Cem Fórmulas Matemáticas

João Rogério Sanson e Antonio Marcelo Fontoura

ÍNDICE CONSIDERAÇÕES INICIAIS............................................................................................................................... 2 REGRAS DE SINAIS............................................................................................................................................. 4 RAZÕES E PROPORÇÕES................................................................................................................................... 4 POTENCIAÇÃO .................................................................................................................................................... 5 RADICAIS.............................................................................................................................................................. 5 LOGARITMOS ...................................................................................................................................................... 6 CONJUNTOS ......................................................................................................................................................... 6 FATORIAL............................................................................................................................................................. 7 ANÁLISE COMBINATÓRIA................................................................................................................................ 7 FATORAÇÃO ........................................................................................................................................................ 8 EQUAÇÕES ........................................................................................................................................................... 8 FUNÇÕES .............................................................................................................................................................. 8 DERIVADAS ........................................................................................................................................................10 PROGRESSÃO......................................................................................................................................................13 MATEMÁTICA FINANCEIRA ...........................................................................................................................13 MATRIZES............................................................................................................................................................13 DETERMINANTES ..............................................................................................................................................15 SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES......................................................................................................16 INTEGRAIS ..........................................................................................................................................................17 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..............................................................................................................................18 EQUAÇÕES A DIFERENÇAS.............................................................................................................................19 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................................19

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CONSIDERAÇÕES INICIAIS Fórmulas matemáticas podem ser vistas como bens de capital com características especiais1. Em geral, são rotinas mentais de processamento de números. Se alguém usa uma fórmula, não elimina a possibilidade de alguém mais a utilizar. É o que se chama tecnicamente de bem público. Como bens de capital que são, sua listagem de forma conveniente para o uso pode ser vista como uma extensão da memória dos estudiosos de Economia, um verdadeiro órgão humano exossomático2. Como há muitas fórmulas matemáticas disponíveis à humanidade, o objetivo modesto deste capítulo é listar apenas as que mais podem ser úteis a um estudante de graduação em Economia. Contudo, assim como um equipamento novo exige a leitura do manual de operação para uma utilização adequada também as fórmulas matemáticas exigem um esforço mínimo para saber pelo menos o que elas podem fazer. Cabe aos especialistas entender por que elas fazem isso. Algumas das fórmulas são tão importantes para o economista que ele deve investir também nos porquês delas. Uma boa estratégia de convivência com uma fórmula matemática, no entanto, é iniciar a primeira leitura tentando entendê-la. Se isto se mostrar mais complicado que o razoável, deve-se passar por ela e seguir na leitura do texto. Caso a fórmula mostre que dar prosseguimento à leitura perde o sentido, deve-se pedir ajuda a colegas ou professores. Na seleção das fórmulas, optou-se por repassar a matemática do ensino fundamental e médio e selecionar aquilo que se considerou importante para o estudante de Economia. Muitas coisas são óbvias para um aluno saído das melhores escolas ou que tenha habilidades matemáticas acima da média. No entanto, preferiu-se ter em mente a média de formação dos estudantes de Economia, pois há até alunos de pós-graduação que conhecem de memória fórmulas sofisticadas de cálculo infinitesimal embora se atrapalhem com regras básicas de operação algébrica.

É comum a disciplina de Matemática ser lecionada a estudantes de Economia por professores acostumados com estudantes de Ciências Físicas onde o padrão de conhecimento matemático é muito mais alto. Como muitos desses professores acham desnecessário repassar coisas básicas, a conseqüência, nos cursos de Economia, é a perda da maioria dos alunos, em termos de absorção da matéria, já no primeiro mês de aulas. Na utilização deste capítulo, o estudante de Economia deve lembrar que o capítulo não substitui os textos da disciplina de Matemática. É apenas um resumo da matéria. Segue o formato de livros de tabelas matemáticas e de listas de fórmulas de planilhas eletrônicas. Não é um manual de operação das fórmulas. Se o estudante achar que não tem familiaridade com as fórmulas apresentadas, especialmente aquelas estudadas antes do nível universitário, deve praticar exercícios de livros de nível fundamental e médio. Por sinal, esses livros são tão acessíveis que parecem até revistas em quadrinhos.

Além disso, a Internet tem vários endereços onde se pode estudar matemática, sem contar os jogos eletrônicos educacionais. Quanto às fórmulas estudadas na universidade, presume-se que o manual de operações é fornecido através das aulas, com apoio de textos indicados pelos professores da disciplina. A melhor forma de absorver essa matéria é o uso intensivo de lápis e papel, fazendo e refazendo os exemplos e os exercícios. As planilhas

1 Os livros que inspiraram este capítulo são os de Beyer e de Spiegel . São coletâneas de fórmulas matemáticas num nível mais avançado e geral do que a presente. Uma fonte prática e facilmente acessível para o estudante de Economia é a seção de fórmulas matemáticas da planilha Excel. 2 Por contraste, por exemplo, o olho ou o cérebro são órgãos endossomáticos.

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eletrônicas permitem um estudo mais rápido de formas de funções e de conferência de valores obtidos pelas fórmulas. As fórmulas são apresentadas de forma prática para economistas (úteis também para administradores e contadores), com sacrifício de rigor expositivo, em benefício da facilidade de uso. A escolha dos temas foi inspirada na matemática necessária para acompanhar textos de graduação de disciplinas como Macroeconomia, Microeconomia e Estatística Econômica.

Professores de Cálculo ou Matemática para Economia, especialmente aqueles com formação em outras áreas, podem usar o material deste capítulo como um guia sobre a matemática necessária aos estudantes de Economia em nível de graduação e como ensiná-la. Uma das exigências mais comuns dos alunos é o uso de exemplos econômicos nas aulas. Por razões óbvias do ponto de vista pedagógico, não se pode ensinar Matemática no primeiro ano do curso de Economia por meio de exemplos de teoria econômica ainda não vista pelo estudante. Esse é o caso da teoria do consumidor, da teoria da firma e de modelos macroeconômicos. Mesmo a disciplina de Introdução à Economia, ensinada ao mesmo tempo, deve, em geral, ser desconsiderada, por conta de ter-se tornado em muitas escolas brasileiras uma disciplina de história do pensamento socioeconômico. Como o uso de exemplos da Física pode ser desmotivador para alunos de Economia, o mais recomendado é usar exemplos simples de Economia e de Administração, sendo que muitos deles são mencionados nas aulas de Matemática dos níveis fundamental e médio.

A natureza da teoria econômica, naquela parte em que a exigência matemática é maior, necessita de uma abordagem diferente de ensino para a Matemática, em contraste com as Ciências Físicas. O aprendizado pode começar com funções específicas, com coeficientes dados em termos numéricos, mas deve ser conduzido rapidamente para exemplos literais, com coeficientes dados de forma geral. Em vez de trabalhar apenas com funções como y=2+3x, deve-se passar para a interpretação de funções como y=a+bx. Depois, deve-se passar para funções mais gerais ainda, como y=f(x), onde só propriedades como inclinação e curvatura são especificadas. A seqüência usual é começar de funções gerais e passar rapidamente para os exemplos numéricos, os quais são trabalhados intensamente. Para o aprendizado de teoria econômica, contudo, é preciso trabalhar na interpretação intuitiva dos coeficientes, no formato das funções e de propriedades como as derivadas, as quais devem por sua vez ser interpretadas como funções com características definidas pela função original. Por exemplo, em teoria econômica avançada, as propriedades de curvatura da função de produção servem de base para prever a inclinação da curva de demanda dos insumos. Dito em linguagem econômica, a hipótese de produtividade marginal decrescente (uma derivada segunda negativa) permite a previsão de uma relação inversa entre a quantidade demandada de um insumo e seu preço. Nos textos usados na graduação, isso é apresentado apenas através de gráficos. 3 A seleção de fórmulas a seguir baseou-se em grandes temas estudados ao longo do curso de graduação em Economia. Assim, associados à disciplina de Estatística, tem-se assuntos como proporções, números relativos, potenciação, logaritmos, médias, conjuntos e análise combinatória. Associados à Microeconomia, tem-se regras de álgebra (regras de sinais), solução de equações, funções, derivadas, trigonometria, progressão e integral. Por fim, associados à Macroeconomia, tem-se matrizes, solução de sistemas de equações pela Regra de Cramer, equações diferenciais e a diferenças.

3 É certo que o uso desse exemplo seria totalmente inadequado para o ensino da matemática no primeiro ano do curso. Mas o instrumental e a forma de interpretação da matemática para a compreensão posterior dessa teoria deveriam ser dados nesse período.

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REGRAS DE SINAIS Definem-se as regras de sinais, inicialmente para a adição e a subtração, com a e b positivos: 1. 0>+ ba . Ex.: 422 =+ . 2. )()()( baba +−=−+− . Conserva-se o sinal negativo. Ex.: 4)22()2()2( −≡+−≡−+− . 3. )( abba −−=− , quando ab > . O maior número define o sinal do resultado. Ex.:

1)23(32 −≡−−≡− Na multiplicação, também para a e b positivos, as regras são:

4. 0>ab . 5. 0))(( >−− ba . Ex.: 6)3)(2( ≡−− . 6. )()( abba −≡− . Ex.: 6)3)(2( −≡− .

RAZÕES E PROPORÇÕES

Uma regra fundamental em razões e proporções é a prática de “fazer algo que está multiplicando num lado passar para o outro lado dividindo ou vice-versa”. Mas uma forma mais conveniente dessa regra, que minimiza o número de regras a serem memorizadas, é fazer operações de multiplicação e divisão em ambos os lados da equação de forma a preservar a igualdade. Assim, em vez de dizer simplesmente que 7. cbaddcba =�= pode-se multiplicar ambos os lados por b e, por simplificação, obtém-se

dcb

adcb

bab

dc

ba =�=�= .

Repetindo-se o procedimento com d, obtém-se a Fórmula 7. Preservar a equalização de valores entre os dois lados separados pelo sinal de igualdade é a regra básica nesse caso. Há várias fórmulas que foram construídas a partir dessa. Uma das das mais convenientes em Economia obtém-se pela subtração da unidade de ambos os lados da equação:

8. d

dcb

badc

ba −=−

�−=− 11 .

Essa propriedade é útil no estudo de números relativos em Estatística Econômica, como na discussão de índices de preços. A razão de dois preços dá o relativo desses preços e mostra o tamanho de um preço em relação ao outro. Ao subtrair-se o número 1 dessa razão, tem-se o quanto o preço do numerador varia por unidade do preço do denominador. Tal variação pode ser expressa numa escala de 0 a 100 pela multiplicação e divisão do resultado por 100. Por exemplo, se 5,1/ 01 =PP , tem-se que P1 equivale a uma vez P0 mais a metade do mesmo. Pode-se escrever 5,01/ 01 =−PP . Multiplicando e dividindo esse resultado por 100, o que não altera seu valor, %50100/505,0 ≡≡ , conclui-se que P1 é 50% maior do que P0.

O uso de parênteses altera os valores e define a validade dessas expressões. Por exemplo, bba /)( − é diferente de bba /− . Isso pode gerar dúvidas especialmente quando as frações são escritas com o numerador e o denominador na mesma linha. Para evitar erros, basta seguir a convenção de que as operações de produto e divisão têm prioridade sobre as de soma e subtração. Uma ilustração desse problema ocorre com a “pegadinha” de se pedir oralmente a alguém que calcule o valor da “metade de dois mais dois”. De fato, há duas possibilidades: 0,5⋅2+2 e 0,5(2+2). Dependendo da resposta e na ausência de uma

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combinação prévia sobre o uso de parênteses, pode-se sempre escolher um dos resultados, 3 ou 2, como o correto. POTENCIAÇÃO Quando se repete a multiplicação de um mesmo número muitas vezes, pode-se economizar muito trabalho pelo uso de fórmulas de potenciação. Assim, 2222 =× . Em

422 222 =× , é mais fácil somar os expoentes do que multiplicar os números um por um. Isso pode ser conveniente em longas expressões matemáticas, especialmente aquelas em forma literal (letras ou variáveis em vez de números), onde se deixa para fazer as multiplicações efetivas só depois das simplificações ou de se atribuir números específicos às variáveis. Nas regras abaixo, supõe-se que a base das potências é diferente de zero. Sugere-se ao leitor que use o zero como base e verifique se as afirmativas fazem sentido ou se geram resultados impossíveis. 9. nmnm aaa += 10. nmnm aaa −= 11. 10 =a , que pode ser obtido da Fórmula 10, quando m = n, pois nesse caso 1=nm aa 12. nn aa −=1 , que pode ser obtido das Fórmulas 10 e 11, quando m=0.

13. ( ) mnnm aa =

14. ( ) nnn baab =

15. ( ) nnn baba = 16. nmaa nm =�= RADICAIS

Uma expressão com radicais pode ser vista como apenas uma forma alternativa de representar expoentes fracionários. Portanto, basta convertê-la para expoente fracionário e aplicar as regras de potenciação acima. 17. nn aa =1

18. n mnm aa =/ 19. ba n = � nnn ba /1/1)( = � n ba =

A Fórmula 19, de fato, mostra como inverter uma operação para achar o valor de uma variável elevando ambos os lados da equação a um mesmo expoente. Nesse caso, é preciso lembrar que a radiciação é uma operação inversa à da potenciação e isso implica levar em consideração os sinais das variáveis elevadas a um expoente qualquer. Tanto um número positivo como um negativo elevados a um expoente par dão um resultado positivo. Logo, quando se extrai a raiz correspondente, é impossível prever o sinal do número original. Por isso, nesse caso, quando se extrai a raiz de um número específico, indica-se o resultado com o sinal ±. Por exemplo, 2164 ±= . Quando se tem uma informação adicional sobre o número, como num caso em que ele representa uma variável econômica com sinal conhecido, então se usa o sinal correspondente como resposta.

No caso de expoentes pares e de a < 0, é impossível encontrar uma raiz que elevada a esse expoente resulte num número negativo. Para tratar desse caso, foi inventado o número

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1−≡i , que aparece na definição dos números complexos. É também chamado de número imaginário. Por exemplo, i313)9)(1(9 ±≡−±≡−≡− . LOGARITMOS

Considere a seguinte questão. A qual expoente o número 10 precisa ser elevado para para que o número 100 seja obtido? A resposta é 2, pois 102 = 100. Esse expoente é chamado de logaritmo de 100. Em termos literais, isso equivale a dizer que a é a base, b é o logaritmando, ou seja, o número que é obtido pela aplicação do logaritmo como expoente sobre a base, e balog é o logaritmo de b na base a.

O conceito de logaritmo está ligado ao de potenciação. De fato, para a sua compreensão é útil pensar nele como um expoente, com a diferença de que em vez ser dado, agora ele é a variável que se busca calcular. Assim, em vez de começar-se com a base e o expoente, como 102, para obter 100, agora se escreve 100log10 para descobrir-se o valor do expoente. As propriedades dos logaritmos são, portanto, relacionadas às propriedades da potenciação. Por exemplo, .4000.10log10 = Como 10.000 = 102×102 ou 104 = 102+2, tem-se

que 100log100log000.10log 101010 += .

20. ba ba =log , para a>0, a≠1 e b>0 21. 01log =a , pois 10 =a

22. cbbc aaa logloglog += .

23. cbcb

aaa logloglog −= .

24. bnb an

a loglog = .

25. cbcb aa =�= loglog . Como a operação inversa de achar o logaritmo é achar uma potência, pode-se calcular

o antilogaritmo: dizer que antilog10 2=100 equivale a 102=100. É comum omitir-se a designação da base 10. Assim, bb loglog10 ≡ . Uma base de logaritmos usada frequentemente em Economia é e=2,718..., que é um

número irracional. Tendo sido introduzida por John Neper, essa base gerou as denominações de logaritmos neperianos ou naturais. É comum escrever-se bbe lnlog ≡ . CONJUNTOS

Em matemática, considera-se como conjunto uma coleção ou uma lista bem definida de objetos, símbolos, animais, coisas etc. Os objetos que compõem um conjunto são chamados de elementos. O uso mais comum é para referência a listas de bens e serviços e de agentes econômicos. A seguir são apresentados alguns tipos de conjuntos: 26. Conjunto Universo, representado por � , é o conjunto ao qual pertencem todos os

elementos utilizados num determinado problema. Uma forma de representá-lo é simplesmente listar cada um dos elementos do conjunto.

27. Conjunto Vazio é um conjunto que não possui elemento. O símbolo que representa o conjunto vazio é Ø ou simplesmente { }. Ex.: { } { }=≠= xxxB | , onde se lê B é o

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conjunto de elementos x tal que x ≠ x. Esse conjunto é vazio, pois um dado elemento x não pode ser diferente dele mesmo.

28. Conjunto Finito é o conjunto que tem um número finito de elementos. Ex.: { }8,6,4,2,0=C . Para referências a elementos específicos de um conjunto, diz-se C∈2 ,

ou que 2 é um elemento do conjunto C. Para a negação, usa-se ∉. 29. Conjunto Infinito é o conjunto que tem um número infinito de elementos, um número

tão grande quanto se possa imaginar. Ex.: { },...3,2,1,0=A . Os conjuntos numéricos são os instrumentos usados para contar elementos de outros

conjuntos. 30. Números naturais: NI = { },...6,5,4,3,2,1,0 . 31. Números inteiros: Z = { },...4,3,2,1,0,1,2,3,4... −−−− . 32. Números racionais são os inteiros acrescidos de números expressos pela razão de dois

números inteiros: Q = ���

��� ≠∈∈= 0 e Z Z, , | bba

ba

xx .

33. Números irracionais são números cujas casas decimais não são exatas nem periódicas: { },...,...,2.,...log2,..I π=

34. Números reais são o racionais acrescidos dos irracionais: { }Ixou Qx|xR ∈∈= . 35. Números complexos são os racionais acrescidos dos números imaginários, discutidos

anteriormente nas fórmulas de radicais: { }1−≡∈∈+== i e Rb R,a |biazC . Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B, isto é,

A é subconjunto de B , se BxAx ∈�∈∀ . Isso é expresso como: BA ⊂ . Em resumo, o elemento pertence (ou não) a um conjunto e o conjunto é contido (ou não) por outro conjunto.

O número de subconjuntos de um conjunto é n2 , onde n é o número de elementos do conjunto. Essa fórmula é útil em estatística quando se calcula probabilidades. FATORIAL

Dado um número natural n, define-se fatorial de n como a expressão: 36. 12)...1(! ⋅−= nnn . Ex.: 6123!3 ≡⋅⋅= .

Um fatorial pode ser desmembrado, como em: 120!4512345!5 ≡⋅≡⋅⋅⋅⋅= )( . O fatorial de zero é definido como: 1!0 = . ANÁLISE COMBINATÓRIA O fatorial é útil em análise combinatória, a análise que permite contar o número de agrupamentos (subconjuntos) possíveis a partir dos elementos de um conjunto qualquer. Para um conjunto de n elementos, pode-se verificar quantos agrupamentos de p elementos podem ser formados, considerando-se a ordem (posição na lista de elementos) e a natureza (a descrição de cada elemento). Se os n elementos forem distintos, tem-se a análise combinatória simples; se não, tem-se a análise combinatória repetida. Apresentam-se abaixo apenas as fórmulas simples. 37. !nPn = Na permutação simples, np = e só a ordem é considerada. Ex.: o número de

anagramas possíveis da palavra LU é 2, pois nesse caso os agrupamentos possíveis são { } ULLU, , ou seja, 2!2 = .

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38. )!(!

!, pnp

nC pn −

= . Na combinação simples, os agrupamentos são diferenciados pela

natureza de seus elementos, ignorando-se a ordem. Ex.: o número de anagramas com 2 letras diferentes na palavra BIA é 3, pois os agrupamentos possíveis são{BI, BA, IA}, com n=3 e p=2. Note que na combinação simples BI é equivalente a IB e, por isso, só um deles é incluído.

39. )!(

!, pn

nA pn −

= . No arranjo simples, os agrupamentos são diferenciados tanto pela

ordem como pela natureza de seus elementos. Ex.: o número de anagramas de 2 letras na palavra BIA é 6, pois se obtém { BI, BA, IA, IB, AB, AI}. Note que nnn PA =, , ou seja, a permutação simples é um caso especial do arranjo

simples. FATORAÇÃO 40. )( cbaacab +=+ . 41. ( )( )bababa −+=− 22 .

42. ( ) 222 2 bababa ++=+ .

43. ( ) 222 2 bababa +−=− . EQUAÇÕES 44. )0( 0 ≠=+ abax . Essa é a equação de primeiro grau. 45. 02 =++ cbxax , com a, b, c reais e 0≠a , que é a equação de segundo grau.

A fórmula resolutiva da equação de segundo grau é dada por:

( )acba

bx 4

22 −=∆∆±−= . Se 0>∆ , existem duas raízes reais e distintas. Se 0=∆ , há

duas raízes reais e iguais. Se 0<∆ , não existem raízes reais e nem iguais, e as raízes são dadas no conjunto dos números complexos. FUNÇÕES Em Economia, as funções aparecem com mais intensidade no estudo de Microeconomia e Macroeconomia. Uma das famílias de funções mais usadas é a de funções de produção. Uma função relacionada é a curva de nível, chamada em Economia de isoquanta. Nos mapas geográficos, as curvas de nível representam altitude, enquanto que na Microeconomia as isoquantas representam níveis de produção. Das propriedades gerais das funções de produção são deduzidas as propriedades das isoquantas.

De uma função de várias variáveis, mantidas algumas delas constantes, são definidas funções condicionais que também têm determinadas propriedades. Esse é o caso de curvas de produtividade total. De fato, a isoquanta é também uma função condicional.

A família das funções de produção, com pequenos ajustamentos na sua interpretação, também é usada para representar mapas de preferência na teoria do consumidor. Nesse caso, as curvas de nível são chamadas de curvas de indiferença.

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Também bastante usada é a função do primeiro grau. Ela é usada para representar a restrição orçamentária na teoria do consumidor e a linha de isocusto na teoria da firma, quando os respectivos preços são determinados pelo mercado. A isocusto é uma curva de nível para uma dada definição de custos de produção. Nos modelos macroeconômicos estudados na graduação, a maioria das funções são lineares. 46. ky = (k um número real) é a função constante. Ela aparece, por exemplo, na

representação do custo fixo em gráficos de funções de custos totais. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

47. baxy += (a e b reais e não-nulos) é a função do primeiro grau, também conhecida como função linear afim. Seu gráfico permite discutir os zeros da função, encontrados por meio de equações de primeiro grau. Um exemplo de função de primeiro grau é uma função de demanda linear dada por

BPAQ −= , com A e B positivos, Q a quantidade de um bem e P o respectivo preço. Isolando-se P, tem-se uma função inversa de demanda, que é dada por BQBAP −= . Seu gráfico é uma reta inclinada negativamente em relação ao eixo das abscissas.

Outro exemplo é uma restrição orçamentária para dois bens, dada por mqpqp =+ 2211 , onde 1p e 2p representam os preços de mercado, 1q e 2q representam as quantidades a serem escolhidas pelo consumidor e m, a renda também dada. Nenhuma dessas variáveis tem sentido econômico para valores negativos. Quando escrita na forma reduzida (uma variável é isolada), a restrição orçamentária toma a forma acima da função do primeiro grau:

12

1

22 q

pp

pm

q −= . Apenas com troca dos símbolos ou pela redefinição dos significados, essa

mesma função pode representar uma isocusto. 48. axy = (a real e não-nulo) é a função linear, um caso especial da função do 1º grau. É

exemplificada pela função de custo variável. Seu gráfico é uma reta inclinada em relação ao eixo das abscissas que passa pela origem do gráfico.

49. cbxaxy ++= 2 (a, b, e c são números reais, com a ≠ 0) é a função do 2º grau, também considerada uma função quadrática. Um gráfico possível para essa função é a parábola.

50. nm

xy = (sendo m e n números inteiros e positivos) é a função potência. Um exemplo é a função de demanda baPQ −= , sendo a e b números positivos. O gráfico dessa função gera a curva conhecida como hipérbole eqüilátera. A função potência permite uma explicação alternativa para a fórmula 10 =a ,

apresentada na seção sobre potenciação. Um número elevado a zero em princípio não faz sentido, segundo o conceito de potenciação. Mas se a for elevado a valores de x bem próximos de zero, tanto com números positivos como com números negativos, é fácil conferir através de uma calculadora científica ou de uma planilha eletrônica que y se aproxima de 1. Assim, para um expoente bem próximo de zero, pode-se atribuir o número 1 a y. É uma aproximação bastante razoável. 51. ba xAxy 21= é a função de Cobb-Douglas, usada amplamente em estudos empíricos de

produção e para exemplificação de funções de preferência e de produção. É uma função potência com 2 variáveis independentes. Para um dado nível de produção, y, obtém-se a

fórmula de uma curva de nível, ( ) baAxyx/1

12 = , que também é uma função potência. Refazendo-se a curva (hipérbole eqüilátera) para diferentes valores de y, têm-se os mapas de curvas de nível, tanto de isoquantas como de curvas de indiferença.

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52. xay = (sendo a um número real positivo) é a função exponencial. Note-se que se a for igual a 1, obtém-se a função constante, com y igual a 1 para qualquer valor de x. Um exemplo é dado pela função de valor futuro, com capitalização contínua, rtAey = .

53. xy alog= (x > 0 e a ≠ 1 ) é a função logarítmica. O exemplo mais importante em Economia é a forma linearizada da função de produção de Cobb-Douglas, pela logaritmização: 21 loglogloglog xbxaAy ++= . Foi justamente da necessidade de se estimar uma função de produção não-linear, por meio de regressão linear, que se criou a função de Cobb-Douglas.

54. xy sen= é a função seno. É uma função circular, com x representando uma medida de arco numa circunferência orientada, que pode ser em graus ou em radianos. A variável y assume valores de –1 a 1, com a curva da função repetindo sua forma para múltiplos de 360º (2π radianos). Isso dá uma idéia de comportamento cíclico, isto é, que tende a se repetir de forma similar.

55. xy tan= é a função tangente. Também é uma função circular, embora não envolva ciclos, pois y varia de -∞ a +∞. É útil na interpretação geométrica da inclinação das curvas de nível e de outras funções econômicas.

56. xxfy )(= é a função média. Note que f(x) é uma forma geral de descrever uma função de x. Um exemplo econômico é a produtividade média de um fator de produção. Dada a

produção como função da quantidade de trabalho, )(LQQ = , onde se utiliza a própria letra da variável independente como símbolo da função, tem-se a produtividade média do trabalho (PMeL) representada por LLQPMeL )(= , ou seja, a quantidade de produto por homem-hora de trabalho.

Outro exemplo é a produtividade média de um dos fatores listados na função de produção de Cobb-Douglas. Assim, a produtividade média do fator 1 é dada por

baba xAxxxAxxy 21

11211−≡≡ . O leitor deve notar que o resultado é também uma função das

mesmas variáveis da função de produção. DERIVADAS Na graduação, é fundamental saber a interpretação da derivada. Uma forma intuitiva de se usar a derivada em Economia é interpretá-la como uma média calculada para pequenas alterações no valor da variável independente (caso mais simples). Se f(x) é o nível de

produção e se x é um fator de produção, a derivada dxdy

, também representada por f’(x),

representa o quanto a produção se altera por unidade da variação de x para uma pequena variação na quantidade do fator. Por exemplo, se o processo produtivo utilizar 2 unidades a mais do fator x e isso resultar em 4 unidades a mais do produto y, isso significa que serão obtidas 2 unidades a mais de produção por unidade do fator.

Quando esse tipo de conta é feito para variações muito pequenas em x, tem-se a derivada. As fórmulas de derivadas podem ser interpretadas como fórmulas prontas para tais contas. Como o valor da derivada depende do valor de x ao redor do qual se faz a conta, vê-se que a derivada também é função da mesma variável da função original. Na lista de fórmulas de derivadas, apresentadas a seguir, as letras u e v são também funções de x. A lista de derivadas inicial segue aproximadamente a lista anterior de funções. 57. 0)´()( =→= xfkxf .

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58. ')´()( auxfauxf =→= . 59. '')´()( vuxfvuxf +=→+= . Essa fórmula, conhecida como a derivada da soma,

junto com as duas primeiras, cuida da derivação de funções polinomiais como a da função de primeiro grau. Assim, como baxxf +=)( , tem-se axf =)´( , que é a função constante.

60. 1)´()( −=→= nn nxxfxxf . Se baxxfcbxaxxf +=→++= 2)´()( 2 . Contudo, para derivar funções de várias

variáveis, como a função de Cobb-Douglas, supõem-se constantes as variáveis que não interessam, e deriva-se apenas em relação à variável de interesse. É a derivação parcial. Na Cobb-Douglas, pode-se aplicar as fórmulas acima para obter-se a seguinte derivada parcial:

ba xaAxf 21

11−= . A notação 1f equivale4 a

1xy

∂∂

. Na teoria da produção, essa seria a

produtividade marginal do fator de produção 1. Como no caso da função média, a função derivada é também função das mesmas variáveis da função que a originou. Assim, para uma dada combinação ( )21 , xx de fatores de produção, uma pequena variação em x1 resulta numa

variação de 1x

y∂∂

unidades de y por unidade x1. Por exemplo, se ( )21 , xx = (4, 16), A=10 e

a=b=0,5, tem-se 10164105,0 5,05,0

1

≡⋅⋅⋅=∂∂ −

xy

. Se a quantidade do fator x1, que poderia ser

trabalho, fosse aumentada um pouquinho, isso resultaria num aumento médio de 10 unidades produzidas a mais por unidade de trabalho (usualmente, homem-hora). 61. aaxfaxf xx ln)´()( =→= )10( ≠< a . Para xx exfexf =→= )´()( .

62. ax

xfxxf a ln1

)´(log)( =→= . Para x

xfxxf1

)´(ln)( =→= .

63. ´´)´()( vuuvxfuvxf +=→= . Uma aplicação dessa regra é achar a derivada de uxy = em relação a x, onde a função

u(x) multiplica x. Nesse caso, basta lembrar que, na verdade, xv = . Logo, uxuuxuxf ′+≡′⋅+⋅=′ 1)( . Essa derivada aparece no modelo de monopólio, na disciplina

de Microeconomia, com x representando uma quantidade de um tipo de bem e u(x), o respectivo preço cobrado pelo monopolista. Vê-se, então, que y representa a receita do monopolista.

64. 2

'')´()(

vuvvu

xfvu

xf−=→= .

65. '')´()()( uvxfuvxf =→= . Essa é a regra do encadeamento ou da função de função. Há algumas aplicações de derivadas em Economia que são importantes. Uma delas é no estudo da inclinação de curvas de nível. Dada uma função ),( 21 xxfy = e dado um valor para y, pode-se construir uma curva de nível, que passa a ser, por exemplo, uma função

)( 12 xgx = . O problema usual em Economia é verificar qual é o sinal da derivada 12 dxdx , que representa a inclinação da curva de nível, com base em informações gerais sobre a função

),( 21 xxfy = . Pela regra da derivada da função implícita, essa derivada é dada por

2112 ffdxdx −= . Por exemplo, se essas derivadas parciais 1f e 2f tiverem sinal positivo,

4 O símbolo matemático ∂ é, na verdade, a letra d. É uma fonte tipográfica chamada de tipo rondo, por conta de seu formato arredondado, ou letra inglesa. O leitor pode ler o símbolo de derivada parcial como "d-rondo y, d-rondo x", mas "d y, d x, parcial" também é aceitável.

12

pode-se concluir que a derivada da curva de nível terá sinal negativo e, assim, a inclinação da curva de nível será negativa. Esse é o caso de uma função de produção com produtividades marginais positivas para cada insumo. A inclinação da isoquanta é negativa. Outra aplicação importante das derivadas é a busca de um ponto extremo de uma função, que pode ser um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Para a função

),( 21 xxfy = , um ponto de máximo para a variável y pode ser identificado se o(s) ponto(s) ),( 21 xx satisfizer(em) as seguintes condições:

0 ,0 21 == ff , 0 ,0 212221111 >−< ffff .

Das duas igualdades, pode-se encontrar o(s) ponto(s) ),( 21 xx candidato(s), resolvendo-as como um sistema de equações. Com as desigualdades, pode-se verificar se são realmente pontos de máximo. Essas desigualdades, chamadas de condições de segunda ordem, têm os sinais positivos para um mínimo. Para uma função )(xfy = , as condições para um máximo simplificam-se para 0)( =′ xf e 0)( <′′ xf , também com inversão do sinal da desigualdade para um mínimo. Para a maximização de uma função restringida quanto aos pontos ),( 21 xx que podem ser escolhidos, usa-se uma técnica associada a Lagrange. Assim, se o objetivo é achar o máximo da função ),( 21 xxfy = , sujeito à função 0),( 21 =xxg , monta-se a função auxiliar, também chamada de função lagrangeana,

),(),( 2121 xxgxxfL λ+= e se resolve o seguinte sistema de equações:

0,0,0 21 =λ∂∂=∂∂=∂∂ L xL xL . Nesse exemplo, essas condições de primeira ordem tornam-se:

,011 =λ+ gf ,022 =λ+ gf .0),( 21 =xxg Se não houver informação que permita garantir antecipadamente tratar-se de um máximo, será preciso estudar também as condições de segunda ordem, omitidas nesta exposição. Em Microeconomia, essas fórmulas de otimização são usadas no estudo da maximização de lucros, na sua conseqüência, que é a minimização de custos, e na maximização do índice de preferências. Por fim, uma aplicação de derivada aparece no conceito de elasticidade. Dada a função

)(xfy = , pode-se estudar, nas vizinhas de um ponto ),( yx , em quantos pontos percentuais a variável y altera-se para cada ponto percentual de variação em x, ou seja,

xxyy

E∆∆= .

Simplificando as frações, tem-se

xxf

xy

E)(÷

∆∆= .

Para valores de x∆ muito próximos de zero, tem-se

xxf

dxdy

E)(÷= .

Portanto, a função elasticidade é dada pela razão entre a função derivada e a função média de uma dada função )(xfy = , sendo também uma função de x. A função elasticidade é amplamente utilizada no estudo das funções de demanda, de oferta, e de produção, tanto em Microeconomia como em Macroeconomia.

13

PROGRESSÃO 66. rnaan )1(1 −+= é o termo geral de uma progressão aritmética, sendo a1 o primeiro

termo, an o termo em consideração e r a razão.

67. 2

)( 1 naaS n

n

+= é a soma dos n termos de uma progressão aritmética.

68. 11

−= nn qaa é o termo geral de uma progressão geométrica, sendo q a razão.

69. qqa

Sn

n −−

=1

)1(1 (q≠1) é a soma dos n termos de uma progressão geométrica finita.

Se 11 naSq n =�= .

70. q

aS

−=

11 ( ∞→n e 11 <<− q ) é a soma dos termos de uma progressão geométrica

infinita. Note que o valor absoluto da razão precisa ser inferior a 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA 71. CniM )1( += é o valor de resgate ou valor futuro, M, sob capitalização simples, de

um capital ou valor presente C, aplicado à taxa anual de juros i durante n anos. A duração de tempo pode ser diferente da anual desde que a taxa de juros seja também redefinida para tal período de capitalização.

72. CiM n)1( += é o valor futuro sob capitalização composta. O valor presente, nesse

caso, é dado por ni

MC

)1( += . Para juros compostos p vezes ao ano, o valor futuro é

usualmente calculado, por aproximação, através da seguinte fórmula: ( ) CpiM np+= 1 .

73. i

iR

iRP

nn

t t

−

=

+−≡+

= �)1(1

)1(1

1 é o valor presente descontado de uma seqüência de

valores futuros constantes e iguais a R por período. Para uma seqüência de valores futuros variáveis será preciso fazer o cálculo do valor presente descontado para cada série específica de valores em vez de usar essa fórmula. A expressão simplificada do somatório pode ser obtida pela fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica com razão )1(1 i+ . No limite, quando iRPn =�∞→ .

MATRIZES As matrizes permitem descrever compactamente sistemas de equações . Por exemplo, o sistema de equações de primeiro grau

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

=+=+

pode ser reescrito, pela ajuda de matrizes, como

��

�=

��

�

��

�

2

1

2

1

2221

1211

bb

xx

aaaa

14

ou simplesmente como BAX = em que cada letra representa uma matriz. A álgebra matricial permite fazer com as matrizes, de forma compacta, operações que dão resultados finais equivalentes aos que seriam obtidos com operações algébricas no sistema de equações original. As disciplinas de Contabilidade Social, na discussão da matriz de insumo-produto, e de Macroeconomia, nos modelos keynesianos, incluem sistemas de equações lineares.

Em vez da matriz B, é possível ter-se, por exemplo, uma matriz de variáveis yi, representável por Y. Ter-se-ia então um sistema de funções lineares das variáveis xi, representável por Y=AX. Sistemas de funções desse tipo podem ser usados em Econometria na discussão do modelo de regressão linear. Uma matriz é também descrita por mxnijaA ][= , onde i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n,

podendo ocorrer nm ≠ . Diz-se que a matriz tem m linhas e n colunas e seus índices permitem a localização de cada elemento ija na matriz.

Tipos de matrizes:

74. Matriz linha ou vetor linha é uma matriz com dimensões 1×n. 75. Matriz coluna ou vetor coluna é uma matriz com dimensões n×1. 76. Matriz quadrada de ordem n é uma matriz com dimensões n×n. A matriz quadrada A

do sistema de equações acima, por exemplo, é de ordem 2. 77. Matriz nula, representada por 0, é uma matriz onde todos os elementos são nulos. 78. Matriz diagonal é uma matriz quadrada que, fora da diagonal principal, só tem

elementos nulos. Um exemplo de matriz diagonal é dado por:

�

���

�

100080003

.

79. Matriz identidade, representada por I, é uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal principal tem valor unitário.

80. Matriz transposta é a matriz TA obtida da matriz A pela troca, na mesma seqüência, das linhas e colunas. Uma notação alternativa é A′ . Por definição de matriz transposta, tem-se que AA =TT )( . Um exemplo de transposição

de matriz é dado por:

��

�

−=

520031

A e

�

���

�

−=52

0

031

TA .

Operações matriciais: 81. BAC += , onde ijijij bac += para todos os elementos de mesmos subíndices. Isso

significa que as matrizes A e B precisam ter a mesma dimensão. A subtração de matrizes é definida da mesma forma, apenas pela troca do sinal. Se B for a matriz nula, então A+0=A.

82. CBACBA ++=++ )()( . 83. ABBA +=+ . 84. kAB = , onde k é um número real e cada elemento de B é tal que ijij kab = .

85. ABC = , onde cada elemento cij é obtido pela soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. As matrizes A e B não precisam ser quadradas, desde que o número de colunas de A seja

igual ao número de linhas de B. Essa é uma das razões para que, em geral, BAAB ≠ .

15

No exemplo de produto matricial a seguir,

��

�

��

�=

��

�

11501

1432

1193317

,

tem-se que 531217 ×+×= . Outro exemplo de produto matricial é o sistema de equações em forma matricial, AX=B, apresentado no início desta seção.

As matrizes A e B não precisam ser quadradas, desde que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Essa é uma das razões para que, em geral, BAAB ≠ . 86. TTT ABAB =)( . 87. 1−= AAI , onde A-1 é a matriz inversa de uma matriz A.

88. 111)( −−− = ABAB e ( ) 111 11)( −−− ≡�

�

���

�= Akk

AkA , desde que as inversas existam. Além

disso, AAAA 11 −− = e ( ) AA =−− 11 . Embora seja possível definir matrizes inversas para matrizes retangulares (m≠n), aqui se

considera apenas o caso de matrizes quadradas (m=n), como é usual em Economia. Por meio de determinantes, como se verá a seguir, pode-se estabelecer uma condição para que a inversa de A exista.

Uma forma simples para se achar a matriz inversa é montar um sistema de equações a partir da presente fórmula, com cada elemento da matriz inversa tratado como incógnita. Para uma matriz de ordem 2, ter-se-á um sistema de 4 equações lineares e, conforme a ordem da matriz cresça, o número de equações aumentará exponencialmente. Há outras formas de se encontrar a matriz inversa e uma delas, a partir de determinantes, será apresentada mais abaixo. Para matrizes numéricas, pode-se também usar a função MATRIZ.INVERSO da planilha eletrônica Excel ou uma função equivalente em outros programas.

Por exemplo, a inversa da matriz

��

�=

11501

A

é

��

�

−=−

111115011A .

Uma aplicação importante de matriz inversa é na solução de sistemas de equações lineares. Para o sistema de equações apresentado no início desta seção, tem-se:

BAXBAXIBAXAABAX 1111 )( −−−− =�=�=�= . É claro que ainda seria necessário calcular a matriz inversa e fazer a multiplicação indicada no lado direito da equação matricial para se chegar aos valores de xi.

DETERMINANTES Determinante é uma função que associa uma matriz quadrada a um número real, sob

operações de análise combinatória. Esse número aparece, por exemplo, durante a solução de sistemas de equações lineares. Calcula-se um determinante a partir de regras práticas que são úteis apenas para determinantes de ordens baixas, isto é, 2 ou 3. Por exemplo, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e os elementos da diagonal secundária. Um exemplo desse cálculo é:

110115011111501

det =−=×−×==A .

16

Para determinantes de ordem 3, usa-se a Regra de Sarrus, com a mesma idéia dos produtos dos elementos das diagonais, porém repetindo as duas primeiras colunas como auxiliares. Um exemplo de uso dessa regra é dado por:

100305110)2(1

5310100)2(1det

520

031

050123101

050123101

det=××−××−×−×−

××+××+×−×=�−−�−=

AA

Embora existam regras práticas que permitem o cálculo de determinantes de qualquer ordem alta, elas são raramente utilizadas em nível da graduação em Economia. De qualquer modo, se for necessário calcular um determinante específico, de ordem alta, é possível utilizar uma planilha eletrônica como o Excel, cuja função MATRIZ.DETERM calcula determinantes.

O determinante é igual a zero quando: a) uma de suas filas (linha ou coluna) é nula; b) possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais; c) uma de suas filas é uma combinação linear de outras filas paralelas.

Cofator do elemento ija de uma matriz A , com dimensões m×n, é o número

ijji

ij DA +−= )1( , em que ijD é o determinante da matriz que se obtém de A eliminando-se a

linha i e a coluna .j O determinante ijD é chamado de menor complementar. Por exemplo, para o elemento a12 = 0 da matriz

�

���

�

−=

101284003

A

tem-se

6]2)1(14)[1(1124

)1( 2112 −=×−−×−=

−−= +A .

Seguem algumas propriedades de determinantes:

89. TAA detdet = 90. AkkA n det)det( = , onde n é a ordem da matriz quadrada. Mas, se apenas uma fila de A

for multiplicada por k, tem-se Ak det .

91. BAAB detdet)det( ⋅= . Note que 1detdetdet 1 ≡⋅= −AAI ou A

Adet

1det 1 =− .

SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES Uma aplicação importante de determinantes é uma fórmula para o cálculo da matriz

inversa:

92. AA

A adjdet

11 ⋅=− ,

onde adj A é a matriz adjunta, dada pela matriz transposta dos cofatores de A. Logo, TAA = adj , onde A é a matriz dos cofatores de A. Note que a existência da matriz inversa

está condicionada por 0det ≠A .

17

Outra aplicação muito útil é a Regra de Cramer, que é uma forma alternativa à inversão de matrizes para a solução de sistemas de equações lineares na forma AX=B. Cada elemento de X é dado por

93. DD

x ii = , i = 1, 2, ..., n,

onde AD det= e Di é obtido pela substituição da coluna i da matriz A pelos elementos de B.

Um exemplo é dado pelo seguinte sistema de equações (com b1 e b2 positivos e a no intervalo entre 0 e 1), que tem x1 e x2 como incógnitas:

221

121

bxx

baxx

=+−=−

�

��

�

−−

=11

1 aA � aaA −=−×−−×= 1)1()(11det .

Aplicando a Regra de Cramer, obtém-se:

aabb

a

b

ab

x−+

≡−

−

=11

1 212

1

1 .

Seguindo o mesmo procedimento para a outra incógnita, algo que o leitor pode conferir, encontra-se:

abb

x−+=

121

2 .

Nos manuais de Economia, essas incógnitas são também chamadas de variáveis endógenas. Os valores dessas incógnitas, obtidos na solução do sistema de equações, são chamados, em alguns modelos, de valores de equilíbrio. As constantes a, b1 e b2 são chamadas de variáveis exógenas porque são determinadas fora do modelo.

Uma conclusão de natureza qualitativa que se pode tirar da solução desse exemplo é que as variáveis endógenas têm valores positivos desde que as variáveis exógenas tenham valores nos intervalos pré-determinados, isto é, b1 e b2 positivos e a no intervalo entre 0 e 1. Uma forma simples de verificar isso é utilizar valores para as variáveis exógenas na solução do sistema de equações.

Estudar o impacto de mudanças, sobre as variáveis endógenas, nos valores dados das variáveis exógenas seria uma extensão dessa análise. Na forma literal de solução, como acima, pode-se fazer isso por simulação, atribuindo novos valores a cada uma das variáveis exógenas, ou através de derivadas parciais, pois a solução aparece como um conjunto de funções. Por exemplo, por derivada, pode-se estudar os impactos de uma alteração em b2 sobre os valores das variáveis endógenas, que seriam dados por :

aa

bx

−=

∂∂

12

1 e ab

x−

=∂∂

11

2

2 .

A interpretação seria que, nas vizinhanças dos valores que solucionam o sistema, uma pequena mudança no valor de b2 causaria uma mudança de )1( aa − unidades de x1 por unidade de b2. Para 9,0=a , isso daria 9 unidades de variação em x1 por unidade de b2, para pequenas variações em b2. O impacto sobre x2 seria de 10 unidades de x2 por unidade de b2.

Em modelos macroeconômicos, essas derivadas parciais são chamadas de multiplicadores. INTEGRAIS

Uma integral é a operação inversa da derivada. Assim, dada uma função qualquer, )(xf , considerada uma função derivada, pode-se obter a função primitiva, )(xF , através da

18

integral. Há naturalmente exceções como a da derivada de uma função constante, que não permite a recuperação da constante primitiva a partir de uma derivada igual a zero. Mas, quando a constante aparece como termo adicionado à função primitiva, é possível recuperá-la com informação adicional sobre aquela função, como é o caso de um ponto por onde passa a função primitiva. Por não se saber se a constante adicionada à função primitiva é nula ou não, costuma-se adicionar uma constante quando se acha uma integral indefinida. As integrais definidas são calculadas para intervalos da variável independente da função primitiva e são interpretáveis como uma área associada a uma curva. Durante o curso de graduação em Economia, a integral aparece como forma de calcular a área sob a curva de demanda na disciplina de Microeconomia, ao se discutir o excedente do consumidor. Outro uso seria na solução de equações diferenciais, como se verá na próxima seção. Listam-se abaixo algumas fórmulas básicas de integrais: 94. � += Caxadx . Também, � �= dxxfadxxaf )()( .

95. Cnx

dxxn

n ++

=+

� 1

1

96. Cxx

dx +=� ln

97. Ca

adxa

xx +=� ln

( 0>a ). Na base e, simplifica-se para Cedxe xx +=� .

98. )()()()( aFbFxFdxxf b

a

b

a−==� é a fórmula da integral definida.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Dito de forma simples, uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas. Sua solução é uma função obtida por integrais. Em Economia, essas derivadas são feitas em relação à variável representativa do tempo, t, e a função que resolve a equação é

)(tFx = . Assim, a solução é uma trajetória temporal para a variável x. Um exemplo inspirado em Economia (modelo de Solow) é:

bxxafdtdx −= )( ,

em que f(x) tem características especiais associadas a funções de produção e )(tFx = . Como se trata de assunto ainda mais apropriado para a pós-graduação em Economia, as

equações diferenciais recebem no curso de graduação basicamente um tratamento gráfico, apenas com ilustração gráfica de sua solução. Elas aparecem na teoria do crescimento econômico, na versão gráfica de modelos como o de Solow. Nos modelos macroeconômicos keynesianos, um sistema de equações diferenciais está implícito ao se ilustrar graficamente a estabilidade do equilíbrio simultâneo dos mercados de bens e de moeda. Os dois tipos de modelos são estudados na disciplina de Macroeconomia. A equação diferencial mais simples é a equação diferencial linear de primeira ordem:

99. baydtdy += . Sua solução geral é dada por

ab

Aey at −= .

A ordem da equação diferencial é dada pela ordem da derivada, no caso apenas uma derivada primeira. Solução geral significa que a constante A pode assumir qualquer valor.

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Para achar uma solução determinada seria preciso informação adicional sobre a função )(tFx = , como por exemplo um de seus pontos.

EQUAÇÕES A DIFERENÇAS Equações a diferenças são de natureza similar às equações diferenciais, no sentido de que suas soluções são também funções. Contudo, a variável t é dada de forma discreta, isto é, t é um número inteiro. Do mesmo modo, o caso básico é a equação a diferença linear de primeira ordem: 100. bayy tt +=+1 )1( −≠a , cuja solução geral é )a(bAay t

t −+= 1 . BIBLIOGRAFIA BEYER, William H.H. Standard mathematical tables and formulae. 29ª ed. Cleveland: CRC

Press, 1991. SPIEGEL, Murray R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas. São Paulo: McGraw-Hill

do Brasil, 1973. (Coleção Schaum) Há no mercado uma edição de 1990, publicada pela McGraw-Hill de Portugal.