Casamento

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Casamento de Impedâncias Álvaro Medeiros

http://www.powerpointstyles.com/


Powerpoint Templates Introdução

• Objetivos – Apresentar propriedades de ressonância em LTs – Apresentar técnicas de casamento de impedância


Powerpoint Templates Ressonância

• Tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude em certas frequências – Frequência natural ou ressonante – Forças periódicas pequenas podem produzir

vibrações de grande amplitude – Armazenamento de energia vibracional

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Resonance



• Curva Amplitude × frequência




• Em ondas estacionárias – Frequência fundamental

• Maior comprimento de onda – Frequências harmônicas – Frequências podem ser obtidas com ressonadores




• Em ondas estacionárias – Exemplo: Tubo de ar com terminação em aberto

Fonte: http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_14/6.html



• Ressonador – Dispositivo que apresenta ressonância, i.e. que

oscila na frequência de ressonância – Exemplo: Circuito RLC – Frequência de ressonância ocorre quando partes

imaginárias da impedância se cancelam – Aplicações em filtros, osciladores, etc



• Circuito ressonador – Circuito ressonador série (ressonante)

• Frequência de ressonância quando impedância é mínima e fase zero

– Circuito paralelo (anti-ressonante) • Se resistências forem pequenas frequência de ressonância

ocorre quando ωL=1/ ωC • Frequência de ressonância ocorre quando a impedância-

paralelo é máxima • Frequência de ressonância ocorre quando tensão e corrente

estão em fase (fator de potência unitário)



• Circuito ressonador

Fonte: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/serres.html



• Fator Q – Determina a qualidade

do ressonador, i.e. o quanto ele irá oscilar

– Circuito LC ideal tem um fator Q infinito

• Porém circuitos reais possuem alguma resistência, o que define um fator Q menor




• Fator Q – Determina também a

seletividade do circuito, i.e. a resposta do circuito às frequências em torno da frequência de ressonância




• LT em curto (Zr=0) – Para LT sem perdas (γd=jβd)

– Impedância puramente reativa – Gráfico Z/j × 2πd/λ

( ) ( ) ( ) ( )λπββ djZdjZdjZdZ 2tantantanh 000 ===

indutiva

capacitiva

Ressonância e Anti-ressonância



• Linha em curto ressonante – A uma distância nλ/2 (n inteiro) da carga a

impedância é muito pequena – Linha deste comprimento é chamada de ressonante – Pode ser comparada a um circuito LC série em

ressonância • Linha em curto anti-ressonante

– A uma distância (2k+1)λ/4 (k inteiro) da carga a impedância é muito grande

– Linha deste comprimento é chamada de anti-ressonante

– Pode ser comparada a um circuito LC paralelo com ωL=1/ ωC




• Linha em curto – Variação com a frequência

– f0 é a frequência de λ/4


( ) ( )

== f

vdjZdjZdZ πβ 2tantan 00



• LT sem perdas em aberto (Zr→∞)

– Gráfico Z/j × 2πd/λ

( ) ( ) ( )λπβ djZ

djZdZ

2tantanh00 −

==




• Linhas ressonantes ou anti-ressonantes podem também ser conseguidas com terminações puramente reativas

• Terminações puramente reativas podem ser substituídas por curto ou aberto com uma extensão da linha




• Medida da acuidade da ressonância ou anti-ressonância

Fator de qualidade Q

Iresson

0,707Iresson

f1 f2

f0

|I|

f

12

00

fff

BWfQ

−==



• Circuito RLC série – Na ressonância (Z=R)

– Nas proximidades de ω0


−+=++=

CRj

RLjR

CjLjRZ

ωω

ωω 111

LCCL

CRRLj 1101

00

00

0 =⇒=⇒=

− ω

ωω

ωω

( ) ( )

∆+

−∆++=CR

jRLjRZ

ωωωω

00

11



• Circuito RLC série – Após algumas simplificações

– A parte reativa é igual a resistiva (Z=R+jR) em

– Nestas frequências, temos que


RLQ

ffQjRQjRZ 0

00

que em 2121 ωωω

=

∆+=

∆+=

21101

−=

Qff

21102

+=

Qff

ressonII2

1= ressonPP

21

=



• Bobina RL em paralelo com capacitor C – Admitância do conjunto junto da anti-ressonância

• Circuito RLC paralelo – Admitância do conjunto junto da anti-ressonância


RLQ

ffQj

LC

QQj

LC

QY 0

00

com 211211 ωωω

=

∆+=

∆+=

LRQ

ffQj

RQj

RY

000

com 211211ωω

ω=

∆+=

∆+=



• LT terminada em curto – Linha de 75Ω, com comprimento λ/4





• LT terminada em curto – Linha de 75Ω, com comprimento λ/2





• LT terminada em curto – Linha de 75Ω, com comprimento 3λ/4





• LT terminada em curto – Linha de 75Ω, com comprimento λ





• LT terminada em curto – Impedância de entrada próximo da ressonância

– Na meia potência


ωα ∆+=v

jZs

Zs ℓ

αα jZs ±=

αω ±=∆v

πααω2

ou vfv ±=∆±=∆



• LT terminada em curto – Banda de passagem

– Temos também que

– Portanto

– Lembrando que


πα2

2 vfBW =∆=

πβ2

vf =

αβ

20 ==

BWfQ

LCGZZR ωβα ≅+≅ e

22 0

0



• A vantagem de usar LT com circuitos ressonantes está nos altos valores de Q (em milhares) em comparação com elementos passivos (poucas centenas)

• O fator Q também pode ser definido em função da energia, quando não tem conhecimento da impedância em função da frequência

• Nesta definição,


dissipada média potênciaarmazenada energia

ciclopor dissipada energiaarmazenada energia2 ωπ ==Q



• Vantagens – Máxima transferência de potência à carga – Ausência de ondas estacionárias – Menores picos de tensão – Máxima eficiência de transmissão

• Objetivos das técnicas de casamento de impedância – Atender às especificações (resposta em frequência,

estabilidade, etc) – Obter configuração menos custosa

Casamento de impedâncias



• Exemplo: LT de comprimento ℓ=nλ=nv/f – Número de comp. de ondas na linha: n=ℓf/v – Variação de f para f+∆f , então variação de n é ∆n=ℓ∆f/v

– Se ℓ=250λ e ∆f /f=0,001 então ∆n = 0,25 – Aumento de λ/4 ⇒ Mudança significativa de

impedância (180° na Carta de Smith) – Não haveria este problema se LT estivesse casada

Casamento de impedâncias



• É a forma mais simples de casamento • Não aconselhável para altas frequências • Transformador com sintonia simples

– Indicado para banda estreita – Casamento de Rt com R2

Casamento com transformadores



• Transformador com sintonia simples – Circuito equivalente


+

+−=

11

2

22

1p

pt Q

QkLL

Indutância equivalente

Fator de acoplamento

21LLMk =

Fator de qualidade do circuito paralelo em que 0 ≤ Qp ≤ Qt 20

2

LRQp ω

=



• Transformador com sintonia simples – O valor de Qp é escolhido pelo projetista e limitado

pelo k


112

2

+

+=

tp

p

QQQ

k

2

2

RRN t=

Relação de espiras

BWQt π

ω2

0=

−++=

21

2

242 142 t

tp QkkkQQ

Fator de qualidade Capacitância paralelo

tBWRC

π21

=

Indutância equivalente C

Lt 20

1ω

=



• Conexão série com a carga

Casamento com componentes discretos

Casamento com capacitor 2,11 jzL +=



• Circuitos de dois componentes ou seções L – Circuitos compostos de dois componentes reativos

ligados em série ou paralelo – Transformam a impedância da carga (ZL) em uma

impedância de entrada (Zin) de forma a casar com a impedância da fonte (ZS)

– Condição de máxima transferência de potência da fonte a carga ocorre quando impedância de saída da seção L (Zout) é igual ao complexo conjugado da impedância da carga (ZL

* )




• Circuitos de dois componentes ou seções L

– Oito possíveis configurações para seções L




• Circuitos de dois componentes ou seções L – Abordagem analítica

• Mais precisa • Ideal para implementação em computadores

– Através da Carta de Smith • Mais intuitiva • Maior compreensão dos efeitos de cada componente

inserido • Ideal para projeto inicial ou verificação de mudanças




• Impedância real com impedância complexa

– Considerando G0 =1/ R0 e B1 =-1/ X1 , temos que


X1

Zr= a+jb

X2

R0

aaGGB

200

1−

±=



• Impedância real com impedância complexa – Se B1 > 0 ⇒ Capacitor B1=ω C1 – Se B1 < 0 ⇒ Indutor B1=1/(ω L1)

– Temos também que

– Para usar esta configuração, é necessário que a < R0 – Caso contrário, utiliza-se a configuração a seguir


21

20

12 BG

BbX+

+=



• Impedância real com impedância complexa

– Neste caso, temos que


X2

Yr =1/Zr= c+jd

X1

R0

ccRRX

200

1−

±= 21

20

12 XR

XdB+

+=



• Impedância complexa com impedância complexa – Utiliza-se as duas configurações, utilizando um

valor intermediário de R0 – As duas configurações dão origem a um circuito π

ou T


X2

Z2

X1

X2’

Z1

X1’



• Utilizando a Carta de Smith – Componente em série ⇒ Impedância – Componente em paralelo ⇒ Admitância

• Carta de Smith Z – Adição de indutor-série – Sentido horário – Adição de capacitor-série – Sentido anti-horário

• Carta de Smith Y – Adição de capacitor-paralelo – Sentido horário – Adição de indutor-paralelo – Sentido anti-horário




• Utilizando a Carta de Smith ZY




• Exemplo: Encontre a seção L que possibilite a máxima entrega de potência do transmissor à antena – ZT=150+j75 Ω – ZA=75-j15 Ω




• Exemplo: ZT=150+j75 Ω, Z0=75 Ω, ZA=75-j15 Ω




• Procedimento – Encontrar impedâncias normalizadas de fonte (ZS) e

da carga (ZL) • Escolher Z0 arbitrário caso não haja LT

– Marcar círculos de resistência e condutância da impedância da fonte (zS) e do complexo conjugado da impedância da carga (zL

* ) – Identificar pontos de interseção entre os círculos

• Número de pontos de interseção determina quantidade de possíveis seções L

– Determinar valores de reatâncias e susceptâncias normalizadas através do caminho de zS a zL

*

passando pelos pontos de interseção – Encontrar valores de indutância e capacitância para

a frequência de operação




• Exemplo: Zs=50+j25 Ω, Z0=50 Ω, Zr=25-j50 Ω




• Procedimento mostra caminho da impedância da fonte (zS) ao complexo conjugado da impedância da carga (zL

* ) • Há também a possibilidade de transformar a

impedância da carga (zL) no complexo conjugado da impedância da fonte (zS

* ) • Deve-se tomar cuidados com seções L que

gerem um caminho cuja direção se afasta do círculo de resistência constante (se o primeiro elemento for paralelo) ou condutância constante (se o primeiro elemento for série)




• Regiões proibidas – Exemplo: Zs=50 Ω




• Seções L podem ser vistas como circuitos de ressonância, cuja frequência de ressonância é a frequência utilizada no projeto – Classificados como filtros passa-baixas, passa-altas

ou passa-faixa • Um terceiro componente pode ser adicionado,

visando aumentar o fator de qualidade do estrutura de casamento – Seção L torna-se um circuito π ou T




• Exemplo – Carga: resistor de 80Ω em série com capacitor de

2,65pF – Fonte: 50Ω – Frequência de 1GHz




• Exemplo – Carga:

resistor de 80Ω em série com capacitor de 2,65pF

– Fonte: 50Ω – Frequência

de 1GHz




• Exemplo – Carga: resistor de 80Ω em série com capacitor de

2,65pF – Fonte: 50Ω – Frequência de 1GHz


A B



• Exemplo – Resposta em frequência do coeficiente de reflexão

na entrada da seção L


A

B



• Exemplo – Função de transferência da seção L


H = Vout / Vin A

B



• Ambos circuitos podem ser vistos como circuitos ressonadores com fator de qualidade QL = f0 / BW – f0 é a frequência de ressonância – BW é a banda de 3 dB

• Na Carta de Smith podemos achar o fator de qualidade de cada nó n do circuito analisando a impedância-série equivalente (ZS =RS+jXS) ou a admitância-paralelo equivalente (YP =GP+jBP)

• Normalmente, QL ≅ Qn /2


ou P

Pn

S

Sn G

BQ

RX

Q ==



• Exemplo – Carga:

resistor de 80Ω em série com capacitor de 2,65pF

– Fonte: 50Ω – Frequência

de 1GHz




• Exemplo: – Máximo fator de qualidade nodal encontra-se no

ponto B (ZB =1- j1,23 )

• Para auxiliar no casamento, linhas de fator de qualidade constante podem ser desenhadas na Carta de Smith


1,23 123,1

=−

=nQ



• Na Carta de Smith temos que

• Fator de qualidade pode ser escrito como

• Rearranjando os termos da equação do círculo + para reatância positiva e – para reatância negativa


( ) ( ) Im2

Re

Im

Im2

Re

2Im

2Re

12

11

Γ+Γ−Γ

+Γ+Γ−Γ−Γ−

=+= jjxrz

2Im

2Re

Im

12

Γ−Γ−

Γ==

rx

Qn

22

Re2

Im111

+=

±Γ+Γ

nn QQ



• Fator de qualidade nodal




• Exemplo: Zs=50 Ω, Zr=25+j20 Ω

Qn = 1 BW= f0 / QL BW= 2f0 / Qn BW = 2 GHz




• Exemplo:


B

A

A

B



• Fator de qualidade – Se a especificação do projeto requer faixa larga,

menores valores de Q são necessários • Exemplo: amplificadores

– Se a especificação do projeto requer faixa estreita, maiores valores de Q são necessários

• Exemplo: osciladores • Seções L não possibilitam o controle de Qn • Para tanto, é necessária a inclusão de um ou

mais elementos – Seções π ou T




• Exemplo: Projete um seção T que transforme a impedância ZL = 60 – j30 Ω em Zin = 10 + j20 Ω e tenha fator de qualidade nodal máximo de 3 para uma frequência de operação de 1 GHz.




• Exemplo: ZL = 60 – j30 Ω Zin = 10 + j20 Ω




• Exemplo: Projete um seção π que transforme a impedância ZL = 10 – j10 Ω em Zin = 20 + j40 Ω e tenha fator de qualidade nodal menor possível e uma frequência de operação de 2,4 GHz.

• É possível notar que – A banda não pode ser aumentada ou reduzida arbitrariamente

através da redução do fator de qualidade nodal – Os limites serão as impedâncias de entrada e saída desejados




• Exemplo: ZL = 10 – j10 Ω Zin = 20 + j40 Ω Qn = |40|/20=2




• Aumento da frequência – Redução do comprimento de onda – Aumento de efeitos parasitas em componentes

discretos • Maior dificuldade de modelagem e controle • Baixa disponibilidade de componentes para altas

frequências • Como alternativa, as LTs podem ser utilizadas

no casamento de impedâncias

Casamento usando linhas de transmissão



• Indutores tendem a ser evitados devido a maiores perdas resistivas que capacitores

• Casamento utilizando LTs propiciam maior flexibilidade de ajuste




• Utilizando LTs e componentes discretos – Componente em série – Exemplo: Zr=25Ω Zin=50Ω




• Casamento de carga com LT – Objetivo é

chegar no círculo de casamento

Casamento pela Carta de Smith



• Utilizando LTs e componentes discretos – Componente em série


5,0=Lz



• Utilizando LTs e componentes discretos – Componente em série




• Utilizando LTs e componentes discretos – Componente em paralelo




• Utilizando LTs e componentes discretos – Componente em paralelo – Exemplo: Zr=25Ω Z0=50Ω




• Utilizando LTs e componentes discretos – Exemplo: Zr=30+j10Ω Zin=60+j80Ω Z0=50Ω

f=1,5GHz




– Exemplo: Zr=30+j10Ω Zin=60+j80Ω Z0=50Ω f=1,5GHz




– Exemplo: Zr=30+j10Ω Zin=60+j80Ω Z0=50Ω – Reatância de entrada varia de indutiva à capacitiva

dependendo da posição do capacitor ao longo da linha – Este tipo de casamento é sensível a variações da

posição do componente discreto




• Transformadores ou casadores de λ/4 – Impedância da linha é a média geométrica das

impedâncias


4λ

Zs= Z02/Zr Zr

sr ZZZ =0

Z0



• Casadores de λ/4


4λ

Z0’= Z02/Zr

Rr

'00 ZRZ r=

Z0 Z0’



• Casadores de λ/4 – Cabos coaxiais




• Casadores de λ/4 – Desvantagem: muito sensível à mudança de

frequência – Faixa mais larga com dois transformadores de λ/4


4λ

Rr Z0 Z0’

4λ

Z0’’



• Dois casadores de λ/4 – Impedância características devem ser escolhidas de

modo que

– Assim, a impedância na junção das duas seções é

– Seções adicionais reduzem ainda mais a sensibilidade à frequência


2

0

0

0

2

0

0 ''''

==

rRZ

ZZ

ZZ

''0ZRr



• Stubs e tocos são seções de linhas de comprimento ℓ2 com extremos abertos ou em curto-circuito ligadas em paralelo ou em série com a linha principal

• A distância ℓ1 do stub à carga deve ser variável

Casamento com stubs

Zr

2

1

Z0



• Stubs – Abertos ou em curto-circuito – Em paralelo ou em série com a linha principal – Escolha se dará de acordo com as limitações do

problema – Normalmente, utiliza-se o de menor comprimento

possível – Em linhas de microfita, é possível configurar

também a largura

Casamento com stubs



• Exemplo: – Z0 = 50 Ω – Zr = 25 –

j50 Ω

Casamento com stubs



• Exemplo: – Introduction to Physics Electronics

http://cnx.org/content/col10114/latest/

Casamento com stubs



• Exemplo: – Transformando impedância em admitância

Casamento com stubs



• Exemplo: – Movendo em direção ao círculo de casamento –

Casamento com stubs



• Exemplo: – Encontrando o comprimento do stub

Casamento com stubs



• De forma geral, o stub pode ser colocado antes ou depois da linha

Casamento com stubs



• Exemplo: Transformar a impedância Zr=60 – j45Ω em Zin=75+j90Ω usando stub simples e LT de Z0=75Ω

Casamento com stubs



• Exemplo: Zr=60 – j45Ω Zin=75+j90Ω Z0=75Ω

Casamento com stubs



• Stubs simples requerem distância variável até a carga, o que não pode ser possível em todos os casos

• Alternativa tocos duplos

Casamento com stubs

Zr

1T

1

Z0

2T

'



• Stubs duplos são colocados em posições fixas, porém possuem comprimento variável

• Comprimento típicos entre stubs duplos (ℓ’): λ/4, 3λ/8, 5λ/8 – Número ímpar de λ/8 provê casamento em uma

faixa mais ampla de impedâncias

Casamento com stubs



• Exemplo: – Introduction to Physics Electronics

http://cnx.org/content/col10114/latest/

Casamento com stubs



• Exemplo: – Transformando impedância em admitância

Casamento com stubs



• Exemplo: – Movendo a carga para o 1º stub

Casamento com stubs



• Exemplo: – Possíveis efeitos do primeiro stub

Casamento com stubs



• Exemplo: – Rotacionando o círculo de casamento

Casamento com stubs



• Exemplo: – Movendo em direção ao círculo de casamento

Casamento com stubs



• Exemplo: – Encontrando o comprimento do primeiro stub

Casamento com stubs



• Exemplo: – Movendo em direção ao 2º. stub

Casamento com stubs



• Exemplo: – Fazendo o casamento

Casamento com stubs



• Exemplo: – Encontrando o comprimento do segundo stub

Casamento com stubs



• Casamento com stub duplo funciona se parte real de YA for menor que 2

• Para tais casos utiliza-se stubs triplos

Casamento com stubs



• Livro do Johnson – Capítulo 6: 13, 18,19 – Capítulo 7: 2, 3, 4, 6, 8, 10, 13. 14, 15, 16, 17, 18,

19 • Livro do Ludwig

– Capítulo 8: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.15, 8.16, 8.17

Lista de exercícios


Casamento

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