CAPÍTULO XII – ANÁLISE DE PILARES EM BALANÇO

Análise de Pilares em Balanço

XII - 1

12. Análise de Pilares em Balanço

12.1. Geração de exemplos de pilares para análise

Para finalizar este trabalho serão gerados exemplos de pilares em balanço e

biapoiados para comparação dos métodos de cálculo utilizando “integração

numérica com desacoplamento das solicitações de flexão e rigidez secante” e

“integração numérica considerando a flexão oblíqua composta sem desacoplamento,

com as curvaturas obtidas das superfícies do diagrama momento-curvatura”. Os

pilares biapoiados são analisados no capítulo 13.

O objetivo é comprovar a possibilidade de se calcular os efeitos de segunda ordem

em pilares solicitados à flexão oblíqua composta como se se tratasse de duas

flexões normais compostas independentes, ou seja, considerando os efeitos das

duas flexões desacoplados. Depois de encontrados os efeitos de 1ª e 2ª ordem em

cada direção independentemente deve-se considerar a ação conjunta de NSd,

MSxd,total e MSyd,total para verificar a condição de segurança de norma no Estado Limite

Último em cada seção do pilar, por exemplo, através de ábacos νd - µxd - µyd.

A finalidade de se fazer assim é que para a flexão normal composta já existem

ábacos de iteração que fornecem para determinadas distribuições de armadura em

seções retangulares, as rigidezes em função da força normal solicitante e da taxa

mecânica de armadura. Para flexão oblíqua não. Ainda, para o cálculo dos efeitos de

2ª ordem com a utilização de computadores o tempo de processamento na flexão

normal composta é muito menor. Se esse desacoplamento pode ser feito se ganha

em praticidade.

Os milhares de exemplos processados pelo programa de computador desenvolvido

ao longo deste trabalho, permitem uma análise e conclusão segura de que se pode

proceder ao desacoplamento com segurança e sem prejudicar demasiadamente a

economia.

Foram gerados exemplos de pilares em balanço com a sistemática indicada abaixo.

Os pilares de seção retangular têm dimensões da seção transversal hx e hy com hx ≥

hy.

À dimensão hy foi atribuído o valor 19 cm.

À dimensão hx atribuiu-se valores que variam de um mínimo a um máximo sendo


XII - 2

hx,mín = 25 cm

hx,máx = 5.hy

e ∆hx = (hx,máx - hx,mín) / 3 (12.1)

O comprimento de flambagem (Le) e o próprio comprimento (L) do pilar são

calculados pelo programa em função do índice de esbeltez (λ), que é fornecido como

dado, por:

46,3

. ye

hL

λ= (12.2)

L = 0,5.Le (12.3)

Foram analisados pilares com o índice de esbeltez assumindo os valores 65, 75, 90

e 115.

A distribuição da armadura dentro da seção transversal foi considerada composta de

4 barras associadas aos vértices, nx barras distribuídas nas faces de comprimento hx

e ny barras distribuídas nas faces de comprimento hy. A quantidade mínima

associada a um lado é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento

máximo de centro a centro de barras de 40 cm. A quantidade máxima é definida pelo

programa de modo a respeitar um espaçamento mínimo entre faces de barras de 2,5

cm. Além das quantidades mínima e máxima foi considerada uma quantidade média

entre a mínima e a máxima.

Foram considerados cobrimentos da armadura de 2,5 cm e 3,5 cm.

As forças normais consideradas são funções da força normal resistente no Estado

Limite Último (E.L.U.) do pilar em compressão centrada, dada por:

NRd = 0,85.fcd.Ac + σs,2%o.As (12.4)

As forças normais consideradas para pilares com índice de esbeltez 65, 75 e 90 são:

NSd,min = 0,4.NRd

NSd,méd = 0,6.NRd

NSd,máx = 0,8.NRd (12.5)

Para pilares com índice de esbeltez igual 115 foram consideradas

NSd,min = 0,1.NRd

NSd,máx = 0,3.NRd (12.6)

Quando o índice de esbeltez é maior que 90, considera-se o fator de fluência ϕeq =

1,5, com o diagrama tensão deformação do concreto deslocado do fator (1+ ϕeq)

conforme explicado no capítulo 3 item 3.4.4.


XII - 3

A inclinação do eixo de solicitação θ, é considerada variando de θmín = 15° à θmáx =

75° com incrementos ∆θ = 15°.

Para cada força normal solicitante , NSd, e inclinação, θ, considerados, o programa

calcula os momentos resistentes (MRxd e MRyd) do estado limite último. As

solicitações de flexão são consideradas para a seção da base do pilar em balanço

com três níveis de solicitação, NS = 0,2; 0,5 e 0,8, assim, se tem para cada direção

principal de inércia

MBd,min = 0,2. MRd

MBd,méd = 0,5. MRd

MBd,máx = 0,8. MRd (12.7)

As cargas no topo do pilar são:

Força normal: NSd

Momentos aplicados: MTxd e MTyd

Forças horizontais: HTxd e HTyd

Os momentos aplicados no topo assumem os valores:

MTd,min = 0

MTd,méd = 0,5.MBd

MTd,máx = 1,0.MBd (12.8)

As forças horizontais no topo são

L

MMH TdBd

T

−= (12.9)

Resumindo, fez-se:

λ = 65, 75, 90 e 115

hx = 25 a 5.hy com ∆hx= (5.hy -25) / 3

nx = nx,mín a nx,máx com ∆nx = (nx,máx – nx,mín) / 2

ny = ny,mín a ny,máx com ∆ny = (ny,máx – ny,mín) / 2

c = 2,5 e 3,5 (cobrimento da armadura)

NSd = 0,4.Nud a 0,8.Nud com ∆NSd = 0,2.Nud se λ ≤ 90

NSd = 0,1.Nud a 0,3.Nud com ∆NSd = 0,2.Nud se λ > 90

θ = 15° a 75° com ∆θ = 15°

Nível de solicitação: [NS]= 0,2 a 0,8 com ∆[NS] = 0,3

MSBxd = [NS].Muxd

MSByd = [NS].Muyd


XII - 4

MSTxd = 0 a +1,0.MSBxd com ∆MSTxd = 0,5. MSBxd

MSTyd = 0 a +1,0.MSByd com ∆MSTyd = 0,5. MSByd

.....

Novo MSTyd

Novo MSTxd

Novo Nível de solicitação [NS]

Novo θ

Novo NSd

Novo cobrimento

Novo ny

Novo nx

Novo hx

Novo λ

Um pilar em balanço é mostrado na figura 12.1, onde estão representadas as

cargas, os diagramas de momentos fletores solicitantes de 1ª ordem e a

discretização do pilar para a integração numérica.

Figura 12.1 – Pilar em balanço. MBxd e MByd são as reações momentos na base. MTxd e MTyd são momentos aplicados no topo. HTxd e HTyd são forças horizontais aplicadas no topo

X

Y

MBxd MByd

MTyd MTxd

L

Nd

MBxd MByd

MTxd MTyd

zi X

Y

HTxd HTyd

X

Y

L

zi

Base =1

2

3

4

5

6

Topo =7

a) Carregamento b) Diagramas de momentos fletores c) Discretização do pilar


XII - 5

Dada uma força normal Nd e a inclinação do eixo de solicitação θ, o programa

calcula os correspondentes momentos resistentes do E.L.U. MRxd e MRyd.

Dado um nível de solicitação (NS) são calculados os momentos de 1ª ordem a

serem considerados na base do pilar:

MBxd = NS.MRxd

MByd = NS.MRyd (12.10)

Dadas as relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, são calculados os momentos solicitantes de

1ª ordem no topo do pilar:

MTxd = (MT/MB)x.MBxd

MTyd = (MT/MB)y.MByd (12.11)

e as forças horizontais

L

MMH TxdBxd

Txd

−=

L

MMH TydByd

Tyd

−= (12.12)

Os momentos solicitantes de 1ª ordem em uma seção qualquer de ordenada zi são

dados por:

MSxd,i = MTxd + HTxd.(L – zi)

MSyd,i = MTyd + HTyd.(L – zi) (12.13)

A inclinação θ dada é valida somente para a seção da base do pilar. Ao longo da

altura ela varia com as diferentes relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, já que as duas

relações muitas vezes têm valores diferentes.

Dada a força normal Nd, para cada par de momentos solicitantes MSxd,i e MSyd,i são

calculadas as curvaturas, 1/rx e 1/ry, correspondentes.

No processo com rigidez secante essas curvaturas são calculadas por:

xx

iSxd

x EIM

r sec,

,

)(1

=

yy

iSyd

y EI

M

r sec,

,

)(1

= (12.14)

No segundo processo, as curvaturas são determinadas para cada seção através das

relações momento-curvatura como foi exposto no item 8.2. Esse segundo processo,

mais preciso que o primeiro, requer uma quantidade de trabalho muito maior.


XII - 6

Embora esse trabalho de cálculo seja feito pelo computador, o tempo de

processamento é muito maior.

12.2. Processos utilizados para o cálculo dos esforços solicitantes totais

Os resultados que o programa fornece para análise são referentes às solicitações

totais (1ª ordem + 2ª ordem) na seção mais solicitada.

Cada pilar é resolvido por dois processos de determinação dos efeitos de 2ª ordem,

quais sejam:

a) Processo com desacoplamento (índice d)

O primeiro processo considera a integração numérica como meio de se obter os

efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada

seção são obtidas com a consideração da rigidez secante, constante para todas as

seções e todas as iterações. A rigidez secante é determinada para a flexão normal

composta em cada direção independentemente.

( ) );(33

sec,f

Rxd

f

Sdxxx

MNfEI

γγ=

( ) );(33

sec,f

Ryd

f

Sdyyy

MNfEI

γγ= (12.15)

Essa consideração das rigidezes secantes determinadas independentemente para

cada direção principal de inércia foi chamada de “desacoplamento das flexões”. As

curvaturas então, são obtidas dividindo-se o momento fletor solicitante minorados

pelo fa tor γf3 = 1,1,em cada seção, pela rigidez secante. Ou seja:

xx

f

iSxd

ix EI

M

r sec,

3

,

, )(1 γ

=

yy

f

iSyd

iy EI

M

r sec,

3

,

, )(1 γ

=

(12.16)

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da

base do pilar até a seção em consideração.


XII - 7

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção

da base do pilar até a seção em consideração.

Para os pilares biapoiados, depois de realizadas as duas integrações, são feitas

correções nas rotações e deslocamentos para restabelecer as condições de

contorno originais. Ou seja, foi dada uma rotação na linha elástica do pilar de modo

a anular o deslocamento da seção do topo.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em

cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões

normais compostas. Ao final, se analisa a condição de segurança de norma no

Estado Limite Último do pilar para a flexão oblíqua composta considerando atuando

simultaneamente as solicitações NSd, MSxd e MSyd.

Os efeitos de segunda ordem são calculados considerando os valores das

solicitações divididos por γf3 = 1,1 e a tensão máxima no concreto igual a σc,máx =

1,1.fcd em lugar do tradicional σc,máx = 0,85.fcd. Isto é, os deslocamentos e momentos

de 2ª ordem são calculados para as solicitações de primeira ordem:

3

*

f

Sdd

NN

γ= (12.17)

e 3

*1

f

Sxdxd

MM

γ= (12.18)

para a flexão normal composta na direção x e

3

*

f

Sdd

NN

γ= (12.19)

e 3

*1

f

Sydyd

MM

γ= (12.20)

para a flexão normal composta na direção y.

Ao final cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a

solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

*3. dfd NN γ= (12.21)

*3, . xdffinalxd MM γ= (12.22)


XII - 8

e *3, . ydffinalyd MM γ= (12.23)

A segurança do pilar é analisada pela relação entre o momento total solicitante em

determinada seção

( ) ( )2,

2,, finalydfinalxdfinalSd MMM += (12.24)

pelo momento resistente do estado limite último

( ) ( )22RydRxdRd MMM += (12.25)

este último também determinado para a força normal Nd=NSd.

A condição de segurança do pilar é:

0,1, ≤

dRd

finalSd

M

M (12.26)

O índice “d” foi colocado na expressão (12.26) para fazer referência ao

desacoplamento das flexões

b) Processo com acoplamento das flexões (índice a)

O segundo processo considera também a integração numérica como meio de se

obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas

em cada seção são obtidas com a consideração simultânea das duas flexões

(direções x e y) e portanto, considerando sempre a solicitação de flexão oblíqua

composta sem o desacoplamento feito no primeiro processo. Neste caso as

curvaturas na direção x foram influenciadas pela solicitação de flexão atuante na

direção y e vice-versa. Ou seja:

),,(1

333 f

yd

f

xd

f

dx

x

MMNf

r γγγ=

(12.27)

),,(1

333 f

yd

f

xd

f

dy

y

MMNf

r γγγ=

(12.28)

A diferença entre os dois processos está justamente na determinação dessas

curvaturas em cada seção.


XII - 9

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da

base do pilar até a seção em consideração, como no processo com

desacoplamento.

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção

da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com

desacoplamento.

Para os pilares biapoiados são feitas as mesmas correções citadas no processo com

desacoplamento.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em

cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões

normais compostas.

Ao final, cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a

solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

Sddfd NNN == *3.γ (12.29)

*3, . xdffinalxd MM γ= (12.30)

e *3, . ydffinalyd MM γ= (12.31)

A segurança do pilar foi analisada pela relação entre o momento total solicitante em

determinada seção

( ) ( )2,

2,, finalydfinalxdfinalSd MMM += (12.32)

pelo momento resistente do estado limite último

( ) ( )22RydRxdRd MMM += (12.33)

este último também determinado para a força normal Nd=NSd e mesma inclinação do

eixo de solicitação θ. Essa inclinação θ define a proporção entre as flexões nas

direções x e y e é dado por

=

finalyd

finalxd

M

Mtgarc

,

,.θ (12.34)

A condição de segurança do pila r é:


XII - 10

0,1, ≤

aRd

finalSd

M

M (12.35)

O índice “a” foi colocado na expressão (12.35) para fazer referência ao processo

com acoplamento das flexões.

É de se destacar que o processo com acoplamento das flexões, é mais exato. O

outro é uma aproximação.

O processo com desacoplamento só merece confiança quanto à segurança se

fornecer um coeficiente de segurança maior ou igual ao processo com acoplamento.

Para cada processo de cálculo são obtidas as relações:

aprocessodRd

Sd

totalresistenteMomentototaltesoliciMomento

MM

−

−−−−

=

tan (12.36)

bprocessoaRd

Sd

totalresistenteMomentototaltessoliciMomento

MM

−

−−−−

=

tan (12.37)

onde

22SydSxdSd MMM += (12.38)

22RydRxdRd MMM += (12.39)

Para o processo com desacoplamento a condição de segurança é dada por:

0,1<

dRd

Sd

MM

(12.40)

Para o processo com acoplamento a condição de segurança é dada por:

0,1<

aRd

Sd

MM

(12.41)

O objetivo deste trabalho resultará da análise dos resultados dos milhares de pilares

resolvidos e analisados tendo em vista o gráfico da figura 12.3.

Além dos valores de (MSd/MRd)d e (MSd/MRd)a o programa forneceu a região do gráfico

da figura 12.3 onde está o ponto P, de coordenadas:

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; (12.42)

12.3. Argumentação para a análise dos resultados

12.3.1 Condição de segurança para uma seção transversal de pilar


XII - 11

Na figura 12.2 está representado esquematicamente um diagrama Nd-Mxd-Myd. Ali

estão indicados os módulos dos momentos: M1d = OA = solicitante de 1ª ordem,

Mtotal,d = OB = solicitante total (1ª ordem + 2ª ordem) e MRd = OC = momento

resistente do estado limite último.

Figura 12.2: Diagrama Nd-Mxd-My d esquemático.

OA = módulo do momento solicitante de 1ª ordem de cálculo. OB = módulo do momento solicitante total de cálculo (1ª

ordem + 2ª ordem). OC = módulo do momento resistente de cálculo no E.L.U.

A segurança de uma seção solicitada conforme a figura 12.2 é qua lificada pela

relação dos segmentos OC e OB. Isto é:

OBOC

MM

osolicitaçãdaSegurançaSd

Rd ==..

Quanto mais o ponto B se aproxima da curva do estado limite último menor é a

segurança da seção.

12.3.2 Interpretação do gráfico da figura 12.3:

Os resultados, obtidos para todos os pilares-exemplo através de cada processo, são

analisados por meio de gráficos relacionando as relações

Rd

totalSdM

M , do

processo com desacoplamento e do processo com acoplamento , conforme a figura

12.3. São determinadas as coordenadas dos pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ;

Mxd

Myd

O MRxx

MRyy

A

B

C Curva do Estado Limite Último

θ


XII - 12

para cada pilar. Com essas coordenadas identifica-se em que região do gráfico da

figura 12.3 o ponto P se localiza.

Figura 12.3 – Gráfico (MSd/Mud)d – (MSd/Mud)a

Região A1: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança

indicada pelo processo sem desacoplamento, mais exato, é menor que

a indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois

processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja

aRd

totalSd

dRd

totalSd

MM

MM

≤

,,

0,1, ≤

dRd

totalSd

M

M → MSd,total ≤ MRd → segurança maior que a real

0,1, ≤

aRd

totalSd

M

M → MSd,total ≤ MRd → segurança real

Portanto, neste caso, é indiferente a utilização do “processo com

desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um

se chega à mesma conclusão quanto à segurança do pilar, ou seja, com

ambos de atende as condições de segurança das normas. Entretanto, a

segurança indicada pelo processo com desacoplamento é exagerada,

maior que a indicada pelo processo com acoplamento das flexões (real).

Esta região é desaconselhada mas possível.

1,0

1,0

aud

SdM

M

A1

A2

C D

B

0

dud

SdM

M

Reta s


XII - 13

Região A2: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança

indicada pelo processo com acoplamento, mais exato, é maior que a

indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois

processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja

aRd

ftotalSd

dRd

totalSd

MM

MM

≥

,,

0,1, ≤

dRd

totalSd

M

M → MSd,total ≤ MRd → segurança

0,1, ≤

aRd

totalSd

M

M → MSd,total ≤ MRd → segurança

Portanto, neste caso também é indiferente a utilização do “processo com

desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um

se chega à mesma conclusão quanto ao pilar ter segurança de norma.

Esta é a região mais desejada para se obter resultados, já que, aqui

existe uma folga de segurança em relação ao processo mais exato. O

pilar tem mais segurança que o processo com desacoplamento indica.

Região B: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,final

> MRd pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, enquanto que,

pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, se tem MSd,final < MRd

dud

totalSd

aud

totalSd

M

M

M

M

≥

,,

0,1, >

aRd

finalSd

M

M → MSd,total > MRd → falta de segurança

0,1, ≤

dRd

finalSd

M

M → MSd,total ≤ MRd → segurança aparente mas não real

Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma

conclusão errônea de segurança para o pilar, o que seria perigoso.

Esta é uma região indesejável para se obter resultados nesta análise.


XII - 14

Região C: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,final >

MRd pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, enquanto que,

pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, se tem MSd,final < MRd

dRd

finalSd

aRd

finalSd

M

M

M

M

<

,,

0,1, <

aRd

finalSd

M

M → MSd,final < MRd → segurança

0,1, >

dRd

finalSd

M

M → MSd,final > MRd → insegurança

Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma

falsa conclusão de falta de segurança para o pilar. Levaria a descartar um

projeto de pilar que pelo processo mais exato poderia ser aproveitado.

Mas isso ficaria a favor da segurança embora contra a economia.

Esta é uma região preferível em relação à região B. Já que aqui o pilar

teria mais segurança que a indicada pelo cálculo.

Região D: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,total >

MRd pelos dois processos.

dRd

totalSd

aRd

totalSd

M

M

M

M

<

,, ou

dRd

totalSd

aRd

totalSd

M

M

M

M

>

,,

0,1, >

aRd

finalSd

M


0,1, >

dRd

finalSd

M


Neste caso é indiferente a utilização de um ou outro processo, já que, os

dois dariam a mesma informação de que o projeto do pilar deve ser

rejeitado.


XII - 15

A região mais desejada para se obter resultados nesta análise é a região A2. Em

segundo lugar a região C.

A mais indesejada é a região B.

Os resultados obtidos na região D podem ser descartados para uma análise

estatística dos resultados obtidos, já que. é indiferente o emprego de um ou outro

processo.

12.4. Resultados obtidos do processamento

Foram resolvidos 215.740 pilares pelos dois processos descritos no item anterior. As

quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.3

foram: Tabela 12.1: Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.2.

λ = 65 λ = 75 λ = 90 λ = 115 λ = 115b Totais

Região A1 ------- ------- ------- ------- -------

Região A2 66.322 25.232 13.057 11.902 6.112 122.625 (56,84%)

Região B ------- ------- ------- ------- ------- -------

Região C 1.740 775 22.044 2.733 1.754 29.046 (13,46%)

Região D 3.218 18.948 25.511 15.378 1.014 64.069 (29,70%)

Totais 71.280 44.955 60.612 30.013 8.880 215.740

Observa-se o expressivo número de casos na região A2. O excessivo número de

resultados encontrados na região D se deve ao fato de se ter considerado em muitos

casos a força normal solicitante ou o momento de 1ª ordem, muito altos. Mesmo

assim, da análise dos demais resultados, observa-se o expressivo número de casos

na região A2, que fornece uma conclusão a favor da segurança. É de se destacar na

análise a ausência de resultados nas regiões A1 e B.

12.5. Ilustração de algumas situações envolvidas na análise

São mostrados a seguir alguns exemplos de situações envolvidas na análise feita.

Destaca-se que, como foi mostrado acima, o “Nível de Solicitação” se refere à

relação MBd/MRd,ELU para a seção da base do pilar, onde MBd é o momento solicitante

de primeira ordem e MRd,ELU é o momento resistente do E.L.U. da seção para

determinada força normal e determinada inclinação do eixo de solicitação. A


XII - 16

inclinação θ, do eixo de solicitação, relaciona a proporção entre as flexões nas

direções x e y.

O exemplo 1 ilustra a seqüência utilizada para a obtenção dos resultados

quantificados na tabela 12.1.

Exemplo 1:

Determinação dos efeitos de segunda ordem de um pilar em balanço conforme a

figura 12.1, com a seqüência utilizada no processamento dos milhares de pilares que

forneceu os resultados analisados para se chegar à conclusão deste trabalho.

Dados considerados neste exemplo

Seção transversal retangular:

hy = 19 cm

hx = 48 cm

?y = 65 ? Le= 356,94 cm ? L = 178,47 cm

Armadura: 18 F 10 mm

As = 14,13 cm2 (ρ=1,55%)

nx = 6 e ny =1

c = 2,5 cm (cobrimento)

Solicitações: NSd = 0,6.NRd

Nível de solicitação NS = 0,5

(MT/MB)x = 0,5

(MT/MB)y = 0,5

? = 30 graus

Materiais:

Concreto: C20

fck = 20 MPa; ?c = 1,4; f = 0 (fluência)

Aço: CA 50 A

X

YX

hx=48

hy=19

MSBxd=0,5.MR xd

MSTxd=0,5.MSBxd

MSByd=0,5.MR yd

MSTyd=0,5.MSByd

Diagramas de momentos de 1ª ordem


XII - 17

fyk = 500 MPa; ?s = 1,15

s s,2%o = 420 MPa = 42 kN/cm2

Solução:

Força normal centrada resistente no E.L.U.

NRd = 0,85.fcd.hx.hy + As.s s,2%o

NRd = 0,85*(2,0/1,4)*48*19 + 14,13*42

NRd = 1.701 kN

Força normal solicitante:

NSd = 0,6*1701 = 1 .021 kN

Do programa se obteve para momentos resistentes do E.L.U., considerando a flexão

oblíqua composta, com θ = 30° (ver figura 12.4);

MRxd = 22,58 kN.m

MRyd = 39,20 kN.m

Os momentos solicitantes na base do pilar são:

MBxd = NS.MRxd = 0,5*22,58 = 11,29 kN.m

MByd = NS.MRyd = 0,5*39,20 = 19,60 kN.m

No topo do pilar os momentos solicitantes são:

MTxd = (MT/MB)x.MBxd = 0,5*11,29 = 5,65 kN.m

MTyd = (MT/MB)y.MByd = 0,5*19,60 = 9,80 kN.m

As forças horizontais a serem consideradas no topo são:

47,178565129.1 −

=−

=L

MMH TxdBxd

Txd HTxd = 3,16 kN

47,178980960.1 −

=−

=L

MMH TydByd

Tyd HTxd = 5,49 kN

Os momentos de 1ª ordem em uma seção genérica i, de ordenada zi (ver figura

12.1), são dados por:

MSxd,i = MTxd + HTxd.(L – zi)


XII - 18

MSyd,i = MTyd + HTyd.(L – zi)

MSxd,I = 11,29 + 3,16.zi

MSyd,I = 19,59 + 5,49.zi

Diagrama "Nd - Mxd - Myd"

-10,0

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

Figura 12.4 – Diagrama Nd-Mxd-My d para Nd = 1.021 kN. Obtenção dos

momentos MRxd e MRy d para θ = 30° e σc = 0,85.fcd.

a) Processo com desacoplamento

Momento resistente do E.L.U. para flexão normal composta na direção x, com NSd =

1.021 kN, do diagrama da figura 12.4:

θ = 90° → MRxx = 101,35 kN.m

Momento último para flexão normal composta na direção y, com NSd = 1.021 kN, do

diagrama da figura 12.4:

θ = 0° → MRyy = 41,47 kN.m

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção x:

kNNf

Sd 18,9281,11021

3==γ

cmkNmkNMf

Rxx .6,213.9.136,921,135,101

3===γ

MR xd=22,58

MR yd=39,20

θ=30°


XII - 19

413

3sec, 10

1004017,0.6,9213

)/1(.)( −

−−=== x

cmxcmkN

r

M

tgEIx

f

Rxx

xx

γβ (ver figura 12.5)

(EI)sec,xx = 22.936,90 kN.m2

Mxd - 1/rx

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200

1/rx (%o)

Mxd

(kN

.m)

GamaF3=1,0

GamaF3=1,1

Reta MRd/GamaF3

Rigidez secante

Figura 12.5 – Diagrama momento-curvatura para a direção x.

Obtenção da rigidez secante.

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção y:

kNNf

Sd 18,9281,11021

3==γ

cmkNmkNM

f

Ryy .770.3.700,371,147,41

3===γ

413

3sec, 10.

1010228,0.3770

)/1(.)( −

−−===cmx

cmkNr

M

tgEIy

f

Ryy

yy

γβ (ver figura 12.6)

(EI)sec,yy = 3.686,01 kN.m2

Essas rigidezes são utilizadas para determinação das curvaturas no processo com

desacoplamento das flexões. As curvaturas são obtidas dos momentos fletores

solicitantes em cada seção por:

xx

iSxd

ix EIM

r sec,

,

, )(1

=

Muxx/γf3=92,14

β 1/rx=0,04017%o


XII - 20

yy

iSyd

iy EI

M

r sec,

,

, )(1

=

Myd - 1/ry

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000

1/ry (%o)

Myd

(kN

.m)

GamaF3=1.0

GamaF3=1.1

Reta MRd/GamaF3

Rigidez Secante

Figura 12.6 – Diagrama momento-curvatura para a direção y.

Obtenção da rigidez secante.

Na tabela 12.1 estão os momentos de 1ª ordem e as curvaturas, rotações e

deslocamentos da 1ª iteração.

É de se destacar que nas tabelas 12.2 e 12.3 as rigidezes secantes (EI)sec,xx e

(EI)sec,yy têm sempre o mesmo valor.

Tabela 12.2: Momentos de 1ª ordem divididos por γf 3 = 1,1 e curvaturas, rotações e deslocamentos da 1ª iteração.

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)

Iteração: 17 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00060 0,00646 0,059 0,6386 598,82 1039,34 2,29E+08 3,69E+07 2,61E-06 2,82E-05 0,00053 0,00568 0,042 0,4585 684,37 1187,81 2,29E+08 3,69E+07 2,99E-06 3,22E-05 0,00044 0,00479 0,028 0,3024 769,91 1336,29 2,29E+08 3,69E+07 3,36E-06 3,63E-05 0,00035 0,00377 0,016 0,1753 855,46 1484,77 2,29E+08 3,69E+07 3,74E-06 4,03E-05 0,00024 0,00263 0,007 0,0802 941,00 1633,24 2,29E+08 3,69E+07 4,11E-06 4,43E-05 0,00013 0,00138 0,002 0,0201 1026,55 1781,72 2,29E+08 3,69E+07 4,48E-06 4,83E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000

Tabela 12.3: Momentos divididos por γf 3 = 1,1, curvaturas, rotações e deslocamentos das iterações seguintes.



Muyy/γf3=37,70

β

1/rx=0,10228%o

MRyy


XII - 21












XII - 22

Linha Elástica

1

2

3

4

5

6

7

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ay (cm)

Seç

ões

Figura 12.7 – Linha elástica do pilar com a consideração do

desacoplamento. Deslocamentos na direção y.

A seção com maior deslocamento é a seção do topo.

A seção mais solicitada é a da base, onde os momentos finais (1ª ordem mais 2ª

ordem) são

MSxd = 1,1 x 1.084,50 = 1.193 kN.cm

MSyd = 1,1 x 2.656,27 = 2.922 kN.cm

cmkNM Sd .156.3922.2193.1 22 =+=

°== 21,22922.2193.1

.tgarcθ

Para esse valor de θ e NSd = 1021 kN, os momentos resistentes no E.L.U.são

MRxd = 1.653 kN.cm

MRyd = 4.018 kN.cm

cmkNM Rd .345.4018.4653.1 22 =+=

Portanto


XII - 23

727,0345.4158.3

==

dRd

Sd

MM

(com desacoplamento)

b) Processo sem desacoplamento

A determinação das curvaturas é feita considerando a ação simultânea das flexões

nas direções x e y. Essas curvaturas são obtidas do gráfico da figura 12.8 (ver item

8.2).

Cada par de momentos solicitantes (MSxd; MSyd) define uma direção do eixo de

solicitação )(.Syd

SxdM

Mtgarc=θ . Para esse θ encontra-se o ponto D do diagrama da

figura 12.8. As coordenadas desse ponto são os momentos resistente no estado

limite último, divididos por γf3 = 1,1, ou seja,

≡

33

;f

uyd

f

uxdMM

Dγγ

. A esses momentos

correspondem as curvaturas ( )θxELUr ,

1 e ( )θyELUr ,

1 .

0

10

20

30

40

50

60

0 25 50 75 100 125 150

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

E.L.U.

Kcurv=0.9

Kcurv=0.8

Kcurv=0.7

Kcurv=0.6

Kcurv=0.5

Kcurv=0.4

Kcurv=0.3

Kcurv=0.2

Kcurv=0.1

Alfa=0

Alfa=10

Alfa=20

Alfa=30

Alfa=40

Alfa=50

Alfa=60

Alfa=70

Alfa=80

Alfa=90

Figura 12.8 – Diagrama “Nd – My d – Mxd – a – Kcurv”, para Nd = NSd/γf 3 = 928,18 kN e σc = 1,1.fcd

D

θ

C

Kcurv

MSyd

MSxd


XII - 24

As curvaturas para o par de momentos solicitantes são obtidas de

( )θ

θxELUi

iSxd

ix rKcurv

M

r,

,

, 1.)(

1=

( )θ

θyELUi

iSyd

iy rKcurv

M

r,

,

, 1.)(

1=

Na tabela 12.3 estão os resultados obtidos considerando a flexão oblíqua composta.

É de se destacar que as rigidezes são variáveis e determinadas para cada par de

valores (MSxd, MSyd). Na determinação das curvaturas é onde se tem o maior

trabalho ou o maior tempo de processamento. As rigidezes são obtidas de

( ) ( )ix

ixdix

r

MEI

,

,, 1

θ

θ =

( ) ( )iy

iydiy

r

MEI

,

,, 1

θ

θ =

Tabela 12.3: Processo b – Rigidez pontual. Momentos divididos por γf 3 = 1,1.

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)







XII - 25









Linha Elástica

1

2

3

4

5

6

7

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ay (cm)

Seç

ões

Figura 12.9: Linha elástica do pilar sem a consideração do

desacoplamento.


XII - 26

A figura 12.9 mostra os deslocamentos na direção y.

Na figura 12.10 é mostrado o diagrama momento-curvatura para a direção y

considerando diversos valores do momento na direção x, além da reta que

representa a rigidez secante.

Daquela figura observa-se que todas as curvas são superiores à reta da rigidez

secante. De modo que se tem sempre as curvaturas obtidas das curvas, menores

que as obtidas com a reta da rigidez secante. O que justifica terem resultado

menores os deslocamentos e conseqüentemente os momentos fletores com o

processo sem desacoplamento que considera as curvaturas obtidas das curvas

momento-curvatura.

A seção mais solicitada é a da base do pilar. Os momentos finais (1ª ordem mais 2ª

ordem) são

MSxd = 1,1 x 1.079,26 = 1.187 kN.cm

MSyd = 1,1 x 2.546,50 = 2.801 kN.cm

cmkNM Sd .042.3801.2187.1 22 =+=

°== 966,22801.2187.1

.tgarcθ

Para esse valor de θ e NSd = 1021 kN, os momentos resistentes do E.L.U. são

MRxd = 1.706 kN.cm

MRyd = 4.012 kN.cm

cmkNM Rd .360.4012.4706.1 22 =+=

Portanto

698,0360.4042.3

==

aRd

Sd

MM

(sem desacoplamento)


XII - 27

Momento Curvatura - Nd=1021 kN

0

10

20

30

40

50

60

70

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

1/ry (1/1000cm)

My

(kN

.m)

GamaF3=1,0Mx=0Mx=5,50 kN.mMx=7,15 kN.mMx=8,80 kN.mMx=10,45 kN.mMx=12,1 kN.mMRyd/Gamaf3Rigidez secante

Figura 12.10 – Diagrama momento curvatura para Nd = 1.021kN.

Na figura 12.11 o ponto P tem as coordenadas:

[ ]727,0;698,0; =

≡

dRd

Sd

aRd

Sd

MM

MM

P

que corresponde à região A2.

Figura 12.11 – Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P para o exemplo 1.

Os resultados obtidos estão destacados abaixo. A seção mais solicitada é a seção

da base. O processo com desacoplamento fornece resultados pouco maiores, a

favor da segurança.

1,0 1,05

1,0

aRd

SdM

M

A1

A2

C D

B1 B2

0

Reta s 0,727

0,698

P

dRd

SdM

M


XII - 28

Processo com desacoplamento

Processo sem desacoplamento

ax (cm) 0,062 0,057 ay (cm) 0,943 0,824

Mxd,total (kN.m) 10,85*1,1=11,94 10,79*1,1 = 11,87 Myd,total (kN.m) 26,56*1,1=29,22 25,47*1,1 = 28,02

Para os dois processos os momentos fletores da direção x variam entre 5,13kN.m e

10,85 kN.m.

Na figura 12.10 as curvas correspondentes aos valores utilizados de Mxd

praticamente se sobrepõem. Na figura 12.12, esquemática, destaca-se o ponto de

intersecção de uma curva com a reta que define a rigidez secante – ponto A.

Figura 12.12 – Diagrama momento-curvatura esquemático.

No trecho OA a rigidez secante é menor que a obtida da curva OAB. No thecho AB a rigidez

secante é maior que a obtida da curva OAB.

Exemplo 2:

Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de

esbeltez baixo .

Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)

Aço: CA-50; γc = 1,15

Seção retangular: hx = 25 cm e hy = 19 cm

Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; As = 3,14 cm2; ρ = 0,66%.

Pilar: λ = 65 → Le = 356,94 cm

L = 0,5.Le = 178,47 cm

Força normal centrada resistente do E.L.U.:

NRd = 0,85x(2,0/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN


A B

Mxd>0

Mxd=0

1/ry

My

Muyd/γf3

Muyd,A

(1/ry)A O

Reta da rigidez secante


XII - 29

NSd,mín = 0,4.NRd = 283,466 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 425,200 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 566,933 kN

A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ =

15 graus.

Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;

Ou seja para a seção da base: MSd,mín = 0,2.MRd

MSd,méd = 0,5.MRd

MSd,máx = 0,8.MRd

Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal

solicitante e à inclinação θ considerados.

Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:

A figura 12.13 mostra os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; obtidos para as

diversas solicitações.

As curvas da figura 12.14 foram obtidas com

Nd = NSd/γf3 = 283,466/1,1 = 257,70 kN

e σc = 1,1.fcd em lugar de σc = 0,85.fcd.

A rigidez secante, para a seção deste exemplo, é (da figura 12.9):

2413sec, .52,110210.

101746,0.1925

)( mkNcmx

cmkNEI yy == −

−−

A curvatura que corresponde à intersecção da curva para Mxd = 21 kN.m com a reta

da rigidez secante é

1/ry = 0,1052%o cm-1 = 0,01052 m-1

MT = 0

MB

MT=0,5.MB

MB

MT = 1,0.MB

MB

0=

mínB

TM

M 5,0=

médB

TM

M 0,1=

máxB

TM

M

Nd

MT

HT


XII - 30

Seção 25x19 - 4 fi 10 mm

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd)

d

Figura 12.13 – Exemplo 2. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização

do ponto P. Número de pontos = 405.

Momento-Curvatura - Nd=283,466 kN

0

5

10

15

20

25

30

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0

Mx=3,5

Mx=7,0

Mx=10,5Mx=14,0

Mx=17,5

Mx=21,0

MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 12.14 – Exemplo 2. Diagrama momento-curvatura para Nd =

0,4.Nud e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muy d = 21,27 kN.m.

Nível de solicitação = 0,8 135 pontos



MRyd /Gamaf3=19,25

Mxd/γf3 = 21,00/1,1=19,09 kN.m Myd/γf3 = 11,60 kN.m

11,60

0,1052 0,1746

A2

A1 B

C

D


XII - 31

O momento correspondente vale

Myd = (EI)sec,yy.(1/ry)

Myd = 1102,52 x 0,01052 = 11,60 kN.m (ver figura 12.14)

Esse momento deve ser corrigido pelo fator γf3 = 1,1

MSyd = 11,60 x 1,1 = 12,76 kN.m

Para esse par de momentos (MSxd = 21 kN.m; MSyd = 12,76 kN.m) se tem

θ = arc.tg (21,00/12,76) = 58,72°.

Para NSd=283,466 kN

e θ = 58,72°

resultam MRxd = 18,68 kN.m

e MRyd = 11,33 kN.m.

Para essa situação se tem um nível de solicitação

124,133,1176,12

===Ryd

Syd

M

MNS

Tendo em vista o gráfico da figura 12.13, conclui-se que para esse nível de solicita-

ção o ponto

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; certamente estará na região D.

Raciocínio idêntico se pode fazer para os outros pontos de intersecção das curvas

da figura 12.14 com a reta que define a rigidez secante. A tabela 12.4 resume esse

cálculo. Desse modo, os trechos úteis das curvas da figura 12.14 são os que estão

acima da reta que define a rigidez secante. Curvas superiores implicam em maiores

rigidezes. Portanto, a rigidez secante é sempre inferior às rigidezes que se obtém

considerando as curvas do diagrama momento-curvatura. E onde isso não acontece

os dois processos indicarão falta de segurança do pilar. Assim, fica entendido por

que os deslocamentos, e conseqüentemente os momentos fletores, obtidos com o

processo da rigidez secante são maiores que os obtidos com as curvas momento-

curvatura.

A figura 12.13 mostra que utilizar a rigidez secante da flexão normal composta para

o cálculo dos efeitos de 2ª ordem fica a favor da segurança e a figura 12.14 e a

tabela 12.4 mostram o porque.

A análise deste exemplo e tendo em vista ainda, os exemplos mostrados a seguir e

os milhares de pilares processados, confirmam o objetivo deste trabalho.


XII - 32

Tabela 12.4: Exemplo 2. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.14.

Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75

Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33

NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124

Exemplo 3:

Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice

de esbeltez baixo.


Aço: CA-50; γc = 1,15

Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm

Armadura: 16 φ 10 mm; nx = 6; ny = 0; As = 12,56 cm2

c= 2,5 cm; ρ = 1,368%.

Pilar: λ = 65 → Le = 356,94 cm

L = 0,5.Le = 178,47 cm


NRd = 0,85x(2,0/1,4)x48,33x19 + 12,56x42 = 1.642,56 kN


NSd,mín = 0,4.NRd = 657,02 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 985,54 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 1.314,05 kN

A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.


Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd

MSd,méd = 0,5.MRd

MSd,máx = 0,8.MRd




XII - 33


As figuras 12.15 a 12.18 mostram os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; obtidos

para as diversas solicitações.

Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0

0,5

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)d


do ponto. Número de pontos = 405.



Nível de solicitação = 0,8. 135 pontos

MT = 0

MB

MT=0,5.MB

MB

MT = 1,0.MB

MB

0=

mínB

TM

M 5,0=

médB

TM

M 0,1=

máxB

TM

M

Nd

MT

HT

A2

A1


XII - 34

Teta = 15 graus

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd)

d

Figura 12.16 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P, com θ = 15 graus.

Teta = 45 graus

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd)

d


do ponto P com θ = 45 graus.

A2

A1

A2

A1


XII - 35

Teta = 75 graus

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)d


do ponto P com θ = 75 graus.


0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0Mx=12,5

Mx=25,0Mx=37,5Mx=50,0Mx=62,5

Mx=75,0MRd/GamaF3Rig Sec

Figura 12.19 – Exemplo 3. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud

e γf 3 = 1,1.

Tabela 12.5 – Exemplo 3.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.19.

Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75

Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33

NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124

A1

A2


XII - 36

Os pontos das curvas momento-curvatura abaixo da reta da rigidez secante

correspondem a níveis de solicitação acima de 1,0. Para esses níveis de solicitação

se obtém pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; nas região C ou D como pode ser

observado na figura 12.15. Portanto, de novo se conclui que utilizar a rigidez secante

da flexão normal composta para obtenção dos efeitos de 2ª ordem sempre fica a

favor da segurança.

Na figura 12.15 se pode observar que quando se aumenta o nível de solicitação

(NS=MSd/MRd) os pontos P se deslocam em direção à região D dos gráficos

(MSd/MRd)d-(MSd/MRd)a.

Exemplo 4:

Seção com relação hx/hy = 5, quantidade alta de armadura e índice de esbeltez

baixo.


Aço: CA-50; γc = 1,15


Armadura: 46 φ 16 mm; nx = 20; ny = 1

c= 3,5 cm; ρ = 5,35%.

Pilar: λ = 75 → Le = 411,85 cm

L = 205,92 cm


NRd = 0,85x(2,5/1,4)x95x19 + 92x42 = 6.603,73 kN


NSd,mín = 0,4.NRd = 2.641,49 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 3.962,24 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 5.282,99 kN

A inclinação θ foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.



MSd,méd = 0,5.MRd


XII - 37

MSd,máx = 0,8.MRd




As figuras 12.20 a 12.23 mostram os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; obtidos

para as diversas solicitações.


0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)d

Figura 12.20 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos

pontos P.

Nas figuras 12.21, 12.22 e 12.23 são mostrados os pontos P para força normal

solicitante igual a 0,4NRd, 0,6NRd e 0,8NRd respectivamente.

C

A2

A B

D

MT = 0

MB

MT=0,5.MB

MB

MT = 1,0.MB

MB

0=

mínB

TM

M 5,0=

médB

TM

M 0,1=

máxB

TM

M

Nd

MT

HT


XII - 38

Nd = 0,4.Nud = 2431 kN

0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)d

Figura 12.21 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,4.Nud.

Nd = 0,6.Nud = 3646 kN

0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd)

a

Figura 12.22 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,6.NRd.

A1 B

A2

C

D

Nível de solicitação = 0,2



Nivel de solicitação = 0,2



A2

A1

C D

B


XII - 39

Nd = 0,8.Nud = 4.861 kN

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)a

Figura 12.23 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,8.NRd.

Para a força normal solicitante NSd = 0,6.Nud = 3646 kN na flexão normal composta

na direção x se tem para momento fletor resistente do E.L.U. MRxd = 694 kN.m. A

figura12.24 apresenta o diagrama momento-curvatura para valores de MSxd

compatíveis com esse limite e a tabela 12.6 mostra os valores dos níveis de

solicitação (NS) correspondentes aos pontos de intersecção das curvas para os

diversos Mxd com a reta que define a rigidez secante.

Momento-Curvatura - Nd=3646 kN

02040

6080

100120140

160180200

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0

Mx=75,0

Mx=150,0

Mx=225,0Mx=300,0

Mx=375,0

Mx=450,0

MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 12.24 – Exemplo 4. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muyd = 135,46 kN.m.


XII - 40

Tabela 12.6: Exemplo 4.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.24. Mx (kN.m)= 0,00 75,00 150,00 225,00 300,00 375,00 450,00

1/ry = 1,320E-01 1,317E-01 1,278E-01 1,212E-01 1,117E-01 9,912E-02 8,206E-02My = 134,42 134,16 130,17 123,46 113,76 100,94 83,57

Teta = 0,00 29,24 49,08 61,29 69,28 74,99 79,50Muxd = 0,00 74,97 146,42 214,91 283,66 355,46 432,80Muyd = 135,42 133,94 126,92 117,69 107,28 95,31 80,25

NS = 1,000 1,001 1,025 1,047 1,058 1,055 1,040

Todos os níveis de solicitação da tabela 12.6 resultaram acima de 1,0. As figuras

12.20 a 12.23 mostram que para níveis de solicitação acima desse valor os pontos P

caem na região D onde, como já foi mostrado, é indiferente o uso dos processo com

ou sem desacoplamento. Portanto, o fato das curvas correspondentes a Mxd = 75 a

450 kN.m possuírem um trecho abaixo da reta da rigidez secante não contradiz a

tese aqui defendida. Ou seja, este exemplo também confirma a tese de que o

desacoplamento das flexões, no cálculo dos efeitos de 2ª ordem com a rigidez

secante é possível e a favor da segurança.

Como a parte útil das curvas do diagrama momento-curvatura é superior à reta da

rigidez secante os pontos P sempre estarão acima da reta s da figura 12.2 ou na

região D.

Exemplo 5:

Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de

esbeltez médio.


Aço: CA-50; γc = 1,15


Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; ρ = 0,66%.

Pilar: λ = 90 → Le = 494,22 cm

L = 247,11 cm

Força normal centrata resistente do E.L.U.:

NRd = 0,85x(2/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN


NSd,mín = 0,4.NRd = 283,47 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 425,20 kN


XII - 41

NSd,máx = 0,8.NRd = 566,93 kN

A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ =

15 graus.



MSd,méd = 0,5.MRd

MSd,máx = 0,8.MRd

Sendo MRd o momento último correspondente à força normal solicitante e à

inclinação θ considerados.



≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM




0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)d

Figura 12.25 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P.

MT = 0

MB

MT=0,5.MB

MB

MT = 1,0.MB

MB

0=

mínB

TM

M 5,0=

médB

TM

M 0,1=

máxB

TM

M

Nd

MT

HT

A2

A1

D C

B2

NS = 0,5 NS = 0,8

NS = 0,2


XII - 42


0

5

10

15

20

25

30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)Mx=0,0Mx=3,5

Mx=7,0Mx=10,5

Mx=14,0Mx=17,5

Mx=21,0MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 12.26 – Exemplo 5. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muyd = 21,17 kN.m.

Tabela 12.7 – Exemplo 5.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.26.

Mx (kN.m)= 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75

Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33

NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124

Exemplo 6:

Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice

de esbeltez alto .

Concreto: C25, γc = 1,4; ϕ = 1,5 (fluência)

Aço: CA-50; γc = 1,15

Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm


c= 2,5 cm; ρ = 1,368%.

Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm

L = 315,75 cm

A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste

trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a

tensão no concreto para deformação de 2%o é


XII - 43

])0,2)5,11(

0,21(1[)4,1/5,2(85,0 2

xxxc +

−−=σ

σc = 0,971 kN/cm2


NRd = hx.hy.σc + As.σs2%o

NRd = 48,33x19x0,971+ 12,56x42

NRd = 1.419,16 kN


NSd,mín = 0,1.NRd = 141,92 kN

NSd,máx = 0,3.NRd = 425,75 kN


Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,3.

Ou seja, para a seção da base foi feito:

MSd,mín = 0,1.MRd

MSd,máx = 0,3.MRd




Para esbeltez λ = 115, as ações sobre o pilar têm que ser menores que as

consideradas nos exemplos anteriores, já que, com aquelas ações os pilares aqui se

mostram sempre instáveis, com os pontos P caindo na região D da figura 12.27.

Para se obter pontos nas regiões A1, A2, B ou C foram consideradas ações

relativamente menores que nos exemplos anteriores.

MB

MT=0,4.MB

MB

1,0=

mínB

TM

M 4,0=

médB

TM

M

Nd

MT

HT

MT=0,1.MB


XII - 44


≡

dud

Sd

aud

SdM

MM



Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd)

d


dos pontos P.

A figura 12.28 mostra o diagrama momento-curvatura para a direção y, para a força

normal solicitante Nd = 425,75 kN e diversos valores para Mxd.


0

10

20

30

40

50

60

70

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1/ry (1000/cm)

MS

yd (k

N.m

)

Mx=0,0 Mx=15,0 Mx=30,0Mx=45,0 Mx=60,0 Mx=75,0Mx=90,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

Figura 12.28 – Exemplo 6. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.NRd

e γf 3 = 1,1.

A1

A2

C1

B

D


XII - 45

Na tabela 12.8 estão mostrados os níveis de solicitação correspondentes aos pontos

de intersecção das curvas da figura 12.28 com a reta da rigidez secante. Mais uma

vez fica evidente que os pilares só poderão estar solicitados por momentos que

correspondam a pontos das curvas da figura 12.28 entre a origem (Mxd = 0; Myd=0)

e os pontos de cruzamento com a reta da rigidez secante. Além desse ponto com

certeza não, já que, para níveis de solicitação além daqueles da tabela 12.8 o pilar

se mostraria instável (pontos P na região D).

Tabela 12.8 – Exemplo 6. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento


1/ry = 2,617E-01 2,599E-01 2,461E-01 2,277E-01 2,011E-01 1,674E-01 1,181E-01My = 57,80 57,40 54,36 50,30 44,41 36,97 26,08

Teta = 0,00 14,61 28,90 41,83 53,50 63,78 73,85MRxd = 0,00 13,71 26,06 37,57 49,49 62,38 78,45MRyd = 57,82 52,62 47,20 41,97 36,61 30,72 22,72

NS = 1,000 1,091 1,152 1,198 1,213 1,203 1,147

Da observação da figura 12.27 percebe-se que o coeficiente de segurança obtido

com o emprego do processo com desacoplamento é bem menor que o obtido com a

consideração das curvas do diagrama momento-curvatura. Dessa forma, para

pilares em balanço com índices de esbeltez superiores a 90, quando se passa a

considerar a fluência do concreto, é recomendada a utilização do processo mais

exato, com a consideração das curvas do diagrama momento -curvatura. Não por

questão de segurança mas por questão econômica, já que, para muitos pilares a

utilização da rigidez secante com desacoplamento levaria a conclusão do pilar não

ter segurança de norma (região C da figura 12.27), enquanto que, utilizando o

processo mais exato se concluiria que o pilar teria segurança satisfatória. Mas

utilizando o processo com desacoplamento das flexões se está a favor da

segurança.

Exemplo 7:

Seção com relação hx/hy = 5, com uma quantidade alta de armadura e índice de

esbeltez alto.


Aço: CA-50; γc = 1,15


XII - 46



c= 3,5 cm; ρ = 5,35%.

Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm

L = 315,75 cm

A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste

trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a

tensão no concreto para deformação de 2%o é

])0,2)5,11(

0,21(1[)4,1/5,2(85,0 2

xxxc +

−−=σ

σc = 0,971 kN/cm2


NRd = 95x19x0,971+ 92,0x42

NRd = 5.617 kN


NSd,mín = 0,1.NRd = 562 kN

NSd,máx = 0,3.NRd = 1.685 kN


Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,3.

Ou seja para a seção da base:

MSd,mín = 0,1.MRd

MSd,máx = 0,3.MRd

Sendo MRd o momento último correspondente à força normal solicitante e à

inclinação θ considerados.


MB

MT=0,4.MB

MB

1,0=

mínB

TM

M 4,0=

médB

TM

M

Nd

MT

HT

MT=0,1.MB


XII - 47


≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM




0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2

(MSd/MRd)a

(MS

d/M

Rd

)d

Figura 12.29 – Exemplo 7. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P.


0

50

100

150

200

250

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0 Mx=100,0 Mx=200,0Mx=300,0 Mx=400,0 Mx=500,0Mx=600,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

Figura 12.30 – Exemplo 10. Diagrama momento-curvatura para Nd =

0,6.Nud e γf 3 = 1,1.


XII - 48

Na tabela 12.9 estão mostrados os níveis de solicitação correspondentes aos pontos

de intersecção das curvas da figura 12.30 com a reta da rigidez secante. Mais uma

vez fica evidente que os pilares só poderão estar solicitados por momentos que

correspondam a pontos das curvas da figura 12.30 entre a origem (Mxd = 0; Myd=0)

e os pontos de cruzamento com a reta da rigidez secante. Além desses pontos com

certeza não, já que, para níveis de solicitação além daqueles da tabela 12.9 o pilar

se mostraria instável (pontos P nas regiões C ou D).

Tabela 12.9 – Exemplo 7. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento


1/ry = 2,669E-01 2,656E-01 2,611E-01 2,468E-01 2,276E-01 2,037E-01 1,721E-01My = 205,52 204,48 201,01 190,01 175,24 156,85 132,51

Teta = 0,00 26,07 44,90 57,69 66,38 72,64 77,60Muxd = 0,00 92,75 173,43 251,46 329,43 410,76 502,83Muyd = 205,55 189,58 174,06 159,03 144,05 128,42 110,56

NS = 1,000 1,079 1,154 1,194 1,215 1,218 1,193

Nível de solicitação maior que 1,0 implica em se considerar para momento solicitante de 1ª

ordem na base do pilar valor maior que o momento resistente do E.L.U.

0,1>=Rd

Bd

MM

NS → MBd > MRd

CAPÍTULO XII – ANÁLISE DE PILARES EM BALANÇO

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