obtidos

18

Domínio Função Imagem Pares ordenados

X Y = 2x - 1 Y ( X , Y ) 1 Y = 2.(1) - 1 = 1 1 ( 1 , 1 ) -1 Y = 2. (-1) - 1 = -3 -3 (-1 , -3 ) 2 Y = 2.(2) -1 = 3 3 (2 , 3 ) -2 Y = 2.(-2) - 1 = -5 -5 ( -2 , -5 )

EXERCÍCIOS :

1 ) Um vendedor tem um salário fixo de R$ 200,00 acrescido de uma comissão de R$ 5,00 em cada peça por ele vendida.

A função que representa seu salário total é Y = 5X + 200 onde X representa a quantidade de peças vendidas.

a) Complete a tabela abaixo, X 5 . X + 200 Y 0

10 50

b) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função, c) Faça a representação do conjunto domínio e do conjunto imagem no diagrama.

INTERVALO

Quando se fala em intervalo a primeira coisa que você lembra é aquele momento livre que há entre as aulas, numa escola regular, "o recreio".

Saiba que o conceito de intervalo caminha por aí. Veja bem, o recreio ou melhor o intervalo fica entre as aulas de um período. Em matemática o intervalo numérico é usado quando você quer dar como resposta a uma questão, um conjunto de números que ficam entre 2 números dados. Usa-se os sinais > ( maior) e < (menor) para limitar o intervalo. Exemplo 1

Se Paulo tem no bolso mais que 10 reais e menos de 50 reais como você escreveria a resposta se eu perguntasse – Quantos reais ele pode ter no bolso?

Supondo que Paulo tenha X reais, você pode escrever isso na forma de intervalo matemático.

19

Fica assim: 10 < X < 50 leitura X é maior do que 10 X é menor do que 50

O valor X está no intervalo 10 a 50

Exemplo 2

No deserto a temperatura varia muito. Durante o dia chega até a 40º C e a noite ela cai para 3º C. Matematicamente você escreve isto em forma de intervalo 3º C < X < 40º C . Perceba que a notação de intervalo simplifica a escrita e é bastante usada na Física, Economia, Biologia, Química etc.. Agora que você sabe o que significa intervalo, pode defini-lo assim:

“ Dados 2 números reais a e b, sendo a < b, chamamos de intervalo todos os números reais maiores que a e menores que b. { X E R / a < X < b}

Lê-se X pertence ao conjunto dos n.ºs reais, tal que X é maior que a e menor que b. O intervalo é o espaço entre a e b

REPRESENTAÇÃO DO INTERVALO NO GRÁFICO

Exemplo 1

Veja a variação de certo artigo produzido no Brasil, representada no gráfico abaixo:

50000

40000

30000

20000

10000

1960 1970 1980 1990 2000 ano

Y

X

20

Analisando o gráfico: sendo X o volume de produção no período você percebe que:

1-) A produção cresceu no intervalo de 1960 a 1970

1960 < X < 1970

2-) A produção decresceu de 1970 a 1980. A produção voltou a crescer em 1980.

3-) A produção ficou constante (estacionou) entre 1990 e 2000.

EXERCÍCIOS:

2 ) O gráfico abaixo mostra o espaço (S) percorrido por um automóvel numa viagem em função do tempo(t):

a) Entre quais instantes o carro esteve parado?

b) Qual o espaço percorrido entre 60 e 120 minutos?

80

60

40

20

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Quando a função é dada através de uma equação do 1º grau é denominada função linear e é representada no gráfico através de uma reta.

Voltando na tabela do exemplo da página 3 da função Y = 5 . X onde X é a quantidade de tênis vendido vezes comissão, você obteve na tabela os pares ordenados (1 , 5) ; ( 2 ,10) ; (3 , 15) que podem ser colocados no plano cartesiano e assim construir a reta que representa a função.

Veja:

Todo gráfico que resulta em uma reta é uma função do 1º grau representada pela equação escrita na forma:

Km

30 60 120 t ( min )

(3,15)

Y

X

21

Y = aX + b onde: Y é a imagem

X é o domínio a é o coeficiente de X b é a constante (número)

Analisando a função do 1º grau ou função linear você pode observar que:

1- Se a = 0 então Y = b pois a.x = 0. É uma função constante.

Veja como fica o gráfico:

Função Constante

Em Y = ax + b fazendo a = 0

Obtemos Y = 0 . X + b ou

Y = 0 + b ou Y = b

Note que Y = b não é uma função do 1º grau, pois a expressão 0 . x + b não é uma expressão do 1º grau.

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo X.

Y b Y = b

X

Função crescente e decrescente

Quando a 0 a função Y = ax + b pode ser crescente ou decrescente

Crescente: se a > 0 ( nº positivo)

22

Y

X

Decrescente se a < 0 ( nº negativo) Y

a< 0

Você já aprendeu a construir o gráfico da função do 1º grau (equação da reta) no módulo 3. Agora vai aprofundar seus conhecimentos.

Você viu que para construir uma reta bastam dois pontos ( X , Y ) ou dois pares ordenados que você obtém a partir da equação.

Exemplo: y = 2X - 3

Atribuindo dois ou mais valores quaisquer a X você constrói a tabela, substitui o valor de X na equação e determina os valores correspondentes de Y. Assim você obtém os dois pontos ( X,Y) necessários para traçar a reta.

X 2 . X – 3 Y -1 2 . (-1) - 3 -5 ponto ( -1 , - 5 ) 2 2 . 2 – 3 1 ponto ( 2 , 1 )

COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR

Na função y = aX + b, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

a>0

X

( 2,1)

(-1, -5 )

Y

X

23

- Coeficiente angular é o valor que a função aumenta ou diminui quando se aumenta ou diminui a variável X em uma unidade.

- Coeficiente linear é o lugar em que uma reta corta o eixo do Y (ordenada).

Veja um exemplo prático do significado do coeficiente linear e do coeficiente angular.

Na conta telefônica de uma residência , o valor total a ser pago é calculado da seguinte maneira: - assinatura mensal, dá direito a um certo nº de ligações e custa R$ 23,00. Passando desse número, o valor das ligações (pulsos) excedentes é calculado multiplicando-se o nº de pulsos extras pelo valor de cada pulso que é de R$ 0,10. - em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura mensal.

Chamando de X o nº de de pulsos excedentes e de Y o valor da conta telefônica você tem a função:

Y = 23,00 + 0,10 . X

Na função Y = 0,10 X + 23,00, observe que 23,00 é o coeficiente linear e que 0,10 é o coeficiente angular. Veja no gráfico que este último ( o coeficiente angular ) é o valor que a função aumenta quando x cresce uma unidade. Ele é a altura do degrau da escada que o gráfico mostra.

RAIZ DA FUNÇÃO

A raiz da função Y = aX + b é o valor de X que torna Y igual a zero. Por isso, esse valor de X também é chamado de zero da função.

Y

Valor da conta

23,00

X Nº de pulsos excedentes

0,10

24

Para você calcular a raiz da função basta igualar a equação a zero . Veja o exemplo:

Y = 2X – 3 2X – 3 = 0 2X = 3 X = 3

2

EXERCÍCIOS:

3 ) Considere a função y = 3X – 6 a) Qual é o coeficiente angular? b) Qual é o coeficiente linear ? c) Qual é a raiz da função? d) o ponto (2 , 0) pertence a essa função?

EXEMPLO: No ponto (12 , 30 ), X = 12 e Y = 30 então substituindo esses valores na

função Y = 3.X – 6 30 = 3 . 12 - 6 30 = 36 – 6 30 = 30 (verdadeira )

Agora você vai aprender a função do 2º grau ( quadrática)

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função do 2º grau é representada pela fórmula y = ax² + bx + c, onde a,b,c, são os coeficientes numéricos , com a diferente de zero.

São exemplos de função do 2º grau:

Você sabe quando um ponto pertence a função?

-3

X 3

2 raiz

Y

O valor 3 é a raiz da função.( ponto 2 onde a reta corta o eixo do X)

Um ponto pertence a função se, substituindo o valor de X e Y na equação, a igualdade torna-se verdadeira

25

Y = 2x² -3x +4 ( equação do 2º grau completa) com a= 2, b=-3, c= 4 Y = 8x² + 9 ( equação do 2º grau incompleta ) com a= 8, b =0, c= 9 Y = 6x² - 2x ( equação do 2º grau incompleta) com a =6, b= -2, c= 0

A função do 2º grau ou função quadrática é representada no plano cartesiano através de uma parábola.

A parábola é construída determinando valores para X (domínio)e calculando os respectivos valores de Y (imagem).

1º EXEMPLO: Y = X² - 2

substituindo X pelo seu respectivo valor

X X² - 2 Y

0 0² - 2 -2 (0 , -2) 1 1² - 2 -1 (1 , -1) 2 2² - 2 2 ( 2 , 2) -1 (-1)²- 2 -1 (-1 ,-1) -2 (-2)² - 2 2 ( -2 , 2)

A união dos pontos encontrados determina uma linha curva chamada parábola.

2º EXEMPLO

y = -2x² + 6

26

X -2X² + 6 Y

0 (-2) . 0² + 6 6 1 (-2) . 1² + 6 4 2 (-2) . 2² + 6 -2 -1 (-2). (-1)² +6 4 -2 (-2). (-2)² +6 -2

3º EXEMPLO

Y = X² - 6X + 5

X X² - 6X + 5 Y

0 0² - 6. 0 + 5 5 1 1² - 6. 1 + 5 0 2 2² - 6. 2 + 5 -3 3 3² - 6. 3 + 5 -4

1-Se o coeficiente a > 0 ( nº positivo), a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Observe os gráficos dos exs 1, 2 e 3 e analise as conclusões

27

2- Se o coeficiente a < 0 ( nº negativo) a parábola tem a concavidade voltada para baixo

Exercícios: 4 ) Faça a tabela e construa a parábola das funções:

a ) b )

Y = X² - 2 a > 0

Y = -2X² + 6 a < 0

Y = x² -4x + 3

X X² - 4X + 3 Y

0 02 – 4. 0 +3 1 2 3 4

Y = – x² + 1

X - X² + 1 Y -2 - (-2)² + 1 -1 0 1 2

28

RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

As raízes de uma função são os pontos onde a parábola corta o eixo do X. Para determinar as raízes de uma equação do 2º grau aplicamos a fórmula de

BÁSKARA e assim determinamos os pontos de X.. BÁSKARA

- foi um importante matemático hindu do séc. XII que se dedicou ao

estudo das equações matemáticas. Por isso a fórmula que usaremos é conhecida como fórmula de Báskara aplicada nas equações do 2º grau (ax2 + bx + c = 0) sendo a 0 e a, b e c números reais.

Eis a fórmula:

X = a

b

.2

onde = b2 - 4.a.c

O símbolo é chamado Delta (uma letra grega)

A equação do 2º grau pode ter > 0 = 0 < 0

A equação tem duas raízes reais diferentes

A equação tem uma única raiz real

A equação não tem raiz real

Veja alguns exemplos e resolução com a aplicação da fórmula:

Exemplo 1:

Y = X2 - 6X + 5 = 0

a = 1 coeficiente de x² (nº que “ acompanha “o x²)

b = - 6 coeficiente de x (nº que “acompanha” o x c = 5 coeficiente numérico (não vem “acompanhado” do x)

a é o coeficiente de X²

b é o coeficiente de X

c é um nº ( não tem X)

29

Você pode calcular substituindo as letras pelos seus valores: = b2 - 4.a . c

= (-6)2 - 4.1.5 = 36 – 20 = 16

Substituindo o valor de na formula de Báskara você tem:

x = a

b

.2 x’ =

2

46 = 2

10 = 5

x = 1.2

16)6( x = 2

46 x’’ = 2

46

=2

2 = 1

Substituindo os valores de X na equação, você observa que a sentença é verdadeira tornando assim o Y = 0

X2 - 6 X + 5 = 0 X2 - 6X + 5 = 0 52 - 6 . 5 + 5 = 0 12 - 6 . 1 + 5 = 0 25 - 30 + 5 = 0 1 - 6 + 5 = 0 0 = 0 0 = 0

Exemplo 2:

Y = 2X2 - 8

O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é igualar a zero.

2X2 - 8 = 0 = b² – 4 .a . c X= - b ± a = 2 = 02 - 4. 2 .(-8) 2 . a b = 0 = 0 + 64 X= 0 ± 64

c= -8 = 64 2.2

X’ =4

80 = 4

8 = 2

S = {2, -2}

X’’ = 4

80 = 4

8 = - 2

Todo nº negativo elevado ao expoente 2 resulta sinal + pois –6 . –6 = +36

S = 1,5

30

Exemplo 3:

X2 - 3X = 0 a= 1 = b2 – 4.a.c b= -3 = (-3)2 - 4.1.0 c= 0 = 9 - 0

= 9

x =a

b

.2 x =

1.2

9)3(

x = 2

33

x ‘ =2

33 = 2

6 = 3

x’’ =2

33 = 2

0 = 0

S = 0 , 3

Exemplo 4 2X2 + 4X + 6 = 0 a= 2 = b2 - 4ac b= 4 = 42 - 4.2.6 c= 6 = 16 - 48

= - 32 Como < 0 (número negativo) a equação não tem solução pois não existe raiz

quadrada de um número negativo, logo, a solução é o conjunto vazio S=Ø Observe que em todos os exemplos acima resolvidos, os valores encontrados

para X (raízes) fazem com que Y = 0, portanto são os pontos onde uma parábola intercepta (corta) o eixo do X.

1º CASO: > 0 (possui 2 raízes diferentes)

a > 0 a < o

31

2º CASO: = 0 (possui apenas 1 raiz)

a < 0 a > 0

3º CASO:

< 0 ( não possui raízes)

a > 0 a < 0

Exercícios:

5 ) Determine as raízes das equações aplicando a fórmula de Báskara:

a) X² - 5X + 6 = 0

b) 4X² - 64 = 0

32

MÁXIMOS E MÍNIMOS:

Veja a parábola abaixo com a < 0. Se você “caminhar” no gráfico da esquerda para a direita, os valores de Y vão

aumentando até chegar no vértice. Esse ponto é chamado de ponto de máximo.

Com a > 0 você encontra no vértice um ponto de mínimo, pois partindo da esquerda para a direita, os valores de Y vão diminuindo.

VÉRTICE DA PARÁBOLA

Vértice é o ponto mais baixo(ponto de mínimo) ou o ponto mais alto (ponto de máximo) da parábola

Para encontrar o vértice da parábola não é necessário construir o gráfico , basta encontrar o ponto (XV , YV).

Para isso você tem duas maneiras para resolver: 1 ) Usar as fórmulas:

XV = - b YV = - 2 . a 4 . a

Lembre-se: = b² - 4 . a . c OU.....

Se a < 0 então o vértice é o ponto

de máximo

a > 0 então o vértice é ponto

de mínimo

33

2 ) Substituir na equação dada o valor encontrado de X V para encontrar o

valor de Y Exemplo 1: determine o vértice da parábola que representa a função:

Y = X² - 4X + 3 onde a = 1 b = - 4 c = 3

XV = - b = - ( - 4 ) = 4 = XV = 2

2 . a 2 . 1 2

YV = -

= - [b² - 4 . a . c] = - [(-4)² - 4 . 1 . 3]= -[16 – 12 ]= - 4 = -1 4 . a 4 . a 4 . 1 4 4

YV = - 1 o vértice é o ponto ( 2 , -1 ) O ponto YV é o que determina o ponto máximo ou o ponto mínimo da

função dependendo da concavidade voltada para cima ou para baixo.

Exemplo 2 : Determine o ponto de mínimo da função: Y = 3X² - 12X Como a > 0 então a concavidade da parábola está voltada para cima e a função

tem um ponto de mínimo YV

Yv = a.4

= a

cab

.4

)..4²(

= 3.4

)]0.3.4)²12[(

=12

)0144( = 12

144 = -12

Exemplo prático Queremos construir uma represa retangular para criação de carpas. Para cercá-

la serão necessários 12 m de tela sendo aproveitado o muro existente para cercar um dos lados. Quais são as dimensões para obter a represa de maior área possível?

Se X + X + C = 12 muro

2X + C= 12

C = - 2X + 12

X

c

Você sabe que para calcular a área deve multiplicar as duas medidas: comprimento e largura, o que resulta numa equação do 2º grau.

Ponto de mínimo

34

Então:

Área = X . C A = X . ( – 2X + 12 )

A = -2X² +12X (equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola)

Usando a fórmula para calcular o YV você determina o valor do ponto máximo da área pois a < 0 .

YV = - YV = - ( 12² - 4 . (-2) . 0 ) YV = - 144 = 18 4 . a 4 . ( -2) - 8

Se YV = 18 então a área máxima será 18m².

EXERCÍCIOS :

6 ) Dada a função y = X² - 4X + 5, determine o vértice da parábola e identifique se é ponto de máximo ou de mínimo.

7) Determine o ponto de mínimo da função Y = x² - 6x + 13

ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU

Você vai resolver, construir e analisar a parábola que representa a função Y = x² - 6X + 8

Resolvendo: a = 1 b= - 6 c = 8

substituindo

35

c )

Raízes: X = -b

2 . a

= b² - 4 . a . c

= (-6)² - 4 . 1 . 8

= 36 – 32

= 4

Vértice:

XV = - b = -(-6) = 6 = 3 2 . a 2 . 1 2 ponto do vértice ( 3 , -1 )

YV = - = - 4 = -1 4 . a 4 . 1

CONCLUSÃO:

1- a concavidade da parábola está voltada para cima pois a > 0 2- a função possui ponto de mínimo y = -1 3- a parábola corta o eixo do X em dois pontos X= 4 e X = 2 ( raízes) 4- o ponto mais baixo (vértice) é (3 , -1)

Veja o esboço da parábola:

GABARITO:

1) a-) X Y

Substituindo na fórmula: X = - ( -6 )

4

2 . 1 X’ = 6+2 = 8 = 4 X = +6 2 2 2 2 X’’ = 6 –2 = 4 = 2

Raízes = 4 e 2 2 2

X

36

0 200 0 200 10 250 10 250 50 450 50 450

b-) D = 0, 10, 50 … I = 200, 250, 450...

2) a) entre 30 e 60 min b) 40 Km

4) a-) X Y 0 3 1 0

2 –1 3 0 4 3

b-) X Y -2 -3 -1 0

0 1 1 0 2 -3

5) a-) X2 – 5X + 6 b-) 4X2 – 64 = 0

= 1 = 1024

X’ = 3 X’ = 4

X” = 2 S = 3 , 2 X” = -4 S = 4 , -4

6) a-) XV = 2

YV = 1

7) YV = 4

a>0 = ponto de mínimo

3) a-) 3 b-) - 6 c-) X = 2 d-) sim pois 0 = 3 . 2 – 6 0 = 0 verdadeira

37

Bibliografia:

Desenhos ilustrativos tirados dos livros:

BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.

IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999.

SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.

ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:

- Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans

COLABORAÇÃO:

- Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos

DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper

COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes

APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim

This document was created with Win2PDF available at http://www.win2pdf.com.The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.This page will not be added after purchasing Win2PDF.