Centro de Estudo SupletivoMatemática
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CENTRO DE ESTUDO SUPLETIVO Prof. PAULO MELO -
CESPPM MACAPÁ / AP
PESQUISA DE MATEMÁTICA
MACAPÁ2015
DIRETOR(A) : MARILEIDE GUERREIRO
PROFESSORA: JACILÉIA
TURMA: 213 - Nº 21 -TURNO: 3º
ALUNO (AS): JOSINETE DIAS LOBATO
PESQUISA DE MATEMÁTICA
“PROPORCÃO AUREA
E
ESCALA MATEMÁTICA
MACAPÁ2015
Trabalho solicitado pela Professora JACILÉIA disciplina de MATEMÁTICA para composição de nota do 3º Bimestre – 3º ano do Ensino Médio – Centro de Estudo Supletivo Prof. Paulo Melo.- CESPPM.
Você já ouviu falar em proporção áurea?
A Razão ou Proporção Áurea representa a mais agradável proporção
entre dois segmentos ou duas medidas. É uma procura constante da
harmonia e da beleza. Mondrian descobriu o famoso número de ouro e com
ele chegou ao “retângulo de ouro”. Esta proporção existe em quase todas as
grandes obras da humanidade, no coliseu, na Mona Lisa, na Capela Sistina.
Também existe no nosso corpo: nos batimentos cardíacos,nos membros,
rosto, sorriso, dentes, etc.
A Proporção Áurea ou Divina é uma fórmula que pode ser utilizada também
pelo Cirurgião-Dentista para criar o semelhante do semelhante. A fórmula
clássica da Proporção Áurea é a constante que se origina da soma ou da
divisão das partes (1,618) e foi denominada número de ouro (0,618).
Há muito tempo, a humanidade cultua e valoriza a beleza e a Odontologia
Estética tem se responsabilizado em reestabelecer a harmonia facial, ao
mesmo tempo em que trabalha a função mastigatória. Um dos principais
componentes da estética facial e do sorriso é a Proporção Áurea com
assimetria entre os dentes anteriores.
Uma progressão divina ocorre quando uma distância é perfeita em
relação à outra. O incisivo central superior tem uma proporção perfeita de
1,618; bem como o incisivo inferior e a largura total de ambos os incisivos
inferiores é perfeita em relação à dos incisivos superiores,
Sendo assim podemos utilizar o incisivo central inferior (já que é o
menor dente da boca) como referência. A largura dos caninos superior
estende a ser perfeita em relação à largura dos primeiro molares superiores,
desde o planomesial até o sulco vestibular. As proporções perfeitas parecem
serunidas do nariz à boca, parecendo haver uma união também do dente com
o sorriso.
O tratamento com a reabilitação protética após a perda de dentes,
através da recolocação de dentes substitutos, como: coroas, facetas, pontes
fixas, pontes móveis, dentaduras, próteses sobre implante, restaurações
estéticas diretas ou indiretas podem ser confeccionadas com maior perfeição
e exatidão (proporções perfeitas) por meio de um calibrador (espécie de
compasso específico para aplicação da Proporção Áurea), conforme a foto.
O formato da arcada e a
estrutura facial
A fotografia de uma bela mulher
(ou homem) serve como modelo
para uma discussão dos achados
faciais. Começando pelas narinas, uma proporção perfeita é observada na
comparação da largura de uma narina e das bordas alares com a narina do
lado oposto. Esta progressão continua para a largura da boca, com a largura
dos olhos no canto lateral e, finalmente com a largura da cabeça na altura das
sobrancelhas. São quatro progressões divinas.
Ao comparar o rosto de deusas gregas construídas pelos grandes artistas
da Antigüidade dentro da Proporção Áurea e o rosto da nossa modelo
brasileira Gisele Bündchen está evidente que o conceito de beleza perdura
por muitos séculos. Em virtude disto, encontramos relações e afirmações
sobre a beleza da Gisele Bündchen e o seu sucesso ímpar, graças as suas
características físicas perfeitas dentro da Proporção Áurea.
Análise Histórica – Matemática - Proporção Áurea e
Sequência de Fibonacci.
Uma serie de números que tem uma característica especial de regressão, foi
exposta no ano de 1202, no livro denominado Líber Abacci (o livro do ábaco),
que nele consta também grande quantidade de assuntos relacionados com a
Aritmética e Álgebra da época, postos por Leonardo de Pisa (1175 – 1250),
que foi posteriormente identificado como Leonardo Fibonacci (filho de
Guiliermo Bonacci) e mais recentemente identificado em suas obras apenas
pela palavra Fibonacci. Com este seu trabalho e com os outros, Practica
Geometriae (1220), Líber Quadratorum (1225) e Flos (1225), ele cooperou de
maneira importante para o desenvolvimento matemático na Europa nos séculos
seguintes. Posteriormente estes números em série ficaram conhecidos como
Sequência de Fibonacci e deles foram extraídos conclusões até então não
imagináveis.
Em todo o Universo está presente “a marca” ou a presença de Deus
responsável pelo fenômeno simétrico da natureza. Ela é constatada através da
Proporção Áurea proveniente da Sequência de Fibonacci, que se mostra
presente como “o sinal divino” em toda a natureza. Portanto, nas flores,
árvores, ondas, conchas, furacões, no do rosto simétrico do ser humano, em
suas articulações, seus batimentos cardíacos e em seu DNA. Também na
refração da luz proporcionada pelos elétrons dos átomos, nas vibrações e em
outras mais manifestações da Criação como nas galáxias do Universo
imensurável. A relação da Série de Fibonacci e o Numero de Ouro em
sequência numérica e geométrica parece de modo significativo ser “a marca”
de um “Designer” – a “impressão digital” de sua Criação.
O Número de Ouro ou Proporção Áurea é uma constante real algébrica
conhecida pela letra grega (PHI) extraída da Sequência de Fibonacci. Ele que
possui o valor aproximado de 1,618, que está envolvida em toda a natureza ao
buscar o crescimento e que é utilizada nas artes de um modo geral como uma
proporção buscando o harmônico, não deve ser confundida com o número Pi π
com o valor numérico aproximado de 3,14, que pertence aos números
irracionais.
A Proporção Áurea é também chamada de Secção Áurea, Razão Áurea, Razão
de Ouro, Divina Proporção, Proporção em Extrema Razão e Divisão de
Extrema Razão.
Justamente por estar envolvido em toda a natureza relacionando-se à dinâmica
do crescimento, que faz o Número de Ouro tão frequente e, justamente por
causa desta frequência como “a marca” de Deus que ele ganhou o status de
muito especial, sendo alvo de pesquisadores, de cientistas e também, de
artistas e de escritores.
O Número de ouro que é devido aos contextos em que está inserido, está
envolvido em crescimentos biológicos e ainda observado nas pinturas, nas
partituras e na arquitetura, etc. Como “o selo” de Deus, ele está sempre
presente “no construir” a Harmonia Universal. E o fato de ser encontrado
através de desenvolvimento matemático, o torna neste sentido ainda mais
fascinante.
Esta “marca” vista na proporção áurea é proveniente da Serie ou Freqüência
de Fibonacci. Nesta sucessão matemática cada numero é obtido somando os
dois últimos dígitos, ou seja, 1, 1 (1+1) 2, (2+1) 3, (3+2) 5, (5+3) 8, (8+5) 13,
(13+8) 21 … continuando em uma sequência infinita.
Utilizando-se deste sistema numérico para construir um retângulo com dois
números interligados desta sequência, forma-se o chamado Retângulo de
Ouro, que é considerado o formato retangular mais belo e apropriado de todos.
E o Retângulo de Ouro quando é divido por quadrados proporcionais à
Sequência de Fibonacci, ele alarga o seu conjunto consoante a sucessão de
Fibonacci.
Construindo este quadrado e desenhando
um arco, este padrão começa construir formas, que são denominadas como a Espiral de
Fibonacci.
Espiral de Finobacci
Esta simetria em um primeiro momento parece
não ter muito significado, mas na verdade ela
está presente como que construindo a beleza
harmônica da natureza.
Flores
Em todo o Universo a Proporção
Áurea encontra-se presente, tanto
na propagação dos átomos em
forma de Espiral de Fibonacci, na refração da luz, nas correntes magnéticas geradas pelos
buracos negros e nas formas de muitas Galáxias.
Galáxias em espiral
Como já foi ante mencionado, através das medidas da Serie de
Fibonacci, ao se analisar o coeficiente de duas medidas
sucessivas, obtém-se o numero irracional denominado de (PHI),
com o valor aproximado de 1,618. E esta conjuntura de medidas
baseada neste numero é chamada de Proporção Dourada, que é
encontrada nas articulações ósseas e nas feições dos seres
humanos.
Definição algébricaA razão áurea é definida algebricamente como:
A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte esquerda,
resultando em:
Cancelando b em ambos os lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por resulta:
Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas
por encontramos
que é uma equação quadrática da forma em
que
Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
que é o número
Um dos primeiros registros que se tem conhecimento sobre a Razão Áurea data aproximadamente1650
a.C, no papiro de Rhind, um documento no qual constam 85 problemas copiados por um escriba
chamado Ahmes de um trabalho ainda mais antigo. Neste texto é citada uma “razão sagrada”, que
acredita tratar-se da Razão Áurea.
Os antigos babilônios sabiam como criar o Retângulo Áureo. Numa escavação feita em Sippar, no sul do
Iraque, o arqueólogo Hormuzd Rassam (1826 – 1910) encontrou uma tabua com comprimento de 29,21
cm e com a largura de 17,78 cm, que ficou conhecida como a “Tábua de Shamash, com suas dimensões
muito próximas da Razão Áurea.
O Retângulo de Ouro proveniente da montagem sucessiva das medidas da Serie de Fibonacci estava
presente em grandes construções já em remotas eras, como também nas de hoje.
Na Pirâmide de Quéops, no Egito, cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima e
também, as câmaras em seu interior seguem esta proporção, de forma que os comprimentos das salas
são 1,618 vezes maiores que as larguras. Ainda, nas ruínas do Parthenom, na Grécia, são notadas
inúmeras presenças da Razão Áurea.
Pirâmide de Quéops e Pathenom
O numero de ouro está presente nas varias criações artísticas do ser humano, como nas
famosas sinfonias nº 5 e nº 9 de Ludwig van Beethoven, em varias pinturas renascentistas e
em varias outras obras de arte desta época. Também as escalas musicais são baseadas em
números de Fibonacci.
Mona Lisa e Auto-retrato de Da Vinci
O homem vitruviano com proporções do corpo humano que foram estabelecidas pelo arquiteto
romano Marcus Vitruvius, nele estão presentes de forma simétrica (no desenho) a Serie de
Fibonacci e o Numero de Ouro. O desenho é considerado frequentemente como um símbolo da
simetria básica do corpo humano e extensível para o Universo como um todo.
Também nos pouco conhecidos Crop Circles estão quase presentes Geometrias Áureas. Estas
enigmáticas figuras que já eram mencionadas em escritos do XVI, elas eram associadas às
criações de entidades espirituais. Hoje, o desconhecimento de sua origem continua praticamente
o mesmo, ao serem associados à ação com alta tecnologia de seres extraterrestres.
Em Gênesis YHWH comanda Noé para construir uma arca marítima como 300 cúbitos de
comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. Nota-se que 300 cúbitos é igual a 150
metros, 50 cúbitos é igual 25 metros e 30 cúbitos igual a 15 metros. E na analise destes números
encontra-se a Proporção Áurea, como se vê a seguir:
50/300 ou 25/150 = 0,1666
50/30 ou 25/15 = 1,666
Homem
vitruviano e
Crop Circles
Olhando para o interior do corpo humano (de sua composição orgânica), percebe-se
que ali também existem “regras divinas”. Por exemplo, nos pulmões os vasos sanguíneos
seguem o mesmo procedimento dos ramos ou das raízes das árvores, que se divide em
números da Serie de Fibonacci.
Pulmão humano e os galhos
de uma árvore
ESCALA MATEMÁTICA
Bibliografia
http://www.matematicamuitofacil.com/escalas.html
Texto de Antônio Carlos Tanure
Fontes de consulta:
Livro “Série de Fibonacci e o Numero de Ouro”, de Diogo Fernandes
Livro “Sequencia de Fibonacci e o Numero de Ouro, de Maurício Zahn
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