Caracterizaço Experimental de FSS Sintonizáveis usando Anéis com Capacitâncias Acopladas

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DA PARAÍBA

COORDENAÇO DO CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA

EM SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES

Emanuele da Silva Rodrigues Montalvão

CARACTERIZAÇO

E FSSXPERIMENTAL DE

SINTONIZÁVEIS USANDO

A CNÉIS COM APACITÂNCIAS

ACOPLADAS

João Pessoa, 2009.


Caracterizaço Experimental de FSSSintonizáveis usando Anéis com

Capacitâncias Acopladas

Trabalho de Conclusão de Curso submetido à

Coordenação do Curso Superior de Tecnologia em

Sistemas de Telecomunicações do Instituto Federal de

Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba, como parte

dos requisitos para a obtenção do grau de Tecnóloga em

Sistemas de Telecomunicações.

Orientador

Prof. Alfrêdo Gomes Neto, Dr.

João Pessoa, 2009.


Caracterizaço Experimental de FSSSintonizáveis usando Anéis com

Capacitâncias Acopladas

Data da Defesa: 22/10/2009

_________________________________________Alfrêdo Gomes Neto, Dr. IFPB

Prof. Orientador

_________________________________________Jefferson Costa e Silva, Dr. IFPB

Componente da Banca

_________________________________________Joabson Nogueira de Carvalho, Dr. IFPB

Componente da Banca

João Pessoa, 2009.

À minha maravilhosa mãe Maria Gomes da Silva, aosmeus avós Manuel Luíz da Silva e Rosa Gomes da Silva eao meu esposo amado Augusto César Pereira da SilvaMontalvão. E acima de tudo, a Deus que me deu vida e mefez chegar até aqui.

Agradecimentos

Primeiramente agr adeço a Deus, que me deu vida e me fez chegar até aqui. Por tudo o

que ele faz, sinto em todos os momentos o imenso amor que ele tem por mim.

Agradeço a minha mar avilhosa mãe, amiga e companheira, que é uma mulher forte,

guerreira, batalhadora e um exemplo de vida. A mulher que sozinha foi o meu sustento e me

mostrou o caminho a seguir, contribuindo para formar a pessoa que sou hoje.

Agradeço ao meu esposo amado Augusto César, amigo e companheiro, que sempre

esteve ao meu lado, em todas as horas, me apoiando, me dando forças e muito amor. Sem ele,

sem dúvidas, eu não teria chegado até aqui.

Aos meus avós, que mesmo não tendo boas condições financeiras, fizeram o possível e o

impossível para que eu tivesse uma vida muito feliz e me tornasse uma vencedora. Sem

dúvidas, me ensinaram algo muito importante: caráter e dignidade não se compram.

À minha família querida que sempre ficou muito feliz e orgulhosa com minhas

conquistas.

Ao amigo Segundo, companheiro de inúmeros trabalhos, sempre disposto a ensinar e a

aprender.

Aos amigos Bruno e Gustavo, que me ajudaram em algumas pesquisas.

Ao CNPq pelo suporte financeiro no trabalho de iniciação científica.

Não poderia deixar de agradecer ao homem a qual eu sinto orgulho em tê-lo conhecido.

Hoje, posso dizer que para mim ele é um paizão que sempre está disposto a ajudar. Ele é meu

grande amigo e padrinho de casamento, Alfrêdo. Agradeço também a generosidade e o

carinho de sua esposa Cris.

Aos amigos, colegas e professores de Teleco do IFPB, que comtribuiram para minha

formação.

Um abraço a todos e muito obrigada.

Resumo

As Superfícies Seletivas de Frequência, FSS, são estruturas periódicas em uma ou duasdimensões, que, dependendo do material, da geometria e das dimensões físicas, podemfuncionar como filtros passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa. Atualmente suasaplicações envolvem entre outras, radomes, mísseis e blindagens eletromagnéticas. Oconsiderável aumento na demanda por estruturas cada vez mais compactas e com requisitosespecíficos de banda passante, tem motivado diversos grupos de pesquisa a estudar novasestruturas. O objetivo principal deste tr abalho é caracterizar experimentalmente FSSsintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas, apresentando os resultados obtidos,sendo discutidos os efeitos do comprimento da região acoplada e da polarização nasfrequências de ressonância. A faixa de frequência considerada é de 7 GHz a 13,5 GHz.Também são apresentadas informações relacionadas às FSS, como por exemplo, suasprincipais características e alguns métodos utilizados para análise de tais estruturas.Concluindo, são consideradas possíveis aplicações dos resultados obtidos com acaracterização experimental, principalmente o aumento da banda de rejeiço, o ajuste dasfrequências de ressonâncias e da obtenção de estruturas multi-banda, tornando possível aexecução de futuros projetos relacionados ao tema.

Abstract

The Frequency Selective Surfaces, FSS, are periodic structures in either one or twodimensions, that, depending on material, geometry and physical dimensions can operate aslow-pass, high-pass, band-pass or band-stop filters. Currently your applications involveamong other, radomes, missiles and electromagnetic shields. The considerable increase indemand for increasingly compact structures and with specific requisite of band pass, hasmotivated diverse research groups to study new structures. The principal objective of thiswork is characterize experimentally FSS tunable using rings with coupled capacitance,presenting the results obtained, being discussed the effects of the length of coupled region andof polarization in resonance frequencies. The frequency range considered is of 7 GHz to 13,5GHz. Are also presented information related to FSS, as for example, yours principalscharacteristics and some methods utilized for analyze of such structures. Concluding, areconsidered possible applications of the results obtained with the experimentalcharacterization, principally the increase in rejection of band, the adjust of resonancefrequencies and of obtaining multi-band structures, giving possible the execution of futuresprojects related to the theme.

Lista de Figuras

Figura 1 - Exemplos de FSS ..................................................................................................... 18

Figura 2 - Modelos de FSS utilizadas como filtros .................................................................. 19

Figura 3 - Grupo 1: N-pólos conectados pelo centro................................................................ 21

Figura 4 - Grupo 2: Espiras ...................................................................................................... 21

Figura 5 - Grupo 3: Interior sólido ........................................................................................... 21

Figura 6 - Grupo 4: Combinações ............................................................................................ 22

Figura 7 - Cascata para formar uma estrutura periódica tripla ................................................. 25

Figura 8 - Seção longitudinal de uma descontinuidade entre guias ......................................... 28

Figura 9 - Cubo de Yee: Posicionamento das componentes de campo elétrico e magnético em

uma célula ( x, y, z) ............................................................................................................ 38

Figura 10 - Princípio de Funcionamento do WCIP .................................................................. 46

Figura 11 - Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética.................... 48

Figura 12 - FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas ................................ 50

Figura 13 - Célula básica de uma FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas

.................................................................................................................................................. 50

Figura 14 - FSS: Célula básica quadrada e circuito equivalente .............................................. 51

Figura 15 - Esquema utilizado para a medição......................................................................... 52

Figura 16 - Exemplo de FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas que foi

confeccionada ........................................................................................................................... 52

Figura 17 - Resultado para FSS com célula básica quadrada: |S21| x frequência .................... 53

Figura 18 - Orientação das FSS: (a) Horizontal; (b) Vertical................................................... 53

Figura 19 - Resultados para o primeiro caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada

com orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical ............................................................................ 54

Figura 20 - Resultados para o segundo caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada


Figura 21 - Resultados para o terceiro caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada


Figura 22 - Resultados para o quarto caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada com

orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical .................................................................................... 56

Figura 23 - Variação da frequência de ressonância com a dimensão da região acoplada com

orientação horizontal e circuito equivalente ............................................................................. 57


orientação vertical e circuito equivalente ................................................................................. 57

Figura 25 - Variação da segunda frequência de ressonância com a dimensão da região

acoplada com orientação vertical ............................................................................................. 58

Lista de Símbolos

- Coeficiente de Reflexão

- Coeficiente de Transmissão

- Comprimento de Onda

E- Vetor Campo Elétrico

H- Vetor Campo Magnético

- Operador Nabla

- Densidade Volumétrica de Carga Elétricae

- Densidade Volumétrica de Carga Magnética equivalentem

s - Condutividade Elétrica

s - Condutividade Magnética Equivalente*

- Permissividade Elétrica

- Permeabilidade Magnética

- Permissividade Elétrica Relativar

- Permeabilidade Magnética Relativar

- Permissividade Elétrica no Vácuo0

- Permeabilidade Magnética no Vácuo0

x - Variação do Deslocamento em relação ao eixo x

y - Variação do Deslocamento em relação ao eixo y

z - Variação do Deslocamento em relação ao eixo z

a - Grandeza Escalar Alfan

ß- Grandeza Escalar Beta

* - Complexo Conjugado

- Potencial Vetorial de Hertz Elétricoe

- Potencial Vetorial de Hertz Magnéticoh

ø - Função Potencial

- Frequência Angular

Lista de Siglas

EBG - Electromagnetic Band Gap

FDTD - Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo

FEM - Método dos Elementos Finitos

FSS - Frequency Selective Surfaces (Superfícies Seletivas de Frequência)

GTEMA - Grupo de Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado

MoM - Método dos Momentos

TE - Transverso Elétrico

TM - Transverso Magnético

UWB - Ultra Wideband (Banda Ultra Larga)

VNA - Analisador de Redes Vetorial

WCIP - Wave Concept Interactive Procedure (Método das Ondas)

Sumário

Resumo

Abstract

Lista de Figuras

Lista de Símbolos

Lista de Siglas

1. Introdução ............................................................................................................................. 13

2. Superfícies Seletivas de Frequência ..................................................................................... 15

2.1 Histórico das FSS ............................................................................................................ 16

2.2 Características das FSS ................................................................................................... 17

2.3 Elementos das FSS .......................................................................................................... 19

2.4 A curva de Ressonância .................................................................................................. 22

2.5 Aplicações Típicas das FSS ............................................................................................ 23

3. Métodos utilizados para Análise de FSS .............................................................................. 27

3.1 Método do Casamento Modal ......................................................................................... 27

3.2 Método dos Circuitos Equivalentes ................................................................................ 32

3.3 Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, FDTD...................................... 33

3.4 Método dos Elementos Finitos, FEM ............................................................................. 38

3.5 Método dos Momentos, MoM ........................................................................................ 40

3.6 Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz ...................................................................... 42

3.7 Método das Ondas, WCIP .............................................................................................. 46

4. FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas ............................................. 50

4.1 Resultados Experimentais ............................................................................................... 51

Considerações Finais ................................................................................................................ 59

Referências ............................................................................................................................... 60

13

1. Introduço

Uma estrutura periódica é basicamente um conjunto de elementos idênticos organizados

em um arranjo finito de uma ou duas dimensões. Esses arranjos podem ser considerados

ativos ou passivos. Esse tipo de estrutura tem um grande número de aplicações e vem

contribuindo para melhorar o desempenho dos sistemas de comunicações [1].

As Superfícies Seletivas de Frequência, ou simplesmente FSS, são estruturas periódicas

em uma ou duas dimensões, que, dependendo das dimensões físicas, do material e da

geometria, podem ser classificadas como filtros passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou

rejeita-faixa [2] [3].

O estudo de novas geometrias combinadas com o uso de novos materiais pode melhorar o

desempenho dessas estruturas. Além desses fatores, o uso de FSS, combinadas com antenas

planares, pode aumentar a eficiência dessas antenas e encontra aplicações no desenvolvimento

de diversos dispositivos e circuitos para sistemas de comunicações modernos. O uso de FSS

integradas a absorvedor es de micro-ondas pode também melhorar o desempenho desses

dispositivos, onde a incorporação de tais estruturas pode mudar de forma efetiva as

propriedades de reflexão dos absorvedores [4].

O objetivo principal deste trabalho é caracterizar experimentalmente FSS sintonizáveis

usando anéis com capacitâncias acopladas, sendo proposto um circuito equivalente e

discutindo possíveis aplicações. A partir do objetivo principal foram estabelecidos os

seguintes objetivos: revisar a bibliografia relacionada ao tema (FSS); projetar, confeccionar e

caracterizar experimentalmente FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas

e; apresentar os resultados obtidos.

No capítulo 2 são apresentadas informações relacionadas às FSS como: o histórico, as

características, os elementos, a curva de ressonância e algumas aplicações. No capítulo 3 é

feita uma breve explanação sobre alguns métodos utilizados para análise de FSS, pois não é o

foco principal deste trabalho. O capítulo 4 apresenta o projeto de caracterização experimental

de FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas.

Dentre as características que motivaram a análise dessas estruturas, destacam-se: a fácil

construção; a sintonia da frequência de ressonância dependente da polarização da onda

incidente; a possibilidade de arranjos com FSS periódicas e quase-periódicas e; a

possibilidade de utilização de estruturas EBG ( Electromagnetic Band Gap ).

14

Deseja-se com esse trabalho, fornecer informações para a construção de novos projetos

práticos na área, pois com projetos apropriados, pode-se, por exemplo, obter o aumento da

largura de banda e a frequência de ressonância desejada.

15

2. Superfícies Seletivas de Frequência

As FSS são estruturas planares compostas de uma camada metálica sobre um ou mais

substratos dielétricos, que podem operar em diferentes faixas. Tais estruturas possuem

arranjos periódicos descritos por células que podem conter elementos do tipo patches

condutores ou aberturas. Quando expostas à radiação eletromagnética, as características

periódicas da camada metálica ressoam em determinadas frequências que dependem das

propriedades do dielétrico, da geometria e do espaçamento utilizado nas células condutoras

[5] [6] [7].

Fundamentalmente, qualquer estrutura periódica pode ser ativada de duas maneiras: por

uma onda plana incidente E (arranjo passivo), ou por geradores individuais conectados a cadai

elemento (arranjo ativo). No caso dos arranjos passivos, uma onda incidente é parcialmente

transmitida através da estrutura, Et , e o restante é refletida, Er . Neste segundo caso, os

geradores de tensão devem possuir a mesma amplitude e variações lineares de fase ao longo

do arranjo ativo, de forma a caracterizar a estrutura como uma superfície periódica [1] [5].

Sob condiçes r essonantes a amplitude do sinal refletido pode ser igual à amplitude do

sinal incidente quando a amplitude do sinal transmitido for igual a zero. Usualmente defini-se

o coeficiente de reflexão como:

(1)

onde Er e Ei em geral estão referidos ao plano do arranjo. De forma similar o coeficiente de

transmissão é definido por:

(2)

Além dos arranjos com dipolos, podemos considerar os ar ranjos com fendas magnéticas.

Esses tipos de arranjos também são ativados por uma onda plana incidente ou por geradores

individuais. No caso dos arranjos com dipolos são ativadas correntes elétricas e no caso dos

arranjos com fendas são ativadas correntes magnéticas, mas esses arranjos podem se tornar

bem semelhantes se comparados ao campo elétrico no caso dos dipolos e ao campo magnético

no caso das fendas [1] [5].

16

Ainda existe o caso dos arranjos complementares, que são arranjos formados por dipolos

e fendas. Esses elementos possuem formas semelhantes, tal que se os arranjos forem

colocados um em cima do outro se completam para obter o resultado desejado. Um exemplo

disso pode ser demonstrado quando se utiliza um arranjo com dipolos na parte superior de

uma estrutura e um arranjo complementar com fendas na parte inferior, isso se o coeficiente

de reflexão de um arranjo for igual ao coeficiente de transmissão do arranjo complementar.

Este é um caso simples, portanto não pode ser generalizado, pois outras características

precisam ser observadas como a largura de banda e a espessura do material. Se dois ou mais

arranjos funcionam em cascata podemos conseguir uma resposta desejada para um filtro

alterando suas características. O cálculo para os dois casos é bem diferente e podem conduzir

a diferentes resultados, o que não é aqui detalhado [1].

2.1 Histórico das FSS

Em meados dos anos 60, as FSS passaram a ser extensivamente estudadas com êxito e

implementadas para uso em aplicações de radiofrequência, uma vez que transmitem energia

eletromagnética para algumas frequências e refletem para outras. Embora seja verdade que

devido o grande potencial de aplicações militares, esse estudo intenso sobre tais superfícies

periódicas teve início nessa década, o princípio geral de funcionamento já era conhecido.

A referência mais antiga conhecida é uma patente concedida a Marconi e a Franklin por

construírem um refletor parabólico com uma se ão de cabos “infinitamente” longos. Estes

inventores foram os primeiros a apresentar o conceito de “elementos sintonizados”. Foi

apresentada em 16 de Outubro de 1968 uma patente para Munk relacionada “Superfície

periódica para grande verifica ão de ngulos” (esta patente ocorreu sob ordem de sigilo at

que foi concedida em 29 de Janeiro de 1974). Basicamente, esta patente revelou que qualquer

superfície periódica deve ter sua frequência ressonante estável com o ângulo de incidência,

onde a dimensão e os elementos necessários para alcançar o resultado desejado funcionam

como uma espécie de carga. Outra patente agora relacionada aos elementos tripolos foi

concedida em 1975 para Pelton e Munk [1].

O interesse no estudo das FSS tem crescido através dos anos. Consequentemente as mais

variadas aplicações para tais estruturas têm sido investigadas. Essas estruturas vêm sendo

largamente utilizadas devido a sua capacidade de se integrar com outros circuitos de micro-

ondas. Elas são muito importantes em diversas aplicações, como aviões, sistemas de antenas,

17

radomes, foguetes, mísseis, filtros eletromagnéticos para antenas refletoras, estruturas

absorvedoras, etc [4] [5].

As FSS foram objeto de intensa investigação para aplicativos como filtros para micro-

ondas e sinais ópticos por mais de quatro décadas. Essas superfícies podem refletir totalmente

ou transmitir a onda incidente.

Nos últimos anos, os filtros e os guias de onda utilizando estruturas periódicas foram

intensivamente estudados para alcançar uma característica desejada de frequência de

ressonância ou frequência de corte. As FSS passaram a ser utilizadas em conjunto com tais

estruturas, porque além de contribuírem com as características desejadas, são de fácil

fabricação, de baixo custo e possuem dimensões e pesos cada vez menores [8].

O avanço tecnológico ocorrido nos últimos anos no desenvolvimento de estruturas e

dispositivos com tecnologia planar decorre da necessidade crescente da implementação de

dispositivos e da criação de circuitos para as mais diversas aplicações [5].

A investigação dos efeitos produzidos pela utilização de novos materiais em FSS é de

grande interesse para o desenvolvimento científico e tecnológico, em face da possibilidade de

melhoria das características de diversos dispositivos e circuitos usados em altas frequências.

O estudo de novas geometrias combinadas com o uso de novos materiais pode melhorar o

desempenho dessas estruturas [4].

Recentemente, principalmente com a expansão dos serviços de comunicações sem fio,

aumentou consideravelmente a demanda por estruturas multifuncionais, cada vez mais

compactas e com requisitos específicos de banda passante [9] [10], o que tem motivado

diversos grupos de pesquisa a estudar novas estruturas.

2.2 Características das FSS

Uma característica comum das técnicas tradicionais utilizadas para a confecção de uma

FSS, é que o tamanho dos elementos ressonantes e seu espaçamento são comparáveis a

metade de um comprimento de onda em relação à frequência de operação desejada.

A sensibilidade da resposta da FSS em relação ao ângulo de incidência precisa ser

reduzida, por isso é necessário que haja muita precisão na confecção da estrutura, pois é

praticamente impossível que não haja erro de alinhamento durante a fabricação.

O mais importante para o processo de fabricação de uma FSS é a escolha adequada dos

elementos que irão constituir tais estruturas, como por exemplo, os modelos representados na

Figura 1 e a determinação adequada de periodicidade da estrutura. O tipo de elemento, a

18

geometria, os parâmetros de substrato, a presença ou ausência de arranjos e o espaçamento

entre os elementos, determinam a resposta de frequência da estrutura, como também sua

largura de banda, a função de transmissão ou reflexão e a dependência entre o ângulo de

incidência e a polarização da onda incidente, portanto é necessário que essas características

sejam otimizadas [11].

Figura 1 - Exemplos de FSS.

Uma FSS com elementos do tipo abertura trabalha como um filtro passa-faixa, onde o

funcionamento ocorre da seguinte forma: à medida que os elementos vão entrando em

ressonância, a estrutura vai se tornando “transparente” para a onda incidente, até que na

frequência de ressonância da estrutura, ocor re a transmissão total da onda.

Por outro lado, uma FSS com elementos do tipo patch condutor, funciona como um filtro

rejeita-faixa, aonde os elementos vão entrando em ressonância e, com isso, eles radiam a

potência incidente na direção de reflexão, até que na frequência de ressonância da estrutura,

ela se comporta como um condutor perfeito refletindo totalmente a onda incidente, ou seja,

uma FSS é um dispositivo projetado para transmitir ou refletir totalmente uma onda

eletromagnética incidente [4] [12]. A Figura 2 representa modelos de FSS utilizadas como

filtros.

19

Figura 2 - Modelos de FSS utilizadas como filtros.

Uma FSS pode ainda ser classificada em relação à espessura dos elementos como uma

tela fina ou espessa. A FSS de tela fina usualmente se refere aos elementos de circuitos

impressos ( patches ) ou elementos de abertura com espessura menor do que 0,001 , onde é o

comprimento de onda da FSS na frequência de ressonância. Em geral, a FSS de tela fina é

leve, de pequeno volume e pouco dispendiosa, o que facilita sua fabricação com o auxílio da

tecnologia convencional de circuitos impressos.

Por outro lado, uma FSS de tela espessa é mais usada para aplicações em altas

frequências, sendo caracterizada por um arranjo periódico de elementos com espessura

elevada. Ela é pesada e sua fabricação requer uma construção precisa para se obter o resultado

desejado e, portanto, de alto custo [13] [14].

2.3 Elementos das FSS

Como mostrado anteriormente, uma FSS pode ser formada por elementos do tipo patch ,

por elementos do tipo abertura, ou ainda, por uma combinação dos dois tipos de elementos, ou

seja, essa estrutura periódica é um arranjo planar de patches condutores ou aberturas, com

formatos diversos, depositados sobre um dielétrico. Por atender à seletividade de frequência,

as FSS são incorporadas em uma ampla variedade de aplicações.

20

Através da adição de dispositivos ativos ou passivos à unidade de células dessas

estruturas periódicas, é possível obter uma nova categoria de FSS com características

extremamente controláveis [15].

Quando um dipolo é alimentado por uma fonte de radiofrequência e esse dipolo é

múltiplo de meio comprimento de onda, ele então reirradia a energia. Quando vários dipolos

estão dispostos em forma de arranjo, a energia reirradiada de todos os elementos será

direcionada coerentemente como se uma reflexão estivesse ocorrendo, onde o ângulo de

reflexão é igual ao ângulo de incidência. Isto acontece porque as correntes induzidas em cada

dipolo possuem um atraso de fase relativo aos elementos vizinhos. Este atraso de fase faz com

que o espalhamento das ondas de todos os elementos seja coerente com a direção de reflexão.

Finalmente, quando a dimensão do elemento é totalmente diferente das dimensões

ressonantes, a onda incidente passará através da FSS como se a estrutura f osse “transparente”,

ocorrendo uma pequena perda devido ao dielétrico e à condução do cobre [5] [14].

A dispersão nos materiais utilizados pode ter um impacto significativo sobre o

desempenho da FSS, o que afetará a mediço, tornando incoerente a comparação entre os

resultados projetados e medidos. Além disso, mesmo que os materiais utilizados possuam

uma configuração similar com a FSS projetada, é de extrema importância que outras

observações sejam consideradas como a condição atmosférica e a influência eletromagnética,

o que pode acarretar em dados imprecisos na medição. Portanto, as propriedades das

estruturas dependem tanto das dimensões e da periodicidade, quanto da composiço dos

materiais que estão sendo utilizados na confecção das mesmas. Assim, através dos diferentes

modelos e de suas propriedades materiais, é possível ajustar a ressonância da FSS às

exigências específicas [6] [ 16] .

Muitos parâmetros de projetos e princípios são relacionados com as estruturas periódicas,

tais como a forma e o tipo de elementos, as dimensões das células unitárias, os tipos de

materiais dielétricos e as espessuras dos substratos utilizados [ 5] [ 14] .

No projeto de FSS utilizadas como filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, é de extrema

importância a escolha adequada dos elementos. Existe uma grande variedade de pesquisas que

utilizam as mais diversas formas de elementos. Os elementos são divididos em quatro grupos

[1].

O Grupo 1 corresponde aos N-pólos conectados pelo centro. As formas mais conhecidas

são o dipolo fino, dipolo cruzado, cruz de Jerusalém e o tripolo. Na Figura 3 são mostrados

exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 1.

21

Figura 3 - Grupo 1: N-pólos conectados pelo centro.

O Grupo 2 corresponde aos elementos do tipo Espiras. Os tipos mais conhecidos são: as

espiras quadradas, as quadradas duplas, quadradas com grades e anéis circulares concêntricos.

Na Figura 4 são mostrados exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 2.

Figura 4 - Grupo 2: Espiras.

O Grupo 3 é formado pelos elementos de interior sólido. As formas mais conhecidas são

os patches quadrados, retangulares, hexagonais e circulares. Na Figura 5 são mostrados

exemplos de elementos correspondentes ao grupo 3.

Figura 5 - Grupo 3: Interior sólido.

O Grupo 4 é composto por elementos formados a partir de combinações de elementos

típicos. A lista de elementos que compõem esse grupo é interminável [1] [4]. Na Figura 6 são

apresentados exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 4.

22

Figura 6 - Grupo 4: Combinações.

2.4 A curva de Ressonância

As superfícies periódicas podem obter uma perfeita transmissão ou reflexão da onda

incidente, porém em muitos aplicativos é necessário que a curva de ressonância apresente

uma resposta superior, mais ampla e com o corte mais rápido. No entanto, a largura de banda

irá variar consideravelmente com o ângulo de incidência. Para se alcançar esse objetivo existe

duas maneiras: utilizando duas ou mais superfícies periódicas em cascata sem o dielétrico

entre elas ou utilizando placas dielétricas entre as superfícies em cascata, neste caso a

superfície periódica passa a ser híbrida.

No primeiro caso, ou seja, onde as superfícies estão em cascata e sem o dielétrico entre

elas, as várias camadas apresentam uma curva ressonante com desempenho superior se

comparado a uma superfície de camada única. No entanto, mesmo com essas camadas, tal

superfície é muito simples e apresenta uma variação considerável de largura de banda em

relação ao ângulo de incidência e a polarização, por isso não é recomendada em um trabalho

que necessite de muita precisão [1].

No caso de adicionar placas dielétricas nos dois lados de uma estrutura de camada única

podemos conseguir uma largura de banda consideravelmente maior que a conseguida com a

estrutura sem essas placas auxiliares. Essa combinação também não é recomendada nos casos

em que é necessária muita precisão mesmo se a largura de banda for projetada para ser quase

constante em relação ao ângulo de incidência e a polarização.

É comum que as estruturas periódicas sejam projetadas inicialmente sem as placas

dielétricas, e que essas placas sejam adicionadas posteriormente para que se tornem estruturas

híbridas, passando a ter um grande efeito na curva de ressonância. É necessária a escolha

correta da espessura das placas de acordo com o resultado desejado, pois tal característica

pode alterar a frequência de ressonância e a variação do ângulo incidente na curva de

ressonância.

23

Cada placa dielétrica adicionada possui funções específicas, como por exemplo: tornar a

largura de banda constante em relação ao ângulo incidente e à polarização. A FSS vai

determinar a largura de banda e a frequência ressonante. O formato das placas dielétricas e

dos elementos das FSS são projetados para uma maior otimização e para a compreensão do

comportamento da estrutura em relação à onda plana incidente [1].

2.5 Aplicaçes Típicas das FSS

Inicialmente, as aplicações das FSS estavam concentradas no uso em sub-refletores do

tipo Cassegrain de antenas par abólicas, que pode ser definido simplesmente como uma

estrutura periódica que “transparente” a uma faixa de frequência e “opaca” a outras faixas.

O sub-refletor não tem que necessariamente ser hiperbólico, pode ser simples, mas o formato

deve manter sua mecânica com uma alta tolerância o tempo todo [1].

Atualmente as aplicações envolvem, entre outras, antenas, aplicações militares, segurança

na rede sem fio, radomes, mísseis, blindagens eletromagnéticas, filtros angulares de micro-

ondas e absorvedores de micro-ondas [17].

As FSS foram amplamente utilizadas durante muitos anos em aplicativos de antenas,

filtros para micro-ondas e sinais ópticos. A introdução de uma FSS pode modificar e melhorar

o desempenho de absorção, pois a banda de absorção pode ser deslocada ou ampliada pela

presença de uma FSS [18].

Existem muitos exemplos onde as FSS são usadas em sub-refletores para configuração de

antenas com duplo refletor. Tais sub-refletor es são utilizados para reforçar a capacidade

multifrequencial destes sistemas de antena. A introdução de uma FSS no sub-refletor permite

melhorar as características multifrequenciais específicas, onde os sub-refletores possuem boas

características de reflexão e polarização.

É muito importante incorporar com precisão os efeitos de uma FSS no sub-refletor, em

relação ao cálculo da radiação, diretividade e coeficiente de reflexão de uma antena. Na

maioria dos casos, esta abordagem fornece bons resultados, no entanto, existem situações

onde se torna importante maior precisão, como por exemplo, levando em conta os efeitos da

curvatura da superfície e a diferença no sentido do ângulo de incidência em relação às

coordenadas do sub-refletor, o que se torna extremamente importante para uma previsão

precisa da polarização [17].

As FSS têm sido muito usadas como sub-refletores para comunicações via satélite, onde

apenas um sub-refletor principal pode separar diferentes bandas de frequência. Para melhorar

24

as capacidades do sub-refletor, são usadas FSS que operam em multifrequências. Em tais

sistemas, a FSS possui boas características de reflexão das frequências específicas. As FSS

também são utilizadas para aumentar ou diminuir a largura de banda de um arranjo de

antenas.

Uma das aplicações mais conhecidas das FSS é o anteparo da porta do forno de micro-

ondas doméstico, que possui a característica de um filtro passa-faixa, deixando passar a

frequência de luz visível e rejeitando a faixa de micro-ondas [2] [5] [10] [13].

Outra aplicação bem antiga dessas estruturas periódicas é a sua utilização na

caracterização da banda passante de radomes para reduzir a radiação da seção transversal das

antenas fora de sua banda operacional.

Uma situação típica ocorre quando uma onda plana é radiada por uma antena em um

radome funcionando como um filtro passa-faixa. Se o radome “opaco” e exposto a um

campo incidente, vários sinais serão refletidos devido à forma do radome e por isso é

produzido um sinal muito fraco no sentido contrário, isto é, temos uma baixa radiação da

seção tr ansversal. Por outro lado, se o sinal incidente possui a frequência correspondente à

faixa selecionada pelo filtro, este equipamento se torna ineficaz na redução da radiação da

seção transversal da antena. Isso é essencialmente determinado pela própria antena, mas para

assegurar um melhor desempenho utiliza-se um arranjo de FSS para que a banda passante

considerada seja “invisível” tamb m no sentido contr rio.

Essas estruturas periódicas são consideradas adequadas ao desenvolvimento de filtros,

ideais para a utilização conjunta com antenas em sistemas de comunicações sem fio e de

radar. É possível a utilização com êxito dessas superfícies como uma medida para aumentar as

capacidades de comunicação via satélite.

As aplicações das FSS têm crescido bastante através da adiço de dispositivos ativos

encaixados na célula unitária das estruturas periódicas, sobre substratos ferrimagnéticos e

sobre substratos líquidos. A incorporação de dispositivos que fornecem ganho ou não-

linearidade em uma FSS permite o desenvolvimento de arranjos com aplicações adicionais,

incluindo-se as funções de amplificação, oscilação e multiplexação. Essas estruturas podem

ser usadas em cascatas, empilhadas ou como uma camada única de desenho simplificado. A

Figura 7 mostra uma cascata para formar uma estrutura periódica tripla.

25

Figura 7 - Cascata para f ormar uma estrutura periódica tripla.

Arranjos de grades ativas podem ser usados em sistemas de radar, de radiodifusão e de

comunicações, em estado sólido, de baixo custo e alta potência. Vários arranjos de grades

ativas têm sido desenvolvidos com detetores, defasadores, multiplicadores, osciladores,

amplificadores e chaveadores [2] [5] [10] [13].

Um exemplo dessa utilização é uma situação comum, onde uma antena é colocada sobr e

o mastro de um navio e utiliza-se um arranjo de FSS com o intuito de rejeitar algum sinal da

banda e deixar que os sinais desejados propaguem. Alguns radares a bordo de navios muitas

vezes operam abaixo de 3 GHz assim como a maioria dos sistemas de comunicações.

Para isso poderia ser utilizado um radome híbrido operando a uma baixa frequência,

porém ele poderia produzir níveis elevados de radiação da seção transversal para algumas

frequências e variação no ângulo incidente. Portanto, ao invés disso, utiliza-se uma FSS

funcionando como filtro rejeita-faixa com elementos de tipo dipolo que ir ão reduzir

consideravelmente essa radiação.

Outro aplicativo interessante é a utilização de um arranjo de FSS que irradia através de

um polarizador juntamente com um refletor diretivo principal. Para um sinal incidente no

campo elétrico vertical, o polarizador irá atuar como uma indutância através da linha de

transmissão equivalente, enquanto uma onda polarizada horizontalmente é retardada. Para

melhorar a largura de banda e estabilizar o ângulo de incidência, utilizam-se placas dielétricas

com uma ou mais camadas no polarizador [1].

Uma aplicação recente de FSS é um painel que bloqueia sinal de redes sem fio. Os

painéis podem ser usados como papéis de paredes em locais como, por exemplo, escritórios,

cobrindo inclusive janelas, impedindo o acesso não autorizado à rede sem fio das empresas.

Além de proporcionar o isolamento e a segur ança da rede, os painéis reduzem a interferência.

Os painéis são feitos com películas e podem atuar nas versões passiva e ativa. Na versão

26

passiva, a barreira é permanente e impedirá que ondas dentro de uma dada gama passem. Já

na versão ativa, permitirá que uma ár ea seja ligada ou desligada de forma a aumentar ou

diminuir o alcance de uma rede. É preciso salientar que, por fazerem seleção em relação à

frequência que irão filtrar, estes painéis permitirão que as ondas de rádio, redes celulares ou

TV continuem a ser recebidas sem qualquer perda de sinal [19] [20].

Em sistemas UWB (Banda Ultra Larga) a ampla largura de banda das antenas causa uma

grande radiação, que é inadequada, em determinadas situações. Para melhorar tal situação, é

necessário fazer com que o sistema permita a transmissão ou reflexão em momentos

determinados, diminuindo assim qualquer possível descontinuidade. Para isso, utiliza-se uma

FSS funcionando como filtro passivo, fazendo com que os elementos ressonantes individuais

possam transmitir ou refletir sua frequência específica, ou utiliza-se várias camadas para que

possam interagir e ressoar [21].

27

3. Métodos utilizados para Análise de FSS

Vários métodos têm sido usados para análise de FSS. Diversas fórmulas aproximadas

foram desenvolvidas para analisar as características de transmissão e de reflexão das FSS. Um

dos primeiros métodos utilizados neste tipo de análise foi o casamento modal. Associado ao

casamento modal surgiu o método dos circuitos equivalentes, possibilitando a avaliação

inicial do comportamento de uma FSS [ 2].

Com o avanço dos recursos computacionais, outros métodos foram utilizados, citando-se

o método das diferenças finitas no domínio do tempo, FDTD, o método dos elementos finitos,

FEM, o método dos momentos, MoM e o método dos potenciais vetoriais de Hertz [2] [22].

Em conjunto com esses modelos, podem ser utilizadas técnicas como, por exemplo, as redes

neurais [5].

O FDTD e o FEM apresentam a vantagem da flexibilidade na forma da FSS. Entretanto,

requerem um esforço computacional elevado. Por outro lado, métodos como o MoM e o dos

potenciais vetoriais de Hertz, que não requerem tanto esforço computacional, apresentam

limitações quanto a forma das FSS.

A partir de meados dos anos 90 foi desenvolvido o Método das Ondas, um processo

iterativo, mais conhecido na literatura por Wave Concept Interactive Procedure , WCIP,

baseado em princípios relativamente simples e com diversas aplicações [23] [24].

Para entendermos melhor é feita uma breve explanação sobre alguns métodos utilizados

para análise de FSS.

3.1 Método do Casamento Modal

O método do Casamento Modal baseia-se em um princípio que pode ser ilustrado a partir

da Figura 8, onde:

Observa-se uma descontinuidade entre dois guias de onda. A região à esquerda da

descontinuidade é denominada região I, seção S . A região à direita é denominada região II,I

seção S . Considerando S contida em S [25].II I II

28

Figura 8- Seção longitudinal de uma descontinuidade entre guias.

A determinação da matriz de espalhamento ocorre da seguinte forma: uma onda

eletromagnética, composta por um somatório de modos TE (Transverso Elétrico) e TM

(Transverso Magnético), com amplitudes conhecidas, incide na estrutura através da região I

ou II, propagando-se ao longo do eixo z e incidindo na descontinuidade. Deseja-se determinar

os campos espalhados (transmitidos e refletidos). Os campos elétricos e magnéticos

transversais, nas regiões I e II, em z = 0 e em z = 0 são expressos através de suas expansões- +

modais:

(3a)

(3b)

(4a)

(4b)

29

onde os índices je iestão associados aos pares or denados ( m ,n ) e ( m ,n ), que caracterizam1 1 2 2

os modos (TE/TM) e (TE/TM) , nas regiões I e II, respectivamente. As componentes dem1n1 m2n2

campos transversais dos campos modais nas regiões I e II são representadas por e , h , e ejI jI iII

h . A e A são as amplitudes dos campos incidentes e B e B são as amplitudes dosiII jI iII jI iII

campos transmitidos e refletidos. As condiçes de contorno em z = 0 (continuidade dos

campos Ee Htransversais) impõem:

Para pontos no interior de S :I

(5a)

(5b)

Para pontos no interior de S - S :II I

(6a)

(6b)

Combinando-se as equações (3) (4) (5) e (6) temos:

Para pontos no interior de S :I

(7a)

(7b)

Para pontos no interior de S - S :II I

(8a)

30

(8b)

Multiplicando-se vetorialmente os membros de (7a) e (7a) por h , i = 1, ..., I, integrando-iII

se sobre a superfície S , e lembrando-se que:II

(9)

obtém-se:

(10)

onde

(11)

(12)

Analogamente, multiplicando-se vetorialmente os membros de (7b) e (8b) por e , j= 1,jI

..., J, e integrando-se sobre a superfície S , tem-se:I

(13)

onde

(14)

31

As equações (10) e (13) formam um sistema de J + I equações com J + I incógnitas, que

na forma de matriz é expresso por:

(15a)

(15b)

onde

[A ] e [ B ] são matrizes colunas J x 1contendo os coeficientes A e B ;I I jI jI

[A ] e [B ] são matrizes colunas I x 1contendo os coeficientes A e B ;II II iII iII

[P] é uma matriz I x J , com elementos p definidos em (11);ij

[Q] é uma matriz diagonal I x I, com elementos q definidos em (12);ii

[R] é uma matriz diaginal J x J , com elementos r definidos em (14).jj

O sistema definido em (13) pode ser reescrito da seguinte maneira:

(16a)

(16b)

De sua resoluço temos:

(17)

onde

sendo [ S] a matriz de espalhamento desejada. Manipulando algebricamente as equações (14a)

e (14b), temos:

32

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

Assim, para calcular a matriz [ S] basta que sejam determinados os elementos das matrizes

[R], [Q] e [ P], aplicando-os às expressões (18a) a (18d) [25].

3.2 Método dos Circuitos Equivalentes

O Método dos Circuitos Equivalentes é um método relativamente simples, que produz

resultados satisfatórios. Diferentemente dos métodos tradicionais de cálculo de campo

baseados na solução direta das equações de campo de Maxwell, o método dos circuitos

equivalentes focaliza os processos de transporte elétrico no meio, utilizando a equação de

continuidade e a teoria de circuitos elétricos para obter, a partir de modelos matemáticos

apropriados para os processos de transporte, um sistema de equações algébricas para a

distribuição de potenciais elétricos num espaço discretizado de elementos de volume. O

método dos circuitos equivalentes reúne estratégias bem sucedidas dos outros métodos [26].

Qualquer meio pode ser representado por um circuito de elementos concentrados, em

relação às propriedades eletromagnéticas e transporte de cargas. A capacitância, indutância e

condutância são equivalentes das propriedades distribuídas: permissividade elétrica,

permeabilidade magnética e condutividade, respectivamente. O método dos circuitos

equivalentes consiste em obter o circuito equivalente do meio e resolver o sistema de

equações (uma equação para cada nó do circuito equivalente, em cada passo de tempo, para as

condiçes iniciais e de limite), o que não é aqui detalhado [27].

Na análise de FSS utilizando esse método, os vários segmentos de fita que formam o

elemento tipo patch, por exemplo, em um arranjo periódico são modelados como

componentes indutivos e capacitivos em uma linha de transmissão. Da solução deste circuito,

são encontrados os coeficientes de transmissão e reflexão das FSS. Esta técnica permite uma

rápida resposta computacional, desde que o método use a aproximação quase-estática para

calcular as componentes do circuito [5] [13].

33

3.3 Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, FDTD

O método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, FDTD, é um dos métodos

numéricos mais utilizados para a soluço de problemas que envolvem transitórios

eletromagnéticos. O FDTD foi proposto inicialmente por Kane Yee em 1966. Este método

consiste em uma técnica de soluço dir eta para as equações de Maxwell no formato

diferencial e no domínio do tempo. Baseia-se na amostragem volumétrica do campo elétrico

Ee do campo magnético Hdesconhecidos em uma região de interesse em determinado

período de tempo. A amostragem do espaço é feita de maneira que o período de amostragem

seja menor do que o comprimento de onda do sinal. Para garantir a estabilidade numérica do

algoritmo, geralmente utiliza-se de 10 a 20 amostras por comprimento de onda.

Na época em que foi proposto, não existiam recursos computacionais para a simulação de

problemas complexos, o que atrasou o estudo do método. O avanço computacional permitiu

que esta técnica fosse estendida para a soluço de problemas mais complexos. O FDTD é um

método que utiliza um algoritmo baseado em equações diferenciais parciais e não requer uma

abordagem através da função de Green.

Em simulações onde a região modelada estende-se ao infinito, utilizam-se condiçes de

contorno para limitar o domínio computacional. As condiçes de contorno mais utilizadas são

planos condutores perfeitos (elétricos ou magnéticos) [ 28].

Para a implementação deste método, utiliza-se as equações de Maxwell:

Lei de Gauss para o campo elétrico:

(19)

Lei de Gauss para o campo magnético:

(20)

Lei de Faraday:

(21)

34

Lei de Ampère:

(22)

onde

é a densidade volumétrica de carga elétrica (C/m );3e

é a densidade volumétrica de carga magnética equivalente (Wb/m 3 );m

Dé o vetor densidade de fluxo elétrico (C/m 2 );

Bé o vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m );2

Eé o vetor campo elétrico (V/m);

Hé o vetor campo magnético (A/m);

Jé o vetor densidade de corrente elétrica (A/m 2 );

Mé o vetor densidade de corrente magnética equivalente (V/m ).2

Os parâmetros ( ) e ( M) são incluídos nas equações para o tratamento das condiçes dem

contorno responsáveis pela limitação do domínio computacional.

Devemos considerar que nas equações J e Matuam como fontes geradoras da energia

associada ao campo eletromagnético. Considerando a presença de materiais com perdas

elétricas e magnéticas isotrópicas e não dispersivas na região de interesse, temos:

(23)

(24)

onde

s é a condutividade elétrica (S/m);

s a condutividade magn tica equivalente (O/m);*

J é o vetor densidade de corrente elétrica da fonte (A/m 2 );fonte

M é o vetor densidade de corrente magnética da fonte (V/m2).fonte

Para um meio linear, isotrópico e não dispersivo, as relações entre o fluxo (elétrico ou

magnético) e o campo (elétrico ou magnético) por ser descritas através de:

35

(25)

(26)

onde

é a permissividade elétrica (F/m);

é permeabilidade magnética (H/m);

é a permissividade elétrica relativa;r

é a permeabilidade magnética relativa;r

é a permissividade elétrica no vácuo (F/m);0

é a permeabilidade magnética no vácuo (H/m).0

Aplicando J, Me as equações (25) e (26) nas equações (21) e (22), obtemos:

(27)

(28)

Representando as coordenadas cartesianas, temos:

(29)

(30)

(31)

(32)

36

(33)

(34)

As equações diferenciais parciais acopladas (29) a (34) são base para o algoritmo da

técnica FDTD em três dimensões. As equações (19) e (20) estão implícitas no posicionamento

dos campos elétricos e magnéticos na grade FDTD e na derivação espacial numérica sobre as

componentes dos campos que modelam a ação do operador divergente. Para uma geometria

bidimensional, as equações apresentadas em coordenadas cartesianas podem ser simplificadas

utilizando as representações TEz (Ez = 0) e TMz (Hz = 0).

Para ondas TEz, com invariância espacial em relação à coordenada z, temos:

(35)

(36)

(37)

(38)

Para ondas TMz, temos:

(39)

(40)

37

(41)

(42)

Os modos TEz e TMz são maneiras diferentes de propagação bidimensional com

derivada parcial nula na direção z e sem componentes de vetor de campos semelhantes. Essas

diferenças podem fazer com que os fenômenos físicos associados a esses casos sejam muito

diferentes devido à orientação dos campos em relação à região que está sendo modelada.

Utilizando o método proposto por Kane Yee para implementar numericamente as

equações de Maxwell na forma diferencial e no domínio do tempo, foi possível a resoluço de

vários problemas, facilitando a compreensão física do que ocorre na propagação das ondas

eletromagnéticas. Kane Yee posicionou o campo elétrico e o campo magnético de forma que

sempre houvesse um dado plano, quatro componentes de um dos campos (elétrico ou

magnético) circulando ao redor de uma componente perpendicular do outro campo.

Possibilitando a análise tridimensional, Kane Yee usou um cubo, posicionando as

componentes do campo elétrico na metade das arestas do cubo e as componentes do campo

magnético no centro das faces do mesmo cubo.

Com vários cubos de Yee, pode-se formar uma grade para posicionar o campo elétrico

defasado no espaço e no tempo em relação ao campo magnético, par a obter equações que a

partir de campos previamente conhecidos no tempo, permitem os cálculos dos campos atuais.

As componentes de campo elétrico são calculadas e armazenadas para um determinado

instante de tempo em todo o domínio de interesse, utilizando valores do campo elétrico

(previamente armazenados). De forma análoga ocorre para o campo magnético [28]. A Figura

9 representa o arranjo, que recebeu o nome de Cubo de Yee.

38

Figura 9 - Cubo de Yee: Posicionamento das componentes de campo elétrico e magnético emuma célula ( x, y, z).

3.4 Método dos Elementos Finitos, FEM

O método dos Elementos Finitos, FEM, que teve sua origem nos anos 40 é uma

ferramenta numérico-computacional utilizada para a soluço aproximada de equações

diferenciais entre as quais se inclui a Equação de Poisson, Equação de Laplace, Equação de

Helmholtz, etc. Este método pode ser aplicado a muitas áreas da engenharia. Além da área de

estruturas (de onde o método originou-se) pode-se aplicá-lo em transferência de calor ,

escoamento de fluidos, lubrificação, campos elétricos e magnéticos, e muitos outros [29] [30].

Um dos conceitos básicos do FEM é a discretização, ou seja, a substituição do sistema

original por outro, mais simples na sua forma, por partes. A discretização do domínio da

estrutura permite descrever de forma mais simplificada o seu comportamento.

Devido às suas características de flexibilidade e estabilidade numérica, este método pode

ser implementado na forma de um sistema computacional (programa de computador) de

forma consistente e sistemática, fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.

Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento foi dado pela indústria

aeroespacial, aonde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 50 [30]. De uma forma

geral, o FEM consiste em modelar a estrutura como uma montagem de pequenas partes, as

quais são chamadas de elementos, onde a conexão dessas pequenas partes é feita não mais em

uma área ou linha, mais em pontos discretos os quais são chamados de nós [29]. É utilizado

39

um conjunto de variáveis (variáveis nodais) distinto das variáveis de ramo, obtendo-se desta

forma um sistema de equações tendo como incógnitas as tensões dos nós do circuito em

relação ao nó de referência, o qual pode ser escolhido como qualquer nó do circuito. As

cargas distribuídas são aplicadas nos nós, ou seja, calcula-se o valor da carga aplicada que irá

atuar em cada nó de forma a produzir a mesma energia do sistema original. Com essa

modelagem, analisa-se a estrutura de forma local em cada elemento, somando-se a

contribuição das partes para formar o sistema completo. Os elementos das estruturas apenas

interagem nos nós, por isso supõe-se que as cargas e deslocamentos atuantes nesses nós são os

responsáveis pelo estado de tensão ou deformação do elemento e sucessivamente da estrutura.

A partir daí nota-se que não é mais necessário saber o comportamento da estrutura ponto

a ponto, como é o resultado da solução analítica de uma equação diferencial. Basta que os

valores das variáveis nodais dos elementos sejam conhecidos de alguma forma. Com os

parâmetros sendo os valores nodais das variáveis interpoladas, facilita-se o entendimento da

formulação e análise de seus resultados. O formato final do método é uma equação de

equilíbrio dada por:

(43)

onde [ K] é a matriz de rigidez do problema estrutural. Esta matriz representa as propriedades

físicas discretizadas da estrutura; { U} é o vetor que contém os valores nodais dos

deslocamentos utilizados como parâmetros; e { R} é o vetor que contém as cargas atuantes em

cada nó do modelo estrutural discretizado.

Os passos que constituem o FEM podem ser resumidos da seguinte forma:

Dividir a estrutura ou meio contínuo em elementos finitos;

Formular as propriedades de cada elemento, ou seja, determinar as cargas nodais

associadas com todos os estados de deformações que são permitidos;

Montar os elementos para obter o modelo de elementos finitos da estrutura;

Aplicar as cargas conhecidas: forças e momentos nodais em análise de tensão;

Aplicar as condições de contorno da estrutura, ou seja, restringir e impor os valores de

deslocamentos conhecidos em cada nó;

Resolver o sistema de equações algébricas derivadas da condição de equilíbrio;

Em análise de tensão, calcular as deformações e tensões nos nós e no interior do

elemento, se necessário;

Avaliar os resultados encontrados [29] .

40

3.5 Método dos Momentos, MoM

O método dos Momentos, MoM, é uma técnica de resolução de equações integrais

complexas, por redução destas a um sistema de equações lineares simples. Este método utiliza

uma técnica conhecida por método dos resíduos ponderados. Todas as técnicas de resíduos

ponderados começam por estabelecer um conjunto de funções de base com um ou mais

parâmetros variados. Os resíduos são uma medida de diferença entr e a soluço de base e a

soluço real. Os parâmetros variáveis são determinados de forma a garantir uma melhor

aproximação das funções de base, com vista a minimizar os resíduos. A situação ideal seria a

determinação de uma função de base para a qual o resíduo se tornaria nulo, o que na prática

nem sempre é possível [31].

Para a formulação matemática do método dos Momentos, deve-se considerar a equação

homogênea:

(44)

onde Lé um operador linear, gé uma função conhecida e fé a função a encontrar.

Expandindo fnuma série de funções f , f , ..., f conhecidas, no domínio de L:1 2 n

(45)

sendo a constantes e as funções f denominadas por funções de base ou funções de expansão.n n

Para soluçes exatas o segundo termo da equação é um somatório infinito e os f formamn

um conjunto completo de soluçes de base. Para uma soluço aproximada fé dado por um

somatório finito. Utilizando a linearidade de L, temos:

(46)

aDa equação (46) pode-se concluir que as incógnitas passaram a ser os escalares . Sen

considerarmos a solução aproximada (com Nfunções de base), a soluço da equação não é

41

possível, pois o número de incógnitas ( N) é maior que o número de equações. Para determinar

aas grandezas escalares , efetua-se o produto escalar com um conjunto de funções conhecidasn

w conhecidas por funções de teste ou peso. O produto escalar < f, g > é uma operaçãom

escalar que satisfaz as leis:

(47a)

(47b)

(47c)

(47d)

em que ae ßsão grandezas escalares e o *indica o complexo conjugado. Assim, para cada

função de teste w , temos:m

(48)

Desenvolvendo o somatório para as funções de testes que possuir, pode-se escrever as

equações num sistema de equações do tipo:

(49)

Este conjunto de equações pode ser escrito na forma de matriz como:

ou seja,

42

(50)

sendo l = < w , Lf > e g = < w , g>. Se a matriz [ l] for não singular, existe a sua inversamn m n m m

a[l]-1 e os escalares são dados por:n

(51)

e a solução de fpor:

(52)

Definindo a matriz de funções:

(53)

então:

(54)

Esta soluço pode ser aproximada ou exata, dependendo da escolha dos f e w . Nan m

aplicação deste método numérico é muito importante a escolha das funções de base. De

maneira geral, escolhem-se funções do gênero da função desconhecida, pois de acordo com o

problema, sabemos o tipo de função que vamos encontrar, lembrando que as f devem sern

linearmente independentes [31] [ 32].

3.6 Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz

Os potenciais eletromagnéticos são funções a partir das quais o campo eletromagnético

pode ser derivado e cujas equações estruturais são mais fáceis de serem resolvidas do que as

43

do próprio campo [33]. Assim como os potenciais de retardo Ae F, os potenciais vetoriais de

Hertz elétrico e magnético são grandezas matemáticas que auxiliam na resolução dase h

equações de onda [ 34]. A análise vetorial mostra que campos vetoriais obedecem à seguinte

condiço:

(55)

Assim, com uma função potencial øqualquer satisfaz:

(56)

Num espaço livre de cargas elétricas, os campos (elétrico e magnético) satisfazem as

equações de Maxwell:

(57)

e

(58)

Portanto, pode-se escrever os vetores (campo elétrico e campo magnético) em função de

potenciais que obedeçam a identidade (55), isto é,

(59)

e

(60)

Substituindo-se (59) na equação de Maxwell:

(61)

tem-se:

44

(62)

logo:

(63)

ou de uma forma geral:

(64)

Substituindo-se (59) e (64) na equação de Maxwell:

(65)

tem-se:

(66)

ou

(67)

Impondo-se a condiço de Lorentz:

(68)

obtém-se:

(69)

45

A soluço da equação diferencial (69) fornece a expressão do potencial vetorial de Hertz

magnético que, por sua vez, possibilita a determinação de Ea partir de (59) e Ha partir de:

(70)

De forma semelhante, pode-se obter a equação diferencial que fornece a expressão do

potencial vetorial de Hertz a partir da substituiço de (60) em (65), ou seja,e

(71)

ou, de uma forma geral:

(72)

Substituindo-se (60) e (72) em (61), tem-se:

(73)

ou

(74)

Impondo-se a condiço de Lorentz:

(75)

obtém-se:

(76)

A partir da solução de (76) pode-se determinar a expressão do campo magnético através

de (60) e do campo elétrico através de [34]:

46

(77)

3.7 Método das Ondas, WCIP

O método das Ondas, WCIP baseia-se em um princípio relativamente simples que pode

ser ilustrado a partir da Figura 10, onde:

Os dois meios, I e II, em uma região limitada do espaço, estão separados por uma

superfície S;

Uma onda A incide perpendicularmente na superfície S, a partir do meio I, na0

direção n, no sentido positivo.

Ao incidir sobre a superfície a onda A sofre dois processos: uma parte passa para o0,I

meio II, B , na direção n, no sentido positivo e; outra parte é refletida, B , retornando ao1,II 1,I

meio I, na direção n, no sentido negativo.

Em função dos limites e das condiçes de propagação na região I a onda B sofre uma1,I

nova reflexão, dando origem a onda A .1,I

A onda A incide perpendicularmente na superfície Se o processo se repete.1,I

Analogamente, a onda B sofre uma reflexão no meio II, dando origem a onda A .1,II 1,II

Figura 10 - Princípio de Funcionamento do WCIP.

Após a k-ésima repetição do processo, a onda resultante sobre a superfície Sserá a soma

de todas as ondas incidentes e r efletidas. Se parte da potência é absorvida a cada iteração, seja

pelas características da superfície S, ou pelas condiçes de propagação nos meios I e II, o

47

processo converge e os somatórios das ondas incidentes, A, e refletidas, B , podem ser

determinados. Matematicamente têm-se [22] [35]:

(78)

(79)

onde

Sxy descreve o comportamento da onda ao incidir sobre a superfície;

descreve o comportamento da onda ao se propagar no meio.

Portanto, são dois os pontos a serem analisados: a incidência ou reflexão da onda na

superfície Se a propagação ou reflexão da onda no meio.

As ondas incidentes e refletidas se relacionam com as amplitudes de campo transversais

através das equações (80) e (81):

(80)

(81)

sendo Z a impedância característica do meio, dada por:0

(82)

Entretanto, ao invés do vetor campo magnético, H, em geral é utilizado o vetor densidade

de corrente superficial, J, definido por:

48

(83)

A utilização do vetor densidade de corrente superficial decorre de vantagens tais como: o

vetor Japresenta a mesma natureza do vetor H.

Para uma estrutura propagando modos TE e TM os vetores Ee Jsão colineares, como

mostrados na Figura 11.

Figura 11 - Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética.

Substituindo (83) em (80) e em (81), temos:

(84)

(85)

De (84) e (85) obtém-se as expressões para os vetores Ee Jem função das ondas

incidentes e refletidas. Desta forma:

(86)

49

(87)

A partir dos valores de Ee J, determinados sobre a superfície do circuito, parâmetros tais

como impedância e frequências de ressonância, podem ser calculados e, dessa forma, o

circuito é caracterizado. No WCIP essa caracterização é realizada em diferentes domínios,

sejam eles, espacial, espectral e modal, o que não é aqui detalhado.

A necessidade relativamente reduzida de recursos computacionais e a flexibilidade

quanto à forma da estrutura planar são características do WCIP, o que tor na a sua aplicação

particularmente interessante na análise de FSS.

A análise de FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas é uma

aplicação típica desse método, onde uma estrutura relativamente complexa é analisada de

maneira global [23] [24].

50

4. FSS sintonizáveis usando anéis comcapacitâncias acopladas

As FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas são estruturas

relativamente simples, como mostrado na Figura 12.

Figura 12 - FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas.

Essas estruturas são construídas a partir de uma célula básica, sendo fabricadas sobre um

substrato dielétrico de altura he constante dielétrica . Sua frequência de ressonância estár

relacionada com o comprimento efetivo da célula básica, L , e com a constante dielétricaef

˜efetiva, . Para h<< , o efeito do dielétrico pode ser bastante reduzido e 1. A Figurarefref

13 representa uma célula básica de uma FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias

acopladas.

Figura 13 - Célula básica de uma FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias

acopladas.

51

Não há uma expressão exata para o cálculo do comprimento efetivo da célula básica com

capacitância acoplada. Para uma célula básica quadrada, como mostrada na Figura 14, uma

aproximação para o comprimento efetivo é o comprimento médio, dado por:

(88)

Figura 14 - FSS: Célula básica quadrada e circuito equivalente.

Como para as frequências de ressonância, o comprimento de onda é igual a múltiplos

inteiros do comprimento efetivo da célula básica, f é dada por:res

(89)

Os valores obtidos para FSS com célula básica quadrada são utilizados como referência

neste projeto. Embora essas equações não apresentem respostas com grande precisão, os seus

resultados servem como uma primeira aproximação para projetos.

4.1 Resultados Experimentais

A determinação das frequências de ressonância foi realizada no GTEMA (Grupo de

Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado) do IFPB, a partir da medição do módulo

coeficiente de transmissão, |S21|, utilizando um Analisador de Redes Vetorial, VNA, com

duas antenas do tipo corneta, na banda X, na faixa de frequência de 7 GHz a 13,5 GHz. A

Figura 15 representa o esquema utilizado para a mediço.

52

Figura 15 - Esquema utilizado para a medição.

As FSS foram confeccionadas em um substrato de fibra de vidro, com = 4,5 e h= 1,5r

mm. A dimensão total da placa é de aproximadamente 200 mm x 200 m m. Para cada célula

básica W = W = 20 mm e w= 2 mm. A Figura 16 representa um exemplo de FSSx y

sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas que foi confeccionada.

Figura 16 - Exemplo de FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas que foi

confeccionada.

Na Figura 17 é apresentado o resultado medido para uma FSS com célula básica

quadrada, Lx= Ly= 9,8 mm e w = 1,8 mm. Neste caso, a frequência de ressonância não

depende da polarização do campo elétrico em relação à FSS. Usando as equações (88) e (89),

foi obtido: L = 32 mm e f = 9,8 GHz.ef res

53

Figura 17 – Resultado para FSS com célula básica quadrada: |S21| x frequência.

A frequência de ressonância calculada foi 9,8 GHz, já a frequência de ressonância medida

foi 10 GHz, dentro da ordem de grandeza esperada.

As FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas apresentam um

comportamento que depende da polarização do campo elétrico em relação às seção de linhas

acopladas. Para os resultados apresentados neste projeto, o campo elétrico está sempre

polarizado na vertical e o que muda é a orientação da FSS, sendo considerada horizontal, com

o campo elétrico perpendicular às linhas acopladas, como mostrado na Figura 18 (a) e

considerada vertical, com o campo elétrico paralelo às linhas acopladas, como mostrado na

Figura 18 (b).

Figura 18 - Orientação das FSS: (a) Horizontal; (b) Vertical.

54

Nas Figuras 19, 20, 21 e 22 são apresentados os resultados para FSS com diferentes

valores de região acoplada.

Figura 19 - Resultados para o primeiro caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.

Para este primeiro caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 5 mm ex y 1 2

d = 7 mm. Para uma orientação horizontal mostrada na Figura 19 (a), a frequência de3

ressonância medida foi 9,90 GHz. Já para uma orientação vertical mostrada na Figura 19 (b),

a primeira frequência de ressonância medida foi 11,46 GHz e a segunda frequência de

ressonância medida foi 13,17 GHz.

55

Figura 20 - Resultados para o segundo caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.

Para este segundo caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 5,5 mmx y 1 2

e d = 7 mm. Para uma orientação horizontal mostrada na Figura 20 (a), a frequência de3




Figura 21 - Resultados para o terceiro caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.

56

Para este terceiro caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 6 mm ex y 1 2





Figura 22 - Resultados para o quarto caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.

Para este quarto caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 6,5 mm ex y 1 2





Em todos os casos mostrados acima observou-se que: para uma orientação horizontal há

uma redução gradativa da frequência de ressonância a partir da frequência de ressonância da

FSS quadrada, com mostrado na Figura 23. A presença da região acoplada funciona como

uma capacitância em paralelo, cujo valor aumenta com a frequência.

57

Figura 23 - Variação da frequência de ressonância com a dimensão da região acoplada comorientação horizontal e circuito equivalente.

Já para uma orientação vertical observa-se que a primeira frequência de ressonância

reduz gradativamente, partindo de um valor superior ao da frequência de ressonância da FSS

quadrada, como mostrado na Figura 24. A presença da região acoplada funciona como uma

capacitância em série, cujo valor diminui com a frequência.


orientação vertical e cir cuito equivalente.

Além disso, verificou-se o surgimento de uma segunda frequência de ressonância na

mesma faixa de frequência de medição, com um comportamento semelhante ao da primeira,

como mostrado na Figur a 25. Entretanto, seria interessante comparar o comportamento dessa

58

segunda frequência de ressonância com a segunda frequência de ressonância da FSS com

célula básica quadrada, o que não foi possível, pois essa frequência está fora da faixa de

frequência dos equipamentos disponíveis no GTEMA do IFPB.

Figura 25 - Variação da segunda frequência de ressonância com a dimensão da regiãoacoplada com orientação vertical.

Portanto, dos resultados experimentais apresentados observou-se que é possível fazer o

ajuste da frequência de ressonância, assim como a introdução de novas ressonâncias a partir

do ajuste das dimensões da região acoplada e da polarização.

59

Consideraçes Finais

Pelo que foi apresentado, pode-se considerar que o trabalho alcançou o resultado

desejado. Foi apresentado o projeto, a confecção e a caracterização experimental de FSS

sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas, descrevendo a variação da

frequência com a região acoplada e com a polarização. A partir do ajuste da região acoplada e

da polarização observou-se que é possível ajustar a frequência de ressonância, assim como

introduzir novas ressonâncias. Na análise dessas estruturas, há uma grande flexibilidade dos

parâmetros de projeto.

A partir da análise dos resultados, é possível propor uma investigação a respeito de

estruturas multi-banda, principalmente com a utilização de arranjos quase-periódicos.

Foi feito um levantamento bibliográfico sobre as FSS, apresentando as principais

características e alguns métodos utilizados para analise de tais estruturas, tornando possível a

construção de diversos projetos relacionados ao tema.

Um diferencial apresentado pelo GTEMA do IFPB no desenvolvimento de atividades de

pesquisa é a possibilidade de realização de procedimentos experimentais. A experimentação

confere ao pesquisador uma visão muito mais nítida dos fenômenos em análise, confirmando

ou negando suas expectativas teóricas. Atualmente, com a utilização da técnica WCIP, vem

sendo desenvolvida no GTEMA a caracterização numérica de FSS.

Verificou-se que as estruturas periódicas encontram diversas aplicações, tais como: filtros

de micro-ondas, radomes, sub-refletores parabólicos, dentre outras. Além disso, o uso de FSS

pode melhorar a resposta de antenas (por exemplo, patches de microfita), aumentando a

largura de banda e melhorando a eficiência dessas antenas.

Dessa forma, com o que foi apresentado neste trabalho, pretende-se contribuir para o

avanço da pesquisa neste instigante campo de investigação.

60

Referências

[1] MUNK, B. A.: Frequency Selective Surfaces – Theory and Design , John Wiley and

Sons, New York, 2000.

[2] MIAS, C.; TSAKONAS, C.; OSWALD, C.: An Investigation into the Feasibility of

Designing Frequency Selective Windows Employing Periodic Structures (Ref. AY3922),

Final Report, The Nottingham Trent University, Nottingham, U.K.

[3] CAMPOS, Antônio Luiz P. S.: Análise de Espalhamento em Superfícies Seletivas em

Frequência com Multicamadas Dielétricas Anisotrópicas , Tese de Doutorado, UFCG,

Campina Grande, Paraíba, Brasil, 2002.

[4] CAMPOS, Antônio Luiz P. S.: Estudo da flexibilidade de projeto de Superf ícies

Seletivas de Frequência , II Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte Nordeste de

Educação Tecnológica, João Pessoa, Paraíba, Brasil, 2007.

[5] SILVA, Patric Lacouth: Modelagem de superfícies seletivas de frequência e antenas de

microfita utilizando redes neurais artificiais , Dissertação de Mestrado, UFRN, Natal, Rio

Grande do Norte, Brasil, 2006.

[6] GAO, Qiang; YAN, Dunbao; FU, Yunqi; YUAN, Naichang: Loaded-frequency selective

surface , Electr. Electron, China, p. 96–98, 2008.

[7] BOSSARD, J.; WERNER, D.; MAYER, T.; e DRUPP, R.: A novel design methodology

for reconfigurable frequency selective surfaces using genetic algorithms . IEEE

Transactions on Antennas and Propagation , p. 1390– 1400, 2005.

[8] AMJADI, S. M.; Soleimani, M., Narrow Band-Pass Waveguide Filter Using

Frequency Selective Surfaces Loaded with Surface Mount Capacitors , IEEE

Electromagnetics in Advanced Applications, p. 173-176, 2007.

61

[9] BEKHEIT, Maged; AMARI, Smain; MENZEL, Wolfgang: Modeling and Optimization

of Compact Microwave Bandpass Filters , IEEE Transactions on Microwave Theory and

Techniques, pp. 420-430, vol. 56, nº 2, February, 2008.

[10] ROMEU, Jordi; RAHMI-SAMII, Yahya: Fractal FSS - A Novel Dual-Band Frequency

Selective Surface , IEEE Transactions on Antennas and Propagation , p. 1097-1105, vol. 48,

nº 7, July, 2000.

[11] BEHDAD, Nader: Miniaturized-Element Frequency Selective Surfaces (MEFSS)

Using Sub-Wavelength Periodic Structures , IEEE Proceedings , p. 347- 350, 2008.

[12] MITTRA, R.; CHAN, C. H.; CWIK, T.: Techniques for analyzing Frequency

Selective Surfaces – a review , IEEE Proceedings, p. 1593 – 1615, 1988.

[13] CRUZ, Rossana M. S.: Análise do espalhamento espectral em superfícies de

estruturas complexas para comunicações móveis , Dissertação de Mestrado, UFRN, Natal,

Rio Grande do Norte, Brasil, 2005.

[14] Wu, T. K.: Frequency Selective Surface and Grid Array , John Wiley and Sons, 1995.

[15] FALLAHI, Arya; MISHIRIKEY, Matthew; HAFNER Christian; VAHLDIECK Rudiger:

Efficient Procedures f or the Optimization of Frequency Selective Surfaces , IEEE

Transactions on Antennas and Propagation , p. 1340-1349, vol. 56, nº 5, May, 2008.

[16] GINN, James; LAIL, Brian; SHELTON, David; THARP, Jeffrey; FOLKS, William;

BOREMAN, Glenn: Characterizing Infrared Frequency Selective Surfaces on Dispersive

Media , ACES Journal, vol. 22, nº 1, p. 184-188, March, 2007.

[17] RAHMAT-SAMII, Y.; TULINTSEFF, A. N.: Diffraction Analysis of Frequency

Selective Reflector Antennas , IEEE Transactions on Antennas and Propagation , p. 476-487,

vol. 41, nº 4, April, 1993.

[18] TERRACHER, Fridiric; BERGINS, Gtrard: Thin Electromagnetic Absorber using

Frequency Selective Surfaces , IEEE Proceedings , p.846-849, 2000.

62

[19] SCHOOL OF ENGINEERING AND DIGITAL ARTS: Frequency Selective Surfaces –Broadband and Wireless Communications . Disponível em: <http://www.ee.kent.ac.uk/research/theme_detail > Acesso em: dez. 2008.

[20] XU, Rong Rong; ZHAO, Huai Cheng; ZONG, Zhi Yuan; WU, Wen: Loaded

Frequency Selective Surfaces Using Substrate Integrated Waveguide Technology , IEEE

Proceedings , 2008.

[21] SYNTONICS - Site de Produtos e Informações Tecnológicas: Multi-Band Frequency

Selective Surface (FSS) Antenna System - Packing more communications capability into

less footprint . Disponível em: < http://www.syntonicscorp.com/products/documents/

Syntonics_FSSAntennaBriefing.pdf >. Acesso em: mar. 2009.

[22] CAMPOS, Antônio Luiz P. S; D’ASSUNÇÃO, Adaildo Gomes; GOMES NETO,

Alfrêdo: Scattering characteristics of FSS on two anisotropic layers for incident co-

polarized plane waves , Microwave and Optical Technology Letters , vol. 33, n° 1, April,

2002.

[23] N’GONGO, R.S; BAUDRAND, H.: Application of wave concept iterative procedure

in planar circuit , Recent Res. Devel. Microwave Theory and Technique , vol. 1, p.187-197,

1999.

[24] TITAOUINE, M.; GOMES NETO, A.; BAUDRAND, H.; DJAHLI, F.: Determination

of metallic ring FSS scattering characteristics using WCIP method. Microwave and

Optical Technology Letters , vol.50, p.1324 - 1328, 2008.

[25] MAXWELL – Site de disponibilização de coleção digital de produções acadêmicas:

Casamento de Modos . Disponível em: < http://www.maxwell.lambda.ele.puc-

rio.br/Busca_etds.php >. Acesso em: jun. 2009.

[26] RAMOS, Airton: Desenvolvimento do método do circuito equivalente para análise

numérica de processos elétricos em tecidos biológicos , Tese de Doutorado, UFSC,

Florianópolis, Santa Catarina, Brasil, 2003.

63

[27] SUZUKI, Daniela O.H.; RAMOS, Airton; MARQUES, Jefferson L.B.:

Desenvolvimento de Software de Simulaço Gráfica Utilizando o Método do Circuito

Elétrico Equivalente para Análise da Distribuição de Campos Elétricos e Cargas Iônicas

em Tecidos Biológicos , Instituto de Engenharia Biomédica, Departamento de Engenharia

Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Santa Catarina, Brasil.

[28] KAUL, Gelson Leandro: Aplicação do método FDTD na análise de uma antena de

microfita operando em alta frequência , Monografia, FAG, Cascavel, Santa Catarina, Brasil,

2005.

[29] AMARAL. H. M. C: O método dos elementos finitos . Disponível em: <

http://www.cct.uema.br/Cursos_OnLine/ACE/ACE_Apresentacoes/ACE-08-01-FEM.pdf >.

Acesso em: jul. 2009.

[30] PEREIRA, L. A.: Aspectos fundamentais do Método dos Elementos Finitos , PUCRS,

Brasil.

[31] CASIMIRO, Antônio; LOPES, Vitor; EMÍDIO, Fernando: Método dos Momentos ,

FCT/ Ualg, ECT/ Ualg, Brasil.

[32] PINTO, Leandro Dariva: Identificação de sistemas contínuos utilizando o Método dos

Momentos de Poisson , Dissertação de Mestrado, UFRS, Porto Alegre, Rio Grande do Sul,

Brasil, 2003.

[33] PINHEIRO, José Carlos Alves: Campo eletromagnético de uma linha finita de

corrente elétrica e dos seus eletrodos de aterramento , Tese de Doutorado, UFBA,

Salvador, Bahia, Brasil, 1991.

[34] VICENTE, A. J: Potenciais Vetoriais de Hertz . Disponível em: <

http://dspace.c3sl.ufpr.br/dspace/bitstream/1884/1601/2/Disserta%C3%A7%C3%A3o.PDF >.

Acesso em: ago. 2009.

[35] GOMES NETO, Alfrêdo: Relatório CAPES/COFECUB, Projeto 374/03, Processo

BEX1337/04, Brasília, Janeiro, 2006.

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