Cap.VI

Universidade Politécnica/ Apolitécnica

Criado por Jorge Pindula, Engº Civil Cap.VI - 0/14

CCaappííttuulloo 66

AANNÁÁLLIISSEE EE DDIIMMEENNSSIIOONNAAMMEENNTTOO AAOOSS EESSTTAADDOOSS LLIIMMIITTEESS DDEE UUTTIILLIIZZAAÇÇÃÃOO

ÍÍnnddiiccee TTeemmááttiiccoo

1. Verificação da segurança em relação à fendilhação ...................................................... 1 1.1. Comportamento do betão armado à tracção............................................................................1 1.2. Fendilhação estabilizada ..........................................................................................................1 1.3. Distância média entre fendas ...................................................................................................1 1.4. Extensão média da armadura ..................................................................................................3 1.5. Critérios para o controle da fendilhação...................................................................................6

1.5.1. Definição de estados limites..............................................................................................6 1.5.2. Agressividade do ambiente ...............................................................................................7 1.5.3. Sensibilidade das armaduras à corrosão..........................................................................7

1.6. Estado limites de fendilhação a considerar..............................................................................8 1.7. Estado limite de descompressão..............................................................................................8 1.8. Estado limite de largura de fendas...........................................................................................9 1.9. Dispensa de verificação .........................................................................................................10

Exemplo 1 ..................................................................................................................................10 Exemplo 2 ..................................................................................................................................10

2. Verificação da segurança em relação à deformação.................................................... 11 2.1. Introdução...............................................................................................................................11 2.2. Princípios de cálculo...............................................................................................................11 2.3. Dispensa de Verificação.........................................................................................................12 2.4. Algumas razões para o controle das deformações ................................................................12

Engª Civil/ Notas de Aula Betão Armado 1

1. Verificação da segurança em relação à fendilhação 1.1. Comportamento do betão armado à tracção

A resistência à tracção do betão é baixa e não oferece confiança já que a cura e endurecimento do

betão, os efeitos de coacção interna e externa provocam microfendilhação e fendilhação mesmo

antes da aplicação das cargas.

A secção menos resistente é a secção da fenda, por isso o cálculo da capacidade resistente é

efectuado para esta secção. A contribuição do betão traccionado entre fendas tem no entanto de ser

contabilizada quando pretendemos calcular a abertura das fendas ou a deformação da peça.

1.2. Fendilhação estabilizada

Com o desenvolvimento de tensões de aderência, τ, entre o aço e o betão, o aço transmite ao betão

tensões de tracção.

A partir de uma dada distância, sr, da primeira fenda as tensões tangenciais τ anulam-se e o betão

adquire a tensão máxima, , como se a peça não estivesse fendilhada.

Com um acréscimo do esforço N, atinge-se a tensão de rotura do betão à tracção numa segunda

secção. Esta segunda fenda formar-se-á, em princípio, a uma distância da primeira maior ou igual a

s (s ≥ s ). r r

Uma terceira fenda entre as duas primeiras pode aparecer somente se as tensões da aderência, τ,

são suficientes para transmitir uma força de tracção do aço para o betão, tal que a resistência do

betão à tracção, fct, seja de novo atingida.

1.3. Distância média entre fendas

Como se pode observar da distribuição de tensões numa barra traccionda a segunda fenda poderá

surgir a uma distância em geral maior que sr, numa zona de menor resistência. Se no entanto a

distância entre a primeira e a segunda fendas for maior que 2sr é possível que entre elas se forme

nova fenda.

e 2sA distância entre fendas num estado estabilizado, variará entre sr r, sendo o valor médio dado

por:

sendo:

− o comprimento de aderência destruída;



− s a distância mínima entre fendas; r


− Um termo correctivo, determinado experimentalmente, que tem em conta a influência

do rebatimento, c, e o espaçamento das armaduras, s.

Na expressão anterior o termo 1/2 ν0 pode ser omitido, atribuindo a o valor:

O comprimento, sr, é o comprimento mínimo necessário para o aço transmitir ao betão por aderência

(tensões τ) a tensão fct que o pode levar de novo à rotura.

Pode ser obtido aproximadamente por:

em que:

− fctm é o valor médio da tensão de rotura do betão à tracção simples aos 28 dias de idade;

− τbm é a tensão da secção do do betão traccionado envolvente da armadura;

− A é área da secção do betão traccionado envolvente da armadura; c,r

− Σu éo somatório do perímetro das armaduras em contacto com o betão.

Note-se que no caso visto (tracção simples) η2 = 1/4; para a flexão simples obteriamos uma

expressão semelhante com η2 = 1/8.

Portanto, substituindo, a distância média entre fendas será:

que é a expressão do REBAP, em que:

− c é o recobrimento da armadura;

− s é o espaçamento dos varões da armadura (sendo s > 15∅ deve considerar-se s = 15∅);

− ∅ é o diâmetro dos varões (quando se utilizam varões de diâmetro diferente pode adoptar-se

um diâmetro médio);

− η1 é um coeficiente dependente das características de aderência dos varões, igual a 0,4 para

varões de alta aderência e igual a 0,8 para varões de aderência normal (os varões de aço

A400 EL e as redes electrossoldadas de aço A500 EL podem ser consideradas como de alta

aderência, segundo o REBAP);

− η2 é um coeficiente que depende da distribuição de tensões de tracção na secção, dado pela

expressão:


;

em que ε1 e ε2 são as extensões aos níveis inferior e superior da área do betão envolvente da

armadura, calculadas em secção fendilhada; para o caso da tracção simples η2 = 0,25 e para

flexão simples η2 = 0,125.

− ρ é a relação A ,entre a área da secção da armadura (A


r s/Ac,r s) e a área da secção do betão

traccionado envolvente da armadura (Ac,r); esta área é definida como o somatório das áreas

de influência de cada varão da armadura, cada uma das quais deve estar contida num

rectângulo centrado no varão e com lado igual, no máximo, a 15� e deve ser limitada pelo

contorno da secção, não devendo sobrepor-se às áreas de influência de varões contíguos;

estas áreas devem situar-se totalmente na zona traccionada da secção (figura 1).

Figura 1 – área da secção traccionada de betão envolvente das armaduras

1.4. Extensão média da armadura

A tensão no aço, σs, atinge um valor máximo na secção da fenda e um valor mínimo a meia distância

entre fendas. O valor médio da extensão na armadura, εsm, corresponderá ao valor médio da tensão

num dado comprimento da peça:

em que Es é o modo de elasticidade do aço.

A diferença entre a tensão média e a tensão máxima na armadura depende do grau de contribuição

do betão envolvente entre as fendas que influi decididamente no valor de εsm.


Após o início da fendilhação há um aumento brusco da extensão média, devido à formação de

diversas fendas com a consequente perda de tensão no betão.

Em seguida, com a fendilhação já estabilizada, a contribuição do betão vai diminuindo à medida que

se deteriora a ligação aço-betão com o aumento da força N, mas a extensão média é sempre inferior

aquela que se obteria se a peça fosse apenas de aço.

Figura 2 – Extensões relativas das armaduras

A figura 2 representa a variação da extensão média da armadura com a tensão instalada no aço na

secção da fenda, σ . Nesta figura, σsr s2 é a tensão da armadura numa secção fendilhada sob a acção

das acções consideradas σsr é a tensão da armadura calculada na secção fendilhada correspondente

ao esforço que provoca o início da fendilhação (esforço que, em secção não fendilhada conduz a

uma tensão máxima no betão de valor f


ctm), εs1 e εs2 são as deformações relativas da armadura

calculada em estado 1 (considerando secções não fendilhadas) e estado 2 (desprezando a

contribuição do betão traccionado entre fendas), e ε e εsr2 sr1 são as extensões relativas da armadura

correspondentes às tensões σ (estado 1) e σs2 (estado 2). sr

, é dada por: A deformação média da armadura, para N ≥ Nr

onde ∆εs, que representa a contribuição do betão traccionado, aproxima-se da recta εs2 para tensões

superiores a σ , seguindo uma lei hipérbica que foi estabelecida experimentalmente: sr

que substituindo na expressão anterior, obtém-se:



Ou, fazendo ,

Note-se que ξ deve-se considerar nulo se σsr > σs2.

Foi tratado o caso de uma peça sujeita a um esforço de tracção simples, mas as expressões são

válidas para peças sujeitas a flexão.

A fim de se ter em conta as características da aderência dos varões da armadura e a influência da

duração da aplicação descargas, são introduzidos dois coeficientes, β e β1 2, na expressão que define

ξ:

Estes coeficientes serão descritos mais adiante, quando se apresentar a expressão da extensão

média das armaduras que é indicada no REBAP.

A extensão média da armadura em relação à extensão do betão adjacente é definida (figura 3) por:

Figura 3 – Extensão relativa da armadura em relação ao betão adjacente


As expressões indicadas fornecem medidas de extensão média das armaduras para o conjunto da

peça. As extensões relativas que daí resultam, subestimam as extensões médias locais (e por

consequência, a abertura das fendas) nos primeiros estados de desenvolvimento da fendilhação.

Com base em resultados experimentais, encontrou-se uma maneira cómoda de se ter em conta este

desvio, especificado um limite inferior (0,4) para o coeficiente �.

O REBAP fornece esta expressão para o cálculo da extensão média das armaduras traccionadas, na

forma:

em que:

− σs é a tensão de tracção da armadura, calculada em secção fendilhada, correspondente ao

esforço resultante das combinações de acções em causa;

− Es é o módulo de elasticidade do aço;

− σsr é a tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada, correspondente ao

esforço que provoca o início da fendilhação; este esforço é o que, em secção não fendilhada

conduz a uma tensão de tracção máxima no betão, f ; ctm

− β1 é um coeficiente dependente das características de aderência dos varões da armadura;

deve ser 1 para varões de alta aderência e 0,5 para varões de aderência normal (o REBAP

permite que os varões de aço A400 EL e as redes electrossoldadas de aço A500 EL podem

ser consideradas como de alta aderência);

− β2 é um coeficiente dependente da duração e da repetição das acções, que se deve ser

tomado igual a 1no caso de combinações raras de acções e igual a 0,5 no caso de

combinações frequentes ou quase permanentes.

. O valor da extensão média das armaduras não pode ser considerado inferior a 0,4

Para determinação das tensões nas armaduras em secção fendilhada pode admitir-se um

comportamento elástico perfeito dos materiais com um coeficiente de homogeneização, que, por

simplificação, o REBAP indica o valor de α = 15.

1.5. Critério para o controle da fendilhação 1.5.1. Definição de estados limites

São considerados, basicamente, três estados limites de fendilhação:

− Estado limite de descompressão

− Estado limite de formação de fendas

− Estado limite de largura de fendas




O estado limite intermédio de formação de fendas não é contemplado no R.E.B.A.P., podendo no

entanto ser útil no caso de verificação de depósitos e de secções pré-esforçadas em fase de

construção. O estado limite de largura de fendas compreende ainda três diferentes valores

permissíveis de abertura de fendas. No quadro I encontram-se as definições dos estados limites de

fendilhação por ordem decrescente de severidade.

QUADRO I – Estados limites de fendilhação

ESTADO LIMITE DEFINIÇÃO

Descompressão O estado no qual, sob a combinação de acções consideradas, as tensões

descompressão são no extremo levadas a zero para a fibra considerada.

Formação de fendas Estado no qual, sob a combinação de acções consideradas, a tensão de tracção

característica do betão em tracção não será ultrapassada

Largura de fendas w1 = 0,1mm Estado no qual, sob a combinação de acções consideradas, a abertura

característica da fenda é igual a 0,1mm.

Largura de fendas w2 = 0,2mm Idem, com abertura limite de 0,2mm.

Largura de fendas w3 = 0,3mm Idem, com abertura limite de 0,3mm.

1.5.2. Agressividade do ambiente

De acordo com as condições de exposição os ambientes podem ser escalonados em três categorias,

conforme o seu grau de agressividade. No Quadro II representam-se as definições de cada uma

dessas categorias.

QUADRO II – Agressividade do ambiente

CATEGORIA DEFINIÇÃO

Ambientes pouco agressivos

Ambientes em que a humidade relativa é habitualmente baixa e em que

não é de esperar a presença de agentes corrosivos (ex.: interiores de

edifícios de habitação, de escritórios, etc)

Ambientes moderadamente agressivos

Ambientes interiores em que a humidade relativa é habitualmente elevada

ou em que é de esperar a presença temporária de agentes corrosivos;

ambientes exteriores sem concentração especial de agentes corrosivos;

águas e solos não especialmente agressivos.

Ambientes muito agressivos

Ambientes com forte concentração habitual de agentes corrosivos; líquidos

agressivos (águas muito puras, algas salinas, etc.); solos especialmente

agressivos.

1.5.3. Sensibilidade das armaduras à corrosão

São considerados dois níveis de sensibilidade à corrosão, ilustrados no QUADRO III.

QUADRO III – Grau de sensibilidade à corrosão

SENSIBILIDADE TIPOS DE ARMADURAS

Muito sensíveis

Todas as armaduras com diâmetros menores que 3 mm.

Aços tratados – todos os diâmetros.

Armaduras de aço endurecido a frio submetido permanentemente a

tensões de tracção superiores a 400 Mpa.

Armaduras de Pré-

esforço

Pouco sensíveis Todos os outros tipos de armaduras Armaduras


ordinárias

1.6. Estado limites de fendilhação a considerar

Para assegurar a conveniente durabilidade das estruturas os estados limites de fendilhação devem

ser escolhidos atendendo ao tipo de combinação de acções (sua duração), à agressividade do

ambiente e à sensibilidade das armaduras à corrosão.

No caso de armaduras ordinárias, o estado limite a considerar é o de largura de fendas, nas

condições indicadas no Quadro IV.

QUADRO IV – Estados limites de fendilhação para armaduras ordinárias

AMBIENTE COMBINAÇÕES DE ACÇÕES ESTADO LIMITE

Pouco agressivo Frequentes Largura de fendas w = 0,3mm

Moderadamente agressivo Frequentes Largura de fendas w = 0,2mm

Muito agressivo Raras Largura de fendas w = 0,1mm

1.7. Estado limite de descompressão

Por definição, nenhuma tensão de tracção deve estar presente na secção para este estado limite. O

cálculo das tensões pode assim ser efectuado de acordo com a teoria elástica, admitido como activa

toda a secção do betão. Quando a secção contiver uma percentagem considerável de armaduras

aderentes (sejam ordinárias ou de pré-esforço), elas devem ser tidas em conta na definição das

características da secção efectiva.

As tensões podem então ser obtidas palas fórmulas usuais:


− Flexão e força axial

onde:

σ - Tensão na fibra considerada.

N - força axial (inclui o pré-esforço e qualquer força externa aplicada axialmente);

A - área efectiva da secção transversal;

M - momento na secção (inclui o momento devido ao pré-esforço e devido ao

carregamento);

I - momento de inércia efectivo;

y - distância do eixo neutro à fibra considerada (em geral a fibra externa).

− Esforço Transverso

onde:



τ - Tensão tangencial na fibra considerada;

V – esforço transverso;

s – momento estático em relação ao eixo neutro da área acima da fibra considerada;

I – momento de inércia efectivo;

b – largura da secção ao nível da fibra considerada.

Se for de considerar a combinação de τ e σ teremos de determinar as tensões principais nas fibras

nas condições mais desfavoráveis.

Para a determinação da área e do momento de inércia efectivo da secção, o REBAP define os

seguintes valores para o coeficiente de homogeneização α = Es / Ec que depende da duração das

acções para ter em conta a fluência do betão com o tempo; nos casos correntes pode-se considerar

α = 18 para acções com carácter de permanência e α = 6 para acções de curta duração.

Note-se que o estado limite de descompressão deve ser apenas verificado em relação à armadura

de pré-esforço e destina-se a assegurar que, para a combinação de acções em causa, estas

armaduras se situem em zona comprimida. Para além das acções aplicadas outros factores devem

estar presentes na verificação ao estado limite de descompressão como sejam a fluência, a retracção

e a variação de temperatura.

1.8. Estado limite de largura de fendas

A segurança em relação ao estado limite de largura de fendas considera-se satisfeita-se o valor

característico da largura das fendas, ao nível das armaduras mais traccionadas não excederem os

valores especificadas no Quadro IV.

O valor médio da largura das fendas é igual a

wm = srm .Εsm,

em que srm é a distância média das fendas e Εsm é a extensão média das armaduras. Os ensaios

demonstraram que existe uma grande dispersão dos resultados no que se refere ao afastamento e à

abertura das fendas.

Para limitar a maior abertura provável das fendas, é definida a abertura característica, wk, como um

valor que não é ultrapassado senão por uma pequena percentagem do conjunto das aberturas das

fendas. Segundo o REBAP a abertura característica das fendas é igual a

wk = 1,7 . wm.

Estas considerações são válidas para elementos sujeitos à tracção ou à flexão, simples ou

compostas.



No caso de peças sujeitas a esforços transversos e à torção a verificação ao estado limite de largura

de fendas considera-se satisfeita nos casos correntes de vigas desde que sejam observadas as

disposições construtivas de armadura, nomeadamente a armadura transversal mínima e o

espaçamento de estribos no que se refere ao esforço.

1.9. Dispensa de verificação

Nos casos correntes de vigas, com armaduras ordinárias e em ambientes pouco agressivos ou

moderadamente agressivos, o REBAP considera satisfeita a verificação de segurança em relação ao

estado limite de largura de fendas, desde que sejam cumpridas as disposições relativas ao

espaçamento máximo dos varões de armadura longitudinal, representadas no Quadro VI.

QUADRO VI – Espaçamento máximo dos varões de armadura longitudinal de vigas (cm).

Tipos de aço Ambiente

A235 A400 A500

Pouco agressivo - 12,5 10

Moderadamente agressivo - 7,5 5

Exemplo 1

Dimensione um tirante de betão armado (B25, A400NR) com 4 metros de comprimento e secção de

(0.25x0.25) m2, destinado a receber os seguintes esforços axiais característicos:

NG=200kN (acções permanentes)

NQ=140kN (sobrecarga; Ψ1=0.6)

A estrutura encontra-se em meio moderadamente agressivo (wmax=0.2mm – combinações frequentes

de acções).

Exemplo 2

Consideremos uma parede de 20cm de espessura fazendo parte de um reservatório. A parede deve

ser armada horizontalmente de tal maneira que a largura característica das fendas seja inferior a

0.15mm afim de assegurar a estanqueidade desejada. O betão será o B25 e o aço será A500ER com

um recobrimento de 2cm.


2. Verificação da segurança em relação à deformação 2.1. Introdução

A determinação das deformações em peças de betão armado fissurado tendo em conta as

combinações de acções, a fluência e a retracção do betão leva a cálculos laboriosos e por vezes

complexos. As flechas de peças flectidas podem ser calculadas, com generalidade, pela

integração numérica das curvaturas de pequenos troços em que uma viga pode ser dividida.

Existem publicações que apresentam fórmulas simplificadas que permitem uma estimativa das

flechas para os casos mais correntes de lajes e vigas com diversas condições de apoio e de

carga. Adiante pretende-se dar uma iniciação a alguns métodos simplificados de cálculos de

flechas.

2.2. Princípios de cálculo

A curvatura total 1/r no tempo t é a soma da curvatura elástica (1/r)e e das curvaturas devidas à

retracção (1/r) e à fluência do betão (1/r)


cc cs.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

csccet rrrr1111

onde, cada um dos termos do 2º membro refere-se, ao estado 1 (considerando secções não

fendilhadas) ou ao estado 2 (desprezando a contribuição do betão traccionado entre fendas),

dependendo do estado considerado.

A deformada devida aos momentos flectores é obtida por dupla integração da curvatura ao longo

do elemento,

EIM-1'' =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ery

Esta expressão é válida para o cálculo da curvatura elástica no estado 1. Para o estado 2 esta

expressão é substituída por

dr

cm sm-1 εε

ε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

com

εcm – deformação relativa média do betão na fibra mais comprimida da secção

εsm – deformação relativa média da armadura mais traccionada

d – altura útil

A curvatura devida à fluência deve ser calculada como múltiplo da curvatura inicial sob as

combinações de acções quase permanentes.


A curvatura devida à retracção pode ser avaliada pela expressão

dk

rcs

cscs

=⎟⎠

⎜⎝

ε⎞⎛ 1

Onde


εcs – deformação devida à retracção

– é um coeficiente que tem em conta a influência das armaduras e kcs

d – altura útil

O REBAP não dá indicações precisas quanto ao cálculo dos deslocamentos, apenas fazendo

referência à expressão para o cálculo das curvaturas. A determinação das deformações em

peças de betão armado fissurado, tendo em conta as combinações de acções, e fluência e a

retracção do betão exigir cálculos complexos e laboriosos. Não foi, por isso, objectivo desta

monografia apresentar cálculos de flechas e rotações.

2.3. Dispensa de Verificação

O REBAP considera a verificação da segurança em relação aos estados limites de deformação

satisfeita se forem cumpridas as condições constantes nos artigos 89º para vigas e 102º para lajes

maciças.

2.4. Algumas razões para o controle das deformações

O projectista deve decidir, em cada caso, quais as verificações que são necessárias para

controlar as deformações das estruturas em serviço normal. Estas deformações podem ser

flechas, rotações, deslocações, etc...

O objectivo será de satisfazer as condições de serviço estabelecidas, evitar estragos ou

destruição de elementos não estruturais e usar contra-flechas quando aconselhável.

É geralmente considerado que flechas maiores que l/250 devem ser evitadas sob o ponto de

vista da aparência. A manifestação mais típica de flechas excessivas é no entanto a fissuração

de paredes não estruturais ou problemas com janelas. Há dois possíveis caminhos para tratar

este problema: ou as flechas são limitadas a um nível que não cause fissuração nos panos de

enchimento ou os elementos não estruturais devem ser projectados para acomodar os

movimentos de estrutura. Os valores usualmente especificados para as flechas de forma a

atenuar estes problemas são de l/500 ou 1 cm (o menor dos dois) para as flechas que ocorrem

depois da construção dos panos de enchimento.

Um outro factor a ter em conta é a possível diminuição de utilidade da estrutura por efeito do

aparecimento de deformações excessivas. Alguns casos podem ser mencionados:



− Poças de água – se a flecha duma laje de cobertura é excessiva podem conduzir à

acumulação de água nos pontos baixos com a formação de poças, crescendo os riscos

de infiltração;

− Interferência com o funcionamento de portas e janelas;

− Interferência com o alinhamento de máquinas e de aparelhos – a conservação dos

alinhamentos pode ser dificultada com o desenvolvimento de flechas no tempo;

− Problemas de vibração.

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