CDI – Comunicação Digitalmdoniak/CDI_20705/CDI_Cap2.pdf · A Figura 7 ilustra as pdfs...

CDI – Comunicação Digital

DeModulação em Banda Base

“Digital Communications – Fundamentals and Applications”Bernard Sklar

2ª edição – Prentice Hall

Marcio Doniak

www.sj.ifsc.edu.br/[email protected]

CDI 20705 – Comunicação Digital DEMODULAÇÃO EM BANDA BASE 1/28

http://www.sj.ifsc.edu.br/~mdoniak

mailto:[email protected]

1. Introdução

Figura 1: Sinal em Banda Base e Sinal em Banda Passante.

Um sinal é dito ser de banda passante quando f c≫ f m . Note que a largura de banda do

sinal em banda base é f m , enquanto em banda passante é 2f m .

2. O Dilema da Largura de Banda

Diversos teoremas importantes de comunicações e teoria da informação estão baseados na

consideração dos canais serem estritamente limitados em banda, o que significa que nenhuma

potência do sinal é permita fora da banda definida. Mas assim surge o dilema que sinais

estritamente limitados em banda, conforme ilustra a Figura 2 (b), não são realizáveis porque estes

sinais tem duração infinita. Já sinais com duração finita, como o sinal x2t ilustrado na Figura 2

(c), podem ser facilmente realizáveis. Resumidamente, para todos os espectros limitados em

banda, suas formas de onda não são realizáveis, e para todas as formas de onda realizáveis a

largura de banda absoluta é infinita. Assim, a descrição matemática de um sinal real não permite

que o sinal seja estritamente limitado no tempo e também em banda. Por isso, os modelos


matemáticos são abstrações; e não é de se admirar que não exista uma definição universal única

de largura de banda.

Figura 2: (a) Sinal estritamente limitado em banda no domínio do tempo. (b) Sinal estritamente

limitado em banda no domínio da frequência. (c) Sinal limitado temporalmente no domínio do

tempo. (d) Sinal limitado temporalmente no domínio da frequência.

Todos os critérios de largura de banda tem em comum a tentativa em especificar uma

medida de largura de banda, W, de um valor real não-negativo da densidade espectral definida

para todas as frequências ∣ f ∣ ∞ .

A Figura 4 ilustra algumas das definições de largura de banda comumente usadas, nos

quais, geralmente não são intercambiáveis. A densidade espectral de potência de um lóbulo para

um único pulso heterodino x t , conforme ilustrado na Figura 3, tem a seguinte forma analítica:

GX f = T [sen f − f cT

f − f cT]2

onde f c é a frequência da portadora e T é a duração do pulso. A densidade espectral de

potência (PSD) também caracteriza uma sequência de pulso aleatória, considerando que o tempo


médio é grande o suficiente com relação a duração do pulso. Os critérios de definição de largura

de banda ilustrados na Figura 4 são descritos como:

Figura 3: Sistema heterodino.

Figura 4: Largura de banda de um sinal digital. (a) Meia-potência. (b) Ruído equivalente. (c) Nulo a

nulo. (d) 99% da potência. (e) Delimitado pela PSD (define atenuação fora da largura de banda)

para 35 dB e 50 dB.

a) Largura de banda de Meia-Potência: é o intervalo entre as frequências no qual a

GX f cai para a metade, ou seja, cai 3 dB da potência de pico.

b) Equivalente retangular ou ruído equivalente: é definido pela relação entre a

potência total para todas as frequências e GX f c que representa a GX f na

frequência central (normalmente é o valor máximo de GX f ),

W N = P X /G X f .


c) Nulo-a-nulo: é uma das mais populares medidas de largura de banda, onde é

medido o tamanho do lóbulo principal, onde, normalmente, a maior parte da

potência do sinal está contida.

d) 99% da potência: é definida como a banda que deixa exatamente 0,5% da potência

do sinal acima do limite de banda superior e exatamente 0,5% da potência do sinal

abaixo do limite inferior de banda. Logo, 99% da potência do sinal fica dentro desta

largura de banda.

e) Delimitado pela densidade espectral de potência: este método afirma que em

qualquer ponto fora da banda especificada, GX f deve cair pelo menos a um

certo nível abaixo do valor encontrado no centro da banda. Este valor de atenuação

normalmente é 35 dB ou 50 dB.

f) Largura de banda absoluta: é o intervalo entre frequências cujo o qual o espectro é

zero fora deste intervalo. Lembrando que para todas as formas de onda realizáveis, a

largura de banda absoluta é infinita.

3. Transmissão em Banda Base

Um diagrama de blocos de um sistema em banda básica é mostrado na Figura 5.

Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema em banda base.


4. Detecção de Sinais Binários na Presença de Ruído Gaussiano

A tarefa definida para o detector é recuperar a sequência de bits da forma de onda recebida

com o menor erro possível. Existem duas causas básicas que causam a degradação na performance

de erro do sinal (aumento da probabilidade de erro de bit – PB). A primeira é resultado da ação dos

filtros no transmissor, canal e receptor. Isso ocorre porque uma função de transferência não ideal

causa interferência intersimbólica (ISI). A outra causa é devido ao ruído elétrico e interferência

produzida por várias fontes. Estas podem ser previnidas e assim, minimizadas.

Considere que a cada T segundos seja transmitido os sinais:

Figura 6: Sinais binários sendo transmitidos.

Devido ao ruído o sinal recebido, r t , será:

r t = si t n t , i = 1, 2 0tT

onde n t é um processo estocástico AWGN de média nula.

A Figura 6 ilustra um receptor digital com funções típicas de demodulação e detecção. Os

blocos hachurados são opcionais no circuito e, portanto, não serão considerados na análise de

detecção do sinal. O bloco frequency down-convertion realiza a mudança de frequência do sinal

para a banda básica. O bloco equalizing filter somente é necessário quando o canal pode levar a

interferência intersimbólica (ISI). Assim, o processo de demodulação e amostragem é composto

por dois blocos essenciais, o primeiro é o bloco receiving filter (filtro linear receptor), h t , que é

responsável por recuperar o pulso em banda base com a melhor relação sinal-ruído (SNR) possível.

O segundo é o amostrador, que ao final da duração de cada símbolo T , produz uma amostra

z T , que possui um valor de tensão diretamente proporcional a energia do símbolo recebido e

inversamente proporcional ao ruído.

Na saída do filtro linear, h(t), temos:

z t = r t ∗ht = s i t ∗h t nt ∗ht

si t ∗ht = ai t e n t∗h t = n0 t


z t = a i t n0 t

Logo, na saída do amostrador teremos:

z T = a iT n0 T

onde a it é componente desejada do sinal e n0t é a componente de ruído, que pode ser

chamado de ruído colorido.

Figura 6: Dois passos para realizar a demodulação/detecção dos sinais digitais.

É importante ficar claro que n00 e n0T são variáveis aleatórias Gaussianas com

média zero e descorrelacionadas entre si. Logo, elas são independentes uma da outra.

Simplicando a notação após a amostragem: z T = z , a iT = a i ,

n0T = n0 , assim temos:

z = ai n0

z Gai ,02 , é uma variável aleatória Gaussiana com média a i e variância do ruído

02 .

Relembrando a função densidade de probabilidade (pdf) do ruído aleatório Gaussiano

n0:


Assim, conseguimos expressar a probabilidade (pdf) condicional com relação aos sinais s1 e

s2:

e

A Figura 7 ilustra as pdfs condicionais para os sinais s1 e s2. A curva mais a direita nesta

figura é a probabilidade condicional p z / s1 , chamada de probabilidade de s1. Ela ilustra a pdf

da variável aleatória z T , dado que o símbolo s1 foi transmitido.

Figura 7: Função densidade de probabilidade condicional: p z / s1 e p z / s2.

Após a forma de onda recebida ter sido transformada em uma amostra, o formato da forma

de onda não é mais importante; todos os tipos de formas de onda transformadas para o mesmo

valor z T são identicas para a detecção. Mais adiante vamos ver o filtro casado que mapeia

todos os sinais de mesma energia para o mesmo ponto z T . Assim, como z T é um sinal de

tensão que é proporcional a energia do símbolo recebido, então, quanto maior for a magnitude de

z T , menor será o erro no processo de decisão.

A detecção é realizada escolhendo entre uma das possíveis hipóteses relacionadas a um


limiar de decisão :

onde H1 e H2 são duas hipóteses possíveis. A relação de desigualdade indica, por exemplo, que a

hipótese H1 será escolhida se z T . Decidir por H1 é o mesmo que definir que o sinal s1 foi

transmitido, ou seja, decidir pelo bit 1.

5. Critérios de Decisão

5.1 MAP (Maximum A Posteriori)

Seja P si / z a probabilidade de si ter sido transmitido dado que z foi observado.

Dentro deste critério fazemos o seguinte teste de hipóteses:

Note que estas probabilidades implicam em observar o que foi transmitido dado o valor

recebido. Mas é mais fácil observarmos a probabilidade do sinal ser recebido dado que um

determinado sinal foi transmitido. Para isso, aplicamos a regra de Bayes no critério MAP.

A regra de Bayes diz o seguinte:

P A/B =P A , BP B ou P B /A =

P A , BP A

P s i / z =P s i , z P z

P z / si =P z , siP si

=P si , z P si

P s i / z =P z , si P s i

P z

Assim aplicando o critério MAP:

onde p z / si → função de verosimilhança (likelihood function)


5.2 Receptor de Máxima Verosimilhança

No caso em que a fonte é uniformemente distribuída, ou seja, p s1 = P s2 = 1 /2 , o

critério MAP se reduz ao ML (Maximum Likelihood) – critério de Máxima Verosimilhança:

O limiar de decisão (threshold) é:

Ao tomar a decisão com base no ML, o receptor pode errar. Qual é essa probabilidade de

erro?

Primeiramente, vamos supor que s1 t foi transmitido:

P e/ s1 = P H 2 / s1 = P z0/ s1

P e/ s1 = ∫−∞

0

P z / s1dz

Da mesma forma, podemos considerar que s2t foi transmitido:

P e/ s2 = P H 1 / s2 = P z0 / s2

P e/ s2 = ∫−∞

0

P z / s2dz

De maneira geral, a probabilidade de erro é:

PB = P e / s1 . P s1 P e/ s2 . P s2 ou de forma equivalente,

PB = P H 2/ s1 . P s1 P H 1/ s2 . P s2

Para o caso onde as probabilidades a priori (probabilidade da fonte) são iguais, ou seja,

P s1 = P s2 = 1 /2.


PB = 12[P e/ s1 P e/ s2] =

12[P H 2 / s1 P H 1 / s2]

E como as funções densidade de probabilidade são simétricas:

PB = [P H 2 / s1 = P H 1 / s2]

Assim, revendo a Figura 7, podemos calcular a probabilidade de erro da seguinte forma:

0 =a1a22

→ limiar de decisão

PB = ∫−∞

0 1 02

exp [−12z−a10

2

]dz

PB = ∫0

∞1

02exp [−1

2z−a2 0

2

]dz

Onde 02 é a variância do ruído na saída do filtro, h(t).

Agora considere a seguinte mudança de variável:

u =z−a2 0

→ dudz

= 10

→ du = dz 0

→ dz = du . 0

Verificando os limites de integração:

Para z∞ , então, u∞ .

Para z =a1a22

, então, u = 10

[a1a22

−a2] =a1−a22 0

Substituindo tudo na função PB:

P B = ∫a1−a 220

∞ 12

exp[−u2

2 ] du

Assim, podemos experessar a probabilidade de erro de bit pela função Q, chamada de

função de erro complementar. E, Q x , é o símbolo comumente usado para representar a

probabilidade de erro da pdf Gaussiana.


Q x = 12

∫x

∞

exp −u2

2 du

x Q(x)

– ∞ 1

+ ∞ 0

0 1/2

– x 1 – Q(x)

Se x ≫ 1 → Q x ~ 12e−x

2

Como x =a1−a220

, temos:

P B = Q a1−a220

Neste caso, quanto mais afastados os sinais a1 e a2 estiverem um do outro, menor será

o ruído.

6. Filtro Casado

O filtro casado é um filtro linear projetado para maximizar a relação sinal-ruído (SNR) na sua

saída para uma dada forma de onda do símbolo transmitido. Conforme foi apresentado na Figura

6, o sinal na entrada do filtro linear, invariante no tempo é r t = si t n t . E o sinal na

saída do amostrador é z T = a iT n0 T , que consiste da componente do sinal a i e

da componente de ruído n0 . A potência média do ruído é dada pela sua variância ( 02 ). Logo,

a relação sinal-ruído (SNR) no instante de tempo t = T, na saída do amostrador:

SNR T =ai2

02

Nós desejamos encontrar a função de transferência do filtro, H f , que maximize a

relação sinal-ruído.

a i t = si t ∗h t ↔ Ai f = S i f .H f

S i f → transformada de Fourier do sinal de entrada, si t .


Usando a transformada inversa de Fourier:

a i t = ∫−∞

∞

Ai f .ej2 ft df = ∫

−∞

∞

S i f .H f . e j2 ft df

A potência do ruído na saída do filtro casado é:

02 = ∫

−∞

∞

Gn0 f df

Gn0 f = Gn f . ∣H f ∣2

Gn0 f → densidade espectral de potência do ruído colorido

Gn f → densidade espectral de potência do ruído branco, N 0/2

02 =

N 0

2 ∫−∞∞

∣H f ∣2df

Assim, no instante t = T, teremos:

SNR T =a i2T 02 =

∣∫−∞

∞

S i f .H f .e j2 fT .df ∣2

N 0

2 ∫−∞∞

∣H f ∣2 .df

Recorrendo a desigualdade de Schwarz:

∣∫−∞

∞

f 1t . f 2t .dt∣2 ∫

−∞

∞

∣ f 1t ∣2 .dt . ∫

−∞

∞

∣ f 2t ∣2 .dt

Considerando o limite, ou seja, a igualdade:

onde k é uma constante, e * indica a operação de complexo conjugado.

Aplicando a desigualdade de Schwarz:

f 1 f = H f f 2 f = S i f . ej2 fT


∣∫−∞

∞

H f .S i f . ej2 fT .df ∣

2 ∫

−∞

∞

∣H f ∣2.df . ∫−∞

∞

∣S i f ∣2 .df

SNR T ∫−∞

∞

∣H f ∣2 .df . ∫−∞

∞

∣S i f ∣2.df

N 0

2 ∫−∞

∞

∣H f ∣2 .df

SNR T ∫−∞

∞

∣S i f ∣2.df

N 0

2

E = ∫−∞

∞

∣S i f ∣2 .df → é a energia do sinal

SNR T 2 EN 0

max SNR T = 2 EN 0

Note que a relação sinal-ruído depende apenas da energia do sinal si t , e não da sua

forma particular.

A função de transferência que maximiza a SNR é:

Para achar a resposta ao impulso, h(t), do filtro, usa-se a transformada inversa de Fourier.

h t = k.si T−t , para 0 t T .

Diz-se que h t é o filtro casado ao sinal si t.

A Figura 8 ilustra a propriedade básica do filtro casado: a resposta ao impulso do filtro é

uma versão atrasada da forma de onda do sinal espelhada (rotacionada no eixo t =0). Desta forma,

seja o sinal s(t), sua forma de onda espelhada é s(-t), e sua versão atrasada em T segundos é

s(T – t).


Figura 8: Forma de onda de um sinal e a resposta ao impulso do filtro casado a este sinal.

7. O Correlator

Seja h(t) a resposta ao impulso do filtro casado e r(t) o sinal recebido, o sinal na saída do

filtro, z(t), será:

z t = r t ∗ ht = ∫0

t

r ht−d

Substituindo a resposta ao impulso de h(t), considerando k = 1, temos:

z t = ∫0

t

r si {T−t−}d = ∫0

t

r si T−td

E quando, t = T:

z T = ∫0

T

r si d

Essa operação descrita acima, correspondente a integral do produto do sinal recebido pela

réplica do sinal transmitido dentro do intervalo de duração de um símbolo, é chamado de

correlação do sinal r(t) com s(t).

Por exemplo, considere que o sinal recebido r(t), é correlacionado com cada componente

do sinal si t , i = 1,2 ,3 , ,M , usando um banco de M correlatores. Logo, o sinal si t

cuja correlação maximiza a saída z i T é o sinal que melhor casa com o sinal recebido r t

comparando com todas os outros M-1 sinais.

Qual a diferença entre correlação ⟨ x t , y t ⟩ e a convolução x t ∗y t ?

Já vimos que: z T = ∫0

T

r si d


E sabemos que: ⟨ x t , y t ⟩ = ∫0

T

x yd

Logo, em t = T a saída do filtro casado é identica a saída do correlator.

Por exemplo, seja um sinal de entrada dada por uma função seno, a saída do correlator, z(t),

é aproximadamente a uma rampa linear com duração 0 t T . Porém, a saída do filtro casado

é aproximadamente uma função seno modulada por uma rampa linear com a mesa duração. Essa

comparação está ilustrada na Figura 9. Como o resultado desejado no processo de detecção é

maximizar a SNR, falar de convolução e correlação usando um filtro casado são termos similares.

Figura 9: Comparação entre convolução e correlação de um sinal em um filtro casado.

A Figura 10 apresenta a equivalência entre um filtro casado e um correlator.

8. Probabilidade de Erro com Filtro Casado

Já vimos que: P B = Q a1−a220

Conforme pode ser observado na Figura 7, quanto mais afastados estiverem os sinais a1 e

a2 menor será a probabilidade de erro. Desta forma, desejamos maximizar a distância entre

estes sinais, ou seja, queremos maximizara1−a22 0

2 . Ou de forma equivalente, desejamos


maximizar a SNR, SNR T =ai2

02 , para minimizar a PB. Então, se maximizarmos

a1−a22

2 02 ,

estaremos maximizando a SNR e minimizando a probabilidade de erro de bit.

Figura 10: Equivalência entre filtro casado e correlator. (a) Filtro Casado. (b) Correlator.

Para fazermos isso, devemos usar um filtro casado ao sinal diferença:

d t = s1t −s 2t , logo

ht = s1T−t −s2T−t → resposta ao impulso do filtro casado ao sinal

diferença.

SNR T =a1−a2

2

02 =

2 Ed

N 0

Ed é a energia do sinal diferença d t .

Ed = ∫0

T

s1t −s2t 2 dt

Para analisar a probabilidade de erro, devemos relacionar as equações já obtidas:

P B = Qa1−a220

e SNR T =a1−a2

2

02 =

2 E d

N 0, logo teremos:

a1−a20

= 2 Ed

N 0.

Portanto:


P B = Q 2 Ed

N 0. 12 = Q Ed

2N0

8.1 Sinal Unipolar

Considere o sinal unipolar:

s1t = A , 0 t T , bit 1

s2t = 0, 0 t T , bit 0

Seja a sequência binária transmitida, 10011, como ilustra a Figura 11.

Figura 11: Sinal unipolar.

O sinal diferença será:

d t = s1t − s2t = A− 0 = A , 0 t T

E a energia do sinal diferença será:

Ed = ∫0

T

A2dt = A2T

A probabilidade de erro é:

P B = Q A2T2N0

Vamos verificar a probabilidade de erro de bit em função da energia de bit.

Analisando a energia média de cada bit Eb , temos:

Eb = E s1 .P sinal 1 E s2 .P sinal 2


Eb = ∫0

T

s12t dt . 12 ∫0

T

s22t dt . 12

→ como os sinais são equiprováveis, a sua

probabilidade de serem transmitidos são iguais, 1/2.

Eb = A2T . 12 0 . 1

2= A2T

2

Logo, podemos expressar a probabilidade de erro de bit em função da SNR, Eb/N 0 .

P B = Q E b

N 0

Agora precisamos definir o limiar de decisão ótimo, 0 :

0 =a1a22

a1 = a1T = s1t ∗ ht , em t=T

h t é o filtro casado ao sinal diferença, d t = s1 t−s2t .

ht = s1T−t − s2T−t

Mas, como s2T−t = 0 , então, a2 = a2T = s2t ∗ h t = 0 .

Assim, precisamos apenas achar o valor de a1. A Figura 12 ilustra a convolução do sinal

com o filtro casado.

Figura 12: Convolução do sinal unipolar pelo filtro casado.


O resultado desta convolução no instante t = T, que maximiza a SNR é:

a 1 = a1T = s1t ∗ h t = A2T

Agora, como já temos os valores de a1 e a2 , conseguimos definir o limiar de decisão:

0 =a1a22

0 = A2T02

0 = A2T2

O receptor ótimo para o caso unipolar está ilustrado na Figura 13.

Figura 13: Receptor ótimo para um sinal unipolar.

8.2 Sinal Bipolar

Considere o sinal bipolar:

s1t = A , 0 t T , bit 1

s2t = −A , 0 t T , bit 0

Seja a sequência binária transmitida, 10011, como ilustra a Figura 14.

Figura 14: Exemplo de um sinal bipolar.

A Figura 15 ilustra os sinais s1 t , s2t e d t = s1 t − s2t .


Figura 15: Representação dos sinais bipolares e seu sinal diferença.

E a energia do sinal diferença será:

Ed = ∫0

T

s1t − s2t 2 .dt = ∫

0

T

2A2.dt = 4A2T

A probabilidade de erro de bit é:

P B = Q 4A2T2N0

= Q 2A2TN 0

A energia média de bit, Eb , é:

Eb = A2T . 12 A2T . 1

2= A2T

Logo: P B = Q 2 Eb

N 0

O limiar de decisão ótimo para o caso bipolar é:

0 =a1a22

Como, s1t = −s2 t → a 1 = −a2 e a 2 = −a1

0 =a1−a1

2= 0

O receptor ótimo para o caso bipolar está ilustrado na Figura 16.


Figura 16: Receptor ótimo para o caso bipolar.

Uma comparação entre as probabilidade de erro de bit dos sinais unipolar e bipolar está

ilustrado na Figura 17. Note que existe uma diferença de 3 dB com relação a SNR entre os dois

sinais.

Figura 17: Probabilidade de erro de bit para os sinais unipolar e bipolar.


8.3 Transmissão Multinível

Uma forma de aumentar a taxa de transmissão sem causar uma expansão espectral é fazer

uso da transmissão multinível.

Considere uma transmissão binária bipolar com uma taxa de R símbolos (ou bits) por

segundo, conforme mostra a Figura 18.

Figura 18: Transmissão binária bipolar.

Seja o sinal de informação definido como:

si t = i , 0 t T , i = 0,1,2 ,3 , ,M−1.

M = 2k

A Figura 19 mostra os sinais no formato multinível com seus símbolos representados.

Figura 19: Símbolos de um sinal multinível com 3 bits sendo representado por cada nível.


Seja uma sequência binária transmitida, conforme mostra a Figura 20, qual é a taxa de bit

do sinal transmitido, para T = 1 ms ?

Figura 20: Sequência binária transmitida por sinais multinível.

A cada T segundos temos 3 bits sendo transmitidos. Então a taxa de bit é: Rb = 3/T.

Logo, se T = 1 ms, será Rb = 3kbps.

Seja um outro exemplo, o sinal de informação definido como:

si t = i , 0 t kT , i = 0,1 ,2,3 , ,M−1.

M = 2k , k = 3

Neste exemplo, a duração de cada símbolo é 3 vezes maior do que no exemplo anterior.

Logo, a taxa de bit será: Rb = 3 bits3T

= 1 kbps.

9. Interferência Intersimbólica (ISI)

Interferência intersimbólica (ISI) é a interferência que os símbolos provocam em símbolos

adjacentes (vizinhos) devido ao alargamento temporal dos pulsos por causa das distorções

introduzidas pelos filtros transmissor e receptor, e principalmente, pelo canal.

A Figura 21 ilustra um sistema digital em banda base sem a presença de ISI e com a

presença de ISI.


Figura 21: Interferência intersimbólica no processo de detecção. (a) Típico sistema digital em

banda base. (b) Sistema com a presença de interferência intersimbólica.

Considerando que o canal é o principal responsável pela introdução de ISI, e uma vez que se

conhece as características do canal, deseja-se projetar os filtros do transmissor e do receptor de

forma anular o efeito da ISI na saída do filtro recpetor, particularmente em t = kT.

A proposta para resolver este problema é considerar um filtro conjunto, H(f):

H f = H T f . H C f . H R f

H T f → filtro equivalente do transmissor

H C f → filtro equivalente do canal

H R f → filtro equivalente do receptor

Nyquist investigou o problema da ISI especificando um pulso cuja sua forma não incidisse

em ISI no detector. Ele demonstrou teoricamente que a largura de banda mínima que um sistema

precisa para detectar R s simb /s , sem ISI, é R s /2 Hz. Isso ocorre quando a função de

transferência do sistema, H f , é retangular, como mostra a Figura 22. Para sistemas em banda

base, quando H(f) é um filtro com largura de banda 1/2T (filtro de Nyquist ideal), a sua resposta

ao impulso, a transformada inversa de Fourier de H(f), é h t = sinc t /T . Nyquist estabeleceu

que se cada pulso de uma sequência recebida está na forma sinct /T , então, os pulsos podem

ser detectados sem ISI.


A Figura 22 (b) ilustra dois pulsos sucessivos, h t e h t−T . Note que quando a

função está em seu valor máximo, as demais estão passando por zero, e isso acorre a cada período

T do sinal. Assim, se outros pulsos forem introduzidos na forma h t−kT , e considerando que o

período de amostragem é perfeito, nenhuma degradação do sinal por ISI será introduzida.

Figura 22: Canal sem interferência intersimbólica. (a) Função de transferência do canal H(f).

(b) Pulso recebido, h t = sinc t /T .

10. Cosseno Levantado

A configuração de um filtro é escolhida para otimizar a composição do sistema através da

função de transferência, H(f). Uma função de transferência, H(f), comumente usada que pertence

a classe de Nyquist, ou seja, sem ISI dentro do período de amostragem, é chamada de filtro

cosseno levantado. A função de transferência, mostrada na Figura 23, é dada pela equação a

seguir:

onde:

W → largura de banda absoluta

W 0=12T → largura de banda mínima de Nyquist

W−W 0 → excesso de faixa


r =W−W 0

W 0→ fator de roll-off (decaimento)

Figura 23: Função de transferência de um filtro cosseno levantado.

A resposta ao impulso do filtro cosseno levantado é ilustrado na Figura 24, e é dado por:

ht = 2W0 sinc 2W 0 t cos2W−W 0 t 1−4W−W 0 t

2

Figura 24: Resposta ao impulso do filtro cosseno levantado.


Nós podemos apenas implementar um filtro cosseno levantado aproximado. Porque este

tipo de filtro não é fisicamente realizável devido ser não-causal. Um filtro realizável precisa ter

duração finita, e este não é o caso, pois, sua resposta ao impulso começa em t=−∞. Assim, o

filtro deve satisfazer dois critérios. Ele deve ter um fator de roll-off desejado, e deve ser realizável,

ou seja, a resposta ao impulso deverá ser truncada para ter um tamanho finito.

A faixa de frequência utilizada pode ser definida em função do fator de roll-off, conforme

ilustra essa dependência a Figura 23.

W = 121r R s → em banda base

onde R s=1T é taxa de símbolo.

W = 1T1r → banda passante

Exemplo: Seja a taxa de bit Rb=2400 bps de uma transmissão multinível com M=4 ,

ou seja, 2 bits /nível ou bits/ símbolo.

A taxa de símbolo será: R s =Rb

k=

2400 bits / s2 bits / símbolo

= 1200 símbolos/ s

Se o excesso de faixa for r = 1 :

Em banda base teremos: W = 1200 Hz

Em banda passante teremos: W = 2400 Hz

Como a resposta h t se aplica ao sistema completo. Se hc t for livre de distorção,

então, pode-se projetar hT t = hRt sendo igual a raiz quadrada do cosseno levantado. Logo,

H c f = 1 e H f = H T f . H R f

Se hc t contiver distorção, usa-se equalização.


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