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VI.1
CAPÍTULO VI: HIDRODINÂMICA
Aula 01
Equação de Euler
Hipóteses Simplificadoras para a dedução da Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Significado dos termos da Equação de Bernoulli
Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli
Potência da Corrente
Aplicações imediatas da Equação de Bernoulli
Exercícios
VI.2
6.1 - Conceituação
Hidrodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento das partículas
fluidas levando em consideração as forças intervenientes em tais movimentos.
6.2 - Objetivo
Determinação da Equação de Euler (equação 6.1) e da Equação de Bernoulli (equação 6.2) para
os fluidos ideais.
0=dZ+g
VdV+
γ
dp (6.1)
22
222
12
211 Z
g
VpZ
g
Vp
constante (6.2)
VI.3
6.3 - Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente
A equação de Euler resulta da aplicação da 2ª Lei de Newton ao movimento de partículas
fluidas em escoamento.
Relaciona a pressão, a velocidade e a posição de uma partícula em movimento ao longo de uma
linha de corrente, em uma única equação analítica.
6.3.1 - Dedução da Equação de Euller
Para a dedução da equação de Euller aplica-se a Segunda Lei do Movimento de Newton que,
para o caso específico do tubo de corrente da Figura 6.1, basta se perceber que Numa linha de
corrente de fluido em movimento o somatório das forças de contato, com as forças de campo - ou
gravitacionais - deve igualar-se às forças inerciais agindo na partícula em movimento na própria
linha de corrente.
Observação: as forças inerciais são as relacionadas ao movimento da partícula, podendo retardar ou
acelerar o movimento, de acordo com as oscilações na magnitude das velocidades. Essas forças
podem ser estimadas pela Segunda Lei de Newton do movimento, ou seja:
dt
VddmFd
(6.3)
VI.4
Em um escoamento permanente e unidimensional (Figura 6.1), considere um filamento de
corrente BC, de comprimento elementar dl.
No prisma elementar da Figura 6.1, aplicando a Segunda
Lei do Movimento de Newton, tem-se:
sendWdAdPPPdAdLdt
dVdA ... (6.4)
Ou após desenvolver a equação 6.4:
0 dZdP
gVdV
(6.5)
Figura 6.1 – Representação de um tubo de corrente de dimensões elementares usado para deduzir a equação de Euler.
dA : área da seção transversal em 1 e 2;
P : pressão unitária em 1;
dpP : pressão unitária em 2;
Z : cota do ponto 1;
dZZ : cota do ponto 2;
ângulo entre a linha de corrente [1-2] e o plano horizontal;
dW : peso do prisma elementar;
dL : comprimento do prisma elementar;
: peso específico do fluido.
VI.5
6.4 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais
Na dedução da equação de Bernoulli para os fluidos ideais, as seguintes hipóteses devem ser
consideradas:
i. O escoamento do fluido se faz sem atrito, não sendo consideradas as ações da viscosidade.
ii. O escoamento é permanente.
iii. O escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente de dimensões infinitesimais.
iv. O fluido é incompressível.
Para se chegar a equação de Bernoulli, basta integrar a Equação de Euller entre dois pontos
subseqüentes de uma linha de corrente do escoamento.
Figura 6.2 – Linha de corrente isolada de um escoamento qualquer para dedução da equação de Bernoulli.
VI.6
0γ
dPdZ
g
VdV2
Z
1Z
2P
1P
2V
1V (6.6)
A equação 6.7 traduz o Princípio de Conservação da Energia, para fluidos em movimento, cujo
teorema atribui-se a Daniel Bernoulli (1700-1782) e pode ser assim enunciado:
“Ao longo de uma linha de corrente é constante a soma das energias cinética,
piezométrica e geométrica ou potencial.”
Aspecto relevante: é importante destacar que cada um dos termos da equação de Bernoulli
representa uma forma da energia. Normalmente, atribui-se também a esses termos a denominação de
carga (com dimensão de comprimento).
P
: Energia piezométrica ou de pressão ou carga de pressão
g
V
2
2 : Energia cinética ou de velocidade ou carga dinâmica
Z : Energia de posição, ou potencial ou carga geométrica ou de posição
CteZP
g
VZ
P
g
V
2
2
2
2
1
1
2
1
22
(6.7)
VI.7
6.4.1 - Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais
Figura 6.8: representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais.
VI.8
6.4.2 – Aplicações Imediatas da Equação de Bernoulli
São aplicações que, de forma simples, possibilita calcular a
velocidade e a vazão. Nessas aplicações a característica marcante é
que a velocidade (ou a vazão) é obtida indiretamente através de
uma grandeza mensurável
6.4.2.1.Principais Aplicações
i) Princípio de Torriceli: )(hfV
ii) Tubo de Pitot/Prandtl: fV (Pressão de Estagnação - Pressão
Estática)
iii) Tubo de Venturi: fV (Pressão Estática)
VI.12
DIFERENÇAS E SEMELHANÇAS ENTRE OS PRINCIPAIS INSTRUMENTOS
DE MEDIÇÕES DE VELOCIDADES PITOT
VELOCIDADE DADA PELA DIFERENÇA ENTRE A PRESSÃO ESTÁTICA E UMA DE
STAGNAÇÃO
MEDE A VELOCIDADE EM CADA LINHA DE CORRENTE DO ESCOAMENTO
TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE
POSSIBILITA MEDIR A VELOCIDADE MÉDIA E A MÁXIMA DO ESCOAMENTO
FAZ-SE NECESSÁRIO DOIS FUROS NA TUBULAÇÃO PARA A TOMADA DE PRESSÕES
GERA MENOR TURBULÊNCIA E MENOR PERDA SE COMPARADA AO VENTURI
É MAIS INDICADO PARA CONDUTOS FORÇADOS
PRANDTL
O PRINCIPIO FÍSICO É O MESMO. DIFERE APENAS NA TOMADA DE PRESSÕES
A EQUAÇÃO ANALÍTICA É A MESMO QUE SE USA PARA O PITOT
VENTURI A VELOCIDADE É DADA POR UMA DIFERENÇA DE PRESSÃO ESTÁTICA
FORNECE APENAS A VELOCIDADE MÉDIA
NÃO TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE
NÃO FORNECE A VELOCIDADE MÁXIMA
PROMOVE MAIOR PERDA DE CARGA
TEM APLICAÇÕES MAIS ABRANGENTES – CONDUTOS LIVRES OU FORÇADOS.
VI.16
Exemplo 3 Um fluido escoa em regime permanente pelo conduto da Figura 7.1. Considerando que
todas as perdas do escoamento são iguais a 25% da energia cinética do jato na seção de
diâmetro maior, determine: a carga cinética na seção de diâmetro menor. Na seção maior
o diâmetro é D e na menor o diâmetro vale d. Considere o fluido incompressível e o
escoamento permanente. São dados: dro/dr = 2,0; d/D = 0,84; H = 0,6266 m. dados:
dr-densidade relativa do fluido transeunte; dro – densidade relativa do fluido
manométrico.