3 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

CAPÍTULO 1

CARACTERÍSTICAS DEL NIOBATO DE LITIO

INTRODUCCIÓN.

En este capítulo se mencionan las características y propiedades del Niobato de Litio

(LiNbO3), ya que es un cristal que modifica sus características ópticas cuando se le aplica

un campo eléctrico, dando lugar a la realización de dispositivos en tecnología de óptica

integrada (p. ej. moduladores).

Se define la propagación de una onda en un medio dieléctrico, además de estudiar la

ecuación de Fresnel obtenida cuando dicha onda incide en un cristal de Niobato de Litio, la

cual permite calcular el índice de refracción en cualquier dirección de propagación dentro

del LiNbO3.

Además, se describe cómo los ejes del Niobato de Litio dependen de la simetría y

del arreglo atómico de dicho cristal y que sus índices de refracción definen dos tipos de

propagación para una onda luminosa que incide en el LiNbO3.

4 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Se presenta la forma en que se efectúa la modulación de luz (fase, amplitud e

intensidad) utilizando el efecto electro-óptico del cristal Niobato de Litio, mediante una

variación en los índices de refracción al aplicar un voltaje.

1.1. ANISOTROPÍA DEL LiNbO3.

La principal característica en este tipo de cristal es la anisotropía. Las propiedades

ópticas del Niobato de Litio no son las mismas en cualquier dirección, por lo tanto, este

material es un cristal anisotrópico. Su permitividad relativa y su índice de refracción

dependen de las direcciones asociadas a los ejes del cristal. Los cristales anisotrópicos, en

base a su tipo de simetría, se dividen en uniaxiales y biaxiales, es decir, pueden tener uno o

dos ejes ópticos. En los cristales uniaxiales se observa el fenómeno de doble refracción o

birrefringencia. El LiNbO3 es un cristal uniaxial presentando en consecuencia

birrefringencia.

La birrefringencia se manifiesta cuando un rayo de luz incide sobre la superficie de

un cristal anisotrópico desdoblándose en dos rayos refractados, como se muestra en la

Figura 1.1.

Figura 1.1. Dos rayos refractados en un cristal anisotrópico.

X

Y

Z Rayo de Luz

Rayos Refractados

5 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

El eje óptico de un cristal uniaxial, es la dirección a lo largo de la cual se propaga la

luz sin experimentar el efecto de birrefringencia. Dicho eje define la dirección privilegiada

del cristal.

Los cristales uniaxiales se clasifican en dos tipos, positivos y negativos. También en

estos cristales uniaxiales, los rayos que conforman la doble refracción, no obedecen a las

leyes ordinarias de la refracción de la luz [1]. El primer rayo se encuentra en el plano de

incidencia, se le denomina rayo ordinario y se designa con la letra o. El segundo rayo se

designa con la letra e, y se llama extraordinario, porque no se encuentra en el plano de

incidencia, como se observa en la Figura 1.2.

Figura 1.2. Propagación de los rayos ordinarios y extraordinarios dentro de un cristal uniaxial .

La ecuación de Fresnel para el Niobato de Litio presenta dos índices de refracción

con la misma magnitud y un tercero diferente ( zyx nnn ≠= ). En este caso, la ecuación de

Fresnel se convierte en una elipsoide con simetría de revolución alrededor del eje óptico.

Analizando la orientación del campo eléctrico E en el cristal, se puede determinar la

velocidad con que las ondas se propagan en este material.

Eje Óptico del Cristal

Rayo Extraordinario (e) Rayo Ordinario (0)

6 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Al aplicar un campo eléctrico al cristal de LiNbO3 se presenta un cambio de índices

de refracción que a su vez, modifica las características de la propagación luminosa a través

del material. Si la variación del índice de refracción es proporcional al voltaje aplicado

representa un efecto lineal o efecto Pockels.

El Niobato de Litio es un cristal uniaxial con índices de refracción definidos de la

forma zyx nnn ≠= . Se define como el índice de refracción ordinario xyo nnn == , y como

el índice de refracción extraordinario ze nn = . Estos índices dependen de la longitud de

onda incidente en el cristal de LiNbO 3. Por ejemplo, cuando se hace incidir en un cristal de

LiNbO3 luz láser de HeNe con una longitud de onda de ?=0.633 µm, se obtienen los

siguientes valores para los índices ordinario y extraordinario [2]:

,200.2

,286.2

=

=

e

o

n

n

dado que oe nn < , el Niobato de Litio es un cristal uniaxial negativo.

1.2. ELIPSOIDE DE ÍNDICES DE REFRACCIÓN.

Los medios anisótropos se caracterizan por presentar propiedades ópticas diferentes

según la dirección considerada, típico de los materiales cristalinos. En general, el vector

campo eléctrico ?v

y el vector desplazamiento Dv

tienen la relación EDvv

ε= , donde ε es el

(1.1)

(1.2)

7 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

tensor de permitividad dieléctrica. Es posible demostrar que este tensor es simétrico, y por

lo tanto, diagonaliza en una cierta base de vectores ortogonales [3]. Para determinar la

elipsoide de índices de refracción, que muestra como el índice de refracción de un material

transparente varía de acuerdo a la dirección de vibración de la onda luminosa, se parte de la

simetría de los tensores dieléctricos y se escogen los ejes principales. De esta forma, todas

las componentes que no están en la diagonal son cero y se tiene que [2]:

[ ] .

0 0

0 00 0

33

22

11

=

ε

εε

ε ii

Podemos definir el tensor de índices como:

,

0 0

0 0

0 0

0 0

0 00 0

=

z

y

x

x

y

x

n

nn

ε

ε

ε

así como las velocidades principales:

. z

zy

yx

x

cv

cv

cv

εεε===

(1.3)

(1.4)

(1.5)

8 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

La polarización inducida Pv es la respuesta física del material en el campo eléctrico

Ev de la luz y no se encuentran en la misma dirección en medios anisotrópicos, ésta relación

queda como,

ExPvv

0ε= ,

donde x es un tensor y 0ε es la permitividad dieléctrica del vacío .

La relación entre el vector E de campo eléctrico y el vector D de flujo eléctrico en

una onda electromagnétic a está dada por la expresión siguiente:

( ),

1 0

00

0

jiij ED

ExD

ExED

PED

ε

ε

εε

ε

=

+=

+=

+=

vv

vvvvvv

donde ( ) 01 εε xii += es el tensor de permitividad die léctrica dada en la ecuación (1.3) y

0εDv

es el campo que podría existir si no hubiera un medio.

La energía almacenada uv en el eje principal del cristal es:

,21

DEuvvv ⋅=

(1.7)

(1.8)

(1.6)

9 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

sustituyendo las ecuaciones (1.3) y (1.7) en (1.8), se tiene:

++=

z

j

y

j

x

j

o

DDDu

εεεεε 222

0

2v ,

donde la relación 0

0ε

ε se escribe por conveniencia para obtener la elipse de los índices de

refracción.

Si j=x, y, z y sustituyendo para j=x tenemos que [2]:

,2

22

xu

D

o

x =ε

para j=y,

,2

22

yu

D

o

y =ε

para j=z,

,2

22

zu

D

o

z =ε

sustituyendo y normalizando las ecuaciones (1.10), (1.11) y (1.12) en (1.9) se obtiene que:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

10 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

, 133

2

22

2

11

2

=++

ooo

zyx

εε

εε

εε

donde zyx εεε , , se sustituye n por 11ε , 22ε y 33ε .

De la relación 2ioii n=εε , la ecuación (1.13) queda como:

. 12

2

2

2

2

2

=++eoo n

zny

nx

A la ecuación (1.14) se le llama elipsoide de índices de refracción. Las longitudes

respectivas a los ejes mayor y menor, paralelos a los ejes x, y, z son 22 y eo nn [4].

En la Figura 1.3, se puede observar el origen O normal a la dirección de

propagación OS. Esta elipse presenta dos ejes: el mayor y el menor, los cuales

corresponden a las dos polarizaciones que se observan en las direcciones OA y OB.

También se muestra una proyección del vector de onda S, con objeto de polarizar el haz de

luz que incide en el cristal; por consiguiente, existirán dos casos de luz, polarizada

linealmente y ortogonal al plano de proyección.

(1.13)

(1.14)

11 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Figura 1.3. Elipsoide de índices de refracción de un cristal uniaxial negativo (ne<no),

donde S denota un vector normal de onda.

1.3. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO LINEAL O EFECTO POCKELS.

El Niobato de Litio es un cristal que cambia sus índices de refracción conforme se

le aplica un campo eléctrico E. Si los índices de refracción cambian de manera lineal con el

campo eléctrico aplicado, se manifiesta el efecto electro-óptico lineal o efecto Pockels. Esta

función es representada como [2]:

( ) ( ) ...21

0 22

2

+++= EdE

ndE

dEdn

nEn ,

donde el índice de refracción n está en función del campo eléctrico aplicado. En forma

tensorial la ecuación (1.15) se representa como:

( ) ( ) ...0 +∂∂

∂+

∂

∂+= ∑∑ lk

kl lk

ijk

k k

ijijij EE

EE

nE

E

nnEn ,

1.15

(1.16)

Y

Z S θ

0 B

A

12 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

en la ecuación (1.16) se observa que el primer y segundo término de derecha a izquierda

determinan el efecto Pockels, de esta forma reduciendo los términos de esta ecuación, se

obtiene:

( ) ( ) ...0 +++= ∑∑ lkkl

ijklkk

ijkijij EEsErnEn ,

y el efecto lineal está representado por:

( ) ( ) kk

ijkijij ErnEn ∑+= 0 ,

donde ijkr , representa el coeficiente electro-óptico lineal o coeficiente Pockels. Tiene

valores aplicados para cristales anisotrópicos en intervalos de 10-12 a 10-10 m/V [2].

Siguiendo el procedimiento sobre la ecuación (1.18) con la resta en ambos lados del

término ( )0ijn , se observa:

( ) ( ) kk

ijkijij ErnEn ∑=− 0 .

Cuando se conoce ijn , se puede determinar la elipsoide de índices de refracción y

las propiedades ópticas mediante la aplicación de un campo eléctrico externo E.

Simplificando la ecuación (1.19) y resolviendo para x=1, y=2, z=3, se tiene :

(1.17)

(1.18)

(1.19)

13 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

∑=

=

∆

3

12

1

jjij

i

Ern

.

La variación del índice de refracción ( )En∆ en las direcciones (x, y, z) es una

función del campo eléctrico E aplicado, reescribiendo la ecuación (1.20) se tiene:

( ) EnrEn ij3

21

−≈∆ ,

donde r es el coeficiente de Pockels y n es el índice de refracción inicial. Esta expresión

representa una variación lineal del índice de refracción en función del campo eléctrico

aplicado.

La ecuación (1.20) se representa en forma matricial con 6=i y 3=j de la

siguiente manera:

=

∆

∆

∆

∆

∆

∆

3

2

1

636261

535251

434241

333231

232221

131211

62

52

42

32

22

12

r r r

r r rr r r

r r rr r r

r r r

1

1

1

1

1

1

EE

E

n

n

n

n

n

n

.

(1.20)

(1.22)

(1.21)

14 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Para cristales que poseen inversión de simetría 0=ijr , la forma del tensor ijr se

deriva de las consideraciones de simetría de los cristales. El valor de cada coefic iente

electro-óptico se determina de la estructura cristalina.

1.4. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO CUADRÁTICO O EFECTO KERR.

El índice de refracción también presenta una alteración cuadrática cuando se le

aplica un campo eléctrico E, a este efecto se le conoce como efecto electro-óptico

cuadrático o efecto Kerr. Este efecto lo presentan los materiales que tienen inversión de

simetría, y por lo tanto, no es de aplicación en el análisis del Niobato de Litio que tiene por

propósito la modulación lineal de la luz.

De la ecuación (1.17) se omite el segundo término de derecha a izquierda, quedando

de la siguiente forma [2]:

( ) ( ) lkkl

ijklijij EEsnEn ∑+= 0 .

El parámetro ijkls de la ecuación (1.23) es conocido como coeficiente Kerr. Las

unidades del coeficiente Kerr están dados en m2/V2 y el intervalo de valores para cristales

varía de 10-18 a 10-14 m2/V2.

(1.23)

15 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

1.5. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO EN EL NIOBATO DE LITIO.

El tensor electro-óptico para el Niobato de Litio está dado como [5]:

−

−

0 0

0 0

0 0 0 0

0

0

22

51

51

33

1322

1322

r

r

rr

rr

rr

.

Los valores de los coeficientes electro-ópticos para diferentes longitudes de onda en

el LiNbO3, se encuentran en la Tabla 1.1.

Para encontrar la elipsoide de índices de refracción se considera el caso particular

en donde se aplica un campo eléctrico al cristal de LiNbO3 a lo largo del eje óptico. Por lo

tanto, 0y 0 ≠== zyx EEE propagándose la luz a lo largo del eje x, donde se observa la

dirección de la onda normal al eje óptico.

(1.24)

16 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Tabla 1.1. Coeficientes electro-ópticos para el LiNbO3 [1].

Surge una deformación de la elipsoide de índices de refracción con la aplicación del

campo eléctrico sobre la sección de cruce en el plano normal y-z al eje x. De las ecuaciones

(1.14), (1.21) y (1.24) se obtiene la ecuación de la elipsoide de índices de refracción en

presencia de un campo eléctrico ),0,0( zEE dada como:

1233

213

2132

2

2

2

2

2

=+++++ zrEyrExrEnz

ny

nx

zzzeoo

.

Se observa que la ecuación (1.25) no contiene términos cruzados y los ejes x, y, z

coinciden con el eje principal, de esta forma, reduciendo y agrupando términos en la

ecuación (1.25), resulta:

( ) 111 2

33222

132=

+++

+ zrE

nyxrE

n ze

zo

.

(1.25)

(1.26)

17 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Esta ecuación (1.26) representa la elipsoide de índices de refracción cuando se le

aplica un campo eléctrico en la dirección z. Los coeficientes electro-ópticos principales

para el Niobato de Litio son 3313 y rr que se representan en dicha ecuación. Donde las

variaciones de índice por el campo eléctrico son:

( )

( ) .21

,21

333

133

00

zeze

zz

ErnEn

ErnEn

−=∆

−=∆

Los índices ordinario y extraordinario determinan la fase de la propagación dentro

de la guía de onda óptica, por lo que un campo eléctrico puede imprimir una modulación de

fase a la luz. Además, el estudio del efecto electro-óptico en el Niobato de Litio

proporciona las bases para la realización de dispositivos moduladores de luz [6].

1.6. MODULACIÓN ELECTRO-ÓPTICA Y TÉCNICAS DE

MODULACIÓN.

Para realizar la modulación electro-óptica de la luz es necesario tener en cuenta los

conceptos de elipsoide de índices de refracción y efecto electro-óptico, que fueron descritos

con anterioridad (Secciones 1.2 y 1.5).

(1.27)

18 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Cabe mencionar que la elipsoide de índices de refracción determina las condiciones

de propagación electromagnética en el Niobato de Litio, así como las velocidades de fase

de las ondas en el interior del cristal.

Por otro lado, el efecto e lectro-óptico es el proceso por el cual es posible realizar un

cambio en los índices de refracción del LiNbO3, mediante la aplicació n de un campo

eléctrico externo, a través de un par de electrodos colocados según la orientación del cristal.

La dirección más favorable es a lo largo del eje z, en razón de que el coeficiente r33 es

superior a r13. Para un substrato en corte x, la guía óptica se coloca entre los electrodos a

manera de que el campo eléctrico vea el coeficiente r33.

La dependencia de los índices de refracción con respecto al campo eléctrico

aplicado toma dos formas, es decir, el efecto electro-óptico puede clasificarse como Efecto

Pockels y Efecto Kerr, como ya se mencionó con anterioridad (Secciones 1.3 y 1.4)

Una ventaja al usar el efecto electro-óptico en los moduladores es que son

dispositivos ópticos compactos con pequeños electrodos metálicos que reducen

significativamente el voltaje de alimentación y que además presentan un ancho de banda de

modulación relativamente grande (rango GHz.)

19 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

1.6.1. TÉCNICAS DE MODULACIÓN ELECTRO-ÓPTICA.

La información puede ser enviada a través de un canal de transmisión en forma

alterada o modulada por una señal banda base que asigna un significado específico o

explotando las propiedades electro-ópticas de los cristales al aplicar un campo eléctrico. En

comunicaciones, por ejemplo, nuestra voz es considerada la señal banda base que modula la

luz alrededor de una frecuencia central llamada frecuencia portadora. La amplitud, la

frecuencia y la fase son los tres parámetros que se utilizan para modular un haz de ondas,

colocando la información en una frecuencia portadora óptica.

Las principales técnicas de modulación electro-óptica son, la modulación de

amplitud o de intensidad (AM, IM), que se utiliza en actuadores para sostener de forma

constante la intensidad de un láser, y la modulación de fase (PM, FM) utilizada para

estabilizar la frecuencia en un láser, cada una con sus propias ventajas y desventajas, pero

su selección depende de la frecuencia de ancho de banda, robustez contra distorsión y

ruido, así como un mejor uso de la energía.

Se utiliza el Niobato de Litio (LiNbO3) en la construcción de este tipo de

moduladores debido a que presenta los coeficientes electro-ópticos más altos, bajas

pérdidas de transmisión y por sus buenas propiedades eléctricas, en comparación con el

segundo material en uso llamado Tantalato de Litio (LiTaO3), [7] además de que este tipo

de cristales pueden ser incluidos en arreglos sin utilizar algún encapsulado.

20 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

1.6.1.A. MODULACIÓN DE FASE.

Los moduladores de fase son más fáciles de construir, es decir, sólo se aplica un

campo eléctrico al eje principal del cristal y al inyectar luz polarizada sobre este eje se

experimentará un cambio en el índice de refracción, por lo tanto, la fase del campo óptico

excitado del cristal dependerá del campo eléctrico aplicado.

En la Figura 1.4 se presenta un modulador de fase en tecnología de óptica integrada,

que consiste sólo de una guía de onda monomodo rectilínea, al cual se le aplica un campo

eléctrico V(t ), a través de dos electrodos con longitud l separados por una distancia S. Al

incidir el haz de onda en el plano x-z a la entrada de la guía de onda, la propagación del haz

luminoso se realiza en dirección y.

Figura 1.4. Diseño del modulador de fase utilizando una guía de onda óptica [7].

La señal óptica a la entrada tiene la forma de:

( ) ( )kytiEtEin −= 00 exp ω .

(1.28)

[ ]{ }φθω ++tiE 00 exp ( )kytiE −00 exp ω

onda de Guía

3LiNbO

21 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Al aplicar un campo eléctrico por medio del par de electrodos a la señal óptica de

salida inE se observa una modificación de la siguiente forma:

( ) ( ){ }φθω ∆++= tiEtEout 00 exp ,

donde, 0E y 0ω definen la amplitud y la frecuencia de la señal óptica a la salida

respectivamente, φ∆ es el cambio de fase óptico, θ es una fase constante (estática) igual a

nkL=θ siendo n el índice de refracción extraordinario u ordinario, k=2p/? es el número de

onda, ? es la longitud de onda y L es la longitud de la guía de onda óptica. La ventaja de

este modulador de fase óptica integrada es que al utilizar bajos voltajes en los electrodos da

como resultado una modulación lineal de fase considerable.

La fase se ha convertido en una función del campo eléctrico aplicado en este

modulador de fase, este cambio de fase óptico φ∆ se expresa como:

( ) knLlEkn +=∆φ ,

donde n(E) es el índice de refracción en función del campo eléctrico aplicado.

Considerando el efecto Pockels en la anterior ecuación (1.30) se tiene,

lrEnnL Γ−=∆ 3

2122

λπ

λπ

φ .

(1.29)

(1.30)

(1.31)

22 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

donde, Γ es el coeficiente de superposición y r es el coeficiente electro-óptico del Niobato

de Litio (en la dirección z, x).

De la ecuación (1.31) se sustituye nLλπ

φ2

= y el campo eléctrico se expresa como

E=V/d, donde V representa una señal de información (audio, video, datos, etc.) y d es la

separación entre los electrodos. Por consiguiente la ecuación (1.31) se reescribe,

Vrndl

Γ

−=∆ 3

λπ

φφ .

Para este tipo de moduladores de fase en óptica integrada el voltaje de media onda,

es decir, el voltaje requerido para inducir un cambio de fase de 90º (p radianes), el cual

define la figura de mérito para los moduladores electro-ópticos, se deduce cuando

( )( ) πλπ =ΓVrndl 3// y se escribe con corte en z y propagación y como:

lrnS

VTMe Γ

=33

3

λπ ,

donde S es la separación de los electrodos y TMΓ es el coeficiente de superposición

transversal magnético, es decir, indica la posición óptima de los electrodos con respecto a la

posición de la guía de onda óptica que determina el máximo recubrimiento espacial entre el

campo eléctrico y los modos ópticos dentro de la guía . Con esta posición se asegura la

máxima interacción electro-óptica definiendo una variación máxima de los índices de

(1.32)

(1.33)

23 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

refracción. Para estructuras de electrodos coplanares este parámetro es muy bajo TMΓ = 0.5.

Hay que notar que cuando los electrodos son paralelos la configuración es semejante a

capacitares paralelos y, por lo tanto, el campo eléctrico es una constante V0/S,

independiente de x, z.

Sustituyendo la ecuación (1.33) en la ecuación (1.32) se obtiene:

π

πφφVV

−=∆ ,

por lo tanto, se observa que el cambio de fase es una función lineal del voltaje aplicado con

dirección perpendicular a la dirección de propagación de la luz en el modulador de fase,

como se presenta en la Figura 1.5.

Figura 1.5. Variación lineal de fase en función del voltaje aplicado.

(1.34)

24 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

Además, como se mencionó anteriormente (Secciones 1.3 y 1.4), si los índices de

refracción cambian de manera lineal cuando se aplica un campo eléctrico al modulador, el

efecto es llamado Efecto Pockels y si varían de forma cuadrática Efecto Kerr. Es muy

importante mencionar que las propiedades de este modulador de fase óptico no difieren de

las encontradas en cualquier otro sistema que module señales en fase.

El beneficio de esta técnica de modulación sobre la modulación de intensidad, es la

mejoría en la discriminación en contra del ruido y la interferencia, además, de contar con

un mejor ancho de banda (aprox. 15GHz.). El método para demodular la señal óptica utiliza

la misma fase (modulación) para la recuperación del haz de ondas inicial. En este caso, la

fase no depende de la amplitud en la señal de luz, evitando cualquier tipo de interferencia y

ruido. El sistema conocido como Detección de Coherencia se utiliza para la demodulación

de fase, este método inserta la señal recibida en un diodo mezclador donde es sobrepuesta

en un oscilador de luz para generar una señal de frecuencia intermedia (IF). La señal de PM

es demodulada de la señal IF por un selector de fase [4].

1.6.1.B. MODULACIÓN DE AMPLITUD O INTENSIDAD.

Para comprender el principio de funcionamiento de este tipo de moduladores se

debe suponer un rayo óptico polarizado a 45° con respecto el eje principal del cristal y que

viaja de forma paralela al tercer eje (x, y dependiendo del corte del cristal) del cristal

electro-óptico. Sin aplicar un campo eléctrico, el cris tal es un arbitrario retardador de haces

de onda. Cuando se aplica un campo eléctrico, el efecto electro-óptico modifica los índices

25 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

de refracción del cristal a un grado diferente, dando como resultado un cambio en el retardo

de los haces de onda. La geometría de un modulador de amplitud se muestra en la Figura

1.6, que consiste de dos polarizadores, un cristal electro-óptico (Niobato de Litio) cortado

para un retardo cero y un analizador. El polarizador de entrada garantiza que el haz se

polarice a 45° y el cristal cambia la polarización del haz de ondas de salida conforme el

voltaje aplicado se incremente.

Figura 1.6 . Diseño del modulador de amplitud, que consiste en un cristal electro-óptico entre dos

polarizadores cruzados [8].

Esta estructura cris talina (Figura 1.6) descompone el rayo luminoso de entrada en

los modos ordinario y extraordinario linealmente polarizados a lo largo de los ejes del

cristal (x, z) como consecuencia de la birrefringencia del material. Debido a que polarizador

de salida se encuentra rotado 90° con respecto al polarizador de entrada (polarización

cruzada), permite convertir la modulación de fase en variación de intensidad.

La variación de fase estática se representa en función de la longitud del cristal L, por

lo que se puede expresar como:

26 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

( )Lnn xz −=∆λπ

φ2

Para este modulador de amplitud el voltaje de media onda está dado por:

lrnlrnSV

e Γ−Γ=

133

0333

λπ

También se puede utilizar la modulación de fase producida por el efecto electro-

óptico para crear modulación de intensidad, tal es el caso del interferómetro Mach-Zehnder

como se observa en la Figura 1.7. El haz luminoso de entrada se divide en los brazos en

forma de Y, uno de estos haces viaja sin alteración (A-B-C-D) y el otro (A-F-E-D)

experimenta una variación de fase, debido a la aplicación de un campo eléctrico [9].

Figura 1.7. Modulador interferométrico Mach-Zehnder.

Al llegar estos dos haces al punto D se realiza una superposición de las ondas

obteniendo la siguiente expresión:

(1.36)

(1.35)

Pin Pout

27 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA

φ∆+= cos21

21

ininout PPP

donde, Pin es la potencia óptica de entrada, Pout es la potencia óptica de salida y φ∆ es la

diferencia de fase de las ondas que viajan por los brazos del modulador [9].

Cuando 0=∆φ la recombinación de las señales provocará una máxima

transmisión, y cuando πφ =∆ debido a que la guía de onda es angosta en la región de

recombinación, la luz es acoplada dentro del substrato resultando en una transmisión cero.

(1.37)