Capítulo 3 e 4 Inequaçõespaulo.amaro/Mat I/Cap03 e 04...4x –3 ≥ 0 – x + 1 ≤ 0 8x > 0...
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
4.1
Capítulo
3 e 4 Inequações
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Inequações do 1o grau
Toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade
em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax + b
(com a ≠ 0) e o segundo membro é zero é chamada de
inequação do 1o grau na incógnita x.
Exemplos
▪ 4x – 3 ≥ 0
▪ – x + 1 ≤ 0
▪ 8x > 0
▪ –5x – 0,2 < 0
3.22
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Princípios de equivalência das desigualdades
Princípio aditivo
▪ –4 > –7 ⇒ –4 + 12 > –7 + 12 ⇒ 8 > 5
sinal mantido
▪ –2 < 3 ⇒ –2 + (–6) < 3 + (–6) ⇒ –8 < –3
sinal mantido
3.22
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Princípios de equivalência das desigualdades
Princípio multiplicativo
▪ –12 < 8 ⇒ –12 ∙ 2 < 8 ∙ 2 ⇒ –24 < 16
sinal mantido
3.22
▪ 21 > 15 ⇒ 21 ∙ > 15 ∙ ⇒ 7 > 5
sinal mantido
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Princípios de equivalência das desigualdades
▪ 14 > 1 ⇒ 14 ∙ (–3) < 1 ∙ (–3) ⇒ –42 < –3
sinal invertido
sinal invertido
▪ –32 < 64 ⇒ –32 ∙ > 64 ∙ ⇒ 16 > –32
3.22
Princípio multiplicativo
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Resolução de inequações
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4).
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4)
3x + 6 ≤ 4x + 8
3x – 4x + 6 – 8 ≤ 0
–x – 2 ≤ 0
x + 2 ≥ 0
x ≥ –2
3.23
Logo, o conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≥ –2}
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Resolução de inequações
f(x) ≥ 0 ⇒ x ≥ –2
O conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≥ –2}
3.23
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4).
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4) ⇒ x + 2 ≥ 0
f(x)
f(x) = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = –2 (zero da função f)
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Capítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Capítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R7. Determinar o conjunto solução da inequação
.
3.24
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Capítulo 4 – Função quadrática
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Capítulo 4 – Função quadrática
Inequação-produto
▪ f(x) ∙ g(x) > 0 ▪ f(x) ∙ g(x) ≥ 0
▪ f(x) ∙ g(x) < 0 ▪ f(x) ∙ g(x) ≤ 0
Exemplos
▪
▪ (0,45x – 7) ∙ (8 – 2x) < 0
▪ (89x + 1) ∙ ≥ 0
▪ (3x + 4) ∙
3.25
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Capítulo 4 – Função quadrática
Inequação-quociente
▪
▪▪
▪
Exemplos
▪
▪
▪
▪
3.25
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Capítulo 4 – Função quadrática
Resolução de inequação-produto
Para f(x) ∙ g(x) < 0 ⇒
(x + 1) ∙ (3x – 2) < 0, em ℝ.
f(x) g(x)
3.26
Vamos resolver
14243
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Capítulo 4 – Função quadrática
Então, o conjunto solução da inequação
(x + 1) ∙ (3x – 2) < 0 é:
3.26
Quadro de sinais
Resolução de inequação-produto
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Exercício resolvido
R8. Resolver, em ℝ, a inequação quociente .
3.27
R9. Resolver a inequação , em ℝ.
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Capítulo 4 – Função quadrática
Inequações simultâneas
Algumas inequações são apresentadas por duas desigualdades
ou por um sistema de inequações. Elas são chamadas
inequações simultâneas.
Exemplos
▪ ▪
3.29
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Capítulo 4 – Função quadrática
Inequações simultâneas
(I) 3 + 2 ≤ 2x ⇒ 5 ≤ 2x ⇒ x ≥ . SI =
S = ou S =
3.30
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, as inequações
simultâneas 3 ≤ 2x – 2 < x + 5.
Devemos encontrar a solução das inequações (I) e (II):
(II) 2x – x < 5 + 2 ⇒ x < 7. SII =
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Capítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R10. Resolver, em ℝ, o sistema de inequações:
3.31
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Capítulo 4 – Função quadrática
Identificação do domínio de uma função por meio de inequações
Observe como determinamos o domínio da função
dada pela lei y = .
Então: D =
3.32
y =
radicando de índice par não pode ser nulo
0 x
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Capítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R11. Encontre o domínio da função y = .
3.33
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Capítulo 4 – Função quadrática
Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que
pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro
membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o
segundo membro é zero.a
Inequações do 2o grau
a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0
b) –x² + 0,5x ≤ 0
c) 5x² – 2 < 0
d) –4x² + x + > 0
4.35
Exemplos
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Capítulo 4 – Função quadrática
Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos
números reais.
Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f:
Primeiro, determinamos os zeros de f:
3x² – 8x – 3 ≥ 0
f(x)
4.36
3x2 – 8x – 3 = 0
= 64 + 36 = 100
Inequações do 2o grau
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Capítulo 4 – Função quadrática
Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para
os quais a função f é positiva ou nula.
Assim, o conjunto solução da inequação é:
S =
4.36
Inequações do 2o grau
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Capítulo 4 – Função quadrática
Exemplo
Inequação-quociente
▪ f(x) = x – 5 (zero de f: 5)
▪ g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)
4.37
14243
Sinal de f Sinal de g
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Capítulo 4 – Função quadrática
Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação.
Logo, o conjunto solução da inequação é:
S =
4.37
Exemplo
Inequação-quociente
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Capítulo 4 – Função quadrática
▪ f(x) = x (zero de f: 0)
▪ g(x) = –x² – 4
(g não tem zeros)
4.38
–x3 – 4x < 0 x(–x2 – 4) < 0
14243
Sinal de f Sinal de g
Exemplo
Inequação-quociente
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Capítulo 4 – Função quadrática
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Capítulo 4 – Função quadrática
Logo, o conjunto solução da inequação é:
S =
4.38
Exemplo
Inequação-quociente
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Capítulo 4 – Função quadrática
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Capítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R11. Resolver a inequação em ℝ.
4.39
R12. Geometria. Determinar a área
da parte azul da figura em
função de x e encontrar o maior
valor inteiro que x pode assumir.
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Capítulo 4 – Função quadrática
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Capítulo 4 – Função quadrática
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte
sistema de inequações:
Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma
mais simples:
4.41
Inequações simultâneas
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Capítulo 4 – Função quadrática
▪ Zeros de f: –4 e 2 ▪ Zeros de g: 1 e 2
4.41
f(x) g(x)
Assim temos:
Sinal de f Sinal de g
S2=S1 =
Inequações simultâneas
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Capítulo 4 – Função quadrática
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Capítulo 4 – Função quadrática
A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma
das inequações:
Logo, o conjunto solução do sistema é:
S =
4.41
Inequações simultâneas
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Capítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R13. Resolver, em ℝ, a inequação
4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.
4.42
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Capítulo 4 – Função quadrática
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Capítulo 4 – Função quadrática
Vamos determinar o domínio da função dada pela lei
Em , devemos ter:
f(x)
h(x)
4.43
Exemplo
Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
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Capítulo 4 – Função quadrática
Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:
▪ f(x) = x² – 2x + 1
zero real duplo de f: 1
▪ h(x) = 2x – 7
zero de h:
4.43
Sinal de f Sinal de h
Exemplo
Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
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Capítulo 4 – Função quadrática
O zero da função h não pode ser considerado, pois anula o
denominador da inequação:
Logo, D =
4.43
Exemplo
Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres
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